ecuaciones de maxwell - Universidad Técnica de Machala

Universidad técnica de Machala
Facultad de ciencias químicas y de la salud
Carrera de bioquímica y farmacia
Nombre: Luis Correa Correa
Fecha: 17/01/14
Docente: Freddy Alberto Pereira Guanuche
ECUACIONES DE MAXWELL
Las ecuaciones de Maxwell son un conjunto de cuatro ecuaciones (originalmente 20 ecuaciones)
que describen por completo los fenómenos electromagnéticos. La gran contribución de James
Clerk Maxwell fue reunir en estas ecuaciones largos años de resultados experimentales, debidos
a Coulomb, Gauss, Ampere, Faraday y otros, introduciendo los conceptos de campo y corriente de
desplazamiento, y unificando los campos eléctricos y magnéticos en un solo concepto: el campo
electromagnético.
DESARROLLO HISTÓRICO DE LAS ECUACIONES DE MAXWELL
Desde finales del siglo XVIII diversos científicos formularon leyes
cuantitativas que relacionaban las interacciones entre los campos
eléctricos, los campos magnéticos y las corrientes sobre conductores.
Entre estas leyes están la ley de Ampère, la ley de Faraday o la ley de
Lenz. Maxwell lograría unificar todas estas leyes en una descripción
coherente del campo electromagnético.
Maxwell se dio cuenta que la conservación de la carga eléctrica parecía
requerir introducir un término adicional en la ley de Ampère. De hecho,
actualmente se considera que uno de los aspectos más importantes del
trabajo de Maxwell en el electromagnetismo es el término que introdujo
en la ley de Ampère; la derivada temporal de un campo eléctrico, conocido como corriente de
desplazamiento. El trabajo que Maxwell publicó en 1865, A Dynamical Theory of the
Electromagnetic Field, modificaba la versión de la ley de Ampère con lo que se predecía la
existencia de ondas electromagnéticas propagándose, dependiendo del medio material, a la
velocidad de la luz en dicho medio. De esta forma Maxwell identificó la luz como una onda
electromagnética, unificando así la óptica con el electromagnetismo.2
Exceptuando la modificación a la ley de Ampère, ninguna de las otras ecuaciones era original. Lo
que hizo Maxwell fue re obtener dichas ecuaciones a partir de modelos mecánicos e
hidrodinámicos usando su modelo de vórtices de líneas de fuerza de Faraday.
En 1884, Oliver Heaviside junto con Willard Gibbs agrupó estas ecuaciones y las reformuló en la
notación vectorial actual. Sin embargo, es importante conocer que al hacer eso, Heaviside
usó derivadas parciales temporales, diferentes a las derivadas totales usadas por Maxwell, en la
ecuación (54). Ello provocó que se perdiera el término
que aparecía en la ecuación
posterior del trabajo de Maxwell (número 77). En la actualidad, este término se usa como
complementario a estas ecuaciones y se conoce como fuerza de Lorentz.
La historia es aún confusa, debido a que el término ecuaciones de Maxwell se usa también para un
conjunto de ocho ecuaciones en la publicación de Maxwell de 1865, A Dynamical Theory of
the Electromagnetic Field, y esta confusión se debe a que seis de las ocho ecuaciones son escritas
como tres ecuaciones para cada eje de coordenadas, así se puede uno confundir al encontrar
veinte ecuaciones con veinte incógnitas. Los dos tipos de ecuaciones son casi equivalentes, a
pesar del término eliminado por Heaviside en las actuales cuatro ecuaciones.
DETALLES DE LA ECUACIÓN
Conceptos previos
Antes de poder entender las ecuaciones de Maxwell es necesario entender los conceptos
matemáticos de divergencia y rotacional de un vector. Se explicará de forma intuitiva el significado
de los operadores diferenciales básicos, con el mínimo posible de expresiones matemáticas.
Operador nabla
Se define como:
Gradiente
Si se aplica este operador a un campo escalar, se obtiene un vector con módulo y dirección,
representado por una flecha en el espacio, según la siguiente expresión:
El vector representa cuánto varía el campo escalar respecto a cada uno de sus ejes. Si el campo
escalar es un potencial, entonces su gradiente será una fuerza.
Divergencia
El concepto se entiende a partir del teorema de la divergencia o teorema de Gauss. La divergencia
del vector φ representa el flujo neto que emerge por unidad de volumen de una superficie cerrada.
Pero ese volumen es infinitesimal. Debe haber un sumidero o una fuente de flujo para que entre
flujo o salga flujo de un volumen respectivamente; en el caso de que el flujo salga de una fuente se
representa con vectores saliendo del punto que las genera (div φ > 0) o vectores entrando hacia un
punto en el caso contrario (div φ < 0). Si en la unidad de volumen (imagínese una esfera) entra el
mismo flujo que sale, representándose por los vectores que pasan a través de dicho volumen,
entonces no existe nada dentro de ese volumen que provoque flujo en uno u otro sentido (div φ =
0).
Rotacional
El rotor se entiende a partir del teorema de Stokes. Del cual se infiere que el rotor tiene que ver con
el significado de torbellinos. El vector φ rota en torno a un punto, se producen circulaciones en
trayectorias cerradas del vector φ, en este caso el rot φ != 0. Rotor distinto de 0.
ECUACIONES DE MAXWELL
Las ecuaciones de Maxwell como ahora las conocemos son las cuatro citadas anteriormente y a
manera de resumen se pueden encontrar en la siguiente tabla:
Nombre
Forma diferencial
Forma integral
Ley de
Gauss:
Ley de
Gauss para
el campo
magnético:
Ley de
Faraday:
Ley de
Ampère
generalizad
a:
Estas cuatro ecuaciones junto con la fuerza de Lorentz son las que explican cualquier tipo de
fenómeno electromagnético. Una fortaleza de las ecuaciones de Maxwell es que permanecen
invariantes en cualquier sistema de unidades, salvo de pequeñas excepciones, y que son
compatibles con la relatividad especial y general. Además Maxwell descubrió que la
cantidad
era simplemente la velocidad de la luz en el vacío, por lo que la luz es una
forma de radiación electromagnética. Los valores aceptados actualmente para la velocidad de la
luz, la permisividad y la permeabilidad magnética se resumen en la siguiente tabla:
Símbolo
Nombre
Valor numérico
Unidad de medida
SI
Tipo
Velocidad de la luz en el
vacío
metros por segundo
definido
Permitividad
faradios por metro
derivado
Permeabilidad magnética
henrios por metro
Definido