CURSO DE PROBABILIDAD RESUELTO RESUELTO 2012

FUNDACION CENTRO COLOMBIANO DE ESTUDIOS PROFESIONALES.
AREA: ESTADISTICA INFERENCIAL
PERIODO ACADEMICO: I-2012
PROBABILIDAD
NOMBRE:
GRADO
COD:
FECHA
1. INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD.
Es el estudio de experimentos o fenómenos aleatorios o de libre
determinación o de libre ocurrencia.
Históricamente, la Teoría de la probabilidad comenzó con el estudio de los
juegos de azar, tales como dados, cartas, ruletas y otros, para un
determinación de cómo serian sus resultados para ganar o perder.
La probabilidad de un evento A se define:
P(A) =
#𝐴
#𝑆
1.
ESPACIO MUESTRAL: Regularmente se representa con una letra
mayúscula S, pero de igual manera usted puede utilizar otra diferente.
Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento o un
fenómeno.
Ej. Se lanza un dado y se analiza su resultado: Observamos que el dado
puede caer en 1, 2, 3, 4, 5, o 6., por lo tanto el espacio muestral será:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
2. EVENTO: Un evento es un conjunto de resultados posibles del fenómeno
a analizar. Es un subconjunto del espacio muestral.
Dado el evento de que el dado pueda caer en una cifra par, entonces los
posibles resultados en que puede caer el dado serán: dos, cuatro y seis,
por lo tanto el evento será:
A = { 2, 4, 6 }
La combinación de los eventos se puede dar para formar nuevos
eventos:
1. A U B si y solo si A o B suceden o ambos.
2. A ∩ B si y solo si A Y B suceden simultáneamente.
3. Ac Complemento de A, si y solo si A no sucede.
3. EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS: Se llaman mutuamente
exclusivos, si son disyuntos, ósea que la intersección de los conjuntos sea
vacía. A ∩ B = φ ( No pueden suceder simultáneamente )
Ejemplo No 1: Se S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } un espacio muestral, de las posibilidades
de salir un numero al ser lanzado un dado y los eventos A = {2, 4, 6} de salir un
numero par. B = {1, 3, 5} de salir un número impar. C = {2, 3, 5}
A ∩ B = φ, Observamos que no hay elementos comunes, por lo tanto los
eventos son mutuamente exclusivos.
Determinando la probabilidad de cada uno de los eventos.
P(A) =
P(B) =
P(A) =
P(S) =
P(C) =
#𝐴
=
#𝑆
#𝐵
=
#𝑆
#𝐶
=
#𝑆
#𝑆
#𝑆
=
#𝐶
=
#𝑆
3
= 0.5 o equivalente a un 50%
6
3
= 0.5 o equivalente a un 50%
6
3
= 0.5 o equivalente a un 50%
6
6
6
3
6
= 1 o equivalente a un 100%
= 0.5 o equivalente a un 50%
Formando nuevos eventos con la combinación de los eventos anteriores A, B y
C:
A U B = { 2, 4, 6, 1, 3, 5}
A U C = { 2, 4, 6, 3, 5 }
B ∩ C = { 3, 5 }
CC = { 1, 4, 6 }
Las probabilidades de los nuevos eventos serán:
#(𝐴𝑈𝐵)
6
P(AUB) =
= = 1 o equivalente a un 100%
#𝑆
#(𝐴𝑈𝐶)
P(AUC) =
#𝑆
P(B∩C) =
P(Cc) =
6
#𝐶
#𝑆
#Cc
#𝑆
2
=
=
=
6
3
6
5
6
= 0.83 o equivalente a un 83%
= 0.33 o equivalente a un 33%
= 0.5 o equivalente a un 50%
2. AXIOMAS DE PROBABILIDAD.
Si consideramos el espacio muestral S y los eventos A y B, cuyas funciones de
probabilidad son P(S) probabilidad de S. P(A) probabilidad del evento A. P(Cc)
probabilidad del evento Cc. Se cumplen los siguientes axiomas:
P1 Para todo evento A, se cumple que 0 ≤ P(A) ≤ 1
P2 P(S) = 1
P3 Si A y B son eventos mutuamente exclusivos, entonces se cumple que
P(AUB) = P(A) + P(B) .
Para el ejemplo No 1, observamos que:
1. 0 ≤ P(A) ≤ 1. Observamos que el valor de cada una de las probabilidades
es menor que 1 y mayor que 0.
2. P(S) = 1. Se ve fácilmente que la probabilidad del espacio muestral S es 1.
3. P (AUB) = P(A) + P (B). La probabilidad de cada evento es P(A) = 0.5 P(B) = 0.5
y la probabilidad de P(AUB) = 1.0
3. TEOREMAS DE LA PROBABILIDAD.
Estos teoremas se deducen de los axiomas:
T1. La probabilidad del conjunto vacio es 0. P(𝜙) = 0
T2. Si Ac es el complemento del evento A, entonces P(Ac) = 1 - P(A)
T3. Si A c B, entonces P(A) ≤ P(B)
T4. Si a y b son dos eventos, entonces P(A-B) = P(A) - P(A∩B)
T5. Si A y B son dos eventos, entonces P (AUB) = P(A) + P (B) + P(A∩B)
EJEMPLO No2: Sea S = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }, el espacio muestral de los
resultados del fenómeno dado y los eventos A = {0, 1, 2, 4, 6, 8} y B = {1, 2, 3,
4, 5}.
La grafica del conjunto será:
U
A
B
0
1
3
6
2
4
5
8
7
9
Calculado:
A U B = { 0, 1, 2, 4, 6, 8, 3, 5 }
A ∩ B = { 1, 2, 4 }
Ac = { 3, 5, 7, 9 }
Bc = { 0, 6, 7, 8, 9 }
A – B = { 0, 6, 8 }
B – A = { 3, 5 }
Los cardinales de cada uno de los conjuntos:
#A = 6, #B = 5, #(AUB) = 8, #(A∩B) = 3,
#(A-B) = 3 #(B-A) = 2.
Calculando las probabilidades.
P(A) =
P(B) =
#𝐴
#𝑆
#𝐵
#𝑆
10
5
=
10
#(𝐴𝑈𝐵)
P(AUB) =
#𝑆
P(A∩B) =
#(𝐵−𝐴)
P(B-A) =
#𝑆
#(𝐴𝑐 )
P(𝐵 𝑐 ) =
=
#𝑆
=
#𝑆
8
4
=
10
5
3
3
2
10
4
10
5
10
= 0.8 equivalente en porcentaje 80%
= 0.30 equivalente en porcentaje 30%
10
10
=
=
= 0.5 equivalente en porcentaje 50%
2
=
𝑐
#(𝐵 )
1
=
#(Bc) = 5
= 0.6 equivalente en porcentaje 60%
5
=
#𝑆
#𝑆
3
=
#(𝐴∩𝐵)
#(𝐴−𝐵)
P(A-B) =
P(AC) =
6
=
#(Ac) = 4,
= 0.30 equivalente en porcentaje 30%
= 0.20 equivalente en porcentaje 20%
= 0.40 equivalente en porcentaje 40%
= 0.50 equivalente en porcentaje 50%
Si aplicamos los teoremas obtenemos:
T2. P(AC) = 1 - P(A) = 1 - 0.60 = 0.40
T2. P(BC) = 1 - P(B) = 1 - 0.50 = 0.50
T4. P(A-B) = P(A) - P(A∩B) = 0.60 - 0.30 = 0.30
T5. P(B-A) = P(B) - P(B∩A) = 0.50 - 0.30 = 0.20
T6. P (AUB) = P(A) + P (B) + P(A∩B) = 0.60 + 0.50 - 0.30 = 0.80
T6. P (AUB) = P(A-B) + P (B-A) + P(A∩B) = 0.30 + 0.20 + 0.30 = 0.80
4. ESPACIOS FINITOS DE PROBABILIDAD.
Sea un espacio muestral finito tal que S = { a1, a2, a3, ……. an }la probabilidad del
espacio muestral será la suma de las probabilidades parciales e igual a 1.
P(S) = P(a1) + P(a2) + P(a3) + ……………… + P(an) = 1
EJEMPLO No 3. Lanzamos cuatro monedas una a una y observamos los
números de sellos que pueden salir en cada lanzamiento.
El espacio muestral sería así:
1. Que no salga ningún sello. 0S
CCCC
2. Que salga un sello y tres caras. 1S
SCCC, CSCC, CCSC, CCCS.
3. Que salgan dos sellos y dos caras. 2S.
SSCC, CSSC, CCSS, SCSC, CSCS, SCCS.
4. Que salgan tres sellos y 1 cara. 3S
SSSC, CSSS, SCSS, SSCS.
5. Que salgan cuatro sellos y o caras. 4S
SSSS.
El conjunto S = { 0, 1, 2, 3, 4 } de los posibles resultados de caer las monedas.
Observamos que existen 16 posibilidades de salir los resultados.
Si calculamos las siguientes probabilidades.
1. La probabilidad de que salgan 4 caras o no salga un sello.
P(0) =
2.
= 0.25
6
16
=
3
8
= 0.375
Probabilidad de que salgan 3 sellos.
P(3) =
5.
4
16
La probabilidad de que salgan dos sellos.
P(2) =
4.
= 0.0625
La probabilidad de que salga un sello.
P(1) =
3.
1
16
4
16
1
= = 0.25
4
Probabilidad de que salgan 4 sellos.
P(4) =
1
16
= 0.0625
P(S) = P(0) + P(0) + P(0) + P(0) + P(0)
1
=
1
+
16
6.
1
4
1
+
8
1
+
4
16
=1
La probabilidad de que por lo menos salga un sello.
Los resultados son C = { 1S, 2S, 3S, 4S }
+ P(2S) + P(3S) + P(4S)
P(C) = P(1S)
=
3
+
4
3
+
8
1
+
+
4
1
=
16
15
16
7.
P(D)
Sea D el evento de que salgan todos sellos o todas caras.
Los resultados de D = { 4S, 4C }
= P(4C) + P(4S)
=
1
16
+
1
=
16
2
16
1
=
8
EJEMPLO No 4. Cuatro caballos A, P, S, Q, intervienen en una carrera. Si A
tiene el doble de probabilidades de ganar que P, y P el doble de
probabilidades de ganar que S, S el doble de probabilidades de ganar que Q.
Cuáles son las respectivas probabilidades de ganar cada uno de los caballos.
Sea p la probabilidad de ganar el menos factible.
Q =p
S = 2Q = 2p
P = 2S = 2(2Q) = 4Q = 4p
A = 2P = 2(2S) = 2(2(2Q))) = 8Q = 8p
Como el valor total de una probabilidad de un espacio muestral debe ser uno,
entonces.
P(A) + P(P) + P(S) + P(Q) = 1
8p + 4p + 2p + p = 1
15p = 1
P =
1
5.
15
Los valores de la probabilidad de ganar cada caballo es de:
1
P(A) = 8p = 8 x
15
1
P(P) = 4p = 4 x
15
1
P(S) = 2p = 2 x
15
1
P(Q) = 1p = 1 x
15
=
=
=
=
8
𝑠
15
1
EJEMPLO No 6. Selecciónese una carta al azar de una baraja Española
corriente de 52 cartas. Determínese la probabilidad de:
1. Que al sacar una carta sea una espada. Evento A
2. Que sea una figura, J, Q, K. Evento B
3. Hallar la P(A) - P(B) - P(AUB) - P(A∩B)
El evento A = {As, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K }. Tenemos que son 13 cartas
diferentes de espadas, de un total de 52 cartas de la baraja.
15
P(A) =
4
15
2
15
Cuál es la probabilidad de que A o P ganen la carrera.
El evento es F = { A, P }
P(F) = P(A) + P(P)
=
8
15
+
4
15
=
12
15
=
4
5
= 0.80
La probabilidad de que A o P ganen es de
4
5
o de 0.80, o también equivale a
decir que tienen el 80% de probabilidades de ganar, que es equivalente a decir
que tienen el 20% de probabilidades de perder.
EJEMPLO No 5. Se lanzan 2 dados al mismo instante, pero sin identificarlos y
se observan cada uno de los resultados.
El espacio muestral de los posibles resultados seria:
(1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)
(2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)
(3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)
(4, 4) (4, 5) (4, 6)
(5, 5) (5, 6)
(6, 6)
El total de posibilidades de caer los dados son S = 21
1. Cuál es la probabilidad de que la suma sea 6.
A = {La suma sea 6 } = { (1, 5), (2, 4), (3, 3) }
P(A) =
2.
7
2
21
6
21
=
2
7
La probabilidad D = { La suma sea impar }
D ={(1, 2),(1, 4),(1, 6),(2, 3),(2, 3), (3, 4), (3, 6), (4, 5), (5, 6)}
P(D) =
5.
=
La probabilidad C = {Salgan pares} Los números sea iguales.
C = { (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6) }
P(C) =
4.
21
1
La probabilidad de B = { La suma sea 5 } = { (1, 4), (2, 3) }
P(B) =
3.
3
9
21
=
3
7
La probabilidad de E = { La suma sea 7 } = { (1, 6), (2, 5), (3, 4) }
P(E) =
3
21
=
E = {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)} = 4
𝐸
4
𝑃(𝐴) = =
= 0.1111 ≡ 11.11%
𝑆 36
4. Probabilidad de que ambos sean iguales (pares o cenas).
E = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)} = 6
𝐸
6
𝑃(𝐴) = =
= 0.1666 ≡ 16.66%
𝑆 36
5. Probabilidad de que la suma sea 7.
E= {(1,6), (2,5),(3,4), (4,3), (5,2), (6,1)} = 6
𝐸
6
𝑃(𝐴) = =
= 0.1666 ≡ 16.66%
𝑆 36
6. La probabilidad de que la suma de los dados sea par.
E = {(1,1), (1,3), (1,5), (2,2), (2,4), (2,6), (3,1), (3,3), (3,5), (4,2), (4,3),
(4,5), (5,1), (5,3), (5,5), (6,2), (6,4), (6,6)} = 18
𝐸 18
𝑃(𝐴) = =
= 0.5000 ≡ 50%
𝑆 36
7. La probabilidad de que los dos dados sean números impares.
E = {(1,1), (1,3), (1,5), (2,6), (3,1), (3,3), (3,5), (5,1), (5,3), (5,5)} = 10
𝐸 10
𝑃(𝐸) = =
= 0.2777 ≡ 27.77%
𝑆 36
8. La probabilidad de que uno de los dados sea un número impar.
E = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,3), (2,5), (3,1), (3,2),
(3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,3), (4,5), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4),
(5,5), (5,6), (6,1), (6,3), (6,5)} = 27
𝐸 27
𝑃(𝐸) = =
= 0.7500 ≡ 75%
𝑆 36
9. Compare los resultados y que concluye.
Diferentes resultados.
ESPACIOS FINITOS EQUIPROBABLES.
Es un espacio muestral S finito de probabilidad, donde cada punto
muestral tiene la misma probabilidad.
𝑎
P(A) =
1
7
6. La probabilidad de F = { La suma sea par }
7. La probabilidad de G = { Los dos dados sean números impares }
8. La probabilidad de H = {Uno de los dados sea un número impar }
EJERCICIO No 1.
Qué pasaría si los dados están identificados posiblemente con un color, en el
cual uno es verde y el otro es rojo.
1. Cuál sería el espacio muestral.
S = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), ………(6,6)} = 36
2. Probabilidad de que la suma sea 6.
E={(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)} = 5
𝐸
5
𝑃(𝐴) = =
= 0.1388 ≡ 13.88%
𝑆 36
3. Probabilidad de que la suma de los dados sea 5.
13
52
=
1
= 0.25 = 25%
4
El evento B = {Que sea una figura}. Las figuras que se encuentran en la baraja
son:
ESPADAS: J Q K
COPAS: J Q K
OROS: J Q K
BASTOS: J Q K
El total de cartas son 12 posibles, de un total de 52 cartas.
P(B) =
12
52
=
3
13
= 0.2307 = 23.07%
A∩B = {Que la carta sea una Espada y Figura}. Son un total de 3 cartas de 52
posibles.
P(A∩B) =
3
52
= 0.0576 = 5.76%
AUB = {Sea Espada o Figura}.
ESPADA: As, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K
OROS: J, Q, K
ESPADAS: J, Q, K
BASTOS: J, Q, K
Hay un total de 22 posibilidades de un total de 52 cartas.
P(AUB) =
22
52
=
11
26
= 0.4230 = 42.30%
EJERCICIOS:
1. Sean 2 Boliches escogidos al azar de un grupo de 12, de los cuales 4 de
estos son o están en mal estado y sea:
A={Dos boliches en mal estado} = 2
B={Dos boliches en buen estado} = 2
1. El espacio muestral serán los posibles grupos de 2 boliches que se
pueden formar de los 12 posibles.
12!
12!
12𝑥11𝑥10! 12𝑥11
𝐶(12,2) =
=
=
=
= 66
(12 − 2)! 2! 10! 2!
10! 𝑥2𝑥1
2𝑥1
2. De los 4 boliches en mal estado se pueden formar grupos de 2
boliches.
4!
4!
4𝑥3𝑥2! 4𝑥3
𝐶(4,2) =
=
=
=
=6
(4 − 2)! 2! 2! 2! 2! 𝑥2𝑥1 2𝑥1
3. La probabilidad de A será: P(A) =
𝐸
6
1
𝑃(𝐴) = =
=
= 0.0909 ≡ 9.09%
𝑆 66 11
4. De los 8 boliches en buen estado se pueden formar grupos de 2
boliches.
8!
8!
8𝑥7𝑥6! 8𝑥7
𝐶(8,2) =
=
=
=
= 28
(8 − 2)! 2! 6! 2! 6! 𝑥2𝑥1 2𝑥1
5. La probabilidad de B será: P(B) =
𝐸 28 14
𝑃(𝐴) = =
=
= 0.4242 ≡ 42.42%
𝑆 66 33
6. Probabilidad de que por lo menos un boliche este en mal estado.
Halla uno malo o halla dos malos.
𝐶(4,1) 𝐶(12,1) + 𝐶(4,2) = 4𝑥12 + 6 = 48 + 6 = 54
4!
4!
4𝑥3!
4
𝐶(4,1) =
=
=
= =4
(4 − 1)! 1! 3! 𝑥1! 3! 𝑥1! 1
12!
12!
12𝑥11! 12
=
=
=
= 12
(12 − 1)! 1! 11! 𝑥1! 11! 𝑥1!
1
𝐸 54
9
𝑃(𝐴) = =
=
= 0.8181 ≡ 81.81%
𝑆 66 11
𝐶(12,1) =
EJERCICIOS:
1. Una moneda está cargada (aumentada de peso) de modo que la
posibilidad de salir cara (C), sea el doble que la de salir el sello (S). Hallar
la probabilidad P(C) y P(S).
La probabilidad de salir cara es el doble de la de salir sello.
𝑃(𝐶) = 2𝑃(𝑆)
Por el teorema fundamental de la probabilidad, tenemos que:
𝑃(𝐶) + 𝑃(𝑆) = 1
2𝑃(𝑆) + 𝑃(𝑆) = 1
3𝑃(𝑆) = 1
Despejando la 𝑃(𝑆) , tenemos que:
1
𝑃(𝑆) =
3
Como la probabilidad de
1
2
𝑃(𝐶) = 2𝑃(𝑆) = 2 ( ) =
3
3
2. Sea un dado cargado tal que la probabilidad de salir un numero cuando
es lanzado el dado es proporcional a dicho numero (Por ejemplo la
probabilidad de salir 3 es la mitad de salir 6). Sea A={Un numero par}
B={Numero primo}
C={Número impar} D={Numero par y primo}
E={Número impar y primo}.
La probabilidad de salir cada número es:
𝑃(1) = 𝑝, 𝑃(2) = 2𝑝, 𝑃(3) = 3𝑝, 𝑃(4) = 4𝑝, 𝑃(5) = 5𝑝, 𝑃(6) = 6𝑝
Por teorema fundamental de probabilidad, tenemos que:
𝑃(1) + 𝑃(2) + 𝑃(3) + 𝑃(4) + 𝑃(5) + 𝑃(6) = 1
𝑝 + 2𝑝 + 3𝑝 + 4𝑝 + 5𝑝 + 6𝑝 = 1
21𝑝 = 1
1
𝑝=
21
a.) El evento A={2,4,6}
1
1
1
𝑃(𝐴) = 𝑃(2) + 𝑃(4) + 𝑃(6) = 2 ( ) + 4 ( ) + 6( )
21
21
21
2
4
6
2 + 4 + 6 12
+
+
=
=
21 21 21
21
21
b.) El evento B={3,5}
1
1
𝑃(𝐵) = 𝑃(3) + 𝑃(5) = 3 ( ) + 5 ( )
21
21
3
5
3+5
8
+
=
=
21 21
21
21
c.) El evento numero C={1,3,5}
1
1
1
𝑃(𝐶) = 𝑃(1) + 𝑃(3) + 𝑃(5) = ( ) + 3 ( ) + 5( )
21
21
21
1
3
5
9
3
+
+
=
=
21 21 21 21 7
d.) El evento D={2}
1
2
𝑃(𝐷) = 𝑃(2) = 2 ( ) =
21
21
3. Determínese la probabilidad p de cada uno de los siguientes eventos
finitos equiprobables.
1. Que salga un número par al lanzar un dado normal.
Hallamos el espacio muestral:
𝑆 = {1,2,3,4,5,6} = 6
El evento es {2,4,6} = 3
La probabilidad es:
𝐸 3
𝑃(𝑝𝑎𝑟) = = = 0.5 ≡ 50%
𝑆 6
2. Que resulte un Rey al sacar una carta de una baraja Española.
El espacio muestral es la baraja española, que tiene en cada pinta:
As, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, sota, caballo y rey.
Son cuatro pintas: Oros, copas, espadas y bastos.
S = 48
El evento es: Hay 4 reyes, uno por cada pinta.
E=4
𝐸
4
𝑃(𝑅𝑒𝑦) = =
= 0.0833 = 8.33%
𝑆 48
3. Que aparezca por lo menos un sello al lanzar tres monedas
normales.
S = {CCC, CCS, SSC, SSS} = 4
E = {CCS, SSC, SSS} = 3
𝐸 3
𝑃(𝑈𝑁𝑆) = = = 0.75 ≡ 75%
𝑆 4
4. Sacar un 4 en una baraja de póker.
Espacio muestral.
4 pintas: Trébol, pica, corazones y diamantes.
As, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K., Son 13 cartas por pinta.
S = 13x4 = 52
El evento:
Hay 4 cuatros en la baraja de póker.
E=4
𝐸
4
𝑃(4) = =
= 0.0769 ≡ 7.69%
𝑆 52
5. Que resulte una figura al sacar una carta de una baraja de Póker.
S = 52
E = 3x4 = 12
𝐸 12
𝑃(𝐹𝐼𝐺𝑈𝑅𝐴) = =
= 0.2307 ≡ 23.07%
𝑆 52
6. Que aparezca una bola blanca al sacar una sola bola de una urna
4.
que contiene 4 blancas, 3 rojas y 5 bolas azules.
S = Todas las bolas = 4+3+5 = 12
E = Las bolas blancas = 4
𝐸
4
𝑃(𝑏𝑙𝑎𝑛𝑐𝑎) = =
= 0.3333 ≡ 33.33%
𝑆 12
7. Sacar un As de una baraja Española, en un solo intento en una
carta.
S = Todas las cartas = 4pintas x 12 cartas = 48
E = Las pintas x As = 4x1 = 4
𝐸
4
𝑃(𝐴𝑆) = =
= 0.0833 ≡ 8.33%
𝑆 48
Se sacan dos cartas al azar de una barja Española. Hallar la probabilidad
p de que:
1. Las dos cartas escogidas sean Espadas.
S = Grupos de a dos, formados de las 48 cartas.
48!
48!
48𝑥47𝑥46! 48𝑥47
𝐶(48,2) =
=
=
=
= 1.128
(48 − 2)! 2! 46! 2!
46! 𝑥2!
2𝑥1
E = Grupos formados de a dos cartas de las 12 espadas.
12!
12!
12𝑥11𝑥10! 12𝑥11
𝐶(12,2) =
=
=
=
= 66
(12 − 2)! 2! 10! 𝑥2!
10! 𝑥2!
2𝑥1
𝐸
66
𝑃(2𝑒𝑠𝑝𝑎𝑑𝑎𝑠) = =
= 0.0585 ≡ 5.85%
𝑆 1.128
Otro método.
12 11
132
66
𝑃(2𝑒𝑠𝑝𝑎𝑑𝑎𝑠) = ( ) ( ) =
=
= 0.0585 ≡ 5.85%
48 47
2.256 1.128
2. Las dos cartas escogidas al azar sean el mismo número.
S = 1.128
E = Grupos de 4(As)+Grupos de 4(2)+ +Grupos de 4(Reyes)=
4!
4!
4𝑥3𝑥2𝑥1
12𝐶(4,2) = 12
= 12
= 12
= 12𝑥6 = 72
(4 − 2)! 𝑥2!
2! 𝑥2!
2𝑥1𝑥2𝑥1
𝐸
72
𝑃(2𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠) = =
= 0.0638 ≡ 6.38%
𝑆 1.128
Otro método.
4
3
144
72
𝑃(𝑁𝑠𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠) = 12 ( ) ( ) =
=
= 0.0638 ≡ 6.38%
48 47
2.256 1.128
3.
5.
Las dos cartas sean figuras.
E = 3 Figuras x 4 pintas = 3x4 = 12. Formar grupos de 2 cartas.
12!
12!
12𝑥11𝑥10! 12𝑥11
𝐶(12,2) =
=
=
=
= 66
(12 − 2)! 2! 10! 𝑥2!
10! 𝑥2!
2𝑥1
𝐸
66
𝑃(2𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎𝑠) = =
= 0.0585 = 5.85%
𝑆 1.128
Otro método.
12 11
132
66
𝑃(2𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎𝑠) = ( ) ( ) =
=
= 0.0585 ≡ 5.85%
48 47
2.256 1.128
4. La una sea Espada y la otra Bastos.
E = De cada pinta se escoge de una.
12!
12!
12𝑥11! 12
𝐶(12,1) =
=
=
=
= 12
(12 − 1)! 1! 11! 𝑥1!
11! 𝑥1!
1
= 12x12 = 144
𝐸
144
𝑃(𝐸𝑠𝑝𝑎𝑑𝑎𝑦𝑏𝑎𝑠𝑡𝑜) = =
= 0.1276 = 12.76%
𝑆 1.128
Otro método.
12 12
2𝑥144
144
𝑃(1𝐸,1𝐵) = 2 ( ) ( ) =
=
= 0.1276 ≡ 12.76%
48 47
2.256 1.128
5. Las dos sean Ases.
E = Grupos de a dos ases.
4!
4!
4𝑥3𝑥2! 4𝑥3
𝐶(4,2) =
=
=
=
=6
(4 − 2)! 2! 2! 𝑥2!
2! 𝑥2!
2𝑥1
𝐸
6
𝑃(2𝑎𝑠𝑒𝑠) = =
= 0.0053 = 0.53%
𝑆 1.128
Otro método.
4
3
12
6
𝑃(2𝐴) = ( ) ( ) =
=
= 0.0053 ≡ 0.53%
48 47
2.256 1.128
6. Las dos sean Oros o Figuras.
E= Los grupos de a dos Oros + Grupos de 2 figuras.
10!
10!
10𝑥9𝑥8! 10𝑥9
𝐶(10,2) =
=
=
=
= 45
(10 − 2)! 2! 8! 𝑥2!
8! 𝑥2!
2𝑥1
12!
12!
12𝑥11𝑥10! 132
𝐶(12,2) =
=
=
=
= 66
(12 − 2)! 2! 10! 𝑥2!
10! 𝑥2𝑥1
2
E = 45+66 = 111
𝐸
111
𝑃(2𝑂,2𝐹) = =
= 0.0984 = 9.84%
𝑆 1.128
Otro método.
10 9
12 11
90
132
222
𝑃(2𝑂,2𝐹) = ( ) ( ) + ( ) ( ) =
+
=
48 47
48 47
2.256 2.256 2.256
111
= 0.0984 ≡ 9.84%
1.128
De una baraja de 48 cartas se extrae simultáneamente dos de ellas.
Calcular la probabilidad de que:
Hallamos el espacio muestral. Grupos de r=2 cartas de n=48 posibles.
S=
48!
48!
48𝑥47𝑥46! 48𝑥47
𝐶(48,2) =
=
=
=
= 1.128
(48 − 2)! 2! 46! 2!
46! 𝑥2!
2𝑥1
1. Las dos Sean copas.
El evento. Son grupos de r=2, de n=12 posibles.
12!
12!
12𝑥11𝑥10! 12𝑥11
𝐶(12,2) =
=
=
=
= 66
(12 − 2)! 2! 10! 𝑥2!
10! 𝑥2!
2𝑥1
𝐸
66
𝑃(2𝐶) = =
= 0.0585 = 5.85%
𝑆 1.128
Otro método.
6.
12 11
132
66
𝑃(2𝐶) = ( ) ( ) =
=
= 0.0585 ≡ 5.85%
48 47
2.256 1.128
2. Al menos una sea copas.
E=Grupos de r=2 cartas en orden, de n=12 posibles.
E= Las dos sean copas + Una copa y otra cualquiera.
12!
12!
12𝑥11𝑥10! 12𝑥11
𝐶(12,2) =
=
=
=
= 66
(12 − 2)! 2! 10! 𝑥2!
10! 𝑥2!
2𝑥1
12!
12!
12𝑥11! 12
𝐶(12,1) =
=
=
=
= 12
(12 − 1)! 1! 11! 𝑥1!
11! 𝑥1!
1
36!
36!
36𝑥35! 36
𝐶(36,1) =
=
=
=
= 36
(36 − 1)! 1! 35! 𝑥1!
35! 𝑥1!
1
E = 66+12x36 = 66+432 = 498
𝐸
498
𝑃(𝐴𝐿𝑀𝐸𝑁𝑂𝑆1𝐶) = =
= 0.4414 = 44.14%
𝑆 1.128
Otro método.
12 11
12 36
132
864
𝑃(𝐴𝐿𝑀𝐸𝑁𝑂𝑆1𝐶) = ( ) ( ) + 2 ( ) ( ) =
+
48 47
48 47
2.256 2.256
996
498
=
= 0.4414 ≡ 44.14%
2.256 1.128
Otro método.
𝑃(𝐴𝐿𝑀𝐸𝑁𝑂𝑆1𝐶) = 1 − 𝑃(𝑁𝑂𝐶𝑂𝑃𝐴) =
36 35
1260 2.256 − 1.260
𝑃(𝐴𝐿𝑀𝐸𝑁𝑂𝑆1𝐶) = 1 − ( ) ( ) = 1 −
=
48 47
2.256
2.256
996
498
=
= 0.4414 ≡ 44.14%
2.256 1.128
3. Una sea copa y la otra espada.
E = (Copa, Espada).
Se cumple para cada una de las pintas.
12!
12!
12𝑥11! 12
𝐶(12,1) =
=
=
=
= 12
(12 − 1)! 1! 11! 𝑥1!
11! 𝑥1!
1
E= 12x12 = 144 = 288
𝐸
144
𝑃(𝐶𝑂𝑃𝐴,𝐸𝑆𝑃𝐴𝐷𝐴) = =
= 0.0124 = 1.24%
𝑆 1.128
Una clase está formada por 10 chicos y 10 chicas; la mitad de las chicas y
la mitad de los chicos Han elegido francés como asignatura optativa.
Organizamos un diagrama de Venn que nos muestre la situación de los
estudiantes
3.
Una cara y un sello.
E = {CS, SC} = 2
9.
10.
11.
12.
13.
14.
7.
El espacio muestral del problema.
E = Chicos + Chicas = 10 + 10 = 20
1. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar sea
chico o estudio francés?
El evento es: Chico o Estudie francés.
E = 10 + 5 Chicas que estudian francés = 15
E 15
P(H o F) = =
= 0.75 = 75%
S 20
2. ¿Y la probabilidad de que sea chica y no estudié francés?
El evento.
E = 5 chicas que no estudian francés.
E
5
P(M o ~F) = =
= 0.25 = 25%
S 20
En una ciudad, el 40% de la población tiene cabellos castaños, el 25%
tiene ojos castaños y el 15% tiene cabellos y ojos castaños. Se escoge
una persona al azar:
Se hace el llenado de la tabla para determinar el espacio muestral y el
evento.
C.C
C No C
T
OC
15
10
25
O No C
25
50
75
T
40
60
100
1.
8.
Si tiene los cabellos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que tenga
también ojos castaños?
𝐸 15
𝑃(OC/CC) = =
= 0.375 = 37.5%
𝑆 40
2. Si tiene ojos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga
cabellos castaños?
𝐸 10
𝑃(~CC/OC) = =
= 0.400 = 40%
𝑆 25
3. ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos ni ojos castaños?
𝐸
50
𝑃(~CC,~OC) = =
= 0.500 = 50%
𝑆 100
Hallar la probabilidad de que al lanzar al aire dos monedas diferentes,
salgan:
El espacio muestral de lanzar las dos monedas.
S = {CC, SS, CS, SC} = 4
1. Dos caras.
E = {CC} = 1
𝐸 1
𝑃(2C) = = = 0.250 = 25%
𝑆 4
2. Dos sellos.
E = {SS} = 1
𝐸 1
𝑃(2S) = = = 0.250 = 25%
𝑆 4
𝐸 2
= = 0.50 = 50%
𝑆 4
Hallar la probabilidad de que al levantar unas fichas de dominó se
obtenga un número de puntos mayor que 9 o que sea múltiplo de 4.
Un dado está trucado, de forma que las probabilidades de obtener las
distintas caras son proporcionales a los números de estas. Hallar:
1. La probabilidad de obtener el 6 en un lanzamiento.
2. La probabilidad de conseguir un número impar en un lanzamiento.
Se lanzan dos dados al aire y se anota la suma de los puntos obtenidos.
Se pide:
1. La probabilidad de que salga el 7.
2. La probabilidad de que el número obtenido sea par.
3. La probabilidad de que el número sea múltiplo de tres.
Se lanzan tres dados. Encontrar la probabilidad de que:
1. Salga 6 en todos.
2. Los puntos obtenidos sumen 7.
Busca la probabilidad de que al echar un dado al aire, salga:
El espacio muestral es:
S ={1, 2, 3, 4, 5, 6}
1. Un número par.
E = {2, 4, 6} entonces 3.
𝐸 3
𝑃(𝑃𝐴𝑅) = = = 0.5 = 50%
𝑆 6
2. Un múltiplo de tres.
E = {3, 6} entonces 2.
𝐸 2
𝑃(𝑃𝐴𝑅) = = = 0.6666 = 66.66%
𝑆 6
3. Mayor que cuatro.
E = {5, 6} entonces 2.
𝐸 2
𝑃(𝑀𝐴𝑌𝑂𝑅 𝐴 4) = = = 0.6666 = 66.66%
𝑆 6
4. Menor que 4.
E = {1, 2, 3} entonces 3.
𝐸 3
𝑃(𝑀𝐸𝑁𝑂𝑅) = = = 0.5 = 50%
𝑆 6
5. Múltiplo de tres, en pares.
E = {6} entonces 1.
𝐸 1
𝑃(𝑀𝑈𝐿𝑇 3 𝐸𝑁 𝑃𝐴𝑅𝐸𝑆) = = = 0.1666 = 16.66%
𝑆 6
Se sacan dos bolas de una urna que se compone de una bola blanca, otra
roja, otra verde y otra negra. Describir el espacio muestral cuando:
1. La primera bola se devuelve a la urna antes de sacar la segunda.
El espacio muestral está formado por todas las posibilidades que existen
de combinar dos bolas.
S= {BB, BR, BV, BN, RB, RR, RV, RN, VB, VR, VV, VN, NB, NR, NV, NN} = 16
a.
Probabilidad que las sacadas sean iguales.
El evento.
E = {BB, RR, VV, NN} = 4
𝐸
4
𝑃(iguales) = =
= 0.250 = 25%
𝑆 16
b. Probabilidad que las sacadas sean diferentes.
El evento.
E = {BR, BV, BN, RB, RV, RN, VB, VR, VN, NB, NR, NV} = 12
𝐸 12
𝑃(iguales) = =
= 0.750 = 75%
𝑆 16
2. La primera bola no se devuelve.
El espacio muestral está formado por todas las posibilidades que existen
de combinar dos bolas.
S= {BR, BV, BN, RB, RV, RN, VB, VR, VN, NB, NR, NV} = 12
a.
Probabilidad que las sacadas sean iguales.
El evento.
E={}=0
𝐸
0
𝑃(iguales) = =
= 0.000 = 0%
𝑆 16
b. Probabilidad que las sacadas sean diferentes.
El evento.
E = {BR, BV, BN, RB, RV, RN, VB, VR, VN, NB, NR, NV} = 12
𝐸 12
𝑃(iguales) = =
= 1.00 = 100%
𝑆 12
Una urna tiene 8 bolas rojas, 5 amarilla y 7 verdes. Se extrae una al azar,
Cual es la probabilidad de que:
Espacio muestral es la suma de todas las bolas.
S = 8+5+7 = 20
1. Sea roja.
E=8
𝐸
8
𝑃(ROJA) = =
= 0.40 = 40%
𝑆 20
2. Sea verde.
E=7
𝐸
7
𝑃(VERDE) = =
= 0.350 = 35%
𝑆 20
3. Sea amarilla.
E=5
𝐸
5
𝑃(ROJA) = =
= 0.25 = 25%
𝑆 20
4. No sea roja.
E = Son amarillas o verdes = 5 + 7 = 12
𝐸 12
𝑃(~ROJA) = =
= 0.60 = 60%
𝑆 20
𝑃(2C) =
15.
5.
No sea amarilla.
E = Que sea verde o roja = 8 + 7 = 15
𝐸 15
𝑃(ROJA) = =
= 0.750 = 75%
𝑆 20
16. Una urna contiene 3 bolas rojas y 7 blancas. Se extraen dos bolas al azar.
Escribir el espacio muestral y hallar la probabilidad de:
S = {RR, RB, BB, BR},
1. Extraer las dos bolas Rojas con reemplazamiento.
3
3
9
𝑃(𝑅𝑅) = ( ) ( ) =
= 0.09
10 10
100
2. Extraer las dos bolas Blancas con reemplazamiento.
7
7
49
𝑃(𝑅𝑅) = ( ) ( ) =
= 0.49
10 10
100
3. Extraer una bola Roja y otra Blanca con reemplazamiento.
3
7
21
𝑃(𝑅𝐵) = ( ) ( ) =
= 0.21
10 10
100
4. Extraer una bola Blanca y otra Roja con reemplazamiento.
7
3
21
𝑃(𝑅𝑅) = ( ) ( ) =
= 0.21
10 10
100
5. Extraer las dos bolas Rojas sin reemplazamiento.
3 2
6
𝑃(𝑅𝑅) = ( ) ( ) =
= 0.066
10 9
90
6. Extraer las dos bolas Blancas sin reemplazamiento.
7 6
42
𝑃(𝑅𝑅) = ( ) ( ) =
= 0.466
10 9
90
7. Extraer una bola Roja y otra Blanca sin reemplazamiento.
3 7
21
𝑃(𝑅𝐵) = ( ) ( ) =
= 0.233
10 9
90
8. Extraer una bola Blanca y otra Roja sin reemplazamiento.
7 3
21
𝑃(𝑅𝑅) = ( ) ( ) =
= 0.233
10 9
90
17. Se extraen cinco cartas de una baraja de 52. Hallar la probabilidad de
extraer:
El espacio muestral serán todos los grupos de r=5 cartas de n=52
posibles.
S = 𝐶(52,5)
S=
1.
311.875.200
120
52!
= (52−5)!𝑥5! =
52!
47!𝑥5!
=
52𝑥51𝑥50𝑥49𝑥48𝑥47!
47!𝑥5𝑥4𝑥3𝑥2𝑥1
=
= 2.598.960
4 ases.
E = 𝐶(4,4) 𝑥𝐶(48,1) = 1𝑥48 = 48
4!
4!
=
=1
(4 − 4)! 𝑥4! 0! 𝑥4!
48!
48!
48𝑥47!
𝐶(48,1) =
=
=
= 48
(48 − 1)! 𝑥1! 47! 𝑥1! 47! 𝑥1!
𝐸
48
1
𝑃(4A) = =
=
= 0.000018
𝑆 2.598.960 54.146
2. 4 ases y un rey.
E = 𝐶(4,4) 𝑥𝐶(4,1) = 1𝑥4 = 4
4!
4!
𝐶(4,4) =
=
=1
(4 − 4)! 𝑥4! 0! 𝑥4!
4!
4!
4𝑥3!
𝐶(4,1) =
=
=
=4
(4 − 1)! 𝑥1! 3! 𝑥1! 3! 𝑥1!
𝐸
4
1
𝑃(4A) = =
=
= 0.0000015
𝑆 2.598.960 649.740
3. 3 cincos y 2 sotas.
E = 𝐶(4,3) 𝑥𝐶(4,2) = 4𝑥6 = 24
4!
4!
4𝑥3!
𝐶(4,3) =
=
=
=4
(4 − 3)! 𝑥3! 1! 𝑥3! 1! 𝑥3!
4!
4!
4𝑥3𝑥2!
𝐶(4,2) =
=
=
=6
(4 − 2)! 𝑥2! 2! 𝑥2!
2! 𝑥2!
𝐸
24
1
𝑃(4A) = =
=
= 0.0000092
𝑆 2.598.960 108.290
4. Un 9, 10, sota, caballo y rey en cualquier orden.
E = 𝐶(4,1) 𝑥𝐶(4,1) 𝑥𝐶(4,1) 𝑥𝐶(4,1) 𝑥𝐶(4,1) = 4𝑥4𝑥4𝑥4𝑥4 = 1024
4!
4!
4𝑥3!
𝐶(4,1) =
=
=
=4
(4 − 1)! 𝑥1! 3! 𝑥1! 3! 𝑥1
𝐸
1024
1
𝑃(4A) = =
=
= 0.000394
𝑆 2.598.960 162.435
5. 3 de un palo cualquiera y 2 de otro.
Hay 4 formas de elegir el primer palo y 3 de elegir el segundo palo.
E = 4𝐶(13,3)𝑥3𝑥𝐶(13,2) = 4𝑥286𝑥3𝑥78 = 267.696
13!
13!
13𝑥12𝑥11𝑥10!
𝐶(13,3) =
=
=
= 286
(13 − 3)! 𝑥3! 10! 𝑥3!
10! 𝑥3𝑥2
13!
13!
13𝑥12𝑥11!
𝐶(13,2) =
=
=
= 78
(13 − 2)! 𝑥2! 11! 𝑥2!
11! 𝑥2!
𝐸
267.696
429
𝑃(4A) = =
=
= 0.103
𝑆 2.598.960 4.165
6. Al menos un as.
Sera igual a 1 – los que no tienen ningún as.
E = 2.598.960 − 𝐶(48,5) = 2.598.960 − 1.712.304 = 886.656
48!
48!
48𝑥47𝑥46𝑥45𝑥44𝑥43!
𝐶(48,5) =
=
=
=
(48 − 5)! 𝑥5! 43! 𝑥5!
43! 𝑥5𝑥4𝑥3𝑥2
1.712.304
𝐸
886.656
18.472
𝑃(4A) = =
=
= 0.3411
𝑆 2.598.960 54.145
18. Se dispone de tres cajas con bombillas. La primera contiene 12
bombillas, de las cuales hay cinco fundidas; en la segunda hay ocho
bombillas, estando tres de ellas fundida, y la tercera caja hay cinco
bombillas fundidas de un total de quince. ¿Cuál es la probabilidad de que
al tomar una bombilla al azar de una cualquiera de las cajas?
𝐶(4,4) =
1.
2.
3.
4.
5.
6.
¿Cuál es la probabilidad de que al tomar una bombilla al azar de la
primera caja, esté fundida?
1 5
5
𝑃(𝐶1𝐹) = ( ) =
3 12
36
¿Cuál es la probabilidad de que al tomar una bombilla al azar de la
segunda caja, esté buena?
1 5
5
𝑃(𝐶2𝐵) = ( ) =
3 8
24
¿Cuál es la probabilidad de que al tomar una bombilla al azar de la
segunda caja, esté fundida?
1 3
3
1
𝑃(𝐶2𝐹) = ( ) =
=
3 8
24 8
¿Cuál es la probabilidad de que al tomar una bombilla al azar de
una cualquiera de las cajas, esté fundida?
1 5
1 3
1 5
5
3
5
3
𝑃(𝐶𝐹) = ( ) + ( ) + ( ) =
+
+
=
3 12
3 8
3 15
36 24 45 8
¿Cuál es la probabilidad de que al tomar una bombilla al azar de
una cualquiera de las cajas, esté buena?
1 7
1 5
1 10
7
5 10 5
𝑃(𝐶𝐵) = ( ) + ( ) + ( ) =
+
+
=
3 12
3 8
3 15
36 24 45 8
¿Cuál es la probabilidad de que al tomar una bombilla al azar de
una cualquiera de las cajas, esté buena o esté fundida?
𝑃(𝐶𝐹𝑂𝐶𝐵) =
3 5 8
+ = =1
8 8 8
19. En una casa matriz de venta de carros se realiza un sorteo de un vehículo
entre sus clientes y se selecciona por sorteo a uno de ellos y se le
introducen tres llaveros A, B y C, para poder abrir la puerta del vehículo y
así ser el ganador: El primero llavero con cinco llaves y dos abren el auto,
el segundo con siete y tres abren el auto y el tercero con ocho y 6
bloquean el auto. Se escoge al azar un llavero. Cuál es la probabilidad de
que:
A. Sea el ganador con el primer llavero.
B. Abra el carro con cualquiera de los llaveros.
C. No abra con el tercer llavero.
D. Con cuál de los llaveros tiene mayor probabilidad de ganar.
20. En una urna hay 3 monedas, con las siguientes características. La primera
es una moneda normal, la segunda es una moneda que tiene dos caras y
la tercera es una moneda cargada, en la cual la probabilidad de salir cara
1
es de la probabilidad de salir sello.
3
Si se saca una moneda al azar, cuál será la probabilidad de que al lanzarla
salga:
A. Cara.
B. Sello.
21. En una competencia ciclística, donde solo hay cuatro corredores, que
tienen la opción de ganar. Si Metelón tiene el cuádruplo de probabilidad
de ganar que Sobarrón, y Sobarrón tiene el doble de probabilidad de
ganar que Pedalero y Pedalero el doble de Cipriano.
A. Determinar la probabilidad de ganar cada uno.
Se plantean las probabilidades de cada uno de los ciclistas en función de
los demás y se halla la probabilidad de cada uno de ellos.
𝑃(𝑀) = 4𝑃(𝑆),
𝑃(𝑆) = 2𝑃(𝑃) ,
𝑃(𝑃) = 2𝑃(𝐶)
𝑃(𝑀) = 4𝑃(𝑆) = 4(4𝑃(𝐶) ) = 16𝑃(𝐶)
𝑃(𝑆) = 2(2𝑃(𝐶) ) = 4𝑃(𝐶)
𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑡𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑑𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝑃(𝑀) + 𝑃(𝑆) + 𝑃(𝑃) + 𝑃(𝐶) = 1
16𝑃(𝐶) + 4𝑃(𝐶) + 2𝑃(𝐶) + 𝑃(𝐶) = 1
23𝑃(𝐶) = 1
1
𝑃(𝐶) =
23
1
16
𝑃(𝑀) = 16𝑃(𝐶) = 16𝑋
=
23 23
1
4
𝑃(𝑆) = 4𝑃(𝐶) = 4𝑥
=
23 23
1
2
𝑃(𝑃) = 2𝑃(𝐶) = 2𝑥
=
23 23
B. Quien ganara la carrera, según el estudio de la probabilidad?
16
Gana La carrera el de mayor probabilidad que es Metelón con .
23
22. En un centro escolar los alumnos pueden optar por cursar como lengua
extranjera inglés o francés. En un determinado curso, el 90% de los
alumnos estudia inglés y el resto francés. El 30% de los que estudian
inglés son chicos y de los que estudian francés son chicos el 40%. Al
elegir un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea chica?
23. Un taller sabe que por término medio acuden: por la mañana tres
automóviles con problemas eléctricos, ocho con problemas mecánicos y
tres con problemas de chapa, y por la tarde dos con problemas
eléctricos, tres con problemas mecánicos y uno con problemas de chapa.
Eléctrico
Mecánico
Chapas
Total
Mañana
3
8
3
14
Tarde
2
3
1
6
Total
5
11
4
20
A. Cuál es la probabilidad de que atiendan un carro y sea de la jornada
de la tarde:
𝐸
6
𝑃(TARDE) = =
= 0.30 = 30%
𝑆 20
B. Cuál es el porcentaje de los carros que acuden por problemas
mecánicos. Recuerde que hallar el porcentaje y la probabilidad son
operaciones equivalentes.
𝐸 11
𝑃(MECANICOS) = =
= 0.55 = 55%
𝑆 20
C. Calcular la probabilidad de que atiendan un automóvil con
problemas eléctricos acuda por la mañana:
𝐸 3
𝑃(M/E) = = = 0.60 = 60%
𝑆 5
D. Calcular la probabilidad de que atiendan un automóvil con
problemas mecánicos acuda por la tarde:
𝐸
3
𝑃(T/M) = =
= 0.2727 = 27.27%
𝑆 11
24. En un aula de clases hay 100 alumnos, de los cuales: 40 son hombres, 30
usan gafas, y 15 son varones y usan gafas. Si seleccionamos al azar un
alumno de dicho curso.
Gafas
Sin Gafas
Total
Hombres
15
25
40
Mujeres
15
45
60
Total
30
70
100
A. ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer y no use gafas?
𝐸
45
𝑃(MY~G) = =
= 0.45 = 45%
𝑆 100
B. ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer y use gafas?
𝐸
15
𝑃(MYG) = =
= 0.15 = 15%
𝑆 100
C. Hallar el porcentaje de los estudiantes que usan gafas
𝐸
30
𝑃(G) = =
= 0.30 = 30%
𝑆 100
D. La probabilidad de que un estudiante con gafas sea mujer.
𝐸 15
𝑃(M/G) = =
= 0.50 = 50%
𝑆 30
E. Probabilidad de que un estudiante sin gafas sea hombre.
𝐸 25
𝑃(M/G) = =
= 0.25 = 25%
𝑆 70
F. Sabemos que el estudiante seleccionado no usa gafas, ¿Qué
probabilidad hay de que sea hombre?
𝐸 25
5
𝑃(H/~G) = =
=
= 0.3571 = 35.71%
𝑆 70 14
G. Sabemos que el estudiante seleccionado no usa gafas, ¿Qué
probabilidad hay de que sea mujer?
𝐸 45
9
𝑃(H/~G) = =
=
= 0.6428 = 64.28%
𝑆 70 14
25. En una clase en la que todos practican algún deporte, el 60% de los
alumnos juega al fútbol o al baloncesto y el 10% practica ambos
deportes. Si además hay un 60% que no juega al fútbol, ¿cuál será la
probabilidad de que escogido al azar un alumno de la clase:
F
B
0.30 0.10
0.20
0.40
A.
B.
C.
D.
E.
F.
Juegue ni futbol, ni baloncesto.
Juegue sólo al fútbol:
Juegue sólo al baloncesto.
Practique uno solo de los deportes:
Que practique baloncesto:
Si en total en la escuela hay 80 estudiantes practicando Deportes.
Cuál es el número de estudiantes que practica Futbol?
G. De total de estudiantes de la escuela Deportes. Cuál es el número
de estudiantes que practica Baloncesto?
H. Si del total estudiantes practicando Deportes se quiere hallar el
número de estudiantes que practica solo Futbol?
I.
Cuál es el número de estudiantes que practica Futbol y Baloncesto?
J. Cuál es el número de estudiantes que practica Futbol o Baloncesto?
ESTADISTICA INFERENCIAL.
1. La inferencia estadística o estadística Inferencial es una parte de la
Estadística que comprende y da los métodos y procedimientos para
deducir propiedades (hacer inferencias) de una población, a partir de
una pequeña parte de la misma (muestra).
2. Es un proceso de análisis que consiste en inferir las propiedades de una
población con base en la caracterización de la muestra.
Se basa en las conclusiones a la que se llega por la ciencia experimental
basándose en información incompleta.
Genera modelos probabilísticos a partir de un conjunto de observaciones.
Del conjunto de observaciones que van a ser analizadas, se eligen
aleatoriamente sólo unas cuantas, que es la muestra, y a partir de dicha
muestra se estiman:
1.
2.
Los parámetros del modelo.
Se contrastan las hipótesis establecidas, con el objeto de determinar si el
modelo probabilístico es el adecuado al problema real que se ha
planteado.
La utilidad de la inferencia estadística, consiste en que si el modelo se
considera adecuado, puede usarse para la toma de decisiones o para la
realización de las previsiones convenientes.
La inferencia estadística parte de un conjunto de observaciones de una
variable, y a partir de estos datos “infiere” o genera un modelo probabilístico;
por tanto es la consecuencia de la investigación empírica, cuando se está
llevando a cabo, y como consecuencia de la ciencia teórica, cuando se están
generando estimadores, o métodos, con tal o cual característica para casos
particulares.
La inferencia estadística es, en consecuencia, un planteamiento inductivo.
TECNICAS DE MUESTREO.
Para realizar un análisis estadístico, se puede efectuar:
1. Toda la población.
2. Una parte de la población.
Si estudiamos toda la población, podemos conocer e identificar exactamente
la distribución que presenta la variable o las variables estudiadas en dicha
población. Por ejemplo, en la mayoría de los casos, los censos son inviables o
como mínimo innecesarios. Los censos son lentos y caros (hay que examinar
una gran cantidad de individuos, lo cual requiere tiempo y dinero) y poco
flexibles (debido a su complejidad, es muy difícil modificarlos cuando se han
puesto en marcha).
Tratar una gran cantidad de individuos, para ser estudiados requiere disponer
de personal entrenado, instalaciones (laboratorios, centros de tratamientos de
datos, recopilación...), recursos, en estos casos, un censo puede ser
irrealizable, o bien puede realizarse sin los recursos necesarios, de modo que,
los datos obtenidos pueden contener errores y por tanto, no necesariamente
van a proporcionar una buena información.
Una alternativa a los censos será la medición de estas variables en una parte
de la población, es decir, en una muestra. Trabajar con una muestra de la
población tiene la ventaja de que:
1. Es más rápido.
2. Más barato.
3. Los resultados obtenidos pueden ser más precisos,
De modo que, si la muestra se elige correctamente, la información que
obtenemos permite una estimación razonable de la situación de la población.
Cuando nos planteamos tomar una muestra, surgen dos preguntas:
1. ¿Qué individuos o datos debo incluir en la muestra?
2. ¿Cuántos individuos o datos debo tomar?
Para un ejemplo en particular,
1. Cuando el objetivo es conocer la cantidad de enfermedad o cuando
queremos realizar un estudio epidemiológico cuyos resultados debemos
extrapolar a la población general, un requisito indispensable es que la
muestra sea representativa de la población general, por tanto la
muestra debe tomarse al azar.
2. Cuando el objetivo es conocer si una enfermedad existe o no en una
población, también podemos tomar una muestra aleatoria, pero en la
mayoría de los casos, lo más apropiado será tomar una muestra
sesgada, de modo que analizaremos aquellos individuos que tienen
mayor posibilidad de estar enfermos.
La mejor opción para obtener una muestra representativa es:
1. Elegir los individuos al azar mediante un muestreo aleatorio, es decir,
seleccionando los individuos de manera que todos ellos tenga la misma
probabilidad de formar parte de la muestra.
2. Cuando estos no es posible la alternativa será elegir a los individuos
según un muestreo de conveniencia.
El método para elegir la muestra recibe el nombre de muestreo.
MUESTREO.
Es una herramienta de la investigación científica. Su función básica es que
parte de una realidad en estudio (población o universo) debe examinarse con
la finalidad de hacer inferencia sobre dicha población.
El error que se comete debido a hecho de que se obtienen conclusiones sobre
cierta realidad a partir de la observación de solo una parte de ella y se
denomina error de muestreo.
Obtener una muestra adecuada significa lograr una versión simplificada de la
población, que reproduzca de algún modo sus rasgos básicos.
Nos da las herramientas, técnicas y métodos, para realizar una investigación
científica, de procesos estadísticos para la selección de una muestra.
1. FUNCIONES:
A. DETERMINACION DE LOS DATOS.
1. Cuáles.
2. Cuantos. Para el estudio y la inferencia.
B. AHORRO.
1. Tiempo.
2. Dinero.
3. Personal.
4. Espacio.
C. PROPIEDADES.
1. Cuantitativa: Representativa. Cantidad.
2. Cualitativa: Características de la población. Propiedades.
2. TIPOS DE MUESTREO.
A. PROBABILISTICO O ALEATORIO.
Propiedades de los elementos de la población cumple:
1. Misma probabilidad de escogencia.
2. Probabilidad de escogencia conocida.
3. Probabilidad con reemplazo o sin él.
4. El error se da en forma de probabilidad.
A.1. ALEATORIO SIMPLE.
Sus elementos:
1. Se ordenan en tablas:

Asignar números a los elementos de la población.

Se escogen con balotas o tablas especiales.
2. Escogencia al azar.
VENTAJAS.

Sencillo.

Fácil comprensión.

Calculo fácil y rápido.
Varianza.
Media.
Desviación estándar.

Basada en la teoría estadística.
Uso de software.
Análisis de datos.
DESVENTAJAS.

Listados de la población.
Poblaciones pequeñas. Fácil.
Poblaciones grandes. Extenso y complicado.

Muestras pequeñas no es representativo.
A.2. SISTEMATICO.
Sus elementos se escogen para muestras grandes:
1. Primer elemento al azar:
2. Los demás condicionados por el primer elemento.

La muestra representa la población por la variabilidad.

Estimaciones más precisas.
DESVENTAJAS.

Distribución de las variables en la población.

Análisis más complicados por la diversidad de grupos.

Más cantidad de variables a analizar.
A.4. CONGLOMERADO.
Sus elementos de la población se divide en:
1. N Grupos.
2. Todos los grupos deben ser:

Variados.

Completos.

Representativos.
3. La variación en cada grupo es menor que la variación entre los
grupos.
1. Sexo.
2. Peso.
3. Edad.
4. Ciudad, etc.
B.
PROCEDIMIENTO.

Listado de elementos de la población.

Determinar tamaño de la muestra.

Definir constante de elevación o k de salto.
𝑁 𝑃𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛
𝑘= =
𝑛
𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎

Elegir numero de arranque (1, K).

Seleccionar elementos.
VENTAJAS.

Fácil aplicación.

No siempre es necesario listado de elementos.

Población ordenada asegura cobertura.
DESVENTAJAS.

Estimaciones sesgadas.
A.3. ESTRATIFICADO.
Sus elementos o población se divide en:
1. Clase.
2. Grupos de estudio, que sean:
3. Todos aportan a la muestra.

Homogéneos.

Iguales condiciones.

De las mismas características de variables. Ejemplos de
Variables.
1. Sexo.
2. Peso.
3. Edad.
4. Ciudad, etc.
PROCEDIMIENTO.

Proporcional.
Grupos.
Porcentaje.

Optima.
Escogen de grupos más variables.
VENTAJAS.

Es más eficientes para poblaciones:
Grandes.
Dispersas.

Reduce costos.

Listados cortos, no necesario el completo de la población.
DESVENTAJAS.

El error estándar es mayor, que en los otros procesos.

Calculo de error estándar es mas complejo
NO PROBABILISTICO O NO ALEATORIO.
Propiedades de los elementos de la población cumple:
1. Diferente probabilidad de escogencia.
2. Probabilidad de escogencia desconocida.
3. No es representativa la muestra.
4. El error no se da en forma de probabilidad.
5. Muestra es costosa.
6. El investigador debe conocer el tema. Especialista.
Consiste en la elección por métodos no aleatorios de una muestra cuyas
características y condiciones sean similares a las de la población objetivo.
En este tipo de muestreos la “representatividad” la determina el
investigador de modo subjetivo, siendo este el mayor inconveniente del
método ya que no podemos cuantificar la representatividad de la
muestra.
Presenta casi siempre sesgos y por tanto debe aplicarse únicamente
cuando no existe alternativa.
1. MUESTREO ALEATORIO.
Simeón Cedano Rojas
Profesor de la materia
PROBABILIDAD INTRODUCCION.CECEP
PROCEDIMIENTO.

Proporcional.
Grupos.
Porcentaje.

Optima.
Escogen de grupos más variables.
VENTAJAS.