Pauta Solemne 1_2014

Universidad Diego Portales
Facultad de Ingeniería
Escuela de Ingeniería Industrial
Solemne Localización Óptima de Instalaciones
26 de Junio de 2014
Pregunta # 1: Elaboración y Utilización de Heurísticas. [160 Ptos]
Interesa determinar cuántas fábricas deben instalarse sobre la siguiente red y dónde, de modo de
minimizar los costos de instalación y de transporte. El VAN del costo unitario de transporte se indica en la
tabla. La demanda de cada nodo es 1. El costo de instalación de cada fábrica es de 63
15
A
8
B
10
12
9
7
11
16
11
D
VAN del costo unitario de transporte (y
distancia mínima entre nodos)
C
E
13
F
17
A
B
C
D
E
F
A
0
8
15
10
21
26
B
8
0
12
7
16
23
C
15
12
0
19
9
11
D
10
7
19
0
11
17
E
21
16
9
11
0
13
F
26
23
11
17
13
0
a) [20] Plantee un modelo de optimización entera que resuelva este problema. (defina variables,
identifique parámetros, desarrolle la formulación matemática y explique sus elementos)
b) [40] Diseñe una heurística avara que consista en ir agregando instalaciones para determinar la
cantidad y localización de las fábricas que cubre toda la demanda en función de los objetivos
propuestos.
c) [20] Utilice la heurística diseñada y resuelva el problema. Explique claramente las iteraciones
realizadas y las decisiones involucradas en cada una de ellas.
d) [40] Formule un modelo que minimice al mismo tiempo, el costo de transporte entre las fábricas
instaladas, asumiendo que se realiza un ciclo de abastecimiento de insumos entre ellas. Considere
además, que cada fábrica tiene una capacidad máxima Ki. (defina variables, identifique parámetros,
desarrolle la formulación matemática y explique sus elementos).
e) [40] Adapte una de las heurísticas vistas en clase (NO AVARA) para el problema planteado en d).
Justifique porqué seleccionó ese tipo de heurística y explique CLARAMENTE las etapas del
algoritmo.
CONTINÚA AL REVERSO
1
Pregunta # 2: Problemas sobre una red. [150 Ptos.]
Suponga que la red de la figura 1 muestra una ciudad, siendo los nodos las concentraciones de población y
además, posibles localizaciones de oficinas de correos. A Ud. Se le pide que:
Figura 1
a) [20] Plantee un modelo programación lineal entera que permita que todas las concentraciones de
población estén dentro de una distancia de igual a 17 Km. de una oficina de correos, localizando el
mínimo número de oficinas. Muestre claramente la matriz de coeficientes de restricciones.
b) [10] Explique si pueden reducirse las filas y columnas, cuáles y porqué.
c) [10] Diga si existen oficinas que estén obligadamente en la solución y porqué
d) [20] Resuelva el problema ya reducido, indicando el valor del objetivo y la localización de las oficinas
e) [20] Suponga un vector de concentraciones de población para los nodos [A, B, C, D, E, F, G, H e I]
está dado por [15, 25, 12, 28, 40, 32, 18, 20 y 17] respectivamente, formule un modelo que permita
localizar dos oficinas de correos maximizando la población cubierta en un radio de cobertura de 21
KM.
f) [10] Explique si pueden reducirse las filas y/o columnas, cuáles y porqué.
g) [20] Resuelva el problema ya reducido, indicando el valor del objetivo y la localización de las oficinas
h) [20] Formule un problema que permita minimizar la distancia que caminan en promedio las personas
instalando dos oficinas de correos, considerando que la capacidad máxima de cada oficina es de 60
personas.
i) [20] Formule un problema que permita minimizar la máxima distancia que caminan las personas,
maximizando la cantidad de personas cubiertas en un radio de 21 Km, si se dispone de presupuesto
para instalar dos oficinas de correos, cada una con capacidad máxima de 60 personas
2
Pauta
Pregunta # 1:
a) [20] Plantee un modelo de optimización entera que resuelva este problema. (defina variables,
identifique parámetros, desarrolle la formulación matemática y explique sus elementos)
min ∑ 63𝑋𝑖 + ∑ 𝐶𝑖𝑗 𝑌𝑖𝑗
𝑖
𝑖,𝑗
s.a.
“todo cliente debe ser atendido”
∑ 𝑌𝑖𝑗 = 1 ∀𝑗
𝑖
“solo el posible atender a un cliente desde una planta i si esta es instalada”
𝑌𝑖𝑗 ≤ 𝑋𝑖 ∀𝑖, 𝑗
“naturaleza de las variables”
𝑌𝑖𝑗 , 𝑋𝑖 ∈ {0,1} ∀𝑖, 𝑗
Dónde:
1
𝑥𝑖 = {
0
1
𝑌𝑖𝑗 = {
0
𝑠𝑖 𝑠𝑒 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑙𝑎 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑡𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑛𝑜𝑑𝑜 𝑖
~
𝑠𝑖 𝑠𝑒 𝑎𝑏𝑎𝑠𝑡𝑒𝑐𝑒 𝑎𝑙 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑗 𝑑𝑒𝑠𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑡𝑎 𝑒𝑛 𝑖
~
𝑐𝑖𝑗 : 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑝𝑜𝑟𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑑𝑒 𝑖 𝑎 𝑗
b) [40] Diseñe una heurística avara que consista en ir agregando instalaciones para determinar la
cantidad y localización de las fábricas que cubre toda la demanda en función de los objetivos
propuestos.
La heurística a diseñar será tipo combinatoria, en donde se ira resolviendo el problema primero
para una instalación (p=1), luego para dos (p=2), y así sucesivamente. Se dejara de iterar si la
solución encontrada para p+1 es mayor o igual a la solución encontrada con p.
En la primera iteración, teniendo p=1, se calcula el costo de satisfacer a todos los clientes desde
solo un nodo (realizar esto para todos los nodos), y se localizara en el que presente menor costo
𝑧𝑝=1 = min {∑ 𝑐𝑖𝑗 + 63} ∀𝑖
𝑗
3
En la segunda iteración (p=2) se considerara instalar en dos nodos distintos (𝑖1, 𝑖2), por lo que se
calculara el costo de satisfacer la demanda como el minimo de los costos desde los nodos instalados
hacia los clientes 𝑧(𝑖1, 𝑖2), realizando todas las combinaciones posibles se buscara el mínimo costo
de satisfacer la demanda y este será la solución de la iteración 2 (𝑍2 = min{ 𝑧(𝑖1, 𝑖2) ∀𝑖1, 𝑖2: 𝑖1 ≠
𝑖2}).
𝑧(𝑖1, 𝑖2) = ∑ min{𝑐𝑖1,𝑗 , 𝑐𝑖2,𝑗 } + 2 ∗ 63, 𝑖1 < 𝑖2
𝑗
𝑧2 = min{ 𝑧(𝑖1, 𝑖2) ∀𝑖1, 𝑖2: 𝑖1 ≠ 𝑖2}
Teniendo ya dos soluciones, debemos ver el criterio de parada.
Si 𝑧1 ≤ 𝑧2 → 𝐹𝐼𝑁 en caso contrario, resolver para p=3.
𝑧(𝑖1, 𝑖2, 𝑖3) = ∑ min{𝑐𝑖1,𝑗 , 𝑐𝑖2,𝑗 , 𝑐𝑖3𝑗 } + 3 ∗ 63 , 𝑖1 < 𝑖2, < 𝑖3
𝑗
𝑧3 = min{ 𝑧(𝑖1, 𝑖2, 𝑖3) ∀𝑖1, 𝑖2, 𝑖3: 𝑖1 ≠ 𝑖2 ≠ 𝑖3}
Realizar criterio de parada y según corresponda resolver para p=4, así sucesivamente.
c) [20] Utilice la heurística diseñada y resuelva el problema. Explique claramente las iteraciones
realizadas y las decisiones involucradas en cada una de ellas.
Para p=1:
i
∑𝒋 𝒄𝒊𝒋 + 𝟔𝟑
A
143
B
C
129
129
D
127
E
133
F
153
En donde 𝑧1 = 127 instalando en D
Para p=2:
4
∑𝒋 𝒎𝒊𝒏{𝒄𝒊𝟏𝒋 ; 𝒄𝒊𝟐𝒋 } + 𝟐 × 𝟔𝟑
A
i2
B
A
C
164
A
D
176
A
E
A
F
166
168
B
C
161
B
D
174
B
E
163
B
F
165
C
D
163
C
E
175
C
F
179
D
E
165
D
F
165
E
F
183
i1
184
En donde 𝑧2 = 161 instalando en B y C
Y dado que 𝑧1 < 𝑧2 la solución es instalar solo una fábrica en D. a un costo de 127.
d) [40] Formule un modelo que minimice al mismo tiempo, el costo de transporte entre las fábricas
instaladas, asumiendo que se realiza un ciclo de abastecimiento de insumos entre ellas. Considere
además, que cada fábrica tiene una capacidad máxima Ki. (defina variables, identifique
parámetros, desarrolle la formulación matemática y explique sus elementos).
Al modelo planteado en a se le debe agregar la siguiente variable:
𝑉𝑖𝑗 = {
1 𝑠𝑖 𝑠𝑒 𝑎𝑏𝑎𝑠𝑡𝑒𝑐𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑎𝑏𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑗 𝑑𝑒𝑠𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑎𝑏𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑖
0
~
También se debe agregar las siguientes restricciones:
“no es posible sobrepasar la capacidad de las fabricas”
∑ ℎ𝑗 𝑌𝑖𝑗 ≤ 𝐾𝑖 ∀𝑖
𝑗
“de una fábrica i (si esta fue localizada) se debe abastecer a una fábrica j”
∑ 𝑉𝑖𝑗 = 𝑋𝑖 ∀𝑖
𝑗:𝑗≠𝑖
5
“una fábrica i (si esta fue localizada) debe ser abastecida por una alguna fábrica j”
∑ 𝑉𝑗𝑖 = 𝑋𝑖 ∀𝑖
𝑗:𝑗≠𝑖
“conservación de flujo (no es necesaria)”
∑ 𝑉𝑗𝑖 − ∑ 𝑉𝑖𝑘 = 0 ∀𝑖
𝑗:𝑗≠𝑖
𝑘:𝑘≠𝑖
Por ultimo a la función objetivo se le debe sumar el costo de transporte entre las fábricas.
min ∑ 63𝑋𝑖 + ∑ 𝐶𝑖𝑗 𝑌𝑖𝑗 + ∑ 𝑐𝑖𝑗 𝑉𝑖𝑗
𝑖
e)
𝑖,𝑗
𝑖𝑗
[40] Adapte una de las heurísticas vistas en clase (NO AVARA) para el problema planteado en d).
Justifique porqué seleccionó ese tipo de heurística y explique CLARAMENTE las etapas del
algoritmo.
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Pregunta # 2: Problemas sobre una red. [150 Ptos.]
a) [20] Plantee un modelo programación lineal entera que permita que todas las concentraciones de
población estén dentro de una distancia de igual a 17 Km. de una oficina de correos, localizando el
mínimo número de oficinas. Muestre claramente la matriz de coeficientes de restricciones.
min ∑ 𝑋𝑖
𝑖
s.a.
∑ 𝑋𝑖 ≥ 1 ∀𝑗
𝑖∈𝑁𝑗
0 ≤ 𝑋𝑖 ≤ 1 ∀𝑖
Dónde:
𝑁𝑗 = {𝑖 /𝑑𝑖𝑗 ≤ 17}
Escrito de forma ampliada:
s.a.
min 𝑋𝐴 + 𝑋𝐵 + 𝑋𝐶 + 𝑋𝐷 + 𝑋𝐸 + 𝑋𝐹 + 𝑋𝐺 + 𝑋𝐻 + 𝑋𝐼
1 1
1 1
1
1
(
1
1
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
1
𝑋𝐴
𝑋𝐵
1
𝑋𝐶
𝑋𝐷
× 𝑋𝐸 ≥ 1
𝑋𝐹
1
𝑋𝐺
𝑋𝐻
1
)
( 𝑋𝐼 )
1
0 ≤ 𝑋𝑖 ≤ 1 ∀𝑖
b) [10] Explique si pueden reducirse las filas y columnas, cuáles y porqué.


No es posible reducir por filas, ya que ninguna fila es completamente cubierta por otra.
No es posible una reducción por columnas, ya ninguna columna es completamente cubierta
por otra.
c) [10] Diga si existen oficinas que estén obligadamente en la solución y porqué
Obligatoriamente deben estar en la solución los nodos C, D y E, ya que sólo es posible abastecer a los
C, D y E si se localiza en ellos mismo.
d) [20] Resuelva el problema ya reducido, indicando el valor del objetivo y la localización de las
oficinas
7
Se debe localizar un mínimo de 5 servidores siendo estos C, D, E, H e I.
e) [20] Suponga un vector de concentraciones de población para los nodos [A, B, C, D, E, F, G, H e
I] está dado por [15, 25, 12, 28, 40, 32, 18, 20 y 17] respectivamente, formule un modelo que
permita localizar dos oficinas de correos maximizando la población cubierta en un radio de
cobertura de 21 KM.
max ∑ ℎ𝑗 𝑌𝑗
𝑗
s.a.
∑ 𝑋𝑖 ≥ 𝑌𝑗 ∀𝑗
𝑖∈𝑁𝑗
∑ 𝑋𝑖 = 2
𝑖
𝑋𝑖 , 𝑌𝑗 ∈ {0,1}∀𝑖, 𝑗
Dónde:
𝑁𝑗 = {𝑖 /𝑑𝑖𝑗 ≤ 21}
Escrito de forma ampliada:
max 15𝑌𝐴 + 25𝑌𝐵 + 12𝑌𝐶 + 28𝑌𝐷 + 40𝑌𝐸 + 32𝑌𝐹 + 18𝑌𝐺 + 20𝑌𝐻 + 17𝑌𝐼
s.a.
𝑋𝐴
𝑌𝐴
1 1
1
𝑋𝐵
𝑌𝐵
1 1
1 1
𝑋
𝑌𝐶
1 1
𝐶
𝑋𝐷
𝑌𝐷
1 1 1
1
𝑋
𝑌𝐸
×
≥
1 1
𝐸
𝑋𝐹
𝑌𝐹
1 1 1 1
𝑋
𝑌
1 1 1
𝐺
𝐺
𝑋𝐻
𝑌𝐻
1 1
1 1 1 1
(
1
1
1
1 1) ( 𝑋𝐼 ) ( 𝑌𝐼 )
∑ 𝑋𝑖 = 2
𝑖
𝑋𝑖 , 𝑌𝑗 ∈ {0,1}∀𝑖, 𝑗
f) [10] Explique si pueden reducirse las filas y/o columnas, cuáles y porqué.


Reducción por fila no es posible ya que es un maximal covering.
Reducción por columnas:
𝑋𝐶 , 𝑋𝐸 = 0, ya que al localizar en D se cubre lo mismo o más.
𝑋𝐴 , 𝑋𝐵 , 𝑋𝐹 , 𝑋𝐺 = 0, ya que al localizar en H se cubre lo mismo o más.
8
g) [20] Resuelva el problema ya reducido, indicando el valor del objetivo y la localización de las
oficinas
Se debe localizar en D y H logrando satisfacer toda la demanda.
h) [20] Formule un problema que permita minimizar la distancia que caminan en promedio las
personas instalando dos oficinas de correos, considerando que la capacidad máxima de cada oficina
es de 60 personas.
min ∑ ℎ𝑖 𝑑𝑖𝑗 𝑋𝑖𝑗
(𝑖,𝑗)∈𝐴
s.a.
∑ 𝑌𝑗 = 2
𝑗
∑ ℎ𝑖 𝑋𝑖𝑗 ≤ 60𝑌𝑗 ∀𝑗
(𝑖,𝑗)∈𝐴
∑ 𝑋𝑖𝑗 = 1 ∀𝑖
(𝑖,𝑗)∈𝐴
Dónde:
𝑌𝑗 = {
1
𝑋𝑖𝑗 = {
0
1 𝑠𝑖 𝑠𝑒 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑙𝑎 𝑜𝑓𝑖𝑐𝑖𝑛𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑛𝑜𝑑𝑜 𝑖
0
~
𝑠𝑖 𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑏𝑟𝑒 𝑎 𝑙𝑜𝑠 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑖 𝑑𝑒𝑠𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑜𝑓𝑖𝑐𝑖𝑛𝑎 𝑒𝑛 𝑗
~
𝑑𝑖𝑗 : 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑑𝑒 𝑖 𝑎 𝑗
ℎ𝑖 : 𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑛𝑜𝑑𝑜 𝑖
i) [20] Formule un problema que permita minimizar la máxima distancia que caminan las personas,
maximizando la cantidad de personas cubiertas en un radio de 21 Km, si se dispone de
presupuesto para instalar dos oficinas de correos, cada una con capacidad máxima de 60 personas
min 𝜔 − ∑ ℎ𝑖 𝑌𝑖
𝑖
s.a.
𝜔 ≥ 𝑑𝑖𝑗 𝑋𝑖𝑗 ∀(𝑖, 𝑗) ∈ 𝐴
∑ ℎ𝑖 𝑋𝑖𝑗 ≤ 60𝐼𝑗 ∀𝑗
(𝑖,𝑗)∈𝐴
∑ 𝐼𝑗 = 2
𝑗
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∑ 𝐼𝑗 ≥ 𝑌𝑖 ∀𝑖
𝑗∈𝑁𝑖
∑ 𝑋𝑖𝑗 ≥ 𝑌𝑖 ∀𝑖
(𝑖,𝑗)∈𝐴
Dónde:
𝑤: 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎
1
𝑌𝑖 = {
0
1
𝑋𝑖𝑗 = {
0
𝑠𝑖 𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑏𝑟𝑒 𝑒𝑙 𝑛𝑜𝑑𝑜 𝑖
~
𝑠𝑖 𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑏𝑟𝑒 𝑎 𝑙𝑜𝑠 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑖 𝑑𝑒𝑠𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑜𝑓𝑖𝑐𝑖𝑛𝑎 𝑒𝑛 𝑗
~
1
𝐼𝑗 = {
0
𝑠𝑖 𝑠𝑒 𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑛𝑜𝑜𝑑 𝑗 𝑗
~
𝑑𝑖𝑗 : 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑑𝑒 𝑖 𝑎 𝑗
ℎ𝑖 : 𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑛𝑜𝑑𝑜 𝑖
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