Parte 3

9.
10.
x
2
11.
x
3
12.
x .4
X
>
300
>
300
>
300
>
300
> 0 V¡ i = 1,2, 3,4, 5, 6,7,:
• Un país está atravesando una aguda crisis económica a raíz del enorme incremento de la
deuda externa. Uno de los efectos más visibles de la crisis es el carácter especulativo que está
adquiriendo el mercado de capitales; la influencia de diversos agentes: gobierno, Fondo Monetario
Internacional, Banca Nacional y Banca Extranjera, etc; hace que los indicadores económicos
(inflación, devaluación, entre otros) experimenten constantes modificaciones haciendo muy poco
fiables las previsiones a medio y a largo plazo. En este contexto, los inversionistas se han decantado
por una política de inversión a corto y muy corto plazo como mecanismo de defensa ante la
inestabilidad del mercado.
Uno de estos inversionistas está estudiando como invertir 100000000 de unidades monetarias,
producto de una herencia; un asesor financiero le proporciona el siguiente cuadro en el que se
recogen las posibles inversiones, su rendimiento y plazo, así como dos índices de calidad de la
inversión, uno proporcionado por un organismo estatal y el otro proveniente de una fuente extranjera.
Para la obtención de estos índices de calidad se tienen en cuenta conceptos tales como liquidez y
riesgo, de difícil cuantificación; el índice estatal recorre una escala de la A a la Z, siendo A la
mejor calidad, mientras que el índice extranjero califica a las inversiones en una escala de 0 a 100,
siendo 100 la mejor calidad.
ÍNDICE DE CALIDAD
Inversión
1
2
3
4
5
6
Tipo
Bonos empresa privada
Bonos estatales
Deuda pública nacional
Deuda pública regional
Pagarés estatales
Moneda extranjera
Organismo
Estatal
C
B
A
B
A
D
Fuente
Extranjera
95
85
92
90
97
93
Días
Neto
10
15
21
21
30
7
3,16
3,99
6,30
5,94
6,38
1,75
El inversionista pretende elegir su cartera de modo que alcance los máximos beneficios. No
obstante, el asesor financiero le aconseja que diversifique su inversión de acuerdo con los siguientes
criterios:
a) La cantidad colocada en inversiones estatales no debe ser superior al 70% del total invertido.
b) La cantidad invertida en bonos debe ser superior a lo invertido en deuda pública.
84
c) La razón entre las inversiones en efectos de titularidad pública (inversiones 2, 3,4 y 5) y las
inversiones en efectos de titularidad privada (inversiones 1 y 6) deben ser a lo sumo de tres
a uno.
d) No se debe colocar más de un 60% en inversiones catalogadas por el organismo estatal con
un índice inferior o igual a B.
e) La calidad media de la inversión según el índice de fuente extranjera debe ser como mínimo 92.
f)
Debido a las disposiciones legales, la cantidad máxima que puede invertirse en pagarés estatales
es de 4000000 unidades monetarias.
g) La duración media de la inversión debe estar comprendida entre 14 y 21 días.
Plantear el anterior problema como un modelo de programación lineal.
VARIABLES REALES:
X,:
X,:
X3:
X4:
X5:
X6:
Z:
Cantidad colocada en la inversión 1 (en millones de unidades monetarias)
Cantidad colocada en la inversión 2 (en millones de unidades monetarias)
Cantidad colocada en la inversión 3 (en millones de unidades monetarias)
Cantidad colocada en la inversión 4 (en millones de unidades monetarias)
Cantidad colocada en la inversión 5 (en millones de unidades monetarias)
Cantidad colocada en la inversión 6 (en millones de unidades monetarias)
Función de utilidad correspondiente a la ganancia obtenida de acuerdo con las inversiones
realizadas 1, 2, 3,4, 5 y/o 6
Modelo (primal):
MAX Z = 3,16 X, + 3,99 X2 + 6,30 X3 + 5,94 X4 + 6,38 X5 + 1,75 X6
Sujeta a:
1.
X,
+
2.
3.
X,
+
6.
<
10
x2 + x3
<
7
X
+ x5
2
x 2 + x 3 + x 4 4- x 5
4.
5.
x 2 + x 3 + x4+ x5+x6
X,
+ X2
9 5 X , 4-
+ X 4 4- X 5
85 X 2 4- 92 X 3 + 90 X 4 4- 97 X 5 + 93
X, + X 2 + X 3 4-X4 4-X5 4-X6
X6
<
x 3 + X4
<
3(X,+X6)
<
6
>
92
85
\
r
7.
o
X
s
,„ 10X,1 + 15X, + 21X, + 2 1 X 41 + 30 X 5 + 7 X 6
14<
x , + x 2 + X 3 + X 4 + X 5 4- X 6
9. 11 X, + 6X 2 - 9X 5 + 14 X,0
<
4
<
21
>
0
Resumiendo:
MAX Z = 3,16 X, + 3,99 X, + 6,30 X, + 5,94 X4 + 6,38 X 5 + 1,75 X6
Sujeta a:
1.
X, +
x 2 + x3
2.
X2 + X 3
3.
+
x
X, + X2 - X3 -
6.
X, + X2
3X,
7.
8.
-7X2
9. - 11X,
- X, - 7 X3
-6X2
X
x6
<
10
<
7
<
<
0
0
<
6
>
0
<
4
+ 7X,o
<
0
- 14X,0
<
0
>
0
5
x4
+
X
4
+
X
5
x4
+
X
5
- 2X 4 +5 X5
#
4X,
+
+
+
4. - 3 X, + X2 + X3 +
5.
<
-3X6
+
X
6
x5
-7X4 -16 X5
f9X s
10. 11 X, + 6 X, - 9 X.+ 14 X.6
X.
>
O V¡
i = 1,2, 3, 4, 5, 6
• Una empresa de confecciones puede producir 1000 pantalones o 3000 blusas (o una
combinación de ambos) diariamente. El departamento de acabado puede trabajar sobre 1500 pantalones
o sobre 2000 blusas (o una combinación de ambos) cada día; el departamento de mercadeo requiere
que se produzcan diariamente al menos 400 pantalones. Si el beneficio de un pantalón es de 4000
unidades monetarias y la utilidad de una blusa es de 3000 unidades monetarias. ¿Cuántas unidades se
deben de producir de cada uno para maximizar las utilidades?
Plantear el anterior problema como un modelo de programación lineal.
VARIABLES DE DECISIÓN:
v
X, : Cantidad de pantalones a producir diariamente
X , : Número de blusas a fabricar por día
Z : Función de utilidad correspondiente a la ganancia por la venta de pantalones y blusas
86
Modelo (primal):
MAX Z = 4000 X, + 3000 X,
Sujeta a:
1.
Xi
X-)
— - +——
1000 3000
2.
— L + ——
1500 2000
3.
Xi
X-7
X,
<
\
<
1
>
400
Resumiendo:
MAX Z = 4000 X, + 3000 X2
Sujeta a:
1.
3X, +
2
<
3000
2.
4 X , + 3 X2
<
6000
>
400
>
0
3.
X
x,
Xp x2
• La Granja Manizales tiene como actividad principal la cría y engorde de cerdos destinados
al consumo humano, como también a la fabricación de embutidos. La tarea principal encargada por
medio del veterinario es supervisar la preparación de un alimento (salvado) especial, reconstituyente
para alimentar una carnada que se encuentra convaleciente de una leve enfermedad. Se precisan 1000
kg del alimento cuya composición debe cumplir las siguientes especificaciones:
a)
b)
c)
d)
La cantidad de peso de hidratos de carbono (H) debe estar comprendida entre un 40% y un 70%.
La cantidad en peso de proteínas (P) debe estar entre un 15% y un 50%.
La cantidad de peso en grasas (G) debe estar comprendida entre un 10% y un 30%.
La cantidad en peso de minerales (M) debe ser superior al 3%.
Para la preparación del alimento se puede recurrir a tres tipos de concentrado proporcionados por
la compañía Finca, dos tipos de harina de pescado suministrados por la empresa Purina o bien comprar
directamente en el almacén paquetes de minerales con la composición adecuada. La siguiente tabla
muestra la composición porcentual en peso de cada uno de estos productos, así como su costo por
kilogramo:
87
Alimentos
Concentrado A
Concentrado B
Concentrado C
Harina 1
Harina 2
Minerales
H
P
G
M
76
64
45
71
69
0
21
24
37
2
1,5
0
3
12
18
26
29
0
0
0
0
1
0,5
100
Costo/kg
u.m.
22
31
45
17
15
125
El gerente desea evitar una excesiva dependencia de un único proveedor, al tiempo que desea
mantener buenas relaciones comerciales con ambos proveedores; por ello, piensa que el pedido debería
repartirse de manera equitativa entre ambas empresas Finca y Purina. En este sentido, lo más que
podría tolerarse es una diferencia entre los dos pedidos de hasta un 20% de la cantidad total pedida a
ambos proveedores. Por otra parte, la compañía Finca ha avisado que las existencias de su concentrado
más barato el A, son un tanto escasas, por lo que solo podrá suministrar a tiempo máximo 300 kg. El
problema que debe resolver la gerencia es determinar qué cantidades compra de cada producto para
fabricar el alimento necesario para el ganado porcino al menor costo posible.
DEFINICIÓN DE VARIABLES:
XA: Cantidad de kg de concentrado A para incluir en los 1000 kg de alimento
Xg: Número de kg de salvado B a mezclar en los 1000 kg de alimento
Xc: kg de alimento C para incluir en los 1000 kg de alimento
X,: Cantidad de kg de harina tipo 1 para mezclar en los 1000 kg de alimento
X;:
Número de kg de harina tipo 2 para incluir en los 1000 kg de alimento
Xj^: kg de minerales a mezclar en los 1000 kg de alimento
W:
Función de costo del alimento
Modelo (primal):
MIN W = 22 XA + 31 XB + 45 X c + 17 X, +' 15 X, + 125 XM
Sujeta a:
1. xA + xB + x c + x, + x2 + xM
2
<
1000
^ 0,76 X A + 0,64 X B + 0,45 X c + 0,71 X, + 0,69 X 2
iXA+XB+Xc+X,+X2
<
0 ?
_ 0,21 X A +0,24 X B +0,37 X c +0,02 X, +0,015 X 2
0,15 <
'
XA+XB+XC+X,+X2
<
—
n s
Q 1
ni
4
0 ]<
0,03 X A +0,12 X B +0,18 X c + 0,26 X, + 0,29 X2
XA+XB+XC+X,+X2
X
X
X
1
+ XB+XC
A
A
0,3
<-
0,2
0,01 X, +0005 X 2 + X M
5. 0,03<
6.
<
+ XB+XC
X
+
2
X
+
M
-x2
+ X, + x 2
x
-
,
Resumiendo:
X
/g
{*
?
&
MIN W = 22 XA + 31 X B + 45 X c + 17 X, + 15 X2 + 125 XM
Sujeta a:
1.
2.
*** SI
X
A
+
X
B
+
XC
+
X,
0,36 XA + 0 , 2 4 X B + 0,05 XC + 0 , 3 1 X,
+
X
2
+ 0,29 X2
3. - 0 , 0 6 X A + 0 , 0 6 X B + 0 , 2 5 X C - 0 , 0 1
X,
4.
X, + 0,135 X2
0,06 XA + 0,09 XB + 0 , 2 2 X C - 0 , 1 3
+ XM
+ 0,01 X 2
«
>
1000
>
0
>
0
>
0
U
X B + 0 , 1 3 X C + 0,48 X, + 0,485 X2
>
6. - 0 , 0 7 X A + 0 , 0 2
X B + 0 , 0 8 X C + 0,16 X, +
0,19X2
>
0
7.
X B + 0 , 1 2 X C + 0,04 X,
+ 0,11X2
>
0
- 0,02 X, - 0 , 0 2 5 X2 + 0,97 XM
>
0
5.
0,29 XA + 0 , 2 6
0 , 2 7 X A + 0,18
8.
9.
10.
0
- 0,8 X C
+ 1.2X,
+ 1,2 X2
>
0
1,2 X A +1,2 X B + 1 , 2 X C
- 0,8 X,
- 0,8 X 2
>
0
-0,8XA
-0,8
XB
X
>
O
V,.
i = A, B, C, 1,2, M
65.
Una empresa produce bobinas de papel de 500 metros de longitud y un metro de ancho; se ha
estimado que la demanda para el mes próximo es de: 500 bobinas de 20 cm de ancho, 400 bobinas de
30 cm de ancho, 250 bobinas de 40 cm de ancho y 300 bobinas de 70 cm de ancho (todas las bobinas
son de 500 metros de longitud).
El fabricante debe cortar las bobinas de un metro de ancho con el tamaño de las peticiones para
satisfacer la demanda, pero también desea que el desperdicio en el corte (sobrantes iguales o superiores
a 10 cm) sea tal que el número de bobinas que fabrique de un metro sea mínimo y reducir con ello el
costo de producción
89
VARIABLES REALES:
X.:
Número de bobinas a cortar de 500 metros según el patrón i, i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10
W:
Función de costo del desperdicio en el corte de las bobinas.
Patrones
20
30
40
70
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
5
3
3
1
0
1
0
0
1
2
0
0
1
0
1
1
2
3
0
2
0
1
0
0
0
1
1
0
2
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
Sobrantes
(cm)
0
0
10
10
0
10
0
10
0
0
Modelo (primal):
MIN W = 10 X,3 + 10 X 4 + 10 X,+
10 X,J
6
Sujeta a:
1.
5 X, + 3 X2 + 3X 3 +
2.
3.
X
+ x5
x3
X
+
4
X4+
4.
X1
>
>
500
+2X10
6 + 2X7+3X8
x
x7
+2X,
250
*+
>
400
>
250
>
300
X
+
+
2
, + 2X 1 0
X
X6 +
x5
0
v¡
i = 1 , 2 , 3 , 4 , 5, 6, 7, 8, 9, 10
• En la Empresa Colombiana de Petróleos ECOPETROL se procesan tres tipos de gasolina:
90
TIPO
CLASE
1
2
3
Popular
Corriente
Extra
OCTANAJE
OCTANOS
95
92
98
Para ello se mezclan cuatro productos base, cuyo costo y disponibilidad son:
Producto
Disponibilidad
A
B
C
D
3000
2000
4000
1000
Costo/unidad
(u.m./barril)
90000
180000
120000
150000
Para la clasificación de la mezcla en uno de los tres tipos de gasolina se atiende a la proporción de
los productos que la componen de acuerdo con la siguiente tabla:
Producto
Producto A
Producto B
Producto C
1
2
3
<30%
< 50%
> 70%
>40%
> 10%
< 50%
—
Producto D
—
—
...
—
—
Utilidad/unidad
(u.m./barril)
150000
120000
90000
—: Indica que no interesa la proporción de ese producto
VARIABLES DE DECISIÓN:
Y,: Cantidad de barriles de gasolina tipo 1 (popular)
Y,: Número de barriles de gasolina tipo 2 (corriente)
Y3: Cantidad de barriles de gasolina tipo 3 (extra)
Y a : Número de barriles del producto A
Y0: Cantidad de barriles del producto B
YC: Número de barriles del producto C
Y d : Cantidad de barriles del producto D
X..: Número de barriles del producto i {A, B, C, D} invertidos en j e {1,2, 3}
Z: Función de maximización de la útil idad
Modelo (primal):
MAX Z = 150000 X, + 120000 X, + 90000 X3 - 90000 YA -180000 YB - 120000 Y c - 150000YD
Sujeta a:
91
1.
Y,
=
X
A ,
+
X
B ,
=
X
A2
+
X
B2
+ XC2 + XD2
=
X
A3
+
X
B3
+ x c 3 + xD3
=
X
A1
+
X
A2
=
X
B1
+
X
B2
=
X
=
X
7.
Y2
Y3
YA
YB
YC
YD
8.
YA
<
3000
9.
YA
<
2000
10.
YA
<
4000
11. YA <
1000
2.
3.
4.
5.
6.
C1 + XC2
+
D1
<
0,3 Y,
<
0,4 Y,
14. XC1 <
<
15.
0,5 Y,
<
O,I Y2
<
0,7 Y3
12.
X
A ,
13.
X
B ,
XA2
16.
X
B2
17.
X
A3
+ X
X
D2
+
c,
X
o,
A3
+
X
B3
+
X
C3
+
+ X
X
D3
0,5 Y2
Resumiendo:
MAX Z = 150000 X, + 120000 X,+ 90000 X3 - 90000 YA - 180000 YB - 120000 Y c - 150000YD
Sujeta a:
1.
Y,
2.
Y2
3.
X
AI
X
B1
X
C1
X
A2
X
B2
X
C2
Y3
X
A3
X
B3
X
C3
4.
YA
X
A1
5.
YB
"
X
BI '
X
B2
"
X
B3
6.
YC
_
X
C1 "
X
C2
"
X
C3
7.
YD
8.
YA
9.
•
X
D1 "
YB
X
~
X
A2
X
D2
"
X
D1
"
X
D2
"
X
D3
=
0
=
0
=
0
=
0
=
0
=
0
=
0
A3
X
D3
<
3000
<
2000
<
4000
<
1000
x A 1 - 0,3 Y,
<
0
10.
Yc
11.
12.
Yd
13.
X
B,
- 0,4 Y,
<
0
14.
X
C1
- 0,5 Y,
<
0
<
0
15.
- 0,5 Y2
16.
x B 2 -0,1 Y2
<
0
17.
X
- 0,7 Y3
<
0
>
0
A3
.
X
Vjj i = A, B, C, D; j = 1,2,3
67. El gobierno actual requiere el máximo apoyo para que se apruebe en el congreso el plan
de desarrollo propuesto para el próximo año. A través de sus consejeros ha sabido que hay 35
congresistas de un grupo de coalición y 27 de otro partido que aún no han definido su voto. El
presidente decide entonces concertar por teléfono con estos congresistas indecisos para
convencerlos de que lo apoyen, sabiendo que tiene una probabilidad 0,9 de éxito con los miembros
de la coalición y 0,6 de otro partido. ¿Cuántos congresistas de cada partido deberá telefonear para
maximizar su probabilidad de éxito si no puede realizar un número total de llamadas superior a 30
en el actual régimen de austeridad?
DEFINICIÓN DE VARIABLES:
X c : Cantidad de congresistas de la coalición
Xo: Número de congresistas de otro partido
Z:
Función de maximización del éxito
Modelo (primal):
MAX Z = 0,9
X C, + 0,6
Xo
'
'
Con sus restricciones:
1.
X Cr +
2.
Xc
3.
Xo
Xo
X c , x0°
<
30
<
35
<
>
27
0
93
• Una empresa requiere adquirir cuatro productos (1, 2, 3 y 4) y se conoce que hay tres
compañías (A, B y C ) que los procesan y los venden. La diferencia entre las compañías hace que los
artículos se distingan por su calidad, es decir, por la probabilidad de que sean menos defectuosos y por
sus precios:
Calidad
1
2
3
4
Precio
1
2
3
4
A
B
C
0,4
0,6
0,7
0,6
0,7
0,6
0,8
0,4
0,5
0,7
0,9
0,8
A
B
C
6
8
3
4
7
5
2
5
7
3
9
6
Si se pretende tener una media no inferior a 8, 14, 23 y 15 unidades sin defecto de los productos
1, 2, 3 y 4 respectivamente. Si se desea minimizar el costo que se debe comprar.
VARIABLES REALES:
X.. :
Cantidad de artículos i, i {1, 2, 3, 4} que se comprarán en la empresa j, j e {A, B, C}
W:
Función de minimización de costos
Modelo (primal):
MAX Z = 6 X , A + 4X, A + 2X, A + 3X 4A + 8 X i n + 7X, R + 5X 3 B + 9X 4 B + 3 X , c + 5X 2C
+ 7X 3 C + 6X 4 C
Sujeta a:
1.
0,4 X |A + 0,6 X1B + 0,7 X1C
>
8
2.
0,6 X,A + 0,7 X2B + 0,6 X, c
>
14
3.
0,8 X3A + 0,4 X3B + 0,5 X3C
>
23
4.
0,7 X4A + 0,9 X4B + 0,8 X4C
>
15
X.. > 0
69.•
Vy
i = 1 , 2 , 3,4;
j=A,B,C
Un granjero tiene 1000 hectáreas de terreno para cultivar próximamente y desea planificar
tales cultivos; sabe que necesitará disponer de 300 toneladas de trigo y 270 toneladas de maíz para
alimentar a su ganado, los cuales puede obtener mediante su propia cosecha o por medio de compra en
el mercado. Lo que produzca y que no se dedique a su ganado, lo puede vender; los precios de venta
son 500000 unidades monetarias y 450000 unidades monetarias por cada tonelada de trigo y de maíz,
respectivamente. Los precios de compra son un 35% superior debido a las ganancias de intermediarios
y a los costos de transporte.
94
Otro cultivo posible es de la caña de azúcar, que se vende a 300000 unidades monetarias cada
tonelada producida. Sin embargo, normas del Mercado Común Latinoamericano imponen una cuota
máxima para la producción de azúcar, lo que conlleva a que cada tonelada de caña de azúcar producida
sobre tal cuota tendrá un precio de venta de 100000 unidades monetarias; para el próximo cultivo se
espera que tal cuota sea de 4000 toneladas.
Basado en experiencias anteriores, el granjero conoce que la producción media es de 8, 5 y 4
toneladas por hectárea de trigo, maíz y caña de azúcar. El costo de cultivar una hectárea de trigo, maíz
y caña de azúcar es de 3000000 unidades monetarias, 3800000 unidades monetarias y 4300000 unidades
monetarias.
Se debe plantear un modelo de programación lineal que le ayude al granjero a maximizar sus
beneficios.
VARIABLES DE DECISIÓN:
U |:
Cantidad de hectáreas en las que cultivará trigo
U, : Número de hectáreas en las que sembrará maíz
U3 : Cantidad de hectáreas en las que plantará caña de azúcar
V, : Número de toneladas que comprará de trigo
V, : Cantidad de toneladas que comprará de maíz
W, : Número de toneladas que venderá de trigo
W, : Cantidad de toneladas que venderá de maíz
W 3 : Número de toneladas que venderá de caña de azúcar a 300000 unidades monetarias
W4 : Cantidad de toneladas que venderá de caña de azúcar a 100000 unidades monetarias
Z : Función de maximización de utilidades
Modelo (primal):
MIN W =
500000 W, + 450000 W2 + 300000 W3 + 100000 W4 - 0,35*500000 V,
- 0,35*450000 V2 - 3000000*8 U, - 3800000 * 5 U2 - 4300000* 4 U3
Sujeta a:
1.
2.
3.
4.
5.
u , + u 2 + u .3
8U,
<
+ V
5U
- w
+ V.
1000
300
- w.
270
W
W,4
u , , u 2 , u 3 , v , , v 2 , w , , w 2 , w 33,' w 4
>
4000
<
4000
>
o
95
• La gerencia de una planta termoeléctrica de generación de energía, que emplea carbón como
combustible, está estudiando la configuración operativa de la planta a fin de cumplir con las nuevas
leyes de contaminación ambiental; para esta planta, las tasas máximas de emisión son: máxima emisión
de óxido de azufre, 4000 partes por millón (ppm); máxima emisión de partículas (humo), 10 kilogramos/
hora (kg/hora).
El carbón se traslada a la planta por ferrocarril y se descarga en depósitos cercanos a la misma;
de aquí se lleva con una cinta transportadora a la unidad pulverizadora, donde se pulveriza y alimenta
directamente la cámara de combustión, a la velocidad conveniente; el calor producido en la cámara de
combustión, se utiliza para crear vapor, el cual impulsa las turbinas.
Se emplean dos tipos de carbón: tipo A, que es un carbón duro y de quema limpia con un bajo
contenido en azufre (bastante caro) y tipo B, que es un carbón barato, relativamente suave, que produce
humo y tiene un alto contenido en azufre (ver tabla adjunta). El valor térmico en términos de vapor
producido es mayor para el carbón A que para el carbón B, siendo de 26000 y 18000 libras por tonelada
respectivamente.
CARBÓN
ÓXIDO DE AZUFRE
EN PARTÍCULAS
GASES
COMBUSTIBLE
(emisión/t)
A
1600 ppm
0,5 kg/t
B
4800 ppm
1 kg/t
Como el carbón A es duro, la unidad pulverizadora puede manejar a lo sumo 18 toneladas de
carbón A por hora; sin embargo, puede pulverizar hasta 22 toneladas de carbón B por hora. El sistema
de carga de la cinta transportadora tiene una capacidad de 20 toneladas por hora y es independiente del
tipo de carbón.
Uno de los interrogantes que se plantea la gerencia es que dados los límites de emisión de los
agentes contaminantes y los tipos disponibles de carbón. ¿Cuál es la máxima producción posible de
electricidad de la planta que le permitirá a la gerencia determinar el margen de seguridad disponible
para cubrir las demandas de energía?
DEFINICIÓN DE VARIABLES:
X, : Cantidad de carbón tipo A en toneladas utilizadas por hora en la quema
X2 : Número de toneladas de carbón tipo B en toneladas empleadas en una hora para quema
Z : Función de maximización de producción
Modelo (primal):
MAX Z = 26000 X, + 18000 X,
96
Sujeta a:
1.
0,5 X,
+ X,
<
2.
-X,
18 1
+ — X,
22
<
3.
1600
4.
X,
X)
X, + x 2
+ 4800^
X, + x 2
10
4000
+ x.
X, , x ,
<
20
>
0
X, + x 2
Resumiendo:
MAX Z = 26000 X, + 18000 X2
Sujeta a:
1.
2.
X2
<
10
11 X, + 9 X,
<
198
0,5 X , +
3.
- 3 X, +
X2
<
0
4.
X,+
X2
<
20
X,, X2
>
0
7 1 • Una destilería dispone de malta propia en cantidad de 300 barriles/día. Además, puede comprar
malta de dos distribuidores A y B con costos de 12000 unidades monetarias y 15000 unidades monetarias
por barril, en cantidades máximas de 600 y 400 barriles/día, respectivamente. La malta se puede mezclar
directamente o destilar para producir malta enriquecida de dos tipos 1 y 2. El destilador puede procesar a
lo sumo 800 barriles/día. Un barril destilado de la propia casa produce 0,3 barriles de malta tipo 1 y 0,6
barriles de malta tipo 2; un barril de malta A produce 0,4 barriles de malta tipo 1 y 0,4 barriles de malta tipo
2; un barril de malta B produce 0,7 barriles de malta tipo 1 y 0,1 barriles de malta tipo 2.
La mezcla de malta no procesada se vende a 16000 unidades monetarias el barril, limitándo el
mercado a 150 barriles/día; el sobrante de malta se debe destruir con costo de 1200 unidades monetarias
el barril; con las maltas destiladas se pueden hacer dos productos: uno de superior calidad (S) que se
vende a 20000 unidades monetarias el barril y debe contener al menos el 60% de producto 1, otro de
baja calidad (B) que se vende a 15000 unidades monetarias el barril y puede contener a lo sumo el 50%
de producto 2.
97
La destilería desea satisfacer la demanda del producto de alta calidad, que es de 250 barriles por
día y asegurarse un beneficio de 300000 unidades monetarias diarias; además, puesto que se espera un
cambio en el mercado del producto de baja calidad, la destilería desea minimizar su producción.
Formular un modelo de programación lineal que responda al problema de planificación planteado
teniendo en cuenta las limitaciones en la producción y las exigencias de demanda y beneficio económico,
suponiendo, además, que la venta de la mezcla está garantizada.
VARIABLES REALES:
X. : Barriles por día de malta disponible del distribuidor i, i = {A, B, C} donde C: malta
disponible en la propia destilaría
X.. : Cantidad de malta disponible del distribuidor i, dedicada a la actividad j, j = {M, D, d},
donde M: mezcla, D: destilería y d: destrucción
X, : Producción de barriles de malta de tipo 1 por día
X,: Número de barriles de malta de tipo 2 a producir diariamente
X s : Cantidad de barriles de malta de alta calidad
XB : Número de barriles de malta de baja calidad
Xk| : Cantidad de barriles de malta de tipo k, k = {1,2} dedicada a la producción de calidad
U={S,B}
W:
Función de volumen de producción de baja calidad
Modelo (primal):
M A X Z = X1B + X2B
Sujeta a:
1.
xA
2.
X
B
3.
4.
X
AD
+
X
BD
5.
X AM + X BM
6.
X...
-i- x._
AM
AD
7.
X BM + X BD
8.
98
xc
X
CM
+
X
CD
+
X
CD
+
X
CM
+
X
AD
+
+
X
X
B
D
C
D
<
600
<
400
<
300
<
800
<
150
=
X
A
=
X
B
=
X
c
9.
0 , 3 X c d + 0 , 4 X a d + 0,7 XBD
=
10.
0,6X CD + 0,4X AD + o , i x B D
=
11.
X
1S
+
X
1B
12.
X
2S
+
X
2B
13.
x i s + x2S
14.
X
15.
0,6 X s
16.
0,5 XB
17.
X
18.
16000 (XAM + XBM + XCM) + 20000 X s + 15000 XB - 12000 XA - 15000 X,
+
1B
X
X
,
X
2
X
,
X
2
X
s
X
B
<
X
1S
<
X
2B
<
250
=
=
=
=
2B
H
- 1200 (X
+X
+X )
>
'
30000
Resumiendo:
MAX Z = X | B + X2B
Con sus restricciones:
1.
X
A
2.
X
B
3.
4.
5.
X
X
+
AD
X
+
BD
c
X
CD
X AM + X BM + X CM
6.
X
AM
+
X
AD
7.
X
BM
+
X
BD
+
X
Bd "
X
CD
+
X
Cd "
X
C
8.
X
+
CM
+
X
Ad "
X
X
A
B
<
600
<
400
<
300
<
800
<
150
=
0
=
0
=
0
9.
0,3 X c d + 0 , 4 X a d + 0 , 7 X b d - X ,
=
0
10.
0,6Xcd + 0,4Xad + 0,1Xbd-
=
0
11.
X
1S
+
X
1B
_
X
1
=
0
12.
X
2S
+
X
2B "
X
2
=
0
13.
X
1S
+
X
2S "
X
S
=
0
14.
X
1B
+
X
2B "
=
0
X
B
X
2
99
15.
0,6 X s - X1S
<
0
16.
0,5X B -X 2 B
<
0
17.
X„ri
>
250
18.
16000 X AM+16000 XRM
rM
BM+ 16000 XC
M+ 20000 X,a + 15000 XRB-12000 X.A -15000 XDB
-1200 XAd- 1200
30000
r„d
• X Bd- 1200 XC
.
—>
X,
xij5 X,, x2, xs, XB, xkl
>
0
I = A, B, C, j = M, D, d, k = l , 2 ,
1 = S, B
• La Fábrica de Televisores Manizales FATEMA desea maximizar sus utilidades en la venta
de sus artículos principales, televisión a color con pantalla de plasma y televisión a color de alta definición.
Un televisor a color con pantalla de plasma requiere en promedio cuatro horas por empleado en
la producción de partes, dos horas por empleado para ensamble y 0,5 horas por empleado para inspección.
Un televisor a color de alta definición necesita en promedio seis horas en producción de partes, tres
horas para ensamble y una hora para inspección.
Durante cada período de producción hay disponibles: 2500 horas hombre para producción de
partes, 1100 horas hombre para ensamble y 600 horas hombre para inspección. La utilidad neta para
cada televisor a color con pantalla de plasma es de 50000 unidades monetarias y la ganancia neta de
un televisor a color de alta definición es de 100000 unidades monetarias.
Plantear el anterior problema como un modelo de programación lineal.
VARIABLES DE DECISIÓN:
X,: Número de televisores a color con pantalla de plasma a producir durante el período de
producción
X,: Cantidad de televisores a color de alta definición (plasma) a fabricar en el período de
producción
Z: Función de utilidad
Modelo (primal):
MAX Z = 50000 X, + 100000 X2
Sujeta a:
100
1.
4X, + 6X,
<
2500
2.
2X, + 3X,
<
1100
3.
1
- X, + X2 <
X,, X2
>
600
0
• Una empresa le hará publicidad a su producto estrella, con un programa semanal en el que
se presentan cantantes y una sección de humor, con duración de una hora; en el que se emiten
comerciales con diferentes duración y la compañía quiere tener al menos 5 minutos de comerciales en
dicho espacio.
El reglamento en televisión requiere como máximo que los comerciales consuman 18 minutos en
programas de 60 minutos y que nunca sea mayor el tiempo de comerciales que el de actuación de los
cantantes.
Los cantantes no trabajan más de 30 minutos de los 60 que dura el programa; de manera que el
humorista se utiliza para llenar los espacios en los que no haya comerciales o cuando los cantantes no
están en presentación.
Por experiencia en televisión se sabe que por cada minuto de los cantantes en el aire 7000
televidentes más estarán viendo el programa; por cada minuto de trabajo del humorista 10000 personas,
en cambio por minuto de comercial se pierden 1500 televidentes.
El humorista cobra 200000 unidades monetarias por minuto, los cantantes 500000 unidades
monetarias por minuto y los comerciales 1000000 unidades monetarias por minuto.
La empresa quiere:
a) Maximizar el número de televidentes (al finalizar el programa de una hora).
b) Minimizar los costos para la producción del programa.
Plantear el anterior problema como un modelo de programación lineal.
VARIABLES REALES:
X,: Número de minutos de los cantantes durante el programa
X2: Cantidad de minutos del humorista en el programa
X,: Número de minutos de comerciales durante el programa
Z: Función de utilidad
W: Función de costos
Modelo (primal):
a) MAX Z = 7000 X, + 10000 X, - 1500 X 3
101
Sujeta a:
1.
X,
2.
X,
+
X
2
+
X
3.
4.
X
X,
3
3
X
"
5.
X
3
3
X p X,,X 3
=
60
<
30
<
• 18
>
0
>
5
>
0
Modelo (primal):
b) MIN W = 500000 X, + 200000 X2 + 1000000 X3
Sujeta a:
1.
X
, + x2 + x3
2.
X
,
3.
4.
5.
X
X
,
-
X
X
3
3
3
X p X2, X 3
=
60
<
30
<
18
>
0
>
5
>
0
• En un salón de eventos se tienen programados banquetes durante los siguientes cinco días; el
número de manteles por banquete es:
Banquete
1
2
3
4
5
Número de manteles
80
60
100
130
200
El problema del administrador es que se necesitan manteles diferentes a los que él usa, por lo que
tendrá que comprar ese tipo de manteles; el costo de cada mantel es de 8000 unidades monetarias y el
costo de mandarlo a la lavandería bajo servicio urgente para tenerlo listo a los dos días es de 1000
unidades monetarias por mantel. ¿Cuál es el modelo que le permitirá al administrador cumplir con sus
requisitos y además minimizarle el costo total?
102
VARIABLES DE DECISION:
X: Número de manteles que se compran el día i i = 1, 2, 3, 4, 5
Y.: Cantidad de manteles que se envían a la lavandería el día j j = 1, 2, 3
W: Función de costos
/
Modelo (primal):
MIN W = 8000 (X, + X2 + X3 + X4 + X5) + 1000 (Y, + Y, + Y3)
Sujeta a:
1. X,
2.
X2
3.
X3
4.
+ Y,
X4
5.
+ Y,
X5
6.
+ Y3
Y,
7.
Y2
8.
Y3
x,,x2,x3
=
80
=
60
=
100
=
130
=
200
<
80
<
8 0 - Y , + 60
<
80 + 60 - Y, - Y2 + Y,
>
0
Resumiendo:
MIN W = 8000 (X, + X, + X3 + X4 + X5) + 1000 (Y, + Y, + Y3)
Con sus restricciones:
1.
2.
3.
4.
5.
X,
x
2
+Y,
x3
+ Y2
X4
X5
6.
7.
8.
X,, X2, Xj, x 4 ,
+
y
3
Y,
Y , + Y2
Y2 + Y 3
x 5 , Y ( , Y2, Y 3
=
80
=
60
=
100
=
130
=
200
<
80
<
140
<
140
>
0
103
• Se quieren mezclar tres metales A, B y C para formar 20 toneladas de una mezcla, la cual
debe satisfacer ciertas especificaciones: la mezcla debe contener por lo menos 25% de plomo, no más
de 50% de estaño y por lo menos 20% de zinc; las composiciones y costos de los tres metales son:
Metal componente
A
B
c
Plomo
0,1
0,1
0,4
Estaño
0,1
0,3
0,6
Zinc
0,8
0,6
0,0
14000
20000
30000
U.M/t
¿Cuál será la mezcla que producirá una aleación que satisfaga las especificaciones a costo mínimo?
VARIABLES REALES:
XA
; Número de toneladas de A en la mezcla
XB
: Cantidad de toneladas de B en la mezcla
X c = 20 - (XA + XB) : Número de toneladas de C en la mezcla
W
: Función de costos
Modelo (primal):
MIN W = 14000 XA + 20000 XB + 30000 (20 - (XA + XB))
Sujeta a:
1.
0,1 x A + 0,1 x B -f 0,4 (20
2. 0,3
>
(20) (0,25)
+ 0,3X b
<
1
3. 0,1
X
A
+ 0 , 3 X b -f- 0,6 (20
<
(20) (0,5)
4. 0,5
X
A
+ 0,3X b
>
1
5. 0,8 XA + 0,6 XB
>
(20) (0,2)
>
o
X A ,X R ,XC
Resumiendo:
MIN W = - 16000 X4A - 10000 X nB + 300000
104
Sujeta a:
L 0,3 XA + 0,3 XB
<
1,5
2.0,3 XA + 0,3 XB
<
1
3.0,5X A + 0,3 X b
>
1
4.0,5 XA + 0,3 XB
>
1
5. 0,8 XA + 0,6 X b
>
2
>
0
X
A '
X
B '
X
c
• El departamento de reparaciones de un almacén brinda servicios de reparación para la
mercancía vendida; durante una semana se devuelven cinco televisores para reparar, 12 radios y 19
licuadoras; se han contratado temporalmente dos mecánicos para trabajar en dicho departamento; en
una jornada de ocho horas, Alberto puede reparar un televisor, tres radios o tres licuadoras; mientras
que Bernardo puede dar al servicio un televisor, dos radios o dos licuadoras en el mismo tiempo. Si
Alberto gana 25000 unidades monetarias diarias y Bernardo devenga 15000 unidades monetarias
diarias, ¿por cuántas horas deberán ser contratados para que los costos totales de mano de obra de
reparación sean mínimos?
VARIABLES DE DECISIÓN:
XA: Número de horas que trabaja Alberto
Xgi Cantidad de horas que labora Bernardo
TA: Número de televisores por hora que repara Alberto
Tb: Cantidad de televisores por hora que arregla Bernardo
R a : Número de radios por hora que repara Alberto
R b : Cantidad de radios por hora que arregla Bernardo
L a : Número de licuadoras por hora que repara Alberto
Lb: Cantidad de licuadoras por hora que arregla Bernardo
W: Función de costos
Una semana = cinco días; un día = ocho horas
Salario por hora de Alberto = 2500/8 = 312,50 unidades monetarias
Salario por hora de Bernardo = 1500/8 = 187,50 unidades monetarias
Televisores 5/40 = 0,125; radios 12/40 = 0,3; licuadoras = 19/40 = 0,475
Modelo (primal):
MIN W = 312,50 X A + 187,50
X Bn
'
105
Sujeta a:
1. T A. + T _B
2.
Ra + Rb
3.
L,A + L„B
<
0,125
<
0,3
<
0,475
7
4. X A = 8 T 4A + 2,67
R4A + 2,67
L4A
'
"
5. XA = 8 T a + 4 R a + 4 L a
X
A '
X
B '
T
A'
T
B'
R
A'
R
B '
L
A
+
L
B
^
Resumiendo:
MIN W = 312,50
X + 187,50
XRB
'
A 4
'
Sujeta a:
1. TA + T b
<
0,125
<
0,3
<
0,475
4. X,A - 8 T.A - 2,67
R.A - 2,67
L,A
'
'
=
0
5. X a - 8 T a - 4 R a - 4 L a
=
0
>
o
2.
RA4 +'R aB
3.
L a + Lb
X
A>
X
B '
T a , Tb, Ra, Rb, L a + L b
7 7 .
En Europa existen monedas de 0,01, 0,02, 0,05, 0,1, 0,25 y 0,5 céntimos de euro (€) y un
cajero desea dar cambio con monedas, usando el menor número posible de ellas.
VARIABLES REALES:
X,: Número de monedas de 0,01 €
X2: Cantidad de monedas de 0,02 €
X3: Número de monedas de 0,05 €
X4: Número de monedas de 0,1 €
X5: Número de monedas de 0,25 €
X&: Número de monedas de 0,5 €
W: Función de costos
106
Modelo (primal):
MIN W = X,1 + X,2 + X,3 + X44 + X 5 + X,6
Sujeta a:
1.0,01 X, +0,02 X, +0,05 X3 +0,1 X4 +0,25 X5 +0,5 X6
X,, X2, X3, X4, X5, X6
=
Y
>
o
X. > 0 j = 1,2, 3 , 4 , 5 , 6 Y > 0
Ye
E
• Se desea obtener una mezcla de arena y cemento que tenga 30% de arena y 70% de cemento;
en el mercado venden tres clases de mezclas: la mezcla 1 tiene 20% de arena y 80% de cemento y vale
300000 unidades monetarias la tonelada; mezcla 2 está compuesta por 40% de arena y 60% de cemento
y vale 200000 unidades monetarias la tonelada y la mezcla 3 tiene 50% de arena y 50% de cemento y
vale 100000 unidades monetarias la tonelada. ¿Qué cantidad de cada mezcla se debe comprar para
producir la mezcla deseada a un costo mínimo?
VARIABLES DE DECISIÓN:
X:
Número de toneladas de la mezcla i comprada para producir (al revolver con las otras
mezclas) una tonelada de la mezcla deseada i = 1, 2, 3
W:
Función de costos
Modelo (primal):
MIN W = 300000 X, + 200000 X2 + 100000 X3
Sujeta a:
1.20 X, + 40 X2 + 5OX3 = 30
2. 80 X, + 60 X2 + 50 X3 = 70
3.
X,
+X 2
+X 3 =
x,, x 2 , x 3
>
1
o
• Una empresa produce puertas, escritorios y sillas; cada uno de estos productos pasan por los
departamentos de corte, ensamble, pintura y embalaje. En todos los productos se consume madera,
tiempo de corte, tiempo de ensamble, tiempo de acabado y tiempo de embalaje, así como otras materias
primas (clavos, pegante). Existen limitaciones en cuanto al total de horas disponibles por departamento
debido a consideraciones de seguridad social: exposición a productos volátiles, ruido, trabajo físico
pesado; se trabajan cinco días a la semana.
107
Se desea conocer la producción semanal que maximice los beneficios. En la tabla siguiente se
muestran los consumos de materia prima y las utilidades:
Madera (m 2 )
Corte (min/und)
Ensamble (min)
Pintura (min)
Embalaje (min)
Otros (kg)
Utilidad/unidad (U.M.)
PUERTAS
ESCRITORIOS
SILLAS
2,5
10
5
5
8
0,5
10000
3,5
15
20
15
16
0,8
28000
2
20
15
10
12
0,7
15000
RECURSOS
DISPONIBLES
1000 (m2)
8 h/día
8 h/día
6 h/día
7 h/día
105 kg/sem
Plantear el anterior problema como un modelo de programación lineal.
VARIABLES REALES:
X,: Número de puertas a producir durante la semana
X,: Cantidad de escritorios a fabricar semanalmente
X3: Número de-sillas a producir durante la semana
Z: Función de utilidad
Modelo (primal):
MIN W = 10000 X, + 28000 X2 + 15000 X3
Sujeta a:
1. 2,5 X, + 3,5 X2
4
2X 3
<
1000
2.
10X, +
15X2
4- 20 X3
<
2400
3.
5X, +
20 X2
4- 15X,
< 2400
4.
5Xj +
15X2
4- i o x 3
<
5.
8Xj +
16X,
4-
< 2100
6. 0,5 X, + 0,8 X 2
12X3
0,7X3 <
X,., X 2 ,X 3 >
4"
1800
105
0
• Una empresa tiene tres plantas con exceso de capacidad de producción. Las tres plantas
tienen la capacidad de fabricar cierto producto y la dirección ha decidido usar parte de la capacidad de
producción sobrante; el producto se puede hacer en tres tamaños: grande, mediano y pequeño; estos
108
tamaños dan una utilidad de 1200 unidades monetarias, 1000 unidades monetarias y 900 unidades
monetarias respectivamente.
Las plantas 1, 2 y 3 tienen exceso de mano de obra y equipo para producir 500, 600 y 300
unidades diarias del producto, sin importar el tamaño o las combinaciones de tamaño que se hagan.
Pero la cantidad disponible de espacio de almacenamiento de productos en proceso también limita las
cotas de producción. Las plantas 1, 2 y 3 tienen 9000, 8000 y 5000 n r para almacenar este producto.
Cada unidad de tamaño grande, mediano y pequeño producida por día, requiere 20, 15 y 12 m2
respectivamente. Los pronósticos de ventas indican que se pueden vender 600, 800 y 500 unidades del
tamaño grande, mediano y pequeño, por día; para buscar mantener una carga de trabajo uniforme entre
las plantas y conservar alguna flexibilidad, la administración ha decidido que la producción adicional
asignada a cada planta, debe usar el mismo porcentaje de exceso de mano de obra y capacidad de
equipo. La administración quiere saber cuántas unidades de cada tamaño se deben producir por cada
una de las plantas, buscando maximizar las utilidades totales.
Plantear el anterior problema como un modelo de programación lineal.
VARIABLES DE DECISIÓN:
X : Número de artículos a ser producidos en la planta i, i = 1, 2, 3 del tamaño j, j =. G, M, P
Z : Función de utilidad
.
Modelo (primal):
MAX Z = 1200 (X,G + X2G + X3G) + 1000 (X,M + X2M + X3M ) + 900 (X, p + X2P + X3P)
Sujeta a:
<
500
<
600
<
300
4. 2 0 X , G + 1 5 X 1 M + 1 2 X | P
<
9000
5. 20 X2G + 15 X2M + 1 2 X2p
<
8000
6. 20 X 3 G + 1 5 X 3 M + 1 2 X 3 p
<
5000
7.
X
! G
+
X
2G
<
600
8.
X
1M
+
X
2M
<
800
1.
X
1G
+
X
1M
+
X
1P
2.
X
2G
+
X
2M
+
X
2P
3.
X
3G
+
X
3M
+
X
3P
+
+
X
3G
X
3M
109
9.
<
X, p + X 2 p + X3p
500
- 5 X2P
0
11. 3 X |G + 3 X,M + 3 X, p - 5 X3G - 5 X3M - 5 X3P
0
10. 6 X
Y
+ 6 X, + 6 X, p - 5 X
1G'
Y
Y
IM' ^ Í P '
Y
2&
Y
Y
2P'
-5X
Y
3G'
Y
3M'
Y
0
^3P
O I • En Manizales se estudia la factibilidad de introducir un sistema de buses de tránsito masivo que
aliviará en parte el problema de la contaminación ambiental y reducir con ello el tránsito en la ciudad; el
estudio inicial busca determinar el número mínimo con el cual sostener la demanda; después de recolectar
información requerida, se advierte que el número mínimo de buses que se necesitan para cubrir la demanda
fluctúa con la hora del día. Estudiando los datos más a fondo, se descubrió que el número requerido de
buses se puede suponer constante en intervalos sucesivos de cuatro horas cada uno; se decidió, para
facilitar el transporte, que cada bus puede operar sólo ocho horas consecutivas al día.
HORAS
NÚMERO DE BUSES
12:00 a.m.-4:00 a.m.
40
4:00 a.m.-8:00 a.m.
80
8:00 a.m.-12:00 m.
100
12:00 m.- 4:00 p.m.
70
4:00 p.m.-8:00 p.m.
120
8:00 p.m.-12:00 p.m.
40
Plantear el anterior problema como un modelo de programación lineal.
VARIABLES REALES:
X : Cantidad de buses que comienzan a operar a las 12:01 a.m.
X2: Número de buses que empiezan a laborar a las 4:01 a.m.
X3: Cantidad de buses que inician a trabajar a las 8:01 a.m.
X4: Cantidad de buses que comienzan a operar a las 12:01 p.m.
X5: Número de buses que empiezan a laborar a las 4:01 p.m.
X6: Cantidad de buses que trabajan desde las 8:01 p.m.
W: Función de costo
Modelo (primal):
MAX Z = X, + X2 + X3 + X4 + X5 + X6
Sujeta a:
l.X,
2.X,
3.
+
+
X
2
X
2
4.
+
X
3
X
3
+
5.
X
X
X
>
40
>
80
>
100
>
70
>
120
6
>
40
6
>
0
6
4
4
+
6.
X
X
X,, X2, X3, X4,
5
5
x
+
5
,
X
x
• Una fábrica de automóviles y camiones tiene los siguientes departamentos: 1. Estampado de
planchas metálicas, 2. Armado de motores, 3. Montaje de automóviles y 4. Montaje de camiones. El
departamento 1 puede estampar por mes las planchas necesarias para 25000 automóviles o 35000
camiones, o las correspondientes combinaciones de automóviles y camiones. El departamento 2 puede
armar por mes 33333 motores de automóviles o 16667 motores de camión, o las correspondientes
combinaciones de motores de automóviles y camiones. El departamento 3 puede montar y terminar
22500 automóviles y 15000 camiones el departamento 4. Si cada automóvil deja una utilidad de 2000000
unidades monetarias y cada camión de 3000000 unidades monetarias. ¿Qué cantidad de automóviles y
camiones se deben producir, de manera que las utilidades obtenidas sean las máximas posibles?
VARIABLES DE DECISIÓN:
X,: Cantidad de automóviles a producir por mes
X2: Número de camiones a fabricar mensualmente
Z: Función de utilidad
Modelo (primal):
MAX Z = 2000000 X, + 3000000 X,
Sujeta a:
1. — - — X , + — • — X 2
35000
35000
<
1
11 i
3.
X,
<
22500
X.
<
15000
X,, X2
<
0
4.
Resumiendo:
MAX Z = 2000000 X, + 3000000 X,
Sujeta a:
+ 5 X2
<
175000
2. 16667 X,"f33333X 2
<
555561111
3.
<
22500
X,
<
15000
X.,X,
>
1.
4.
7 x,
X,
83
Para la elaboración de un producto se cuenta con cuatro materias primas las cuales contienen
el factor F en las proporciones indicadas a continuación:
COSTO POR
kg EN U.M.
A
CONTENIDO DE
F EN %
51
B
11
2
C
14
2,4
D
36
3
MATERIA PRIMA
4
Se trata de obtener una tonelada de mezcla cuyo contenido del factor F, sea por lo menos del 18%
con el mínimo costo posible. Además, las materias primas B y C no constituyan en conjunto más del
20% de la mezcla.
Plantear el anterior problema como un modelo de programación lineal.
112
VARIABLES REALES:
X,: Cantidad de materia prima A que se debe mezclar para obtener una tonelada del producto
X2: Número de materia prima B que se debe mezclar para conseguir una tonelada del producto
X3: Cantidad de materia prima C que se debe mezclar para obtener una tonelada del producto
X4: Número de materia prima D que se debe mezclar para conseguir una tonelada del producto
W: Función de costo
Modelo (primal):
MIN W = 4 X, + 2 X, + 2,4 X3 + 3 X4
Sujeta a:
1.
X,
+X2
+X3
+X4
=
1000
2. 0,51X, + 0,11 X2 + 0,14 X3 + 0,36X 4
>
180
3.
+X 3
<
220
x,, x2,x3
>
0
X2
%
«oYy««.»
:. •
V
,.
.'•
-:
%* t?
t
»
4
t
• Un industrial de frutos secos desea determinar el programa óptimo para tres mezclas diferentes
que hace con distintas proporciones de macadamia, nueces y pasas; las especificaciones de cada una
de ellas son: la mezcla 1 debe contener 50% de macadamia como mínimo y 25% de pasas cuando más;
la libra de esta mezcla se vende a 5000 unidades monetarias. El segundo tipo debe contener el 25% de
macadamia por lo menos y un 50% de pasas cuando más y la libra se vende a 4500 unidades monetarias.
El tercer tipo no tiene especificaciones y se vende a 3000 unidades monetarias la libra.
Sin embargo, están restringidas las cantidades de materias primas que puede conseguir el industrial;
las máximas por período son: 100 libras de macadamia, 100 libras de pasas y 60 libras de nueces. Cada
libra de macadamia le cuesta 4000 unidades monetarias, la de pasas 3000 unidades monetarias y la de
nueces 3500 unidades monetarias. Se trata de determinar cuántas libras se deben preparar de cada
mezcla, de manera que se obtengan las máximas utilidades.
VARIABLES DE DECISIÓN:
X..: Cantidad en la mezcla i, i = 1, 2, 3 con los componentes j, j = M, N, P para obtener el
producto
Z:
Función de utilidad
113
M o d e l o (primal):
MAX Z = 5000 (X,M + X,N + X lp ) + 4500 (X2M + X2N + X2p) + 3000 (XJM + X3N + X3P)
- 4000 (X1M + X2M + X3M) - 3000 (Xlp + X2p + X3p) - 3500 (X )N + X2N + X3N)
Sujeta a:
1
1- x I M > 2
2
X
-
3
, P
>
x2p
4.
\
*
- X2M
(X1M + x 1 N + x, p )
(X1M + X1N + X |P )
(X2M + x 2 N + x 2 p )
4
< -
(X2M + X2N + x 2 p )
5- X1M + X2M + X3M
< 100
6. X ]p + X2p + X3p
< 100
7. X1N + X2N + X3N <60
X
1M'
X 2M» X 3 M ' X
IP'
X 2?r X 3 P ' X
IN'
X 2 N ' X 3N
—
0
U
Resumiendo:
MAX Z =
1000X 1M + 1500 X1N +2000 X lp + 500 X 2M + 1000 X, N + 1500 X, p - 1000 X„
- 500 X3N - 0 X3p
Sujeta a:
I
2
2.
3
XlM
I
"
I
2
X|N
" 2
X,p
3
1
1
-4 X IIPP - -4 XIM
im - -4 X in
- A
4
X
2M
-l
4
l X2N
4
X2p
1
1
1
4. -y X 1M - -O X1N
- -y X IP
IN
IP
114
>
<
0
0
> 0
< 0
<
100
6. X | p + X2p + X3p
<
100
7. X | N + X2N + X3N
<
60
>
0
5
"
X
! M
Y
IM'
+
X
Y
2M
2M'
+
X
3M
Y
Y
^"IP'
Y 2P' Y 3P' Y
Y
1N' ^ 2 N '
Y
^3N
o c
"
La empresa Ferremanizales es una firma industrial que se dedica a la producción de tornillos.
Tiene tres plantas localizadas en Armenia, Pereira y Manizales; la capacidad de producción de cada
una de las plantas es la siguiente:
PLANTA
PRODUCCION
(CAJAS/MES)
Armenia
100000
Pereira
120000
Manizales
100000
Esta empresa comercializa sus productos mediante cinco distribuidores localizados en diferentes
zonas del país. La demanda pronosticada para cada distribuidor es:
DEMANDA
ZONA
(CAJAS/MES)
1
75000
2
50000
3
50000
4
55000
5
80000
El costo De transportar una unidad de cada planta a cada zona es:
PLANTA
ZONA
ARMENIA
PEREIRA
MANIZALES
1
100
200
300
2
120
150
200
3
150
100
250
4
200
180
150
5
220
200
100
115
¿Cuáles rutas de distribución deben usarse y cuánta mercancía debe enviarse a cada una de ellas?
Plantear el anterior problema como un modelo de programación lineal.
DEFINICIÓN DE VARIABLES:
X : Número de cajas a enviar de la planta i a la zona j por mes
i = 1 Armenia, 2 Pereira, 3 Manizales
j = 1, 2, 3, 4, 5.
W: Función de costos
Modelo (primal):
MIN W =
100 X n + 120 X ]2 + 150 X,3 + 200 X14 + 220 XIS + 200 X21 + 150 X22 +
+ 100 X„
+ 180 X,,
+ 200 X„
+ 300 X„31 + 200 X 32„ + 250 X„33 + 150 X34 + 100 X„
23
24
25
35
Sujeta a:
1. x u + x 1 2 +
2. X 2| +
X
22
+
3. X31 + X32 +
+
X
23
+
X
24
X
33
+
X
34
+
X
31
5. X,2 +
X
22
+
X
32
6. X13 +
X
23
+
X
3 3
X
24
+
X
34
X
25
+
X
3 5
8. X15 +
,4
13
4. X„ + X21
7- X14 +
X
X
+
X
15
+
X
25
+
X
35
X
<
100000
<
120000
<
100000
<
75000
<
50000
<
50000
<
55000
<
80000
>
0, i = l , 2 , 3
j = 1,2,3,4,5
• Una empresa produce válvulas de las cuales hay disponibles dos líneas de producción
alternativas; la empresa acaba de recibir un pedido de producción de 1000 válvulas Hakim 1. La línea
1 puede producir las válvulas a razón de 15 minutos por válvula; la capacidad de producción de la línea
2 es de 5 válvulas por hora. La línea 1 estará disponible, para este pedido, hasta 200 horas con un costo
de 800 unidades monetarias por hora. La línea 2 estará disponible, también para este pedido, hasta 170
horas a 700 unidades monetarias la hora. Encontrar el mejor plan de producción si se le quiere formular
de dos maneras diferentes, de tal forma que en uno de los planteamientos las variables de decisión
vayan en términos de horas.
1 16
Primera opción:
VARIABLES DE DECISIÓN:
X,: Cantidad de horas de trabajo en la línea 1
X2: Número de horas de trabajo en la línea 1
W: Función de costo
Modelo (primal):
MIN W = 800 X, + 700 X,
Sujeta a:
1.4 X, + 5 X,
=
1000
2.
<
200
<
>
170
0
X,
3.
X,
X,,X~
Segunda opción:
VARIABLES DE DECISIÓN:
X,: Cantidad de válvulas a fabricar en la línea 1
X,: Número de válvulas a producir en la línea 2
W: Función de costo
Modelo (primal):
MIN W = 4 X, + 5 X,
Sujeta a:
1.
x,
2.
1
4 x,
3.
+
1
—
5
x„
X
2
—
1000
<
200
x2
<
170
2
>
0
X
Resumiendo:
MIN W = 4 X, + 5 X2
Con sus restricciones:
1. x , +
X
1000
2
2. x ,
-
3.
X
2
x,
800
<
850
>
0
• Una empresa produce tres chips: el A, cuyo costo por unidad es de 1000 unidades monetarias
y se vende a 1500 unidades monetarias; el B, cuyo costo por unidad es de 600 unidades monetarias y
se vende a 1000 unidades monetarias; y el C, cuyo costo por unidad es de 1200 unidades monetarias y
se vende a 1500 unidades monetarias. La empresa está planificando el programa mensual de producción:
el departamento de marketing requiere la producción de al menos 100 unidades del chip C y no más de
1000 unidades del chip A; el departamento de producción no puede fabricar más de 4000 chips de todos
los modelos; la máquina que fabrica los chips puede producir 20,30 o 40 unidades por hora de los chips
A, B o C respectivamente; la máquina tiene una disponibilidad de 100 horas mensuales. El departamento
de marketing, requiere, además, que haya al menos el doble de unidades del chip B que del chip C en
el programa mensual; el departamento financiero ha fijado un presupuesto máximo de 15000000 unidades
monetarias para el programa.
¿Cuántas unidades de chips A, B y C debe producir la empresa si el objetivo de la empresa es
maximizar las utilidades?
VARIABLES REALES:
X,: Cantidad de unidades de chip A a fabricar
X,: Número de unidades de chip B a producir
X3: Cantidad de unidades de chip C a fabricar
W: Función de costo
Modelo (primal):
MIN W = 1500 X, - 1000 X, + 1000 X2 - 600 X2 + 1500 X, - 1200 X3
Sujeta a:
1.
2.
118
X3
X,
>
100
< 1000
3.
4.
5
X,
X,
+
"
X2
> 2X3
+ X3
< 4000
*
X,,x2, x3
1000
>
o
Resumiendo:
MIN W = 500 X, + 400 X, + 300 X,
Sujeta a:
1.
x3 >
100
<
1000
X, - 2 X , >
0
4. X, + X2 + X3 <
4000
5. 6X, + 4 X2 + 3X3 <
120000
X,, X 2 ,X 3 >
0
2. X,
3.
88.
La empresa Caldas se dedica a la fabricación de piezas en general; actualmente está
planeando su producción para el mes entrante, la cual consta de cinco órdenes; cada uno de los pedidos
se puede trabajar en cualquiera de las cinco fresadoras que la compañía tiene disponibles. De acuerdo
con las especificaciones técnicas, la empresa ha estimado la siguiente relación de costos, tanto de las
órdenes como de las fresadoras:
ORDEN
1
2
3
4
5
FRESADORA
1
2
3
4
5
100000
70000
30000
25000
50000
80000
50000
60000
30000
20000
90000
50000
30000
50000
10000
60000
40000
50000
50000
30000
40000
50000
100000
10000
20000
Es decir, maquinar la orden 3 en la fresadora 2 le cuesta a esta empresa 60000 unidades monetarias,
mientras que trabajar en la fresadora 4 le cuesta solo 50000 unidades monetarias. ¿Cómo deben asignarse
las órdenes a las fresadoras?
Plantear el anterior problema como un modelo de programación lineal.
119
VARIABLES DE DECISIÓN:
X -
fl, si la orden i se asigna a la fresadora j
[O, si la orden i se asigna a la fresadora j
Z:
Función de costo
Modelo (primal):
MIN W = 100 X„ + 80 X12 + 90 X,3 + 60 X j4 + 40 X |5 + 70 X21 + 50 X,, + 50 X23
40 X
50 X25 + 30 X31 + 60 X32 + 30 X33
30 X.,
+ 50 X..
+ 50 X44
42
43
44
50 X34 + 100 X35 + 25 X41 +
10 X445 + 50 X 51 + 20 X 52 • 10 x c
30 X 54 + 20 X 55
Sujeta a:
1. x u + x 1 2 + x 1 3 + x 1 4 + x 1 5 =
2. x 21 + x 2 2 + X23 + x 2 4 + x 2 5 =
3. X31 + X32 + X33 + X34 + X35 =
4. X4, + X42 + X43 + X44 + X45 =
5. X5, + X52 + X53 + X54 + X55 =
6. X„ + X21 + X31 + X41 + X51 =
7. X12 + X22 + X32 + X42 + X52 =
8. X13 + X23 + X33 + X43 + X53 =
9. X | 4 + X24 + X34 + X44 + X54 =
10. x 1 5 + x 2 5 + x 3 5 + x 4S + x 5 5 =
x„ > 0 , i = 1 , 2 , 3 , 4 , 5
89.
j = 1,2,3,4, 5
En una casa se desea hacer un almuerzo equilibrado utilizando los siguientes productos:
carne, papas, habichuela, leche y guayaba. Los precios de estos alimentos son respectivamente: 10000
unidades monetarias kilo, 3000 unidades monetarias kilo, 1000 unidades monetarias kilo, 1200 unidades
monetarias litro y 900 unidades monetarias kilo. La familia está compuesta de seis personas y cada
persona debe consumir 800 calorías (en el almuerzo). Para que la alimentación sea equilibrada debe
estar compuesta de 20% de proteínas, 30% de lípidos, 50% de glúcidos (estos porcentajes son con
respecto a la materia seca, es decir, sin tener en cuenta el agua). Obviamente hay muchas más
condiciones que se deben tener en cuenta y aquí se hace una simplificación para facilitar el problema.
En la siguiente tabla se expresa la composición de cada alimento y su aporte calórico.
120
Carne
Papas
Habichuelas
Leche
Guayaba
Proteínas
20%
10
2
1
5
1
Lípidos
30%
10
0
0
3
0
Glúcidos
50%
0
20
5
5
15
Agua
%
80
78
94
87
84
Calorías por
kilogramo
1300
880
240
670/1 ¡tro
640
Se desea saber cómo organizar el mercado para minimizar el costo.
VARIABLES REALES:
X,: Cantidad en kilogramos de carne que se debe comprar
X,: Número en kilogramos de papas que se debe comprar
X3: Cantidad en kilogramos de habichuela que se debe comprar
X4: Número en litros de leche que se debe comprar
X5: Cantidad en kilogramos de guayaba que se debe comprar
W: Función de costo
Modelo (primal):
MIN W = 10000 X,1 + 3000 X,2 + 1000 X,3 + 1200 X,4 + 900 X,5
Sujeta a:
1. 1300 X.1 + 880 X,2 + 240 X,3 + 670 X,4 + 640 X,5
=
4800
10 X] + 2 X 2 + X 3 + 5 X 4 + X 5
2
3
"
20 X, + 2 2 X 2 + 6 X 3 +13X 4 + 16X 5
10X, + 3 X 4
" 20X, + 2 2 X 2 +6X3 +13X 4 +16X 5
0,3
20 X] + 5 X 3 + 5 X 4 + 15 X 5
4
0,5
" 2 0 X 1 + 2 2 X 2 + 6 X 3 +13X 4 +16X 5
1>
-05
x 3 , x 41
>
o
121
Resumiendo:
MIN W = 10000 X, + 3000 X2 + 1000 X3 + 1200 X4 + 900 X5
Sujeta a:
1. 1300 X, + 880 x 2 + 240
X3 + 670 X4 -+- 640 X5 = 4800
2.
6 X, -
2,4 X2 - 0,2 X3 + 2,4 X4 - 2,2 X5 =
0
3.
4X, -
6,6 X2 - 1,8 X3 + 0,9 X4 - 4,8 X5 =
0
4.
- 10 X, +
9 X2 +
2
X 3 + l , 5 X4 + 7X 5 =
0
X,, X2, X3, X4,X5 >
o
• Un comerciante se dedica a la compraventa de arroz. Dispone de un almacén con
capacidad para 7000 toneladas y pretende llevar a cabo la planificación del último trimestre del
presente año. Debido a la situación actual del mercado, estima que para el primero de octubre
tendrá un inventario de 1500 toneladas de arroz y una disponibilidad de 280000000 unidades
monetarias. Los precios estimados de compra y venta (en miles de unidades monetarias) de la
tonelada de arroz para el citado trimestre son:
PRECIO POR TONELADA
MES
COMPRA
VENTA
OCTUBRE
75
93
NOVIEMBRE
81
99
DICIEMBRE
79
95
Tanto la compra como la venta se hacen de contado; el arroz comprado en un mes no se puede
vender hasta el mes siguiente; el comerciante desea tener al final del período un inventario de 2000
toneladas. Encontrar el plan de gestión de máximo beneficio.
VARIABLES DE DECISIÓN:
C : Cantidad de arroz en toneladas comprada en octubre
C,: Número de toneladas de arroz compradas en noviembre
C3: Cantidad de arroz en toneladas comprada en diciembre
V : Número de toneladas de arroz vendidas en octubre
V,: Cantidad de toneladas de arroz vendidas en noviembre
V3: Número de toneladas de arroz vendidas en diciembre
I,: Inventario de arroz en toneladas en octubre
122
I2: Inventario de arroz en toneladas en noviembre
I3: Inventario de arroz en toneladas en diciembre
Z: Función de utilidad
Modelo (primal):
MAX Z = 93 V, + 99 V2 + 95 V3 - 75 C, - 81C, - 79 C3
Sujeta a:
<
7000
<
7000
<
7000
4. V,
<
1500
5. V 2 - I ,
<
0
6.
<
0
1500 + C,
1.
2.
3.
I
V
2
+
C
3
3"I2
7. I . - C . + V,
=
1500
8. I2 -1, - c 2 + v 2
=
0
9. W 2 - C
=
0
3
+ V3
10 I3
=
11. 75 C,
<
280000000
12. 81 C2 + 75 C, - 93 V,
<
280000000
13. 79 C3 + 75 C, + 81 C2 - 99 V2
<
280000000
>
0
C,, C2, c 3 , V,, V2, V 3 ,1,, I2,13
2000
Q1
* • • Una pequeña compañía hace tres productos diferentes, cada producto requiere un trabajo en
dos procesos A y B . El proceso A tiene dos tipos de máquinas A: y A, y el proceso B tiene tres tipos
de máquinas B p B, o B3, El producto 1 pasa por el proceso A, a través de la máquina A, o A., y por el
proceso B, también por cualquiera de las tres máquinas B ( , B, y B . El producto 2 puede ser procesado
en cualquiera de las máquinas del tipo A y sólo en la máquina B,. Finalmente, el producto 3 puede ser
hecho sólo en las máquinas A, y B2. El tiempo en minutos requerido por una unidad de cada producto
en cada tipo de máquina, el tiempo disponible por semana, el costo de operación a plena capacidad de
las máquinas, lo mismo que el costo de materiales por unidad, los precios de venta y la demanda
semanal, están dados en la siguiente tabla:
123