Práctica 4: Variables Aleatorias y Simulación

Práctica 4: Variables Aleatorias y Simulación
Práctica 4: Variables Aleatorias y Simulación
Objetivos específicos
Al finalizar esta práctica deberás ser capaz de:
•
Calcular las funciones de probabilidad y distribución de las variables discretas
Bernoulli, binomial, Poisson, geométrica, binomial negativa e hipergeométrica.
Interpretar correctamente su significado.
•
Calcular valores de las funciones de densidad y de distribución para las variables
continuas exponencial y normal. Interpretar correctamente su significado.
•
Comprobar empíricamente propiedades reproductivas de las variables, utilizando
la generación de números aleatorios.
•
Utilizar la simulación para estimar la fiabilidad de un sistema.
1. Cálculo de funciones de probabilidad y de distribución y de
percentiles para algunas variables aleatorias discretas y continuas
A pesar de que la mayoría de las veces trabajaremos con tablas, no está de más saber
que la hoja de cálculo Excel tiene una serie de funciones estadísticas que nos permiten
calcular los valores de las funciones de probabilidad y de distribución para un conjunto
de variables aleatorias discretas, y de las funciones de densidad y de distribución para
una serie de variables aleatorias continuas. Además, para algunas distribuciones
continuas permite también el cálculo de percentiles.
Para acceder a estas funciones no tenemos más que seleccionar las opciones
INSERTAR>FUNCIÓN>ESTADÍSTICAS, o bien, pinchar en el botón PEGAR
FUNCIÓN,
, presente en la barra de herramientas.
Entre la colección de funciones estadísticas de variables aleatorias discretas, aparecen
las siguientes:
ƒ
DISTR.BINOM: devuelve el valor de la función de probabilidad o de la función
de distribución de una variable aleatoria binomial. El primer argumento de la
función (NÚM_ÉXITO) es el valor de la variable, x. El segundo (ENSAYOS)
y tercer (PROB_ÉXITO) argumentos son los valores de los parámetros n y p,
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respectivamente. Si el cuarto argumento (ACUMULADO) vale 0, calculará la
función de probabilidad P(X=x); y si es distinto de 0, la función de distribución
F(x)=P(X≤x).
ƒ
DISTR.HIPERGEOM: devuelve el valor de la función de probabilidad,
P(X=x), de una variable aleatoria con distribución hipergeométrica. El primer
parámetro (MUESTRA_ÉXITO) es el valor de la variable, x. El parámetro
NÚM_DE_MUESTRA es el tamaño de la muestra seleccionada, es decir, el
parámetro n de la distribución. El parámetro POBLACIÓN_ÉXITO es el
número de éxitos que hay en la población, es decir, el parámetro D de la
distribución. Finalmente, el parámetro NÚM_DE_POBLACIÓN es el tamaño
de la población, es decir, el valor del parámetro N de la distribución.
ƒ
NEGBINOMDIST: devuelve el valor de la función de probabilidad, P(X=x), de
una variable aleatoria con distribución binomial negativa. El primer argumento
(NÚM_FRACASOS) es el valor de la variable, x. Los argumentos
NÚM_ÉXITOS y PROB_ÉXITOS son los parámetros n y p de la distribución
binomial negativa, respectivamente.
ƒ
POISSON: devuelve el valor de la función de probabilidad o de la función de
distribución de una variable aleatoria de Poisson. El primer argumento (X) es el
valor de la variable, x. El segundo (MEDIA) es la media de la distribución de
Poisson, que coincide con el parámetro λ. Si el argumento ACUMULADO vale
0, calculará la función de probabilidad P(X=x); y si es distinto de 0, la función
de distribución F(x)=P(X≤x).
Nota: Como las funciones DISTR.HIPERGEOM y NEGBINOMDIST no tienen el
argumento ACUMULADO, para calcular valores de la función de distribución
deberemos calcular nosotros las sumas acumuladas utilizando las funciones de Excel.
Ejercicio.- Haz el Ejercicio 1 del final de la práctica.
Entre la colección de funciones estadísticas de variables aleatorias continuas, se
encuentran:
ƒ
DISTR.EXP: devuelve el valor de la función de densidad o de la función de
distribución de una variable aleatoria exponencial. El primer argumento (X) es el
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valor de la variable, x. El segundo (LAMBDA) coincide con el parámetro λ de
la exponencial (es decir, el inverso de la media de la variable). Igual que antes, si
el argumento ACUM vale 0, calculará la función de densidad f(x); y si es
distinto de 0, la función de distribución F(x)=P(X≤x).
ƒ
DISTR.NORM: devuelve la función de densidad o la de distribución de una
variable aleatoria con distribución normal. El argumento X es el valor de la
variable, x. Los argumentos MEDIA y DESV_ESTÁNDAR son precisamente
los parámetros µ y σ de la distribución normal. El argumento ACUM tiene el
mismo significado de siempre.
ƒ
DISTR.NORM.ESTAND: esta función devuelve el valor de la función de
distribución de una variable aleatoria con distribución normal estándar, es decir,
con media 0 y desviación típica 1. Sólo tiene, por tanto, un argumento (Z) que es
el valor de la variable, z.
ƒ
DISTR.NORM.ESTAND.INV: devuelve el cuantil de orden p de una
distribución normal estándar. Sólo tiene un parámetro que es precisamente el
valor de la probabilidad acumulada, PROBABILIDAD.
ƒ
DISTR.NORM.INV: devuelve el cuantil de orden p de una distribución normal
con media igual a MEDIA y desviación típica igual a DESV_ESTÁNDAR. El
valor de p es el argumento PROBABILIDAD.
Nota: Es muy importante recordar el significado que tiene la función de densidad en las
variables aleatorias continuas. No podemos olvidar que, en el caso continuo, la función
de densidad, f(x), no representa la probabilidad de que la variable aleatoria X tome el
valor x. Esta probabilidad, P(X=x), en el caso continuo vale siempre 0.
Ejercicio.- Haz el Ejercicio 2 del final de la práctica.
2. Simulación
En el mundo actual, tanto en el área de los negocios, como en la industria y en el
gobierno, la mayoría de los proyectos son a gran escala y requieren una fuerte inversión
económica (imagina, por ejemplo, los costes que generaría la implantación de una nueva
línea de montaje en la planta de OPEL de Figueruelas o la modificación de la línea
actual; o la construcción de un embalse; o incluso la creación de una nueva línea de
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autobús urbano). Los proyectos reales requieren estudios previos a su construcción o
modificación, que se llevan a cabo construyendo un modelo lo más parecido posible al
sistema real. Construido el modelo, el proceso de ensayar sobre él se llama simular. Uno
de los objetivos de la simulación es realizar ensayos de cambios en el sistema
probándolos en el modelo con el fin de elegir la mejor alternativa y así enfrentarse
mejor a una realidad que varía de día a día. La simulación permite la descripción de
situaciones complejas y ayuda a la localización de los aspectos relevantes del problema.
En la mayoría de los sistemas reales intervienen una gran cantidad de variables
aleatorias. Por ejemplo, cuando estás esperando en la fila de la verdulería, el número de
artículos distintos que pide el cliente que está justo delante de ti es una variable aleatoria
discreta; o el tiempo que tienes que esperar hasta que te toca el turno es otra variable
aleatoria, continua en este caso. Si en el proceso de simulación intervienen variables
aleatorias hablaremos de simulación estocástica o probabilística.
Algunas de las ventajas de la simulación son:
-
La teoría necesaria para su desarrollo es bastante sencilla.
-
Su gran flexibilidad, que permite la agregación de múltiples relaciones e
interdependencias entre las variables que intervienen.
-
Permite tratar problemas planteados en amplios periodos de tiempo,
comprimiendo su estudio a tan sólo unos minutos.
La hoja de cálculo Excel tiene implementadas funciones para la generación de números
aleatorios de algunas distribuciones de probabilidad dentro del menú de funciones
estadísticas avanzadas.
Figura 1: Menú ANÁLISIS DE DATOS
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Para acceder a estas funciones tenemos que seleccionar la opción de menú
HERRAMIENTAS>ANÁLISIS DE DATOS, tal y como muestra la Figura 1. Al
hacerlo, entramos en una ventana ya conocida de prácticas anteriores en la que
deberemos seleccionar la opción GENERACIÓN DE NÚMEROS ALEATORIOS
(ver Figura 2).
Figura 2: Opción GENERACIÓN DE NÚMEROS ALEATORIOS
Al seleccionar esta opción, accedemos a la ventana de diálogo de la Figura 3, donde,
desplegando las opciones de la casilla DISTRIBUCIÓN, podemos ver las variables
aleatorias de las que Excel es capaz de generar observaciones.
Figura 3: Ventana de diálogo de la opción GENERACIÓN DE NÚMEROS ALEATORIOS
ƒ
UNIFORME: genera datos aleatorios de una distribución uniforme de los
parámetros especificados.
ƒ
NORMAL: genera datos con una distribución normal de la media y desviación
típica especificadas.
ƒ
BERNOULLI: genera observaciones de una distribución de Bernoulli con el
parámetro especificado.
ƒ
BINOMIAL: genera datos de una distribución binomial con el número de
ensayos y la probabilidad de éxito especificados.
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ƒ
POISSON: genera datos Poisson con la tasa (media) especificada.
ƒ
DISCRETA: genera datos de una distribución discreta que deseemos. Debemos
introducir en la hoja de cálculo dos columnas conteniendo los valores que toma
la variable (a la izquierda) junto con las probabilidades con que toma esos
valores (a la derecha). Evidentemente, las probabilidades deben sumar 1.
Además, en la ventana de diálogo de la Figura 3 debemos introducir el NÚMERO DE
VARIABLES que queremos generar (esto es, el número de columnas independientes) y
la CANTIDAD DE NÚMEROS ALEATORIOS que queremos (es decir, el número
de filas). Los números generados con el ordenador son, en realidad, números pseudo
aleatorios, es decir, cada número de una secuencia depende del número anterior. El
primer punto de la secuencia está determinado por una semilla aleatoria que, si
queremos, podemos especificar en la casilla INICIAR CON. Esta característica nos
permitirá generar la misma secuencia de números aleatorios, en caso necesario.
Ejercicio.- Haz los Ejercicios 3 y 4 del final de la práctica.
3. Sistemas serie
Supongamos que tenemos un sistema serie como el de la Figura 4, en el que cada
componente funciona independientemente de las restantes.
Figura 4: Sistema de tres componentes dispuestas en serie
Supongamos que la fiabilidad de la componente A es pA=0.9, la de B es pB=0.8 y la de
C es pC=0.85. Tal y como se ha estudiado, la fiabilidad del sistema se obtiene
multiplicando estas tres cantidades. Así:
Fiabilidad sistema = 0.9×0.8×0.85 = 0.612
Para calcular una estimación de esta fiabilidad, debemos diseñar el siguiente
experimento. Generaremos datos aleatorios Bernoulli con valores de p igual a 0.9, 0.8 y
0.85,
utilizando
la
opción
del
menú
HERRAMIENTAS>ANÁLISIS
DE
DATOS>GENERACIÓN DE NÚMEROS ALEATORIOS, seleccionando la
distribución BERNOULLI con los valores anteriores para el parámetro (ver Figura 3).
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Los unos indicarán que la componente está funcionando y los ceros que no lo está. Una
vez hecho esto, el fichero de datos presentará una forma como la de la Figura 5.
Figura 5: Simulación de los datos del sistema serie de la Figura 4
A continuación, deberemos calcular cuándo está funcionando el sistema de la siguiente
forma: como es un sistema serie, funcionará si lo hacen las tres componentes, es decir,
si las variables A, B y C tienen un 1 en la casilla correspondiente. Y el sistema no
funcionará si alguna de las variables tiene un 0. Así, por ejemplo, si observamos la
Figura 5, en la primera casilla, la variable B tiene un cero (es decir, la componente B no
funciona) y por tanto, el sistema no funcionará. La segunda casilla de la variable B tiene
un cero, por tanto, de nuevo el sistema no funcionará. Sin embargo, la tercera casilla de
las variables A, B y C tienen un 1, es decir, las tres componentes del sistema serie
funcionan, y por lo tanto, el sistema también lo hará.
De esta forma construiremos una columna que será indicadora del funcionamiento del
sistema. Para hacerlo automáticamente, una de las posibilidades es seleccionar por la
opción del menú INSERTAR>FUNCIÓN>LÓGICAS>Y. La función lógica Y
devuelve VERDADERO si todos los argumentos de la función son verdaderos y
devuelve FALSO si todos los argumentos son falsos. Otra opción es construir una
columna que sea el producto de las columnas A, B y C. Esta columna valdrá uno si
todos los valores que multiplica son iguales a uno; y cero, si hay algún valor distinto de
uno. En cualquiera de los dos casos, el resultado se puede ver en la Figura 6.
Figura 6: Resultado de la función lógica Y
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Para terminar, no nos queda más que calcular la tabla de frecuencias de esta nueva
columna con la opción INFORME DE TABLAS Y GRÁFICOS DINÁMICOS que
conocemos de prácticas anteriores. La frecuencia relativa del número de
VERDADERO (si hemos elegido la primera opción) o de unos (si hemos elegido la
segunda) será una estimación de la fiabilidad del sistema. Para los valores anteriores, se
obtiene la siguiente tabla:
Figura 7: Estimación de la fiabilidad del sistema serie
Con los datos obtenidos, una estimación de la fiabilidad del sistema es 0.58 (la
fiabilidad real 0.612). Lógicamente, cuantas más simulaciones, mejores resultados.
4. Sistemas paralelo
Supongamos que tenemos un sistema paralelo como el de la Figura 8, en el que cada
componente funciona con independencia de las restantes y que las fiabilidades de las
componentes son pA=0.9, pB=0.8 y pC=0.85.
Figura 8: Sistema de tres componentes dispuestas en paralelo
Tal y como se ha estudiado, la fiabilidad del sistema se obtiene:
Fiabilidad sistema = 1-(1-0.9)×(1-0.8)×(1-0.85)=0.997
El experimento diseñado es análogo al anterior. Lo único que cambia es la función que
se va a utilizar para construir la columna con unos y ceros que dé el funcionamiento del
sistema. En este caso, la función lógica a utilizar es la función O que devuelve
VERDADERO si alguno de los argumentos es verdadero; y FALSO, si todos son
falsos (el sistema funciona si lo hace alguna de las componentes). El resultado de esta
operación se muestra en la Figura 9.
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Figura 9: Resultado de la función lógica O
Construyendo la tabla dinámica como antes, se obtiene la estimación de la fiabilidad del
sistema (ver Figura 10).
Figura 10: Estimación de la fiabilidad del sistema paralelo
Así, con los datos obtenidos, una estimación de la fiabilidad del sistema es 1 (la
fiabilidad exacta era 0.997).
Ejercicio.- Haz los Ejercicios 5 y 6 del final de la práctica.
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Apellidos y nombre:
Profesor:
Grupo:
Ejercicio 1.- Para las variables aleatorias discretas indicadas, completa la tabla
siguiente:
Distribución
Parámetros
x
Binomial
n = 12, p = 0.65
5
Poisson
λ=7
5
Binomial negativa
n = 3, p = 0.15
5
Hipergeométrica
N = 50, D = 15, n = 10
5
P(X=x)
F(x)=P(X≤x)
Ejercicio 2.- Para las variables aleatorias continuas indicadas, completa la tabla
siguiente:
Distribución
Parámetros
x
Exponencial
λ = 0.05
3
Normal
µ = 15, σ = 3
21
Normal
µ = 0, σ = 1
2
f(x)
P(X=x)
F(x)=P(X≤x)
Ejercicio 3.- (Comprobación de la no reproductividad de la variable aleatoria
uniforme). Simula cien datos de dos variables aleatorias uniformes en [0, 1]. Calcula
una nueva variable sumando las dos anteriores y realiza un análisis descriptivo de la
variable resultado obtenida, representándola gráficamente mediante un histograma.
A la vista del histograma, ¿dirías que la variable resultado sigue una distribución
uniforme? ................................................... Justifica tu respuesta......................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
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Ejercicio 4.- (Comprobación empírica del teorema central del límite). Simula cien
datos de treinta variables aleatorias con una distribución exponencial de parámetro 2
(Exp (2)). Súmalas y realiza un análisis descriptivo de la variable que has calculado.
A la vista de los resultados de tu estudio, indica qué variable aleatoria sugieres para
describir el comportamiento de la variable obtenida...........................................................
Justifica adecuadamente tu respuesta..................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
Ejercicio 5.- Diseña un experimento para estimar la fiabilidad del sistema de la figura y
compara la estimación obtenida con la fiabilidad real, teniendo en cuenta que la
fiabilidad de cada componente es 0.8 y que las componentes funcionan
independientemente.
Fiabilidad real:
Estimación de la fiabilidad:
Ejercicio 6.- Diseña un experimento para estimar la fiabilidad de la estructura puente de
la figura teniendo en cuenta que la fiabilidad de cada componente es 0.9 y que las
componentes funcionan independientemente unas de otras. Hazlo con 100, 500 y 1000
experimentaciones y compara los resultados obtenidos.
Estimación de la fiabilidad (100 experimentaciones):
Estimación de la fiabilidad (500 experimentaciones):
Estimación de la fiabilidad (1000 experimentaciones):
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