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Transferencia de Calor
Cap. 3
Juan Manuel Rodriguez Prieto
I.M., M.Sc., Ph.D.
Conducción de calor en estado
estacionario
•  Con frecuencia es de interés la razón de transferencia de calor a través
de un medio, en condiciones y temperaturas superficiales estacionarias.
•  Los problemas de conducción de calor se resuelven con facilidad sin la
intervención de ecuaciones diferenciales, mediante la introducción de
los conceptos de resistencia térmica, de manera análoga a los problemas
sobre circuitos eléctricos.
•  la resistencia térmica -- resistencia eléctrica
•  la diferencia de temperatura - - tensión
•  la rapidez de la transferencia de calor -- corriente eléctrica.
•  Relaciones de la resistencia térmica para condiciones de
frontera de convección, radiación y resistencia de contacto.
Conducción de calor en estado
estacionario en paredes planas
Conducción de calor en estado estacionario en paredes planas Consideremos la conducción
estacionaria de calor a través de las
paredes de una casa durante un día
de invierno.
La habitación pierde calor en forma
continua hacia el exterior a través
de la pared.
La transferencia de calor a través de
la pared es en la dirección normal a la
superficie de ésta y no tiene lugar
alguna transferencia de calor
significativa en ella en otras
direcciones.
La transferencia de calor a través de
la pared de una casa se puede
considerar como estacionaria y
unidimensional.
Balance de energía en la pared La razón de la transferencia de calor a
través de la pared debe ser constante.
Considere una pared plana de
espesor L y conductividad térmica
promedio k. Las dos superficies de la
pared se mantienen a temperaturas
constantes de T1 y T2.
La ley de Fourier se puede expresar
como:
dT
Q! cond, pared = −k
A
dx
El gradiente de temperatura a través
de la pared es constante, lo cual
significa que la temperatura a través
de la pared varia linealmente con x.
⎛ Razón
⎞
⎛ Razón
⎞ ⎜
⎟
⎜ de la
⎟ ⎜ de la
⎟
⎜
⎟ ⎜ transferencia de ⎟
⎜ transferencia de ⎟ = ⎜
⎟
⎜ calor
⎟ ⎜ calor
⎟
⎜
⎟ ⎜ hacia afuera de la ⎟
⎝ hacia la pared ⎠ ⎜
⎟⎠
⎝ pared
La distribución de
temperatura en la pared, en
condiciones estacionarias, es
una línea recta.
Balance de energía en la pared T −T
Q! cond, pared = kA 1 2 (W )
L
La razón de la conducción de calor a través de una pared plana es
proporcional a la conductividad térmica promedio, al área de la
pared y a la diferencia de temperatura, pero es inversamente
proporcional al espesor de la pared.
El concepto de resistencia térmica Resistencia a la conducción
T −T
Q! cond, pared = 1 2 (W )
Rpared
Rpared =
I=
L
kA
V1 − V2
(W )
Re
La razón de la transferencia de calor a través de
una capa corresponde a la corriente eléctrica, la
resistencia térmica a la resistencia eléctrica y la
diferencia de la temperatura a la caída de voltaje.
El concepto de resistencia térmica Resistencia a la convección Considere la transferencia de calor
por convección de una superficie
sólida de área As y temperatura Ts
hacia un fluido cuya temperatura en
un punto suficientemente lejos de la
superficie es T∞, con un coeficiente
de transferencia de calor por
convección h.
Note que cuando el coeficiente de
transferencia de calor por convección
es muy grande, la resistencia a la
convección se hace cero .Es decir, la
superficie no ofrece resistencia a la
convección y, por tanto, no desacelera el
proceso de transferencia de calor.
T − T∞
Q! conv = s
(W )
Rconv
Q! conv = h (Ts − T∞ ) A(W )
Rconv =
1
hAs
El concepto de resistencia térmica Resistencia a la radiación 4
Q! rad = εσ (Ts4 − Talred
) A(W ) Q! rad = hrad (Ts − Talred ) A(W )
2
hrad = εσ (Ts + Talred )(Ts2 + Talred
)
Rrad =
1
hrad A
=
1
2
εσ (Ts + Talred )(Ts2 + Talred
)A
T − Talred
Q! rad = s
(W )
Rrad
El concepto de resistencia térmica Radiación-­‐convección Una superficie expuesta al aire
circundante comprende convección
y radiación de manera simultanea y
la transferencia de calor total en la
superficie se determina al sumar (o
restar, si tienen direcciones
opuestas) las componentes de
radiación y de convección. Las
resistencias a la convección y a la
radiación son paralelas entre sí,
como se muestra en la figura 3-5 y
pueden provocar algunas
complicaciones en la red de
resistencias térmicas.
h = hrad + hconv
1
R=
hA
Red de resistencias térmicas
El concepto de resistencia térmica El concepto de resistencia térmica T −T
Q! = h1 (T∞1 − T1 )A = kA 1 2 = h2 (T2 − T∞2 )A
L
(T − T ) T − T
(T − T )
Q! = ∞1 1 = 1 2 = 2 ∞2
1 / h1 A
L / kA
1 / h2 A
(T − T ) T − T
(T − T )
= ∞1 1 = 1 2 = 2 ∞2
Rconv1
Rcond
Rconv2
Al sumar los numeradores y
los denominadores da
(T − T )
Q! = ∞1 ∞2
Rtotal
Donde
la caída de temperatura a través de cualquier capa es
proporcional a la resistencia térmica de ésta.
ΔT = RtotalQ!
Rtotal = Rconv1 + Rcond + Rconv2
Paredes planas de capas
múltiples
El concepto de resistencia térmica T −T
T − T3
Q! = h1 (T∞1 − T1 )A = k1 A 1 2 = k2 A 2
= h2 (T3 − T∞2 )A
L1
L2
(T − T ) T − T
T − T3 (T3 − T∞2 )
Q! = ∞1 1 = 1 2 = 2
=
1 / h1 A
L1 / k1 A L2 / k2 A
1 / h2 A
(T − T ) T − T
(T − T )
= ∞1 1 = 1 2 = 2 ∞2
Rconv1
Rcond
Rconv2
Al sumar los numeradores y
los denominadores da
(T − T )
Q! = ∞1 ∞2
Rtotal
Donde
la caída de temperatura a través de cualquier capa es
proporcional a la resistencia térmica de ésta.
ΔT = RtotalQ!
Rtotal = Rconv1 + Rcond1 + Rcond 2 + Rconv2
El concepto de resistencia térmica Ejemplo 1 Considere una pared gruesa de 3 m de alto, 5 m
de ancho y 0.30 m de espesor, cuya
conductividad térmica es k=0.9 W/m· °C. Cierto
día, se miden las temperaturas de las superficies
interior y exterior de esa pared y resultan ser de
16°C y 2°C, respectivamente. Determine la razón
de la pérdida de calor a través de la pared en ese
día.
T −T
Q! = kA 1 2
L
(16 − 2)
Q! = 0.9 *15
= 630W
0.3
El concepto de resistencia térmica Ejemplo 2 Considere una ventana de vidrio de 0.8 m de alto
y 1.5 m de ancho, con un espesor de 8 mm y una
conductividad térmica de k=0.78 W/m · °C.
Deter mine la razón estacionaria de la
transferencia de calor a través de esta ventana de
vidrio y la temperatura de su superficie interior
para un día durante el cual el cuarto se mantiene
a 20°C, en tanto que la temperatura del exterior
es de -10°C. Tome los coeficientes de
transferencia de calor de las superficies interior y
exterior de la ventana como h1 =10W/m2 ·°C y
h2=40W/m2·°C, los cuales incluyen los efectos
de la radiación.
Rcond =
L
0.008
=
= 0.00855º C / W
kA 0.78 *1.2
Rconv1 =
1
1
=
= 0.08333º C / W
h1 A 10 *1.2
Rconv2 =
1
1
=
= 0.02083º C / W
h2 A 40 *1.2
Rtotal = Rconv1 + Rcond + Rconv2
= 0.1127º C / W
T −T
20 − (−10)
Q! = ∞1 ∞2 =
= 266W
Rtotal
0.1127º C / W
El concepto de resistencia térmica Tarea El concepto de resistencia térmica Tarea El concepto de resistencia térmica Tarea El concepto de resistencia térmica Tarea Redes generalizadas de
resistencias térmicas
El concepto de resistencia térmica Se puede usar el concepto de resistencia térmica o la
analogía eléctrica para resolver problemas de
transferencia de calor en estado estacionario que
comprenden capas en paralelo o disposiciones
combinadas serie-paralelo.
Q! = Q!1 + Q! 2
T −T T −T
Q!1 = k1 A1 1 2 = 1 2
L
R1
T −T T −T
Q! 2 = k2 A2 1 2 = 1 2
L
R2
T −T
Q!1 = 1 2
Rtotal
Rtotal =
R1 R2
R1 + R2
Considere la pared compuesta, la
cual consta de dos capas paralelas.
El concepto de resistencia térmica Se puede usar el concepto de resistencia térmica o la
analogía eléctrica para resolver problemas de
transferencia de calor en estado estacionario que
comprenden capas en paralelo o disposiciones
combinadas serie-paralelo.
Q! = Q!1 + Q! 2
T −T
Q!1 = 1 ∞
Rtotal
Rtotal =
R1 R2
+ R3 + R4
R1 + R2
R1 =
L
k1 A1
R3 =
L
k3 A3
R2 =
L
k2 A2
R4 =
1
hA3
Considere la pared compuesta, la
cual consta de dos capas paralelas.
El concepto de resistencia térmica Ejemplo Una pared de 3 m de alto y 5 m de ancho consta
de ladrillos de 16 por
22 cm de sección
transversal horizontal (k=0.72 W/m · °C)
separados por capas de mortero (k=0.22 W/m ·
°C) de 3 cm de espesor. También se tienen capas
de mortero de 2 cm de espesor sobre cada lado
del ladrillo y una espuma rígida (k =0.026 W/m ·
°C) de 3 cm de espesor sobre el lado interior de
la pared, como se muestra en la figura 3-21. Las
temperaturas dentro y fuera son de 20°C y 10°C,
respectivamente, y los coeficientes de
transferencia de calor por convección sobre los
lados interior y exterior son h1=10 W/m2 · °C y
h2=25 W/m2 · °C, respectivamente. Si se supone
transferencia de calor unidimensional y se
descarta la radiación, determine la razón de la
transferencia de calor a través de la pared.
El concepto de resistencia térmica Ejemplo 1
Renmedio
Renmedio =
=
1
1
1
+
+
R3 R5 R6
R3 R4 R5
R4 R5 + R3 R5 + R3 R4
Rtotal = Ri + R1 + R2 + Renmedio + R6 + Ro
ºC
W
ºC
R2 = 0.36
W
ºC
R6 = 0.36
W
Ri = 0.4
R1 = 4.6
ºC
W
Renmedio = 0.97
Ro = 0.16
ºC
W
ºC
W
El concepto de resistencia térmica Ejemplo Rtotal = Ri + R1 + R2 + Renmedio + R6 + Ro
ºC
W
ºC
R2 = 0.36
W
ºC
R6 = 0.36
W
Ri = 0.4
R1 = 4.6
ºC
W
Renmedio = 0.97
Ro = 0.16
Rtotal = 6.87
ºC
W
ºC
W
ºC
W
T −T
30
Q! = ∞1 ∞2 =
= 4.37W
Rtotal
6.87
Conducción de calor en esferas
y cilindros
El concepto de resistencia térmica cilindro T −T
Q! = 1 2
Rcond,cil
Rcond,cil =
ln(r2 / r1 )
2π Lk
El concepto de resistencia térmica esfera T −T
Q! = 1 2
Rcond,esf
Rcond,esf =
r2 − r1
4π r1r2 k
El concepto de resistencia térmica esfera Considere ahora el flujo unidimensional de calor
en estado estacionario a través de una capa
cilíndrica o esférica que está expuesta a la
convección en ambos lados hacia fluidos que
están a las temperaturas T∞1 y T∞2, con
coeficientes de transferencia de calor h1 y h2,
respectivamente
T −T
Q! = ∞1 ∞2
Rtotal
cilindro
Rtotal = Rconv,1 + Rcond,cil + Rconv,2
Rcond,cil =
ln(r2 / r1 )
2π Lk
Rconv,1 =
1
2π r1 Lh1
Rconv,2 =
1
2π r2 Lh2
esfera
Rtotal = Rconv,1 + Rcond,esf + Rconv,2
Rcond,esf =
r2 − r1
4π r1r2 k
Rconv,1 =
1
4π r12 h1
Rconv,2 =
1
4π r22 h2
Cilindros y esferas con capas
múltiples
Cilindros y esferas con capas múlAples Rtotal = Rconv,1 + Rcond,cil,1 + Rcond,cil,2 + +Rcond,cil,3 + Rconv,2
Rconv,1 =
1
2π r1 Lh1
Rcond,cil,2 =
Rcond,cil,1 =
ln(r3 / r2 )
2π Lk2
Rconv,2 =
esfera
ln(r2 / r1 )
2π Lk1
Rcond,cil,3 =
1
2π r4 Lh2
ln(r4 / r3 )
2π Lk3
Radio critico de aislamiento
Cilindros y esferas con capas múlAples Al agregar aislamiento a un tubo cilíndrico o a una capa
esférica, el aislamiento adicional incrementa la
resistencia a la conducción de la capa de aislamiento
pero disminuye la resistencia a la convección de la
superficie debido al incremento en el área exterior. La
transferencia de calor del tubo puede aumentar o
disminuir, dependiendo de cuál sea el efecto que
domine.
Considere un tubo cilíndrico de radio exterior r1 cuya
temperatura de la superficie exterior, T1, se mantiene
constante. Ahora se aísla el tubo con un material cuya
conductividad térmica es k y su radio exterior es r2. Se
pierde calor del tubo hacia el medio circundante que
está a la temperatura T∞, con un coeficiente de
transferencia de calor h por convección. La velocidad
de la transferencia de calor del tubo aislado hacia el aire
circundante se puede expresar como
T −T
Q! = 1 ∞
Rtotal
Rconv =
1
2π r2 Lh
Rtotal = Rcond + Rconv
Rcond,cil =
ln(r2 / r1 )
2π Lk
Cilindros y esferas con capas múlAples (radio criAco) La razón de la transferencia de calor del cilindro
aumenta con la adición de aislamiento para r2 <
rcr, alcanza un máximo cuando r2 = rcr y empieza
a decrecer para r2 > rcr. Por tanto, en realidad,
aislar el tubo puede aumentar la razón de la
transferencia de calor del tubo en lugar de
disminuirla cuando r2< rcr.
Cilindros y esferas con capas múlAples (radio criAco) La razón de la transferencia de calor del cilindro
aumenta con la adición de aislamiento para r2 <
rcr, alcanza un máximo cuando r2 = rcr y empieza
a decrecer para r2 > rcr. Por tanto, en realidad,
aislar el tubo puede aumentar la razón de la
transferencia de calor del tubo en lugar de
disminuirla cuando r2< rcr.
Transferencia de calor desde
superficie con aletas
Aletas
La razón de la transferencia de calor desde una superficie que está a una temperatura Ts
hacia el medio circundante que está a T∞ se expresa por la ley de Newton del enfriamiento
como
Q! = hA(Ts − T∞ )
Supongamos Ts y T∞ se fijan por consideraciones de diseño.
Existen dos maneras de incrementar la razón de la transferencia de calor: aumentar el
coeficiente de transferencia de calor por convección, h, o aumentar el área superficial A.
El aumento de h puede requerir la instalación de una bomba o ventilador, pero este
procedimiento puede no ser practico o adecuado.
La alternativa es aumentar el área superficial al agregar unas superficies extendidas llamadas
aletas, hechas de materiales intensamente conductores como el aluminio.
Ecuación de la aleta
d 2θ
2
−
α
θ=0
2
dx
Donde
θ = T − T∞
α2 =
hp
kA
Ecuación de la aleta
Solución
Aleta infinitamente larga
Punta de la aleta aislada
dT
(L) = 0
dx
T (0) = Tb
T (L → ∞) = T∞
T (0) = Tb
T (x) − T∞
= e−(
Tb − T∞
T (x) − T∞ cosh m(L − x)
=
Tb − T∞
cosh mL
hp/kA )x
Q! aleta = hpkA(Tb − T∞ )tanh(mL)
Q! aleta = hpkA(Tb − T∞ )
m = 2h / kt
Punta de la aleta en convección y radiación
Una manera práctica de tomar en cuenta la pérdida de calor desde la punta es reemplazar la longitud
L de la aleta en la relación para el caso de punta aislada por una longitud corregida definida como
Lc = L +
A
p
Tarea
Tarea
Tarea
Tarea
Tarea