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PREMIOS PROYECTOS FIN DE CARRERA “CÁTEDRA TELEFÓNICA” 2009
Estudio y Desarrollo de un Método de los
Momentos Volumétrico para Análisis de
Cuerpos de Geometría y Composición Arbitraria
Cebrián García González, [email protected]
Resumen — El método de los momentos volumétrico es una
técnica matemática que permite resolver problemas
electromagnéticos complejos con la ayuda de un ordenador. La
utilización de una formulación volumétrica permite el cálculo del
campo eléctrico en el interior de objetos dieléctricos (por ejemplo
tejidos biológicos) expuestos a una fuente de radiación
electromagnética. Se puede utilizar, por tanto, como una
herramienta no invasiva para determinar niveles de campo
eléctrico, S.A.R. u otros parámetros electromagnéticos en el
interior de tejidos biológicos u otros objetos dieléctricos.
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I. INTRODUCCIÓN
L estudio de cómo la radiación electromagnética afecta
a las personas es un tema recurrente en la actualidad
debido al auge tan importante producido en las tecnologías
inalámbricas.
La expansión de las comunicaciones móviles, la
proliferación de redes inalámbricas (Wifi, bluetooth, …) así
como el uso de identificación por radiofrecuencia (RFID)
entre otros, generan la necesidad de buscar métodos que
permitan cuantificar el efecto de la radiación electromagnética
en tejidos biológicos.
Por todo ello en los últimos años se han realizado muchos
estudios de laboratorio para tratar de analizar este problema.
Con tal fin se pueden utilizar métodos de observación directa
y medidas para intentar cuantificar dichos efectos, pero
requieren de técnicas muy complejas que, si bien permiten
obtener datos muy fiables, su utilidad es limitada.
Existen también métodos teóricos que permiten realizar
estimaciones del campo en el interior de objetos dieléctricos.
Estos métodos están basados en principios electromagnéticos
y modelos equivalentes del problema bajo estudio, y permiten
simular el campo eléctrico en el interior de los objetos
dieléctricos expuestos a una onda electromagnética. No
obstante, siempre es importante poder validar los resultados de
los métodos teóricos con algún método de observación que
permitan comparar las estimaciones con medidas reales en
algún problema sencillo.
En el presente trabajo se ha revisado la técnica numérica
denominada Método de los Momentos volumétrico, dadas sus
potenciales aplicaciones para el estudio del campo en el
interior de cuerpos dieléctricos, y por tanto, tejidos biológicos.
II. MÉTODO DE LOS MOMENTOS VOLUMÉTRICO
En 1974 Livesay y Chen desarrollan un nuevo método al
que llamaron tensor de la ecuación integral de campo
eléctrico. Este método se basa en el principio de equivalencia
volumétrico que permite reemplazar el problema original (una
onda electromagnética incidiendo sobre un objeto dieléctrico)
por otro equivalente más sencillo de resolver.
El problema electromagnético equivalente se resuelve
partiendo de las Ecuaciones de Maxwell (en las cuales se
basan todos los problemas electromagnéticos), obteniéndose
una expresión matemática en la cual la incógnita es el campo
eléctrico en el interior del cuerpo dieléctrico.
Para poder resolver dicha expresión matemática con un
ordenador se utiliza la técnica del Método de los Momentos
volumétrico. De esta manera se obtiene un conjunto de
ecuaciones discretas (que se pueden resolver con un
ordenador) a partir de una ecuación continua. Dicho paso
requiere la división del cuerpo original en dominios
suficientemente pequeños (en este caso cubitos) tal que se
pueden considerar constantes la composición y el campo
eléctrico en su interior. Además, se fuerza el cumplimiento de
la ecuación continua en los centros de los cubitos.
De esta forma se obtiene un sistema lineal de ecuaciones
que se puede resolver con ayuda del ordenador, obteniéndose
como resultado el campo eléctrico en el centro de cada cubito.
Cuando se analizan problemas grandes (varios cientos de
miles de ecuaciones), la resolución del sistema lineal de
ecuaciones requiere un tiempo elevado de computación así
como un gran consumo de memoria, siendo necesario el
empleo de técnicas de aceleración computacional que
permitan reducir el tiempo de ejecución y consumo de
memoria. En este trabajo se ha desarrollado el CG-FFT
(Gradiente Conjugado – Transformada Rápida de Fourier)
como técnica de aceleración computacional. El Gradiente
Conjugado permite resolver de forma iterativa el sistema de
ecuaciones, mientras que la utilización de la FFT minimiza el
consumo de memoria y reduce el tiempo de cálculo.
Una vez calculado el campo eléctrico se pueden determinar
las corrientes eléctricas equivalentes inducidas en el
dieléctrico. Dichas corrientes se pueden utilizar tanto para
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evaluar cómo el campo eléctrico se distorsiona alrededor del
objeto, como para calcular la energía disipada en el interior
del dieléctrico.
III. APLICACIONES
El Método de los Momentos volumétrico se puede utilizar
para calcular el campo eléctrico dispersado por un objeto y,
por tanto, para analizar cómo afecta la presencia de dicho
objeto a la distribución de los campos electromagnéticos,
teniendo como aplicación el estudio de la distorsión del campo
electromagnético radiado por una antena en presencia de
objetos.
Pero tal vez el mayor potencial de la técnica del tensor de la
ecuación integral es la capacidad para calcular el campo en el
interior de objetos dieléctricos. Una aplicación directa de esta
técnica es el estudio del nivel de energía electromagnética
absorbida por tejidos biológicos expuestos a un campo
electromagnético. Este parámetro se denomina SAR (Specific
energy Absorption Rate, expresada en W/kg) e indica la tasa
en que los tejidos biológicos absorben energía
electromagnética, estando su uso bastante extendido para
frecuencias superiores a los 100 kHz.
El empleo del Método de los Momentos volumétrico para el
estudio de la SAR tiene como ventaja el hecho de que permite
realizar estudios no invasivos. Además, al poder realizar
cambios en los parámetros de la simulación de manera rápida
y simple, permite un análisis más rápido y completo que en el
caso del empleo de técnicas invasivas (medidas). El problema
es que se necesitan modelos teóricos de objetos detallados que
son difíciles de crear y desarrollar.
Como ejemplos de aplicación, se muestran un par de casos
de estudio en los que se determina el nivel de SAR en
modelos sencillos.
En el primer caso (Fig. 1), se estudia la distribución de la
SAR en un modelo muy simplificado de un cuerpo humano
(dimensiones 172 x 60 x 20 cm) con unas características
dieléctricas homogéneas de εr = 80 y σ = 0.84 [S/m]. Se hace
incidir sobre el modelo una onda plana electromagnética a 80
MHz que se propaga en dirección – z, con un campo eléctrico
polarizado según x, y con una amplitud de 1 V/m. Para poder
apreciar la distribución de la SAR en el interior del cuerpo se
ha suprimido un cuarto del cuerpo en la representación.
El segundo ejemplo (Fig. 2) consiste en el estudio de la
distribución de la SAR en un modelo simplificado de una
cabeza con unas características homogéneas de σ = 1.03
[S/m], εr = 49.6 y ρ = 1040 [kg/m3] (muy similares a las del
cerebelo humano). El modelo se ilumina con una onda plana
electromagnética que se propaga en dirección x, con una
polarización y del campo eléctrico, y una amplitud de 1 V/m a
900 MHz (frecuencia correspondiente a la banda de telefonía
móvil GSM). Al igual que en el caso anterior, no se muestra
un cuadrante de la cabeza para una mejor representación.
IV. FUTURO
El desarrollo de nuevas tecnologías basadas en
radiofrecuencia, así como el incremento de las aplicaciones
para
comunicaciones
móviles,
identificación
por
radiofrecuencia, extensión de redes wifi y bluetooth, entre
otros, está motivando la mejora de los métodos de análisis
electromagnético existentes, así como el desarrollo de nuevas
técnicas que permitan satisfacer los requerimientos de
precisión y exactitud en el cálculo de parámetros
radioeléctricos que han de satisfacer las nuevas tecnologías de
radiofrecuencia.
Fig. 1 - Distribución de la SAR en el modelo simplificado de
cuerpo humano expuesto a una onda plana electromagnética.
Fig. 2 – Distribución de la SAR en un modelo simplificado de
una cabeza expuesta a una onda plana electromagnética.
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