efectos climáticos sobre la pretensión de

UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR
DECANATO DE ESTUDIOS PROFESIONALES
COORDINACIÓN DE INGENIERÍA MECÁNICA
EFECTOS CLIMÁTICOS SOBRE LA PRETENSIÓN DE ESTRUCTURAS DE
MEMBRANA
Por:
Jean Carlos León Pieters
PROYECTO DE GRADO
Presentado ante la Ilustre Universidad Simón Bolívar
como requisito parcial para optar al título de
Ingeniero Mecánico
Sartenejas, Julio de 2011
UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR
DECANATO DE ESTUDIOS PROFESIONALES
COORDINACIÓN DE INGENIERÍA MECÁNICA
EFECTOS CLIMÁTICOS SOBRE LA PRETENSIÓN DE ESTRUCTURAS DE
MEMBRANA
Por:
Jean Carlos León Pieters
Realizado con la asesoría de:
Prof. Carlos Graciano
PROYECTO DE GRADO
Presentado ante la Ilustre Universidad Simón Bolívar
como requisito parcial para optar al título de
Ingeniero Mecánico
Sartenejas, Julio de 2011
UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR
DECANATO DE ESTUDIOS PROFESIONALES
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ACTA DE EVALUACIÓN DEL PROYECTO DE GRADO
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RESUMEN
Uno de los mayores problemas en las estructuras de membrana es la pérdida de pretensión debido al
comportamiento visco-elasto-plástico del material y a los efectos de cargas climáticas que crean esfuerzos
cíclicos por dilatación además de cambiar las propiedades mecánicas a tracción y corte.
Por esto, se ejecuta un estudio numérico-experimental que permita determinar el efecto ante diversas
condiciones. El análisis experimental se lleva a cabo mediante un modelo estructural que recrea las
condiciones climáticas. El análisis numérico es diseñado para ser capaz de simular lo obtenido en los
experimentos, y extrapolar así el estudio a condiciones costosas de analizar en el banco de pruebas.
Debido a lo extenso que resulta la construcción del modelo numérico, en este trabajo se ejecutarán dos
etapas importantes para su prosecución: estudio de las reacciones en la estructura ante cargas de viento
estáticas y estudio de las características del comportamiento mecánico del material, con el fin posterior de
implementar una relación constitutiva visco-elasto-plástica que simule a fondo el comportamiento de la
membrana.
Se llevaron a cabo ensayos al material para evaluar su comportamiento mecánico y dar los primeros
pasos en la determinación de un modelo constitutivo visco-elasto-plástico. De esta etapa resulta un modelo
aproximado utilizado para realizar análisis numéricos estáticos sobre la estructura. En estos análisis
también se emplean relaciones lineales para estudiar el efecto de las variaciones en diversas propiedades
sobre el comportamiento de la estructura. Para comparar los resultados numéricos estáticos se emplean
resultados experimentales realizados en el banco de pruebas estructural.
Se determinó que el modelo efectivamente es visco-elasto-plástico y que el esfuerzo tiene una relación
logarítmica con la velocidad de deformación para cualquier valor de deformación. El modelo numérico
estático, por su parte, es capaz de entregar resultados aproximados a los experimentales, aún con las
suposiciones hechas sobre el modelo constitutivo. Los errores resultantes, aunque bajos, se espera sean
subsanados con una relación constitutiva más avanzada.
Palabras clave: Tensoestructuras, Pretensión, Viscoelastoplasticidad, Método del elemento finito
iv
A mis padres
por su total entrega y dedicación
A la comunidad de la U.S.B.
por su eterna búsqueda de la excelencia
sin esperar nada a cambio
Al equipo Baja SAE U.S.B.
donde me transformé de estudiante a ingeniero
v
ÍNDICE DE CONTENIDO
Universidad Simón Bolívar
ÍNDICE DE CONTENIDO
RESUMEN................................................................................................................................................... iv
ÍNDICE DE CONTENIDO........................................................................................................................... vi
ÍNDICE DE FIGURAS............................................................................................................................... viii
LISTA DE SÍMBOLOS...............................................................................................................................xii
INTRODUCCIÓN......................................................................................................................................... 1
CAPÍTULO I: OBJETIVOS Y METODOLOGÍA....................................................................................... 2
1.1 Objetivos generales y específicos......................................................................................................... 2
1.2. Metodología......................................................................................................................................... 3
CAPÍTULO II: MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS (MEF)................................................................. 4
2.1 Implementación del método de elementos finitos en problemas dinámicos y estáticos...................... 4
2.2 Método de Newton Raphson................................................................................................................ 5
CAPÍTULO III: CONCEPTOS BÁSICOS SOBRE TENSOESTRUCTURAS......................................... 8
3.1 Características generales..................................................................................................................... 8
3.2 Importancia de la pretensión............................................................................................................... 10
3.3 No linealidad geométrica.................................................................................................................... 11
3.4 Estructuras de membrana.................................................................................................................... 14
CAPÍTULO
IV:
DESCRIPCIÓN
DEL
MATERIAL
Y
SU
COMPORTAMIENTO
MECÁNICO........................................................................................................................................... 15
4.1 Características generales del material................................................................................................ 15
4.2 Comportamiento mecánico del material............................................................................................ 16
4.3 Modelos constitutivos........................................................................................................................ 17
4.3.1 Viscoelasticidad........................................................................................................................... 18
4.3.2 Modelos constitutivos asumidos en esta etapa del proyecto........................................................ 19
4.3.3 Predicción mediante el estudio de la viscoelasticidad del comportamiento a tracción a
una velocidad de deformación cualquiera............................................................................................... 20
CAPÍTULO V: ESTUDIO EXPERIMENTAL DEL MATERIAL............................................................
5.1 Procedimiento experimental...............................................................................................................
5.1.1 Tipos de ensayo a ejecutar............................................................................................................
5.1.2 Equipos de laboratorio…………………………………………………………………..............
5.1.3 Preparación de las muestras a ensayar…………………………………………………..............
5.1.4 Ensayos a realizar……………………………………………………………………….............
5.1.5 Adquisición y procesamiento de datos……………………………………………….................
5.2 Resultados experimentales………………………………………………………………….............
5.3 Discusión resultados experimentales………………………………………………………..............
5.4 Ajuste al modelo constitutivo viscoelástico y validación…………………………………...............
5.5 Discusión del modelo propuesto…………………………………………………………................
24
24
24
24
26
28
29
31
38
41
43
CAPÍTULO VI: BANCO DE PRUEBAS ESTRUCTURAL…………………………………................. 45
vi
ÍNDICE DE CONTENIDO
Universidad Simón Bolívar
CAPÍTULO VII: ANÁLISIS ESTRUCTURAL EN ELEMENTOS FINITOS………………….............. 49
7.1 Planteamiento del modelo…………………………………………………………………............... 49
7.1.1 Modelos de material a utilizar………………………………………………………….............. 49
7.1.1.1 Modelo elástico lineal isotrópico............................................................................................ 50
7.1.1.2 Modelo elástico lineal ortotrópico.......................................................................................... 50
7.1.1.3 Modelo elasto-plástico no lineal isotrópico............................................................................ 50
7.1.2 Geometría y mallado…………………………………………………………………................. 53
7.1.2.1 Primer modelo geométrico…………………………………………………………............. 53
7.1.2.2 Segundo modelo geométrico……………………………………………………….............. 55
7.1.2.3 Tercer modelo geométrico………………………………………………………….............. 55
7.1.3 Aplicación de cargas y condiciones de borde…………………………………………............... 57
7.2 Análisis estructural………………………………………………………………………….............. 58
7.2.1 Generalidades…………………………………………………………………………................ 58
7.2.1.1 Análisis de determinación de cargas internas por pretensión………………………............. 58
7.2.1.2 Análisis de la aplicación de cargas de presión……………………………………................ 59
7.2.2 Efecto del cambio de propiedades sobre la tensión y el desplazamiento ante cargas…............... 59
7.2.2.1 Resultados…………………………………………………………………………............... 60
7.2.2.2 Discusión…………………………………………………………………………................. 61
7.2.3 Aplicación progresiva de cargas: relación entre la tensión y los desplazamientos con la presión
aplicada………………………………………………………………………………............................ 62
7.2.4 Validación experimental………………………………………………………………............... 65
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES………………………………………………….............. 68
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS…………………………………………………………................ 69
APÉNDICE A………………………………………………………………………………………......... 71
APÉNDICE B……………………………………………………………………………………….......... 79
vii
ÍNDICE DE FIGURAS
Universidad Simón Bolívar
INDICE DE FIGURAS
Figura 2.1: Esquema gráfico del método de Newton Raphson ......................................................................6
Figura 2.2: Proceso iterativo incremental, escalonado en subpasos ...............................................................6
Figura 2.3: Esquema de aplicación de cargas en varios pasos .......................................................................7
Figura 3.1: Distintas formas adoptadas por una cuerda pretensada según el tipo de cargas aplicadas ..........8
Figura 3.2: Estabilización de cables tensados mediante la formación de redes anticlásticas .........................9
Figura 3.3 Relación entre tensión y radio de curvatura para un mismo estado de carga (en este caso el peso
de la cuerda) .............................................................................................................................................10
Figura 3.4: Efecto de la pretensión sobre la estabilidad de un cable ............................................................11
Figura 3.5: Cuerda pretensada sin cargas externas.......................................................................................12
Figura 3.6: Respuesta de la cuerda pretensada ante una fuerza puntual en su centro ..................................12
Figura 3.7: Gráficos de
en función de u .................................................................................14
y
Figura 4.1: Capas principales que componen una membrana de uso arquitectónico ...................................15
Figura 4.2: Corte transversal de una membrana arquitectónica ...................................................................16
Figura 4.3: Curva a tracción cíclica biaxial típica de la membrana arquitectónica Ferrari Précontraint
702 ............................................................................................................................................................17
Figura 4.4: Variación de la respuesta de un material polimérico con la velocidad de ensayo .....................18
Figura 4.5: Comportamiento a creep de una membrana con tejido de poliéster y resina de PVC ...............19
Figura 4.6: Ensayo de relajación ante una deformación constante ..............................................................19
Figura 4.7: Curvas esfuerzo-deformación de un tejido de nylon para distintas velocidades de
deformación..............................................................................................................................................20
Figura 4.8: Relaciones esfuerzo-velocidad de deformación para valores fijos de deformación ..................21
Figura 4.9: Gráficas de
y
............................................................................................................21
Figura 4.10: Comportamiento a tracción de las diversas variedades de PVC ..............................................22
Figura 4.11: Agrupación microscópica de moléculas en un material semicristalino ..................................23
Figura 4.12: Comportamiento a tracción de un hilo de poliéster a ser utilizado en la construcción de
membranas ...............................................................................................................................................23
Figura 5.1: Banco de ensayos universales. ...................................................................................................25
Figura 5.2: Referencias trazadas para medir las deformaciones en ambas direcciones ...............................26
Figura 5.3: Probeta más ancha que el mínimo establecido por la norma ASTM D 882-02 para mayor
homogeneidad y precisión de resultados ..................................................................................................27
Figura 5.4: Disposición de las probetas con respecto a los ejes coincidentes con las fibras dentro de una
superficie de material ...............................................................................................................................27
Figura 5.5: Pérdida de la perpendicularidad entre las fibras ........................................................................28
Figura 5.6: Probetas a: (a) 0°, (b) 45° y (c) 90° de la dirección de la trama ................................................28
Figura 5.7: Discretización de la referencia en píxeles.................................................................................30
viii
ÍNDICE DE FIGURAS
Universidad Simón Bolívar
Figura 5.8: Ampliación de la referencia para una medición más exacta de las deformaciones ...................30
Figura 5.9: Curva carga-desplazamiento obtenido del banco de pruebas para un (θ = 90°,
= 50
[mm/min]) ................................................................................................................................................31
Figura 5.10: Curvas corregidas luego de eliminar la región plana (θ = 90°,
= 50 [mm/min]) ..............32
Figura 5.11: Deformación medida mediante los videos vs. tiempo de ensayo ............................................34
Figura 5.12: Obtención de la velocidad de deformación..............................................................................35
Figura 5.13: Comparación entre las curvas esfuerzo-deformación de la trama (θ = 0°) para distintas
velocidades de deformación, en [1/s] .......................................................................................................35
Figura 5.14: Comparación entre las curvas esfuerzo-deformación de la urdimbre (θ = 90°) para distintas
velocidades de deformación, en [1/s] .......................................................................................................36
Figura 5.15: Comparación entre las curvas esfuerzo-deformación de la trama y la urdimbre, a una
velocidad de deformación de 2.45E-4 [1/s]..............................................................................................36
Figura 5.16: Figura 5.16: Comparación entre las curvas esfuerzo-deformación de la trama y la urdimbre, a
una velocidad de deformación de 1.1E-1 [1/s] .........................................................................................37
Figura 5.17: Comportamiento del módulo de Poisson ante la deformación ................................................37
Figura 5.18: Comparación entre comportamientos del material a tracción uniaxial a distintas orientaciones
( = 2.45E-4 [1/s]) ....................................................................................................................................38
Figura 5.19: Vista de una probeta a tracción ante un esfuerzo de 30 [KN/m] .............................................39
Figura 5.20: Material polimérico tipo goma con un módulo de Poisson dependiente de la deformación, de
forma similar a la del material estudiado .................................................................................................40
Figura 5.21: Variación de σ vs. para valores fijos de deformación (urdimbre).........................................41
Figura 5.22: Gráfica de m(ε) ........................................................................................................................42
Figura 5.23: Gráfica de b(ε) .........................................................................................................................42
Figura 5.24: Validación modelo viscoelástico para el ensayo de la urdimbre, = 2.45E-4 [1/s] ................43
Figura 5.25: Validación modelo viscoelástico para el ensayo de la urdimbre, = 2.2E-2 [1/s] ..................43
Figura 6.1: Vista general del banco de pruebas estructural ..........................................................................45
Figura 6.2: Dispositivo de aplicación de cargas de presión sobre la estructura ...........................................46
Figura 6.3: Principales dimensiones de un paraboloide hiperbólico ............................................................47
Figura 6.4: Plano de las barras tensoras y de las planchas de sujeción para membrana y guayas ...............47
Figura 6.5: Vistas de las barras tensoras, planchas de sujeción de la membrana y guayas y bolsillos .......48
Figura 7.1: Respuesta del modelo elasto-plástico multilineal isotrópico (MISO) .......................................51
Figura 7.2: Respuesta del modelo elasto-plástico multilineal cinemático (KINH) ......................................51
Figura 7.3: Elección del modelo elasto-plástico multilineal según su ajuste a la descarga .........................52
Figura 7.4: Aproximación de la velocidad de deformación en la zona cóncava hacia arriba de la membrana
mediante semejanza con la cuerda cargada en el medio ..........................................................................52
Figura 7.5: Gráfica a tracción a introducir en el software Ansys y modelo de la descarga .........................53
Figura 7.6: Dibujo de la estructura en SolidWorks exportado de AutoCAD en modo "construcción de
sólidos" .....................................................................................................................................................54
ix
ÍNDICE DE FIGURAS
Universidad Simón Bolívar
Figura 7.7: Desperfectos en el dibujo en SolidWorks importado desde AutoCAD en modo "construcción
de sólidos" ................................................................................................................................................54
Figura 7.8: Desperfectos en el modelo de Ansys creado a partir del dibujo de las Figuras 6.6 y 6.7 ..........54
Figura 7.9: Dibujo de la estructura en SolidWorks importado desde AutoCAD en modo "importar sólo
líneas" .......................................................................................................................................................55
Figura 7.10: Vista superior modelo geométrico 3, creado a partir del mostrado en la Figura 6.5 ...............56
Figura 7.11: Vista lateral modelo geométrico 3 ...........................................................................................56
Figura 7.12: Mallado tercer modelo geométrico, 425 nodos y 457 elementos ............................................57
Figura 7.13: Formación de arrugas en la membrana ....................................................................................59
Figura 7.14: Deformaciones cortantes en una membrana sin cargas de presión ..........................................61
Figura 7.15: Deflexión central vs. presión ...................................................................................................62
Figura 7.16: Tensión dirección 1 vs. presión ...............................................................................................63
Figura 7.17: Tensión dirección 2 vs. presión ...............................................................................................64
Figura 7.18: Distribución de deformaciones bajo una presión de 800 [Pa] en la dirección 1 (derecha) y en
la dirección 2 (izquierda)..........................................................................................................................65
Figura 7.19: Carga vertical en función del tiempo .......................................................................................65
Figura 7.20: Tensiones máximas ante carga de presión (banco de pruebas) ................................................66
Figura A.1: Curva carga-desplazamiento para distintas velocidades de ensayo. Dirección:
trama......................................................................................................................................... ................71
Figura A.2: Curva carga-desplazamiento para distintas velocidades de ensayo. Dirección:
urdimbre .................................................................................................................... ...............................72
Figura A.3: Curva carga-desplazamiento corregido para distintas velocidades de ensayo. Dirección:
trama.........................................................................................................................................................73
Figura A.4: Curva carga-desplazamiento corregido para distintas velocidades de ensayo. Dirección:
urdimbre ...................................................................................................................................................74
Figura A.5: Obtención de la velocidad de deformación. Dirección de las probetas: trama .........................75
Figura A.6: Obtención de la velocidad de deformación. Dirección de las probetas: urdimbre ....................76
Figura A.7: Comparación entre el comportamiento a tracción de la trama y la urdimbre,
= 1.1E-2 [1/s] .......................................................................................................................................77
Figura A.8: Comparación entre el comportamiento a tracción de la trama y la urdimbre,
= 2.2E-2 [1/s] .......................................................................................................................................77
Figura A.9: Comportamiento del módulo de Poisson ante la deformación para varias velocidades de
deformación..............................................................................................................................................78
Figura B.1: Comparación desplazamientos verticales con respecto a la geometría inicial sin cargas en el
mallado convencional (derecha) y en el refinado en las puntas (izquierda) .............................................79
Figura B.2: Desplazamientos verticales ante carga de presión de 800 [Pa]. Vista superior (izquierda) y
vista lateral, con la geometría inicial en líneas negras (derecha) .............................................................79
Figura B.3: Distribución de esfuerzos en una membrana sin cargas verticales, dirección 1 (izquierda) y
dirección 2 (derecha) ................................................................................................................................80
x
ÍNDICE DE FIGURAS
Universidad Simón Bolívar
Figura B.4: Distribución de esfuerzos en una membrana con carga de presión de 800 [Pa], dirección 1
(derecha) y dirección 2 (izquierda) ..........................................................................................................80
Figura B.5: Tensión en las guayas de borde [N] en la membrana sin cargas (izquierda) y bajo carga de
presión de 800 [Pa] (derecha)...................................................................................................................80
xi
LISTA DE SÍMBOLOS
Universidad Simón Bolívar
LISTA DE SÍMBOLOS
A: Área transversal elemento
A0: Área transversal elemento al inicio del ensayo
b: Intersección de una recta logarítmica
vs.
para un constante con el eje
B: Matriz de interpolaciones de forma
D: Matriz de rigidez
E: Módulo de Young
Ex: Módulo de Young en la dirección x (trama)
Ey: Módulo de Young en la dirección y (urdimbre)
fint : Fuerzas internas en una dirección para un determinado punto
fint : Vector de fuerzas internas nodales (asociado a los esfuerzos)
fext : Fuerzas externas sobre un sistema en una dirección
fext : Vector de fuerzas externas sobre la superficie
g: Gravedad
G: Vector de fuerza residual
h: Flecha
: Jacobiano para una i-ésima iteración
: Jacobiano para una i-ésima iteración
K: Tensor de rigidez tangente
k: Rigidez de un elemento de cuerda
: Longitud inicial referencia dirección x
: Longitud inicial referencia dirección y
lr: Longitud inicial de una cuerda sin tensar
L: Longitud entre apoyos en una cuerda tensada
m: Pendiente en recta logarítmica
vs. para un constante
M: Matriz de masa global (revisar [3], [4] y [5])
n: Número de elementos del sólido a estudiar
N: Matriz de funciones de forma
p: Vector de fuerzas puntuales
P: Carga a tracción aplicada sobre las probetas
Q: Carga uniformemente distribuida
R: Radio aproximado de curvatura en una tensoestructura
s: Luz
t: Vector de fuerzas superficiales
xii
LISTA DE SÍMBOLOS
Universidad Simón Bolívar
T: Tensión sobre un elemento unidimensional
T0: Pretensión sobre un elemento unidimensional
u: Desplazamiento unidireccional
u: Vector de desplazamientos nodales
: Vector de velocidades nodales
: Vector de aceleraciones nodales
W: Carga puntual
θ: Ángulo entre la dirección de la trama y la dirección de ensayo
: Variación longitud referencia dirección x
: Velocidad de ensayo
: Variación longitud referencia dirección y
: Deformación normal
: Velocidad de deformación normal
: Deformación normal en la dirección x
: Deformación normal en la dirección y
: Esfuerzo normal
: Matriz de esfuerzos
σx: Esfuerzo normal en la dirección x
τxy: Esfuerzo cortante
ν: Módulo de Poisson
γxy: Deformación cortante
: Región volumétrica ocupada por el elemento
xiii
INTRODUCCIÓN 1
Universidad Simón Bolívar
INTRODUCCIÓN
Las tensoestructuras han estado adquiriendo un gran auge en los últimos años debido a la posibilidad de
abarcar grandes luces con construcciones de peso ligero. Esto implica menor cantidad de material y por
tanto menor costo, mantenimiento eficiente así como un fácil proceso de montaje y desmontaje con
respecto a una estructura común.
Desde los años 50, de la mano del arquitecto e ingeniero alemán Frei Otto han surgido una nueva clase
de tensoestructuras, techos elaborados mediante la tensión de telas y/o membranas, que proporcionan un
aspecto muy vistoso así como una buena iluminación natural.
En estos años, se han logrado varios adelantos tecnológicos que han permitido estudiar el
comportamiento de la estructura, así como otros aspectos relacionados con su durabilidad. Uno de ellos es
el hecho de que luego de tensar la membrana (para la rigidez de una tensoestructura es fundamental la
pretensión de sus componentes, a diferencia de una estructura común), ésta se va relajando
progresivamente hasta que pierde toda su rigidez, y si no es retensada con antelación, se vuelve inestable
cayendo sobre el recinto que haya bajo ella, o moviéndose de forma violenta ante las cargas de viento lo
que podría hacer colapsar los pilotes de apoyo.
Hay dos factores contribuyentes en este hecho: el comportamiento viscoelástico del material, el cual se
comporta como un estado intermedio entre el sólido y el líquido (hace que el cuerpo fluya de manera lenta
y progresiva, cambiando su forma), y factores climáticos (grandes estimulantes de este proceso, ya que
aparte de cambiar las propiedades crean esfuerzos cíclicos por dilatación y contracción).
La Facultad de Arquitectura y Urbanismo de la Universidad Central de Venezuela (FAU-UCV) lleva por
tanto un proyecto para estudiar el efecto del clima sobre la pretensión en estructuras de membrana. Consta
de una fase experimental, donde se recrean fenómenos ambientales de manera controlada (vientos,
humedad y temperatura) en un modelo estructural, construido en el Instituto de Materiales y Modelos
Estructurales (IMME-UCV), y se mide la caída de la tensión en los apoyos. Por otro lado, dadas las
limitaciones experimentales en cuanto al tiempo y al dinero, es necesario un modelo numérico que sea
capaz de simular esos ensayos para predecir el comportamiento en situaciones muy variadas o de larga
duración.
Para esto, se requiere la construcción de un modelo en elementos finitos el cual, debido a lo vasto de
construir una simulación de este tipo (por las diversas variables y el complejo comportamiento del
material) debe ser escalonado en diversas fases: simulación de la respuesta estructural ante cargas
estáticas, comprensión del comportamiento del material, determinación de un modelo constitutivo viscoelástico-plástico a ser implementado en un software de elementos finitos, estudio de cargas por dilatación
ante humedad y temperatura, estudio del cambio en las propiedades del material ante los cambios de
humedad y temperatura e implementación de los fenómenos higrotérmicos en el modelo estructural.
Este trabajo se enfocará principalmente en las dos primeras fases con el fin de comprender el
comportamiento de la estructura y material, para tener claro hacia dónde dirigir la construcción del
modelo matemático ya sea en forma de simplificaciones o al contrario, recomendar el estudio de aspectos
que se puedan determinar influyentes en la respuesta de la estructura.
Se llevarán a cabo ensayos experimentales sobre el material para luego ser analizados. Con ayuda de
estos resultados se construye un análisis estático en elementos finitos. Luego, se validan los resultados del
modelo numérico comparándolos con experimentos realizados en el banco de pruebas estructural del
IMME.
2
CAPÍTULO I
OBJETIVOS Y METODOLOGÍA
1.1 Planteamiento del problema
Estudios numéricos sobre la pretensión de estructuras de membrana han sido realizados desde 1972 [1],
época relativamente reciente dentro de la historia del estudio de estructuras. De manera que no es muy
amplio el conocimiento actual sobre el tema.
En la Facultad de Arquitectura y Urbanismo (FAU), y en conjunto con el Instituto de Materiales y
Modelos Estructurales (IMME) de la Universidad Central de Venezuela, se realiza un estudio que evalúa
cómo el clima es capaz de hacer perder esa pretensión necesaria para mantener estable la tensoestructura.
Se pretende, luego de la instalación de una membrana arquitectónica, emplear el conocimiento generado
por este trabajo para evaluar la calidad de la estructura y establecer un plan de mantenimiento predictivo.
El proyecto consta de una parte experimental y otra numérica, esta última debe concordar con los
resultados obtenidos mediante la primera para poder hacer simulaciones de fenómenos más largos cuyo
ensayo real resulta costoso.
Una hipótesis que ha de ser estudiada en el proyecto es el hecho de que el comportamiento mecánico del
material, el cual es de tipo visco-elasto-plástico, es el principal responsable de la pérdida de pretensión de
la membrana. Por el otro lado, se cree que los factores climáticos (el viento, el cambio de humedad y de
temperatura) contribuyen al fenómeno. El primero, a través de la aplicación de cargas mecánicas simples;
los demás, mediante el fenómeno de dilatación y contracción. Dada la naturaleza cíclica de las cargas
ejercidas por el clima, ellas agravan la pérdida de la pretensión.
En el IMME-UCV se construyó un banco de pruebas que permite la aplicación de estas cargas, de
manera separada o en conjunto. Con este banco se pretende estudiar el efecto particular de cada una de
ellas para una mejor comprensión del fenómeno, así como recrear un estado climático de intemperie (a
excepción del ataque de rayos UV).
Por tanto, y para un estudio más profundo, dadas las limitaciones de tiempo de ensayo, es necesaria una
simulación numérica (mediante elementos finitos) que permitan recrear ensayos más largos, y otros
distintos que por razones de tiempo y presupuesto no se podrían ejecutar en la realidad.
En la actualidad, en las bases de datos científicas se encuentran muy pocos estudios numéricos capaces
de satisfacer las necesidades del proyecto. Existen escasos proyectos que estudien la relajación de
estructuras de membrana producto de la viscoelasticidad [2], y poseen una complejidad numérica enorme,
aparte de haber sido ejecutados en programas muy específicos cuya adquisición y operación podría
resultar problemática.
No hay una completa comprensión del comportamiento mecánico del material. El estudio experimental
del efecto de fenómenos climáticos sobre el mismo es muy limitado, y el estudio numérico es casi nulo.
Tomando en cuenta estos antecedentes, se observa la necesidad de construir un modelo numérico que
pueda simular los efectos sobre la estructura tanto de la viscoelasticidad del material como de los efectos
climáticos. Aparte de la complejidad que implica el estudio de las tensoestructuras, cuyo comportamiento
es geométricamente no lineal. También es necesario ejecutar el estudio en un programa de uso común,
para garantizar la continuidad de la investigación, la realización de nuevos análisis y la interpretación
constante de resultados.
3
Entonces, el proyecto requiere la implementación de un modelo numérico que simule el efecto del clima
sobre la pretensión en estructuras de membrana. Dado lo vasto que resulta, se ha de separar en distintas
fases.
La primera fase consiste en la construcción de un modelo aplicado a un software de uso general que
permita simular correctamente la respuesta de la estructura ante cargas estáticas. La segunda está en un
estudio que permita una adecuada comprensión del comportamiento mecánico del material, que permita la
elaboración de un modelo constitutivo con un adecuado balance entre simplicidad, exactitud en los
resultados y facilidad en el análisis de resultados, como tercera fase. Por último, se ha de estudiar el efecto
de la humedad y temperatura sobre el comportamiento mecánico estudiado anteriormente.
1.2 Objetivos generales y específicos
El presente trabajo, como objetivo general, se enfocará en las dos primeras fases mencionadas
anteriormente, y dejará abierto el camino para la ejecución de las dos finales. Para la caracterización del
material y la comprensión del comportamiento mecánico se realiza una serie de experimentos.
Los objetivos específicos son desarrollar una relación esfuerzo-deformación que considere la
viscoelasticidad del material, evaluar el comportamiento elasto-plástico del material, plantear una
metodología para aplicar el método de elementos finitos sobre tensoestructuras y evaluar el efecto de
cambios en diversas propiedades del material sobre la respuesta estática de la estructura.
1.3. Metodología
El trabajo presentado, elaborado en conjunto con la FAU-UCV y el IMME-UCV, fue ejecutado en los
siguientes pasos:






Revisión bibliográfica para conocer anteriores estudios sobre el modelado en elementos finitos de
estructuras de membrana, comportamiento mecánico del material o afines, efectos de humedad y
temperatura sobre sus propiedades mecánicas.
Consulta a los fabricantes de membranas textiles.
Estudio experimental del material.
Determinación de modelos constitutivos no dependientes del tiempo, directamente aplicables a un
software de elementos finitos (elastoplásticos, lineales isotrópicos y lineales anisotrópicos)
Desarrollo en elementos finitos de una simulación que permita observar la respuesta de la membrana
ante cargas estáticas, utilizando para ello cada uno de los modelos anteriores.
Validación del modelo con experimentos realizados con el banco de pruebas del IMME.
MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS 4
Universidad Simón Bolívar
CAPÍTULO II
MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS (MEF)
Para tener una mejor comprensión de las operaciones matemáticas ejecutadas por los software de
elementos finitos, y sus relaciones con los problemas de análisis de esfuerzos que han de resolver, se
realizó una revisión sobre el tema. En este capítulo se mencionan brevemente los conceptos más
importantes, en especial los influyentes en las tomas de decisiones así como en los análisis de resultados.
Para mayor profundidad en el tema, consultar textos como Reddy [3], y Zienkiewicz [4].
2.1 Implementación del método de elementos finitos en problemas dinámicos y estáticos
El método de elementos finitos se utiliza para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales parciales de
forma aproximada. Estas ecuaciones pueden tener origen en cualquier rama de la física, como la mecánica
de sólidos, la mecánica de fluidos, transferencia de calor, etc. En problemas de análisis de esfuerzos, como
el presente, el objetivo es calcular los desplazamientos u en torno a una posición inicial que para cada
punto de la pieza o estructura satisfagan las ecuaciones de equilibrio o movimiento así como las
condiciones de borde (vínculos y cargas).
Para ello, mediante el método de Rayleigh-Ritz (explicado en detalle por Reddy [3], Zienkiewicz [4] y
Casanova [5]) se proponen funciones de forma para los desplazamientos para construir un sistema de
ecuaciones matricial cuya resolución permite luego hallar completamente el vector u. En general, se
resuelven las ecuaciones de este tipo:
2.1
Donde M es la matriz de masa de los elementos. Los vectores de fuerzas externas
internas
, a su vez son definidos en la formulación en MEF de esta forma:
, y fuerzas
2.2
2.3
Donde N es la matriz de funciones de forma, g representa la gravedad, t es el vector de fuerzas
superficiales y p es el vector de fuerzas puntuales. El tensor de esfuerzos puede ser el de esfuerzos
ingenieriles (el más utilizado en aplicaciones estructurales), o el de esfuerzos reales de Cauchy, según sea
la naturaleza del problema a resolver.
Por otro lado, la matriz B de interpolación de deformaciones resulta de aplicar los operadores
diferenciales a la matriz de función de forma N, de manera que se pueden utilizar distintas relaciones
cinemáticas como las de deformaciones infinitesimales, finitas de Lagrange, logarítmicas de Hencky, etc.,
dependiendo también del tipo de problema.
MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS 5
Universidad Simón Bolívar
En un problema dinámico y/o transitorio (
, donde se involucran fuerzas inerciales, los despejes
matriciales de u pasan a ser resoluciones de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias, y las
componentes
y
son además dependientes del tiempo. Si en el sistema a resolver existen
elementos disipadores de energía distintos al roce seco, entonces
y
dependerán también de las
velocidades nodales .
Los problemas dinámicos, en la mayoría de las veces, se resuelven mediante métodos explícitos o
directos (eg. diferencias centrales), en donde el valor de cada paso de integración no depende de sí mismo
sino que se calcula a partir de pasos anteriores, obteniéndose así resultados de manera directa.
Esto se realiza debido a que despejar las ecuaciones como se hace en los métodos implícitos de
resolución podría resultar extremadamente engorroso. Aparte de condiciones de contorno en cuanto a los
vínculos y cargas en función del tiempo, se necesitan condiciones de borde para los desplazamientos y
velocidades en un tiempo dado.
En los problemas estáticos o cuasi-estáticos (
expresión:
, la ecuación 2.1 se transforma a la siguiente
2.4
En estos casos, los despejes de u son simples cálculos de sistemas de ecuaciones. Si resulta ser un
sistema lineal (donde la rigidez del sistema no depende de los desplazamientos), puede resolverse de
forma exacta. En caso contrario, se requieren métodos numéricos implícitos de despeje, como el de
Newton Raphson (el más utilizado en aplicaciones de MEF).
Las no linealidades pueden tener múltiples orígenes: no linealidad en el comportamiento del material,
presencia de grandes desplazamientos y/o deformaciones o la presencia de superficies en contacto. En
esos casos, la finalidad de la resolución iterativa es tratar de llevar el valor de G lo más cercano posible a
cero.
2.2 Método de Newton Raphson
Es un proceso iterativo para resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones no lineales. En su forma
matricial (para resolver sistemas de ecuaciones), la expresión que rige al método, obtenida mediante
expansión en series de Taylor de primer orden de la ecuación 2.4, está dada por:
2.5
El método iterativo es el siguiente:





Se propone un valor inicial de u, llamado . En el software Ansys, este valor es cero o un resultado
anterior [6].
Se calculan el jacobiano
y
Se calcula .
.
Con , se calculan los nuevos valores de J y
Se calcula .
MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS 6
Universidad Simón Bolívar

Se repiten los dos pasos anteriores hasta que
que una tolerancia definida por el usuario.
, si bien no llegue a cero, al menos sea menor
En la Figura 2.1, se muestra gráficamente la resolución del método en un proceso de convergencia.
f
fext
fint (ui+1)
fint (ui)
ui
ui+1
u
ui+2
Figura 2.1: Esquema gráfico del método de Newton Raphson [6]
La solución converge, como se puede observar en el gráfico, cuando la curva
la cota
.
se intercepta con
Como se muestra, el jacobiano J es recalculado en cada iteración (método "full Newton Raphson").
Existen sin embargo algunas variantes en donde J no cambia a lo largo de las iteraciones.
Existen casos en donde los valores de
, o los de la solución u son muy altos. En esos casos, la
convergencia puede dificultarse, razón por la cual se emplean los análisis incrementales (Figura 2.2).
f
fext3
fext2
fext1
u
Figura 2.2: Proceso iterativo incremental, escalonado en subpasos [6]
MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS 7
Universidad Simón Bolívar
Un análisis incremental es aquel en donde la resolución de un determinado sistema con unas cargas
definidas (como el mostrado en la Figura 2.1, llamado en inglés load step) requiere de una aplicación
progresiva de dichas cargas, de manera que el problema va convergiendo sucesivamente para cargas
menores a las definidas hasta alcanzar la solución final. Estos subprocesos o subpasos iterativos son
llamados en inglés substeps.
En este tipo de procesos, en vez de iterar directamente hasta hallar los desplazamientos resultantes por la
carga
, se establecen subpasos de carga
y
ante los cuales se debe dar la convergencia para
luego obtener el resultado final.
Carga
Se pueden aplicar en un análisis varios pasos de cargas en forma escalonada para poder observar la
evolución de las distribuciones de esfuerzos en la estructura o pieza estudiada, en cada uno de ellos se
pueden establecer subpasos para favorecer la convergencia (Figura 2.3). Esta práctica mejora la exactitud
de los resultados [6].
Tiempo
Figura 2.3: Esquema de aplicación de cargas en varios pasos [6]
CONCEPTOS BÁSICOS SOBRE TENSOESTRUCTURAS 8
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CAPÍTULO III
CONCEPTOS BÁSICOS SOBRE TENSOESTRUCTURAS
3.1 Características generales
Las tensoestructuras son todas aquellas cuyos elementos necesitan estar sometidos a tracción para
garantizar su rigidez y estabilidad. Cuando se tienen elementos a compresión, éstos tienden a perder
estabilidad en un fenómeno llamado pandeo; mientras que un elemento a tracción más bien se estabiliza
con el aumento de la carga. [1]
Por tanto, para que un sólido resista la tracción sólo necesita un área transversal suficiente para que el
esfuerzo no alcance la fluencia o ruptura (según sea el caso y material), mientras que para la resistencia a
compresión se necesita una mayor área transversal no para disminuir los esfuerzos sino para evitar el
pandeo. [7]
De aquí proviene una de las principales características de una tensoestructura: al ser menor su área
transversal, su peso es considerablemente menor que el de una estructura cuyos elementos reciban cargas
de compresión o flexión. Esto trae muchas ventajas: facilidad de montaje y desmontaje, simplicidad en el
diseño estructural de los apoyos, mayor espacio entre columnas (luces) lo que aumenta el espacio
disponible, y posiblemente un menor costo. [7]
Dadas las mínimas áreas transversales de las secciones de las tensoestructuras, éstas no son capaces de
resistir ningún tipo de carga a compresión (su esbeltez les haría pandear fácilmente, como se aprecia en las
formaciones de arrugas que frecuentemente presentan estructuras de membrana), ni a flexión ya que el
momento de inercia es mínimo lo cual limita su uso en aplicaciones donde las cargas más fuertes
provengan de la suspensión de su propio peso (techos, cableados, puentes), y donde las demás condiciones
no requieran de elementos a compresión o flexión.
Otra característica, consecuencia de la anterior, es que la forma es altamente dependiente de tipo y
magnitud de las cargas presentes, lo que se conoce como forma funicular [1]. Como se muestra en la
Figura 3.1, si se tiene una cuerda tensada y se aplican cargas puntuales, adopta entonces trazos de líneas
rectas, cuyas orientaciones dependen de las ubicaciones, magnitud y proporción en las magnitudes de esas
fuerzas.
Figura 3.1: Distintas formas adoptadas por una cuerda pretensada según el tipo de cargas aplicadas [1]
CONCEPTOS BÁSICOS SOBRE TENSOESTRUCTURAS 9
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Si se aplican cargas uniformemente distribuidas (ejemplo, el peso uniforme de la pista de un puente), la
cuerda adopta más bien una forma parabólica. Al someter una cuerda al peso propio, se adquiere la forma
gráfica del coseno hiperbólico, mejor conocida como catenaria. Se observa también que no sólo la forma,
sino la orientación de la estructura depende del sentido y dirección de las cargas.
En este sentido, Pauletti [1] determina analíticamente la relación entre los tipos y magnitudes de las
cargas con los diversos tipos de forma que puede adquirir la cuerda.
Un cable tensado únicamente por cargas aplicadas tiene la particularidad que, por las características
descritas anteriormente, puede que tenga rigidez en el plano que contenga la resultante de esas fuerzas,
pero si una carga en otra dirección es introducida, la cuerda se saldrá fácilmente de ese plano.
Por esa razón, muchas cuerdas son estabilizadas con series de cables perpendiculares, los cuales al ser
también estabilizados con otros cables más se forma una red en forma de doble curvatura opuesta
(anticlástica), mucho más estable que una cuerda sola (Figura 3.2). Por esta razón las estructuras de
membrana tienen estructuralmente hablando buena aceptación: una vez tensadas, su forma no varía
significativamente con las cargas aplicadas a menos que sean demasiado elevadas.
Figura 3.2: Estabilización de cables tensados mediante la formación de redes anticlásticas [7]
Como se observa en la Figura 3.2, para garantizar la rigidez de una tensoestructura lo mejor es disponer
la superficie de la membrana o red de forma anticlástica. Su estabilidad y rigidez mejora aún más al
aumentar la pretensión, como se aprecia en la Figura 3.3.
CONCEPTOS BÁSICOS SOBRE TENSOESTRUCTURAS 10
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R2
R1
Q/2 T1
R1
Q/2
T2
R2
T1 < T2
Figura 3.3 Relación entre tensión y radio de curvatura para un mismo estado de carga (en este caso el peso
de la cuerda) [7]
En este caso, Q es una carga uniformemente distribuida aplicada sobre la estructura (puede ser una carga
de viento, algún objeto que cuelga de la cuerda o incluso su peso propio), T1 y T2 es la tensión en las
cuerdas 1 y 2, R1 y R2 es el radio aproximado de las curvaturas en las cuerdas 1 y 2. Aumentar la
pretensión eleva también la carga de operación, algo que también se puede lograr disminuyendo los radios
de curvatura (se debe por tanto tener un balance entre luces amplias y adecuados niveles de pretensión).
Con un mayor radio de curvatura, la tensión necesaria para mantener el equilibrio debe también ser
mayor. En la Figura 3.3 también se observa que la tensión a lo largo de la cuerda varía desde un valor
mínimo coincidente con el punto donde la tangente al cable está horizontal, hasta un valor máximo en los
apoyos donde es más alto el ángulo de inclinación.
3.2 Importancia de la pretensión
Como se mencionó anteriormente, la pretensión es uno de los aspectos más importantes para lograr
mayor rigidez y estabilidad en la estructura. Un bajo nivel de pretensión puede traer dos tipos de
problemas: por un lado, las deflexiones al aumentar las cargas pueden ser muy significativas,
comprometiendo la funcionalidad y seguridad.
Según la Figura 3.3, si la pretensión es alta, la componente horizontal también lo será; de manera que al
aplicar una carga vertical el ángulo de la tensión resultante (y con ello la forma) variará menos que al
haber menos pretensión donde la carga será más alta respecto a las fuerzas internas.
Por otro lado, puede presentarse el hecho de que en ciertos niveles de cargas (sobre todo en estructuras
anticlásticas) se pierde completamente la pretensión en la región cóncava hacia abajo, formándose arrugas
y desestabilizando así la estructura. En la Figura 3.4 se ve cómo si existe un cierto nivel de pretensión en
una cuerda, al aplicar una fuerza en la dirección de la cuerda se mantiene el estado de tensión (en un sector
sube desde el estado inicial y en otro baja pero sin hacerse cero por lo cual no se desestabiliza); mientras
que si se aplica una fuerza a una cuerda casi floja, una sección se tensa pero la otra se afloja y pandea.
CONCEPTOS BÁSICOS SOBRE TENSOESTRUCTURAS 11
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u
Cable sin pretensión
u/2
Cable con una pretensión T0
Figura 3.4: Efecto de la pretensión sobre la estabilidad de un cable [7]
También se observa en la Figura 3.4 cómo la aplicación de una cierta pretensión lleva a una mayor
rigidez de la cuerda. Si al cable sin pretensar se le aplica una carga cualquiera en el medio, en dirección
hacia la derecha de la hoja, la zona de la derecha se desestabiliza y no recibe ninguna porción de la carga;
en cambio la zona de la izquierda recibe toda la carga, por lo cual el punto de aplicación se desplaza una
longitud u.
Ahora, al pretensar la misma cuerda y aplicar la misma carga en el medio, ésta se distribuye
equitativamente entre los dos lados porque la pretensión del lado derecho disminuye pero sigue presente.
Por tanto, el punto de aplicación de la carga se desplaza ahora una longitud u/2, lo que implica una mayor
rigidez. Si la carga aplicada supera la pretensión, el lado derecho pierde estabilidad y pandea, como ocurre
en la cuerda sin pretensión.
3.3 No linealidad geométrica
En la mayoría de las estructuras, al aplicar un sistema de cargas determinado, su relación con respecto a
las deflexiones observadas suele ser lineal. Esto es completamente cierto en estructuras capaces de resistir
compresión y/o flexión, construidas de un material lineal elástico y con cargas que no varíen con el
desplazamiento; se verifica revisando la definición matemática de las teorías de deflexión en vigas (como
el teorema de Castigliano).
Sin embargo, en todas las tensoestructuras se presenta una relación no lineal entre las fuerzas y los
desplazamientos (incluso si el material es elástico lineal). Aunque para casos puntuales y en rangos
específicos podría considerarse un comportamiento lineal, fuera de ese rango seguramente la suposición es
incorrecta.
Siguiendo la metodología de Pauletti [1], se muestra la respuesta no lineal de la tensoestructura más
simple de todas: una cuerda hecha de un material elástico lineal pretensada con una fuerza puntual en el
medio. Para ello se muestran las Figuras 3.5 y 3.6, que representan el sistema a estudiar. En primer lugar,
se define la pretensión de la cuerda T0
3.1
Donde E es el módulo de Young del material, A es el área transversal, lr es la longitud sin tensión de la
cuerda y L es la longitud entre apoyos. Se puede observar que la rigidez a tensión de la cuerda, k, depende
de la pretensión. Para que ésta sea menor, con la misma L, lr debe ser mayor y por tanto k disminuye,
como cabe esperar.
CONCEPTOS BÁSICOS SOBRE TENSOESTRUCTURAS 12
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lr
lo = L
To
To
Figura 3.5: Cuerda pretensada sin cargas externas [1]
L/2
L/2
x
u
θ
T
T
W
y
Figura 3.6: Respuesta de la cuerda pretensada ante una fuerza puntual en su centro [1]
La cuerda no presenta una forma catenaria ya que se ha despreciado la gravedad. Aplicando una carga
puntual W en la dirección positiva de y, se tiene la siguiente expresión para las cargas internas en y:
3.2
donde u es el desplazamiento vertical del punto de aplicación de W, y l es la longitud extendida de la
cuerda luego de la aplicación de la carga, definida mediante Pitágoras por la forma
3.3
La tensión en la cuerda será entonces
3.4
CONCEPTOS BÁSICOS SOBRE TENSOESTRUCTURAS 13
Universidad Simón Bolívar
Sustituyendo las ecuaciones 3.3 y 3.4 en la ecuación 3.2 se tiene la expresión que define las fuerzas
internas
3.5
Asumiendo equilibrio con la fuerza externa, W, e igualando la diferencia entre ambos a una fuerza
residual G
3.6
Se observa que esta ecuación es de la misma forma que la ecuación 2.4, sólo que ahora es escalar porque
el sistema tiene un grado de libertad. Al ser no lineal, como se observa al introducir la ecuación 3.5 en la
ecuación 3.6, se despeja entonces u mediante el método de Newton Raphson, iterando hasta que G sea
efectivamente igual a cero o al menos menor a un valor de tolerancia.
En este caso escalar, y aplicado a este problema, se tiene
3.7
En general,
3.8
Dado que G depende de
y de W, y asumiendo como nueva simplificación que W no depende del
desplazamiento, entonces J coincide con la rigidez equivalente keq para ese estado de cargas. Luego de
derivar la ecuación 3.5, se obtiene keq
3.9
Como se puede ver, la rigidez equivalente dista mucho de ser constante. Esto confirma entonces la no
linealidad de incluso la tensoestructura más sencilla, sometida a una carga con dirección fija y cuyo
material es elástico lineal. Graficando tanto
como
, asumiendo
10 [N/m],
2 [m] y
1.5 [m], se tiene
CONCEPTOS BÁSICOS SOBRE TENSOESTRUCTURAS 14
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f(u)
keq(u)
u
u
Figura 3.7: Gráficos de
y
en función de u [1]
3.4 Estructuras de membrana
Habiendo visto las características generales de las tensoestructuras, aplicadas en cuerdas, es necesario
conocer si tales principios aplican para las estructuras de membrana.
Existen estudios numéricos sobre el área desde 1972, algunos de ellos con validaciones experimentales
[1]. En ellos se ha podido ver en resultados la estrecha relación entre la carga aplicada, la pretensión y la
forma adquirida por la estructura; así como la no linealidad geométrica debido a los grandes
desplazamientos.
Uno de estos análisis fue ejecutado por Schierle y Yin [8]. Manteniendo una condición de carga
constante, se evaluaron los esfuerzos internos para varios niveles de pretensión y relación entre luz y
flecha. Aparte de la evidente relación entre los esfuerzos y el pretensado, se observó que tal relación varía
significativamente con la geometría. En este trabajo también se determinó el mínimo nivel de pretensión a
ser aplicado a las distintas estructuras de manera que ninguna región pierda completamente la pretensión
ante la carga aplicada.
Pauletti [1], por su lado, explica la metodología para construir las ecuaciones para uso en MEF de un
elemento de membrana. Determinando el tensor de rigidez tangente K, se observa su dependencia de los
desplazamientos. Si las cargas externas no dependen de los desplazamientos, K coincide con la matriz
jacobiana J, por lo cual de acuerdo con la ecuación 2.5 la resolución de estructuras de membrana es un
problema geométricamente no lineal. Por otro lado, en el manual del software Ansys [6] se observa lo
mismo al construir el tensor de rigidez de un sistema que emplea elementos tipo shell en modo membrana.
DESCRIPCIÓN DEL MATERIAL Y SU COMPORTAMIENTO MECÁNICO 15
Universidad Simón Bolívar
CAPÍTULO IV
DESCRIPCIÓN DEL MATERIAL Y SU COMPORTAMIENTO MECÁNICO
4.1 Características generales del material
El material del que se elaboran las membranas arquitectónicas es básicamente una tela recubierta por
una capa de resina. Por esto, es colocado dentro de la categoría de los materiales compuestos. En los
principios de la tecnología de estructuras de membrana, en los años 50, se utilizaban telas convencionales
no muy distintas a las de ropa, sin ningún tipo de protección especial contra las condiciones ambientales,
por lo cual sufrían severa degradación en poco tiempo. Debido a esta razón fueron incorporadas capas de
resina polimérica que sirvieran de protector, en especial contra la humedad. [1]
Los tejidos más comunes son hechos de fibra de vidrio, teflón o de poliéster, como es en este caso. Las
cubiertas o matrices pueden ser de silicón, teflón, o PVC. Éste compuesto tipo sándwich posee además
otras capas que son menos relevantes para las propiedades mecánicas pero son importantes para repeler la
humedad y mantener unidos todos los componentes [9], [10].
En la Figura 4.1 se muestran las capas que por lo general poseen este tipo de materiales. Sobre el tejido
se aplica un recubrimiento llamado top coat que actúa como catalizador para facilitar la aplicación y
adhesión de la resina fundida. En el exterior de esta última, se aplican mediante spray capas protectoras
que repelen el agua y evitan la proliferación de hongos. Entre estos, se destaca el PVDF, un polímero
químicamente similar al teflón, caracterizados ambos por ser hidrófobos, es decir que no son capaces de
reaccionar con el agua [10].
Figura 4.1: Capas principales que componen una membrana de uso arquitectónico [10]
Existen varios tipos de tejidos, pero el más común es el convencional, que posee una serie de hilos casi
rectos en una dirección principal, llamada trama; y otra de hilos entretejidos para unir la red, que conforma
la urdimbre. Por esta razón las propiedades mecánicas de estos materiales dependen en gran manera de la
calidad del tejido.
Pueden observarse en la Figura 4.2 las ondulaciones en la urdimbre (presentes también en la trama pero
con menor curvatura). El tejido tiene mayor rigidez en la dirección de la trama que en la de la urdimbre,
DESCRIPCIÓN DEL MATERIAL Y SU COMPORTAMIENTO MECÁNICO 16
Universidad Simón Bolívar
debido a las ondulaciones más suaves en los hilos de la primera respecto a los de la segunda; sin embargo
existen en la actualidad procesos de fabricación que ayudan a reducir esta diferencia [11]. Por otro lado,
debido a la carencia de hilos dispuestos a 45° de las direcciones principales, la resistencia a corte de estos
materiales es sumamente baja, a pesar de que la homogeneidad de las capas de resina estabilizan la
geometría de la tela.
En este trabajo se emplea un tejido elaborado en poliéster, recubierto por resina de PVC. Es fabricado
por uno de los más importantes productores de este rubro: Ferrari Textiles (www.ferrari-industry.com)
[11]. Específicamente, se utiliza el modelo Précontraint 702 Blanc.
Figura 4.2: Corte transversal de una membrana arquitectónica [11]
4.2 Comportamiento mecánico del material
Tomando en cuenta su fabricación y composición, lo primero que se observa es que el comportamiento
del material es anisotrópico, más específicamente es ortotrópico ya que las propiedades efectivamente son
simétricas en dos planos ortogonales entre sí [12], como son los normales a la trama y a la urdimbre (no se
consideran las propiedades en la dirección del espesor).
Debido a esto, si el material se asume lineal elástico son necesarias cuatro constantes para caracterizar
su respuesta: Ex (módulo de Young en la dirección de la trama), Ey (módulo de Young en dirección de la
urdimbre), G (módulo de corte) y ν (módulo de Poisson). Para este caso, Blum [10] utiliza una
metodología para los cálculos de estas constantes mediante ensayos biaxiales.
Sin embargo, se observa que el comportamiento a tracción en realidad dista mucho de ser lineal, y si en
la estructura estudiada se alcanzan todos los valores de la gama de deformaciones, la suposición de
linealidad puede acarrear grandes errores. En la Figura 4.3 se observa una típica gráfica resultante de un
ensayo biaxial sobre una membrana arquitectónica, perteneciente al material de trabajo de este proyecto
(Ferrari Précontraint 702)
DESCRIPCIÓN DEL MATERIAL Y SU COMPORTAMIENTO MECÁNICO 17
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Trama
Esfuerzo [KN/m]
Urdimbre
Deformación [%]
Figura 4.3: Curva a tracción cíclica biaxial típica de la membrana arquitectónica Ferrari Précontraint 702
[13]
Se puede observar la Figura 4.3 que además de ser no lineal, el material tampoco es perfectamente
elástico, a juzgar por la presencia de vueltas de histéresis. El hecho de que luego de una descarga el
material disminuya la deformación pero sin llegar a la posición inicial, implica por definición catalogar al
material como elasto-plástico.
Por otro lado, si se toma una muestra y se le somete a esfuerzos de tracción constante, se observa que la
deformación aumenta progresivamente a partir de la inicial [14]; es decir, una vez establecido un valor fijo
de carga, sigue aumentando el desplazamiento y la deformación como si el material fluyera. Esto significa
la presencia adicional de un comportamiento viscoelástico. Tomando en cuenta todo esto, en la literatura
se ha considerado a este material de comportamiento visco-elasto-plástico [2].
4.3 Modelos constitutivos
Existen tres formas de determinar el modelo constitutivo de un material: empírico, numérico y mixto.
Los modelos numéricos aplicados a polímeros generalmente tienen origen en balances de fuerzas, energía
y calor. Su implementación se justifica debido a las altas deformaciones, aún en rango elástico, que
pueden sufrir estos materiales (ε > 1).
Sin embargo, la formulación es sumamente compleja y dificulta la comprensión física del
comportamiento del material, así como el análisis de resultados. Es necesario recordar que este estudio va
dirigido a un equipo multidisciplinario, así que la proposición de un modelo comprensible por todos los
integrantes es necesaria. Por lo tanto, se ha de caracterizar el material mediante modelos empíricos.
En el presente trabajo se pretende, además de estudiar la respuesta de la estructura ante cargas estáticas,
es tener un primer acercamiento a los aspectos más importantes del comportamiento del material. Debido
a que, según hipótesis, el mayor causante de la relajación de la membrana es la viscoelasticidad, se hará
una breve reseña sobre este tópico antes de proponer algún modelo constitutivo.
DESCRIPCIÓN DEL MATERIAL Y SU COMPORTAMIENTO MECÁNICO 18
Universidad Simón Bolívar
4.3.1 Viscoelasticidad
En general, la respuesta mecánica de los polímeros difiere de la de los metales en dos formas: su no
linealidad y la dependencia del tiempo del comportamiento esfuerzo-deformación. Es decir, que el
material no se comporta igual si la velocidad de aplicación de cargas varía. En este caso, las cadenas de
polímeros rozan entre ellas de manera que disipan distintas cantidades de energía y crean distintas
reacciones a medida que se cambia la velocidad de deformación [15], similar a lo ocurrido en un
amortiguador.
Esfuerzo [MPa]
En la Figura 4.4, se observan distintas curvas esfuerzo-deformación que corresponden a un mismo
material, sometido a distintas velocidades de estiramiento en el banco de ensayos a tracción.
Deformación [%]
Figura 4.4: Variación de la respuesta de un material polimérico con la velocidad de ensayo [16]
Según Aklonis et al. [15], un material viscoelástico es aquel que tiene un comportamiento intermedio
entre un sólido y un fluido. Igual que un amortiguador, que posee un dispositivo elástico así como el
reservorio de fluido que es donde se disipa la energía según aumenta la velocidad (según leyes de fricción
en mecánica de fluidos).
Debido a esto, se presenta una de las características más importantes de este tipo de materiales: al
someterlos a una fuerza o esfuerzo constante, en vez de mantener el equilibrio su deformación sigue
aumentando a lo largo del tiempo, así como un fluido viscoso cuando se le deja en reposo sobre una
superficie inclinada para empezar inmediata y progresivamente a desplazarse. A este fenómeno se le
denomina creep [15].
En la Figura 4.5 se aprecian resultados experimentales y numéricos sobre el comportamiento a creep de
una membrana arquitectónica
DESCRIPCIÓN DEL MATERIAL Y SU COMPORTAMIENTO MECÁNICO 19
Universidad Simón Bolívar
Deformación
Numérico
Tiempo (min)
Figura 4.5: Comportamiento a creep de una membrana con tejido de poliéster y resina de PVC [14]
De la misma forma, si a un material viscoelástico se le obliga a mantener un estado de deformaciones
constante, se observa cómo el esfuerzo que fue requerido inicialmente para llevar el sólido a esa posición
disminuye en función del tiempo. A esto se conoce como relajación. En la Figura 4.6 se muestra un
modelo de ensayo de relajación.
Esfuerzo
Deformación
Debido a estas características, es que las estructuras de membrana pierden la pretensión inicial. En
realidad, se presenta una mezcla de creep y relajación, ya que, como se vio en el Capítulo III, si cambian
los desplazamientos (y por ende las deformaciones, ya que no hay movimientos puros de cuerpo rígido),
no es posible mantener la distribución de esfuerzos constante, ni viceversa. En estas situaciones aumentan
las deformaciones mientras disminuyen los esfuerzos.
tiempo
tiempo
Figura 4.6: Ensayo de relajación ante una deformación constante [16]
4.3.2 Modelos constitutivos asumidos en esta etapa del proyecto
Como se mencionó, en esta etapa el objetivo es modelar la respuesta de la estructura ante cargas
estáticas. Entonces, fue asumido un modelo multilineal elasto-plástico independiente del tiempo, el cual es
capaz de simular el efecto de la plasticidad en condiciones de descarga (en una estructura anticlástica, si se
aplican cargas descendentes las fibras que están en la dirección cóncava hacia abajo se descargan). Esto
crea deformaciones remanentes no presentes si se utiliza un modelo elástico, ya sea lineal o hiperelástico.
DESCRIPCIÓN DEL MATERIAL Y SU COMPORTAMIENTO MECÁNICO 20
Universidad Simón Bolívar
Sin embargo, aunque se asumió al material independiente del tiempo, incluso para las curvas a tracción
o compresión debe considerarse la viscoelasticidad de una forma implícita, ya que se puede observar
mediante la Figura 4.4 que la rigidez aumenta de acuerdo a la velocidad de deformación (de nuevo, similar
a un amortiguador).
Como fue estudiado por Bridgens [17], la deflexión en el centro de un paraboloide hiperbólico (como es
el estudiado en el proyecto) ante cargas de presión, es sensible al módulo de elasticidad del material
(considerado lineal). De forma que la membrana no reacciona igual si se deforma a una velocidad que a
otra, y de ahí que sea necesario predecir la curva esfuerzo-deformación para las velocidades de aplicación
de carga esperadas en el ensayo, debido a que es poco probable que la rapidez de deformación
experimentada en el banco de pruebas coincida con las ensayadas en el laboratorio para determinar las
propiedades a tracción.
4.3.3 Predicción mediante el estudio de la viscoelasticidad del comportamiento a tracción a una
velocidad de deformación cualquiera.
Bles et al. [18], realizó un análisis experimental para ayudar a comprender y modelar el comportamiento
visco-elasto-plástico de tiras de tejido de nylon empleadas como cinchas de paracaídas. En donde más
énfasis se hizo fue en el estudio de la viscoelasticidad del material. Se llegó a la conclusión de que la
variación del esfuerzo aplicado en función de la velocidad de deformación es de forma logarítmica.
En primer lugar fueron hechos varios ensayos a distintas velocidades hasta casi la ruptura (Figura 4.7).
Posteriormente se establecieron varios valores de deformaciones, de donde se determinaron los esfuerzos
para distintos valores de rapidez de deformación, construyendo así gráficos con eje ordenado logarítmico
(Figura 4.8)
Esfuerzo [MPa]
250
3.10-1 [s-1 ]
10-5 [s-1 ]
Deformación
0.18
Figura 4.7: Curvas esfuerzo-deformación de un tejido de nylon para distintas velocidades de deformación
[18]
Una vez obtenidos los resultados, las curvas se ajustan a la expresión
4.1
DESCRIPCIÓN DEL MATERIAL Y SU COMPORTAMIENTO MECÁNICO 21
Universidad Simón Bolívar
Donde m y b, como se aprecia en la Figura 4.8, es dependiente exclusivamente de la deformación. En la
Figura 4.9 se muestran las gráficas resultantes de m y b en función de la deformación
Figura 4.8: Relaciones esfuerzo-velocidad de deformación para valores fijos de deformación [18]
200
b (ε) [MPa]
m (ε) [MPa]
9
6
3
150
100
50
0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14
0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14
ε
Figura 4.9: Gráficas de
ε
y
[18]
Una vez tenidas estas curvas, es posible utilizar la ecuación 4.1 para determinar el comportamiento a
tracción del material ante cualquier velocidad de deformación.
Los polímeros, a diferencia de los metales, tienen un comportamiento muy disímil entre ellos. Los
segundos pueden tener muchas variaciones en el comportamiento plástico, pero el elástico es siempre
lineal. Basta con observar todas las variedades de acero disponible, cuyos módulos de elasticidad tienen
variaciones entre ellos menores al 10%, y lo mismo con el módulo de Poisson. Ahora bien, con los
polímeros es distinto, debido a que su composición en forma de cadenas compuestas de enlaces químicos
funciona como un conjunto de estructuras, y variaciones en la forma de las cadenas así como su
agrupación dentro del material pueden variar drásticamente su respuesta mecánica.
Basta ver el comportamiento mecánico de diversas variedades de PVC (Figura 4.10) para visualizar este
punto. Las curvas (a) y (b) son de variantes frágiles, empleadas en tuberías u otros objetos sólidos; las (c)
y (d) son variantes intermedias, más dúctiles que las (a) y (b) pero sin presentar características de goma; y
la curva (e) corresponde a un PVC cauchoso con plastificantes, con un comportamiento similar a la goma,
DESCRIPCIÓN DEL MATERIAL Y SU COMPORTAMIENTO MECÁNICO 22
Universidad Simón Bolívar
utilizado básicamente como recubrimiento flexible (de cables, membranas, etc.) Estos diversos materiales
sólo tienen en común estar compuestas por cadenas de moléculas formadas a partir del monómero cloruro
de vinilo.
Figura 4.10: Comportamiento a tracción de las diversas variedades de PVC [19]
Es importante resaltar esto, porque es indebido utilizar cualquier modelo viscoelástico para predecir el
comportamiento de un polímero dado. Si un modelo dado no fue determinado para el material a estudiar,
al menos deben existir ciertas similitudes químicas más allá de la composición de sus monómeros, además
de sus comportamientos mecánicos generales y microestructura.
Debido a que los modelos viscoelásticos no lineales capaces de simular el comportamiento a tracción de
membranas arquitectónicas son muy escasos, se aplicó este criterio para evaluar la aplicabilidad de
diversos modelos constitutivos de polímeros en el presente problema.
Tomando en cuenta lo anterior, se determinó que el modelo presentado anteriormente podría ser
funcional. Primero y principal, el material estudiado por Bles et al. [18] es un tejido, no un medio
continuo, así que mecánicamente pueden haber en este aspecto fuertes similitudes.
Químicamente hablando, el nylon, el poliéster y el PVC son catalogados como termoplásticos (plásticos
capaces de volver a endurecer luego de ser fuertemente calentados). Los dos primeros en cualquiera de sus
variedades son microscópicamente semicristalinos [20] (Figura 4.11); y el PVC, aunque originalmente es
amorfo, la añadidura de plastificantes para resistir los ataques de la intemperie [10] le convierten en
semicristalino [19].
Por último está el comportamiento mecánico a tracción de los materiales señalados. Si existen
semejanzas en los tópicos anteriores pero presentan respuestas mecánicas muy distintas entre el material a
evaluar y el que tiene desarrollado el modelo disponible, no es correcto emplearlo para estudiar el material
incógnita.
En este caso, se puede ver que la curva a tracción uniaxial del nylon (Figura 4.7) tiene una forma muy
parecida a la de una variante de PVC con plastificantes (letra (e), Figura 4.10) que presenta un
comportamiento similar a la goma (tal como ocurre con la resina de la membrana); a la de las fibras de
poliéster (Figura 4.12), y a la del material compuesto (Figura 4.3).
DESCRIPCIÓN DEL MATERIAL Y SU COMPORTAMIENTO MECÁNICO 23
Universidad Simón Bolívar
Figura 4.11: Agrupación microscópica de moléculas en un material semicristalino. Las cadenas ordenadas
son las que forman los cristales, las que están en desorden componen los sectores amorfos [9]
80
70
Fuerza [N]
60
50
40
30
20
10
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
Deformación
Figura 4.12: Comportamiento a tracción de un hilo de poliéster a ser utilizado en la construcción de
membranas [9]
Todas las curvas poseen un crecimiento sostenido en todo el rango de deformaciones, y se componen
básicamente por tres subregiones de pendiente inclinada, intermedia e inclinada hasta la ruptura. Algunos
de los gráficos vuelven a cambiar de pendiente justo antes de la rotura, posiblemente por
deshilachamiento.
En conclusión, podría suponerse como hipótesis que el modelo aplicado por Bles et al. [18] a un tejido
de nylon puede describir el comportamiento viscoelástico de una membrana arquitectónica.
ESTUDIO EXPERIMENTAL DEL MATERIAL 24
Universidad Simón Bolívar
CAPÍTULO V
ESTUDIO EXPERIMENTAL DEL MATERIAL
Debido a la falta de información en relación a las propiedades y el comportamiento del material, se
realizó una serie de ensayos uniaxiales. En este capítulo se muestran los resultados más importantes y las
discusiones.
5.1 Procedimiento experimental
5.1.1 Tipos de ensayo a ejecutar
Aunque la mayoría de los trabajos de ensayos a tracción de membranas se hacen biaxialmente, en
Venezuela no hay bancos de pruebas capaces de realizar estas pruebas. Además, existen muy pocos
proyectos que realicen una caracterización completa del material a partir de ensayos biaxiales.
Chivante [21] caracterizó el comportamiento biaxial de un tejido de fibra de vidrio recubierto con PTFE,
pero este material evidentemente a tracción reacciona distinto al sándwich PVC/poliéster utilizado en el
presente estudio; además de la suposición hiperelástica hecha para ese material. Por otro lado, en el
software Ansys se hace complicado introducir resultados de un ensayo biaxial en los modelos
constitutivos anisotrópicos disponibles. Entonces, en el próximo paso del proyecto, se hace necesario
programar un modelo en la base de datos del software.
Entonces se ejecutan ensayos a tracción uniaxiales, pero tratando de estudiar las relaciones entre las
deformaciones en la dirección de la carga y la perpendicular a la línea de fuerza, para tratar de comprender
el comportamiento biaxial del material. Además, se necesita conocer el valor del módulo de Poisson.
5.1.2 Equipos de laboratorio
Para ejecutar ensayos de tracción existen alrededor de cinco máquinas en la Universidad Simón Bolívar.
Para determinar cuál debía ser empleada para el trabajo, se utilizaron tres criterios: disponibilidad, celda
de carga con un error adecuado y un amplio rango de velocidades de ensayos que permita construir
adecuadamente una gráfica como la mostrada en la Figura 4.8. Tomando en cuenta el tercer criterio, sólo
resultaron ser útiles dos de los bancos: uno de la Sección de Ensayos Mecánicos (Banco 1) y el de la
Sección de Polímeros (Banco 2), ambos pertenecientes al Laboratorio E.
Ambos tienen un rango de velocidades de ensayo en el rango de los 0,5-1000 [mm/min]. El banco 1 es
diseñado para ensayos que requieren de fuertes cargas, mientras que el Banco 2 es más bien para pequeñas
probetas. Por tanto, las celdas de carga varían significativamente: la capacidad de la del Banco 1 es de 25
[Tm] y la del Banco 2 es de sólo 2 [Tm]. Sin embargo, según calibración del Sencamer [22], los errores
son bastante buenos en ambos casos: 1% y 0.5% sobre la medición entregada. Eso dio una leve ventaja al
Banco 2, pero su escasa disponibilidad hizo que fuera empleado al final el Banco 1.
El banco de ensayos universales a utilizar es un modelo MTS 810 de funcionamiento hidráulico (similar
al mostrado en la Figura 5.1). Posee un rango de velocidades de ensayo entre 0.5 y 1000 [mm/min], el
pistón tiene un recorrido de 6 pulgadas; y la presión de las líneas de entrada y salida del sistema hidráulico
es de 3000 y 200 [psi] respectivamente. Sobre la mordaza superior va una celda de carga (modelo MTS
ESTUDIO EXPERIMENTAL DEL MATERIAL 25
Universidad Simón Bolívar
661.23A-01) con capacidad de 25 [Tm]. Asimismo, un extensómetro mide el desplazamiento de las
mordazas. El sistema es controlado mediante un equipo MTS FlexTest SE 4.0B.
Figura 5.1: Banco de ensayos universales. [23]
Una computadora recibe las señales procedentes de los instrumentos y las transforma mediante el
software LabView a datos que luego son almacenadas en el equipo.
Una característica de las membranas de uso arquitectónico es su baja rigidez, por eso es de esperar que
la deformación reportada por el banco de pruebas (debido al desplazamiento de las mordazas) es distinta a
la reportada en la parte media de la probeta, donde verdaderamente el único esfuerzo recibido es producto
de la fuerza de tracción, libre de las concentraciones de esfuerzos en las mordazas.
Por esta razón es incorrecto tomar en cuenta el desplazamiento reportado por el banco para construir las
gráficas esfuerzo-deformación. Para solventar este problema, y poder además medir la deformación
perpendicular a la línea de aplicación de fuerza, se dibujan en la zona central de cada probeta referencias
como cuadros o cruces, ver Figura 5.2.
Para medir los desplazamientos de manera efectiva fue necesario filmar los ensayos para luego separar
los cuadros del video e ir midiendo la evolución de los desplazamientos. Las referencias dibujadas fueron
pequeñas para evitar que una posible distribución no homogénea de esfuerzos las deformen de una forma
distinta a la debida, invalidando así los datos.
Para la filmación se utilizó un equipo fotográfico cámara-trípode. La cámara empleada (Canon
PowerShot SX100 IS) posee una capacidad de imagen de 8 mega píxeles y un dispositivo de zoom óptico
de 10x de aumento. Fue colocada en relación con el banco de manera que, haciendo el mayor
acercamiento que permita sin comprometer la imagen, resulte en la mayor longitud posible de las
referencias medida en píxeles.
ESTUDIO EXPERIMENTAL DEL MATERIAL 26
Universidad Simón Bolívar
Figura 5.2: Referencias trazadas para medir las deformaciones en ambas direcciones
5.1.3 Preparación de las muestras a ensayar
En primer lugar había que ver qué tipo de probeta podría ser utilizada. Dado que el estudio de las
estructuras de membrana apenas data de 1950, aún se intenta alcanzar un consenso en cuanto a los ensayos
a ejecutar [9]. Por un lado, TensiNet establece un código de diseño para tratar de unificar los criterios [24],
pero eso no es todavía un hecho. Este problema no es exclusivo de este sector, en casi todo lo referente al
ensayo de materiales compuestos se aprecian estas discrepancias en los protocolos de ensayo.
De hecho, Blum et al. [10] establece para el ensayo hasta fractura el uso de las normas DIN 53354 y EN
ISO 1421, pero modificados para tener un ancho de 100 [mm]; y en ensayos llevados en otros proyectos se
establecen distintas dimensiones. Para los ensayos biaxiales, hay también discrepancias de criterio.
Por otro lado, las dimensiones de probetas establecidas por Blum son muy amplias para los bancos de
ensayo disponibles, además de la limitada cantidad de material disponible. Por estas razones, y teniendo
en cuenta los tipos de mordazas disponibles en el laboratorio, se decidió cortar las probetas según la
norma ASTM D 882-02 [25], que regula los ensayos a tracción de los materiales poliméricos.
La norma es diseñada para ensayos a tracción de láminas de menos de 0.5 [mm] de espesor. El ancho de
la probeta debe ser al menos 8 veces el espesor, y el largo debe ser mayor a 125 [mm], aunque
recomiendan más de 250 [mm].
Como el espesor del material a estudiar es de 0.58 [mm], el ancho mínimo es de 4.64 [mm]. Sin
embargo, se coloca un mayor ancho para garantizar la homogeneidad y la precisión de resultados. Como
se muestra en la Figura 5.3, si se coloca una sección muy pequeña, saldrían a relucir las propiedades del
componente que ocupe mayor longitud en esa sección transversal (en la Figura 5.3, sería la resina). Dado
que las mordazas disponibles en el laboratorio tienen un ancho de 1 pulgada, se establece el ancho de las
probetas en 25 [mm]. Por escasez de material, se establece la longitud en el mínimo de 125 [mm].
Un apriete no excesivo pero suficiente para evitar el deslizamiento es necesario para reducir las
concentraciones de esfuerzos alrededor de las mordazas, de manera que en el medio de la probeta sólo
hayan esfuerzos producto de la tracción.
ESTUDIO EXPERIMENTAL DEL MATERIAL 27
Universidad Simón Bolívar
Figura 5.3: Probeta más ancha que el mínimo establecido por la norma ASTM D 882-02 para mayor
homogeneidad y precisión de resultados
Urdimbre
Cortar las probetas requirió de sumo cuidado. Además de mantener iguales los tamaños, fue necesario
que las direcciones longitudinales coincidan correctamente con la trama, la urdimbre o la dirección a 45°
de las fibras (corte). Básicamente, fueron cortadas de la superficie como se indica en la Figura 5.4, que
muestra la disposición de las probetas respecto a los ejes coordenados (que representan las direcciones de
las fibras)
Trama
Figura 5.4: Disposición de las probetas con respecto a los ejes coincidentes con las fibras dentro de una
superficie de material [16]
Para lograr esto además de medir y trazar los patrones minuciosamente, también hay que evitar apoyarse
mucho sobre la membrana para que no ocurra alguna indeseada deformación cortante que rompa la
perpendicularidad entre las fibras (Figura 5.5). Existen modelos de lona en donde ocurre todo lo contrario,
hay que tratar de llevar a las fibras a un ángulo recto para cortar las fibras, o buscar otras regiones menos
afectadas.
ESTUDIO EXPERIMENTAL DEL MATERIAL 28
Universidad Simón Bolívar
Figura 5.5: Pérdida de la perpendicularidad entre las fibras [11]
Para trazar las referencias, una vez cortadas las probetas, se emplearon cuadros o cruces de 5 [mm] de
lado. Se dibujaron pequeños para evitar los efectos de concentradores de esfuerzos que puedan invalidar
las lecturas.
5.1.4 Ensayos a realizar
Se han de hacer dos tipos de ensayos: a tracción hasta la ruptura, y a tracción hasta un punto cerca de la
ruptura, para luego descargar con la misma velocidad de deformación pero contraria, hasta cero. Las
velocidades de ensayo (
) son 1, 50, 100 y 500 [mm/min]. Se hacen ensayos a las tres direcciones más
importantes para construir el tensor de esfuerzos del material: 0° (trama), 45° (corte) y 90° (urdimbre)
(Figura 5.6). Por cada configuración se realizan tres ensayos, para mantener un compromiso entre la
validez estadística y la escasez de material disponible.
El ensayo de descarga es realizado únicamente a 1 [mm/min] para un posterior estudio de la histéresis
del material, en donde sea más apreciable el efecto elasto-plástico, debido a que siguiendo la hipótesis de
la aplicación en el material de la Sección 4.3.3, para bajas velocidades de deformación el efecto
viscoelástico es menor y el comportamiento se acerca más al elasto-plástico puro.
P
P
P
θ
Trama
Urdimbre
P
a) θ = 0
P
b) θ = 45
P
c) θ = 90
Figura 5.6: Probetas a: (a) 0°, (b) 45° y (c) 90° de la dirección de la trama
ESTUDIO EXPERIMENTAL DEL MATERIAL 29
Universidad Simón Bolívar
En la Figura 5.6, θ es el ángulo entre la dirección de la trama y la línea de aplicación de la carga a
tracción. En la Tabla 5.1 se muestran todos los ensayos realizados, clasificados según su configuración.
Tabla 5.1: Clasificación y nombre de los ensayos
[mm/min]
1
50
100
500
Número de ensayo
por configuración
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
Ángulos θ
0°
45°
90°
(Trama)
1T-1
2T-1
3T-1
1T-50
2T-50
3T-50
1T-100
2T-100
3T-100
1T-500
2T-500
3T-500
(Corte)
1C-1
2C-1
3C-1
1C-50
2C-50
3C-50
1C-100
2C-100
3C-100
1C-500
2C-500
3C-500
(Urdimbre)
1U-1
2U-1
3U-1
1U-50
2U-50
3U-50
1U-100
2U-100
3U-100
1U-500
2U-500
3U-500
5.1.5 Adquisición y procesamiento de datos
Una vez realizados los ensayos, se procede a la conversión de los datos obtenidos a gráficas esfuerzodeformación y determinación del módulo de Poisson. Mediante la celda de carga se obtiene la fuerza de
ensayo, para aplicar luego la definición de esfuerzo ingenieril.
5.1
En este caso el área
es la multiplicación del ancho inicial de la probeta por el espesor, (0.58 [mm]).
Para la introducción de datos en el software de MEF se utilizará esta definición tal como se presenta, en
unidades de [Pa]. Ahora, en la mayoría de aplicaciones donde se utilizan elementos tipo lámina o concha,
entre ellas el estudio de membranas arquitectónicas, la carga sólo se divide entre el ancho de la probeta,
teniendo así que el esfuerzo se reporta en unidades de [KN/m]. Por tanto la presentación de los resultados
experimentales se hará en estas unidades.
Para obtener las deformaciones ingenieriles, se utilizan los desplazamientos medidos a partir de los
videos. Para esto existen varias opciones. Existe un procedimiento llamado reconocimiento de imágenes
(un ejemplo de aplicación es planteado por Trujillo et al. [26]), donde mediante un software (LabView,
Matlab, etc.) se ejecuta un algoritmo que permite medir longitudes de manera automatizada para todos los
cuadros. Sin embargo, para esto se requiere una gran resolución de imagen, porque el software trabaja en
función de longitudes en píxeles.
Debido a esto, este método automatizado es ineficaz para este caso porque la longitud de las referencias
sólo abarca cerca de 15-30 píxeles (Figura 5.7); y para una deformación máxima de 15%, sólo aumenta la
ESTUDIO EXPERIMENTAL DEL MATERIAL 30
Universidad Simón Bolívar
longitud en dos o cuatro píxeles, haciendo así la gráfica deformación vs. cuadros muy poco escalonada e
incapaz de arrojar valores exactos, en especial en el rango de bajas deformaciones.
Figura 5.7: Discretización de la referencia en píxeles
Por esta razón se decidió limitar el número de cuadros estudiados, y crear diversas imágenes no
discretizadas en píxeles (Figura 5.8) que fueron impresas y medidas luego con ayuda de un vernier. Se
ampliaron las referencias al máximo posible para que se pudieran medir los anchos de las líneas trazadas,
determinar con ello sus centros y posteriormente medir la longitud de los cuadros.
Cabe destacar que como las deformaciones y el módulo de Poisson son adimensionales, no es necesario
convertir las longitudes medidas de los videos a las reales.
Figura 5.8: Ampliación de la referencia para una medición más exacta de las deformaciones
Se van midiendo en diversos cuadros las longitudes estiradas de los bordes de los cuadros, o de las
líneas de las cruces; y se comparan con las longitudes iniciales, determinando así las deformaciones
ingenieriles.
ESTUDIO EXPERIMENTAL DEL MATERIAL 31
Universidad Simón Bolívar
(a)
(b)
5.2
Si se requiere utilizar otra relación cinemática (deformaciones finitas de Lagrange, deformaciones
logarítmicas de Hencky, etc.) debido a la presencia de grandes deformaciones o su uso por parte del
software de MEF (ya sea en las formulaciones del elemento seleccionado o del modelo constitutivo),
existen transformaciones que permiten hallar su tensor de deformaciones a partir del tensor de
deformaciones infinitesimales o ingenieriles [12], [27], [28].
Posteriormente, el módulo de Poisson es obtenido mediante la siguiente expresión
5.3
Para determinar la velocidad de deformación se procede a graficar
en función del tiempo de ensayo.
Si la relación es aproximadamente lineal, como ocurre con la velocidad de ensayo; la velocidad estará
dada por la pendiente de esa recta.
5.2 Resultados experimentales
Por razones de espacio, no se colocan todas las gráficas obtenidas, sino las más relevantes que permitan
sacar conclusiones. En el Apéndice A son anexadas más curvas referentes a este tópico.
En primer lugar, se exponen las curvas carga vs. desplazamiento para las probetas en dirección de la
urdimbre (θ = 90°), con una velocidad de ensayo de 50 [mm/min] (Figura 5.9)
160
140
Carga (Kgf)
120
Probeta 1U-50
100
Probeta 2U-50
80
60
Probeta 3U-50
40
20
0
0
5
10
15
20
Desplazamiento mordazas (mm)
Figura 5.9: Curva carga-desplazamiento obtenido del banco de pruebas para un (θ = 90°,
[mm/min])
= 50
ESTUDIO EXPERIMENTAL DEL MATERIAL 32
Universidad Simón Bolívar
Se observa que, cuando la carga alcanza los 10 [Kgf], el desplazamiento se incrementa sin necesidad de
aumentar la fuerza, tal como un material elastoplástico perfecto o en proceso de relajación, para luego
proseguir la curva de la misma forma como lo hacía entre 0 y 10 [Kgf]. Esto no corresponde con ningún
otro ensayo observado en la literatura [9], [14], [18], [29] o experimentos proporcionados por el fabricante
[13].
Sin embargo, como se mostrará posteriormente, mientras el desplazamiento de las mordazas aumenta
con la misma carga, la deformación medida de los videos se mantiene constante, así que la curva esfuerzodeformación no presentará esta forma. Este fenómeno probablemente se atribuya a un juego ya sea en las
mordazas o en su acople al pistón hidráulico.
Si se retira esa parte plana, de acuerdo con lo mencionado anteriormente, las curvas se presentan de la
siguiente manera (Figura 5.10):
160
Carga (Kgf)
140
Probeta
1U-50
Probeta
2U-50
Probeta
3U-50
120
100
80
60
40
20
0
0
5
10
15
20
Desplazamiento corregido mordazas (mm)
Figura 5.10: Curvas corregidas luego de eliminar la región plana (θ = 90°,
= 50 [mm/min])
Se muestra de esta forma la precisión de los resultados en este aspecto, más aún tomando en cuenta que
los tres ensayos fueron todos realizados en distintos días, y que las probetas provenían de regiones
separadas en el trozo de material de donde provenían. Este tipo de curva sí se corresponde con el
comportamiento común a tracción observado en la membrana [9], [13], [14], [18], [29].
A continuación, se muestra la Tabla 5.2 con la data completa obtenida a través del banco y las
filmaciones de la probeta para un ensayo en particular (2T-100). Tablas similares fueron construidas para
los restantes 35 ensayos.
En esta Tabla se muestran el tiempo en que fueron tomados los puntos, la carga y desplazamiento
proporcionados por el banco (de donde se derivan curvas como las de la Figura 5.9), y las longitudes de
las referencias dibujadas en la probeta (Figura 5.2) tanto en la dirección de aplicación de la carga
(dirección x) como en la perpendicular a ésta (dirección y)
ESTUDIO EXPERIMENTAL DEL MATERIAL 33
Universidad Simón Bolívar
Tabla 5.2: Data recolectada del ensayo 2T-100
Tiempo [s]
Carga [Kg.]
Desplazamiento mordazas
[mm]
0
0.11
0.22
0.25
0.95
1.06
1.17
1.28
1.39
1.50
1.61
1.72
1.83
2.02
2.21
2.40
2.59
2.78
3.38
3.98
4.58
5.18
5.78
6.38
6.98
7.58
1.892
4.614
9.032
9.173
9.919
13.580
17.597
20.887
23.632
25.766
28.209
29.868
30.405
32.984
34.520
36.794
38.667
40.045
46.103
53.196
61.168
71.560
82.978
96.139
109.222
121.219
0.024
0.206
0.391
0.441
1.610
1.793
1.977
2.160
2.344
2.527
2.711
2.894
3.077
3.394
3.712
4.029
4.347
4.663
5.663
6.665
7.664
8.666
9.665
10.667
11.667
12.668
Longitud
referencia
dirección x [mm]
183.50
184.00
184.50
184.75
184.75
185.15
185.55
185.95
186.35
186.75
187.15
187.55
187.95
188.70
189.45
190.20
190.95
191.70
194.20
196.70
199.20
201.70
204.20
206.70
209.20
211.70
Longitud
referencia
dirección y [mm]
184.50
184.25
184.25
184.00
184.00
184.00
184.00
184.00
184.00
183.75
183.75
183.75
183.75
183.50
183.50
183.25
183.25
183.00
183.00
182.75
182.50
182.25
182.00
181.75
181.50
181.25
Siguiendo la metodología propuesta en la Sección 5.15 se procedió a calcular los esfuerzos, las
deformaciones a lo largo y ancho de la probeta y el módulo de Poisson. Los resultados de estos cálculos se
muestran en la Tabla 5.3.
Tabla 5.3: Cálculos realizados para el ensayo 2T-100 a partir de la data mostrada en la Tabla 5.2
Tiempo [s]
0
0.11
0.22
0.25
0.95
1.06
1.17
1.28
1.39
1.50
εy
0
-0.00135501
-0.00135501
-0.00271003
-0.00271003
-0.00271003
-0.00271003
-0.00271003
-0.00271003
-0.00406504
εx
0
0.0027248
0.00544959
0.00681199
0.00681199
0.00899183
0.01117166
0.01335150
0.01553134
0.01771117
ν
0.49728997
0.24864499
0.39783198
0.39783198
0.30138786
0.24258047
0.20297550
0.17448771
0.22951845
σ [MPa]
0.725
1.769
3.463
3.517
3.803
5.207
6.747
8.009
9.061
9.879
ESTUDIO EXPERIMENTAL DEL MATERIAL 34
Universidad Simón Bolívar
Tabla 5.3 (Continuación) : Cálculos realizados para el ensayo 2T-100 a partir de la data mostrada en la
Tabla 5.2
εy
-0.00406504
-0.00406504
-0.00406504
-0.00542005
-0.00542005
-0.00677507
-0.00677507
-0.00813008
-0.00813008
-0.00948509
-0.01084011
-0.01219512
-0.01355014
-0.01490515
-0.01626016
-0.01761518
Tiempo [s]
1.61
1.72
1.83
2.02
2.21
2.40
2.59
2.78
3.38
3.98
4.58
5.18
5.78
6.38
6.98
7.58
εx
0.01989101
0.02207084
0.02425068
0.02833787
0.03242507
0.03651226
0.04059946
0.04468665
0.05831063
0.0719346
0.08555858
0.09918256
0.11280654
0.12643052
0.1400545
0.15367847
ν
0.20436574
0.18418147
0.16762583
0.19126537
0.16715629
0.18555596
0.16687583
0.18193536
0.1394271
0.13185719
0.12669808
0.12295631
0.12011835
0.11789202
0.11609883
0.11462358
σ [MPa]
10.816
11.452
11.658
12.647
13.236
14.108
14.826
15.355
17.678
20.397
23.454
27.439
31.817
36.864
41.880
46.480
Para visualizar lo dicho anteriormente, por lo cual se eliminó la parte plana observada en las curvas
fuerza-desplazamiento arrojadas por el banco de pruebas, se muestra la Figura 5.11 que representa la
relación entre la deformación y el tiempo de ensayo. Este procedimiento fue aplicado en todos los ensayos
para hallar la velocidad de deformación y cerciorarse que la parte plana (presente en todas las curvas
arrojadas por el banco) no sea producto del comportamiento del material. En particular, estos puntos
corresponden al ensayo 1U-1.
Deformación
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0
100
200
300
400
500
600
700
800
Tiempo de ensayo (s)
Figura 5.11: Deformación medida mediante los videos vs. tiempo de ensayo
Como ya se había dicho, entre los 40 y 130 segundos de este ensayo la deformación se mantiene
constante, tal como ocurre con el esfuerzo. Por esto es posible que la parte plana observada en la figura
5.9 sea producto de algún juego en el banco de pruebas. Físicamente, el hecho de que se hayan mantenido
inalterados las cargas y las deformaciones en un cierto periodo de tiempo fue equivalente a una detención
momentánea del ensayo.
ESTUDIO EXPERIMENTAL DEL MATERIAL 35
Universidad Simón Bolívar
A continuación (Figura 5.12) se muestra el ajuste de la mayoría de los puntos de la Figura 5.11 para
obtener la velocidad de deformación. Junto a ella se adjunta la ecuación de la recta que la ajusta, cuya
pendiente es la velocidad de deformación.
Deformación
0,2
0,15
0,1
y = 0,000246x - 0,0231
R² = 0,9992
0,05
0
0
100
200
300
400
500
600
700
800
Tiempo de ensayo (s)
Figura 5.12: Obtención de la velocidad de deformación
Existen algunas gráficas de este tipo donde la parte plana observada en la Figura 5.11 se alcanzó para
una carga más alta (unos 15 [Kgf]), en esos casos se modificaron los puntos, restándoles el tiempo en el
cual la deformación se mantenía constante (como se hizo en las curvas fuerza-desplazamiento) para tener
una recta que parta del origen. En la mayoría de los casos esto no se hizo debido a que por debajo de la
meseta habían muy pocos puntos (menos de cinco) con pendiente similar al resto de la gráfica y además
muy juntos entre sí, así que la pendiente del ajuste variaba poco al considerar tales puntos.
Ahora, se presentan las curvas de esfuerzo-deformación tanto para la trama (Figura 5.13) como la
urdimbre (Figura 5.14), para las distintas velocidades de deformación ensayadas. Las curvas esfuerzodeformación presentadas en este trabajo son promedios entre las tres curvas obtenidas para cada
configuración.
50
45
Esfuerzo (KN/m)
40
35
30
2.46E-04
25
1.14E-02
20
2.22E-02
15
1.12E-01
10
5
0
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
Deformación
0,12
0,14
0,16
0,18
Figura 5.13: Comparación entre las curvas esfuerzo-deformación de la trama (θ = 0°) para distintas
velocidades de deformación, en [1/s]
Esfuerzo (KN/m)
ESTUDIO EXPERIMENTAL DEL MATERIAL 36
Universidad Simón Bolívar
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
1.09E-01
2.20E-02
1.14E-02
2.45E-04
0
0,05
0,1
Deformación
0,15
0,2
Figura 5.14: Comparación entre las curvas esfuerzo-deformación de la urdimbre (θ = 90°) para distintas
velocidades de deformación, en [1/s]
Como se mencionó anteriormente, el material en la dirección de la urdimbre es menos rígido a tracción
que en la dirección de la trama. En las Figuras 5.15 y 5.16 se muestran comparaciones entre curvas
obtenidas en ambas direcciones para dos velocidades distintas de deformación (2.5E-4 [1/s] y 1.1E-1
[1/s]).
Como se ve en las Figuras 5.13 y 5.14, las velocidades para las gráficas comparadas no son exactamente
iguales (por ejemplo, se comparan en la Figura 5.15 dos curvas cuya es 2.46E-4 [1/s] para la trama, y
2.45E-4 para la urdimbre) pero el efecto de diferencias tan pequeñas en este aspecto, tomando en cuenta
las variaciones mostradas ante diferencias notables en es mínimo en las comparaciones que se pretenden
hacer.
40
Esfuerzo (KN/m)
35
30
Trama, carga
25
Urdimbre, carga
20
Urdimbre, descarga
15
Trama, descarga
10
5
0
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0,16
Deformación
Figura 5.15: Comparación entre las curvas esfuerzo-deformación de la trama y la urdimbre, a una
velocidad de deformación de 2.45E-4 [1/s]
Esfuerzo (KN/m)
ESTUDIO EXPERIMENTAL DEL MATERIAL 37
Universidad Simón Bolívar
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
Urdimbre
Trama
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0,16
0,18
Deformación
Figura 5.16: Comparación entre las curvas esfuerzo-deformación de la trama y la urdimbre, a una
velocidad de deformación de 1.1E-1 [1/s]
Se muestra ahora una de las gráficas construidas para evaluar el módulo de Poisson en función de la
deformación (Figura 5.17), debido a que en la Tabla 5.3 se observó una dependencia entre estos
parámetros. Se compararon los comportamientos del módulo de la trama con el de la urdimbre
Módulo de Poisson
0,6
0,5
0,4
Urdimbre
0,3
Trama
0,2
0,1
0
0
0,05
0,1
0,15
0,2
Deformación
Figura 5.17: Comportamiento del módulo de Poisson ante la deformación
Por último, se hizo una comparación entre las curvas a tracción en las tres direcciones estudiadas: 0°,
45° y 90° (Figura 5.18). A partir de curvas de este tipo se determina el módulo de corte a usar en un ajuste
lineal anisotrópico.
ESTUDIO EXPERIMENTAL DEL MATERIAL 38
Universidad Simón Bolívar
40
Esfuerzo [KN/m]
35
30
25
Corte (45 )
20
Urdimbre (90 )
15
Trama (0 )
10
5
0
0
0,1
0,2
0,3
Deformación
0,4
0,5
0,6
Figura 5.18: Comparación entre comportamientos del material a tracción uniaxial a distintas orientaciones
( = 2.45E-4 [1/s])
5.3 Discusión resultados experimentales
Antes de discutir de manera particular los resultados obtenidos, hay que hacer mención a que en general,
debido a los instrumentos utilizados en los ensayos, pueden presentarse fuentes serias de error. Las
probetas fueron preparadas con sumo cuidado, creando un patrón para luego cortarlas todas de la misma
forma, medidas con vernier después para determinar el ancho inicial y revisando que efectivamente las
fibras estén a 90° y sean paralelas a los bordes.
Sin embargo la ubicación inicial de las probetas en el rollo de material podría influir en los resultados
[9]. Se cuidó de cortarlas en la zona central del pedazo disponible, lejos de los bordes, pero se desconoce
si las propiedades en el centro son completamente homogéneas.
Por otro lado, está el hecho de usar un banco de pruebas de gran capacidad. La existencia de una zona
plana en todas las gráficas fuerza vs. deformación da una pista de los errores de apreciación no medibles
que puede arrojar el uso de una máquina diseñada básicamente para ensayos de metales. Al menos, la
celda de carga con un error de 1% sobre el valor de medición es una buena aliada.
La medición de los desplazamientos mediante las filmaciones es otra importante fuente de error. Como
se muestra en la Figura 5.8, no es fácil distinguir los bordes de las líneas de las referencias, y lo mismo
con los centros. Esto causa gran incertidumbre sobre los resultados, en especial los de la deformación
transversal por efecto Poisson. Todo esto podría resolverse con una cámara especializada para videos con
gran acercamiento, como la de un video-extensómetro.
Existen autores como Chivante [21] quienes han desestimado el uso de ensayos a tracción uniaxiales
debido a, entre otras razones, la ondulación que sufren las probetas en la dirección transversal al ejecutar
el ensayo, el cual obviamente distorsiona los resultados. Sin embargo, viendo las imágenes del trabajo
mencionado, se observa que la probeta usada era de tamaño considerable, probablemente siguiendo el
protocolo establecido por Blum et al. [10].
Ahora, en el presente estudio, utilizando probetas de mucho menor tamaño, se afirma que no existe
ningún tipo de ondulaciones en los ensayos de la trama y urdimbre: la probeta permanece perfectamente
plana. De hecho, la Figura 5.19 (vista ampliada de donde se obtuvieron las Figuras 5.7 y 5.8) corresponde
a un instante cercano a la ruptura. Así que, desde ese punto de vista, se puede confiar en la validez de los
ESTUDIO EXPERIMENTAL DEL MATERIAL 39
Universidad Simón Bolívar
resultados. Por otro lado, a corte la ondulación observada es fuerte, razón por la cual no se hacen muchas
referencias a esos resultados.
Figura 5.19: Vista de una probeta a tracción ante un esfuerzo de 30 [KN/m]
Por último, la longitud de las probetas podría ser una fuente de error con un origen más allá de la
apreciación de los instrumentos utilizados. Es posible que la concentración de esfuerzos en la mordaza
llegue a alcanzar el centro de la probeta, alterando los resultados ya que el esfuerzo equivalente podría
deberse a esfuerzos adicionales a la tracción.
Con respecto a las Figuras 5.13 y 5.14, lo primero que se observa es la presencia de la viscoelasticidad
en el material. Como se suponía, el aumentar la velocidad de deformación hace que cambie de una manera
más o menos significativa la respuesta del material, haciéndose éste más rígido. También se nota que el
efecto de la viscoelasticidad aumenta con la deformación, como encontró Bles et al. [18] en el
comportamiento de tejidos de nylon. Es de notar también el cambio de concavidad de las curvas hacia la
zona cercana a la ruptura, esto probablemente se atribuya a la ruptura de fibras antes de la falla completa
del material.
Las probetas, como cabría esperar, fallaron en la mordaza debido a que no poseían el cuello
característico de una muestra ensayada a tracción. Por esto, seguramente el esfuerzo a ruptura resultaría
ser más bajo que en la realidad (de hecho, según el fabricante [11], el material rompe a 56 KN/m, y en
estos ensayos se reportaron en promedio 48 KN/m). Pero como el objetivo del trabajo no es evaluar el
punto a ruptura, este error se pasa por alto.
Ahora bien, sí es posible que la utilización de una probeta más ancha en los agarres y con la misma
sección transversal en el medio dé como resultado un esfuerzo de ruptura más alto, y una aparición más
tardía del cambio de concavidad previo a la ruptura.
No hay diferencias significativas entre el comportamiento de la trama y la urdimbre. En general, el
material reaccionó tal como se esperaba en este sentido [13].
En cuanto a la Figura 5.15, es de apreciar la poca diferencia entre las respuestas a la deformación en las
direcciones de la trama y urdimbre. Confirma lo afirmado por el fabricante [11] y por Blum [9], que el
proceso de fabricación permite equiparar las propiedades a tracción en los dos sentidos principales.
Por otro lado, a una velocidad muy baja de deformación, igual se hace presente una amplia vuelta de
histéresis, por lo cual es muy probable que también la pérdida de energía por este concepto sea producto
de la elasto-plasticidad del material, además de la viscoelasticidad. Un punto que favorece esta afirmación
es la amplia deformación remanente, de casi el 50% de la deformación máxima alcanzada en el ensayo.
Incluso la respuesta histerética es similar para las dos direcciones.
ESTUDIO EXPERIMENTAL DEL MATERIAL 40
Universidad Simón Bolívar
Con respecto a la Figura 5.16 no hay mucho que agregar, debido a que también hay un parecido evidente
entre las curvas mostradas en esta ocasión por las dos direcciones principales. Ciertamente, existe una
mayor semejanza en este caso que para los ensayos más lentos, pero eso es más atribuible a errores
experimentales que a algún fenómeno en particular.
Módulo de Poisson
En la Figura 5.17 se puede apreciar un comportamiento decreciente en el módulo de Poisson desde
valores cercanos al máximo teórico de 0,5 hasta un bajo 0,1. La presencia de este comportamiento en el
módulo de Poisson no es exclusiva de este material, existen materiales poliméricos tipo goma
considerados compresibles que poseen curvas de este tipo en este apartado [30], como se muestra en la
Figura 5.20
Deformación
Figura 5.20: Material polimérico tipo goma con un módulo de Poisson dependiente de la deformación, de
forma similar a la del material estudiado [30]
Sobre la medición de estos parámetros pesan errores grandes asociados a la medición de las
deformaciones a partir de los videos. En especial en deformaciones bajas, donde las transversales son
prácticamente imperceptibles, los errores pueden ser gigantes, por eso hay puntos donde ν pasa de 0,5
(teóricamente imposible) y otros que no siguen una tendencia definida. Cuando las deformaciones se
hacen más grandes y las transversales son más perceptibles (con errores más pequeños por tanto), se
observa que los valores empiezan a seguir una línea de tendencia.
Apartando los valores desordenados que están en la zona izquierda de la gráfica, las dos curvas se
comportan más o menos parecido, con valores ligeramente más altos para los módulos de la urdimbre.
Hasta que se hagan mediciones de mejor calidad, puede suponerse que efectivamente los módulos de
Poisson son iguales para las dos direcciones.
Por último, según la Figura 5.18, se puede observar que la rigidez de una probeta orientada a 45°
respecto a las fibras es mucho menor que las orientadas a 0° y 90° para una misma velocidad de
deformación, razón por la cual en un paraboloide hiperbólico siempre se orienta el tejido de manera que
los hilos vayan en la dirección que va desde un vínculo al otro opuesto.
Debido a las grandes deformaciones que puede tomar el material (hasta de 0.5) con bajos esfuerzos, la
plasticidad (deformación remanente) podría ser enorme lo cual causaría una veloz pérdida de la pretensión
de la membrana solamente con aplicar cargas cíclicas, quizás aún sin considerar la viscoelasticidad.
ESTUDIO EXPERIMENTAL DEL MATERIAL 41
Universidad Simón Bolívar
Asumiendo correctos los resultados (fueron mencionadas anteriormente las razones por las cuales se
consideran dudosos los valores arrojados por los ensayos a corte), se calculó la relación entre las rigideces
a corte y a tracción.
Tomando en cuenta que el esfuerzo de tracción (en una dirección llamada x*) tiene un ángulo de 45° con
las fibras (ejes x e y), que la deformación en esa dirección es εx* (medida directamente mediante los
videos), que en la dirección perpendicular a la tracción no hay esfuerzos aplicados y su deformación es εy*
(menor a cero y también medida con los videos); es posible determinar el esfuerzo cortante τxy en función
de la deformación a corte γxy [12]. Luego, colocando la deformación de las probetas a 0° y 90° en el mismo
eje que γxy, es posible comparar directamente los módulos de elasticidad y corte.
Se observó que el módulo de corte (análogo no lineal del módulo de corte), es para un rango de
deformaciones de 0-15% entre 16 y 18 veces menor que el módulo de elasticidad en la dirección de las
fibras. Esto está cerca del valor común mencionado por Bridgens et al. [21], quien mencionó que como
regla general se usa una relación 1-20. Este dato es útil a la hora de modelar el material como lineal
elástico. Sin embargo, hasta que no se mejoren los ensayos a corte, no se pueden sacar conclusiones
finales.
5.4 Ajuste al modelo constitutivo viscoelástico y validación
Una vez tenidas curvas como las de las Figuras 5.13 y 5.14, se procede a ejecutar el procedimiento
expuesto en la Sección 4.3.3. En caso de no tener directamente las series de puntos a una misma
deformación para construir los gráficos esfuerzo vs. velocidad de deformación, se realizan interpolaciones
entre los puntos que describen a las curvas mostradas en las Figuras 5.13 y 5.14. Una vez hecho esto y
determinadas las deformaciones para las cuales hacer el estudio, se procede a elaborar un gráfico similar al
siguiente (Figura 5.21)
45
ε = 0.01
40
Esfuerzo (KN/m)
35
30
25
20
15
10
5
0
0,0001
0,001
0,01
0,1
1
Velocidad de deformación (1/s)
Figura 5.21: Variación de σ vs.
para valores fijos de deformación (urdimbre)
ε = 0.05
ε = 0.09
ε = 0.12
ε = 0.14
Ajuste
logarítmico
ESTUDIO EXPERIMENTAL DEL MATERIAL 42
Universidad Simón Bolívar
Como especifica la metodología, se ajustan las curvas a rectas logarítmicas, cuyas pendientes m y cortes
con el eje de esfuerzos b cambian con respecto a la deformación. En las Figuras 5.22 y 5.23 se muestran
sus gráficas, m(ε) y b(ε).
Una vez tenidas estas curvas, ya puede predecirse el comportamiento a tracción uniaxial del material
para cualquier velocidad de deformación. Para validar el modelo propuesto, se procede a construir
mediante la Ecuación 4.1 el ajuste para algunos ensayos realizados. Las comparaciones se muestran en las
Figuras 5.24 y 5.25.
2,5
m (KN/m)
2
1,5
1
0,5
0
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0,16
0,12
0,14
0,16
Deformación
Figura 5.22: Gráfica de m(ε)
50
b (KN/m)
40
30
20
10
0
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
Deformación
Figura 5.23: Gráfica de b(ε)
ESTUDIO EXPERIMENTAL DEL MATERIAL 43
Universidad Simón Bolívar
35
Esfuerzo (KN/m)
30
25
Modelo
viscoelástico
logarítmico
20
15
Experimental
10
5
0
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0,16
Deformación
Figura 5.24: Validación modelo viscoelástico para el ensayo de la urdimbre,
= 2.45E-4 [1/s]
45
Esfuerzo (KN/m)
40
35
30
Modelo
viscoelástico
logarítmico
25
20
Experimental
15
10
5
0
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0,16
Deformación
Figura 5.25: Validación modelo viscoelástico para el ensayo de la urdimbre,
= 2.2E-2 [1/s]
5.5 Discusión del modelo propuesto
Se puede observar que a pesar de estar aplicado para otro material, el modelo constitutivo planteado por
Bles et al. [18] se ajusta muy bien al comportamiento de la membrana de PVC y poliéster. Además de
tener una relación logarítmica con la velocidad de deformación para un valor fijo de deformación, el
esfuerzo también se ajusta casi perfectamente (con errores siempre menores al 5%) a las curvas
experimentales. Incluso se vio un gran ajuste con la curva de la urdimbre con = 2.2E-2 [1/s], la cual
según la Figura 5.22 era la que más lejos estaba de la línea de tendencia para casi cualquier deformación.
ESTUDIO EXPERIMENTAL DEL MATERIAL 44
Universidad Simón Bolívar
Podría modelarse incluso la pérdida de la rigidez justo antes de la ruptura, indicio de ello es la forma de
las curvas m y b, que sólo dependen de la deformación. Entonces, viendo esto, se observa que esa pérdida
de rigidez es un fenómeno puramente elasto-plástico.
El ajuste realizado es confiable (más allá de los errores de apreciación y/o experimentales) debido a que
se emplearon para construir las gráficas valores extremos e intermedios de velocidades de deformación y
todos fueron modelados de manera excelente. Es muy difícil que por mera casualidad unos errores hagan
que unos datos se ajusten correctamente al modelo planteado cuando en la realidad no funcione. Así que
tal vez los valores estén algo desviados, pero la tendencia del comportamiento viscoelástico se puede
considerar correcta.
BANCO DE PRUEBAS ESTRUCTURAL 45
Universidad Simón Bolívar
CAPÍTULO VI
BANCO DE PRUEBAS ESTRUCTURAL
Otro de los medios para la ejecución del proyecto, además del modelo matemático, es el banco
de pruebas que simulará la pérdida de pretensión en una estructura de membrana debido a efectos
climáticos controlados. Esta mini estructura dispuesta en el Instituto de Materiales y Modelos
Estructurales (IMME) de la Universidad Central de Venezuela (Figura 6.1) dispone de tres
equipos que recrean fenómenos climáticos tales como el cambio de la temperatura, de la
humedad y los vientos fluctuantes.
Figura 6.1: Vista general del banco de pruebas estructural
Para la temperatura fueron dispuestos una serie de faros de rayos infrarrojos que calientan la
estructura mediante radiación (se pueden apreciar debajo de la membrana en la Figura 6.1). Su
accionar se regula por un sistema de control que estabiliza esta variable cuando así se requiera.
Una serie de aspersores mantienen una cantidad determinada de humedad relativa dentro de una
cámara cerrada durante el ensayo. Este parámetro también se maneja mediante un controlador.
Para simular las cargas de viento sin utilizar un túnel de viento, se asume que la fuerza de la
corriente de aire se traduce en presión sobre la membrana, como se estipula en normas
arquitectónicas. Entonces, un colchón medio inflado es impulsado en dirección descendente para
crear presión sobre la membrana. La poca presión dentro del colchón hace que éste se pueda
adaptar a la forma de la estructura mientras es inflado, con el fin de homogeneizar la carga lo
mejor posible.
BANCO DE PRUEBAS ESTRUCTURAL 46
Universidad Simón Bolívar
Para activar el movimiento del colchón, se dispone sobre la estructura base del banco un gran
marco móvil cubierto de tablas en su parte inferior para lograr un aplastamiento uniforme.
(Figura 6.2).
Figura 6.2: Dispositivo de aplicación de cargas de presión sobre la estructura
El marco es impulsado por un motor de accionamiento lineal dispuesto en su centro (Figura
6.2). Es utilizado comercialmente en el elevador del respaldar en camas de clínicas, y funciona
mediante un tornillo sin fin que acciona una cremallera (la que permite el movimiento lineal). El
motor permite un movimiento oscilatorio del marco con un periodo de 1,6 segundos. Mediante
una celda de carga se puede medir la fuerza vertical equivalente aplicada sobre el colchón, y de
ahí a la membrana.
La estructura base de acero posee varios agarres que permitirán posteriormente el estudio sobre
otras configuraciones de paraboloides hiperbólicos. En este proyecto se trabaja sobre uno que
posee una luz (denominada s en la Figura 6.3) de 2,7 metros, con una flecha (h en la Figura 6.3)
de 30 [cm].
BANCO DE PRUEBAS ESTRUCTURAL 47
Universidad Simón Bolívar
s
h
Figura 6.3: Principales dimensiones de un paraboloide hiperbólico [17]
De la estructura base se sujetan cuatro barras tensoras, mostradas en las Figuras 6.4 y 6.5 (dos
de ellas poseen celdas de carga y se sitúan a 90° una de la otra para poder medir las tensiones en
las dos diagonales). Se utilizan para introducir la tensión a la estructura sin tener que utilizar
equipos para engancharla a los apoyos (se instala sin tensión, y mediante las barras se va
cargando poco a poco).
Del otro extremo de las barras van dos planchas atornilladas que sujetan la membrana y las
guayas (Figura 6.4). Estas últimas van dispuestas a los costados de la tela para homogeneizar la
pretensión en las zonas que están fuera de las diagonales principales. Se alojan dentro de unos
bolsillos unidos a la membrana principal mediante un vulcanizado (apreciables en la Figura 6.5).
A través de las planchas pueden graduarse sus pretensiones sin mover las barras tensoras.
Figura 6.4: Plano de las barras tensoras y de las planchas de sujeción para membrana y guayas
BANCO DE PRUEBAS ESTRUCTURAL 48
Universidad Simón Bolívar
Figura 6.5: Vistas de las barras tensoras, planchas de sujeción de la membrana y guayas, y
bolsillos
ANÁLISIS ESTRUCTURAL EN ELEMENTOS FINITOS 49
Universidad Simón Bolívar
CAPÍTULO VII
ANÁLISIS ESTRUCTURAL EN ELEMENTOS FINITOS
7.1 Planteamiento del modelo
Para diseñar el modelo en elementos finitos que ha de representar el comportamiento de la estructura,
hay que delinear sus características generales. Entre las más importantes están: estructura modular (para
que sea innecesario hacer el análisis desde cero si se cambian aspectos como el modelo geométrico, la
magnitud de las cargas, el tipo de análisis; sino que ese ítem a cambiar pueda ser extraído de un archivo de
origen para ser implementado directamente en el modelo principal) y capacidad de ser empleado, con la
menor cantidad de modificaciones posible, en las otras fases del proyecto. Para este trabajo se pretende
predecir la reacción de la estructura ante cargas de presión que simulan el viento.
Por ser un software ampliamente utilizado y reconocido, y por tener con ello mayor posibilidad de
retroalimentación con otros usuarios en caso de problemas, análisis de resultados, consultas, etc.; así como
de dejar el proyecto de forma que otra persona pueda continuar el trabajo sin mayores problemas, es
escogido el software Ansys, más específicamente la versión APDL. Esto, porque dada la complejidad del
proyecto, se requiere mayor control del usuario al definir los parámetros de entrada para evitar resultados
erróneos. Además el lenguaje de programación APDL facilita el construir un análisis modular.
El análisis debe ser lo más simple posible. Por eso, no se consideran los detalles geométricos de la
estructura estudiada, como las uniones de los cortes del patronaje, los bolsillos donde son alojadas las
guayas de borde o las piezas que unen la membrana con los tensores de apoyo.
Por otro lado, el análisis de la pérdida de la pretensión es de tipo dinámico-transitorio, y necesita un
punto de partida el cual será constituido por un análisis estático como los presentados en este trabajo. De
manera que el modelo debe ser creado pensando en la ejecución posterior del software Ansys-LS DYNA,
diseñado para esas simular esas condiciones.
7.1.1 Modelos de material a utilizar
Debido a que este es un punto de partida para el posterior análisis de relajación de membrana, no se
introduce por el momento un modelo constitutivo que describa la visco-elasto-plasticidad biaxial (de no
estar disponible un modelo similar en la biblioteca del software, habría que programarlo).
El objetivo es, como se mencionó en el capítulo 1, evaluar la respuesta de la estructura ante cargas
estáticas. En vista de eso, se ejecutan los análisis con modelos independientes del tiempo (sin efectos
viscosos). El modelo viscoelástico planteado en el capítulo anterior no es introducido directamente porque
las relaciones constitutivas viscoelásticas de los que dispone el programa, aún siendo simples, requieren
de una curva de creep.
Se plantean tres tipos de modelos, en base a lo que se ha visto del material en los Capítulos 4 y 5:
elástico lineal isotrópico, elástico lineal ortotrópico y elasto-plástico isotrópico. Se ejecutarán análisis con
todas esas relaciones para ser luego comparados sus resultados. No se contempla emplear una relación
elasto-plástica ortotrópica porque los modelos del software que permiten introducir curvas del material
sólo admiten relaciones isotrópicas.
ANÁLISIS ESTRUCTURAL EN ELEMENTOS FINITOS 50
Universidad Simón Bolívar
7.1.1.1 Modelo elástico lineal isotrópico
Es el más sencillo de todos. Fue asumido para verificar las corridas de los análisis en la estructura. El
módulo de elasticidad asumido es de 800 [MPa], que es aproximadamente el valor de la rigidez inicial del
material con = 2.45E-4 [1/s]. Debido a que el comportamiento a tracción es muy similar en la trama y la
urdimbre, asumir un mismo módulo de Young para las dos direcciones del tejido no ha de traer grandes
errores.
En las primeras corridas, se observó que la máxima deformación reportada es menor a 0,01; donde
según la Figura 5.17 hay muchos puntos donde el módulo de Poisson vale entre 0,2 y 0,3. Así que se
asume en general un valor de ν = 0.25. Sin embargo, se hará un análisis del efecto del módulo sobre los
resultados.
7.1.1.2 Modelo elástico lineal ortotrópico
Similar al anterior, aunque requiere de más constantes (9) para definir la matriz de rigidez D [12]. Los
módulos que tengan relación con el eje z (espesor del material) se consideran nulos (casi cero para que el
programa pueda funcionar). El módulo de Poisson se asume igual a 0.25, por lo dicho anteriormente. El
módulo de corte asumido, según el criterio determinado en el capítulo anterior, resulta ser alrededor de 17
veces menor al módulo de Young de la dirección de la trama.
Se asumen dos modelos de este tipo: uno con igual módulo de Young en ambas direcciones y otro con
distintos módulos para la trama y urdimbre. La diferencia observada en los comportamientos a tracción
entre la trama y la urdimbre (según los resultados del capítulo anterior) resultó en una proporción de
rigideces aproximada de 12:11 respectivamente. Se busca con este segundo modelo ver el efecto de la
anisotropía sobre los resultados.
Para el primer modelo, se asume una rigidez a la trama Ex de 800 [MPa], una rigidez a la urdimbre Ey de
733 [MPa] y un módulo de corte de 47.5 [MPa]. Posteriormente, un nuevo modelo no lineal fue
determinado (ver Sección 7.1.1.3), cuya rigidez tangente inicial fue de 600 [MPa]. Para este caso, se
asumieron un único módulo de Young de 600 [MPa] y un módulo de corte de 35 [MPa].
7.1.1.3 Modelo elasto-plástico no lineal isotrópico
El software posee en su biblioteca múltiples modelos constitutivos, la mayoría de los cuales requieren
muchas constantes que son difíciles de determinar mediante experimentos (es complicado saber hasta qué
significan físicamente), básicamente porque su aplicación es para casos muy particulares (lo mismo ocurre
con los modelos viscoelásticos). Debido al objetivo general y específico de esta etapa del proyecto, el
modelado del material es menos riguroso (es necesario para el objetivo final del proyecto programar un
modelo particular para simular el material, como ya existen en Ansys, ejemplo el tipo Gasket [6]).
Debido a estas razones, el modelo elasto-plástico a asumir es el multilineal, en donde se introduce de
manera directa la curva ingenieril del material [6] (como las mostradas en el Capítulo 5). El programa
transforma la curva a una de esfuerzos reales vs. deformaciones logarítmicas de Hencky, debido a las
grandes deformaciones. Se calcula con este modelo cinemático para evitar las incongruencias que genera
en estos casos el uso de las deformaciones ingenieriles o infinitesimales [12]. Este modelo debe ser
acompañado con uno lineal isotrópico [6].
No es conveniente hacer énfasis sobre los detalles de la formulación matemática (explicada
detalladamente en [6]) debido a que es diseñada básicamente para simular el comportamiento elasto-
ANÁLISIS ESTRUCTURAL EN ELEMENTOS FINITOS 51
Universidad Simón Bolívar
plástico de metales. En el rango plástico, la respuesta al descargar un metal difiere de la de un polímero, lo
cual conlleva errores que serán mostrados posteriormente; además el modelo debe ser isotrópico. Entre los
modelos multilineales se puede seleccionar entre el isotrópico (MISO) y el cinemático (KINH). Su
diferencia más palpable está en el modelado de la respuesta ante la descarga (Figuras 7.1 y 7.2).
En el modelo MISO (Figura 7.1) se ve que al descargar el material, éste responde bajando con la rigidez
inicial hasta que se alcance a compresión el valor del esfuerzo máximo introducido en la curva. Como las
tensoestructuras sólo trabajan a tensión, entonces el esfuerzo sólo puede bajar hasta cero, quedando una
deformación remanente por plasticidad.
Figura 7.1: Respuesta del modelo elasto-plástico multilineal isotrópico (MISO) [6]
En el modelo multilineal cinemático (KINH), la respuesta a la descarga es distinta. Luego de retirar la
carga, la curva baja con pendiente igual a la inicial hasta que se alcanza el valor del esfuerzo máximo
menos el doble del de el punto 1. Luego, adquiere la pendiente entre el segundo y tercer punto y baja hasta
alcanzar el esfuerzo máximo menos el doble del de el punto 2 (Figura 7.2). Y así hasta que, en este caso
particular, el esfuerzo se haga cero.
Figura 7.2: Respuesta del modelo elasto-plástico multilineal cinemático (KINH) [6]
Para determinar qué tipo de modelo utilizar, se realizará un ajuste del material introduciendo la curva en
ambos métodos, y siguiendo la teoría se predecirán las respuestas del material a la descarga en los dos
modelos, siendo comparadas con un experimento de descarga como el mostrado en la Figura 5.15. (Figura
7.3)
De estas curvas se puede observar que el mejor modelo ajustado a la descarga es el MISO, así que la
curva de material será introducida en esta relación constitutiva. Para la carga, en el caso anterior, sólo
fueron empleados cinco puntos de la curva debido a que, si resultaba ser mejor el modelo KINH, sería
bueno hacer mayores simplificaciones para disminuir el costo computacional. Y sin embargo, la curva de
carga se sigue modelando muy bien.
ANÁLISIS ESTRUCTURAL EN ELEMENTOS FINITOS 52
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35
Carga
experimental
Esfuerzo (KN/m)
30
Descarga
experimental
25
20
Descarga según
modelo MISO
ANSYS
Descarga según
modelo KINH
ANSYS
Carga según
modelo
multilineal
15
10
5
0
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0,16
Deformación
Figura 7.3: Elección del modelo elasto-plástico multilineal según su ajuste a la descarga
En este punto es donde de forma implícita y aproximada el efecto viscoelástico será considerado. Hay
que tomar en cuenta que el motor del banco de pruebas del IMME es capaz de hacer cada ciclo de carga
en un tiempo de 1,6 minutos. Eso implica una velocidad de deformación sobre las fibras más solicitadas:
las que van en la dirección cóncava hacia arriba. Se asumirá entonces que todas las fibras de la membrana
se deforman a esa misma .
Claro, la aproximación está en el hecho de que los diversos sectores de la membrana se deformarán a
distintas velocidades debido a que la distribución de esfuerzos no es homogénea, eso se corregirá cuando
en futuros trabajos sea implementado de lleno el modelo viscoelástico. Así que se ha de determinar de
manera aproximada la velocidad de deformación promedio en la zona mencionada al aplicar una presión
de 800 [Pa]. Al ejecutar análisis preliminares con modelos elásticos lineales, se determinó que la deflexión
en el centro de la membrana está alrededor de los 3 [cm].
Tomando como aproximación un análisis de la deflexión en una cuerda como el mostrado en la Sección
3.3 (Figura 7.4); y teniendo la deflexión inicial (15 [cm], que es la mitad de la altura de la membrana), la
final (18 [cm]) y el tiempo que tarda el cambio de deflexión (0,8 segundos), se determinó que la velocidad
de deformación en las zonas más solicitadas es = 6.27E-5 [1/s]. Luego se introduce esta velocidad de
deformación en la Ecuación 4.1 para predecir la curva, mostrada con el ajuste de la descarga según el
modelo MISO en la Figura 7.5.
P
Figura 7.4: Aproximación de la velocidad de deformación en la zona cóncava hacia arriba de la membrana
mediante semejanza con la cuerda cargada en el medio
ANÁLISIS ESTRUCTURAL EN ELEMENTOS FINITOS 53
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Esfuerzo (KN/m)
30
25
Curva calculada por
modelo constitutivo e
introducida a ANSYS
20
15
10
Ajuste descarga por
modelo MISO ANSYS
5
0
0
0,05
0,1
0,15
Deformación
Figura 7.5: Grafica a tracción a introducir en el software Ansys y modelo de la descarga
7.1.2 Geometría y mallado
Para obtener la geometría de la estructura, necesaria para el análisis en elementos finitos, fue necesario
emplear el programa EASY CAD con el cual, utilizando el método de densidad de fuerzas [31], a partir de
los puntos de anclaje y unas cargas estimadas (peso de la lona y vientos); se calculó una forma
aproximada de la estructura. Esta forma fue dibujada en el formato AutoCAD, exportada luego a
SolidWorks (SW) y finalmente introducida en el software Ansys.
A continuación, se muestran varios de los modelos geométricos obtenidos con sus respectivos mallados,
hasta llegar a la versión final. Por un lado, varios modelos tenían problemas en el dibujo que pudieran
impedir la correcta ejecución de un análisis; por otro los mallados obtenidos eran excesivamente
refinados, lo que en algunos casos conllevó a la reparación del dibujo.
7.1.2.1 Primer modelo geométrico
Fue obtenido a partir de AutoCAD siendo exportado a SW mediante la opción "construcción de
sólidos". En AutoCAD solamente se tiene un croquis que representa la forma de la membrana, pero falta
representar las superficies de las que se compone la estructura. Al emplear esta opción en SW se
construyen dichas superficies entre la malla. Es difícil crear una estructura perfectamente curva debido a
que la malla se compone de múltiples líneas rectas cortas. Por tanto, las superficies creadas son planos
dispuestos entre las líneas del croquis. Se muestra el resultado obtenido en la Figura 7.6
Como se verá en esa figura, los espacios entre las líneas de la malla fueron cubiertos por áreas que en la
mayoría de los casos fueron cuadriláteros. Si las 4 líneas de la malla que rodean cada una de estas
secciones no son coplanares, pues las ultimas se separarán en sus bordes, como sucedió en este caso
(Figura 7.7)
Estos defectos se exportan de igual manera a Ansys (Figura 7.8), resultando en una serie de superficies
separadas que no corresponden con la estructura a analizar.
ANÁLISIS ESTRUCTURAL EN ELEMENTOS FINITOS 54
Universidad Simón Bolívar
Figura 7.6: Dibujo de la estructura en SolidWorks exportado de AutoCAD en modo "construcción de
sólidos"
Figura 7.7: Desperfectos en el dibujo en SolidWorks importado desde AutoCAD en modo "construcción
de sólidos"
Figura 7.8: Desperfectos en el modelo Ansys creado a partir del dibujo de las Figuras 6.6 y 6.7
ANÁLISIS ESTRUCTURAL EN ELEMENTOS FINITOS 55
Universidad Simón Bolívar
También se pueden observar en la Figura 7.6 grandes diferencias en el tamaño de los paneles que
conforman el dibujo. Esto podría traer grandes diferencias en la forma y área de los elementos creados
mediante el mallado, lo cual alteraría fuertemente los resultados [6].
7.1.2.2 Segundo modelo geométrico
Dados los problemas con el primer modelo, se importó desde AutoCAD a SW un nuevo dibujo en el
modo "importar sólo líneas" (Figura 7.9)
Figura 7.9: Dibujo de la estructura en SolidWorks importado desde AutoCAD en modo "importar sólo
líneas"
Estas líneas fueron directamente exportadas a Ansys, donde se colocaron líneas diagonales adicionales
para lograr áreas triangulares que garantizaron la coplanaridad. Luego fue ejecutado el mallado, utilizando
para la membrana elementos tipo concha SHELL 181, trabajando exclusivamente a tracción (debido a que
nunca son considerados los esfuerzos en el espesor de la tela, y por tratarse de una tensoestructura), y para
las guayas de borde se emplean elementos tipo barra LINK 10, también capaces solamente de soportar
tensión.
El mallado resultó ser excesivamente refinado (27951 elementos y 27723 nodos) y con grandes
diferencias entre los tamaños de los elementos (son apreciables varios "refinamientos" involuntarios)
producto de que esta vez también se presentaron grandes diferencias entre los tamaños de los paneles, en
especial hacia los bordes.
Es de resaltar en este punto la importancia de hacer que el mallado sea compuesto solamente por
elementos cuadriláteros, ya que aunque los elementos SHELL 181 triangulares funcionan bien en el modo
membrana [6], no son recomendables en el elemento SHELL 163 [6], a ser utilizado en un eventual
análisis dinámico mediante Ansys-LS DYNA. Como se vio que aún agrandando los elementos se iba a
tener todavía una gran cantidad de ellos, se decidió cambiar la geometría por otra que tuviera menor
cantidad de superficies planas.
7.1.2.3 Tercer modelo geométrico
Para disminuir el número de planos, se tuvo que eliminar la mitad de las líneas que componían a la
cuadrícula inicial, para hacer los cuadros mostrados en la Figura 7.9 cuatro veces más grandes. En algunos
casos, se debió trazar nuevas líneas. El resultado final se muestra en las Figuras 7.10 y 7.11. Cabe acotar
que los nodos presentes en el nuevo modelo fueron enteramente tomados, sin alteraciones, del modelo
anterior. Para no crear las áreas en Ansys, se construyeron las superficies desde SW.
ANÁLISIS ESTRUCTURAL EN ELEMENTOS FINITOS 56
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Figura 7.10: Vista superior modelo geométrico 3, creado a partir del mostrado en la Figura 6.5
Figura 7.11: Vista lateral modelo geométrico 3
Se realizaron varios mallados para esta geometría, el primero fue el default, para el cual se obtuvieron
elementos medianos, con gran diferencia de tamaño, y algunos triangulares. Aparte de los problemas
mencionados con las diferencias de tamaño, los elementos triangulares para el SHELL 163 (elemento de
Ansys-LS DYNA, recordar que el paso siguiente a este trabajo es ejecutar el análisis transitorio que
modela la relajación de la membrana) son más rígidos por tener menos grados de libertad en total; por
tanto su presencia numerosa puede traer errores [6].
El segundo mallado se realizó con la ayuda del MeshTool, en donde se estableció un mallado con
elementos cuadriláteros. Como resultado se obtuvo un mallado más uniforme, aunque no lo suficiente; y
todavía la cantidad de elementos fue excesiva con 1700 y 1645 nodos. Tomando en cuenta otras
referencias donde fueron estudiadas estructuras de membrana mediante elementos finitos [1], los
resultados finales, distribuciones de esfuerzos y deformaciones, dependen poco de la cantidad de
elementos, así que conviene disminuir aun más su número.
Por esta razón, se creó un tercer mallado, en este caso en la herramienta MeshSize se aumentó 2 veces el
tamaño de los elementos para que cada triangulación tenga el número mínimo de cuadriláteros (3) (Figura
7.12). Se obtuvieron así finalmente 425 nodos y 457 elementos (393 tipo shell y 64 tipo barra).
ANÁLISIS ESTRUCTURAL EN ELEMENTOS FINITOS 57
Universidad Simón Bolívar
Figura 7.12: Mallado tercer modelo geométrico, 425 nodos y 457 elementos
7.1.3 Aplicación de cargas y condiciones de borde
Sobre la estructura a estudiar, según el diseño del banco de pruebas del IMME, pesan dos tipos de cargas
mecánicas (aparte están la térmica y la higrotérmica): la pretensión y las cargas de viento.
Es incorrecto introducir la pretensión en el programa como una carga puntual, ya que más que
representar física y numéricamente una condición de borde, más bien es parte de la solución debido a que
se manifiesta como un esfuerzo interno y no como una carga aplicada, y por tanto dentro de la resolución
en MEF su efecto es sobre el término de las fuerzas internas (Ecuación 2.2), que es de donde
principalmente se despeja el vector de desplazamientos u en un análisis estático.
En realidad más que como un parámetro de entrada, se puede ver a la introducción de la pretensión en la
membrana como un tipo de semilla de iteración dada al programa que le ayuda a determinar la solución
final si los valores proporcionados son físicamente lógicos.
Es necesario dejar claro lo indispensable que resulta introducir este parámetro en el programa por varias
razones: primero, se ha visto en capítulos anteriores que la carga interna es indispensable para la rigidez
de una tensoestructura, es más, sin ella se pierde la rigidez; a diferencia de otros tipos de estructura donde
la forma es suficiente para proporcionar rigidez. Segundo, una forma puede estar dada por infinitas
soluciones de carga interna, razón por la cual los métodos de búsqueda de forma se ejecutan mediante
métodos de optimización para determinar la distribución de esfuerzos más homogénea o el menor área de
membrana posible.
La introducción de la pretensión se ejecuta mediante la función Initial State del programa Ansys [6]. La
pretensión introducida se obtiene a partir de los análisis realizados en el programa EASY CAD, que trata a
la membrana como una red de cables. Se toman las tensiones perpendiculares a una de las diagonales, se
suman y se dividen sobre la longitud de esa diagonal, para tener un promedio del esfuerzo.
Posteriormente se asume un estado de esfuerzos plano, con esfuerzos iguales aplicados sobre la trama y
la urdimbre. Con esto, se despeja la deformación producto de ese estado biaxial, el cual también se pone
como entrada. Por tanto, la deformación introducida debe cambiar con la rigidez del material.
ANÁLISIS ESTRUCTURAL EN ELEMENTOS FINITOS 58
Universidad Simón Bolívar
Mediante este procedimiento, se establece como input una distribución de esfuerzos uniforme de 1
[KN/m] (1,75 [MPa]), mientras las deformaciones dependen del material utilizado. Ahora bien, como en
el banco de pruebas es difícil lograr de manera exacta el valor de la pretensión calculado por EASY CAD,
en este modelo se puede tantear con la pretensión hasta que se equipare la tensión numérica en los apoyos
con la experimental, para luego hacer las comparaciones. Lo mismo se hace con las guayas, sólo que en
este caso es más fácil, se asume una deformación previa con las constantes reales del elemento.
Las cargas de viento son aplicadas en el banco en forma de una presión uniforme, que va desde cero
hasta 950 [Pa], de forma que se aplica sobre la estructura hasta 225 [Kgf.] de fuerza vertical.
Como condiciones de borde se establecen apoyos simples en las juntas de las tensoras con el marco. De
la Figura 6.5, se puede notar que efectivamente los momentos en dos de las direcciones están
perfectamente permitidos por las bisagras que tienen las tensoras. En la dirección axial de las mismas
podría haber restricción de momentos, pero existe suficiente juego en los componentes para permitir los
desplazamientos de la membrana, así que no se considera como restricción.
7.2 Análisis estructural
7.2.1 Generalidades
El análisis consta de dos partes: determinación de la pretensión y aplicación de cargas de presión. En el
Apéndice B se muestran los resultados gráficos (esfuerzos, desplazamientos, etc.)
7.2.1.1 Análisis de determinación de cargas internas por pretensión
Para reducir el costo computacional en este análisis se puede tomar en cuenta el hecho de que se están
introduciendo cuatro semillas de iteración: una forma muy similar a la definitiva (los desplazamientos
serán mínimos), las distribuciones de esfuerzos y deformaciones de la membrana, y la deformación de las
guayas.
Debido a esto, la iteración debería ser simple a menos que alguno de los parámetros introducidos sea
incorrecto. Tomando en cuenta que éstos fueron tomados de otro análisis numérico, comprobado luego
por el banco de pruebas, este apartado debe estar libre de problemas. Por todo lo anterior, conviene aplicar
el método de Newton Raphson sin análisis incremental [1] para una menor cantidad de cálculos a ejecutar.
Se toman en cuenta los grandes desplazamientos (NLGEOM,ON) y debido a la sensibilidad de la rigidez
con respecto a los desplazamientos (Sección 3.3), se utiliza para la resolución en cualquier análisis de
tensoestructuras el método full Newton Raphson. Debido a la metodología matemática mostrada en la
Sección 3.3 para el cálculo de las tensoestructuras, se escoge un criterio de convergencia en base a las
fuerzas.
Los análisis en general convergen rápidamente, en no más de 20 iteraciones (a veces, hasta en menos de
10), tal como se esperaba. Sin embargo, en ocasiones aparecen mensajes de error por posible presencia de
pandeo (formación de arrugas en las puntas, Figura 7.13), aunque al final nunca se impide la
convergencia.
Sin embargo, eso no debe ser visto como motivo de error: en la realidad esa parte de la membrana es
inexistente y en su lugar está la barra tensora. (Comparar la Figura 7.12 con la Figura 6.5).
Con las semillas de iteración mencionadas, y dependiendo del modelo de material, siempre se obtienen
valores de tensión en los apoyos que oscilan entre 450 y 520 [Kgf]. El modelo de EASY CAD arroja unas
ANÁLISIS ESTRUCTURAL EN ELEMENTOS FINITOS 59
Universidad Simón Bolívar
tensiones de 490 [Kgf], dentro del rango mencionado. Es sencillo tensar experimentalmente la membrana
hasta ese valor. Por tanto, en una primera aproximación, el modelo es adecuado para ejecutar análisis de
esfuerzos en la estructura estudiada.
Figura 7.13: Formación de arrugas en la membrana
En la mayoría de los análisis se presentan algunas concentraciones de esfuerzos puntuales. Pensando que
esto pueda generar errores en los resultados, se refinó el mallado hacia las puntas, con el menor aumento
posible de los elementos. Las transiciones de las líneas de esfuerzo se hicieron más progresivas y los
concentradores se redujeron, pero en ningún caso los resultados de las tensiones en los apoyos variaron
más de 2%. Así que por simplicidad, el mallado se mantendrá como fue propuesta en la Sección 7.1.2.3
para todo el análisis. Sin embargo, es recomendable profundizar próximamente en este tema.
7.2.1.2 Análisis de la aplicación de cargas de presión
Para este análisis son dispuestos, a diferencia del caso anterior, una serie de pasos de carga (load steps)
posteriores a la determinación de la pretensión, para poder construir las gráficas de tensión en ambas
direcciones y deflexión en función de la carga de presión. Dado que esta carga puede crear esfuerzos
mucho más altos que los existentes en la membrana sin cargas, todos estos análisis deben ser
incrementales (determinación de subpasos, Figura 2.2) para facilitar la convergencia. Los análisis
necesitan entre 50 y 100 iteraciones para converger.
7.2.2 Efecto del cambio de propiedades sobre la tensión y el desplazamiento ante cargas
Dadas las suposiciones que se han debido hacer con respecto al modelado del comportamiento del
material, es necesario hacer una evaluación del efecto del cambio de propiedades sobre los resultados,
debido a que para el análisis de resultados es necesario ver en qué grado los posibles errores entre el
modelo y los experimentos se deben a esas suposiciones.
Para esto, se dejan todos los parámetros fijos, menos uno cambiante. Se estudian las variables más
propensas a presentar diferencias entre las del material real y el aproximado: el módulo de Poisson y el
módulo de corte. Incluso se dejan fijas las entradas de la pretensión. Se emplea un modelo elástico
isotrópico para evaluar el efecto de ν, y uno elástico lineal ortotrópico para el efecto de G. Los valores
asumidos en estos modelos fueron explicados en la Sección 7.1.
ANÁLISIS ESTRUCTURAL EN ELEMENTOS FINITOS 60
Universidad Simón Bolívar
Este estudio tiene como antecedente el análisis de Bridgens et al. [17] sobre tensoestructuras. Para las
dimensiones h y s de la membrana de este proyecto se mostró que el efecto del módulo de Poisson y del
módulo de corte sobre la tensión en una de las direcciones de las fibras, y en la deflexión por cargas de
presión; es muy baja. El efecto es mayor, no obstante, cuando las proporciones entre luz y flecha cambian.
7.2.2.1 Resultados
A continuación se presenta la Tabla 7.1, que muestra el cambio de la tensión sin cargas y con una
presión de 800 [Pa], al variar los módulos de Poisson y corte. Se denomina dirección 1 a aquella de las
fibras que están cóncavas hacia arriba. Las fibras cóncavas hacia abajo siguen la dirección 2.
Tabla 7.1: Variación de la tensión por cambios en los módulos de Poisson y corte
G
[MPa]
Isotrópico (340)
Isotrópico (340)
Isotrópico (340)
47.5
85
125
200
300
ν
0.01
0.25
0.49
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
Tensión 1
[N]
4664
4881
5193
4808
4833
4848
4867
4881
T1 (con carga)
[N]
7489
7543
7733
7507
7506
7518
7531
7535
Tensión 2
[N]
4620
4845
5165
4815
4826
4833
4840
4846
T2 (con carga)
[N]
4362
4478
4778
4480
4467
4466
4472
4473
En la Tabla 7.2, se evalúa la variación de la deflexión en el centro de la membrana ante la presión de
800 [Pa] debido a variaciones de los módulos de Poisson y corte.
Tabla 7.2: Variación de la deflexión por cambios en los módulos de Poisson y corte
G
[MPa]
Isotrópico (340)
Isotrópico (340)
Isotrópico (340)
Isotrópico (340)
Isotrópico (340)
47.5
85
125
200
300
ν
0.01
0.1
0.25
0.4
0.49
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
Deflexión
[cm]
3.24
3.22
3.1
3.1
3
2.48
2.77
2.9
3
3.08
ANÁLISIS ESTRUCTURAL EN ELEMENTOS FINITOS 61
Universidad Simón Bolívar
7.2.2.2 Discusión
Se puede observar que la variación del módulo de corte tiene un efecto apreciable sobre la deflexión de
la membrana, aunque uno casi nulo sobre las tensiones de los apoyos.
La disminución de la deflexión con el módulo de corte podría atribuirse a que las guayas al estirarse
tienen la oposición de la membrana en la dirección cortante (debido a que ellas en el medio de su recorrido
entre los apoyos están orientadas a 45° de las fibras, y su estiramiento genera corte). Si la membrana es
rígida a corte, a las guayas les costará más estirarse y con ello la parte intermedia se mantiene más baja.
Con poca rigidez a corte, las guayas tendrán mayor estiramiento y contendrán mejor las deflexiones. De
hecho, se puede ver que las mayores cargas y deformaciones cortantes son en las adyacencias de las
guayas (Figura 7.14).
Aunque apreciables, las diferencias de las distintas deflexiones son menores en el peor de los casos al
25%, así que las diferencias en resultados debido a éste parámetro no serían catastróficas. Estas
diferencias sin duda estarán presentes en los análisis debido a que G = 47.5 [MPa] es el calculado de
forma aproximada para la membrana, mientras que el empleado en los modelos elasto-plásticos es G =
340 [MPa] debido a que el modelo es acompañado por uno lineal isotrópico. Por el otro lado, se puede
tener seguridad de que otras son las fuentes de error en caso de incongruencias en las tensiones.
Figura 7.14: Deformaciones cortantes en una membrana sin cargas de presión
Un módulo de Poisson diferente también puede causar errores numéricos, aunque menos marcados que
los presentes para el módulo de corte (8% para la deflexión, 11% para las tensiones). Mientras más alto es
ν, mayores son las tensiones en la membrana (la dirección 2 se ve ligeramente más afectada) y menores
son las deflexiones.
ANÁLISIS ESTRUCTURAL EN ELEMENTOS FINITOS 62
Universidad Simón Bolívar
Los valores de la deflexión disminuyen cuando el módulo de Poisson es mayor. Esto último se atribuye
a que un mayor módulo rigidiza un elemento sometido a tracción biaxial, ya que las deformaciones serán
menores ante el mismo estado de esfuerzos que con un material con menor ν. Debido al cambio mostrado
en este apartado para bajas deformaciones entre 0,2 y 0,5 (Figura 5.17), ciertos errores son entonces
esperados, pero son menores al 3% para la deflexión y al 7% para las tensiones .
7.2.3 Aplicación progresiva de cargas: relación entre la tensión y los desplazamientos con la presión
aplicada
Tomando en cuenta lo expresado en la Sección 7.2.1.2, se determina la respuesta de la membrana ante
diversos valores de presión. Se emplean varios modelos constitutivos para tratar de visualizar el efecto
sobre los resultados, a manera de continuación del tópico anterior.
Uno de los modelos es el determinado en la Sección 7.1.1.3, cuya velocidad de deformación es
aproximadamente similar a la presentada por las fibras cóncavas hacia arriba (dirección 1) durante la
aplicación de la carga de presión. Otro de ellos es similar al anterior, pero con una mayor velocidad de
deformación ( = 2.45E-4 [1/s]). Por último, se utiliza un modelo lineal elástico ortotrópico, cuyos
módulos de Young son iguales a la rigidez inicial de la primera relación constitutiva (600 [MPa]), y con
un módulo de corte acorde a lo presentado en estructuras de membrana (35 [MPa]).
Para estos casos, la carga de presión se aplica sobre una membrana inicialmente tensada a 460-480
[Kgf], es decir, una recién tensada.
Deflexión central (cm)
Los resultados obtenidos para el comportamiento de la deflexión central se presentan en la Figura 7.15:
5
4,5
4
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
Curva velocidad
rápida deformación
Curva material
lineal anisotrópico
Curva velocidad
deformación
ensayo
0
200
400
600
800
1000
Presión (Pa)
Figura 7.15: Deflexión central vs. presión
Lo primero que se puede apreciar en este gráfico es la no linealidad geométrica asociada a las
tensoestructuras. La tendencia de la curva fue la misma sea o no lineal el comportamiento del material. El
comportamiento de los tres modelos fue bastante uniforme hasta la aplicación de una presión de 600 [Pa],
a partir del cual la simulación de la aplicación lenta de la fuerza cobra unas deflexiones mayores.
Era de esperar que la membrana deflectara menos con una aplicación más rápida de la deformación,
debido a que la viscoelasticidad rigidiza al material si se aumenta la velocidad de deflexión.
ANÁLISIS ESTRUCTURAL EN ELEMENTOS FINITOS 63
Universidad Simón Bolívar
Sobre los 600 [Pa] de presión el modelo lineal deflecta considerablemente menos que el no lineal con
baja velocidad de deformación, por dos razones: la rigidez disminuye en el modelo no lineal con el
aumento de la deformación mientras que en el lineal se mantiene constante. Así que si la rigidez del
segundo es la misma del primero a deformación cero, entonces para todo el rango de ε el material lineal es
más rígido que el no lineal. La segunda razón es la mencionada anteriormente respecto a la influencia de
un bajo módulo de corte, que podría ayudar a rigidizar la membrana. En general, sí es apreciable el efecto
viscoelástico en la respuesta estática de la membrana.
El cambio de tensión en la dirección 1 (diagonal cóncava hacia arriba) se muestra en la Figura 7.16:
8500
Tensión dirección 1 (N)
8000
Curva velocidad
rápida deformación
7500
7000
6500
Curva material lineal
anisotrópico
6000
5500
Curva velocidad
deformación ensayo
5000
4500
4000
0
200
400
Presión (Pa)
600
800
1000
Figura 7.16: Tensión dirección 1 vs. presión
En esta curva se sigue apreciando el comportamiento estructural no lineal. Las tres curvas suben de la
misma forma hasta la aplicación de 600 [Pa], donde la respuesta con el modelo lineal tiende a acercarse a
la que posee material no lineal.
Viendo esto, se ve la necesidad de realizar el mismo análisis pero procurando que las tensiones sean las
mismas en el estado inicial. La menor rigidez del modelo no lineal con la velocidad aproximada de
deformación hizo que las tensiones sean menores que las alcanzadas con otras relaciones, pero las
diferencias siempre son menores a 500 [N], o sea menos del 10% de los valores de las cargas.
En este caso, el tipo de material resultó ser menos influyente que en la variación de la deflexión por el
aumento de la presión.
El cambio de tensión en la dirección 2 (cóncava hacia abajo) en función de la presión aplicada se
muestra en la Figura 7.17
ANÁLISIS ESTRUCTURAL EN ELEMENTOS FINITOS 64
Universidad Simón Bolívar
5300
Tensión dirección 2 (N)
5100
Curva velocidad
rápida deformación
4900
4700
Curva material lineal
anisotrópico
4500
4300
4100
Curva velocidad
deformación ensayo
3900
3700
3500
0
200
400
600
800
1000
Presión (Pa)
Figura 7.17: Tensión dirección 2 vs. presión
Se puede ver en primer lugar que para este nivel de pretensión las tensiones en los apoyos descienden
con una presión baja, para luego subir y hacerse superior a la inicial. Esto se debe a que inicialmente la
carga va en dirección contraria a la fuerza de tensión para esa dirección, y su efecto es disminuir la
curvatura.
Después de cierto punto se pierde esa curvatura debido a mayores deflexiones (de hecho, se muestra en
la Figura 7.18 cómo las deformaciones son altas en la dirección 1 mientras en la 2 son casi negativas), lo
cual hace que las fibras vuelvan a estirarse para formar una curvatura pero ahora cóncava hacia arriba,
igual que en la dirección 1.
El valor de presión donde las tensiones en la dirección 2 se hacen mínimas depende, como se aprecia en
el gráfico, del valor de la pretensión inicial. Luego de ese mínimo, se observa que con el material
viscoelástico a la velocidad del ensayo la tensión aumenta más rápido que con los otros dos modelos
constitutivos utilizados.
Por otro lado, hay que resaltar que por más que suba la tensión en la dirección 2 al aumentar la presión,
nunca será mayor que la de la dirección 1 porque a medida que la deflexión aumente, el ángulo de la
superficie de la membrana a la altura de los apoyos en la dirección 1 respecto a la horizontal siempre será
mayor que el de la dirección 2 (Figura 3.3). Es lógico que las tensiones más bajas sean las conseguidas
con los modelos elasto-plásticos, debido a que al descargar el material se mantiene cierto nivel de
deformación remanente mientras que la carga se pierde.
ANÁLISIS ESTRUCTURAL EN ELEMENTOS FINITOS 65
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Figura 7.18: Distribución de deformaciones bajo una presión de 800 [Pa] en la dirección 1 (derecha) y en
la dirección 2 (izquierda)
7.2.4 Validación experimental
En primer lugar serán mostrados los resultados del primer ensayo de vientos realizado en el banco de
pruebas del IMME. El equipo fue puesto recientemente en servicio así que se están ejecutando varios
ensayos a manera de prueba. Como el objetivo final son los ensayos a largo plazo, el sistema de
adquisición de data de las celdas recoge datos solamente de los valores máximos y mínimos de cada ciclo
de aplicación de presión.
Aunque no se muestra en esta gráfica, las tensiones justo antes del comienzo de la aplicación de las
cargas es de 420 [Kgf] en la dirección 1 y 418 [Kgf] para la dirección 2. Al momento del montaje, las
tensiones eran de 500 [Kgf] en ambas direcciones; y mediante la relajación de la membrana durante 10
días se alcanzan los valores antes mencionados.
350
300
250
200
150
100
50
0
0:00
2:59
5:54
18:06
21:11
24:15
27:19
30:17
33:20
36:27
39:27
43:16
46:16
49:18
52:08
54:04
55:02
56:04
57:06
58:08
59:10
60:12
61:14
62:16
63:18
64:20
66:56
69:58
72:42
75:31
78:07
80:48
83:28
86:08
Fuerza vertical [Kgf]
En la Figura 7.19 se muestra la carga vertical máxima en cada ciclo en función del tiempo, y en la
Figura 7.20 las tensiones máximas en función del tiempo. Hay que resaltar que en las simulaciones
mostradas en el tópico anterior se leyó la carga vertical que resultaba al aplicar la presión, y se determinó
que la relación es perfectamente lineal, teniéndose que para aplicar una presión de 1 [Pa], el motor debe
ejercer una fuerza de 0,236 [Kgf]
Tiempo [h]
Figura 7.19: Carga vertical en función del tiempo
600
550
500
450
400
350
300
Dirección 2
Dirección 1
0:00
4:22
17:57
22:31
27:03
31:27
36:00
41:13
45:42
50:11
53:50
55:17
56:48
58:20
59:52
61:23
62:55
64:27
68:47
72:51
76:54
80:49
84:46
Tensión [Kgf]
ANÁLISIS ESTRUCTURAL EN ELEMENTOS FINITOS 66
Universidad Simón Bolívar
Tiempo [h]
Figura 7.20: Tensiones máximas ante carga de presión (banco de pruebas)
Debido a que el muestreo de lo ocurrido durante la carga y descarga fue poco detallado, no se pudo para
este informe comparar directamente las Figuras 7.16 y 7.17 con valores experimentales. En el banco
tampoco está presente por el momento la instrumentación que permita medir la deflexión en el centro de la
membrana, en cuanto se disponga se compararán resultados experimentales con la Figura 7.15.
Viendo estas gráficas y otros resultados no colocados por razones de espacio, se observa que, la tensión
en la dirección 1 aumenta en mucho mayor grado que en la dirección 2, tal como resultó de los resultados
mostrados en las Figuras 7.16 y 7.17. Los valores alcanzados (entre 500 y 600 [Kgf] para la dirección 1, y
360-370 [Kgf] para la 2) son menores que los de estas figuras debido a que la pretensión es también es
menor (420 [Kgf] vs. 490 [Kgf] en promedio).
Se determina mediante un análisis numérico cuál es la reacción ante algunas de las cargas dispuestas en
la Figura 7.19 con el modelo constitutivo de la Figura 7.5, y se observa que las tensiones numéricas son
mucho mayores que las experimentales para la dirección 1, y relativamente similares para la dirección 2
(ver Tabla 7.3, análisis N° 3). Sin embargo, hay dos cosas que pueden causar esa variación en los
resultados: la relajación previa del material antes del ensayo, lo que en viscoelasticidad y plasticidad se
llama "historia del material" [15], [16]; y los errores experimentales.
Debido al proceso de relajación, la membrana no sólo perdió pretensión sino que su deformación
aumentó, lo cual hace que le material pierda mucha rigidez. De hecho, si se hace un análisis con un
material cuatro veces menos rígido, se pueden lograr valores de tensión más cercanos (Tabla 7.3, N° 4).
Sin embargo, difícilmente serán iguales ya que la curva del material cuando han habido cargas anteriores
es distinta a la introducida, que parte del origen (ver Figura 4.3). Con la implementación del modelo
visco-elasto-plástico completo, los errores seguramente disminuirán.
Por otro lado, en el ensayo se presentaron muchos errores experimentales evidentes, que están siendo
actualmente investigados. Las lecturas de las celdas de carga presentaron valores extraños, por ejemplo
para una misma carga vertical pudieron leerse medidas de hasta 80 [Kgf] de diferencia en un tiempo corto
(3 horas), de manera su origen es distinto a la relajación de la membrana. (Ver las fluctuaciones en las
lecturas para la dirección 1 en la Figura 7.20, cuando las cargas de entrada vistos en la Figura 7.19 no
presentan el mismo patrón). También se vieron lecturas a máxima carga menores que algunas leídas sin
carga en tiempos muy cercanos (apenas 7 minutos de diferencia). Por otro lado, también se observó que
ANÁLISIS ESTRUCTURAL EN ELEMENTOS FINITOS 67
Universidad Simón Bolívar
entre las 53 y 64 horas se aplicó la fuerza vertical más alta y la membrana presentó tensiones
correspondientes a la ausencia de cargas.
Tabla 7.3: Comparación entre dos puntos experimentales con dos análisis numéricos
Ensayo/
análisis
Carga vertical aplicada
[N]
Tensión 1
[N]
T1 (con carga)
[N]
Tensión 2
[N]
T2 (con carga)
[N]
Ensayo 1
Ensayo 2
Análisis 1
Análisis 2
170.0
171.5
170.0
170.0
4201
4201
4189
4203
5717
5148
6733
5897
4179
4194
4194
4208
3715
3690
3819
4186
Tomando en cuenta los errores explicados y sus orígenes, el modelo nunca presentó una discrepancia
con los valores experimentales mayor al 35 %, así que con los correctivos adecuados (introducción del
modelo completo, debido a que la viscoelasticidad es muy influyente en los resultados; y mejoras en el
banco de pruebas) es muy probable que los resultados resulten ser aceptables.
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 68
Universidad Simón Bolívar
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

Se pudo determinar que las membranas de uso arquitectónico presentan un comportamiento
viscoelástico que sigue una tendencia logarítmica. Conociendo esto, es posible determinar de manera
confiable la curva esfuerzo-deformación del material cuando recibe cargas por primera vez, para
cualquier velocidad de deformación.

Se construyó un modelo modular en MEF que, al implementar una reacción constitutiva más
adecuada, podría proporcionar resultados muy confiables para el objetivo final de la investigación. Es
capaz de predecir las tensiones en los apoyos, las tensiones en las guayas y los esfuerzos y
deformaciones internas, aún con la gran cantidad de suposiciones hechas sobre el material. Se
recomienda investigar de manera efectiva el estado de deformaciones en ciertos puntos como otra
forma de validar los resultados.

Se observó que la probeta no sufrió ondulaciones durante el ensayo por lo cual, apartando los errores
de los instrumentos, hace válida esta metodología de determinación de propiedades. Sin embargo, se
recomienda utilizar en nuevos ensayos una longitud mayor de la probeta o simular numéricamente el
ensayo para ver si las concentraciones de esfuerzos producto del apriete llegan hasta el centro de la
muestra.

Se recomienda utilizar un modelo geométrico que presente simetría con respecto a sus diagonales (el
dibujo proveniente de EASY CAD no tenía esta característica) para poder dividir el modelo
geométrico en cuatro y mejorar así el costo computacional.

Se determinó que el uso de un modelo constitutivo elasto-plástico aplicado para metales es incapaz de
simular dos características del material que a la postre se mostraron como las causantes de la pérdida
de pretensión, así como la aceleración de este proceso: el comportamiento viscoelástico y la fuerte
presencia de histéresis en cargas cíclicas. Por esto, en este momento se trabaja en determinar un
modelo visco-elasto-histerético [18] aplicable a la simulación de MEF planteada en este trabajo.

Para esta geometría, el módulo de corte es altamente influyente en la deflexión de la estructura ente
cargas de presión, lo cual vuelve a poner en el tapete las inconsistencias que resultan por suposiciones
en modelos constitutivos.

Se recomienda medir las deflexiones en zonas de la membrana, en especial en su parte central; no sólo
para validar los resultados de las simulaciones, sino también como síntoma visual de la relajación en
la estructura.

Se recomienda realizar estos ensayos con instrumentos más adecuados: un banco de ensayos
universales más pequeño y una cámara con mucha mejor resolución, posiblemente un videoextensómetro. De la misma forma, se deben reportar los errores experimentales para conocer la
calidad de los datos.

Es necesario diseñar otro tipo de probetas para los ensayos a corte, en donde se evite la formación de
ondulaciones. Se recomiendan probetas más angostas, ya que los problemas mencionados de la falta
de homogeneidad están menos presentes por la disposición del tejido.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 69
Universidad Simón Bolívar
BIBLIOGRAFÍA
1. Pauletti, R.M.O. História, Análise e Projeto das Estruturas Retesadas. Universidade de São Paulo.
Brasil, 2003
2. Kato, S. y Yoshino, T., “Simulation for introducing tension into curve membranes considering both of
the cutting pattern method and visco-elasto-plastic characteristics of the fabric”, Proceedings of the
IASS Symposium Nagoya 2001. 2001, TP046
3. Reddy, J.N. An Introduction for the Finite Element Method. McGraw Hill. U.S.A., 1993
4. Zienkiewicz, O.; Taylor, R. The Finite Element Method for Solid and Structural Mechanics. Elsevier.
U.S.A., 2005
5. Casanova, E. Apuntes de la asignatura Introducción al Método de Elementos Finitos (MC5122).
Universidad Simón Bolívar. Venezuela, 2006
6. Ansys user's manual for revision 12. Swanson Analysis Systems IP, Inc. U.S.A. 2009
7. Hernández, C. Evolución de los estados tensionales en cubiertas textiles. Universidad Central de
Venezuela. Venezuela, 2010
8. Schierle, G. y Yin, M. Anticlastic membrane correlation of form, prestress and behaviour. Space
Structures 4, 927-934
9. Bögner ,H. y Blum, R. "Materials for Textile Architecture". Master Membrane Materials. HS Anhalt
Dessau. Alemania, 2007
10. Blum, R., Bögner, H. y Némoz, G. "Material Properties and Testing" European Design Guide for
Tensile Surface Structures. TensiNet. Bélgica, 2004, 220-242
11. Ferrari Precontraint http://www.ferrari-industry.com/index.php?lang=sp#/precontraint/. Consultado
el 15 de agosto de 2010
12. Goncalves, R. Introducción al Análisis de Esfuerzos. Editorial Equinoccio, Universidad Simón
Bolívar. Venezuela, 2008
13. Blum, R. Report of biaxial tests Ferrari Précontraint 702. Laboratorium Blum. Alemania, 11/01/2005
14. Kyoung J. K.; Woong-Ryeol Y. y Min S. K. "Anisotropic creep modeling of coated textile membrane
using finite element analysis". Composites Science and Technology 68. 2008, 1688-1696
15. Aklonis, J.J., MacKnight, W. J. y Shen, M. Introduction to Polymer Viscoelasticity. WileyInterscience, U.S.A., 1983.
16. Brinson, H.; Brinson, L. Polymer Engineering Science and Viscoelasticity: An Introduction. Springer.
U.S.A.,2008
17. Bridgens, B; Gosling, P.; Patterson, C.; Rawson, S. y Hove, N. "Importance of material properties in
fabric structure design & analysis" Proceedings of the IASS Symposium Valencia 2009. 2009, 21802192
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 70
Universidad Simón Bolívar
18. Bles, G.; Nowacki, W. y Tourabi, A. " Experimental study of the cyclic visco-elasto-plastic behaviour
of a polyamide fibre strap" International Journal of Solids and Structures 46. 2009, 2693-2705
19. Sánchez, J. Policloruro de Vinilo (Apuntes de la asignatura Polímeros II (MT3232)). Universidad
Simón Bolívar. Venezuela, 2004
20. Sánchez, J. Poliésteres Termoplásticos (Apuntes de la asignatura Polímeros II (MT3232)).
Universidad Simón Bolívar. Venezuela, 2004
21. Chivante, M. R. P. Avaliação experimental das relações tensão-deformação de um tecido de fibra de
vidro recoberto com PTFE. Tesis de Maestría. Universidade de São Paulo. Brasil, 2009
22. Calibración del equipo MTS 810 del Laboratorio E de la Universidad Simón Bolívar. Sencamer.
Venezuela, 2006
23. Structural
Engineering
Research,
University
of
California
http://cee.engr.ucdavis.edu/faculty/cheng/Portraits/MTS810.jpg. Consultado el 12 de marzo de 2011
24. European Design Guide for Tensile Surface Structures. TensiNet. Bélgica, 2004
25. ASTM. Standard Test Method for Tensile Properties of Plastics D-882-02. U.S.A., 2003
26. Trujillo, G.; Castro, A. y Montoya, M. "Adaptación de un sistema de reconocimiento de imágenes
Brinell y Vickers" Scientia et Technica 26. 2004
27. Pimenta, P. Fundamentos da Mecânica dos Sólidos e das Estruturas. Universidade de São Paulo.
Brasil, 2006
28. Celigüeta, J. Análisis de estructuras con no linealidad geométrica. Campus Tecnológico de la
Universidad de Navarra. España, 2010
29. Klosowski, P.; Zagubien, A. "Viscoplastic properties of coated textile material "Panama" and its usage
for hanging roofs" Proceedings of the International Symposium IASS-LSCE 2002. 2002, 627-633
30. Avalle, M.; Peroni, M. y Scattina, A. "Mechanical models of the behaviour of plastic materials:
influence of time and temperature" Latin American Journal of Solids and Structures 7. 2010, 41 – 61
31. Strobel, D. y Singer, P. Computational modelling of Lightweight Structures. Formfinding, Load
Analysis and Cutting Pattern Generation. TechNet GmbH. Alemania, 2001
32. Drozdov, A. y Christiansen, J. "Cyclic thermo-viscoplasticity of carbon black-reinforced
thermoplastic elastomers" Composites Science and Technology 68. 2008, 3114-3122
33. Figueroa, D.; Guerrero, L,; Sánchez, A.; Suárez, N.; Escalona, R. y Sanjinés, D. Laboratorio
de Física I. Editorial Equinoccio, Universidad Simón Bolívar. Venezuela, 2005
APÉNDICE A 71
Universidad Simón Bolívar
APÉNDICE A
En este apéndice se muestran curvas del Tópico 5.2 que por razones de espacio no fueron colocadas allí.
Los análisis de sus resultados corresponden con los presentados en el Tópico 5.3 ya que las tendencias son
las mismas.
a)
100
= 1 [mm/min]
90
100
70
Carga (Kgf)
Carga (Kgf)
= 50 [mm/min]
120
80
60
50
40
30
10
80
60
40
Probeta 1T-1
Probeta 2T-1
Probeta 3T-1
20
Probeta 1T-50
Probeta 2T-50
Probeta 3T-50
20
0
0
0
5
10
Desplazamiento mordazas (mm)
c)
160
0
15
= 100 [mm/min]
140
120
120
100
80
60
Probeta 1T-100
10
15
80
60
Probeta 1T-500
Probeta 2T-500
Probeta 3T-500
20
Probeta 3T-100
= 500 [mm/min]
100
40
Probeta 2T-100
20
d)
160
140
40
5
Desplazamiento mordazas (mm)
Carga (Kgf)
Carga (Kgf)
b)
140
0
0
0
5
10
15
Desplazamiento mordazas (mm)
20
0
5
10
15
Desplazamiento mordazas (mm)
Figura A.1: Curva carga-desplazamiento para distintas velocidades de ensayo.
Dirección: trama
20
APÉNDICE A 72
Universidad Simón Bolívar
a)
90
= 1 [mm/min]
80
120
Carga (Kgf)
60
50
40
30
20
5
10
80
60
Probeta 1U-50
Probeta 2U-50
Probeta 3U-50
20
0
0
100
40
Probeta 1U-1
Probeta 2U-1
Probeta 3U-1
10
0
15
0
Desplazamiento mordazas (mm)
c)
= 100 [mm/min]
d)
160
160
140
140
120
120
100
100
80
60
40
10
15
20
= 500 [mm/min]
80
60
40
Probeta 2U-100
Probeta 1U-100
20
5
Desplazamiento mordazas (mm)
Carga (Kgf)
Carga (Kgf)
= 50 [mm/min]
140
70
Carga (Kgf)
b)
160
Probeta 1U-500
Probeta 2U-500
Probeta 3U-500
20
Probeta 3U-100
0
0
0
5
10
15
Desplazamiento mordazas (mm)
20
0
5
10
15
Desplazamiento mordazas (mm)
Figura A.2: Curva carga-desplazamiento para distintas velocidades de ensayo.
Dirección: urdimbre
20
APÉNDICE A 73
Universidad Simón Bolívar
a)
100
= 1 [mm/min]
90
100
70
60
Carga (Kgf)
Carga (Kgf)
= 50 [mm/min]
120
80
50
40
30
Probeta 2T-1
10
80
60
40
Probeta 1T-1
20
Probeta 1T-50
Probeta 2T-50
20
Probeta 3T-1
Probeta 3T-50
0
0
0
0
5
10
15
Desplazamiento corregido mordazas
(mm)
c)
= 100 [mm/min]
160
140
140
120
120
Carga (Kgf)
160
100
Carga (Kgf)
b)
140
80
5
10
15
Desplazamiento corregido mordazas
(mm)
d)
= 500 [mm/min]
100
80
60
60
40
40
Probeta 1T-100
Probeta 2T-100
20
Probeta 1T-500
Probeta 2T-500
20
Probeta 3T-100
0
Probeta 3T-500
0
0
5
10
15
Desplazamiento corregido mordazas (mm)
0
5
10
15
Desplazamiento corregido mordazas
(mm)
Figura A.3: Curva carga-desplazamiento corregido para distintas velocidades de ensayo.
Dirección: trama
APÉNDICE A 74
Universidad Simón Bolívar
a)
90
= 1 [mm/min]
b)
80
140
120
60
Carga (Kgf)
Carga (Kgf)
70
50
40
30
Probeta 1U-1
20
100
80
60
Probeta 1U-50
40
Probeta 2U-1
10
Probeta 2U-50
20
Probeta 3U-1
Probeta 3U-50
0
0
0
5
10
0
15
c)
160
5
10
15
20
Desplazamiento corregido mordazas
(mm)
Desplazamiento corregido mordazas (mm)
= 100 [mm/min]
d)
= 500 [mm/min]
160
140
140
120
120
100
100
Carga (Kgf)
Carga (Kgf)
= 50 [mm/min]
160
80
60
Probeta 2U-100
40
60
Probeta 1U-500
40
Probeta 1U-100
20
80
Probeta 2U-500
20
Probeta 3U-100
0
Probeta 3U-500
0
0
5
10
15
Desplazamiento corregido mordazas
(mm)
20
0
5
10
15
Desplazamiento corregido mordazas (mm)
Figura A.4: Curva carga-desplazamiento corregido para distintas velocidades de ensayo.
Dirección: urdimbre
APÉNDICE A 75
Universidad Simón Bolívar
a)3T-1
0,16
y = 0,000245x - 0,036778
R² = 0,996737
0,14
y = 0,0114x - 0,008
R² = 0,9991
0,16
0,14
Deformación
0,12
Deformación
b)1T-50
0,18
0,1
0,08
0,06
0,12
0,1
0,08
0,06
0,04
0,04
0,02
0,02
0
0
0
200
400
600
0
800
5
c)3T-100
0,16
1,5
2
y = 0,1129x - 0,0221
R² = 0,9857
0,14
0,12
0,12
Deformación
Deformación
20
d)2T-500
0,16
y = 0,0222x - 0,0159
R² = 0,9997
0,14
15
Tiempo (s)
Tiempo (s)
0,18
10
0,1
0,08
0,06
0,1
0,08
0,06
0,04
0,04
0,02
0,02
0
0
0
2
4
Tiempo (s)
6
8
0
0,5
1
Tiempo (s)
Figura A.5: Obtención de la velocidad de deformación. Dirección de las probetas: trama
APÉNDICE A 76
Universidad Simón Bolívar
a)2U-1
0,2
0,18
0,18
0,16
y = 0,0114x - 0,0146
R² = 0,9974
0,16
Deformación
0,1
0,08
0,12
0,1
0,08
0,06
0,06
0,04
0,04
0,02
0,02
0
10
15
0
20
0
5
Tiempo (s)
10
Tiempo (s)
c)1U-500
0,18
0,16
y = 0,108x - 0,015
R² = 1,000
0,14
Deformación
Deformación
0,12
5
y = 0,0220x - 0,0105
R² = 0,9958
0,14
0,14
0
b)3U-100
0,12
0,1
0,08
0,06
0,04
0,02
0
0
0,5
1
1,5
2
Tiempo (s)
Figura A.6: Obtención de la velocidad de deformación. Dirección de las probetas: urdimbre
APÉNDICE A 77
Universidad Simón Bolívar
50
45
Esfuerzo (KN/m)
40
35
30
Urdimbre
25
Trama
20
15
10
5
0
0
0,05
0,1
0,15
0,2
Deformación
Figura A.7: Comparación entre las curvas esfuerzo-deformación de la trama y la urdimbre,
= 1.1E-2 [1/s]
50
45
Esfuerzo (KN/m)
40
35
30
25
Urdimbre
20
Trama
15
10
5
0
0
0,05
0,1
0,15
0,2
Deformación
Figura A.8: Comparación entre las curvas esfuerzo-deformación de la trama y la urdimbre,
= 2.2E-2 [1/s]
APÉNDICE A 78
Universidad Simón Bolívar
a) = 2.5E-4 [1/s]
0,6
Urdimbre
Trama
0,4
0,3
0,2
0,3
0,2
0,1
0
0
0,05
0,1
0,15
Trama
0,4
0,1
0
Urdimbre
0,5
Esfuerzo (KN/m)
Módulo de Poisson
0,5
b) = 2.2E-2 [1/s]
0,6
0
0,2
0,05
0,1
0,15
0,2
Deformación
Deformación
c) = 1.1E-1 [1/s]
0,6
Urdimbre
0,5
Módulo de Poisson
Trama
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0
0,05
0,1
0,15
0,2
Deformación
Figura A.9: Comportamiento del módulo de Poisson ante la deformación para varias velocidades de
deformación
APÉNDICE B 79
Universidad Simón Bolívar
APÉNDICE B
En este apéndice se muestran imágenes de los análisis por elementos finitos. Cabe recalcar que todos los
análisis arrojan resultados numéricos relativamente similares y por tanto las distribuciones de esfuerzos o
deformaciones se visualizan parecido en el software. Aunque los valores son distintos, las tendencias de
las distribuciones de esfuerzos son casi idénticas para todos los análisis.
Figura B.1: Comparación desplazamientos verticales con respecto a la geometría inicial sin cargas en el
mallado convencional (derecha) y en el refinado en las puntas (izquierda)
Figura B.2: Desplazamientos verticales ante carga de presión de 800 [Pa]. Vista superior (izquierda) y
vista lateral, con la geometría inicial en líneas negras (derecha)
APÉNDICE B 80
Universidad Simón Bolívar
Figura B.3: Distribución de esfuerzos en una membrana sin cargas verticales, dirección 1 (izquierda) y
dirección 2 (derecha)
Figura B.4: Distribución de esfuerzos en una membrana con carga de presión de 800 [Pa], dirección 1
(derecha) y dirección 2 (izquierda)
Figura B.5: Tensión en las guayas de borde [N] en la membrana sin cargas (izquierda) y bajo carga de
presión de 800 [Pa] (derecha)