ECO_Presentaciones_files/exponenciales - UNAM

Cilindros de purificación
El decaimiento exponencial es una forma particular cuyo resultado inicial es un
descenso muy rápido de una variable. Un ejemplo específico de decaimiento
exponencial es la purificación del queroseno, que es utilizado como combustible
de avión. El queroseno se purifica mediante la eliminación de los contaminantes
utilizando un filtro de arcilla. Supongamos que la arcilla está en una tubería y el
queroseno fluye a través de la tubería. Por cada metro de arcilla se elimina el 20%
de los contaminantes, dejando 80%. Si Po es la cantidad inicial de contaminantes
en el queroseno, la cantidad (P) que permanece por cada unidad de tubería, n, se
puede representar por la ecuación siguiente:
P = Po (0.8)n
Supongamos que los contaminantes se deben reducir al 10% del total inicial a fin
de que el queroseno pueda ser usado como combustible para los aviones. ¿De
qué longitud tiene que ser el tubo de arcilla para asegurar que sólo hay un 10% de
los contaminantes en el queroseno?
P = Po (0.8)n
0.1 = 1 (0.8)n
ln(0.1) = n ln(0.8)
n = ln(0.1)/ln(0.8)
n = 10.3 m
Esto significa que necesitamos un filtro de 10.3 m de largo para que los
contaminantes se reduzcan al 10% de su monto inicial.
Carbono 14
Los arqueólogos utilizan el decaimiento exponencial del carbono 14 para estimar
las fechas de la muerte de material orgánico. La forma estable de carbono es el
carbono 12 y el carbono 14 es un isótopo radiactivo que decae con el tiempo
formando carbono 12 y otras partículas. El carbono es un elemento que
naturalmente se encuentra en todos los organismos vivos y constantemente se
repone en los tejidos ya sea mediante la alimentación (por el consumo de otros
organismos) o incorporando moléculas que contienen carbono durante la
respiración. En cualquier momento, los organismos vivos tienen aproximadamente
la misma relación de carbono 12 a carbono 14 en sus tejidos. Cuando un
organismo muere, deja de incorporar carbono en sus tejidos y la desintegración
del carbono 14 y carbono 12 cambia la proporción. Esa relación se puede estimar
en el material muerto y compararla con la relación que existía en el momento en el
que el organismo estaba vivo y así estimar la fecha de su muerte. La datación por
radiocarbono se puede utilizar en muestras de fibras, hueso, tela, madera y
plantas.
La vida media de un isótopo radiactivo describe la cantidad de tiempo que tarda en
decaer la mitad del isótopo en una muestra. En el caso de la datación por
radiocarbono, la vida media del carbono 14 es 5,730 años. Esta vida media es un
número relativamente pequeño, lo que significa que el carbono 14 data no es
particularmente útil para fechar eventos muy recientes muertes ni tampoco
aquellos de más de 50,000 años atrás.
Así, después de 5,730 años, la cantidad de carbono 14 que queda en el cuerpo es
la mitad de la cantidad original. Si la cantidad de carbono 14 se reduce a la mitad
cada 5,730 años, no se necesita mucho tiempo para llegar a una cantidad que es
demasiado pequeña para analizar. A la hora de tratar de encontrar la edad de un
organismo se considerara la vida media del carbono 14, así como su tasa de
decaimiento, que es -0.693/año.
Por ejemplo, digamos que un fósil tiene 35% de carbono 14 en comparación con la
muestra de proveniente de un organismo vivo. ¿Cuántos años tiene el fósil?
Podemos utilizar una fórmula :
ln(N/No)
t = ---------------- t1/2
(-0.693)
Donde t1/2 es la vida media del isótopo de carbono 14, t es la edad del fósil (o la
fecha de la muerte), N es la proporción del isótopo con respecto al 100% incial
(No). Si el fósil tiene el 35% de su carbono 14 todavía, entonces podemos sustituir
valores en la ecuación.
ln(35/100)
t = ---------------- 5,730
(-0.693)
t = 8,680
Por lo tanto, el fósil tiene 8.680 años de edad.
Exponenciales en la vida diaria
Digamos que pueden hacerse una docena de galletas en 2 horas. En el primer
intento, la elaboración toma más tiempo pero, conforme adquiero práctica el
tiempo para hacer las galletas disminuye. Esto se puede representar como una
función exponencial si decimos que cada vez que se hacen las galletas el tiempo
necesario para su elaboración se reduce en 1/5 del que se ocupó la vez anterior.
Cuántas veces es necesario repetir la receta para hacer una docena de galletas
en media hora?
Lo más importante
La variación exponencial no es lineal, por lo que no es constante.