FORMA PENDIENTE INTERSECCIÓN

FORMA PENDIENTE INTERSECCIÓN
y = mx + b
Ejemplo 1:
Hallar la ecuación de la recta cuya intersección con el eje y es (0, 1) y cuya pendiente es
3.Graficarla.
Respuesta:
La intersección con el eje y ocurre a la altura 1 y corresponde al término constante b.
Por lo tanto,
Reemplazando:
y = 3x + 1
Agrupando:
3x -y + 1 = 0
Ecuación pedida
La recta pasa por el punto (0, 1); además, dando un valor cualquiera a x, por ejemplo 1,
se obtiene otro punto:
(1, 4)
Ejemplo 2:
determinar la pendiente y la intersección con el eje y de la recta definida por 2x + 3y = 8
Solución:
Se despeja “y” para determinar la forma pendiente-intersección de la recta ( y = mx + b)
3y = - 2x + 8
y = - 2/3 x + 8/3
Por lo tanto: pendiente = - 2/3
intersección con eje x = 8/3
Forma segmentaria de la ecuación de la recta (Ecuación simétrica)
Así como a la ordenada al origen se le puede llamar b, a la abscisa al origen se le puede
llamar a. Si se plantea como problema encontrar la ecuación de una recta, conocidos a y
b (la abscisa y ordenada al origen), se conocen dos puntos de la recta los cuales son los
siguientes:
y
Con estos puntos se puede encontrar dicha ecuación, pero primero se debe calcular la
pendiente:
Después se sustituye en la ecuación y − y1 = m(x − x1), usando cualquiera de los dos
puntos, en este caso (a, 0):
Por último se tiene que dividir toda la ecuación entre el término independiente ab:
Se obtiene la ecuación de la recta en su forma simétrica. Esta ecuación se suele utilizar
para obtener la ecuación de una recta de la que se conocen sus intersecciones con los
ejes y cuando, a partir de la ecuación de una recta, se desean conocer los puntos donde
dicha recta intersecta a los ejes.
4.4.6. Ecuación general de la linea recta
La ecuación Ax + By +C = 0 donde A, B, C son números reales y A, B no son
simultáneamente nulos, se conoce como la ECUACIÓN GENERAL de primer grado en las
variables x e y.
La ecuación explícita de la recta cuando se conocen dos puntos excluye las rectas paralelas
al eje y, cuyas ecuaciones son de la forma x = constante, pero todas las rectas del plano,
sin excepción, quedan incluidas en la ecuación Ax + By + C = 0 que se conoce como: la
ecuación general de la linea recta, como lo afirma el siguiente teorema:
TEOREMA
La ecuación general de primer grado Ax + By + C = 0 (1) , A, B, C
simultáneamente nulos, representan una linea recta.
R; A y B no son
Demostración
i.
Se puede Considerar varios casos:
A = 0, B diferente de 0.
En este caso, la ecuación (1) se transforma en By + C = 0,0de donde
(2)
La ecuación (2) representa una linea recta paralela
al eje x y cuyo intercepto con el eje y es
(fig. 4.11)
fig. 4.11.
ii.
En este caso, la ecuación (1) se transforma en Ax + C = 0, de donde
(3)
La ecuación (3) representa una linea recta paralela al
eje y y cuyo intercepto con el eje x es
(fig. 4.12)
fig. 4.12.
En este caso, la ecuación (1) puede escribirse en la siguiente forma:
iii.
(4)
La ecuación (4) representa una linea recta, cuya
pendiente es
viene dado por
y cuyo intercepto con el eje y
(fig. 4.13)
fig. 4.13.
obeservaciones
i.
Es posible escribir la ecuación general de la linea recta en varias formas, de tal
manera que solo involucre dos constantes. Es decir, si A, B y C son todos distintos
de cero, podemos escribir la ecuación (1), en las siguientes formas equivalentes:
(1A)
(1B)
(1C)
En cada una de las ecuaciones (1A), (1B) y (1C) existe esencialmente solo dos
constantes independientes, por ejemplo
en (1A)
Esto indica que para determinar la ecuación de una recta en particular, necesitamos
conocer dos condiciones, como por ejemplo, dos puntos, un punto y la pendiente, en
concordancia con lo establecido en los numerales anteriores.
iii.
Cuando la ecuación de una recta esta expresada en la forma general
Ax + By + C = 0, su pendiente ó coeficiente angular con respecto al eje x, m
viene dado por
viene dado por
y su coeficiente angular n, con respecto al eje y
.
Los coeficientes A y B se denominan coeficientes directores de la recta.
Forma general a la forma simétrica
Claramente tanto "a" como "b" deben ser distintos de 0 (es decir, la recta no debe pasar por el
origen).
Ejm: transformar la ecuación
3x + 4y - 2 = 0
(ecuación general de la recta) a su forma simétrica.
Hallamos sus puntos de corte con los ejes.
CORTE CON X: hacemos y = 0 y resolvemos:
3x + 4(0) - 2 = 0
3x + 0 - 2 = 0
3x - 2 = 0
3x = 2
x = 2/3
Este será el valor de "a".
CORTE CON Y: hacemos x = 0 y resolvemos:
3(0) + 4y - 2 = 0
0 + 4y - 2 = 0
4y - 2 = 0
4y = 2
y = 2/4
y=½
Este es el valor de "b".
La ecuación simétrica de la recta indicada es entonces
.x . . . y
----- + ---- = 1
2/3 . . ½
3x . . 2y
---- + ---- = 1
.2 . . .1
(3/2)x + 2y = 1
Esta (o la anterior) es la ecuación simétrica buscada.
Forma normal de la ecuación de la recta
Esta es la forma normal de la recta:
Donde k que es una constante que nos ayudará a obtener la forma normal, la cual se
puede obtener de la forma general de la recta.
Sacando raiz cuadrada a la suma de los cuadrados de A y B . Como sigue:
Con el número k podemos obtener a cosω y a senω de la misma ecuación general de la
recta, dividiendo a A y B entre k y para calcular p dividimos a C entre k.
Debemos tener cuidado al calcular C, por que C=-kp, entonces si C>0 (es positiva)
tomaremos el valor negativo de k (y será el mismo todas las veces que usemos a k en la
misma ecuación), cuando C<0 (es negativa) usaremos el valor positivo de k.2
Distancia de un punto a una recta
Sean A un punto y D una recta.
Se define la distancia entre A y D como la distancia mínima entre A y un punto M de
D.

Para recta definida por su ecuación reducida
Obsérvese que
Demostración
Es fácil comprobar que este mínimo se realiza en el proyectado ortogonal de A sobre D,
es decir el punto A' de la recta (D) tal que (AA') sea perpendicular a ella. En efecto, si se
toma otro punto cualquiera B de (D), entonces en el triángulo rectángulo AA'B, la
hipotenusa AB es más larga que el cateto AA'. Geométricamente se construye el
proyectado A' deslizando una escuadra sobre una regla que sigue la recta D hasta
encontrar el punto A; luego se mide la longitud AA'.
Un objetivo más ambicioso es el de encontrar una manera de calcular esta distancia, es
decir sin pasar por una medición gráfica, forzosamente aproximativa. Para ello, es
aconsejable utilizar un sistema de coordenadas ortonormal en la figura. La
recta y el punto cuya distancia se quiere medir son definidos por su ecuación cartesiana
y sus coordenadas respectivamente:
;y
Si en la ecuación de la recta D variamos sólo el valor del parámetro "c" obtendremos
una familia de rectas paralelas. De manera que para determinar un vector perpendicular
podemos tomar c = 0. Así, los vectores sobre la recta tendrán la forma
, que puede simplificarse a
Busquemos un vector normal a
(es decir, perpendicular a la recta), que deberá cumplir
que el producto escalar
, y resulta ser
(de ahí el interés de la
ecuación cartesiana) y al dividirlo por su norma se obtiene el vector normado
que define una medida algebraica sobre la recta (M'M):
La distancia MM' es el valor absoluto de la medida algebraica:
Como M' pertenece a D, sus coordenadas verifican a·x' + b·y' = -c luego lo anterior se
simplifica así:
En conclusión: La distancia entre M y (D) es:
Esta fórmula es muy fácil de recordar: Se divide la expresión de la recta por la norma
del vector y se pone el valor absoluto porque una distancia es siempre positiva.

En el caso que la recta sea dada por el ángulo (θ) que hace con el eje de las abscisas y
su ordenada al origen (b), la fórmula se simplifica:
D: y = (tan θ) ·x + b se pone en forma cartesiana: (sin θ)·x - (cos θ)·y + b·cos θ = 0,
luego, sabiendo que el vector
es unitario:
Ejemplo: la primera diagonal del sistema de referencia corresponde a un ángulo
y b = 0. Como

, se obtiene:
En el caso de una recta definida por su ecuación reducida y = a·x + b; la ecuación
cartesiana es a·x - y + b = 0 y la distancia a ella es:
Ejemplo: Tomando a = 1 y b = 0, se obtiene de nuevo el resultado del ejemplo anterior.
Se calcula de la misma manera la distancia de un punto y un plano en el espacio
tridimensional: Si la ecuación del plano es
; y el
punto es
entonces:
Lo anterior se generaliza a los espacios de dimensión finita n, y la distancia entre un
punto y un hiperplano (subespacio de dimensión n-1), añadiendo cuantas variables
hagan falta.
Intersección de dos rectas
La intersección entre dos rectas representa la solución del sistema de ecuaciones que
conforman las fórmulas de esas rectas. Ej:
R1: 2x + 3y = 5
R2: 4x + 2y = 8
Existen dos maneras de resolver y encontrar el valor de ese punto solución. Una es de la
manera gráfica, que es graficando aquellas rectas. La otra es de la manera algebráica,
que tiene diversos métodos. Te digo el que más me acomoda a mí, por reducción.
En éste, lo que se busca es eliminar una de las incógnitas (x o y), para lo cual
amplificas:
R1: 2x + 3y = 5 /*2 => 4x + 6y = 10
R2: 4x + 2y = 8 /*(-1) =>-4x - 2y = - 8
----------------------4y = 2
y = 1/2
Uso el valor de y para encontrar el de x, reemplazando en cualquiera de las dos rectas:
R2: 4x + 2*(1/2) = 8
4x + 1 = 8
4x =7
x = 7/4
Entonces el punto de intersección de las dos rectas es (7/4;1/2) y es, a la vez, la solución
del sistema de ecuaciones dado.
Rectas paralelas
Dos rectas son paralelas si tienen el mismo vector director o la
misma pendiente.
Rectas perpendiculares
Si
dos
rectas
son
perpendiculares
tienen
sus
pendientes
inversas y cambiadas de signo.
Dos rectas son perpendiculares si sus vectores directores son
perpendiculares.
Hallar una recta paralela y otra perpendicular a r ≡ x + 2 y + 3 = 0,
que pasen por el punto A(3,5).
Calcula k para que las rectas r ≡ x + 2y - 3 = 0 y s ≡ x - ky + 4 =
0, sean paralelas y perpendiculares.
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