Tema 2: Resolución de los ejercicios 6, 7, 8, 10 y 14 del tema 2 del

Tema 2: Resolución de los ejercicios 6, 7, 8, 10 y 14 del tema 2 del libro ”Fonaments
físics de la Informàtica”
6. Un condensador de capacidad C1, cargado con carga Q, se conecta con otro de capacidad
C2, inicialmente descargado, tal como se indica en la figura. Calcula el valor de la carga en
cada condensador antes y después de cerrar el interruptor.
C1
C2
Q2
Q1
antes
después
Solución:
Si el condensador C1 está cargado con carga Q, ello quiere decir que inicialmente tiene una
carga +Q en una armadura y una carga -Q en la otra:
Q
Q
-Q
-Q
C2
C1
C1
Al conectar el otro condensado en serie no sucede ningún trasvase de carga de un
condensado al otro. ¿Por qué? Porque en la carga Q, situada en el lado izquierdo de C1 no
tiene otro lugar donde ir que no sea el propio condensador y debido a los fenómenos de
influencia mantiene la carga -Q en la otra armadura. También se podría explicar a partir de
la carga -Q, que no puede salir de C1 para entrar en C2 porque esto obligaría a la aparición
de una carga neta positiva en la otra armadura de C2, lo que no es posible por estar ese
tramo de conductor aislado. Luego antes de cerrar el interruptor, Q1=Q y Q2=0.
¿Qué sucede al cerrar el interruptor? Unimos con un conductor la armadura derecha de C1
con la izquierda de C2. Ahora parte de la carga de C1 puede pasar a C2, quedando el primero
con carga Q1 y el segundo con carga Q2. Dado el sistema está aislado, se debe cumplir que
la suma de las cargas de los condensadores debe ser igual a la carga total que teníamos
inicialmente: Q1+Q2=Q.
Q
-Q
C1
Q1
C2
-Q1 -Q2
C1
V
-
+
Q2
C2
Por otra parte el sistema formado por la armadura de un condensador, la armadura del otro
condensador a la que está conectada y el cable de unión, es un único conductor por lo que
el potencial tiene un único valor. Lo mismo sucede con el sistema de que forman parte las
otras armaduras. Ello implica que la diferencia de potencial en bornes de ambos
condensadores es la misma, con lo que
Q
Q
V1 = 1 = 2 = V2
C1 C 2
Tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas, Q1 y Q2, que resuelto nos da
Q1 =
C1
C2
Q y Q2 =
Q
(C1 + C 2 )
(C1 + C 2 )
Lo que nos permite completar la tabla que nos da el problema:
antes
después
Q1
Q
C1
Q1 =
Q
(C1 + C 2 )
Q2
0
Q2 =
C2
(C1 + C 2 )
Q
Aunque el problema no nos lo pide podemos estudiar que sucede con la energía almacenada
en los condensadores antes y después de conectarlos entre sí. Recordemos que un
condensador ideal no consume energía, simplemente la almacena siendo su expresión:
1
Q2
2
E = CV =
2
2C
En nuestro caso. la energía inicial tiene un valor de:
E1 =
Q2
2C1
Tras la redistribución de la carga:
2
2
 C1Q 
 C1Q 




2
2
(C1 + C2 ) 
Q1
Q 2  (C1 + C 2 ) 
Q2
Q2

E2 =
+
=
+
=
<
2C1 2C 2
2C1
2C 2
2(C1 + C 2 )
2C1
Existe una pérdida en la energía almacenada desde el estado inicial al final. En el ejercicio,
tal como está planteado, no existe ningún lugar dónde esta energía se pueda perder —
estamos trabajando en condiciones ideales—, ello implica que no se alcanzaría nunca el
estado de equilibrio. En la práctica, esta energía se perdería por efecto Joule en los
conductores que unen ambos condensadores y su valor sería, precisamente la diferencia
entre la energía almacenada inicial y la energía almacenada final.
También podemos observar que la expresión de la energía almacenada tras la
redistribución de las cargas es la expresión de la energía almacenada en el condensador
equivalente, considerando ambos condensadores en paralelo. Si analizamos con detalle el
sistema que estamos estudiando y tenemos en cuenta el signo de las cargas, veremos que,
independientemente a como esté dibujado, se corresponde con dos condensadores
colocados en paralelo. Por lo tanto, no es de extrañar que el resultado, dado que la energía
almacenada en un conjunto de condensadores es igual a la energía almacenada en su
condensador equivalente.
b
7. Una lámina de cobre de espesor b se introduce dentro de las armaduras
planas de un condensador de superficie S, tal como se indica en la figura.
¿Cuál es la capacidad del condensador antes y después de introducir la
lámina?
Sol: antes C0=ε0S/d después C = ε0S/(d-b)
d
Este problema admite dos formas de resolución, si bien en el contexto de la asignatura se
busca que el alumno resuelva este problema a partir del análisis del sistema y de la
aplicación inmediata del concepto de capacidad:
Para su resolución deberemos conocer, además del concepto de capacidad de un
condensador y su expresión correspondiente, tener clara la idea de influencia electrostática
y conocer el comportamiento de materiales conductores, así como el cálculo del campo
eléctrico en el interior del sistema (o en su caso el valor del campo eléctrico entre dos
placas planas conductoras) y el cálculo de la diferencia de potencial entre dos puntos.
El ejercicio pide la capacidad sin la placa metálica intermedia. En este caso tenemos un
condensador plano del cual conocemos la expresión de la capacidad siempre y cuando la
distancia de separación sea muy pequeña con relación al valor de las superficies de las
armaduras. Dado que en el caso contrario el cálculo sería muy complejo y saldría fuera de
los límites del presente curso y teniendo en cuenta que el problema no afirma nada el valor
de ambas magnitudes, supondremos que ambas placas están muy próximas y aplicaremos la
expresión de la capacidad de un condensador plano. Pero en el momento de resolver el
ejercicio deberemos indicarlo, por ejemplo, de esta forma:
«Suponiendo que las placas están lo suficientemente próximas como para despreciar los
efectos de borde en el condensador, su capacidad será:
S
C = ε0
d
siendo S la superficie de las placas y d la distancia de separación.»
También se podría calcular la expresión, pero para ello no hay más que seguir los pasos
vistos en las clases de teoría:
En el interior de un condensador plano, despreciando el efecto de bordes, se puede considerar que
las superficies equipotenciales son paralelas a las armaduras y el campo eléctrico, por lo tanto,
perpendicular a estas:
Tomando como superficie de Gauss un cilindro perpendicular a una de las
armaduras de forma que una de sus bases esté en el interior del conductor
(E=0), y como el campo E es tangente a la superficie lateral, sólo habrá flujo
V r
E S
de campo eléctrico a través de la otra base de la superficie, luego, por le
teorema de Gauss:
σ s-σ
1
2
r r
Qint σ .s
r
σ.
E
∫ ⋅ ds = ∫ E ⋅ ds = E ∫ ds = E.s = = → E =
S
S
S
ε0
ε0
ε0
que es constante en el interior del condensador.
Para hallar la capacidad calcularemos la d.d.p entre las armaduras siguiendo una trayectoria
perpendicular a ellas y, por lo tanto, tangente a
r
E.
2 r
2
r
σ 2
σ
Qd
Q
S
→ C = = ε0
V = ∫ E ⋅ d r = ∫ E ⋅ dr = .∫ dr = .d =
1
1
1
ε0
ε0
Sε 0
V
d
donde d es la separación entre armaduras y S la superficie de cada armadura.
A continuación introducimos la placa conductora. Si introducimos
una carga Q en una de las armaduras, al existir influencia total
entre las placas —recordemos que hemos despreciado los efectos
de borde— aparecerá una carga igual y de signo contrario en la
cara correspondiente del conductor intermedio. Dado que la carga
neta de este conductor es nula, una carga total Q aparecerá
distribuida en la superficie opuesta del conductor que, por existir
influencia total, debe encontrar la correspondiente carga -Q en la
superficie de la otra armadura del condensador. Estas cargas se
distribuirán uniformemente en las superficies de los conductores,
dado que hemos eliminado los efectos de borde.
Para calcular la capacidad hemos de aplicar la expresión:
C=
Q
V1 − V2
Q
Q
-Q
(1)
-Q
(2)
dado que la capacidades siempre un valor positivo, el punto (1) lo situaremos en la
armadura cargada positivamente (armadura de mayor potencial).
Debemos calcular la d.d.p. entre armaduras, para lo cual será necesario conocer
previamente el campo eléctrico en su interior. El procedimiento es el mismo que el seguido
para el cálculo del campo eléctrico en el interior de un condensador plano y con idéntico
resultado: un campo eléctrico perpendicular a las armaduras, con sentido desde la placa
con carga positiva hacia la negativa y valor del módulo uniforme en todo el interior y de
valor:
E=
σ
ε0
siendo σ la densidad de carga en la superficie del conductor. → σ =
Q
S
Dado que a ambos lados del conductor medio, las cargas y las
superficies son iguales, el campo eléctrico será el mismo. Para
calcular de d.d.p. entre las armaduras, seguiremos una trayectoria
perpendicular a las placas —tangente al campo eléctrico.
Asimismo hay que tener en cuenta que el campo eléctrico en el
interior del conductor es nulo y que el conductor no tiene porqué
estar situado al centro del sistema, por lo que deberemos
considerar la posibilidad más general:
Q
Q
(1’)
(1)
a
r r
E=0
2 r
d
r a r r a + br r d r r a Q
Q
⋅ dr + ∫
⋅ dr =
V1 − V2 = ∫ E ⋅ d r = ∫ E ⋅ d r + ∫ E ⋅ d r + ∫ E ⋅ d r = ∫
εS
εS
1
0
a
a +b
0 0
a +b 0
=
Q
Q
(d − (a + b )) = Q (d − b )
a+
ε0S
ε 0S
ε 0S
de donde la capacidad
C=
εS
Q
= 0
V1 − V2 (d − b )
Con lo que el problema queda resuelto.
-Q
r
E
(2’)
r -Q
E
(2)
b
d
Otra forma de resolver el problema sería considerando que el sistema es análogo a dos
condensadores planos dispuestos en serie, de igual superficie y con distancia de separación
entre armaduras “a” y “d-b-a” .
8. Se dispone de dos condensadores de capacidad C1 y C2, tras conectarlos
en paralelo se aplica a la asociación una diferencia de potencial V. Calcula
la carga que adquiere cada condensador (Q1 y Q2) así como la diferencia
de potencial entre las placas de cada uno de ellos (V1 y V2).
C1
C2
V
Si observamos el sistema, es obvio que la diferencia de potencial entre las armaduras es la
misma en ambos condensadores —están en paralelo— y además su valor es la tensión
aplicada, V.
V1 = V2 = V
Conocida la d.d.p. en bornes de cada condensador, la carga se calcula de forma inmediata
sin más que aplicar la expresión de la capacidad en función de la carga y la d.d.p.
Q 1 = C1 V
y
Q2 = C2V
Con lo que el ejercicio está resuelto.
10. Sea una esfera conductora, con centro en O y
radio R. Dicha esfera, que se encuentra conectada a
tierra (potencial nulo) está sometida a la influencia
de una carga puntual q, situada a una distancia d de
O (d>R). Calcula la carga que aparece en la esfera
en función de q, R y d.
R
Sol: Q = −q
d
R
q
O
Q
d
Para resolver este ejercicio se deben tener en cuenta las propiedades de un conductor —
potencial constante y distribución superficial de la carga—, las propiedades de la tierra —
potencial cero— y que el potencial resultante en un punto se obtiene aplicando el principio
de superposición a los potenciales creados por todas las cargas presentes en el sistema.
Si estudiamos el sistema, observamos que la geometría de todos los cuerpos presentes en el
mismo y sus posiciones relativas, es conocida, así como el valor de la carga puntual. La
única condición que nos da el problema y que nos debería permitir calcular la carga de la
esfera, es que al estar conectada a tierra su potencial es nulo: Entonces, elegido un punto
cualquiera de la esfera, su potencial, que depende de Q y de q, debe ser nulo.
Calcular el potencial debido a Q puede ser complicado. Por una parte Q es no uniforme —
cosa que deducimos de analizar cuál sería la respuesta del conductor ante la influencia de
q— y se encuentra distribuido en parte de una superficie esférica. El potencial creado por
una distribución superficial de carga tiene como expresión general:
σds
r
S
V = K∫
donde, en nuestro caso, σ no es constante. Ahora bien, teniendo en cuenta que la carga de la
esfera, Q, se relaciona con la densidad de carga, σ, a través de la expresión:
Q = ∫ σds
S
si encontramos un punto equidistante a todas las cargas, r=cte, el valor de r saldría de la
integral y el problema sería fácilmente resoluble.
Ese punto existe y es el centro de la esfera que, por definición de esfera, equidista de todos
los puntos de la superficie, r=R. Entonces
σds
σds K
K
= K∫
= ∫ σds = Q
R
R
RS
r
S
S
El potencial del centro de la esfera será el creado por la carga Q, que acabamos de calcular,
y el debido a la presencia de la carga puntual q. La suma de ambos potenciales debe ser
nula por estar la esfera conectada a tierra.
V = K∫
VC = K
Q
q
+K =0
R
d
→
Q
q
=−
R
d
→
Q=−
R
q
d
lo que nos ha permitido calcular el valor de la carga Q en función de parámetros conocidos.
14. Sea un condensador (1) de capacidad C sometido a una
diferencia de potencial V1, y otros dos de igual capacidad y
descargados. Tras aislar el primer condensador se asocia a los
otros dos tal como se muestra en la figura. Calcula las cargas
que adquieren los tres condensadores, Q1, Q2, y Q3.
2
1
Sol: Q1 = V1C; Q2 = Q3 = V1C
3
3
(1)
C
A
B
V1
C
A
B
Q1
C
C
Q2
Q3
Al conectar el condensador (1) a la d.d.p. V1, adquiere una carga Q = C1 V1 = CV1 .
Al aislar este condensador la carga permanece en el mismo.
El siguiente paso consiste en conectar el condensador cargado con carga CV1 a dos
condensadores dispuestos en serie, tal como se indica en la figura. Es de esperar un trasvase
de carga al conjunto de ambos condensadores. Para su cálculo reduciremos el sistema a dos
condensadores, el condensador (1) y el equivalente de los otros dos.
Los dos condensadores en serie tienen como equivalente:
C eq
Luego el sistema a estudio es:
1 1
= + 
C C
−1
=
C
2
Q1
Qe
C
C/2
donde la carga inicial del condensador (1) se ha distribuido entre ambos condensadores, de
forma que
Q1 + Qe = CV1
Por otra parte la d.d.p. entre los terminales de ambos condensadores tiene un mismo valor y
diferente de la tensión inicial V1:
Q1 Q e
=
→ Q1 = 2Q e
C C
2
De donde, sustituyendo en la ecuación anterior
V1′ = V2′
2Q e + Q e = CV1 →
→
Qe =
CV1
,
3
y por lo tanto
Q1 = 2Q e = 2
CV1
3
Dado que Qe es la carga que entra en un sistema equivalente a dos condensadores en serie
(2) y (3), cada uno de ellos tendrá la carga Qe calculada:
Q 2 = Q3 =
Con lo que el problema queda resuelto.
CV1
3