Concurso de primavera 13-14. Nivel III. SOLUCION 15 problema 24
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Concurso de primavera 13-14. Nivel III. Semana VIII - Soluciones problema 24 - Primera fase 2010- SOLUCION 15 La suma de los divisores de 210 es: A) 2001 B) 2009 C) 2021 D) 2035 E) 2047 Los divisores de 210 son 1, 2, 22 , 23 , ..., 210 . Corresponden a los once primeros términos de una a1 · r n − a1 progresión geométrica de razón r = 2. Su suma por lo tanto, Sn = , para n = 11 es: r−1 1 · 211 − 1 = 2048 − 1 = 2047 S11 = 2−1 problema 22- Primera fase-2010 SOLUCION 16 En el trapecio rectángulo ABCD, de bases AB y CD, con AB < CD, se verifica que la altura AD mide 7 cm y que AB + CD = BC. ¿Cuánto es, en cm2 , el producto AB · CD? A) 12 B) 120 25 C) 120 5 D) 120 75 E) 13 A B H P D C En la figura P D = AB y BC = P C. El triángulo BCP es isósceles pues AB + CD = BC. Si trazamos la altura de este triángulo sobre el lado desigual obtenemos dos triángulos rectángulos. El triángulo rectángulo P CH tiene por altura HD = 7 AD = . 2 2 Si aplicamos el teorema de la altura en este triángulo rectángulo (el cuadrado de la altura Concurso de primavera 13-14. Nivel III. Semana VIII - Soluciones sobre la hipotenusa es igual al producto de las longitudes de los segmentos que determina) tenemos que: 2 7 = P D · DC 2 49 = AB · DC Es decir, 4 Luego, AB · DC = 49 : 4 = 120 25 cm2
