TEMA 3

La expansión binomial
Tomando como base los conceptos y ejemplos relacionados con probabilidad
analizados en el subtema 1; en este subtema se incluirá el estadístico de la
expansión binomial, para poder entender e interpretar datos numéricos con
potencias superiores a la formula (a+b)2.
La expansión binomial en los estudios de la genética; es un estadístico que nos
permite analizar datos numéricos de máximo hasta dos fenotipos en n población
de individuos.
Ejemplo 1.
Tomando como base el ejemplo tratado en el subtema 1 que describía lo
siguiente:
Suponga que hacemos el lanzamiento de una moneda al aire dos veces, lo cual
nos genera los siguientes datos:
Lanzamiento 1
Lanzamiento 2
Resumiendo
Cara 1/2
Cara 1/2
P2 1/4
Cara 1/2
Sello 1/2
pq 1/4
Sello 1/2
Cara 1/2
qp 1/4
Sello 1/2
Sello 1/2
q2 1/4
Sumando tenemos que ¼ + ¼ + ¼ + ¼ = 4/4 es decir 1.0
Analizando los valores obtenidos, estos los podemos resumir en la fórmula
matemática del binomio cuadrado perfecto, (a+b)2; que se lee como: la primera
variable, es decir, a elevado a la máxima potencia; en este caso es dos a2, más
dos veces la primera variable por la segunda (2a.b), más la segunda variable b
elevada al cuadrado b2, esto se resume en: (a+b)2 = a2 + 2ab + b2.
De esta manera podemos decir que: la probabilidad de que dos o más sucesos
independientes ocurran juntos siguen la fórmula matemática del desarrollo del
binomio ( a + b )n.
Ejemplo 2. Supongamos que ahora hacemos el lanzamiento de la moneda al aire
tres veces, esto nos daría o proporcionaría los siguientes datos: Vamos a
reemplazar los eventos cara por la variable a y sello por la variable b.
Lanzamiento 1
Lanzamiento 2
Lanzamiento 3 Resumiendo
Cara 1/2
Cara 1/2
Cara 1/2
a3
Cara 1/2
Cara 1/2
Sello 1/2
a2b
Cara 1/2
Sello 1/2
Cara 1/2
a2b
Cara 1/2
Sello 1/2
Sello 1/2
ab2
Sello 1/2
Cara 1/2
Cara 1/2
a2b
Sello 1/2
Cara 1/2
Sello 1/2
ab2
Sello 1/2
Sello 1/2
Cara 1/2
ab2
Sello 1/2
Sello 1/2
Sello 1/2
b3
Resumiendo los valores tenemos: a3 + 3a2b + 3ab2 + b3, lo que se traduce en un
trinomio cuadrado perfecto de la fórmula (a+b)3. A continuación desarrollaremos el
binomio hasta la octava potencia.
Binomio desarrollado a la octava potencia
( a + b )2 = a2 + 2ab + b2
( a + b )3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
( a + b )4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 *
( a + b ) 5 = a5 + 5a4b +10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5
( a + b )6 = a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + b6
( a + b )7 = a7 + 7a6b + 21a5b2 + 35a4b3 + 35a3b4*** + 21a2b5 + 7ab6 + b7
( a + b ) 8 = a8 +8a7b + 28a6b2 + 6a5b3 + 70a4b4 + 56a3b5 + 28a2b6 + 8ab7 +b8
Encontrar los coeficientes numéricos que acompañan a cada uno de los términos
del binomio dado no es una tarea fácil, pero para ello, podemos valernos de lo que
comúnmente se conoce como el triángulo de Pascal, el cual se construye de la
siguiente manera: se inicia la construcción del triángulo de arriba hacia abajo, con
el número uno, el cual debe ir al principio y al final de cada nivel, este número uno,
equivale al coeficiente numérico que llevará el primer y último término en la
expresión binomial dada, en el segundo nivel, se coloca el número uno, el dos y
nuevamente uno; a partir del tercer nivel, se realiza la sumatoria del valor del
término anterior, con el que sigue y así sucesivamente; es de anotar que siempre
el primer y último término de la expresión binomial es uno. Veamos la expresión
desarrollada hasta la octava potencia.
1
( a + b )2 = 1 2 1
( a + b )3 = 1 3 3 1
( a + b )4 = 1 4 6 4 1 *
( a + b ) 5 = 1 5 10 10 5 1
( a + b )6 = 1 6 15 20 15 6 1
( a + b )7 = 1 7 21 35 35 21 7 1
( a + b ) 8 = 1 8 28 56 70 56 28 8 1
Si analizamos la expresión (a+b)4 ** se tiene que este tendría el siguiente
desarrollo matemático:
( a + b )4 =
1a4 +
1er término
4a3b +
6a2b2 +
2do término
3er término
4ab3 +
1b4
4to término 5to término
Es de resaltar que en la resolución de un binomio, las variables aumentan y
disminuyen su valor; es decir, mientras una variable disminuye en una unidad el
valor de su exponente, la segunda variable aumenta su valor en una unidad, a
partir del segundo término de la expresión. La expansión binomial puede ser
desarrollada hasta la n potencia.
3.1 Aplicación práctica del binomio:
Si se cruzan perros negros heterocigos entre sí; ¿cuál es la probabilidad de que
de siete descendientes tres sean negros y 4 sean blancos?.
Supongamos que la letra (a) represente individuos color negro y (b) represente
individuos color blanco; la probabilidad de producir un individuo color negro es de
¾ y la probabilidad de producir individuos color blanco en de ¼, como se muestra
a continuación:
Macho negro
Hembra negra
Genotipos Parentales
Aa
x
Aa
Gametos
A
A
A
a
a
Al organizar los gametos que cada uno de los parentales proporciona al final del
proceso meiótico en un cuadrado gamético (cuadrado de Punnet) tenemos:
Gametos
A
a
A
AA
Aa
Cigoto
Cigoto
Aa
aa
Cigoto
a
Cigoto
De este cuadro analizamos las proporciones tanto genotípicas como fenotípicas
obtenidas en generación o filial F1 así:
Proporciones genotípicas: ¼ homocigoto dominante AA , 2/4 heterocigoto Aa y
¼ homocigoto recesivo aa.
Proporciones fenotípicas: ¾ perros negros y ¼ perros blancos, estas serían las
proporciones para un solo individuo, bien sea negro o bien sea blanco.
Entonces: para encontrar la probabilidad de que de los siete cachorros tres sean
negros y cuatro sean blancos, debemos emplear la expresión binomial (a+b)7 y
solo tenemos en cuenta el quinto término de la expresión y reemplazamos los
valores de las variables por las proporciones respectivas así:
***35a3b4 = 35(3/4)3(1/4)4 * 100 = 5.8%, esta sería la probabilidad de que en
siete descendientes cuatro sean negros y tres sean blancos
NOTA: este tipo de procedimiento sirve para calcular probabilidades de n
número de individuos para máximo dos características o fenotipos dados,
cuando se analizan más de dos caracteres, se debe emplear otro estadístico
conocido con el nombre de la expansión multinomial, la cual abordaremos
más adelante junto con el estadístico de chi cuadrada; los cuales son
aplicables una vez conocidos los principales tipos de variantes o variaciones
a los principios de herencia mendeliana, que serán desarrollados
en la
unidad 2.
De clic en la siguiente animación, la cual le ayudará a comprender mejor
este principio estadístico. Fuente el autor.
2
1
3
PROBABILIDAD Y LA PRUEBA DE
LAS PROPORCIONES FENOTIPICAS
* Suma de probabilidades
Tomando como base los siguientes casos: el carácter color de la semilla del
guisante (amarillo o verde), una semilla no puede ser al mismo tiempo amarilla y
verde; una vaca en un parto no puede dar a la misma vez una ternera y ternero.
Estos eventos se denominan mutuamente excluyentes. La Probabilidad de que
ocurra uno u otro de los eventos mutuamente excluyentes se calcula sumando las
probabilidades de cada uno de los eventos. Es decir si: p es la probabilidad de que
un evento ocurra y q es la probabilidad de que no ocurra en la misma ocasión,
p + q = 1, de donde p = 1- q y q = 1 – p. La ecuación de p +q =1, constituye la
primera ley de la probabilidad.
Ejemplos:
1. Suponga que en el experimento se lanza una moneda al aire; la moneda tiene
dos posibilidades, la primera que caiga cara y la segunda que caiga sello; es decir,
existen dos probabilidades, cada una de ellas equivale al 50% o sea ½.
Al aplicar la fórmula p + q = 1; Siendo p, la probabilidad de que caiga Cara y q la
probabilidad de que caiga Sello tenemos:
½ + ½ = 1.0
2. Suponga que ahora hacemos el lanzamiento de la moneda al aire dos veces, lo
cual nos genera los siguientes datos:
Lanzamiento 1
Lanzamiento 2
Resumiendo
Cara 1/2
Cara 1/2
P2 1/4
Cara 1/2
Sello 1/2
pq 1/4
Sello 1/2
Cara 1/2
qp 1/4
Sello 1/2
Sello 1/2
q2 1/4
Sumando tenemos que ¼ + ¼ + ¼ + ¼ = 4/4 es decir 1.0
* Producto de probabilidades
El nacimiento de un ternero macho en un parto de una vaca, es independiente del
sexo del próximo ternero que ha de producir dicha hembra. La probabilidad de que
una misma vaca tenga dos terneros machos en partos consecutivos se calcula
multiplicando las probabilidades individuales de la ocurrencia de cada evento
independientemente. Esto constituye la segunda ley de la probabilidad.
Ejemplo:
1. La probabilidad de que una vaca tenga tres machos en 3 partos consecutivos
es: ½ x ½ x ½ = ⅛.
2. La probabilidad de que una hembra tenga dos terneros machos y una hembra
en tres partos es: ½ x ½ x ½ = 1/8
Para entender mejor un poco estos principios, los invito a ver el siguiente video, de
Contreras E. (2011). La ley de las probabilidades recuperado de:
http://www.youtube.com/watch?v=QQZAisZmdSU
Así mismo, si desean profundizar un poco más en estos aspectos, pueden visitar el
sitio que se encuentra en el siguiente enlace Tomado de: Isaías M., Farías E. (s.f.).
Recuperado de : http://www.scribd.com/doc/52812712/37/LEYES-DE-PROBABILIDAD
Probabilidad, segregación y recombinación de
genes
Probabilidad de segregación y recombinación de genes en los
gametos
Al cruzar individuos de diferente sexo, es importante determinar las proporciones
de los genes que se segregan y se obtendrían al final del proceso gametogénico;
esto es indispensable para poder determinar así mismo las probabilidades que se
esperarían en la descendencia. Por ejemplo, si se desea cruzar un individuo
macho rojo de genotipo RR con una hembra roja de genotipo Rr. La probabilidad
de que el macho de genotipo RR produzca un gameto que lleve el gen R, es uno;
y la probabilidad de que produzca gametos con el gen r es cero. La situación en el
caso de la hembra de genotipo Rr es diferente.
La probabilidad de que produzca gametos con el gen R es ½ y la probabilidad de
producir gametos con el gen r es también de ½.
La razón de esto, es la segregación de los miembros de los pares de genes en los
gametos.
Aplicando ahora la ley de las probabilidades para dos eventos independientes a
los gametos y usando los caracteres relacionados con el color y la forma de la
semilla tenemos por ejemplo que:
El fenotipo color Amarillo de la semilla puede estar condicionado por el genotipo
(A-), que es dominante sobre el fenotipo color verde (aa) y el fenotipo para la
forma de la semilla Lisa (L-), es dominante sobre el fenotipo semilla rugosa (ll).
Los genes para el color de la semilla, se hallan en un par de cromosomas
homólogos y los genes para la forma de la semilla, se hallan en un par de
cromosomas homólogos diferentes.
Consideremos las probabilidades de que los individuos lleven los genes (AaLl); es
decir que sean heterocigotos se tendría lo siguiente:
Probabilidad de que un gameto
lleve este alelo
Alelo
A
½
a
½
L
½
l
½
La probabilidad de que varias combinaciones de estos dos pares diferentes de
alelos ocurran juntos sería:
Combinaciones posibles de los genes Probabilidad de que un gameto
lleve estos dos genes
en la formación del gameto
AL
½ x ½ =¼
Al
½ x ½ =¼
aL
al
½ x ½ =¼
½ x½ =¼
Probabilidad de segregación y recombinación de genes en el cigoto
El concepto de la probabilidad y la combinación de las probabilidades, pueden
extenderse a la unión de los genes en el cigoto. Se supone que los diferentes
pares de alelos se segregan y se recombinan independientemente. Usando un par
de genes (el color amarillo o verde para el color de la semilla). La probabilidad de
que los gametos de progenitores de los 3 genotipos lleven uno de cada alelo sería:
Genotipo del progenitor
AA
Aa
aa
Probabilidad de A en un gameto
1
½
0
Probabilidad de a en un gameto
0
½
1
Ahora podemos calcular la probabilidad de varias combinaciones de gametos en la
descendencia de progenitores que son ambos heterocigóticos (Aa).
Genotipo de la descendencia
AA
Aa
Probabilidad de estos genotipos
½ x ½ =¼
½ x ½ =¼
2/4
aA
½ x ½ =¼
aa
½ x½ =¼
Igual a la relación genotípica: 1:2:1 en la descendencia del cruzamiento de
individuos heterocigóticos.