herramientas on-line como apoyo al aprendizaje de matemáticas

PON-C-09
HERRAMIENTAS ON-LINE COMO APOYO AL APRENDIZAJE DE
MATEMÁTICAS
O. Arratia (1), M. A. Martín (2), M. T. Pérez (3)
Dpto. de Matemática Aplicada, E.T.S. de Ingenieros Industriales, Universidad de Valladolid,
Paseo del Cauce s/n, 47011 Valladolid, España
[email protected](1) [email protected](2) [email protected](3)
ÁREA TEMÁTICA: NUEVAS TECNOLOGÍAS APLICADAS A LAS
ENSEÑANZAS TÉCNICAS
RESUMEN
En la actualidad una de las tendencias más significativas en la enseñanza universitaria aboga por
el autoaprendizaje del alumno mediante su trabajo autónomo a través de una correcta
estimulación y motivación por parte del docente. Esto significa que el papel del profesor
universitario ha de modificarse, dejando de estar en el centro para pasar a un segundo plano. Este
cambio de escenario no supone una perdida de importancia del trabajo del docente sino bien al
contrario éste adquiere una nueva dimensión en la medida que se constituye en guía y artífice del
autoaprendizaje. Actualmente el profesor cuenta con la inestimable ayuda de las nuevas
tecnologías, que le permiten organizar y mostrar contenidos de forma mucho más atractiva así
como elaborar materiales dirigidos al aprendizaje y diseñar herramientas que le sean útiles en su
labor educativa. En este trabajo se describe una de las herramientas elaboradas para fomentar el
trabajo autónomo del estudiante en relación con las asignaturas de Matemáticas y más
concretamente un sitio Web cuyas páginas recogen conocimientos, problemas e informaciones
adicionales que pueden ser de gran utilidad para el estudiante.
PALABRAS CLAVE: Internet; Autoaprendizaje; Autoevaluación; Nuevas
Tecnologías
1. INTRODUCCIÓN
Uno de los problemas más graves con los que se encuentra el docente universitario en nuestros
días es la pasividad con la que el alumno se enfrenta al aprendizaje de las distintas materias. Si
esto ya es grave de por sí, más lo es en el plano de las enseñanzas técnicas, que tienen un
carácter marcadamente aplicado y experimental. La forma de enseñanza que tradicionalmente se
viene usando en nuestra Universidad, basada fundamentalmente en la clase magistral, hace que
el problema se agudice ya que el alumno va a clase esperando que el profesor sea el que le
resuelva todos los problemas y adoptando una actitud estática y poco participativa. Para atajar
dicha situación, dentro de las nuevas tendencias en pedagogía universitaria está adquiriendo cada
vez mayor fuerza – y más con la adaptación al espacio de educación superior europeo propuesto
por la declaración de Bolonia – la potenciación del aprendizaje autónomo y del trabajo individual o
en grupo del alumno, quien debe ser un actor principal en su aprendizaje. En este sentido, son
factores muy importantes la estimulación y la motivación.
En la actualidad, los docentes universitarios contamos con herramientas de inestimable valor para
llevar a cabo nuestra labor docente que, convenientemente utilizadas, permiten obtener buenos
resultados. Nos referimos a los recursos multimedia y, sobre todo, a Internet. Ambos permiten un
aprendizaje autoguiado y nos dotan de un eficaz instrumento para conseguir motivar al estudiante
y estimular su curiosidad científica.
Tratando de aplicar todos estos conceptos en la práctica, los autores de la ponencia han elegido la
asignatura de Cálculo II de Ingeniería Industrial de la Universidad de Valladolid para introducir, en
los últimos cursos académicos, una metodología que facilite a los estudiantes la asimilación de los
contenidos, metodología que se asienta en tres pilares básicos: en primer lugar la integración en
la clase magistral de presentaciones multimedia en las que se incluyen ejemplos prácticos de la
tecnología utilizada en la actualidad y relacionada con la teoría presentada, en segundo lugar, el
uso y manejo de un manipulador simbólico, que dota al alumno de una herramienta muy potente
para comprobar los cálculos que realiza como parte de su trabajo personal y, finalmente, la
utilización de una página Web creada por los autores de esta comunicación, que contiene, por un
lado, secciones generales útiles para los alumnos de asignaturas de Matemáticas de cualquier
titulación y, por otro lado, otras diseñadas específicamente para el trabajo relacionado con la
asignatura de Cálculo II.
La comunicación se centra en la descripción de esta página Web, en la que destacamos una
sección dedicada específicamente a la resolución de problemas de la asignatura. Dicha sección,
que requiere de la complicidad del alumno, ha sido diseñada para que funcione como un profesor
virtual. En ella se guía al alumno a lo largo de la resolución de varios problemas relacionados con
la materia. En la actualidad se está trabajando para añadir a esta página una sección con
cuestionarios interactivos, que permitan al alumno realizar la autoevaluación de sus
conocimientos.
2. MOTIVACIÓN Y OBJETIVOS
Es de prever que la puesta en marcha del nuevo sistema educativo preconizado por la declaración
de Bolonia suponga una reestructuración de los contenidos de Matemáticas que se impartirán en
las titulaciones de Ingeniería, ya que la nueva división de los estudios en grado y postgrado hace
que seguramente tengamos que olvidarnos de las asignaturas actuales. Sin embargo parece
obvio que los contenidos básicos de Matemáticas han de jugar un papel de primer orden en las
nuevas titulaciones y entre ellos el Análisis Numérico tendrá una posición especialmente
relevante.
La nueva metodología de enseñanza y de evaluación que se empleará situará en un primer plano
el trabajo del alumno. Centrándose en esta nueva tendencia educativa, los autores han ido
adaptando en los últimos cursos los métodos de enseñanza a las que serán las nuevas
exigencias. En concreto se ha trabajado sobre la asignatura de Cálculo II, encuadrada en el
segundo cuatrimestre de primer curso, es obligatoria y consta de seis créditos (4,5 teóricos, 0.75
prácticos en aula y 0.75 de laboratorio informático). Pretende ser una introducción a los métodos
elementales del análisis numérico, la teoría diferencial local de curvas y superficies, así como al
cálculo vectorial básico. Esta asignatura presenta una serie de particularidades que hacen que
sea especialmente atractiva a la hora de desarrollar el trabajo docente en el sentido que venimos
apuntando puesto que como veremos a continuación permite el uso de diversas herramientas
informáticas como apoyo de su enseñanza.
Para el desarrollo de las clases prácticas en el laboratorio de informática se ha elegido un
manipulador simbólico, en concreto Maple, que posee grandes capacidades algebraicas, de
cálculo y gráficas, pero a la vez, es de fácil manejo y posee una ayuda en línea bien diseñada. El
uso del manipulador en esta asignatura está descrito en [2] por lo que no entraremos en muchos
detalles. Solamente queremos destacar aquí que este programa es de gran utilidad para los
alumnos no sólo en la asignatura sino en los cursos posteriores, lo que se ha puesto de manifiesto
en las respuestas a los cuestionarios realizados por los alumnos como evaluación de la
metodología empleada.
Por otro lado, en los dos últimos cursos se ha pasado a exponer la teoría con la ayuda de
presentaciones multimedia en algunos grupos de clase, haciendo que la presencia de las nuevas
tecnologías sea aún mayor en la asignatura. El uso de este tipo de material facilita la comprensión
espacial y en el caso del Análisis Numérico permite mostrar los resultados de la experimentación
numérica de forma completa, siendo impensable escribirlos todos en la pizarra; incluso, el
ordenador permite el uso in situ de código que, ejecutado, obtiene en el mismo momento los
resultados numéricos. Facilita a su vez los dibujos de superficies y curvas en el espacio y la
introducción de imágenes y ecuaciones complicadas que de otra forma serían muy tediosas de
escribir. En referencia a los contenidos se han introducido ejemplos ilustrativos de la vida real para
conectar la teoría de cada tema con la práctica. Hemos de señalar que los alumnos familiarizados
con esta técnica expositiva han mostrado un gran entusiasmo con respecto a ella.
Finalmente, y es lo que nos ocupa en esta comunicación, como complemento, se ha elaborado
una página Web, alguna de cuyas secciones va dirigida especialmente a los alumnos de esta
asignatura, aunque algunos otros de sus contenidos son más generales y pueden ser utilizados
por cualquier alumno de la carrera, que esté cursando los primeros años pero que también
pueden servir a aquellos que estén en los últimos cursos.
Uno de los objetivos fundamentales de esta página es inculcar el sentido del autoaprendizaje
como método de trabajo habitual e implicar al alumno en el estudio diario de la asignatura, lo que
le permitirá seguir las clases teóricas con mayor interés. Junto con el uso del manipulador
simbólico, pretende proporcionar al alumno una herramienta con la que obtener la solución de
problemas sin la dependencia del profesor, capacitándolo para su autoevaluación en la resolución
de ejercicios.
Figura 1.- Página de presentación de la sección Contenidos Matemáticos.
3. LA PÁGINA WEB.
Como hemos comentado en la sección anterior, esta página Web pretende ser una herramienta
para el autoaprendizaje del alumno. Uno de sus primeros objetivos es mostrar al alumno una serie
de contenidos que en muchos casos son prerrequisitos para cursar las asignaturas de la carrera y
que, a veces, no son fáciles de encontrar en los libros. La principal diferencia con estos últimos se
encuentra fundamentalmente en la presentación: se ha cuidado especialmente para que resulte
atractiva y amena al usuario y para que sea fácilmente comprensible sin perder en ningún
momento la rigurosidad que debe caracterizar al conocimiento científico. Se ha pretendido que, en
todo momento, la página resulte de gran impacto visual jugando con el color y la forma,
introduciendo gran número de imágenes, tanto fotos como dibujos, gráficos, esquemas y
animaciones que unas veces son un elemento de atracción de la atención mientras que otras son
ilustrativas de ciertos contenidos. A su vez se ha potenciado la capacidad de navegación a través
de las distintas secciones así como dentro de una misma página para que los contenidos sean
fácilmente accesibles desde cualquier punto. También, cuando ha parecido conveniente, algunos
contenidos se despliegan en ventanas auxiliares que permiten mantenerlos en la pantalla hasta
que el usuario lo estime oportuno.
En cuanto a los datos técnicos, se puede acceder a esta página a través de un enlace desde la
página de la sección del Departamento de la Escuela de Ingenieros pinchando en el epígrafe que
lleva por título “Invitación a las matemáticas” o directamente accediendo a la dirección
http://wmatem.eis.uva.es/~matpag
La versión inicial de este sitio web comenzó a funcionar en el año 2000 con unos contenidos muy
básicos. Posteriormente nuestro grupo de trabajo observó la gran potencialidad pedagógica que
presentaba para nuestros alumnos y en 2003 se procedió a una renovación completa de
estructura y contenidos que seguimos desarrollando en la actualidad bajo un formato visual más
homogéneo y atractivo. Para ello, algunos miembros del equipo han tenido que formarse en el
manejo de programas adecuados. El diseño general se ha realizado con el programa
Dreamweaver de Macromedia y se han utilizado diversos programas auxiliares para el diseño
gráfico y las animaciones.
Este sitio Web ha sido, lógicamente, concebido como un ente dinámico que irá renovándose y
aumentando sus contenidos y pretende incorporar las sugerencias de sus usuarios en la medida
que sea posible y parezca razonable. En los apartados siguientes describimos más en detalle su
estructura y contenidos.
3.1 Estructura
La página comienza con una breve animación que es una invitación a su uso: hace hincapié en el
concepto del sitio como descubrimiento personal y en la búsqueda de la comprensión de los
contenidos sin el miedo tradicional a la abstracción matemática; no en vano hemos denominado a
este sitio Web “Invitación a las Matemáticas”. Esta breve animación se puede omitir y en este caso
se pasa a la página principal. En ella se puede encontrar una breve introducción al sitio Web a
modo de bienvenida. En la parte superior de la pantalla aparece una barra de navegación (se
puede ver en la figura 1) con las secciones principales y que permanece visible durante toda la
navegación. Las secciones que se muestran en la barra son:
• Página principal
• Contenidos matemáticos
• Juegos y ejemplos
• Resuelve problemas
• ¿Quiénes somos?
• ¿Es esto para ti?
• Animación de portada
• Enlaces
• Buzón
Todas las páginas del sitio presentan tres marcos, el de la parte superior contiene el menú de
navegación que acabamos de describir. La parte inferior se encuentra dividida, a su vez, en dos
marcos. El de la izquierda, más estrecho, contiene los menús auxiliares de navegación,
incluyendo el índice de la sección en la que nos encontramos con sus apartados y subapartados,
lo que permite cambiar de una página a otra en la misma sección y desplazarse a lo largo de la
página que se encuentra desplegada en el marco de la derecha. El marco izquierdo también nos
permite, de forma muy visual, el acceso a información auxiliar (véanse figuras 4 y 5) mediante
enlaces a otras páginas. El marco derecho, que es más ancho, muestra la información más
relevante.
Figura 2.- Algunos contenidos de la subsección Cuádricas.
En general, todas las secciones tienen una pantalla de presentación en la que se describen sus
objetivos y el tipo de contenidos que se puede encontrar en ella. A estos contenidos se puede
acceder a través de los menús del marco de la izquierda o bien mediante enlaces situados en la
ventana de la derecha.
3.2 Contenidos
A continuación describimos más en detalle los contenidos que se encuentran en cada una de las
secciones que tiene el sitio Web.
Figura 3.- Algunos contenidos de la subsección Números complejos.
A través de la página de presentación de la sección Contenidos Matemáticos (figura 1), en la que
se describen sus objetivos, se puede acceder, mediante un menú desplegable en el marco de la
izquierda, a las subsecciones:
• Teoría de conjuntos,
• Operaciones y estructuras algebraicas,
• Relaciones y aplicaciones,
• Sistemas numéricos:
o Números reales,
o Números complejos,
• Funciones elementales reales
• Geometría:
o Geometría afín y euclídea
o Cónicas
o Cuádricas
En la figura 2 y 3 se muestran algunos de los contenidos que se pueden encontrar en las
subsecciones de cuádricas y números complejos.
La sección Juegos y Ejemplos presenta algunas curiosidades y entretenimientos basados en
distintos conceptos matemáticos que pueden hacer pasar un buen rato al navegante.
Figura 4.- Ejemplo de enunciado de un problema.
En la sección Resuelve problemas el estudiante puede encontrar una serie de problemas con
resolución interactiva. Esta página pretende actuar como un profesor virtual que asista al alumno
cuando aborde la resolución de aquellos. Por ello no muestra directamente la solución, sino que
marca una serie de pasos y etapas que el usuario debe seguir para obtenerla por sí mismo. Esta
guía virtual se encuentra en las indicaciones que aparecen en el marco izquierdo (figuras 4 y 5).
Además en este marco se encuentran enlaces que permiten acceder a páginas que contienen los
resultados y conceptos de teoría que se van a utilizar en la resolución de los distintos apartados
del problema y que se despliegan en ventanas auxiliares para que estén a disposición del
estudiante durante todo el proceso y los pueda consultar en cualquier momento. Finalmente, se
pueden cotejar los resultados obtenidos pinchando en los enlaces con título nuestra solución. Por
supuesto, este profesor virtual debe contar con la complicidad del alumno, que ha de seguir las
instrucciones y los pasos que se le proponen. Obviamente, de nada serviría si el estudiante mira
en primera lugar la solución.
Finalmente se encuentran las secciones Enlaces y Buzón. En la primera de ellas se incluyen
enlaces con otros sitios Web en las que se puede encontrar información complementaria o
relevante relacionada con Matemáticas y en la segunda se invita a enviar vía correo electrónico
las sugerencias o comentarios que se desee a los creadores del sitio.
Figura 5.- Ejemplo de ayuda para la resolución de un problema.
3.3 Uso de la página por parte de los alumnos
Ninguna experiencia docente puede considerarse completa sin un proceso posterior de evaluación
que tenga en cuenta la opinión de los alumnos y contraste en qué medida los objetivos iniciales
han sido alcanzados. Por ello, nos hemos planteado un estudio estadístico que ponga de relieve el
grado de aprovechamiento alcanzado por los alumnos una vez transcurrida la mayor parte del
curso.
Se ha elaborado una encuesta que consta de cuestionarios mediante los que se ha tratado de
conseguir información acerca de aspectos tales como su familiaridad con la informática, el grado
de utilización de los recursos que se han puesto a su disposición o la valoración subjetiva de los
mismos. De esta manera se han incluido preguntas tanto con respuestas cerradas como con
respuestas abiertas.
Analizadas las respuestas dadas por nuestros estudiantes a estos cuestionarios, se pueden
extraer, entre otras, las conclusiones que resumimos a continuación. Hemos encontrado algunos
inconvenientes, el uso del ordenador en los alumnos de primer curso no es tan frecuente como se
podría suponer aunque va aumentando año tras año, la fluidez en el manejo de programas de
cierta complejidad, como es el manipulador simbólico que se propone en la asignatura se ve
frenada por el bajo nivel matemático de los alumnos de bachillerato y todavía no esta difundido el
uso de Internet como una herramienta de trabajo en la carrera aunque se nota una tendencia
alcista en el uso del sitio Web que constituye el objeto de esta comunicación. Otros datos indican
que nos movemos por el buen camino, muchos alumnos han expresado su entusiasmo en
relación con las presentaciones multimedia que se desarrollan en el aula y alguno de los
contenidos de la página, opinión que va creciendo a medida que los alumnos se familiarizan con
esta nueva forma de aprender. Resumiendo, si bien el uso de la página no es tan generalizado
como nos gustaría, consideramos que merece la pena seguir trabajando en este sentido y que al
llegar Bolonia se verá un incremento en el manejo de este tipo de material.
4. AMPLIACIÓN DE HERRAMIENTAS MULTIMEDIA.
En la actualidad, estamos trabajando en la introducción de cuestionarios interactivos en la página
Web que permitan al alumno llevar a cabo la autoevaluación de sus conocimientos. Estos
cuestionarios contendrán básicamente preguntas tipo test, con respuestas cerradas, entre las que
el alumno deberá seleccionar la correcta. Una vez cumplimentado el test tiene la opción de
enviarlo electrónicamente, en cuyo caso será procesado y en breves instantes el alumno
dispondrá de la nota obtenida en el cuestionario.
El doble objetivo inicial de estos tests es que el alumno tome conciencia de su nivel real de
conocimientos y que al mismo tiempo la superación de los ejercicios aporte una motivación extra
para el aprendizaje de la asignatura. En principio, estos tests no están diseñados para incidir de
forma directa sobre la calificación final, pero en caso de dudas acerca de la conveniencia del
aprobado de un alumno, el profesor podría analizar el trabajo desarrollado en la cumplimentación
de los diferentes tests para fundamentar su decisión.
Más adelante, cuando la aplicación informática que gestiona el tratamiento de estos tests haya
sido conveniente probada, se podría utilizar para realizar exámenes de ciertas partes de la
asignatura de una manera rápida y fiable.
En resumen, se pretende crear un entorno que ayude al alumno a seguir la asignatura de una
manera continua y que, aprovechando la atracción que provoca la utilización de las tecnologías
informáticas y de Internet, motive al alumno en la realización de los tests conforme el profesor los
vaya proponiendo.
5. CONCLUSIONES.
El sitio Web que se presenta en esta comunicación será una herramienta de inestimable ayuda
para el estudiante en el nuevo marco de enseñanza superior europeo que se implantará como
consecuencia de los principios expresados en la declaración de Bolonia, ya que fomenta y facilita
el autoaprendizaje y la autocrítica sobre el conocimiento adquirido. Si bien, en la actualidad, es
necesario una estimulación por parte del profesor para que el alumno llegue a utilizarla como una
herramienta habitual en su aprendizaje. La ampliación de sus contenidos y la introducción de
nuevos servicios fomentará su uso y la convertirá en un complemento insustituible de las
exposiciones teóricas con presentaciones multimedia.
Agradecimientos: Este trabajo ha sido parcialmente financiado por la Junta de Castilla y León.
6. REFERENCIAS.
[1] “La enseñanza superior en siglo XXI: Estrategias de futuro” Texto de la declaración de la World
Conference on Higher Education, París 1998.
[2] O. Arratia, M. A. Matín, M.T. Pérez, “Herramientas multimedia para la enseñanza de
Matemática Aplicada a la Ingeniería”, Actas del XI Congreso Universitario de Innovación Educativa
en las Enseñanzas Técnicas, Vilanova, 2003.
[3] Martha E. Aguiar, “El diálogo en el aula: ¿Una alternativa al tradicional método de selección
natural en la enseñanza de las Matemáticas?”, Tesis doctoral, Universidad de Valladolid, 2002.
[4] A. García, A. Martínez, R. Miñano, “Nueva tecnologías y enseñanza de las Matemáticas”,
Síntesis, 1995.
[5] S.R. Sánchez, I. M. Moreno, “Matemáticas en Escuelas Técnicas”, Universidad de Huelva,
1996.
[6] J. A. Fernáncez Viña, ”Análisis Matemático I”, Tecnos, 1986.
[7] D. M. Bloom, “Linear Algebra and Geometry”, Cambridge University Press, 1979.
[8] J. E. Marsden, A. J. Tromba, “Cálculo Vectorial”, Pearson Addison Wesley, 2004.