unidad iv introduccion a la estatica de la particula y del cuerpo rigido i

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INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE CALKINI EN EL ESTADO DE
CAMPECHE
INGENIERIA INDUSTRIAL PRIMER SEMESTRE
FISICA 1
UNIDAD IV INTRODUCCION A LA ESTATICA DE LA PARTICULA Y DEL
CUERPO RIGIDO.
Q. B. B. MARCOS MARTIN KU KUMUL
1
2.- PRESENTACION.
En términos generales el presente paquete didáctico contiene las
definiciones de cantidades escalares y vectoriales, el concepto de vector y sus
características. Cálculo de vectores resultantes por métodos gráficos (polígono
y paralelogramo) y por el método analítico. De igual forma contiene el
enunciado de la primera y segunda de condición del equilibrio (equilibrio
traslacional y rotacional respectivamente), los conceptos de brazo de palanca,
momento de una fuerza y momento de torsión resultante de una fuerza y sus
ecuaciones respectivas así como su utilización en la solución de problemas,
para hallar el valor de los soportes o fuerzas de reacción desconocidas que
sostienen a una viga o barra ligera, y la distancia que debe de haber entre las
fuerzas para que la barra esté en equilibrio.
Asimismo en la última parte de la unidad se aborda el tema de vectores
en el espacio o en tres dimensiones, calculando el vector resultante a partir de
sus componentes, los cosenos directores de la fuerza a partir de la magnitud
de la fuerza y sus componentes y el cálculo de uno de los cosenos directores,
la magnitud de la fuerza resultante, y las otras dos componentes de la fuerza
cuando se dan como datos dos de los cosenos directores y una de las
componentes de la fuerza.
En la última parte se ven cuestiones como son reacciones en apoyos y
conexiones y estática del cuerpo rígido.
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3.- INDICE DE CONTENIDO.
Contenido
Número de página
Portada
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Presentación
1
Indice de contenido
2
Objetivos generales de la
Unidad temática
4
Instrucciones generales
para el uso del paquete
didáctico
4
Temas integrantes de la
Unidad temática
6
Instrucciones específicas
para el autoaprendizaje
6
Objetivos por tema
8
Desarrollo del tema
4.1. Fuerzas en el plano y en el espacio
8
Ejercicios de aplicación fuerzas en el
plano y en el espacio.
12
Evaluación del tema 4.1
Fuerzas en el plano y en el espacio
32
Bibliografía específica del
tema 4.1.
33
Desarrollo del tema 4.2.
Equilibrio de una partícula
34
Ejercicios del tema 4.2.
Equilibrio de una partícula
36
Evaluación del tema 4.2
44
Bibliografía específica
del tema 4.2
45
3
Desarrollo del tema 4.3
Momento de una fuerza
45
Ejercicios del tema 4.3.
46
Evaluación del tema 4.3
54
Bibliografía específica del
tema 4.3
57
Evaluación de la Unidad
Temática IV. Introducción a la estática
de la partícula y del cuerpo rígido.
57
4
4.- OBJETIVOS GENERALES DE LA UNIDAD TEMATICA
1.- El alumno conocerá los conceptos de cantidades escalares y vectoriales y
sus ejemplos respectivos, así como el concepto de vector resultante, vector
equilibrante y características de los vectores.
2.- El alumno, conocerá y aplicará los métodos gráficos para la suma de
vectores (Polígono y paralelogramo) así como también el método analítico,
específicamente el Teorema de Pitágoras y la función trigonométrica tangente
para calcular el vector resultante y su dirección.
3.- El alumno resolverá problemas para calcular un vector resultante, dada sus
componentes Fx, Fy y Fz, así como los cosenos directores del mismo, y el
cálculo del vector resultante, dos de las componentes y el ángulo faltante,
cuando en el problemas sólo se dan como datos, una sola componente, y dos
de los ángulos
4.- El alumno enunciará la primera y segunda condición del equilibrio (equilibrio
traslacional y rotacional) y utilizará la primera condición para hallar tensiones
de cuerdas, empujes y ángulos y aplicará las dos condiciones del equilibrio en
la solución de problemas donde se hallan los valores de los soportes que
sostienen a una viga o barra ligera y las distancias entre las fuerzas para que
un cuerpo esté en equilibrio.
5.- El alumno resolverá problemas de equilibrio de un cuerpo rígido en tres
dimensiones, hallando las tensiones de las cuerdas que sostienen al cuerpo
rígido.
5.- INTRUCCIONES GENERALES PARA EL USO DEL PAQUETE
DIDACTICO
1.- Conocer las definiciones de cantidades escalares y vectoriales y sus
ejemplos, el concepto de vector y sus características, vector resultante y vector
equilibrantes.
2.- Resolver problermas de cálculo de vectores resultantes por los métodos
gráficos del polígono (aplicado a más de 2 vectores a la vez) y del
paralelogramo (aplicado sólo a 2 vectores a la vez) y por el método analítico del
Teorema de Pitágoras y el uso de la función trigonométrica tangente para hallar
la dirección del vector.
3.- Resolver problemas del cálculo del vector resultante en tres dimensiones
cuando se dan las componentes Fx, Fy y Fz del vector y los ángulos de la
fuerza.
4.- Resolver problemas del cálculo del vector resultante en tres dimensiones, 2
de las componentes y el ángulo faltante, en problemas en las cuales se dan
como datos sólo una de las componentes, y dos de los cosenos directores.
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5.- Resolver problemas de tensiones de cuerdas, empujes y ángulos, aplicando
la primera condición del equilibrio.
6.- Conocer e interpretar el concepto de la segunda condición del equilibrio
(equilibrio rotacional), brazo de palanca, momento de una fuerza y el signo del
momento de una fuerza (negativo en el sentido de las manecillas del reloj y
positivo en el sentido contrario) y momento de torsión resultante sobre un
cuerpo.
7.- Solucionar problemas de equilibrio aplicando los conceptos de momento de
una fuerza y brazo de palanca y problemas de vigas y barras ligeras para hallar
el valor de los soportes que los sostienen o la distancia que debe de haber
entre las fuerzas, aplicando las 2 condiciones del equilibrio.
8.- Solucionar problemas de equilibrio de un cuerpo rígido en tres dimensiones,
hallando la fuerza que mantiene al cuerpo en equilibrio o la tensión de una de
las cuerdas que mantienen al cuerpo en equilibrio.
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6.- TEMAS INTEGRANTES DE LA UNIDAD TEMATICA.
a.- UNIDAD II EQUILIBRIO DE CUERPOS RIGIDOS.
Tema 4.1. Fuerzas en el plano y en el espacio.
Subtema 4.1.1. Fuerzas en el plano
Subtema 4.1.2. Fuerzas en el espacio
Tema 4.2. Equilibrio de una partícula
Subtema 4.2.1. Equilibrio de una partícula en el plano.
Subtema 4.2.2. Equilibrio de una partícula en el espacio.
Tema 4.3. Momento de una fuerza
Subtema 4.3.1. Respecto a un punto
Subtema 4.3.2. Respecto a un eje
Subtema 4.3.3. Momento de un par. Pares equivalentes. Suma de
pares.
b. INSTRUCCIONES ESPECIFICAS PARA EL AUTOAPRENDIZAJE.
1.- Resolver ejercicios de obtención de las componentes rectangulares de
un vector o fuerza en el plano. Realizar al menos cuatro ejercicios, cada
uno de los vectores situados en cada uno de los cuadrantes. Las
ecuaciones a utilizar son las siguientes: Fx= Fcosθ y Fy= Fcos θ. Con
estas ecuaciones también calcular la Fuerza resultante cuando se conoce
alguna de sus componentes, al despejar las ecuaciones F= Fx/cosθ ó F=
Fy/senθ.
2.- Resolver ejercicios para la obtención del vector resultante de un
conjunto de vectores concurrentes en el plano y la dirección del mismo
utilizando el Teorema de Pitágoras y la función trigonométrica tangente,
cuyas ecuaciones son R = √Fx2+Fy2, θ= tan-1 Fy/Fx.
3.- Resolver ejercicios para la obtención del vector resultante en el
espacio (en tres dimensiones), dadas su componentes en el espacio Fx,
Fy, y Fz, con la ecuación F= √Fx2+Fy2 +Fz2. Esta ecuación es similar al del
Teorema de Pitágoras, que como se ve solo se le añade el cuadrado de la
componente z del vector.
4.- Resolver ejercicios para la obtención de las componentes de un vector
en el espacio o en tres dimensiones con las ecuaciones siguientes:
Fx=Fcosθx, Fy= Fcos θy, Fz= Fcos θz.
5.- Resolver ejercicios para la obtención de los cosenos directores a partir
del valor del vector resultante y de sus componentes, con las ecuaciones
siguientes:
cosθx= Fx/F.
cos θy= Fy/F.
cos θz= Fz/F.
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Una vez obtenidos los cocientes de las fórmulas anteriores, se les saca el
coseno inverso para obtener propiamente el valor de los ángulos.
6.- Resolver ejercicios para la obtención del vector resultante en el
espacio en los cuales se dan como datos solo dos de los cosenos
directores (por ejemplo θy y θz) y una sola de las componentes (por
ejemplo Fx). En este tipo de problemas se pide hallar además el coseno
director restante y las otras dos componentes. El procedimiento a seguir
es la siguiente: Se halla primero el coseno director faltante, utilizando la
suma de los cuadrados de los cosenos directores que es igual a la
unidad:
cos2θx+cos2 θy+ cos2 θz= 1
Por ejemplo si se da como dato θy y θz, para hallar θx se despeja de la
ecuación anterior cos2θx= 1- (cos2 θy+ cos2 θz). Lo que se obtiene en
primera instancia es el cuadrado del coseno director, por lo cual se debe
sacar la raíz cuadrada para obtener coseno del ángulo.
Seguidamente se procede a obtener el valor de la fuerza o vector
resultante, suponiendo que la componente que se da como dato sea Fx
con la ecuación:
Fx= Fcos θx. Despejando la ecuación obtenemos F= Fx/cos θx. Cabe
señalar que al utilizar esta ecuación se debe tomar el valor absoluto de la
componente, es decir si tiene un valor negativo se toma positivo.
Una vez obtenido el valor de la fuerza resultante F, se hallan
seguidamente las otras dos componentes (Fy y Fz) con las siguientes
ecuaciones:
Fy = Fcos θy, Fz= cos θz.
Por último se obtiene el valor del coseno director restante (θx), en este
caso se toma tal cual el valor de la componente Fx, por ejemplo si esta
tiene un valor negativo, el valor del ángulo será mayor de 90° (obtuso) y si
la componente tiene un valor positivo, el valor del ángulo será menor de
90° (agudo). Esto se obtiene con la ecuación:
cos θx= Fx/F. Una vez obtenido el cociente, se saca el coseno inverso
(cos-1) para obtener el valor del ángulo.
7.- Resolver problemas de equilibrio de una partícula en el plano, aplicando la
primera condición del equilibrio traslacional. (ΣFx=0, ΣFy= 0).
8.- Definir la segunda condición del equilibrio (equilibrio rotacional) y su
ecuación correspondiente: ΣM=0), así como el signo del momento de una
fuerza.
9.- Calcular los momentos de torsión respecto a un punto para cuerpos a los
cuales se les aplica una sola fuerza.
10.- Calcular momentos de torsión resultantes para cuerpos a los cuales se les
aplica dos o más fuerzas.
11.- Calcular fuerzas de reacción de soportes que sostienen a un cuerpo rígido.
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c. Objetivos por tema.
1.- Que el alumno diferencíe una cantidad escalar de una vectorial, conocer los
métodos gráficos para sumar vectores (polígono y paralelogramo), así como el
método analítico (Teorema de Pitágoras), para vectores en el plano.
2.- Que el alumno resuelva problemas de vectores en el espacio, calculando el
vector resultante F, dadas las componentes Fx, Fy y Fz y los cosenos
directores de la fuerza.
3.- Que el alumno enuncie la primera condición del equilibrio (traslacional), y lo
aplique para calcular tensiones de cuerdas que sostienen a un cuerpo.
4.- Que el alumno defina y aplique la primera y segunda condición de equilibrio
en la solución de problemas de vigas o barras ligeras (equilibrio traslacional y
rotacional) para hallar fuerzas de los soportes que las sostienen o la distancia
que debe de haber entre las fuerzas para que el cuerpo esté en equilibrio.
5.- Que el alumno defina que es momento de torsión o torca, resuelva
problemas de momento de torsión de una fuerza respecto a un punto.
6.- Que el alumno resuelva problemas de momento respecto a un eje y pares
de fuerzas.
e. Desarrollo del tema 4.1. Fuerzas en el plano y en el espacio.
TEMA 4.1. FUERZAS EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO.
CANTIDADES ESCALARES Y VECTORIALES
En este tema se introduce el concepto de vector para estudiar la
magnitud, la dirección y el sentido de las cantidades físicas.
Algunas cantidades pueden ser descritas totalmente por un número y
una unidad; por ejemplo las magnitudes de superficie, volumen, masa, longitud
y tiempo reciben el nombre de magnitudes escalares.
Por definición, una magnitud escalar es aquella que se define con sólo
indicar su cantidad expresada en números y la unidad de medida.
Existe otra clase de magnitudes que para definirlas, además de la
cantidad expresada en números y el nombre de la unidad de medida, se
necesita indicar claramente la dirección y sentido en que actúan; estas
magnitudes reciben el nombre de magnitudes vectoriales. Por ejemplo, cuando
una persona visita la ciudad de Mérida, Yucatán, y nos pregunta cómo llegar al
puerto de Progreso, dependiendo de dónde se encuentre le diremos
aproximadamente a qué distancia está y qué dirección seguir. Lo mismo
sucede cuando se habla de la fuerza que se debe aplicar a un cuerpo, pues
aparte de señalar su valor se debe especificar si la fuerza se aplicará hacia
arriba o hacia abajo, a la derecha o a la izquierda, hacia el frente o hacia atrás.
Una magnitud vectorial se define por su origen, magnitud, dirección y
sentido. Consiste en un número, una unidad y una orientación angular.
Como se señaló anteriormente, una cantidad vectorial es aquel que tiene
una magnitud, dirección y sentido, como por ejemplo un automóvil que lleva
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una velocidad de 80 km/h al Noreste, o un desplazamiento de un móvil de 5
km a 40° al Suroeste.
Una magnitud vectorial puede ser representada gráficamente por medio
de una flecha llamada vector, la cual es un segmento de recta dirigido. Para
simbolizar una magnitud vectorial se traza una flechita horizontal sobre la
   
letra que la define por ejemplo: v , d , F y a representan cada una un vector
como son la velocidad, el desplazamiento, la fuerza y la aceleración,
respectivamente.
REPRESENTACIÓN GRAFICA DE UN VECTOR
Un vector tiene las siguientes características
 Punto de aplicación u origen
 Magnitud. Indica su valor y representa por la longitud del vector de
acuerdo con una escala convencional.
 Dirección. Señala la línea sobre la cual actúa, y puede ser horizontal,
vertical u oblicua.
 Sentido. Indica hacia donde va el vector, ya sea hacia arriba, abajo, a la
derecha o a la izquierda, y queda señalado por la punta de la flecha.
Para representar un vector se necesita una escala convencional, la cual se
establece de acuerdo con la magnitud del vector y el tamaño que se le desee
dar.
Vectores Coplanares y no Coplanares
Los vectores pueden clasificarse en coplanares, si se encuentran en el
mismo plano o en dos ejes, y no coplanares si están en diferente plano, es
decir en tres planos.
Sistema de vectores colineales
Se tiene un sistema de vectores colineales cuando dos o mas vectores se
encuentran en la misma dirección o línea de acción. Un vector colineal cera
positivo si su sentido es hacia la derecha o hacia arriba y negativo si su
sentido es hacia la izquierda o hacia abajo.
Sistema de vectores concurrentes
Un sistema de vectores es concurrente cuando la dirección o línea de acción
de los vectores se cruza en algún punto, el punto de cruce constituye el punto
de aplicación. A estos vectores se les llama angulares o concurrentes porque
forman un ángulo entre ellos.
Sistema de vectores paralelos.
Son aquellos vectores que por más que alargan su trayectoria, jamás se
pueden unir.
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Resultante y equilibrante de un sistema de vectores
La resultante de un sistema de vectores es el vector que produce él solo,
el mismo efecto que los demás vectores del sistema. Por ello un vector
resultante es aquel capaz de sustituir un sistema de vectores.
La equilibrante de un sistema de vectores, como su nombre lo indica, es
el vector encargado de equilibrar el sistema, por lo tanto tiene la misma
magnitud y dirección que la resultante, pero con sentido contrario.
Propiedades de los vectores (principio de transmisibilidad y propiedad de
los vectores libres.
Principio de transmisibilidad de los vectores.- Este principio se enuncia como “
El efecto externo de un vector o fuerza no se modifica si es trasladado en su
misma dirección, es decir sobre su propia línea de acción”. Por ejemplo si se
desea mover un cuerpo horizontalmente, aplicando una fuerza, el resultado seá
el mismo si empujamos el cuerpo o si lo jalamos,
Propiedad de los vectores libres.- Los vectores no se modifican si se trasladan
paralelamente a sí mismos. Esta propiedad se utilizará al sumar vectores por
los métodos gráficos del paralelogramo y del polígono.
SUMA DE VECTORES.
Cuando necesitamos sumar 2 o más cantidades escalares de la misma especie
lo hacemos aritméticamente: por ejemplo 2 kg + 5 kg = 7 kg, 3 horas + 7
horas= 10 horas, 200 km + 300 km = 500 km. Sin embargo para sumar
magnitudes vectoriales, que como ya se mencionó aparte de magnitud tienen
dirección y sentido, debemos utilizar métodos diferentes a una simple suma
aritmética. Estos métodos pueden ser gráficos o analíticos.
SUMA GRÁFICA de VECTORES
Para realizar la suma gráfica de dos vectores, utilizamos el "método del
paralelogramo". Para ello, trazamos en el extremo del vector A, una paralela al
vector B y viceversa. Ambas paralelas y los dos vectores, determinan un
paralelogramo. La diagonal del paralelogramo, que contiene al punto origen de
ambos vectores, determina el vector SUMA. Puedes ver un ejemplo en el
gráfico que va a continuación:
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Si tenemos que sumar varios vectores, podemos aplicar el método
anterior, sumando primero dos y a la suma, añadirle un tercero y así
sucesivamente. Pero también podemos hacerlo colocando en el extremo del
primer vector, un vector igual en módulo, dirección y sentido que el segundo. A
continuación de éste, colocamos un vector equivalente al tercero y así
sucesivamente. Finalmente, unimos el origen del primer vector con el extremo
del último que colocamos y, el vector resultante es el vector suma.
http://usuarios.lycos.es/pefeco/sumavectores/sumavectores.htm
METODO PARALELOGRAMO
En este método, los vectores se deben trasladar (sin cambiarle sus propiedades) de tal forma
que la "cabeza" del uno se conecte con la "cola" del otro (el orden no interesa, pues la suma
es conmutativa). El vector resultante se representa por la "flecha" que une la "cola" que queda
libre con la "cabeza" que también está libre (es decir se cierra un triángulo con un "choque de
cabezas”. En la figura 1 se ilustra el método.
Figura 1
En la figura 1 el vector de color negro es la suma vectorial de los vectores de color rojo y de
color azul.
Si la operación se hace gráficamente con el debido cuidado, sólo bastaría medir con una regla
el tamaño del vector de color negro utilizando la misma escala que utilizó para dibujar los
vectores sumandos (el rojo y el azul). Esa sería la magnitud de la suma. La dirección se podría
averiguar midiendo con un transportador el ángulo que forma con una línea horizontal.
Pero no nos basta con saberlo hacer gráficamente. Tendremos que aprenderlo a realizar
analíticamente. Para ello se deben utilizar los teoremas del seno y del coseno y si es un
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triángulo rectángulo se utilizará el teorema de Pitágoras.
En el caso de la figura 1 las relaciones posibles entre los lados de ese triángulo son las
siguientes:
Ejemplo:
Supongamos que en dicha figura los vectores sean la magnitud fuerza. Asumamos además
que el ángulo entre los vectores sumandos (el rojo y el azul) es igual a 60.0º y que sus
módulos son respectivamente 100 dinas (rojo) y 90.0 dinas (azul). Deseamos calcular el vector
resultante.
Para ello empleemos la relación:
su dirección sería:
SUMA ANALITICA DE VECTORES.
Merli quiere saber donde se encuentra, si ella quiere llegar a su casa.
Conociendo que camina 13 km al este; cambiando de rumbo para luego
caminar 19 km al este. Hallar el resultado grafico y analíticamente.
N
V2 = -19 km
Y
v1 = 13 km
O
-6
E
13
X
13
S
DATOS
V1 = +13 KM
V2 = -19 KM
 VX = V1 + V2
 VX = 13+(-19)
 VX = 13-19 = -6
2.- Norma quiere saber si la nueva ruta que toma hacia su casa es
más corta si camino 15 km. al norte después 10 al sur para de
ultimo caminar 12 km. al oeste. ¿Calcularle la distancia o el punto
donde Norma se encuentra?
15 km. al norte V1
10 km. al sur V2
12 km. al oeste V3
y = V1 + V2
y = 15 + (-16)
y = 5
x = V3
y = .12
a2= b2 + C2
R= (Fy)2 = (Fx)2
R= (Fy)2 + (Fx)2
R= (5)2 + (-12)2
R= 25 + 144
R= 169
R= 13 km.
Problema por el método del Polígono
Un barco viaja 100 km hacia el norte en el primer día de su viaje, 60 km
hacia el noreste en el segundo día y 120 km al este en el tercer día.
Encuéntrese el desplazamiento resultante por el método del polígono.
El método del polígono para la adición
De vectores
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120 km Este
60 km Noreste
Eje Y
Vector resultante
R
100 km
Norte
ángulo θ
Eje X
Solución del método del polígono
1.- Elija una escala y determine la longitud de las flechas que corresponden a
cada vector.
2.- Dibuje a escala una flecha que represente la magnitud y la dirección del
primer vector.
3.-Dibuje la flecha del segundo vector de tal manera que su origen coincida
con el extremo del primer vector.
4.-Continué el procedimiento de unir el origen de cada nuevo vector con el
extremo del vector procedente, hasta que todos los vectores del problema
hayan sido dibujados.
5.-Dibuje el vector resultante partiendo del origen (que coincide con el origen
del primer vector) y terminando en el extremo del ultimo vector.
6.-Mida con regla y transportador la longitud y el ángulo que forma el vector
resultante para determinar su magnitud y su dirección.
Solución: Una escala conveniente puede ser 20 km = 1 cm. Lo cual quiere decir
que para el desplazamiento de 100 km al norte se trazan 5 cm, para el
desplazamiento de 60 km, se trazan 3 cm y finalmente para el desplazamiento
de 120 km al este se trazan 6 cm. Realizando la medición con una regla, a
partir de un diagrama a escala, se observa que la flecha resultante del punto de
partida hasta el final del desplazamiento de 120 km al este, tiene 10.8 cm de
longitud. Por lo tanto la magnitud del vector resultante en km es:
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10.8 cm x 20 km/1 cm =216 km
Si se mide el ángulo θ con un transportador, situando el centro del mismo en el
origen de partida (origen de los ejes coordenados X y Y) resulta que la
dirección es de 41°.
Por lo tanto, el desplazamiento resultante es:
R = 216 km, 41°.
El método gráfico del polígono y en general los métodos gráficos aportan
resultados aproximados, los métodos analíticos como el Teorema de Pitágoras
dan resultados más precisos. A continuación se resolverá el problema por el
Teorema de Pitágoras:
Primeramente se trazan los desplazamientos a partir de los ejes
coordenados:
100 km Norte
60 km
Noreste
θ = 45°
120 km
Este
El primer desplazamiento de 100 km al Norte se traza sobre el eje Y
hacia arriba, el segundo desplazamiento de 60 km al noreste al no especificar
el ángulo, se traza exactamente a la mitad del primer cuadrante, es decir a 45°
del eje X y Y, y el tercer desplazamiento de 120 km al Este, se traza sobre el
eje X a la derecha.
A continuación se construye un cuadro de fuerzas, aplicando las
fórmulas de las componentes rectangulares de un vector, y tomando en cuenta
los signos de las coordenadas en los cuadrantes respectivos:
Fx = F cos θ.
Fy = F sen θ.
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F
Angulo
100 km
60 km
120 km
0°
45°
0°
Componente X
Componente Y
0
+ 100 km
60 km cos 45°
60 km sen 45°
120 km
________________
______________
ΣFx = 60 km cos 45°+ 120 km ΣFy= 100 km + 60 km sen
45°
ΣFx = 60 km (0.7071) + 120 km ΣFy = 100 km + 60 km
(0.7071).
ΣFx = 42.42 km + 120 km= 162.42 km ΣFy = 100 km + 42.42 km = 142.42 km
Una vez obtenidas la sumatoria de fuerzas X y la sumatoria de fuerzas
Y, se aplica la fórmula del Teorema de Pitágoras que es la raíz cuadrada de la
sumatoria de fuerzas X al cuadrado y la sumatoria de fuerzas Y al cuadrado.
R = √ (Fx)2 + (Fy)2.
Sustituyendo valores tenemos:
R = √ (162.42 km)2 + (142.42 km)2.
R = √ 46663.7128
R = 216 km.
Ahora para obtener el ángulo del vector resultante, se aplica la función
trigonométrica tangente mediante la siguiente fórmula:
θ = tan-1 Fy
Fx
θ = tan-1 = 142.42 = 0.8768. θ = tan-1 0.8768 = 41.24°.
162.42
Como se puede observar, tanto por el método gráfico del polígono como por el
método analítico del Teorema de Pitágoras, los resultados son los mismos.
R = 216 km θ = 41.24°.
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Método del paralelogramo.
El método del paralelogramo, que es útil para sumar dos vectores a la
vez, consiste en dibujar dos vectores a escala con sus orígenes
coincidiendo en su origen común, los vectores forman de esta manera dos
lados del paralelogramo, los otros dos lados se construyen dibujando líneas
paralelas a los vectores y de igual longitud, formándose así el
paralelogramo. La resultante se obtiene dibujando la diagonal del
paralelogramo a partir del origen común de las dos flechas que representan
los vectores y el ángulo se mide con el transportador.
1. Una cuerda se enreda alrededor de un poste telefónico, en un ángulo
de 120º. Si de uno de los extremos se tira con una fuerza de 60 N y
del otro con una fuerza de 20 N ¿Cuál es la fuerza resultante sobre el
poste telefónico?
20 N
θ= 120°
Vector
resultante
R
60 N
Solución: utilizando una escala 1 cm = 10 N se tiene:
60 N x 1 cm = 6 cm. 20 N x 1 cm = 2 cm
10 N
10 N
En la figura anterior, se construyó un paralelogramo, dibujando a escala las dos
fuerzas a partir de un origen común y con un ángulo de 120° entre ellas. Al
completar el paralelogramo se puede dibujar la resultante como una diagonal
desde el origen. Al medir R y θ con una regla y un transportador se obtienen
52.9 Newtons para la magnitud y 19.1° para la dirección. Por consiguiente,
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R = (52.9 N, 19.1°).
Ahora al igual que como se hizo con el método del polígono, se realizará
la obtención del vector resultante del problema anterior con el método analítico
del teorema de Pitágoras.
Primeramente se trazan los dos vectores, teniendo como origen común
el origen de los ejes X y Y.
20 N
θ = 60 °
60 N
A continuación se procede a construir el cuadro de fuerzas. Nótese en el
bosquejo del problema, que el vector de 20 Newtons, forma un ángulo de 60°
respecto al eje X en el segundo cuadrante, ya que éste ángulo es
suplementario al de 120° que es el ángulo que hay entre los 2 vectores, por lo
cual trabajaremos con el ángulo de 60°. Recuerde los signos de los ejes X y Y
en el primer y segundo cuadrantes, (+,+ y -,+ respectivamente).
Fuerza
Angulo
20 N
60 N
60°
0°
Componente X
Componente Y
- 20 N cos 60°
20 N sen 60°
+ 60 N
0
_______________
_______________
ΣFx = - 20 N cos 60° + 60 N ΣFy = 20 N sen 60°
ΣFx = - 20 N (0.5) + 60 N
ΣFy = 20 N (0.8660).
ΣFx = -10 N +60 N
ΣFx = 50 N
ΣFy = 17.32 N
ΣFy = 17.32 N
19
Una vez obtenidas la sumatoria de fuerzas X y fuerzas Y se aplica el
Teorema de Pitágoras.
R = √ (Fx)2 + (Fy)2
R = √ (50 N)2 + (17.32 N)2
R = √ (2500 N) + (300 N)
R = √ 2800 N
R = 52.91 N
A continuación se obtiene el valor del ángulo de la resultante con la función
trigonométrica tangente.
θ = tan-1 Fy = θ = tan-1 = 17.32 N = 0.3464 = θ = tan-1 0.3464 = 19.1°.
Fx
50 N
Como se ve de nueva cuenta, los resultados tanto por el método gráfico como
por el método analítico son iguales:
R = 52.91 N, θ = 19.1°.
SUMA ANALITICA DE VECTORES.
1.- Merli quiere saber donde se encuentra, si ella quiere llegar a su casa.
Conociendo que camina 13 km al este; cambiando de rumbo para luego
caminar 19 km al este. Hallar el resultado grafico y analíticamente.
N
V2 = -19 km
Y
v1 = 13 km
O
E
-6
13
S
X
20
DATOS
V1 = +13 KM
V2 = -19 KM
 VX = V1 + V2
 VX = 13+(-19)
 VX = 13-19 = -6
2.- Norma quiere saber si la nueva ruta que toma hacia su casa es
más corta si camino 15 km. al norte después 10 al sur para de
ultimo caminar 12 km. al oeste. ¿Calcularle la distancia o el punto
donde Norma se encuentra?
15 km. al norte V1
10 km. al sur V2
12 km. al oeste V3
y = V1 + V2
y = 15 + (-16)
y = 5
x = V3
y = .12
a2= b2 + C2
R= (Fy)2 = (Fx)2
R= (Fy)2 + (Fx)2
R= (5)2 + (-12)2
R= 25 + 144
R= 169
R= 13 km.
θ= Tan-1 Fy/Fx = tan-1 5/12= tan-1 0.4166= 22.61°.
21
3.- Tres sogas están atadas a una estaca, y sobre ella actúan tres
fuerzas: A = 20 libras al Este, B = 30 libras a 30° al Noroeste; y C = 40
libras a 52° al Suroeste. Determine la fuerza resultante de forma
analítica.
Solución: primeramente se trazan los vectores en las coordenadas
cartesianas:
B = 30 lb
30° NO
θ = 30°
θ = 52°.
A = 20 lb E
C = 40 lb, 52°
SO
Primeramente se construye el cuadro de fuerzas.
F
ángulo
20 lb
30 lb
40 lb
0°
30°
52°
Componentes X
Componentes Y
20 lb
0
-30 lb cos 30°
30 lb sen 30°
-40 lb cos 52°
-40 lb sen 52°
_____________________ ____________________
ΣFx = 20 lb-30 lb cos 30°-40 lb cos 52° ΣFy= 30 lbsen30°-40 lb
sen 52°
ΣFx = 20 lb- 30 lb (0.8660)-40 lb (0.6156)
ΣFy= 30 lb (0.5)-40 lb
(0.7880).
ΣFx = 20 lb- 25.98 lb- 24.62 lb
ΣFy= 15 lb- 31.52 lb
ΣFx = 20 lb- 50.6 lb
ΣFy= -16.52 lb
ΣFx = - 30.6 lb
ΣFy= -16.52 lb
Una vez obtenidos la sumatoria de fuerzas X y Y, se aplica la ecuación
del teorema de Pitágoras para obtener la resultante. Por los signos de las
22
componentes X y Y (ambos negativos), la resultante se graficará en el
tercer cuadrante.
R = √ (Fx)2 +(Fy)2.
R = √ (- 30.6 lb)2 + (- 16.56 lb)2.
R = √ 1210.59 lb
R = 34.8 lb
Para obtener el ángulo de la resultante, se aplica la función trigonométrica
tangente:
θ = tan-1 Fy
Fx
θ = tan-1 │-16.52 lb │ = tan-1 0.5398 = 28.36°.
- 30.6 lb
R = 34.8 lb, 28.36°. Al Suroeste.
El ángulo es debajo del eje x en el tercer cuadrante. La dirección o ángulo del
vector resultante también se puede expresar como 208.36° al sumar los 180°
correspondientes a los dos primeros cuadrantes al valor de 28.36°, por lo cual
la respuesta también se puede expresar como:
R = 34.8 lb, 208.36° medidos desde el primer cuadrante.
θ= Tan-1 Fy/Fx = tan-1 5/12= tan-1 0.4166= 22.61°.
COMPONENTES RECTANGULARES DE UNA FUERZA O VECTOR EN
EL PLANO.
Componentes rectangulares de una fuerza.
Todo vector se puede expresar como la suma de otros dos vectores a
los cuales se les denomina componentes.
Cuando las componentes forman un ángulo recto, se les llama
componentes rectangulares. En la figura 2 se ilustran las componentes
rectangulares del vector rojo.
23
Las componentes rectangulares cumplen las siguientes relaciones
Las 2 primeras ecuaciones son para hallar las componentes rectangulares del
vector a. y Las 2 últimas son para hallar el vector a (Teorema de Pitágoras a
partir de sus componentes rectangulares. La última ecuación es para hallar la
dirección del vector a (ángulo) con la función trigonométrica tangente.
Ejemplo:
Una fuerza tiene magnitud igual a 10.0 N y dirección igual a 240º.
Encuentre las componentes rectangulares y represéntelas en un plano
cartesiano.
24
El resultado nos lleva a concluir que la componente de la fuerza en X tiene
módulo igual a 5.00 N y apunta en dirección negativa del eje X . La
componente en Y tiene módulo igual a 8.66 y apunta en el sentido negativo
del eje Y. Esto se ilustra en la figura 3.
SUMA DE VECTORES
EMPLEANDO
COMPONENTES RECTANGULARES.
EL
METODO
DE
LAS
Cuando vamos a sumar vectores, podemos optar por descomponerlos
en sus componentes rectangulares y luego realizar la suma vectorial
de estas. El vector resultante se logrará componiéndolo a partir de las
resultantes en las direcciones x e y.
Ejemplo:
Sumar los vectores de la figura 1 mediante el método de las
componentes rectangulares.
25
Lo primero que debemos hacer es llevarlos a un plano cartesiano para de
esta forma orientarnos mejor. Esto se ilustra en la figura 2
A continuación realizamos las sumas de las componentes en X y de las
componentes en Y:
26
DESCOMPOSICIÓN DE UNA FUERZA EN SUS
COMPONENTES RECTANGULARES EN EL ESPACIO
Considere una fuerza F actuando en el origen O del sistema de
coordenadas rectangulares X, Y, Z.
Para definir la dirección de F, se dibuja el plano vertical OBAC que
contiene a F (véase la figura de abajo). Este plano pasa a través del eje
vertical y su orientación está definida por el ángulo Ø que este formo con el
plano XY. La dirección de F dentro del plano está definido por el ángulo Ø y que
F forma con el eje Y. la fuerza F se puede descomponer en una componente
vertical Fy y una componente horizontal Fh; las componentes escolares
correspondiente son:
Fy  F cos y
Fh  F sen y
Fh
F
Fh  Fsen y
sen y 
cos  y 
sen Ø =
Fy
F
Fz
Fh
Fz  Fh sen Ø
Fz Fsen Ø y sen Ø
Fh se puede descomponer en dos componentes rectangulares F x y Fz a
lo largo de los ejes X, Y, Z, respectivamente. Esta operación se lleva acabo en
el plano X, Z. Se obtiene las siguientes expresiones para los componentes
escolares correspondientes a Fx y Fz Fx.
Fx  Fh
Cos
  F Sen
y
Cos

F2  Fh
Sen
  F Sen
y
Sen

Por lo tanto, la fuerza dada F se ha descompuesto en 3 componentes
vectoriales rectangulares Fx y Fy Fz, que están dirigidas a lo largo de los tres
ejes coordenados.
27
Aplicando el teorema de Pitágoras a los triángulos OAB y OCD se
escribe:
F2 = (OA) 2 = (OB)2 + (BA)2 = F2y+ F2h
F2 = (OC)2 = (OD)2 + (DC)2 = F2x+ F2z
Eliminando F2h de estas dos ecuaciones y resolviendo F, se obtiene la
siguiente relación entre la magnitud de F y sus componentes escalares
rectangulares.
F 2  ( Fh ) 2  ( Fh ) 2
F 2  F ( x) 2  F ( z ) 2  F ( y ) 2
F  Fx 2  Fy 2  Fz
cos Ø=
2
Fx
Fh
Fx = Fh cos Ø
Fx Fsen Øy cos Ø
La relación existente entre la fuerza F y sus tres componentes Fx y Fy Fz
se visualiza más fácilmente si, como se muestra en la figura se dibujo una caja
que tenga Fx y Fy Fz como aristas. Entonces, la fuerza F se representa por la
diagonal OA de dicha caja. La figura b muestra el triángulo rectángulo OAB
empleado para derivar primera de las fórmulas Fy = F cos Øy. En las figuras
2,31a y c, también se han dibujado otros dos triángulos rectángulos. OAD y
OAE. Se observa que estos triángulos ocupan en la caja posiciones
comparables con la del los triángulos OAB. Al enunciar Øx y Øz, como los
ángulos que F forman con los ejes x y z, respectivamente, se pueden derivar
dos fórmulas similares a Fy = F cos Øy entonces se escribe.
28
Los tres ángulos  x , y , y z definen la dirección de fuerza F; éstos son los
que se utilizan con mayor frecuencia para dicho propósito, más comúnmente
que los ángulos  y y Ø introducidos al principio de esta sección. Los cosenos de
 x , y , y z se conocen como los cosenos directores de la fuerza F.
Introduciendo los vectores unitarios i, j y k, dirigidos, respectivamente, a
lo largo de los x, y y = figura 2.32 F puede expresarse de la siguiente forma.
29
Donde los componentes escalares Fx y Fy Fz están definidas por las
relaciones (2.19).
Ejemplo 1. Una fuerza de 500 N forma ángulos de 60º, 45º y 120º con
los ejes x y y z, respectivamente. Encuentre los componentes Fx y Fy Fz de la
fuerza.
Sustituyendo F = 500 N,  x  60º , y  60º , y  45º y z  120º en las
formulas se escribe.
Fx F cos x Fy  F cos y Fz  F cos z
Llevando los valores obtenidos para las componentes escalares de F a
la ecuación (2.20) se tiene.
F = Fxi + Fyj + Fzk
Como en el caso de los problemas bidimensionales, un signo positivo
indica que la componente tiene el mismo sentido que el eje que le corresponde
y un signo negativo indica que esta tiene un sentido opuesto al del eje.
El ángulo que forma una fuerza F con un eje siempre debe ser medido a
parir del lado positivo del eje y siempre debe estar entre 0 y 180º. Un ángulo
 x menos que 90º (agudo) indica que F (la cual se supone que está fija a 0 x
está en el mismo lado del plano yz que el eje x positivo; entonces cos  x y Fx
serán positivos. Un ángulo  x mayor que 90º (obtuso) indica que F está en el
otro lado del plano yz; entonces cos  x y Fx serán negativos. En el ejemplo 1.
Los ángulos  x y y son agudos, mientras que  y es obtuso; consecuentemente
Fx y Fy son positivos mientras que Fz es negativo.
Sustituyendo las expresiones obtenidas para Fx y Fy Fz en (2.19) se
obtiene la siguiente expresión.
La cual muestra que la fuerza F puede ser expresada como el producto
del escalar F y un vector.
Obviamente, el vector  es un vector cuya magnitud es igual a 1 y cuya
dirección es la misma que la de F (figura 2.33). El vector  se conoce como el
30
vector unitario a lo largo de la línea de acción de F. A partir de (2.22) se
observa que las componentes del vector unitario  son iguales,
respectivamente, a los cosenos directores de la línea de acción de F:
Se debe señalar que los valores de los tres ángulos  x , y , y z no son
independientes. Recordando que la suma de los cuadrados de las
componentes de un vector es igual a su magnitud elevada al cuadrado se
escribe.
En el caso del ejemplo 1, una vez que se han seleccionado los valores
 x  60º y y  45º , el valor de  z debe ser igual a 60º o a 120º para que se
cumpla la identidad (2.24)
Cuando se conocen las componentes Fx y Fy Fz de una fuerza F, la
magnitud F de la fuerza se obtiene a partir de las relaciones se pueden resolver
para los cosenos directores.
Y se pueden encontrar los ángulos  x , y , y z que caracterizan la
dirección de la fuerza F.
Ejemplo 2. Una fuerza F tiene las componentes Fx = 20Ib, Fy=-30Ib y Fz
= 60Ib. Determine su magnitud F y los ángulos  x , y , y z que está forma con
los ejes coordenados.
A partir de la fórmula (2.18) se obtiene.
31
F 2  ( Fx ) 2  ( Fz ) 2  ( Fy ) 2
F  Fx  Fy  Fz
2
2
2
Sustituyendo los valores de las componentes y la magnitud F en las
ecuaciones se escribe.
cos  x 
Fx
F
Cos y 
Fy
F
Cos z 
Fz
F
Calculando sucesivamente cada uno de los cocientes y su respectivo
arco coseno se obtiene.
Estos cálculos pueden llevarse a cabo fácilmente con la ayuda de una
calculadora.
Otro tipo de problemas de vectores en el espacio, es cuando se dan
como datos, solamente 2 de los ángulos directores, y una sola de las
componentes, y se pide hallar la Fuerza resultante F, las otras dos
componentes y el ángulo restante. Para ilustrar como se resuelven este tipo de
problemas considere el siguiente ejemplo.
1.- Una fuerza actúa en el origen de un sistema coordenado en la
dirección dada por los ángulos Θy=55° y Θz=45°. Sabiendo que la
componente de la fuerza en x (Fx)= -500 lb, determine a) las otras
componentes (Fy y Fz) y la magnitud de la fuerza y b) el valor de Θx.
Lo primero que hay que hallar es el ángulo faltante es decir en este
caso Θx.
cos2 Θx+cos2 Θy+ cos2Θz= 1 despejando cos2 Θx tenemos:
cos2 Θx= 1- (cos2 Θy+ cos2Θz).
sustituyendo valores: cos2 Θx= 1- (cos2 55°+ cos2 45°)
cos2 Θx= 1- (0.3289+0.5)= 1-(0.8289)= 0.1711. Este resultado es el
resultado del coseno cuadrado de Θx, por lo tanto se le saca la raíz
cuadrada para obtener el valor del coseno de Θx:
cos Θx= √0.1711= 0.4136.
Una vez obtenido el valor del coseno de Θx (0.4136) se procede a
hallar el valor de la fuerza resultante F, utilizando la componente Fx,
32
tomando su valor absoluto, es decir de forma positiva. con la
ecuación:
Fx= F cos Θx. despejando F tenemos: F= Fx/cos Θx
Sustituyendo valores: F= 500/0.4136= 1209 lb.
Una vez obtenido el valor de la fuerza resultante F, ya se pueden
hallar las otras dos componentes de la fuerza Fy y Fz con las
ecuaciones ya conocidas: Fy= Fcos Θy y Fz= Fcos Θz.
Sustituyendo valores: Fy= 1209 Nx cos 55° Fy= 1209 N x 0.5735
Fy= +694 N
Fz= 1209 N x cos 45° F= 1209 N x 0.7071= +855 lb.
Finalmente se halla el valor del ángulo Θx, mediante la siguiente
ecuación:
Fx= Fcos Θx. Despejando cos Θx= Fx/F. Sustituyendo valores
tenemos: cos Θx= -500 lb/1209 lb= cos Θx= -0.4135.
Θx= cos-1 -0.4135. Θx= 114.4°.
Con el resultado anterior, se corrobora que cuando la componente
tiene un signo negativo, el ángulo respectivo será obtuso y viceversa.
Recapitulando: las respuestas son:
a) Fy= +694 lb, Fz= +855 lb, b) F= 1209 lb, c) Θx= 114.4
e. Evaluación del tema 4.1. Fuerzas en el plano y en el espacio.
1.- Se aplica una fuerza de 260 libras a 75° al Noroeste. ¿Cuál es la
componente y de dicha fuerza.
A.
B.
C.
D.
E.
240 N
245 N
248 N
251 N
255 N
2.- Con los siguientes datos, calcula la resultante del sistema de fuerzas
todos a partir del sistema de coordenadas, considerando los ángulos a partir
del eje x positivo. F1=100 N,a 0°, F2=50 N, a 30°, F3=40 N a 120°, F4=50 N
a 210°.
A.
B.
C.
D.
E.
R =94.43 N, 65.2°
R =78.2 N, 63.18°
R =95.55 N, 44.2°
R =82.17 N, 47.7°
R =87.17 N, 23.41°
33
3.- Una fuerza en el espacio, tiene un valor de 2500 N, y sus
componentes Fx = -1060 N, Fy =+2120 N, Fz =+795 N. Calcular los
ángulos de dicha fuerza, con respecto a los ejes x, y, y z (Θx, Θy,
Θz)
A. 135.3°, 60°, 85.6°
B. 118°, 75°, 65.4°
C. 115.1°, 32°, 71.5°
D. 120.2°, 45°, 77.7°
E. 145.1°, 50°, 75.2°
4.- Son los tipos de vectores que por más que prolonguen su trayectoria, nunca
se van a unir.
A. Perpendiculares
B. Concurrentes
C. Colineales
D. Paralelos
E. Libres
5.- Es el método gráfico para la obtención del vector resultante, el cuál es
aplicable a sólo 2 vectores a la vez.
A.- Paralelogramo
B.- Polígono
C.- Ley de Senos
D.- Ley de cosenos
E.- Teorema de Pitágoras
e. Bibliografía específica del tema 4.1. Fuerzas en el plano y
en el espacio
1.- Física General. Héctor Pérez Montiel. Publicaciones Cultural. Cuarte
reimpresión de la Segunda Edición 2004.
2.- Mecánica vectorial para Ingenieros. Ferdinand Beer, Russell Johnstons.
Estática. Ed. McGraw-Hill. Sexta edición 2002.
34
d. Desarrollo del Tema 4.2. Equilibrio de una partícula.
La palabra estática se deriva del griego statikós que significa inmóvil. En
virtud de que la dinámica estudia las causas que originan el reposo o
movimiento de los cuerpos, tenemos que la estática queda comprendida
dentro del estudio de la dinámica y analiza las situaciones que permiten el
equilibrio de los cuerpos. Los principios de la estática se sustentan en la
primera y tercera ley de Newton.
En general, la estática estudia aquellos casos en que los cuerpos sometidos
a la acción de varias fuerzas no se mueven, toda vez que se equilibran
entre sí. También considera los casos en que la resultante de las fuerzas
que actúan sobre un cuerpo en movimiento es nula y el cuerpo sigue
desplazándose con movimiento rectilíneo uniforme.
En esta sección nos ocuparemos del estudio del equilibrio de los
cuerpos rígidos, aquellos cuya deformación provocada por una fuerza es
mínima al compararla con su tamaño. Ejemplos: vigas de madera,
armaduras de acero o hierro colado. bolas de acero o vidrio, herramientas
metálicas, cascos de fútbol americano, bicicletas, motocicletas entre otros.
Aquí se supone que los cuerpos son perfectamente rígidos, aunque en
realidad las estructuras y máquinas no son absolutamente rígidas y se
deforman bajo la acción de las cargas a que están sometidas; pero al ser tan
pequeñas estás deformaciones, no afectan las condiciones de equilibrio o de
movimiento de la estructura en consideración.
Un Cuerpo Rígido.- es aquel que no se deforma, se supone que la
mayoría de los cuerpos considerados en la mecánica elemental son rígidos.
Sin embargo, las estructuras y maquinas reales nunca son absolutamente
rígidas y se deforman bajo la acción de las cargas que actúan sobre ellos. A
pesar de esto generalmente estas deformaciones son pequeñas y no afectan
considerablemente las condiciones de equilibrio o de movimiento de la
estructura que se esté considerando.
Otra de las Leyes de Newton que sirven de base al estudio de la estática es la
Tercera Ley de Newton conocida como la Ley de la acción y la reacción,
la cual se enuncia de la siguiente forma:
“para cada fuerza llamada acción debe de haber otra fuerza llamada
reacción, que es de la misma magnitud, pero es opuesta”,
Se conocen y se han estudiado diferentes métodos para determinar la
resultante de diferentes fuerzas que actúan sobre un cuerpo, pero es posible
que estas fuerzas sean iguales entre si o que su resultante sea cero, en este
caso el efecto de estas fuerzas dará como resultado que el cuerpo en cuestión
esté en estado de equilibrio, según la ley antes mencionada. Por tanto se
puede enunciar que: “Cuando la resultante de todas las fuerzas que actúan
sobre un cuerpo es igual a cero, dicho cuerpo estará en equilibrio”.
El enunciado anterior corresponde a la primera condición del equilibrio
que también se puede enunciar como: “Un cuerpo se encuentra en equilibrio
traslacional si y solo si la suma vectorial de las fuerzas que actúan sobre
el es igual a cero”
Las fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido pueden representarse por
vectores deslizantes.
35
Dos conceptos fundamentales asociados con el efecto de una fuerza
sobre un cuerpo rígido son el momento de una fuerza con respeto a un punto y
el momento de una fuerza con respecto a un eje.
Como la determinación de estas cantidades involucra el cálculo de
productos escalares y vectoriales de dos vectores cualquier sistema de fuerzas
que actúa sobre un cuerpo rígido puede ser remplazado por un sistema
equivalente que consta una fuerza, que actúa en cierto punto, un par este
sistema recibe el nombre de sistema fuerza-par
Las fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido se pueden dividir en dos
grupos: 1) fuerzas externas y 2) fuerzas internas.
Las fuerzas externas representan la acción que ejerce otros cuerpos
sobre el cuerpo rígido. Ellas son las responsables del comportamiento del
cuerpo rígido, las fuerzas externas causaran que el cuerpo se mueva o
aseguraran que este permanezca en reposo.
Las fuerzas internas son aquellas que mantienen unidas las partículas
las que conforman el cuerpo rígido .si el cuerpo rígido esta constituido
estructuralmente por varias partes, las fuerzas que mantienen unidas a dichas
partes también se definen como fuerzas internas.
Como ejemplos de fuerzas externas imaginase y considere las fuerzas
que actúan sobre un camión descompuesto que esta siendo jalado hacia
delante por varios hombres mediante cuerdas unidas ala defensa delantera.
Las fuerzas externas que actúan sobre ese camión se muestran en un
diagrama de cuerpo libre.
Un cuerpo sobre el cual actúan dos fuerzas, estará en equilibrio, si las
dos fuerzas tienen la misma magnitud y la misma línea de acción pero en
sentidos opuestos. Entonces, la resultante de las dos fuerzas será cero, un
ejemplo de este caso lo podemos explicar en la siguiente. Fig.
100 Lib.
-100 Lib.
Otro caso de equilibrio de una partícula en equilibrio esta representado
en la siguiente. Fig. Donde se muestran cuatro fuerzas actuando sobre un
punto A. En el siguiente. Ejemplo la resultante que se obtiene es igual a cero
por lo tanto el cuerpo A esta en equilibrio.
36
F4 = 400 lib.
30º
F1 = 300 lib.
F3 = 20lib.
30º
F2 = 200 lib.
 Fx  300Lib  (200Lib)sen30º (400Lib)sen30º
300 Lib  100 Lib  200 Lib  0
 Fy  173.2Lib  (200Lib) cos 30º (400Lib) cos 30º
-173.2 Lib.-173.2 Lib. + 346.4 Lib. = 0
EQUILIBRIO DE FUERZAS CONCURRENTES
1.- Isaías quiere colocar un foco en su casa, utilizando una de las paredes y el
techo para colgar 2 cuerdas tomando en cuenta que la segunda tiene un
ángulo de 40º y el peso del foco es de 2 kg, como lo indica la figura.
Sen  = 0
H
Sen 40º = Vy
V2
Cos  = CA
H
Cos 40º = Vx
V2
V2
=2
V2
40º
W=peso=2 kg
37
 Fy= F1 (COS 40O) –W= 0
Fx= F1 (SENO 40O) –F2=0
F (.7660)-2Kg=0
F2= (2.610)(.6427)
F(.7660)=2Kg
F2=1.677 Kg.
F=2Kg/.7660
F= 2.610 Kg
2.- Rubisel quiere colocar un ventilador en su casa, utilizando 2 cuerdas, la
primera un ángulo de 60º y el segundo sobre el eje de las X teniendo el peso
del ventilador un valor de 10 kg. Calcular los valores de F1 y F2.
V2
V1
60º
10 kg
V1
X2
V2
60º
V1
10 kg
seno C.o
H
Sen 40º Vy
X2
Vy= (seno60º) (V2)
Coseno C.o
H
Fy=F1 (COS 60)-W=0
F2=0
F1 (.5)-10Kg=0
F1(.5)= 10Kg
F1=10/.5
F1=20 Kg
 Fx= f1 (SENO 60) –
(20)(.8660)-F2=0
F2=17.32Kg
38
3.- Un peso de 200 libras, es suspendido con una estructura metálica, como se
muestra en la figura, ¿Calcular la tensión de la cuerda y la comprensión de la
varilla supuesta sin más.
Sen Q= C.O
20º
H
C
Sen 20º Vy
H
200 1b
COS C.A
H
COS 20º Vx
H
H= (seno 20º)/ (CO)
Vx=(coseno 20º) (H)
200lb/ .3420
( 9396)(584.79)
Vy= 584.79 lb
Vx= 549.47 lb
4.- Una pelota de 100 N suspendida de un cordel es tirada hacia un lado por
otro cordel B y mantenida de tal forma que el cordel A forme un ángulo de
30° con la pared vertical . Dibuje el Diagrama de cuerpo libre y halle los
valores de las cuerdas A y B.
A
B
39
A
30°
90°
B
60°
100 N
Para las componentes horizontales:
 fx =0
 fx =-A cos 60° + B = 0
 fx = -A 0.5 + B = 0
B = 0.5 A.........1
Componentes verticales
fy =0
fy= A sen 60°-100 N=0
(A 0.8660) – 100N=0
A= 100N/0.8660= 115.47 N
Sustituyendo en la fórmula 1
B = 0.5 A
B = 0.5 (115.47)
B = 57.73 N
40
5.- Una pelota de 200 N cuelga de un cordel anulado a otros dos cordeles
encuéntrese las tensiones en los cordeles a, b, c de acuerdo a la siguiente
figura.
60°
45°
B
A
C
200 N
Componentes horizontales
fx =0
fx = B cos 45°-A cos 60° = 0
fx = B 0.7071–A 0.5=0
Σfx= B 0.7071= A 0.5
Despejando A:
A =B 0.7071/0.5
A = B 1.4142 ecuación 1.
A = 1.4142 B ........1
Componentes verticales:
Σfy=A sen 60° + B sen 45°- 200 N = 0
Σfy=A 0.8660 + B 0.7071- 200N=0
Σfy= A 0.8660 + B 0.7071 = 200N
Sustituyendo el valor de A de la ecuación 1:
Σfy= B 1.4142 (0.8660) + B 0.7071=200 N
Σfy= B 1.2246 + B 0.7071= 200N
Σfy= B 1.9317= 200 N
Despejando B tenemos:
Σfy=B= 200/1.9317= 103.53 N
A= 103.53 x 1.4142= 146.41 N
41
Los resultados de las tensiones son:
A = 103.53 N; B = 146.41 N; C= peso del objeto = 200 N.
6.- Dos niños sostienen una piñata cuyo peso es de 196 Newtons, formando un
ángulo de 140° con ambas cuerdas. Calcular la fuerza aplicada por cada
niño.
T2
T1
140°
196
N
Diagrama de cuerpo libre
T2
T1
20°
20°
196
N
42
Como el cuerpo está en equilibrio tenemos que:
ΣFx = 0 = T1x+ (-T2x)
ΣFy = 0 = T1y +T2y-P
Sustitución :
ΣFx = T1 cos 20°- T2 cos 20° = 0
ΣFx = T1 cos 20° = T2 cos 20°.
T1 = T2.
ΣFy = T1 sen 20° + T2 sen 20°-196 N = 0
ΣFy = T1 sen 20° + T2 sen 20° = 196 N
como T1= T2= T
2 T sen 20° = 196 N
T = 196 N = 196 N = 286.54 N
2 sen 20° 2 x 0.3420
Donde la fuerza aplicada por cada niño es de 286.54 N.
7.- Un cuerpo cuyo peso es de 500 N está suspendido de una armadura como
se ve en la figura. Determinar el valor de la tensión de la cuerda y el empuje
de la barra.
T
T
Ty
35°
35°
E
Tx
500
N
Como el cuerpo está en equilibrio:
E
P
43
ΣFx = 0 = E + (-Tx)
ΣFy = 0 = Ty + (-P)
Sustitución:
ΣFx = E – T cos 35°= 0
E = T cos 35°.
ΣFy = T sen 35°- P = 0
T sen 35° = P
T = P_____ = 500 N = 871.68 N
sen 35°
0.5736
Sustituyendo el valor de la tensión para encontrar el del empuje tenemos:
E = T cos 35° = 871.68 N x 0.8192 = 714.08 N.
8.- Calcular el ángulo, la tensión y el empuje de la siguiente armadura:
T
T
3
m
Ty
θ= ¿
θ= ¿
5m
E
Tx
900
N
E
900 N
Solución: Primero debemos hallar el ángulo que forma la tensión T con el eje x:
Vemos que la componente y del triángulo rectángulo es de 3 metros y la
componente x es de 5 metros, por lo cual vienen siendo los catetos opuesto
y adyacente del ángulo en cuestión por lo cual se puede utilizar la función
trigonométrica tangente: (cateto opuesto entre adyacente):
tan θ= 3 m = 0.6 . θ = tan-1 0.6 = 31°.
5m
Una vez hallado el ángulo ya podemos hallar la tensión y el empuje:
ΣFx = E- T cos 31°= 0
ΣFx = E = T cos 31°.
44
ΣFx = E = T 0.8571
ΣFy = T sen 31°- P = 0
ΣFy = T 0.5150-900 N = 0
ΣFy = T 0.5150 = 900 N
despejando a T tenemos:
T = 900 N = 1747.57 N
0.5150
Ahora sustituimos el valor de la tensión para hallar el empuje:
E = T 0.8571. E = 1747.57 N x 0.8571 = 1498.02 N.
e. Evaluación del tema. 4.2. Equilibrio de una partícula
1. Dos cuerdas A y B sostienen a un peso de 420 newtons, la cuerda A forma
un ángulo de 45° respecto al techo en el primer cuadrante y la cuerda B está
atada al muro vertical al otro extremo con un ángulo de 60° en el cuarto
cuadrante. Calcule las tensiones de las cuerdas A y B.
A. A= 1325 N, B= 1275 N
B. A= 1210 N, B= 1340 N
C. A= 1410 N, B= 1150 N
D. A= 1320 N, B= 1575 N
E. A= 1567 N, B= 1785 N
2.- Dos cables A y B sostienen un peso de 340 Newtons y ambas penden del
techo. La cuerda A se encuentra en el segundo cuadrante y forma un ángulo de
30° respecto del techo, la cuerda B se encuentra en el primer cuadrante y
forma un ángulo de 60° respecto del techo. Encuentre las tensiones de las
cuerdas A y B.
A. A= 160 N, B= 285 N
B. A= 190 N, B= 222 N
C. A= 150 N, B= 278 N
D. A= 170 N, B= 294 N
E. A= 190 N, B= 280 N
3.- Encuentre las tensiones de dos cuerdas A y B que sostienen a un peso de
80 Newtons. La cuerda A se encuentra sobre el eje x en el segundo cuadrante
y la cuerda B, forma un ángulo de 40° respecto al techo en el primer cuadrante.
A.- A = 85.2 N, B =120 N
B.- A = 95.3 N, B =124 N
C.- A = 78.8 N, B = 98 N
D.- A = 89.5 N, B = 90 N
E.- A =75.3 N, B =95 N
4.- Las ecuaciones que representan la primera condición de equilibrio son:
A. ΣM=0
B. ΣFz=0
45
C. ΣFy=0
D. ΣFx=0
E. ΣFx=0 ΣFy=0
5.- Encontrar el valor de las tensiones T1 y T2 de dos cuerdas que
sostienen un peso de 100 Newtons y ambas forman ángulos de 10° con
respecto al techo, en el primer y segundo cuadrantes respectivamente.
A.
B.
C.
D.
E.
T1 y T2=50 N
T1 y T2=33.33 N
T1 y T2=288.03 N
T1 y T2=75.5 N
T1 y T2=83.33 N
f. Bibliografía específica del tema 4.2. Equilibrio de una
partícula. Física General, Héctor Pérez Montiel.
Publicaciones Cultural. Cuarta reimpresión de la Segunda
Edición. 2004.
d. Desarrollo del tema 4.3. Momento de una fuerza.
Como se vio anteriormente la primera condición del equilibrio llamada
equilibrio traslacional, se enunciaba de la siguiente forma: “Un cuerpo se
encuentra en equilibrio traslacional si y solo si la suma vectorial de las fuerzas
que actúan sobre el es igual a cero”. Cuyas ecuaciones son las siguientes:
ΣFx= 0 y ΣFy= 0.
Un cuerpo puede encontrarse en equilibrio de traslación, sin embargo
puede estar girando sobre su propio eje debido a 2 o más fuerzas. Así por
ejemplo, la rotación del volante de un automóvil se debe a la capacidad que
tiene cada fuerza para hacerlo girar.
Para que un cuerpo esté en equilibrio de rotación, debe cumplirse la
segunda condición de equilibrio que dice: “para que un cuerpo esté en
equilibrio de rotación, la suma de los momentos o torcas de las fuerzas
que actúan sobre él respecto a cualquier punto debe ser igual a cero”.
Matemáticamente esta ley se expresa con la ecuación:
ΣM=0.
Antes de proceder a resolver problemas en los que se aplica la segunda
condición del equilibrio, veamos algunos conceptos básicos relacionados con
el:
Cuando sobre un cuerpo actúan fuerzas que no tienen una línea de
acción común, tal vez exista equilibrio trasnacional pero no necesariamente
equilibrio rotacional. En otras palabras, quizá no se mueva ni a la derecha ni a
la izquierda, tampoco hacia arriba ni hacia abajo, pero puede seguir girando.
La línea de acción de una fuerza es una línea imaginaria que se
extiende indefinidamente a lo largo del vector en ambas direcciones. Cuando
las líneas de acción de las fuerzas no se intersectan en un mismo punto, puede
haber rotación respecto a un punto llamado eje de rotación.
La distancia perpendicular del eje de rotación a la línea de la fuerza se
llama brazo de palanca de la fuerza, el cual determina la eficacia de una
fuerza dada para provocar el movimiento rotacional. Por ejemplo, si reejerce
46
una fuerza F a distancias cada vez mayores del centro de una gran rueda,
gradualmente será más fácil hacer girar la rueda en relación con su centro.
Se ha definido la fuerza como un tirón o un empujón que tiende a causar
un movimiento. El momento de torsión o torca M se define como la tendencia
a producir un cambio en el movimiento rotacional. En algunos libros se le llama
también momento de la fuerza, como ya hemos visto, el movimiento rotacional
se ve afectado tanto por la magnitud de la fuerza F como por su brazo de
palanca r, Por lo tanto definiremos el momento de torsión como el producto de
una fuerza por su brazo de palanca.
Momento de torsión = fuerza x brazo de palanca.
M=Fr
Es preciso entender que en la ecuación anterior r se mide en forma
perpendicular a la línea de acción de la fuerza F. Las unidades del momento de
torsión son las unidades de fuerza por distancia, por ejemplo Newton-metro
N.m (joule) y libra-pie (lb.ft).
Cuando una fuerza tiende a girar a un objeto en el sentido de las
manecillas del reloj, se le asigna un signo negativo, y cuando tiende a girar al
objeto en el sentido contrario a las manecillas del reloj se le asigna un signo
positivo.
El momento de una fuerza cuando dicha fuerza aplicada a un objeto
también puede calcularse con la siguiente ecuación:
M = F sen  r.
Se utiliza el seno del ángulo, puesto que la componente vertical de la
fuerza (Fy) es la componente por la cual el objeto tiende a girar.
Ejercicios
1.- Isaías quiere reparar su bicicleta con la ayuda de una llave de perico
aplicándole una fuerza de 850 Newton y un ángulo de 60° para hacer girar a la
tuerca. Calcular el momento de la fuerza si la llave mide 35 cm y se aplica en el
sentido contrario a las manecillas del reloj.
850 N
60º
Datos
F = 850 N
 = 60°
r = 35 cm = .35 m
M=?
47
M = F sen  r
M = (850 N) (sen 60°) (0.35 m)
M = 257.64 N. m
2.- Se ejerce una fuerza de 20 Newtons sobre un cable enrollado alrededor de
un tambor de 120 mm de diámetro. ¿Cuál es el momento de torsión producido
aproximadamente al centro del tambor, si la fuerza se aplica en el sentido de
las manecillas del reloj?.
120 mm
F = 20 N
Datos:
Fórmula:
Sustitución
F = -20 N
M = Fr
M = -20 N x 0.06 m.
r = 0.06 m
M=
M = -1.20 N.m = -1.20 J
48
Momento de torsión resultante.
En ocasiones los cuerpos están sometidos a 2 o más fuerzas que lo
mantienen en equilibrio, por lo tanto se debe hallar un momento de torsión
resultante que se obtiene al sumar los momentos de torsión de cada una de las
fuerzas, que se determina con la ecuación:
MR = M1 + M2 + M3 + M4 + ….. Mn
Donde MR= Momento de torsión resultante.
M1, M2. M3, M4= Momentos de torsión de las fuerzas 1, 2, 3, 4 y n
fuerzas que se aplican al cuerpo.
En este tipo de problemas se deben aplicar las 2 condiciones del
equilibrio (trasnacional y rotacional), para que el cuerpo esté totalmente en
equilibrio. Al aplicar la primera condición de equilibrio, las fuerzas que actúan
hacia arriba se consideran positivas y las que actúan hacia abajo
negativas.
Para calcular el momento de torsión resultante en un cuerpo siga los
siguientes pasos:
1.- Lea el problema y luego dibuje la figura y marque los datos.
2.- Construya un diagrama de cuerpo libre que indique todas las fuerzas,
distancias y el eje de rotación. Cuando se considere el peso del cuerpo, este
recaerá en el centro geométrico del mismo (a la mitad). En ocasiones hay
problemas en los cuales se desprecia el peso del cuerpo, en este caso los
cálculos se harán con las fuerzas que estén sobre el objeto.
3.- Extienda las líneas de acción de cada fuerza utilizando líneas punteadas.
4.- Dibuje y marque los brazos de palanca para cada fuerza.
5.- Calcule los brazos de palanca si es necesario.
6.- Calcule los momentos de torsión debidos a cada fuerza independientemente
de las otras fuerzas, asegúrese de asignar el signo apropiado (+ ó -).
7.- El momento de torsión resultante es la suma algebraica de los momentos de
torsión de cada fuerza.
49
Ejercicios:
2.- Karina quiere colocar 2 floreros en el jardín de su casa con la ayuda de una
varilla unida a la pared y el otro extremo colgada de una cuerda que tiene un
valor de 70 kg. Conociendo que pesan 12 y 25 kg. Calcular la torsión de la
barra, con respecto a la pared si ésta mide 4 metros.
1m
2m
1m
80º
Datos
W1 = 12 Kg
W1= 12K
W2= 25Kg.
W2 = 25 Kg
F = 70 Kg
R1 = 1 m
R2 = 3 m
R3 = 4 m
1 = 90
2 = 90
3 = 80
Solución: el peso de los floreros con respecto a la pared, tenderían a rotar a la
varilla en el sentido de las manecillas del reloj, por lo tanto se les asigna un
signo negativo, y la tensión de la cuerda, que es la que sostiene a la varilla
(fuerza de reacción), tendería a rotarla en el sentido contrario a las manecillas
del reloj, por lo cual se le asigna un signo positivo. El seno de 90° es igual a
uno, por lo cual con sólo multiplicar la fuerza o peso de los 2 floreros por su
brazo de palanca a la pared da el mismo resultado.
M = -(1 m)(12kg)(sen 90°)–(25kg)(3m)(sen 90°) + (70kg)(4m)(sen
80°)
M = -87 kg.m+ 275.74 kg.m
M = 188.74 kg.m.
50
3.- Calcula las reacciones en la viga, según nos indica el dibujo.
F1 = 6T
F2 = 4T
2m
3m
R1
F3 = 5T
R2
En el caso de R1, y R2 al ser fuerzas dirigidas hacia arriba se
toman como positivos y las fuerzas F1, F2 y F3 al estar dirigidas
hacia abajo se toman como negativos.
Aplicando la primera condición de equilibrio:
y = R1 + R2– F1 – F2 – F3 = 0
y = R1 + R2-6 T-4 T- 5 T= 0
y = R1+R2 -15 T= 0
despejando tenemos :
y = R1 + R2 = 15 T ecuación 1.
Aplicando la segunda condición de equilibrio: eligiendo el punto R1 como
para medir los brazos de palanca de las otras fuerzas tenemos: En este
caso la fuerza F1 al aplicarse en el mismo punto que R1, no tiene brazo
de palanca, por lo tanto no tiene momento de torsión, en el caso de F2 y
F3, con respecto a R1 tenderían a rotar a la viga en el sentido de las
manecillas del reloj, por lo cual se les asigna un signo negativo. R2 es
una fuerza dirigida hacia arriba, tendería a rotar a la viga en el sentido
contrario a las manecillas del reloj, por lo cual se le asigna un signo
positivo.
MR1= (R2) (5 m) – (F2) (2 m) – (F3) (5 m)= 0
= (R2) (5 m)- (4 T) (2 m)- (5 T) (5 m)= 0
= (R2) (5 m)- 8 T.m- 25 T.m= 0
= (R2) (5m) – 33 T.m= 0
= (R2) (5m)= 33 T.m.
Despejando R2 tenemos:
R2 = 33 T.m
5m
R2 = 6.6 T
51
Sustituyendo el valor de R2 en la ecuación 1 tenemos:
R1 + R2 = 15 T. Por lo tanto R1 = 15 T- R2.
R1= 15 T- 6.6 T = R1= 8.4 T.
4.- Sobre una barra uniforme de 5 metros se coloca un peso de 60 N a 3
metros del punto de apoyo como se ve en la figura. Calcular a) El peso que se
debe aplicar en el otro extremo para que la barra quede en equilibrio. b) La
Tensión que soporta el cable que sujeta la barra. considere despreciable el
peso de la barra.
3m
60 N
2m
P2 = ¿
52
Diagrama de cuerpo libre.
T=¿
r1 = 3 m
r2 = 2 m
¿
O
P1 = 60
N
P2 = ¿
a) Para que el cuerpo esté en equilibrio de traslación y rotación tenemos
que:
ΣF = 0 = T + (-P1)+ (-P2)….. (1)
ΣMo =0 = Mp1 + (-Mp2) = 0…. (2)
Sustituyendo en la ecuación 1 :
ΣF = T- 60 N-P2= 0
T = 60 N+ P2.
b) Para calcular el valor de la tensión debemos conocer el peso que
equilibrará al sistema, de donde al sustituir en la ecuación 2, tenemos que la
suma de momentos en el punto O es igual a:
ΣMo= P1r1-P2r2= 0
P1r1 = P2r2. despejando P2 tenemos:
P2 = P1r1 P2 = 60 N x 3 m = 90 N
r2
2m
Por lo tanto el peso que equilibra es de 90 N y la tensión del cable es:
T = P1 + P2 = 60 N + 90 N = 150 N
5.- Una viga uniforme de peso despreciable soporta 2 cargas como se ve en
la figura. Calcular a) ¿Cuál es el valor de la fuerza de reacción R que se
ejerce para equilibrar la viga? b) ¿Dónde debe colocarse la fuerza de
reacción respecto al punto A?.
53
A
B
6m
R
C2 = 400 N
C1 = 300 N
Diagrama de cuerpo libre:
A
6m
B
rR=¿
C1 =
300 N
R=¿
Solución: Para que el cuerpo esté en equilibrio:
ΣF = 0 = R + (-C1)+ (-C2) = 0 …. (1)
ΣMA = 0 = R rR + (-C2r2)…. (2)
Sustituyendo en 1:
ΣF = R – 300 N- 400 N= 0
R = 700 N
C2 =
400 N
54
b) Sustituyendo en 2 y tomando momentos respecto al punto A:
ΣMA = 700 N (rR)- 400 N (6 m) = 0
ΣMA = 700 N (rR)- 2400 N.m = 0
ΣMA = 700 N (rR) = 24400 N.m
despejando rR tenemos:
rR = 2400 N.m = 3.43 m
700 N
por lo tanto, la reacción tiene un valor de 700 N, que equivale a la suma de
las dos cargas y queda colocada a 3.43 m del punto A.
e. Evaluación del tema 4.3. Momento de una fuerza
1.- Una viga de 4 m de longitud soporta dos cargas, una de 200 N y otra de
400 N como se ve en la figura. Determinar los esfuerzos de reacción a que
se encuentran sujetos los apoyos, considere despreciable el peso de la
viga.
400 N
200 N
1m
A
A.- RA = 450 N RB = 150 N
B. RA = 350 N, RB = 250 N
C. RA = 200 N, RB = 400 N
D. RA = 150 N RB = 450 N
E. RA = 250 N, RB = 350 N
2m
1m
B
55
2.- Considere la situación que se muestra en la figura siguiente. Una viga
uniforme que pesa 200 N está sostenida por dos soportes A y B. De
acuerdo con las distancias y fuerzas que aparecen en la figura, ¿cuáles son
las fuerzas ejercidas por los soportes A y B?
10 m
4m
300 N
400 N
A
12 m
A.
B.
C.
D.
E.
A = 717 N, B = 183 N
A = 183 N. B = 717 N
A = 246 N, B = 555 N
A = 278 N, B = 478 N
A = 432 N , B = 134 N
B
56
3.- Una viga de 6 metros de longitud, cuyo peso es de 700 N, soporta una
carga de 1000 N que forma un ángulo de 60° y otra de 500 N, como se ve
en la figura. Determinar las fuerzas de reacción de los soportes A y B.
F1 = 1000 N
F2 = 500 N
1m
60°
A
B
6m
A.- A = 234.5 N. B = 498.9 N
B.- A = 994.3 N, B = 1071.7 N
C.- A = 546.2 N, B = 135.2 N
D. - A = 456.3 N. B = 765.4 N
E.- A= 1071.7 N, B = 994.3 N
4.- El enunciado “La suma algebraica de todos los momentos de torsión en
relación con cualquier eje debe ser cero”. Pertenece a:
A.
B.
C.
D.
E.
Segunda Ley de Newton
Primera Ley de Newton
Segunda condición de equilibrio
Primera condición de equilibrio
Tercera Ley de Newton
5.- El _____________________ se define como la tendencia a producir un
cambio en el movimiento rotacional de un cuerpo.
A.
B.
C.
D.
E.
Brazo de palanca
Cantidad de movimiento
Fuerza
Momento de torsión
Impulso
57
f. Bibliografía específica del tema 4.3. Momento de una fuerza.
Física General. Héctor Pérez Montiel. Publicaciones Cultural.
Cuarta reimpresión 2004.
7.- Evaluación de la Unidad temática IV. Introducción a la
estática de la partícula y del cuerpo rígido.
a. Trabajo documental.- Los 3 primeros equipos investigarán en
otros libros y sitios de internet los conceptos de cantidades
escalares y vectoriales y ejemplos, y resolver 5 problemas cada
equipo hallando el vector resultante, tanto por los métodos
gráficos como por el método analítico.
Los equipos 4, 5 y 6 buscarán más información en libros y en
sitios de internet, los componentes rectangulares de una fuerza
en el plano y resolverán 8 problemas cada equipo, hallando las
componentes rectangulares de los vectores Fx y Fy. Resolviendo
para 2 vectores en cada cuadrante.
Los equipos 8, 9 y 10, buscarán más información y en sitios
de internet vectores en el espacio y cada equipo resolverá 4
problemas, hallando el vector resultante dadas las componentes,
hallando los cosenos directores dada la fuerza resultante y las
componentes, hallando las componentes, dada la fuerza
resultante y las distancias de las componentes (dx, dy, y dz) y
Hallando uno de los cosenos directores, la fuerza resultante y las
dos componentes restantes de la fuerza, cuando sólo se dan dos
de los ángulos y una sola de las componentes de la fuerza.
Los equipos 11, 12 y 13, buscarán más información sobre la
primera y segunda condición de equilibrio en libros y sitios de
internet y resolverán 6 ejercicios, 3 aplicando la primera
condición de equilibrio hallando tensiones de cuerdas y 3
aplicando las 2 condiciones de equilibrio hallando soportes que
sostienen a una viga o una barra ligera.
58
b. Reactivos de Evaluación de la unidad Temática IV
1.-Una cantidad ____________ se especifica totalmente por su
magnitud, que consta de un número y una unidad. Por ejemplo:
rapidez (15 millas/hora), distancia (12 km) y volumen (200 cm3).
A.
B.
C.
D.
E.
Absoluta
Relativa
Específica
Vectorial
Escalar
2.- Una cantidad _______________ se especifica totalmente por una
magnitud y una dirección y consiste en un número, una unidad y una
dirección. Por ejemplo, desplazamiento (20 metros, norte) y velocidad (40
millas/hora, 30° Noroeste)
A.
B.
C.
D.
E.
Específica
Vectorial
Escalar
Absoluta
Relativa
3.- Son 2 métodos gráficos para sumar vectores
A.
B.
C.
D.
E.
Teorema de Pitágoras y Ley de cosenos
Polígono y paralelogramo
Ley de senos y Teorema de Pitágoras
Ley de senos y ley de cosenos
Ley de senos y de tangentes
4.- Es la parte de la física que estudia a los cuerpos en equilibrio.
A.
B.
C.
D.
E.
Dinámica
Termodinámica
Termología
Estática
Mecánica
5.- Tres embarcaciones ejercen fuerzas ejercen sobre un gancho de
amarre. La fuerza 1= 420 N a 60° Noreste, la fuerza 2= 150 N al norte y la
fuerza 3= 500 N a 40° al Noroeste. Halle la resultante de de estas 3 fuerzas
y su dirección.
A.
B.
C.
D.
900 N, 95°
853 N, 101.7°
820 N, 91°
755 N, 78°
59
E. 730 N, 75°
6.- Una fuerza actúa en el origen de un sistema coordenado en la dirección,
definida por los ángulos, Θx=69.3° y Θz=57.9°. Sabiendo que la
componente y de la fuerza es de -174 lb, determine: a) el ángulo Θy, b) las
componentes Fx y Fz de la fuerza y la magnitud de la fuerza F.
A. a) 134.4°, b)Fx=89.9 lb, Fz=144.2 lb, F=245 lb
B. a) 135.5°. b)Fx=85.5 lb, Fz=145.5 lb, F=240 lb
C. a) 150.4°, b)Fx=96.6 lb, Fz= 140.4 lb, F=250 lb
D. a) 160.2°, b)Fx= 92.8 lb, Fz=130.3 lb, F=250 lb
E. a) 140.3°, b) Fx= 79.9 lb, Fz= 120.1 lb, F=226 lb
7.- Una plataforma de 10 ft que pesa 40 libras, está apoyada por los
extremos en escaleras de tijera. Un pintor que pesa 180 libras se ha
colocado a 4 ft del extremo derecho. Encuentre las fuerzan que ejercen los
soportes A y B.
A.
B.
C.
D.
E.
A = 128 lb, B =92 lb
A= 140 lb, B =80 lb
A =120 lb, B =100 lb
A =92 lb, B =120 lb
A =80 lb, B = 200 lb
8.- Encontrar las tensiones de 2 cuerdas T1 y T2 que sostienen un peso de
50 Newtons. T1 se encuentra sobre el eje x en el primer cuadrante y T2
forma un ángulo de 35° con respecto al muro vertical en el segundo
cuadrante.
A.
B.
C.
D.
E.
T1=52 N y T2=65.5 N
T1=38 N y T2=72.04 N
T1=44 N y T2=68.02 N
T1=35N y T2=61.03 N
T1=50 N y T2=75.68 N
9.- Encontrar el valor de las tensiones T1 y T2 que sostienen un peso
de 300 Newtons. T1 se encuentra en el primer cuadrante y forma un
ángulo de 56° respecto al techo, T2 se encuentra en el segundo
cuadrante y forma un ángulo de 34° respecto al techo en el segundo
cuadrante.
A.
B.
C.
D.
E.
T1=125.55 N y T2=233.3 N
T1=248.71 N y T2=167.77 N
T1=167.77 N y T2=248.71
T1=140.8 N y T2=288.88 N
T1=206.3 N y T2=125.8 N
60
10.- Encontrar las tensiones T1 y T2 de 2 cuerdas, que sostienen un peso de
400 Newtons, T1 se encuentra en el primer cuadrante y forma un ángulo de 40°
con respecto al techo, T2 se encuentra sobre el eje x en forma horizontal en el
segundo cuadrante.
A.
B.
C.
D.
E.
T1=622.28 N, T2=476.67 N
T1=602.32 N T2=422.3 N
T1=588.2 N, T2=408.2 N
T1=570.8 N, T2=444.4 N
T!=615.55 N, T2=435.5 N.