Año 2012 - Intermat

 LA DEMOGRAFÍA EN LA FORMACIÓN DEL ACTUARIO ‐material de apoyo didáctico‐ Alejandro Mina Valdés1 septiembre de 2012 1
Profesor de asignatura de la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional Autónoma de México Índice general
Prólogo
5
Introduccción
7
1 Construcción de una tabla abreviada de mortalidad
1.1 Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Infromación de las estadı́sticas vitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Información Censal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Evaluación de la Información . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Índice de Whipple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Índice de Naciones Unidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Índice de Myers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.4 Corrección de la estructura por edad de la población censada . . . . . . . .
1.4.5 Proyección de la población censada y ajustada al 30 de Junio del año censal
1.4.6 Evaluación y corrección de la distribución de las defunciones por grupos quinquenales de edades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.7 Estimación de las tasas de mortalidad especı́ficas por grupos quinquenales de
edades, a partir de 5 a 9 años cumplidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Estimación de la tasa de mortalidad infantil (1 𝑀0 ) y la del grupo de uno a cuatro
años cumplidos (4 𝑀1 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Factores de Separación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Relación entre tasas de mortalidad y cocientes o probabilidades de muerte . . . . .
1.7.1 Las series 𝑙𝑥 ,𝑑𝑥,𝑥+𝑛 ,𝑛 𝐿𝑥 ,𝑇𝑥 ,𝑒𝑥 de la tabal de mortalidad . . . . . . . . . . .
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9
9
10
10
10
11
12
14
16
. 19
. 21
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21
25
31
39
2 Simulación de fenómenos demográficos
43
3 Las funciones actuariales Gomperz y Gomperz-Makeham en la descripción de
fenómenos demográficos
3.1 Hipótesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Criterio de mı́nimos cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Poblaciones teóricas de Alfred J. Lotka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Teorı́a analı́tica de las asociaciones biológicas . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Mı́nimos Cuadrados y Promedios Móviles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3 Función Gompertz-Makeham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.4 Modelo de fecundidad basado en la relación de Gompertz propuesto por Brass
73
74
80
82
82
83
86
88
2
4 Funciones polinomiales en el ajuste de datos demográficos
95
4.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.2 El análisis numérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5 Ley de Mortalidad Mexicana
107
5.1 Funciones de supervivencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.1.1 Las funciónes Gompertz-Makeham estimadas para México . . . . . . . . . . . 111
5.2 Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6 Las
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
causas de muerte en México y sus ganancias en las esperanzas
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Impacto de la mortalidad por causas en México . . . . . . . . . . . . .
Metodologı́a empleada en la estimación de las ganancias de vida . . .
Procedimiento de cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Principales causas de muerte en México . . . . . . . . . . . . . . . . .
Clasificación de las causas de muerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
de
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vida
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115
115
115
117
118
119
123
7 La Contribución de las causas de muerte al cambio en la esperanza de vida en
un perı́odo
127
Tablas
131
Anexo 1
145
Anexo 2
149
Anexo 3
151
Anexo 4
155
Anexo 5
157
Anexo 6
159
Anexo 7
165
Anexo 8
167
Anexo 9
Referencias históricas
171
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
Anexo 10
Conceptos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Definición y objeto de estudio de la demografı́a
Componentes de la dinámica poblacional . . . .
Fuentes de datos . . . . . . . . . . . . . . . . .
Censo demográfico . . . . . . . . . . . . . . . .
Estadı́sticas vitales . . . . . . . . . . . . . . . .
3
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181
181
181
182
182
182
Encuestas demográficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
El diagrama de Lexis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
La pirámide de edades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Índice de masculinidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
El análisis longitudinal y el transversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Intensidad y calendario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Relación entre tasas y cocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tablas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mortalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tasa bruta y tasas especı́ficas de mortalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tasa de mortalidad infantil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tasas de mortalidad infantil neonatal y posneonatal . . . . . . . . . . . . . . .
Tablas de mortalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tablas abreviadas de mortalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
La esperanza de vida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fecundidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tasa bruta de natalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tasas de fecundidad general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tasas especificas de fecundidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tasa global de fecundidad o descendencia final . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tasas bruta y neta de reproducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Edad media a la fecundidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Relación entre las tasas bruta y neta de reproducción . . . . . . . . . . . . . .
Nupcialidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tasa bruta de nupcialidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tasa especı́fica de nupcialidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tablas de nupcialidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Migración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
El método de la tasa de supervivencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fórmula avanzante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fórmula de retroceso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fórmula promediada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Relación entre los métodos de tasas de supervivencia . . . . . . . . . . . .
Estimación directa de la migración interna empleando información censal
Población activa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
El modelo simplificado de una población . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tablas de entrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tablas de salida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Educación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Proporciones de escolaridad por edad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Análisis de un sector con datos sobre flujos . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tablas de vida escolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
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209
210
210
211
212
Prólogo
Con este trabajo se espera cubrir una de las deficiencias en la materia de Demografı́a I, en cuanto
material didáctico se refiere; ya que comúnmente el estudiante de Actuarı́a se le remite a bibliografı́a
que trata superficialmente, en algunos casos, y suponiendo un dominio del Análisis Demográfico,
en otros, el tema que aquı́ se tratará: la elaboración de la tabla abreviada de mortalidad.
Es importante señalar que el curso de demografı́a para estudiantes de Actuarı́a tiene caracterı́sticas muy peculiares, dada la formación estadı́stica y matemática que previamente al curso ha
tomado el estudiante. El tema aquı́ presentado toma en cuenta los antecedentes del estudiante.
Si bien es cierto que el tema ha sido tratado por otros profesores en México y en el resto del
mundo, la presentación que aquı́ se hace tiene algunas modalidades que se han podido cristalizar,
en este documento, gracias a la experiencia alcanzada en los años de impartición del curso de
Demografı́a I en la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional Autónoma de México y al
apoyo que la facultad otorgó al autor en su año sabático, en el cual tuvo el tiempo para reflexionar
y plantear sus puntos de vista sobre el tema aquı́ tratado.
Ha sido la elaboración o construcción de la tabla de vida o de mortalidad el tema central en el
curso de Demografı́a I, perteneciente al sexto semestre en la carrera de Actuarı́a, sin embargo, dada
la amplitud y complejidad del tema, el estudiante con mucha facilidad se confunde sobre alguno o
algunos pasos a seguir para captar, evaluar o corregir la información necesaria para lograr su fin, o
bien en la elaboración de alguno o algunos ı́ndices que conforman a la tabla abreviada de mortalidad.
Si a lo anterior aunamos que un alto porcentaje de los egresados de la carrera se Actuarı́a, al asentar
mal el tema en sus apuntes, se ven imposibilitados en elaborar en su vida profesional una tabla de
vida acorde a las poblaciones que estén analizando en ella, se hace fundamental el tener, lo más
claramente posible un ”manual”que le indique, por una parte, la fuente de datos necesaria para
elaborar la tabla abreviada de mortalidad, señalando sus alcances y limitaciones, y por otra parte
la técnica propiamente dicha para obtener la tabla.
En la vida profesional del actuario, la tabla de mortalidad con frecuencia se toman con experiencia que no reflejan el impacto del fenómeno mortalidad en la población que él está analizando,
por ejemplo una población asegurada que tiene condiciones de vida por arriba de la media nacional
no debe ser afectada, para el cálculo actuarial de primas, seguros, etc., por la tabla de mortalidad
estimada para la población mexicana a nivel nacional, ni incluso la obtenida para la entidad en que
se tiene inmersa a la población asegurada en estudio. El actuario debe enfrentar el reto de estimar,
lo mejor posible, el impacto de la mortalidad para poblaciones especı́ficas, calculando en cada caso
su tabla de vida; lo que conllevará a una mejor estimación de las primas que la población en general tiene que pagar y que comúnmente serán menores a las que actualmente se cobran, pudiendo
ampliar la cobertura social de los seguros.
Las aplicaciones que se le pueden dar a la tabla de mortalidad son diversas, y en este trabajo
se presentan algunas de ellas en los anexos.
5
El que el estudiante tenga sistematizado el tema central y que lleva el mayor tiempo de la
materia de demografı́a, sin duda le permite, además de apoyo para dominarlo mejor, darle mayor
tiempo de reflexión sobre el tema en clases, ya que en ello se empleará el tiempo que antes se usaba
en describir cada paso de manera exhaustiva en el pizarrón, teniendo en algunos casos, dudas los
estudiantes en pizarrones ya borrados y no reproducidos correctamente por ellos, por las varias
explicaciones que se tienen que ir dando conforme el tema avanza.
No se pretende tener concluido el tema de la construcción de la tabla abreviada de mortalidad
con el trabajo aquı́ presentado, sin embargo, se espera tenga una adecuada divulgación para poder
aportar las inquietudes en cuanto a modificaciones que superen el conocimiento sobre el tema
aquı́ tratado, y en el futuro ampliarlo.
6
Introducción
Uno de los temas básicos que todo actuario y demógrafo debe dominar, es sin duda la elaboración
o comúnmente llamado construcción de una tabla de mortalidad o de vida abreviada en grupos
quinquenales de edad, a excepción del primero y último grupos de edad.
Con frecuencia se incurre en errores en la construcción de la tabla de mortalidad, por no tener
con claridad dominados algunos de los pasos a seguir para construirla. Es por ello que se ha hecho
necesario tener de manera explı́cita, cada uno de dichos pasos para elaborar correctamente una
tabla de mortalidad.
Las notas que a continuación se presentan tienen la finalidad de presentar al estudiante de la
carrera de actuarı́a y al estudiante de la maestrı́a en demografı́a, el procedimiento completo para
obtener una tabla de mortalidad. Sin que esto quiera decir que es el único procedimiento para
elaborar una tabla de mortalidad, sin embargo, el que aquı́ se presenta es el tradicional y el que
por mı́nimo debe conocer y dominar el estudiante de demografı́a y actuarı́a.
Debe resaltarse que el procedimiento presentado está basado en los estudios y aplicaciones que
el autor ha venido desarrollando en los últimos años, impartiendo clases en el Centro de Estudios
Demográficos y de Desarrollo Urbano de El Colegio de México A.C. y en la Facultad de Ciencias
de la Universidad Nacional Autónoma de México. Ası́, el presente trabajo únicamente organiza
de manera didáctica, lo hecho por otros demógrafos y actuarios al construir tablas abreviadas de
mortalidad.
Finalmente se desea recomendar al lector, dominar en su conjunto el procedimiento de elaboración de la tabla abreviada de mortalidad y posteriormente aplicarlo.
7
8
Capı́tulo 1
Construcción de una tabla abreviada
de mortalidad
1.1.
Definición
La tabla abreviada de mortalidad es el cuadro estadı́stico que resume el impacto de dicho
fenómeno demográfico, tenido por una población determinada, en un año o periodo de años.
Es abreviada porque la estructura por edad de la población se agrupa en quinquenios de edades;
esto a partir del grupo de edad de 5-9 años cumplidos. La excepción la constituyen el primer grupo
de edad y el último; los que se toman de cero años cumplidos, de 1 a 4 años cumplidos y de 80 a 85
años y más cumplidos (tomaremos en está presentación como último grupo de edad el constituido
por las edades 85 y más).
Ası́ los grupos de edades en una tabla abreviada de mortalidad son:
0
1-4
5-9
10-14
15-19
20-24
25-29
30-34
35-39
40-44
45-49
50-54
55-59
60-64
65-69
70-74
75-79
80-84
85+
Supongamos que se desea calcular la tabla abreviada de mortalidad a nivel nacional, para ambos
sexos, caso de México y para el año de 1990.
La información necesaria para la construcción de la tabla será tomada de las estadı́sticas vitales
y de los X y Xl Censos Nacionales de población y vivienda, los cuales se levantaron el 4 de junio
de 1980 y supondremos que el de 1990 será levantado el 10 de junio de 1990.
1.2.
Infromación de las estadı́sticas vitales
Los nacimientos registrados a nivel nacional, ambos sexos, en los años de 1985 a 1990.
Las defunciones de individuos de cero años cumplidos, desagregadas en dı́as, a partir de cero
dı́as cumplidos hasta 6 dı́as cumplidos, semanas, de la primera a la tercer semana cumplida
y meses, del primero a l octavo mes cumplido. Todas ellas para cada uno de los años de 1985
9
a 1990, teniéndose que captar para el año de 1991 el total de definiciones de individuos de
cero años cumplidos sin desagregarlas.
Para los grupos de edades 5 a 9 años cumplidos al 85 y más las definiciones registradas en los
años 1989, 1990 y 1991.
1.3.
Información Censal
La estructura por edad desplegada (individual), por sexo y para cada uno de los censos (X y
Xl) sin olvidar a los no especificados en cuanto a edad y sexo.
1.4.
Evaluación de la Información
Dado que la información de las estadı́sticas vitales como la censal adolecen de fallas, como son:
el subregistro de los nacimientos y de las defunciones, y la mala declaración de edad, como las más
importantes; es inicialmente necesario evaluar la información para posteriormente corregirla.
Para evaluar la información censal, en cuanto a su estructura por edad, se emplean los ı́ndices
de Whipple, de naciones unidas y el de Myers. Una presentación de ellos a continuación se da:
1.4.1.
Índice de Whipple
Estima el grado de preferencia hacia los dı́gitos 0 y 5 por la población censada que declaró su
edad entre 23 y 62 años.
El supuesto que se maneja es el de distribución uniforme en cada una de las edades individuales
y para el grupo de edad asociado, ası́ por ejemplo cinco veces la población censada que declaró tener
treinta años cumplidos de edad, debe ser aproximadamente igual a la suma de las personas que
declararon tener 28, 29, 30, 31 y 32 años cumplidos de edad en el censo.
El ı́ndice de Whipple 𝐼𝑤 se define como:
∑12
𝐼𝑤 = ∑𝑖=15
62
𝑃5𝑖
𝑖=23 𝑃𝑖
∗ 5 ∗ 100
(1.1)
donde 𝑃5𝑖 y 𝑃𝑖 son las poblaciones censadas que declararon tener las edades cumplidas 5𝑖 e 𝑖
respectivamente.
El criterio para evaluar el tipo de información con la que trabajaremos está basado en la siguiente
tabla, la que esta en base al valor que toma el ı́ndice de Whipple.
Rango de 𝐼𝑤
Clasificación de la información
100 a 104
105 a 109
110 a 124
125 a 174
175 a más
muy precisa
precisa
aproximada
deficiente
muy deficiente
10
1.4.2.
Índice de Naciones Unidas
Su aplicación requiere tener agregada su aplicación en grupos quinquenales de edad, de 0 a 4
años cumplidos, al 65 a 69 años cumplidos, por sexo y para el total de la población.
La hipótesis que se maneja en este ı́ndice es la linealidad en los efectivos, en el grupo anterior y
posterior al grupo de edad considerado. Ası́ por ejemplo: si se toman los grupos de edad 35 − 39,
40 − 44 y 45 − 49 años cumplidos, entonces:
𝑃40−44
𝑃35−39 + 𝑃45−49
2
(1.2)
debe tender a la unidad ya que la población de 35 − 39 años cumplidos más la población de 45
a 49 años cumplidos censada dividida entre dos debe ser aproximadamente igual a la población que
declaró tener entre 40 y 44 años cumplidos; esto bajo la hipótesis de linealidad.
A continuación se construyen los ı́ndices por sexo, los que se definen como 𝐿𝐻 (𝐺) para los
hombres e 𝐼 𝐹 (𝐺) para las mujeres, donde:
𝐼 𝐻 (𝐺) =
𝐻
∑13 2𝑃(5𝑖)−(51+4)
− 1
𝐻
𝑖=1 𝑃 𝐻
+
𝑃
(5𝑖+5)−(5𝑖+9)
(5𝑖−5)−(5𝑖)
13
e
𝐼 𝐹 (𝐺) =
(1.3)
(1.4)
𝐹
∑13 2𝑃(5𝑖)−(51+4)
− 1
𝐹
𝑖=1 𝑃 𝐹
+
𝑃
(5𝑖−5)−(5𝑖)
(5𝑖+5)−(5𝑖+9)
13
(1.5)
El ı́ndice para ambos sexos se definen a partir de los ı́ndices de masculinidad y del hecho de que
no deben tener variaciones sustanciales de grupo a grupo; por ejemplo, si se consideran los grupos
de edad 25 − 29 y 30 − 34 años cumplidos, entonces la diferencia de los ı́ndices de masculinidad
deben tender a cero, es decir:
𝑃𝐻
𝐻
𝑃
25−29
− 30−34
(1.6)
𝑀
tiende a cero
𝑀
𝑃25−29
𝑃30−34
Por tanto el ı́ndice de ambos sexos I(S) se define como:
𝐻
𝐻
∑ 𝑃(5𝑖)−(5𝑖+4)
𝑃(5𝑖+5)−(5𝑖+9)
−
𝑀
𝑀
𝑃(5𝑖)−(5𝑖+4)
𝑃(5𝑖+5)−(5𝑖+9) 𝐼(𝑆) =
∗ 100
(1.7)
13
Basándose en la experiencia mundial, los especialistas de las naciones unidas ponderan con tres
unidades al ı́ndice de ambos sexos I(S), quedando definido el ı́ndice de naciones unidas como:
𝐻
𝑀
𝐼𝑁 𝑢 = 𝐼(𝐺)
+ 𝐼(𝐺)
+ 3𝐼(𝑆)
(1.8)
Es obvio que 𝐼𝑁 𝑢 ∕= 0 ya que para que 𝐼𝑁 𝑢 = 0 los efectivos en cada grupo de edad deben
ser iguales, Para paı́ses donde las hipótesis se han cumplido y se tienen censos de alta calidad en
su control de declaración de edad, 𝐼𝑁 𝑢 se encuentra alrededor de 9 unidades, teniéndose que en la
medida que se aleje de este número, en esa medida se acentúa la mala declaración de edad.
11
1.4.3.
Índice de Myers
Este ı́ndice (IM1 ) se define a partir de la suma de los valores absolutos de los ı́ndices individuales
para cada dı́gito 𝑀𝑗 con 𝑗 = 0, 1, 2, ..., 8, 9, los que estiman la atracción de rechazo de cada uno de
los dı́gitos en la declaración de edad.
Para definir IM y los valores 𝑀𝑗 es necesario definir la siguiente notación:
𝑃𝑥 Número de personas que declaran la edad 𝑥 cumplida.
𝑉𝑥 Número de personas que realmente tienen la edad 𝑥 cumplida.
∑
𝑃𝑗 = 𝑖≥1 𝑃10𝑖+𝑗 Número de personas que han declarado edad cumplida terminada en el
dı́gito 𝑗 y dentro de la población de diez años y más cumplidos.
∑
𝑃𝑗′ = 𝑖>1 𝑃10𝑖+𝑗 Número de personas que han declarado edad cumplida terminada en el
dı́gito 𝑗 y dentro de la población de veinte años y más cumplidos.
∑
𝑉𝑗 =
𝑖≥1 𝑉10𝑖+𝑗 Número real de individuos con edad cumplida terminada en el dı́gito 𝑗
dentro de la población de diez años y más cumplidos.
∑
𝑉𝑗′ =
𝑖>1 𝑉10𝑖+𝑗 Número real de individuos con edad cumplida terminada en el dı́gito 𝑗
dentro de la población de veinte años y más cumplidos.
Por ejemplo:
𝑃5 =
∑
𝑃10𝑖+5
(1.9)
𝑖≥1
𝑉5′
= 𝑃10(1)+5 + 𝑃10(2)+5 + 𝑃10(3)+5 + . . .
(1.10)
= 𝑃15 + 𝑃25 + 𝑃35 + . . .
∑
=
𝑉10𝑖+5
(1.11)
(1.12)
𝑖>1
= 𝑉10(2)+5 + 𝑉10(3)+5 + 𝑉10(4)+5 + . . .
(1.13)
= 𝑉25 + 𝑉35 + 𝑉45 + . . .
(1.14)
De ser posible el conocer los valores de 𝑉𝑗 y 𝑉𝑗′ , esto de tener entrevista repetida, (hecho
prácticamente imposible de tener en un censo nacional), un adecuado ı́ndice de atracción o rechazo
para el dı́gito 𝑗 serı́a:
(𝑃𝑗 − 𝑃𝑗′ ) − (𝑉𝑗 − 𝑉𝑗′ )
𝑉𝑗 − 𝑉𝑗′
=
1
−
(1.15)
(𝑃𝑗 − 𝑃𝑗′ )
𝑃𝑗 − 𝑃𝑗′
Debido a la imposibilidad de tener los valores 𝑉𝑗 y 𝑉𝑗′ , Myers supone linealidad en la tendencia
de los valores 𝑉𝑗 y 𝑉𝑗′ , ponderándolos y suponiendo que en cada uno de los diez dı́gitos debe haber
un diez por ciento de la población, ası́:
𝑎𝑗 𝑣𝑗 − 𝑎′𝑗 𝑣𝑗′
′ ′
𝑗=0 (𝑎𝑗 𝑣𝑗 − 𝑎𝑗 𝑣𝑗 )
∑𝑎
1
(1.16)
La presentación de Índice se basa en el volumen XLI de la revista Actuarial Society of America Transcaction,
publicada en Nueva York en 1940 y en artı́culo que bajo el tı́tulo .Error and bias in the reporting of age census
data”que fue publicado en dicha revista. También en el libro de Joaquin Leguina ”Fundamentos de Demografı́a”,
tercera edición, Siglo Veintiuno editores, México D.F., 1981
12
donde 𝑎𝑗 y 𝑎′𝑗 toman los valores:
𝑗
𝑎𝑗
𝑎′𝑗
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Por ejemplo:
𝑎5 𝑉5 − 𝑎′5 𝑉5′ = 6𝑉5 + 4𝑉5′
(1.17)
= 6(𝑉15 + 𝑉25 + 𝑉35 + . . .) + 4(𝑉23 + 𝑉35 + 𝑉45 + . . .)
(1.18)
= 6𝑉15 + 10𝑉25 + 10𝑉35 + . . .
(1.19)
6𝑉15 = 𝑉10 + 𝑉11 + 𝑉12 + 𝑉13 + 𝑉14 + 𝑉15
(1.20)
Suponiéndose que:
10𝑉25 = 𝑉16 + 𝑉17 + 𝑉18 + 𝑉19 + 𝑉20 + 𝑉21 + 𝑉22 + 𝑉23 + 𝑉24 + 𝑉25
etc.
(1.21)
(1.22)
Teniéndose que en el mejor de los casos:
9
∑
(𝑎𝑗 𝑉𝑗 −
𝑎′𝑗 𝑉𝑗′ )
𝑗=0
=
9
∑
𝑎𝑗 𝑃𝑗 − 𝑎′𝑗 𝑃𝑗′
(1.23)
y la diferencia:
(1.24)
𝑗=0
(𝑎𝑗 𝑃𝑗 −
𝑎′𝑗 𝑃𝑗′ )(𝑎𝑗 𝑉𝑗
−
𝑎′𝑗 𝑉𝑗′ )
(1.25)
miden el sesgo en la declaración de edad en términos absolutos.
Por lo que Myers define el ı́ndice 𝑀𝑗 :
𝑀𝑗
𝑎𝑗 𝑃𝑗 − 𝑎′𝑗 𝑃𝑗′ + (𝑎𝑗 𝑉𝑗 − 𝑎′𝑗 𝑉𝑗′ )
∗ 100
∑9
′ ′
𝑗=0 𝑎𝑗 𝑃𝑗 − 𝑎𝑗 𝑃𝑗
)
(
𝑎𝑗 𝑃𝑗 − 𝑎′𝑗 𝑃𝑗′
=
− 0,10 ∗ 100
∑9
′ ′
𝑗=0 (𝑎𝑗 𝑃𝑗 − 𝑎𝑗 𝑃𝑗 )
=
13
(1.26)
(1.27)
teniéndose que el dı́gito 𝑗 es de atracción si 𝑀𝑗 > 0 y de rechazo si 𝑀𝑗 < 0. Finalmente Myers
define su ı́ndice como:
9
∑
𝐼𝑀 =
∣𝑀𝑗 ∣
(1.28)
𝑗=1
Si se cumplieran las hipótesis entoncesb 𝐼𝑀 = 0 de centrarse en un solo dı́gito la declaración
de edad, entonces 𝐼𝑀 = 180. Entre 0 y 180 se definieron los siguientes rangos para clasificar a la
concentración de la población en cuanto a la preferencia de dı́gitos.
1.4.4.
Rango de 𝐼𝑀
Clasificación
0 a 4.99
5 a 14.99
15 a 29.99
30 a más
Baja concentración en algún dı́gito
Baja concentración en algún dı́gito
Mediana concentración en algún dı́gito
Muy alta concentración en alún dı́gito
Corrección de la estructura por edad de la población censada
La corrección de la información captada en los censos nacionales de población y vivienda, para
fines de elaborar una tabla de mortalidad, se lleva a cabo empleando diversos métodos, en este
caso se presentará el método de ajuste llamado fórmula de graduación de un dieciseisavo2 . Dicha
fórmula se basa en el ajuste de la estructura de la población, agrupada en grupos quinquenales de
edad convencionales (0-4, 5-9, ...., 80-84 y 85 y más), suponiendo que cada cinco grupos de edades
sucesivos estimados se distribuyen adecuándose a un polinomio de grado tres y que los efectivos
observados por grupo quinquenal de edad contienen un error (e), de magnitud constante, el cual
incide en alternativamente en los valores estudiados, teniéndose que:
𝑆ˆ𝑗 = 𝑆𝑗 (−1)𝑗−1
(1.29)
donde:
𝑆ˆ𝑗 es el efectivo de población estimado en el grupo de edad 𝑗.
𝑆𝑗 es el efectivo de población observado en el grupo de edad 𝑗.
𝑗 = 𝑖 − 2, 𝑖 − 1, 𝑖, 𝑖 + 1, 𝑖 + 2
por ejemplo si tenemos los primeros cinco grupos de edad y sus respectivos efectivos de población
observada, que se declaró en el censo en estudio con esas edades y llamamos a 𝑆0 a la población
censada en el grupo de edad 0 − 4 años cumplidos, 𝑆1 a la población censada en el grupo de edad
5 − 9 años cumplidos, 𝑆2 a la población censada en el grupo de edad 10 − 14 años cumplidos, 𝑆3 a
la población censada en el grupo de edad 15 − 19 años cumplidos y 𝑆4 a la población censada en el
grupo de edad 20 − 24 años cumplidos entonces:
2
La presentación se basa en el material compilado por los autores Corona V. Rodolfo y Minunjin Z. Alberto,
en su libro ”Manual de Técnicas de Evaluación y Ajuste de información Estadı́stica.editado por Fondo de Cultura
Económica en México D.F.
14
𝑆ˆ0 = 𝑆0 + (−1)𝑖−2 = 𝑆0 + (−1)−2 e = 𝑆0 + e
𝑆ˆ1 = 𝑆1 + (−1)𝑖−1 = 𝑆1 + (−1)−1 e = 𝑆1 + e
𝑆ˆ2 = 𝑆2 + (−1)𝑖−𝑖 = 𝑆2 + (−1)0 e = 𝑆2 + e
(1.30)
𝑆ˆ3 = 𝑆3 + (−1)(𝑖+1)−𝑖 = 𝑆3 + (−1)1 e = 𝑆3 + e
𝑆ˆ4 = 𝑆4 + (−1)(𝑖+2)−𝑖 = 𝑆4 + (−1)2 e = 𝑆4 + e
(1.33)
(1.31)
(1.32)
(1.34)
Ahora bien, de acuerdo a la hipótesis de que se ajusta a un polinomio de tercer grado a los
valores de 𝑆ˆ𝑗 , entonces Δ4 𝑆ˆ𝑗 = 0. Ilustrando este hecho, supongamos el polinomio de tercer grado,
Ψ = 𝑥3 + 𝑥2 + 2𝑥 − 1 entonces:
H
Ψ
ΔΨ
Δ2 Ψ
Δ3 Ψ
Δ4 Ψ
0
1
2
3
4
5
6
-1
3
15
41
87
159
264
3-(-1)=4
15-(3)=12
41-(15)=26
87-(41)=46
159-(87)=72
264-(159)=104
(12)-(4)=8
(26)-(12)=14
(46)-(26)=20
(72)-(46)=26
(104)-(72)=32
6
6
6
6
0
0
0
Haciendo la analogı́a para los valores 𝑆ˆ𝑗 :
j
𝑆ˆ𝑗
Δ𝑆ˆ𝑗
Δ2 𝑆ˆ𝑗
Δ3 𝑆ˆ𝑗
𝑖−2
𝑖−1
𝑖
𝑖+1
𝑖+2
ˆ
𝑆𝑖−2
ˆ
𝑆𝑖−1
𝑆ˆ𝑖
ˆ
𝑆𝑖+1
ˆ
𝑆𝑖+2
ˆ − 𝑆𝑖−2
ˆ
𝑆𝑖−1
ˆ
ˆ
𝑆𝑖 − 𝑆𝑖−1
ˆ − 𝑆ˆ𝑖
𝑆𝑖+1
ˆ − 𝑆𝑖+1
ˆ
𝑆𝑖+2
ˆ − 𝑆𝑖−2
ˆ
𝑆ˆ𝑖 − 2𝑆𝑖−1
ˆ
ˆ
ˆ
𝑆𝑖+1 − 2𝑆𝑖 − 𝑆𝑖−1
ˆ − 2𝑆𝑖+1
ˆ − 𝑆ˆ𝑖
𝑆𝑖+2
ˆ − 3𝑆ˆ𝑖 + 𝑆𝑖−1
ˆ − 𝑆𝑖−2
ˆ
𝑆𝑖+1
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
𝑆𝑖+2 − 3𝑆𝑖+1 + 3𝑆𝑖 − 𝑆𝑖−1
por tanto
ˆ − 4𝑆𝑖+1
ˆ + 6𝑆ˆ𝑖 − 4𝑆𝑖−1
ˆ + 𝑆𝑖−2
ˆ =0
Δ4 𝑆ˆ𝑗 = 𝑆𝑖+2
(1.35)
Por Hipótesis
ˆ
ˆ +e
𝑆𝑖−2
= 𝑆𝑖+2
ˆ
ˆ −e
𝑆𝑖−1
= 𝑆𝑖+1
𝑆ˆ𝑖 = 𝑆ˆ𝑖 + e
(1.36)
(1.37)
(1.38)
ˆ
ˆ −e
𝑆𝑖+1
= 𝑆𝑖+1
ˆ
ˆ +e
𝑆𝑖+2
= 𝑆𝑖+2
4 ˆ
⇒ Δ 𝑆𝑗 = 0
(1.39)
(1.40)
(1.41)
ˆ + e − 4𝑆𝑖+1
ˆ + 4e6𝑆ˆ𝑖 + 6e − 4𝑆𝑖−1
ˆ + 4e + 𝑆𝑖−2
ˆ +e
= 𝑆𝑖+2
ˆ − 4𝑆𝑖+1
ˆ + 6𝑆ˆ𝑖 − 4𝑆𝑖−1
ˆ + 𝑆𝑖−2
ˆ + 16e
= 𝑆𝑖+2
15
(1.42)
(1.43)
Despejando el valor de 𝑒
ˆ + 4𝑆𝑖+1
ˆ − 6𝑆ˆ𝑖 + 4𝑆𝑖−1
ˆ − 𝑆𝑖−2
ˆ
16e = −𝑆𝑖+2
(
)
1
ˆ + 4𝑆𝑖+1
ˆ − 6𝑆ˆ𝑖 + 4𝑆𝑖−1
ˆ − 𝑆𝑖−2
ˆ
−𝑆𝑖+2
⇒e =
16
(1.44)
(1.45)
También por la hipótesis
𝑆ˆ𝑖 = 𝑆𝑖 + (−1)𝑖−1 e = 𝑆𝑖 + e
sustituyendo el valor de e
𝑆ˆ𝑖
(1.46)
(1.47)
)
1 ( ˆ
ˆ − 6𝑆ˆ𝑖 + 4𝑆𝑖−1
ˆ − 𝑆𝑖−2
ˆ
= 𝑆𝑖 +
−𝑆𝑖+2 + 4𝑆𝑖+1
16
simplificando queda:
𝑆ˆ𝑖 =
(1.48)
(1.49)
)
1 ( ˆ
ˆ + 10𝑆ˆ𝑖 + 4𝑆𝑖−1
ˆ − 𝑆𝑖−2
ˆ
−𝑆𝑖+2 + 4𝑆𝑖+1
16
(1.50)
La cual es la fórmula de graduación de un dieciseisavo.
1.4.5.
Proyección de la población censada y ajustada al 30 de Junio del año
censal
Una vez evaluada y corregida la estructura por edad de la población censal, es necesario para
tener los denominadores de las tasas de mortalidad, la estimación de la población a mitad del año,
es decir, al 30 de Junio del año censal.
Antes de indicar como se lleva a cabo la proyección, se hace notar la razón por la cual esto es
indispensable.
Una tasa de mortalidad para el grupo quinquenal de edades cumplidas entre 𝑋 y 𝑋 +4 se define
como la división del número de defunciones registradas en el año Censal (supongamos 1990) y los
años-persona vividos por la cohorte en estudio entre las edades 𝑋 y 𝑋 + 4 cumplidos. Entendiendo
por cohorte al número de personas que comparten un mismo evento origen, que en este caso es el
estar vivo a edad 𝑋.
Los años persona son las unidades de tiempo, medida en años, que aportó cada individuo de la
cohorte en cuanto a años vividos entre las edades 𝑋 y 𝑋 + 4 años cumplidos.
Por ejemplo:
Supongamos 48 personas que llegan con vida a los 20 años y que 5 de ellas mueren entre los
20 y 24 años cumplidos; y supongamos que 1 de ellas murió a los 20 años 4 dı́as, 3 de ellas a los
22 años, 10 meses, 8 dı́as y la otra a los 24 años, 1 mes 28 dı́as, entonces la tasa de mortalidad
especı́fica para esta cohorte y para el grupo quinquenal de edad 20 − 24 años será:
5 𝑀20
=
𝑅,1990
𝐷(20,25)
𝑎˜
𝑛𝑜𝑠 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎(20−25)
(1.51)
donde:
5 𝑀20
Denota la tasa de mortalidad especı́fica para el grupo de edad y 5 años exactos más, es
decir, entre 20 y 24 años cumplidos.
16
𝑅,1990
𝐷(2,25)
Denota a las definiciones registradas en el año 1990 de personas entre las edades
exactas 20-25 años, en este ejemplo son 5.
años persona (20,25) Denota los años persona que aportaron las 48 personas en los 5 años
correspondientes entre las edades exactas 20 y 25, con vida, es decir, para los que fallecieron,
antes de hacerlo, y para los que sobrevivieron, en este caso 43 personas, con 5 años cada uno
de ellos.
Dado que difı́cilmente se tendrán estadı́sticas vitales que permitan estimar los años-persona
vividos siguiendo la definición de manera puntual, se utiliza la hipótesis de distribución uniforme
o lineal de las definiciones, lo que es válido para todos los grupos de edad excepto el primero (0-4
años cumplidos), el cual será tratado más adelante.
Siguiendo el ejemplo planteado y suponiendo distribución uniforme o lineal de las defunciones
tendremos que la aproximación que empleamos para la estimación de los años-personas vividos por
la cohorte de 48 personas a edad exacta 20 años será:
5(43) + 5 25
Ilustrado en un diagrama de Lexis:
Nótese que en el diagrama de Lexis la población representada por los años persona vividos es
la de 20 a 24 años cumplidos al final del año 1990. Sin embargo las defunciones registradas no se
tienen clasificadas por generaciones3 sino por año de ocurrencia, ası́ el diagrama de Lexis serı́a:
3
Se llama generación a la cohorte que comparte el evento origen nacimiento
17
Teniéndose a los años persona asociados al número de personas entre 20 y 24 años cumplidos a
mitad del año, es decir, al 33 de Junio de 1990.
Ya que los años persona vividos se pueden estimar con la población al 30 de Junio del año
considerado, para los grupos de edades quinquenales a partir de 5 a 9 años cumplidos, es necesario
proyectar la estructura por edad de la población censada del dı́a que fue censada al 30 de Junio del
año Censal.
Supongamos que se tienen la población 𝑃0 origen, en el año inicial que llamaremos cero. Un año
después tendremos 𝑃1 que será igual a 𝑃0 más un porcentaje de 𝑃0 , el cual en general es positivo,
el cual denotaremos con 𝑟, y que comúnmente se le llama tasa de crecimiento.
Ası́:
𝑃1 = 𝑃0 + 𝑃0 𝑟 = 𝑃0 (1 + 𝑟)
(1.52)
supóngase r constante en el tiempo, entonces:
𝑃2 = 𝑃1 + 𝑃1 𝑟 = 𝑃1 (1 + 𝑟)
(1.53)
2
= 𝑃0 (1 + 𝑟)(1 + 𝑟) = 𝑃0 (1 + 𝑟)
(1.54)
No es difı́cil ver que la población t años después es función de la población de origen 𝑃0 , guarda
la relación:
𝑃𝑡 = 𝑃0 (1 + 𝑟)𝑡
(1.55)
Demostración por inducción matemática. Para t=1 tenemos:
𝑃1 = 𝑃0 + 𝑃0 𝑟 = 𝑃0 (1 + 𝑟)1
(1.56)
Suponemos válido para t=k, ésta es la hióteisi de inducción
𝑃𝑘 = 𝑃0 (1 + 𝑟)𝑘
(1.57)
Lo demostramos apra k+1
𝑃𝑘+1 = 𝑃𝑘 + 𝑃𝑘 𝑟 = 𝑃𝑘 (1 + 𝑟)
𝑘
= 𝑃0 (1 + 𝑟) (1 + 𝑟) = 𝑃𝑘 (1 + 𝑟)
(1.58)
𝑘+1
(1.59)
El problema se centra ahora en estimar a la tasa de crecimiento r. Para ello tomamos la información en cuanto al total de la Población censada en dos censos sucesivos.
Sea 𝑃𝑡 la población total censada en el primer censo y 𝑃𝑡+𝑛 la población total censada en el
segundo censo; 𝑛 en el caso de México es aproximadamente igual a 10.
Conociendo 𝑃𝑡 , 𝑃𝑡+𝑛 y 𝑛 aplicamos la relación obtenida bajo la hipótesis de r constante en el
tiempo y despejamos su valor, es decir:
𝑃𝑡+𝑛 = 𝑃𝑡 (1 + 𝑟)𝑛
entonces
(
𝑃𝑡+𝑛
𝑃𝑡
(1.60)
)1
𝑛
= (1 + 𝑟)
18
(1.61)
finalmente
(
𝑟=
𝑃𝑡+𝑛
𝑃𝑡
)1
𝑛
−1
(1.62)
Una vez estimado el valor de la tasa de crecimiento r podemos proyectar la estructura por edad
de la población censada, esto al 30 de Junio del año censal.
Por ejemplo:
Dada la población censada, evaluada y corregida con edad entre 𝑥 y 𝑥 + 4 años cumplidos
(𝑋 = 5, 10, 15, ...) al 4 de Junio de 1980 (año en que se levantó el X Censo Nacional de Población y
𝐶.𝑃 ,4,06,80
vivienda en México), la que denotamos 𝑃𝑥,𝑥+4
; la población estimada al 30 de Junio de 1980,
30,06,08
ˆ
que denotamos 𝑃𝑥.𝑥+4 será estimada con la siguiente relación:
26
ˆ
20,06,80
𝐶.𝑃 ,4,06,80
𝑃𝑥.𝑥+4
= 𝑃𝑥,𝑥+4
(1 + 𝑟) 365
(1.63)
26
donde 365
denotan los dı́as entre la fecha del levantamiento del censo y el 30 de Junio del año
censal.
Hasta aquı́ se puede ya tener los denominadores de las tasas especı́ficas de mortalidad por
grupos quinquenales de edad (5 𝑀𝑥 ) para 𝑋 = 5, 10, 15, ...; las estimaciones de los denominadores
de la tasa de mortalidad infantil (1 𝑀0 )y del grupo de edad 1 a 4 años cumplidos (4 𝑀1 )se verán
mas adelante, con la presentación de los factores de separación.
1.4.6.
Evaluación y corrección de la distribución de las defunciones por grupos
quinquenales de edades
Se tienen actualmente métodos que miden con cierta precisión e1 grado de subregistro de las
defunciones, tanto en el primer grupo de edad (0-4 años cumplidos) como para el resto de los
grupos4 .
Dado que dichos métodos requieren de un mayor conocimiento del Análisis Demográfico y
manejo de la información, aquı́ se presentará un método sencillo y eficaz para estimar el grado de
subregistro de las defunciones, tanto del primer grupo de edad, el que se divide en dos grupos (cero
años cumplidos y 1 a 4 años cumplidos) y para el resto de los grupos (5 -9, 10 -14, ..., 85 y más).
Inicialmente se vera la estimación del grado de subregistro de las defunciones para los grupos
de edad 5-9, 10-14, hasta el 85 y más años cumplidos de edad. Para ello suponemos tener para
dos censos sucesivos, las estructuras por grupos quinquenales de edad, evaluadas, corregidas y
proyectadas al 30 de Junio de cada uno de los dos años censados; ellas para los grupos de edades 5
-9 años cumplidos en adelante.
Se debe tener las defunciones registradas para dichos grupos quinquenales de edad, en tres años,
uno anterior, otro posterior y para el año en que se esta calculando la tabla. Por ejemplo; si se
esta calculando la tabla para el año 1990 entonces hay que captar la información de las defunciones
registradas en 1989, 1990 y 1991 por grupos quinquenales de edad a partir del grupo 5 a 9 años
cumplidos.
La razón de captar la información anterior, es el tener el promedio de defunciones registradas en
esos tres años y reducir el sesgo
de las defunciones. El promedio de las defunciones
∑ por subregistro
𝑅.𝑖.
𝑅.𝑖
𝐷
donde
𝐷𝑥,𝑥+4
representa las defunciones registradas en
será aritmético, es decir: 31 1990
𝑖=1989 𝑥,𝑥+4
el año 𝑖 de personas que fallecieron entre las edades cumplidas 𝑥 y 𝑥 + 4 años.
4
Ver Bibliografı́a
19
El método que se describe a continuación, para estimar el grado de subregistro de las defunciones,
se basa en la hipótesis de población cerrada a la migración y que las estructuras al 30 de Junio de
cada uno de los dos años censales sucesivos es, con alta precisión, la real y en la estabilización en
los afectivos de defunciones en los diez años considerados (entre el primero y el segundo censo).
La población que al 30 de Junio del año 1980 (año del primer censo) tenı́a entre las edades
cumplidas 𝑥 y 𝑥 + 4, al 30 de Junio del año 1990 (año del segundo censo) la población sobreviviente
será igual a la que tiene entre 𝑥 + 10 y 𝑥 + 14 años cumplidos. Si denotamos a dichas poblaciones
30,06.𝑡
30,06.𝑡+10
como 𝑃𝑥,𝑥+4
y 𝑃𝑥+10,𝑥+4+10
respectivamente, entonces bajo los supuestos antes citados:
)
1 ( 30,06,1990
30,06,1980
𝑃𝑥+10,𝑥+14 − 𝑃𝑥,𝑥+4
10
(1.64)
debe ser aproximadamente igual a
{ 1990
}
∑ (
)
1
𝑅.𝑖
𝑅.𝑖
𝑅.𝑖
𝐷𝑥,𝑥+4
+ 𝐷𝑥+5,𝑥+9
+ 𝐷𝑥+10,𝑥+14
3
(1.65)
𝑖=1989
Ya que la décima parte de la diferencia entre las dos poblaciones al 30 de Junio de sus respectivos
años censales, se debe a las defunciones que anualmente se debieron registrar en personas que al
fallecer tenı́an entre las edades cumplidas 𝑥 y 𝑥 + 4 años, o que debe de coincidir, de no existir
subregistro de las defunciones y de cumplirse las hipótesis del método con el promedio de las
defunciones registrar entre 1989 y 1990 (siguiendo el ejemplo) y que tenı́an entre 𝑥 y 𝑥 + 14 años
cumplidos.
Dado que generalmente se tendrá un subregistro:
) 1
1 ( 30,06,1990
30,06,1980
>
𝑎=
𝑃𝑥+10,𝑥+14 − 𝑃𝑥,𝑥+4
10
3
{
1990
∑
}
(
𝑅.𝑖
𝑅.𝑖
𝑅.𝑖
𝐷𝑥,𝑥+4
+ 𝐷𝑥+5,𝑥+9
+ 𝐷𝑥+10,𝑥+14
)
(1.66)
𝑖=1989
por lo que existirá un número K tal que:
𝑎 = (1 + 𝐾) ∗ 𝑏
(1.67)
donde K mide el grado de subregistro de las definiciones en los grupos de edad (𝑥, 𝑥 + 4),
(𝑥 + 5, 𝑥 + 9) y (𝑋 + 10, 𝑋 + 14) años cumplidos, y (1 + 𝐾) será el factor de corrección que se debe
aplicar a dichas defunciones.
20
1.4.7.
Estimación de las tasas de mortalidad especı́ficas por grupos quinquenales de edades, a partir de 5 a 9 años cumplidos
Una vez estimada, por un lado, la estructura por grupos quinquenales de edad, para el año
censal asociado al año de referencia de la tabla; evaluada, corregida y proyectada para el 30 de
junio del año censal, y por otro lado, la estructura promedio corregida de las defunciones, para
los mismos grupos quinquenales de edades; se pueden estimar las tasas de mortalidad especificadas
para dichos grupos de edad; los pasos a seguir se resumen en el siguiente cuadro:
1.5.
Estimación de la tasa de mortalidad infantil (1 𝑀0 ) y la del
grupo de uno a cuatro años cumplidos (4 𝑀1 )
Dado que la estructura de la población censada no es confiable para el grupo de edad 0 − 4
años cumplidos, sobre todo por la no declaración de los niños menores de un año, se hace necesario
estimar la población al 30 de Junio del año censal con un tratamiento de la información diferente
al que se uso para los grupos quinquenales de edad a partir del 5 a 9 años.
El grupo quinquenal inicial, 0-4 años cumplidos, se divide en dos grupos, el de cero años cumpli21
dos y el de uno a cuatro años cumplidos, esto por la importancia del indicador 1 𝑀0 y su asociación
a aspectos sociales, económicos y de salud pública.
Inicialmente se presentará la estimación de los denominadores de las tasas de mortalidad 1 𝑀0
y 4 𝑀1 es decir la población estimada al 30 de Junio del año censal de cero años cumplidos y de
uno a cuatro años cumplidos respectivamente.
Para ilustrar el método a seguir supóngase que deseamos los poblaciones al 30 de Junio de 1990.
Para ello requerimos de la siguiente información:
Los nacimientos registrados en los años de 1985 a 1990, los que denotaremos 𝑁 𝑅.𝑖 , (𝑖 =
1985, 1986, ..., 1990).
Para el grupo de edad cero anos cumplidos, las defunciones registradas de 1985 a 1990,
desagregadas, en cuanto a la edad del infante al momento de la muerte, en dı́as, de cero a
seis dı́as cumplidos, en semanas, de una a tres semanas cumplidas y en meses, de uno a once
meses cumplidos. La notación que se empleará se resume en el siguiente cuadro:
Edad al momento de la muerte (dı́as cumplidos)
0
1
2
3
4
5
6
1985
1986
1987
1988
1989
1990
𝑅1985
𝐷(0/365)
𝑅1985
𝐷(1/365)
𝑅1985
𝐷(2/365)
𝑅1985
𝐷(3/365)
𝑅1985
𝐷(4/365)
𝑅1985
𝐷(5/365)
𝑅1985
𝐷(6/365)
𝑅1990
𝐷(0/365)
𝑅1990
𝐷(1/365)
𝑅1990
𝐷(2/365)
𝑅1990
𝐷(3/365)
𝑅1990
𝐷(4/365)
𝑅1990
𝐷(5/365)
𝑅1990
𝐷(6/365)
𝑅1985
𝐷(1/52)
𝑅1985
𝐷(2/52)
𝑅1985
𝐷(3/52)
𝑅1990
𝐷(1/52)
𝑅1990
𝐷(2/52)
𝑅1985
𝐷(3/52)
𝑅1985
𝐷(1/12)
𝑅1985
𝐷(2/12)
𝑅1985
𝐷(3/12)
𝑅1985
𝐷(4/12)
𝑅1985
𝐷(5/12)
𝑅1985
𝐷(6/12)
𝑅1985
𝐷(7/12)
𝑅1985
𝐷(8/12)
𝑅1985
𝐷(9/12)
𝑅1985
𝐷(10/12)
𝑅1985
𝐷(11/12)
𝑅1990
𝐷(1/12)
𝑅1990
𝐷(2/12)
𝑅1990
𝐷(3/12)
𝑅1990
𝐷(4/12)
𝑅1990
𝐷(5/12)
𝑅1990
𝐷(6/12)
𝑅1990
𝐷(7/12)
𝑅1990
𝐷(8/12)
𝑅1990
𝐷(9/12)
𝑅1990
𝐷(10/12)
𝑅1990
𝐷(11/12)
Semanas cumplidas
1
2
3
Meses cumplidos
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
22
Para el grupo de edad uno a cuatro años cumplidos, las defunciones registradas de 1986 a 1990
de un año de edad cumplido por el infante al morir, de 1987 a 1990 de dos años cumplidos,
de 1988 a 1990 de tres años cumplidos, y de 1989 y 1990 de cuatro años cumplidos.
En el siguiente cuadro se resume y denota la información, en cuanto a las defunciones registradas
requeridas para el grupo de edad uno a cuatro años cumplidos.
Edad al momento de la muerte (años
cumplidos)
1
2
3
4
1986
1987
1988
1989
1990
𝐷1𝑅1986
𝐷1𝑅1987
𝐷1𝑅1987
𝐷1𝑅1988
𝐷1𝑅1988
𝐷1𝑅1988
𝐷1𝑅1989
𝐷1𝑅1989
𝐷1𝑅1989
𝐷1𝑅1989
𝐷1𝑅1990
𝐷1𝑅1990
𝐷1𝑅1990
𝐷1𝑅1990
Se presenta a continuación la información en un diagrama de Lexis, denotando con 𝐷0𝑅𝑖 , (i =
1985,...,1990) al total de defunciones registradas de infantes de cero años cumplidos al momento de
la muerte en el año registrado 𝑖.
En el anterior diagrama de Lexis se observa con claridad que las defunciones no están registradas
por generación o cohorte, es decir, las definiciones registradas en el año 𝑖 con 𝑥 años cumplidos
al momento de la muerte, pertenecen a dos generaciones; ejemplo las 𝐷2𝑅1988 son defunciones de
infantes que al morir tenı́an dos años cumplidos de edad, registradas en 1989 y de niños nacieron
en 1986 y 1987.
El problema se centra en separar las definiciones por generación y poder llenar los espacios en
el siguiente diagrama de Lexis
23
Supóngase que ya se tienen divididas las defunciones por generación; para ilustrar su utilidad
tomemos las cohortes o generaciones de 1985 y 1986, entonces se puede estimar la población de
cuatro años cumplidos al 30 de Junio de 1990, la explicación se da con la ayuda del siguiente
diagrama de Lexis.
Una vez divididas por cohorte las defunciones, se∑
estima la población de 4 años cumplidos,
𝑅1986
viva al 1.01.1990 (1 de enero de 1990) como 𝑁
− 9𝑖=1 𝑎𝑖 y la población con los mismos años
∑9
al 31 de diciembre de 1990 como 𝑁 𝑅1986− 𝑗=1 𝑏𝑗 ; siendo la estimación de la población de 4 años
cumplidos, viva al 30 de Junio de 1990 𝑃430,06,90 el promedio aritmético de las poblaciones estimadas
al principio y al final de 1990, es decir:
24
𝑃430,06,90 =
𝑃41,01,90 + 𝑃431,12,90
2
donde
(1.68)
(1.69)
𝑃41,01,90 = 𝑁 𝑅1985 −
9
∑
𝑎𝑖
(1.70)
𝑖=1
y
(1.71)
𝑃431,12,90 = 𝑁 𝑅1986 −
9
∑
𝑏𝑗
(1.72)
𝑗=1
Una vez vista la importancia de separar las defunciones, se verá a continuación el cálculo de los
factores de separación que servirán para lograr dicho objetivo: separar el total de defunciones por
cohorte o generación.
1.6.
Factores de Separación
En principio se verá para el primer grupo de edad (cero años cumplidos), la manera en que
se pueden separar las defunciones registradas en cada año, por generación o cohorte. Para ello ya
se deben tener las defunciones desagregadas en dı́as, semanas y meses cumplidos, de acuerdo a la
desagregación antes ndicada.
La hipótesis con la que se trabajará es la de distribución uniforme o lineal de las muertes, en
cada uno de los intervalos de tiempo en que se desagregaron las defunciones, ası́ las personas que
fallecieron teniendo cero dı́as cumplidos, supondremos que vivieron en promedio medio dı́a, es decir
1
2∗365 de año; los que murieron teniendo un dı́a cumplido, supondremos que en promedio vivieron
1
1
uno y medio dı́a, es decir, 365
+ 2∗365
de año, y ası́ sucesivamente.
En la siguiente tabla se presentan el tiempo que en promedio aportó cada persona que murió en
el grupo de edad cero años cumplidos, por intervalo de edad, de acuerdo a la desagregación antes
indicada.
25
Edad (dı́as cumplidos)
0
1
2
3
4
5
6
Semanas cumplidas
1
2
3
Meses cumplidos
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Edad promedio al morir
(1) ( 1 )
)( 1 )
( 1 )2 ( 365
+ ( 21 ) ( 365
)
)
( 365
1
1
2
+
365
2
365
( 3 ) (1) ( 1 )
( 365
) + ( 21 ) ( 365
)
4
1
+ ( 2 ) ( 365
( 365
)
)
5
1
1
+
365
2
365
( 6 ) (1) ( 1 )
365 + 2
365
Notación
( 1 ) (1) ( 1 )
( 52
) + ( 21 ) ( 52
)
2
1
+ ( 2 ) ( 52
( 52
)
)
3
1
1
52 + 2
52
𝑔8
𝑔9
𝑔10
( 1 ) (1) ( 1 )
( 12
) + ( 21 ) ( 12
)
2
1
+
( 12
) ( 21 ) ( 12
)
3
1
+ ( 2 ) ( 12
)
)
( 12
1
1
4
+
12
2
12
( 5 ) (1) ( 1 )
( 12
) + ( 21 ) ( 12
)
6
1
+ ( 2 ) ( 12
( 12
)
)
7
1
1
+
) ( 21 ) ( 12
)
( 12
1
8
+ ( 2 ) ( 12
( 12
)
)
9
1
1
+
12
2
12
( 10 ) ( 1 ) ( 1 )
12 ) + ( 2 ) ( 12 )
( 11
1
1
12 + 2
12
𝑔11
𝑔12
𝑔13
𝑔14
𝑔15
𝑔16
𝑔17
𝑔18
𝑔19
𝑔20
𝑔21
26
𝑔1
𝑔2
𝑔3
𝑔4
𝑔5
𝑔6
𝑔7
Para estimar el factor de separación, el cual corresponde al triángulo superior de cada año,
como se observa en los anteriores diagramas de Lexis. Aplicamos los valores a las correspondientes
defunciones, multiplicándolos y sumando los 21 productos, el resultado representa la cantidad total
que en tiempo aportaron con vida las personas que murieron en el año considerado y que pertenecen
a la generación, o cohorte, un año anterior al año de registro de la defunción.
Ahora, bien, si deseamos el promedio de año que vivieron las personas de la generación un
año anterior al año de registro es necesario dividir la suma de lo 21 productos entre el total de
defunciones registradas en el año en consideración.
Denotando dicho valor como 𝐾 𝑡 el cual además de ser la fracción de año que en promedio
vivieron los niños de la cohorte anterior al. año de registro y que murieron en dicho año, es el factor
que separa a las defunciones registradas en el año de registro, es decir, el porcentaje de defunciones
pertenecientes a la cohorte o generación un año anterior al año de registro de ellas.
Por tanto:
𝑡
𝐾 =
∑21
𝑅𝑡
𝑖=1 𝑔𝑖 𝐷𝑖
𝐷0𝑅𝑡
(1.73)
donde:
𝐷𝑖𝑅𝑡 Son las defunciones registradas en el asño 𝑡 asociadas al intervalo de edad cumplida 𝑔𝑖 .
27
𝐷0𝑅𝑡 Son las defunciones registradas en el año 𝑡 de personas con edad al morir de cero años
cumplidos.
Ası́, por ejemplo, si tenemos el total de defunciones registradas en 1987 de personas que al morir
tenı́an cero años cumplidos (𝐷0𝑅1987 ) entonces:
𝐾 1987 𝐷0𝑅1987
(1.74)
representa el porcentaje de dichas muertes que pertenecen a las personas que nacieron en 1986 y
que murieron en 1987 y:
(
)
1 − 𝐾 1987 𝐷0𝑅1987
(1.75)
representa el porcentaje de las mismas muertes que pertenecen a las personas que nacieron en
1987 y que murieron en el mismo año.
Representando lo anterior en un diagrama de Lexis se tiene:
Pasando a la estimación de los factores de separación, para 1 s defunciones registradas de niños
entre 1 y 4 años cumplidos de edad, se debe decir que el procedimiento es análogo al que se empleo
en el caso de las defunciones de infantes de cero años cumplidos. Sin embargo, debido a que los
valores de dichos factores no difieren de los que se muestran en el siguiente cuadro:
Edad (años cumplidos)
Factores de Separación
1
2
3
4
0.41
0.43
0.45
0.47
Se han tomado como los factores de separación para las defunciones registradas en el grupo de
edad uno a cuatro años cumplidos. Naturalmente que si se desea verificar la validez o precisión delos
factores de separación dados, el investigador tendrı́a que obtenerlos, desagregando en semanas o
28
meses las defunciones registradas en esos cuatro años de vida, y posteriormente estimar los factores
de separación.
En el siguiente diagrama de Lexis se indican en que espacio son empleados los factores de
separación para el grupo de edad 1 a 4 años cumplidos, esto siguiendo el ejemplo de la construcción
de una tabla de mortalidad para el año 1990
Teniéndose finalmente en el siguiente cuadro las expresiones que resumen a la población al
principio y al final de 1990. Las que sirven para estimar la población al 30 de junio de 1990 y con
ello los denominadores de las tasas de mortalidad 1 𝑀0 y 4 𝑀1 .
Edad
0
1
1
2
3
4
Población al 1 de enero de 1990
(
)
𝑁 𝑅1989 − 1 − 𝐾 1989 𝐷0𝑅1989 = 𝑃ˆ 1,01,90
(
)
𝑁 𝑅1988 − 1 − 𝐾 1988 𝐷0𝑅1988 − 𝐾 89 𝐷0𝑅89
0,59𝐷1𝑅89 = 𝑃ˆ11,01,90
(
)
𝑁 𝑅1988 − 1 − 𝐾 1988 𝐷0𝑅1988 − 𝐾 89 𝐷0𝑅89
1,01,90
0,59𝐷1𝑅89 = 𝑃ˆ1
(
)
𝑁 𝑅1987 − 1 − 𝐾 1987 𝐷0𝑅1987 − 𝐾 88 𝐷0𝑅88
0,59𝐷1𝑅88 − 0,41𝐷1𝑅89 − 0,57𝐷2 𝑅89 = 𝑃ˆ21,01,90
(
)
𝑁 𝑅1986 − 1 − 𝐾 1986 𝐷0𝑅1986 − 𝐾 87 𝐷0𝑅87
𝑅87
𝑅88
0,59𝐷1 − 0,41𝐷1 − 0,57𝐷2 𝑅88 − 0,43𝐷2𝑅89
0,55𝐷3𝑅89 = 𝑃ˆ31,01,90
(
)
𝑁 𝑅1985 − 1 − 𝐾 1985 𝐷0𝑅1985 − 𝐾 86 𝐷0𝑅86
0,59𝐷1𝑅86 − 0,41𝐷1𝑅87 − 0,57𝐷2 𝑅87 − 0,43𝐷2𝑅88
0,55𝐷3𝑅88 − 0,45𝐷3𝑅89 − 0,53𝐷4𝑅89 = 𝑃ˆ 1,01,90
4
29
−
−
−
−
−
−
−
Población al 31 de diciembre de 1990
)
(
𝑁 𝑅1990 − 1 − 𝐾 1990 𝐷0𝑅1990 = 𝑃ˆ 31,12,90
(
)
𝑁 𝑅1989 − 1 − 𝐾 1989 𝐷0𝑅1989 − 𝐾 89 𝐷0𝑅90
0,59𝐷1 𝑅90 = 𝑃ˆ131,12,90
(
)
𝑁 𝑅1989 − 1 − 𝐾 1989 𝐷0𝑅1989 − 𝐾 89 𝐷0𝑅90
31,12,90
0,59𝐷1 𝑅90 = 𝑃ˆ1
(
)
𝑁 𝑅1988 − 1 − 𝐾 1988 𝐷0𝑅1988 − 𝐾 88 𝐷0𝑅89
0,59𝐷1 𝑅89 − 0,41𝐷1𝑅90 − 0,57𝐷2𝑅90 = 𝑃ˆ231,12,90
(
)
𝑁 𝑅1987 − 1 − 𝐾 1987 𝐷0𝑅1987 − 𝐾 88 𝐷0𝑅88
𝑅89
0,59𝐷1 𝑅88 − 0,41𝐷1 − 0,57𝐷2𝑅89 − 0,43𝐷2𝑅90
0,55𝐷2𝑅90 = 𝑃ˆ331,12,90
(
)
𝑁 𝑅1986 − 1 − 𝐾 1986 𝐷0𝑅1986 − 𝐾 87 𝐷0𝑅87
0,59𝐷1 𝑅87 − 0,41𝐷1𝑅88 − 0,57𝐷2𝑅88 − 0,43𝐷2𝑅89
0,55𝐷3𝑅89 − 0,45𝐷3𝑅90 − 0,53𝐷4𝑅90 = 𝑃ˆ 31,12,90
4
−
−
−
−
−
−
−
ˆ
Por lo tanto las poblaciones estimadas al 30 de junio de 1990 con cero años cumplidos (𝑃030,06,90 )
30,06,90
y de uno a cuatro años cumplidos (𝑃ˆ1−4
) se estima de la siguiente manera:
𝑃ˆ030,06,90 =
30,06,90
𝑃ˆ1−4
=
ˆ
ˆ
𝑃01,01,90 − 𝑃031,12,90
(1.76)
2
)
(
)]
[(
1
ˆ
ˆ
1,01,90
1,01,90
1,01,90
1,01,90
31,12,90
31,12,90
31,12,90
31,12,90
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
𝑃1
+ 𝑃2
+ 𝑃3
+ 𝑃4
𝑃1
+ 𝑃2
+ 𝑃3
+ 𝑃4
2
Ası́ las tasas de mortalidad 1 𝑀0 y 4 𝑀1 quedan finalmente definidas como:
1 𝑀0
=
4 𝑀1
=
)
( )(
( 31 𝐷0𝑅89 + 𝐷0𝑅90 + 𝐷0𝑅91
𝑃ˆ030,06,90
( ) ( 𝑅89
)
𝑅90 + 𝐷 𝑅91
( 31 𝐷1−4
+ 𝐷1−4
1−4
𝑃ˆ 30,06,90
(1.77)
(1.78)
1−4
Cabe señalar que las defunciones registradas de cero años cumplidos y de uno a cuatro años
cumplidos, se encuentra subregistradas, sobre todo las de cero años cumplidos. Para corregirlas
es necesario dominar técnicas avanzadas de análisis demográfico5 . El subregistro a nivel Nacional,
esperado para 1990, de las defunciones de cero años cumplidos oscila entre un 15 y 20 por ciento y
para las defunciones entre uno y cuatro años cumplidos entre un 8 y un 10 por ciento. Recomendando
incrementar el valor de 1 𝑀0 en un 18 por ciento y el de 4 𝑀1 en un 9 por ciento.
Hasta aquı́ se tienen ya presentada la manera de evaluar, corregir y proyectar la información
censal, y evaluar y corregir la información de las estadı́sticas vitales, esto con el fin de obtener las
tasas especificas de mortalidad, para cada uno de los 19 grupos de edades cumplidas; las que se
denotan en el siguiente cuadro:
5
Ver Mina Valdés Alejandro .Estimación de los niveles y tendencias de la mortalidad infantil y en los primeros
años de vida en México, 1940-1977.en Lecturas sobre temas demográficos, compilación del mismo autor, editorial El
Colegio de México, 1983, pp. 99-156
30
Grupo de edad
Tasa de mortalidad
0
1-4
5-9
10-14
14-19
20-24
25-29
30-34
35-39
40-44
45-49
50-54
55-59
60-64
65-69
70-74
75-79
80-84
85+
1 𝑀0
4 𝑀1
5 𝑀5
5 𝑀10
5 𝑀15
5 𝑀20
5 𝑀25
5 𝑀30
5 𝑀35
5 𝑀40
5 𝑀45
5 𝑀50
5 𝑀55
5 𝑀60
5 𝑀65
5 𝑀70
5 𝑀75
5 𝑀80
+ 𝑀85
Lo que resta hacer es generar a partir de las tasas especı́ficas de mortalidad, las otras seis series
de ella, a saber: 𝑛 𝑞𝑥 ,𝑙𝑥 ,𝑑𝑥,𝑥+𝑛 ,𝑛 𝐿𝑥 ,𝑇𝑥 ,𝑒𝑥 .
1.7.
Relación entre tasas de mortalidad y cocientes o probabilidades de muerte
Supóngase valida la hipótesis de distribución uniforme de las defunciones, esto para edades por
encima de los cinco años de edad, que deseamos estimar la tasa de mortalidad entre la edad 𝑥 y la
𝑥 + 𝑙 exacta. Entonces la tasa especifica de mortalidad 1 𝑀𝑥 seria igual a:
1 𝑀𝑥
=
=
=
=
=
𝑑𝑥
𝑙𝑥 − 𝑑2𝑥
𝑑𝑥
𝑙𝑥+1 − 𝑑2𝑥
𝑑𝑥
𝑙𝑥+0,5
𝑑𝑥
𝐿𝑥
𝑑𝑥
𝑙𝑥 −𝑙𝑥+1
2
(1.79)
(1.80)
(1.81)
(1.82)
(1.83)
donde:
𝑑𝑥 representa a las defunciones de la tabla de mortalidad (no las defunciones observadas),
entre las edades exactas 𝑥 y 𝑥 + 𝑙 o la edad cumplida 𝑥.
31
𝑙𝑥+1 representa los supervivientes de la tabla de mortalidad a edad exacta 𝑥 + 𝑙(𝑖 = 0, 1).
1 𝐿𝑥
representan los años -persona vividos entre las edades exactas 𝑥 y 𝑥 + 1 y también las
personas vivas a edad cumplida 𝑥.
Representando en un diagrama de Lexis las relaciones de 1 𝑀𝑥 , se tiene:
Cabe señalar que se supone también que el fenómeno migración no perturba el fenómeno mortalidad, es decir, que la diferencia de los supervivientes entre dos edades exactas solo se debe a las
defunciones y no a movimientos migratorios.
Por lo tanto:
𝑙𝑥 − 𝑙𝑥+1 = 𝑑𝑥
(1.84)
eniendo finalmente que los años-persona vividos entre x y x +1 años exactos es igual a:
1 𝐿𝑥
𝑑𝑥
2
(𝑙𝑥 − 𝑙𝑥+1 )
𝑙𝑥 −
2
𝑙𝑥 + 𝑙𝑥+1
2
𝑑𝑥
𝑙𝑥+1 +
2
(𝑙𝑥 − 𝑙𝑥+1 )
𝑙𝑥+1 +
2
𝑙𝑥 + 𝑙𝑥+1
2
= 𝑙𝑥 −
(1.85)
=
(1.86)
=
=
=
=
32
(1.87)
(1.88)
(1.89)
(1.90)
La probabilidad de muerte o cociente de mortalidad entre las edades exactas 𝑥 y 𝑥 + 1 se define
en base a lo que conocemos por probabilidad clásica, es decir, los casos favorables entre el total de
casos, en este sentido 𝑑𝑥 representa los casos favorables y 𝑙𝑥 el total de casos. Ası́ la probabilidad
de muerte entre las probabilidades exactas 𝑥 y 𝑥 + 1, que se denotan como 1 𝑞𝑥 es igual a:
1 𝑞𝑥
=
𝑑𝑥
𝑙𝑥
(1.91)
Tomando la relación especial de tasa especı́fica de mortalidad y completando en el numerador
y en el denominador el cociente 1 𝑞𝑥 , se obtiene:
1 𝑀𝑥
=
𝑑𝑥
𝑙𝑥 − 𝑑2𝑥
𝑑𝑥
𝑙𝑥
=
(1.93)
𝑑𝑥
𝑙𝑥
𝑙𝑥
𝑙𝑥
=
(1.92)
− 2
1 𝑞𝑥
1 − 1 𝑞2𝑥
(1.94)
Dado que inicialmente lo que se tiene son las tasas especı́ficas de mortalidad, lo que se desea es
una relación que a las probabilidades 1 𝑞𝑥 las tenga en función de las tasas especificas de mortalidad
1 𝑀𝑥 , lo que se obtiene despejando 1 𝑞𝑥 de la última relación encontrada.
1 𝑀𝑥
(
1−
1 𝑞𝑥
)
2
=
1 𝑞𝑥
(1.95)
(
⇒
⇒
1 𝑀𝑥
=
1 𝑞𝑥
=
=
33
1 𝑞𝑥
1
1+
1 𝑀𝑥
𝑥
+ 1𝑀
2
2 1 𝑀𝑥
2 + 1 𝑀𝑥
1 𝑀𝑥
2
)
(1.96)
(1.97)
(1.98)
observación:
Otra forma de obtener la estimación de los años-persona vividos de los supervivientes entre las
edades exactas 𝑥 y 𝑥 + 𝑙, es empleando el cálculo diferencial e integral. Suponiendo que pasa una
lı́nea recta entre los puntos (𝑥, 𝑙𝑥 ) y (𝑥 + 1, 𝑙𝑥+1 ) y obteniendo el área bajo esa fracción de recta y
el eje de las edades, lo que representará los 1 𝐿𝑥 .
Por tanto
𝑥
∫
1 𝐿𝑥
=
+1𝑙𝑥 𝑑𝑥
(1.99)
𝑥
𝑥
∫
=
+1(𝑘(𝑋 − 𝑥)) 𝑑𝑥
(1.100)
𝑥+1
𝑥+1 }
𝑥2 𝑥+1
− 𝑥𝑋 + 𝑋𝑙𝑥 2 𝑥
𝑥
𝑥
(1.101)
𝑥
{
= 𝑘
𝑘
+ 𝑙𝑥
2
𝑙𝑥+1 + 𝑙𝑥
=
+ 𝑙𝑥
2
𝑙𝑥 + 𝑙𝑥+1
=
2
Si los puntos fueran (𝑥, 𝑙𝑥 ) y (𝑥 + 5, 𝑙𝑥+5 ) entonces 5 𝐿𝑥 se obtendrı́a de la siguiente
análoga:
=
34
(1.102)
(1.103)
(1.104)
manera
Entonces:
∫
5 𝐿𝑥
𝑥
=
+5𝑙𝑥 𝑑𝑥
(1.105)
∫𝑥𝑥
=
+5 {𝑘(𝑋 − 𝑥) + 𝑙𝑥 } 𝑑𝑥
( 2
)
𝑥
𝑥
𝑥
𝑘
− 𝑥𝑋 + 5 + 𝑋𝑙𝑥 + 5
2
𝑥
𝑥
( )
25
+ 5𝑙𝑥
𝑘
2
( )
5
(𝑙𝑥+5 − 𝑙𝑥 )
+ 5𝑙𝑥
2
5
(𝑙𝑥 + 𝑙𝑥+5 )
2
(1.106)
𝑥
=
=
=
=
O bien empleando un diagrama de Lexis6 .
35
(1.107)
(1.108)
(1.109)
(1.110)
Por lo tanto, la tasa especı́fica de mortalidad entre las edades exactas 𝑥 y 𝑥 + 5 es igual a:
5 𝑀𝑥
=
=
=
𝑑𝑥,𝑥+5
5 𝐿𝑥
𝑑𝑥,𝑥+5
5𝑙𝑥 − 25 𝑑𝑥,𝑥+5
𝑑𝑥,𝑥+5
5
(𝑙
2 𝑥 − 𝑙𝑥+5 )
(1.111)
(1.112)
(1.113)
y el cociente o probabilidad de muerte entre las mismas edades exactas será:
5 𝑞𝑥
=
𝑑𝑥,𝑥+5
𝑙𝑥
(1.114)
Siguiendo el mismo procedimiento que para la obtención de la relación entre 1 𝑞𝑥 y 1 𝑀𝑥 , se tiene
en este caso:
5 𝑀𝑥
=
𝑑𝑥,𝑥+5
5𝑙𝑥 − 52 𝑑𝑥,𝑥+5
𝑑𝑥,𝑥+5
𝑙𝑥
=
5
=
5
( )
𝑙𝑥
𝑙𝑥
−
5 𝑞𝑥
− 52 5 𝑞𝑥
y despejando a 5 𝑞𝑥 :
6
(1.115)
Una mayor explicación se da en el anexo
36
5
2
(
𝑑𝑥,𝑥+5
𝑙𝑥
)
(1.116)
(1.117)
(
5 𝑀𝑥
5
5 − 𝑞𝑥
25
)
=
5 𝑞𝑥
(1.118)
(
⇒ 55 𝑀𝑥 =
⇒
5 𝑞𝑥
=
⇒
5 𝑞𝑥
=
⇒
5 𝑞𝑥
=
5
𝑀𝑥
5 𝑞𝑥 1 +
25
55 𝑀𝑥
1 + 52 5 𝑀𝑥
105 𝑀𝑥
2 + 5 5 𝑀𝑥
2 ∗ 5 5 𝑀𝑥
2 + 5 5 𝑀𝑥
)
(1.119)
(1.120)
(1.121)
(1.122)
Pudiendo resumir para el siguiente cuadro, las relaciones entre tasas y cocientes para edades por
encima de los cinco años de edad.
Edades Exactas
inicial
final
𝑥
𝑥
𝑥
Relación entre tasas y cocientes
21 𝑀𝑥
= 2+
1 𝑀𝑥
2∗55 𝑀𝑥
5 𝑞𝑥 = 2+55 𝑀𝑥
2∗𝑛𝑛 𝑀𝑥
𝑛 𝑞𝑥 = 2+𝑛𝑛 𝑀𝑥
𝑥+1
𝑥+5
𝑥+𝑛
1 𝑞𝑥
Para el primer grupo de edad cero años cumplidos, empleamos el factor de separación del año
censal (𝑡), para estimar la relación entre la tasa de mortalidad infantil y la probabilidad de morir
en el primer año de vida7 ; de tal manera que:
1 𝑀0
=
=
𝑑0
𝑑0
𝑡
𝑙0 − (1 − 𝑘 ) 2
𝑑0
1 𝐿𝑥
(1.123)
(1.124)
donde:
𝑙0 representa a los supervivientes a edad exacta cero y es llamado el radix de la tabla de
mortalidad que generalmente es igual a 100,000.
7
Comúnmente se toma1 𝑞𝑥 =1 𝑀0
37
Representando 1 𝐿𝑥 en un diagrama de Lexis, se tiene:
y dado que: 1 𝑞𝑥 =
𝑑0
𝑙0 ,
entonces:
𝑑0
𝑙0
1 𝑀𝑥 =
(
𝑙0
𝑙0
(1.125)
( 𝑑0 ))
− (1 − 𝑘 𝑡 )
𝑙0
2
1 𝑞0
=
1 − 1 − 𝑘 𝑡 12𝑞0
(
(1.126)
)
Y despejando a 1 𝑞𝑥 se obtiene:
1 𝑀0
(
1 − (1 − 𝑘 𝑡 )
1 𝑞0
⇒
)
2
1 𝑀0
⇒
1 𝑞0
=
1 𝑞0
(1.127)
{(
)}
)
(
𝑡 1 𝑀0
= 1 𝑞0
1+ 1−𝑘
2
21 𝑀 0
=
2 + (1 − 𝑘 𝑡 )1 𝑀0
(1.128)
(1.129)
Para el grupo de edad 1 a 4 años cumplidos puede estimar sin mayores problemas el valor 1 𝑀𝑥
, con 𝑥 = 1, 2, 3𝑦4, ya que:
1 𝑀𝑥
=
1
3
(
𝑅(𝑡−1)
𝐷𝑥
𝑅(𝑡+1)
+ 𝐷𝑥𝑅𝑡 + 𝐷𝑥
𝑃𝑥30,06.𝑡
)
(1.130)
y con respecto a la tabla de mortalidad, empleando los factores de separación antes indicados,
se obtendrı́a:
38
y dado que 1 𝑞𝑥 =
𝑑𝑥
𝑙𝑥
1 𝑀1
=
1 𝑀2
=
1 𝑀3
=
1 𝑀4
=
𝑑1
1 𝐿1
𝑑2
2 𝐿2
𝑑3
3 𝐿3
𝑑4
4 𝐿4
𝑑1
𝑙1 − 0,59𝑑1
𝑑2
=
𝑙2 − 0,59𝑑2
𝑑3
=
𝑙3 − 0,59𝑑3
𝑑4
=
𝑙4 − 0,59𝑑4
=
(1.131)
(1.132)
(1.133)
(1.134)
y en nuestro caso particular para 𝑥 = 1, 2, 3𝑦4 entonces
1 𝑀1
=
1 𝑀2
=
1 𝑀3
=
1 𝑀4
=
1 𝑞1
⇒
𝑙1 − 0,591 𝑞1
1 𝑞2
⇒
𝑙1 − 0,591 𝑞2
1 𝑞3
⇒
𝑙1 − 0,591 𝑞3
1 𝑞4
⇒
𝑙1 − 0,591 𝑞4
1 𝑞1
1 𝑀1
=
1 − 0,591 𝑀1
1 𝑀2
1 𝑞2 =
1 − 0,591 𝑀2
1 𝑀3
1 𝑞3 =
1 − 0,591 𝑀3
1 𝑀4
1 𝑞4 =
1 − 0,591 𝑀4
(1.135)
(1.136)
(1.137)
(1.138)
Una vez obtenidos los valores 1 𝑞𝑥 para 𝑥 = 1, 2, 3𝑦4 podemos obtener los valores 4 𝑞1 ya que:
4 𝑞1
=
𝑑1 + 𝑑2 + 𝑑3 + 𝑑4
𝑙𝑥
(1.139)
obtenido de la relación entre 𝑞𝑥 , 𝑙𝑥 y 𝑑𝑥 los valores del numerador, lo que se resume en el
siguiente cuadro:
1.7.1.
X
1 𝑞𝑥
𝑙𝑥 = 𝑙𝑥−1 − 𝑑𝑥−1
0
1
2
3
4
1 𝑞0
𝑙0 = 100000
𝑙1 = 𝑙0 − 𝑑0
𝑙2 = 𝑙1 − 𝑑1
𝑙3 = 𝑙3 − 𝑑2
𝑙4 = 𝑙4 − 𝑑3
1 𝑞1
1 𝑞2
1 𝑞3
1 𝑞4
𝑑𝑥 = 𝑙𝑥 𝑞𝑥
𝑑0
𝑑1
𝑑2
𝑑3
𝑑4
= 𝑙0
= 𝑙1
= 𝑙2
= 𝑙3
= 𝑙4
1 𝑞0
1 𝑞1
1 𝑞2
1 𝑞3
1 𝑞4
Las series 𝑙𝑥 ,𝑑𝑥,𝑥+𝑛 ,𝑛 𝐿𝑥 ,𝑇𝑥 ,𝑒𝑥 de la tabal de mortalidad
En este apartado se presentarán las relaciones que existen entre las series restantes de la tabla
de mortalidad, las que una vez obtenidas las series de las tasas y de las probabilidades de muerte
𝑛 𝑀𝑥 y 𝑛 𝑞𝑥 es directa su obtención
Para Obtener la serie de los supervivientes a edad exacta x, se parte de un radix (𝑙0 ) definido
y que generalmente es de 100,000 personas. El valor de 𝑙1 (supervivientes a edad exacta uno, en
ausencia del fenómeno migración) se estima a partir de la diferencia entre 𝑙0 y 𝑑0 (defunciones de
tabla a edad cumplida cero anos), estas ultimas a su vez se obtienen despejando su valor del cociente
39
o probabilidad de muerte 1 𝑞0 = 𝑑𝑙00 , entonces 𝑑0 = 𝑙0 1 𝑞0 . Para obtener el resto de los valores de
𝑙𝑥+𝑛 se sigue el mismo procedimiento, es decir, empleándose las relaciones:
𝑙𝑥+𝑛 = 𝑙𝑥 − 𝑑𝑥,𝑥+𝑛
(1.140)
𝑑𝑥,𝑥+𝑛 = 𝑙𝑥 𝑛 𝑞𝑥
(1.141)
donde
Es obvio que la obtención d e la serie 𝑑( 𝑥, 𝑥 + 𝑛), defunciones tabla de personas entre las edades
exactas 𝑥 y 𝑥 + 𝑛, se tuvo que obtener al generarse los valores de la serie de los supervivientes 𝑙𝑥
cabe señalar que la relación entre las defunciones de tabla y la serie de supervivientes es la siguiente:
𝑑𝑥,𝑥+𝑛 = 𝑙𝑥 − 𝑙𝑥+𝑛
(1.142)
La siguiente serie, es la serie de los años-persona vividos 𝑛 𝐿𝑥 Se obtiene a partir de las series de
las tasas especificas de mortalidad y de las defunciones, ya que por definición se tiene la siguiente
relación:
𝑛 𝑀𝑥
=
𝑑𝑥,𝑥+𝑛
𝑛 𝐿𝑥
(1.143)
𝑛 𝐿𝑥
=
𝑑𝑥,𝑥+𝑛
𝑛 𝑀𝑥
(1.144)
Por tanto:
La serie 𝑇𝑥 es necesaria para estimar la serie de las esperanzas de vida a edad 𝑥, 𝑒𝑥 . Los valores
de 𝑇𝑥 se obtienen simplemente acumulando los valores de los años-persona vividos a partir de la
edad 𝑥 y hasta la última edad considerada en la tabla de vida (𝜔).
Numéricamente el valor de 𝑇𝑥 es:
𝑇𝑥 =
𝜔
∑
𝑛 𝐿𝑖
∀ 𝑛 = 1, 4, 5, 10, 15..., 𝑖 = 0, 1, 5, ...
(1.145)
𝑖=𝑥
La última serie, la que resume el impacto de la mortalidad por edad, es la de las esperanzas
de vida a edad exacta 𝑥, la que se define cómo el número de años-persona vividos acumulados por
capita de personas vivas a edad exacta 𝑥, es decir divididos por los supervivientes a edad 𝑥8 Ası́,
la esperanza de vida a edad x se estima con la siguiente relación:
𝑒𝑥 =
𝑇𝑥
𝑙𝑥
(1.146)
En el siguiente cuadro se resumen las series de la tabla abreviada de mortalidad, con la notación
que en general se emplean con fines prácticos de mecanografiado
8
No confundir la edad media al morir con la esperanza de vida al nacimiento, Ver anexo 2
40
X
𝑞𝑥
𝑙𝑥
𝑑𝑥,𝑥+𝑛
0
1
5
10
15
80
85
41
𝑚𝑥
𝐿𝑥
𝑇𝑥
𝑒𝑥
42
Capı́tulo 2
Simulación de fenómenos
demográficos
El tener el número de habitantes en una región en dos fechas, nos permite conocer el crecimiento
de la población en términos absolutos como relativos, para el periodo de tiempo considerado,
generalmente lo que hacemos los demógrafos es el calcular la tasa de crecimiento media anual, la
presupone una tasa constante de crecimiento año con año, para el intervalo de tiempo considerado.
Dado que dicha tasa de crecimiento obedece a la suma de las tasas de crecimiento natural y social,
y que ellas mismas son la diferencia de las tasas brutas de natalidad y de mortalidad (la natural)
y de inmigración y emigración (la social), las cuales sufren cambios año con año, la hipótesis de
crecimiento medio constante sin duda se aleja cada vez más de la realidad.
En este trabajo se tiene como objetivo final el presentar los cambios anuales que sufrieron
el número de habitantes en cada una de las treinta y dos entidades federativas de la República
Mexicana, considerando cambios lineales y no lineales, pudiendo presentar el impacto anual de los
fenómenos demográficos de la natalidad, mortalidad y migración.
La fuente de datos es el XI censo nacional de población y vivienda, centrado al 12 de marzo
de 1990 y el conteo nacional de 1995, centrado al 5 de noviembre de 1990, también se tomaron en
cuenta estadı́sticas vitales levantadas entre los dos fechas indicadas. Los resultados que el conteo
de población de 1995 ofrecen, permiten comparar en una primera instancia el total de población y
el del censo de 1990, esto tanto a nivel nacional por entidad federativa y municipal.
En el cuadro 1 se presentan las poblaciones totales para los dos momentos, ası́ como las tasas
de crecimiento brutas de natalidad, brutas de mortalidad, de crecimiento natural, total y sociales
medias anuales para cada una de las 32 entidades federativas.
Del cuadro 1 se desprende que el estado de México es el de mayor número de habitantes con 11.7
millones, seguido por el Distrito Federal con 8.4 millones, Veracruz con 6.7 millones y Jalisco con
6 millones de habitantes; siendo los menos poblados Baja California Sur con 375 000 habitantes,
Colima con 487 mil, Campeche con 642 mil y Quintana Roo con 703 mil habitantes. Contrastando
con las tasas de crecimiento medias anuales que muestran al estado de Quintana Roo con la mayor,
siendo de 6.5 % anual, seguida de Baja California con 4.3 % anual, Morelos con 3.4 % anual y
Campeche, Aguascalientes y Estado de México con 3.2 % anual cada uno de ellos; teniendo la
menor tasa de crecimiento media anual el Distrito Federal con tan solo 0.5 % anual seguida de
Zacatecas con 0.8 %, Durango con 1 %, Oaxaca con 1.2 % y Veracruz con 1.4 %. En cuanto a la tasa
de crecimiento natural, el Estado de Chiapas tiene la mayor con el 4.7 % media anual, Guerrero
43
con 4.1 %, Durango, Tabasco, Querétaro, Michoacán e Hidalgo con 3.2 % cada uno de ellos; siendo
los estados de Nuevo León, Distrito Federal, Chihuahua y Colima los de menor tasa de crecimiento
natural (aproximadamente 2 %). En cuanto a la tasa de crecimiento social destaca el Estado de
Quintana Roo con la mayor tasa siendo del 3.6 % anual, seguido por Baja California con el 2 %
anual, Morelos con el 0.9 %, Baja California con el 0.65 % anual, Aguascalientes con el 0.5 %, los
estados de México y Campeche con el 0.4 %; teniéndose que además de ellos sólo Nuevo León
, Chihuahua, Colima, Sonora y Yucatán tienen tasas de crecimiento sociales positivas que oscilan
entre 0.3 % anual del Estado de Nuevo León al 0.04 % del Estado de Yucatán, el resto de los estados
tienen tasas de crecimiento sociales 33 negativas siendo la mayor la del estado de Chiapas con -2.7 %
anual, seguida de Durango y Guerrero con -2.2 % y Zacatecas con -1.9 %,cabe destacar que estados
como el Distrito Federal tiene una alta tasa de crecimiento social negativa de -1.6 % y Puebla con
-.8 % y Jalisco con - 0.4 %
Con base en el número de nacimientos, defunciones y saldos netos migratorios estimados para el
periodo comprendido entre el 12 de marzo de 1990 y el 5 de noviembre de 1995 se elaboró el cuadro
2 que muestra un total de 15 783 100 nacimientos, 2 315 082 defunciones y un saldo neto migratorio
total de -3 597 230. En cuanto al número de defunciones destacan con el mayor número el Distrito
Federal con 313 329 que representan el 13.5 % del total de ellos a nivel nacional, seguido del Estado
de México con 226 554 defunciones (el 9.8 %), Jalisco con 171 063 defunciones (el 7.4 %), Veracruz
con 160 452 defunciones (6.9 %) y Puebla con 144 638 (el 6.2 %); el estado de Baja California es
el que registra en el periodo menor número de defunciones con 7 504 de ellas, que representan
el 0.3 % del total de las defunciones registradas en el paı́s en el periodo considerado, seguido de
Quintana Roo con 9 223 defunciones (el 0.4 %), Campeche con 12 288 (el 0.5 %) y Colima con 12
655 defunciones (el 0.55 %).
Con respecto al número de nacimientos el estado de México tiene el mayor número con 1 848
528 que representan el 11.7 % del total del paı́s en el periodo, seguido del Distrito Federal con 1
306 069 nacimientos (el 8.3 %), Veracruz con 1 268 003 (el 8 %), Chiapas con 988 971 nacimientos
(el 6.3 %) y Jalisco con 987 454 (el 6.3 %), siendo el estado de Baja California Sur el que menor
número de nacimientos registra en el periodo, 52 570, es decir sólo el 0.33 % del total nacional,
seguido de Colina con 69 051 (el 0.4 %), Quintana Roo con 104 017 (el 0.66 %) y Campeche con
105 311 (con 0.67 %).
En cuanto a los saldos netos migratorios de los estados de atracción destaca el estado de México con un saldo neto migratorio de 267 165 habitantes a su favor seguido de Baja California con
204 947 y Quintana Roo con 115 371. En el extremo opuesto se encuentran los estados de expulsión destacando el Distrito Federal con un saldo neto migratorio de -744 861 habitantes seguido
de Veracruz con -601 245 habitantes, Chiapas con -510 688 habitantes, Michoacán con -349 102
habitantes, Guerrero con -342 390 habitantes y Oaxaca con -288 303 habitantes.
Con respecto a los estados costeros y a los no costeros se tiene que 37 millones habitaban las
zonas costeras en 1990 incrementándose a 42 millones en 1995 con una tasa de crecimiento media
anual en el periodo del 2.06 % teniéndose en los estados no costeros un mayor número de habitantes
en 1990 con 44 millones y también un mayor número de habitantes en 1995 con 49 millones pero
con una tasa de crecimiento media anual ligeramente inferior a la de los estados costeros, siendo del
2.04 %. El total de nacimientos registrados en los estados costeros es de 7.7 millones y en los estados
no costeros de 8 millones, es decir en el periodo el 49 % de los nacimientos registrados se dieron
en las zonas costeras y el 51 % en las no costeras. Con respecto a las defunciones en los estados
costeros se registraron el 44 % de ellas (1.024 millones) y en los estados costeros el 56 % (1.291
44
millones); teniéndose que el saldo neto migratorio en los estados costeros es de -2.151 millones y en
los no costeros de -1.447 millones, es decir, el 60 % del saldo neto migratorio se presenta en la zona
costera y el 40 % en la no costera.
Considerando los estados fronterizos del norte se tiene que el 12 de marzo de 1990 se censaron
13 246 991 habitantes que representan el 16 % de la población total del paı́s, teniéndose que para
el 5 de noviembre de 1995 la población se incrementará a 15 232 533 habitantes, lo que representa
el 17 % de la población total, implicando una tasa de crecimiento medial anual del 2.5 % anual, la
cual es mayor a la tasa de crecimiento del paı́s que es del 2 % anual y también mayor a la tasa
de crecimiento del resto de los estados la cual es del 1.96 %. Cabe destacar que en el censo de
1990 el estado fronterizo con mayor población fue Nuevo León con 3.099 millones de habitantes
(representa el 3.8 % de la población total del paı́s), y el de menor población fue Baja California con
1.661 millones de habitantes (representa el 2.04 % del paı́s). Para 1990 sigue siendo Nuevo León el
estado fronterizo con mayor población con 3.6 millones de habitantes (el 3.9 % del paı́s) y también
Baja California con el menor número de habitantes entre los estados fronterizos con 2.1 millones
de habitantes (representa el 2.3 % de la población total).
Destaca Baja California de entre los estados de la frontera norte por su alta tasa de crecimiento
total que es del 4.3 % media anual, seguido por Nuevo León con el 2.43 % anual, Chihuahua y Sonora
con 2.4 %, Tamaulipas con 2.1 % y únicamente Coahuila por abajo de la media nacional con 1.7 %
anual; con respecto a la tasa de crecimiento natural los estados fronterizos tienen entre el 2.1 % y
el 2.4 % de crecimiento medio anual en el periodo estudiado; en donde los cambios son realmente
significativos es en la tasa de crecimiento social que presenta para el estado de Baja California la
mayor con el 1.97 %, seguida de Nuevo León con el 0.34 %, Chihuahua con el 0.21 % y Sonora con
el 0.08 %, teniéndose tasas de crecimientos sociales negativas para Tamaulipas (-0.17 %) y Coahuila
(-0.7 %). En términos absolutos los estados fronterizos aportan con el 20 % del total de defunciones
del paı́s lo que equivale a 380 760 defunciones en el periodo comprendido entre el 12 de marzo de
1990 y el 5 de noviembre de 1995, siendo Nuevo León el que aporta con el mayor número de ellos
con el 4.3 % (82 552 defunciones), Chihuahua con el 4 % (77 521 defunciones), Tamaulipas con el
3.2 % (62 814 defunciones), aportando Sonora, Coahuila y Baja California con el 2.7 % cada uno
de ellos (entre 50 000 y 54 000 defunciones cada uno de ellos).
En cuando a la natalidad, los estados fronterizos registran en el periodo 2 163 576 nacimientos
que representan el 16 % del total del paı́s, destacando Nuevo León con el 3.4 % (470 000 nacimientos),
Chihuahua con el 2.9 % (399 000 nacimientos), Tamaulipas con el 2.7 % (362 000 nacimientos),
Coahuila con el 2.5 % (336 000 nacimientos), Sonora y Baja California con el 2.2 % cada uno de
ellos (300 000 nacimientos).
Los saldos netos migratorios de los estados fronterizos en el periodo estudiado son positivos
con excepción de Coahuila y Tamaulipas, en su conjunto arrojan un saldo neto migratorio de 202
725 habitantes, el cual contrasta con el saldo neto migratorio del paı́s que es de -3 597 230 lo que
implica que el resto de los estados de la República Mexicana tengan un saldo neto migratorio de 3
799 956 personas. Sin duda resalta Baja California con el saldo neto migratorio más elevado el cual
es en el periodo de 204 947, seguido de Nuevo León con 63 792 habitantes, Chihuahua con 30102
habitantes y Sonora con 9 174 habitantes.
Tomando al Distrito Federal y los estados de Guanajuato, Hidalgo, México, Michoacán, Morelos,
Puebla, Querétaro, Tlaxcala y Veracruz como la región centro del paı́s se tiene que para el 12 de
marzo de 1990 el 50 % de la población habitaba en ella (40.8 millones de habitantes) y para el 5 de
noviembre de 1995 se conserva ese porcentaje con 45.5 millones de habitantes. Destacan los estados
45
de México y Morelos con tasas de crecimiento total por arriba de la media nacional, siendo del
3.2 % para el Estado de México y del 3.4 % para el Estado de Morelos seguidos de Querétaro con
una tasa de crecimiento total del 3.1 % y Tlaxcala con el 2.7 %; en cuanto a las tasas de crecimiento
sociales se tiene que solo el Estado de México y Morelos tienen tasas de crecimiento social medias
anuales positivas, Morelos con el 0.9 % y el Estado de México con el 0.4 %. Cabe señalar que esta
región centro tiene una tasa de crecimiento por abajo de la media nacional siendo del 1.9 % anual.
En cuanto a los nacimientos, defunciones y saldos netos migratorios, la región centro registra en
el periodo en estudio 7.8 millones de nacimientos que representan el 50 % del total nacional y 1.2
millones de defunciones que representan el 52 % del total nacional, teniendo la región centro en su
conjunto un saldo neto migratorio negativo de -1 973 306 contrastando con el saldo neto migratorio
que a nivel nacional se tiene de -3 597 230.
En concreto, la dinámica demográfica que el paı́s tuvo del 12 de marzo de 1990 al 5 de noviembre de 1995 es, sin lugar a dudas, reveladora tanto por los cambios sufridos en su crecimiento
natural como sobre todo en su crecimiento social, los cuales son objeto de estudios a niveles más
desagregados para cada una de las variables demográficas involucradas (Mina, 1996)
46
La información del XI Censo Nacional de Población y Vivienda (Centrada al 12 de Marzo de
1990) y la del Conteo Nacional de Población (Centrada al 5 de Noviembre de 1995) referente al
total de la población, son base del trabajo aquı́ presentado. El objetivo es simular el efecto de los
fenómenos demográficos básicos, a saber la mortalidad, fecundidad y migración; esto para periodos
anuales, es decir del 12 de Marzo de 1990 al 12 de Marzo de 1991, 1992, 1993, 1994, 1995 y del 12
de Marzo de 1995 al 5 de Noviembre del mismo año.
Inicialmente se consideran constantes, en el periodo comprendido del 12 de Marzo de 1990 al 5
de Noviembre de 1995, las tasas de crecimiento natural, social y total.
Cabe señalar que las tasas brutas de mortalidad y de natalidad se obtuvieron con base en las
estadı́sticas vitales que el Instituto nacional de Estadı́stica Geografı́a e Informática (I.N.E.G.I.)
publica, las cuáles son un promedio de las registradas en el periodo.
Con las poblaciones totales para cada entidad federativa se calcularon las tasas de crecimiento
medias anuales con la expresión:
𝑖
(𝑖
𝑟=
𝑃05,11,95
𝑖𝑃
12,03,90
1
) 5,652055
−1
(2.1)
donde:
𝑖𝑟
representa la tasa de crecimiento total media anual para el Estado (i)..
𝑖𝑃
05,11,95
𝑖𝑃
12,03,90
es la población total del Conteo de 1995 centrada al 5 de Noviembre.
es la población total de XI Censo Nacional de Población y Vivienda, centrada al 12
de Marzo de 1990.
5.652055 son los años entre los dos momentos en que se levantaron el censo y el conteo.
Con las tasas brutas de natalidad (TBN) y de mortalidad (TBM) se estimó la tasa de crecimiento
natural (que se define como la diferencia entre las tasas brutas: TBN - TBM) y dado que:
𝑖
𝑟 =
𝑖 𝑠
⇒ 𝑟
=
𝑖 𝑛
𝑖
𝑟 +𝑖 𝑟𝑠
(2.2)
𝑖
(2.3)
𝑟− 𝑟
𝑛
donde:
𝑖 𝑟𝑛
es la tasa de crecimiento natural para el Estado y en el periodo.
𝑖 𝑟𝑠
es la tasa de crecimiento social para el Estado y en el periodo.
Ası́, con las tasas constantes se simuló la tendencia de los nacimientos, defunciones y saldos
netos migratorios para cada entidad del 12 de Marzo de 1990 al 5 de Noviembre de 1995, año por
año. Para estimar los nacimientos, defunciones y saldos netos migratorios se multiplicó la población
al inicio del año en cuestión por su respectiva tasa bruta, siendo para el periodo del 12 de Marzo de
1995 al 5 de Noviembre de 1995 obtenidas las tasas brutas de la siguiente manera: Los nacimientos
entre el año origen (cero) y el año final (𝑡) se calculan con la tasa bruta de natalidad media anual
constante (TBN) como sigue:
47
𝑁0,𝑡 = 𝑃0 𝑇 𝐵𝑁 + 𝑃1 (𝑇 𝐵𝑁 )2 + . . . + 𝑃𝑡−1 (𝑇 𝐵𝑁 )𝑛
2
(2.4)
= 𝑃0 𝑇 𝐵𝑁 + 𝑃0 (1 + 𝑟)𝑇 𝐵𝑁 + 𝑃𝑂 (1 + 𝑟) 𝑇 𝐵𝑁 + . . . + 𝑃0 (1 + 𝑟)
Pues que 𝑃𝑡 = 𝑃0 (1 + 𝑟)
𝑡−1
𝑇 𝐵𝑁
𝑡
= 𝑃0 𝑇 𝐵𝑁 [(1 + 𝑟)0 + (1 + 𝑟)1 + (1 + 𝑟)2 + . . . + (1 + 𝑟)𝑡−1 ]
(2.5)
Observación:
𝑆 = (1 + 𝑟)0 + (1 + 𝑟)1 + (1 + 𝑟)2 + . . . + (1 + 𝑟)𝑡−1
1
2
⇒ (1 + 𝑟)𝑆 = (1 + 𝑟) + (1 + 𝑟) + . . . + (1 + 𝑟)
𝑡−1
(2.6)
(2.7)
Restando ambas expresiones queda:
−𝑆𝑟 = (1 + 𝑟)0 + (1 + 𝑟)1 + (1 + 𝑟)2 + . . . + (1 + 𝑟)𝑡−1 − [(1 + 𝑟)1 + (1 + 𝑟)2 + . . . + (1 + 𝑟)𝑡−1 ]
= 1 − (1 + 𝑟)𝑡
(2.8)
𝑡
⇒ 𝑆𝑟 = (1 + 𝑟) − 1
(1 + 𝑟)𝑡 − 1
⇒ 𝑆 =
𝑟
(2.9)
(2.10)
Y
(
𝑁0,𝑡 = 𝑃0 𝑇 𝐵𝑁
(1 + 𝑟)𝑡 − 1
𝑟
)
(2.11)
Empleandola espresión anterior para el cálculo de las tasas brutas en el periodo del 12 de Marzo
de 1995 al 5 de Noviembre de 1995, es decir, para t igual a 0.652055. Por ejemplo, para obtener los
nacimientos en dicho periodo se emplea la expresión:
𝑖
[( 𝑖
𝑃12,05,95
𝑇 𝐵𝑁
𝑖𝑟
)
𝑇 𝐵𝑀
𝑖𝑟
)
(
𝑖
0,652055
(1 + 𝑟)
−1
)
]
(2.12)
Las defunciones:
𝑖
[( 𝑖
𝑃12,05,95
(
(1 +𝑖 𝑟)0,652055 − 1
)
]
(2.13)
Y el Saldo Neto Migratorio:
𝑖
[( 𝑖
𝑃12,05,95
𝑟𝑠
𝑖𝑟
)
(
𝑖
0,652055
(1 + 𝑟)
−1
)
]
donde:
𝑖 𝑇 𝐵𝑁
𝐼 𝑇 𝐵𝑀
es la Tasa Bruta de Natalidad media anual para el Estado (𝑖).
es la Tasa Bruta de Mortalidad media anual para el Estado (𝑖).
48
(2.14)
Las simulaciones obtenidas bajo este primer supuesto de tasas constantes se presentan en el
Cuadro 2.1.
El segundo ajuste se basa en tasas brutas no constantes en el periodo, pero son tendencias
lineales, para ello se tomaron las poblaciones totales en el momento inicial y final obteniendo la
recta que pasa por dichos puntos (Ver Gráfico 1).
La recta que pasa por A y B es:
(
)
𝑃05,11,95 − 𝑃12,03,90
𝑃𝑡 =
(𝑡 − 5,652055) + 𝑃05,11,95
5,652055
(2.15)
Usando ésta expresión se obtienen las poblaciones totales para t = 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 5.652055.
Pudiendo estimar las tasas de crecimiento medias anuales totales para cada intervalo, es decir,
para (0,1), (1,2), ... , (5,5.652055). Ası́, los supuestos para las tasas brutas de natalidad y de mortalidad se hacen incrementándolas o disminuyéndolas convenientemente en el periodo en cuestión
(por ejemplo para el caso del Estado de Aguascalientes, se parte de un incremento de 0.002 para
la TBN y de 0.0008 para la TBM; calculándose la tasa de crecimiento social a partir de la tasa de
crecimiento total y la tasa de crecimiento natural).
Las tasas obtenidas para llevar a cabo ésta segunda simulación se presentan en el cuadro 2.
Las siguientes simulaciones se lograron ajustando a las poblaciones totales funciones logı́sticas de
la forma:
𝑃 (𝑡) = 𝑘1 +
𝑘2
1 + 𝑒𝑎+𝑏𝑡
(2.16)
donde:
𝑃 (𝑡) es la población en el momento 𝑡.
𝑘1 y 𝑘2 las ası́ntotas fijas.
𝑡 es el tiempo.
Siendo 𝑃 (0) la población al 12 de Marzo de 1990 y 𝑃 (5,652055) la población al 5 de Noviembre de
1995, entonces:
49
Por un lado tenemos:
𝑃 (0) = 𝑘1 +
𝑘2
1 + 𝑒𝑎+0𝑡
𝑘2
1 + 𝑒𝑎
𝑘2
=
1 + 𝑒𝑎
𝑎
⇒ (𝑃 (0) − 𝑘1 ) (1 + 𝑒 ) = 𝑘2
⇒ 𝑃 (0) − 𝑘1 =
𝑎
(2.17)
(2.18)
(2.19)
(2.20)
𝑎
⇒ (1 + 𝑒 ) 𝑘1 + 𝑘2 = 𝑃 (0) (1 + 𝑒 )
(2.21)
Por otro lado
𝑘2
𝑃 (5,652055) = 𝑘1 +
𝑎+5,562055𝑏
1+𝑒 (
(
)
)
𝑎+,652055𝑏
⇒ 1+𝑒
𝑘1 + 𝑘2 = 𝑃 (5,652055) 1 + 𝑒𝑎+5,652055𝑏
(2.22)
(2.23)
Con (2.21) y (2.23) se obtienen una vez fijos los parámetros a y b los valores de las ası́ntotas 𝑘1
y 𝑘2 , teniéndose que:
𝑘1 =
𝑘2 =
(
(
))
𝑃 (0) (1 + 𝑒𝑎 ) − 𝑃 (5,652055) 1 + 𝑒𝑎+5,652055𝑏
(1 + 𝑒𝑎 ) − (1 + 𝑒𝑎+5,652055𝑏 )
(
) (
)
(1 + 𝑒𝑎 ) 𝑃 (5,652055) 1 + 𝑒𝑎+5,652055𝑏 − 1 + 𝑒𝑎+5,652055 𝑃 (0) (1 + 𝑒𝑎 )
(1 + 𝑒𝑎 ) − (1 + 𝑒𝑎+5,652055𝑏 )
(2.24)
(2.25)
En principio los cambios en la concavidad de la función logı́stica dependerá de los valores de
los parámetros a y b en ella. Toda vez que se tiene a la función logı́stica, se obtienen los valores
de 𝑃 (𝑡) para 𝑡 = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 𝑦5,652055 y con ellos se estiman las tasas de crecimiento medias
anuales totales, para proceder con la estimación de las tasas brutas de mortalidad y natalidad ( que
en principio pueden ser las estimadas para el caso de la simulación del crecimiento no constante segundo ajuste -).
Cabe señalar que la magnitud de la concavidad dependerá de las hipótesis que haga el investigador sobre el crecimiento de la población.
A continuación se ejemplifican tres tipos de ajustes para la función logı́stica para el caso de las
32 entidades federativas de la República Mexicana.
El primer ajuste es con una logı́stica cóncava, el segundo con una logı́stica que es, en principio,
cóncava para terminar siendo convexa y el tercer ajuste es con una logı́stica convexa, en el cuadro
3 presenta las poblaciones estimadas y las tasas de crecimiento total resultantes con cada una de
las tres logı́sticas obtenidas.
Ejemplo del procedimiento numérico empleado. Caso del Distrito Federal.
Datos iniciales
1. Población al 12 de Marzo de 1990: 8‘235,744
2. Población al 5 de Noviembre de 1995: 8‘489,007
50
3. Tasa Bruta de Mortalidad media anual del periodo: 0.006649295
4. Tasa Bruta de Natalidad media anual del periodo: 0.027716689
Cálculo de la tasa de Crecimiento Total media anual (r) y de la tasa de Crecimiento Social
media anual (𝑟𝑠 ) constantes.
(
𝑃05,11,95
𝑃12,03,90
)
1
5,652055
−1
(2.26)
) 1
8483623 5,652055
=
−1
8235744
= 0,005373201
(2.27)
= 𝑇 𝐵𝑀 − 𝑇 𝐵𝑀 = 0,027716689 − 0,006649295 = 0,021067394
(2.29)
𝑟 =
(
𝑟
𝑛
(2.28)
𝑟𝑠 = 𝑟 − 𝑟𝑛 = 0,005373201 − 0,021067394 = −0,015694193
(2.30)
Càlculo de las tasas para el periodo fraccional (del 12 de Marzo de 1995 al 5 de Noviembre
de 1995, -Alternativa Constante-).
(
𝑇 𝐵𝑁0,652055
𝑇 𝐵𝑀0,652055
𝑇 𝐶𝑆0,652055
)
)
𝑇 𝐵𝑁 (
=
(1 + 𝑟)0,652055 − 1 = 0,01805595
𝑟
(
)
)
𝑇 𝐵𝑀 (
=
(1 + 𝑟)0,652055 − 1 = 0,00433166
𝑟
( 𝑠)(
)
𝑟
(1 + 𝑟)0,652055 − 1 = −0,0102239
=
𝑟
(2.31)
(2.32)
(2.33)
(2.34)
Estimación no constante de las poblaciones totales basado en tendencias lineales, esto es,
la recta que une 𝑃12,03,90 y 𝑃05,11,95 para ası̀ obtener 𝑃12,03,91 , 𝑃12,03,92 , 𝑃12,03,93 , 𝑃12,03,94 ,
𝑃12,03,95 .
Se tiene entoces, para 𝑡 = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 5,652055:
(
𝑃𝑡 =
𝑃05,11,95 − 𝑃12,03,90
5,652055
)
(𝑡 − 5,652055) + 𝑃05,11,95
Fecha
P(t)
12.03.90
12.03.91
12.03.92
12.03.93
12.03.94
12.03.95
12.11.95
8235744
8279996.3
8324486.3
8369215.0
8414185.0
8459396.1
8489007
51
(2.35)
Cálculo de tasas no constantes: tasa de Crecimiento Total media anual (𝑟), tasa Bruta de
Natalidad media anual (𝑇 𝐵𝑁𝑁 𝐶 ), tasa Bruta de Mortalidad media anual (TBMNC) y la
tasa de Crecimiento Social media anual (𝑇 𝐶𝑆𝑁 𝐶 ) con las poblaciones estimadas, partiendo
de un incremento de 0.002 para la TBN y de 0.0008 para la TBM.
Ahora, para k en {90, 91, 92, 93, 94}
)
𝑃12,03.𝑘+1
−1
𝑃12,03.𝑘
(
)
−2 ∗ 0,002
∗ 𝑡 + (𝑇 𝐵𝑁 + 0,002)
5,652055
(
)
−2 ∗ ,0008
∗ 𝑡 + (𝑇 𝐵𝑀 + 0,0008)
5,652055
𝑟𝑘−(𝑘+1) − 𝑇 𝐵𝑁𝑁 𝐶 + 𝑇 𝐵𝑀𝑁 𝐶
(
𝑟𝑘−𝑘+1 =
𝑇 𝐵𝑁𝑁 𝐶
=
𝑇 𝐵𝑀𝑁 𝐶
=
𝑇 𝐶𝑆𝑁 𝐶
=
(2.36)
(2.37)
(2.38)
(2.39)
Año
90
91
92
93
94
r
TBN
TBM
TCS
0.0054407
0.029716
0.007449
-0.016826
0.005411
0.029008
0.007166
-0.0164314
0.005382
0.028301
0.006883
-0.0161359
0.005353
0.027593
0.006600
-0.0156440
0.005324
0.026885
0.006316
-0.015439
Cálculo de las tasas para el periodo fraccional (del 12 de Marzo de 1995 al 5 de Noviembre
de 1995, -Alternativa No Constante-), 𝑡 = 5,652055.
) 1
𝑃05,11,95 0,652055
1+
−1
𝑃12,03,90
) [
(
]
𝑇 𝐵𝑁𝑁 𝐶
∗ (1 + 𝑟𝑓 𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 )0,652055 − 1
𝑟𝑓 𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙
) [
(
]
𝑇 𝐵𝑀𝑁 𝐶
∗ (1 + 𝑟𝑓 𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 )0,652055 − 1
𝑟𝑓 𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙
𝑟𝑓 𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 − 𝑇 𝐵𝑁𝑓 𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 + 𝑇 𝐵𝑀𝑓 𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙
(
𝑟𝑓 𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 =
𝑇 𝐵𝑁𝑓 𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 =
𝑇 𝑀 𝐵𝑓 𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 =
𝑇 𝐶𝑆𝑓 𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 =
Año
95
R
TBN
TBM
TCS
0.005301
0.016753
0.003810
-0.009488
(2.40)
(2.41)
(2.42)
(2.43)
de la población total con ajuste de funciones logı́sticas.
𝑃 (𝑡) = 𝑘1 +
𝑘2
∀𝑡 ∈ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 5,652055
1 + 𝑒𝑎+𝑏𝑡
52
(2.44)
a
B
𝑘1
𝑘2
Ajuste 1
Ajuste 2
Ajuste 3
0.25
0.555
8509454.604
-625162.9763
4.6558
-1.35
8233212.209
268859.3254
4.5508
-1.115119048
8232600.294
300878.3022
Poblaciones estimadas
fecha
Ajuste 1
Ajuste 2
Ajuste 3
12.03.90
12.03.91
12.03.92
12.03.93
12.03.94
12.03.95
05.11.95
8235744
8316306.4
8381771.3
8429171.2
8460699.3
8480503.9
8489007
8235744
8242722.5
8266529.9
8328124.4
8415475.6
8472587.9
8489007
8235744
8241987.3
8259509.1
8301955.3
8376249.9
8454018.3
8489007
Representación gráfica de las poblaciones totales con tasas constantes y ajustes logı́sticos.
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
Cuadro 2.1: México, Poblaciones totales censal 1990 y conteo 1996 y tasas medias anuales
Población Total
Entidad
Censo 1990
Aguascalientes719659
Baja Cali- 1660855
fornia
Baja
317764
Calif.Sur
Campeche
535185
Coahuila
1972340
Colima
428510
Chiapas
3210496
Chihuahua
2441873
Distrito
8235744
Fed.
Durango
1349378
Guanajuato 3982593
Guerrero
2620637
Hidalgo
1888366
Jalisco
5302689
México
9815795
Michoacán
3548199
Morelos
1195059
Nayarit
824643
Nuevo
3098736
León
Oaxaca
3019560
Puebla
4126101
Querétaro
1051235
Quintana
493277
Roo
San
Luis 2003187
Potosı́
Sinaloa
2204054
Sonora
1823606
Tabasco
1501744
Tamaulipas 2249581
Tlaxcala
761277
Veracruz
6228239
Yucatán
1362940
Zacatecas
1276323
81249645
Conteo
1995
𝑇 𝐵𝑁
𝑇 𝐵𝑀
𝑟
𝑟𝑛
𝑟𝑠∗
862720
2112140
.0319597
.0282139
.0043894
.0048671
.0325176
.0430932
.0275703
.0233468
.0049473
.0197464
375494
.0272975
.0038963
.0299541
.0234011
.0065530
642516
2173775
488028
3584786
2793537
8489007
.0322578
.0289803
.0270224
.0519234
.0273029
.0277167
.0327436
.0172183
.0230163
.0208084
.0240543
.0210674
.0284940
.0243576
.0220700
.0476207
.0219921
-.015807
.0042497
-.007139
.0009463
-.026812
.0020623
1431748
4406568
2916567
2112473
5991176
11707964
3870604
1442662
896702
3550114
.0367609
.0334606
.0445204
.0361759
.0313162
.0309522
.0369049
.0290706
.0325616
.0253205
.0037638
.0046227
.0049523
.0043026
.0053108
.0066493
.0052604
.0039006
.0050131
.0033637
.0045841
.0054251
.0037935
.0046737
.0045512
.0042528
.0044540
.0104405
.0175108
.0190435
.0199810
.0217992
.0316322
.0154381
.0338660
.0147864
.0243083
.0328603
.0284475
.0411567
.0315918
.0258911
.0271587
.0322312
.0245194
.0283087
.0208665
-.022420
-.010937
-.022113
-.011611
-.004092
.0044735
-.016793
.0093466
-.013522
.0034418
3228895
4624365
1250476
703536
.0338321
.0345542
.0372033
.0320752
.0057190
.0059147
.0047735
.0028440
.0116732
.0203706
.0309453
.0648074
.0281131
.0286395
.0324298
.0923120
-.016440
-.008269
.001484
.0355762
2200763
.0328519
.0047135
.0160407
.0281385
-.012098
2425675
2085536
1748769
2527328
883924
6737324
1556622
1336496
.0328689
.0279517
.0368215
.0271335
.0349710
.0348717
.0286704
.0316081
.0037900
.0049298
.0042505
.0047073
.0048346
.0044126
.0054021
.0045230
.0170271
.0238639
.0272986
.0207439
.0267201
.0139240
.0236840
.0081642
.0290789
.0230219
.0325710
.0222610
.0301364
.0304590
.0232683
.0270851
-.012052
.0008420
-.005272
-.001682
-.003416
-.016535
.0004157
-.018921
91158290
.0327723
.0048046
.0204928
.0279676
-.007475
70
Cuadro 2.2: MEXICO:NACIMIENTOS,DEFUNCIONES Y SALDOS NETOS MIGRATORIOS
ESTIMADOS DEL 12 DE MARZO DE 1990 AL 5 DE NOVIEMBRE DE 1995
Estados
Nacimientos
Defunciones
Saldos netos Migratorios
Aguascalientes
Baja California
Baja California Sur
Campeche
Coahuila
Colima
Chiapas
Chihuahua
Distrito Fed.
Durango
Guanajuato
Guerrero
Hidalgo
Jalisco
México
Michoacán
Morelos
Nayarit
Nuevo León
Oaxaca
Puebla
Querétaro
Quintana Roo
San Luis Potosı́
Sinaloa
Sonora
Tabasco
Tamaulipas
Tlaxcala
Veracruz
Yucatán
Zacatecas
República Mex.
140255
293072
52572
105341
336385
69093
986424
398568
1306412
287328
785535
689438
404554
987532
1848732
767318
212483
157135
469345
593660
844989
237703
104023
386773
426087
304683
333064
362124
160157
1268222
233440
232400
15784847
19263
50557
7504
12291
53657
12662
81740
77528
313411
30488
117690
52090
51264
171077
226579
97175
33266
20523
82561
100353
144639
30500
9223
55493
49130
53737
38448
62824
22141
160480
43985
33255
2315532
22069
208778
12662
14281
-81293
3088
-530394
30624
-739738
-174471
-243871
-341418
-129138
-127968
270017
-347738
68386
-64553
64594
-283972
-202086
-7963
115459
-133704
-155336
10983
-47592
-21553
-15369
-598657
4227
-138972
-3560669
71
72
Capı́tulo 3
Las funciones actuariales Gomperz y
Gomperz-Makeham en la descripción
de fenómenos demográficos
Debemos tener en cuenta que la fuerza de la mortalidad nos permite considerar las diferencias
que hay entre dos poblaciones a edad x y x+h (cuando h es tan pequeña como quisiéramos).
La función Gompertz sólo considera las razones biológicas de mortalidad, o sea que no considera
aquellas asociadas a hechos fortuitos, accidentes, terremotos, etc.
La fuerza de mortalidad la podemos representar por:
𝑛 𝑀𝑥
= 𝜇(𝑥)
(3.1)
La expresión se deduce de la siguiente forma:
lı́m
ℎ→0
𝑙𝑥 − 𝑙𝑥+ℎ
[(𝑥 + ℎ) − 𝑥]
(3.2)
La expresión nos permite medir las muertes que se dan entre la edad 𝑥 y 𝑥 + ℎ a edades exactas,
o sea, que mide las muertes que se dan entre 𝑑𝑥,𝑥+ℎ . Estas se dan en un espacio de tiempo muy
pequeño.
En el denominador tenemos los años persona vividos ℎ 𝑙𝑥 a partir de 𝑥 (con un espacio de tiempo
muy pequeño) que es igual a 𝑛 𝐿𝑥 , el cual también es muy pequeño porque es un instante. En el
numerador se refiere a las defunciones.
𝑑𝑥,𝑥+ℎ
ℎ→0 ℎ 𝑙𝑥
𝑑𝑥,𝑥+ℎ
lı́m
ℎ→0 𝑛 𝐿𝑥
lı́m
lı́m 𝑛 𝑚𝑥 = 𝜇𝑥
ℎ→0
73
(3.3)
(3.4)
(3.5)
Es la Fuerza de mortalidad o tasa instantánea de mortalidad.
La resistencia del hombre a la muerte, entonces, puede expresarse como:
1
𝑀 (𝑥)
(3.6)
Las tasas representan la frecuencia de aparición del evento muerte.
𝑛 𝑀𝑥
𝑑𝑥,𝑥+ℎ
𝑛 𝐿𝑥
=
(3.7)
Teniendo en cuenta lo anterior podemos decir que la frecuencia de aparición del evento de
muerte es la aportación en vida de las personas, es decir, la resistencia del hombre a la muerte
1
𝑛 𝑀𝑥
3.1.
=
𝑛 𝐿𝑥
𝑑𝑥,𝑥+ℎ
(3.8)
Hipótesis
La resistencia del hombre a la muerte en el tiempo decrece a una tasa proporcional a ella misma.
Se puede comparar dos magnitudes si encontramos una escala común.
1
𝑛 𝐿𝑥
=
𝑑
𝑚
𝑛 𝑥
𝑥,𝑥+ℎ
(3.9)
Es la Resistencia del hombre a la muerte.
Recordar
𝑛 𝐿𝑥 =𝑛 𝑙𝑥
𝑛
𝑛 𝐿𝑥 =𝑛 𝑙𝑥 − 2 𝑑𝑥,𝑥+ℎ
Distribución Uniforme
Representación simbólica de la hipótesis:
𝑑
1
∗
𝑑𝑥 𝜇𝑥
= −ℎ
1
𝜇𝑥
(3.10)
𝑑
La expresión anterior debemos entenderla de la siguiente forma: la derivada 𝑑𝑥
señala los cam1
bios respecto al tiempo, 𝜇𝑥 indica la resistencia del hombre a la muerte, el signo negativo señala
decrecimiento de la resistencia a lo largo del tiempo y ℎ representa la tasa.
Sabemos que por definición la derivada es:
𝜇𝑥 =
1 𝑙𝑥 − 𝑙𝑥+ℎ
ℎ→0 𝑙𝑥
ℎ
lı́m
74
(3.11)
Considerando que se trata de una función decreciente utilizamos el signo (-) convenientemente.
Y Obtenemos la siguiente expresión:
𝜇𝑥 = −
𝑙𝑥+ℎ − 𝑙𝑥
1
lı́m
𝑙𝑥 ℎ→0
ℎ
(3.12)
𝑑
𝑙𝑥 =
𝑑𝑥
𝑙𝑥+ℎ − 𝑙𝑥
ℎ→0
ℎ
(3.13)
1 𝑑
𝑑
𝑙𝑥 = − ln 𝑙𝑥
𝑙𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑥
(3.14)
donde:
lı́m
Por lo tanto,
𝜇𝑥 = −
La relación expresa cómo la fuerza a la mortalidad se opone una fuerza de vitalidad, como
equilibrio vital relativo a cada edad. Por lo tanto, la modelación de funciones de supervivencia se
hace fundamentalmente sobre 𝜇𝑥
Recordar
𝑑
1
𝑑𝑥 ln 𝑥 = 𝑥 ∗
𝑑
𝑑𝑥 𝑙𝑥
Finalmente:
𝜇𝑥 = −
𝑑
ln 𝑙𝑥
𝑑𝑥
(3.15)
De lo anterior se puede obtener la integral de la 𝜇𝑥 :
𝑡
∫
𝑡
∫
𝜇𝑥 𝑑𝑥 = −
0
0
𝑑
ln 𝑙𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑥
(3.16)
Desarrollando la expresión
∫
𝑡
𝑡
𝜇𝑥 𝑑𝑥 = − ln 𝑙𝑥 0
0
∫ 𝑡
𝑡
ln 𝑙𝑥 = − 𝜇𝑥 𝑑𝑥
0
0
∫ 𝑡
ln 𝑙𝑡 − ln 0 = − 𝜇𝑥 𝑑𝑥
𝑙𝑡
𝑙0
= 𝑒−
𝑙𝑡 = 𝑙0 𝑒−
75
∫𝑡
0
∫𝑡
0 𝜇𝑥
0 𝜇𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
(3.17)
(3.18)
(3.19)
(3.20)
(3.21)
Es la ecuación fundamental en demografı́a se aplica para estructura por edad.
Sabemos que
𝑙𝑡 = 𝑙0 𝑒−
∫𝑡
−
∫𝑡
𝑙𝑡 = 𝑙0 𝑒
∫
−
𝑡
𝐵𝐶 𝑥 𝑑𝑥 = −𝐵
0 𝜇𝑥
𝑑𝑥
(3.22)
𝑥
0 𝐵𝐶 𝑑𝑥
∫
0
0
𝑡
(3.23)
𝐶𝑥
𝑡
)
𝐵 ( 𝑡
𝐶 𝑥 𝑑𝑥 = −𝐵
𝐶 −1
=−
ln 𝐶 0
ln 𝐶
(3.24)
Recordar que
𝑑 𝑥
𝐶 = 𝐶 𝑥 ln 𝐶
𝑑𝑥
𝑑 𝐶𝑥
= 𝐶𝑥
𝑑𝑥 ln 𝐶
𝐵
ln 𝑔 = −
ln 𝐶
(
)
𝑡
𝑡
ln 𝑔 𝐶 𝑡 − 1 = 𝐶 𝑡 ln 𝑔 − ln 𝑔 = ln 𝑔 𝐶 + ln 𝑔 −1 = ln 𝑔 −1 𝑔 𝐶
𝑡
ln 𝑔 −1 𝑔 𝐶
𝑙𝑡 = 𝑙0 𝑒
𝑙0 𝐶 𝑡
𝑙𝑡 =
𝑔
𝑔
𝑙0
𝑘 =
𝑔
𝑙𝑡 = 𝑘𝑔 𝐶
(3.25)
(3.26)
(3.27)
(3.28)
(3.29)
(3.30)
(3.31)
𝑡
(3.32)
Sustituimos los valores de 𝐵, 𝐶 para poder estimar 𝑘 y 𝑔.
El problema fundamental ahora es encontrar funciones matemáticas (supervivencia) que describan estructuras por edad, es decir, funciones de supervivencia 𝑙𝑡 personas vivas a edad 𝑡, para
toda 𝑡.
El propósito es encontrar expresiones analı́ticas que describan la fuerza de mortalidad, ¿Cómo
encontrar esta expresión a partir de la hipótesis de Gompertz? si sabemos que el autor señala que
la resistencia del hombre a la muerte en el año 𝑡 decrece a una tasa proporcional a ella misa.
Tenemos que:
𝑑 1
𝑑𝑥 𝜇𝑥
= −ℎ
1
𝜇𝑥
(3.33)
Observamos que:
−ℎ =
𝑑 1
𝑑𝑥 𝜇𝑥
1
𝜇𝑥
⇒ −ℎ =
𝑑
ln
𝑑𝑥
Ahora, se integra la expresión:
76
(3.34)
(
1
𝜇𝑥
)
(3.35)
Recordar
𝑓 (𝑥) = 𝑥
∫
∫
2
𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥2 + 𝑐
Distribución Uniforme
( )
𝑑
1
= −ℎ
ln
𝑑𝑥
𝜇𝑥
)
(
∫
∫
𝑑
1
𝑑𝑥 = − ℎ 𝑑𝑥
⇒
ln
𝑑𝑥
𝜇𝑥
(3.36)
(3.37)
Se sabe que los lı́mites para integrar son indefinidos, por lo tanto se puede desarrollar la siguiente
expresión.
(
)
1
ln
+ 𝐶1 = −ℎ𝑥 + 𝐶2
𝜇𝑥
( )
1
+ ln 𝐵 = −ℎ𝑥
ln
𝜇𝑥
(3.38)
(3.39)
Tener en cuenta que:
ln 𝐵 = 𝐶1 − 𝐶2
𝐵 = 𝑒𝐶1 −𝐶2
(
)
𝐵
ln
= −ℎ𝑥
𝜇𝑥
𝐵
= 𝑒−ℎ𝑥
𝜇𝑥
𝐵 = 𝜇𝑥 𝑒−ℎ𝑥
1
𝐵 = ℎ𝑥 𝜇𝑥
𝑒
ℎ𝑥
𝐵𝑒
= 𝜇𝑥
(3.40)
(3.41)
(3.42)
(3.43)
(3.44)
donde 𝐶 = 𝑒ℎ
El resultado obtenido por Gompertz describió la fuerza de mortalidad por primera vez como
una función exponencial y que exclusivamente considera las causas de muerte dependientes de la
edad.
𝜇𝑥 = 𝐵𝐶 𝑥
(3.45)
Por lo tanto, la fuerza de mortalidad es igual una constante 𝐵 por una constante 𝐶 elevada a
la 𝑋.
La estimación de los valores de los parámetros 𝐵 y 𝐶 puede realizarse a través de: promedios
móviles y mı́nimos cuadrados.
77
La función de supervivencia Gompertz-Makeham es:
𝑙𝑥 = 𝑘𝑎𝑥 𝑏𝑑
𝑥
(3.46)
Recordemos que la supervivencia depende principalmente de aspectos biológicos, en consecuencia,
el elemento primordial para su medición es la edad; es decir, los procesos biológicos del individuo
se realizan en el tiempo fı́sico o absoluto, pero se manifiestan en relación con la edad, como medida
del tiempo interno del individuo.
Para la aplicación de este modelo se requiere estimar los parámetros 𝑘, 𝑎, 𝑏 y 𝑑, de tal manera
que partiendo de una tabla abreviada de valores 𝑙𝑥 se pueda interpolar para hallar los valores que
faltan sin necesidad de recurrir a valores exógenos.
El método de los grupos no superpuestos se basa en considerar cuatro grupos de observaciones
de igual tamaño (𝑚), cuidando que los grupos no sean superpuestos, es decir que la separación en
observaciones sucesivas no se traslape.
Luego, se obtienen los logaritmos de 𝑙𝑥𝑜 y las cuatro sumas correspondientes a cada grupo de
sus ln 𝑙𝑖𝑜 .
𝑥
ln 𝑙𝑥
1
ln 𝑙𝑖𝑜
𝑆𝑥
𝑆0 =
𝑚
∑
Desarrollo de 𝑆𝑥
ln 𝑙𝑖𝑜
𝑆0 =
𝑖=1
𝑚
∑
ln 𝑙𝑖𝑜 = 𝑚 ln 𝑘 + ln 𝑎
𝑖=1
𝑚
∑
𝑖 + ln 𝑏
𝑖=1
𝑚
∑
𝑑𝑖
𝑖=1
2
3
4
..
.
m
M+1
ln 𝑙𝑖𝑜
𝑆1 =
2𝑚
∑
ln 𝑙𝑖𝑜
𝑆1 =
𝑖=𝑚+1
2𝑚
∑
ln 𝑙𝑖𝑜 = 𝑚 ln 𝑘 + ln 𝑎
𝑖=𝑚+1
2𝑚
∑
2𝑚
∑
𝑖 + ln 𝑏
𝑖=𝑚+1
𝑑𝑖
𝑖=𝑚+1
M+2
M+3
..
.
2m
2m+1
ln 𝑙𝑖𝑜
𝑆2 =
3𝑚
∑
ln 𝑙𝑖𝑜
𝑆0 =
𝑖=2𝑚+1
3𝑚
∑
ln 𝑙𝑖𝑜 = 𝑚 ln 𝑘 + ln 𝑎
𝑖=2𝑚+1
3𝑚
∑
𝑖 + ln 𝑏
𝑖=2𝑚+1
3𝑚
∑
𝑑𝑖
𝑖=2𝑚+1
2m+2
2m+3
..
.
3m
3m+1
ln 𝑙𝑖𝑜
𝑆3 =
4𝑚
∑
𝑖=3𝑚+1
ln 𝑙𝑖𝑜
𝑆0 =
4𝑚
∑
ln 𝑙𝑖𝑜 = 𝑚 ln 𝑘 + ln 𝑎
𝑖=3𝑚+1
4𝑚
∑
𝑖=3𝑚+1
3m+2
3m+3
..
.
4m
78
𝑖 + ln 𝑏
4𝑚
∑
𝑖=3𝑚+1
𝑑𝑖
Dadas las relaciones anteriores, se observa que la
tras que la
𝑠𝑢𝑚𝑑𝑖 a una serie geométrica, por lo que:
∑
𝑖 corresponde a una serie aritmética, mien-
)
(
)
𝑑 − 𝑑𝑚+1
𝑚+1
ln 𝑎 +
ln 𝑏
𝑚 ln 𝑘 + 𝑚
2
1−𝑑
( 2
)
(
)
𝑚+1
𝑚 + 𝑚(𝑚 + 1)
𝑚𝑑 − 𝑑
𝑚 ln 𝑘 +
ln 𝑎 + 𝑑
ln 𝑏
2
1−𝑑
( 2
)
(
)
𝑚+1
2𝑚 + 𝑚(𝑚 + 1)
2𝑚 𝑑 − 𝑑
𝑚 ln 𝑘 +
ln 𝑎 + 𝑑
ln 𝑏
2
1−𝑑
)
(
)
( 2
𝑚+1
3𝑚 + 𝑚(𝑚 + 1)
3𝑚 𝑑 − 𝑑
ln 𝑎 + 𝑑
ln 𝑏
𝑚 ln 𝑘 +
2
1−𝑑
(
𝑆0 =
𝑆1 =
𝑆2 =
𝑆3 =
(3.47)
(3.48)
(3.49)
(3.50)
Se obtienen las primeras y segundas diferencias basándose en las últimas cuatro relaciones:
Δ𝑆0 = 𝑆1 − 𝑆0
(3.51)
⇒ Δ𝑆0 = 𝑚2 ln 𝑎 + (𝑑𝑚 − 1)
𝑑𝑚+1
𝑑−
1−𝑑
ln 𝑏
(3.52)
Δ𝑆1 = 𝑆2 − 𝑆1
(3.53)
⇒ Δ𝑆1 = 𝑚2 ln 𝑎 + 𝑑𝑚 (𝑑𝑚 − 1)
𝑑𝑚+1
𝑑−
1−𝑑
ln 𝑏
Δ𝑆2 = 𝑆3 − 𝑆2
(3.54)
(3.55)
⇒ Δ𝑆2 = 𝑚2 ln 𝑎 + 𝑑2𝑚 (𝑑𝑚 − 1)
𝑑𝑚+1
𝑑−
1−𝑑
Δ2 𝑆0 = Δ𝑆1 − 𝑆0
⇒ Δ2 𝑆0 = (𝑑𝑚 − 1)2
ln 𝑏
(3.56)
(3.57)
(
𝑑𝑚+1
𝑑−
1−𝑑
)
ln 𝑏
Δ2 𝑆1 = Δ𝑆2 − 𝑆1
⇒ Δ2 𝑆1 = 𝑑𝑚 (𝑑𝑚 − 1)2
79
(3.58)
(3.59)
(
𝑑𝑚+1
𝑑−
1−𝑑
)
ln 𝑏
(3.60)
Una vez conocidas dichas diferencias, se calculan los parámetros de la siguiente forma:
Δ2 𝑆
1
Δ2 𝑆0
=
(
)
𝑚+1
𝑑𝑚 (𝑑𝑚 − 1)2 𝑑−𝑑
ln 𝑏
1−𝑑
(
)
(3.61)
𝑚+1
(𝑑𝑚 − 1)2 𝑑−𝑑
ln
𝑏
1−𝑑
Δ2 𝑆1
= 𝑑𝑚
Δ2 𝑆0
( 2 ) 𝑚1
Δ 𝑆1
⇒
= 𝑑
Δ2 𝑆0
Además
⇒
2
(3.62)
(3.63)
2
𝑚
(
Δ 𝑆0 = (𝑑 − 1)
⎧
⎫
⎨
⎬
Δ2 𝑆0
(
)
⇒ exp
= 𝑏
⎩ (𝑑𝑚 − 1)2 𝑑−𝑑𝑚+1 ⎭
𝑑 − 𝑑𝑚+1
1−𝑑
)
ln 𝑏 (3.64)
(3.65)
1−𝑑
También sabemos que
Δ𝑆0 = 𝑚2 ln 𝑎 +
𝑚
+ (𝑑 − 1)
)
𝑑 − 𝑑𝑚+1
⇒ Δ𝑆0 − (𝑑 − 1)
ln 𝑏 = 𝑚2 ln 𝑎
1−𝑑
(
)(
(
))
1
𝑑 − 𝑑𝑚+1
𝑚
⇒
Δ𝑆0 − (𝑑 − 1)
= ln 𝑎
𝑚2
1−𝑑
)(
(
))}
{(
𝑑 − 𝑑𝑚+1
1
𝑚
Δ𝑆
−
(𝑑
−
1)
= 𝑎
⇒ exp
0
𝑚2
1−𝑑
𝑚
3.2.
(
𝑑 − 𝑑𝑚+1
1−𝑑
)
ln 𝑏 (3.66)
(
(3.67)
(3.68)
(3.69)
Criterio de mı́nimos cuadrados
Para determinar el parámetro 𝐾 se impone la condición de mı́nimos cuadrados de las diferencias
entre los valores observados y los teóricos.
4𝑚 (
∑
𝐷 =
)2
𝑖=1
4𝑚
4𝑚
∑
𝐷 =
𝑙𝑖 − ˆ𝑙𝑖
→0
(3.70)
(𝑙𝑖 − 𝑘𝑣𝑖 )2
𝑖=1
4𝑚
(3.71)
(3.72)
80
Derivamos con respecto a 𝐾 porque es el parámetro que no conocemos y se iguala a cero:
𝑑
𝐷 = 0
𝑑𝑘
⎡∑
⎤
2
(𝑙
−
𝑘𝑣
)
𝑖
𝑖
𝑑
𝑑 ⎣
⎦
𝐷 =
𝑑𝑘
𝑑𝑘
4𝑚
(3.73)
(3.74)
(3.75)
Recordemos
𝑛
𝑑
𝑑𝑥 (𝑓 (𝑥))
𝑑
𝑛 (𝑓 (𝑥))𝑛−1 𝑑𝑥
𝑓 (𝑥)
⇔
4𝑚
∑
(
𝑑
𝐷 =
𝑑𝑘
( 4𝑚
)
∑
1
𝑑
2
(𝑙𝑖 − 𝑘𝑣𝑖 )
(𝑙𝑖 − 𝑘𝑣𝑖 )
4𝑚
𝑑𝑘
(3.76)
𝑑
𝐷 =
𝑑𝑘
1
2
4𝑚
(3.77)
𝑑
𝐷 =
𝑑𝑘
4𝑚
2 ∑
(−𝑙𝑖 𝑣𝑖 ) + 𝐾𝑣𝑖2
4𝑚
𝑖=1
4𝑚
∑
(𝑙𝑖 − 𝑘𝑣𝑖 ) (−𝑣𝑖 )
𝑖=1
(3.78)
𝑖=1
)
−𝑙𝑖 𝑣𝑖 + 𝐾𝑣𝑖2 = 0
(3.79)
𝑖=1
⇔ −
4𝑚
∑
𝑖=1
𝑙𝑖 𝑣𝑖 + 𝐾
4𝑚
∑
𝑣𝑖2 = 0
(3.80)
𝑖=1
(3.81)
Despejando el valor del parámetro 𝐾
4𝑚
∑
𝑘 =
𝑙𝑖 𝑣𝑖
𝑖=1
4𝑚
∑
(3.82)
𝑣𝑖2
𝑖=1
Una vez estimados los parámetros 𝑎, 𝑏 y 𝑑 la 𝑙𝑥 estimada la podemos expresar como:
ˆ𝑙𝑖 = 𝑘𝑣𝑥
𝑖 𝑑𝑖
(3.83)
𝑣𝑖 = 𝑎 𝑏
(3.84)
𝑙𝑥𝑜
(3.85)
ˆ𝑙𝑥
(3.86)
(3.87)
Para 𝑖 = 1, 2, 3, . . . , 16 y 𝑥 = 5, 10, 15, . . . , 80
81
I
X
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
5
6
7
8
9
10
Recordemos:
4𝑚
∑
𝑘 =
𝑙𝑖 𝑣𝑖
𝑖=1
4𝑚
∑
(3.88)
𝑣𝑖2
𝑖=1
3.3.
Poblaciones teóricas de Alfred J. Lotka
3.3.1.
Teorı́a analı́tica de las asociaciones biológicas
En la Teorı́a Analı́tica de las Asociaciones Biológicas se estudia con gran rigor lógico diversos
aspectos teóricos ligados al comportamiento de las poblaciones desde el punto de vista demográfico;
y los problemas que examinan se han convertido en instrumentos de incalculable valor para quienes
tienen la tarea de elaborar estimaciones de parámetros, tanto en nivel como en tendencia, a partir
de datos insuficientes, ya sea en calidad como también en disponibilidad1
Para el caso de una población cerrada, es decir, una población cuyo efectivo recibe nuevas
incorporaciones sólo por nacimientos y sufre pérdidas sólo por defunciones, excluidas la migración
y la inmigración, tendrı́amos la siguiente ecuación demográfica:
Nacimientos - Defunciones = Crecimiento Natural
El caso discreto
𝑃1 = 𝑃0 + 𝑁 − 𝐷
𝑃1
𝑃0 + 𝑁 − 𝐷
=
𝑃0
𝑃0
𝑃1 = 𝑃0 (1 + 𝑟)
(3.89)
(3.90)
(3.91)
El caso continuo
1
Lotka, Alfred J. Teorı́a Analı́tica de las Asociaciones Biológicas. Centro Latinoamericano de Demografı́a.
CELADE. 1976.
82
𝑃1 = 𝑃0 + 𝑁 − 𝐷
𝑃1 − 𝑃0 = 𝑁 − 𝐷
′
𝑃
𝑃′
𝑃
(3.92)
(3.93)
= 𝑁 −𝐷
𝑁 −𝐷
=
=𝑟
𝑃
𝑑
ln 𝑃𝑡 = 𝑟
𝑑𝑡
∫ 1
∫ 1
𝑑
𝑟 𝑑𝑡
ln 𝑃𝑡 𝑑𝑡 =
𝑑𝑥
0
0
(3.94)
(3.95)
(3.96)
(3.97)
Recordemos que la integral de una derivada es igual a ella misma
1
1
ln 𝑃𝑡 = 𝑟 𝑑𝑡
0
ln 𝑃1 − ln 𝑃0
𝑃1
ln
𝑃0
𝑃1
𝑃0
𝑃1
3.3.2.
(3.98)
0
= 𝑟(1) − 𝑟(0)
(3.99)
= 𝑟
(3.100)
= 𝑒𝑟
(3.101)
= 𝑃0 𝑒 𝑟
(3.102)
Mı́nimos Cuadrados y Promedios Móviles
Inicialmente, se debe crear la tabla teniendo en cuenta el punto medio de los intervalos de las
diferentes edades (𝑋 = 7,5, 12,5, . . . , 82,5).
Hipótesis:
𝑚(𝑥) = 𝐵𝐶 𝑥
(3.103)
Posteriormente, se deben obtener los logaritmos naturales de las tasas para linealizar
ln 𝑚(𝑥) = ln (𝐵𝐶 𝑥 )
⇒ ln 𝑚(𝑥) = ln 𝐵 + ln 𝐶
(3.104)
𝑥
⇒ ln 𝑚(𝑥) = ln 𝐵 + 𝑥 ln 𝐶
Luego, se obtiene la recta de ajuste, graficando la serie de versus las edades medias
83
(3.105)
(3.106)
Método de Mı́nimos Cuadrados
𝑦𝑖𝑜 = 𝑚𝑥𝑜𝑖 + 𝑤
(3.107)
𝑦ˆ𝑖 = 𝑚𝑥𝑖 + 𝑤
𝑛
∑
𝑜
𝑦𝑖 = 𝑚
𝑥𝑜𝑖 + 𝑛𝑤
(3.108)
Hipotéticamente existe
𝑛
∑
𝑖=1
𝑛
∑
𝑥𝑜𝑖 𝑦𝑖𝑜
= 𝑚
𝑖=1
𝑖=1
𝑛
∑
𝑥2𝑖
+𝑤
𝑖=1
(3.109)
𝑛
∑
𝑥𝑖
(3.110)
𝑖=1
(3.111)
Se tiene dos sistemas de ecuaciones con dos incógnitas:
Para nuestro caso serı́a:
16
∑
ln 𝑚(5𝑖 + 2,5) = ln 𝐶
𝑖=1
16
∑
16
∑
(5𝑖 + 2,5) + 16 ln 𝐵
(3.112)
𝑖=1
(5𝑖 + 2,5) ln 𝑀 (5𝑖 + 2,5) = ln 𝐶
𝑖=1
16
∑
(5𝑖 + 2,5)2 + 16 ln 𝐵
16
∑
𝑖=1
(5𝑖 + 2,5)
(3.113)
𝑖=1
Despejando de (3.112) el ln 𝐵
ln 𝐵 =
1
16
{ 16
∑
ln 𝑀 (5𝑖 + 2,5) − ln 𝐶
𝑖=1
16
∑
}
(5𝑖 + 2,5)
(3.114)
𝑖=1
Sustituyendo en (3.113) el ln 𝐵 y despejando el valor 𝐶
16
∑
(5𝑖 + 2,5) ln 𝑚(5𝑖 + 2,5) = ln 𝐶
16
∑
𝑖=1
1
+
16
= ln 𝐶
( 16
∑
(
16
∑
ln 𝑚(5𝑖 + 2,5) − ln 𝐶
𝑖=1
1
16
∑
)
(5𝑖 + 2,5)
𝑖=1
𝑖=1
𝑖=1
1
ln 𝑚(5𝑖 + 2,5) −
16
( 16
∑
16
∑
1
1
(5𝑖 + 2,5) −
16
2
Hasta aquı́ se tiene que:
84
ln 𝑚(5𝑖 + 2,5)
ln 𝑚(5𝑖 + 2,5)
1
16
∑
1
(5𝑖 + 2,5)
16
∑
)
(5𝑖 + 2,5)
16
∑
1
(3.117)
)
(5𝑖 + 2,5)
1
(5𝑖 + 2,5)
(3.116)
𝑖=1
( 16
∑
16
∑
)
16
∑
1
+
16
16
16
∑
1 ∑
(5𝑖 + 2,5) −
(5𝑖 + 2,5)
(5𝑖 + 2,5)
16 𝑖=1
𝑖=1
𝑖=1
⇒ ln 𝐶 =
(3.115)
𝑖=1
2
16
∑
(5𝑖 + 2,5)2 +
(5𝑖 + 2,5)
(3.118)
ln 𝐶 = 𝐾1
(3.119)
Sustituyendo:
{ 16
∑
1
16
ln 𝐵 =
ln 𝑀 (5𝑖 + 2,5) − 𝐾1
16
∑
}
(5𝑖 + 2,5)
(3.120)
1
1
ln 𝐵 = 𝐾2
(3.121)
𝐾1 𝐾2 ∈ ℝ
(3.122)
Finalmente:
𝐶 = 𝑒𝐾1
(3.123)
𝐾2
(3.124)
𝐵 = 𝑒
Una vez conozcamos el valor de los parámetros 𝐵 y 𝐶 con tasas quinquenales se puede desagregar
para obtener los valores individuales.
ˆ (𝑥) = 𝐵𝐶 𝑥
𝑀
(3.125)
Por ejemplo: si necesito 1 𝑚15
1 𝑚15
= 𝐵𝐶 15,5
(3.126)
Método de Promedios Móviles
Para utilizar este método primero debemos estimar dos puntos promedio
(
𝑃¯1 =
(
𝑃¯2 =
8
8
𝑖=1
16
∑
𝑖=1
16
∑
1∑
1∑
(5𝑖 + 2,5);
ln 𝑚5𝑖+2,5
8
8
1
8
𝑖=9
1
(5𝑖 + 2,5);
8
)
(3.127)
)
ln 𝑚5𝑖+2,5
(3.128)
𝑖=9
Recordadr
ˆ = ln 𝑀 (𝑥)
𝑌
(
)
−𝑌1
(𝑋 − 𝑋1 ) + 𝑌1
𝑌ˆ = 𝑋𝑌22 −𝑋
1
Donde
ln 𝑚𝑥 = ln 𝐶(𝑋 − 𝑋1 ) + 𝑌1
(3.129)
ln 𝑚𝑥 = 𝑋 ln 𝐶 − 𝑋1 ln 𝐶 + 𝑌1
(3.130)
85
ln 𝐶 =
(
𝑌2 −𝑌1
𝑋2 −𝑋1
)
𝑌2 −𝑌1
𝐶 = 𝑒 𝑋2 −𝑋1
1
8
ln 𝐶 =
16
∑
ln 𝑚5𝑖+2,5 −
𝑖=9
16
∑
1
5𝑖
8
𝑖=9
18
ln 𝑚5𝑖+2,5
8 𝑖=1
8
𝑖=1
ln 𝐵 = −𝑋1 ln 𝐶 + 𝑌1
𝐵 = 𝑒
(3.131)
1∑
5𝑖 + 2,5
+ 2,5 −
8
(3.132)
−𝑋1 ln 𝐶+𝑌1
(3.133)
Finalmente
𝑀 (ˆ ¯𝑋) = 𝐵𝐶 𝑥
(3.134)
(3.135)
𝑋 = 7,5, 12,5, . . . , 77,5, 82,5
De esta forma también podemos desagregar las tasas aplicando la ley de Gompertz.
3.3.3.
Función Gompertz-Makeham
Ley de Gompertz
𝜇𝑥 = 𝐵𝐶 𝑥
(3.136)
La fuerza de la mortalidad esta definida considerando razones biológicas y no fortuitas.
Función de Supervivencia
𝑙𝑥 = 𝐾𝑔 𝐶
𝑥
(3.137)
Makeham retoma lo desarrollado por Gompertz e incorpora a la función de supervivencia,
las causas de muerte independiente de la edad. Por lo que Makeham plantea para la fuerza de
mortalidad, la expresión:
𝜇𝑥 = 𝐴 + 𝐵𝐶 𝑥
(3.138)
Como vemos Makeham añadió a la función de Gompertz una constante
𝜇𝑥 = 𝐵𝐶 𝑥 + 𝐴
(3.139)
Al introducir la constante esta involucra las causas de muertes por hechos fortuitos o al azar.
La pregunta ahora es ¿Cuál función de supervivencia se asocia?
Sabemos que:
𝑙𝑥 = 𝑙0 𝑒−
86
∫𝑡
0 𝜇𝑥
𝑑𝑥
(3.140)
Sustituyendo (3.139) en (3.140)
𝑙𝑥 = 𝑙0 𝑒−
∫𝑡
𝑥
0(𝐵𝐶 +𝐴) 𝑑𝑥
(3.141)
En este caso:
𝑡
∫
∫
𝑥
∫
𝑥
𝑑𝑥
(3.142)
0
0
0
𝑡
𝐶 𝑑𝑥 − 𝐴
(𝐵𝐶 + 𝐴) 𝑑𝑥 = −𝐵
−
𝑡
Recordar
𝑑
𝑥
𝑥
𝑑𝑥 𝐶 𝑥 = 𝐶 ln 𝐶
𝑑 𝐶
𝑥
𝑑𝑥 ln 𝐶 = 𝐶
∫𝑡
∫𝑡
𝑥 𝑡
− 0 𝐵𝐶 𝑥 𝑑𝑥 = −𝐵 0 𝐶 𝑥 𝑑𝑥 = −𝐵 ln𝐶 𝐶 = − ln𝐵𝐶 (𝐶 𝑡 − 1)
0
ln 𝑔 = − ln𝐵𝐶
𝑡
𝑡
ln 𝑔(𝐶 𝑡 − 1) = 𝐶 𝑡 ln 𝑔 − ln 𝑔 = ln 𝑔 𝐶 + ln 𝑔 −1 = ln 𝑔 −1 𝑔 𝐶
∫
−
0
∫
−
𝑡
𝑡
𝑡
(𝐵𝐶 𝑥 + 𝐴) 𝑑𝑥 = ln 𝑔 −1 𝑔 𝐶 − 𝐴𝑥
0
𝑡
𝑡
(𝐵𝐶 𝑥 + 𝐴) 𝑑𝑥 = ln 𝑔 −1 𝑔 𝐶 − 𝐴(𝑡 − 0)
(3.143)
(3.144)
0
∫
−
𝑡
𝑡
(𝐵𝐶 𝑥 + 𝐴) 𝑑𝑥 = ln 𝑔 −1 𝑔 𝐶 − 𝐴𝑡
(3.145)
0
Usamos un artificio para obtener el logito de la expresión.
Sea:
−𝐴 = ln 𝑓
∫
⇒
𝑡
𝑡
(𝐵𝐶 𝑥 + 𝐴) 𝑑𝑥 = ln 𝑔 −1 𝑔 𝐶 + 𝑡 ln 𝑓
(3.146)
0
∫
⇒
𝑡
𝑡
(𝐵𝐶 𝑥 + 𝐴) 𝑑𝑥 = ln 𝑔 −1 𝑔 𝐶 + ln 𝑓 𝑡
(3.147)
0
∫
⇒
𝑡
𝑡
(𝐵𝐶 𝑥 + 𝐴) 𝑑𝑥 = ln(𝑔 −1 𝑔 𝐶 + 𝑓 𝑡 )
(3.148)
0
Entonces, se sustituye en (3.148) para generar la función de supervivencia en (3.140) y queda:
𝑙𝑡 = 𝑙0 𝑒ln 𝑔
−1 𝑔 𝐶 𝑡 𝑓 𝑡
Genera la función identidad
−1 𝐶 𝑡 𝑡
𝑙𝑡 = 𝑙𝑜 𝑔 𝑔 𝑓
𝑙0 𝑡 𝐶 𝑡
𝑓 𝑔
dado que
𝑙𝑡 =
𝑔
𝑙0
𝑘 =
𝑔
𝑙𝑡 = 𝑘𝑓 −1 𝑔 𝐶
𝑡
(3.149)
(3.150)
(3.151)
(3.152)
(3.153)
87
Finalmente se llega a la expresión conocida como la ley de Gompertz Makeham es
𝑥
𝑙𝑥 = 𝐾𝑎𝑥 𝑏𝑑
(3.154)
Recordemos
Gompertz
𝑥
𝑙𝑥 = 𝐾𝑏𝑑
Gompertz-Makeham
𝑥
𝑙𝑥 = 𝐾𝑎𝑥 𝑏𝑑
3.3.4.
Modelo de fecundidad basado en la relación de Gompertz propuesto por
Brass
El modelo bilogı́stico sirve para ajustar, corregir y proyectar la fecundidad
𝑥
𝑙𝑥 = 𝑙𝑥 = 𝐾𝑏𝑑
(3.155)
Gompertz
Recordemos que este autor se planteó como objetivo observar cómo se extinguı́a una población,
ası́ que después de encontrar que conforme pasa el tiempo la resistencia del hombre a la muerte
decrece proporcionalmente a la misma. Gompertz definió la resistencia del hombre a la muerte
como el recı́proco de la tasa instantánea de mortalidad 𝜇1𝑥
𝑑 𝜇1𝑥
𝑑𝑥
= −ℎ
1
𝜇
(3.156)
Gompertz
𝑥
𝑙𝑥 = 𝐾𝑏𝑑
(3.157)
siendo ℎ la tasa a la cual decrece la resistencia del hombre a la muerte.
Ahora será: 𝜇𝑥 = 𝐹 (𝑥) Descendencias parciales
Grupos de Edad
Edad (𝑥)
Tasas 5 𝑓𝑥
Descencencia Parcial 𝐹𝑥
15 − 19
20 − 24
15
20
5 𝑓15
𝐹15 = 0
𝐹20 = 55 𝑓15
25 − 29
30 − 34
35 − 39
40 − 44
25
30
35
40
5 𝑓25
45 − 49
45
5 𝑓45
5 𝑓20
5 𝑓30
5 𝑓35
5 𝑓40
𝐹25 = 5(5 𝑓15 +5 𝑓20 )
𝐹30 = 5(5 𝑓15 +5 𝑓20 +5 𝑓25 )
𝐹35 = 5(5 𝑓15 +5 𝑓20 +5 𝑓25 +5 𝑓30 )
𝐹40 = 5(5 𝑓15 +5 𝑓20 +5 𝑓25 +5 𝑓30 +5 𝑓35 )
8
∑
𝐹45 = 5
5 𝑓3𝑖
𝑖=3
88
Descendencia parcial a los 20 años
¿Cómo obtener los parámetros?
Para ello se sabe que:
𝐹𝑥 = 𝑇 𝐺𝐹 𝑏𝑑
𝑥
(3.158)
Donde 𝐹 (𝑥) denota la fecundidad acumulada hasta la edad 𝑋 y 𝑇 𝐺𝐹 la tasa global de fe𝑥
cundidad, el cociente 𝑇𝐹𝐺𝐹
, la proporción de la fecundidad global experimentada hasta la edad
𝑋.
𝐹𝑥
𝑇 𝐺𝐹
𝐹𝑥
ln
𝑇 𝐺𝐹
𝑥
= 𝑏𝑑
(3.159)
= 𝑑𝑥 ln 𝑏
(3.160)
𝑥
es menor
Hay que introducir un signo (-) al transformar la ecuación ya que la cantidad 𝑇𝐹𝐺𝐹
𝐹𝑥
que la unidad de aquı́ que el ln 𝑇 𝐺𝐹 sea negativo y el logaritmo de un número negativo no esta
definido.
𝐹𝑥
= −𝑑𝑥 ln 𝑏
𝑇
𝐺𝐹
(
)
𝐹𝑥
ln − ln
= ln (−𝑑𝑥 ln 𝑏)
𝑇 𝐺𝐹
(
)
𝐹𝑥
ln − ln
= 𝑥 ln 𝑑 + ln (− ln 𝑏)
𝑇 𝐺𝐹
Sea
)
(
𝐹𝑥
𝑜
𝑣𝑥 = ln − ln
𝑇 𝐺𝐹
𝑚 = ln 𝑑
− ln
𝑐 = ln (− ln 𝑏)
(3.161)
(3.162)
(3.163)
(3.164)
(3.165)
(3.166)
Luego, se puede comprobar gráficamente la tendencia lineal (graficar los 6 puntos)
Luego, relacionamos el estándar con los valores observados considerando que ambos se relacionan
de manera lineal con la edad.
William Brass
𝑣𝑥 = 𝑣𝑥𝑆
𝑣𝑥𝑠
𝑣𝑥𝑜
′
(3.167)
′
= 𝑚𝑥+𝑐
(3.168)
= 𝑚𝑥 + 𝑐
(3.169)
El propósito es corregir las descendencias parciales no la 𝑇 𝐺𝐹 , ya que el problema radica en
cuando tuvo los hijos, no cuantos tuvo.
Despejando 𝑋 relacionamos el estándar con los valores observados:
𝑣𝑥𝑆 − 𝑐′ = 𝑚′ 𝑥
𝑣𝑥𝑠 − 𝑐′
𝑥 =
𝑚′
89
(3.170)
(3.171)
Sustituimos (3.171) en (3.169)
𝑣𝑥𝑜
⇒ 𝑣𝑥𝑜
⇒ 𝑣𝑥𝑜
)
𝑣𝑥𝑆 − 𝑐′
+𝑐
= 𝑚
𝑚′
𝑚 𝑆 (
𝑚 ′)
=
𝑣
+
𝑐
−
𝑐
𝑚′ 𝑥
𝑚′
= 𝛼𝑣𝑥𝑆 + 𝛽
(
(3.172)
(3.173)
(3.174)
Corrobora la linealidad graficando
P1
P2
P3
P4
P5
P6
𝑆 , 𝑣𝑜 )
(𝑣20
20
𝑆 , 𝑣𝑜 )
(𝑣25
25
𝑆 , 𝑣𝑜 )
(𝑣30
30
𝑆 , 𝑣𝑜 )
(𝑣35
35
𝑆 , 𝑣𝑜 )
(𝑣40
40
𝑆 , 𝑣𝑜 )
(𝑣45
45
En el caso del modelo bilogı́stico 𝑣𝑥𝑜 , 𝛼 puede interpretarse como determinante de la dispersión
o grado de concentración del patrón. Y 𝛽 puede considerarse como un indicador de la localización
del patrón de fecundidad con respecto a la edad, o más concretamente, la edad en la que la mitad
de todos los alumbramientos se han producido.
Recordemos que Brass obtuvo un estándar apropiado a partir de los patrones de Coale y Trussell.
Ciertamente el modelo de Brass es más fácil que el desarrollado por Coale y Trussell, y puede resultar
muy útil para fines de simulación y proyección.
Hasta el momento hemos analizado los métodos indirectos que tienen como finalidad resumir
estructuras por edades a través de parámetros. Los parámetros en funciones matemáticas nos
permitirán ver cual es su comportamiento en el tiempo. Los parámetros per sé nos permiten realizar
proyecciones. Sin embargo, autores como Alvino Bocaz del Centro Latinoamericano de Demografı́a
ha trabajado ajustes bilogı́sticos (doble ln), señala que el parámetro 𝐵 está asociado con la tasa
neta de reproducción
La tasa neta de reproducción se refiere al número de hijas que van a reemplazar a sus madres
en el momento de su nacimiento en presencia de mortalidad.
En presencia de mortalidad
𝑅0 = 𝑇 𝑁 𝑅
Cuando la 𝑇 𝑁 𝑅 < 1 el reemplazo de la población no esta asegurado
Descendencia Final DF
∑
𝑇 𝐺𝐹 = 5
5 𝑓5𝑖 = 𝐷𝐹
(3.175)
(3.176)
Tasa bruta de reproducción 𝑇 𝐵𝑅
0.488 ı́ndice de femineidad
𝑇 𝐵𝑅 = 0,488𝑇 𝐺𝐹
90
(3.177)
Demostración Caso Discreto
Hipótesis fundamental: las probabilidades de supervivencia del nacimiento a la edad 𝑋 es lineal
15 ≤ 𝑋 ≤ 50.
−𝑋0 𝑆0
𝑋1 ∕= 𝑋0
𝑋1 − 𝑋0
(3.178)
−𝑋0 𝑆0
(𝑋 − 𝑋0 ) +𝑋0 𝑆0 𝑋1 ∕= 𝑋0
𝑋1 − 𝑋0
(3.179)
𝑥 𝑆0
𝑋1 𝑆0
=
El denominador no puede ser cero.
𝑥 𝑆0
𝑋1 𝑆0
=
Nótese que 𝑋1 𝑆0 ∕=𝑋0 𝑆0
Estos dos valores no pueden ser iguales, no podemos afirmar que a edades diferentes se pueda
tener la misma probabilidad de supervivencia. Biológicamente no es cierto.
𝑋 𝑆0 1 𝑓𝑋
50
∑
𝑋 𝑆0 1 𝑓𝑋
= 𝑘 1 𝑓𝑋 (𝑋 − 𝑋0 ) +𝑋0 𝑆0 1 𝑓𝑋
50
50
∑
∑
𝑓
(𝑋
−
𝑋
)
+
= 𝑘
𝑆
1 𝑋
0
1 𝑓𝑋
𝑋0 0
𝑋=15
𝑋=15
(3.180)
(3.181)
𝑋=15
50
∑
𝑅0 = 0,4878𝑘
1 𝑓𝑋 (𝑋
− 𝑋0 ) +𝑋0 𝑆0 𝑅
(3.182)
𝑋=15
ya que para obtener 𝑋0 se tiene que
𝑅0 =
0,4878𝑘
50
∑
1 𝑓𝑋 (𝑋
𝑋0 𝑆0
− 𝑋0 ) = 0
𝑅
(3.183)
(3.184)
𝑋=15
Despejar de 𝑋0 de:
50
∑
0,4878𝑘
1 𝑓𝑋 (𝑋
− 𝑋0 ) = 0
(3.185)
𝑋=15
⇒
50
∑
1 𝑓𝑋 (𝑋
− 𝑋0 ) = 0
(3.186)
𝑋=15
⇒
50
∑
1 𝑓𝑋 𝑋 − 𝑋0
𝑋=15
50
∑
1 𝑓𝑋
= 0
(3.187)
𝑋=15
Edad media a la fecundidad
50
∑
𝑋0 =
𝑋1 1 𝑓𝑋
𝑋=15
50
∑
𝑋=15
Recordemos que:
91
=𝑚
¯
1 𝑓𝑋
(3.188)
Edad
5 𝑓𝑋
15 − 19
20 − 24
25 − 29
30 − 34
35 − 39
40 − 44
45 − 49
5 𝑓15
5 𝑓20
5 𝑓25
5 𝑓30
5 𝑓35
5 𝑓40
5 𝑓45
(17,5)5 𝑓15 + (22,5)5 𝑓20 + . . . + (47,5)5 𝑓45
5 𝑓15 + . . . +5 𝑓45
𝑚
ˆ =
(3.189)
Para 𝑋0 = 𝑚
ˆ
𝑅0 = 𝑅𝑚
ˆ 𝑆0
(3.190)
Dada una tabla de mortalidad cómo estimarı́amos 𝑚
ˆ 𝑆0 Lo harı́amos interpolando, entre más
pequeño el intervalo mejor la estimación. Por definición
𝑋0 𝑆0
=
𝑙𝑋
𝑙0
(3.191)
Usando la hipótesis
𝑥 𝑆0
𝑆𝑋
𝑚
ˆ 𝑆0
−𝑋0 𝑆0
(𝑋 − 𝑋0 ) +𝑋0 𝑆0
𝑋1 − 𝑋0
𝑖 𝐿𝑋+1
=
𝑖 𝐿𝑋
= 𝑘(𝑚
ˆ − 𝑥0 ) + 𝑥0 𝑠 0
𝑋1 𝑆0
=
(3.192)
(3.193)
(3.194)
Para quinquenios 𝐾 puede ser:
𝑙𝑋+5
𝑙0
𝐾 =
−
𝑙𝑋
𝑙0
5
𝑋1 𝑆0 −𝑋 𝑆0
5
⇒ 𝐾 =
(3.195)
(3.196)
Caso Continuo
𝑥 𝑆0
⇒
𝑥 𝑆0
−𝑋0 𝑆0
(𝑋 − 𝑋0 ) +𝑋0 𝑆0
𝑋1 − 𝑋0
= 𝑘(𝑥 − 𝑥0 ) +𝑋0 𝑆0
=
𝑋1 𝑆0
⇒ 𝑠(𝑥) = 𝑘(𝑥 − 𝑥0 ) + 𝑠(𝑥0 )
⇒ 𝑠(𝑥)𝑓 (𝑥) = 𝑘𝑓 (𝑥)(𝑥 − 𝑥0 ) + 𝑠(𝑥0 )𝑓 (𝑥)
⇒ 𝑓 𝑠(𝑥)𝑓 (𝑥) = 𝑓 𝑘𝑓 (𝑥)(𝑥 − 𝑥0 ) + 𝑓 𝑠(𝑥0 )𝑓 (𝑥)
(3.197)
(3.198)
(3.199)
(3.200)
(3.201)
(3.202)
92
donde 𝑓 es el Índice de feminidad.
Integrando considerando los lı́mites de integración en el rango de edades donde se define el
impacto del fenómeno demográfico:
∫
𝛽
𝛽
∫
(𝑓 𝑘𝑓 (𝑥)(𝑥 − 𝑥0 ) + 𝑓 𝑠(𝑥0 )𝑓 (𝑥)) 𝑑𝑥
∫ 𝛽
∫ 𝛽
∫ 𝛽
𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥
𝑘𝑓 (𝑥)(𝑥 − 𝑥0 ) 𝑑𝑥 + 𝑓 𝑠(𝑥0 )
𝑠(𝑥)𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑓
⇒ 𝑓
𝑓 𝑠(𝑥)𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥 =
𝛼
(3.203)
𝛼
(3.204)
𝛼
𝛼
𝛼
Por definición:
∫
𝛽
𝑅0 = 𝑓
𝑠(𝑥)𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥
(3.205)
𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥
(3.206)
𝛼
∫ 𝛽
𝑅 = 𝑓
𝛼
∫
𝛽
⇒ 𝑅0 = 𝑘𝑓
𝑓 (𝑥)(𝑥 − 𝑥0 ) 𝑑𝑥 + 𝑠(𝑥0 𝑅
(3.207)
𝛼
Existirá 𝑋0 tal que
∫
𝛽
𝑓 (𝑥)(𝑥 − 𝑥0 ) 𝑑𝑥 = 0
∫
⇔ 𝑥𝑓
(3.208)
(𝑥𝑓 (𝑥) − 𝑥0 𝑓 (𝑥)) 𝑑𝑥 = 0
∫ 𝛽
∫ 𝛽
⇔
𝑥𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥 − 𝑥0
𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥 = 0
𝛼
𝛼
∫ 𝛽
∫ 𝛽
⇔
𝑥𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑥0
𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥
𝛼
𝛼
∫𝛽
𝛼 𝑥𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥
⇔ 𝑥0 =
=𝑚
ˆ
∫𝛽
𝑥0 𝛼 𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥
(3.210)
𝛼
∫
(3.209)
𝛽
⇔
𝛼
(3.211)
(3.212)
(3.213)
La última expresión obtenida es la esperanza matemática que en demografı́a corresponde a la
edad media a la fecundidad.
93
94
Capı́tulo 4
Funciones polinomiales en el ajuste de
datos demográficos
4.1.
Introducción
En la Demografı́a es común el ajuste de funciones que permitan describir y proyectar las variables
demográficas, una de las funciones más empleadas son las funciones polinomiales, las que ocupan
un lugar preponderante en el análisis numérico.
En este trabajo se presentan en una primera instancia los elementos técnicos empleados en él
análisis numérico básico, que sirven para obtener los parámetros de las funciones polinomiales de
ajuste, con base en información recabada. En una segunda instancia se presentan aplicaciones en
el terreno demográfico de las técnicas numéricas.
4.2.
El análisis numérico
Es muy común utilizar funciones polinomiales con el fin de aproximar una función dada 𝑓 (𝑥) a
valores observados, esto en el terreno del análisis numérico. Ası́, un tipo de aproximación empleando
la fórmula de Taylor, radica en encontrar un polinomio 𝑃 que coincida con una función dada 𝑓 y
con algunas de sus derivadas en un punto dado. Si f es una función con derivada de orden n en un
punto 𝑥0 , existe un polinomio 𝑃 y solo uno, de grado ≤ 𝑛 que satisface las 𝑛 + 1 relaciones.
𝑃 (𝑥0 ) = 𝑓 (𝑥0 ) , 𝑃 ′ (𝑥0 ) = 𝑓 ′ (𝑥0 ), . . . , 𝑃 (𝑛) (𝑥0 ) = 𝑓 (𝑛) (𝑥0 )
La solución viene dada por el polinomio de Taylor,
(
)
𝑛
∑
𝑓 (𝑘) (𝑥0 )
𝑃 (𝑥) =
(𝑥 − 𝑥0 )𝑘
𝑘!
(4.1)
(4.2)
𝑘=0
El error que se comete aproximando 𝑓 (𝑥) por 𝑃 (𝑥) en puntos 𝑥 distintos del 𝑥0 se define por
la diferencia
𝑅(𝑥) = 𝑓 (𝑥) − 𝑃 (𝑥), de modo que se puede escribir:
(
)
𝑛
∑
𝑓 (𝑘) (𝑥0 )
𝑓 (𝑥) =
(𝑥 − 𝑥0 )𝑘 + 𝑅(𝑥)
(4.3)
𝑘!
𝑘=0
95
Suponiendo que se conoce que f posee derivada de orden n+1 en todo un intervalo abierto (a,b) y
que es continua en el intervalo cerrado [a,b], entonces x y xo son puntos distintos de [a,b] el error
R(x) puede expresarse en la forma:
𝑅(𝑥) =
(𝑥 − 𝑥0 )𝑛−1 𝑓 (𝑛−1) (𝑐)
(𝑛 + 1)!
(4.4)
donde 𝑐 está situado entre 𝑥 y 𝑥0 .
Cuando los puntos de interpolación, 𝑥1 ,𝑥2 ,. . .,𝑥𝑛 , están separados con distancia constante, el
cálculo de los cocientes de diferencias considerablemente se simplifica . Para ello hablaremos del
operador de diferencias sucesivas Δ. Ası́ si ℎ es un número real fijo y f una función dada. La función
Δ𝑓 definida por la ecuación:
Δ𝑓 (𝑥) = 𝑓 (𝑥 + ℎ) − 𝑓 (𝑥)
(4.5)
recibe el nombre de la primera diferencia de 𝑓 ,la que se define para aquellos puntos 𝑥 para
los que tanto 𝑥 como 𝑥 + ℎ están en el dominio de 𝑓 , ası́ las diferencias de órdenes superiores
Δ2 𝑓, . . . , Δ𝑛 𝑓 , se definen por inducción como:
Δ𝑘+1 𝑓
= Δ(Δ𝑘 𝑓 ) para 𝑘 = 1, 2, 3, . . . , 𝑛
(4.6)
Supongamos ahora que 𝑓 esta definida en 𝑛 + 1 puntos igualmente separados 𝑥0 < 𝑥1 < 𝑥2 <
. . . < 𝑥𝑛 donde 𝑥𝑖 = 𝑥0 + 𝑗ℎ
Para 𝑗 = 0, 1, 2, . . . , 𝑛. Aquı́ ℎ es un número positivo que representa la distancia entre dos puntos
de interpolación consecutivos. Es fácil calcular sucesivamente las diferencias Δ𝑟−1 𝑓 (𝑥0 ) a partir de
una tabla de diferencias ordinarias, como se ve en la siguiente tabla, nótese que se escribió 𝑓𝑖 en
lugar de 𝑓 (𝑥𝑖 ).
𝑥
𝑓 (𝑥)
𝑥0
𝑓0
𝑥1
𝑓1
Δ2 𝑓 (𝑥)
Δ𝑓 (𝑥)
Δ3 𝑓 (𝑥)
𝑓1 − 𝑓0 = Δ𝑓 (𝑥0 )
Δ𝑓 (𝑥1 ) − Δ𝑓 (𝑥0 ) = Δ2 𝑓 (𝑥0 )
Δ2 𝑓 (𝑥1 ) − Δ2 𝑓 (𝑥0 ) = Δ3 𝑓 (𝑥0 )
𝑓2 − 𝑓1 = Δ𝑓 (𝑥1 )
𝑥2
Δ𝑓 (𝑥2 ) − Δ𝑓 (𝑥1 ) =
𝑓2
Δ2 𝑓 (𝑥
1)
𝑓3 − 𝑓2 = Δ𝑓 (𝑥2 )
𝑥3
𝑓3
Algunos de los resultados básicos de diferencias ordinarias son los siguientes:
1. Si ℎ > 0 y 𝑥𝑖 = 𝑥0 + 𝑗ℎ para 𝑗 = 1, 2, . . . , 𝑛 tenemos:
𝑓 (𝑥0 , 𝑥1 , . . . , 𝑥𝑛 ) =
Δ𝑛 𝑓 (𝑥0 )
𝑛!ℎ𝑛
(4.7)
2. La fórmula de interpolación de Newton:
𝑃𝑛 (𝑥) = 𝑓 (𝑥0 ) +
𝑛−1
∑
𝑟=0
96
𝑟
Δ𝑟−1 𝑓 (𝑥0 ) ∏
𝑡−𝑗
(𝑟 + 1)!
𝑗=0
(4.8)
3. El cociente de diferencias 𝑓 (𝑥0 , 𝑥1 , . . . , 𝑥𝑛 ) es una combinación lineal de los valores 𝑓 (𝑥0 ), . . . , 𝑓 (𝑥𝑛 ),
dada por:
𝑓 (𝑥0 , 𝑥1 , . . . , 𝑥𝑛 ) =
𝑛
𝑘=0
𝑓 (𝑥𝑘 )
𝐴𝑘 (𝑥𝑘 )
(4.9)
dodne:
𝐴𝑘 (𝑥𝑘 ) =
𝑛
∏
𝑥𝑘 − 𝑥𝑗
(4.10)
𝑗=0 𝑗∕=𝑘
Ası́, para puntos igualmente separados siendo 𝑥𝑘 − 𝑥𝑗 = ℎ(𝑘 − 𝑗) el factor que multiplica
𝑓 (𝑥𝑘 ) puede simplificarse ya que:
( )
𝑛
𝑛
∏
1 ∏
(−1)𝑛−𝑘 𝑛
1
1
1
= 𝑛
=
(4.11)
=
𝐴𝑘 (𝑥𝑘 )
𝑥𝑘 − 𝑥𝑗
ℎ
𝑥𝑘 − 𝑥𝑗
𝑛!ℎ𝑛
𝑘
𝑗=0 𝑗∕=𝑘
𝑗=0 𝑗∕=𝑘
y ya que tenemos Δ𝑛 𝑓 (𝑥0 ) = 𝑛!ℎ𝑛 𝑓 (𝑥0 , 𝑥1 , . . . , 𝑥𝑛 ) para puntos igualmente separados, entonces:
( )
∑
𝑛
𝑛−𝑘 𝑛
Δ 𝑓 (𝑥0 ) =
(−1)
𝑓 (𝑥𝑘 )
(4.12)
𝑘
que expresa la n-ésima diferencia Δ𝑛 𝑓 (𝑥0 ) como combinación lineal de 𝑓 (𝑥0 ), . . . , 𝑓 (𝑥𝑛 )
4. Polinomio de avance de Newton- Gregory
Dado que:
Δ𝑓𝑥 = 𝑓𝑥+1 − 𝑓𝑥 = 𝐸𝑓𝑥 − 𝐼𝑓𝑥 = (𝐸𝐼 )𝑓𝑥 (4.13)
⇒ 𝐸 ≡ (𝐼 + Δ)
( )
( )
( )
( )
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛 0 𝑛
⇒ 𝐸 𝑛 ≡ (𝐼 + Δ)𝑛 ≡
𝐼 𝑛 Δ0 +
𝐼 𝑛−1 Δ1 +
𝐼 𝑛−2 Δ2 + . . . +
𝐼 Δ
0
1
2
𝑛
( )
( )
( )
( )
𝑛 𝑛 0
𝑛 𝑛−1 1
𝑛 𝑛−2 2
𝑛 0 𝑛
⇒ 𝐸 𝑛 𝑓0 ≡ (𝐼 + Δ)𝑛 𝑓0 =
𝐼 Δ 𝑓0 +
𝐼
Δ 𝑓0 +
𝐼
Δ 𝑓0 + . . . +
𝐼 Δ 𝑓0
0
1
2
𝑛
( )
( )
( )
𝑛
𝑛
𝑛
⇒ 𝐸 𝑛 𝑓0 = 𝑓0 + 𝑠Δ𝑓0 +
Δ2 𝑓 0 +
Δ3 𝑓 + . . . +
Δ𝑛 𝑓
2
3
𝑛
(4.14)
(4.15)
(4.16)
(4.17)
la cual es llamada fórmula de Newton-Gregory de avance.
5. Polinomio de retroceso de Newton Gregory. Dado que:
Δ𝑓𝑥 = 𝑓𝑥 − 𝑓𝑥−1 = 𝐼𝑓𝑥 − 𝐸 −1 𝑓𝑥
⇒ 𝐸
−1
𝑛
(4.18)
≡ (𝐼 + ∇)
(4.19)
−𝑛
⇒ 𝐸 ≡ (𝐼 + ∇)
)
(
)
(
)
𝑛
+
1
𝑛
+
2
𝑛 + (𝑛 − 1)
𝑛
2
3
⇒ 𝐸 ≡ (𝐼 + 𝑛∇) +
∇ +
∇ + ... +
∇𝑛
2
2
𝑛
)
(
)
(
)
(
𝑛+1
𝑛+2
𝑛 + (𝑛 − 1)
𝑛
2
3
∇ 𝑓0 +
∇ 𝑓0 + . . . +
∇𝑛 𝑓0
⇒ 𝐸 𝑓0 = 𝐼𝑓0 + 𝑛∇𝑓0 +
2
3
𝑛
(4.20)
(
Por lo tanto:
97
(4.21)
(4.22)
(
)
(
)
(
)
𝑛+1
𝑛+2
𝑛 + (𝑛 − 1)
2
3
𝑓𝑛 = 𝐸 𝑓0 = 𝐼𝑓0 + 𝑛∇𝑓0 +
∇ 𝑓0 +
∇ 𝑓0 + . . . +
∇𝑛 𝑓0 (4.23)
2
3
𝑛
𝑛
la cual es llamada la fórmula de Newton -Gregory de retroceso.
6. Relación entre la fórmula de Newton Gregory de avance y la de retroceso. Dado que:
⇒ 𝐸∇ ≡ 𝐸(𝐼 − 𝐸
−1
)≡𝐸−𝐸
𝑛
1−1
𝑛
∇ ≡ 𝐼 − 𝐸 −1
(4.24)
≡𝐸−𝐼 ≡Δ
(4.25)
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
(4.26)
⇒ ∇ 𝐸 𝑓0 = Δ 𝑓0
⇒ (𝐸∇) ≡ 𝐸 ∇ ≡ ∇ 𝐸 ≡ Δ
𝑛
𝑛
𝑛
(4.27)
𝑛
𝑛
⇒ ∇ 𝑓𝑛 = Δ 𝑓0
(4.28)
∇𝑛 𝐸 𝑛 ≡ Δ𝑛
(4.29)
−𝑛
(4.30)
𝑓0 = Δ𝑓−1
(4.31)
Y debido a que también:
𝑛
⇒ ∇ ≡𝐸
1
1
⇒ ∇ 𝑓0 = ∇𝑓0 = Δ 𝐸
−1
−𝑛
𝑛
Δ ≡Δ 𝐸
𝑓0 = Δ𝐸
2
2
⇒ ∇ 𝑓0 = 𝛿 𝐸
𝑛
−1
−2
2
(4.32)
𝑛
(4.33)
𝑓0 = Δ 𝑓−2
𝑛
⇒ ∇ 𝑓0 = Δ 𝑓−𝑛
Teniéndose que la relación entre las fórmulas de avance y retroceso de Newton-Gregory es:
(
)
(
)
(
)
𝑛+1
𝑛+2
𝑛 + (𝑛 − 1)
2
3
𝑓𝑛 = 𝐸 𝑓0 = 𝐼𝑓0 + 𝑛∇𝑓0 +
∇ 𝑓0 +
∇ 𝑓0 + . . . +
∇𝑛 𝑓 0
2
3
𝑛
(
)
(
)
(
)
𝑛+1
𝑛+2
𝑛 + (𝑛 − 1)
𝑛
2
3
= 𝐸 𝑓0 = 𝐼𝑓0 + 𝑛Δ𝑓−1 +
Δ 𝑓−2 +
Δ 𝑓−3 + . . . +
Δ𝑛 𝑓−𝑛
2
3
𝑛
𝑛
(4.34)
(4.35)
También se tiene el ajuste polinomial empleando diferencias divididas, es decir, aquellas cuya
distancia no es homogénea.
Ası́, para fenómenos demográficos donde la frecuencia de aparición de los eventos disminuye
en la medida de que el tiempo aumente:
⇒ 𝑓 (𝑡) > 𝑓 (𝑛 + 𝑡) ∀𝑛
(4.36)
Y dado que:𝑓 (𝑡) < 𝑓 (𝑡 + 𝑛) entonces para cada edad se tendrá una cota inferior 𝐾2 tal que:
𝑓 (𝑡) < 𝐾1 ∀𝑡
(4.37)
Y también se tendrá una cota superior, 𝐾1 + 𝐾2 tal que
𝑓 (𝑡) < 𝐾1 + 𝐾2 ∀𝑡
98
(4.38)
Partiendo del hecho de la existencia de la relación entre los cambios de 𝑓 (𝑡) y los cambios en
𝑡 los que se describen vı́a un polinomio de grado dos, es decir:
𝑑
𝑓 (𝑡) = 𝐴𝑓 2 (𝑡) + 𝐷𝑓 (𝑡) + 𝐶
𝑑𝑡
(4.39)
𝑓 (𝑡 + ℎ) − 𝑓 (𝑡)
(𝑡 + ℎ) − 𝑡
(4.40)
Nótese que:
𝑑
𝑓 (𝑡) =
𝑑𝑡
lı́m
ℎ→0
Pero por (4.36):
𝑓 (𝑡 + ℎ) − 𝑓 (𝑡) < 0
𝑑
⇒
𝑓 (𝑡) < 0 ∀𝑡
𝑑𝑡
(4.41)
(4.42)
Otra observación es que las cotas 𝐾1 y (𝐾1 + 𝐾2 ) son las raı́ces de (4.39) esto ya que:
𝑓 (𝑡 + ℎ) − 𝑓 (𝑡) tiende a cero en la medida en que 𝑓 (𝑡) tiende a la cota inferior 𝐾1 o a la
superior (𝐾1 + 𝐾2 ) y dado (4.40), entonces
𝐴𝑓 2 (𝑡) + 𝐵𝑓 (𝑡) + 𝐶tiende a cero
(4.43)
Si 𝑓 (𝑡) tiende a 𝐾1 o a (𝐾1 + 𝐾2) por lo tanto si 𝑓 (𝑡) = 𝐾1 o 𝑓 (𝑡) = 𝐾1 + 𝐾2
𝐴𝐾12 + 𝐵𝐾1 + 𝐶 = 0
(4.44)
⇒ 𝐴(𝐾1 + 𝐾2 ) + 𝐵(𝐾1 + 𝐾2 ) + 𝐶 = 0
(4.45)
2
Ya que se cumple (4.41) y 𝐾1 < 𝑓 (𝑡) < 𝐾1 + 𝐾2 y por (4.39) la parábola tendrá un mı́nimo
entre el intervalo de 𝑓 (𝑡), entonces por el criterio de la primera derivada igualada a cero se
tiene que:
(
)
𝑑
𝑑
𝑑
𝑓 (𝑡)
=
𝐴(𝑓 (𝑡)) + 𝐵𝑓 (𝑡) + 𝐶
(4.46)
𝑑 + (𝑓 ) 𝑑𝑡
𝑑𝑓 (𝑡)
= 2𝐴𝑓 (𝑡) + 𝐵
(4.47)
Donde (4.47) representa una recta con ordenada al origen 𝐵 y pendiente 2a , siendo 𝐵 < 0 y
𝐴 > 0 ya que la parábola estará siempre en el cuarto cuadrante de los ejes cartesianos. La
relación fundamental entre 𝑓 (𝑡) y el tiempo 𝑡 es: criterio de la primera derivada igualada a
cero se tiene que:
𝑓 (𝑡) = 𝐾1 +
𝐾2
1 + 𝑒𝑎+𝑏𝑡
(4.48)
Que se deduce de (4.39), expresión que al dividirla entre 𝐴 se obtiene:
1 𝑑
𝐵
𝐶
𝑓 (𝑡) = 𝑓 2 (𝑡) + 𝑓 (𝑡) +
𝐴 𝑑𝑡
𝐴
𝐴
99
(4.49)
El polinomio:
𝑓 2 (𝑡) +
𝐵
𝐶
𝑓 (𝑡) +
𝐴
𝐴
(4.50)
Se puede reescribir como:
𝑓 (𝑡) − 𝐾1 − 𝐾2
1 𝑑
⇒
𝑓 (𝑡) = (𝑓 (𝑡) − 𝐾1 − 𝐾2 ) (𝑓 (𝑡) − 𝐾1 )
𝐴 𝑑𝑡
𝑑𝑡
1
⇒ 𝐴
=
𝑑𝑓 (𝑡)
(𝑓 (𝑡) − 𝐾1 − 𝐾2 ) (𝑓 (𝑡) − 𝐾1 )
(4.51)
(4.52)
(4.53)
y dado que:
1
(𝑓 (𝑡) − 𝐾1 − 𝐾2 ) (𝑓 (𝑡) − 𝐾1 )
=
=
=
=
𝑑
𝑑𝑓 (𝑡)
𝑑
⇒ 𝐾2 𝐴
𝑑𝑓 (𝑡)
⇒ 𝐴
=
=
⇒ 𝐴𝐾2 𝑑𝑡 =
∫
⇒
𝐴𝐾2 𝑑𝑡 =
⇒ 𝐴𝐾2 𝑡 + 𝐶1 =
𝐾1 − 𝑓 (𝑡) + 𝑓 (𝑡) − (𝐾1 + 𝐾2 )
𝐾2 (𝑓 (𝑡) − (𝐾1 + 𝐾2 )) (𝐾1 − 𝑓 (𝑡))
1
−
(𝑓 (𝑡) − (𝐾1 − 𝐾2 )) (𝑓 (𝑡) − 𝐾1 )
𝐾1 − (𝐾1 − 𝐾2 )
𝐾2 (𝑃 (𝑡) − (𝐾1 − 𝐾2 )) (𝐾1 − 𝑓 (𝑡))
𝐾2
−
𝐾2 (𝑃 (𝑡) − (𝐾1 − 𝐾2 )) (𝐾1 − 𝑓 (𝑡))
1
1
+
𝐾2 (𝑓 (𝑡) − (𝐾1 − 𝐾2 ) 𝐾2 (𝐾1 − 𝑓 (𝑡))
1
1
+
𝑓 (𝑡) − (𝐾1 − 𝐾2 ) 𝐾1 − 𝑓 (𝑡)
𝑑𝑓 (𝑡)
𝑑𝑓 (𝑡)
+
𝑓 (𝑡) − (𝐾1 − 𝐾2 ) 𝐾1 − 𝑓 (𝑡)
∫
∫
𝑑𝑓 (𝑡)
𝑑𝑓 (𝑡)
+
𝑓 (𝑡) − (𝐾1 − 𝐾2 )
𝐾1 − 𝑓 (𝑡)
ln 𝑓 (𝑡) − (𝐾1 − 𝐾2 ) + 𝐶2 + ln 𝐾1 − 𝑓 (𝑡) + 𝐶3
⇒ 𝐴𝐾2 𝑡 + 𝑎 = ln 𝑓 (𝑡) − (𝐾1 − 𝐾2 ) + ln 𝐾1 − 𝑓 (𝑡)
(4.54)
(4.55)
(4.56)
(4.57)
(4.58)
(4.59)
(4.60)
(4.61)
(4.62)
(4.63)
Con a constante igual a 𝐶1 − 𝐶2 − 𝐶3
⇒ 𝑓 (𝑡) {1 + exp{𝑎 + 𝐴𝐾2 𝑡}}
(4.64)
𝐾1 {1 + exp{𝑎 + 𝐴𝐾2 𝑡}} + 𝐾2
(4.65)
𝐾2
⇒ 𝑓 (𝑡) =
1 + exp{𝑎 + 𝐴𝐾2 𝑡}
𝐾2
= 𝐾1 +
1 + exp{𝑎 + 𝐴𝐾2 𝑡}
(4.66)
(4.67)
Sea 𝑏 = 𝐴𝐾2
⇒ 𝑓 (𝑡) = 𝐾1 +
100
𝐾2
1 + exp{𝑎 + 𝐴𝐾2 𝑡}
(4.68)
Para el tiempo 𝑡 y con la tasa especı́fica por edad 𝑖 (𝑓𝑖 (𝑡)) se tiene el polinomio de ajuste de
segundo grado:
𝑓𝑖 (𝑡) = 𝛼𝑡2 + 𝑤𝑡 + 𝜆
𝑑
⇒
𝑓 (𝑡) = 2𝛼𝑡2 + 𝑤
𝑑𝑡
(4.69)
(4.70)
Con los valores estimados por mı́nimos cuadrados 𝛼, 𝛽 y 𝜆 se obtuvieron para los años es
𝑖 (𝑡)
observación (𝑡) las estimaciones de 𝑓𝑖 (𝑡) y 𝑑𝑓𝑑𝑡
, sustituyendo los años 𝑡 en 4.69 y 4.70.
Ya que: Se estiman 𝐴, 𝐵 y 𝐶 por mı́nimos cuadrados y las raı́ces de la ecuación serán:
𝑑
𝑓𝑖 (𝑡) = 𝐴𝑓𝑖 (𝑡)2 + 𝐶
𝑑𝑡
1
−𝐵 − (𝐵 2 − 4𝐴𝐴𝐶) 2
𝐾1 =
2𝐴
1
2
−𝐵 + (𝐵 − 4𝐴𝐶) 2
𝐾1 + 𝐾2 =
2𝐴
(4.71)
(4.72)
(4.73)
Con el fin de estimar los valores de los parámetros 𝑎 y𝑏, dado que:
𝐾2
1 + 𝑒𝑎+𝑏𝑐
𝐾 −2
1 + 𝑒𝑎+𝑏𝑐
𝑓𝑖 (𝑡) = 𝐾1 +
⇒ 𝑓𝑖 (𝑡) − 𝐾1 =
)
(
⇒ 1 + 𝑒𝑎+𝑏𝑐 (𝑓𝑖 (𝑡) − 𝐾1 ) = 𝐾2
(4.74)
(4.75)
(4.76)
𝐾2
−1
𝑓𝑖 (𝑡) − 𝐾1
}
{
𝐾2
⇒ 𝑎 + 𝑏𝑡 = ln
𝑓𝑖 (𝑡) − 𝐾1
⇒ 𝑒𝑎+𝑏𝑐 =
(4.77)
(4.78)
Dado que ya se estimaron 𝐾1 , 𝐾2 y 𝑓𝑖 (𝑡) entonces ∀𝑡
𝑎 + 𝑏𝑡 = 𝑃 (𝑡)
(4.79)
Y por regresión lineal simple se estiman los valores de 𝑎 y de 𝑏.
Otro de los polinomios empleados en el ajuste de fenómenos demográficos es el obtenido
por William Brass para la fecundidad en donde se observa que el número de parámetros
desconocidos se puede reducir mediante restricciones con la siguiente función que resulta
satisfactoria para su aplicación a la fecundidad:
𝑓 (𝑎) = 𝑐(𝑎 − 𝑆)(𝑆 − 33 − 𝑎)2
2
= 𝑐(𝑎 − 𝑠) . . . (𝑏 − 𝑎)
Donde
𝑓 (𝑎) es la tasa especı́fica de fecundidad de las mujeres de 𝑎 años.
101
(4.80)
(4.81)
𝑆 es la edad a la cual comienza el perı́odo de reproducción.
𝑐 una constante que varı́a con el nivel de la fecundidad.
𝑓 (𝑎) se toma como cero cuando fuera de los lı́mites y 𝑠 + 33; entre los lı́mites la forma que
toma 𝑓 (𝑎) es más o menos la de las distribuciones empı́ricas: Entonces para desagregar las
tasas especı́ficas en edades individuales se utiliza
Entonces para desagregar las tasas especı́ficas en edades individuales se utiliza
¯ edad media a la fecundidad =
𝑋
𝜎 desviación estándar =
3𝑆+2𝑏
5
𝑏−𝑆
5 .
el polinomio de fecundidad de Brass, cuyas soluciones son: 𝐷 descendencia final
de donde podemos obtener los valores de 𝑆, 𝑏 y 𝑐 ( soluciones del polinomio)
(1)
¯ − 2𝜎
𝑆 = 𝑋
¯ + 3𝜎
𝑏 = 𝑋
12𝐷
𝑐 =
(𝑏 − 𝑆)4
Ejemplo
Entonces tenemos que: 𝑓 (𝑎) = ,00002(𝑎 − 13,6118)(53,11919 − 𝑎)2
Y ası́ las tasas de fecundidad desagregadas a partir del polinomio de Brass son:
102
12
𝑐(𝑏 − 𝑆)4
(4.82)
(4.83)
(4.84)
Grupos de edad
𝑎
𝑓 (𝑎)
12 − 14
15 − 19
20 − 24
25 − 29
30 − 34
35 − 39
40 − 44
45 − 49
13.5
17.5
22.5
27.5
32.5
37.5
42.5
47.5
.00099
.07954
.21089
.20461
.15641
.10843
.05719
.03903
𝐷 = 4.28347
¯ = 29.41472
𝑋
𝜎 = 7.90149
𝑆 = 13.6118
𝑏 = 53.11919
𝑐 = 0.00002
𝑎
𝑓 (𝑎)
14.5
15.5
16.5
17.5
18.5
19.5
20.5
21.5
22.5
23.5
24.5
25.5
26.5
27.5
28.5
29.5
30.5
31.5
32.5
33.5
34.5
35.5
36.5
37.5
38.5
39.5
103
40.5
41.5
42.5
43.5
44.5
45.5
.02650
.05345
.07746
.09866
.11717
.13310
.14658
.15773
.16666
.17350
.17836
.18137
.18265
.18231
.18048
.17727
.17281
.16722
.16061
.15310
.14483
.13590
.12643
.11656
.10638
.09604
.08564
.07530
.06515
.05531
.04589
.03702
Gráficamente la bondad del ajuste es:
Nota Técnica
∫𝑏
𝑥
¯ =
=
𝑥𝑐(𝑥 − 𝑠)(𝑏 − 𝑥)2 𝑑𝑥
∫𝑠 𝑏
2
𝑠 𝑐(𝑥 − 𝑠)(𝑏 − 𝑥) 𝑑𝑥
3𝑠 + 2𝑏
5
(4.85)
(4.86)
Demostración
𝑏
∫ 𝑏
(𝑥2 𝑐 − 𝑥𝑐𝑠)(𝑏2 − 2𝑏𝑥 + 𝑥2 ) 𝑑𝑥 =
𝑏2 𝑥2 𝑐 − 2𝑏𝑥3 𝑐 + 𝑥4 𝑐 − 𝑏2 𝑥𝑐𝑠 + 2𝑏𝑥2 𝑐𝑠 − 𝑥3 𝑐𝑠 𝑑𝑥
𝑠
]
[ 2𝑠 3
2𝑏𝑥4
𝑥5
𝑏2 𝑥2 5 2𝑏𝑥3 𝑠
𝑏 𝑥
𝑏
−
+
−
+
− 𝑓 𝑟𝑎𝑐𝑥4 𝑠4 =𝑐
3
4
5
2
3
𝑠
[ 5
]
5
3
4
4
4
2
2 3
4
5
2 3
4
5
𝑏
2𝑏
𝑏
𝑏 𝑠 2𝑏 𝑠 𝑏 𝑠 𝑏 𝑠 𝑏 𝑠
2𝑏𝑠
𝑠
𝑏 𝑠
2𝑏𝑠
𝑠
=𝑐
−
+
−
+
−
−
−
+
−
+
−
+
3
4
5
3
3
4
4
3
4
5
2
3
4
)
(
)
(
)
(
)
(
)]
[ (
1 2 1
1 1
1 2
1 1
1 1 1
− +
+ 𝑏4 𝑠 − + −
+ 𝑏2 𝑠 2 − +
+ 𝑏𝑠4
−
+ 𝑠5 − +
= 𝑐 𝑏5
3 2 5
2 3 4
3 2
2 3
5 4
[ (
)
(
)
(
)
(
)
(
)]
−6 + 8 − 3
−2 + 3
3−4
−4 + 5
10 − 15 + 6
= 𝑐 𝑏5
+ 𝑏4 𝑠
+ 𝑏2 𝑠 3
+ 𝑏𝑠4
+ 𝑠5
30
12
6
6
20
[
]
11
−1
1
−1
1
= 𝑐 𝑏5
+ 𝑏4 𝑠
+ 𝑏2 𝑠3 + 𝑏𝑠4
+ 𝑠5
30
12
6
6
20
)
𝑐 ( 5
4
2 3
4
=
2𝑏 − 5𝑏 𝑠 + 10𝑏 𝑠 − 10𝑏𝑠 + 3𝑠5 (4.87)
12 − 5
∫
entonces
(3𝑠 + 2𝑏)(𝑏 − 𝑠)4
= (3𝑠 + 2𝑏)(𝑏4 − 4𝑏3 𝑠 + 6𝑏2 𝑠2 − 4𝑏𝑠3 + 𝑠4 )
(4.88)
= 3𝑠𝑏4 − 12𝑏3 𝑠2 + 12𝑏2 𝑠3 − 12𝑏𝑠4 + 3𝑠5 + 2𝑏5 − 8𝑏4 5 + 12𝑏3 𝑠2 − 8𝑏2 𝑠3 + 2𝑏𝑠4
=
2𝑏5 + 𝑏4 𝑠(3 − 8) + 𝑏3 𝑠2 (−12 + 12) + 𝑏2 𝑠3 + 𝑏2 𝑠3 (18 − 8) + 𝑏𝑠4 (−12 + 2) + 3𝑠5
2𝑏5 − 5𝑏4 𝑠 + 10𝑏2 𝑠3 − 10𝑏𝑠4 − 10𝑏𝑠4 + 3𝑠5 que es igual a (4.87)
∫𝑏
𝑥𝑐(𝑥 − 𝑠)(𝑏 − 𝑥)2 𝑑𝑥
3𝑠 + 2𝑏
=
= ∫𝑠 𝑏
2
5
𝑐(𝑥 − 𝑠)(𝑏 − 𝑥) 𝑑𝑥
=
⇒ 𝑥
¯
𝑠
104
(4.89)
Por demostrar:
v
u∫ 𝑏
u 𝑥𝑐(𝑥 − 𝑠)(𝑏 − 𝑥)2 𝑑𝑥 3𝑠 + 2𝑏
𝑏−𝑠
=
0 = ⎷ ∫𝑠 𝑏
−
2
5
5
𝑠 𝑐(𝑥 − 𝑠)(𝑏 − 𝑥) 𝑑𝑥
(4.90)
Veamos
∫
𝑏
𝑥2 (𝑥 − 𝑠)(𝑏2 − 2𝑏𝑥 + 𝑥2 ) 𝑑𝑥 (4.91)
[ 2 4
]
𝑏 𝑥
2𝑏𝑥5
𝑥6
𝑏2 𝑥3 𝑠
2
𝑥 5 𝑠 𝑏
=𝑐
−
+
−
+ −
(4.92)
4
5
6
3
4
5
𝑠
( 6
)
𝑏
𝑏6
𝑏6
𝑏5 𝑠
𝑏5 𝑠
𝑏5 𝑠
𝑏2 𝑠4
2𝑏𝑠5
𝑠6
𝑏2 𝑠4
𝑏𝑠5
𝑠6
−2 +
−
+
−
−
+
−
+
−
+
=𝑐
(4.93)
4
5
6
2
2
5
4
5
6
3
2
5
( (
)
(
)
(
)
(
)
(
))
1
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
= 𝑐 𝑏6
− +
+ 𝑏5 𝑠 − + −
+ 𝑏2 𝑠4 − +
+ 𝑏𝑠5
−
+ 𝑠6 − +
(4.94)
4
5
6
3
2
5
4
3
5
2
6
5
)
(
)
(
)
(
)
(
))
( (
−10 + 15 − 6
−3 + 4
4−5
−5 + 6
15 − 24 + 10
+ 𝑏5 𝑠
+ 𝑏2 𝑠4
+ 𝑏𝑠5
+ 𝑠6
(4.95)
= 𝑐 𝑏6
60
30
12
10
30
( ( )
(
)
( )
(
)
( ))
1
−1
1
−1
1
1
= 𝑐 𝑏6
+ 𝑏5 𝑠
+ 𝑏2 𝑠4
+ 𝑏𝑠5
−
+ 𝑠6
(4.96)
60
30
12
10
10
30
𝑐
𝑠
𝑐
(𝑏6 − 2𝑏5 𝑠 + 5𝑏2 𝑠 + 5𝑏2 𝑠4 − 6𝑏𝑠5 + 2𝑠6 )
12 − 5
⇒ (𝑏2 + 2𝑏𝑠 + 2𝑠2 )(𝑏 − 𝑠)4 = (𝑏2 + 𝑏𝑠 + 2𝑠2 )(𝑏4 − 4𝑏3 𝑠 + 6𝑏2 𝑠2 − 4𝑏𝑠3 + 54 )
=
(4.97)
(4.98)
= 𝑏5 − 4𝑏5 𝑠 + 6𝑏4 𝑠2 − 4𝑏3 𝑠3 + 𝑏2 𝑠4 + 2𝑏2 𝑠4 + 2𝑏5 𝑠 − 8𝑏4 𝑠2 + 12𝑏3 𝑠3
−8𝑏2 𝑠4 + 2𝑏𝑠5 + 2𝑏4 𝑠2 − 8𝑏3 𝑠3 + 12𝑏2 𝑠4 − 8𝑏𝑠5 + 2𝑠6
6
5
4 2
3 3
2 4
5
(4.99)
6
= 𝑏 + 𝑏 𝑠(−4 + 2) + 𝑏 𝑠 (6 − 8 + 2) + 𝑏 𝑠 (−4 + 12 − 8) + 𝑏 𝑠 (1 − 8 + 12) + 𝑏𝑠 (2 − 8) + 2𝑠
= 𝑏8 − 2𝑏5 + 5𝑏2 𝑠4 − 6𝑏𝑠5 + 2𝑠6
que es igual a (4.97)
v
u 𝑐(𝑏2 + 2𝑏𝑠 + 2𝑠2 )(𝑏 − 5)4
9𝑠2 + 12𝑏𝑠 + 4𝑏2
u
⇒ 0=⎷
−
12,5
25
(𝑏−5)4
𝑐
√
=
105
5𝑏2
(4.100)
(4.101)
(4.102)
12
+ 10𝑏𝑠 + 10𝑠2 − 9𝑠2 − 12𝑠𝑏 − 4𝑏2
25
√
𝑏2 − 2𝑏𝑠 + 𝑠2
=
25
√(
)2
𝑏−𝑠
𝑏−𝑠
=
=
𝑠
𝑠
(4.103)
(4.104)
(4.105)
Finalmente se presentan gráficamente los polinomios de fecundidad obtenidos a nivel nacional
y para algunas entidades federativas de México en el año 2000.
Comentario final:
Una de las alternativas que se tiene en la evaluación, corrección, estimación y proyección de
variables demográficas se logra con el empleo del Análisis Demográfico, que permite con el
uso de funciones polinomiales facilitar el manejo e interpretación de la hipótesis planteadas
para los escenarios futuros de cada uno de los fenómenos demográficos que inciden en las
poblaciones analizadas.
BIBLIOGRAFÍA Curtis F. Gerard. Análisis Numérico, Alfaomega grupo editorial, S.A. de
C.V. México, 2000. Mina V. Alejandro. Simulación de los cambios demográficos de una
población entre dos fechas. Estudios Demográficos y Urbanos #42, El Colegio de México,
pp.755-762. México, 1999. Kushner, Harold Joseph. Numerical methods for stochastic control
problems in continuous time. New York Springer.1995 Brass, William. Methods for estimating fertility and mortality from limited and defective data. Chapel Hill, N. C. University of
North Carolina, Carolina Population Center, Department of Biostatistics, School of Public
Health, International Program of Laboratories for Population Statistics 1975 Preston Samuel
H. Demographic measuring and modeling population processes. Oxford blackwell. 2001.
106
Capı́tulo 5
Ley de Mortalidad Mexicana
5.1.
Funciones de supervivencia
Las probabilidades de supervivencia 𝑆(𝑥) permiten estimar funciones matemáticas que se resumen en modelos de comportamiento de las principales funciones biométricas que se expresan con
base en la función de supervivencia y la tasa instantánea de mortalidad. En la práctica actuarial se
utilizan combinaciones de estas leyes aceptando diferentes modelos para distintos tramos de edades.
Las leyes de mortalidad son expresiones analı́ticas de la función de supervivencia que pretenden
estimar el comportamiento de la mortalidad en función de la edad., siendo fundamental la elección
de la función que mejor se adapte y represente adecuadamente la mortalidad, la que se hace según
los datos observados o estableciendo ciertas hipótesis correspondientes a las caracterı́sticas propias
de la función de supervivencia. Una constante a lo largo de la historia ha sido la búsqueda de una
ley de mortalidad que sea válida para cualquier población humana, es decir, encontrar la ”ley universal de mortalidad” que, probablemente, no existe. Sin embargo, para determinadas poblaciones
y ciertos tramos de edad, es posible encontrar el ajuste a alguna ley teórica.
La ley de Gompertz asume que cada individuo presenta una resistencia a las enfermedades (y a
fallecer por causas naturales) decreciente en función de la edad, por lo que la fuerza de mortalidad
crece con la edad y su crecimiento relativo es constante. Por tanto, se deduce que dicha fuerza de
mortalidad crece exponencialmente.
𝜇𝑥 = 𝐵𝐶 𝑥
𝑥 ≥ 0, 𝐵 > 0, 𝐶 > 1
(5.1)
Posteriormente, Makeham enunció dos leyes de supervivencia. La primera ley considera la tasa
instantánea de mortalidad añadiendo una constante arbitraria, que representa la mortalidad accidental (azar) independiente de la edad, a la fuerza de mortalidad de Gompertz. Por tanto, la
muerte de un individuo es consecuencia de dos causas coexistentes: el azar y una resistencia (cada
vez más débil) a la muerte conforme aumenta la edad, es decir, que además de considerar la mortalidad por causas naturales (igual que Gompertz) introduce la mortalidad accidental del individuo,
independiente de la edad.
𝜇𝑥 = 𝐴 + 𝐵𝐶 𝑥
𝑥 ≥ 0, 𝐵 > 0, 𝐶 > 1, 𝐴 > −𝐵
(5.2)
Esta ley presenta buenos ajustes en edades intermedias (adultas), mientras que proporciona
problemas en las edades extremas de la tabla principalmente en las edades más jóvenes puesto que
107
en las edades infantiles la mortalidad es decreciente. Es considerada la ley más conocida y ampliamente utilizada para ajustar diversas tablas de supervivencia. La primera ley de Makeham tiene
problemas de ajuste para las edades más jóvenes, por lo que se formula la segunda ley más elástica
y fundamentada que la anterior, añadiendo a la fuerza de mortalidad otro sumando proporcional a
la edad:
Para determinar los cinco parámetros 𝐾, 𝑎, 𝑏, 𝑑 y 𝑤 de la función Makeham se utilizará el
método de los grupos no superpuestos, obteniendo los valores de los parámetros con las siguientes
ecuaciones1 .
(
𝑑 =
𝑏 = 𝑒
𝑎 = 𝑒
Δ2 𝑆1
Δ2 𝑆0
Δ2 𝑆0
1
𝑚2
[
(
) 𝑛1
(5.3)
𝑑−1
(𝑑𝑛 −1)3
)
1
(
Δ2 𝑆 −
(
0
𝑤 = 𝑒 2𝑚3
∑4𝑚−1
𝑦𝜈(𝑥)
𝐾 = ∑𝑥=0
4𝑚−1
2
𝑥=0 𝜈(𝑥)
2
donde: 𝜈(𝑥) = 𝑎𝑥 𝑤𝑥 𝑏𝑑
(5.4)
(
)
Δ2 𝑆0
Δ𝑆0 − 𝑑𝑚 −1
)
𝑑−𝑑𝑚−1
1−𝑑
(5.5)
)]
(𝑑𝑚 −1)2 𝑙𝑛(𝑏)
𝑥
(5.6)
(5.7)
(5.8)
Una vez obtenidos los valores de los parámetros k, a, b, d y w de la función Gompertz- Makeham
ampliada, es posible realizar variaciones en ellos con el objetivo de calcular una mejor aproximación
a sus valores observados.
2
𝑥
Dado que 𝑦𝑥 = 𝑘𝑎𝑥 𝑤𝑥 𝑏𝑑 para toda 𝑥 = 0, 1, 2, ..., 4𝑚 − 1 Se obtiene el logaritmo natural de la
función 𝑦𝑥 :
(
)
2
𝑥
ln 𝑦𝑥 = ln 𝑘𝑎𝑥 𝑤𝑥 𝑏𝑑
= ln 𝑘 + 𝑥 ln 𝑎 + 𝑑𝑥 ln 𝑏 + 𝑥2 ln 𝑤
(5.9)
(5.10)
Hay que calcular la derivada de la expresión Anterior:
∂
ln 𝑦𝑥 =
∂𝑦𝑥
∂
(ln 𝑘 + 𝑥 ln 𝑎 + 𝑑𝑥 ln 𝑏 + 𝑥2 ln 𝑤)
∂𝑢
(5.11)
Al calcular la derivada se puede considerar que :
∂
ln 𝑦𝑥 =
∂𝑦𝑥
1
𝑑𝑦𝑥
𝑦𝑥
mientras que la derivada del miembro derecho se puede expresar como:
1
El método es similar para el caso de cuatro parámetros, expuesto en Mina (2001).
108
(5.12)
∂
ln 𝑦𝑥 =
∂𝑦𝑥
=
∂
∂
∂
∂ 𝑥
∂
ln 𝑘 +
𝑥 ln 𝑎 + 𝑑𝑥 ln 𝑏 +
𝑑 ln 𝑏 + 𝑥2 ln 𝑤
∂𝑘
∂𝑎
∂𝑏
∂𝑑
∂
𝑥
1
𝑥
𝑑
∂
∂
𝑑𝑘 + 𝑑𝑎 + 𝑑𝑏 + ln 𝑏 𝑑𝑥 + 𝑥2 𝑑𝑤
𝑘
𝑎
𝑏
∂𝑑
∂𝑑
(5.13)
(5.14)
El último término de la expresión (5.14) se puede presentar de acuerdo con el razonamiento
siguiente: de acuerdo a las propiedades de los logaritmos se puede expresar:
ln 𝑑𝑥 = 𝑥 ln 𝑑
(5.15)
Al obtener la derivada de la expresión anterior se observa que:
∂
ln 𝑑𝑥 =
∂𝑑
1
⇒ 𝑥 𝑑𝑑𝑥 =
𝑑
∂
𝑥 ln 𝑑
∂𝑑
𝑥
𝑑𝑑
𝑑
(5.16)
(5.17)
Por lo tanto la derivada de 𝑑𝑥 con respecto a 𝑑 es:
𝑑𝑑𝑥 = 𝑥𝑑𝑥
∂𝑑
∂
(5.18)
Dado lo anterior, la expresión (5.14) se puede escribir como:
1
𝑑𝑦𝑥 =
𝑦𝑥
𝑥
𝑑𝑥
∂𝑑
∂𝑤
1
𝑑𝑘 + 𝑑𝑎 + 𝑑𝑏 + 𝑥𝑑𝑥 ln 𝑏
+ 𝑥2
𝑘
𝑎
𝑏
∂
𝑤
(5.19)
en consecuencia, la derivada de 𝑑𝑦𝑥 es:
𝑑𝑦𝑥 =
𝑦𝑥
𝑥𝑦𝑥
𝑑𝑥 𝑦𝑥
∂𝑑
∂𝑤
𝑑𝑘 +
𝑑𝑎 +
𝑑𝑏 + 𝑥𝑑𝑥 𝑦𝑥 ln 𝑏
+ 𝑥2 𝑦
𝑘
𝑎
𝑏
∂
𝑤
(5.20)
Para calcular los valores de los parámetros a partir de la expresión (5.20) se procede a linealizar
dicha expresión, para ello se denota como: 𝑥1 = 𝑑𝑦𝑥 , 𝑥2 = 𝑦𝑥 , 𝑥3 = 𝑥(𝑥2 ), 𝑥4 = 𝑥2 𝑑𝑥 , 𝑥5 = 𝑥3 𝑑𝑥 ,
∂𝑎
∂𝑏
∂𝑑
∂𝑤
𝑥6 = 𝑥2 , 𝑐2 = ∂𝑘
𝑘 , 𝑐3 = 𝑎 , 𝑐4 = 𝑏 , 𝑐5 = ln 𝑏 𝑑 , 𝑐6 = 𝑤
Una vez hecho lo anterior, se sustituye en (5.20) estas variables, por lo que puede expresarse en
forma de regresión múltiple lineal como se presenta a continuación:
𝑥1 = 𝑐2 𝑥2 + 𝑐3 𝑥3 + 𝑐4 𝑥4 + 𝑐5 𝑥5 + 𝑐6 𝑥6
Empleando las ecuaciones normales, que se
∑
⎛ ∑
𝑥
𝑥
2
2
∑ 𝑥2 𝑥3
∑
⎜
⎜ ∑ 𝑥2 𝑥3 ∑ 𝑥3 𝑥3
𝐴=⎜
⎜ ∑ 𝑥2 𝑥4 ∑ 𝑥3 𝑥4
⎝
∑ 𝑥2 𝑥5 ∑ 𝑥3 𝑥5
𝑥2 𝑥6
𝑥3 𝑥6
expresan
∑
∑ 𝑥2 𝑥4
∑ 𝑥3 𝑥4
∑ 𝑥4 𝑥4
∑ 𝑥4 𝑥5
𝑥4 𝑥6
109
matricialmente como:
∑
∑
⎞
𝑥
𝑥
𝑥
𝑥
2
5
2
6
∑
∑
⎟
∑ 𝑥3 𝑥5 ∑ 𝑥2 𝑥6 ⎟
⎟
∑ 𝑥4 𝑥5 ∑ 𝑥4 𝑥5 ⎟
⎠
∑ 𝑥5 𝑥5 ∑ 𝑥5 𝑥6
𝑥5 𝑥6
𝑥6 𝑥6
(5.21)
⎛
⎜
⎜
𝑉 =⎜
⎜
⎝
𝑐1
𝑐2
𝑐3
𝑐4
𝑐5
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛ ∑
∑ 𝑥1 𝑥2
⎜
⎜ ∑ 𝑥1 𝑥3
𝐺=⎜
⎜ ∑ 𝑥1 𝑥4
⎝
∑ 𝑥1 𝑥5
𝑥1 𝑥6
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
Se calculan los coeficientes de la matriz V con la inversa de la matriz A y multiplicándola por
la matriz 𝐺, ası́: 𝑉 = 𝐴−1 𝐺. De esta manera se calculan los valores de las 𝑐𝑗 y por consiguiente las
primeras correcciones a los parámetros 𝑘, 𝑎, 𝑏, 𝑑 y 𝑤 de la función Gompertz-Makeham ampliada.
Estas correcciones permiten obtener nuevas aproximaciones para los parámetros. Por lo
)los
( tanto
𝑐5
nuevos valores para éstos son: 𝑘1 = 𝑘(1 + 𝑐2 ), 𝑎1 = 𝑎(1 + 𝑐3 ), 𝑏1 = 𝑏(1 + 𝑐4 ), 𝑑1 = 𝑑 1 + ln 𝑏 y
𝑤1 = 𝑤(1 + 𝑐6 )
A partir de estos valores se obtienen nuevos valores teóricos y por lo tanto nuevas diferencias
𝑑𝑦𝑥 . Lo anterior, lleva un proceso iterativo que permitirá ir obteniendo aproximaciones cada vez
más satisfactorias. Es decir, el proceso deberá repetirse hasta que la magnitud de las correcciones
alcancen un valor reducido tal que no logren cambiar sensiblemente los valores teóricos obtenidos
usando los valores de los parámetros hasta esa iteración.
En general se observa que si 𝑘𝑖 , 𝑎𝑖 , 𝑏𝑖 , 𝑑𝑖 y 𝑤𝑖 son valores de la iteración (𝑖), los valores de esos
parámetros
(𝑖+1) serán: 𝑘𝑖+1 = 𝑘𝑖 (1+𝑐2𝑖+1 ), 𝑎𝑖+1 = 𝑎𝑖 (1+𝑐3𝑖+1 ), 𝑏𝑖+1 = 𝑏𝑖 (1+𝑐4𝑖+1 ),
( a la iteración
)
𝑑𝑖+1 = 𝑑𝑖 1 + 𝑐5𝑖+1
,
𝑤
𝑖+1 = 𝑤𝑖 (1 + 𝑐6𝑖+1 )
ln 𝑏
110
5.1.1.
Las funciónes Gompertz-Makeham estimadas para México
Los valores obtenidos de los parámetros 𝐾, 𝑎, 𝑤, 𝑏, 𝑑 por sexo y para los años 2003 al 2010 se
presentan en el siguiente cuadro:
Cuadro 5.1: México: Valores de parámetros de funciones de sobrevivencia Gomperz-Makeham
(cálculos propios)
Hombres 2003
K
97089.02
A
1.001019
W
0.99964
B
0.999905
D
1.69275
2004
97187.76
1.001095
0.99964
0.999911
1.697127
2005
97291.19
1.001171
0.99964
0.999916
1.701466
2006
97386.01
1.001241
0.99964
0.99992
1.705664
2007
97478.58
1.001309
0.99964
0.999925
1.709921
2008
97561.37
1.001364
0.99964
0.999928
1.713869
2009
97642.46
1.00142
0.99964
0.999932
1.717662
2010
97716
1.001469
0.99964
999935
1.721354
Mujeres
K
A
W
B
D
2004
97616.79
1.001531
0.99964
0.999928
1.651672
2005
97291.19
1.001171
0.99964
0.999916
1.701466
2006
97799.01
1.001653
0.99964
0.999935
1.657095
2007
97878.79
1.001705
0.99964
0.999939
1.660254
2008
97958.31
1.001753
0.99964
0.999941
1.662196
2009
98030.01
1.001793
0.99964
0.999943
1.664219
2010
98101.69
1.001834
0.99964
0.999946
1.666364
2003
97525.82
1.001469
0.99964
0.999925
1.649023
Las tablas abreviadas de mortalidad obtenidas con las funciones de supervivencia para México
a nivel nacional, tanto para hombres como para mujeres, del año 2003 al 2010 se presentan en el
anexo. Finalmente en el siguiente gráfico se presenta el tipo de función Makeham ampliado que se
obtuvo para el caso mexicano señalando el procedimiento
111
Para los valores de la serie 𝑙𝑥 de tabla de vida, presentados en el 5.1, se estimó la función de
Makeham ampliada:
𝑖
𝑙(𝑖) = 899360 ∗ 0,9967𝑖 ∗ 0,93641,601 ∗ 1,0003𝑖
2
(5.22)
Con el fin de obtener la concavidad de las tendencias de los valores de las edades 0,1,2,3 y 4
años, se desplazo el origen al valor −10,4, el cual se asocia a 1 año de edad, ası́, −10,4 se asocia
a la edad 2 años, por lo que cada dos decimales es un año de edad. Tomado un radix de 1000000
personas. Ası́: 𝑖 = −10,4, −10,2, −10,0, −9,9, . . . , 6,4, 7,4, 8,4. asociados a los valores de la edad real
𝑥 = 1, 2, 3, 4, . . . , 85, 90, 95.
Cuadro 5.2: Valores 𝑙𝑥 observados y estimados con la función Makeham ampliada
i
𝑥
𝑥 observada
𝑥
estimada
i
𝑥
𝑥 observada
𝑥
estimada
-10.4
-10.2
-10 3
-9.8
-9.6
-8.6
-7.6
-6.6
-5.6
-4.6
-3.6
0
1
2
9
4
5
10
15
20
25
30
35
1000000
961895
957394
53928
951358
949546
949546
947033
942779
936628
928334
917499
1000000
961035
959168
957322
955497
953694
944964
936634
928549
920475
912049
902706
-2.6
-1.6
-0.6
0.4
1.4
2.4
3.4
4.4
5.4
6.4
7.4
8.4
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
903486
885294
861370
829374
785921
726452
645618
538968
406996
261555
129603
42209
891562
877251
857677
829717
788905
729351
644446
529423
386915
234388
105107
29110
112
5.2.
Conclusiones
Con base en las tablas abreviadas de mortalidad obtenidas para México a nivel nacional, empleando la función de Gompertz-Makeham ampliada, se tiene que en el año 2003 la esperanza de
vida al nacimiento de los hombres fue de 73.34 años y para las mujeres de 77.25 años, es decir, una
diferencia de 4 años a favor de las mujeres mexicanas.
La ganancia en la esperanza de vida al nacimiento para el año 2010, respecto al año 2003, es
de 2.67 años para los hombres y de 1.61 años para las mujeres, con una esperanza de vida de 75.01
años para los hombres y 78.86 años para las mujeres.
Dada la importancia de la población en edad avanzada en México, destaca en la estimación del
impacto de la mortalidad el hecho de que la esperanza de vida a los 65 años es para el año 2003
de 15.65 años para los hombres y de 17,74 años para las mujeres: aumentando 0.56 años para los
hombres y de 0.56 años para las mujeres en el año 2010, en donde se registrará una esperanza de vida
a los 65 años de 16.21 años para los hombres y de 18.38 años para las mujeres. La ley de mortalidad
de México, resumida por la función de supervivencia Gompertz-Makeham ampliada, describe con
precisión el impacto de la mortalidad por edad y sexo; estimando las ganancias en las esperanzas
de vida de acuerdo a las tendencias históricas registradas, es decir, mayores las esperanzas de vida
de las mujeres sobre los hombres en los próximos años, ası́ como la reducción entre la brecha por
sexo, siendo, por ende, cada ves menor el diferencial en las ganancias de vida.
El proceso de envejecimiento de la estructura por edad y género de la población mexicana,
requiere el conocimiento de las leyes de mortalidad imperante y de sus modificaciones en el tiempo
(futuro inmediato), esto con el fin de proyectar adecuadamente la estructura de la población, lo que
se logra con la función de supervivencia Gompertz-Makeham que da la pauta en la elaboración de
tablas de mortalidad por sexo, las que en los próximos años deben validarse con la estimación que
directamente se hagan de ellas, vı́a estadı́sticas vitales y censos de población, y con ello ajustar la
ley de mortalidad mexicana para los años futuros.
113
114
Capı́tulo 6
Las causas de muerte en México y sus
ganancias en las esperanzas de vida
6.1.
Introducción
El estudio de la mortalidad general (todas las causas en su conjunto) es la que comúnmente se
tiene en el análisis de dicho fenómeno demográfico, esto por el hecho de tener con mayor facilidad
acceso a las defunciones que consideran todas las causas de muerte y que se tienen dificultades en
la obtención de la desagregación de las defunciones generales por causas especı́ficas; si además se
considera el hecho de que la obtención de tablas de decremento simple y múltiple no es común
después de hacerlo para la mortalidad general, el desconocimiento del impacto real de las causas
de muerte por edad y género realmente es mayúsculo.
En este artı́culo se pretende rescatar uno de los métodos mas sencillos para elaborar tablas
de decremento y conocer con precisión el impacto de la mortalidad por causa especı́fica, no sin
antes destacar la clasificación internacional de las causas de muerte y las que en México son las de
mayor impacto en su población, para posteriormente presentar la metodologı́a y los resultados que
se obtuvieron para el caso mexicano, destacando las ganancias en la esperanza de vida por edad y
género, que se obtendrı́an en México de eliminar la causa especı́fica de mortalidad en consideración.
6.2.
Impacto de la mortalidad por causas en México
De mediados del siglo pasado a principios del presente siglo XXI, la mortalidad general ha
descendido considerablemente en México. La tasa de mortalidad era del 16 por mil hacia mediados
de siglo pasado y se estimaba en un 6 por mil hacia fines de los años ochenta y a 4 por mil en el año
2003. Hace sesenta años más de la mitad (53 %) de los decesos anuales eran de menores de cinco
años, hoy lo son en un 25 % de ese total de muertes.
La disminución de la mortalidad en México en el siglo XX tiene su efecto en el aumento de la
esperanza de vida al nacimiento, de 36 años en las primeras dos décadas a 75 años en el año 2000,
es decir un aumento de 39 años. El efecto inmediato ha sido una disminución en las probabilidades
de muerte de la población mexicana en todas y cada una de las edades, destacando la disminución
en la mortalidad infantil de 182 muertes de menores de un año por cada mil nacimientos, al inicio
del siglo XX, a 22 por mil en el año 2000.
115
En cuanto al diferencial por género, como en el resto de los paı́ses, en México la mortalidad
femenina es menor que la masculina, teniéndose que el mayor aumento de la diferencia se produjo en
las edades productivas: a principios de los cincuenta la mortalidad de hombres y mujeres en edades
de 20 a 59 años era similar, mientras a fines de los ochenta la mortalidad masculina era mayor que
la femenina (las muertes de los hombres eran el 67 % del total de decesos en ese tramo etario). Las
principales causas de muerte de la población mexicana en la segunda mitad de los años ochenta
están referidas a las enfermedades sufridas por las personas adultas y mayores (afecciones del
corazón, accidentes y cáncer), aunque también muestran importancia las que padecen los menores
(infecciones intestinales y respiratorias). Las mayores diferencias apreciadas se refieren al mayor
peso de las muertes por cáncer en las mujeres y el superior de los accidentes en los hombres.
Considerando la estructura por edad de la mortalidad por causas, para los menores de un
año las muertes por infecciones intestinales en la década de los ochentas tienen, con las muertes
por afecciones originadas en el periodo perinatal, el mayor impacto. Para los primeros años del
siglo XXI las causas de muerte de menores de un año los accidentes tienen mayor impacto y las
muertes por causas de las enfermedades respiratorias y por enfermedades infecciosas y parasitarias
han disminuido considerablemente, no obstante las muertes perinatales no han tenido cambios
significativos en su tasa de mortalidad, lo que aun refleja una inadecuada atención a la mujer en el
embarazo y parto.
Para las edades de 1 a 4 años el panorama de la mortalidad por causas es similar a los menores
de un año, con una sensible baja en las muertes por accidentes, teniéndose que las muertes asociadas
la nutrición (por deficiencias de la nutrición) tiene un impacto considerable, asociado esencialmente
a la pobreza. Cabe destacar que las causas de muerte de infantes entre 1 y 4 años por anomalı́as
congénitas ocupa el tercer lugar entre las principales causas de muerte.
La población mexicana entre 5 y 14 años de edad se observa que la disminución en las causas de
muerte por enfermedades infecciosas y parasitarias, sin embargo se tiene un aumento en las causas
de muerte por tumores malignos, ası́ como en accidentes y en muerte violentas (agresiones).
Para los hombres de 15 a 29 años de edad, las causas de muerte se mantienen por accidentes
y violencia (homicidios), teniendo mayor impacto las causas de muerte por suicidios y por el sida
(vih), en las mujeres de 15 a 29 años de edad, las principales causas de muerte en los primeros años
del presente siglo son: accidentes, tumores malignos y causas maternas.
Ya para los adultos mexicanos entre las edades de 30 a 64 años las principales causas de muerte
son las asociadas a enfermedades digestivas, tumores malignos, enfermedades cardiovasculares y
accidentes, teniendo cada vez mayor impacto la diabetes mellitus. Similar panorama se tiene para
los adultos mayores de 65 años de edad, ocupando las tres principales causas de muerte las causadas
por enfermedades cardiovasculares, diabetes mellitus y tumores, ası́ como en menor medida las
muertes ocasionadas por enfermedades digestivas y enfermedades respiratorias.
La esperanza de vida al nacimiento ha aumentado en México en los últimos 25 años de 67 años,
(64 para los hombres y 70 para las mujeres) a 74 años (72 para los hombres y 77) para las mujeres,
teniéndose que las ganancias en la esperanza de vida al nacimiento en los años 1990-1995 fue de
1.2 años debido a la disminución en el riesgo de morir por enfermedades crónicas y degenerativas.
Debe destacarse que dicho incremento en las esperanzas de vida en los mexicanos es esencialmente por la disminución en las tasas de mortalidad en edades adultas de 30 a 64 años (2.5 años
de aumento en los hombres y de 2 años en las mujeres), también debe tomarse en cuenta el peso
que tienen en las ganancias en las esperanzas de vida al nacimiento las tasas de mortalidad infantil
lo que ha aportado en los últimos 25 años un aumento de 2 años en la esperanza de vida de los
116
mexicanos.
También la menor mortalidad por causas de las enfermedades infecciosas y parasitarias aporta
la mayor ganancia en la esperanza de vida al nacimiento, destacando también la disminución en
las causas de muerte por enfermedades respiratorias, y por enfermedades cardiovasculares, por lo
contrario el incremento de las causas de muerte por diabetes Mellitus, anomalı́as congénitas y
tumores malignos han evitado el aumento en las esperanzas de vida al nacimiento.
Cabe destacar las diferencias entre mujeres y hombres al examinar los tipos de muerte por
cáncer. Ası́, las mujeres mueren más por tumores en el aparato reproductivo (el 31,6 % de los decesos
por cáncer) que los varones (10,9 %). Por el contrario, los hombres fallecen más por tumores en
las vı́as respiratorias (20,4 % frente a un 8,2 % en las mujeres), lo que se relaciona con el mayor
consumo de tabaco.
Las diferencias por sexo en cuanto a causas de muerte se aprecian mucho más claramente
cuando se examina la población adulta. Entre los 15 y los 44 años, las mujeres mueren sobre todo
por tumores malignos, accidentes y complicaciones obstétricas, mientras que los hombres mueren
fundamentalmente por accidentes y violencia. Estas diferencias adquieren distinta forma cuando se
separa las edades jóvenes y las adultas. Las mujeres de 15 a 25 años mueren principalmente por
accidentes y complicaciones obstétricas, en tanto los hombres fallecen por accidentes y violencia
(que provocan el 73,5 % de sus muertes anuales).
Sin embargo, las mujeres de 25 a 44 años mueren en primer lugar por tumores malignos, en
segundo lugar por accidentes, en tercero por enfermedades del corazón y en cuarto por causas
obstétricas, mientras que los hombres de esa edad siguen muriendo en primer lugar por accidentes
y violencia (54,2 % del total) y por cirrosis y otras enfermedades del hı́gado, ası́ como del corazón.
La mortalidad infantil ha ido disminuyendo apreciablemente en las pasadas décadas, si bien
todavı́a presenta niveles relativamente elevados. A fines de los años sesenta se estimaba una tasa de
85 por mil nacidos vivos, cifra que habı́a descendido al 47 por mil a mediados de los ochenta y al
24 por mil en 1990. El descenso de esta mortalidad se manifiesta en todos sus tramos (neonatal y
postneonatal), y está acompañada de la caı́da de la mortalidad en todos los menores de cinco años.
No obstante, el peso de los decesos del conjunto de estos menores en el total de muertes anuales
sigue siendo alto (un 26 % en 1990).
La disminución de la mortalidad postneonatal ha sido más rápida que la neonatal, aunque aún
el peso de la primera resulta elevado. Como se sabe, la mortalidad de los niños entre uno y once
meses (postneonatal) es más sensible a las acciones sanitarias no especializadas contra enfermedades
de tipo infeccioso, tanto intestinales como respiratorias (que en 1990 eran todavı́a el 37 % de los
decesos de menores de un año).
6.3.
Metodologı́a empleada en la estimación de las ganancias de
vida
El método de Cerisola1 permite medir la ganancia en años de esperanza de vida a la edad exacta
𝑥, en el caos de que un grupo de causas de muerte fuera eliminado.
Supuestos del método:
1
Ver Cerisola Elsa. República Argentina: Análisis de la Mortalidad por causa. CELADE, Serie C. No.109.Santiago,
Chile, 1968.
117
1. Las defunciones por causa determinada 𝑖, de personas de edad 𝑥 exacta (𝑛 𝐷𝑥𝑖 ) se distribuyen
uniformemente a lo largo del año.
2. Las personas salvadas de morir por una causa determinada, tiene la misma probabilidad de
morir por otra causa que cualquier individuo de la población.
3. Al eliminarse o disminuirse una causa de muerte, la probabilidad de morir por otra causa, no
se modifica.
Información básica
Se utiliza para la estimación de las esperanzas de vida una vez eliminado cierto grupo de causas:
1. El promedio de las defunciones, por grupos de edades, género y causas clasificadas.
2. El número de sobrevivientes a la edad exacta 𝑥 (𝑙𝑥 ) y las defunciones (𝑑𝑥,𝑥+𝑛 ) en cada grupo de
edad, provenientes de la tabla abreviada de mortalidad correspondiente al año de observación.
6.4.
Procedimiento de cálculo
Las defunciones de cada grupo de edad en la tabla de vida se descomponen en:
𝑛 𝐷𝑥
=
∑
𝑖
𝑛 𝐷𝑥
(6.1)
𝑖
donde son las defunciones esperadas por cada grupo de causas y edad. Las que se obtienen
aplicando la distribución porcentual de las defunciones registradas según grupos de causas por
edad y género, a las defunciones según edad y sexo en las tablas de vida.
Calculándose la probabilidad de entre las edades x y x+n una vez eliminada la causa i como:
𝑖
𝑛 𝑞𝑥
=
𝑑𝑥,𝑥+𝑛 − 𝑑𝑖𝑥,𝑥+𝑛
𝑙𝑥 −
𝑑𝑖𝑥,𝑥+𝑛
2
(6.2)
donde:
𝑑𝑥,𝑥+𝑛 − 𝑑𝑖𝑥,𝑥+𝑛 es el total de defunciones por causas distintas de 𝑖 entre las edades 𝑥 y 𝑥 + 𝑛.
𝑑𝑖
𝑙𝑥 − 𝑥,𝑥+𝑛
son los sobrevivientes a la edad exacta, con excepción de los que fallecieron por la
2
causa 𝑖.
Entonces, la probabilidad de sobrevivientes de la edad 𝑥 a la edad 𝑥 + 𝑛 eliminando la causa 𝑖
se calcula como:
𝑖
𝑛 𝑃𝑥
= 1 −𝑛 𝑞𝑥𝑖 =
𝑙𝑥 + 𝑛 +
𝑙𝑥 −
118
𝑑𝑖𝑥,𝑥+𝑛
2
𝑑𝑖𝑥,𝑥+𝑛
2
(6.3)
Finalmente, los restantes valores de la tabla de mortalidad por causas se calculan con las relaciones:
𝑖
𝑙𝑥𝑥
𝑛 + 𝑛 = 𝑙𝑖 𝑛 𝑃𝑥𝑖
𝑖
𝑖 𝐿0
𝑖
4 𝐿1
1
5 𝐿5
+ 𝐿85
𝑇𝑥1
𝑜 𝑖
𝑒𝑥
6.5.
=
𝐾0 𝑙0𝑖
=
𝐾1,4 𝑙1𝑖
(6.4)
+ (1 − 𝑘0 )!
+ (4 −
𝑘1,4 )𝑙51
5 𝑖
(𝑙 + 𝑙𝑥𝑖 + 5)
2 𝑥
1
𝑙80
=
+ 𝑀85
𝑤
∑
𝑖
=
𝑛 𝐿𝑥
=
=
𝑙=𝑥
𝑇𝑥𝑖
𝑙𝑥𝑖
(6.5)
(6.6)
(6.7)
(6.8)
(6.9)
(6.10)
Principales causas de muerte en México
Las tres principales causas de muerte en México en el año 2000, a nivel nacional son: a) tumores,
b) enfermedades endocrinas, nutricionales y metabólicas y c) enfermedades del sistema circulatorio.(ver desglose en el anexo)
Las defunciones por todas las causas, por las tres principales causas, y por el resto de causas se
presentan en el cuadro 1, para hombres, mujeres y el total de la población, registradas en el año
2000.
119
Cuadro 6.1: México.Defunciones totales por grupos quinquenales 2000
Total
Enfermedad Tumores
del corazón malignos
Diabetes
mellitus
suma de las
3 causas
Resto
Total
Total
Menores de
un año
1 − 4 años
5 − 9 años
10−14 años
15−19 años
20−24 años
25−29 años
30−34 años
35−39 años
40−44 años
45−49 años
50−54 años
55−59 años
60−64 años
65−69 años
70−74 años
75−79 años
80−84 años
85 y más
No especificado
68,712
229
55,006
84
46,614
5
170,332
318
267,223
38,244
437,555
38,562
101
67
75
193
299
420
597
946
1,398
1,976
2,795
3,826
5,329
6,787
7,982
9,093
8,482
17,858
259
469
547
555
627
671
827
1,158
1,633
2,268
2,995
3,821
4,459
5,611
6,583
6,863
6,249
4,468
5,023
95
10
13
31
77
126
237
333
609
1,150
2,055
3,299
4,771
6,233
7,035
6,791
5,996
3,796
3,944
103
580
627
661
897
1,096
1,484
2,088
3,188
4,816
7,026
9,915
13,056
17,173
20,405
21,636
21,338
16,746
26,825
457
6,382
2,830
3,057
6,491
8,898
9,807
9,920
10,767
10,680
11,032
11,152
12,436
13,674
15,572
17,735
19,599
18,144
39,078
1,725
6,962
3,457
3,718
7,388
9,994
11,291
12,008
13,955
15,496
18,058
21,067
25,492
30,847
35,977
39,371
40,937
34,890
65,903
2,182
De las tres principales causas de muerte la que menor ganancia otorga en las esperanzas de vida
es para los hombres la eliminación de la diabetes mellitus y para las mujeres la eliminación de los
tumores malignos, siendo sus ganancias en la esperanza de vida al nacimiento de 0.50 años para los
hombres y de 0.52 para las mujeres.
Si se eliminaran las tres causas de muerte antes mencionadas la ganancia en la esperanza de
vida al nacimiento serı́a 1.81 años para los hombres y 1.87 años para las mujeres. Cabe destacar
que al efecto de quitar el resto de las causas de muerte produce una ganancia de 2.04 años en la
esperanza de vida para los hombres y de 1.53 años en la esperanza de vida al nacimiento para las
mujeres
120
Cuadro 6.2: México.Defunciones totales por grupos quinquenales 2000
Menores de
un año
1 − 4 años
5 − 9 años
10 − 14 años
15 − 19 años
20 − 24 años
25 − 29 años
30 − 34 años
35 − 39 años
40 − 44 años
45 − 49 años
50 − 54 años
55 − 59 años
60 − 64 años
65 − 69 años
70 − 74 años
75 − 79 años
80 − 84 años
85 y más
No especificado
132
43
4
179
21,614
21,793
47
34
37
115
180
263
370
580
910
1,250
1,714
2,330
3,036
3,726
4,154
4,597
3,861
7,024
130
236
310
300
381
405
422
480
580
722
960
1,424
1,924
2,687
3,375
3,662
3,483
2,402
2,606
53
6
4
11
30
60
133
198
359
650
1,071
1,622
2,286
2,834
3,036
2,987
2,603
1,500
1,436
34
289
348
348
526
645
818
1,048
1,519
2,282
3,281
4,760
6,540
8,557
10,137
10,803
10,683
7,763
11,066
217
3,437
1,677
1,904
4,580
6,743
7,562
7,689
8,329
8,105
8,174
7,814
8,299
8,543
9,373
10,062
10,830
9,280
17,270
1,208
3,726
2,025
2,252
5,106
7,388
8,380
8,737
9,848
10,387
11,455
12,574
14,839
17,100
19,510
20,865
21,513
17,043
28,336
1,425
Mujeres
34,222
28,551
25,750
88,523
104,730
193,253
Menores de
un año
1 − 4 años
5 − 9 años
10 − 14 años
15 − 19 años
20 − 24 años
25 − 29 años
30 − 34 años
35 − 39 años
40 − 44 años
45 − 49 años
50 − 54 años
55 − 59 años
60 − 64 años
65 − 69 años
70 − 74 años
75 − 79 años
80 − 84 años
85 y más
No especificado
97
41
1
139
16,630
16,769
54
33
38
78
119
157
227
366
488
726
1,081
1,496
2,293
3,061
3,828
4,496
4,621
10,834
129
233
237
255
246
266
405
678
1,053
1,546
2,035
2,397
2,535
2,924
3,208
3,201
2,766
2,066
2,417
42
4
9
20
47
66
104
135
250
500
984
1,677
2,485
3,399
3,999
3,804
3,393
2,296
2,508
69 2
291
279
313
371
451
666
1,040
1,669
2,534
3,745
5,155
6,516
8,616
10,268
10,833
10,655
8,983
15,759
40
2,945
1,153
1,153
1,911
2,155
2,245
2,231
2,438
2,575
2,858
3,338
4,137
5,131
6,199
7,673
8,769
8,864
21,808
517
3,236
1,432
1,466
2,282
2,606
2,911
3,271
4,107
5,109
6,603
8,493
10,653
13,747
16,467
18,506
19,424
17,847
37,567
757
121
Cuadro 6.3: México: Ganancias en las esperanzas de vida eliminando causas de muerte. 2000
HOMBRES
Edad
0
1
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
Sin
enfermedades
de
corazón
0.73
0.73
0.76
0.76
0.76
0.77
0.76
0.78
0.76
0.76
0.75
0.45
0.66
0.62
0.57
0.51
0.40
0.21
Sin
tumores
malignos
Sin
diabetes
mellitus
Sin la suma de
las tres causas
Sin el resto de
las causas
0.60
0.61
0.60
0.61
0.61
0.62
0.62
0.62
0.62
0.62
0.61
0.31
0.52
0.49
0,44
0.37
0.27
0.16
0.50
0.51
0.52
0.52
0.52
0.53
0.52
0.52
0.52
0.52
0.51
0.21
0.41
0.36
0.31
0.26
0.19
0.11
1.81
1.86
1.86
1.88
1.88
1.89
1.89
1.89
1.89
1.89
1.86
1.59
1.68
1.55
1.39
1.20
0.91
0.51
2.04
-1.00
1.64
1.96
1.96
1.93
1.90
1.89
1.85
1.82
1.75
1.58
1.55
1.45
1.37
1.24
0.98
0.52
1.87
1.92
1.91
1.94
1.94
1.94
1.94
1.93
1.92
1.90
1.86
1.81
1.72
1.65
1.51
1.30
0.98
0.54
1.53
-1.29
1.11
1.45
1.46
1.44
1.42
1.41
1.40
1.40
1.38
1.37
1.33
1.29
1.23
1.13
0.87
0.44
MUJERES
0
1
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
0.67
0.68
0.69
0.70
0.70
0.70
0.70
0.70
0.70
0.69
0.69
0.68
0.67
0.65
0.62
0.56
0.44
0.22
0.52
0.53
0.51
0.52
0.53
0.53
0.53
0.52
0.51
0.50
0.47
0.45
0.42
0.40
0.36
0.31
0.22
0.14
0.59
0.61
0.61
0.61
0.61
0.62
0.61
0.62
0.62
0.61
0.60
0.59
0.55
0.51
0.45
0.38
0.28
0.17
122
A manera de conclusión a continuación se resume el impacto, en los últimos diez años en México,
de las causas de muerte por grupos de edades. Ası́, la mayor exposición a la muerte esta en los
grupos de 0 años, 1 a 4 años y 65 y más. Teniendo que ser protegida la población de cero años
cumplidos principalmente de afecciones originadas en el periodo perinatal por factores maternos
tanto del embrazo como del parto, por factores externos como son la atención médica a la madre,
el trabajo de parto, o por consecuencias del cuidado del producto como son el peso, nutrición,
trastornos respiratorios y cardiovasculares y de la regulación de la temperatura, por mencionar
algunos. En segundo lugar, de caı́das, envenenamientos, traumatismos y todo tipo de accidentes. Y
en tercero, enfermedades endócrinas, nutricionales y metabólicas, como son trastornos de la tiroides
y el páncreas, diabetes, desnutrición, obesidad y trastornos metabólicos.
Cabe señalar que aquı́, la labor del padre y madre del menor, es de vital importancia, por tanto,
requieren de orientación consciente por parte de los doctores y personal de salud, en el cuidado de
los menores frente a estas enfermedades que pueden ser causa de muerte.
Para los niños de 1 a 4 años, tener cuidado de caı́das, envenenamientos, traumatismos y todo
tipo de accidentes, alertas de los tumores en cualquier sitio del cuerpo. Y en tercer lugar, de las
enfermedades del sistema circulatorio.
En edades por encima de los 5 años y hasta los 24 años cumplidos la principal causa de muerte
se debe a los accidentes, seguida por las enfermedades del aparato circulatorio como son, enfermedades cardiacas, reumáticas, de la presión arterial, cardiopulmonares y cardiovasculaes, infartos,
hemorragias y problemas de las arterias, arteriolas y vasos capilares como embolias y trombosis.
En tercer lugar los tumores malignos, en sitios especificados o no, como en el labio, faringe, órganos
digestivos, respiratorios e intratoráxicos, piel, órganos genitales y vı́as urinarias.
A la población de 25 a 34 años de edad cumplida le impactan las causas de muerte asociadas a
los problemas del sistema o aparato circulatorio, los tumores malignos y los accidentes.
Al grupo de 35 a 44 años, las causas de muerte por enfermedades del sistema circulatorio
ocupan el primer lugar, seguidas por los tumores, y en tercero, enfermedades del sistema digestivo
como apendicitis, hernia, peritoneo, colitis, cirrosis, pancreatitis, etc. Además de enfermedades
endócrinas, nutricionales y metabólicas.
También para la población entre las edades de 45 a 64 años cumplidos, las enfermedades ocasionadas en el sistema circulatorio, los tumores y las enfermedades endócrinas, nutricionales y
metabólicas, como son trastornos de la tiroides y el páncreas, diabetes, desnutrición, obesidad y
trastornos metabólicos, son las causas de muerte más importantes.
En el grupo de edades cumplidas abierto, 65 y más, imperan principalmente los problemas
cardiacos y las enfermedades endócrinas, nutricionales y los tumores. El conocimiento del impacto
de las enfermedades en la mortalidad de los mexicanos, permite orientar los recursos de salud para
el abatimiento de las principales causas de muerte, lo que tendrá una directa consecuencia en el
incremento de las ganancias en las esperanzas de vida por edad y género.
6.6.
Clasificación de las causas de muerte
La clasificación de enfermedades se define como un sistema de categorı́as a las que se asignan
entidades morbosas de conformidad con criterios establecidos, ésta queda determinada por el uso
que se hará de las estadı́sticas recopiladas bajo la clasificación.
Una clasificación estadı́stica de las causas de muerte data del siglo XVIII, las primeras revisiones
se basaban únicamente en la modificación de las causas.
123
La décima revisión de la Clasificación Estadı́stica Internacional de Enfermedades y Problemas
Relacionados con la Salud, es decir, la CIE-10, es la más reciente. En esta clasificación las afecciones
se han agrupado de la manera que se creyó más apropiada para los fines epidemiológicos generales
y para le evaluación de la atención de la salud.
Los trabajos de la décima revisión de la CIE, es decir, CIE-10, convocada por la organización
mundial de la salud, comenzaron en septiembre de 1983 en Ginebra, su sede, regidos por las reuniones regulares de los directores de los Centros Colaboradores de la Organización Mundial de
la Salud (OMS) para la clasificación de las enfermedades, los centros están en las siguientes ciudades: Caracas, Venezuela; Canberra, Australia; Londres, Inglaterra; Hyattsville, Estados Unidos
de Norteamérica; Pekı́n, China; Le Vecinet, Francia; Uppsala, Suecia; Sao Paulo, Brasil; y Moscú,
Rusia.
Las orientaciones de polı́tica emanaron de varias reuniones especiales, en particular de las del
Comité de Expertos sobre la CIE-10, celebradas en 1984 y 1987.
Además de las aportaciones técnicas de muchos grupos de especialistas y de expertos a tı́tulo
individual, se recibió gran número de observaciones y sugerencias de los estados miembros y de las
oficinas regionales de la OMS.
Se ha conservado la estructura tradicional de la CIE con la diferencia de que la clave numérica
anterior se reemplazó por una de tipo alfanumérico, y que ciertos trastornos del mecanismo inmunitario aparecen junto con las enfermedades de la sangre y de los órganos hematopoyéticos, y que
se han creado nuevos capı́tulos para las enfermedades del ojo y sus anexos y para las enfermedades
del oı́do y de la apófisis mastoides, y la clasificación de causas externas y de los factores que influyen en el estado de salud y contacto con los servicios de salud, que anteriormente aparecı́an como
suplementos, se han incorporado ahora al cuerpo principal de la clasificación.
Surgió el concepto de una familia de clasificaciones, construida en torno al núcleo de la CIE, ésta
se ocuparı́a de atender a las necesidades centrales de las estadı́sticas tradicionales de mortalidad y
morbilidad.
La principal innovación en las propuestas fue el uso de un sistema de codificación alfanumérico
consistente en una letra seguida de tres números dando un total de cuatro caracteres.
Las principales causas de muerte en México son:
CAUSA II. Tumores.
En este se clasifican todos los tumores, estén o no activos funcionalmente. Se identifican grandes
grupos morfológicos de tumores malignos y cáncer, Este capı́tulo contiene los siguientes grupos:
Tumores malignos primarios de sitio anatómico especificado, excepto de los tejidos linfáticos,
hematopoyético y similares (labio, cavidad bucal, faringe, órganos digestivos, respiratorios e intratorácicos, huesos y cartı́lagos articulares, piel, tejidos, mama, órganos genitales, vı́as urinarias, ojo,
encéfalo, tiroides y otras glándulas endocrinas).
Tumores malignos de sitios mal definidos, secundarios y de sitios no especificados, los que se
indican como diseminados, esparcidos o extendidos, sin mención del origen, donde el sitio primario
se considera desconocido.
Tumores malignos declarados como primarios del tejido linfático, órganos hematopoyéticos y de
tejidos afines (Enfermedad de Hodgkin, linfoma no Hodgkin: folicular, difuso, periférico, cutáneo y
el no especificado, mieloma múltiple, tumores malignos de células plasmáticas, leucemias y otros).
Tumores malignos primarios de sitios múltiples independientes.
Tumores in situ(Carcinoma in situ de: la cavidad bucal, esófago estómagoy otros órganos digestivos, sistema respiratorio, oı́do medio, piel, mama, cuello del útero, otros órganos genitales y
124
melanoma).
Tumores benignos (De la boca, del colon, dl oı́do, órganos intra torácicos, huesos etc.)
Tumores de comportamiento incierto o desconocido
CAUSA IV. Enfermedades endocrinas, nutricionales y metabólicas.
Son las que indican la actividad funcional de tumores y tejidos endocrinos ectópicos o la hipofunción e hiperfunción de las glándulas endocrinas asociadas con tumores y otras afecciones clasificadas
en otra parte.
De este capı́tulo la principal es la Diabetes mellitus (Insulinodependiente, no insulinodependiente, asociada con desnutrición).
CAUSA IX. Enfermedades del sistema circulatorio.
Se excluyen ataques isquémicos cerebrales transitorios y sı́ndromes afines, trastornos sistémicos
del tejido conjuntivo y tumores.
Este capı́tulo contiene los siguientes grupos:
Fiebre reumática aguda (Con y sin complicaciones cardı́acas y corea reumática) Enfermedades
cardı́acas reumáticas crónicas (Enfermedades de la válvula mitral, aórtica, tricúspide, etc.)
Enfermedades hipertensivas (Hipertensión, enfermedades cardı́acas y renales hipertensivas).
Enfermedades isquémicas del corazón (Angina de pecho, infarto del miocardio, complicaciones
posteriores al infarto y otras enfermedades isquémicas agudas del corazón).
Enfermedad cardiopulmonar y enfermedades de la circulación pulmonar (Embolia pulmonar y
otras enfermedades de los vasos pulmonares).
Otras formas de enfermedad del corazón (Pericarditis aguda, endocarditis, trastornos no reumáticos
de la válvula mitral, aórtica y tricúspide, miocarditis, cardiomiopatı́a, bloqueo auriculoventricular
y de rama izquierda del haz, paro cardı́aco, taquicardia paroxı́stica, fibrilación y aleteo auricular,
insuficiencia cardı́aca, etc.)
Enfermedades cerebrovasculares (Hemorragia subaracnoidea e intraencefálica, infarto cerebral,
oclusión y estenosis de las arterias precerebrales, secuelas de enfermedad cerebrovascular).
Enfermedades de las arterias, de las arteriolas y de los vasos capilares (Aterosclerosis, aneurisma,
disección aórtica, embolia y trombosis arteriales).
Enfermedades de las venas y de los vasos y ganglios linfáticos, no clasificadas en otra parte
(Flebitis, trombosis de la vena porta, etc.)
Otros trastornos y los no especificados del sistema circulatorio (Hipotensión, y otros trastornos
del sistema circulatorio). El resto de las causas de muerte son las constituidas por:
CAUSA I Ciertas enfermedades infecciosas y parasitarias.
Incluye enfermedades generalmente reconocidas como contagiosas o transmisibles.
CAUSA III. Enfermedades de la sangre y de los órganos hematopoyéticos, y ciertos trastornos
que afectan el mecanismo de la inmunidad.
CAUSA V. Trastornos mentales y del comportamiento. Incluye los trastornos del desarrollo
psicológico, enfermedades cerebrales, lesiones u otros traumas del cerebro que lleva a una
disfunción cerebral.
CAUSA VI. Enfermedades del sistema nervioso.
CAUSA VII. Enfermedades del ojo y sus anexos.
CAUSA VIII. Enfermedades del oı́do y de la apófisis mastoides.
125
CAUSA X. Enfermedades del sistema respiratorio.
CAUSA XI. Enfermedades del sistema digestivo.
CAUSA XII. Enfermedades de la piel y del tejido subcutáneo.
CAUSA XIII. Enfermedades del sistema osteomuscular y del tejido conjuntivo.
CAUSA XIV. Enfermedades del sistema genitourinario.
CAUSA XV. Embarazo, parto y puerperio.
CAUSA XVI. Ciertas afecciones originadas en el perı́odo perinatal. Incluye las afecciones que
tienen su origen en el periodo perinatal, aún cuando la muerte ocurra más tarde.
CAUSA XVII. Malformaciones congénitas, deformidades y anomalı́as cromosómicas.
CAUSA XVIII. Sı́ntomas, signos y hallazgos anormales clı́nicos y de laboratorio, no clasificados en otra parte.
Incluye sı́ntomas, signos y resultados anormales de procedimientos clı́nicos u otros de investigación y las afecciones menos definidas, también incluye los sı́ntomas que hacen sospechar,
con la misma verosimilitud, dos o más enfermedades o bien varios sistemas del cuerpo humano y sin que el caso haya sido estudiado en forma suficiente para llegar a establecer un
diagnóstico final.
CAUSA XIX. Traumatismos, envenenamientos y algunas otras consecuencias de causas externas.
CAUSA XX. Causas externas de morbilidad y de mortalidad. Incluye la clasificación de acontecimientos ambientales y circunstancias adversas.
126
Capı́tulo 7
La Contribución de las causas de
muerte al cambio en la esperanza de
vida en un perı́odo
1. El método de Pollard1 Los efectos de los cambios en la mortalidad en el aumento de la
esperanza de vida, ası́ como también el efecto de las diferentes causas de muerte por edad,
en el cambio de la esperanza de vida de una población, durante un periodo de tiempo, se
pueden estimar con el método propuesto por J. Pollard. Este método también puede ser usado
para analizar las diferencias en la esperanza de vida entre dos poblaciones cualesquiera. La
información necesaria para la aplicación del método es:
𝑥 𝑃0 Es la probabilidad de sobrevivir 𝑥 años desde el nacimiento.
𝑒𝑜𝑥 Esperanza de vida a la edad 𝑥.
𝑖
𝑛 𝐷𝑥 Proporción de muertes correspondientes al grupo de causa 𝑖,
entre las edades 𝑥 y
𝑥 + 𝑛.
2. Fundamento teórico del método.
Relación entre mortalidad y esperanza de vida, es decir, la ganancia en la esperanza de vida
al nacer en una población entre el tiempo 1 y el tiempo 2.
2 𝑜
𝑒0
(
)
− 1 𝑒𝑜0 = 𝑆0𝑤 𝑢1𝑥 − 𝑢2𝑥 𝑥 𝑃01 ∗ 1 𝑒𝑜0 𝑑𝑥
(7.1)
donde:
𝑢𝑥 Representa la tasa instantánea de mortalidad.
Los ı́ndices 1 y 2 representan el tiempo 1 y el tiempo 2 a los cuales está referida la
función, que en su forma más simple puede ser escrita de la manera siguiente:
2 𝑜
𝑒0
(
)
− 1 𝑒𝑜0 = 𝑆0𝑤 𝑢1𝑥 − 𝑢2𝑥 𝑤𝑥 𝑑𝑥
1
(7.2)
Pollard, John H., Cause of Death and Espectation of life; some international comparisons. International Union
for the Scientific Study of Population and Institute of Statistic. University of Siena. Siena, Italy, 7-12, July, 1986.
127
donde el ponderador w se toma como:
𝑤𝑥 = 0,5
(
2 1 𝑜
𝑥 𝑃0 𝑒 𝑥
+
1 2 𝑜
𝑥 𝑃0 𝑒𝑥
)
(7.3)
Para un trabajo numérico y discreto, la integral puede ser escrita como:
2 𝑜
𝑒0
)
(
)
−1 𝑄20 𝑤0 + 4 4 𝑄11 −4 𝑄41 𝑤3
(
)
(
)
+10 10 𝑄15 −10 𝑄25 𝑤10 + 10 10 𝑄115 −10 𝑄215 𝑤20 + . . .
Donde 𝑛 𝑄𝑥 = −𝐿𝑛
siguiente:
(
− 1 𝑒𝑜𝑥 =
𝑙𝑥+𝑛
𝑙𝑥
2 𝑜
𝑒0
)
(
1
1 𝑄0
(7.4)
, será aproximada por 𝑛 𝑚𝑥 dando como resultado la fórmula
− 1 𝑒𝑜0 =
)
(
)
−1 𝑚20 𝑤0 + 4 4 𝑚11 −4 𝑚21 𝑤3
(
)
(
)
+10 10 𝑚15 −10 𝑚25 𝑤10 + 10 10 𝑚115 −10 𝑚215 𝑤20 + . . .
(
1
1 𝑚0
(7.5)
Esta es la ecuación fundamental del método de Pollard.
La fórmula se puede extender para el análisis de causas de muerte: Causa i:
2 𝑜
𝑒0
− 1 𝑒𝑜0 =
1
𝑖1
2
𝑖2
1 𝑄0 ∗1 𝐷0 −1 𝑄0 ∗1 𝐷0 𝑤0
( 1
)
+4 4 𝑄1 ∗4 𝐷1𝑖1 −4 𝑄21 ∗4 𝐷1𝑖2 𝑤3
)
(
+10 10 𝑄15 ∗10 𝐷5𝑖1 −10 𝑄25 ∗10 𝐷5𝑖2 𝑤10
(
)
𝑖1
𝑖2
+10 10 𝑄115 ∗10 𝐷15
−10 𝑄215 ∗10 𝐷15
𝑤20 + . . .
(
)
(7.6)
La probabilidad de supervivencia y la esperanza de vida a cada edad x, provienen de las
tablas abreviadas de mortalidad.
Procedimiento de cálculo.
La estimación de la ganancia en la esperanza de vida al nacer, de acuerdo a la ecuación
fundamental del método, entre el tiempo 1 y el tiempo 2 y considerando
1
𝑛 𝑄𝑥
2
𝑛 𝑄𝑥
)
1
𝑙𝑥+𝑛
= −𝐿𝑛
𝑙𝑥1
( 2 )
𝑙
= −𝐿𝑛 𝑥+𝑛
𝑙𝑥2
(
(7.7)
(7.8)
donde :
∙ 𝑛 𝑄𝑥 representa la tasa instantánea de mortalidad entre las edades 𝑥 y 𝑥 + 𝑛.
∙ 𝑙𝑥 los sobrevivientes en la edad exacta 𝑥
∙ 𝑤𝑥 = 0,5(𝑥 𝑃02 1 𝑒𝑜𝑥 +𝑥 𝑃01 2 𝑒𝑜𝑥 ) representa una función de ponderación de la edad.
∙ 𝑛 𝐷𝑥 =𝑛 𝑄1𝑥 −𝑛 𝑄2𝑥 representa la diferencia entre la fuerza de mortalidad a la edad
𝑥, entre el tiempo 1 y el tiempo 2,
128
∙ 𝑤 ∗ 𝐷 representa el aporte de cada grupo de edad, a la ganancia en años sobre la
esperanza de vida al nacer.
∙ ?𝑤 ∗ 𝐷 representa en forma aproximada, la ganancia total en esperanza de vida al
nacer, entre los dos tiempos considerados.
La aplicación del método de Pollard ha permitido analizar los efectos de los cambios en
la mortalidad en la esperanza de vida, ası́ como medir las contribuciones de las causas
de muerte por edades en el aumento de la esperanza de vida al nacer. Donde se produce
un efecto negativo de la mortalidad, está indicando que la mortalidad, en estas edades
aumentó en el periodo y por lo tanto no contribuyó en el aumento de la esperanza de
vida al nacer, sino que redujo la ganancia en años. En las edades adultas avanzadas,
las contribuciones en el aumento de la esperanza de vida son reducidas. Se pone de
manifiesto que, en un proceso de descenso de la mortalidad, los que más se benefician
son los más jóvenes, el mayor aporte se tiene en el grupo 1-4 años, seguido de los menores
de 1 año y los de 5-15 años.
129
130
Tablas
131
Edad
4
6
4
11
30
60
133
198
360
651
1073
1625
2290
2839
3041
2992
2607
2941
𝐷𝑖
21921
3748
2037
2265
5136
7431
8429
8788
9906
10448
11522
12648
14926
17200
19624
20987
21639
45645
𝐷
0.0002
0.0016
0.0020
0.0049
0.0059
0.0081
0.0158
0.0226
0.0363
0.0623
0.0931
0.1285
0.1534
0.1650
0.1550
0.1426
0.1205
0.0644
𝐷𝑖
𝐷
4062
591
130
135
190
254
289
412
517
822
376
2273
3569
5310
7893
12292
17961
41964
𝑑
1
1
0
1
1
2
5
9
19
51
35
292
548
876
1223
1752
2164
2704
𝑑𝑖
100000
95938
95347
95216
95081
94891
94638
94349
93936
93420
92598
91262
88989
85420
80110
72217
59925
41964
𝑙𝑥
tabla
0.040613
0.006150
0.001361
0.001411
0.001987
0.002655
0.003006
0.004268
0.005304
0.008253
0.003683
0.021742
0.034058
0.052172
0.083900
0.147737
0.268459
0.966714
𝑛 𝑞 𝑥𝑖
0.959387
0.993850
0.998639
0.998589
0.998013
0.997345
0.996994
0.995732
0.994696
0.991747
0.996317
0.978258
0.965942
0.947828
0.916100
0.852263
0.731541
0.033286
𝑛 𝑃𝑥𝑖
100000
95939
95348
95217
95082
94892
94639
94354
93946
93438
92649
92257
89278
85958
80963
73389
61548
43838
𝑙𝑥 𝑖
97292
381864
476413
475747
474934
473828
472482
470750
468460
465217
462265
453837
438090
417304
385881
337342
263464
283403
𝐿𝑥𝑖
7298572
7201280
6819415
6343002
5867255
5392321
4918493
4446011
3975262
3506802
3041585
2579320
2125483
1687393
1270089
884209
546867
283403
𝑇𝑥𝑖
72.99
75.06
71.52
66.62
61.71
56.83
51.97
47.12
42.31
37.53
32.83
27.96
23.81
19.63
15.69
12.05
8.89
6.46
𝑒𝑥𝑖
72.49
74.55
71.00
66.10
61.19
56.30
51.45
46.60
41.79
37.01
32.32
27.75
23.40
19.27
15.38
11.79
8.70
6.35
𝑒𝑥
0.50
0.51
0.52
0.52
0.52
0.53
0.52
0.52
0.52
0.52
0.51
0.21
0.41
0.36
0.31
0.26
0.19
0.11
Ganancias
Cuadro 7.1: México: Tabla de decremento por diabetes mellitus, hombres, 2000
0
1−4
5−9
10−14
15−19
20−24
25−29
30−34
35−39
40−44
45−49
0 − 54
55−59
60−64
65−69
70−74
75−79
80 − +
132
133
𝐷𝑖
43
236
311
301
382
406
423
481
581
723
962
1427
1928
2692
3382
3669
3490
5018
Edad
0
1-4
5-9
10-14
15-19
20-24
25-29
30-34
35-39
40-44
45-49
50-54
55-59
60-64
65-69
70-74
75-79
80-+
21921
3748
2037
2265
5136
7431
8429
8788
9906
10448
11522
12648
14926
17200
19624
20987
21639
45645
𝐷
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0.0631
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0.0835
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0.1565
0.1723
0.1748
0.1613
0.1099
𝐷𝑖
𝐷
4062
591
130
135
190
254
289
412
517
822
376
2273
3569
5310
7893
12292
17961
41964
𝑑
8
37
20
18
14
14
14
23
30
57
31
256
461
831
1360
2149
2897
4613
𝑑𝑖
100000
95938
95347
95216
95081
94891
94638
94349
93936
93420
92598
91262
88989
85420
80110
72217
59925
41964
𝑙𝑥
tabla
0.040542
0.005773
0.001156
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100000
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95384
95237
95099
94905
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94363
93960
93449
92655
92253
89243
85873
80919
73521
61921
44488
𝑙𝑥 𝑖
97297
381986
476552
475839
475010
473890
472536
470807
468522
465260
462270
453740
437789
416980
386101
338605
266021
289413
𝐿𝑥𝑖
7308620
7211323
6829337
6352785
5876945
5401935
4928045
4455509
3984702
3516180
3050920
2588650
2134910
1697122
1280141
894040
555435
289413
𝑇𝑥𝑖
Cuadro 7.2: México: Tabla de decremento, tumores malignos, hombres, 2000
73.09
75.16
71.60
66.71
61.80
56.92
52.07
47.22
42.41
37.63
32.93
28.06
23.92
19.76
15.82
12.16
8.97
6.51
𝑒𝑥𝑖
72.49
74.55
71.00
66.10
61.19
56.30
51.45
46.60
41.79
37.01
32.32
27.75
23.40
19.27
15.38
11.79
8.70
6.35
𝑒𝑥
0.60
0.61
0.60
0.61
0.61
0.62
0.62
0.62
0.62
0.62
0.61
0.31
0.52
0.49
0.44
0.37
0.27
0.16
Ganancias
Edad
132
47
34
37
115
181
264
371
582
913
1255
1720
2339
3047
3740
4170
4614
10926
𝐷𝑖
21921
3748
2037
2265
5136
7431
8429
8788
9906
10448
11522
12648
14926
17200
19624
20987
21639
45645
𝐷
0.0060
0.0126
0.0168
0.0164
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0.0243
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0.0423
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0.0874
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0.1360
0.1567
0.1772
0.1906
0.1987
0.2132
0.2394
𝐷𝑖
𝐷
4062
591
130
135
190
254
289
412
517
822
376
2273
3569
5310
7893
12292
17961
41964
𝑑
25
7
2
2
4
6
9
17
30
72
41
309
559
941
1504
2442
3830
10045
𝑑𝑖
100000
95938
95347
95216
95081
94891
94638
94349
93936
93420
92598
91262
88989
85420
80110
72217
59925
41964
𝑙𝑥
tabla
0.040379
0.006083
0.001341
0.001395
0.001953
0.002612
0.002958
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0.033928
0.051433
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𝑛 𝑞 𝑥𝑖
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0.993917
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0.997388
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100000
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95219
95083
94895
94643
94358
93954
93449
92670
92263
89295
85970
81027
73661
62198
45328
𝑙𝑥 𝑖
97308
381904
476434
475756
474946
473846
472503
470781
468509
465297
462331
453894
438162
417491
386718
339646
268813
297257
𝐿𝑥𝑖
7321597
7224289
6842385
6365951
5890195
5415249
4941403
4468900
3998119
3529610
3064312
2601981
2148087
1709925
1292434
905716
566070
297257
𝑇𝑥𝑖
73.22
75.28
71.76
66.86
61.95
57.07
52.21
47.36
42.55
37.77
33.07
28.20
24.06
19.89
15.95
12.30
9.10
6.56
𝑒𝑥𝑖
72.49
74.55
71.00
66.10
61.19
56.30
51.45
46.60
41.79
37.01
32.32
27.75
23.40
19.27
15.38
11.79
8.70
6.35
𝑒𝑥
0.73
0.73
0.76
0.76
0.76
0.77
0.76
0.76
0.76
0.76
0.75
0.45
0.66
0.62
0.57
0.51
0.40
0.21
Ganancias
Cuadro 7.3: México: Tabla de decremento, enfermedades del corazón, hombres, 2000
0
1-4
5-9
10-14
15-19
20-24
25-29
30-34
35-39
40-44
45-49
50-54
55-59
60-64
65-69
70-74
75-79
80-+
134
135
𝐷𝑖
179
290
349
349
527
647
820
1051
1523
2288
3290
4773
6557
8580
10164
10832
10711
18879
Edad
0
1-4
5-9
10-14
15-19
20-24
25-29
30-34
35-39
40-44
45-49
50-54
55-59
60-64
65-69
70-74
75-79
80-+
21921
3748
2037
2265
5136
7431
8429
8788
9906
10448
11522
12648
14926
17200
19624
20987
21639
45645
𝐷
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0.0773
0.1713
0.1540
0.1027
0.0870
0.0973
0.1196
0.1538
0.2190
0.2855
0.3774
0.4393
0.4988
0.5179
0.5161
0.4950
0.4136
𝐷𝑖
𝐷
4062
591
130
135
190
254
289
412
517
822
376
2273
3569
5310
7893
12292
17961
41964
𝑑
33
46
22
21
20
22
28
49
79
180
107
858
1568
2649
4088
6344
8891
17356
𝑑𝑖
100000
95938
95347
95216
95081
94891
94638
94349
93936
93420
92598
91262
88989
85420
80110
72217
59925
41964
𝑙𝑥
tabla
0.040294
0.005685
0.001130
0.001200
0.001793
0.002444
0.002757
0.003846
0.004660
0.006879
0.002903
0.015581
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0.031646
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0.739280
𝑛 𝑞 𝑥𝑖
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0.998800
0.998207
0.997556
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0.993121
0.997097
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0.968354
0.951259
0.913853
0.836511
0.260720
𝑛 𝑃𝑥𝑖
100000
95971
95393
95239
95102
94910
94659
94377
93986
93498
92777
92329
89840
86970
82717
76205
65996
50128
𝑙𝑥 𝑖
97314
382033
476580
475853
475031
473924
472590
470908
468711
465689
462766
455423
442026
424217
397305
355503
290309
343777
𝐿𝑥𝑖
7429959
7332645
6950612
6474033
5998180
5523150
5049226
4576635
4105727
3637016
3171327
2708560
2253137
1811112
1386894
989589
634086
343777
𝑇𝑥𝑖
74.30
76.41
72.86
67.98
63.07
58.19
53.34
48.49
43.68
38.90
34.18
29.34
25.08
20.82
16.77
12.99
9.61
6.86
𝑒𝑥𝑖
Cuadro 7.4: México: Tabla de decremento múltiple, suma de tres causas, hombres, 2000
72.49
74.55
71.00
66.10
61.19
56.30
51.45
46.60
41.79
37.01
32.32
27.75
23.40
19.27
15.38
11.79
8.70
6.35
𝑒𝑥
1.81
1.86
1.86
1.88
1.88
1.89
1.89
1.89
1.89
1.89
1.86
1.59
1.68
1.55
1.39
1.20
0.91
0.51
Ganancias
Edad
1
4
9
20
47
66
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3814
3402
4817
𝐷𝑖
16835
3249
1438
1472
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2616
2922
3284
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6629
8526
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13801
16532
18579
19500
55632
𝐷
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0.0012
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𝐷𝑖
𝐷
3596
567
91
74
109
164
204
259
333
519
773
1257
1844
3039
5348
9911
16756
55158
𝑑
0
1
1
1
2
4
7
11
20
51
115
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750
1297
2035
2923 7
4776
𝑑𝑖
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93313
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90212
87173
81825
1914
55158
𝑙𝑥
tabla
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57794
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473935
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464328
457352
446381
427514
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𝐿𝑥𝑖
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7604587
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5307744
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3409999
2941084
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2019403
1573023
1145509
753155
424045
𝑇𝑥𝑖
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78.88
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36.22
31.48
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17.89
13.79
10.20
7.34
𝑒𝑥𝑖
76.43
78.27
74.73
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64.85
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50.13
45.26
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𝑒𝑥
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0.61
0.61
0.61
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0.61
0.62
0.62
0.61
0.60
0.59
0.55
0.51
0.45
0.38
0.28
0.17
Ganancias
Cuadro 7.5: México: Tabla de decremento, diabetes mellitus, mujeres, 2000
0
1-4
5-9
10-14
15-19
20-24
25-29
30-34
35-39
40-44
45-49
50-54
55-59
60-64
65-69
70-74
75-79
80-+
136
137
𝐷𝑖
41
233
237
255
246
266
406
679
1055
1548
2038
2401
2539
2928
3213
3206
2770
4490
Edad
0
1-4
5-9
10-14
15-19
20-24
25-29
30-34
35-39
40-44
45-49
50-54
55-59
60-64
65-69
70-74
75-79
80-+
16835
3249
1438
1472
2291
2616
2922
3284
4123
5129
6629
8526
10695
13801
16532
18579
19500
55632
𝐷
3596
567
91
74
109
164
204
259
333
519
773
1257
1844
3039
5348
9911
16756
55158
𝑑
9
41
15
13
12
17
28
54
85
157
238
354
438
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4451
𝑑𝑖
100000
96404
95837
95747
95673
95564
95401
95197
94938
94606
94087
93313
92056
90212
87173
81825
71914
55158
𝑙𝑥
tabla
0.035874
0.005460
0.000793
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95576
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94690
94243
93551
92408
90646
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82838
73538
57296
𝑙𝑥 𝑖
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383938
479097
478617
478154
477481
476605
475542
474204
472334
469486
464898
457636
446139
426619
390940
327085
418608
𝐿𝑥𝑖
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7597382
7213444
6734347
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5777576
5300095
4823490
4347948
3873745
3401411
2931925
2467027
2009391
1563252
1136633
745693
418608
𝑇𝑥𝑖
Cuadro 7.6: México: Tabla de decremento, tumores, mujeres, 2000
0.0024
0.0718
0.1651
0.1735
0.1075
0.1018
0.1388
0.2068
0.2558
0.3019
0.3074
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0.2374
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0.1943
0.1725
0.1421
0.0807
𝐷𝑖
𝐷
76.95
78.80
75.24
70.32
65.38
60.45
55.55
50.65
45.77
40.91
36.09
31.34
26.70
22.17
17.80
13.72
10.14
7.31
𝑒𝑥𝑖
76.43
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50.13
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7.17
𝑒𝑥
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0.51
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0.53
0.53
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0.42
0.40
0.36
0.31
0.22
0.14
Ganancias
Edad
139
292
280
314
372
452
668
1043
1674
2541
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5169
6534
8639
10296
10862
10684
24809
𝐷𝑖
16835
3249
1438
1472
2291
2616
2922
3284
4123
5129
6629
8526
10695
13801
16532
18579
19500
55632
𝐷
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0.6109
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0.6228
0.5847
0.5479
0.4460
𝐷𝑖
𝐷
3596
567
91
74
109
164
204
259
333
519
773
1257
1844
3039
5348
9911
16756
55158
𝑑
30
51
18
16
18
28
47
82
135
257
438
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1127
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3331
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9180
24598
𝑑𝑖
100000
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95197
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94087
93313
92056
90212
87173
81825
71914
55158
𝑙𝑥
tabla
0.035668
0.005355
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92816
91334
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85116
77558
63822
𝑙𝑥 𝑖
97622
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478631
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477525
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475659
474400
472709
470237
466418
460375
450994
435449
406685
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492313
𝐿𝑥𝑖
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5435369
4958689
4483030
4008629
3535920
3065683
2599265
2138889
1687896
1252447
845762
492313
𝑇𝑥𝑖
78.30
80.19
76.64
71.74
66.79
61.86
56.96
52.06
47.18
42.31
37.48
32.70
28.00
23.42
18.95
14.71
10.90
7.71
𝑒𝑥𝑖
76.43
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74.73
69.80
64.85
59.92
55.02
50.13
45.26
40.41
35.62
30.89
26.28
21.77
17.44
13.41
9.92
7.17
𝑒𝑥
1.87
1.92
1.91
1.94
1.94
1.94
1.94
1.93
1.92
1.90
1.86
1.81
1.72
1.65
1.51
1.30
0.98
0.54
Ganancias
Cuadro 7.7: México: Tabla de decremento múltiple, tres causas principales, mujeres, 2000
0
1-4
5-9
10-14
15-19
20-24
25-29
30-34
35-39
40-44
45-49
50-54
55-59
60-64
65-69
70-74
75-79
80-+
138
139
𝐷𝑖
97
54 3
33
38
78
119
158
228
367
490
729
1085
1502
2302
3073
3842
4513
15513
Edad
0
1-4
5-9
10-14
15-19
20-24
25-29
30-34
35-39
40-44
45-49
50-54
55-59
60-64
65-69
70-74
75-79
80-+
16835
249
1438
1472
2291
2616
2922
3284
4123
5129
6629
8526
10695
13801
16532
18579
19500
55632
𝐷
0.0058
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0.0955
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0.1273
0.1404
0.1668
0.1859
0.2068
0.2314
0.2789
𝐷𝑖
𝐷
3596
567
91
74
109
164
204
259
333
519
773
1257
1844
3039
5348
9911
16756
55158
𝑑
21
9
2
2
4
7
11
18
30
50
85
160
259
507
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3878
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𝑑𝑖
100000
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95564
95401
95197
94938
94606
94087
93313
92056
90212
87173
81825
71914
55158
𝑙𝑥
tabla
0.035756
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0.001638
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0.017243
0.028148
0.050233
0.097292
0.184039
0.837980
𝑛 𝑞 𝑥𝑖
0.964244
0.994216
0.999072
0.999247
0.998900
0.998362
0.997977
0.997468
0.996804
0.995037
0.992684
0.988233
0.982757
0.971852
0.949767
0.902708
0.815961
0.162020
𝑛 𝑃𝑥𝑖
100000
96424
95846
95748
95675
95568
95407
95208
94956
94635
94136
93399
92215
90469
87673
82794
73864
58679
𝑙𝑥 𝑖
97616
383848
478986
478558
478107
477438
476539
475410
473976
471928
468838
464034
456709
445353
426167
391645
331358
433781
𝐿𝑥𝑖
7710291
7612675
7228827
6749841
6271283
5793176
5315738
4839200
4363790
3889813
3417886
2949048
2485014
2028304
1582951
1156784
765139
433781
𝑇𝑥𝑖
77.10
78.95
75.42
70.50
65.55
60.62
55.72
50.83
45.96
41.10
36.31
31.57
26.95
22.42
18.06
13.97
10.36
7.39
𝑒𝑥𝑖
Cuadro 7.8: México: Tablas de decremento, enfermedades del corazón, mujeres, 2000
76.43
78.27
74.73
69.80
64.85
59.92
55.02
50.13
45.26
40.41
35.62
30.89
26.28
21.77
17.44
13.41
9.92
7.17
𝑒𝑥
0.67
0.68
0.69
0.70
0.70
0.70
0.70
0.70
0.70
0.69
0.69
0.68
0.67
0.65
0.62
0.56
0.44
0.22
Ganancias
Edad
21776
3463
1690
1918
4614
6794
7619
7747
8391
8166
8235
7873
8361
8607
9443
10137
10911
26749
𝐷𝑖
21921
3748
2037
2265
5136
7431
8429
8788
9906
10448
11522
12648
14926
17200
19624
20987
21639
45645
𝐷
0.9934
0.9239
0.8295
0.8468
0.8984
0.9142
0.9038
0.8815
0.8471
0.7816
0.7147
0.6224
0.5602
0.5004
0.4812
0.4830
0.5042
0.5860
𝐷𝑖
𝐷
4062
59
130
135
190
254
289
412
517
822
376
2273
3569
5310
7893
12292
17961
41964
𝑑
4035
1 546
108
114
171
232
261
363
438
642
269
1415
1999
2657
3798
5937
9056
24592
𝑑𝑖
100000
95938
95347
95216
95081
94891
94638
94349
93936
93420
92598
91262
88989
85420
80110
72217
59925
41964
𝑙𝑥
tabla
0.000274
0.000470
0.000233
0.000217
0.000203
0.000230
0.000294
0.000519
0.000843
0.001929
0.001160
0.009477
0.017840
0.031548
0.052357
0.091767
0.160741
0.585557
𝑛 𝑞 𝑥𝑖
0.999726
0.999530
0.999767
0.999783
0.999797
0.999770
0.999706
0.999481
0.999157
0.998071
0.998840
0.990523
0.982160
0.968452
0.947643
0.908233
0.839259
0.414443
𝑛 𝑃𝑥𝑖
100000
99973
95893
95325
95195
95062
94869
94610
94300
93857
93240
92491
90397
87401
82725
75916
65590
50293
𝑙𝑥 𝑖
99982
386835
478044
476300
475642
474827
473698
472276
470392
467741
464326
457219
444496
425317
396602
353764
289706
345424
𝐿𝑥𝑖
7452593
7352611
6965776
6487731
6011431
5535789
5060962
4587263
4114988
3644595
3176854
2712528
2255309
1810812
1385496
988894
635130
345424
𝑇𝑥𝑖
74.53
73.55
72.64
68.06
63.15
58.23
53.35
48.49
43.64
38.83
34.07
29.33
24.95
20.72
16.75
13.03
9.68
6.87
𝑒𝑥𝑖
72.49
74.55
71.00
66.10
61.19
56.30
51.45
46.60
41.79
37.01
32.32
27.75
23.40
19.27
15.38
11.79
8.70
6.35
𝑒𝑥
2.04
-1.00
1.64
1.96
1.96
1.93
1.90
1.89
1.85
1.82
1.75
1.58
1.55
1.45
1.37
1.24
0.98
0.52
Ganancias
Cuadro 7.9: México: Tabla de decrementos múltiples, resto de causas, hombres,2000
0
1-4
5-9
10-14
15-19
20-24
25-29
30-34
35-39
40-44
45-49
50-54
55-59
60-64
65-69
70-74
75-79
80-+
140
141
𝐷𝑖
16713
2960
1159
1159
1920
2166
2256
2242
2450
2588
2872
3355
4158
5156
6230
7711
8813
30824
Edad
0
1-4
5-9
10-14
15-19
20-24
25-29
30-34
35-39
40-44
45-49
50-54
55-59
60-64
65-69
70-74
75-79
80-+
16835
3249
1438
1472
2291
2616
2922
3284
4123
5129
6629
8526
10695
13801
16532
18579
19500
55632
𝐷
0.9927
0.9110
0.8060
0.7873
0.8383
0.8278
0.7720
0.6828
0.5942
0.5045
0.4333
0.3934
0.3887
0.3736
0.3768
0.4150
0.4519
0.5541
𝐷𝑖
𝐷
3596
567
91
74
109
164
204
259
333
519
773
1257
1844
3039
5348
9911
16756
55158
𝑑
3570
517
73
58
91
136
157
177
198
262
335
495
717
1135
2015
4114
7572
30562
𝑑𝑖
100000
96404
95837
95747
95673
95564
95401
95197
94938
94606
94087
93313
92056
90212
87173
81825
71914
55158
𝑙𝑥
tabla
0.000266
0.000525
0.000184
0.000164
0.000184
0.000296
0.000488
0.000864
0.001425
0.002722
0.004664
0.008193
0.012292
0.021234
0.038678
0.072679
0.134801
0.616804
𝑛 𝑞 𝑥𝑖
0.999734
0.999475
0.999816
0.999836
0.999816
0.999704
0.999512
0.999136
0.998575
0.997278
0.995336
0.991807
0.987708
0.978766
0.961322
0.927321
0.865199
0.383196
𝑛 𝑃𝑥𝑖
100000
99973
96353
95819
9573
95655
95536
95354
95115
94803
94348
93648
92549
90924
88296
83801
75878
62220
𝑙𝑥 𝑖
99982
388310
480432
478876
478467
477978
477225
476173
474794
472878
469992
465492
458682
448052
430244
399198
345245
473726
𝐿𝑥𝑖
7795747
7695764
7307455
6827023
6348146
5869680
5391702
4914477
4438304
3963510
3490632
3020640
2555149
2096466
1648414
1218170
818971
473726
𝑇𝑥𝑖
77.96
76.98
75.84
71.25
66.31
61.36
56.44
51.54
46.66
41.81
37.00
32.26
27.61
23.06
18.67
14.54
10.79
7.61
𝑒𝑥𝑖
Cuadro 7.10: México: Tabla de decremento múltiple, resto de causas, mujeres, 2000
76.43
78.27
74.73
69.80
64.85
59.92
55.02
50.13
45.26
40.41
35.62
30.89
26.28
21.77
17.44
13.41
9.92
7.17
𝑒𝑥
1.53
-1.29
1.11
1.45
1.46
1.44
1.42
1.41
1.40
1.40
1.38
1.37
1.33
1.29
1.23
1.13
0.87
0.44
Ganancias
Cuadro 7.11: Tasas de Mortalidad Infantil y en la niñez, 1967 − 1997 (por mil nacidos vivos)
Periodo
67 − 71
72 − 76
77 − 81
82 − 87
88 − 92
93 − 97
M. Infantil (1)
M. Neonatal (2)
M.
Posneonatal
(3)
Mortalidad
1 − 4 años
Mortalidad
< 5 años
Ambos
sexos
Mujeres
Hombres
Ambos
sexos
Ambos
sexos
Ambos
sexos
Ambos
sexos
84,7
70,2
66,6
46,9
36.4
27.1
81,9
59,8
62,5
43,2
33.5
25.0
87,5
80,0
70,5
50,4
39.1
29.2
43,9
39,0
33,4
26,0
25.9
19.3
40,8
31,2
33,2
20,8
16.2
12.0
33,4
22,8
16,7
14,5
11.3
8.4
115,3
91,4
82,7
60,7
47.1
35.1
Fuentes: Secretarı́a de Salud, Dirección General de Planificación Familiar, SSA
Institute for Resource Development-Macro Systems, Inc.,Columbia, Maryland, USA/DHS,
México, Encuesta Nacional sobre Fecundidad y Salud, 1987, México, julio de 1989
Cuadro 7.12: México: Evolución de la mortalidad, 1950 − 2000
Edad
1950 − 1955
Tasa
1970 − 1975
%
Tasa
1985 − 1990
%
1995 − 2000
Tasa
%
Tasa
%
10,1
0,6
2,5
37,8
5,0
27,0
4,3
22,1
46,6
100,0
8,5
0,5
2,1
31,8
4,2
26,5
4,0
22,5
47,0
100,0
12,5
1,1
5,2
45,1
6,7
25,8
6,2
33,5
34,5
100,0
10,1
0,9
4,2
36,3
5,4
24,7
5,8
34,3
35,2
100,0
MUJERES
0−4
5 − 19
20 − 59
60 y más
Todas
46,8
3,2
7,4
52,2
15,3
53,7
7,6
19,9
18,8
100,0
20,7
1,3
4,1
43,3
8,2
45,6
5,9
19,0
29,4
100,0
HOMBRES
0−4
5 − 19
20 − 59
60 y más
Todas
49,3
3,5
9,8
57,1
16,9
52,9
7,8
23,2
16,2
100,0
23,9
1,6
6,2
48,2
9,7
45,9
6,5
23,9
23,7
100,0
Fuentes: CELADE, Boletı́n Demográfico, Año 21, No 42, Santiago de Chile, 1988. y cálculos propios.
142
Cuadro 7.13: México: Principales causas de muerte, 2000 (tasas por cien mil)
Causas
Hombres
Todas las causas
Causas mal definidas
Total causas definidas
Enfermedades del corazón
Accidentes
Tumores malignos
Infección intestinal por organismos especı́f., y la mal
definida
Diabetes Mellitus
Influenza y neumonı́a
Homicidio, interv. legal y operaciones de guerra
Todas las demás causas
Fuente: cálculos propios
143
Mujeres
Tasa
%
Tasa
%
Total ( %)
482.5
15.1
467.5
54.1
76.0
35.5
29.1
100
3.1
100
11.6
16.3
7.6
6.2
378
15.2
362.8
56.09
21.33
42.67
27.73
100,0
4,0
100,0
15,5
5,9
11,8
7,6
43,1
39,8
43,2
50,4
21,6
54,2
48,4
21.4
24.4
31.1
196.0
4.6
5.2
6.6
41.9
28.98
21.87
3.022
161.2
8,0
6,0
0,8
44,4
57,1
46,8
8,7
44,7
144
Anexo 1
Para un año dada 𝑡, las defunciones edades 𝑥 y 𝑥 + 𝑙 exacta, es decir, 𝑥 años cumplidos, están
constituidos por dos generaciones, la nacida en el año (𝑡 − 𝑥) y (𝑡 − (𝑥 − 1)), representándolo en un
diagrama de Lexis.
Si aplicamos la hipótesis de distribución lineal o uniforme de las defunciones, entonces la mitad de
ellas pertenece a una generación y la otra mitad a la otra; aunque también, bajo la misma hipótesis
se puede decir que la mitad de las defunciones ocurrieron en la primera mitad de! año y la otra
mitad en la segunda mitad de él, representándolo en un diagrama de Lexis.
145
De esta manera los años persona se pueden asociar a la poblaci6n viva a edad cumplida x (es decir
entre las edades exactas 𝑋 y 𝑋 + 1) al 30 de Junio del año 𝑡.
Si tuviéramos no una edad individual sino un grupo quinquenal de edades, la analogı́a vı́a
diagramas de Lexis seria:
Sin embargo para poner los años-persona o a la población al 30 de Junio del año 𝑡 en función de
los parámetros 𝑁𝑥 y 𝑁𝑥+5 (población viva a edad 𝑥 y 𝑥 + 5 exactas, respectivamente) es necesario
suponer estabilidad en el fenómeno mortalidad en el grupo de edad considerado, lo que quiere decir
que en los años anteriores y posteriores se tendrán los mismos efectos tanto de personas vivas como
muertos; ilustrando lo anterior en un diagrama de Lexis tendremos:
146
147
148
Anexo 2
La duración o calendario a edad 𝑥, para el caso de mortalidad se define como:
∑ 𝑥5
𝑡𝑥 =
𝑖= 𝑥5
5𝑖 + 2,5𝑑5𝑖 ,5𝑖 +5
∑ 𝑥5
𝑖= 𝑥5
(7.9)
𝑑5𝑖 ,5𝑖 +5
y representa la edad media en que una persona de edad x muere. Se supone que la distribución
de las muertes es uniforme2 . Desarrollando el valor de 𝑡𝑥 se tiene:
𝑡𝑥 =
⇒ 𝑡𝑥 =
⇒ 𝑡𝑥 =
⇒ 𝑡𝑥 =
⇒ 𝑡𝑥 =
⇒ 𝑡𝑥 =
⇒ 𝑡𝑥 =
(𝑥 + 2,5)𝑑𝑥,𝑥+5 + (𝑥 + 7,5)𝑑𝑥+5,𝑥+10 + (𝑥 + 12,5)𝑑𝑥+10,𝑥+15 + (𝑥 + 17,5)𝑑𝑥+15,𝑥+20 + . . .
(7.10)
𝑙𝑥
𝑥(𝑑𝑥,𝑥+5 + 𝑑𝑥+5,𝑥+10 + 𝑑𝑥+10,𝑥+15 + . . .) + 2,5𝑑𝑥,𝑥+5 + 7,5𝑑𝑥+5,𝑥+10 + . . .
(7.11)
𝑙𝑥
𝑥𝑙𝑥 + 2,5(𝑙𝑥 − 𝑙𝑥+5 ) + 7,5(𝑙𝑥+5 − 𝑙𝑥+10 ) + . . .
(7.12)
𝑙𝑥
𝑙𝑥 + 2,5𝑙𝑥 + 5𝑙𝑥+5 + 5𝑙𝑥+10 + 5𝑙𝑥+15 + . . .
𝑥+
(7.13)
𝑙𝑥
5
(𝑙𝑥 + 𝑙𝑥+5 ) + 52 (𝑙𝑥+5 + 𝑙𝑥+10 ) + 52 (𝑙𝑥+10 + 𝑙𝑥+15 ) + . . .
𝑥+ 2
(7.14)
𝑙𝑥
5 𝐿𝑥 +5 𝐿𝑥+5 +5 𝐿𝑥+10 + . . .
(7.15)
𝑥+
𝑙𝑥
𝑇𝑥
𝑥+
= 𝑥 + 𝑒𝑜𝑥
(7.16)
𝑙𝑥
(7.17)
Por lo tanto la edad media a la muerte, de personas de edad exacta x, es igual a la esperanza
de vida a edad exacta x más dicha edad.
2
Esto se hace con fines didácticos, para el primer grupo, hay que emplear los factores de separación.
149
150
Anexo 3
Una de las más importantes aplicaciones de la tabla de mortalidad es la estimación de la
migración interna por grupos quinquenales de edad; existente entre dos censos nacionales sucesivos.
Supongamos que tenemos las estructuras por grupos quinquenales de edad, al 30 de Junio del
año de los dos censos sucesivos. Dicha población ya ha sido evaluada y corregida, empleando la
metodologı́a que aquı́ se ha presentado.
La notación de ambas estructuras es:
30,06.𝑡
Población censal en el año 𝑡, evaluada, corregida y proyectada al 30 de Junio de dicho
𝑃𝑥,𝑥+4
año censal, con edades cumplidas entre 𝑥 y 𝑥 + 4 años.
30,06.𝑡+10
Población censal en el año 𝑡 + 10, evaluada, corregida y proyectada al 30 de Junio
𝑃𝑥,𝑥+4
de dicho año censal, con edades cumplidas entre 𝑥 y 𝑥 + 4 años.
Supóngase que se tienen construidas las tablas de mortalidad para los dos años censales (𝑡 y
𝑡 + 10). De esas tablas tomamos la serie de los años-persona vividos, los que denotamos.
𝑡
5 𝐿𝑥
Años-persona vividos de la población de la tabla de mortalidad elaborada para el año
censal 𝑡, de personas en edades cumplidas 𝑥 y 𝑥 + 4 o exactas 𝑥, 𝑥 + 5 años.
𝑡+10
5 𝐿𝑥
Años-persona vividos de la población de la tabla de mortalidad elaborada para el año
censal 𝑡 + 10, de personas en edades cumplidas 𝑥 y 𝑥 + 4 o exactas 𝑥, 𝑥 + 5 años.
𝑡+10
5𝐿
30,06.𝑡
sobrevivan al año 𝑡 + 10 es 5𝑥+10
Nótese que la probabilidad de que las personas 𝑃𝑥,𝑥+4
ya
𝐿𝑡𝑥
que en el numerador de esta probabilidad están la personas de la tabla de mortalidad que en el
año censal 𝑡 + 10 tenı́an entre 𝑥 + 10 y 𝑥 + 14 años cumplidos, y en el denominador las personas
que en el año censal 𝑡, en la tabla de mortalidad tenı́an entre 𝑥 y 𝑥 + 14 años cumplidos. Ası́, una
𝑡+10
estimación de la población 𝑃ˆ𝑥+10,𝑥+14
será:
30,06.𝑡
𝑃𝑥,𝑥+4
𝑡+10
5 𝐿𝑥+10
𝑡
5 𝐿𝑥
(7.18)
lo que representa a la población que de no haber movimientos migratorios se tendrı́a en el año
𝑡 + 10, con edades cumplidas 𝑥 + 10, 𝑥 + 14 años.
Otro supuesto es el que las tablas de mortalidad reflejen sustancialmente el impacto de la
mortalidad de los nativos como de los no nativos de la población analizada, es decir, que no haya
diferencial en el impacto de la mortalidad en ambas poblaciones. Además que las probabilidades
obtenidas de tabla realmente reflejan los niveles que en esos diez años han prevalecidos en la
población estudiada.
Ilustrando lo anterior en un diagrama de Lexis, se tiene:
151
30,06.𝑡
en los siguientes diez años, también
Debido a que además de estar expuestos a morir los 𝑃𝑥,𝑥+4
están expuestos a salir de su entidad (emigrar) o a que se incorporen personas de esas edades a la
entidad (inmigrantes).
Denotemos a los emigrantes e inmigrantes de la siguiente manera:
𝑡,𝑡+10
Emigrantes entre las edades cumplidas 𝑥 y 𝑥 + 14 en los dos años cumplidos y que
𝐸𝑥,𝑥+4
30,06.𝑡+10
modifican el efectivo 𝑃𝑥+10,𝑥+14
𝑡,𝑡+10
Inmigrantes que se incorporaron entre las edades cumplidas 𝑥 y 𝑥 + 14 en los diez
𝐼𝑥,𝑥+14
30,06.𝑡+10
años cumplidos entre los dos años censales y que modifican el efectivo 𝑃𝑥+10,𝑥+14
Por lo tanto, se tiene que:
30,06.𝑡+10
30,06.𝑡
𝑃𝑥+10,𝑥+14
= 𝑃𝑥,𝑥+4
𝑡+10
5 𝐿𝑥+10
𝑡
5 𝐿𝑥
𝑡,𝑡+10
𝑡,𝑡+10
− 𝐸𝑥,𝑥+14
+ 𝐼𝑥,𝑥+14
(7.19)
𝑡,𝑡+10
𝑡,𝑡+10
Se define a la diferencia 𝐸𝑥,𝑥+14
+𝐼𝑥,𝑥+14
como el saldo neto migratorio entre personas de edades
cumplidas 𝑥 y 𝑥 + 14 años (𝑀𝑥,𝑥+𝑙4 ).
30,06.𝑡+10
Sustituyendo los valores de 𝑃ˆ𝑥+10,𝑥+14
y 𝑀𝑥,𝑥+𝑙4 se obtiene:
30,06.𝑡+10
30,06.𝑡+10
𝑃𝑥+10,𝑥+14
= 𝑃ˆ𝑥+10,𝑥+14
+ 𝑀𝑥,𝑥+14
(7.20)
lo que nos da una adecuada estimación de la migración interna (saldos netos migratorios) entre
la población comprendidas en las edades cumplidas 𝑥 y 𝑥 + 14 años en los diez años (entre el 30 de
Junio del año 𝑡 y el 30 de Junio del año 𝑡 + 10).
152
30,06.𝑡
30,06.𝑡+10
Nótese que si ahora estimáremos a la población 𝑃𝑥+10,𝑥+4
a partir de la población 𝑃𝑥+10,𝑥+14
se tendrı́a:
30,06.𝑡
30,06.𝑡+10
𝑃𝑥,𝑥+4
= 𝑃𝑥+10,𝑥+14
𝑡
5 𝐿𝑥
𝑡+10
5 𝐿𝑥+10
𝑡,𝑡+10
𝑡,𝑡+10
+ 𝐸𝑥,𝑥+4
− 𝐼𝑥,𝑥+4
(7.21)
′
Para diferenciar el 𝑀𝑥,𝑥+14 con el que aquı́ se obtiene, aquı́ lo denotaremos con 𝑀𝑥,𝑥+14
. El
primero se le nombra como prospectivo y el segundo como retrospectivo.
Por tanto:
30,06.𝑡
30,06.𝑡
′
𝑃𝑥,𝑥+4
= 𝑃ˆ𝑥,𝑥+4
+ 𝑀𝑥,𝑥+14
(7.22)
𝑡
5 𝐿𝑥
𝑡+10
5 𝐿𝑥+10
(7.23)
𝑡,𝑡+10
𝑡,𝑡+10
′
− 𝐸𝑥,𝑥+14
𝑀𝑥,𝑥+14
= 𝐼𝑥,𝑥+14
(7.24)
donde:
30,06.𝑡+10
30,06.𝑡
= 𝑃𝑥+10,𝑥+14
𝑃ˆ𝑥,𝑥+4
y
′
Y despejando 𝑀𝑥,𝑥+𝑙4
se obtiene, el saldo neto migratorio retrospectivo:
30,06.𝑡
30,06.𝑡
′
= 𝑃ˆ𝑥,𝑥+4
− 𝑃𝑥,𝑥+4
𝑀𝑥,𝑥+14
(7.25)
′
, es decir, la forma de
De cumplirse todas las hipótesis antes señaladas, 𝑀𝑥,𝑥+14 = 𝑀𝑥,𝑥+14
cálculo, prospectivo y retrospectivo, del saldo neto migratorio por grupos de edades cumplidas
arrojan los mismos resultados.
′
En la Práctica difieren 𝑀𝑥,𝑥+14 y 𝑀𝑥,𝑥+14
, aunque en general de manera mı́nima, por lo que se
toma como saldo neto migratorio el promedio aritmético de ellos, es decir:
𝑀 ∗𝑥,𝑥+14 =
′
𝑀𝑥,𝑥+14 + 𝑀𝑥,𝑥+14
2
153
(7.26)
154
Anexo 4
De tenerse un correcto registro de los nacimientos, se podrı́an calcular, empleando la tabla de
mortalidad, los saldos netos migratorios para los grupos individuales de edad cero a cuatro años
cumplidos y naturalmente para el grupo quinquenal de edad cero a cuatro años cumplidos, a partir
del nacimiento.
Siguiendo con la notación empleada en la aplicación del anexo 3, se tiene:
𝑃𝑥𝑡 = 𝑁 𝑅𝑡−𝑥
𝑡
1 𝐿𝑥
𝑙0
𝑜
+ 𝑀0,𝑥
para 𝑥 = 0, 1, 2, 3, 4
(7.27)
𝑃𝑥𝑡 Es la población censada evaluada y corregida en el año 𝑡 al final del año.
𝑁 𝑅𝑡−𝑥 Son los nacimientos registrados en el año 𝑡 − 𝑥 (año censal menos la edad 𝑥 cumplida).
𝑡
1 𝐿𝑥
Años-persona a edad cumplida 𝑥, o entre las edades exactas 𝑥 y 𝑥 + 𝑙, tomadas de la
tabla de mortalidad calculada para el año censal 𝑡.
𝑙𝑥𝑡 Los supervivientes a edad exacta 𝑥, tomados de la tabla de mortalidad construida para el
año censal 𝑡.
𝑜 Es el saldo neto migratorio prospectivo de personas entre su nacimiento y la edad
𝑀0,𝑥
cumplida 𝑥.
Entonces la relación de los valores antes definidos es:
𝑃𝑥𝑡 = 𝑁 𝑅𝑡−𝑥
𝑡
1 𝐿𝑥
𝑙0
𝑜
+ 𝑀0,𝑥
𝑜
⇒ 𝑀0,𝑥
= 𝑃𝑥𝑡 − 𝑁 𝑅𝑡−𝑥
𝑡
1 𝐿𝑥
𝑡
𝑙0
(7.28)
(7.29)
de donde
𝑁 𝑅𝑡−𝑥
𝑡
1 𝐿𝑥
𝑙0𝑡
= 𝑃ˆ𝑥𝑡
(7.30)
Con el fin de ilustrar la aplicación, se presenta a continuación el diagrama de Lexis en donde se
señalan los valores, tanto teóricos como observados, involucrados en esta aplicación.
155
Nótese que para el grupo quinquenal 0 − 4 años cumplidos:
4
∑
𝑡
𝑃0,4
=
𝑡
∑
𝑖=𝑡−4
y ya que
4
∑
𝑡
1 𝐿𝑥
𝑡
1 𝐿𝑥
𝑁 𝑅𝑖 𝑥=0
5𝑙0
+ 𝑚0,4
(7.31)
=5 𝐿0 , entonces
𝑥=0
𝑡
𝑚0,4 = 𝑃0,4
−
𝑡
∑
𝑁 𝑅𝑖
𝑖=𝑡−4
156
𝑡
5 𝐿0
5𝑙0
𝑡
𝑡
= 𝑃0,4
− 𝑃ˆ0,4
(7.32)
Anexo 5
A manera de ejemplo numérico de tabla abreviada de mortalidad se presenta la siguiente tabla:
Edad
𝑄(𝑥)
𝐷(𝑥)
𝑀 (𝑥)
𝐼(𝑥)
𝐿(𝑥)
𝑆(𝑥)
𝑇 (𝑥)
𝐸(𝑥)
0
1
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
0.03769
0.00475
0.00120
0.00090
0. 00190
0.00250
0.00379
0.00449
0.00772
0.01129
0.01848
0.03290
0.04444
0.06604
0.11254
0.17055
0.25443
1.00000
3769.
457.
115.
86.
181.
236.
361.
426.
729.
1057.
1711.
2990.
3905.
5546.
8826.
11871.
14689.
43043.
.03892
.00119
.00024
.00018
.00038
.00050
.00076
.00090
.00155
.00227
.00373
.00669
.00909
.01366
.02385
.03729
.05830
.15588
100000.
96231.
95774.
95659.
95573.
95392.
95154.
94793.
94367.
93639.
92582.
90871.
87881.
83976.
78430.
69603.
57732.
43043.
96845. .
383764.
478583.
478081.
477412.
476363.
474866.
472899.
470014.
465551.
458632.
446881.
429644.
406014.
370083.
318340.
251940.
276133.
96122
.99578
.99895
.99860
.99780
.99686
.99586
.99390
.99050
.98514
.97438
.96143
.94500
.91150
.86018
.79142
-52291
.00000
7232046.
7135201.
6751437.
6272853.
5794772.
5317360.
4840996.
4366131.
3893231.
3423217.
2957666.
2499034.
2052153.
1622510.
1216495.
846412.
528073.
276133.
72.32
74.15
70.49
65.57
60.63
55.74
50.88
46.06
41.26
36.56
31.95
27.50
23.35
19.32
15.61
12.16
9.15
6.42
157
158
Anexo 6
Otra aplicación de la tabla de mortalidad, es aquella donde se emplea para estimar la tasa neta
de reproducción
Antes definimos a las tasas especı́ficas de fecundidad, las que son especificas por grupos quinquenales de edad, comúnmente tomados a partir del grupo de edad 15 − 19 años cumplidos hasta
el 45 − 49 años cumplidos.
Denotemos con 5 𝑓𝑥 a la tasa especı́fica de fecundidad de mujeres entre los 𝑥 y 𝑥 + 4 años
cumplidos, entonces:
5 𝑓𝑥
=
𝑅𝑡
𝑁𝑥,𝑥+4
𝑓 ,30,06.𝑡
𝑃𝑥,𝑥+4
(7.33)
donde
𝑅𝑡
𝑁𝑥,𝑥+4
Representan los nacimientos registrados en el año 𝑡, de mujeres entre las edades 𝑥 y
𝑥 + 4 años cumplidos.𝑓 ,30,06.𝑡
Representa la población femenina al 30 de Junio del año 𝑡, con edades declaradas
𝑃𝑥,𝑥+4
entre los 𝑥 y 𝑥 + 4 años cumplidos.
Ası́, las tasas especı́ficas que se estiman para calcular la tasa bruta de fecundidad (𝑅) son 5 𝑓15 ,5 𝑓20 , . . . ,5 𝑓45
De suponer que la fecundidad captada en el año es representativo para cada una de las edades
que forman cada grupo quinquenal de edad y que la variación en las tasas en el tiempo es mı́nima,
o en otras palabras, suponemos la estabilidad del fenómeno fecundidad, entonces:
55 𝑓𝑥 representa el promedio de hijos que una mujer, de sobrevivir, tendrı́a entre las edades 𝑥 y
𝑥 + 4 años cumplidos.
Por lo tanto, el promedio de hijos que tendrı́a una mujer sin 1 efecto de la variable demográfica
mortalidad, al término de su dad reproductiva (49 años cumplidos) serı́an:
5
9
∑
5 𝑓𝑥𝑖
(7.34)
𝑖=1
Ahora, si suponemos que 48.78 % de los nacimientos son de sexo femenino y 51.22 % masculino
(hecho que en las poblaciones humanas se ha dado históricamente), entonces la tasa bruta de
reproducción, que se define como el número promedio de niñas que una mujer tiene a1 final de su
etapa reproductiva, en ausencia del fenómeno demográfico mortalidad, seria:
𝑅 = (0,4878)5
9
∑
𝑖=1
159
5 𝑓𝑥𝑖
(7.35)
Dado que el supuesto de ausencia de la mortalidad es irreal, se debe afectar R por él, definiéndose
ası́ la tasa neta de reproducción que será igual al promedio de nacimientos femeninos de mujeres
entre los 15 y 49 anos cumplidos, en presencia, o tomando en consideración la probabilidad de
muerte de las madres.
La probabilidad de que una mujer sobreviva del nacimiento a los 𝑥, 𝑥 + 4 años cumplidos es:
𝑓
5 𝐿𝑥
(7.36)
5𝑙0
donde:
𝑓
5 𝐿𝑥
representa a los años persona vividos por mujeres entre los 𝑥 y 𝑥 + 4 años cumplidos,
tomados de la tabla de mortalidad femenina, previamente calculada.
𝑙0 el radix de la tabla de mortalidad femenina previamente calculada.
Denotando a la tasa neta de reproducción con , se define algebraicamente cómo:
9
𝑅0 =
5 ∗ 0,4878 ∑
5 𝐿5𝑖 5 𝑓5𝑖
5𝑙0
(7.37)
𝑖=3
o
9
𝑅0 =
0,4878 ∑
5 𝐿5𝑖 5 𝑓5𝑖
𝑙0
(7.38)
𝑖=3
Un resultado que con mayor frecuencia se emplea en el cálculo de 𝑅0 es el siguiente:
𝑅0 =
𝑚
ˆ
𝑆 𝑅0
(7.39)
donde:
𝑚
ˆ
𝑆 𝑅0
representa la probabilidad femenina de sobrevivir del nacimiento a la edad media a la
fecundidad (𝑚).
ˆ
La edad media a la fecundidad es una duración o calendario; este se define como:
𝛽
−5𝑖
5
∑
𝑡ˆ =
(5𝑖 + 2,5)𝑒5𝑖,5𝑖+5
𝑖= 𝛼
5
(7.40)
𝛽
−5
5
∑
𝑒(5𝑖, 5𝑖 + 5)
𝑖= 𝛼
5
donde:
𝑒5𝑖,5𝑖+5 representan las eventos ocurridos entre las edades exactas 5𝑖 y 5𝑖 + 5.
𝛼 representa la edad inicial de exposición al riesgo del fenómeno demográfico en estudio.
160
𝛽 representa la edad final de exposición al riesgo del fenómeno demográfico en estudio.
Nótese que la anterior definición de duración o calendario es para el caso discreto y para agrupaciones quinquenales de edad. Para el caso de edades individuales la duración o calendario se
calcuları́a empleando la siguiente expresión:
𝛽−1
∑
𝑡ˆ =
(𝑖 + 0,5)𝑒𝑖
𝑖=𝛼
𝛽
∑
(7.41)
𝑒𝑖
𝑖=𝛼
El que se tomó (5𝑖 + 2,5), para grupos quinquenales 𝑒𝑖+0,5 para edades individuales, como
edades representativas de la edad que en promedio ocurrieron los eventos demográficos 𝑒5𝑖,5𝑖+5 y
respectivamente) se debe al supuesto de distribución uniforme o lineal de dichos eventos.
En algunas ocasiones, como es el caso de la fecundidad, en lugar de tomar los eventos 𝑒5𝑖,5𝑖+5
se timan las frecuencias o tasas especı́ficas del fenómeno demográfico en estudio. Ası́, la duración o
calendario para el fenómeno fecundidad, comúnmente llamada edad midió a la fecundidad, denotada
por 𝑚
ˆ , se estima empleando la siguiente expresión, basada en la definición general de duración o
calendario:
9
∑
𝑚
ˆ =
(5𝑖 + 2,5)5 𝑓5𝑖
𝑖=1
9
∑
(7.42)
5 𝑓5𝑖
𝑖=1
De tener una función continua que describiera por edad continua de la mujer su tasa de fecundidad, la edad media a la fecundidad será estimada de la siguiente manera:
∫𝛽
𝑚
ˆ =
𝑖 𝑓 (𝑖) 𝑑𝑖
∫𝛼𝛽
(7.43)
𝛼 𝑓 (𝑖) 𝑑𝑖
donde:
𝑓 (𝑖) serı́a la función de fecundidad con 𝛼 = 15 y 𝛽 = 50.
Ahora si suponemos que la función que describe a la probabilidad de que una mujer sobreviva
del nacimiento a edad 𝑥 exacto, es lineal, es decir una recta, y la denotamos por 𝑠(0, 𝑥), entonces
la recta que la describe que pasa por los puntos (𝑖, 𝑠(0, 𝑖)) y (𝑖 + 1, 𝑠(0, 𝑖 + 1)) es:
𝑠(0, 𝑥) =
𝑠(0, 𝑖 + 1) − 𝑠(0, 𝑖)
(𝑥 − 𝑖) + 𝑠(0, 𝑖)
𝑖
(7.44)
sea
𝑘 = 𝑓 𝑟𝑎𝑐𝑠(0, 𝑖 + 1) − 𝑠(0, 𝑖)𝑖
161
(7.45)
por lo tanto:
𝑠(0, 𝑥) = 𝑘(𝑥 − 𝑖) + 𝑠(0, 𝑖)
(7.46)
Multiplicando ambos miembros por 0,4878𝑓 (𝑥), obtenemos:
0,4878𝑓 (𝑥)𝑠(0, 𝑥) = 0,4878𝑓 (𝑥)𝑘(𝑥 − 𝑖) + 0,4878𝑓 (𝑥)𝑠(0, 𝑖)
(7.47)
Integrando ambos miembros de la ecuación desde 𝑥 = 15 hasta 𝑥 = 50, tenemos:
∫
0,4878
∫
5
5 0𝑓 (𝑥)𝑘(𝑥 − 𝑖) 𝑑𝑥 + 0,4878
5 0𝑓 (𝑥)𝑠(0, 𝑥) 𝑑𝑥 = 0,4878
1
∫
5
1
55 0𝑓 (𝑥)𝑠(0, 𝑖) 𝑑𝑥(7.48)
1
Obsérvese que en caso continuo:
∫
55 0𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥
(7.49)
55 0𝑓 (𝑥)𝑠(0, 𝑥) 𝑑𝑥
(7.50)
55 0𝑓 (𝑥)𝑘(𝑥 − 𝑖) 𝑑𝑥 + 𝑠(0, 𝑖)𝑅
(7.51)
𝑅 = 0,4878
1
y
∫
𝑅0 = 0,4878
1
Por lo tanto la última ecuación se reduce a:
∫
𝑅0 = 0,4878
1
Nos preguntamos si existe un valor de la variable edad 𝑖 tal que:
∫
0,4878
55 0𝑓 (𝑥)𝑘(𝑥 − 𝑖) 𝑑𝑥 = 0
(7.52)
1
resolviendo esta última ecuación para 𝑖 tenemos:
∫
0,4878 55 0𝑓 (𝑥)𝑘(𝑥 − 𝑖) 𝑑𝑥 = 0
∫1
⇔
55 0𝑓 (𝑥)𝑘(𝑥 − 𝑖) 𝑑𝑥 = 0
1
∫
⇔ 𝑘 55 0𝑓 (𝑥)(𝑥 − 𝑖) 𝑑𝑥 = 0
(7.53)
(7.54)
(7.55)
1
(7.56)
ya que 𝑘 = 𝑠(0, 𝑖 + 1) − 𝑠(0, 𝑖) no depende de 𝑥 y es para toda 𝑖 diferente del valor cero.
162
∫
55 0𝑓 (𝑥)(𝑥 − 𝑖) 𝑑𝑥 = 0
𝑘
(7.57)
1
∫
⇔
55 0(𝑥𝑓 (𝑥) − 𝑖𝑓 (𝑥)) 𝑑𝑥 = 0
1
∫
∫
55 0(𝑥𝑓 (𝑥)) 𝑑𝑥 = 𝑖 55 0𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥
⇔
1
∫ 15
5 0𝑥𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥
⇔ 𝑖 = ∫1 5
1 5 0𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥
(7.58)
(7.59)
(7.60)
la que es por definición la edad media a la fecundidad. Por lo tanto para 𝑖 = 𝑚
ˆ
∫
55 0𝑓 (𝑥)𝑘(𝑥 − 𝑖) 𝑑𝑥 = 0
0,4878
(7.61)
1
(7.62)
y
𝑅0 = 𝑠(0, 𝑚)𝑅
ˆ
(7.63)
resultado general que se utiliza tanto en el caso discreto como continuo.
La utilidad de esta última forma de estimar la tasa neta de re producción radica en el hecho
de solo estimar una probabilidad de supervivencia a partir de la tabla de mortalidad femenina
previamente elaborada.
Por ejemplo si conocemos las tasas especı́ficas de fecundidad 5 𝑓5𝑖 y la edad 𝑚
ˆ entonces:
𝑅0 =
1 𝐿𝑚
ˆ
9
∑
𝑙0
𝑖=3
5 𝑓5𝑖
(7.64)
donde:
1
(𝑙𝑚
)
(7.65)
ˆ + 𝑙𝑚+1
ˆ
2
dado que 𝑙𝑚
estarán entre dos 𝑙𝑖 conocidas de la tabla de mortalidad femenina, interpolamos
ˆ y 𝑙𝑚+1
ˆ
linealmente en dichos valores para obtener 𝑙𝑚
empleando la siguiente expresión lineal, o
ˆ y 𝑙𝑚+1
ˆ
recta que pasa por los puntos (𝑖, 𝑙𝑖 ) y (𝑖 + 5, 𝑙𝑖+5 )
1 𝐿𝑚
ˆ
=
𝑙𝑥 =
𝑙𝑥+5 − 𝑙𝑖
(𝑥 − 𝑖) + 𝑙𝑖
5
(7.66)
𝑙𝑚
=
ˆ
𝑙𝑖+5 − 𝑙𝑖
(𝑚
ˆ − 𝑖) + 𝑙𝑖
5
(7.67)
por lo tanto:
y
𝑙𝑖+5 − 𝑙𝑖
(𝑚
ˆ + 1 − 𝑖) + 𝑙𝑖
(7.68)
5
donde: 𝑙𝑖 y 𝑙𝑖+5 son las mujeres supervivientes a edad exacta 𝑖 e 𝑖 + 5, estimadas en la tabla
abreviada de mortalidad femenina estimada previamente.
𝑙𝑚+1
=
ˆ
163
164
Anexo 7
Una aplicación fundamental en la carrera de aclararı́a, de la tabla de mortalidad, es sin duda
el cálculo de las primas de los seguros.
Como ejemplo tomemos el cálculo de la prima de un seguro ordinario:
𝐴𝑥
𝑎
¨
𝑃𝑥 =
(7.69)
donde
𝐴𝑥 = 𝑀𝑥 =
𝑤−𝑥−1
∑
𝐶𝑥+𝑡
(7.70)
𝑖=0
y
𝑎
¨ = 𝑁𝑥 =
𝑤−𝑥−1
∑
𝐷𝑥+𝑡
(7.71)
𝑖=0
aplicándose las series de las tablas de vida 𝑙𝑥 y 𝑑𝑥 en el cálculo de 𝐴𝑥 ya que:
𝐶𝑥+𝑡 = 𝑉 𝑥+𝑡+𝑙 𝑑𝑥+𝑡
𝐷𝑥+𝑡 = 𝑉
𝑥+𝑡
𝑙𝑥+𝑡
(7.72)
(7.73)
donde: 𝑉 = (1+𝑖)−1 e 𝑖 la tasa de interés. Nótese que si la tabla de mortalidad esta sobrestimando el
impacto de la mortalidad, los valores de las defunciones (𝑑𝑥+𝑡 ) y de los supervivientes (𝑙𝑥 ) estarán,
las primeras sobrestimadas y por ende los segundos subestimados.
Ası́, el numerador de la prima (𝑃𝑥 ) estará sobrestimado, ya que esta en función de las defunciones; y el denominado subestimado, por estar en función de los supervivientes.
Por ello, si la tabla de mortalidad sobrestima el impacto de ella, entonces
𝑅
𝐴𝐶
𝑥 > 𝐴𝑥
𝑎
¨𝐶
𝑥
<
𝑎
¨𝑅
𝑥
(7.74)
(7.75)
si
𝑅
𝐴𝐶
= 𝑠
𝑥 − 𝐴𝑥
165
(7.76)
y
𝑎
¨𝑅
¨𝐶
𝑥 −𝑎
𝑥
= 𝑝𝑠
(7.77)
entonces
𝑠 =
𝑎
¨𝑅
¨𝐶
𝑥 −𝑎
𝑥
𝑝
(7.78)
𝑝 =
𝑎
¨𝑅
¨𝐶
𝑥 −𝑎
𝑥
𝑅
𝐴𝐶
−
𝐴
𝑥
𝑥
(7.79)
y
teniendo entonces que
𝐴𝐶
𝑥
𝑎
¨𝐴
𝑥
𝐴𝐶
𝑆
𝑥
=
− 𝑅
𝑅
𝑎
¨𝑥
𝑎
¨𝑥
𝑆
= 𝑃𝑥𝐶 − 𝑅
𝑎
¨𝑥
𝑃𝑥𝑟 =
(7.80)
(7.81)
(7.82)
siendo el sesgo entre la prima calculada (𝑃𝑥𝐶 ) y la que realmente se debió cobrar por cada peso
de suma asegurada (𝑃𝑥𝑅 ), el siguiente:
𝑠
𝑎
¨𝑅
𝑥
=
𝑅
𝐴𝐶
𝑥 − 𝐴𝑥
𝑎
¨𝑅
𝑥
(7.83)
El que se minimiza al estimar lo mejor posible la tabla de mortalidad asociada a la población
asegurada.
166
Anexo 8
Nathan Keyfilz desarrollo el concepto de privación (deprivation) de vida en un individuo, estimándolo a partir de la siguiente expresión3 :
∫
−1 𝑤
𝐷𝑒𝑝 =
𝑒(𝑎)𝑑𝑙(𝑎) 𝑑𝑎
(7.84)
𝑙𝑥 𝑥
donde:
−𝑑𝑙(𝑎) representa a las defunciones de la tabla de vida entre las edades 𝑎 y 𝑑𝑎.
𝑒(𝑎)𝑜 la esperanza de vida a edad 𝑎
𝑙𝑥 los supervivientes a edad 𝑥
La relación anterior, Keyfitz, señala que es equivalente a:
∫ ∫
1 𝑤 𝑤
𝐷𝑒𝑝 =
𝑙(𝑡)𝑣(𝑎)) 𝑑𝑡 𝑑𝑎
𝑙𝑥 𝑥 𝑥
(7.85)
Demostración:
𝑒(𝑎)
𝑜
𝑤
∫
=
⇒ 𝐷𝑒𝑝 =
𝑙(𝑡)
!
𝑑𝑡
𝑥 𝑙(𝑎)
∫
−1 𝑤
𝑒(𝑎)𝑜 𝑑𝑙(𝑎) 𝑑𝑎
𝑙𝑥 𝑥
(7.86)
(7.87)
sustituyendo (7.86) en (7.87) da:
𝐷𝑒𝑝 =
−1
𝑙𝑥
𝑤
∫
𝑥
∫
𝑤
𝑥
𝑙(𝑡)
𝑑𝑡𝑑𝑙(𝑎) 𝑑𝑎
𝑙(𝑎)
(7.88)
𝑑𝑙(𝑎)
𝑙(𝑎)
(7.89)
Nótese que:
𝑣(𝑎) = −
sustituyendo (7.89) en (7.88):
𝐷𝑒𝑝 =
=
3
∫ ∫
1 𝑤 𝑤
−𝑑𝑙(𝑎)
𝑙(𝑡)
𝑑𝑡 𝑑𝑎
𝑙𝑥 𝑥 𝑥
𝑙(𝑎)
∫ 𝑤∫ 𝑤
1
𝑙(𝑡)𝑣(𝑎) 𝑑𝑡 𝑑𝑎
𝑙𝑥 𝑥 𝑥
* Ver: Keyfitz, Nathan; Applied Mathmatical Demography editorial john Wiley and Sons, 1977.
167
(7.90)
(7.91)
El problema radica en estimar 𝐷𝑒𝑝, para ello es necesario estimar la función 𝑙(𝑡), proponiendo a la
función de Makeham4 :
𝑡
𝑙(𝑡) = 𝑘𝑎𝑡 𝑏𝑑
)
(
𝑑
𝑑 𝑡
𝑡 𝑑
⇒
𝑙(𝑡) = 𝑘 𝑎𝑡 𝑏𝑑 + 𝑏𝑑 𝑎𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
(
)
𝑡
𝑡
= 𝑘 𝑎𝑡 𝑏𝑑 ∗ 𝑑𝑡 ln 𝑑 ∗ ln 𝑏 + 𝑏𝑑 ∗ 𝑎𝑡 ln 𝑎
}
𝑑
𝑡 {
𝑙(𝑡) = 𝑘𝑎𝑡 𝑏𝑑 (𝑑𝑡 ln 𝑏)(ln 𝑏) + ln 𝑎
𝑑𝑡
{
}
= 𝑙(𝑡) 𝑑𝑡 ln 𝑑 ln 𝑏 + ln 𝑎
(
)
1
𝑑
𝑙(𝑡)
= − 𝑑𝑡 ln 𝑑 ln 𝑏 + ln 𝑎
⇒ 𝑣(𝑡) =
𝑑𝑡
𝑙(𝑡)
𝑡
tomando: 𝑑 = 𝑝
1
𝑑
= − {𝑝 ln 𝑑 ln 𝑏 + ln 𝑎}
𝑣(𝑡) = − 𝑙(𝑡)
𝑑𝑡
𝑙(𝑡)
Ası́
∫ 𝑤
∫ 𝑤
𝑑
𝑙(𝑡) 𝑑𝑡 =
𝑙(𝑡)𝑝 ln 𝑑 ln 𝑏 + ln 𝑎 𝑑𝑡
𝑎 𝑑𝑡
∫𝑎 𝑤
∫ 𝑤
⇒ 𝑙(𝑡) =
𝑝 ln 𝑑 ln 𝑏 + ln 𝑎 𝑑𝑡 +
𝑙(𝑡) 𝑑𝑡
𝑎
𝑎
∫ 𝑤
⇒ −𝑙(𝑎) = 𝑝 ln 𝑑 ln 𝑏 + ln 𝑎
𝑙(𝑡) 𝑑𝑡
𝑎
∫ 𝑤
𝑙(𝑎)
⇒
𝑙(𝑡) 𝑑𝑡 = −
𝑝 ln 𝑑 ln 𝑏 ln 𝑎
𝑎
⇒
(7.92)
(7.93)
(7.94)
(7.95)
(7.96)
(7.97)
(7.98)
(7.99)
(7.100)
(7.101)
(7.102)
Sustituyendo (7.102) en (7.104):
𝐷𝑒𝑝 =
=
∫ ∫
1 𝑤 𝑤
−𝑑𝑙(𝑎)
𝑙(𝑡)
𝑑𝑡 𝑑𝑎
𝑙𝑥 𝑥 𝑥
𝑙(𝑎)
∫ 𝑤∫ 𝑤
1
𝑙(𝑡)𝑣(𝑎) 𝑑𝑡 𝑑𝑎
𝑙𝑥 𝑥 𝑥
(7.103)
(7.104)
El problema radica en estimar 𝐷𝑒𝑝, para ello es necesario estimar la función 𝑙(𝑡), proponiendo a la
función de Makeham5 :
∫ 𝑤
1
−𝑙(𝑎)
𝐷𝑒𝑝 =
𝑣(𝑎) 𝑑𝑎
(7.105)
𝑙(𝑥) 𝑎 𝑝 ln 𝑎 + ln 𝑏 ln 𝑑
∫ 𝑤
1
𝑑
= −
𝑙(𝑎) 𝑑𝑎
(7.106)
𝑝 ln 𝑎 + ln 𝑏 ln 𝑑 𝑎 𝑑𝑎
𝑙(𝑥)
= −
(7.107)
𝑙(𝑥)(𝑝 ln 𝑎 + ln 𝑏 ln 𝑑)
4
Mina Valdés, Alejandro; Consideraciones sobre modelos de ajuste empleados en la demografı́a matemática, en
revista demografı́a y Economı́a, Edif.. El colegio de México, pp.170-219, México 1982.
5
Mina Valdés, Alejandro; Consideraciones sobre modelos de ajuste empleados en la demografı́a matemática, en
revista demografı́a y Economı́a, Edif.. El colegio de México, pp.170-219, México 1982.
168
Finalmente
𝐷𝑒𝑝 = −
1
𝑝 ln 𝑎 + ln 𝑏 ln 𝑑
169
(7.108)
170
Anexo 9
Referencias históricas
En Roma aparece una de las mayores contribuciones al nacimiento y consolidación de los seguros:
la organización de sociedades de enterramiento como forma rudimentaria de los actuales seguros
de vida y enfermedad. Además, es en Roma donde se ubican los antecedentes más importantes del
seguro de vida en una norma por la que las viudas de los prestatarios de contratos de préstamos
percibı́an una indemnización en forma de renta. En la ley Falcidia (año 40 a.C.) aparece, por
primera vez, el concepto de anualidad.
Los autores cuyas contribuciones se consideran esenciales en el desarrollo de las tablas de mortalidad, son:
Domitius Uloiano (230 d.C.)
Elaboró la conocida Tabla de Ulpiano, en la que aparecen reflejadas distintas edades asociadas
a la esperanza de vida en años de cada una de ellas. Dicha tabla ha sido la más utilizada a lo
largo de la historia para calcular las anualidades de rentas vitalicias.
Johh Graunt (1662 d.C.)
En 1662, únicamente cinco años después de que Christian Huygens publicara el primer texto
escrito sobre Teorı́a de la Probabilidad (De Ratiociniis in Ludo Aede), John Graunt publicó Observations upon the Bills of Mortality, trabajo posteriormente reconocido como el
precursor de la Estadı́stica Demográfica, en el que se incluye la primera tabla de mortalidad
rudimentaria relativa a la población de Londres.
Los registros de mortalidad a los que tuvo acceso Graunt indicaban la causa de la muerte
y el sexo de los difuntos pero no su edad. Por esto, registró la proporción de personas que
morı́an de enfermedades infantiles (los cuales serı́an presumiblemente niños), añadiendo la
mitad de las que morı́an de enfermedades como sarampión o varicela que afectan tanto a
niños como a adultos, concluyendo que 36 de cada 100 personas morı́an antes de los 6 años.
El último dato de la tabla se lo proporcionó la hipótesis de que nadie sobrevivı́a más de 76
años. Graunt no explica cómo obtuvo las filas intermedias pero Hacking (1995) considera
la posible interpolación efectuada entre los 6 y los 76 años siguiendo una ley exponencial
tomando como ??= 0.047 (tanto instantáneo de mortalidad constante). Ası́, la función de
supervivencia definida por este autor para las edades comprendidas entre 6 y 76 años es lx =
64 e-0.047(x - 6)
Debido a esta aportación, Graunt es conocido como el fundador de la Demografı́a.
171
Edmund Halley (1693)
El famoso astrónomo, matemático y actuario inglés Edmund Halley quien calculó la órbita
del cometa que lleva su nombre, fue el primero en construir en 1693 una tabla de mortalidad
tal y como hoy en dı́a las conocemos. Se basó en las estadı́sticas mortuorias (número de
nacimientos y fallecimientos) de la ciudad alemana de Breslaw en un perı́odo de n años.
Computó el número de personas de edad comprendida entre 0 y 1 año
Lo mismo hizo para las personas comprendidas entre 1 y 2 años y ası́ sucesivamente. Posteriormente redujo los datos obtenidos en n años a un valor por cada perı́odo simplemente
efectuando una media aritmética El inconveniente que presenta el planteamiento de este autor es que supone la mortalidad constante, hipótesis falsa debido al efecto de los progresos
médicos, higiénicos..., el factor de los movimientos migratorios (el de máxima importancia)
que influyen y modifican seriamente la mortalidad.
Los cálculos de Halley fueron, después de los de De Wit, uno de los intentos más tempranos
e importantes en el sentido de que han sido aplicados mucho más en la práctica. Este siglo
XVII se considera enormemente fructı́fero para la Estadı́stica Actuarial debido al desarrollo
del cálculo de probabilidades y los avances en esta materia efectuados por: Pascal, Fermat,
Kepler, Galileo, Paccioli, Bernouilli, Bayes, Laplace, Markov y Kolmogorov, entre otros.
Durante los siglos siguientes (XVIII y XIX principalmente) cabe mencionar las aportaciones
efectuadas a los estudios de mortalidad de Abraham De Moivre y los eminentes actuarios
Gompertz y Makeham en el establecimiento y formulación de las leyes de mortalidad que
llevan sus nombres ya comentadas en epı́grafes anteriores.
De Moivre en 1725 fue el primero en calcular una prima de seguros de vida, James Dobson,
cincuenta años después, no sólo calculaba primas para distintos tipos de seguros sino también
reservas matemáticas. Estableció, por vez primera, un modelo global aplicable a la sistematización de una compañı́a de seguros de vida para garantizar su existencia y estabilidad.
172
Cuadro 7.14: MÉXICO: TABLAS ABREVIADAS DE MORTALIDAD, HOMBRES 2003
EDAD
𝑞𝑥
𝑑𝑥
𝑚𝑥
𝑙𝑥
𝐿𝑥
𝑆𝑥
𝑇𝑥
𝑒𝑥
0
1
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
0.03744
0.00516
0.00115
0.00123
0.00173
0.0023
0.00265
0.00386
0.00489
0.00794
0.01325
0.02322
0.03777
0.05875
0.09362
0.16312
0.29064
1
3744
497
110
118
166
220
252
366
462
747
1236
2138
3397
5084
7626
12044
17959
43833
0.03854
0.0013
0.00023
0.00025
0.00035
0.00046
0.00053
0.00077
0.00098
0.00159
0.00267
0.0047
0.0077
0.0121
0.01964
0.03552
0.06801
0.15469
100000
96256
95759
95649
95531
95366
95146
94894
94528
94066
93319
92082
89944
86547
81463
73836
61792
43833
97146
383701
478521
477951
477242
476279
475099
473554
471483
468460
463502
455066
441228
420025
388248
339071
264063
283362
0.96169
0.99516
0.99881
0.99852
0.99798
0.99752
0.99675
0.99563
0.99359
0.98942
0.9818
0.96959
0.95195
0.92434
0.87334
0.77878
0.51763
0
7334000
7236854
6853153
6374632
5896681
5419440
4943161
4468062
3994508
3523025
3054565
2591062
2135997
1694769
1274744
886496
547425
283362
73.34
75.18
71.57
66.65
61.73
56.83
51.95
47.08
42.26
37.45
32.73
28.14
23.75
19.58
15.65
12.01
8.86
6.46
MUJERES 2003
EDAD
𝑞𝑥
𝑑𝑥
𝑚𝑥
𝑙𝑥
𝐿𝑥
𝑆𝑥
𝑇𝑥
𝑒𝑥
0
1
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
0.03313
0.00492
0.00078
0.00065
0.00095
0.00145
0.00182
0.00235
0.00306
0.00488
0.00745
0.01235
0.01844
0.0311
0.0572
0.11444
0.22354
1
3313
476
75
62
91
139
175
224
292
465
705
1160
1712
2834
5049
9524
16476
57228
0.03398
0.00123
0.00016
0.00013
0.00019
0.00029
0.00036
0.00047
0.00061
0.00098
0.00149
0.00248
0.00372
0.00632
0.01178
0.02428
0.05033
0.13695
100000
96687
96211
96137
96074
95983
95844
95669
95445
95153
94688
93983
92823
91111
88277
83228
73703
57228
97474
385482
480870
480528
480143
479567
478782
477784
476494
474603
471678
467014
459834
448469
428761
392327
327328
417862
0.96591
0.99568
0.99929
0.9992
0.9988
0.99836
0.99792
0.9973
0.99603
0.99384
0.99011
0.98462
0.97529
0.95605
0.91502
0.83432
0.56075
0
7724999
7627525
7242043
6761173
6280645
5800502
5320936
4842154
4364370
3887876
3413273
2941595
2474581
2014747
1566278
1137517
745190
417862
77.25
78.89
75.27
70.33
65.37
60.43
55.52
50.61
45.73
40.86
36.05
31.3
26.66
22.11
17.74
13.67
10.11
7.3
173
Cuadro 7.15: MÉXICO: TABLAS ABREVIADAS DE MORTALIDAD, HOMBRES 2004
EDAD
𝑞𝑥
𝑑𝑥
𝑚𝑥
𝑙𝑥
𝐿𝑥
𝑆𝑥
𝑇𝑥
𝑒𝑥
0
1
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
0.03648
0.00488
0.00109
0.00118
0.00166
0.00219
0.00253
0.00371
0.00471
0.00769
0.01289
0.02271
0.03705
0.0577
0.09211
0.16092
0.2878
1
3648
470
104
113
159
210
242
352
446
725
1206
2097
3343
5013
7541
11962
17950
44421
0.03752
0.00122
0.00022
0.00024
0.00033
0.00044
0.00051
0.00074
0.00094
0.00154
0.00259
0.00459
0.00755
0.01188
0.01931
0.035
0.06723
0.15382
100000
96352
95882
95778
95665
95506
95297
95055
94703
94257
93532
92327
90230
86887
81874
74333
62371
44421
97219
384157
479151
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477928
477008
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469473
464648
456391
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0
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1288048
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555772
288793
73.6
75.38
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52.11
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42.4
37.59
32.86
28.26
23.86
19.68
15.73
12.07
8.91
6.5
MUJERES 2004
EDAD
𝑞𝑥
𝑑𝑥
𝑚𝑥
𝑙𝑥
𝐿𝑥
𝑆𝑥
𝑇𝑥
𝑒𝑥
0
1
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
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1
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70
59
87
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481116
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480205
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478507
477272
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472619
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36.18
31.43
26.78
22.22
17.84
13.75
10.17
7.34
174
Cuadro 7.16: MÉXICO: TABLAS ABREVIADAS DE MORTALIDAD, HOMBRES 2005
EDAD
𝑞𝑥
𝑑𝑥
𝑚𝑥
𝑙𝑥
𝐿𝑥
𝑆𝑥
𝑇𝑥
𝑒𝑥
0
1
5
10
15
20
25
30
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55
60
65
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151
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17937
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1302020
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28.39
23.97
19.78
15.82
12.15
8.97
6.54
MUJERES 2005
EDAD
𝑞𝑥
𝑑𝑥
𝑚𝑥
𝑙𝑥
𝐿𝑥
𝑆𝑥
𝑇𝑥
𝑒𝑥
0
1
5
10
15
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30
35
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80
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56
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158
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1100
1629
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74824
58549
97608
386318
482024
481721
481378
480861
480153
479248
478069
476321
473583
469174
462351
451517
432609
397291
333431
432344
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0
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2047192
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1163066
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432344
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65.7
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55.83
50.92
46.02
41.15
36.32
31.56
26.9
22.34
17.94
13.83
10.23
7.38
175
Cuadro 7.17: MÉXICO: TABLAS ABREVIADAS DE MORTALIDAD, HOMBRES 2006
EDAD
𝑞𝑥
𝑑𝑥
𝑚𝑥
𝑙𝑥
𝐿𝑥
𝑆𝑥
𝑇𝑥
𝑒𝑥
0
1
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
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93
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145
191
221
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414
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2013
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17920
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67.16
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33.13
28.51
24.08
19.88
15.9
12.21
9.02
6.58
MUJERES 2006
EDAD
𝑞𝑥
𝑑𝑥
𝑚𝑥
𝑙𝑥
𝐿𝑥
𝑆𝑥
𝑇𝑥
𝑒𝑥
0
1
5
10
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50
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60
65
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80
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1
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62
52
77
119
150
195
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91919
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59206
97672
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482295
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480811
479950
478824
477144
474496
470212
463564
452991
434481
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0
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1175804
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79.46
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70.83
65.87
60.92
55.99
51.07
46.17
41.29
36.46
31.69
27.02
22.45
18.04
13.91
10.3
7.43
176
Cuadro 7.18: MÉXICO: TABLAS ABREVIADAS DE MORTALIDAD, HOMBRES 2007
EDAD
𝑞𝑥
𝑑𝑥
𝑚𝑥
𝑙𝑥
𝐿𝑥
𝑆𝑥
𝑇𝑥
𝑒𝑥
0
1
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
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80
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1
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17899
46207
0.03455
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0.00018
0.00021
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96237
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91059
87879
83083
75805
64106
46207
97434
385480
480967
480499
479905
479104
478122
476811
475030
472384
467947
460226
447344
427404
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349778
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0
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7339566
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2203091
1755747
1328342
931122
581344
305562
74.37
75.95
72.26
67.32
62.39
57.48
52.58
47.69
42.84
38.01
33.26
28.63
24.19
19.98
15.99
12.28
9.07
6.61
MUJERES 2007
EDAD
𝑞𝑥
𝑑𝑥
𝑚𝑥
𝑙𝑥
𝐿𝑥
𝑆𝑥
𝑇𝑥
𝑒𝑥
0
1
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
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379
58
50
73
113
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59816
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482511
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480586
479507
477889
475324
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464668
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436194
401960
339247
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446442
78.24
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70.98
66.02
61.07
56.13
51.21
46.31
41.42
36.58
31.81
27.14
22.55
18.13
13.99
10.35
7.46
177
Cuadro 7.19: MÉXICO: TABLAS ABREVIADAS DE MORTALIDAD, HOMBRES 2008
EDAD
𝑞𝑥
𝑑𝑥
𝑚𝑥
𝑙𝑥
𝐿𝑥
𝑆𝑥
𝑇𝑥
𝑒𝑥
0
1
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
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1
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377
84
95
133
174
203
302
386
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1090
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17878
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91291
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0
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5053017
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3147844
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2217685
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1340104
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588890
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74.59
76.12
72.41
67.47
62.53
57.62
52.72
47.82
42.97
38.13
33.37
28.74
24.29
20.07
16.06
12.34
9.11
6.65
MUJERES 2008
EDAD
𝑞𝑥
𝑑𝑥
𝑚𝑥
𝑙𝑥
𝐿𝑥
𝑆𝑥
𝑇𝑥
𝑒𝑥
0
1
5
10
15
20
25
30
35
40
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50
55
60
65
70
75
80
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0.0037
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1
2901
359
55
47
69
107
136
178
235
389
606
1018
1515
2526
4589
8901
15964
60405
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0.0001
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96462
96326
96148
95913
95524
94918
93900
92385
89859
85270
76369
60405
97789
387442
483566
483311
483021
482580
481971
481185
480152
478592
476105
472045
465713
455611
437824
404098
341936
453060
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0
7845999
7748210
7360769
6877203
6393892
5910872
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4946321
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3030287
2558242
2092530
1636918
1199094
794996
453060
78.46
79.8
76.09
71.13
66.16
61.21
56.27
51.35
46.44
41.55
36.71
31.93
27.24
22.65
18.22
14.06
10.41
7.5
178
Cuadro 7.20: MÉXICO: TABLAS ABREVIADAS DE MORTALIDAD, HOMBRES 2009
EDAD
𝑞𝑥
𝑑𝑥
𝑚𝑥
𝑙𝑥
𝐿𝑥
𝑆𝑥
𝑇𝑥
𝑒𝑥
0
1
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
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1
3208
358
79
92
128
167
195
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374
622
1065
1901
3085
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7120
11536
17853
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47258
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469769
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0
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2232376
1782486
1351979
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596546
315622
74.81
76.28
72.56
67.62
62.68
57.76
52.86
47.96
43.1
38.26
33.49
28.84
24.39
20.16
16.14
12.41
9.16
6.68
MUJERES 2009
EDAD
𝑞𝑥
𝑑𝑥
𝑚𝑥
𝑙𝑥
𝐿𝑥
𝑆𝑥
𝑇𝑥
𝑒𝑥
0
1
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
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1
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342
52
45
66
103
131
171
227
377
590
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100000
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95066
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90114
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481720
480726
479218
476802
472840
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456758
439295
406040
344399
459206
0.97119
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0.99950
0.99943
0.99913
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0.99169
0.98691
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0.96177
0.92430
0.84818
0.57142
0
7865999
7768159
7380404
6896409
6412656
5929180
5446124
4963651
4481931
4001205
3521987
3045185
2572345
2105697
1648940
1209644
803604
459206
78.66
79.95
76.23
71.27
66.30
61.34
56.40
51.48
46.56
41.67
36.82
32.04
27.34
22.74
18.30
14.13
10.46
7.54
179
Cuadro 7.21: MÉXICO: TABLAS ABREVIADAS DE MORTALIDAD, HOMBRES 2010
EDAD
𝑞𝑥
𝑑𝑥
𝑚𝑥
𝑙𝑥
𝐿𝑥
𝑆𝑥
𝑇𝑥
𝑒𝑥
0
1
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
0.03136
0.00352
0.00079
0.00092
0.00128
0.00166
0.00195
0.00294
0.00379
0.00636
0.01101
0.01996
0.03315
0.05197
0.08381
0.14875
0.27188
1
3136
341
76
88
123
160
188
282
362
606
1042
1868
3041
4609
7047
11459
17828
47744
0.03213
0.00088
0.00016
0.00018
0.00026
0.00033
0.00039
0.00059
0.00076
0.00128
0.00221
0.00403
0.00674
0.01067
0.0175
0.03214
0.06293
0.14905
100000
96864
96522
96446
96358
96235
96075
95887
95605
95243
94637
93595
91727
88686
84077
77030
65572
47744
97609
386545
482422
482011
481483
480775
479906
478731
477120
474700
470581
463305
451032
431907
402767
356504
283289
320314
0.96831
0.99642
0.99915
0.9989
0.99853
0.99819
0.99755
0.99663
0.99493
0.99132
0.98454
0.97351
0.9576
0.93253
0.88514
0.79463
0.53067
0
7500999
7403391
7016845
6534423
6052412
5570929
5090154
4610249
4131518
3654398
3179698
2709118
2245812
1794780
1362874
960107
603602
320314
75.01
76.43
72.7
67.75
62.81
57.89
52.98
48.08
43.21
38.37
33.6
28.95
24.48
20.24
16.21
12.46
9.21
6.71
MUJERES 2010
EDAD
𝑞𝑥
𝑑𝑥
𝑚𝑥
𝑙𝑥
𝐿𝑥
𝑆𝑥
𝑇𝑥
𝑒𝑥
0
1
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
0.02766
0.00334
0.0005
0.00044
0.00065
0.00101
0.00129
0.0017
0.00226
0.00379
0.00599
0.0102
0.01538
0.02611
0.04904
0.10102
0.20409
1
2766
325
49
43
63
98
125
164
218
364
574
971
1449
2423
4432
8681
15767
61489
0.02826
0.00084
0.0001
0.00009
0.00013
0.0002
0.00026
0.00034
0.00045
0.00076
0.0012
0.00205
0.0031
0.00529
0.01006
0.02128
0.04546
0.13213
100000
97234
96909
96860
96818
96755
96657
96533
96369
96151
95787
95213
94241
92792
90369
85937
77256
61489
97891
388071
484424
484195
483932
483531
482976
482255
481300
479844
477498
473635
467584
457904
440766
407982
346861
465351
0.97192
0.99684
0.99953
0.99946
0.99917
0.99885
0.99851
0.99802
0.99698
0.99511
0.99191
0.98722
0.9793
0.96257
0.92562
0.85019
0.57294
0
7885999
7788108
7400038
6915614
6431419
5947487
5463956
4980980
4498725
4017425
3537581
3060082
2586448
2118864
1660961
1220194
812212
465351
78.86
80.1
76.36
71.4
66.43
61.47
56.53
51.6
46.68
41.78
36.93
32.14
27.44
22.83
18.38
14.2
10.51
7.57
180
Anexo 10
Conceptos básicos
Definición y objeto de estudio de la demografı́a
La demografı́a6 ha sido considerada por algunos como una ciencia, por otros, como una disciplina. Se le ha atribuido como objeto el estudio de las poblaciones humanas, hecho que conduce a
la polémica sobre su calidad de ciencia, ya que estudiar las poblaciones humanas es el objeto de
todas las disciplinas sociales y es claro que la demografı́a no puede pretender englobarlas a todas.
La definición más común de demografı́a es la siguiente te, es la ciencia social encargada del
estudio del movimiento de las poblaciones humanas, referido éste a una entidad y a u conjunto bien
definidos.
Componentes de la dinámica poblacional
La dinámica poblacional está caracterizada por componentes: 1) la natalidad, o fecundidad, el
cual es un mecanismo de entrada ya que a través de él se incrementa el volumen de la población en
estudio, 2) la mortalidad que al disminuir el volumen de la población se le asocia a un mecanismo
de salida, y 3) La migración, mecanismo de entrada desde la perspectiva de los inmigrantes y de
salida desde la de los emigrantes.
A los tres componentes citados se les denomina fen6menos demográficos, los cuales están a
su vez caracterizados por los siguientes sucesos o eventos demográficos a) los nacimientos, b) las
muertes o defunciones, y c) los inmigrantes y emigrantes.
Los sucesos o eventos demográficos se clasifican en renovables y no renovables, en el sentido
de la ocurrencia de ellos a cada individuo que constituye la población en estudio. Ası́, si tomamos
como unidad de análisis a la mujer, ella puede tener no necesariamente un solo hijo, por lo que el
evento nacimiento es considerado como un evento renovable, al Igual que a los eventos inmigrar,
emigrar, casarse. En cambio, el evento muerte o defunción es evidentemente considerado como un
evento estrictamente no renovable, Se dice estrictamente para diferenciarlo de los otros casos, en
los que se puede considerar el orden de nacimiento Primer nacimiento, segundo nacimiento, etc.),
el orden de inmigración o emigración, y el orden de casamiento o disolución de unión, en donde el
evento renovable deja de serlo, pasando a ser un evento no renovable.
6
Material basado en: Lequina, Joaquin; Fundamentos de demografı́a, Siglo veintiuno editores, primera edición,
México, 1973; Pressat, Roland; El análisis demográfico, Fondo de cultura económica primera reimpresión, México
1973.; Spiegelman, Mortimer; Introducción a la demografı́a, Fondo de cultura económica primera reimpresión, México,
1979
181
Fuentes de datos
La demografı́a nos permite tener una descripción estadı́stica de las poblaciones humanas en
cuanto a su estado (cifra de población, distribución por sexo y edad y por estado civil, estadı́sticas de familia, etc.), en una fecha dada; y a los hechos demográficos (nacimientos, defunciones,
migraciones) que se producen en esas poblaciones.
Al considerar los dos aspectos de la descripción estadı́stica de las poblaciones se obtienen dos
tipos de estadı́sticas, 1) Censos demográficos, que permiten describir el estado demográfico de
la población en un instante dado, y 2) Estadı́sticas vitales y encuestas. que clasifican los hechos
demográficos producidos en una población durante un perı́odo dado.
Censo demográfico
El censo demográfico proporciona la imagen en un instante dado, de una población en evolución
constante bajo la influencia de ¡os fenómenos demográficos que en ella se producen, dándonos la
población por sexo, edad, estado civil y nacionalidad, grado de instrucción ocupación profesional,
religión, número de hijos nacidos vivos. etc.
Estadı́sticas vitales
Las estadı́sticas vitales se centran en el registro de nacimientos, defunciones y matrimonios,
acontecidos en una población dada. En general en las estadı́sticas vitales se registran las modificaciones causadas en el volumen y en la estructura de la población por los nacimientos, las defunciones
y las celebraciones o rupturas de uniones.
Encuestas demográficas
La encuesta demográfica es un método para obtener información sobre fenómenos demográficos
de cierto número de individuos con objeto de conocer algo respecto a una población más numerosa
de la cual se ha obtenido la muestra.
El diagrama de Lexis
En demografı́a se representan dos aspectos del tiempo. 1) El tiempo del calendario, donde
los puntos de la recta o semirrecta representan fechas comunes a los habitantes, y 2) El tiempo
transcurrido a partir de un suceso origen particular a cada habitante. Por ejemplo, sı́ el nacimiento
es el suceso origen, la semirrecta tiempo transcurrido o duración medirá la edad de la persona
considerada. Al formar un cuadrante con las dos semirrectas se tiene el diagrama de Lexis s (ver
diagrama 1).
182
Para llevar a cabo la observación de un habitante, a partir de haber sido alcanzado éste por un
suceso origen, se realizará sobre un segmento de recta que forma un ángulo de 45 grados con los
ejes coordenados constituidos por las dos semirrectas tiempo; dichos segmentos de recta reciben el
nombre de lı́neas de vida. Por ejemplo, tomemos un nacimiento ocurrido el 21 de junio de 1981. Con
las dos rectas perpendiculares del diagrama 2, se puede localizar el nacimiento de niño por el punto
de intersección de las dos rectas que, en el eje horizontal indica que estamos a 21 de junio de 1981
y en el vertical, que en esa fecha el niño tiene cero exactamente. Conforme el tiempo transcurre,
el punto que representa al niño se desplaza sobre la bisectriz del ángulo recto; ası́, cuando el niño
tenga un año su punto representativo estará en P.
Las magnitudes demográficas pueden dos clases: a) efectivos o stocks, cuya referencia temporal
es un instante, y b) flujos, referidas a un perı́odo de tiempo Dichas magnitudes podrán clasificarse
según las cohortes (habitantes que comparten un mismo evento origen) y las edades o duraciones
dentro de las que se han producido los flujos o se han medido los stocks.
El diagrama 3 hace referencia a edad, generación y tiempo, el diagrama 4 a generación y tiempo
y el diagrama 5 a edad y tiempo.
183
La pirámide de edades
En un momento cualquiera dentro de un stock de población conviven unas cien generaciones
aproximadamente En cada generación es posible distinguir subpoblaciónes con arreglo a diversos
criterios cualitativos: estar casado, ejercer una actividad económica, etc. Distinguir dichas subpoblaciónes es un paso previo al análisis de su ’estructura’.
La estructura más simple de una población es aquélla que retiene las variables sexo y edad
solamente. En un momento dado esta estructura se medirá por las siguientes proporciones:
𝐶𝑈𝐻
=
𝐶𝑈𝑀
=
𝑃𝑈𝐻
𝑃
𝑃𝑈𝑀
𝑃
(7.109)
(7.110)
Donde 𝑃𝑈 representa la población del grupo de edades u (se trata en general de grupos quinquenales) para los hombres y 𝑃𝑈𝑀 para las mujeres, siendo 𝑃 la población total:
Ası́ pues:
𝑤
∑
𝐶𝑢𝐻 + 𝐶𝑢𝑀
= 1
(7.111)
𝑢=0
donde 𝑤 es la última edad alcanzada por la población en estudio.
La representación gráfica (en forma de histogramas) de las proporciones Cu (a la derecha los
hombres y a la izquierda las mujeres) se conoce con el nombre de pirámide de población (ver
pirámide 1)
Hay que tener en cuenta que ¡a pirámide por edades es una representación en forma de histograma, ası́, si en el eje de las ordenadas se miden las edades, ¡as abscisas han de calcularse de tal forma
que la superficie de cada rectángulo lo sea proporcional a la magnitud que se quiere representar
La construcción de la pirámide, además de darnos una idea grosso modo de la estructura por
edades de la población sirve para detectas errores en la declaración de la edad de la población
censada o encuestada, o bien la ausencia de declaración o una contabilización incompleta en ciertas
edades; y al comparar pirámides para la misma población en diferentes momentos, se puede observar
gráficamente el cambio de la estructura y los posibles efectos de los fenómenos demográficos en dicha
población.
184
Índice de masculinidad
Este ı́ndice mide la proporción de hombres entre mujeres para cada edad o grupo de edades;
puede servir para detectar la declaración incorrecta de la edad.
El ı́ndice de masculinidad toma valores que comienzan un poco arriba de cien al nacimiento y
van disminuyendo según se avanza en las edades.
Cuando se presentan cambios bruscos en el valor del ı́ndice se pueden atribuir a la migración
de la población de sexo masculino o femenino, también suelen deberse a la declaración incorrecta
de la edad que provoca que un grupo de personas sea trasladado al grupo inmediato inferior o al
superior.
El análisis longitudinal y el transversal
En demografı́a existen dos tipos de análisis: el sincrónico llamado transversal y el diacrónico
denominado longitudinal
El análisis transversal, el más común en demografı́a recoge el comportamiento de todas las
cohortes en presencia durante un perı́odo limitado de tiempo. Como ejemplo tenemos las tasas
brutas, las que son un ı́ndice transversal ya que en ellas aparecen flujos y stocks de todas las
cohortes. Con mucha frecuencia el análisis transversal consiste en construir el comportamiento,
frente al fenómeno en estudio, de una cohorte ficticia (comúnmente llamado análisis retrospectivo)
que se comporta entre dos edades o duraciones consecutivas cualesquiera (ver diagrama 9).
El análisis longitudinal se fundamenta en la observación continua de una cohorte expuesta al
fenómeno demográfico en estudio (ver diagrama 6 y 7).
185
Dimensiones de los eventos demográficos
Intensidad y calendario
Las preguntas que se hacen en cuanto al impacto de un fenómeno demográfico en una población
dada son ¿qué cantidad de la población es alcanzada por el suceso o evento? ¿a qué edad en
promedio de evento se da en los individuos de la población? las respuestas se obtienen al calcular
la intensidad y e¡ calendario o duración de¡ fenómeno demográfico estudiado.
Si se denota a 𝑒𝑖 como el número de eventos ocurridos a edad i cumplida (entre las edades
exactas 𝑖 e 𝑖 + 𝑖 y a 𝛼 y 𝛽 como las edades exactas inicial y final en que los individuos de la
población analizada están propensos a sufrir el evento considerado, entonces la intensidad
∑𝛽 total
será la suma de los eventos ocurridos, de la edad 𝛼 a la edad 𝛽, a la población en estudio 𝑖=𝛼 𝑒𝑖 ,
y la intensidad medı́a será el cociente formado por la intensidad total y el número de individuos
que se tienen a edad exacta 𝛼, es decir, la población que se encuentra al inicio del periodo en que
puede sufrir el fenómeno demográfico considerado:
∑𝛽
𝑖=𝛼 𝑒𝑖
𝑁
(7.112)
El calendario o duración es comúnmente llamado esperanza de vida ya que estima los años que
en promedio transcurren antes de que un individuo sea alcanzado por el evento estudiado. Dicha
estimación se logra al ponderar los eventos ocurridos entre 𝛼 y 𝛽, por las edades de la edad 𝑖
cumplida se toma la edad exacta 𝑖 + 0,5 considerando que el número de eventos ocurridos a edad
𝑖 cumplida están asociados a la edad (mitad del intervalo de edad), cuado se supone lo anterior se
habla del supuesto de uniformidad del fenómeno demográfico considerado.
Tasa
Con el nombre genérico de tasa se designa toda relación por cociente entre un flujo y un efectivo
o stock. La primera idea que inspira la elaboración de una tasa es la de lograr una medida relativa
de un fenómeno demográfico que permita efectuar comparaciones en el tiempo y en el espacio
Una tasa generalmente se calcula-tomando como referencia un año civil. En el numerador de
la tasa se tienen los eventos ocurridos en el año de referencia, y en el denominador la población
media, el resultado se multiplica por mil.
186
En general la población media es la población existente al 30 de junio del año considerado.
Cuando no se dispone de una estimación de la población en esa fecha, se acostumbra calcular la
media aritmética de las poblaciones existentes en los inicios 1∘ de enero sucesivos que encierran el
año.
Las tasas que con mayor frecuencia se estiman son las brutas y las especı́ficas. Las primeras
están referidas al total de eventos ocurridos de un fenómeno demográfico dado en un año y a la
población media total en el mismo año, es decir, las tasas brutas miden la frecuencia de aparición
de un fenómeno demográfico en el conjunto total de la población. Las tasas especı́ficas son aquellas
que se calculan en subpoblaciones, generalmente distinguidas por el hecho de pertenecer a un grupo
de edades determinado.
Cocientes
En el denominador de toda tasa ha de figurar un stock o un flujo que puede ser el inicial, el
medio o el final respecto al flujo del numerador de la tasa.
En el primer caso, es decir, cuando el flujo o stock de referencia es el inicial, se hablará de
cociente.
Dada una cohorte con 𝑁 personas, expuestas a un fenómeno demográfico no renovable, y situando en el momento exacto a las personas que aún no han sufrido el evento (𝑁𝑖 ) (ver diagrama 6), la
probabilidad que tienen 𝑁𝑖 . de sufrir el evento no renovable en estudio, entre 1as edades 𝑖 e 𝑖 + 1(𝑒𝑖 )
viene dada por el cociente: 𝑔𝑖 = 𝑁𝑒𝑖𝑖 Ası́, los cocientes tienen en general un sentido probabilı́stico.
Relación entre tasas y cocientes
Lo que en principio se calcula para cualquier fenómeno demográfico son las tasas especı́ficas
por edad, y la pregunta que se hace es ¿cómo pasar de dichas tasas a los cocientes? es decir, de
frecuencias de aparición del fenómeno a probabilidades de ocurrencia del mismo.
Empleando el diagrama 8, la tasa especifica entre la edad 𝑖 e 𝑖 + 1, vendrı́a dada por:
𝑒𝑖
𝑡𝑖 = 𝑁 +𝑁
(7.113)
𝑖
𝑖+1
2
y el cociente por:
𝑞𝑖 =
187
𝑒𝑖
𝑁𝑖
(7.114)
si suponemos que los eventos del fenómeno no renovable se distribuyen uniformemente en el
tiempo, entonces la población que a edad cumplida ı́ no ha sufrido el fenómeno en estudio, está dada
por:
𝑁𝑖 = 𝑁𝑖+0,5 = 𝑁𝑖 −
𝑒𝑖
2
(7.115)
En los siguientes diagramas se ilustra lo anteriormente indicado.
Bajo la hipótesis de uniformidad, entonces se tendrá que la tasa será igual a:
𝑡𝑖 =
𝑒𝑖
𝑁𝑖 −
𝑒𝑖
2
=
𝑒𝑖
𝑁𝑖
(7.116)
Por lo tanto
𝑁𝑖 −
𝑒𝑖
2
= 𝑁𝑖
(7.117)
Dividiendo tanto el primero como el segundo miembro de la ecuación (7.117) se tiene:
𝑁𝑖 1
−
𝑒𝑖
2
=
𝑒𝑖
𝑒𝑖
(7.118)
1
𝑡𝑖
(7.119)
Y por (7.114) y (7.116), (7.118) es equivalente a:
1 1
−
𝑞 2
=
Se obtienen ası́, de (7.119) las siguientes relaciones entre tasas y cocientes:
𝑡𝑖 =
𝑞𝑖 =
𝑞𝑖
1 − 𝑞2𝑖
𝑡𝑖
1 − 𝑡2𝑖
188
(7.120)
(7.121)
Tablas
La importancia de los cocientes o probabilidades radica en que constituyen la base para elaborar tablas sintéticas que suelen describir de manera muy sugestiva los fenómenos demográficos
estudiados, por ejemplo las tablas de mortalidad y de nupcialidad.
Las tablas estadı́sticas que describen fenómenos demográficos están constituidas por tres series
básicas:
1. la serie de los cocientes o probabilidades 𝑛 𝑞𝑥 de experimentar el evento no renovable entre las
edades 𝑖 e 𝑖 + 𝑛 (en general 𝑛 toma el valor 5).
2. La serie de los supervivientes 𝑁𝑖 , constituidos por las personas que estando en la edad 𝑖
exacta no han sufrido el fenómeno no renovable en estudio, y
3. La serie de los eventos e 𝑖, ocurridos a edad cumplida 𝑖, es decir, entre las edades 𝑖 e 𝑖 + 1.
Mortalidad
El estudio de ¡a mortalidad tradicionalmente inicia la exposición sobre los fenómenos demográficos, no únicamente porque haya servido de modelo al estudio de los demás fenómenos, sino también
porque para su estudio no se utilizan métodos demasiado complejos , sirve por ello como introducción para análisis más complejos.
El fenómeno de la mortalidad se analiza mediante el suceso flujo: fallecimiento. Sin embargo,
puede procederse a la desagregación del total de fallecimientos, por un lado, diferenciando éstos
según la causa que los produjo y asignándolos, por otro lado, a la cohorte en la cual tuvieron lugar.
Las causas de muerte descomponen a la mortalidad en tres categorı́as: a) la mortalidad al
comienzo de la vida; b) la mortalidad debida al envejecimiento, que comienza a manifestarse tras
el décimo aniversario y que crece, normalmente, en progresión geométrica con la edad; y c) la
mortalidad resultante de la acción del medio y cuya manifestación aparece a todas las edades
(enfermedades infecciosas y accidentes).
Tasa bruta y tasas especı́ficas de mortalidad
El primer ı́ndice sintético para medir la mortalidad de un periodo dentro de una zona determinada es el cociente entre el número total de fallecimientos durante el periodo, en general un año, y
la población de la zona en un momento del mismo, en general al 30 de junio del año considerado.
Ası́, si 𝐷 es el número total de defunciones acontecidas entre los residentes de una comunidad
durante el año del calendario, y 𝑃 es el número medio de personas vivas en esa comunidad durante
te ese año, entonces la tasa bruta de mortalidad es:
𝑚 =
𝐷
𝐾
𝑃
(7.122)
donde 𝐾 es una constante que se toma generalmente 1000 o 100 000.
Cuando 𝐷, el total de defunciones, ha sido subdividido para mostrar las cantidades atribuidas
a cada causa, a saber, si 𝐷𝑖 es el número debido a la causa 𝑖, entonces la tasa bruta de mortalidad
189
correspondiente a esa causa es:
𝑚𝑖 =
𝐷𝑖
𝐾
𝑃
(7.123)
Las tasas especı́ficas de mortalidad pueden ser calculadas para subdivisiones de una comunidad
de acuerdo con el sexo, la edad, el estado civil y otras caracterı́sticas, siempre que tanto 𝐷 como
𝑃 se refieran a la misma subdivisión.
Si 𝐷𝑥 es el número de defunciones entre las edades 𝑥 y 𝑥 + 𝑛 entre los residentes de una
comunidad durante un año, y 𝑛 𝑃𝑥 es el número promedio de personas entre las edades 𝑥 y𝑥 + 𝑛
que viven en esa comunidad durante ese año, entonces la tasa de mortalidad por edades es:
𝑛 𝑚𝑥
=
𝑛 𝐷𝑥
𝑛 𝑃𝑥
𝐾
(7.124)
Tasa de mortalidad infantil
Si 𝐷0𝑍 es el número de defunciones entre el nacimiento y la edad de un año, acontecidas entre los
residentes de una comunidad durante el año 𝑧 del calendario, y 𝐵 𝑍 es el número total de nacimientos
vivos dentro del mismo año, entonces la tasa de mortalidad infantil es:
1 𝑚0
=
𝐷0𝑍
𝐾
𝐵𝑍
(7.125)
donde 𝐾 es una constante que usualmente se toma como 1000
La tasa de mortalidad infantil ha sido aceptada ampliamente como un indicador del nivel de
salud de una comunidad. Usualmente una tasa de mortalidad infantil elevada está asociada a una
situación económica pobre, que se refleja en los ambientes insalubres, en lo inadecuado de las
facilidades de atención médica y en el nivel educativo generalmente bajo.
Tasas de mortalidad infantil neonatal y posneonatal
Las estadı́sticas precisas de causas de defunción permiten distinguir las defunciones de recién
nacidos causadas por accidentes del parto o por malformaciones congénitas, que se toman como
defunciones endógenas, de las causadas por afecciones respiratorias, accidentes alimenticios y, de
un modo general, por una causa externa, infecciones u otras, es decir, las defunciones exógenas.
La mortalidad endógena se cuantifica por medio de la tasa de mortalidad neonatal y la exógena
por medio de la tasa de mortalidad posneonatal.
Las tasas de mortalidad neonatal y posneonatal se calculan de la misma manera que la tasa
de mortalidad infantil convencional, con la salvedad de que en la primera solo se toman en cuenta
𝑍 ) y en la segunda las defunciones
las defunciones acontecidas dentro del primer mes de vida (𝐷0,
1
acontecidas del primer mes exacto al año exacto (𝐷𝑍1 ,1 )
2
2
Ası́, las tasas de mortalidad neonatal y posneonatal toman las siguientes expresiones respectivamente
190
𝑍
𝐷0,
1
2
(7.126)
𝐵𝑍
𝐷𝑍1 ,1
2
(7.127)
𝐵𝑍
Tablas de mortalidad
Las tablas de mortalidad presentan la -descripción estadı́stica más completa de la mortalidad;
constituida por las tres series probabilı́sticas básicas (suponiendo ).
𝑛 𝑞𝑥
Probabilidad, para los sobrevivientes a edad 𝑥 (𝑙𝑥 ) de fallecer antes de llegar a la edad
𝑥 + 𝑛.
∏
𝑙𝑥 = 𝑥−𝑛
𝑖=0 (1 −𝑛 𝑞𝑖 ) Probabilidad para los elementos del conjunto (sobrevivientes a edad 0)
de llegar con vida a la edad 𝑥.
𝑑𝑥,𝑥+𝑛 =𝑛 𝑞𝑥 𝑙𝑥 Probabilidad para los componentes del conjunto, de fallecer entre 𝑥 y 𝑥 + 𝑛.
A 𝑙0 se le llama el radix de la tabla, el cual en general toma el valor de 100000, siendo en ese
caso 𝑙𝑥 el número de sobrevivientes a edad exacta 𝑥 y 𝑑𝑥,𝑥+𝑛 el número de fallecimientos ocurridos
entre las edades exactas 𝑥 y 𝑥 + 𝑛.
Supongamos que en una población, no sujeta a movimientos migratorios, se dispone del número
de nacidos de un año determinado: 𝑁 , del número de fallecimientos antes de llegar al año de edad
de entre esos nacidos 𝐷(0, 1) , de los fallecidos entre el año de edad exacto y dos: 𝐷(1, 2), etc.
Para los nacidos de esa generación la probabilidad de morir antes de cumplir un año de edad
será:
𝑞0 =
𝐷(0, 1)
𝑁
(7.128)
la probabilidad de morir entre el primer aniversario y el segundo para los que llegaron a cumplir
un año será:
𝑞1 =
𝐷(1, 2)
𝑁 − 𝐷(0, 1)
(7.129)
y ası́ sucesivamente.
La serie 𝑞𝑥 recibe el nombre de series de probabilidad de muerte.
La probabilidad de estar vivo al cumplir el primer año de vida será:
𝑁 − 𝐷(0, 1)
= 1 − 𝑞0
𝑁
(7.130)
𝑁 − 𝐷(0, 1) − 𝐷(1, 2)
= 1 − 𝑞1
𝑁
(7.131)
𝑙1 =
Y al cumplir el segundo
𝑙2 =
191
Y en general:
𝑙𝑥 = (1 − 𝑞0 )(1 − 𝑞1 ) . . . (1 − 𝑞𝑥−1 )
(7.132)
La serie 𝑙𝑥 se conoce con el nombre de probabilidades de supervivencia.
El calendario de la mortalidad de esa generación estará constituido por la serie de probabilidades de morir entre cada par de aniversarios consecutivos para el conjunto de los nacidos. Dicho
calendario 𝑑𝑥,𝑥+1 será por tanto:
𝐷𝑥,𝑥+1
= 𝑙𝑥 𝑞𝑥
𝑁
𝑑𝑥,𝑥+1 =
(7.133)
o bien:
𝑑𝑥,𝑥+1 = 𝑙𝑥 − 𝑙𝑥+1
(7.134)
Las tablas de mortalidad son, en general., tablas, del momento t y no de generaciones, ya que la
atención se concentra mucho más en las condiciones de la mortalidad en el transcurso de un año o
de un periodo determinado, antes que en los efectos de la mortalidad a lo largo de una generación,
lo que se explica por las siguientes razones: a)El fenómeno estudiado se manifiesta a través de un
larguı́simo periodo (alrededor de un siglo), lo que dificulta la observación, b)las reacciones pasadas
de las diversas generaciones no parecen repercutir en su porvenir; c)existe un interés en observar el
estado de la mortalidad durante el transcurso de un año dado, para medir los efectos de diferentes
factores económicos, sociales, epidemiológicos, climáticos y para seguir la evolución año tras año.
Tablas abreviadas de mortalidad
La metodologı́a antes presentada se funda en el cálculo de probabilidades anuales y da por
consiguiente los sobrevivientes en todos los aniversarios sucesivos y las defunciones entre estos
aniversarios. No obstante, en general se construyen tablas en que los aniversarios se encuentran
espaciados, comúnmente cada cinco años, a excepción de] grupo de edad 0 a 4 años cumplidos, el
cual se divide en dos, el de edad cumplida cero y el formado por las edades 1 a 4 cumplidas; este
tipo de tablas son llamadas tablas abreviadas de mortalidad.
Algunas razones por las que se calculan tablas abreviadas de mortalidad son: a)por la captación,
tanto de población viva como de defunciones, esto encuentra la estructura por edad de la población
y de las defunciones, b)porque se quiere resumir una tabla completa y c)porque no se dispone sino
de elementos aproximados que no permiten construir una tabla completa.
La tabla abreviada de mortalidad suele derivarse de cálculos aproximados basados en una documentación incompleta y a veces frágil. En la práctica, es raro que se pueda trabajar con datos
de tan alta calidad que directamente puedan calcularse las probabilidades de muerte, ası́ que se
emplean ı́ndices más burdos, como la tasa de mortalidad quinquenal; el problema consiste entonces
en convertir esas tasas en probabilidades.
Tomemos una probabilidad anual 𝑞𝑥
𝑞𝑥 =
𝑑𝑥,𝑥+1
𝑙𝑥
192
(7.135)
Sea 𝑃𝑥,𝑥+1 la población media cuya edad exacta queda comprendida entre las edades 𝑥 y 𝑥 + 1,
o sea, 𝑃𝑥,𝑥+1 es igual a:
𝑙𝑥 + 𝑙𝑥+1
2
𝑃𝑥,𝑥+1 =
(7.136)
Como:
𝑙𝑥+1 = 𝑙𝑥 − 𝑑𝑥,𝑥1
(7.137)
𝑙𝑥 + 𝑙𝑥+1 = 2𝑙𝑥 − 𝑑𝑥,𝑥+1
(7.138)
Se tiene:
y
𝑃𝑥,𝑥+1 = 𝑙𝑥 −
𝑑𝑥,𝑥+1
2
(7.139)
Con esta expresión a la edad media, la tasa de mortalidad a edad 𝑥 , esto es,𝑚𝑥 , se escribe:
𝑚𝑥 =
𝑑𝑥,𝑥+1
𝑑𝑥,𝑥+1
=
𝑑
𝑃𝑥,𝑥+1
𝑙𝑥 − 𝑥,𝑥+1
2
(7.140)
De (7.135):
𝑑𝑥,𝑥+1 = 𝑙𝑥 𝑞𝑥
𝑞𝑥
2𝑞𝑥
𝑙𝑥 𝑞𝑥
=
⇒ 𝑚𝑥 =
𝑞𝑥 =
𝑙𝑥 𝑞𝑥
1− 2
2 − 𝑞𝑥
𝑙𝑥 − 2
(7.141)
(7.142)
que es la relación buscada y que se puede transformar para expresar 𝑞𝑥 en función de 𝑚𝑥 .
𝑞𝑥 =
𝑚𝑥
2𝑚𝑥
=
1 + 𝑚 𝑥2
2 + 𝑚𝑥
(7.143)
Con la misma hipótesis sobre la población estudiada, se puede admitir que, en el caso de la tasa
quinquenal.
𝑃𝑥,𝑥+5 = 5
𝑙𝑥 + 𝑙𝑥+5
2
(7.144)
Con lo cual se llega a la relación:
5 𝑞𝑥
=
105 𝑚𝑥
2 + 5 5 𝑚𝑥
(7.145)
𝑎 𝑞𝑥
=
2𝑎𝑎 𝑚𝑥
2 + 𝑎𝑎 𝑚𝑥
(7.146)
Y en términos generales a:
193
La expresión (7.145) se emplea para obtener las estimaciones de los cocientes 5 𝑞𝑥 a partir del grupo
de edad 5 a 9 años; teniéndose que 1 𝑞𝑥 a menudo se calcula como una tasa de mortalidad infantil
clásica, es decir, 1 𝑞0 = 𝑚0 empleando (7.146) para 𝑎 = 4, ası́
4 𝑞1
=
84 𝑚1
2 + 44 𝑚𝑥1
(7.147)
Ya obtenida 𝐼𝑛 serie de probabilidades de muerte 𝑛 𝑞𝑥 a partir de las tasas de mortalidad 𝑛 𝑚𝑥 ,
se estiman las series 𝑙𝑥 y 𝑑𝑥,𝑥+𝑛 . Por medio de las relaciones que guardan tomando un radix
𝑙0 = 100000:
𝑛 𝑞𝑥
𝑑𝑥,𝑥+𝑛
𝑑𝑥,𝑥+𝑛
𝑙𝑥
= 𝑙𝑥 − 𝑙𝑥+𝑛 =𝑛 𝑞𝑥 𝑙𝑥
=
(7.148)
(7.149)
La esperanza de vida
A partir de las tablas de mortalidad se obtiene un ı́ndice sintético muy utilizado: la esperanza
de vida. Tal ı́ndice responde al concepto de media, concretamente; duración media de la vida a
partir de una edad dada. Ası́ la esperanza de vida al nacer: 𝑒0 representa el número de años que
vivirı́a, por término medio, un componente de la generación sujeta a la mortalidad que describe la
tabla. Ası́, en una tabla completa, suponiendo que 𝑑𝑥,𝑥+𝑛 se distribuya uniformemente entre 𝑥 y
𝑥 + 1 y 𝑙0 = 1, se tendrá:
𝑒0 =
𝑤
∑
𝑥=0
𝑤
𝑤
𝑥=0
𝑥=0
∑
1
1∑
𝑥 + 𝑑𝑥,𝑥+1 =
𝑥𝑑𝑥,𝑥+1
𝑑𝑥,𝑥+𝑛
2
2
(7.150)
Se sabe que:
𝑤
∑
𝑑𝑥,𝑥+𝑛 = 𝑙0 = 1
(7.151)
𝑥=0
Con lo que:
𝑤
𝑒0 =
1 ∑
+
𝑥𝑑𝑥,𝑥+1
2
(7.152)
𝑥=0
O bien, sustituyendo 𝑑𝑥,𝑥+1 por su equivalente 𝑙𝑥 − 𝑙𝑥+1 :
𝑤
𝑒0 =
1 ∑
+
𝑙𝑥
2
(7.153)
𝑥=0
Es posible aplicar esta fórmula a cualquier edad, con lo que se puede escribir:
𝑒𝑥 =
𝑤
1
1 ∑
+
𝑙𝑖
2 𝑙𝑥
𝑖=𝑥+1
194
(7.154)
En el caso de una tabla abreviada, si también se supone uniforme la distribución de 𝑑𝑥,𝑥+𝑛 entre
𝑥 y 𝑥 + 𝑎, se podrá escribir:
)
𝑤 (
𝑤
∑
𝑎 ∑
1
𝑑𝑥,𝑥+𝑛 = +
𝑒0 =
𝑥+
𝑥𝑑𝑥,𝑥+𝑎
(7.155)
2
2
𝑥=0
𝑥=0
y sustituyendo 𝑑𝑥,𝑥+𝑎 por su valor en función de 𝑙𝑥 quedará:
𝑤
𝑒0 =
∑
𝑎
+𝑎
𝑙𝑥
2
(7.156)
𝑥=0
Se está suponiendo que a es constante, pero en general a en una tabla abreviada toma los
valores 1 (para la primer edad, es decir, cero años cumplidos), 4 (para el grupo de edad 1 a 4 años
cumplidos) y 5 (para los grupos de edades quinquenales que parten del grupo 5 a 9 años cumplidos),
en tal caso, es necesario tener en cuenta estos extremos para la obtención de la formula que se va a
aplicar. Asimismo cuando no se tome 𝑙0 = 1 es preciso dividir todos los valores de 𝑑𝑥,𝑥+𝑎 y 𝑙𝑥 por
𝑙0 . Por tanto. para una tabla abreviada de las anteriores caracterı́sticas se tendrá :
𝑒0 =
1 2,5𝑙1 + 4,5𝑙5 + 5𝑙10 + . . . + 𝑙𝑤
+
2
𝑙0
(7.157)
En general la esperanza de vida a una edad cualquiera x se escribirá:
𝑤
∑
𝑒0 =
𝑎
+
2
𝑙𝑖
𝑖=𝑥+𝑎
𝑙𝑥
(7.158)
Fecundidad
Bajo el nombre de fecundidad se estudian en su aspecto cuantitativo los fenómenos directamente
relacionados con la procreación humana. Ası́, la fecundidad es el estudio de los nacimientos desde
el punto de vista de la concepción.
Un fenómeno demográfico directamente asociado a la fecundidad es pues la natalidad que puede
considerarse desde el punto de vista de los individuos que nacen o desde el punto de vista de las
madres que dan nacimiento a un hijo (o de las parejas que procrean). Cuando el estudio se refiere
principalmente a las circunstancias de la procreación humana se habla de fecundidad. Aparece
entonces una noción suplementaria de fertilidad o aptitud de las mujeres para concebir y cuya
manifestación es la fecundidad.
Tasa bruta de natalidad
Si 𝛽 es el número total de nacidos vivos entre los residentes de una comunidad durante un año
del calendario, y 𝑃 es el número medio de personas que habitan en ella durante el año, entonces la
tasa bruta de natalidad es:
𝑖 =
𝐵
𝐾
𝑃
donde 𝐾 es una constante a la que se da por lo general el valor de 1000.
195
(7.159)
Tasas de fecundidad general
El nivel de la tasa bruta de natalidad se verá influido por la composición de la población total
𝑃 . De este modo, la tasa será baja si en la población total hay una proporción baja de mujeres
casadas en las edades reproductivas. Para medir con más efectividad el nivel de fecundidad de una
comunidad, se han utilizado los siguientes cocientes:
El cociente de nacimientos totales respecto de la población femenina total (𝑃 𝑓 ):
𝑖𝑓
𝐵
𝐾
𝑃𝑓
=
(7.160)
El cociente de nacimientos totales respecto de la población femenina de las edades fértiles,
𝑓
tomadas usualmente como aquellas de 15 a 49 años (𝑃15−49
); esta forma de la tasa de fecundidad general es la más comúnmente usada.
𝑖𝑓15−49 =
𝐵𝑙
𝑓
𝑃15−49
(7.161)
El cociente de nacimientos legı́timos (𝐵 𝑙 ) respecto de la población femenina casada de las
𝑓𝑐
edades fértiles (𝑃15−49
) denominada tasa marital general de fecundidad.
𝑐
=
𝑖𝑓15−49
𝐵𝑙
𝑓𝑐
𝑃15−49
𝐾
(7.162)
Tasas especificas de fecundidad
Cuando los nacimientos de la comunidad, clasificada en cuanto a sus caracterı́sticas demográficas
y socioeconómicas, se relacionan con poblaciones con las mismas subdivisiones, los resultados son
las tasas especı́ficas de fecundidad.
Las clasificaciones más comunes son respecto a la edad de las mujeres, su estado civil y el orden
de nacimiento.
Sea 𝐵, los nacimientos de hijos cuyas madres tenı́an en el momento de dar a luz en la edad j
o su edad comprendida en el grupo de edad 𝑗 (en general quinquenal: 15 a 19, 20 a 24. . .,45 a 49
años). Sea la población femenina con edad o en el grupo de edad 𝑗, entonces la tasa especı́fica de
fecundidad por edad es:
𝐵𝑗
𝑓𝑗 =
𝐾
(7.163)
𝑃𝑗𝑓
cuando el cálculo se hace con los nacimientos anuales y la población de mitad de año, los resultados
se conocen con el nombre de tasas centrales.
Si 𝐵𝑗𝑙 son nacimientos de hijos cuyas madres son asadas con edad o en el grupo 𝑗 y 𝑃𝑗𝑓 𝑐 las
mujeres casadas con edad o en el grupo de edad 𝑗, entonces las tasas especı́ficas de fecundidad son
llamadas maritales o legı́timas.
𝑓𝑗𝑚 =
𝐵𝑗𝑙
𝑃𝑗𝑓 𝑐
(7.164)
Para el caso de la fecundidad de las mujeres no casadas, se habla de fecundidad ¡legı́tima y sus
tasas especı́ficas de fecundidad por edad son llamadas tasas de fecundidad ilegı́tima.
196
Tasa global de fecundidad o descendencia final
La tasa global de fecundidad o descendencia final mide el promedio de hijos que tiene una mujer
a lo largo de su perı́odo de procreación (tomándose comúnmente de 15 a 49 años cumplidos). Ası́,
si una mujer estuviera expuesta a la fecundidad de la serie 𝑓𝑗 de tasas especı́ficas de fecundidad por
edad, o grupo de edad 𝑗, el número de hijos que tendrı́a al final de su vida reproductiva vendrı́a
dado por la tasa global de fecundidad o descendencia final (𝑇 𝐺𝐹 ):
𝑇 𝐺𝐹
= 𝑐
𝑏
∑
𝑓𝑗
(7.165)
𝑗=𝑎
Donde 𝑎 es la primera edad o grupo de edad fecundado, 𝑏 el último, y 𝑒, la amplitud del grupo
𝑗.
Tasas bruta y neta de reproducción
La tasa bruta de reproducción (𝑅) representa el número de hijas que tendrı́a una mujer a lo
largo de su vida fértil en ausencia de mortalidad. Ası́ pues, si una; mujer estuviera expuesta a la
fecundidad de la serie 𝑓𝑢 de tasas especı́ficas de fecundidad por edad, o grupo de edad 𝑢, el número
de hijas que tendrı́a estarı́a dado por
𝑅 = 𝑓𝑎
𝛽
∑
𝑓𝑢
(7.166)
𝛼=4
Donde 𝑓 es la tasa de feminidad al nacimiento, tasa que no se suele apartar significativamente
de 0.488, a el primer grupo fecundo y 𝛽 el último, a es la amplitud del grupo 4.
Si se representa como 𝑓𝑥 la tasa especı́fica de fecundidad a la edad 𝑥, y 𝑓𝑥,𝑥+4 la tasa especı́fica
de fecundidad del grupo de cumplidas (𝑥, 𝑥 + 4), se tiene
𝑅 = 0,488(𝑓15 + 𝑓16 + . . . + 𝑓49 )
(7.167)
𝑅 = 0,488 ∗ 5(𝑓15−19 + 𝑓20−24 + . . . + 𝑓45−49 )
(7.168)
(7.169)
Haciendo entrar en juego la mortalidad de esa generación de mujeres, se llega a la tasa neta de
reproducción (𝑅0 ) que representa el número de hijas que tendrı́a una mujer a lo largo de su vida
fértil si estuviera expuesta a la mortalidad. Ası́ pues, se tendrı́a
𝑅0 = 𝑓 𝑎
𝑤
∑
𝑓𝑢 𝑃𝑢
(7.170)
𝑢=𝛼
donde la serie 𝑃𝑢 es la de supervivencia de las mujeres a la edad 𝑢.
Para apreciar la medida en que una generación asegura su reemplazo se observan los valores
de 𝑅0 ; ası́, si la tasa neta de reproducción es inferior a 1, el reemplazo integral no se encuentra
asegurado (faltarı́a 1 − 𝑅0 ); tal reemplazo se alcanza, en cambio, si Ro es igual a 1 y con -mayor
razón si 𝑅0 es mayor que 1, caso este último en que se produce un excedente (que se mide por la
cantidad 𝑅0 − 1).
197
Edad media a la fecundidad
Ası́ como se estimaron la esperanza de vida. en el caso de mortalidad, y la esperanza de vida
célibe o edad media al contraer primeras nupcias, en el caso de nupcialidad; en cuanto a la fecundidad, se estima la edad media a la fecundidad o edad media al primer hijo nacido vivo; que
representan el promedio de años que deben transcurrir antes de que una mujer tenga su primer hijo
nacido vivo.
Haciendo la analogı́a del caso de mortalidad y nupcialidad, para la fecundidad la edad media
se estima a partir de las siguientes expresiones:
Caso de edades individuales:
𝑤
∑
𝑚
ˆ
′
=
𝛽
∑
𝑥𝑓𝑥
𝑥=𝛼
𝛽
∑
=
(𝑥 + 0,5)𝑓𝑥
𝑥=𝛼
𝛽
∑
𝑓𝑥
𝑥=𝛼
(7.171)
𝑓𝑥
𝑥=𝛼
Caso de grupos quinquenales de edad:
𝛽
∑
𝑚
ˆ
′
(𝑥 + 0,5)𝑓𝑥,𝑥+4
𝑥=𝛼
=
𝛽
∑
(7.172)
𝑓𝑥,𝑥+4
𝑥=𝛼
Relación entre las tasas bruta y neta de reproducción
Suponiendo una relación lineal entre edades y probabilidades de supervivencia, tomando 𝑃1 =
𝑥1 𝑃𝑥1 y 𝑃2 = 𝑥2 𝑃𝑥2 donde 𝑥1 y 𝑥2 son dos edades comprendidas en el periodo reproductivo de la
mujer 𝑃𝑥 y 𝑃𝑥 , sus respectivas tasas de supervivencia, entonces bajo la hipótesis de linealidad:
𝑃 𝑥 − 𝑃 𝑥1
Sea 𝐾 =
𝑃𝑥2 −𝑃𝑥1
𝑥2 −𝑥1
=
𝑃𝑥2 − 𝑃 − 𝑥1
(𝑥 − 𝑥1 )
𝑥2 − 𝑥1
(7.173)
,entonces:
𝑃𝑥 = 𝐾(𝑥 − 𝑥1 ) + 𝑃𝑥1
(7.174)
multiplicando ambos miembros de la ecuación (7.174) por 𝑓𝑥 (tasa especı́fica de fecundidad a edad
𝑥):
𝑓𝑥 𝑃𝑥 = 𝐾𝑓𝑥 (𝑥 − 𝑥1 ) + 𝑓𝑥 𝑃𝑥1
(7.175)
la expresión (7.175) la multiplicamos por la tasa de feminidad 𝑓 = 0,488 y sumamos de 𝛼 a 𝛽 (15
a 49 años)
0,488
𝛽
∑
𝑥=𝛼
𝑓𝑥 𝑃𝑥 = 0,488𝐾
𝛽
∑
𝑥=𝛼
198
𝑓𝑥 (𝑥 − 𝑥1 ) + 0,488𝑃𝑥1
𝛽
∑
𝑥=𝛼
𝑓𝑥
(7.176)
teniendo que (7.176) puede escribirse como:
𝑅0 = 0,488𝐾
𝛽
∑
𝑓𝑥 (𝑥 − 𝑥1 ) + 𝑃𝑥1 𝑅
(7.177)
𝑥=𝛼
Nos preguntamos si existe valor de 𝑥1 tal que 𝐾
𝛽
∑
𝑓𝑥 (𝑥 − 𝑥1 ) = 0 con el fin de simplificar (7.177)
𝑥=𝛼
y obtener la relación final entre 𝑅0 y 𝑅, ası́:
𝐾
𝛽
∑
𝑓𝑥 (𝑥 − 𝑥1 ) = 0
(7.178)
𝑥=𝛼
Si: 𝑘 = 0, pero 𝐾 =
𝑃𝑥2 −𝑃𝑥1
𝑥2 −𝑥1
= 0 sı́
𝑃 𝑥2 − 𝑃 𝑥1 = 0
𝛽
∑
𝑓𝑥 (𝑥 − 𝑥1 ) =
𝑥=𝛼
𝛽
∑
O bien:
(7.179)
(
𝛽
∑
𝑥𝑓𝑥 − 𝑥1
𝑥=𝛼
𝛽
∑
)
𝑓𝑥
=0
(7.180)
𝑥=𝛼
𝑥𝑓𝑥
𝑥=𝛼
𝛽
∑
, la que por definición es la edad media de la fecundidad: 𝑚
ˆ′ .
𝑓𝑥 = 𝑥1
𝑥=𝛼
Por lo tanto la relación entre las tasas bruta y neta de reproducción es:
𝑅0 = 𝑃 𝑚
ˆ ′𝑅
(7.181)
Nupcialidad
El estudio de la nupcialidad comprende principalmente el de los fenómenos cuantitativos que
resultan directamente de la existencia de los matrimonios, o uniones legitimas, es decir, de uniones
entre personas de diferente sexo, realizadas en la forma provista por la ley, o por la costumbre y
que confieren a las personas interesadas determinados derechos y obligaciones. En la mayorı́a de los
paı́ses se celebra una ceremonia, llamada también matrimonio, para sancionar el acuerdo de unión
entre un hombre y una mujer conforme a las normas establecidas por la ley o por la costumbre. La
observación de los sucesos constituidos por tales matrimonios y por las rupturas de la unión, forma
1a base de los estudios sobre la nupcialidad. Por extensión, se incluye algunas veces el estudio de
las uniones ilegales, especialmente en los paı́ses en que esta clase de uniones están tan generalizadas
que su estudio resulta indispensable.
Tasa bruta de nupcialidad
Si 𝑀 es el número total de matrimonios entre los residentes de una comunidad durante un año
del calendario y 𝑃 es el número promedio de personas que viven en ella durante el año, entonces
199
la tasa bruta de nupcialidad es:
𝑀
𝐾
𝑃
(7.182)
donde 𝐾 es una constante que por lo general se toma como 1000.
Hay ocasiones en que se usa el número de personas que se casan, en vez del número de matrimonios, para calcular la tasa de nupcialidad.
Tasa especı́fica de nupcialidad
Como en el caso de las tasas de mortalidad. las tasas de nupcialidad pueden calcularse por edad,
:sexo, estado civil, nivel socioeconómico y otras caracterı́sticas
Si 𝑛 𝑀𝑥 es el número de matrimonios entre las edades 𝑥 y 𝑥 + 𝑛 entre los residentes de una
comunidad durante un año, y en 𝑛 𝑃𝑥 es el número promedio de personas entre las edades 𝑥 y 𝑥 + 𝑛
que viven en esa comunidad durante ese año, entonces la tasa de nupcialidad por edades es:
𝑛 𝑁𝑥
𝑛 𝑀𝑥
=
𝑛 𝑃𝑥
𝐾
(7.183)
En general las tasas de nupcialidad se basan en la población adulta no casada, es decir, se toman
en cuenta primeras uniones o matrimonios de orden uno. Con ello se está ante un fenómeno demográfico no renovable; pero sı́ no ponemos la restricción de uniones de primer orden, el -fenómeno
serı́a renovable, complicando considerablemente su análisis y la realidad de los diversos fenómenos
demográficos relacionados con la celebración y la ruptura de uniones.
Tablas de nupcialidad
Para describir la manera en que se producen los matrimonios en primeras nupcias en una
generación femenina dada, se calculan previamente una serie de probabilidades de nupcialidad que
midan el riesgo de nupcialidad entre dos edades sucesivas 𝑥 y 𝑥 + 1.
Se mide este riesgo relacionando los matrimonios en primeras nupcias (o matrimonios de
solteros) que se producen entre las edades 𝑥 y 𝑥 + 1, o sea 𝑚𝑥,𝑥+1 , con el efectivo de solteros
que han alcanzado la edad exacta 𝑥, o sea, 𝐶𝑥 . Se tiene ası́ la probabilidad de contraer primeras
nupcias en las edades 𝑥 y 𝑥 + 1:
𝑚𝑥 =
𝑚𝑥,𝑥+1
𝐶𝑥
(7.184)
Se debe corregir (7.173) para tener en cuenta la mortalidad. Entre los 𝐶𝑥 solteros que alcanzan
la edad exacta 𝑥, habrá 𝑑𝑥,𝑥+1 que mueren entre 𝑥 y 𝑥 + 1. Habrá entonces 𝐶𝑥 − 𝑑𝑥,𝑥+1 que corran
el riesgo de nupcialidad durante todo el año. Se puede admitir que los 𝑑𝑥,𝑥+1 fallecidos en medio
han vivido casi medio año cada uno y que, por consiguiente, han corrido el riesgo nupcial también
medio año cada uno, en promedio, lo que globalmente equivale al riesgo nupcialidad corrido por
𝑑𝑥,𝑥+1
solteros durante un año entero En total, el riesgo de nupcialidad lo ha corrido el efectivo, en
2
su conjunto.
𝐶𝑥 − 𝑑𝑥,𝑥+1 +
𝑑𝑥,𝑥+1
2
200
= 𝐶𝑥 −
𝑑𝑥,𝑥+1
2
(7.185)
Ası́, la fórmula (7.173) al considerar al fenómeno perturbador mortalidad torna la siguiente expresión:
𝑁𝑥 =
𝑚𝑥,𝑥+1
𝐶𝑥 −
(7.186)
𝑑𝑥,𝑥+1
2
Considerando los movimientos migratorios, suponiendo uniformidad de los flujos migratorios, y
suponiendo también que entre las edades 𝑥 y 𝑥 + 1 han emigrado 𝐸𝑥,𝑥+1 y han inmigrado 𝐼𝑥,𝑥+1
solteros. Suponiendo que el comportamiento de unos y otros fuese común al del conjunto, (al igual
que en el caso de mortalidad se puede admitir que los 𝐸𝑥,𝑥+1 emigrantes y los 𝐼𝑥,𝑥+1 inmigrantes, en
promedio han vı́vido casi medio año cada uno en la región de origen) por consiguiente han corrido
el riesgo nupcial también medio año cada uno, en promedio lo que globalmente equivale al riesgo
𝐸
𝐼
de nupcialidad corriendo por 𝑥,𝑥+1
y 𝑥,𝑥+1
durante un año entero, teniéndose que la mitad de
2
2
los primeros matrimonios de los emigrantes ocurrió fuera de la zona y la mitad de los primeros
matrimonios de los inmigrantes se han contabilizado en ella.
En total, considerando la mortalidad y la migración, el riesgo de nupcialidad lo ha corrido el
efectivo:
𝐶𝑥 − 𝑑𝑥,𝑥+1 +
𝑑𝑥,𝑥+1
𝐼𝑥,𝑥+1
𝐸𝑥,𝑥+1
𝐼𝑥,𝑥+1 −
− 𝐸𝑥,𝑥+1 +
2
2
2
(7.187)
Ası́, la fórmula (7.135) al considerar los fenómenos perturbadores; mortalidad y migración toma la
siguiente expresión:
𝑁𝑥 =
𝑚𝑥,𝑥+1
𝑚𝑥,𝑥+1
=
𝐶𝑥
𝐶𝑥 − 12 (𝑑𝑥,𝑥+1 + 𝐼𝑥,𝑥+1 − 𝐸𝑥,𝑥+1 )
(7.188)
Lo mismo que en el caso de las tasas especı́ficas de mortalidad, a partir de las cuales se pueden
calcular las probabilidades de muerte, en el caso de nupcialidad a partir de las tasas especificas
por edad, se estiman, las probabilidades de contraer primeras nupcias, esto empleando la misma
relación encontrada para el caso de la mortalidad: y a partir de las probabilidades de nupcialidad
se pueden calcular tablas de nupcialidad y definir funciones análogas a las que se señalaron para
las tablas de mortalidad, que en este caso son las siguientes:
𝑎 𝑁𝑥
𝑚𝑥,𝑥+𝑎
𝑚𝑥,𝑥+𝑎
𝐶𝑎
= 𝑎 𝑁𝑥 𝐶𝑎 = 𝐶𝑎 − 𝐶𝑎+𝑛
=
𝛽
∑
𝑒¯ =
𝐶𝑖
𝑖=𝛼
𝐶𝛼
=
(7.189)
(7.190)
𝐶𝛼 − 𝐶𝛽
𝐶𝛽
=1−
𝐶𝛼
𝐶𝛼
(7.191)
𝐶
donde:𝛼 es la edad de entrada al proceso nupcial y 𝛽 la edad de salida y 𝐶𝛼𝛽 es la proporción de
célibe o solteros definitivos.
Al igual que en el caso de la mortalidad, en el de la nupcialidad también a partir de las tablas de
nupcialidad se obtiene un ı́ndice sintético: la esperanza de vida célibe o edad media a la nupcialidad,
la que representa el número de años que vivirá en estado célibe, por término medio, un componente
201
de la generación sujeta a la nupcialidad que describe la tabla. Ası́, en los casos de tablas completas
y abreviadas, bajo el mismo supuesto de uniformidad de la distribución de los eventos para la
mortalidad, se tienen las siguientes expresiones para estimar la edad media a la primera unión (𝑚):
¯
Caso de tabla completa:
𝑚
¯′ =
)
𝛽 (
∑
1
𝑥+
𝑚𝑥,𝑥+1
2
𝑖=𝛼
𝛽
∑
(7.192)
𝑚𝑥,𝑥+1
𝑖=𝛼
𝛽
∑
=
𝛽
𝑥𝑚𝑥,𝑥+1 +
𝑖=𝛼
1∑
𝑚𝑥,𝑥+1
2
𝑖=𝛼
𝛽
∑
(7.193)
𝑚𝑥,𝑥+1
𝑖=𝛼
𝛽
∑
=
1
+
2
𝑥𝑚𝑥,𝑥+1
𝑖=𝛼
𝐶𝛼 − 𝐶𝛽
(7.194)
Caso de tabla abreviada:
𝛽
∑
𝑚
¯′ =
𝑚𝑥+ 𝑎2 𝑚𝑥,𝑥+𝑎
𝑖=𝛼
𝛽
∑
(7.195)
𝑚𝑥,𝑥+𝑎
𝑖=𝛼
𝛽
∑
=
𝑎
+
2
𝑥𝑚𝑥,𝑥+𝑎
𝑖=𝛼
𝐶𝛼 − 𝐶𝛽
(7.196)
Migración
El movimiento migratorio se define como el fenómeno demográfico cuyo suceso caracterı́stico es
la migración. Es decir, el desplazamiento de un individuo desde un lunar hacia otro.
Los movimientos migratorios se clasifican según el tipo de desplazamiento en: definitivos, de
duración larga, temporales e incluso diarios.
Los datos sobre migraciones son en general incompletos, por ello muy frecuentemente se obtienen
resultados sobre el fenómeno migratorio recurriendo a fuentes indirectas. Ası́, es muy corriente
obtener el saldo migratorio, es decir el número de inmigrantes menos el flujo de emigrantes durante
un perı́odo en una zona, mediante la llamada ecuación compensadora, cuya formulación es la
siguiente:
Sean para el periodo 𝑡, 𝑡 + 𝑎 en una zona geográfica cualquiera:
202
𝐷𝑡,𝑡+𝛼 = defunciones
(7.197)
𝑁𝑡,𝑡+𝛼 = nacimientos
(7.198)
𝐸𝑡,𝑡+𝛼 = emigrantes
(7.199)
𝐼𝑡,𝑡+𝛼 = inmigrantes
(7.200)
Si la población en 𝑡 es 𝑃𝑡 y en el instante 𝑡 + 𝑎, 𝑃𝑡+𝑎 se tendrá:
𝑃𝑡 = 𝐷𝑡,𝑡+𝛼 − 𝑁𝑡,𝑡+𝛼 − 𝐸𝑡,𝑡+𝛼 − 𝐼𝑡,𝑡+𝛼 = 𝑃𝑡+𝑎
(7.201)
O lo que es igual:
𝑃 − 𝑡 al número de residentes de esa categorı́a,
𝑀 al número de migrantes entre la población
𝑃 al número de residentes de la población total,
Entonces el ı́ndice de migración diferencial de la categorı́a particular es:
𝑀𝐶
𝑃𝐶
−
𝑀
𝑃
𝑀
𝑃
∗ 100 =
𝑀𝐶 𝑃 − 𝑀 𝑃 𝐶
∗ 100
𝑀 𝑃𝐶
(7.202)
El mismo ı́ndice puede derivarse al diferenciar la proporción de los migrantes totales contenida en
una categorı́a particular y la proporción correspondiente de la población residente total. De este
modo:
𝑀𝐶
𝑀
−
𝑃𝐶
𝑃
𝑃𝐶
𝑃
∗ 100 =
𝑀 𝐶 𝑃 − 𝑀 𝑃𝐶
∗ 100
𝑀 𝑃𝐶
(7.203)
El método de la tasa de supervivencia
Fórmula avanzante
Este método se usa cuando no se dispone de las estadı́sticas necesarias sobre defunciones para
aplicar la ecuación compensadora; en ocasiones puede usarse por conveniencia, aun cuando se
disponga de información sobre defunciones.
Para ilustrar el método avanzante de tasas de supervivencia, supóngase que se dispone, para
los tiempos 𝑡 y 𝑡 + 10 de la distribución por edades de la población, y de un conjunto de tasas de
supervivencia 10 𝑃𝑥 aplicables a la población.
Entonces la migración neta durante la década para el grupo de edad x al principio es:
𝑡+10
𝑀𝑥𝑡 = 𝑃𝑥+10
−10 𝑃𝑥 𝑃𝑥𝑡
(7.204)
La fórmula avanzante de supervivencia puede dar lugar a estimaciones correctas de la migración
si la información sobre población es exacta, o si se han hecho correcciones por subnumeración y
declaración incorrecta de la edad, y si toda la migración hacia adentro y hacia afuera aconteciera
al final del decenio.
203
Fórmula de retroceso
El método de la fórmula de retroceso se ilustra en términos de los parámetros utilizados en el
método de la fórmula avanzante.
𝑡+10
La tasa de supervivencia de diez años 10 𝑃𝑥 se divide entre la población correspondiente 𝑃𝑥+10
al final del decenio para obtener una estimación del número de personas vivas a una edad 10 años
mayor al principio del decenio. Este número se compara con el número 𝑃𝑥𝑡 registrado, para obtener
ası́ una estimación de la migración neta, de este modo:
𝑡+10
𝑃𝑥+10
− 𝑃𝑥𝑡
10 𝑃𝑥
𝑀𝑥𝑡 =
(7.205)
En este caso se tendrán estimaciones correctas de la migración si toda la inmigración y la
emigración 𝑡 tienen lugar al principio del decenio.
Fórmula promediada
Debido a la naturaleza contraria de los errores implicados en los métodos avanzante y de retroceso, un promedio de los dos nos darı́a una estimación mejorada de 1a migración neta. la fórmula
promediada es:
𝑀𝑥𝑎 =
)
1 +10 𝑃𝑥 ( 𝑡+10
𝑃𝑥+10 −10 𝑃𝑥 ∗ 𝑃𝑥𝑡
210 𝑃𝑥
(7.206)
Relación entre los métodos de tasas de supervivencia
Las tres fórmulas de tasas de supervivencia están relacionadas en forma muy simple. Ası́:
𝑀𝑥𝑡 =
𝑡
10 𝑃𝑥 𝑀𝑥
(7.207)
1 +10 𝑃𝑥 𝑡
𝑀𝑥
210 𝑃𝑥
(7.208)
y
𝑀𝑥𝑎 =
Cabe señalar que de los tres métodos de tasas de supervivencia, la fórmula avanzante es la más
usada debido a su simplicidad, facilidad de comprensión, y a la exactitud relativa de la estimación
de la migración entre la población inicial de un periodo.
Estimación directa de la migración interna empleando información censal
Con la información censal del lugar de residencia y del lugar de nacimiento se puede estimar el
saldo neto migratorio y, a diferencia de los otros métodos enunciados el número tanto de inmigrantes
como de emigrantes a una región.
Considérese dividida la población en estudio en 𝑛 regiones y sean para la región 𝑖:
𝑂𝑖 los originarios de la región 𝑖 censados en las 𝑛 regiones.
𝑃𝑖 la población presente en la región 𝑖
𝑂𝑃𝑖 los originarios de 𝑖 presentes en 𝑖 al momento del censo.
204
𝐸𝑖 los originarios sobrevivientes de la región 𝑖 censados
𝐼𝑖 la población sobreviviente en la región 𝑖 nacidos fuera de 𝑖 en las 𝑛 − 1 regiones restantes.
Para las 𝑛 regiones es posible obtener, al estimar para cada una de ellas los parámetros antes
definidos la siguiente matriz de migración:
Con la información captada en la matriz de migración se pueden estimar los ı́ndices de inmigración y emigración, que para la región i son respectivamente:
𝐼𝑖
∗ 100
𝑃𝑖
𝐸𝑖
∗ 100
𝑂𝑖
(7.209)
(7.210)
Además pueden estimarse los saldos netos migratorios interregionales, ası́ como el número de
emigrantes e inmigrantes para el caso de la región 𝑖, con respecto a las 𝑛 − 1 regiones restantes. En
el cuadro 1 se resume la información sobre migración interregional para el estado 𝑖; los signos de la
columna 4 indican, en el caso positivo, que fue mayor el número de inmigrantes a la región 𝑖 que el
número de emigrantes de 𝑖 a la región considerada, y en el caso negativo lo contrario.
Población activa
En el nivel metodológico, las diferencias entre el fenómeno de la actividad y los fenómenos
más clásicamente demográficos, como pueden ser la mortalidad o la nupcialidad, no son demasiado
acusadas. Lo verdaderamente diferenciador estriba en el tipo de información actual disponible.
205
Cuadro 7.22: Región 𝑖 Número de inmigrantes a 𝑖, emigrantes de 𝑖 y saldos netos migratorios
interregionales
Región (1)
Inmigrantes (2)
Emigrantes (3)
Saldos netos interregionales (2)+(3)
1
2
..
.
+
+
..
.
𝑖−1
..
.
..
.
𝑛
Total
𝐼𝑖
𝐸𝑖
Migración neta de
todo el estado
Las estadı́sticas demográficas distinguen la población activa, o población económicamente activa, de la población inactiva, o población económicamente inactiva, o población no activa. En
principio, la población activa está constituida por aquella parte de la población total disponible
corrientemente para trabajar en la producción y la distribución de los bienes y servicios económicos,
se incluyen en ella no solamente las personas que ejecutan una actividad lucrativa, sino también
aquellas-cuya actividad no está remunerada, en particular los trabajadores familiares no remunerados.
Se considera población inactiva la constituida por todas las personas no incluidas en la población
activa.
La información referente a la población activa proviene principalmente de un recuento de
población tal como un censo o una encuesta, o de información de los establecimientos donde trabaja
la población.
Cabe señalar que comúnmente se introduce el concepto fuerza de trabajo para identificar a la
población económicamente activa, no obstante que el concepto fuerza de trabajo es más especı́fico
que el de trabajador remunerado7 .
El modelo simplificado de una población
Supongamos la economı́a de una población dividida en 𝑁 sectores productivos, y para fines de
este análisis, que se está ante un solo sector: al que pertenecen los activos, existiendo, por otro lado,
la categorı́a de los no activos y supongamos que estamos ante una cohorte cuyo suceso origen es la
entrada en edad potencialmente activa.
Entre las edades 𝑥 y 𝑥 + 𝑎 hay un flujo de individuos de esa cohorte que entran en actividad
por primera vez, otros flujos de segundas, terceras, enésimas entradas en actividad, hay un flujo
7
Karl. Marx en El Capital, p. 121, tomo 1, Ed. del F.C.E. define la fuerza de trabajo como el conjunto de las
condiciones fı́sicas, y sı́quicas que se dan en la corporeidad, en la personalidad viviente de un hombre y que este pone
en acción al producir valores de uso de cualquier clase.
206
de fallecimientos y, en fin, flujos migratorios hacia y desde la zona geográfica considerada. A fin de
simplificar el razonamiento, pueden formularse las siguientes hipótesis:
Que la población es cerrada, es decir, sin movimientos migratorios con el exterior
Que las salidas son definitivas.
Ası́ pues, se está ante tres fenómenos: la entrada en actividad, la salida de actividad, fenómeno éste
que se produce necesariamente tras el primero y la mortalidad que interfiere los dos primeros. Se
supondrá además que una persona destinada a entrar en actividad entre 𝑥 y 𝑥 + 𝑎 no puede estar
destinada a salir de actividad en el mismo periodo. la construcción de tablas de entradas y salidas
de activada servirán para medir ambos fenómenos.
Tablas de entrada
Las series que se pueden obtener en este caso son las siguientes:
𝑎𝑥 probabilidad de entrar en actividad entre𝑥 y 𝑥 + 𝑎 para los aún inactivos en 𝑥.
𝐻𝑥 probabilidad de ser inactivo en 𝑥 para el conjunto de la cohorte en la edad 0.
𝑎𝑥,𝑥+𝑎 probabilidad de entrar en actividad entre 𝑥 y 𝑥 + 𝑎 para el conjunto de la cohorte en
0.
Como en toda tabla demográfica las relaciones entre las tres series son las siguientes:
𝐻𝑥 =
𝑥−𝑎
∑
𝑎 − 𝑎𝑖
(7.211)
𝑖=0
𝑎𝑥,𝑥+𝑎 = 𝑎𝑥 𝐻𝑥 = 𝑎𝑥
𝑥−𝑎
∑
1 − 𝑎𝑖
(7.212)
𝑖=0
Para la obtención de la serie 𝑎𝑥 serı́a necesario disponer de los siguientes datos:
𝜉𝑥,𝑥+𝑎 flujos de entradas en actividad entre 𝑥 y 𝑥 + 𝑎.
𝐼𝑥 número de inactivos en la edad 𝑥
𝑞𝑥 muerte aplicable entre 𝑥 y 𝑥 + 𝑎 a los inactivos en 𝑥
Además es necesario considerar al fenómeno perturbador constituido por la mortalidad, en la
estimación de 𝑎𝑥 . Ası́, si en general se está ante dos fenómenos demográficos el 𝑓 (fenómeno en
estudio) y el 𝑃 (fenómeno perturbador); el primero se caracteriza por el suceso 𝐴, y el segundo
por el 𝐵, ambos no renovables. Aquellas personas que son alcanzadas por 𝐵 no pueden serlo
posteriormente por 𝐴. Supongamos que ambos fenómenos se observan desde la edad 0 la 𝑤. Al
llegar a una edad 𝑥la cohorte cuyo efectivo inicial era 𝑆0 estará dividida en cuatro subconjuntos:
𝑆𝑥 personas que no han sido alcanzadas ni por 𝐴 ni por 𝐵
𝑅𝑥 personas alcanzadas por 𝐴 y no por 𝐵
𝐹𝑥 personas no alcanzadas por 𝐴 y sı́ por 𝐵
207
𝑇𝑥 personas alcanzadas por 𝐴 y, posteriormente, por 𝐵
Teniéndose que 𝑆0 = 𝑆𝑥 + 𝑅𝑥 + 𝐹𝑥 + 𝑇𝑥 .
Supongamos que entre 𝑥 y 𝑥 + 𝑎 el flujo de sucesos A dentro de la cohorte es 𝑁𝑥,𝑥+𝑎 y el
′
de sucesos 𝐵 para el subconjunto 𝑆𝑥 : 𝑁𝑥,𝑥+𝑎
, si denotamos como 𝑁𝑥 a la probabilidad para los
elementos del subconjunto 𝑆𝑥 de ser alcanzados por 𝐴 antes de llegar a la duración 𝑥+𝑎 en ausencia
del fenómeno 𝑃 , entonces el valor 𝑁𝑥 vendrá dado por un cociente en cuyo denominador está 𝑆𝑥 ,
con un numerador compuesto por el número de sucesos 𝐴 observados: 𝑁𝑥,𝑥+𝑎 más el número de
sucesos 𝐴 que fueron impedidos por 𝐵.
Sea 𝑞𝑥 la probabilidad de ser alcanzado por 𝐵 entre 𝑥 y 𝑥 + 𝑎 para el subconjunto S𝑥. En este
caso la probabilidad de ser alcanzado por 𝐴 y 𝐵 entre 𝑥 y 𝑥 + 𝑎 será, para dicho subconjunto:
𝑁𝑥 𝑥 𝑞𝑥 ; ası́, el número de los destinados a padecer 𝐴 y 𝐵 entre dichas duraciones será 𝑆𝑥 𝑁𝑥 𝑞𝑥 .
Supongamos que de entre ellos la mitad será alcanzada antes por𝐵 que por 𝐴, siéndolo la otra mitad
1
por 𝐴 antes que por 𝐵, teniéndose que el número de sucesos 𝐴 impedidos por 𝐵 será 2𝑆𝑥 𝑁
,
𝑥 𝑞𝑥
llegando a la siguiente expresión para 𝑁𝑥 :
𝑁𝑥 =
𝑁𝑥,𝑥+𝑎 +
1
𝑆𝑥 𝑁𝑥 𝑞𝑥
𝑆𝑥
(7.213)
o lo que es igual
𝑁𝑥 =
𝑁𝑥,𝑥+𝑎
(
)
𝑆𝑥 1 − 𝑞2𝑥
(7.214)
Supongamos que, a efectos del denominador de (7.214), es válida la siguiente equivalencia:
′
𝑆𝑥 𝑞𝑥 = 𝑁𝑥,𝑥+𝑎
(7.215)
Teniéndose que (7.214) puede escribirse como:
𝑁𝑥,𝑥+𝑎
𝑁𝑥 =
𝑆𝑥 −
′
𝑁𝑥,𝑥+𝑎
2
(7.216)
′
Para el cálculo de (7.216) es preciso recurrir al conocimiento de 𝑁𝑥,𝑥+𝑎
. Para eliminar ese problema
se hace lo siguiente:
Por definición de 𝑆𝑥 :
(
)
′
𝑆𝑥 − 𝑎 = 𝑆𝑥 − 𝑁𝑥,𝑥+𝑎 + 𝑁𝑥,𝑥+𝑎
(7.217)
De donde:
𝑆𝑥 + 𝑆𝑥 + 𝑎
2
= 𝑆𝑥 −
′
𝑁𝑥,𝑥+𝑎 + 𝑁𝑥,𝑥+𝑎
2
(7.218)
Por lo cual:
𝑆𝑥 −
′
𝑁𝑥,𝑥+𝑎 + 𝑁𝑥,𝑥+𝑎
2
=
208
𝑆𝑥 + 𝑆𝑥 + 𝑎 𝑁𝑥,𝑥+𝑎
+
2
2
(7.219)
Con lo que se llega a una nueva fórmula para Mx:
𝑁𝑥 𝑥, +𝑎
𝑁
𝑆𝑥 +𝑆𝑥 +𝑎
+ 𝑥,𝑥+𝑎
2
2
𝑁𝑥 =
(7.220)
′
La expresión (7.219) no hace ya referencia al flujo perturbador 𝑁𝑥,𝑥+𝑎
de sucesos 𝐵. Volviendo al
problema que nos ocupa, al aplicar (7.214) y (7.220) para estimar los valores 𝑎𝑥 a partir de 𝜉𝑥,𝑥+𝑎 𝐼𝑥
y 𝑞𝑥 se tiene que:
𝜉𝑥,𝑥+𝑎
)
(
𝐼𝑥 𝑎 − 𝑞2𝑥
(7.221)
𝜉𝑥,𝑥+𝑎
𝜉
𝐼𝑥 +𝐼𝑥 +𝑎
+ 𝑥,𝑥+𝑎
2
2
(7.222)
𝑎𝑥 =
y
𝑎𝑥 =
El calendario del fenómeno vendrá dado por el cociente
𝑎𝑥,𝑥+𝑎
𝑤
∑
, siendo la intensidad:
𝑎𝑥,𝑥+𝑎
𝑥=0
𝑝 =
𝑤
∑
𝑎𝑥,𝑥+𝑎 = 𝐼 − 𝐻𝑤
(7.223)
𝑥=0
La duración media del fenómeno, es decir, la edad o duración en que, por término medio, entran
en actividad los componentes de esa generación que alguna vez llegan a ser activos, vendrá dada
por:
𝑤 (
∑
𝑚
¯ =
𝑥=0
𝑤
∑
𝑎)
𝑎+
𝑎𝑥,𝑥+𝑎
2
𝑤
∑
=𝑎+
𝑎𝑥,𝑥+𝑎
𝑥 − 𝑎𝑥,𝑥+𝑎
𝑥=0
𝐼 − 𝐻𝑤
(7.224)
𝑥=0
en
donde se supone que las entradas en actividad entre 𝑥 y 𝑥 + 𝑎 se producen por término medio
= 𝑥 + 𝑎2 de duración.
𝑥+𝑥+𝑎
2
Tablas de salida
La tabla de salidas estará constituida por las siguientes series, referidas todas ellas a la subcohorte de los que entraron en actividad entre 𝑦 e 𝑦 + 𝑎.
𝛽𝑦𝑥 probabilidad de salir de actividad entre 𝑥 y 𝑥 + 𝑎 para los activos en 𝑥
𝐽𝑥 𝑌 probabilidad de continuar siendo activo en 𝑥 para el conjunto de la subcohorte
𝑏𝑌𝑥,𝑥+𝑎 probabilidad de salir de actividad entre 𝑥 y 𝑥 + 𝑎 para el conjunto de la subcohorte
209
Las relaciones entre estas series son, como en toda tabla demográfica, las siguientes:
𝐽𝑥 𝑌
=
𝑥−𝑎
∑
(1 − 𝛽𝑖 )
(7.225)
𝑖=0
La serie 𝛽𝑥 𝑌 se obtendrá a partir de los datos siguientes correspondientes a la subcohorte de
las entradas en actividad entre 𝑦 e 𝑦 + 𝑎
Ψ𝑌𝑥,𝑥+𝑎 flujo de salidas de actividad entre 𝑥 y 𝑥 + 𝑎
𝐴𝑥 𝑌 activos de la subcohorte en 𝑥
𝑞𝑥 𝑌 probabilidad de muerte entre 𝑥 y 𝑥 + 𝑎
Usando (7.214) y (7.220) se obtienen la estimación de 𝛽𝑥 𝑌
𝛽𝑥 𝑌
Ψ𝑥 𝑌𝑥,𝑥+𝑎
)
(
𝐴𝑥𝑦 1 − 𝑞𝑥2𝑌
(7.226)
Ψ𝑥 𝑌𝑥,𝑥+𝑎
Ψ 𝑌
𝐴𝑥𝑦 +𝐴𝑥+𝑎
+ 𝑥 𝑥,𝑥+𝑎
2
2
(7.227)
=
O bien:
𝛽𝑥 𝑌
=
El calendario del fenómeno vendrá dado por: 𝑏𝑦𝑥,𝑥+𝑎 ya que la intensidad del fenómeno es la
unidad, pues todas las entradas en actividad acaban por ser activos, con lo que la duración media
será:
𝑤
𝑆¯𝑌
=
𝑎 ∑
+
𝑥𝑏𝑦𝑥,𝑥+𝑎
2
(7.228)
𝑥=0
Educación
Desde el punto de vista demográfico el fenómeno de la educación se caracteriza por los ”flujos
escolares”, entendidos éstos, como el paso de los alumnos a través del sistema educativo. En una
zona geográfica dada. se denomina sistema educativo al conjunto de órganos sociales dedicados a
la enseñanza.
Las estadı́sticas educativas que se han reunido en los censos de población, en las distintas
ocasiones, pueden referirse a 1) alfabetismo, 2) grado y tipo de escuela terminada o nivel educativo
y 3) asistencia escolar dentro de un periodo reciente.
Proporciones de escolaridad por edad
Sea 𝐸𝑥 el número de escolares de edad 𝑥 en el instante 𝑡 y 𝑃𝑥 la población total en esa edad.
La proporción
𝐴𝑥 =
210
𝐸𝑥
𝑃𝑥
(7.229)
representa la probabilidad, en ausencia de fenómenos perturbadores, que tiene un miembro de
esa generación de ser aun escolar en la edad 𝑥.
Si se denota como n la edad a partir de la cual se inicia el primer ciclo y se supone que las
salidas del sistema son definitivas dentro de una generación, el cociente:
𝐴𝑥 − 𝐴𝑥+𝑎
𝐴𝑥
𝑎𝑥 =
(7.230)
representa la probabilidad de abandonar el sistema educativo entre la edad 𝑥 y la 𝑥+𝑎. Siempre
dentro de una generación y suponiendo que el efectivo inicial de la misma fuese 𝑆0 , se tendrı́a que:
𝑆0 𝐴𝑛 representa el número de individuos que habrı́an estado alguna vez escolarizados en ausencia
de mortalidad.
Suponiendo que entre 𝑥 y 𝑥 + 𝑎 los abandonos del sistema se reparten uniformemente en el
tiempo, se tendrá que:
𝑤 (
∑
𝑥+
𝑖=0
𝑎)
(𝐴𝑥 − 𝐴𝑥 + 𝑎)
2
(7.231)
𝐴𝑥
representa la edad media de salida del sistema.
Desarrollando la expresión se llega a una edad media para la salida del sistema de:
𝑎
𝑎
2
𝑤
∑
𝐴𝑥
𝑖=0
=
(7.232)
𝐴𝑛
La duración media de la escolarización dentro de esa generación será igual a la edad media de
salida del sistema menos la edad de entrada que se ha supuesto única 𝑛, es decir:
𝑎
𝑎
2
=
𝑤
∑
𝐴𝑥
𝑖=0
𝐴𝑛
−𝑛
(7.233)
Análisis de un sector con datos sobre flujos
Sea un sector cualquiera compuesto por 𝑤 cursos o grados, numerados desde 1. Ası́ los escolares
en el curso 1: 𝐸1 serán aquellos inscritos, que no han superado ningún curso, los 𝐸2 habrán superado
un curso y, en general,𝐸𝑥 representará el número de alumnos que han superado 𝑥 − 1 cursos.
Los 𝐸𝑥 inscritos a principio de curso se repartirán a final del mismo de la siguiente forma
𝐷𝑥,𝑥+1 fallecen durante el curso.
𝐵𝑥,𝑥+1 abandonan el sector, bien dejando el sistema o siguiendo en él por emigración, se
incluye a los que aprueban el curso y no se inscriben en el curso siguiente.
𝑅𝑥,𝑥+1 repiten.
211
𝑇𝑥,𝑥+1 pasan al curso siguiente.
Llamando ala probabilidad de muerte que se supone común a todos los Ex, puede llegarse a las
siguientes expresiones:
𝑇𝑥
𝐸𝑥 (1 − 𝑞𝑥 )
𝑡−𝑥 =
(7.234)
Donde 𝑡𝑥 representa la probabilidad de aprobar el curso 𝑥.
𝑇𝑥,𝑥+1
𝐸𝑥 (1 − 𝑞𝑥 )
𝑦𝑥 =
(7.235)
Donde 𝑟𝑥 representa la probabilidad de repetir el curso 𝑥 y finalmente,
𝐵𝑥,𝑥+1
𝐸𝑥 (1 − 𝑞𝑥 )
𝑎𝑥 =
(7.236)
que representa la probabilidad de abandonar el sector sin superar el curso 𝑥.
Si se conocen las tres series de probabilidades 𝑟𝑥 , 𝑡𝑥 , 𝑎 − 𝑥 y para todos los cursos desde 1 hasta
w, queda medido el comportamiento de la cohorte frente al sector educativo
Tablas de vida escolar
Estas tablas requieren de las tasas de inscripción 1 escolar (𝐴𝑥 ) por edades dentro del intervalo
de vida escolar, comúnmente de 5 a 34 años dentro de un periodo especificado y una tabla de
vida de 1a población global respecto del mismo periodo. E1 producto 𝐴𝑦 𝐿𝑥 es una estimación del
número de personas de la tabla de vida que estarı́an inscritas en la escuela en 1a edad 𝑥, donde
𝑑
𝐿𝑥 = 𝑀𝑥𝑥,𝑥+𝑎
𝑑𝑥,𝑥+𝑎 son las defunciones, de tabla, ocurridas entre las edades 𝑥 y 𝑥 + 1; y 𝑀𝑥 la tasa de
mortalidad, también de tabla a edad 𝑥 cumplida.
Las tasas de inscripción comúnmente se elevarán a unas cuantas edades después de los 5 años y
luego disminuirán. Debido a esta propiedad, es posible calcular tasas netas incorporación a la edad
escolar y tasas de separación debido a la mortalidad y a la deserción. Sea 𝑄𝑥 la tasa de mortalidad
definida como:
𝐿𝑥 − 𝐿𝑥+1
𝐿𝑥
𝑄𝑥 =
(7.237)
Suponiendo que esta tasa es la misma para los que están en la escuela y los que no lo están, las
incorporaciones netas a la edad x pueden ser estimadas mediante la expresión:
𝑎𝑥 = 𝐴𝑥+1 𝐿𝑥+1 − 𝐴𝑥 𝐿𝑥 (1 − 𝑄𝑥 )
(7.238)
Ası́, la tasa de incorporación es:
𝑎𝑥
𝐿𝑥
(7.239)
Mediante el supuesto previo referente a la mortalidad, el número de separaciones debidas a la
deserción durante un intervalo de edad es:
𝐴𝑑𝑥 = (𝐴𝑥 𝐿𝑥 − 𝐴𝑥+1 𝐿𝑥+1 ) − 𝐴𝑥 𝐿𝑥 𝑄𝑥
212
(7.240)
El término entre paréntesis es el número total de separaciones en un intervalo de edad y del cual
se sustraen las separaciones debidas a la muerte; la diferencia representa las separaciones debidas
a la deserción.
Ası́, dentro de un intervalo de edad, la probabilidad de deserción de una persona inscrita antes
de alcanzar el siguiente intervalo es:
𝐴𝑑𝑥
𝐴𝑥 𝐿𝑥
(7.241)
La deserción toma en cuenta el cambio del número de personas sujetas al riesgo de morir, a
medida que 𝐴𝑥 𝐿𝑥 disminuye a 𝐴𝑥+1 𝐿𝑥+1 tal número es:
𝐴𝑑
( 𝑥 1 )
𝐴𝑥 𝐿𝑥 1 − 2 𝑄𝑥
213
(7.242)