MÁQUINAS NAVALES CURSO 2006/07 CIENCIA Y TECNOLOGÍA DE MATERIALES Tema 4 Imperfecciones en Sólidos– PROBLEMAS BÁSICOS Vacantes 1) Calcular la fracción de vacantes en equilibrio térmico en el oro a 25ºC, 600ºC y 1000ºC (Tf=1063ºC). Datos: Qv=0.98 eV/at, k=8.62x10-5 eV/átomo·K Expresar también la concentración de vacantes como nº de vacantes/cm3, sabiendo que el Au tiene estructura fcc con parámetro de red a=4.0788 Å 2) Si la fracción de vacantes en equilibrio térmico en el aluminio es de 1.29x10-5 a 500ºC, calcular la fracción a 25 y 900ºC (Tfusión = 961ºC). Expresar la concentración de vacantes en términos de nº de vacantes/cm3 Calcular las densidades correspondientes a esas tres temperaturas, teniendo en cuenta la fracción de vacantes. ¿Cómo afectaría a la densidad si la fracción de vacantes fuese del 1%? Datos del Al: Pat =26.98 g/mol, estructura fcc con parámetro de red a=4.0496 Å 3) La energía de formación de vacantes para el hierro-α es de 1.5 eV/at. A una temperatura de 1200K tendrá una concentración determinada de vacantes. ¿A qué temperatura se deberá llegar para aumentar esa concentración por un factor de 10? 4) Determinar el número de vacantes/cm3 (en equilibrio térmico) necesario para que la densidad del hierro-α sea de 7.87 g/cm3, tal como se recoge en las tablas para 20ºC. ¿A qué temperatura se debe tratar para lograr ese resultado? Datos del Fe: estructura Feα bcc , radio atómico 0.124 nm, Pat =55.85 g/mol 5) Si a 700ºC la concentración de vacantes en equilibrio térmico en la plata es de 1.17x1017 vacantes/cm3, calcular la energía de formación de vacantes, sabiendo que la Ag tiene estructura fcc con parámetro de red a=0.40853 nm 6) Determinar el número de vacantes/cm3 (en equilibrio térmico) necesario para que la densidad del iridio sea de 22.5 g/cm3, tal como se recoge en la Tabla Periódica para 20ºC. ¿A qué temperatura habría que tratarlo para lograr ese resultado? ¿Lo considera factible? Datos del Ir: estructura fcc, radio atómico 0.1357 nm, peso atómico 192.2 g/mol, energía de formación de vacantes (Qv) 1.5 eV/átomo, Tfusión 2454ºC. SOLUCIONES 1) T=25ºC; Nv/N=2.7x10-17; Conc. Vacantes=1.6x106 vac/cm3 T=600ºC; Nv/N=2.21x10-6; Conc. Vacantes=1.3x1017 vac/cm3 T=1000ºC; Nv/N=1.32x10-4; Conc. Vacantes=7.8x1018 vac/cm3 3) T=1426K (1153ºC) 4) Conc. Vacantes 3.53x1020 vacantes/cm3, T=3171K 5) Qv=1.1 eV/at 6) Nv=2.44x1020 vac/cm3; T=2797ºC>Tfusión No es factible MÁQUINAS NAVALES CURSO 2006/07 CIENCIA Y TECNOLOGÍA DE MATERIALES Planteamiento del Problema 2 2) Si la fracción de vacantes en equilibrio térmico en el aluminio es de 1.29x10-5 a 500ºC, calcular la fracción a 25 y 900ºC (Tfusión = 961ºC). Expresar la concentración de vacantes en términos de nº de vacantes/cm3 Calcular las densidades correspondientes a esas tres temperaturas, teniendo en cuenta la fracción de vacantes. ¿Cómo afectaría a la densidad si la fracción de vacantes fuese del 1%? Datos del Al: Pat =26.98 g/mol, estructura fcc con parámetro de red a=4.0496 Å Las fracciones de vacantes en equilibrio térmico a 25 y 900ºC se determinan mediante la expresión: Q − V NV = e kT N donde la energía de formación de vacantes, QV, hay que determinarla a partir del dato de la fracción de vacantes a 500ºC (=773 K). Tomando logaritmos neperianos es posible despejar el valor de QV Q N N ln V = − V ⇒ QV = − kT ln V = −8.62 × 10 −5 ⋅ 773 ⋅ ln 1.29 ×10 −5 = 0.75eV / at kT N N ( ) Para determinar la concentración de vacantes, NV, expresada como vacantes/cm3, hay que calcular el nº de posiciones reticulares/cm3 , N, y multiplicarlo por la fracción de vacantes NV/N. Conocida la estrucura cristalina (fcc) y el parámentro de red (a=4.0496 Å), podemos calcular N a partir de las posiciones reticulares de una celda unidad (4 para fcc)y de su volumen (a3): N= 4 = 6.023 × 10 22 pos / cm3 3 a Por último, para calcular cómo afecta a la densidad la presencia de vacantes, es necesario tener en cuenta que ahora no todas las posiciones de la celda están ocupadas. ocupadas Al calcular la masa de la celda sólo contribuyen los átomos presentes: ρ REAL = (Nº Posiciones/celda - Nº Vacantes/celda )xPat / N AV Nº de átomos/celda x Pat /N AV = vol. celda Vol. Celda Lo cual también se puede escribir como: ρ REAL N NV Pat N N - N V xPat / N AV 1 − N N AV NV N = = = 1 − ρ0 Vol. Celda Vol.Celda N Donde N es el Nº de posiciones reticulares/celda y ρ0 la densidad cuando NO hay vacantes, es decir, todas las posiciones reticulares están ocupadas, lo que corresponde con el modelo del sólido cristalino ideal. Aplicando las expresiones indicadas se obtienen los resultados siguientes: NV 3 ρ 0 (g/cm ) N Temp (ºC) Temp (K) Nv/N=e-Qv/kT Conc. vacantes (Vac/cm3) Nv/N x 6.023x1022 25 298 2.1x10-13 1.26x1010 2.7 500 773 1.29x10-5 7.77x1017 2.69996 900 1173 6x10-4 3.61x1019 2.698 Para Nv/N=0.01 (1%) ρ=2.673 g/cm3 ρ = 1 −