Tema 4 Imperfecciones en Sólidos– PROBLEMAS BÁSICOS

MÁQUINAS NAVALES
CURSO 2006/07
CIENCIA Y TECNOLOGÍA DE MATERIALES
Tema 4 Imperfecciones en Sólidos– PROBLEMAS BÁSICOS
Vacantes
1)
Calcular la fracción de vacantes en equilibrio térmico en el oro a 25ºC, 600ºC y
1000ºC (Tf=1063ºC). Datos: Qv=0.98 eV/at, k=8.62x10-5 eV/átomo·K
Expresar también la concentración de vacantes como nº de vacantes/cm3, sabiendo
que el Au tiene estructura fcc con parámetro de red a=4.0788 Å
2)
Si la fracción de vacantes en equilibrio térmico en el aluminio es de 1.29x10-5 a
500ºC, calcular la fracción a 25 y 900ºC (Tfusión = 961ºC).
Expresar la concentración de vacantes en términos de nº de vacantes/cm3 Calcular
las densidades correspondientes a esas tres temperaturas, teniendo en cuenta la
fracción de vacantes. ¿Cómo afectaría a la densidad si la fracción de vacantes fuese
del 1%?
Datos del Al: Pat =26.98 g/mol, estructura fcc con parámetro de red a=4.0496 Å
3)
La energía de formación de vacantes para el hierro-α es de 1.5 eV/at. A una
temperatura de 1200K tendrá una concentración determinada de vacantes. ¿A qué
temperatura se deberá llegar para aumentar esa concentración por un factor de 10?
4)
Determinar el número de vacantes/cm3 (en equilibrio térmico) necesario para que la
densidad del hierro-α sea de 7.87 g/cm3, tal como se recoge en las tablas para 20ºC.
¿A qué temperatura se debe tratar para lograr ese resultado?
Datos del Fe: estructura Feα bcc , radio atómico 0.124 nm, Pat =55.85 g/mol
5)
Si a 700ºC la concentración de vacantes en equilibrio térmico en la plata es de
1.17x1017 vacantes/cm3, calcular la energía de formación de vacantes, sabiendo que
la Ag tiene estructura fcc con parámetro de red a=0.40853 nm
6)
Determinar el número de vacantes/cm3 (en equilibrio térmico) necesario para que la
densidad del iridio sea de 22.5 g/cm3, tal como se recoge en la Tabla Periódica para
20ºC. ¿A qué temperatura habría que tratarlo para lograr ese resultado? ¿Lo
considera factible?
Datos del Ir: estructura fcc, radio atómico 0.1357 nm, peso atómico 192.2 g/mol, energía de
formación de vacantes (Qv) 1.5 eV/átomo, Tfusión 2454ºC.
SOLUCIONES
1)
T=25ºC; Nv/N=2.7x10-17; Conc. Vacantes=1.6x106 vac/cm3
T=600ºC; Nv/N=2.21x10-6; Conc. Vacantes=1.3x1017 vac/cm3
T=1000ºC; Nv/N=1.32x10-4; Conc. Vacantes=7.8x1018 vac/cm3
3) T=1426K (1153ºC)
4) Conc. Vacantes 3.53x1020 vacantes/cm3, T=3171K
5) Qv=1.1 eV/at
6) Nv=2.44x1020 vac/cm3; T=2797ºC>Tfusión No es factible
MÁQUINAS NAVALES
CURSO 2006/07
CIENCIA Y TECNOLOGÍA DE MATERIALES
Planteamiento del Problema 2
2)
Si la fracción de vacantes en equilibrio térmico en el aluminio es de 1.29x10-5 a 500ºC, calcular la
fracción a 25 y 900ºC (Tfusión = 961ºC).
Expresar la concentración de vacantes en términos de nº de vacantes/cm3 Calcular las densidades
correspondientes a esas tres temperaturas, teniendo en cuenta la fracción de vacantes. ¿Cómo
afectaría a la densidad si la fracción de vacantes fuese del 1%?
Datos del Al: Pat =26.98 g/mol, estructura fcc con parámetro de red a=4.0496 Å
Las fracciones de vacantes en equilibrio térmico a 25 y 900ºC se determinan mediante la expresión:
Q
− V
NV
= e kT
N
donde la energía de formación de vacantes, QV, hay que determinarla a partir del dato
de la fracción de vacantes a 500ºC (=773 K).
Tomando logaritmos neperianos es posible despejar el valor de QV
Q
N 
N 
ln V  = − V ⇒ QV = − kT ln V  = −8.62 × 10 −5 ⋅ 773 ⋅ ln 1.29 ×10 −5 = 0.75eV / at
kT
 N 
 N 
(
)
Para determinar la concentración de vacantes, NV, expresada como vacantes/cm3, hay que calcular el nº
de posiciones reticulares/cm3 , N, y multiplicarlo por la fracción de vacantes NV/N. Conocida la estrucura
cristalina (fcc) y el parámentro de red (a=4.0496 Å), podemos calcular N a partir de las posiciones
reticulares de una celda unidad (4 para fcc)y de su volumen (a3):
N=
4
= 6.023 × 10 22 pos / cm3
3
a
Por último, para calcular cómo afecta a la densidad la presencia de vacantes, es necesario tener en
cuenta que ahora no todas las posiciones de la celda están ocupadas.
ocupadas Al calcular la masa de la celda sólo
contribuyen los átomos presentes:
ρ REAL =
(Nº Posiciones/celda - Nº Vacantes/celda )xPat / N AV
Nº de átomos/celda x Pat /N AV
=
vol. celda
Vol. Celda
Lo cual también se puede escribir como:
ρ REAL
N 
 NV  Pat

N
 N - N V  xPat / N AV 1 −
N  N AV  NV 
N 


=
=
= 1 −
 ρ0
Vol. Celda
Vol.Celda
N 

Donde N es el Nº de posiciones reticulares/celda y ρ0 la densidad cuando NO hay vacantes, es decir,
todas las posiciones reticulares están ocupadas, lo que corresponde con el modelo del sólido cristalino
ideal.
Aplicando las expresiones indicadas se obtienen los resultados siguientes:


NV 
3
 ρ 0 (g/cm )
N 
Temp
(ºC)
Temp
(K)
Nv/N=e-Qv/kT
Conc. vacantes (Vac/cm3)
Nv/N x 6.023x1022
25
298
2.1x10-13
1.26x1010
2.7
500
773
1.29x10-5
7.77x1017
2.69996
900
1173
6x10-4
3.61x1019
2.698
Para Nv/N=0.01 (1%) ρ=2.673 g/cm3
ρ = 1 −