(termodinámica).

Complemento 1 (termodinámica).
0.1
1
Complemento 1 (termodinámica).
Fausto T. Gratton.
Profesor Titular de la Universidad de Buenos Aires. FCEyN.
Investigador Superior del CONICET.
Académico Titular de la Academia Nacional de Ciencias de Buenos Aires.
0.2
Advertencia
El estudiante dispone actualmente de las excelentes notas del curso de Física 4 del Profesor
Julio Gratton, Termodinámica e Introducción a la Mecánica Estadística, un verdadero
manual de termodinámica clásica cuidadosamente preparado y bien ilustrado por su autor,
quien tiene una larga experiencia docente en el tema, texto que se puede descargar desde
el sitio www.fdp.uba.ar del Instituto de Física del Plasma (FCEyN/UBA y CONICET).
Como he dicho en clase, para preparar el examen final del curso el estudiante debe realizar
una lectura completa, meditada y el estudio cuidadoso del texto citado, recientemente
revisado (2003).
Este apunte toca sólo unos pocos puntos complementarios a la Termodinámica
de J. Gratton, discutidos con los alumnos del curso de verano de 2004 para poner a
foco dificultades conceptuales propias de la termodinámica. Posiblemente no haya otra
rama de la física, tan directamente enraizada en la observación y la experimentación,
cuya estructura matemática sea tan simple como esta y que sin embargo presente tantos
desafíos de interpretación y comprensión.
El futuro licenciado de la FCEyN tiene en su curriculum un curso completo dedicado a la mecánica estadística, pero una sóla oportunidad de estudiar los métodos, la
lógica y la construcción enteramente fenomenológica de la termodinámica, durante unas
catorce lecciones, menos de la mitad del curso regular de Fisica 4. Por ello y en consonancia con el criterio adoptado por J. Gratton y otros profesores del Departamento de Física,
en mis clases las referencias a un fundamento atómico - molecular de la termodinámica
son mínimas, a pesar de algunas experiencias didácticas de distinguidos autores que han
presentado la termodinámica como subsidiaria de la física estadística.
Nos ponemos de la parte de Einstein, quien admiraba la estructura teórica y
la universalidad de la termodinámica clásica. Manteniendo esta línea, que tal vez algunos crean superada, me alienta en cambio el hecho que en tiempos recientes las ideas
fundamentales de la termodinámica clásica han tenido nueva confirmación en originales
aplicaciones astrofísicas: a la cosmología y a la teoría de los agujeros negros.
Mi comprensión de la termodinámica está en deuda con la profundamente meditada y elegante monografía de A. B. Pippard, ”maestro di color que sanno...”, cuya
lectura recomiendo calurosamente. Para una bibliografía extensa me remito al texto de J.
Gratton pero no puedo dejar de recomendar a los estudiantes el pequeño libro de Enrico
Fermi, cuya claridad meridiana es dificil de superar.
FTG, Enero de 2004.
Bibiografía
Pippard, A. B., The elements of classical thermodynamics, Cambridge Univ.
Press, 1964.
Fermi, E., Thermodynamics, Dover Ed.; Termodinámica, Eudeba.
Capítulo 1
EL PRINCIPIO CERO DE LA TERMODINÁMICA Y OTRAS
NOCIONES BÁSICAS
1.1
Introducción
La termodinámica comenzó como estudio del calor y sus transformaciones en trabajo
mecánico o viceversa en la primera mitad del siglo XIX, con los trabajos de Sadi Carnot, Joule, Thomson (luego Lord Kelvin) Helmholtz, entre otros y alcanzó madurez con
la introducción de la compleja y sutil noción de entropía, debida a Clausius y con las
investigaciones de Maxwell y Gibbs en la segunda mitad del siglo. Disciplina de gran
importancia práctica, tanto para la ingeniería, puesto que comenzó con el estudio de
máquinas térmicas, cuanto para la fisico-química dado que la velocidad de las reacciones
depende de la temperatura, con el andar del tiempo adquirió relevancia incluso para la
biología. Notablemente, a pesar de su humilde origen práctico, la termodinámica abre
camino hacia los más profundos interrogantes acerca del Universo.
La termodinámica resume las observaciones del comportamiento de los cuerpos
materiales en procesos térmicos. Al comienzo fue construida sobre dos principios, el primero relativo a la conservación de la energía incluyendo el calor y el segundo asociado
con la imposibilidad de realizar cierto tipo de procesos cíclicos mediante motores térmicos. Como estos principios son generalizaciones de observaciones y experimentos fueron
denominados leyes de la termodinámica. Sin embargo, hay que reconocer que no tienen
la misma categoría que otras leyes de caracter empírico, como por ejemplo la ley de Ohm,
la ley de la refracción de Snell o las leyes de los gases. Son postulados que pretenden
tener validez universal (independiente de materiales particulares) y cuya evidencia experimental directa es más bien escasa, aunque las consecuencias que de ellos se derivan
siempre han sido confirmadas por los experimentos. Por eso, es más correcto hablar de
principios de la termodinámica, aunque con cierto abuso de lenguaje el nombre de ”leyes
de la termodinámica” también aparece en la literatura.
Más adelante los investigadores se dieron cuenta que en el ordenamiento de la
teoría se daba por sentado la validez universal de otro principio, asociado con la noción
de equilibrio termodinámico y el concepto de temperatura. Este nuevo postulado es
también una generalización de observaciones empíricas y dado que el primero y el segundo
principios ya gozaban de amplia difusión en la comunidad científica, hubo que introducir
un principio cero de la termodinámica, algo así como una introducción para los otros
dos. Finalmente, en 1906 el fisico-químico alemán Nernst formuló un cuarto postulado de
carácter general relacionado con el comportamiento de la entropía de todos los materiales
a muy bajas temperaturas, cerca del cero absoluto. Se lo conoce como tercer principio de
la termodinámica o ley de Nernst.
1.2
Equilibrio térmico y ecuación de estado
1.2.1 Paredes: definiciones.
Partimos de la noción de un recipiente que contiene el sistema a estudiar y cuyas paredes
(1) son rígidas, por lo tanto no puede recibir trabajo mecánico (asociado a desplazamientos
del contorno por fuerzas exteriores aplicadas). El sistema está mecánicamente aislado. Las
paredes podrían, en general, ser porosas y por lo tanto permeables al pasaje de líquidos
Equilibrio térmico y ecuación de estado
3
Figura~1 Tres cuerpos se pueden poner en contacto térmico. Se observa que C está en
equilibrio con A y que B está en equilibrio con A. Según la ley cero necesariamente B y C están
en equilibrio y eso está de acuerdo con las observaciones. El equilibrio está parametrizado por
una nueva variable de estado: la temperatura empírica. Ver texto
o gases. Por ahora vamos a considerar (2) paredes impermeables, el sistema está cerrado
(al intecambio de materia con el exterior). Finalmente, existe un tercer tipo de contornos
que permiten aislar aún más el recinto donde se hacen las observaciones de toda otra
influencia exterior (no mecánica) que puede manifestarse en la forma de energía radiante
(que atraviesa las paredes) o bien como calor transmitido directamente por contacto de la
pared con objetos muy calientes, digamos llamas o metales en estado incandescente, o muy
frios como por ejemplo un baño de agua y hielo. Paredes construidas especialmente (entre
otras, las botellas de Dewar - vulgarmente termos - con doble pared de vidrio, superficies
espejadas y vacío intermedio) que permiten (3) aislar el sistema de toda influencia térmica
se denominan adiabáticas. Los contornos con los cuales vamos a argumentar pueden tener
alguna de las propiedades 1-3 citadas, dos cualesquiera de ellas o las tres juntas. En este
último caso el sistema está completamente aislado del mundo exterior.
1.2.2 Equilibrio
Todo cuerpo material se caracteriza por una serie de propiedades directamente observables
a escala humana, es decir, macroscópicas. Por ejemplo, un gas contenido en un recipiente
se describe mediante la cantidad de moles presentes, º , el volumen V y la presión p que
ejerce sobre las paredes. Para una barra delgada de metal damos su masa, M , su longitud,
l y la fuerza de tracción por unidad de área, ¿ , que hay que aplicar para estirarla a esa
longitud. Un líquido está definido por la masa, M , el volumen V y la presión, p 0 , que se
ejerce sobre la superficie libre (habitualmente la presión de la atmósfera). Listas semejantes se pueden dar en todos los tipos de sistemas macroscópicos de los cuales se interesa la
física. Digamos simplemente que las propiedades que describen el sistema consisten de un
conjunto de parámetros medibles que designaremos genéricamente con Y 1 ;Y 2 ;:::Y n . Habitualmente estos parámetros varían con el tiempo debido a influencias externas, pero la
experiencia indica que cualquier sistema puesto en un recipiente totalmente aislado, luego
de un cierto período de tiempo (que podríamos llamar tiempo de relajación) alcanza una
configuración en la cual las cantidades macroscópicas Y i ya no cambian más. Se dice que
el cuerpo ha alcanzado un estado de equilibrio: los parámetros no cambian con el tiempo.
Todo sistema completamente aislado llega, más tarde o más temprano, a un estado de
equilibrio. Esto es un hecho ampliamente confirmado por las observaciones. Se asume
que esta es una propiedad universal de los cuerpos, sobre la cual se construye la teoría.
Sin embargo, existe una calidad de los estados de equilibrio de cada cuerpo: no son
todos iguales. Lo notamos enseguida: el mismo cuerpo sometido a varios experimentos de
aislamiento total puede quedar en equilibrio con distintos valores de Y i . Ello se origina en
las distintas circunstancias iniciales del cuerpo, previas al aislamiento. Pronto nos damos
cuenta que los valores finales de Y i dependen de que el cuerpo en aislamiento quede
finalmente más caliente o más frio. Las dos principales cuestiones principales discutidas
en este apunte son: ¿como distinguir cuantitativamente los distintos estados finales del
cuerpo? ¿Como hacer precisa la impresión subjetiva de calidez o frigidez?
Acerca de la medición de temperatura
4
1.2.3 Principio cero
Comenzamos por afirmar que dos cuerpos A y B que están en equilibrio por separado,
se hallan en el mismo estado de equilibrio térmico cuando puestos en contacto dentro
de un recipiente aislado no se observa ninguna variación de sus respectivos parámetros
macroscópicos. Brevemente: estaban en equilibrio por separado y continuan en equilibrio
cuando se juntan. Ahora consideramos un experimento esquematizado en la Fig. 1, en
el cual se ponen los cuerpos A y B en contacto en un recipiente totalmente aislado y
se encuentra que están en equilibrio. Del mismo modo, se pone un tercer cuerpo C en
contacto con A, y se observa que ambos continuan en equilibrio térmico. ¿Que sucede
cuando se colocan B y C en contacto en un recinto aislado? El resultado es que B y C
también estan en mutuo equilibrio y sus propiedades macroscópicas no cambian. Esta
noción nos es tan familiar que la damos por descontada o tal vez la consideramos trivial.
Sin embargo, es el hecho que permite introducir el concepto de temperatura.
Por ello, la generalización de simples observaciones de este tipo se eleva a la
categoría de postulado: cuando dos cuerpos están en equilibrio térmico con un tercero,
estan en equilibrio térmico entre si. Este es el enunciado del principio cero de la termodinámica. Sugiere que el tercer cuerpo, elegido convencionalmente, puede funcionar como
termómetro para determinar una nueva magnitud que se asocia a los estados de equilibrio
de cualquier cuerpo. Una variante de la forma de este principio es el enunciado inverso
al precedente: cuando tres cuerpos están en equilibrio mutuo, dos cualesquiera separados
del tercero deben encontrarse en equilibrio entre sí.
1.3
Acerca de la medición de temperatura
Durante la mayor parte de la historia conocida la humanidad ha tenido sólo vagas ideas
acerca de la temperatura, asociadas con la sensibilidad corporal de objetos frios o calientes.
Se cita a Galeno, célebre médico griego que vivió en el segundo siglo antes de Cristo,
como un pionero en la intención de cuantificar la sensación térmica. Pero recién con el
florecimiento de la ciencia moderna en Occidente se inventan instrumentos de medida y
se realizan las primeras mediciones sistemáticas. En 1592 Galileo Galilei construye el
termoscopio, se trataba simplemente de un bulbo de vidrio lleno de aire conectado a un
tubo inferior de acceso abierto sumergido en un recipiente con agua. El nivel de columna
de agua en el tubo dependía de la temperatura del aire contenida en el bulbo por variación
de la presión del gas. El inconveniente de esta configuración era que el nivel del agua era
afectado también por las variaciones de la presión atmosférica. Luego, esta dependencia
espuria fue eliminada sellando el tubo inferior y construyendo un primitivo termómetro
de agua. Mas adelante se eliminó el aire haciendo vacío antes de sellar un delgado tubo
de vidrio vertical conectado con un bulbo inferior lleno de líquido. La expansión térmica
con la temperatura determina el ascenso o descenso del líquido en el tubo y permite
establecer marcas en correspondencia con estados térmicos de equilibrio bien establecidos,
como los puntos de ebullición y de congelación del agua y otros líquidos. Estos puntos
permanecen fijos, o sea a temperatura constante, mientras dura la coexistencia de las dos
fases, por ejemplo, en la mezcla de agua y hielo. Este es el principio de funcionamiento
del termómetro de líquido en vidrio. Por patrocinio de Ferdinando II, Duque de Toscana,
Florencia tuvo en el siglo siguiente al de Galileo una sociedad de sabios y artesanos que
lograron progresos considerables en las mediciones termométricas.
En el siglo XVIII Fahrenheit, un hábil constructor alemán de instrumentos, perfeccionó el termómetro de mercurio, que es un excelente conductor del calor. El termómetro de mercurio se basa en la dilatación del metal líquido contenido en un bulbo en un
delgado capilar cerrado al vacío en el otro extremo, como los que todavía vemos en uso.
La altura o longitud de la columna de mercurio es suficiente para caracterizar el estado
de equilibrio térmico del instrumento. La escala de temperaturas de Fahrenheit, establecida en 1715 tuvo gran difusión, especialmente en el mundoanglosajón donde todavía hoy
convive, por la fuerza de la costumbre, con la escala centígrada aceptada por acuerdos
internacionales. La unidad es el Fahrenheit (± F) y el cero ± F fue ubicado a la menor
Temperatura empírica
5
temperatura que Fahrenheit pudo alcanzar con una mezcla de hielo y sal. En esta escala
el agua se congela a 32 ± F y, a presión atmosférica normal, hierve a 212 ± F. Una escala
dividida en cien grados fue propuesta en 1742 por Celsius, un astrónomo sueco, el cual
sin embargo asignó 0± al punto de ebullición del agua (a la presión atmosférica normal)
y 100± al punto de congelación, es decir, al revés de la escala centígrada actualmente en
uso, que fue denominada Celsius en 1948. Las marcas correpondientes a los puntos fijos
mencionados se dividen en cien partes, cada una de las cuales es un grado centígrado.
Para convertir una temperatura Y Fahrenheit en X Celsius, hay que emplear la regla
X ± C= 5= 9 £ (Y ± F¡ 32) .
En 1848 el famoso físico inglés William Thompson (luego designado Lord Kelvin)
propuso una escala de temperaturas basada en la teoría termodinámica de la cual fue un
eminente fundador. La nueva escala constituye un patrón fundamental respecto del cual
todas las otras escalas termométricas deben ser comparadas. La temperatura absoluta de
Kelvin, que será estudiada más adelante, es la medida básica de uso científico. En 1960
el kelvin (K) fue adoptado como unidad de temperatura termodinámica por el Sistema
Internacional (SI). La escala de Kelvin emplea los grados centígrados de la escala Celsius,
pero los cuenta a partir del cero absoluto que corresponde a la menor temperatura teoricamente posible, de modo que el punto de congelación del agua a 0± C se encuentra a
273.15 K.
A partir del siglo XIX, además del termómetro clásico de líquido en vidrio, se
comenzaron a usar otros instrumentos para medir temperaturas, basados en distintas
propiedades físicas que varían con la misma. Por ejemplo, resistencias eléctricas, efecto
termoeléctrico (termocuplas) y una variedad de instrumentos basados en la absorción
de radiación o en las posibilidades que ofrece la óptica. Por ejemplo, en criogenia, el
estudio de la bajas temperaturas, resistencias especiales construidas con semiconductores
pueden medir en el rango de 0.2 a 20 K. En altas temperaturas, en cambio, el denominado
pirómetro óptico no precisa estar en contacto con el material y puede medir temperaturas
de hasta 1500 ± C. Las temperaturas se determinan en relación con una serie de puntos
fijos establecidos por la Escala Práctica Internacional de Temperatura, algunos de los
cuales son el punto de congelación del oro fundido a 1064.43 ± C y el punto de ebullición
del oxígeno líquido a -182.96 ± C. La termometría es hoy una rama especializada y muy
sofisticada de la física aplicada.
1.4
Temperatura empírica
Para desarrollar el concepto de temperatura a partir del principio cero de la termodinámica
examinemos por simplicidad el caso de cuerpos definidos por dos parámetros macroscópicos y para fijar ideas sean estos p y V , como ocurre en el caso de gases contenidos en
cilindros con pistón, que permite cambiar el volumen mientras el número de moles queda
fijo, de modo que p y V son variables. Se observa que cuando A y B están en equilibrio
térmico, los parámetros p A , V A , p B , V B , no son todos independientes, sino que se establece
un vínculos entre ellos
F 1 (p A ;V A ;p B ;V B ) = 0:
(1.1)
La forma funcional de F 1 depende del tipo de cuerpo en cuestión y en general debe
ser determinada por via experimental. Interesa destacar que elegido un equilibrio de A,
con valores definidos de p A , V A , B no puede estar en equilibrio térmico con A mediante
cualquier par de valores p B , V B . Mas precisamente, hay infinitos estados de B con distintos
posibles pares p B , V B , pero elegido el valor de un parámetro, digamos V B , hay sólo un
estado de B, asociado con un valor único p B , que se encuentra en equilibrio con A. Este
es el significado del vínculo de equilibrio expresado por 1.1. Por lo tanto, fijados p A , V A ,
V B y suponiendo que A y B están en equilibrio, resulta
p B = f 1 (p A ;V A ;V B ) :
(1.2)
Sea ahora un tercer cuerpo C que también se halla en equilibrio con B. Existe
entonces un vínculo similar, F 2 (p C ;V C ;p B ;V B ) = 0, del cual se deriva otra expresión para
Ecuación de estado
6
p B , esto es, p B = f 2 (p C ;V C ;V B ) . Luego, en virtud del equilibrio de A y B y del equilibrio
de B y C, resulta la ecuación
f 1 (p A ;V A ;V B ) = f 2 (p C ;V C ;V B ) :
(1.3)
Por el principio cero A y C están necesariamente en equilibrio, es decir que se establece
un vínculo
F 3 (p A ;V A ;p C ;V C ) = 0:
(1.4)
Las dos condiciones 1.3 y 1.4 deben ser equivalentes, pero la ecuación 1.3 todavía contiene
el parámetro V B que en cambio no aparece en 1.4. Ello significa que f 1 , f 2 , deben asumir
una forma funcional particular que permite la eliminación del tercer argumento, esto es:
f 1 (p A ;V A ;V B ) = ' 1 (p A ;V A ) Â (V B ) + ´ (V B ) ;
f 2 (p C ;V C ;V B ) = ' 2 (p C ;V C ) Â (V B ) + ´ (V B ) ;
(1.5)
de la cual se desprende
' 1 (p A ;V A ) = ' 2 (p C ;V C ) :
(1.6)
Hemos demostrado que cuando dos cuerpos han alcanzado el equilibrio térmico,
el vínculo F 3 (p A ;V A ;p C ;V C ) = 0 se factoriza en la forma ' 1 (p A ;V A ) = ' 2 (p C ;V C ) . Por
la propiedad transitiva de los equilibrios térmicos podemos demostrar que ' 1 (p A ;V A ) =
' 2 (p C ;V C ) = ' 3 (p B ;V B ) y así siguiendo con todos los cuerpos que están en equilibrio
entre sí. Evidentemente, existe un valor común de estas funciones que caracteriza el
estado de equilibrio.
1.5
Ecuación de estado
Para cada cuerpo - aquí ejemplificado mediante un gas - existe una función ' (p ;V ) de
los parámetros de estado (función distinta para cada cuerpo, naturalmente) que toma el
mismo valor, digamos µ , para todos los cuerpos gaseosos que se encuentran en estado de
equilibrio mutuo. La cantidad µ se denomina temperatura empírica y la relación
µ = ' (p ;V )
(1.7)
se llama ecuación de estado del sistema, en el ejemplo, una cierta masa de gas. Equilibrios
mutuos de la misma cantidad y especie de gas, correpondientes a distintos pares de valores
de p ;V , están asociados a una isoterma, sucesión de estados con µ = constante. La misma
muestra de gas puede ubicarse sobre distintas isotermas, según el valor que asume µ en
distintas series de equilibrios.
Los valores que se asignan a µ son convencionales y provienen de las escalas de
temperatura definidas con la construcción de los termómetros, como hemos visto. ¿Como
establecer que un objeto es más caliente que otro, sin intervención de la sensación subjetiva del observador? No alcanza con decir que los más calientes son los cuerpos cuya
temperatura empírica es mayor, puesto que la asignación de temperaturas crecientes es
convencional y proviene de la tradición. En verdad, la respuesta surge de un hecho experimental: la dirección del flujo de calor cuando dos cuerpos A y B cualesquiera, aislados
de los demás, se ponen en contacto. Más adelante, depués de discutir las propiedades del
calor, volveremos sobre esta relación de calidez y temperatura
1.5.1 Las leyes empíricas de los gases
Se sabe que a presión no muy alta y temperatura elevada (baja densidad) los experimentos sobre los equilibrios de los gases, realizados manteniendo el contenedor del gas en
contacto con una fuente térmica, comprueban la ley de Boyle (1627-91) p V =constante,
con muy buena aproximación. Se constata, además, que la constante del producto p V es
proporcional a la masa M del gas. Por lo tanto, la ecuación de estado de los gases, que
en las condiciones citadas llamaremos ideales, debe tener la forma
p V = M f (µ ) :
(1.8)
La ecuación de estado de los gases ideales
7
Figura~2 Isotermas de gas ideal, p V = constante. Los distintos equilibrios sobre cada línea
corresponden a la misma temperatura; la masa del gas permanece invariada.
Las isotermas de los gases ideales trazadas en el diagrama de estado p versus V son
hipérbolas equiláteras que tienen los ejes p y V por asíntotas (ver Figura 2).
Observaciones realizadas a volumen constante, en las cuales se estudia la variación
de la presión con la temperatura (Gay-Lussac, 1778-1850) o bien experimentos a presión
constante en los que cambia el volumen con la temperatura (Charles, 1746-1823) permiten
comprobar una dependencia lineal de la presión en el primer caso o bien del volumen en el
segundo, con la temperatura medida con un termómetro de mercurio: se determina una
forma funcional lineal para f (µ ) , es decir,
(1.9)
p V = M (a + bµ ) ;
donde a ;b son constantes.
1.6
La ecuación de estado de los gases ideales
Operando con determinadas porciones de una substancia conviene tener presente las relaciones entre la cantidad de masa, M , el número de moles, º , el número de Avogadro
N A , la masa molecular ¹ , la masa de una molécula de la especie m y el número de moléculas N de la muestra. El número de atomos de carbono presentes en 12 gramos del
isótopo C-12 se define como número de Avogadro. Un mol de cualquier substancia contiene N A = 6:02 £ 10 2 3 moléculas (un kilomol - empleado en el sistema MKS - contiene
6:02 £ 10 2 6 moléculas). Valen las siguientes relaciones
N = ºN
A
;
M = º¹;
M =m N ;
¹ =m N
A
:
(1.10)
Poniendo en evidencia el número de moles º = M = ¹ en la ecuación 1.9 se encuentra que para todos los gases se puede escribir una ecuación con dos constantes, µ ¤ y R ,
independientes de la especie molecular del gas
pV =
M
R (µ ¤ + µ ) ;
¹
(1.11)
donde µ ¤ = 273:15 ± C y R = 8:3145 J/K mol = 8:3145£ 10 7 erg/K mol. R recibe el nombre
constante universal de los gases y µ = ¡ µ ¤ es el valor límite de temperatura centígrada
al cual todos los gases parecen tender cuando la presión se reduce a cero manteniendo el
volumen (y la cantidad de gas) constantes. Se trata de una temperatura límite porque
la presión de un gas no puede llegar a ser negativa y hemos dicho ”parecen tender”
porque estamos considerando una extrapolación matemática a temperaturas negativas de
la ecuación 1.11. En realidad los experimentos se realizan a temperaturas más altas y la
presión o el volumen del gas disminuyen pero nunca llegan a cero.
Calor
8
Figura~3 El experimento de Charles: V como función de t, temperatura del termómetro de
Hg, mientras que la presión y la masa del gas se mantienen constantes. Las líneas con distinta
pendiente son para distintos valores de º R = p . Las mediciones se realizan a temperaturas
altas y las líneas correspondientes se extrapolan a valores negativos de t. Se comprueba que
todas las líneas se cruzan en t = ¡ 273:15 ± C cuando V ! 0.
Por importantes razones teóricas, que se examinarán más adelante, Kelvin propuso introducir la escala de temperaturas absolutas, T , en la cual el cero corresponde a
¡ 273:15 ± C , es decir que la relación entre µ y T es
T = µ¤ + µ:
(1.12)
Por lo pronto, empleando la escala Kelvin la ecuación 1.11 toma un aspecto simple, que
podemos escribir mediante varias posibles alternativas
pV =
M
R T = ºR T = N kT
¹
(1.13)
En la última igualdad hemos introducido la constante de Boltzmann, k = R =N A =
1:3807 £ 10 ¡ 1 6 erg/K= 1:3807 £ 10 2 3 J/K. La 1.13 es la ecuación de estado de los gases
ideales, que gobierna un gas de cualquier especie a bajas presiones y temperaturas relativamente altas, tales que el estado gaseoso está alejado de las condiciones de licuefacción.
1.7
Calor
Se habla de transporte de calor cuando hay transferencia de energía de un cuerpo a otro
o a través de un sistema material, por medios no mecánicos, es decir, sin realizar trabajo.
Cuando dos cuerpos A y B se ponen en contacto directo el calor fluye espontáneamente de
un objeto al otro, a menos de que ambos se hallen de partida en equilibrio térmico entre
sí. El cuerpo que entrega calor se llama caliente y el que recibe se dice frio. La observación
del fenómeno de transporte de calor de cuerpos calientes a cuerpos frios se toma como base
para ordenar la escala de temperaturas empíricas, de modo que el numeral elegido para
las temperaturas más altas corresponda a cuerpos calientes, las temperaturas más bajas
a cuerpos más frios. Demostraremos al final de la siguiente sección que este ordenamiento
es siempre factible y no puede ser violado. El flujo de calor cesa cuando los cuerpos en
contacto tienen la misma temperatura (equilibrio térmico). Una analogía con la corriente
eléctrica, que fluye desde el punto de potencial más alto al punto de potencial más bajo del
circuito, puede ayudar a visualizar el efecto. Durante el siglo XVIII y aún en la primera
parte del siglo XIX se pensaba que el calor era un fluido invisible que podía ser transferido
de un cuerpo a otro: fue un período en el cual predominaba la doctrina del calórico. En
realidad no existe tal hipotético fluido, el calor es energía de agitación térmica atómica
o molecular, en última instancia energía cinética en grados de libertad microscópicos, es
decir invisibles u ocultos.
Calor
9
Los mecanismos o modos de transporte del calor son de tres tipos: conducción,
convección y radiación. En el caso de la radiación no es necesario el contacto entre los
cuerpos que intercambian energía, ya que el campo electromagnético actúa de intermediario. Un ejemplo familiar es el calor que se recibe por radiación infrarroja desde una estufa
o en la cercanía de un fogón. En el caso de la convección la intermediación se realiza a
través de un fluido en movimiento (líquido o gas) y es necesario que los cuerpos estén
sumergidos o en contacto con en el medio. Es el caso por todos conocido de la pérdida
de calor que se acentúa fuertemente en dias frios cuando sopla viento. El transporte de
calor por convección es el más difícil de calcular. La denominada termoconvección es una
rama especializada de la fluidodinámica
1.7.1 Conducción
La conducción consiste en energía transferida por contacto (a nivel atómico se produce por
colisiones de átomos o moléculas adyacentes). La fórmula semiempírica para calcular el
transporte por conducción de calor a través de una barra sólida, mantenida a temperatura
T 2 en un extremo y T 1 < T 2 en el otro, es la siguiente
²
Q c= ¸
A
(T 2 ¡ T 1 ) :
L
(1.14)
²
En esta expresión Q c es la tasa de calor transferido por unidad de tiempo (en unidades
energéticas cgs erg/s o bien en MKS, J/s) ¸ es el coeficiente de conductividad térmica del
material (erg/K cm o J/K m) (T 2 ¡ T 1 ) es la diferencia de temperatura (K) a través de
una longitud L (cm o m)y A (cm2 o m2 ) es el área de la sección transversal de la barra.
²
Como vemos el flujo de calor Q c =A , energía térmica que pasa por unidad de tiempo por la
unidad de área, es proporcional al gradiente de temperatura. La fórmula se aplica cuando
la diferencia de temperaturas no es demasiado grande, porque se observa que en algunas
substancias ¸ es sensible al cambio de temperatura y habría que tomar en cuenta esta
variación.
La generalización de esta ley se debe a Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830)
primero en una extensa memoria de 1807 y luego en su Teoría Analítica del Calor de
1822. Con notación actualizada, se introduce ¡!q el vector flujo de calor, definido en cada
punto de un medio material, en cualquier instante del tiempo, ¡!q = ¡!q (x ;y ;z ;t) , de tal
modo que
²
Q = ¡!q ² ¡!n d S
(1.15)
c
es el calor que pasa por el área elemental d S , cuya normal unitaria es ¡!n , en la unidad de
tiempo. Según la ley de Fourier, el flujo de calor ¡!q es un campo vectorial definido por
¡!q = ¡ ¸ g r a d (T )
(1.16)
donde g r a d (T ) es el operador gradiente del campo de temperatura T = T (x ;y ;z ;t) y el
signo ¡ es para respetar el principio de que el calor fluye en sentido contrario a la dirección
en la cual crece la temperatura. En la analogía eléctrica ¡!q juega el rol de la densidad de
¡!
corriente eléctrica j y T es semejante al potencial, de modo que ¡ g r a d (T ) equivale al
campo eléctrico y lo análogo de ¸ es la conductividad eléctrica ¾ e .
1.7.2 Radiación
La cantidad de calor transferida por la radiación está regulada por la ley experimental de
Stefan (cuya derivación teórica fue dada por Boltzmann y será tratada en el capítulo de
la radiación de cuerpo negro)
²
Q r = e¾ A T 4 :
²
(1.17)
En esta fórmula Q r es la cantidad de calor irradiado por el cuerpo en la unidad de tiempo
hacia todo el espacio circundante (erg/s o J/s), e es la emisividad del objeto (un número
puro, generalmente menor que uno e igual a uno cuando se trata de un cuerpo negro, ¾ es
la constante de Stefan-Boltzmann, 5.67£ 10 ¡ 5 erg/cm2 s K4 o bien 5.67£ 10 ¡ 8 W/m2 K4 ,
Calorimetría
10
A (cm2 o m2 ) es la superficie total y T es la temperatura en grados Kelvin. Naturalmente,
hay que tener en cuenta que el cuerpo a su vez recibe radiación desde el medio ambiente,
que se encuentra a otra temperatura T a . Debido a la fuerte dependencia (cuarta potencia)
²
del calor irradiado con T , cuando T À T a en la práctica podemos considerar que Q r da
el balance de calor perdido por el objeto.
1.7.3 Expansión térmica
La mayoría de los cuerpos se expanden cuando absorben calor y su temperatura aumenta.
La dilatación de los metales es un hecho familiar y la dilatación del mercurio en un tubo
capilar es un buen indicador para señalar aumentos de temperatura. El agua también
se expande, excepto cuando está en la vecindad del punto de congelación. La densidad
de hielo es un poco menor que la densidad del agua (¼ 0:2 %). La anomalía ocurre
entre 0 y 4 ± C , intervalo en el cual la densidad del agua aumenta con la temperatura
hasta alcanzar un valor máximo en 4 ± C . Para temperaturas mayores de 4 ± C retorna el
comportamiento normal y la densidad del agua disminuye ligeramente. Esta es la razón de
la flotación del hielo en el agua y el hecho que permite que grandes lagos de regiones frias o
los mares polares no se congelen enteramente, sino que una capa de hielo se forme sólo en
la superficie, debido a corrientes de convección desde las profundidades que permanecen
alrededor de 4 ± C .
Para pequeñas variaciones de temperatura la experiencia muestra que la dilatación
de barras o alambres de material sólido sigue una ley de aumento lineal con la temperatura:
¢l = l ¡ l0 = ® l0 (t ¡ t0 ) :
(1.18)
±
En esta expresión l0 es la longitud original a la temperatura inicial t0 (en C ) del experimento, l y t son la longitud y temperatura finales, respectivamente, y ® es el coeficiente
de dilatación térmica lineal, una constante típica de cada material (cuyas dimensión es la
inversa de la temperatura, ± C ¡ 1 ). Es obvio que vale la misma fórmula cuando se trabaja
con la temperatura absoluta, puesto que t ¡ t0 = T ¡ T 0 . En los sólidos el coeficiente
de expansión térmica en volumen vale aproximadamente 3® , como se ve calculando la
expansión de un pequeño cubo de material
l3 = l03 [1 + ® (t ¡ t0 ) ] 3 ¼ l03 [1 + 3® (t ¡ t0 ) ] ;
(1.19)
cuando j® (t ¡ t0 ) j ¿ 1. Para fluidos, líquidos y gases, sólo interesa la expansión de
volumen y se define el coeficiente de expansión térmica ¯ a presión constante mediante la
fórmula
µ
¶
1 @V
¯ =
:
(1.20)
V
@T p
1.8
Calorimetría
1.8.1 Unidades
La unidad SI de calor es la misma que la de energía: el joule (J). Otra unidad de energía asociada al calor que todavía tiene usos prácticos es la caloría (cal) 1 cal = 4.186
J=4.186£ 10 7 erg, antigua unidad definida en los orígenes de la calorimetría, cuando el
baño térmico de agua era una práctica de medición habitual. La caloría es la cantidad
de calor necesaria para aumentar en un grado centígrado la temperatura de un gramo de
agua y la kilocaloria (kcal=1000 cal) es la cantidad de calor que se precisa para aumentar
de un grado la temperatura de un kilogramo (un litro) de agua.
La kilocaloría se denomina a veces gran caloría y se emplea corrientemente para
indicar el contenido energético de los alimentos. La equivalencia con la unidad más cercana
de trabajo mecánico es a través del kilojoule: 1kcal=4,186 kJ. La energía consumida por
los humanos se deduce por la generación de calor o por el consumo de oxígeno. En una
dieta media de proteinas, hidratos de carbono y grasas, cada litro de oxígeno consumido
genera 4.8 kcal. El gasto medio de energía de un adulto en Occidente es de unas 2,600 kcal,
pero aún permaneciendo en reposo se requieren 2,000 kcal. Dejamos al lector imaginar
las consecuencias de alimentarse rutinariamente con equivalentes de 3000 o más kcal.
Calorimetría
11
1.8.2 Calor específico
El calorimetro es un instrumento para medir los cambios de energía térmica que tienen
lugar en una reacción química, el calor necesario para fundir un sólido o bien la capacidad
calorífica de un cuerpo. Consiste básicamente de un recipiente aislado en el cual tiene
lugar el proceso. El recipiente puede estar muy cuidadosamente aislado, en cuyo caso
se mide la variación de temperatura de la reacción o bien, siempre aislado, el recipiente
puede contener una cantidad conocida de agua y el calor del proceso se transfiere al baño,
en cuyo caso se mide la variación de temperatura del agua. Para mediciones de líquidos
se utilizan calorímetros del tipo de flujo contínuo. Para las reacciones de combustión se
emplean vasijas selladas que contienen oxígeno a presión.
A igualdad de cantidad de calor que se entrega a distintas substancias se observan
distintos aumentos de temperatura. La cantidad de calor que se precisa para cambiar de
un grado la temperatura de un cuerpo se denomina su capacidad calorífica. Cuando se
refiere a la unidad de masa de la substancia (un gramo en cgs o un kilogramo en MKS)
se denomina calor específico, c ( erg/gm K o bien J/kgm K) y cuando se trata de un
mol de material, calor molar, c m . El calor específico del agua, ¼ 4.2J como hemos dicho,
es bastante grande respecto al de muchas otras substancias, de modo que los mares y
océanos constituyen grandes reservas de energía térmica que afectan substancialmente el
clima. Empleando el calor específico c, la cantidad de calor Q necesaria para producir
una variación de temperatura ¢T = T ¡ T 0 de una masa M o bien de º moles, de materia
vale
Q = M c¢T = º c m ¢T :
(1.21)
Naturalmente, cuando ¢T < 0 resulta Q < 0 y el calor es perdido por el cuerpo en el
correspondiente enfriamiento. En el caso de los gases hay que prestar atención al proceso
con el cual se entrega calor al sistema, por ejemplo el calor específico a volumen constante
c v es distinto (menor) que el calor específico a presión constante, c p . En sólidos y líquidos
se sobrentiende que se opera con calores específicos a presión atmosférica.
En el calorímetro se parte de una masa conocida de agua M a a una temperatura
inicial T 0 , se agrega un objeto de masa conocida M 1 a una temperatura previamente
medida T 1 (correspondiente a un baño térmico oportunamente preparado) se cierra y se
espera que se alcance el equilibrio, verificando con el termómetro una temperatura final T f .
Debido al aislamiento térmico del calorímetro la cantidad de calor contenida inicialmente
debe ser igual a la que contiene al final, puesto que no hay transferencias de calor a través
de las paredes, por consiguiente, escribimos Q 1 = M 1 c 1 (T 1 ¡ T f ) como pérdida de calor del
cuerpo durante la relajación al equilibrio, que resulta ganada por el agua del calorímetro
Q a = M a c a (T f ¡ T 0 ) . De la igualdad de estos dos calores Q 1 = Q a se obtiene
M a (T f ¡ T 0 )
c1
=
;
ca
M 1 (T 1 ¡ T f )
(1.22)
la razón del calor específico del cuerpo respecto al del agua.
1.8.3 Calores latentes
Sin embargo, no siempre el ingreso de calor al cuerpo se traduce en un aumento de
temperatura, ello sucede durante los cambios de fase, como la fusión de un sólido o la
ebullición de un líquido. Las fases son distintas formas de organización estructural de
una substancia. Para romper la estructura cristalina del hielo y pasar al estado líquido
del agua, por ejemplo, hay que emplear una cantidad de energía. La experiencia muestra
que hasta que toda la materia no haya terminado de cambiar de fase, la temperatura se
mantiene constante a pesar del calor que absorbe el sistema. Así, por ejemplo, mientras no
termine de vaporizarse toda el agua en el punto de ebullición y pasar al estado gaseoso,
la temperatura del sistema en el cual coexisten las dos fases agua - vapor permanece
invariada. Los cambios de fase, realizados a presión constante tienen lugar sobre isotermas.
El calor que es necesario entregar a una substancia sólida para derretirla completamente se denomina calor latente de fusión, H f . Se define analogamente el calor latente
Calorimetría
12
de vaporización H v cuando se pasa completamente del estado líquido al gaseoso. Se observa también que el calor latente empleado en el cambio de fase de una substancia es
igual y de signo opuesto al que se pone en juego para el cambio de fase opuesto. Así, por
ejemplo, al calor latente de fusión le corresponde uno equivalente, perdido por el sistema,
en la solidificación. La observación de la existencia de calores latentes fue el principal
argumento esgrimido en favor de la hipótesis del fluido calórico, puesto que parecía que
los cuerpos podían almacenar un fluido material invisible, el cual podían oportunamente
devolver durante el cambio de fase de sentido inverso. Es conveniente definir calores latentes H f por unidad de masa o bien Hef por mol de substancia de modo que, por ejemplo,
el calor Q f empleado para fundir completamente una masa M (o º moles) de sólido (sin
cambios de temperatura adicionales antes o después del cambio de estado) se calcula con
Q f = M H f = º Hef . La misma cantidad de calor se debe extraer del sistema en estado
líquido para que este pase al estado sólido.
Los calores latentes para cada substancia han sido tabulados y se expresan en
erg/gm o bien en J/kgm según el sistema de unidades empleado. Es interesante notar
las diferencias de calores específicos y de calores latentes de las distintas substancias. A
modo de ejemplo, el calor específico del agua es cerca de dos veces el del hielo, pero el
calor latente de fusión del hielo es unas 150 veces mayor que el valor numérico de su calor
específico. Asimismo, el calor latente de vaporización del agua es alrededor de 70 veces
mayor que el calor latente de fusión del hielo. Más precisamente, para el hielo, c h = 2:10
kJ / kg K, H f = 334 kJ / kg, mientras que para el agua, c a = 4:19 kJ / kgK, H v = 2260
kJ / kg. Finalmente el calor específico del vapor de agua es c v = 2:01 kJ / kg K.
1.8.4 El ordenamiento de la escala de temperatura y el sentido del flujo de calor
Se ha dicho que la noción de caliente o frio se define de acuerdo con la dirección del flujo de
calor que se establece entre dos cuerpos (que no se hallan en equilibrio) cuando, aislados
del ambiente, se ponen en contacto. El que gana calor es el cuerpo más frio, el que pierde
calor es el más caliente. Es importante probar que es factible ordenar µ de modo que las
temperaturas mayores correspondan siempre a los objetos más calientes, mientras que las
menores a los objetos más frios. Si esto es así, entonces en todo par de cuerpos el calor
fluirá desde el de temperatura más alta hacia el de temperatura ḿas baja.
La demostración se hace por el absurdo, admitiendo que esta regla se pueda
violar. Sean tres cuerpos, A con temperatura mayor que B y B con temperatura igual
a C. Supongamos que observamos que el calor fluye de A hacia B. Supongamos también
que el sentido del flujo de calor según el orden de temperaturas no se cumple siempre.
De modo que cambiamos el cuerpo C hasta que encontramos uno en el cual el calor fluye
de C hacia A (si no existe ninguno ya estaría probado el asunto). Ahora variamos un
poquito la temperatura de B en más o en menos hasta que el calor fluya de B hacia C,
mientras la temperatura de A sigue siendo mayor que la de C. Los tres cuerpos tienen
ahora temperaturas distintas y podemos ponerlos en contacto entre si, interponiendo entre
uno y otro paredes con conductividades térmicas cuidadosamente reguladas, de modo que
el flujo de calor de A a B resulte igual al flujo de B a C y este idéntico a su vez al que se
transfiere de C a A. El ciclo de flujos de calor se cierra y encontramos que cada uno de los
tres cuerpos gana y pierde la misma cantidad de calor por unidad de tiempo. Entonces
el estado de los tres cuerpos no varía y por definición los tres se encuentran en equilibrio.
Por aplicación del principio cero de la termodinámica cualquier par de cuerpos por
separado debería estar en equilibrio, pero ello no es posible puesto que por construcción
cualquier par de ellos tiene temperaturas distintas. Hemos llegado a una contradicción y
esto se debe a que hemos admitido que el calor pueda fluir contra el orden de mayor a
menor de las temperaturas (que el flujo pueda remontar de C hacia A). La contradicción
desaparece cuando se admite que el calor siempre fluye desde las temperaturas más altas
a las más bajas. Por lo tanto es legítimo afirmar que a mayor temperatura más caliente
es un cuerpo y viceversa.
Equilibrio de líquidos con gravedad y unidades de presión
1.9
13
Equilibrio de líquidos con gravedad y unidades de presión
El equilibrio de los líquidos bajo la acción de la gravedad es uno de los más antiguos
problemas estudiados por la mecánica, cuyo origen se puede encontrar en la literatura
de la antiguedad asociado al célebre principio del empuje de flotación, descubierto por
Arquímedes de Siracusa (287-212 a. C.).
1.9.1 Presión
En el interior de los materiales se ejercen fuerzas por contacto a través de superficies
ideales trazadas en el medio. La descripción de estas fuerzas internas se realiza del siguiente modo. En un punto interior arbitrariamente elegido de cualquier fluido, líquido
o gas, considerado como medio continuo, podemos imaginar una pequeña área d S cuya
orientación en el espacio está dada por un vector ¡!n de modulo unidad (j¡!n j = 1). Por
brevedad, denominaremos ”corte” del material a este elemento de superficie orientado.
¡!
La fuerza df que el fluido del lado de la normal (positivo) realiza sobre el fluido inmediatamente adyacente del lado opuesto a la normal (negativo) a través del área d S tiene una
componente df k paralela a ¡!n , por lo tanto, podemos escribir
¡!
¡!
df = df k ¡!n + df ? ;
(1.23)
¡!
donde df ? es la componente de la fuerza perpendicular a ¡!n . Estas fuerza tiene muy corto
alcance y existe sólo en la inmediata vecindad del corte. Eligiendo una nueva orientación
¡!
de la normal tal que n 0 = ¡ ¡!n e invocando el principio de acción y reacción, se concluye
¡! 0
¡!
que df = ¡ df , el fluido ubicado del lado de ¡ ¡!n reacciona con fuerza igual y contraria a
la que ejerce el fluido que se halla en contacto del lado de ¡!n . A diferencia de los sólidos,
la experiencia indica (a) que en los fluidos df k < 0, es decir, la fuerza que la materia
del lado positivo ejerce sobre la materia ubicada del lado negativo a través del corte es
en sentido opuesto a la normal. La experiencia indica también que (b) en los fluidos en
¡!
reposo, o sea en equilibrio mecánico estático, df ? = 0. Finalmente (c) cualquiera sea la
orientación del corte la intensidad de la fuerza por unidad área es la misma, el cociente
df k = d S no depende de la elección de ¡!n , sólo puede variar cuando nos movemos a otras
posiciones dentro del fluido. Estas observaciones se pueden resumir
del
¯
¯ siguiente modo:
definiendo la intensidad de la fuerza por unidad de área p = ¯df k = d S ¯como la presión
(p > 0) del fluido en el punto donde se encuentra el corte y escribiendo
¡!
df
= ¡ p ¡!n :
dS
(1.24)
Esta expresión es la forma matemática de la ley de Pascal, válida para los fluidos en
equilibrio: la intensidad de la fuerza por unidad de área, transmitida en el interior de un
fluido desde la parte positiva hacia la parte negativa de cualquier corte, es una presión
(escalar positivo que no depende de la orientación del corte) ejercida siempre en dirección
opuesta a la normal. En general, la presión es variable de punto a punto, es decir, es
un campo escalar p = p (x ;y ;z ) . Blaise Pascal publicó en 1653 un Tratado acerca del
Equilibrio de los Líquidos el cual contiene la célebre ley de la presión.
Los cortes se pueden emplear sobre los límites del fluido para establecer condiciones de contorno. Cuando el corte se ubica en la superficie de separación aire - líquido, con
¡!n apuntando hacia la atmósfera, se desprende que la presión que existe en el líquido en
contacto con la superficie libre es la presión atmosférica. Cuando el corte se elige sobre el
contorno del recipiente contiene un fluido, con ¡!n perpendicularl a la pared y orientada
hacia el fluido, se concluye que este ejerce una presión normal sobre la pared.
1.9.2 Equilibrio hidrostático
Consideremos la ecuación de las fuerzas sobre un fluido en reposo, con aceleración nula
¡!a = 0 y por el momento sin ninguna restricción especial sobre la densidad ½ (masa por
¡!
unidad de volumen) o sobre F , la fuerza externa por unidad de volumen que actúa sobre
Equilibrio de líquidos con gravedad y unidades de presión
14
Figura~4 Blaise Pascal, 1623-62
el medio. La ecuación general del equilibrio hidrostático es
¡!
g r a d (p ) = F :
(1.25)
Las superficies con p (x ;y ;z ) = C , siendo C una constante, se denominan isobáricas. El
gradiente de p tiene la dirección de la normal a estas superficies, de modo que 1.25 implica
¡!
que en el estado de equilibrio F debe ser normal a las superficies de presión constante.
La 1.25 sobredetermina la incógnita p , puesto que las fuerzas de volumen son datos del
¡!
problema. Para que se pueda cumplir la condición de equilibrio es evidente que F debe
¡!
ser el gradiente de alguna función, o sea, que F debe ser una fuerza conservativa, o sea
F = ¡ g r a d (−) , donde −(x ;y ;z ) es el potencial de la fuerza.
El equilibrio de líquidos, considerados como incompresibles y cuya densidad % es
constante, se estudia con la solución
p + ½− = C ;
(1.26)
que da el campo de la presión en concordancia con la variación del potencial −(x ;y ;z ) .
Es evidente que p es constante sobre las superficies equipotenciales y que estas coinciden
con las isobaras. Sea el caso de la gravedad sobre la superficie terrestre, − = g z , donde z
es la dirección vertical y el líquido ocupa la región z < 0, entonces vale la ecuación
p = p0 ¡ ½gz = p0 + ½gh .
(1.27)
Aquí hemos introducido la presión atmosférica p 0 sobre la superficie libre del líquido
z = 0 y hemos empleado la profundidad h , escribiendo z = ¡ h . Las superficies isobáricas
son planos horizontales, normales a la fuerza de gravedad. La cantidad p ¡ p 0 = ½ g h
se denomina presión de sobrecarga (respecto de la atmósfera) que existe en el seno del
líquido a la profundidad h .
1.9.3 Ley de vasos comunicantes
Para el agua la sobrecarga es de aproximadamente una atmósfera cada 10 metros de
profundidad. La presión a cualquier profundidad no depende de la forma del volumen
ocupado por el líquido, ni de la cantidad de fluido presente, sólo depende de h . Una
columna de agua de 30 metros siempre ejerce una sobrecarga de 3 atmósferas sobre el
fondo, tanto en el caso de un tanque cilíndrico de 5 metros de diámetro cuanto si se trata de
un modesto caño de 2 cm de diámetro. La igualdad de la presión sobre planos horizontales
en el líquido, dada por 1.27, explica el conocido fenómeno de los vasos comunicantes
abiertos a la atmósfera, discutido por el holandés Stevin (1586). Un líquido contenido en
dos o más recipientes de cualquier forma, abiertos a la atmósfera y cuyos fondos tienen
una comunicación común (por ejemplo, un tubo en U) llega a la misma altura en todos
ellos.
El principio de funcionamiento de la prensa hidráulica se explica con los mismos
conceptos. Dos cilindros de distinta sección, S 1 y S 2 , tales que S 2 À S 1 , contienen un
líquido que se comunica por el fondo de un recipiente común a ambos. Los cilíndros poseen
Equilibrios de gases en campos de fuerza
15
pistones, bien adherentes a las paredes de modo que el fluido no pueda escurrirse, los cuales
apoyan sobre el líquido en ambas ramas del dispositivo. Si se aplica una fuerza F 1 (por
ejemplo, un peso considerable) sobre el pistón S 1 , la presión en la superficie de contacto
con el líquido p = F 1 = S 1 . La misma presión (ignorando la diferencia insignificante que se
origina por diferencias de altura de los pistones) se encuentra sobre la superficie S 2 del
segundo pistón, debido al principio de los vasos comunicantes. Por lo tanto F 1 = S 1 = F 2 = S 2
y se obtiene en el segundo pistón un considerable aumento de la fuerza aplicada sobre el
primero, en la proporción S 2 = S 1 :
1.9.4 Manómetros y barómetros
Estas propiedades se aplican también en la operación de manómetros y barómetros. Un
manómetro es un instrumento para medir sobrecargas moderadas. Es un tubo de vidrio
en U con ramas dispuestas según la vertical, con un líquido cuya densidad ½ es conocida.
Una de sus ramas, en la cual el líquido alcanza una altura h 1 respecto del fondo, se conecta
a un recipiente en el cual tenemos confinado un gas cuya presión desconocida p 1 deseamos
medir. La otra rama está abierta a la atmósfera cuya presión es p 0 y el líquido marca una
altura h 0 . Aplicando 1.26, en la cual elegimos z = 0 para el fondo del manómetro cuya
presión denotamos con p f , tenemos
p0 + ½gh 0 = pf = p1 + ½gh 1:
(1.28)
¢p = p 1 ¡ p 0 = · (h 0 ¡ h 1 ) ;
(1.29)
Resulta
donde · = ½ g es el peso específico del líquido del manómetro. Por supuesto, la diferencia
de alturas h 0 ¡ h 1 es positiva cuando el gas está comprimido a una presión mayor que p 0 y
en cambio es negativa cuando el recipiente contiene un gas rarefacto cuya presión es menor
que la atmosférica. Un esquema similar se emplea para medir la presión atmosférica en
el barómetro de Torricelli. Un tubo de vidrio de algo menos de un metro de longitud,
cerrado en un extremo, se llena de mercurio. Se dipone el tubo en vertical volcando el
extremo abierto en una cubeta que contiene el mismo líquido, cuidando que no penetre
aire en el tubo. Una parte del mercurio contenido en el tubo desciende y se une al de la
cubeta, dejando una zona de vacío en la extremidad superior. La altura de mercurio en
el tubo respecto de la superficie del mercurio expuesto al aire en la cubeta, h ,mide la
presión atmosférica. En efecto, en este caso tenemos
p0 = · h ;
(1.30)
puesto que cuando z = h la presión es nula.
1.9.5 Unidades de presión
Una columna de 760 mm de Hg ejerce una sobrecarga que se define como 1 atmósfera
normal, la unidad originalmente usada en mediciones barométricas. En los laboratorios
donde se trabaja con vacío todavía se emplea frecuentemente el torr, que equivale a la
sobrecarga de 1 mm de Hg (por Torricelli, discipulo de Galileo Galilei e inventor del
barómetro de mercurio). Empleando la densidad del mercurio y la gravedad terrestre
(981 cm/s2 ) resulta que 1 atm equivale a 1033 cm de columna de agua. La unidad cgs
de presión es la baria = 1 dina/cm2 y en MKS la unidad es el pascal =1 newton/m2
, de modo que 1 pascal = 10 barias. En meteorología se empleaba también la unidad
Bar = 106 barias, que vale casi 1 atm, pero más recientemente prevalece el hectopascal
= 100 pascales. La equivalencia en esta floresta de unidades de presión (no queremos ni
acordarnos de las unidades inglesas, la pulgada de Hg o la libra por pulgada cuadrada) es
como sigue, 1 Atm = 760 Torr = 1033 cm H2 O = 1.033 Bar = 1033 mBar = 1013 Hpascal
1.10
Equilibrios de gases en campos de fuerza
¡!
En el caso de los gases, para que exista equilibrio en presencia de fuerzas, es preciso que F
sea conservativa, sea normal a las superficies isobáricas y que la densidad esté estratificada
Equilibrios de gases en campos de fuerza
16
conforme a la presión: ½ = ½ (p ) , o bien p = p (½ ) . Cuando la presión es una función de la
densidad (o viceversa) se dice que se cumple una condición de barotropía. Supongamos,
¡!
entonces, que p = p (½ ) y que F = ¡ g r a d (−) . En este caso podemos definir una función
H
=
Zp
dp
;
½
(1.31)
p0
de modo que
dH
Escribiendo d H
=
dp
:
½
¡!
¡!
= g r a d (H ) ² ± x y d p = g r a d (p ) ² ± x resulta
·
¸
¡!
1
g r a d (H ) ¡ g r a d (p ) ² ± x = 0;
½
(1.32)
(1.33)
¡!
y puesto que esta ecuación vale para todo ± x , es necesario que
g r a d (H ) =
1
g r a d (p ) :
½
(1.34)
Cuando p = p (½ ) es un dato aa función H se puede calcular como una integral de la
variable densidad
Z½ µ ¶
dp d½
;
(1.35)
H =
d½
½
½0
y se denomina función de presión. Ahora 1.25 se reescribe como
g r a d (H
+ −) = 0;
(1.36)
de la cual resulta
H
+−=C;
(1.37)
donde C es una constante de integración. En consecuencia, la ecuación hidrostática se
puede integrar exactamente cuando el fluido es barotrópico. La constante de integración
se determina por el conocimiento del valor de la densidad (o de la presión) sobre alguna
superficie equipotencial elegida como referencia.