Septiembre 2012

Propuesta A
1. Queremos realizar una inversión en dos tipos de acciones con las siguientes condiciones: Lo
invertido en las acciones de tipo A no puede superar los 10000 euros. Lo invertido en las
acciones de tipo B no puede superar los 8000 euros. La suma de la cantidad invertida en A y de
la cantidad invertida en B no puede exceder de 15000 euros. La rentabilidad esperada para las
acciones de tipo A es del 1% y la esperada para la acciones de tipo B es del 5 %.
a) Dibuja la región factible. (1 punto)
b) Determina la cantidad que debemos invertir en cada uno de los dos tipos de acciones para que,
con las condiciones expuestas, el beneficio sea máximo. (0.5 puntos)
2. Un grupo de estudiantes para financiar su viaje de fin de curso vende para el día de San Valentín
claveles amarillos, blancos y rojos, por un importe de 1, 2 y 3 euros respectivamente. Han
vendido 900 claveles en total y han recaudado 1600 euros. Siendo el número de claveles blancos
vendidos la mitad del total de rojos y amarillos.
a) Plantea el correspondiente sistema de ecuaciones que permita saber cuántos claveles de cada
color han vendido. (1.5 puntos)
b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior. (0.5 puntos)
3. La función G(t) = t2 – 8t + 20, 0 ≤ t ≤ 6 , representa las ganancias, en miles de euros, de una
empresa durante los últimos 6 meses, siendo t el tiempo medido en meses.
a) ¿Cuál fue la ganancia obtenida en el segundo mes (t = 2)? (0.25 puntos)
b) ¿Cuándo la ganancia obtenida fue mínima? ¿Cuál fue su valor? (1.25 puntos)
4. Se considera la función f(x) =
. Se pide:
a) Hallar el valor de t para que f sea continua en x = 0. (0.5 puntos)
b) Para t = 3, representa gráficamente la función f. (1 punto)
5. Según un estudio, el 30% de las familias españolas van al cine regularmente, el 25% leen
regularmente, y el 15% hacen las dos cosas.
a) Si elegimos una familia al azar y va al cine regularmente, ¿cuál es la probabilidad de que esa
familia lea regularmente? (0.75 puntos)
b) Se selecciona una familia al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que esa familia vaya al cine o
lea regularmente? (0.75 puntos)
6. Se sabe que “la cantidad de glucosa en la sangre" en individuos adultos y sanos sigue una ley
normal de media desconocida y desviación típica 20 mg/dl. Se eligió aleatoriamente una muestra
de 100 personas, siendo la media de la cantidad de glucosa en sangre para esta muestra de 85
mg/dl. Se pide:
a) Halla el intervalo de confianza del 95% para la media poblacional de “la cantidad de glucosa
en sangre". (1 punto)
b) Discute razonadamente el efecto que tendrá sobre el intervalo de confianza el aumento o la
disminución del nivel de confianza. (1 punto)
z
1.8
1.9
0.00
0.9641
0.9713
0.01
0.9649
0.9719
0.02
0.9656
0.9726
0.03
0.9664
0.9732
0.04
0.9671
0.9738
0.05
0.9678
0.9744
0.06
0.9686
0.9750
0.07
0.9693
0.9756
0.08
0.9699
0.9761
0.09
0.9706
0.9767
Propuesta B
1. a) Despeja la matriz X en la siguiente ecuación matricial: 2 · I + 3 · X + X · A = B, suponiendo
que todas las matrices son cuadradas del mismo orden (I es la matriz identidad). (0.75 puntos)
b) Si
, calcula la matriz X que cumple A·X = I, donde I es la matriz identidad de
orden 2. (0.75 puntos)
2. Una compañía de autobuses oferta viajes a tres destinos diferentes: Roma, París y Lisboa.
La compañía dispone de 30 autobuses. El número de autobuses que van a París es el doble de la
suma de los que van a Roma y a Lisboa. Y el número de autobuses que van a Lisboa es la cuarta
parte del número total de autobuses que van a Roma y a París.
a) Plantea el correspondiente sistema de ecuaciones que permita obtener el número de autobuses
que van a Roma, París y Lisboa respectivamente. (1.5 puntos)
b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior. (0.5 puntos)
3. Dada la función
. Calcula los valores de las constantes a, b y c para
que la gráfica de la función pase por el punto (0, -6), tenga un máximo relativo en el punto de
abscisa x = – 1, y un punto de inflexión en x = 1. (1.5 puntos)
4. Se considera la función
. Se pide:
a) Estudia su continuidad en x = 0. (0.5 puntos)
b) Extremos relativos en el intervalo ( – 6, 0 ). (0.5 puntos)
c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento en ( – ∞, 0 ). (0.5 puntos)
5. Una empresa tiene dos líneas de producción. La línea 1 produce el 60% de los artículos y el resto
los produce la línea 2. Sabemos que el 0.5% de los artículos producidos por la línea 1 tiene algún
defecto y así mismo el 2% de los artículos producidos por la línea 2 son defectuosos.
a) Elegido un artículo al azar, calcula la probabilidad de que sea defectuoso. (0.75 puntos)
b) Sabiendo que un artículo tiene defectos, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido producido
por la línea 2? (0.75 puntos)
6. En un establecimiento de comida rápida se sabe que el tiempo que emplean en comer sus clientes
sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica 7 minutos. El tiempo
que emplearon 10 clientes elegidos aleatoriamente fue de 15, 20, 28, 21, 26, 30, 16, 18, 35 y 27
minutos respectivamente. Se pide:
a) Halla el intervalo de confianza para la media del tiempo que tardan en comer los clientes del
establecimiento con un nivel de confianza del 97 %. (1.25 puntos)
b) ¿Cuál deberá ser como mínimo el tamaño de la muestra para que el error de estimación de la
media sea inferior a 2 minutos con el mismo nivel de confianza? (0.75 puntos)
z
2.0
2.1
0.00
0.9772
0.9821
0.01
0.9778
0.9826
0.02
0.9783
0.9830
0.03
0.9788
0.9834
0.04
0.9793
0.9838
2
0.05
0.9798
0.9842
0.06
0.9803
0.9846
0.07
0.9808
0.9850
0.08
0.9812
0.9854
0.09
0.9817
0.9857
SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE LA PROPUESTA A
1. Queremos realizar una inversión en dos tipos de acciones con las siguientes condiciones: Lo
invertido en las acciones de tipo A no puede superar los 10000 euros. Lo invertido en las
acciones de tipo B no puede superar los 8000 euros. La suma de la cantidad invertida en A
y de la cantidad invertida en B no puede exceder de 15000 euros. La rentabilidad esperada
para las acciones de tipo A es del 1% y la esperada para la acciones de tipo B es del 5 %.
a) Dibuja la región factible. (1 punto)
b) Determina la cantidad que debemos invertir en cada uno de los dos tipos de acciones
para que, con las condiciones expuestas, el beneficio sea máximo. (0.5 puntos)
Solución. Llamamos:
 “x” al número de acciones tipo A
 “y” al número de acciones del tipo B
a) Dibuja la región factible. (1 punto)
En tal caso, las condiciones del problema nos determinan un conjunto de desigualdades que
vienen predefinidas por las siguientes inecuaciones:

El número de acciones son números positivos o cero.
0≤x ; 0≤y
Lo invertido en las acciones de tipo A no puede superar los

10000 euros.
x ≤ 10000

y ≤ 8000
Lo invertido en las acciones de tipo B no puede superar los 8000 euros.
La suma de la cantidad invertida en A y de la cantidad invertida en B
 x + y ≤ 15000
no puede exceder de 15000 euros.
Por tanto, el sistema de inecuaciones es:
La función objetivo “beneficio” que hay que maximizar será:
La rentabilidad esperada para las acciones de tipo A es
del 1% y la esperada para la acciones de tipo B es
del 5 %.

La región factible viene definida por la representación de los semiplanos que generan el
sistema de inecuaciones:
3
Su representación gráfica se realiza a partir de la representación de las rectas correspondientes
y, para cada recta, la selección de uno de los dos semiplanos en función de si verifica o no el
punto que elijamos, su inecuación correspondiente:
0≤x
x=0
0
0
0≤y
y
5000
10000
0 ≤ 1 (V) 
(1,0) pertenece al
semiplano
x
0
5000
y=0
0
0
0 ≤ 0 (V) 
(1,0) pertenece al
semiplano
y ≤ 8000
x
0
10000
x ≤ 10000
x = 10000
10000
10000
y
0
10000
1 ≤ 10000 (V) 
(1,0) pertenece al
semiplano
x + y ≤ 15000
y = 8000
8000
8000
x
0
5000
0 ≤ 8000 (V) 
(1,0) pertenece al
semiplano
y = 15000 – x
15000
10000
0 + 0 ≤ 15000 (V) 
(0,0) pertenece al
semiplano
Con todos estos cálculos las restricciones del problema o región factible queda determinada
mediante la siguiente representación gráfica:
4
b) Determina la cantidad que debemos invertir en cada uno de los dos tipos de acciones
para que, con las condiciones expuestas, el beneficio sea máximo. (0.5 puntos)
Hemos señalado en la representación gráfica los vértices de la región factible y los hemos
denotado mediante A, B, C, D y O.
Calculamos las coordenadas de dichos vértices de la región factible:
 Vértice A: Es el corte de las rectas x = 0 con y = 8000. Resolvemos el sistema de
ecuaciones que generan y obtenemos las coordenadas del vértice:
 Vértice B: Es el corte de las rectas y = 15000 – x con y = 8000. Resolvemos el sistema de
ecuaciones que generan y obtenemos las coordenadas del vértice:
 Vértice C: Es el corte de las rectas x = 10000 con y = 15000 – x. Resolvemos el sistema de
ecuaciones que generan y obtenemos las coordenadas del vértice:
 Vértice D: Es el corte de las rectas x = 10000 con y = 0. Resolvemos el sistema de
ecuaciones que generan y obtenemos las coordenadas del vértice:
 Vértice O: Es el corte de las rectas x = 0 con y = 0. Resolvemos el sistema de ecuaciones
que generan y obtenemos las coordenadas del vértice:
Aplicamos ahora cada vértice a la función objetivo F(x, y) = 0´01x + 0´05y. El que mayor
valor dé determina la solución del problema:
F(A) = F(0, 8000) = 0´01  0 + 0´05  8000 = 400
F(B) = F(7000, 8000) = 0´01  7000 + 0´05  8000 = 70 + 400 = 470
F(C) = F(10000, 5000) = 0´01  10000 + 0´05  5000 = 100 + 250 = 350
F(D) = F(10000, 0) = 0´01  10000 + 0´05  0 = 100 = 100
F(O) = F(0, 0) = 0´01  0 + 0´05  0 = 0
Por lo tanto, el mayor beneficio con las condiciones impuestas se obtiene para 7000
acciones del tipo A y 8000 acciones del tipo B se obtiene la máxima rentabilidad. En tal
caso se obtiene una rentabilidad máxima de 470 €.
5
2. Un grupo de estudiantes para financiar su viaje de fin de curso vende para el día de San
Valentín claveles amarillos, blancos y rojos, por un importe de 1, 2 y 3 euros
respectivamente. Han vendido 900 claveles en total y han recaudado 1600 euros. Siendo el
número de claveles blancos vendidos la mitad del total de rojos y amarillos.
a) Plantea el correspondiente sistema de ecuaciones que permita saber cuántos claveles de
cada color han vendido. (1.5 puntos)
b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior. (0.5 puntos)
Solución.
a) Plantea el correspondiente sistema de ecuaciones que permita saber cuántos claveles de
cada color han vendido. (1.5 puntos)
Hacemos las siguientes asignaciones de incógnitas:
x
y
z



Número de claveles amarillos
Número de claveles blancos
Número de claveles rojos
Las condiciones del problema inducen las siguientes ecuaciones lineales:
Han vendido 900 claveles en total

… vende para el día de San Valentín claveles amarillos,
blancos y rojos, por un importe de 1, 2 y 3 euros 
respectivamente. … y han recaudado 1600 euros.
Siendo el número de claveles blancos vendidos la mitad del
total de rojos y amarillos
x + y + z = 900
x + 2y + 3z = 1600

Simplificamos al máximo las ecuaciones y escribimos el sistema que responde al enunciado:
b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior. (0.5 puntos)
Para resolverlo, podemos optar por resolverlo por Gauss o por el método de Cramer.
 Por el método de Gauss, sea la matriz de Gauss,
. Hacemos
ceros en los lugares correspondientes hasta hacerlo triangular en su mitad izquierda.
6
Puesto que la fila tres tiene dos ceros en su mitad izquierda, es posible reordenar la matriz
de Gauss de tal modo que sea triangular. Transformamos en sistema y resolvemos:
Despejamos en el sistema y resolvemos:
Por lo tanto, hay 400 claveles amarillos, 300 claveles blancos y 200 claveles rojos.
 Por el método de Cramer: Dado el sistema
, aplicamos ahora el
método de determinantes:
Por lo tanto, hay 400 claveles amarillos, 300 claveles blancos y 200 claveles rojos.
7
3. La función G(t) = t2 – 8t + 20, 0 ≤ t ≤ 6 , representa las ganancias, en miles de euros, de una
empresa durante los últimos 6 meses, siendo t el tiempo medido en meses.
a) ¿Cuál fue la ganancia obtenida en el segundo mes (t = 2)? (0.25 puntos)
b) ¿Cuándo la ganancia obtenida fue mínima? ¿Cuál fue su valor? (1.25 puntos)
Solución.
a) ¿Cuál fue la ganancia obtenida en el segundo mes (t = 2)? (0.25 puntos)
Sustituimos el valor t = 2 en la expresión algebraica y calculamos:
G(2) = 22 – 8·2 + 20 = 4 – 16 + 20 = 8
Por lo tanto, la ganancia obtenida a los dos meses es de 8000 €.
b) ¿Cuándo la ganancia obtenida fue mínima? ¿Cuál fue su valor? (1.25 puntos)
Calculamos la primera derivada de la función:
G´(t) = 2t – 8
Igualamos a cero y resolvemos:
2t – 8 = 0  2t = 8  t = 4
Estudiamos el signo de la primera derivada en el dominio [0, 6].
Intervalo
(0, 4)
(4, 6)
Valor representante
2
5
G´(t) = 2t – 8
G´(2) = 1 – 4 < 0
G´(5) = 10 – 4 > 0
Monotonía en el intervalo
Decreciente
Creciente
Por lo tanto, t = 4 es un valor de mínimo relativo. Además será absoluto puesto que la función
es continua y en el intervalo [0,6] no puede haber valores donde haya menor valor imagen.
Calculamos la imagen de t = 4:
G(4) = 42 – 8·4 + 20 = 16 – 32 + 20 = 4
Concluimos que en el cuarto mes se obtiene el menor beneficio durante los seis meses a
estudio y este beneficio es de 4000 €.
4. Se considera la función f(x) =
. Se pide:
a) Hallar el valor de t para que f sea continua en x = 0. (0.5 puntos)
b) Para t = 3, representa gráficamente la función f. (1 punto)
Solución.
a) Hallar el valor de t para que f sea continua en x = 0. (0.5 puntos)
Para que una función f(x) sea continua en un valor de abcisa x = a, debe ocurrir que
8
En nuestro caso, calculamos los límites laterales y el valor de la función en el punto en x = 0.
Igualamos los valores y resolvemos encontrando el valor de t:


Por lo tanto, para que f sea continua en x = 0 entonces t = 2.
b) Para t = 3, representa gráficamente la función f. (1 punto)
Sea la función para t = 3,
f(x) =
Representamos cada función por separado:

La función g(x) = (x + 1)2 – 3 = x2 + 1 + 2x – 3 = x2 + 2x – 2 es una función
cuadrática cuyo vértice se encuentra para el valor de abcisa:
Se trata de una parábola con las ramas hacia arriba (a > 0) que podemos representar
dando valores a la izquierda y a la derecha del vértice (hasta x = 0) mediante la
siguiente tabla:
x
–1
–2
–3
– 0´5
0

g(x) = x2 + 2x – 2
(– 1)2 + 2·(– 1) – 2 = 1 – 2 – 2 = – 3
(– 2)2 + 2·(– 2) – 2 = 4 – 4 – 2 = – 2
(– 3)2 + 2·(– 3) – 2 = 9 – 6 – 2 = + 1
(– 0´5)2 + 2·(– 0´5) – 2 = 0´25 – 1 – 2 = – 2´75
02 + 2· 0 – 2 = – 2
La función h(x) = | x – 2| – 3 = es una función con valor absoluto. Por lo tanto, es una
función a trozos cuyo corte se encuentra en x = 2 (que es el valor donde se anula el
valor absoluto). En tal caso, la función es:

h(x) =
9
h(x) =
y se representará mediante dos rectas que creamos a partir de sus correspondientes
tablas de valores:
x
0
1
2
h1(x) = – x – 1
– 0 – 1 = – 1 (punto hueco, se trata de un límite lateral por la izquierda)
–1–1=–2
–2–1=–3
x
2
3
4
h2(x) = x – 5
2–5= –3
3–5=–2
4–5=–1
La función queda representada del modo siguiente:
5. Según un estudio, el 30% de las familias españolas van al cine regularmente, el 25% leen
regularmente, y el 15% hacen las dos cosas.
a) Si elegimos una familia al azar y va al cine regularmente, ¿cuál es la probabilidad de que
esa familia lea regularmente? (0.75 puntos)
b) Se selecciona una familia al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que esa familia vaya al
cine o lea regularmente? (0.75 puntos)
Solución. Consideramos los siguientes sucesos referidos al experimento que se considera:
A = “Una familia española va al cine regularmente” que tiene probabilidad P(A) = 0´3
B = “Una familia española lee regularmente” que tiene probabilidad P(B) = 0´25
El suceso intersección A  B, según el enunciado, tendrá probabilidad P(AB) = 0´15
a) Si elegimos una familia al azar y va al cine regularmente, ¿cuál es la probabilidad de que
esa familia lea regularmente? (0.75 puntos)
Se trata de calcular la probabilidad del suceso B/A. Aplicamos la fórmula de la probabilidad
del suceso condicionado:

10
b) Se selecciona una familia al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que esa familia vaya al
cine o lea regularmente? (0.75 puntos)
Se trata de calcular la probabilidad del suceso A  B. Aplicamos la fórmula de la
probabilidad de la unión P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B),


6. Se sabe que “la cantidad de glucosa en la sangre" en individuos adultos y sanos sigue una
ley normal de media desconocida y desviación típica 20 mg/dl. Se eligió aleatoriamente una
muestra de 100 personas, siendo la media de la cantidad de glucosa en sangre para esta
muestra de 85 mg/dl. Se pide:
a) Halla el intervalo de confianza del 95% para la media poblacional de “la cantidad de
glucosa en sangre". (1 punto)
b) Discute razonadamente el efecto que tendrá sobre el intervalo de confianza el aumento o
la disminución del nivel de confianza. (1 punto)
Solución.
a) Halla el intervalo de confianza del 95% para la media poblacional de “la cantidad de
glucosa en sangre". (1 punto)
Sea la variable aleatoria X que mide la cantidad de glucosa en sangre. Según los datos del
problema esta variable se distribuye mediante una Normal de desviación conocida e igual a
σ = 20 mg/dl. Por otra parte nos dan una muestra de tamaño n = 100 personas y nos dicen
que su media muestral es X  85 mg/dl. En estas condiciones nos preguntan el intervalo de
confianza con 1 – α = 0´95 respecto a la media poblacional. Este intervalo sigue la fórmula:


 
 X  z / 2 
, X  z / 2 

n
n

Puesto que 1 – α = 0´95, entonces α = 0´05 y α/2 = 0´025 por lo que zα/2 = 1´96. Por tanto,
sustituyendo en la fórmula del intervalo:

20
20 
 85  1´96 
, 85  1´96 
  (85  3´92, 85  3´92)  (81´08, 88´92)
100
100 

Concluimos que el intervalo de confianza al 95 % para la cantidad media de glucosa en
sangre en estas condiciones es (81´08, 88´92).
b) Discute razonadamente el efecto que tendrá sobre el intervalo de confianza el aumento o
la disminución del nivel de confianza. (1 punto)
Aumentando el nivel de confianza aumentamos la semi-amplitud del intervalo de confianza
y la estimación es más burda aunque con mucha probabilidad. Del mismo modo, si
disminuimos el nivel de confianza, disminuiremos la semi-amplitud del intervalo de
confianza y la estimación es más precisa pero con menor probabilidad.
11
SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE LA PROPUESTA B
1. a) Despeja la matriz X en la siguiente ecuación matricial: 2 · I + 3 · X + X · A = B,
suponiendo que todas las matrices son cuadradas del mismo orden (I es la matriz
identidad). (0.75 puntos)
b) Si
, calcula la matriz X que cumple A _X = I, donde I es la matriz identidad
de orden 2. (0.75 puntos)
Solución.
a) Despeja la matriz X en la siguiente ecuación matricial: 2·I + 3·X + X·A = B, suponiendo
que todas las matrices son cuadradas del mismo orden (I es la matriz identidad).
(0.75 puntos)
La matriz X se despeja del siguiente modo,
2·I + 3·X + X·A = B

3·X + X·A = B – 2·I

X · ( 3·I + A ) = B – 2·I

Suponiendo que (3·I + A) tiene matriz inversa, tendremos que:


b) Si
X · ( 3·I + A ) · ( 3·I + A ) – 1 = ( B – 2·I ) · ( 3·I + A ) – 1
X · I = ( B – 2·I ) · ( 3·I + A ) – 1


X = ( B – 2·I ) · ( 3·I + A ) – 1
, calcula la matriz X que cumple A·X = I, donde I es la matriz identidad
de orden 2. (0.75 puntos)
Primero despejamos algebraicamente la matriz X, que debe ser de orden 2 puesto que al
multiplicarse por una matriz de orden 2, se obtiene una matriz de orden 2.
Debemos asegurarnos de que la matriz A tiene matriz inversa. Eso sólo es posible si es
cuadrada, que lo es, y su determinante es no nulo. Comprobamos que |A| ≠ 0.
Por tanto, la matriz A tiene matriz inversa. En tal caso, podemos despejar algebraicamente a
la matriz X y podemos calcularla:
A·X =I
 A– 1 ·A · X = A– 1 ·I 
X = A–1
En ese caso, calculamos la matriz inversa de A, que es la solución de la ecuación matricial
mediante dos métodos:
 Por el método de Gauss:
Por lo tanto, la solución del problema es
12
 Por el método de de los determinantes: La matriz inversa se calcula a partir de la
fórmula,
La matriz traspuesta At es,
La matriz adjunta de la traspuesta es,
Por lo tanto, la matriz inversa y solución del problema es,
2. Una compañía de autobuses oferta viajes a tres destinos diferentes: Roma, París y Lisboa.
La compañía dispone de 30 autobuses. El número de autobuses que van a París es el doble
de la suma de los que van a Roma y a Lisboa. Y el número de autobuses que van a Lisboa
es la cuarta parte del número total de autobuses que van a Roma y a París.
a) Plantea el correspondiente sistema de ecuaciones que permita obtener el número de
autobuses que van a Roma, París y Lisboa respectivamente. (1.5 puntos)
b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior. (0.5 puntos)
Solución.
a) Plantea el correspondiente sistema de ecuaciones que permita obtener el número de
autobuses que van a Roma, París y Lisboa respectivamente. (1.5 puntos)
Llamamos “x” al número de autobuses que van a Roma; “y” al número de autobuses que van
a París; y “z” al número de autobuses que van a Lisboa.
Las condiciones del problema inducen las siguientes ecuaciones lineales. Observar que la
segunda y tercera ecuación provienen de la utilización de “la prueba de la división”.
La compañía dispone de 30 autobuses

x + y + z = 30
El número de autobuses que van a París es el doble de la suma
de los que van a Roma y a Lisboa

y = 2·(x + z)
El número de autobuses que van a Lisboa es la cuarta parte del
número total de autobuses que van a Roma y a París

13
Simplificamos al máximo las ecuaciones y escribimos el sistema que responde al enunciado
mediante:
b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior. (0.5 puntos)
Para resolverlo, podemos optar por resolverlo por Gauss o por el método de Cramer.
 Por el método de Gauss, sea la matriz de Gauss,
. Hacemos
ceros en los lugares correspondientes hasta hacerlo triangular en su mitad izquierda.
Reescribimos la matriz equivalente en forma de sistema:
Despejamos en el sistema y resolvemos:
Por lo tanto, han ido x = 4 autobuses a Roma, y = 20 autobuses a París y z = 6
autobuses a Lisboa.
14
 Por el método de Cramer: Dado el sistema
, aplicamos ahora el
método de determinantes:
Por lo tanto, han ido x = 4 autobuses a Roma, y = 20 autobuses a París y z = 6
autobuses a Lisboa.
3. Dada la función
. Calcula los valores de las constantes a, b y c
para que la gráfica de la función pase por el punto ( 0 , – 6 ), tenga un máximo relativo en
el punto de abscisa x = – 1, y un punto de inflexión en x = 1. (1.5 puntos)
Solución. Puesto que la función pasa por el punto (0, – 6 ) entonces f(0) = – 6 y por lo tanto,

Puesto que tiene un máximo relativoen el valor de abcisa x = –1 entonces f´(– 1) = 0. Como la
derivada de f(x) es f´(x) = x2 + 2ax + b, entonces si f´(– 1) = 0 tendremos que:
f´(– 1) = (– 1)2 + 2·a·(– 1) + b = 1 – 2a + b = 0,
Por otra parte, puesto que f(x) tiene un punto de inflexión en x = 1 y entonces f´´(1) = 0. Como
la derivada de f´(x) es f´´(x) = 2x + 2a, entonces si f´´(1) = 0 tendremos que:
f´´(1) = 2·1 + 2·a = 2 + 2a = 0  2a = – 2  a = – 1
15
De donde obtenemos que a = – 1 y, sustituyendo en la ecuación 1 + 2a + b = 0, tendremos que
1 + 2·1 + b = 0  b = – 3
Por lo tanto, a = – 1 y b = – 3 y c = – 6.
4. Se considera la función
. Se pide:
a) Estudia su continuidad en x = 0. (0.5 puntos)
b) Extremos relativos en el intervalo ( – 6, 0 ). (0.5 puntos)
c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento en ( – ∞, 0 ). (0.5 puntos)
Solución
a) Estudia su continuidad en x = 0. (0.5 puntos)
Para que una función f(x) sea continua en un valor de abcisa x = a, debe ocurrir que
En nuestro caso, calculamos los límites laterales y el valor de la función en el punto en x = 0.
Puesto que los límites laterales no coinciden la función f NO es continua en x = 0. Además, en
x = 0 la función f(x) presenta una discontinuidad de primera especie salto finito.
b) Extremos relativos en el intervalo ( – 6, 0 ). (0.5 puntos)
Calculamos la primera derivada de la función f(x) en (– 6, 0). Puesto que su expresión
algebraica es f(x) = (x + 3)2, su derivada es:
f´(x) = 2(x + 3) = 2x + 6
Igualamos a cero y resolvemos:
2x + 6 = 0  2x = – 6  x = – 3
Estudiamos el signo de la primera derivada en el dominio (– 6 , 0 ).
Intervalo
(– 6, – 3)
(– 3, 0)
Valor representante
–4
–1
f´(x) = 2x + 6
f´(– 4) = 2·(– 4) + 6 = – 2 < 0
f´(– 1) = 2·(– 1) + 6 = 4 > 0
Monotonía en el intervalo
Decreciente
Creciente
Por lo tanto, x = – 3 es un valor de mínimo relativo. Además será absoluto puesto que la
función es continua y en el intervalo (– 6,0) no puede haber valores donde haya menor valor
imagen. Por otra parte, no hay máximos relativos puesto que el intervalo es abierto y la
función continua.
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c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento en ( – ∞, 0 ). (0.5 puntos)
Como ya se estudio y concluyó en el apartado anterior, la función f(x) que tiene por expresión
algebraica (x + 3)2 en ese dominio, presenta decrecimiento en ( – ∞, – 3) y luego crecimiento
en el intervalo (– 3, 0)
5. Una empresa tiene dos líneas de producción. La línea 1 produce el 60% de los artículos y el
resto los produce la línea 2. Sabemos que el 0.5% de los artículos producidos por la línea 1
tiene algún defecto y así mismo el 2% de los artículos producidos por la línea 2 son
defectuosos.
a) Elegido un artículo al azar, calcula la probabilidad de que sea defectuoso. (0.75 puntos)
b) Sabiendo que un artículo tiene defectos, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido
producido por la línea 2? (0.75 puntos)
Solución. Los datos del problema se pueden describir mediante el siguiente diagrama de árbol:
a) Elegido un artículo al azar, calcula la probabilidad de que sea defectuoso. (0.75 puntos)
Apoyándonos en el diagrama de árbol, tendremos que la probabilidad pedida se puede
calcular mediante:
P(Defectuoso) = P( Defectuoso / Línea1 )·P(Línea 1) + P( Defectuoso / Línea 2 )·P(Línea 2) =
= 0´005 · 0´6 + 0´02 · 0´4 = 0´003 + 0´008 = 0´011
Por tanto, hay una probabilidad del 1.1 % de que el artículo elegido al azar sea defectuoso.
b) Sabiendo que un artículo tiene defectos, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido
producido por la línea 2? (0.75 puntos)
Apoyándonos en el diagrama de árbol, tendremos que la probabilidad pedida se puede
calcular mediante el teorema de Bayes y la probabilidad condicionada.


Por tanto, hay una probabilidad aproximada del 72´73 % de que el artículo defectuoso elegido
al azar pertenezca a la línea 2.
17
6. En un establecimiento de comida rápida se sabe que el tiempo que emplean en comer sus
clientes sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica 7 minutos.
El tiempo que emplearon 10 clientes elegidos aleatoriamente fue de 15, 20, 28, 21, 26, 30,
16, 18, 35 y 27 minutos respectivamente. Se pide:
a) Halla el intervalo de confianza para la media del tiempo que tardan en comer los clientes
del establecimiento con un nivel de confianza del 97 %. (1.25 puntos)
b) ¿Cuál deberá ser como mínimo el tamaño de la muestra para que el error de estimación
de la media sea inferior a 2 minutos con el mismo nivel de confianza? (0.75 puntos)
Solución.
a) Halla el intervalo de confianza para la media del tiempo que tardan en comer los clientes
del establecimiento con un nivel de confianza del 97 %. (1.25 puntos)
Sea la variable aleatoria X que mide el tiempo que tardan en comer los clientes. Según los
datos del problema esta variable se distribuye mediante una Normal de desviación conocida
e igual a σ = 7 minutos.
Por otra parte nos dan una muestra de tamaño n = 10 estudiantes y nos dicen que su media
muestral es X  2´36 ya que:
X 
15  20  28  21  26  30  16  18  35  27 236

 2´36
10
10
En estas condiciones nos preguntan el intervalo de confianza con 1 – α = 0´97 respecto a la
media poblacional. Este intervalo sigue la fórmula:


 
 X  z / 2 
, X  z / 2 

n
n

Puesto que 1 – α = 0´97, entonces α = 0´03 y α/2 = 0´015 por lo que zα/2 = 2´17.
Por tanto, sustituyendo en la fórmula del intervalo:

7
7 
 23´6  2´17 
, 23´6  2´17 
  (23´6  4´803, 23´6  4´803)  (18´797, 28´403)
10
10 

Concluimos que el intervalo de confianza al 97 % para el tiempo medio de consumo de
clientes del establecimiento es (18´796, 28´403).
b) ¿Cuál deberá ser como mínimo el tamaño de la muestra para que el error de estimación
de la media sea inferior a 2 minutos con el mismo nivel de confianza? (0.75 puntos)
El error de estimación viene determinado por la fórmula:
18
Por lo que el tamaño mínimo que podemos estimar es,


Calculando dicho tamaño muestral mínimo obtenemos,

Concluimos que el mínimo el tamaño de la muestra para que el error de estimación de la
media sea inferior a 2 minutos con el mismo nivel de confianza es de n = 58 clientes.
19