Tema 3 - Departamento de Ingeniería Aeroespacial

Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Mecánica del Vuelo - I
Tema 3: Actuaciones de Punto - Avión con Turborreactor
Damián Rivas Rivas y Sergio Esteban Roncero
Departamento de Ingeniería Aeroespacial
Escuela Técnica Superior de Ingeniería, Universidad de Sevilla
Curso 2012-2013
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Rivas & Esteban
MVI
Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Outline
1
Introducción
2
Vuelo Simétrico en el Plano Vertical
3
Vuelo Simétrico en el Plano Horizontal
4
Viraje Uniforme en Subida
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Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Outline
1
Introducción
2
Vuelo Simétrico en el Plano Vertical
3
Vuelo Simétrico en el Plano Horizontal
4
Viraje Uniforme en Subida
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Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Introduction
Actuaciones de punto: problema ⇒ cuasiestacionario:
Se desprecian:
Términos de aceleración:
V̇ , γ̇ 6= V = cte. and γ = cte.
Otros términos dependiendo del movimiento considerado.
Las actuaciones de punto que se estudiarán (movimientos):
Vuelo simétrico en un plano vertical:
Vuelo horizontal.
Vuelo de subida.
Vuelo de planeo.
Vuelo simétrico en un plano horizontal:
Viraje uniforme.
Viraje uniforme en subida.
Se considera vuelo simétrico.
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Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Vuelo Sim-PV Vuelo Hor. Vuelo Subida Vuelo Planeo Viraje Uni-PV
Outline
1
Introducción
2
Vuelo Simétrico en el Plano Vertical
Introducción Vuelo Simétrico en el Plano Vertical
Vuelo Horizontal
Vuelo de Subida
Vuelo de Planeo
Viraje Uniforme en el Plano Vertical
3
Vuelo Simétrico en el Plano Horizontal
4
Viraje Uniforme en Subida
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Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Vuelo Sim-PV Vuelo Hor. Vuelo Subida Vuelo Planeo Viraje Uni-PV
Introducción Vuelo Simétrico en el Plano Vertical
Hipótesis simplificativas:
Se desprecian las aceleraciones V̇ y γ̇
Ángulo de ataque del empuje ε = 0
Ecs. cinemáticas ⇒
ẋ = V cos γ
ḣ = V sin γ
⇒ No se usan
Ec. de la variación de la masa ⇒ Ẇ = −cE T
Ecs. dinámicas ⇒
T − D − W sin γ = 0
L − W cos γ = 0
T ≡ T (h, V , π)
⇒ D ≡ D(h, V , L)
L ≡ L(h, V , α)
Tomando L como variable de control no se necesita α
T (h, V , π) − D(h, V , L) − W sin γ = 0
L − W cos γ = 0
6 variables h, V , π, L, W , γ, y 2 ecuaciones:
habitual fijar ⇒ h, V , W , π ⇒ determinar
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γ = γ (h, V , W , π)
L = L (h, V , W , π)
← caso particular
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Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Vuelo Sim-PV Vuelo Hor. Vuelo Subida Vuelo Planeo Viraje Uni-PV
Vuelo Horizontal - I
Vuelo horizontal ⇒ También denominado vuelo a nivel.
Caso particular del vuelo simétrico en un plano vertical h = cte
h = cte ⇒ γ = 0 ⇒ Ecs. cinemáticas ⇒
Ecs. dinámicas ⇒
T −D =0
L−W =0
dependencias
⇒
funcionales
ẋ = V
Ẇ = −cE T
T (h, V , π) − D(h, V , L) = 0
L−W = 0
sustituyendo ⇒ L = W ⇒ T (h, V , π) − D(h, V , W ) = 0
4 variables h, V , π, W , y 1 ecuacion:
habitual fijar ⇒ h, W , π ⇒ determinar V = V (h, W , π)
L=W ⇒
1
ρ SV 2 CL = W ⇒
2
(
ρ (h)
V (h, W , π)
⇒ α ⇒ para V deseada
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Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Vuelo Sim-PV Vuelo Hor. Vuelo Subida Vuelo Planeo Viraje Uni-PV
Vuelo Horizontal - II
Con h, W , π fijos ⇒ T y D son funciones de V
Para turborreactor subsónico se tienen 2 posibles velocidades
de vuelo
V1 ⇒ V grande ⇒ α pequeño
V2 ⇒ V pequeña ⇒ α grande (problemas de entrada en pérdida)
En la práctica se vuela con V1
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Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Vuelo Sim-PV Vuelo Hor. Vuelo Subida Vuelo Planeo Viraje Uni-PV
Diagrama Altura-Velocidad (h − V ) - I
Fijando W y π para cada altura ⇒ 2 velocidades de vuelo.
Repitiendo para distintas alturas ⇒ obtener el diagrama de
altura-velocidad
Fig: Dominio de vuelo
Techo teórico: altura máxima a la que es posible el vuelo
horizontal rectilineo uniforme
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Vuelo Sim-PV Vuelo Hor. Vuelo Subida Vuelo Planeo Viraje Uni-PV
Diagrama Altura-Velocidad (h − V ) - II
Techo teórico: altura máxima a la que es posible el vuelo
horizontal rectilineo uniforme.
Análisis del techo teórico con las curvas T − D:
V1 y V2 son intersecciones de las curvas T − D en funcion de V .
El techo teórico ⇒ T (V ) y D(V ) son tangentes.
Habitual para muchos aviones:
La velocidad máxima (Vmax ) se encuentra en la tropopausa.
El techo teórico se encuentra en la estratosfera.
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Vuelo Sim-PV Vuelo Hor. Vuelo Subida Vuelo Planeo Viraje Uni-PV
Resolución Analítica: Avión Polar Parabólica Coeficientes Ctes. - I
Resolución Analítica ⇒ avión ⇒ CD = CD0 + kCL2 cte.

 CD = CD0 + kCL2
D = 1/2ρV 2 SCD

L = 1/2ρV 2 SCL
⇒D=
1 2
2L2
ρV SCD0 + k
2
ρV 2 S
Como ρ = ρ(h) es evidente la dependencia D(h, V , L).
Para el modelo aerodinámico se considera:
dado L = W ⇒
2W 2
1 2
ρV SCD0 + k
≡ D (h, V , W )
2
ρV 2 S
Para el modelo del empuje se consideran las condiciones en la
tropopausa (T ∗ , ρ∗ ): el superíndice ∗ indica condiciones en
Tropopausa:
T = T ∗ (π)
ρ
ρ∗
x
⇒
x = 0, 7 ⇒ en la troposfera
x = 1 ⇒ en la estratosfera
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Vuelo Sim-PV Vuelo Hor. Vuelo Subida Vuelo Planeo Viraje Uni-PV
Resolución Analítica: Avión Polar Parabólica Coeficientes Ctes. - II
Se define variables adimensionales: Eficiencia aerodinámica (E)
usando polar parabólica coef. ctes.
E=
L
C
CL
= L =
D
CD
CD0 + kCL2
E es una función CL luego existirá un CLopt ⇒ E(CLopt ) = Emax
Cálculo de CLopt y Emax :
C D0
2kCL2
dE
1
opt
−
=0
=0⇒
dCL
CD0 + kCL2
CD0 + kCL2
opt

s



C D0



CLopt =


k


+ kCL2opt + 2kCL2opt = 0 ⇒



1


Emax = q




2 C D0 k

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Vuelo Sim-PV Vuelo Hor. Vuelo Subida Vuelo Planeo Viraje Uni-PV
Resolución Analítica: Avión Polar Parabólica Coeficientes Ctes. - III
La velocidad de referencia VR se define como: VR es la V a la
que se obtiene CLopt :
1
L = W ⇒ ρVR2 SCLopt = W ⇒ VR =
2
s
2W
ρS
s
1
CLopt
⇒ VR =
s
2W
ρS
k
C D0
!1/4
El empuje de referencia se define utilizando las 2 Ec. Dinámicas:
T =D
L=W
⇒E=
L
W
W
=
⇒T =
D
T
E
Definiendo TR como el empuje que se obtiene cuando la eficiencia
aerodinámica es máxima (Emax )
TR =
W
Emax
Esto implica que para un peso dado, el empuje de referencia TR es el
empuje mínimo para un vuelo horizontal rectilíneo y uniforme
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Vuelo Sim-PV Vuelo Hor. Vuelo Subida Vuelo Planeo Viraje Uni-PV
Resolución Analítica: Avión Polar Parabólica Coeficientes Ctes. - IV
VR y TR son las variables de referencia que se emplearán para
adimensionalizar:
u=
z=
V
VR
T
TR
)
⇒u=
1
2W 2
V
⇒ D = ρu 2 VR2 SCD0 + k
VR
2
ρu 2 VR2 S
Empleando la velocidad de Referencia VR :
VR =
s
2W
ρS
k
C D0
!1/4
⇒ D = u2 W
q
Wq
W
1
u2 + 2
kCD0 + 2 kCD0 ⇒ D =
u
2Emax
u
Imponiendo la ecuación dinámica T − D = 0:
T −D =0⇒z =
W 1
T
⇒ zTR −
TR
Emax 2
u2 +
1
u2
Ecuación del Vuelo Horizontal Rectilíneo Uniforme
Adimensionalizada (VH-RU-A):
TR =
W
W 1
⇒ zTR −
Emax
Emax 2
u2 +
1
u2
=0⇒ z=
1
2
u2 +
1
u2
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Vuelo Sim-PV Vuelo Hor. Vuelo Subida Vuelo Planeo Viraje Uni-PV
Resolución Analítica: Avión Polar Parabólica Coeficientes Ctes. - V
Resistencia aerodinámica adimensional:
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Vuelo Sim-PV Vuelo Hor. Vuelo Subida Vuelo Planeo Viraje Uni-PV
Resolución Analítica: Avión Polar Parabólica Coeficientes Ctes. - VI
Operando la ecuación VH-RU-A:
z=
1
2
u2 +
1
u2
⇒ u 4 − 2zu 2 + 1 = 0 ⇒ u =
q
z±
p
z2 − 1
Resolviendo por u:

q
q
 u = z + pz 2 − 1
p
1
q
u = z ± z2 − 1 ⇒
p

u2 = z − z 2 − 1
Fijando z (z =
T
TR
⇒
V1 = u1 VR
V2 = u2 VR
) se obtien u.
Problema adimensional ⇒ simplifica mucho la formulación:
Variables dimensionales ⇒ T (h, V , π) y T (D, V , L) ⇒ 4
parámetros.
Variables adimensionales ⇒ 2 variables: z y u.
Característica de la solución ⇒ z ≥ 1 para que
√
z 2 − 1 ∈ R.
Corrobora ⇒TR mínimo valor de T en vuelo horizontal rectilíneo.
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Vuelo Sim-PV Vuelo Hor. Vuelo Subida Vuelo Planeo Viraje Uni-PV
Resolución Analítica: Avión Polar Parabólica Coeficientes Ctes. - VII
Vuelo Horizontal Adimensionalizado:
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Vuelo Sim-PV Vuelo Hor. Vuelo Subida Vuelo Planeo Viraje Uni-PV
Techo Teórico - I
La condición de techo viene dada por z = 1 ⇒ u = 1
Para z < 1 no existe solución
Para el resto de valores de z > 1 aparecen 2 soluciones.
Para cada π puede definirse un techo ⇒ NO tiene utilidad
prática.
Utilidad práctica ⇒ Calcular techo máximo para πmax ⇒ empuje
máximo (Tmax ).
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Vuelo Sim-PV Vuelo Hor. Vuelo Subida Vuelo Planeo Viraje Uni-PV
Techo Teórico - II (Troposfera)
Si el techo se encuentra en la Troposfera:
x
ρ x
ρ
∗
∗
∗
,
x
=
0,
7
⇒
T
(π
)
=
T
⇒
T
=
T
max
max
max
ρ∗
ρ∗
x
ρH x
ρ
z=1
∗
⇒
z
en
el
Techo
⇒
=1
max
h=H
ρ∗
ρ∗
T
=
T ∗ (π)
z
=
∗
zmax
∗
Ecuación característica del motor ⇒ z = zmax
Ecuación para el techo H ⇒ ρH = ρ∗
ρ
ρ∗
x
1
∗ )1/x
(zmax
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Vuelo Sim-PV Vuelo Hor. Vuelo Subida Vuelo Planeo Viraje Uni-PV
Techo Teórico - II (Estratosfera)
Si el techo se encuentra en la Estratosfera:
T
=
z
=
ρ
ρ
∗
∗
⇒ T ∗ (πmax ) = Tmax
⇒ T = Tmax
ρ∗
ρ∗
ρH
ρ
z=1
∗
∗
⇒ zmax
en
el
Techo
⇒
=1
zmax
h=H
ρ∗
ρ∗
T ∗ (π)
ρ
∗
Ecuación característica del motor ⇒ z = zmax
ρ∗
Ecuación para el techo H ⇒ ρH =
ρ∗
∗
zmax
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Techo Teórico - III
Importancia del desarrollo de las ecuaciones para el techo:
Si estamos en la troposfera ⇒ H < 11.000m = h∗ ⇒ ρH > ρ∗
∗
Implica que zmax
< 1 (Si no el techo no estará en la troposfera)
Si estamos en la estratosfera ⇒ H > 11.000m = h∗ ⇒ ρH < ρ∗
∗
Implica que zmax
> 1 (Si no el techo no estará en la estratosfera)
∗
zmax
es el parámetro que discrimina en que región se encuentra
el techo.
Para calcular la altura se emplea la relación ρ = ρ(h) de la ISA
(Atmósfera Estándar):
Para la Estratosfera
g
ρ = ρ(h) = ρ∗ e
Techo ⇒ H = h∗ −
∗
zmax
=
∗
Tmax
W
− R θ∗ (h−h∗ )
g
Rg θ ∗
g
ln
ρH
ρ∗
⇒ h − h∗ = −
∗
⇒ zmax
=
Emax ⇒ H = h∗ +
ρH
ρ∗
Rg θ ∗
g
ln
⇒ H = h∗ +
Rg θ ∗
ln
g
ρ
ρ∗
Rg θ ∗
g
∗
Tmax
Emax
W
∗
ln zmax
Para la Troposfera ⇒ ρ = ρ(h)... Hacer como ejercicio
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Vuelo Sim-PV Vuelo Hor. Vuelo Subida Vuelo Planeo Viraje Uni-PV
Techo Teórico - IV
El estudio del techo se completa con el cálculo de la velocidad
en el techo VH en forma adimensional (u = 1):
V = uVR ⇒ VR =
s
2W
ρS
k
C D0
se define VR0 =
s
!1/4
2W
ρ0 S
⇐ empleando velocidad de referencia
k
CD0
!1/4
ρ0 = sea level
Se elimina la dependencia de VR0 en la altura a través de la
densidad:
VR = VR0
r
ρ0
⇒ VH =
ρ
r
ρ0
VR con u = 1
ρH 0
Particularizando ρH para Estratosfera y Troposfera:
Troposfera VH = VR0
q
ρ0 ρ∗
ρ∗ ρH
Estratosfera VH = VR0
q
∗
=
⇒ zmax
ρ0 ρ∗
ρ∗ ρH
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ρ∗
ρH
x
∗
⇒ zmax
=
MVI
ρ∗
ρH
⇒ VH = VR0
q
⇒ VH = VR0
ρ0
ρ∗
q
∗ )1/x
(zmax
ρ0 ∗
z
ρ∗ max
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Vuelo Sim-PV Vuelo Hor. Vuelo Subida Vuelo Planeo Viraje Uni-PV
Velocidad Horizontal Máxima - I
Cálculo de la Velocidad Horizontal Máxima: Tomando la mayor
de las soluciones:
u=
q
r
q
2
z 2 − 1 ⇒ umax = zmax + zmax
−1
x
ρ
x = 0, 7 Troposfera
∗
⇒
= zmax
x = 1 Estratosfera
ρ∗
z+
zmax
p
zmax dependerá de la altura a través de ρ ⇒ para cada altura se
tiene una velocidad máxima
Vmax = VR (ρ)umax (ρ) ⇒ Vmax (ρ) = VR0
r
ρ0
umax (ρ)
ρ
Desde el punto de vista de las actuaciones nos interesa la
velocidad máxima de las máximas:
VM = (Vmax )max
Sólo habrá 1 altura a la que se obtiene VM .
Interesante obtener tanto VM como ρM
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Vuelo Sim-PV Vuelo Hor. Vuelo Subida Vuelo Planeo Viraje Uni-PV
Velocidad Horizontal Máxima - II
Obtener Vmax ⇒ maximizar Vmax (ρ) ⇒ a maximizar
Vmax
V R0
d
"
!2
Vmax
VR
0
dσ
=
ρ
ρ0 2
u
⇒σ=
⇒
ρ max
ρ0
2 #
Vmax
V R0
!2
=
2
zmax
umax
=
σ


dzmax 
zmax

=0⇒
 σ − zmax +
1 + q
dσ
2
zmax
−1
Vmax
VR
0
2
q
2
+ zmax
−1
q
σ
2
zmax
−1=0
 

q

2
q
2
dzmax

z
−
1
= umax
6= 0
z
max +
max


2
zmax + zmax
− 1  q dσ
σ − 1 = 0 ⇒
q

dzmax
2
1

2
zmax
−1
= σ zmax − 1
dσ
x
dzmax
= zmax ⇒ xzmax =
dσ
σ
q
2
2
zmax
− 1 ⇒ zmax
=
1
1 − x2
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Vuelo Sim-PV Vuelo Hor. Vuelo Subida Vuelo Planeo Viraje Uni-PV
Velocidad Horizontal Máxima - III
2
Resultado de la maximización ⇒ zmax
=
1
1−x 2
Se deduce que sólo habrá 1 máximo relativo si x < 1 por lo que la
expresión sólo es válida en la Troposfera.
∗
zmax
σH
σ∗
!x
= p
1
1 − x2
1
⇒ σH = σ∗ 1/x con x = 0, 7
p
∗
zmax 1 − x 2
Como para que el máximo se alcance en la Troposfera hH < h∗
entonces ρH > ρ∗
1
ρH = ρ∗ 1/x con x = 0, 7
p
∗
zmax 1 − x 2
Esto proporciona 1 condición para que la solución sea válida:
1
∗
zmax
<√
1 − x2
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Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Vuelo Sim-PV Vuelo Hor. Vuelo Subida Vuelo Planeo Viraje Uni-PV
Velocidad Horizontal Máxima - IV (Validez Soluciones)
Validez de las soluciones
Ley en la Estratosfera
Ley en la Troposfera
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Vuelo Sim-PV Vuelo Hor. Vuelo Subida Vuelo Planeo Viraje Uni-PV
Velocidad Horizontal Máxima - V (Validez Soluciones)
Validez de las soluciones:
∗
Si zmax
< √1
1−x 2
:
Existe un máximo en la Troposfera
VH ⇒
VH
VR0
!2
=
σH
1+x
p
1 − x2
Ley en la Estratosfera
Ley en la Troposfera
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Vuelo Sim-PV Vuelo Hor. Vuelo Subida Vuelo Planeo Viraje Uni-PV
Velocidad Horizontal Máxima - V (Validez Soluciones)
∗
Si zmax
> √1
1−x 2
:
El máximo ocurre hipotéticamente en la Estratosfera.
En la Estratosfera no hay máximos relativos.
⇒
Vmax
VR
0
2
x =1
σ
∗
zmax = zmax
σ∗
s
zmax +
=
⇒
2
zmax
−1
σ
Vmax
VR
0
2
=
∗
zmax
σ∗
+
r
∗
zmax
σ∗
2
−
1
σ2
Si aumenta ↑ h ⇒ disminuye ↓ σ ⇒ ↓ Vmax ⇒ en la Estratosfera la Vmax
sólo disminuye.
Conclusión: El máximo se encuentra en la Tropopausa
VH ⇒
VH
VR0
!2
=
∗
zmax
+
q
∗2 − 1
zmax
σ∗
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Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Vuelo Sim-PV Vuelo Hor. Vuelo Subida Vuelo Planeo Viraje Uni-PV
Velocidad Horizontal Máxima - IV
Ley en la Estratosfera
Ley en la Troposfera
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Vuelo Sim-PV Vuelo Hor. Vuelo Subida Vuelo Planeo Viraje Uni-PV
Velocidad Horizontal Máxima - V
Limitaciones por entrada en pérdida y por compresibilidad
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Vuelo Sim-PV Vuelo Hor. Vuelo Subida Vuelo Planeo Viraje Uni-PV
Introducción Vuelo de Subida - I
Hipótesis simplificativas:
Se desprecian las aceleraciones V̇ y γ̇ y ε = 0
Ecs. cinemáticas ⇒
ẋ = V cos γ
ḣ = V sin γ
Ec. de la variación de la masa ⇒ Ẇ = −cE T
Ecs. dinámicas ⇒
T (h, V , π) − D(h, V , L) − W sin γ = 0
L − W cos γ = 0
La segunda de las ec. dinámicas se puede reescribir:
n=
L
= cos γ
W
6 variables h, V , π, L, W , γ, y 2 ecuaciones:
habitual fijar ⇒ h, V , W , π ⇒ despejar
γ = γ (h, V , W , π)
L = L (h, V , W , π)
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Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Vuelo Sim-PV Vuelo Hor. Vuelo Subida Vuelo Planeo Viraje Uni-PV
Introducción Vuelo de Subida - II
Simplificación adicional:
Considerar L = W (n = 1) en el cálculo de D:
T (h, V , π) − D(h, V , W ) − W sin γ = 0
L − W cos γ = 0
⇒ sin γ =
T (h, V , π) − D(h, V , W )
W
T (h, V , π) − D(h, V , W ) ≡ Exceso de empuje
Cuando hacemos n = 1 entonces D ⇒ D(h, V , W ) = D|n=1 .
De la solución que se obtiene se ve que:
el Exceso de Empuje (T − D|n=1 ) define el ángulo de subida.
Definición de la velocidad ascensional Va :
ḣ = Va = V sin γ =
h
T (h,V ,π)−D(h,V ,W )
W
i
V
(T − D|n=1 ) V ≡ Exceso de Potencia
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Vuelo Sim-PV Vuelo Hor. Vuelo Subida Vuelo Planeo Viraje Uni-PV
Introducción Vuelo de Subida - III
Empuje necesario y Empuje disponible:
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Vuelo Sim-PV Vuelo Hor. Vuelo Subida Vuelo Planeo Viraje Uni-PV
Introducción Vuelo de Subida - IV
Las curvas γ(V ) y Va (V ) para unos h, π y W fijos:
Se anulan en 2 velocidades (V1 , V2 ) ⇒ vuelo horizontal
Presentan un máximo en alguna velocidad intermedia.
Se puede demostrar que para cada altura se satisface:
γmax ⇔ (T − D|n=1 )max
V |(Va )max ≥ V |γmax ⇒
(Va )max ⇔ [(T − D|n=1 ) V ]max
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Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Vuelo Sim-PV Vuelo Hor. Vuelo Subida Vuelo Planeo Viraje Uni-PV
Introducción Vuelo de Subida - IV (Steppest Climb)
Para W y π fijos ⇒ a cada altura ⇒ existe una V para la que γmax
Uniendo todos los máximos ⇒ Ley de vuelo: Steppest Climb
Ángulo de subida para h1 < h2 < h3
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Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Vuelo Sim-PV Vuelo Hor. Vuelo Subida Vuelo Planeo Viraje Uni-PV
Introducción Vuelo de Subida - V (Fastest Climb)
Para W y π fijos ⇒ a cada altura ⇒ existe una V para la que (Va )max
Uniendo todos los máximos ⇒ Ley de vuelo: Fastest Climb
Velocidad Ascensional Va para h1 < h2 < h3
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Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Vuelo Sim-PV Vuelo Hor. Vuelo Subida Vuelo Planeo Viraje Uni-PV
Introducción Vuelo de Subida - VI (Most Economic Climb)
Para W y π fijos ⇒ a cada altura ⇒ existe una V para la que − dW
dh
dividiendo ⇒
(
dW
= −cE T
dt
dh
= Va
dt
⇒
c T
dW
=− E
dh
Va
min
Uniendo todos los mínimos ⇒ Ley de vuelo: Most Economic Climb
Consumo de combustible por unidad de altura para h1 < h2 < h3
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Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Vuelo Sim-PV Vuelo Hor. Vuelo Subida Vuelo Planeo Viraje Uni-PV
Introducción Vuelo de Subida - VII
Se tienen las siguientes actuaciones de interes:
Ángulo de subida máxima γmax y velocidad asociada V |γmax
Velocidad ascensional máxima (Va )max y velocidad asociada
V |(Va )max
Consumo de combustible mínimo − dW
y Velocidad asociada
dh min
V |(− dW )
dh
max
Si cE T no depende de la velocidad V , entonces minimizar − dW
dh
equivale a maximizar Va
−
dW
dh
min
≡ (Va )max
La ley de vuelo Fastest Climb ≡ Most Economic Climb
En general, si cE T depende de V ambas leyes de vuelo no
coinciden
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Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Vuelo Sim-PV Vuelo Hor. Vuelo Subida Vuelo Planeo Viraje Uni-PV
Introducción Vuelo de Subida - VIII
Conforme aumenta h, la velocidad que corresponde a los máximos va
aumentando
En la Estratosfera se encuentra por lo general el techo
En el techo coinciden las leyes de vuelo.
Por definición de techo: es el valor máximo de h que se puede
alcanzar para W y πmax dados
γmax |techo = 0 y (Va )max |techo = 0
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Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Vuelo Sim-PV Vuelo Hor. Vuelo Subida Vuelo Planeo Viraje Uni-PV
Introducción Vuelo de Subida - IX
En la Troposfera:
El valor de los máximos γmax , (Va )max ,y del mínimo − dW
dh
disminuyen.
En la Estratosfera:
min
,
Los ritmos de variación cambian:
Los valores máximos ⇒ γmax, (Va )
max disminuyen
El consumo de combustible − dW
dh
min
aumenta
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Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Vuelo Sim-PV Vuelo Hor. Vuelo Subida Vuelo Planeo Viraje Uni-PV
Resolución Analítica: Avión Polar Parabólica Coeficientes Ctes. - I
Resolución Analítica ⇒ avión ⇒ CD = CD0 + kCL2 cte.

 CD = CD0 + kCL2
D = 1/2ρV 2 SCD

L = 1/2ρV 2 SCL
⇒D=
1 2
2L2
ρV SCD0 + k
⇒ D = D(h, V , L)
2
ρV 2 S
Para el modelo aerodinámico se considera:
dado que
L − W cos γ = 0
L = nW
⇒D=
1 2
2n2 W 2
ρV SCD0 + k
2
ρV 2 S
Para el modelo del empuje se consideran las condiciones en la
tropopausa (T ∗ , ρ∗ ): el superíndice ∗ indica condiciones en
Tropopausa
T = T ∗ (π)
ρ
ρ∗
x
⇒
x = 0, 7 ⇒ en la troposfera
x = 1 ⇒ en la estratosfera
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Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Vuelo Sim-PV Vuelo Hor. Vuelo Subida Vuelo Planeo Viraje Uni-PV
Resolución Analítica: Avión Polar Parabólica Coeficientes Ctes. - II
Se define variables adimensionales
Se utilizan las mismas variables adimensionales.
Eficiencia aerodinámica (E) usando polar parabólica coef. ctes.
E=
C
CL
L
= L =
D
CD
CD0 + kCL2
E es una función CL luego existirá un CLopt ⇒ E(CLopt ) = Emax
C D0
2kCL2
1
dE
opt
=0
−
=0⇒
dCL
CD0 + kCL2
CD0 + kCL2
opt

q
CD

0
 CL =
opt
k
+ kCL2opt + 2kCL2opt = 0 ⇒
1
q

 Emax =
2
CD k
0
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Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Vuelo Sim-PV Vuelo Hor. Vuelo Subida Vuelo Planeo Viraje Uni-PV
Resolución Analítica: Avión Polar Parabólica Coeficientes Ctes. - III
La velocidad de referencia VR es la V a la que se obtiene CLopt :
L=W ⇒
1 2
ρV SCLopt = W ⇒ VR =
2 R
s
2W
ρS
s
1
CLopt
=
s
2W
ρS
k
C D0
!1
4
El empuje de referencia se define utilizando las 2 Ec. Dinámicas:
VH
T =D
L=W
⇒E=
L
W
W
=
⇒T =
D
T
E
Definiendo TR como el empuje que se obtiene cuando la eficiencia
aerodinámica es máxima (Emax )
TR =
W
Emax
VR y TR variables de referencia ⇒ emplean para
adimensionalizar:
VR =
q
2W
ρS
TR =
k
CD
0
W
Emax
1/4 


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

MVI
⇒
u=
z=
V
VR
T
TR
)
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Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Vuelo Sim-PV Vuelo Hor. Vuelo Subida Vuelo Planeo Viraje Uni-PV
Resolución Analítica: Avión Polar Parabólica Coeficientes Ctes. - IV
Reescribiendo la 1a ecuación dinámica:
T−
z EW
max
−
1 2 2W
u ρS
2
1
ρV 2 SCD0
2
u=
r
k
CD
0
2
V
VR
⇓z =
ρSCD0 +
⇓
max
1
2
z−
2
⇓
max
u2 +
n2
u2
− W sin γ = 0
T
TR
⇓
!
q
CD
k
0
!
− W sin γ = 0
q1
CD k
u 2 E2W + n2 u12
1
2
2 ρS
k
n2 2W
u 2 ρS 2W
Emax =
z EW −
2
W
+ k 2n
ρV 2 S
0
2W
Emax
− W sin γ = 0
− Emax sin γ = 0
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Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Vuelo Sim-PV Vuelo Hor. Vuelo Subida Vuelo Planeo Viraje Uni-PV
Resolución Analítica: Avión Polar Parabólica Coeficientes Ctes. - V
Reescribiendo la 2a ecuación dinámica:
L − W cos γ = 0 ⇒ n = cos γ
z−
1
2
u2 +
n2
u2
− Emax
en forma ⇓ adimensional
sin γ = 0 ⇒ z − 12 u 2 +
⇓
cos2 γ
u2
− Emax sin γ = 0
multiplicando por u 2 y haciendo cos2 γ = 1 − sin2 γ
u 2 z − 21 u 4 −
1
2
+
1
2
⇓
sin2 γ − u 2 Emax sin γ = 0
⇓
sin2 γ − 2Emax u 2 sin γ + 2u 2 z − u 4 − 1 = 0
solución ⇓ general
q
2 u 4 − 2zu 2 − 1 − u 4
sin γ = Emax u 2 ± Emax
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Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Vuelo Sim-PV Vuelo Hor. Vuelo Subida Vuelo Planeo Viraje Uni-PV
Resolución Analítica: Avión Polar Parabólica Coeficientes Ctes. - VI
Solución general ⇒ sin γ = Emax u 2 ±
q
2 u 4 − 2zu 2 − 1 − u 4
Emax
Para llegar a resultados analíticos posteriores se hace la simplificación
n = 1 (L = W ) en el cálculo de la resistencia:
sin γ =
1
2
= u sin γ ⇒
Va
VR
1
Emax
z−
1
u2
u
Emax
h
u2 +
⇓
empleando defn. de
Va
VR
=
z−
1
2
u2 +
1
u2
i
Solución del
vuelo horizontal
Dominio de
Subida
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Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Vuelo Sim-PV Vuelo Hor. Vuelo Subida Vuelo Planeo Viraje Uni-PV
Resolución Analítica: Avión Polar Parabólica Coeficientes Ctes. - VI
Se tendrá subida (γ > 0) cuando z >
1
2
u2 +
1
u2
El dominio de subida es la región interior de la curva
Solución del
vuelo horizontal
Dominio de
Subida
Ventaja al adimensionalizar:
γ = γ(u, z) ⇔ γ = γ(h, V , π, W )
Leyes de vuelo para modelo implificado de polar parabólica de
coef. cte. y de motor cuyo empuje no depende de la velocidad.
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Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Vuelo Sim-PV Vuelo Hor. Vuelo Subida Vuelo Planeo Viraje Uni-PV
Steepest Climb - I
Cálculo de γmax : Steppest Climb ⇒ Subida más pronunciada:
Se busca a cada altura h, la velocidad V que hace γmax :
sin γ =
d sin γ du z=cte
1
Emax
= 0 ⇒ −u +
z−
1
u3
1
2
u2 +
1
u2
⇓
= 0 ⇒ u 4 = 1 ⇒ u|γmax = 1
⇓
sin γmax =
z −1
Emax
Se puede observar que u|γmax no depende de z (empuje
adimensional).
Se puede observar también que sin γmax varia linealmente con z.
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Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Vuelo Sim-PV Vuelo Hor. Vuelo Subida Vuelo Planeo Viraje Uni-PV
Steepest Climb - II
Vuelo en subida óptimo:
Dominio de Subida
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Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Vuelo Sim-PV Vuelo Hor. Vuelo Subida Vuelo Planeo Viraje Uni-PV
Steepest Climb - III
Ángulo de subida y velocidad ascensional máxima:
sin γmax =
z −1
Emax
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Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Vuelo Sim-PV Vuelo Hor. Vuelo Subida Vuelo Planeo Viraje Uni-PV
Steepest Climb - IV
Considerando el problema adimensional:
z=
T
TR
⇒ TR =
W
Emax
T
W
⇒z=
T
W
Emax ⇒ sin γmax =
1
T
−
W
Emax
= τ ⇒ relación Empuje/Peso
Atendiendo al modelo de empuje:
T = T ∗ (π)
ρ
ρ∗
x
:
Esto implica que h ↑ ⇒ ρ ↓ ⇒ T ↓ ⇒ γmax ↓
La variación de γmax con h cambia al llegar a la tropopausa y se
vuelve drástica
Justificado por el exponente ⇒
x = 0, 7 ⇒ en la troposfera
x = 1 ⇒ en la estratosfera
Luego para ∆h iguales provoca ∆ρ(< 0) mayores.
max
Esto crea reducciones de empuje mayores ⇒ − d γdh
⇒ mayor
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Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Vuelo Sim-PV Vuelo Hor. Vuelo Subida Vuelo Planeo Viraje Uni-PV
Ritmos de Variación Steepest Climb
Ritmos de variación del Steepest Climb:
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Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Vuelo Sim-PV Vuelo Hor. Vuelo Subida Vuelo Planeo Viraje Uni-PV
Steepest Climb - V
Cálculo de V |γmax : Steppest Climb ⇒ Subida más pronunciada:
Se busca primero calcular u|γmax para poder después calcular
V |γmax usando la relación ⇐ u|γmax =
V |γmax
VR
V |γmax = u|γmax VR ⇒ u|γmax = 1 ⇒ V |γmax =
s
2W
ρS
k
C D0
!1
4
Se puede ver que V |γmax depende de la altura a través de la
densidad:
↑ h ⇒↓ ρ ⇒↑ V |γmax
Para el modelo de propulsión propuesto ⇒ y para el caso de
γmax :
Velocidad independiente del empuje (idependiente de z)
⇒ V |γmax 6= f (z)
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Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Vuelo Sim-PV Vuelo Hor. Vuelo Subida Vuelo Planeo Viraje Uni-PV
Steepest Climb - VI
Comparación con resultados exactos (steppest climb): n 6= 1
Para aviones comerciales Emax ∼ 15 y T /W ∼ 0, 4
Errores significativos.
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Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Vuelo Sim-PV Vuelo Hor. Vuelo Subida Vuelo Planeo Viraje Uni-PV
Fastest Climb - I
Cálculo de Vamax : Fastest Climb:
Se busca a cada altura h, la velocidad V que hace Vamax .
⇒ Vamax
Se busca primero calcular u|Va
max
Va
VR
recordando
V
d V a R
du
z=cte
=
u
Emax
⇓
= 0 ⇒ z − 32 u 2 +
u|Va
max
h
z−
1 1
2 u2
1
2
u2 +
1
u2
i
= 0 ⇒ 2zu 2 − 3u 4 + 1 = 0
⇓
s
p
z + z2 + 3
=
3
u|Va
max
⇓
≥ u|γmax = 1
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Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Vuelo Sim-PV Vuelo Hor. Vuelo Subida Vuelo Planeo Viraje Uni-PV
Fastest Climb - II
Vuelo en subida óptimo:
Dominio de Subida
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Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Vuelo Sim-PV Vuelo Hor. Vuelo Subida Vuelo Planeo Viraje Uni-PV
Fastest Climb - III
Substituyendo la expresión de la velocidad ascensional
adimensional VVRa
Va
VR
Va
VR
u
=
Emax
=
max
Vamax =
r
1
Emax
u2 +
1
2
√
z+
1
u2
z 2 +3
3
i
⇓
z−
⇐ u|Va
max
1
2
⇓
Va
VR
VR
Emax
Vamax =
h
z−
s
=
max
r
2W
ρS
√
z+
1
Emax
s
z+
√
z+
=
z 2 +3
3
r
+
√
z+
z 2 +3
3
√3
z+
z 2 +3
p
p
z2 + 3 2 2z − z 2 + 3
3
3
⇓ dimensionalizando
1
q
p
4
k
2W
2+3 ⇐V =
2z
−
z
R
3
ρS
C
z 2 +3 2
3
k
C D0
D0
!1
4
1
Emax
⇓
s
z+
p
p
z2 + 3 2 2z − z 2 + 3
3
3
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Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Vuelo Sim-PV Vuelo Hor. Vuelo Subida Vuelo Planeo Viraje Uni-PV
Fastest Climb - IV
Ángulo de subida y velocidad ascensional máxima:
Va
VR
=
max
1
Emax
s
z+
p
p
z2 + 3 2 2z − z 2 + 3
3
3
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Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Vuelo Sim-PV Vuelo Hor. Vuelo Subida Vuelo Planeo Viraje Uni-PV
Fastest Climb - V
Es difícil predecir a priori cual será el comportamiento de Vamax
vs. h por que la dependencia está en ρ y z:
x
Emax ⇐ T = T ∗ (π) ρρ∗
ρ ↓ ⇒ VR ↑
incremento en altitud h ↑ ⇒
⇒ efectos contrapuestos
ρ↓ ⇒T ↓ ⇒z↓
z=
T
W
Para el caso de z 2 ≫ 3
Va
VR
max
Vamax ∼
=
1
Emax
√
√1
zz
ρ
r
∼
√
z 2 +3 2
3
3
z+
⇓
3
√1 z 2
ρ
∼
p
2z − z 2 + 3
1
1
ρ2
ρ
3x
2
∼ρ
3x − 1
2
2
El aumento de altitud h ↑ ⇒ disminución en Vamax :
1,1
Troposfera ⇒ x = 0, 7 ⇒ Vamax ∼ ρ 2
Estratosfera ⇒ x = 1 ⇒ Vamax ∼ ρ
)
⇒ mayor disminución Estratosfera
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Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Vuelo Sim-PV Vuelo Hor. Vuelo Subida Vuelo Planeo Viraje Uni-PV
Ritmos de Variación Fastest Climb
Ritmos de variación del Steepest Climb:
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Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Vuelo Sim-PV Vuelo Hor. Vuelo Subida Vuelo Planeo Viraje Uni-PV
Fastest Climb - VI
Comparación con resultados exactos (fastest climb): n 6= 1
Para aviones comerciales Emax ∼ 15 y T /W ∼ 0, 4
Errores insignificantes.
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Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Vuelo Sim-PV Vuelo Hor. Vuelo Subida Vuelo Planeo Viraje Uni-PV
Fastest Climb - VII
La aproximación z 2 ≫ 3 no es desacertada ya que para aviones
T
comerciales: ⇒ Emax ∼ 15 y W
∼ 0, 4 ⇒ z ∼ 6
Cálculo de V |γmax : Steppest Climb ⇒ Subida más pronunciada:
Se busca primero calcular u|Va
para poder después calcular
max
V |Va
max
usando la relación ⇐ u|Va
max
=
V |V
amax
VR
Para obtener la ley de vuelo en forma dimensional:
V |Va
max
V |Va
max
=
s

1/4
q

k
2W

V
=

R

ρS
CD

0




r √
⇒
z+ z 2 +3

=
 u|Va

3
max






T
Emax
z= W
= VR u|Va
max
2W
ρS
k
C D0
!1
4
⇓
v
s
u
2
T
1 u
tT
Emax +
Emax
√
+3
W
3 W
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Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Vuelo Sim-PV Vuelo Hor. Vuelo Subida Vuelo Planeo Viraje Uni-PV
Fastest Climb - VII
Difícil saber como evoluciona V |Vamax con altitud h:
incremento en altitud h ↑ ⇒
ρ ↓ ⇒ VR ↑
ρ↓ ⇒T ↓
⇒ efectos contrapuestos
Para el caso particular de z 2 ≫ 3:
V |Va
max
V |Va
max
∼
=
q
x
√1 ρ 2
ρ
2W
ρS
∼
q
ρx
ρ
k
CD
1
4
0
⇒
(
1
√
3
s
T
W
Emax +
r
T
W
Emax
2
+3
x = 0, 7 ⇒↑ h ⇒ ρ ↓ ⇒ V |Va
↑
max
x = 1 ⇒↑ h ⇒ ρ ↓ ⇒ V |Va
= cte.
max
El modelo simplificado (polar parabólica de coef. ctes y motor) en
la Estratosfera no depende de ρ
La V |Va
= cte. e igual a la del techo teórico
max
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Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Vuelo Sim-PV Vuelo Hor. Vuelo Subida Vuelo Planeo Viraje Uni-PV
Introducción Vuelo de Planeo - I
El vuelo en planeo se caracteriza por T = 0.
Hipótesis simplificativas:
Se desprecian las aceleraciones V̇ y γ̇ y ε = 0
Ecs. cinemáticas ⇒
Ecs. dinámicas ⇒
ẋ = V cos γ
ḣ = V sin γ
D(h, V , L) + W sin γ = 0
L − W cos γ = 0
La ecuación del consumo de combustible:
Ẇ = 0 ⇒ W = cte.
5 variables h, V , L, W , γ, y 2 ecuaciones:
habitual fijar ⇒ h, V , W ⇒ despejar
γ = γ (h, V )
L = L (h, V , )
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Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Vuelo Sim-PV Vuelo Hor. Vuelo Subida Vuelo Planeo Viraje Uni-PV
Introducción Vuelo de Planeo - II
En planeo tenemos que γ < 0, por lo que por simplificar
llamamos ángulo de descenso γd = −γ.
Hacemos la hipótesis del ángulo pequeño:
γ≪1⇒
sin γ ≃ γ
cos γ ≃ 1
La 2a ecuación dinámica:
L − W cos γ = 0 ⇒ cos γ ≃ 1 ⇒ L = W ⇒ n = 1
La 1a ecuación dinámica:
D(h, V , W ) + W sin γ = 0 ⇒ sin γ ≃ γ ⇒ D(h, V , W ) + W γ = 0
⇓
,W )
⇒ γd =
γ = − D(h,V
W
D(h, V , W )
W
La velocidad de descenso:
Vd = −
dh
D(h, V , W )
= −V sin γ = V γ ⇒ Vd = V
dt
W
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Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Vuelo Sim-PV Vuelo Hor. Vuelo Subida Vuelo Planeo Viraje Uni-PV
Introducción Vuelo de Planeo - III (Flattest Glide & Slowest Sink)
Para un peso fijo W ⇒ a cada altura ⇒ existe una velocidad para la
que:
El ángulo de descenso es mínimo V |γd :
min
Uniendo todos los mínimos ⇒ Ley de vuelo: Flattest Glide
Se verifica que γdmin no depende de la altura
La velocidad de descenso es mínima V |Vd
:
min
Uniendo todos los mínimos ⇒ Ley de vuelo: Slowest Sink
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Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Vuelo Sim-PV Vuelo Hor. Vuelo Subida Vuelo Planeo Viraje Uni-PV
Resolución Analítica: Avión Polar Parabólica Coeficientes Ctes. - I
Resolución Analítica ⇒ avión ⇒ CD = CD0 + kCL2 cte.

 CD = CD0 + kCL2
D = 1/2ρV 2 SCD

L = 1/2ρV 2 SCL
⇒D=
1 2
2L2
ρV SCD0 + k
⇒ D ≡ D(h, V , L)
2
ρV 2 S
Para el modelo aerodinámico se considera:
dado que
L − W cos γ = 0
L = nW
⇒D=
2n2 W 2
1 2
ρV SCD0 + k
2
ρV 2 S
Aproximación:
L=W ⇒n=1⇒D=
1 2
2W 2
ρV SCD0 + k
⇒ D ≡ D(h, V , W )
2
ρV 2 S
El modelo del motor no es necesario al no haber fuerza propulsiva.
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Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Vuelo Sim-PV Vuelo Hor. Vuelo Subida Vuelo Planeo Viraje Uni-PV
Resolución Analítica: Avión Polar Parabólica Coeficientes Ctes. - II
Se define variables adimensionales
Se utilizan las mismas variables adimensionales.
Eficiencia aerodinámica (E) usando polar parabólica coef. ctes.
E=
C
CL
L
= L =
D
CD
CD0 + kCL2
E es una función CL luego existirá un CLopt ⇒ E(CLopt ) = Emax
C D0
2kCL2
dE
1
opt
=0
−
=0⇒
dCL
CD0 + kCL2
CD0 + kCL2
opt
q

CD
0

 CLopt =

k
2
2
+ kCLopt + 2kCLopt = 0 ⇒


 Emax = q 1
2
CD k
0
68/ 141
Rivas & Esteban
MVI
Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Vuelo Sim-PV Vuelo Hor. Vuelo Subida Vuelo Planeo Viraje Uni-PV
Resolución Analítica: Avión Polar Parabólica Coeficientes Ctes. - III
La velocidad de referencia VR es la V a la que se obtiene CLopt :
VR =
q
2W
ρS
k
CD
1
4
0
⇒u=
V
VR
Las ecuaciones del ángulo de descenso (γd ) y la velocidad de descenso (Vd )
adimensionalizadas vienen dadas por:
γd =
D(h,V ,L)
W
⇒
(
⇓
L=W
u = VV
⇒ γd =
R
1
2Emax
u2 +
1
u2
⇓
Vd =
VR
2Emax
u 3 + u1
69/ 141
Rivas & Esteban
MVI
Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Vuelo Sim-PV Vuelo Hor. Vuelo Subida Vuelo Planeo Viraje Uni-PV
Flattest Glide - I
Cálculo de γdmin : Flattest Glide ⇒ Planeo más plano:
Se busca a cada altura h, la velocidad que hace γdmin :
d γd
du
=0⇒
1
Emax
1
u2 + 2
u
1
2Emax
γd =
2u −
2
u3
⇓
= 0 ⇒ u 4 = 1 ⇒ u|γd
=1
min
⇓
γdmin =
1
Emax
Se puede observar que u|γd no depende de z (empuje
min
adimensional).
Se puede observar también que γdmin varia de forma
inversamente proporcional con Emax
70/ 141
Rivas & Esteban
MVI
Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Vuelo Sim-PV Vuelo Hor. Vuelo Subida Vuelo Planeo Viraje Uni-PV
Flattest Glide - II
71/ 141
Rivas & Esteban
MVI
Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Vuelo Sim-PV Vuelo Hor. Vuelo Subida Vuelo Planeo Viraje Uni-PV
Flattest Glide - III
Cálculo de V |γd : Flattest Glide ⇒ Planeo más plano:
min
Volviendo a las variables dimensionales.
Se busca primero calcular u|γd para poder después calcular
min
V |γd
min
V |γd
min
usando la relación ⇐ u|γd
=
V |γ
min
= u|γd
min
VR ⇒ u|γd
min
= 1 ⇒ V |γd
min
dmin
VR
=
s
2W
ρS
k
C D0
!1
4
Se puede ver que V |γd depende de la altura a través de la
min
densidad:
↓ h ⇒↑ ρ ⇒↓ V |γd
min
72/ 141
Rivas & Esteban
MVI
Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Vuelo Sim-PV Vuelo Hor. Vuelo Subida Vuelo Planeo Viraje Uni-PV
Flattest Glide - IV
Vemos que para que γdmin sea lo menor posible interesa que
Emax sea grande:

 Emax = 20 ⇒ γdmin = 0, 05 = 2, 86◦
Emax = 40 ⇒ γdmin = 0, 025 = 1, 43◦
Típicamente ⇒

Emax = 60 ⇒ γdmin = 0, 02 = 1, 15◦
Donde se puede ver que la hipótesis del ángulo pequeño es
adecuada:
γ≪1
sin γ ≃ γ
cos γ ≃ 1
Por último, la ley de pilotaje la obtenemos de L = W :
W =
1
ρV 2 SCL
2
⇒ CL =
2W
ρSV 2
⇒ V |γd
=
min
⇓
q
2W
ρS
k
CD
1
4
0
⇒ CL =
q
CD
k
0
= CLopt
CL = CLopt y α = α|CL
opt
Siendo ambos CL y α constantes para esta ley de vuelo e iguales a
los que dan Emax
73/ 141
Rivas & Esteban
MVI
Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Vuelo Sim-PV Vuelo Hor. Vuelo Subida Vuelo Planeo Viraje Uni-PV
Slowest Sink - I
Cálculo de V |Vd : Slowest Sink ⇒ Planeo más lento:
min
Se busca a cada altura h, la velocidad V que hace Vdmin .
Se busca primero calcular u|Vd
min
recordando
V d Vd
R
du
=0⇒
Vd
VR
1
2Emax
=
1
2Emax
⇓
3u 2 −
1
u2
⇓
u|Vd
min
u 3 + u1
= 0 ⇒ u4 =
1
3
1
= √
4
3
74/ 141
Rivas & Esteban
MVI
Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Vuelo Sim-PV Vuelo Hor. Vuelo Subida Vuelo Planeo Viraje Uni-PV
Slowest Sink - II
Substituyendo la expresión de la velocidad descensional adimensional
Vd
VR
Vd
VR
u 3 + u1 ⇐ u|Vd
1
2Emax
=
1
√
4
=
min
3
⇓
2
Vd
VR
min
=
1
2Emax
Vd
VR
3
1
3− 4 + 3 4
⇓
=
min
=
4
1
√
4 3
2Emax
3
1
√2
Emax 4 33
⇓
2
dimensionalizando ⇒ Vdmin = VR √
4
1
33 Emax
⇐ VR =
⇓
Vdmin =
√2
4
33
1
Emax
s
2W
ρS
k
C D0
q
2W
ρS
k
CD
1
4
0
!1
4
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MVI
Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Vuelo Sim-PV Vuelo Hor. Vuelo Subida Vuelo Planeo Viraje Uni-PV
Slowest Sink
76/ 141
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MVI
Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Vuelo Sim-PV Vuelo Hor. Vuelo Subida Vuelo Planeo Viraje Uni-PV
Slowest Sink - III
Cálculo de V |Vd : Slowest Sink ⇒ Planeo más lento:
min
Se busca primero calcular u|Vd
para poder después calcular
min
V |Vd
min
V |Vd
min
usando la relación ⇐ u|Vd
min
= u|Vd
min
VR ⇒ u|Vd
min
=
V |V
dmin
VR
1
1
= √
= √
⇒ V |Vd
4
4
min
3
3
s
2W
ρS
k
C D0
!1
4
Se puede ver que V |Vd depende de la altura a través de la
min
densidad:
(
↑ h ⇒↓ ρ ⇒
↑ V |Vd
min
↑ Vdmin
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MVI
Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Vuelo Sim-PV Vuelo Hor. Vuelo Subida Vuelo Planeo Viraje Uni-PV
Slowest Sink - IV
La ley de pilotaje resultante para el Slowest Sink será:
L=W ⇒
1
ρV 2 SCL
2
VR =
=
V |Vd
min
CL
opt
CL | V
=
dmin
q
1
√
4
1
√
4
3
=W ⇒
2W
ρS
3
q
k
CD
2W
ρS
V2
1
=
2W
ρSCL
⇓





4
0
k
CD
⇒ CL |Vd
0
1  ⇒
4 


=
√
min
Se observa que CL |Vd
min
⇒
V |V
dmin
VR
V |V
3CLopt ⇒
dmin
VR
!2
!2
=
⇒
CL
opt
CL | V
dmin
√1
3
CL = cte.
α = cte.
> CLopt .
Comparando también las velocidades de ambas actuaciones se
observa que:
q
41 

2W
k

V | γd =
1
ρS
C D0
min
V |γ d
q
14  ⇒ V |Vdmin = √
4
min
3
k
2W

V |Vd = √41
ρS
CD
min
3
0
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MVI
78/ 141
Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Vuelo Sim-PV Vuelo Hor. Vuelo Subida Vuelo Planeo Viraje Uni-PV
Vuelo en Planeo - Influencia del Alargamiento Λ
Por último veremos la influencia del alargamiento Λ en el vuelo
en planeo:
k=
1
⇒ e ∼ 0, 8
πΛe
Para el caso de Flattest Glide:
γdmin =
1
Emax
=2
1/2
q
CD
0
kCD0 ∼ 1/2
Λ
Interesa CD0 bajo y Λ muy grande
Para el caso de Slowest Sink:
1/4
1/4
Vdmin ∼ k 3/4 CD
0
∼
CD
0
Λ3/2
Interesa CD0 bajo y Λ muy grande
Vemos que γdmin es más sensible con CD0 que Vdmin .
Vemos que Vdmin es más sensible con Λ que γdmin .
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MVI
Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Vuelo Sim-PV Vuelo Hor. Vuelo Subida Vuelo Planeo Viraje Uni-PV
Flattest Glide & Slowest Sink - I
Dominio de vuelo para γdmin y Vdmin
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MVI
Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Vuelo Sim-PV Vuelo Hor. Vuelo Subida Vuelo Planeo Viraje Uni-PV
Flattest Glide & Slowest Sink - II
γdmin y Vdmin en función de h
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Rivas & Esteban
MVI
Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Vuelo Sim-PV Vuelo Hor. Vuelo Subida Vuelo Planeo Viraje Uni-PV
Introducción Viraje Uniforme - I
El viraje uniforme es un caso particular del vuelo simétrico en el
plano vertical.
Hipótesis simplificativas:
Se desprecia la aceleración V̇ pero se retiene el término γ̇ (acel.
centrípeta)
Ángulo de ataque del empuje ε = 0
Esta maniobra requiere que µ = 0 y γ̇ 6= 0:
Ecs. cinemáticas ⇒
Ecs. dinámicas ⇒
(
ẋ = V cos γ
ḣ = V sin γ
T − D − W sin γ = 0
V γ̇
L
= W
− cos γ
g
T ≡ T (h, V , π)
⇒ D ≡ D(h, V , L)
L ≡ L(h, V , α)
Ec. de la variación de la masa ⇒ Ẇ = −cE T
Empleando la definición del factor de carga
n=
L
V γ̇
L
V γ̇
⇒
=
− cos γ ⇒ n = cos γ +
W
g
W
g
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Rivas & Esteban
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Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Vuelo Sim-PV Vuelo Hor. Vuelo Subida Vuelo Planeo Viraje Uni-PV
Introducción Viraje Uniforme - II
Se introduce el concepto de radio de giro r :
dγ
dt
ds
dt

= γ̇ 
=V

⇒
n = cos γ +
d γ dt
dt ds
V γ̇
g
⇒
1
r
=
dγ
ds
⇒r =
⇓
⇒ n = cos γ +
V
γ̇
V2
gr
83/ 141
Rivas & Esteban
MVI
Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Vuelo Sim-PV Vuelo Hor. Vuelo Subida Vuelo Planeo Viraje Uni-PV
Introducción Viraje Uniforme - III
Para aviones acrobáticos lo más impotante es que γ̇ sea lo más
grande posible:
n = cos γ +
V γ̇
g
⇒ γ̇ =
g
V
(n − cos γ)
⇓
L = nW =
γ̇ = g
q
1
ρV 2 SCL
2
⇒V =
⇓
ρSCL
2nW
(n − cos γ) ⇒ γ̇ = g
q
q
2nW
ρSCL
ρS
2W
p
√ γ
CL n−cos
n
Por lo que se puede ver que para maniobras acrobáticas
interesa:
W
S
pequeño.
ρ grande ⇒ h ⇒ pequeña.
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Rivas & Esteban
MVI
Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Vuelo Sim-PV Vuelo Hor. Vuelo Subida Vuelo Planeo Viraje Uni-PV
Introducción Viraje Uniforme - IV
Velocidad mínima a la que puede efectuarse un viraje (radio R):
Se desprecian las variaciones de ρ y de W .
Se considera la variación de γ(t) y se define como el punto de
inicio de la maniobra el punto más bajo de la maniobra.
L = nW =
n=
V2
gr
1
ρV 2 SCL
2
⇓
⇒n=
ρV 2 SCL
2W
+ cos γ(t) ⇒
=
ρV 2 SCL
2W
V2
gr
+ cos γ(t)
El cálculo de la Vmin implica que CLmax :
CL =
2W
ρgR
+
2W
ρSV 2
⇓
γ(t) =
CL =
2W
ρgR
⇓
+
V
r
cos γ(t)
t
2W
ρSV 2
cos
V
r
t
85/ 141
Rivas & Esteban
MVI
Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Vuelo Sim-PV Vuelo Hor. Vuelo Subida Vuelo Planeo Viraje Uni-PV
Introducción Viraje Uniforme - V
CLmax ⇒ inicio de la maniobra ⇒ cos Vr t = 1 ⇒ t = 0.
CL =
2W
ρgR
+
2W
ρSV 2
cos γ(t) ⇒ CLmax =
2W
ρS
2 =
Vmin
2W
CLmax − ρSgR
+
2W
2
ρSVmin
1
=
V2
gr
factor de carga máximo ⇒ n =
2W
ρgR
ρSCL
max − 1
2W
gR
+ cos γ(t) ⇒ nmax =
V2
gr
+1
Empuje necesario adimensional (u =const.):
1
2
recordando ⇒ z −
T
TR
z=
T
W
= sin γ +
D
W
n=
T
W
= sin γ +
⇒
V2
gR
1
2Emax
T
W
u2 +
n2
u2
⇓ TR =
− Emax sin γ = 0
W
Emax
= sin γ +
1
2Emax
+ cos γ(t) ⇓ u =
"
u2 +
1
u2
V
VR
u2 +
cos γ(t) +
n2
u2
VR2 2
u
gR
2 #
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Rivas & Esteban
MVI
Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Vuelo Sim-PV Vuelo Hor. Vuelo Subida Vuelo Planeo Viraje Uni-PV
Introducción Viraje Uniforme - VI - Problema - I
Aplicación numérica
Avioneta Acrobática efectuando un looping:
vuelo simétrico, µ = 0, centro de masas describiendo una
circumferencia radio R, V =const.
atmosfera en calma
CD = CD0 + kCL2
variaciones de densidad ρ durante el looping despreciables
m = 950kg, S = 14.7m2 , CLmax = 1.3, CD0 = 0.03, k = 0.073,
ρ = 1.2kg/m3 , V = 70m/s, R = 166.5m
CL =
2W
V
V
V2
2W
+
cos t y n = cos t +
2
ρgR
ρSV
r
r
gR
87/ 141
Rivas & Esteban
MVI
Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Vuelo Sim-PV Vuelo Hor. Vuelo Subida Vuelo Planeo Viraje Uni-PV
Introducción Viraje Uniforme - VI - Problema - II
n = cos 0.42t + 3 ⇒ nmax = 4
n vs. time
4
3.8
3.6
3.4
n
3.2
3
2.8
2.6
2.4
2.2
2
0
5
10
15
time [s]
88/ 141
Rivas & Esteban
MVI
Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Vuelo Sim-PV Vuelo Hor. Vuelo Subida Vuelo Planeo Viraje Uni-PV
Introducción Viraje Uniforme - VI - Problema - III
CL = 0.647 +
1056.6
V
cos
t
V2
166.5
C vs. time
L
0.9
0.85
0.8
0.75
C
L
0.7
0.65
0.6
0.55
0.5
0.45
0.4
0
5
10
time [s]
Rivas & Esteban
MVI
15
89/ 141
Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Vuelo Sim-PV Vuelo Hor. Vuelo Subida Vuelo Planeo Viraje Uni-PV
Introducción Viraje Uniforme - VI - Problema - IV
"
2 #
T
V
1
V
2
2
= sin
t + 0.0468 u + 2 cos
t + 1.0091u
W
166.5
u
166.5
T/W vs. time
1.5
1
T/W
0.5
0
−0.5
−1
0
5
Rivas & Esteban
10
time [s]
MVI
15
90/ 141
Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Vuelo Sim-PV Vuelo Hor. Vuelo Subida Vuelo Planeo Viraje Uni-PV
Introducción Viraje Uniforme - VI - Problema - IV
CL = 0.647 +
1056.6
V
2πR
cos
t ⇒T =
V2
166.5
V
CL vs. time
1
V=60m/s
V=65m/s
V=70m/s
0.9
0.8
CL
0.7
0.6
0.5
0.4
0
5
10
time [s]
Rivas & Esteban
MVI
15
91/ 141
Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Vuelo Sim-PV Vuelo Hor. Vuelo Subida Vuelo Planeo Viraje Uni-PV
Introducción Viraje Uniforme - VI - Problema - IV
CL = 0.647 +
1056.6
V
2πR
cos
t ⇒T =
V2
166.5
V
T/W vs. time
1.5
1
T/W
0.5
0
−0.5
−1
0
5
10
time [s]
Rivas & Esteban
MVI
15
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Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Viraje Uni-PH
Outline
1
Introducción
2
Vuelo Simétrico en el Plano Vertical
3
Vuelo Simétrico en el Plano Horizontal
Viraje Uniforme en el Plano Horizontal
4
Viraje Uniforme en Subida
93/ 141
Rivas & Esteban
MVI
Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Viraje Uni-PH
Introducción Viraje Uniforme - I
Viraje uniforme: caso particular del vuelo simétrico en el P.H.
Hipótesis simplificativas:
Se desprecia V̇ se retiene el término χ̇ (acel. centrípeta)
Ángulo de ataque del empuje ε = 0
Ecs. cinemáticas ⇒

 ẋ = V cos χ

ḣ = V sin χ
Ec. de la variación de la masa/consumo ⇒ Ẇ = −cE T

T −D =0
T ≡ T (h, V , π)

V χ̇ = 0 ⇒ D ≡ D(h, V , L)
L sin µ − W
Ecs. dinámicas ⇒
g

L ≡ L(h, V , α)
L cos µ − W = 0
Tomando L como variable de control no se necesita α
T (h, V , π) − D(h, V , L) = 0
L sin µ −
W
V χ̇ = 0
g
L cos µ − W = 0
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Rivas & Esteban
MVI
Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Viraje Uni-PH
Introducción Viraje Uniforme - II
7 variables h, V , π, L, W , µ, χ̇, y 3 ecuaciones:

 µ = µ (h, V , W , π)
L = L (h, V , W , π)
habitual fijar ⇒ h, V , W , π ⇒ determinar

χ̇ = χ̇ (h, V , W , π)
Otras variables:
Factor de carga:
n=
1
L
=
⇒ n = n (h, V , W , π)
W
cos µ
Radio de giro:
dχ
dt
ds
dt

= χ̇ 
=V

r =
⇒
V
χ̇
d χ dt
dt ds
⇒
1
r
=
dχ
ds
⇒r =
V
χ̇
⇓
⇒ r = r (h, V , W , π)
95/ 141
Rivas & Esteban
MVI
Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Viraje Uni-PH
Introducción Viraje Uniforme - Posibles Actuaciones - I
Para W y π fijos ⇒ a cada altura ⇒ existe una V para la que µmax y
nmax
Siendo las actuaciones para µmax y nmax las mismas.
Uniendo todos los máximos:
Maximum angle of bank µmax
Maximum load factor nmax
Ángulo de balance de la velocidad µ y factor de carga n para
h1 < h2 < h3
96/ 141
Rivas & Esteban
MVI
Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Viraje Uni-PH
Introducción Viraje Uniforme - Posibles Actuaciones - II
Para W y π fijos ⇒ a cada altura ⇒ existe una V para la que χ̇max y rmin
Las actuaciones χ̇max y rmin definen la maniobrabilidad.
Uniendo todos los máximos:
Maximum evolutory velocity χ̇max
Minimum radius of curvature rmin
Velocidad angular χ̇ y radio de curvatura r para h1 < h2 < h3
97/ 141
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MVI
Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Viraje Uni-PH
Introducción Viraje Uniforme - III
La maniobrabilidad (χ̇max y rmin ) aumenta a bajas alturas.
El factor de carga tambien aumenta bajando en altitud:
Para n grandes hay que tener en cuenta:
limitaciones estructurales y limitaciones fisiolóficas (piloto).
La evolución de µ, n, y χ̇ es similar:
El máximo de µ, n, y χ̇ disminuye con h
98/ 141
Rivas & Esteban
MVI
Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Viraje Uni-PH
Introducción Viraje Uniforme - IV
La evolución de µ, n, y χ̇ es similar:
µ = χ̇ = 0 ⇒ n = 1 cuando se vuela a la Vmin o la Vmax del vuelo
horizontal en el plano vertical.
Para cada altura alcanza un máximo para cierto valor de h.
Las velocidades a las que ocurren esos máximos aumentan con h
99/ 141
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MVI
Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Viraje Uni-PH
Introducción Viraje Uniforme - V
El comportamiento del radio de giro es distinto al de µ, n, y χ̇.
Se puede entender teniendo en cuenta que r = Vχ̇
Para cada altura r presenta dos asíntotas para Vmin y Vmax
Entre los valores de Vmin y Vmax existe una V para la que r = rmin
El valor de rmin aumenta con la altura h
La velocidad a la que se obtiene rmin mínimo aumenta con h:
V |nmax = V |µmax > V |χ̇ > V |rmin
100/ 141
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MVI
Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Viraje Uni-PH
Resolución Analítica: Avión Polar Parabólica Coeficientes Ctes. - I
Resolución Analítica ⇒ avión ⇒ CD = CD0 + kCL2 cte.

 CD = CD0 + kCL2
D = 1/2ρV 2 SCD

L = 1/2ρV 2 SCL
1 2
2L2
ρV SCD0 + k
⇒ D = D(h, V , L)
2
ρV 2 S
⇒D=
Para el modelo del empuje se consideran las condiciones en la
tropopausa (T ∗ , ρ∗ ): el superíndice ∗ indica condiciones en
Tropopausa
T = T ∗ (π)
ρ
ρ∗
x
⇒
x = 0, 7 ⇒ en la troposfera
x = 1 ⇒ en la estratosfera
VR y TR variables de referencia ⇒ emplean para
adimensionalizar:
VR =
q
2W
ρS
TR =
k
CD
W
Emax
0
1/4 






⇒
u=
V
VR
z=
T
TR





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Rivas & Esteban
MVI
Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Viraje Uni-PH
Resolución Analítica: Avión Polar Parabólica Coeficientes Ctes. - II
Reescribiendo la 1a ecuación dinámica:
T−
z EW
max
1
ρV 2 SCD0
2
−
Emax =
2
2
W
+ k 2n
ρV 2 S
⇓
1 2 2W
u ρS
2
q1
2 CD k
0
r
⇒
k
CD
0
⇓
−
u2
z−
=0⇐u=
ρSCD0 +
z EW
max
1
2
1
2
⇓
V
VR
2 ρS
k
n2 2W
u 2 ρS 2W
&z =
q
u 2 E2W + n2 u12
+
max
n2
u2
CD
0
k
2W
Emax
T
TR
!
=0
=0
=0
Reescribiendo la 2a ecuación dinámica:
L sin µ −
W
V χ̇ = 0 ⇒
g
(
u=
n=
V
VR
L
W
⇒ n sin µ − u
VR χ̇
=0
g
Reescribiendo la 3a ecuación dinámica:
L cos µ − W = 0 ⇒ n =
1
cos µ
102/ 141
Rivas & Esteban
MVI
Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Viraje Uni-PH
Resolución Analítica: Avión Polar Parabólica Coeficientes Ctes. - III
Empleando las 3 ecuaciones:
z−
n=u
p
1
2
u2 +
n2
u2
=0⇒ n=u
1
cos µ
2z − u 2 ⇒ n =
n sin µ − u VRg χ̇ = 0 ⇒
VR χ̇
g
=
n
u
p
2z − u 2
⇒ cos µ =
1
p
u 2z − u 2
p
p
sin µ ⇒ n = u 2z − u 2 ⇒ VRg χ̇ = sin µ 2z − u 2
elevando al cuadrado ⇓ sin2 µ = 1 − cos2 µ y n =
VR χ̇
g
2
1
cos µ
⇓
= 1 − cos2 µ 2z − u 2 = 1 −
p
⇓ n = u 2z − u 2
VR χ̇ 2
1
=
1
−
2z − u 2
g
u 2 (2z−u 2 )
= sin2 µ 2z − u
2
1
n2
2z − u 2
⇓
VR χ̇
=
g
s
2z −
u2 +
1
u2
103/ 141
Rivas & Esteban
MVI
Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Viraje Uni-PH
Resolución Analítica: Avión Polar Parabólica Coeficientes Ctes. - IV
El radio de giro adimensional:
VR χ̇
g
r =
=
V
χ̇
r
=
2z − u 2 +
g
VR
r
1
u2
uVR
2z− u 2 + 12
⇒ χ̇ =
⇓
⇒
u
g
VR
r
rg
= r
VR2
2z − u 2 +
u
2z − u 2 +
Como el viraje tiene que tener radio de giro finito z >
Escrito de forma dimensional ⇒ T > D|n=1
1
2
1
u2
1
u2
u2 +
1
u2
.
Si se verifica ⇒ T > D|n=1 ⇒ n y µ son reales (n > 1)
En el límite z > 21 u 2 + u12 ⇒ vuelo rectilíneo horizontal
De la ecuación que define n:
n=u
p
2z −
u2

q
 u = z + pz 2 − n2
1
q
⇒ u − 2zu + n = 0 ⇒
p

u2 = z − z 2 − n 2
4
2
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2
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104/ 141
Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Viraje Uni-PH
Resolución Analítica: Avión Polar Parabólica Coeficientes Ctes. - V
Se puede ver que como n > 1 ⇒ n ↑⇒ u1 ↓ y u2 ↑
Se estrecha el rango de u posibles:

q
 u = z + pz 2 − n2
1
q
solución viraje ⇒
p

u2 = z − z 2 − n 2
h
n=2
n=1
n=4...
V
105/ 141
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Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Viraje Uni-PH
Resolución Analítica: Avión Polar Parabólica Coeficientes Ctes. - VI
Análogamente puede verse representando T (V ), D(V )|n=1 y D(V )
106/ 141
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Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Viraje Uni-PH
Resolución Analítica: Avión Polar Parabólica Coeficientes Ctes. - VII
Si se quiere mantener V = cte es necesario aumentar el empuje T :
107/ 141
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Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Viraje Uni-PH
Resolución Analítica: Avión Polar Parabólica Coeficientes Ctes. - VIII
Se va a estudiar el sistema en el caso que conociendo V y r ó V y χ̇ se
calcula µ, n, y la ley de empuje z
V pequeña y n elevado nos proporciona alta maniobrabilidad
Se pueden reescribir las ecuaciones:
velocidad angular:
z−
VR χ̇
g
1
2
=
r
=
q
VR χ̇
g
u2 +
n2
u2
2z − u 2 +
n2
u2
−
1
u2
=
= 0 ⇒ z − 12 u 2 =
⇓
1
u2
√
=
⇓
n2 −1
u
1 n2
2 u2
r 2 z − 12 u 2 −
⇒ χ̇ =
g
1
u2
p
n2 − 1
V
radio de giro:
rg
u
u
V2
= √
= ⇒ r = p
2
VR χ̇
n2 −1
VR
g n2 − 1
g
u
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108/ 141
Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Viraje Uni-PH
Virajes Óptimos - I - nmax
Cálculo de nmax : Maximum Load Factor ⇒ Factor de carga máximo:
Se busca a cada altura h, la velocidad V que hace nmax :
recordando n = u
dn
du
=0⇒
p
2z −
u2
−
n=u
cos µ =
1
n
2
√u
2z−u 2
p
⇓
p
2z − u 2
= 0 ⇒ u 2 = z ⇒ u|nmax =
√
z
⇓
2z − u 2 ⇒ nmax = z
⇓
⇒ cos µmax =
1
nmax
⇒ cos µmax =
1
z
Dimensionalmente:
nmax =
T
Emax ⇒ h ↑ ⇒ T ↓ ⇒ nmax ↓
W
Se ve justificado el comportamiento observado al principio.
109/ 141
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Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Viraje Uni-PH
Virajes Óptimos - II - nmax
Dominio de vuelo en viraje horizontal: u|nmax =
√
z
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Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Viraje Uni-PH
Virajes Óptimos - III - nmax
Dimensionalizando: V = VR u
V |nmax = VR u|nmax =
vemos que





q
2W
ρS
k
CD
0
1 q
4
T
W
Troposefera ⇒ V |nmax ∼
√
Emax ⇒ V |nmax =
1
1−x
ρ 2
s
T
ρSCD0
⇒↑ h, ↓ ρ, ↑ V |nmax
Estratosfera ⇒ V |nmax es independiente de h
y coincide con la velocidad en el techo correspondiente al π dado
111/ 141
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Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Viraje Uni-PH
Virajes Óptimos - IV - χ̇max
Cálculo de χ̇max : Velocidad angular máxima:
Se busca a cada altura h, la velocidad V que hace χ̇max :
recordando
d
VR χ̇ 2
g
du
VR χ̇
g
=
⇓
r
2z − u 2 +
1
u2
= 0 ⇒ −2u + 2 u13 = 0 ⇒ u 4 = 1 ⇒ u|χ̇max = 1
⇓
VR χ̇
g
=
r
2z − u 2 +
1
u2
⇒ u|χ̇max = 1 ⇒
p
VR χ̇max
= 2 (z − 1)
g
Dimensionalmente:
χ̇max =
q
ρS
W
k
CD
1
4
0
√
g z − 1 ⇒ χ̇max =
vemos que h ↑ ⇒
r
ρ↓
T ↓
ρS
W
k
C D0
!1
4
g
r
T
Emax − 1
W
⇒ χ̇max ↓
Se ve justificado el comportamiento observado al principio.
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MVI
Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Viraje Uni-PH
Virajes Óptimos - V - χ̇max
Dominio de vuelo en viraje horizontal: u|χ̇max = 1
113/ 141
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MVI
Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Viraje Uni-PH
Virajes Óptimos - VI - χ̇max
Dimensionalizando: V = VR u
V |χ̇max = VR u|χ̇max = VR ⇒ V |χ̇max =
s
2W
ρS
k
C D0
!1
4
h ↑ ⇒ ρ ↓ ⇒ V |χ̇max ↑
114/ 141
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MVI
Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Viraje Uni-PH
Virajes Óptimos - VII - rmin
Cálculo de rmin : Radio de curvatura mínimo:
Se busca a cada altura h, la velocidad V que hace rmin :
recordando
2 #
=0⇒
2z − u 2 +
+ u2 −
rg
VR2
=
"
r
1
u2
=
⇓
rg
VR2
d
du
rg
VR2
r
u
2z− u 2 + 12
2u
2z− u 2 + 12
u
1
u2
u
+ u2 h
= 0 ⇒ u2 =
1
z
2u− 23
u i2
2z− u 2 + 12
u
1
⇒ u|rmin = √
z
⇓
u
2z− u 2 + 12
⇒ u|rmin =
√1
z
⇒
u
rmin g
VR2
=
1
√
z
q
2z−( z1 +z )
⇓
1
rmin g
= p
VR2
z2 − 1
115/ 141
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Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Viraje Uni-PH
Virajes Óptimos - VIII - rmin
Dimensionalmente:
rmin =
2
√VR
g z 2 −1
vemos que h ↑ ⇒
2W
ρS
⇒ rmin =
ρ↓
T ↓
g
r
T
W
k
CD
1
2
0
Emax
2
−1
⇒ rmin ↑ como se vio anteriormente
Dimensionalizando: V = VR u
V |rmin = VR u|rmin =
V
√R
z
⇐z=
T
W
Emax
⇓
V |rmin =
q
2W
ρS
k
CD
0
T E
W max
1
4
⇒ h ↑ ⇒ ρ ↓ ⇒ V |rmin ↑
116/ 141
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Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Viraje Uni-PH
Virajes Óptimos - IX - rmin
Dominio de vuelo en viraje horizontal: u|rmin =
√1
z
117/ 141
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Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Viraje Uni-PH
Virajes Óptimos - X
De los resultados obtenidos (χ̇max , rmin ),
2W
ρS
rmin =
g
r
T
W
k
CD
1
2
0
Emax
2
, χ̇max =
−1
r
ρS
W
k
C D0
!1
4
g
r
T
Emax − 1
W
Se observa que para tener una buena maniobrabilidad interesa:
Relación Empuje/Peso
Carga alar W
pequeña
S
T
W
grande
118/ 141
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Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Relación
W
S
y
T
W
Relación
Viraje Uni-PH
-I
W
S
y
T
W
en la maniobrabilidad
119/ 141
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Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Viraje Uni-PH
Diagrama de Maniobra
Hemos calculado las prestaciones de los aviones a la hora de
hacer giros:
No se han tenido en cuenta limitaciones aerodinámicas o
estructurales.
Estas limitaciones define los límites de la región dentro de la
cual debe concentrarse la maniobra.
Las limitaciones aerodinámicas están en el valor de la velocidad
de entrada en pérdida:
1
1 2
ρV SCL = nW ⇒ ρVs2 SCLmax = nW ⇒ Vs =
2
2
s
2nW
ρSCLmax
Cada factor de carga tiene una velocidad mínima asociada a la
que se puede realizar la maniobra.
También existe una limitación estructural al valor del factor de
carga.
Existe también una limitación a la velocidad máxima (V (Vmax )
que podrá ser:
origen aeroelástico, de funcionamiento del motor, compresibilidad,
etc...
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120/ 141
Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Viraje Uni-PH
Diagrama de Maniobra - I
Velocidad corner (Corner Velocity): velocidad mínima que nos permite
un factor de carga máximo
Vc =
s
2nlim W
ρSCLmax
121/ 141
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Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Viraje Uni-PH
Diagrama de Maniobra - II
En la zona cercana al corner se tiene una gran maniobrabilidad ⇒ la
velocidad (Vs ) es muy pequeña y el factor de carga (n) es elevado
122/ 141
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Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Viraje Uni-PH
Diagrama de Maniobra - III
Al igual que en el viraje horizontal, en el vuelo horizontal rectilíneo
también se pueden establecer limitaciones
123/ 141
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Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Viraje Uni-PH
Diagrama de Maniobra - IV - Efectos de Compresibilidad
La limitación por compresibilidad recoge el hecho de que cuando
aparecen efectos de compresibilidad:
la resistencia se hace mayor de lo esperado CD ↑
la velocidad de vuelo horizontal rectilíneo se ve reducida de forma
importante V ↓
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MVI
Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Viraje Uni-PH
Diagrama de Maniobra - V - Efectos de Compresibilidad
Variación del CD vs. Mach number
125/ 141
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Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Viraje Uni-PH
Diagrama de Maniobra - VI - Efectos de Compresibilidad
Variación de los coeficientes del CD vs. Mach number
CD = CD0 + k1 CL2 − k2 CL ⇒ CD0 = CD0 (M), k1 = k1 (M), k2 = k2 (M)
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Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Viraje Subida
Outline
1
Introducción
2
Vuelo Simétrico en el Plano Vertical
3
Vuelo Simétrico en el Plano Horizontal
4
Viraje Uniforme en Subida
Viraje Uniforme en Subida
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Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Viraje Subida
Introducción Viraje en Subida - I
El viraje en subida es un vuelo simétrico con V = cte y γ = cte
128/ 141
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Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Viraje Subida
Introducción Viraje en Subida - II
El viraje en subida es un vuelo simétrico con V = cte y γ = cte
consistente en un viraje.
Hipótesis simplificativas:
Se desprecia la aceleración V̇ pero se retiene el término χ̇
(acel. centrípeta)
Ángulo de ataque del empuje ε = 0
Se desprecia el término γ̇:

 ẋ = V cos γ cos χ
ẏ = V cos γ sin χ
Ecs. cinemáticas ⇒

ḣ = V sin γ
Ec. de la variación de la masa/consumo ⇒ Ẇ = −cE T

0

>


m dV
 T − D − mg sin γ = dt
Ecs. dinámicas ⇒
V χ̇ = L sin µ
cos γ W
g


0


*
d
γ
L cos µ − W cos γ = mV
dt
La tercera ecuación dinámica puede escribirse como
n=
L
cos γ
=
W
cos µ
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Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Viraje Subida
Introducción Viraje en Subida - III
⇒ El factor de carga no se puede aproximar como n = 1 ⇒ aunque
γ ≪ 1 el ángulo de balance µ no tiene por que ser pequeño.
8 variables h, V , π, L, W , µ, χ̇, γ, y 3 ecuaciones:

 µ = µ (h, V , W , π, γ)
L = L (h, V , W , π, γ)
habitual fijar ⇒ h, V , W , π, γ ⇒ determinar

χ̇ = χ̇ (h, V , W , π, γ)
T (h, V , π) − D(h, V , L) − W sin γ = 0
como ⇒
T = T (h, V , π)
D = D(h, V , L)
L sin µ −
⇒
W
g
n=
V cos γ χ̇ = 0
cos γ
cos µ
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Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Viraje Subida
Introducción Viraje en Subida - IV
⇒ Velocidad angular de viraje (2a ecuación dinámica):
L sin µ −
W
g
V cos γ χ̇ = 0 ⇒ χ̇ =
n=
χ̇ =
cos γ
cos µ
cos
γ
mg sin µ
cos µ γ
mV cos
L sin µ
mV cos γ
⇓ L = nmg
⇒ χ̇ =
g tan µ
V
⇒ χ̇ Coincide con la velocidad angular en el viraje horizontal
⇒ Puede ser útil expresar las ecuaciones en forma
adimensional empleando:
ángulo de subida ⇒ sin γ =
T −D
W
−D)
velocida de subida ⇒ V sin γ = Va = V (T W
131/ 141
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Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Viraje Subida
Resolución Analítica: Avión Polar Parabólica Coeficientes Ctes. - I
Resolución Analítica ⇒ avión ⇒ CD = CD0 + kCL2 cte.

 CD = CD0 + kCL2
D = 1/2ρV 2 SCD

L = 1/2ρV 2 SCL
1 2
2L2
ρV SCD0 + k
⇒ D = D(h, V , L)
2
ρV 2 S
⇒D=
Para el modelo del empuje se consideran las condiciones en la
tropopausa (T ∗ , ρ∗ ): el superíndice ∗ indica condiciones en
Tropopausa
T = T ∗ (π)
ρ
ρ∗
x
⇒
x = 0, 7 ⇒ en la troposfera
x = 1 ⇒ en la estratosfera
VR y TR variables de referencia ⇒ emplean para
adimensionalizar:
VR =
q
2W
ρS
TR =
k
CD
W
Emax
0
1/4 






⇒
u=
V
VR
z=
T
TR





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Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Viraje Subida
Resolución Analítica: Avión Polar Parabólica Coeficientes Ctes. - II
a
Reescribiendo
la 1 ecuación dinámica:
1
ρV 2 SCD0
2
T−
2
2
W
+ k 2n
ρV 2 S
− W sin γ = 0 ⇐ u =
⇓
z EW
max
−
Emax =
1 2 2W
u ρS
2
q1
2 CD k
0
z−
1
2
r
⇒
k
CD
0
ρSC
D0 +
z EW
max
1
2
−
2 ρS
k
n2 2W
u 2 ρS 2W
⇓
u 2 E2W + n2 u12
max
⇓
u2 +
n2
u2
!
q
CD
0
k
2W
Emax
V
VR
&z =
T
TR
!
− W sin γ = 0
− W sin γ = 0
− Emax sin γ = 0 ⇒ n(z, u, γ)
Reescribiendo la 3a ecuación dinámica:
n=
cos γ
⇒ µ(z, u, γ)
cos µ
Reescribiendo la 2a ecuación dinámica:
W
L sin µ −
V cos γ χ̇ = 0 ⇒
g
(
u=
n=
V
VR
L
W
⇒
VR χ̇
tan µ
V χ̇
=
⇒ R = f (z, u, γ)
g
u
g
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Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Viraje Subida
Resolución Analítica: Avión Polar Parabólica Coeficientes Ctes. - III
Adimensionalizando el problema se tienen 6 variables
z, u, n, γ, µ, χ̇Vg R y 3 ecuaciones:

 n = n(z, u, γ)
µ = µ(z, u, γ)
habitual fijar ⇒ z, u, γ ⇒ determinar

χ̇ = χ̇(z, u, γ)
Maniobra con V = cte y γ = cte, µ = cte:
Aunque u y z varian algo al subir (por el cambio de densidad) ⇒
puede considerarse que el ∆h es lo suficientemente pequeño.
Se puede considerar entonces ρ = cte ⇒ VR = cte y T = cte
Esto implica que las trayectorias serán:
µ = cte
u = cte
⇒ χ̇ = cte ⇒ χ = χ̇t
134/ 141
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Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Viraje Subida
Resolución Analítica: Avión Polar Parabólica Coeficientes Ctes. - IV
Introduciendo estas relaciones en las ecuaciones cinemáticas:
µ = cte
u = cte

 ẋ = V cos γ cos χ
ẏ = V cos γ sin χ
⇒ χ̇ = cte ⇒ χ = χ̇t ⇒

ḣ = V sin γ
⇓
R
γ
⇒ x ∼ V cos γ 0t cos (χ̇t)dt = V cos (γ) χ̇1 sin χ = V cos
sin χ
χ̇
Rt
V cos γ
1
⇒
y
∼
V
cos
γ
sin
(
χ̇t)dt
=
−V
cos
(γ)
cos
χ
=
−
cos χ
0
χ̇
χ̇


h ∼= V sin γt








⇒ hélice
No se han tenido en cuenta los orígenes de x0 , y0 , y h
Donde se trata de una hélice, circunscrita en un cilindro de radio
R=
V cos γ
χ̇
Dicho radio R no es el radio de la trayectoria
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Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Viraje Subida
Resolución Analítica: Avión Polar Parabólica Coeficientes Ctes. - V
Trayectoria Helicoidal:
136/ 141
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Intro Vuelo Sim-PV Vuelo Sim-PH Viraje Subida
Viraje Subida
Resolución Analítica: Avión Polar Parabólica Coeficientes Ctes. - VI
dado que ⇒











~t =
dx
dt
= ẋ = V cos γ cos χ
dy
dt
= ẏ = V cos γ sin χ
dh
dt
d~
x
ds
=
d~
x 1
dt V
y que ⇒ ~x = (x, y , h) ⇒ ~t =
d~
x
ds
=
d~
x 1
dt V
= ḣ = V sin γ
h
i
= V1 V cos γ cos χ~i + V cos γ sin χ~j + V sin γ~k
~t = cos γ cos χ~i + cos γ sin χ~j + sin γ~k
vector normal ⇒ ~n =
d~t
ds
=
d~t 1
dt V
=
1
V
d~t/dt
|d~t/dt |
h
i
− cos γ sin χχ̇~i + cos γ cos χχ̇~j = cosVγ χ̇ − sin χ~i + cos χ~j
~n =
d~t/dt
|d~t/dt |
⇓
= − sin χ~i + cos χ~j
El vector normal ~n se encuentra en el plano (x, y ), en un plano horizontal:
1
r
~ /ds = dtds
=
cos γ χ̇
V
⇒ r =
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V
R
⇒ r =
cos γ χ̇
cos2 γ
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Viraje Subida
Resolución Analítica: Avión Polar Parabólica Coeficientes Ctes. - VII
Se puede obtener la expresión de la fuerza centrífuga:
mV cos γ χ̇ = m
V2
V2
⇒r =
r
cos γ χ̇
Se puede ver que en el viraje de subida (R radio del cilindro y r
radio de curvatura de la trayectoria):
R 6=
V
V
y r 6=
χ̇
χ̇
Sin embargo se puede afirmar que r =
r =
V
ψ̇
V
ψ̇
~
ψ̇ siendo la variación con el tiempo de la dirección de V
d~t ~
V = ⇒ ψ̇ = cos γ χ̇
dt Rivas & Esteban
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Viraje Subida
Comparación del Viraje en Subida y Viraje Horizontal - I
Comparando el radio de giro del viraje, y el radio del cilindro que
inscribe a la trayectoria del viraje en subida:
R=
V cos γ
χ̇
⇒ χ̇ = g tanV µ ⇒ R =
V 2 cos γ
g tan µ
⇒ cos µ =
cos γ
n
2
⇒ R = √V
g
2
cos2 γ
n2 −cos2 γ
para el caso γ = 0 ⇒ R0 = √V 2
g
n −1
Si se hace un viraje en subida con el mismo factor de carga n y
la misma velocidad ⇒ se tiene un radio de giro menor que el
correspondiente a viraje horizontal:
R
=
R0
g
√V
2
cos2 γ
n2 −cos2 γ
g
√V
2
n2 −1
p
n2 − 1
= cos γ p
<1
n2 − cos2 γ
2
⇒ Ejemplo:
n = 3, γ = 60◦ ⇒
R
= 0, 234
R0
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Viraje Subida
Comparación del Viraje en Subida y Viraje Horizontal - II
En cuanto a la velocidad angular de viraje (velocidad de cambio de
rumbo):
χ̇ =
√
g n2 −cos2 γ
⇒ χ̇ =
V cos γ
p
g
2
para el caso γ = 0 ⇒ χ̇0 = V n − 1
g tan µ
V
⇒ cos µ =
cos γ
n
Si se hace un viraje en subida con el mismo factor de carga n y
la misma velocidad ⇒ se tiene que la velocidad de rumbo de un
viraje en subida es mayor que la que corresponde a un viraje
horizontal:
χ̇
=
χ̇0
⇒ Ejemplo:
g
√
n2 −cos2 γ
V cos γ
g
V
p
n2 − cos2 γ
=
p
>1
p
2
n −1
cos γ n2 − 1
n = 3, γ = 60◦ ⇒
χ̇
= 2, 09
χ̇0
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References I
[MVI ETSIA 2003] J.J. Martínez García y M.A. Gómez Tierno, Apuntes de
Mecánica del Vuelo I, ETSIA, 2003
[Vinh 1993] Nguyen X. Vinh, Flight Mechanics of High-Performance Aircraft,
Cambridge University Press, 1993
[Hull 2007] David G. Hull, Fundamentals of Airplane Flight Mechanics,
Springer-Verlag, 2007
[Asselin 1997] Mario Asselin, An Introduction to Aircraft Performance, AIAA
Education Series, 1997.
[Pamadi 2004] Bandu N. Pamadi, Performance, Stability, and Control of
Airplanes, 2nd Edition, AIAA Education Series, 2004.
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