Análisis Espectral de Señales determinísticas Ejercicio 1: DFT: error

Análisis Espectral de Señales determinísticas
Ejercicio 1: DFT: error de truncamiento / sub-muestreo
Calcule la transformada discreta de Fourier de X i (n)  DFT {xi (k )} de las siguientes series:
x1 (k )  sin(k / 8), para k =0
x2 (k )  sin(k / 2), para k =0
x3 (k )  sin(k 3 / 2), para k =0
7 así como también k  0
7 así como también k  0
7 así como también k  0
63
63
63
Utilice Matlab la función fft(x).
Grafique la señal en el dominio de tiempo xi(k), así como los valores absolutos de los
espectros de |Xi(n)| para ambos rangos de índices de tiempo.
En cuales casos es el espectro de la señal continua sinusoidal xi(t), reproducida
exactamente?
Ejercicio 2: DFT de series con valores reales.
Mediante el uso de la transformada discreta de Fourier (DFT) al transformar una serie de
valores reales, el resultado contiene redundancia: es un par conjugado.
Este detalle puede ser utilizado para transformar una serie de valores reales x1(k) de
longitud 2N utilizando una FFT de N puntos. Escriba una función en Matlab X1 = lfft (x1),
que use este detalle de la DFT aplicada a un conjunto real de datos. x1 tiene que ser un
vector renglon:


Determinar la longitud de la serie x1. Considere el hecho de una longitud impar de
la serie.
Descomponer la serie x1 en dos sub-series descritas por las siguientes ecuaciones:
y (k )  x1 (2k ) 

z (k )  x1 (2k  1) 

k  0,...., N  1
Construya la serie complejo x(k) utilizando las sub-series y(k) y z(k).
x( k )  y ( k )  j  z ( k )

Transforme x(k) al espectrum de X(n) y extiéndalo a una longitud de N+1. Puede
usar el comando X=[X X(1)]. Ahora determine los espectros de las sub-series y(k) y
z(k) usando las siguientes ecuaciones:
1
Y (n)  [ X (n)  X * ( N  n)]
2
1
Z (n)  [ X (n)  X * ( N  n)]
2j
Eq.3
Eq.4
Ayuda de Matlab: Para las ecuaciones 3 y 4, puede usar el comando de Matlab fliplr().

El espectro solicitado x1(k) deberá ser calculado mediante la ecuación:
X1 (n)  Y (n)  e j n/ N  Z (n)
Escriba un programa en matlab, que muestre la exactitud mediante esta aproximación, en
comparación con la función de Matlab X1=fft(x1).
Ejercicio 3: Comparación de funciones ventana.
Grafique los coeficientes f(k) y el valor absoluto del espectro normalizado F  e j  / F  e j 0 
(en dB) de una ventana rectangular, Hann, Hamming, Blackman y una Dolph-Chebyshev
(48.6 dB y 76.1 dB en la banda de atencuación) con N=63 coeficientes. Compare las
atenuaciones en las bandas de paro y la resolución espectral obtenida con el ventaneo.
Ayuda en Matlab: Las funciones ventana de longitud N son boxcar(N) (rectangular),
hanning(N), haming(N), blackman(N) y chebwin(N,dB).
La función de frecuencia continua F  e j  puede ser aproximada por una DFT F(n) de 512
puntos, es decir F  n   F  e j  para   2 n / 512 . El valor absoluto puede ser obtenido
con plot(20*log10(abs(fft(f,512)))).
Ejercicio 4: Reducción de la fuga con el ventaneo.
Grafique las dos siguientes funciones en tiempo
x1 (k )  sin(k / 8)
y
x2 (k )  sin(k /10)
para
k 0
7
y
k 0
63
Así como el valor absoluto de su FFT de 64 puntos Xi(n)=FFT{ xi(k)}.
Ahora multiplique la serie de datos xiHm (k )  xi (k )  f Hm (k ) con una ventana Hamming
f Hm (k ) y nuevamente grafique las dos series de tiempo de xiHm (k ) , así como también el
valor absoluto de sus FFT´s de 64 puntos de xiHm (k ) .
Cuales son los efectos de la ventana de Hamming en los valores absolutos de los
coeficientes de la FFT?
Ayuda de Matlab: El calculo y graficado de los resultados del ventaneo pueden ser
manejados con stem(0:63,abs(fft(xi.*hamming(64).'))).
Ejercicio 5: Atenuación de la banda lateral en la ventana de
Blackman.
Grafique el valor absoluto del espectro normalizado F  e j  / F  e j 0  (en dB) de una
ventana Blackman con N=32, N=64 y N=128 coeficientes. Determine (para esos valores de
N) la razón del máximo valor y el segundo mayor valor.
Que efecto puede ser observado aquí, así como también con las otras funciones ventana
tradicionales?