EJERCICIOS DE SIMPLIFICACION DE - Sección 7101-13

7. Leyes del Condicional:
a) p → q ≡ ~p ٧ q
b) ~ (p → q) ≡ p ٨ ~q
8. Leyes del Bicondicional:
a) p ↔ q ≡ (p → q) ٨ (q → p)
b) p ↔ q ≡ (p ٨ q) ٧ (~p ٨ ~q)
10. Leyes de Transposición:
a) (p → q) ≡ (~q → ~p)
b) (p ↔ q) ≡ (~q ↔ ~p)
11. Ley de Exportación:
(p ٨ q) → r ≡ p → (q → r)
12. Formas normales:
• Para la Conjunción: V ٨ V ≡ V; V ٨ P ≡ P; F ٨ P ≡ F
• Para la Disyunción: F ٧ F ≡ F; F ٧ P ≡ P; V ٧ P ≡ V
13. Elementos Neutros para la Contradicción y Tautología:
P ٨ C = C; C ٧ T = T; P ٧ T = T; C ٨ T = C
donde: T= Tautología (Verdad),
C = Contradicción (Falso),
P = Esquema Molecular Cualquiera
SIMPLIFICACIÓN DE PROPOSICIONES
La simplificación de una proposición, o dicho de otra manera, la
simplificación de una expresión lógica consiste en reducir la expresión
lógica a una forma más simple mediante el uso de los axiomas y/o
leyes lógicas.
La simplificación consiste en ir desarrollando la expresión paso a paso
mediante la sustitución en cada paso de una expresión lógica
equivalente a la anterior, hasta llegar a una expresión lógica
irreducible.
A través de la simplificación podemos también demostrar una
equivalencia lógica sin usar tablas de verdad.
1.-
Simplificar la expresión:
[(p p)  q]  [~q  (r  q)]  [p  (p  ~q)]
la ley que utiliza
[(~p  p)  q]  [~q  (r  q)]  [~p  (p  ~q)]
Condicional
[(~p  p)  q]  [~q  (r  q)]  [(~p  p)  ~q]
Asociativa
(V  q)  [~q  (r  q)]  (V  ~q)
Forma Normal
V  [~q  (r  q)]  V
Forma normal
V  V  [~q  (r  q)]
Asociativa
Recuerde Ubicar
V  [~q  (r  q)]
Forma normal
~q  (r  q)
Distributiva
(~q  r)  (~q  q)
Elemento neutro
(~q  r)  V
Forma normal
~q  r
2.- Simplificar
[~(p  q)  (~p  q)]  (~p  q
Ley de Morgan
[(~p  ~q)  (~p  q)]  (~p  q)
Distributiva
[~p  (~q  q)]  (~p  q)
Complemento
(~p  V)  (~p  q)
Forma Normal
~p  (~p  q)
Condicional
~ (~p)  (~p  q)
Doble negación
p  (~p  q)
Distributiva
(p  ~p)  (p  q)
Complemento
V  (p  q)
Forma Normal
pq
3.
[(p ~q)  ~p ]  q
Condicional
~ [~ (~p v ~q) v ~p ] v q
Morgan
[~~ (~p v ~q) ˄ ~~p ] v q
Doble negación
[ (~p v ~q) ˄ p ] v q
Conmutativa
[ p ˄ (~p v ~q) ] v q
Distributiva
[ (p ˄ ~p ) v (p ˄ ~q) ] v q
Complemento
[ F v (p ˄ ~q) ] v q
Forma Normal
(p ˄ ~q) v q
Conmutativa
q v (p ˄ ~q)
Distributiva
(q v p) ˄ (q v ~q)
Complemento
(q v p) ˄ V
Forma Normal
(q v p)
4. [(p ˄ q)  ~r] v [p  (q ~r)]
Condicional
[~ (p ˄ q) v ~r] v [~p v (~q v ~r)]
Morgan
[(~p v ~q) v ~r] v [~p v (~q v ~r)]
Elimino signos de agrupación
~p v ~q v ~r v ~p v ~q v ~r
Asociación
(~p v ~p) v (~q v ~q) v (~r v ~r)
Idempotencia
~p v ~q v ~r
Morgan
~ (p ˄ q ˄ r)
Simplificar las siguientes proposiciones aplicando las leyes:
1. ~{[(~p)  (~q)]  ~q ]}
 ~{[ ~p  (~q  ~q)] }
 ~[~p  ~q]
 ~~p  ~(~q)
pq
Asociativa
Idempotencia
Morgan
Doble Negación
2. [~p  q]  [~q  ~p]
3. ( p  ~p)  [p  (q  p)]
4. [~ (p  q)  ~ (q  p)]  (p  q)
5. {[(p  q)  ~q]  ~q}
6. ~ [(p  p)  p]
7. [(p  ~q)  q]  p
8. ~ [~ (p  q)  ~q]  q
9. [(~p  q)  (r  ~r)]  ~q
10.
[(p  q)  (p  ~q)]  (~p  ~q)
11.
[(~p  q)  (r  ~r)]  ~q
12.
[(p p)  q]  [~q  (r  q)]  [p  (p  ~q)]
13.
[~(p  q)  (~p  q)]  (~p  q)
14.
[( p  ~ q )  ~p ]  q
15.
[( p Λ q )  ~r] v [ p  ( q  ~r)]
FUNDAMENTOS DE LOGICA SIMBOLICA
1)
Para describir los diversos restaurantes de la ciudad, denotemos
con p “la comida es buena” ; con q “el servicio es bueno” y con r “es
de tres estrellas”. Escribir simbólicamente las siguientes
proposiciones :
a) La comida es buena o el servicio es bueno, o ambas cosas
b) La comida es buena o el servicio es bueno, pero no ambas
cosas.
c) La comida es buena y el servicio no.
d) No sucede que tanto la comida sea buena como que el
restaurante sea de tres estrellas
e) Si tanto la comida como el servicio son buenos, entonces el
restaurante es de tres estrellas
f) No es cierto que ser de tres estrellas siempre signifique buena
comida y buen servicio.
2)
Denotemos con p “el clima es agradable” y con q “vamos de día de
campo”. Traducir las siguientes proposiciones al lenguaje coloquial
y, si es posible, simplificar :
a) p  q
3)
b) p ↔ q
c) q → p
Construir las tablas de verdad de los siguientes esquemas
proposicionales :
a) (p  q)  p
b) (p  q) → p
c) p ↔ (p  q)
d) (q → p) → (p → q) e) (p  q)  ( r)
4)
Los valores de verdad de las proposiciones p ; q ; r y s son
respectivamente V ; F ; F y V. Obtener los valores de verdad de :
i) [(p  q)  r]  s
5)
ii) r → (s  p)
r es V
ii) (p  q) → ( p   q) ;
q es V
Determinar, si es posible, el valor de verdad de las siguientes
proposiciones :
a) (p  q) → q
b) p  (p ↔ q)
c) [ (p  q)   q] → q
7)
iii) (p  r) ↔ (r   s)
Determinar en cada caso si la información que se da es suficiente
para conocer el valor de verdad de las siguientes proposiciones
compuestas. En caso afirmativo, justificarlo.
i) (p → q) → r ;
6)
f)  (r → r)
si
si
si
p → q es Falso
p → q es Verdad
p es Verdad y q es Verdad
Simplificar las siguientes proposiciones :
a)  ( p   q)
b)  (p  q)  ( p   q)
8) Determinar si las siguientes proposiciones son leyes lógicas :
i) p  q → r
iii) p  [ p ↔ q ]
ii) [ (p → q)  (q → r) ] → (p → r)
9)
Negar los siguientes esquemas
expresiones equivalentes
proposicionales
y
obtener
i) (p  q) → r
ii) p  q
iii) q  r
iv) p  (q → r)
FUNDAMENTOS DE LOGICA SIMBOLICA
1)
Denotemos con p “el material es interesante” ; con q “los ejercicios
son difíciles” y con r “el curso es agradable”. Escribir las siguientes
afirmaciones en forma simbólica :
a) el material es interesante y los ejercicios son difíciles
b) el material no es interesante, los ejercicios no son difíciles y el
curso no es agradable.
c) Si el material no es interesante y los ejercicios no son difíciles
entonces el curso no es agradable.
d) Que el material sea interesante significa que los ejercicios son
difíciles y viceversa
e) O el material es interesante o los ejercicios no son difíciles
pero no ambas cosas.
2)
Escribir las siguientes afirmaciones en forma simbólica :
a) El sol brilla y la humedad no es alta
b) Si termino mi tarea antes de la cena y no llueve, entonces iré
al partido de fútbol
c) Si no me ves mañana significa que habré ido a la playa
d) Si el costo de las utilidades crece o se niega la requisición de
fondos los adicionales, entonces compraremos una nueva
computadora si y solo si podemos mostrar que los recursos de
cómputo son, en efecto, insuficientes.
3)
a) Escribir una afirmación compuesta que sea verdadera cuando
exactamente dos de tres afirmaciones p ; q y r sean verdaderas.
b) Escribir una afirmación compuesta que sea verdadera cuando
ninguna, o una, o dos de las tres afirmaciones p ; q y r sean
verdaderas.
4)
Determinar en cada caso si la información que se da es suficiente
para conocer el valor de verdad de las siguientes proposiciones
compuestas. En caso afirmativo, justificarlo.
i) (p  q) → (p  r) ;
5)
es V
ii)  (p  q)  q
Determinar si las siguientes proposiciones son leyes lógicas
i) p → (p  q)
7)
ii) p  (q → r);(p → r)
Simplificar los siguientes esquemas proposicionales aplicando las
leyes :
i)  (p  q)
6)
p es V y r es F
ii) p → (p  q)
Los valores de verdad de las proposiciones p ; q ; r y s son
respectivamente : V ; F ; F y V. Obtener los valores de verdad de :
a) [ (p  q)  r]  s
8)
b) (r → s)  (p → s)
c) (s  q) → p
Demuestre por tablas de verdad las siguientes leyes :
i) [ (p  q)  q ] → q ii) (p  q) ↔ p  q iii) (p  q) ↔ p  q
En los siguientes párrafos transfórmelos a formulas lógicas:
9)
Antonio, Miguel y Juan perteneces al club Alpino. Cada miembro
del club esquía, escala o ambas cosas. A ningún escalador le
gusta la lluvia y a todos los esquiadores les gusta la nieve. A
Miguel le disgusta lo que a Antonio le gusta, y le gusta lo que a
Antonio le disgusta. A Antonio le gusta la lluvia y la nieve. ¿ Hay
algún miembro del club Alpino que sea escalador pero no
esquiador ?
10) Cierto
país está habitado por personas que siempre dicen la
verdad o que siempre mienten, y que responderán preguntas solo
con “si” o “no”. Un turista llega a una bifurcación en el camino, una
de cuyas ramas conduce a la Capital y la otra no. No hay un letrero
que diga qué camino seguir, pero hay un nativo, el señor z, parado
en la bifurcación. ¿ Qué única pregunta deberá hacerle el turista
para determinar qué camino seguir ?.
11)
Determine si cada una de las afirmaciones de los ejercicios 1-8
es una proposición. Si la afirmación es una proposición, escriba
su negación. (No se le piden los valores de verdad de las
afirmaciones que son proposiciones).
1.
2 + 5 = 19 ←
2. Mesero, ¿puede traer las nueces? Es decir, ¿puede servir las
nueces a los invitados?
3. Para algún entero positivo n, 19340 = n• 17.
4. Autrey Meadow fue la “Alicia” original en “The
Honeymooners”. ←
5. Pélame una uva.
6. La frase “Hazlo de nuevo, Sam” aparece en la película
Casablanca.
7. Todo entero mayor que 4 es la suma de dos números primos.
←
8. La diferencia de dos primos.
12)
Ejercicio de aplicación 2
Construir la tabla de verdad de (p → ~q) ∨ r.
El número de casos o filas que tiene la tabla de verdad de una
proposición compuesta es siempre 2n, siendo n el número de
proposiciones simples de que consta. Por ejemplo, si intervienen
tres proposiciones habrá: 23 = 8 casos.
13)
Evalúe cada proposición en los ejercicios 1 – 6 con los valores de
verdad.
p = F, q = V, r= F.
1. p ∨ q Verdadero
2. ~p ∨ ~q
3. ~p ∨ q
4. ~p ∨ ~ (q ^ r) Verdadero
5. ~ (p ∨ q) ^ (~p ∨ r)
6. (p ∨ ~r) ^ ~ ((q ∨ r) ∨ ~ (r ∨ p))