capítulo iii. marco teórico

CAPÍTULO III. MARCO TEÓRICO
En los diferentes contextos de la sociedad moderna, ya sea de la vida cotidiana,
profesional o académico, fluye información continua y diversa la cual
discriminamos y adquirimos según los intereses individuales o colectivos. En el
contexto de la vida cotidiana, una persona adquiere información respecto a un
asunto específico y puede comunicarlo de la misma manera que como se leen los
encabezados de los periódicos.
Adquirir información es usualmente entendido, como lograr poseer lo que se dice
de algo sin necesidad de tener que relacionarla con otra aparentemente ajena o
bien generalizarla para explicar situaciones nuevas de aquella de la cual dicha
información provino. Por ejemplo, si alguien dice que el producto interno bruto
para el próximo año se incrementará en un dos porciento, se entiende que la
persona posee información sobre asuntos económicos. No obstante puede no
significarle mucho más allá que lo que estrictamente se refiere el enunciado.
Particularmente en el estudio de las matemáticas en el contexto escolar, una
actitud frecuente en los estudiantes es intentar captar la mayor información
posible, que incluye los algoritmos a utilizar,
respecto al tema que está por
evaluarse. Parece ser que una gran cantidad de ellos conciben el aprendizaje
como sinónimo de posesión acumulada de información de uso inmediato. Pero se
sabe que ante la menor intención de someter a prueba su habilidad para usarla,
los estudiantes empiezan a tener dificultades.
Desde el punto de vista de la matemática educativa, es de interés conocer las
condiciones para que un sujeto vaya más allá del uso inmediato de la información
que posee respecto a algún objeto o tema específico, en otras palabras, que
resuelva problemas matemáticos.
Para fundamentar la presente investigación, en este capítulo se hace una revisión
de las aportaciones teóricas de Sierpinska (1994), en lo referente a la noción de
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actos de comprensión; así como de los elementos teóricos de Godino y Batanero
(1999), en lo que se refiere al significado personal y al significado institucional de
los objetos matemáticos.
3.1 Significado del término comprender
Para Díaz Godino (1994), el término comprensión debe utilizarse como un todo y
defiende la idea de que para analizar los fenómenos ligados a la comprensión de
las matemáticas, es preciso explicitar el significado de las matemáticas a
comprender y cómo lograr la comprensión. Dicho autor plantea de entrada las
siguientes preguntas fundamentales:
¿Cuál es la estructura del objeto a comprender? ¿Qué formas o modos posibles
de comprensión existen para dicho objeto? ¿Qué aspectos o componentes de los
conceptos matemáticos es posible y deseable que aprendan los estudiantes en un
momento y circunstancias dadas? ¿Cómo se desarrollan estas componentes?
En su modelización teórica sobre el significado de los objetos matemáticos,
resaltan dos dimensiones a considerar: el institucional y el personal. El significado
institucional se asume en concordancia con el carácter relativo a la institución
(niveles educativos) y supone el marco de referencia para los objetivos de
aprendizaje que se persiguen. Dichos significados se establecen en las currículas,
los libros de texto y materiales didácticos, que marcan un significado relativizado
para los objetos matemáticos a comprender.
Por otra parte, el significado personal es aquel que el alumno construye a partir
del proceso de estudio del objeto a comprender, particularmente en el marco de
las instituciones escolares mediado por el profesor.
Díaz G. J. y Batanero, C. (1994) distinguen cinco tipos de elementos que
constituyen el significado sistémico de un objeto matemático: extensivos,
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actuativos, ostensivos, intensivos, y validativos, los cuáles describen a
continuación:
o Elementos extensivos. Se refiere a los tipos de problemas a los cuales el
objeto matemático ofrece soluciones o campo de problemas asociados.
o Elementos actuativos. Son los modos de actuar ante situaciones o tareas
(procedimientos algoritmos, operaciones)
o Elementos ostensivos: Este tipo de elementos se refiere en general a todas
las representaciones que podemos usar para referirnos al concepto.
o Elementos intensivos: Las definiciones y propiedades características y sus
relaciones con otros conceptos.
o Elementos validativos: Se refieren a las demostraciones empleadas para
probar las propiedades del concepto y que llegan a formar parte de su
significado, y los argumentos que se emplean para mostrar a otras
personas la solución de los problemas.
Puesto que el significado construido por un alumno en particular, en un momento
del proceso de aprendizaje, puede no corresponder exactamente al significado del
objeto que la institución pretende que dicho alumno forme, la comprensión de un
sujeto respecto a un objeto matemático específico se interpreta en el grado de
correspondencia entre los significados personales y los significados institucionales
que el estudiante presenta en la resolución de problemas en las que dicho objeto
ofrece soluciones.
Por tanto, la anterior modelización teórica del significado nos dice que para
investigar en la comprensión de un sujeto con relación a un objeto matemático
específico, se debe partir de su significado institucional de referencia.
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3.2 Significado de la media aritmética
Con respecto al objeto matemático de interés, la media aritmética, Díaz G. J. y
Batanero, C. (2000), caracterizan su significado mencionando los elementos que
lo constituyen. Tales elementos se muestran a continuación:
o Elementos extensivos: Se refiere a los tipos de problemas a los cuales la
media responde. Por ejemplo: los que precisan de “representatividad”,
“reparto equitativo”, “estimación de una cantidad desconocida en presencia
de errores de medida”, de un conjunto de datos, o en la comparación de
dos conjuntos de datos en los cuales el alumno recurre a los valores
máximos o mínimos, sumas totales o la inspección visual de la distribución
global.
o Elementos Actuativos: Son los modos de actuar ante situaciones o tareas
(procedimientos algoritmos, operaciones). Por ejemplo: sumar un conjunto
de valores y dividirlo entre el número de sumandos, encontrar el valor más
frecuente en una tabla de frecuencias, o hallar el valor al que corresponde
la mitad del número total de datos. Uso de la media simple en lugar de la
media ponderada, usar adecuadamente el algoritmo para encontrar un valor
faltante, dado el total de datos y un valor medio.
o Elementos ostensivos: Este tipo de elementos se refiere en general a todas
las representaciones que podemos usar para referirnos al concepto. Como
por ejemplo, los términos de “media”, “promedio”, notaciones como, E(X),
∑x p
i
i
etc. Estos elementos ostensivos se pueden observar y manipular y
tienen una doble función: en primer lugar sirven para evocar los objetos
abstractos, por otro lado, se usan para operar con ellos (como
representantes de los correspondientes objetos matemáticos) y producir
resultados aplicables a dichos objetos.
o Elementos intensivos: Es la definición y propiedades características así
como su relación con otros conceptos. En el caso de la media aritmética
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son: La media es un valor comprendido entre los extremos de la
distribución; la media no tiene porque ser igual a uno de los valores de los
datos; el valor obtenido de la media de números enteros puede ser una
fracción, que puede no tener sentido para la variable considerada; hay que
tener en cuenta los valores nulos en el cálculo de la media y el valor medio
es representativo de los valores promediados.
o Elementos validativos: Se refieren a las demostraciones empleadas para
probar las propiedades del concepto que llegan a formar parte de su
significado y a los argumentos que se emplean para mostrar a otras
personas la solución de los problemas.
3.3 Actos de comprensión
Sierpinska, A. (1990) concibe la comprensión como un acto (acto de captar el
significado) y no como un proceso o manera de comprender. Pero un acto
involucrado en un proceso de interpretación, siendo esta interpretación un
desarrollo dialéctico entre cada vez más elaborados cuestionamientos y validación
de esos cuestionamientos, el proceso de comprensión empieza con un
cuestionamiento que después tratamos de justificar o validar. En el transcurso de
la validación el cuestionamiento puede ser mejorado, justificado o rechazado.
Señala que las cuatro categorías de actos de entendimiento consideradas
fundamentales son:
Identificar. Es reconocer un objeto entre otros objetos. El resultado de este acto es
que algunas cosas que parecían lejanas, de repente aparecen como el principal
objeto de la imagen.
Discriminar. Es diferenciar entre dos objetos. Este acto trae hacia nuestros
conocimientos la existencia de dos objetos distintos.
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Generalizar. Este acto permite darnos cuenta de la posibilidad de extender el
rango de aplicaciones; algunos supuestos pasan a ser irrelevantes y son
descubiertas nuevas posibilidades de interpretación.
Sintetizar. Percibir enlaces entre hechos apartados en un momento dado. Como
resultado de este acto, hechos, propiedades, relaciones, objetos, etc. son
organizados dentro de un todo consistente.
En el caso de la media aritmética, podemos señalar como ejemplos de actos de
comprensión los siguientes:
o Identificación de los valores nulos, como datos del conjunto a promediar.
Este acto permite darse cuenta de que los valores nulos no deben omitirse
en el cálculo de la media.
o Discriminación entre la media como un valor numérico y la media como un
recurso para interpretar situaciones. Este acto permite darse cuenta de que
la media como fracción puede ser que no tenga sentido respecto al
contexto de los datos.
o Generalización de la idea de media simple al de media ponderada. Este
acto permite extender el uso de la media a las situaciones en que se tienen
valores de datos a otras en las que los datos son medias de subconjuntos
de datos.
o Sintetizar diversas propiedades de la media para resolver un problema y la
forma en que expresamos esos resultados matemáticos dado el contexto
del problema. Este acto permite relacionar propiedades para argumentar la
solución dada a un problema.
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3.4 Detección de dificultades
Mucha de la investigación en Matemática Educativa, se interesa en explicar por
qué el alumno se equivoca cuando se le pide realizar ciertas tareas.
Tanto los profesores como los alumnos son conscientes de que a veces obtienen
respuestas erróneas o no son capaces de dar ninguna respuesta. La investigación
que trata esta problemática pretende identificar y caracterizar regularidades que se
presentan como puntos difíciles para el alumno y de interpretar los factores que
intervienen para ello.
Por ejemplo, imaginemos una respuesta típica como la siguiente:
−−−
“El promedio del conjunto de datos {3, 8, 5, 2, 0, 7} es: X =
3+5+8+ 2+ 7
= 5”
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Observamos que quien utilizó esa estrategia usa el algoritmo que conoce de la
media aritmética, aunque la respuesta no es satisfactoria. El error es un aspecto
que se “lee” del texto proporcionado y que no requiere de una búsqueda más allá
que su identificación dentro del texto mismo. El error cometido en este caso puede
ser expresado como “la omisión del valor cero en el cálculo de la media”
En el sentido anterior, los errores se interpretan a partir de
las respuestas
proporcionadas por los estudiantes como fallos observables y regulares.
De acuerdo a Nicola Abbagnano (1998), “En general se puede denominar error
todo juicio o valoración que contravenga el criterio que se reconoce como válido
en el campo al que se refiere el juicio, o bien a los límites de aplicabilidad del
criterio mismo”. Tomando esto como referencia, en la presente investigación
consideramos al error como: El fallo manifiesto y regular en las respuestas
proporcionadas por los estudiantes.
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Con respecto a las dificultades, asumimos que en el plano cognitivo es aquello
que no permite al estudiante la correspondencia adecuada, en términos de
significados personales e institucionales, para dar una respuesta correcta al
problema planteado.
Se asume en lo cognitivo los actos de comprensión anteriormente señalados,
como modelos descriptivos para caracterizar las dificultades a interpretar.
Dificultad para: Identificar, discriminar, generalizar y sintetizar.
En el ejemplo anteriormente expuesto interpretamos la dificultad para identificar el
valor nulo, como datos del conjunto a promediar.
Por tanto, para detectar dificultades se determinan los errores y se interpretan las
dificultades como factor de dichos errores en los términos de actos de
comprensión especificados.
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