Guías de Problemas Guía de Problemas N0 1 Teoría cinética de los

Guías de Problemas
Guía de Problemas N0 1
Teoría cinética de los gases y mecánica estadística.
1.
a) Calcular la energía cinética media de traslación de una molécula de gas a
300o K.
b)Calcular la velocidad cuadrática media si el gas es hidrógeno, oxígeno,
nitrógeno y vapor de mercurio.
c)Calcular la presión si la densidad es de n=3x1025 moléculas/m3.
2.
T , donde g es la
La velocidad de escape de un objeto de la tierra es: e
6
aceleración de la gravedad y RT=6.4 x 10 m es el radio terrestre. Explicar por
qué el oxígeno y el nitrógeno quedan en la atmósfera terrestre y el hidrógeno no.
Cuando un líquido y su vapor están en equilibrio, la velocidad de evaporación del
líquido y la de condensación del vapor son iguales. Suponer que cada molécula
del vapor que alcanza la superficie del líquido se condensa, y suponer que la
velocidad de evaporación es la misma cuando el vapor se extrae rápidamente de
la superficie, que cuando el líquido y el vapor están en equilibrio. La presión de
vapor de mercurio a 0o C es 185 x 10-6 mm. Calcular la velocidad de evaporación
del mercurio en el vacío en gr/(cm2-s) a la temperatura de 0o C.
Un vaso de volumen 2V se divide en compartimientos de igual volumen mediante
un tabique delgado. El lado izquierdo contiene inicialmente un gas ideal a la
presión p0, y el lado derecho está inicialmente evacuado. Se practica en el
tabique un pequeño orificio de área A. Deducir una expresión de la presión p1 del
lado izquierdo en función del tiempo y suponer que la temperatura permanece
constante y es igual a ambos lados del tabique.
Una partícula de humo tiene una masa m=5 10-14 g se mueve en el aire cuya
temperatura es de 30o C.
a) Determinar la velocidad cuadrática media de la partícula.
b) Si se considera la partícula como una esfera de r=2 x 10-5 cm, estimar el
número de choques por segundo contra moléculas del aire.
Un recipiente de un litro contiene gas oxígeno a presión atmosférica y a
temperatura de 300o K.
a) ¿Cuántos choques por segundo efectúa una molécula contra otras moléculas?
b) ¿Cuántas moléculas chocan contra un cm2 de la superficie del recipiente, por
segundo?
c) ¿Cuántas moléculas hay en el recipiente?
El recorrido libre medio de las moléculas de un cierto gas a 25o C es 2.63 x 10-5
m.
a)Si el radio de la molécula es 2.56 x 10-10 m, hallar la presión del gas.
b) Calcular el número de choques que efectúa una molécula por metro de
recorrido.
Encontrar la distribución de probabilidad para la energía cinética en un gas
ideal en equilibrio termodinámico. Cuánto es el valor medio de esta energía
cinética?
Hallar la densidad del aire como función de la altura en la atmósfera.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
v = 2 gR
10.
Del espectro de absorción proveniente de una estrella se determina que 1
de cada 106 átomos de hidrógeno están en su primer estado excitado ( a 10,2
eV por encima del estado fundamental). Cuál es la temperatura de la estrella?
Pág. 1
BBachillerato Uni. Ciencias -
UNSAM
(Tome para el cociente de los pesos estadísticos de estos dos estados el valor
4).
11. El primer estado rotacional de una molécula de H2 (g1 = 3) esta aprox. 4 x
10-3 eV por encima del estado más bajo (g0=1). Cuál es el cociente de los
números de ocupación de estos estados a 300 K?
12. Cuál sería el calor específico (cv) clásico de un gas de He, H2 y de CO2? Dé
también el cv del diamante.
Pág. 2
BBachillerato Uni. Ciencias -
UNSAM
Guía de Problemas N0 2
Los orígenes de la mecánica cuántica
1- Considere que el sol irradia como cuerpo negro. Sabiendo que el radio del sol es
Rs=7x1010 cm, que la distancia sol-tierra es Rst=1.5x1013 cm, y que la energía por
unidad de área y tiempo que llega a la tierra es W=1.4x106 erg/(cm2 seg)
estimar la temperatura en la superficie del sol.
2- ¿Cuál sería la temperatura de una estrella de igual tamaño que el sol ubicada a
4 a.l. de la tierra si la energía por unidad de área y tiempo que nos llega de ella
es 1/10 de la que llega del sol?
3- Considere un gas a temperatura T para el cual vale la relación p =
1
u siendo u
3
la energía interna por unidad de volumen (u depende solo de la temperatura) y p
la presión del gas.
a) Demuestre que u = αT 4 (α es una constante).
b) Calcule su entropía. ¿Cuál es la ecuación de las adiabáticas?
c) ¿Qué‚ imagina que sucede con este gas en una expansión isotérmica?
(Nota: Un gas que cumple con estas características es el llamado "gas de fotones".)
4- a) A partir de la ley de Wien, uT(λ)=T5 f(λT), demostrar que la longitud de onda
para la cual se produce el máximo de emisión obedece la ecuación λT =cte.
b) Calcular la longitud de onda para la cual se produce la máxima emisión de
energía del sol.
5- a) Hallar la relación entre la densidad de energía interna uT(λ) y la energía que
emite el cuerpo negro por unidad de área y tiempo RT(λ) para cada longitud de
onda λ.
b) Demostrar que en una cavidad con radiación en equilibrio térmico el número
de modos de oscilación por unidad de volumen es:
dn =
8π
λ4
dλ
d) Usando la hipótesis de Planck, hallar uT( ). Encontrar una expresión para la
constante de Stefan-Boltzman en términos de k, h y c (constante de
Boltzmann, de Planck y velocidad de la luz respectivamente)
Dato:
∫
∞
0
x3
π4
dx =
ex −1
15
6. Explique el comportamiento del calor específico del diamante en función de la
temperatura a partir de la cuantificación del oscilador. Muestre como se recupera el
resultado clásico de Dulong y Petit.
7-a) Los datos del potencial de frenado vs longitud de onda en una experiencia de
iluminación de una placa de sodio son:
λ(Å)
V0(Volts)
2000
4.20
3000
2.06
4000
1.05
5000
0.41
6000
0.03
obtener gráficamente la función trabajo , la frecuencia de corte y el valor de h/e.
Pág. 3
BBachillerato Uni. Ciencias -
UNSAM
8- En una dispersión Compton un electrón adquiere una energía cinética de 0.1 MeV
cuando un fotón X de 0.5 MeV de energía incide sobre él.
a) Determinar la longitud de onda del fotón dispersado, si el electrón se hallaba
inicialmente en reposo.
b) Hallar el ángulo de dispersión del fotón respecto de la dirección de incidencia.
9-a) Demostrar que el efecto fotoeléctrico no puede ocurrir con un electrón libre.
c) ¿Por qué no puede observarse efecto Compton con luz visible? ¿Puede
observarse fotoeléctrico?
10- Incide luz monocromática de longitud de onda λ sobre una placa cuya función
trabajo es φ, arrancando electrones por efecto fotoeléctrico. Estos electrones
alcanzan una región donde existe un campo magnético B perpendicular a la
velocidad de los electrones. Calcular el radio de giro de los electrones en función de
φ.
11- Considere una superficie de potasio a 75 cm de una lámpara de 100W de 5 %
de eficiencia. Cada átomo de potasio tiene un radio aproximado de 1.3 Angström.
Determinar el tiempo requerido por cada átomo para absorber una cantidad de
energía igual a su función trabajo (φ=2eV) de acuerdo a la interpretación clásica.
12- a) Hallar la máxima energía que un fotón de 50 keV de energía le transfiere a un
electrón libre.
¿Cuál es la energía cinética de un electrón dispersado un ángulo θ? Expresarla en
términos de la energía del fotón incidente.
13-Una partícula alfa de 5 MeV alcanza a un núcleo de oro con un parámetro de
impacto de 2.6 x 10-13 m. ¿Bajo qué ángulo será dispersada?
14-¿Qué fracción de un haz de partículas alfa de 7.7 MeV que inciden sobre una
lámina de oro de 3 x 10-7 m de espesor se dispersa según un ángulo igual o superior
a 900?
15-Un haz de partículas alfa de 8.3 MeV se lanza sobre una lámina de aluminio. Se
encuentra que la fórmula de dispersión de Rutherford no se cumple para ángulos de
dispersión superiores a 600, aproximadamente. Si se supone que la partícula alfa
tiene un radio de 2 x 10-15 m, hallar el radio del núcleo de aluminio.
16-Determinar la mínima distancia de aproximación de protones de 1 y 8 MeV que
inciden sobre núcleos de oro.
17- Hallar los radios de las órbitas del electrón del átomo de hidrógeno según el
modelo de Bohr.
18- a) ¿Cuántas frecuencias distintas puede emitir un átomo de hidrógeno cuyo
estado inicial tiene n=5?
b) De acuerdo con el modelo de Bohr, ¿cuántas vueltas alrededor del núcleo
daría un electrón en el primer estado exitado si el tiempo de vida medio de ese
estado es de 10-8 seg?
19- En el modelo de Bohr se supone un núcleo de masa inmensamente superior a la
del electrón, ubicado en el centro de masa del sistema. En el caso general (masa del
núcleo M, masa del electrón m), ¿qué modificaciones se deben hacer en el
postulado de cuantificación del impulso angular orbital para que en el límite ambos
coincidan?
Pág. 4
BBachillerato Uni. Ciencias -
UNSAM
20- De acuerdo con la conservación del impulso, al ser emitido un fotón el núcleo del
átomo debería retroceder. Determinar la corrección a la longitud de onda del fotón
emitido cuando este retroceso se tiene en cuenta.
21-. Obtenga los niveles cuánticos de una partícula en una caja a partir de la regla
de cuantificación de Wilson-Sommerfeld. Calcule la energía del primer nivel excitado
de un electrón en una caja de 1 nm. A qué temperatura este grado de libertad
comenzaría a contribuir al calor específico?
22-. Obtenga los niveles cuánticos de un rotor rígido a partir de la regla de
cuantificación de Wilson-Sommerfeld. Estime (numéricamente) la energía del primer
nivel rotacional para una molécula de hidrógeno (H2). A qué temperatura el grado de
libertad rotacional comienza a contribuir al calor específico?
Pág. 5
BBachillerato Uni. Ciencias -
UNSAM
Guía de Problemas N0 3
Ondas de materia
1- Hallar la longitud de onda de De Broglie asociada a:
a) Una bolita de 0.01 Kg que viaja a una velocidad de 10 m/s
b) Un electrón (m=9.11 10-31 Kg) viajando a una velocidad de 7x106 m/s.
c) ¿Hay algún orificio cuyo tamaño sea el de a)? ¿Y el de b)?
2- Determinar que potencial acelerador hay que aplicarle a un electrón para
asociarle una onda de De Broglie de 1Å de longitud de onda. Con qué potencial
mínimo debe trabajar un microscopio electrónico para poder resolver 10Å ?
3- Se quiere ver un objeto cuyo tamaño es 2.5 Å. ¿Cuál es la menor energía que
debe tener el fotón a usarse? ¿Cuál la menor energía cinética si se emplean
electrones?
4- ¿Qué le pasaría a un hombre de 70 kg que entra por la puerta de su casa a
una velocidad de 5 m/s si vive en un mundo donde h vale 175 J.s.
5- Empleando los postulados de De Broglie encontrar:
a) Los estados de energía permitidos para una partícula confinada en un
segmento de longitud a.
b) Los estados de energía de un electrón en un átomo de hidrógeno.
6- Si podemos medir la cantidad de movimiento de una partícula con una
precisión de uno en mil, cuál sería la indeterminación en la posición de la
partícula si:
a) es una pelota de 5 g moviéndose a 2 m/s.
b) es un electrón viajando a 1.8 106 m/s.
7- Considere un paquete de ondas descripto por la función Φ ( k ) = Ae
a) Calcular A para que la función esté normalizada.
−
α2
4
( k − k0 ) 2
2
b) Calcular ψ (x,0)
c) Calcular el valor medio de la coordenada x, el de la coordendada p y el
producto ΔxΔp .
∞
(Dato:
∫e
−u 2
0
du =
π
2
)
8- Considere el paquete de onda unidimensional
espectral de número de onda k está dada por:
A
si k ∈ ( k 0 − ΔK , k 0 + ΔK )
Φ(k ) =
0
ψ ( x, t ) cuya distribución
en otro caso
con ΔK mucho menor que k0.
a) Calcular ψ ( x, t ) suponiendo al paquete
no dispersivo. Graficar
cualitativamente su módulo al cuadrado. Hacer lo mismo en el caso de
paquete dispersivo (en este caso, realizar las aproximaciones que considere
necesarias. Problema optativo).
b) Calcular la velocidad de propagación de ψ ( x, t ) .
Pág. 6
BBachillerato Uni. Ciencias -
UNSAM
c) Calcular el producto entre el ancho espectral y el ancho significativo de
|ψ ( x,0) |2 . Interpretar el resultado.
9- Optativo.Un haz homogéneo de partículas de longitud de onda asociada
incide sobre una pantalla en la cual se ha practicado una ranura de ancho a (ver
figura).
a) Midiendo la cantidad de partículas que se observan inmediatamente detrás de
la pantalla proponer una forma para ψ ( x, y = 0, t ) .
b) A partir de esta expresión calcular Φ ( k x ) . A partir de esta mostrar
cualitativamente que la "intensidad" de partículas que se observa sobre la
pantalla 2 corresponde al patrón de difracción de la rendija.
b) Discutir las relaciones entre el ancho de la rendija y el ancho significativo de
Φ ( k x ) . ¿Qué hipótesis sería incorrecta si se pudiera medir simultáneamente
x y px con una precisión mayor que la establecida por el principio de
incerteza?
c) Hallar la distribución de intensidades sobre la pantalla 2 (este último punto se
resuelve numéricamente con computadora)
1
2
10- Demuestre que la velocidad de grupo es igual a la velocidad clásica de la
partícula.
11- A partir de las relaciones de incerteza probar que la energía mínima de un
oscilador armónico es E min ≈
hω
. Encuentre la energía de punto cero de una
2
partícula confinada dentro de una caja unidimensional de longitud L.
12- Si la vida media de un estado atómico es de 10-15 s, cuál es el ancho
energético de dicho estado?
Pág. 7
BBachillerato Uni. Ciencias -
UNSAM
Guía de Problemas N0 4 - Ecuación de Schrödinger en una dimensión
1- Considere el siguiente potencial (pozo infinito):
x ≤ a/2
0
V ( x) =
∞
x ≥ a/2
''a'' es una constante y representa el ancho del pozo.
a) Halle las autofunciones de Ĥ y los niveles de energía de una partícula de masa
m.
b) Construya un gráfico de ϕ 1 , ϕ 2 , ϕ 3 , y ϕ 4 , y sus módulos al cuadrado; donde las
ϕ i , son las funciones de onda de los primeros cuatro autoestados de la partícula.
c) Calcule la probabilidad de encontrar la partícula en el intervalo (0,a/4), para estos
cuatro autoestados.
d) Calcule: X , P , X 2 , P 2 , ΔX , ΔP y ΔXΔP .
e) Calcule y grafique la probabilidad de que la partícula tenga momento lineal ''p''
para el primer autoestado y para uno de ''n'' grande.
f) Escriba una expresión general para Ψ( x, t ) .
2- Sea el potencial:
V ( x) =
∞
− V0
0
x<0
0< x<a
x>a
Encuentre las autofunciones de Ĥ y una ecuación para sus autovalores, para E<0.
3- Sea el potencial:
− V0
0< x <a
V ( x) =
0
x >a
Encuentre las autofunciones de Ĥ y una ecuación para sus autovalores, para E<0.
Compare con el problema anterior.
4- Operador Paridad: Se define al operador paridad πˆ como: πˆϕ ( x ) = ϕ ( − x ) .
a) Mostrar que las autofunciones de πˆ son funciones simétricas o antisimétricas,
con autovalores + y -1 respectivamente.
b) Demostrar que si H(x) = H(-x), Ĥ conmuta con πˆ ¿qué puede decir respecto de
la paridad de las autofunciones de Ĥ ?.
5) Sea el potencial:
V ( x) =
∞
x >b
V0
a< x <b
0
x <a
Pág. 8
BBachillerato Uni. Ciencias -
UNSAM
Halle las ecuaciones de autovalores,
correspondientes para los casos:
y
escriba
las funciones de onda
a) 0 < E < V0
b) E > V0
6- Para el potencial del ejercicio 3, pero esta vez con E > 0 , halle los coeficientes
de reflexión y de transmisión.
7- Sea el potencial
V0
x ≤a
V ( x) =
0
en otro caso
Halle los coeficientes de reflexión y transmisión para los siguientes rangos de
energía de la partícula
a) 0 < E < V0
b) E > V0
Discuta físicamente los resultados hallados.
8- a) Analice en cuales de los siguientes potenciales existe al menos un
estado ligado. Para aquellos en donde los haya realice gráficos cualitativos
de las autofunciones de Ĥ para varios valores de energía. b) Dados los
siguientes gráficos de autofunciones de Ĥ , haga un diagrama cualitativo de
los potenciales unidimensionales que las producen, marcando en cada caso
una línea horizontal para la energía del sistema e indicando de que nivel se
trata. (Tome al estado fundamental como n=1)
9- Sea un oscilador armónico con Hamiltoniano H = P 2 / 2m + ( mω 2 / 2) X 2 . Hallar
β para que ϕ 0 = A0 e − βx sea autofunción de Ĥ . ¿Cuál es la energía de este
2
estado?. ¿Qué argumentos usaría para demostrar que es el estado fundamental?.
Pág. 9
BBachillerato Uni. Ciencias -
UNSAM
10- Proponiendo que ϕ ( x ) = f ( x )e − βx es autofunción
2
Ĥ , hallar la ecuación
diferencial que debe satisfacer f(x). Muestre que f(x) = x y f(x) = (1 –4 x2) son
soluciones con autovalores 3 / 2hω y 5 / 2hω . Grafique la probabilidad de hallar la
partícula en función de x y compare con el caso clásico.
11- Calcule para el estado fundamental del oscilador armónico:
<T>,<V>,<E>,<X>,<P>, ΔXΔP
12- Se tiene una molécula diatómica formada por un átomo A y uno B, que
comparten un sólo electrón. Sean ϕ A y ϕ B autofunciones de H del electrón en cada
átomo por separado, con autovalores ε (iguales). El hamiltoniano del sistema es tal
que:
Hϕ A = εϕ A + τϕ B
Hϕ B = τϕ A + εϕ B
Hallar las autofunciones de Ĥ en función de ϕ A y ϕ B . Hallar las energías.
Supongamos ahora que consideramos un observable, D, que nos indica cuando el
electrón está en cada uno de los átomos, y cuyas autofunciones son ϕ A y ϕ B ,con
autovalores dA y dB respectivamente (para fijar ideas puede pensar que este
observable es el momento dipolar de la molécula).
A t = 0 se mide D obteniéndose dA . Calcule cuál es la probabilidad de medir dA en
función del tiempo.
13- Suponga que se tiene un potencial de la forma de pozo infinito entre 0 y `a'. Un
instante antes de t=0 se mide la energía del sistema y se obtiene el valor del estado
fundamental. A t=0 el pozo súbitamente se agranda, pasando a ser un pozo infinito
entre 0 y `2a'. Si a un tiempo posterior se mide su energía, ¿qué valores se podrán
obtener y con qué probabilidad?
(Algo más difícil) ¿Cuál será la energía media de la partícula en la nueva
configuración? ¿Entiende por qué?
14- Sea una partícula de masa m en un pozo de potencial infinito de ancho a. En t=0
el estado del sistema es ψ ( x,0) =
cnϕ n ( x ) , donde las ϕ n (x ) son las
∑
n
autofunciones de Ĥ .
a) ¿Cuál es la probabilidad P de que una medida de la energía de la partícula,
efectuada en un instante t cualquiera, de un resultado mayor que 5E1 , siendo E1 la
energía del estado fundamental? Si P=0, ¿cuáles coeficientes deben ser cero, y
cuáles no?
b) Si solo c1 y c2 son distintos de cero, normalizar la función de onda a t=0 en
función de ellos, y calcular el valor medio de la energía en ese estado. ¿Cuánto
deben valer c1 y c2 para que sea < H >= 2.5E1 . Si además < x >= a / 8 , calcular
2
2
la fase de c2 si c1 es real y positivo.
c) Calcular ϕ ( x, t ) y < x > para un tiempo t.
d)Calcular < p > para todo tiempo por dos métodos: directamente y usando el
teorema de Ehrenfest.
Pág. 10
BBachillerato Uni. Ciencias -
UNSAM
Guía de Problemas N0 5
Ecuación de Schrödinger en tres dimensiones. Atomos.
1- Considere el siguiente potencial (pozo infinito):
0
x ≤a, y ≤b, z ≤ c
V ( x, y , z ) =
∞
en otro caso
Escribiendo el potencial en la forma:
V ( x, y, z ) = V1 ( x ) + V2 ( y ) + V3 ( z )
y proponiendo para la función de onda la separación:
ϕ ( x, y , z ) = f ( x ) g ( y )h( z )
Halle las autofunciones de Ĥ y los niveles de energía de una partícula de masa m
en ese potencial.
2- La energía potencial de un oscilador armónico tridimensional esférico puede
escribirse como:
V ( x , y , z ) = mω 2 r 2 / 2 = mω 2 ( x 2 + y 2 + z 2 ) / 2
Hallar las autofunciones y autovalores de Ĥ . Analizar la degeneración de cada
nivel.
3- Sea el oscilador armónico tridimensional anisotrópico, con una frecuencia de
oscilación diferente a lo largo de cada eje, de modo que:
V ( x, y , z ) = m(ω x2 x 2 + ω y2 y 2 + ω z2 z 2 ) / 2
Escribir la expresión de los niveles de energía en términos de ω x , ω y y ω z .
Encontrar los cuatro niveles de energía más bajos para el caso ω x = ω y =
2
ωz , y
3
determinar su degeneración.
4- Sea una partícula de masa m sometida al siguiente potencial central:
V (r ) =
∞
− V0
0
r<a
a<r<b
r>b
Calcular las autofunciones y autovalores del hamiltoniano correspondientes a
estados con l=0.
5- Sea un átomo de Hidrógeno en su estado fundamental.
a) Calcular la probabilidad de encontrar al electrón a una distancia mayor que a0
( a0 ≈ 0.5 Å es el radio de Bohr) del núcleo.
Pág. 11
BBachillerato Uni. Ciencias -
UNSAM
b) Cuando este electrón está a una distancia a0 del núcleo toda su energía es
energía potencial. De acuerdo con la física clásica este electrón no puede exceder
esa distancia. Cuánticamente ¿cuál es la probabilidad de hallar al electrón a r>2 a0 ?
c) El radio de un protón es del orden de 10-13 cm. Calcular la probabilidad de que en
el átomo de hidrógeno el electrón esté dentro del protón.
6- Calcular <r> y <1/r > para el estado fundamental de un átomo hidrogenoide de
número atómico Z. Calcular <V(r)> para ese estado.
7- Encontrar los valores más probables de r (en unidades de a0) para el electrón del
átomo de hidrógeno en el estado 2s.
8- Sea la función de onda de un átomo de hidrógeno:
ψ = A(ϕ 210 − ϕ 21−1 + ϕ 100 )
donde las ϕ nlm son las autofunciones normalizadas de Ĥ .
a) Normalizar ψ .
b) Hacer una tabla con los valores que pueden medirse de E, L2
probabilidades.
c) Calcular
L̂2 , L̂z y
y Lz, y sus
Ĥ .
d) Hallar ψ para un tiempo t cualquiera y repetir los cálculos de c). Discutir el
resultado.
9- Sea un electrón en un átomo de hidrógeno en el estado n=2, l=1.
a) Graficar P(r) vs r. Hallar el valor de r (en términos de a0) que hace máximo a P(r).
b) Calcular <r21 > y comparar con el hallado en a).
10- Suponiendo que los dos electrones del átomo de helio están en estados con
{l=1, s=1/2} y {l=2, s=1/2} respectivamente.
a) Calcular los valores posibles de los números cuánticos l del impulso orbital total y
s del spin total.
b) Hallar los posibles valores del número cuántico j que corresponde a Ĵ 2 , siendo
Jˆ = Lˆ + Sˆ .
c) Considerando ahora cada electrón por separado, hallar los valores posibles de los
números cuánticos j1 y j2 del momento angular total de cada electrón.
d) A partir de lo hallado en c) calcular los valores posibles del número cuántico j del
impulso angular total. Comparar con lo hallado en b).
Pág. 12
BBachillerato Uni. Ciencias -
UNSAM
11- Demostrar que para un átomo en un autoestado descripto por n,l,s,j y mj vale
que:
1 2
lh
2
, j = l + 1/ 2
1
(l + 1)h 2
2
, j = l −1/ 2
SˆLˆ =
−
(Nota: al término
SˆLˆ se lo conoce como acoplamiento spin-órbita).
12- Determinar clásicamente el momento magnético de un electrón en una órbita
circular de radio r alrededor de un protón. Escribirlo en función de un operador
conocido y cuantificarlo.
13- Efecto Zeeman: Estudiar el efecto de la aplicación de un campo magnético
r
constante y uniforme B sobre un átomo de hidrógeno. Escribir el nuevo Ĥ
resultante y encontrar sus autofunciones y autovalores. Hallar la degeneración de
cada estado y comparar en una gráfico los valores de energía antes y después de
aplicar el campo magnético.
Pág. 13
BBachillerato Uni. Ciencias -
UNSAM
Guía de Problemas N0 6
Teoría de perturbaciones. Partículas idénticas.
1) Un oscilador armónico cuya frecuencia natural es está situado en un potencial
externo pequeño
1 2
λx . ¿Cuál es el cambio de energía de primer orden del
2
estado n-ésimo?
2) Considere un electrón en una molécula triatómica lineal formada por 3 átomos
equidistantes, sean ϕ A , ϕ B y ϕC tres estados normalizados y ortogonales del
electrón localizados respectivamente en un entorno de los átomos A, B ó C. Si se
desprecia la posibilidad de que el electrón salte de un átomo a otro, el hamiltoniano
H0 admite por autovectores a los estados ϕ A , ϕ B y ϕC , los tres con el mismo
autovalor E0. La posibilidad de acoplamiento entre distintas localizaciones viene
descripta por un hamiltoniano suplementario W , definido por las relaciones ( a > 0 )
Wϕ A = − aϕ B , Wϕ B = − aϕ A − aϕC , WϕC = − aϕ B
a) Calcular energías y estados estacionarios del hamiltoniano H=H0+W
b) A t=0 el electrón está en el estado ϕ A . Discuta la localización del electrón a t>0.
¿En algún momento está perfectamente localizado en A, B o C?
c) Sea D un observable cuyos autovectores son ϕ A , ϕ B y ϕC con autovalores -d, 0,
d, respectivamente. Se mide D en el instante t, ¿qué valores se pueden hallar y con
qué probabilidades?
d) Si el estado inicial del electrón es cualquiera, ¿Cuáles son las frecuencias
susceptibles de aparecer en la evolución temporal de <D>? Interprete físicamente D
y decir qué frecuencias del espectro electromagnético pueden ser emitidas o
absorbidas por la molécula.
3) Efecto Stark en el hidrógeno.
Considere el átomo de H en un campo eléctrico externo. Verifique que, considerando
el campo externo como una perturbación, a primer orden, el nivel fundamental no se
altera, pero sí el primer nivel excitado desapareciendo parcialmente su
degeneración. Resolver el problema a primer orden en la energía y a orden cero en
las funciones de onda.
4) Considerar 2 partículas de masas m0 y 4m0 confinadas en una caja
unidimensional de longitud a. Ignorando su interacción mutua, escribir y resolver
la ecuación de Schrodinger para el sistema y obtener una expresión para la
energía total. Estudie los estados degenerados.
5) Dos partículas en una caja unidimensional de longitud a se encuentran en un
estado cuántico con números cuánticos n=1 y n=2.
a) Ignorando la necesidad de hacer la función de onda total simétrica o antisimétrica,
calcular la probabilidad que ambas partículas se encuentren dentro de una
distancia +-a/20 del punto x=a/4.
b) Considere ahora que la función de onda debe ser simétrica y calcule la
probabilidad en este caso.
c) Compare los resultados de a) con b) y el correspondiente a la probabilidad para
dos partículas clásicas que rebotan en las paredes con velocidades constantes.
6) El principio de exclusión de Pauli permite a dos electrones (u otras partículas con
espín ½) con espines opuestos ocupar el mismo estado espacial y así tener la
misma energía.
Pág. 14
BBachillerato Uni. Ciencias -
UNSAM
a) Comparar la energía mínima posible para 10 electrones confinados en una caja
unidimensional con la energía total para 10 electrones distribuidos en pares en 5
cajas similares aisladas una de las otras. No hay interacción entre los electrones.
b) Considere un total de 2N electrones en la misma caja unidimensional. Asumiendo
N>>1, mostrar que la energía total mínima posible excede en un factor N2/3 si no
se consideran las restricciones impuestas por el principio de Pauli.
7) Resuelva el átomo de He (para el estado fundamental) a primer orden en teoría
de perturbaciones, usando como término perturbativo la interacción electrónica.
Prácticas de Laboratorio .
1. Radiación térmica. Cuerpo negro. Ley de Stefan-Boltzmann. Ley de radiación de
Planck.
2. Espectroscopía óptica de emisión y estructura atómica.
3. Efecto fotoeléctrico.
4. Espectroscopía de rayos X y gama (radioactividad).
Dr. Andrés J. Kreiner ([email protected]).
Dr. Eduardo Vergini ([email protected]).
Lic. Daniel M. Minsky ([email protected]).
Dr. Mario E. Debray ([email protected]).
Pág. 15
BBachillerato Uni. Ciencias -
UNSAM