Trigonometría Teorema del seno y coseno PROBLEMA 1.

Teorema del seno y coseno
PROBLEMA 1.- Deducir la ley de los senos.
Solución: Consideremos el triángulo de la figura 14-20. Dibujando la perpendicular
(llamémosla H) desde el vértice del ángulo d al lado que une los vértices a y b,
formamos dos triángulos rectángulos. Vemos que sen a = H/ B, o sea que H = B
sen a y sen b = H/ A, es decir, H = A sen b. Igualando las dos expresiones de H,
tendremos que B sen a = A sen b, o sea que (sen a)/ A = (sen b)/ B. De la misma
manera podemos demostrar que (sen d)/D = (sen a)/ A.
D
Figura 14-20
PROBLEMA 2.-
Figura 14-21
DEDUCIR LA LEY DE LOS COSENOS.
Solución: Veamos el triángulo de la figura 14-21. Trazando la perpendicular
(llamémosla H) desde el vértice del ángulo d hasta la recta que une los vértices a y
b, formamos dos triángulos rectángulos. De nuevo, (sen a) = H/B, es decir, H2 =
B2sen2a. Por la identidad sen2 a + cos2 a = 1, tendremos que H2 = B2(1 — cos2 a).
Del triángulo rectángulo cdb, tenemos que H2 = A2 — (D — B cos a)2. Igualando los
dos lados derechos de las expresiones anteriores, tendremos y,
A2 - (D – B cos a)2 = B2 (1 - cos2 a)
2
A - D2 4- 2BD cos a - B2cos2 a = B2 - B2cos2 a
Simplificando esta expresión,
A2 = B2 + D2 – 2 BD cos a
Que es una de las formas de la ley de los cosenos.
LA LEY DE LOS SENOS SE APLICA:
1. Dados un lado y dos ángulos.
2. Dados un ángulo, el lado opuesto y cualquiera de los otros dos lados.
A =
Sena
B =
Senb
D =
Send
LA LEY DE LOS COSENOS SE APLICA:
1. Dados dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.
2. Conocidos los tres lados
1
A  B2  C 2  2BCCosa
B  A2  C 2  2 ACCosb
D  A2  B2  2 ABCosd
PROBLEMA 3.- Un árbol crece en el punto medio de una autopista recta. Desde un
borde de ésta, el ángulo de elevación de la copa del árbol es de 10° y desde el otro
borde es de 8o. La autopista tiene 300 metros de ancho, ¿cuál es la altura del árbol
y a qué distancia está de los bordes de la calzada?
300
x

sen 162º
sen 10º
x
300 sen 10º
 168,6 m
sen 162º
Solución: Dibujamos
un diagrama que ilustre la situación. Hacemos que x sea el lado del triángulo
opuesto al ángulo de 10° (ver figura 14-22). El tercer ángulo es (180 - 10 - 8)° =
162° Entonces, por la ley de los senos, Sea d la distancia del borde de la vía donde
está el ángulo de 8º a la copa del árbol. Luego d=168,6 = cos 8º, es decir, d =
168,6 cos 8º = 166,9 m cuando h es la altura del árbol. Por el mismo triángulo
rectángulo, h/ 168,6 = sen 8º, luego la altura del árbol es h = 168,6 sen 8º = 23,5
m. La distancia del árbol al otro borde es 300— 166,9 = 133,1 metros.
Figura 14-22
PROBLEMA 4.- El asta de una bandera está colocada verticalmente en el tope de
un edificio. Una persona está ubicada a 400 pies de la base del edificio. Desde su
punto de vista, el ángulo de elevación a la base del asta es de 60° y al extremo de
la misma es de 62,5º. Calcular la altura del asta.
Solución: Construimos un diagrama de la situación (ver figura 14-23). Sea h la
altura del asta y b la altura del edificio. Podemos ver que tan 60° = b/400 y tan
62,5° = (b + h)/400. Por la primera ecuación, b = 400 tan 60° = 692,8 pies. Por la
segunda ecuación 692,8 + h = 400 tan 62,5° o 692,8 + 768,4 y h = 75,6 pies.
Hubiéramos podido resolver el problema sin necesidad de aplicar la ley de los senos
o la de los cosenos.
2
PROBLEMA 5.- Una valla forma un ángulo de 80° con el piso y está sostenida por
una viga de 15 metros de longitud. La viga va desde el borde de la valla hasta el
piso formando un ángulo de 53° con éste. Calcular la distancia que hay entre la
base de la valla y la base de la viga.
Solución: Debemos obtener x en el triángulo de la figura 14-25. Como la suma de
los ángulos del triángulo es de 180°, el tercer ángulo será (180 - 80 - 53)° = 47°.
Por la ley de los senos,
Figura 14-25
Figura 14-26
PROBLEMA 6.- El pueblo A está a 10 km al norte del pueblo B y el pueblo C está a
15 km al sureste del pueblo B. ¿Cuál es la distancia que hay entre el pueblo A y el
pueblo C?
Solución: Como el pueblo C está al sureste del pueblo B, el ángulo formado con la
línea norte-sur por la recta que une a B con C, es de 135° (ver figura 14-26). Por la
ley de los cosenos,
d2 = 102 + 152 - 2(10)(15)cos 135° = 537,13
Entonces, d = 537,13 .= 23,2 km.
PROBLEMA 7.- Una mujer sostiene el extremo de una cuerda que pasa por un
polea y tiene un peso atado en el otro extremo. El trozo de cuerda entre la mujer y
la polea mide 20 metros y el trozo 'entre la polea y el peso es de 10 metros. La
cuerda tiene en la polea un ángulo de 32°. ¿A qué distancia está la mujer del peso?
Solución: Debemos calcular la longitud del lado x del triángulo de la figura 14-27.
Por la ley de los cosenos,
x2 = 102 + 202 - 2(10)(20)cos 32° = 160,78
Entonces, x = 160,78  12,7 metros
3
PROBLEMA 8.- Un niño sostiene dos globos. El ángulo de elevación del globo que
tiene en la mano derecha es de 20° y la cuerda mide 60 metros. El ángulo de
elevación del globo que sostiene en la mano izquierda es de 26° y la cuerda mide
75 metros. ¿Cuál es la distancia que hay entre los dos globos
Figura 14-28
Solución: El ángulo entre las cuerdas es(180 — 26 - 20)° = 134° (ver figura 1428). Por. la ley de los cosenos
d2 = 752 + 602-2(75)(60)cos 134°= 15476,925
Entonces, d = 124,4 metros
PROBLEMA 9.-
Hallar el valor del lado A en la figura 14-29.
Solución: El tercer ángulo es (180-20- 10)° = 150°.
Por la ley de los senos, A — 8 sen 10º/ sen 150º = 2,8.
Figura 14-29
PROBLEMA 10. Hallar el lado A en la figura 14-31.
Solución: Aplicando la ley de cosenos:
4
A2 = 32 + 72 - 2(3) (7) cos 40° = 25,826
A = 5,1
Figura 14-31
PROBLEMA 11.- Dos aviones parten de San Francisco al mismo tiempo, uno con
rumbo de 30° (ángulo medido en el sentido negativo desde el norte hasta la
trayectoria del avión) y velocidad de 300 millas por hora y el otro con rumbo de
130° a razón de 400 millas por hora. ¿A qué distancia estarán los aviones al cabo
de tres horas?
Solución: Empleando los valores de los rumbos de los aviones, observamos que el
ángulo formado por sus trayectorias es de 100° (ver figura 14-32). Como han
estado volando durante 3 horas, las distancias de los aviones a la ciudad de San
Francisco son 3(300) = 900 millas y 3(400) = 1200 millas, respectivamente.
Aplicando la ley de los cosenos:
d2 = 9002 + 12002 - 2(900)( 1200) cos 100° = 2625080,1
d = 1620,2 millas
PROBLEMA 12.-Una mujer está manejando rumbo al norte por una autopista recta
en el centro del estado de Colorado. Mira por la ventanilla izquierda de su carro y ve
a Long's Peak. El ángulo entre el norte y kbng's Peak es de 15°>Después de viajar
otras 12 millas, mira de nuevo por la ventanilla y ve aún a Long's Peak; el ángulo
entre el norte y Long's Peak es ahora de 30°. ¿A qué distancia estaba Long's Peak
de la mujer cuando ella miró por la ventanilla la primera vez?
Solución: Por el triángulo de la figura 14-33, nos damos cuenta que el ángulo
interior del triángulo cuando miró por segunda vez es de 150°. El tercer ángulo del
triángulo es (180 — 150 — 15)° = 15°. Por la ley de los senos,
d
12

sen 150º
sen 15º
5
d 
12 sen 150º
= 23,2 millas
sen 15º
PROBLEMA 13.- Dos observadores están mirando al globo de la Goodyear cuando
pasa arriba de ellos. Los observadores están a una distancia de 1,2 millas entre sí.
La distancia desde el primer observador hasta el globo es de 0,6 millas; la distancia
del segundo observador hasta el globo es de 0,7 millas. Calcular la altura del globo
y los ángulos de elevación de las miras de los observadores respecto al globo.
Solución: La situación se ilustra en la figura 14-39. Por la ley de los cosenos:
0,72 = 0,62 +
1,22 - 2(0,6)(1,2) cos a 0,9097
Cos a = 0.9097
A = cos -1 0,9097 = 24,5º
0,62 = 0,72 – 2 (0,7) (1,2) cos b
Figura 14-39
cos b = 0,9345
b = cos -1 0,9345 = 20,9º
Para calcular la altura, aplicamos la ley de los senos:
Sen 24,5º =
h
0,6
h = 0,6 sen
h = 0,6 sen 24,5° = 0,25 millas o 5280(0,25) = 1320 pies
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS
PROBLEMA 14-28. Cleveland está a 390 millas de Evansville. En Evansville el
ángulo medido en sentido negativo entre el norte y la recta que va de Cleveland a
Evansville es de 51°. Lex-ington está a 280 millas, rumbo este, de Evansville. ¿Cuál
es la distancia que hay entre Lexington y Cleveland?
PROBLEMA 14-29. Un bote zarpa de la orilla de un lago a una velocidad de 20 km
por hora y viaja durante 1 hora. Al cabo de la hora, el bote vira 10° en sentido
positivo y continúa a la misma velocidad durante 15 minutos antes de detenerse.
¿Cuál es la distancia entre la posición inicial y la final del bote?
PROBLEMA 14-30. Un turista en vacaciones observa que el ángulo desde su
cabaña hasta el pico de una montaña es de 18°. Sale de la cabaña y camina 2000
pies hacia la montaña por un sendero que tiene 10° de inclinación y observa que la
elevación del pico de la montaña es ahora de 31°. ¿Cuál es la distancia entre la
cabaña y el pico de la montaña?
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PROBLEMA 14-31. Dos ángulos de un triángulo miden 58°46' y 57°18'. El lado
mayor mide 93,63 metros; calcular la longitud del lado menor.
PROBLEMA 14-32. Una diagonal de un paralelogramo forma ángulos de 28°19' y
32°41' con los lados. La diagonal mide 84,56 cm. ¿Cuál es la longitud de los lados?
En los problemas 14-33 a 14-37, suponga que el triángulo tiene ángulos a, b y d y
los lados son A, B y Z), respectivamente.
PROBLEMA 14-33
PROBLEMA 14-34
A = 60 metros, B = 70 metros, D = 90 metros; hallar d.
A = 634,9 centímetros, a = 37°47' y
d = 38°47'; hallar D.
PROBLEMA 14-35
a = 60°, A = 6 metros, B = 4 metros; resolver el triángulo.
PROBLEMA 14-36
a = 75°, 5 = 5 metros, D = 8 metros; resolver el triángulo.
PROBLEMA 14-37
A = 7 cm, 5 = 4 cm y D = 10 cm; resolver el triángulo.
PROBLEMA 14-38 Dos aviones parten del mismo aeropuerto. El primero vuela con
rumbo de 234°. El segundo con rumbo de 178°. Después de que el primer avión ha
volado 478 km, el rumbo respecto al aeropuerto es de 30° y respecto al segundo
avión es de 40°. ¿A qué distancia está el segundo avión del aeropuerto?
PROBLEMA 14-39 Una diagonal de un paralelogramo mide 50 cm y forma ángulos
de 35° y 18° con los lados en uno de sus extremos. Obtener las longitudes de los
lados.
PROBLEMA 14-40 Dos lados de un paralelogramo miden 9 y 13 pulgadas y su
ángulo incluido es de 72°. Calcular las longitudes de las diagonales.
PROBLEMA 14-41 Un hombre parado en la base de una colina de 17° de
pendiente mira hacia una torre en la cima de la colina. El ángulo de elevación desde
donde está parado hasta el tope de la torre es de 37°. En un punto situado a 1500
pies siguiendo la pendiente de la colina, el ángulo de elevación es de 50° al tope de
la torre. Calcular la distancia desde la base de la colina hasta el tope de la torre (ver
figura 14-45).
Figura 14-45
PROBLEMA 14-42 Los lados opuestos de un lago son los puntos A y B de la figura
14-46. Un hombre situado a un lado del lago hace las siguientes mediciones: la
distancia de A a C es de 100 yardas, el ángulo CAB es de 20° y el ángulo ACB es de
116°. Calcular la longitud del lago.
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Figura 14-46
PROBLEMA 14-43 Una mujer desea medir el ancho de un río. Ve un árbol
directamente enfrente en la otra orilla. Entonces camina 1200 pies en línea recta a
lo largo de su orilla hasta un punto en el cual el ángulo entre la orilla y el árbol es
de 40°. Calcular el ancho del río.
PROBLEMA 14-44 Un poste de 35 pies de altura forma un ángulo de 15° con la
vertical. ¿Cuál es la mínima longitud de una cuerda que vaya desde el extremo del
poste hasta el piso?
PROBLEMA 14-45
Obtener el área del campo triangular que forma ángulos de
112°20' y 47°30' con el lado incluido de 140 pies.
PROBLEMA 14-46
Hallar las longitudes de los lados de un paralelogramo cuyas
diagonales miden 40 y 70 cm y que tienen un ángulo incluido de 108°.
PROBLEMA 14-47 Dos aviones parten de un aeropuerto con una hora de
diferencia. Uno vuela hacia el noreste a razón de 500 millas por hora y el otro parte
directamente hacia el sur a una velocidad de 400 millas por hora. ¿Cuál es la
distancia que los separa después de que el primer avión ha viajado durante tres
horas?
PROBLEMA 14-48 ¿Cuántos triángulos se pueden obtener dado que A =4, B=10 y
a = 30º?
PROBLEMA 14-49 Resolver el triángulo oblicuángulo modelo con b = 134°, B =
526 y D = 481.
PROBLEMA 14-50 Resolver el triángulo oblicuángulo modelo con A = 9, B = 10 y d
= 60°.
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