Introduccion - Universidad de Antioquia

atem
atic
as
CAPÍTULO 1
COMENTARIOS INICIALES
ept
1.1.
o. d
eM
INTRODUCCIÓN
rsid
ad
d
eA
ntio
q
uia
,D
Un sistema axiomático es la forma acabada que toma hoy una teorı́a
deductiva. Es un sistema donde todos los términos u objetos no definidos
y las proposiciones no demostradas se enuncian explı́citamente, siendo estas últimas, fijadas como hipótesis a partir de las cuales pueden construirse
las demás proposiciones del sistema, siguiendo unas reglas lógicas perfecta y
expresamente determinadas. El encadenamiento lógico que se hace a partir
de las hipótesis, constituye la demostración. La necesidad de términos no
definidos y proposiciones no demostradas se debe a que es imposible llevar
la definición y la demostración indefinidamente.
Un
ive
Mediante la demostración, se establecen nuevas proposiciones o relaciones
entre los objetos a partir de las relaciones dadas como axiomas; luego se hace
necesario nombrar o definir los nuevos objetos que verifican estas propiedades;
es ası́ como la demostración y la definición corren de la mano.
Definición y demostración son en consecuencia, las dos operaciones fundamentales mediante las cuales se desarrolla una teorı́a deductiva.
Dentro del desarrollo axiomático griego, las nociones y principios se construı́an con fundamentación en el mundo exterior, es decir, se pretendı́a que
1
2
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
los axiomas respondieran a la realidad y fueran ası́ mismo auto-evidentes;
este tipo de axiomáticas se han denominado genéticas o materiales, aquı́ los
axiomas tienen un contenido y un sentido.
atem
atic
as
En la geometrı́a desarrollada por Euclides, los términos primitivos como
son: punto, recta, relaciones de incidencia, orden y congruencia tienen un
contenido “material”e intuitivo evidente, sin embargo, en el desarrollo de su
fundamentación se prescinde de este desarrollo material e intuitivo.
eM
En oposición a la axiomática material, se estructura lo que se ha denominado un sistema axiomático formal, en el cual los elementos primitivos
carecen en absoluto de contenido y son las piezas de un puro juego sin sentido
material en sı́ mismo. El sentido viene definido implı́citamente por las reglas
del juego construı́das por los axiomas y las reglas lógicas de demostración.
ntio
q
uia
,D
ept
o. d
En un sistema formal, los axiomas no tienen caracterı́sticas de autoevidentes, son simplemente premisas, puntos de partida para el desarrollo de
resultados posteriores. En este sentido, de las proposiciones que se concluyen
de los axiomas por medio de reglas lógicas, diremos que son formalmente
válidas, es decir, que existe una filiación lógica entre los axiomas y dichas
conclusiones.
rsid
ad
d
eA
De otra manera, podemos entender la “verdad” matemática como una
verdad implicada, donde el antecedente está constituı́do por los axiomas y el
consecuente por las conclusiones.
En sı́ntesis, una teorı́a deductiva bien estructurada, debe cumplir las siguientes condiciones:
Un
ive
1. Enunciar explı́citamente los términos primeros, con ayuda de los cuales
se propone definir todos los otros.
2. Enunciar explı́citamente las proposiciones primeras, con ayuda de las
cuales se propone demostrar todas las demás. Estas proposiciones se denominan axiomas, la elección de estas proposiciones llamadas axiomas
es en gran medida arbitraria, dependiendo en gran parte de los gustos
del autor que esta desarrollando la teorı́a, en general el autor busca que
sean simples y no demasiados numerosos.
1.2. MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN
3
Los axiomas deben verificar a su vez tres propiedades:
Consistencia: se refiere a que no hallan dos teoremas deducibles
a partir de los axiomas y sean contradictorios..
Suficiencia: se refiere al hecho de que todo teorema sea deducible
a partir de los axiomas y solo de ellos.
atem
atic
as
Independencia: por razones de economı́a también es deseable
que sean independientes, es decir, que ninguno de ellos sea deducibles de los otros.
ept
o. d
eM
Las dos primeras (consistencia y suficiencia) son imprescindibles en
una teorı́a deductiva y la tercera (independencia) es deseable, es decir, la condición de independencia entre los axiomas, no es requisito
indispensable en el desarrollo de una teorı́a axiomática, simplemente
asegura que la teorı́a tenga el mı́nimo de supuestos teóricamente necesarios (axiomas). En la práctica, esta condición no se respeta, ya que no
introduce contradicciones y permite agilizar el desarrollo de la teorı́a.
ntio
q
uia
,D
3. Que las relaciones establecidas entre los términos sean únicamente
relaciones lógicas, permaneciendo independiente del sentido concreto
que pueda darse a los términos.
MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN
rsid
ad
d
1.2.
eA
4. Que en las demostraciones sólo intervengan estas relaciones, lo que
prohibe “tomar prestado algo”a la consideración de las figuras.
Un
ive
Hemos dicho que en matemáticas la verdad esta constituı́da como la
validez de una implicación de la forma H ⇒ T , donde H es el conjunto
de hipótesis y T la conclusión a la cual se desea llegar. Esta implicación,
esta regida por un principio filosófico que establece que: “De la verdad no
se puede seguir la falsedad”. Este principio constituye la fundamentación del
método de demostración denominado “directo”, el cual consiste en partir de
unas proposiciones que se admiten como ciertas, denominadas premisas, llegar mediante una cadena de implicaciones lógicas, a una proposición final
llamada conclusión o tésis.
4
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
atem
atic
as
Se puede establecer una equivalencia entre las proposiciones H ⇒ T y
¬T ⇒ ¬H llamada esta última, el contrarrecı́proco de la proposición inicial.
Este hecho permite establecer un método indirecto de demostración, denominado método de demostración por el contrarrecı́proco. El método consiste en
demostrar ¬T ⇒ ¬H, en lugar de H ⇒ T . La demostración de ¬T ⇒ ¬H
generalmente se hace usando el método directo, o sea, asumiendo la negación
de la tesis (¬T ) para concluir la negación de la hipótesis (¬H).
Se dice que dos proposiciones son contradictorias cuando una es la negación
de la otra. Una contradicción, entonces, es la conjunción de una proposición y su negación (Q ∧ ¬Q), por tanto, una contradicción siempre será una
proposición falsa.
uia
,D
ept
o. d
eM
Cuando en una demostración se establece una implicación de la forma
¬P ⇒ Q ∧ ¬Q, por el contrarrecı́proco podemos establecer como válida
la proposición Q ∨ ¬Q ⇒ P . Esta implicación tiene como antecedente una
proposición verdadera denominada tercero excluido y, por tanto, de dicha
implicación se puede concluir que P es verdadera. Esta situación permite
estructurar otro método de demostración indirecto llamado “Reducción al
absurdo”ó “Método de contradicción”. Para la aplicación del método se utilizan los siguientes pasos:
ntio
q
1. Introducir la negación de la conclusión deseada como una nueva premisa
(axioma).
eA
2. De esta nueva premisa, junto con las premisas dadas, deducir una contradicción.
rsid
ad
d
3. Establecer la conclusión deseada como una inferencia lógica deducida
de las premisas originales.
Un
ive
Este método es uno de los clásicos en las demostraciones matemáticas y en
particular, en la Geometrı́a frecuentemente se usa esta forma de razonamiento
en la demostración de los teoremas.