Para la cantidad de movimiento angular del sistema de partículas

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN
FACULTAD DE CIENCIAS-ESCUELA DE FÍSICA
FÍSICA MECÁNICA
MÓDULO # 21: SISTEMA DE PARTÍCULAS -TEOREMAS GENERALESDiego Luis Aristizábal R., Roberto Restrepo A., Tatiana Muñoz H.
Profesores, Escuela de Física de la Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín
1
Temas







Introducción
Segunda ley de Newton de traslación
Segunda ley de Newton de rotación
Trabajo y energía
Resumen
Leyes de conservación
Marco de referencia del Centro de Masa
Introducción
Una partícula de masa m que se mueve respecto a un marco inercial de referencia, está caracterizada por
tres cantidades dinámicas fundamentales, cantidad de movimiento lineal, cantidad de movimiento angular y
energía cinética.
P = mV
Lo = m r  V
K=
1
mV 2
2
Ahora, una partícula tiene interacciones con su entorno y las acciones sobre ella se manifiestan como la
fuerza, el torque y el trabajo netos. Las relaciones fundamentales de la dinámica movimiento de una
partícula vinculan esas magnitudes dinámicas que caracterizan su movimiento, con estas magnitudes que
cuantifican las acciones ejercidas sobre ella. Las relaciones siguientes son respecto a un marco de
referencia inercial:
F=
τo =
dP
= ma
dt
dLo
dt
W = ΔK
[*]
La ecuación [*] si la partícula se mueve circularmente y se toma como O el centro de la trayectoria toma la
siguiente forma,
τo =
d  Io w 
dLo
=
= Io α
dt
dt
2
siendo Io su momento de inercia respecto a O y  su aceleración angular.
En éste módulo se mostrará como las relaciones básicas para una partícula permiten obtener resultados
fundamentales para el movimiento de un sistema de partículas.
En el módulo 20 se estudiaron los conceptos de masa y momento de inercia de un sistema de partículas.
Segunda ley de Newton de traslación
En el caso de un sistema de partículas es necesario establecer la distinción entre fuerzas externas,
ejercidas sobre las partículas del sistema por cuerpos externos a él, y fuerzas internas, que son las
fuerzas de interacción entre las propias partículas del sistema. Por ejemplo en la Figura 1
fuerzas externas al sistema:
sistema:
F1 y F2 son
F1 actúa sobre m1 y F2 actúa sobre m2. F12 y F21 son fuerzas internas al
F12 la realiza m2 sobre m1 y F21 la realiza m2 sobre m1 y cumplen la ley de acción y reacción:
F12 = - F21 y si se suman F12 +  - F21   0 .
Figura 1
En el módulo # 20 se mostró que la posición del centro de masa de un sistema de partículas se expresa
como,
rcm =
m r
m
i i
i
Por lo tanto la velocidad del centro de masa es,
dri
Vcm
 m dt
m
dr
= cm =
dt
Vcm =
i
i
m V
m
i
i
i
3
MVcm =  Pi
Ps = MVcm
[1]
En donde M es la masa del sistema de partículas,
Ps es la cantidad de movimiento lineal del sistema y Vcm
es la velocidad del centro de masa.
Es decir, la cantidad de movimiento de un sistema de partículas es equivalente a la cantidad de
movimiento lineal de una partícula ubicada en el centro de masa del sistema y que se mueve con la
velocidad
Vcm .
Continuando, de [1],
MVcm = m1V1 + m2V2 + ... + mi Vi
derivando respecto al tiempo la ecuación,
M
dVcm
dV
dV
dV
= m1 1 + m2 2 + ... + mi i
dt
dt
dt
dt
Ma cm = m1a1 + m2a 2 + ... + mia i
Dado un marco de referencia inercial,
m1a1    FExternas al sistema 
  F
m2a 2    FExternas al sistema 
  F
que actúan sobre m1
que actúan sobre m2
mi a i    FExternas al sistema 
que actúan sobre mi
Internas al sistema
que actúan sobre m1
Internas al sistema
que actúan sobre m2
  F
Internas al sistema
que actúan sobre mi
Por lo tanto,
Ma cm    F Externas al sistema 
  F
Pero por ley de acción y reacción,
Internas al sistema
 F 
Internas al sistema
 0
Y por lo tanto,
  F
Externas al sistema
 Ma cm
Fneta externa  Macm
[2]
4
Es decir, dado un marco de referencia inercial cuando actúan fuerzas externas sobre un cuerpo o una
colección de partículas, el CM (centro de masa) se mueve como una partícula cuya masa es la masa
del sistema y sobre la que actúa una fuerza neta que es simplemente la suma vectorial de todas las
fuerzas externas que actúan sobre el sistema.
Segunda ley de Newton de rotación
Sea un sistema de dos partículas, Figura 2, en donde
sobre m1 y
F1 y F2 son fuerzas externas al sistema: F1 actúa
F2 actúa sobre m2. F12 y F21 son fuerzas internas al sistema: F12 la realiza m2 sobre m1 y F21
la realiza m2 sobre m1 y cumplen la ley de acción y reacción:
F12 = - F21 y si se suman F12 +  - F21   0 .
Figura 2
Aplicando a cada partícula la relación básica para la cantidad de movimiento angular se obtiene,


dLo1
dt


dLo2
dt
r1× F1 + F12 =
r2 × F2 + F21 =
Sumando estas dos ecuaciones se obtiene el torque total sobre el sistema,
r1×F1  r2 ×F2 + r1×F12 + r2 ×F21 =

d Lo1  Lo2
dt

y como
F12 = - F21 se obtiene,
r1×F1  r2 ×F2 + r21×F21 =

d Lo1  Lo2

dt
Si se hace la restricción que las fuerzas internas son centrales, es decir si a la ley de acción y reacción se
le adiciona la propiedad de que las fuerzas internas tienen su línea de acción a lo largo de la línea que une
las partículas se obtiene que,
r21×F21  0
y por lo tanto,
r1×F1  r2 ×F2 =

d Lo1  Lo2

dt
Es decir,
τ 
total
o
externo
=
dLtotal
o
dt
[3]
Relación válida para un marco de referencia inercial en el cual hay un punto fijo O para el cálculo tanto del
torque como de la cantidad de movimiento angular: Dado un marco de referencia inercial, el torque total
respecto a un punto O realizado por las fuerzas externas que actúan sobre un sistema de partículas
es igual a la derivada temporal de la cantidad de movimiento angular del sistema de partículas
respecto al mismo punto O.
La relación [2] se demostró para un sistema de dos partículas pero su valide es general para un sistema de
N partículas.
Trabajo y energía
Sea un sistema de dos partículas como el de la Figura 2. Aplicando el teorema del trabajo y la energía a
cada partícula en situaciones A y B se obtiene,
B
  F + F  dr
1
12
1
= K B1 - K A1
A
B
 F
2

+ F21 dr2 = K B2 - K A2
A
Sumando estas dos ecuaciones,
5
B
B
B
A
A
A
 F1 dr1 +  F2 dr2 +  F12  dr1 - dr2  = K B - KA
Como,
B
B
A
A
6
 F1 dr1 +  F2 dr2
Wexternas 
B
Winternas =  F12  dr1 - dr2 
A
Se obtiene,
W externas + Winternas = K B - K A
[4]
W externas + Winternas = K
[4]
Esta relación que se demostró para un sistema de dos partículas tiene validez para un sistema de N
partículas: Dado un marco de referencia inercial, la suma de los trabajos realizados tanto por la
fuerzas externas y por las fuerzas internas en un sistema de partículas es igual al cambio de su
energía cinética. Este es el teorema del trabajo y la energía (teorema TE) para un sistema de
partículas.
Casos especiales:

Si el sistema de partículas solo lo conforma una sola partícula: No hay fuerzas internas y por lo tanto,
Winternas = 0
Wexternas = ΔK
que corresponde al teorema TE para una partícula.

Si el sistema de partículas es un cuerpo rígido: No habrán desplazamientos relativos entre las
partículas y por lo tanto,
Winternas = 0
Wexternas = ΔK
que corresponde al teorema TE para un cuerpo rígido. Es igual que el teorema TE para una partícula.
Resumen
Dado un marco de referencia inercial y un punto fijo en él O. Un sistema de partículas en movimiento
respecto a dicho marco, está caracterizado por tres magnitudes dinámicas, la cantidad de movimiento
lineal
Ps , la cantidad de movimiento angular Lso y la energía cinética K s ,
Ps =  mi Vi
7
Lso =  Lio =  r×P
i
i
1
K s =  mi Vi2
2
Desde el punto de vista de las interacciones, hay en un sistema de partículas interacciones internas y
externas. Los cambios de la cantidad de movimiento lineal y de la cantidad de movimiento angular, sólo
tienen que ver con la fuerza externa total,
al mismo punto O que
Fexterna , y el torque externo total,  τo externo , calculado respecto
Lso . En cambio, en la energía cinética, en general, importan tanto el trabajo de las
fuerzas externas, W
, como el de las internas, W
. Las relaciones básicas para el estudio del
movimiento de un sistema de partículas, válidas respecto a un marco inercial, son
externas
Fexterna =
 τo externo
internas
dP
= Ma cm
dt
=
dLso
dt
Wexternas + Winternas = ΔKs
Leyes de conservación
A cada una de las tres relaciones anteriores se les puede asociar una ley de conservación. A continuación se
expresan las condiciones para que estas leyes se cumplan.

Ley de conservación de la cantidad de movimiento lineal: Si la
Fexterna = 0 o se puede aplicar el concepto
de las aproximaciones debido a la presencia de fuerzas impulsivas (ver módulo # 19) se conservará la
cantidad de movimiento lineal del sistema de partículas:
Pantes = Pdespués
Recordar que dos de las aplicaciones de este principio de conservación son las explosiones y las
colisiones.

Ley de conservación de la cantidad de movimiento angular: Si la
 o externo
= 0 se conservará la
cantidad de movimiento angular del sistema de partículas:
Lantes = Ldespués
8
En el módulo # 19 se trató una aplicación en el caso de una partícula bajo la acción de fuerza central.
En dinámica del cuerpo rígido, módulos # 22 y # 23
se verán aplicaciones muy útiles que se
fundamentan en este principio de conservación.

Ley de conservación de la energía: En este caso habrá que decidir si las fuerzas internas y/o las
fuerzas externas son conservativas. Sin embargo se podrían ver por ahora varias versiones de este
principio general.

Partícula con fuerzas externas conservativas,
Wexternas = ΔK
- U = ΔK
Ki + Ui = Kf + Uf
Ei = Ef
Esto es, si las fuerzas que actúan sobre una partícula son conservativas, su energía mecánica
se conserva.

Cuerpo rígido con fuerzas externas conservativas,
Wexternas = ΔK
- U = ΔK
Ki + Ui = Kf + Uf
Ei = Ef
Esto es, si las fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígiso son conservativas, su energía
mecánica se conserva.

En el módulo # 24 se aplicará la esta ley de conservación en líquidos incompresibles para obtener la
muy útil ecuación de Bernoulli.

En el módulo # 26 se aplicará esta ley de conservación para sistemas muy complejos para obtener
el denominado primer principio de la termodinámica. En estos sistemas complejos es necesario
definir conceptos como el CALOR y la ENERGÍA INTERNA.
Marco de referencia del Centro de Masa
Sea un marco de referencia con origen en el centro de masa CM, en traslación respecto a un marco de
referencia inercial con origen en O. A este marco de referencia se le denomina merco de referencia del
Centro de Masa. Si no hay fuerzas externas, o mejor si
F
externas
constante y el marco de referencia CM será inercial, pero si
aceleración y el marco CM no será inercial.
= 0 , el CM se moverá con velocidad
F
externas
 0 , el CM se moverá con
Figura 3
Por movimiento relativo se sabe que,
ri / CM = ri - rCM
Vi / CM = Vi - VCM
a i / CM = a i - a CM
Cantidad de movimiento lineal
Como la cantidad de movimiento del sistema de partículas respecto al marco de referencia O es según la
ecuación [1],
Ps =  mi Vi

Ps =  mi Vi / CM +VCM
Ps =  mi Vi / CM 

m V
i
CM
Ahora, la cantidad de movimiento lineal del sistema de partículas respecto al marco con origen en
CM es CERO, ya que la velocidad del centro de masa CM respecto al propio centro de masa es nula:
9
Ps / CM =  mi Vi / CM  0
[5]
Por lo tanto,
Ps =  mi VCM
Ps = MVCM
[6]
10
Energía cinética
Para la energía cinética del sistema de partículas respecto al marco de referencia con origen fijo a el O se
obtiene,

1
1
1
K s =  mi Vi2   mi Vi Vi   mi Vi / CM +VCM
2
2
2
1
2
MVCM

2
Ks =
1
2mV
i
2
i / CM
 VCM
 V
i / CM
+VCM

m V
i
i / CM
Como,
Ps / CM =  mi Vi / CM  0
Entonces,
m V
VCM
i
i / CM
0
Y por lo tanto,
Ks =
1
2
MVCM

2
Ks =
1
2mV
i
2
i / CM
1
2
MVCM
 K s / CM
2
[7]
Es decir, la energía cinética de un sistema de partículas respecto a un marco en O, es igual a la
suma de la energía cinética de una partícula con la masa total M y moviéndose con el CM, más la
energía cinética de las partículas del sistema respecto al centro de masa CM.
Cantidad de movimiento angular
Para la cantidad de movimiento angular del sistema de partículas respecto al marco de referencia con
origen fijo a el O se obtiene,

Ls =  mi r×V
i
i   mi  ri / CM + rCM  × Vi / CM +VCM
Ls =
m r
i i / CM
×Vi / CM 
 m r
i i / CM
×V
CM


m r
i CM
×Vi / CM +
m r
i CM
×VCM
pero,

la
cantidad
de
movimiento

la posición del CM en el marco CM es CERO (o mejor

de la ecuación [5],

y
Ls / CM   mi ri / CM ×Vi / CM
m r
i CM
×VCM
angular
m V = P
   m  r ×V
i
i / CM
i
s / CM
CM
CM
del
sistema
de
0 ) entonces
partículas
m r
i i / CM
respecto
al
CM
es
= 0,
=0
 M rCM ×VCM  L CM es la cantidad de movimiento angular
respecto a O de una partícula con la masa de todo el sistema de partículas y ubicada en el CM,
por lo tanto,
Ls = M rCM×VCM + Ls / CM
Algunos autores definen a
partículas y a
[8]
Ls / CM lo denominan cantidad de movimiento angular interno del sistema de
MrCM×VCM lo denominan cantidad de movimiento angular orbital del sistema de partículas.
La derivada temporal de la cantidad de movimiento angular es,
 τo externo
=
dLs
dr
dV
dLs / CM
= M CM ×VCM + M rCM × CM +
dt
dt
dt
dt
Pero,



drCM
×VCM = MVCM ×VCM = 0
dt
dV
MrCM × CM = rCM ×Ma CM = rCM ×Fexternas
dt
dL
[9]
 τCM externo  s / CM
dt
M
Por lo tanto,
 τo externo
= rCM ×Fexternas +  τCM externo
[10]
Observar que,
 τCM externo 
dLs / CM
dt
[9]
Es decir, la derivada temporal de la cantidad de movimiento angular del sistema de partículas
respecto al CM es igual al torque de las fuerzas externas que actúan sobre el sistema respecto al
11
CM. Lo interesante de esta relación es que sigue siendo válida incluso si el marco de referencia CM
es no inercial.
FIN.
12