PROCESO PARA LA ENSEñANZA/APRENDIZAJE DE LOS

La enseñanza/aprendizaje de
las competencias aritméticas
José Luis Luceño Campos
Colección
Educación
www.librosenred.com
Dirección General: Marcelo Perazolo
Diseño de cubierta: Daniela Ferrán
Diagramación de interiores: Julieta L. Mariatti
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informático, la transmisión de cualquier forma o de cualquier medio, ya sea
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previo escrito de los titulares del Copyright.
Primera edición en español en versión digital
© LibrosEnRed, 2012
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Índice
Capítulo I
La didáctica de las matemáticas. Principios generales.
5
Capítulo II
Psicopedagogía de las operaciones aritméticas básicas 28
Capítulo III
Números y sistemas de numeración. Aproximación histórica.
42
Capítulo IV
La enseñanza aprendizaje del número y de la numeración
63
Capítulo V
Psicopedagogía de la decena, la centena y el millar. El principio del
valor relativo
97
Capítulo VI
Adición y sustracción (los problemas aditivos)
116
Capítulo VII
La enseñanza aprendizaje de la multiplicación y la división (los
problemas multiplicativos).
140
Capítulo VIII: La enseñanza de los algoritmos.
El cálculo pensado, el cálculo estimado y la aproximación.
168
Capítulo IX
Los problemas aritméticos.Estrategias para su resolución
228
Sugerencias didácticas
281
Bibliografia
284
Acerca del autor 288
Editorial LibrosEnRed
289
Capítulo I
L a didáctica de las matemáticas. Principios generales.
Introducción
El currículo básico de esta área educativa está siendo objeto, desde hace un
cuarto de siglo, de continuos estudios e investigaciones y, como consecuencia,
se han ido generalizando múltiples cambios en los programas y orientaciones
técnico-pedagógicas que se vienen formulando. Las ideas y aportaciones
nuevas provenientes de la construcción de la matemática actual, los estudios
sobre psicología del aprendizaje y desarrollo de la inteligencia (Piaget y
seguidores, Bruner, Vigotsky, Dienes, Ausubel, Gagné y otros) y las funciones
crecientes de la matemática en la vida actual con el desarrollo acelerado de
la informática y las nuevas tecnologías y su consecuente introducción en el
ámbito escolar, reclaman una profunda revisión de los curricula escolares
para su adecuación a estas nuevas necesidades y condiciones.
Las aportaciones más recientes en el ámbito psicopedagógico provenientes
básicamente de los enfoques cognitivistas así como un mejor conocimiento
de la naturaleza misma del conocimiento matemático, han traído
consecuencias sobre la educación en Matemáticas, un área que si bien ha
formado parte muy importante tradicionalmente en la enseñanza escolar,
sin embargo, puede y debe ser enseñada/aprendida con contenidos y
mediante procedimientos a menudo bien distintos de los tradicionales.
La misma introducción y aplicación de nuevos medios tecnológicos en
Matemáticas conduce a un enfoque diferente tanto en los contenidos como
en la forma de enseñanza.
La enseñanza de las matemáticas ha estado tradicionalmente muy
condicionada, no sólo por la estructura interna del conocimiento
matemático, sino también a lograr objetivos educativos generales
vinculados al desarrollo de capacidades cognitivas abstractas y formales,
de razonamiento, abstracción, deducción, reflexión y análisis.. Siendo muy
importante el desarrollo cognitivo, hay que destacar en una enseñanza
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moderna, el valor funcional que poseen como conjunto de procedimientos
para resolver problemas en muy diferentes situaciones, para explicitar
aspectos y relaciones de la realidad no directamente observables, y para
permitir anticipar y predecir hechos, situaciones o resultados antes de que se
produzcan o se observen empíricamente. Ambos aspectos, el funcional y el
formativo, son indisociables y complementarios, pero nunca contrapuestos.
A lo largo de la educación obligatoria las Matemáticas han de desempeñar,
indisociable y equilibradamente, un papel formativo básico de capacidades
intelectuales, un papel aplicado y funcional a situaciones y problemas de
la vida diaria (en el ámbito del consumo, de la vida privada y en muchas
situaciones de la vida social) y un papel instrumental en cuanto armazón
formalizador de conocimientos de otras materias (son precisas tanto para el
conocimiento de las Ciencias de Naturaleza como de las Ciencias Sociales).
Hasta mediados del pasado siglo los programas de instrucción en
Matemáticas eran formulados concediendo una especial importancia al
aspecto utilitario de la misma. Las técnicas de enseñanza, con una primacía
casi exclusiva del método expositivo, abusaban de la memorización de
hechos y fórmulas matemáticas. Los textos se componían de abundantes
ejercicios y problemas llamados “prácticos”.
A partir de la década de años cincuenta aparece la llamada “Matemática
moderna” que provoca una serie de reacciones (rechazos o adhesiones) en
padres y profesores. El origen y sentido de este cambio (producido con la
Ley General de Educación de 1970) se puede atribuir, en líneas generales, a
dos finalidades básicas:
a) La renovación pedagógica de la enseñanza/aprendizaje de las
matemáticas.
b) La modernización de los programas por la introducción de las
grandes estructuras matemáticas con la finalidad de conferirle unidad
a esta área.
Enseñar las matemáticas fuertemente unificadas mediante los conceptos
básicos y las estructuras fundamentales constituía un objetivo esencial.
En nuestro país, la introducción de la teoría conjuntista, inspirada en una
concepción claramente formalista, a partir de la reforma de 1970, produjo
los siguientes hechos:
a) En la enseñanza primaria y secundaria se pasó de unos métodos
memorísticos y dogmáticos, apoyados fundamentalmente en
los resultados de los elementos de Euclides, a otros métodos de
características análogas, pero apoyados en la teoría de conjuntos.
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La enseñanza/aprendizaje de las competencias aritméticas
 b)La enseñanza de las Matemática quedó dividida en dos partes sin
ninguna conexión entre sí: la llamada “Matemática moderna” y la
tradicional. Este hecho trajo consigo un peligroso alargamiento en los
programas. El alumno, a cambio de un simple vocabulario conjuntista,
se encontró sin tiempo para aprender las nociones más prácticas.
Tenemos aún muy presentes las repetidas quejas de los padres: “El
niño no sabe multiplicar”, etc.
c)La implantación de los nuevos planes se hizo de un modo apresurado,
sin dar tiempo a que los profesores pudieran asimilar los nuevos
conceptos y técnicas y adaptarse a la nueva situación.
A partir de los planteamientos actuales las matemáticas son consideradas
como un saber que se construye, en el que la formalización (preconizada por
la teoría conjuntista) es un objetivo a alcanzar y no un punto de partida: el
proceso de construcción del conocimiento matemático debe utilizar como
punto de partida la propia experiencia práctica de los alumnos. Los puntos
de partida, pues, sobre los que se debe articular la enseñanza/aprendizaje
de las matemáticas son: el carácter claramente constructivo del saber
matemático y su capacidad de herramienta de uso general. Así mismo,
desde estos nuevos planteamientos, las matemáticas no se agotan en su
carácter de ciencia exacta sino que también poseen un valor funcional como
herramienta para aprehender de forma aproximada/estimativa la realidad
cotidiana que rodea al alumno.
La práctica habitual de las escuelas ha sido trabajar exclusivamente los
aspectos referidos a la exactitud matemática. El cálculo mental, olvidado
en las enseñanzas básicas durante largo tiempo, cobra también una gran
importancia. Se considera la resolución activa de problemas como el
método más conveniente de aprender matemáticas y que los problemas a
seleccionar se formulen a partir de la realidad de los alumnos.
Como una síntesis de las aportaciones más relevantes del proceso de
enseñanza-aprendizaje del área de matemáticas se propone el siguiente
cuadro, (adaptación de Hernández Pina, F y otros, 1989):
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La enseñanza de la Matemática bajo el enfoque de las competencias
ES:
DEBERÍA SER:
Conocimiento estático
Conocimiento dinámico
Saber prefijado
Saber que se construye
Matemática para la escuela
Herramienta para la vida cotidiana
Largas páginas de cuentas mecánicas
Cálculo mental o pensado
Aprendizaje en solitario
Aprendizaje cooperativo
La exactitud
La estimación o aproxinación
Resolución de ejercicios descontextualizados
Resolución de problemas de la vida
cotidiana y del entorno próximo.
I. L a enseñanza aprendizaje de las matemáticas en la enseñanza
básica.
Orientaciones psicodidácticas para su aprendizaje:
Tomando como base todo lo anterior, se propone el siguiente decálogo
psicodidáctico:
1) El profesor ha de ser un diseñador de situaciones de aprendizaje que
conduzcan al alumnado al descubrimiento.
La tarea del profesor ha de ser la de guiar al alumno tratando de crear
situaciones y estímulos precisos para que se produzca el aprendizaje.
Decía Pascal: “Uno se convence mejor por las razones que ha encontrado
que no por aquellas que se le ocurrieron a otros.”
El profesor generará situaciones estructuradas que conduzcan al alumno,
de una manera relativamente acelerada, al descubrimiento de las distintas
fases por las que ha atravesado el conocimiento matemático en su desarrollo
filo-genético. En este sentido, el profesor de matemáticas se transforma en
facilitador del aprendizaje.
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La enseñanza/aprendizaje de las competencias aritméticas
Los psicólogos cognitivistas han utilizado para referirse al papel del profesor
la metáfora del andamio o ayuda (Bruner) para significar el carácter de
actividad instrumental y provisional de su intervención que debe tener en
cuenta, en cada momento, el grado de ayuda que cada alumno necesita,
sabiéndose retirar, de forma progresiva, cuando observe que el alumno ya
es capaz de asumir autónomamente la dirección y progreso de su propio
aprendizaje. Esto mantiene coherencia con la idea de Vigotsky sobre el paso
del heterocontrol al autocontrol. De esta forma, la actividad instructiva para
ser eficaz, debe actuar en la zona de desarrollo próximo del estudiante, ni
más arriba porque lo ahoga, ni más abajo porque lo aburre. Quizás en
este contexto de adquisición de la autonomía del aprendizaje por parte del
alumno habrá que entender la expresión piagetiana de que “todo lo que
enseñamos a un alumno evitamos que lo aprenda”
Los mejores aprendizajes tienen lugar cuando los alumnos adquieren un
concepto y dominan un procedimiento que lo conduce a una respuesta
correcta como resultado de un compromiso activo en el proceso de enseñanza/
aprendizaje. Las adecuadas sugerencias y orientaciones del profesorado le
ayudarán a la construcción y clarificación de los conceptos lógico-matemáticos,
en el desarrollo de modelos de pensamiento matemáticos y en el descubrimiento
de relaciones. Los alumnos son estimulados a pensar críticamente; a descubrir,
utilizar y validar diversos procedimientos y estrategias de solución; a demostrar
y probar sus conclusiones. Los nuevos conceptos se desarrollan como resultado
de los aprendizajes anteriores. Se trata de conceder tanta importancia al
proceso como al producto. Es más interesante, como sugiere el enfoque del
procesamiento de la información, el planteamiento de un aprendizaje procesual
que el tradicional aprendizaje basado en el producto. No consiste solamente
en obtener una respuesta correcta sino el cuestionarse los procedimientos o
métodos para alcanzarla. Este modelo psicodidáctico estimula la curiosidad
y elicita la motivación interna en el aprendizaje. Transforma al alumno en el
protagonista de su propio aprendizaje.
En definitiva, se busca no tanto el suministro de conocimientos hechos,
terminados, fosilizados, sino crear una manera de pensar matemática. Una
de las grandes aportaciones piagetianas consiste en que el aprendizaje
matemático no se produce de una manera pasiva sino que su origen está en
el propio sujeto que aprende, la fuente de dicho conocimiento es interna.
El niño va construyendo el conocimiento matemático coordinando las
relaciones simples que ha creado entre los objetos.
La mayor parte de los conocimientos matemáticos (no podemos olvidar la
enorme influencia de la transmisión cultural de los conocimientos) debe
ser construido por el sujeto, siendo insuficiente la mera transmisión verbal.
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Este planteamiento no implica la exclusión que la construcción del
conocimiento y habilidades matemáticas de los alumnos pueda estar
mediatizada por intervenciones y direcciones ajustadas de los maestros,
de los iguales y del propio contexto.
La matemática, pues, no es tanto una serie de conocimientos
organizados del mundo, cuánto un sistema coherente, donde es esencial
la construcción mental del que aprende, donde prima la elaboración
de un marco de referencia interno. El papel del profesor será el de,
respetando la evolución psicogenética del alumnado, diseñar las
situaciones de aprendizaje más adecuadas, para que —mediante la
búsqueda de soluciones, su discusión y contraste— se pueda alcanzar
una auténtica construcción del conocimiento lógico-matemático. A este
respecto, los profesores han de crear una atmósfera que estimule a
los alumnos a explorar, desarrollar, comprobar, discutir y aplicar ideas.
Tienen que escuchar a los alumnos con atención y dirigir el desarrollo
de sus ideas. Deben hacer un uso extensivo y reflexivo de materiales
físicos que favorezcan el aprendizaje de ideas abstractas. Las aulas,
pues, deben ser equipadas con una gran variedad de materiales
manipulativos tanto comercializados (bloques lógicos, multibase,..)
como domésticos (botones, garbanzos, cartones de huevos,..).
A modo de síntesis, se recogen las ventajas y los inconvenientes que ofrece
la enseñanza por descubrimiento:
Ventajas
Inconvenientes
Estimula al alumnado a aprender las
matemáticas, al operar sobre ellas
El descubrimiento precisa ser guiado o
conducido cuidando de no convertirlo en
dirigismo
Anima a concebir las matemáticas como
un proceso y no como un producto
acabado
Si un alumno no es capaz de descubrir nada, la
situación es decepcionante
Posibilita el razonamiento inductivo
Requiere más tiempo que el aprendizaje
receptivo
No siempre asegura un aprendizaje significativo
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2) El proceso didáctico debe respetar los distintos estadios del
desarrollo del niño.
En la formación de los conceptos matemáticos debe
proceder de lo concreto a lo abstracto.
En coherencia con los distintos estadios que Piaget distingue en el desarrollo
de los conceptos (sensorio-motriz, preoperacional, operaciones concretas
y operaciones formales o abstractas) las estrategias psicodidácticas
deben facilitar experiencias que se adecuen a los tipos de pensamiento
característicos de estas etapas (pensamiento sensorial y manipulativo,
pensamiento preconceptual o intuitivo, pensamiento lógico concreto o
representativo y pensamiento formal o simbólico).
Las experiencias manipulativas deben ser utilizadas en los primeros estadios.
Experiencias físicas tales como manipular objetos concretos de la clase para
el aprendizaje del número, la utilización del ábaco, juguetes educativos,
reglas, tacos,..,servirán de ayuda en la adquisición y consolidación de los
conceptos matemáticos básicos. Conviene tener en cuenta que en la evolución
intelectual las acciones con y sobre los objetos (reunir, separar, repartir,
repetir grupos iguales, etc.) aparecen antes que las operaciones mentales.
Para Piaget, la “operación no es más que una acción que se internaliza, una
acción interiorizada”. Es necesario, por tanto, operar sensoriomotrizmente
antes de operar con símbolos, ya que estos no son más que representaciones
sustitutas de acciones reales. El conocimiento matemático es una abstracción
a partir de las acciones sobre los objetos, los cuales no ejercen más que el
papel de servir de soportes de la acción. Así, pues, la operación de sumar no
es sino la acción interiorizada de unir, reunir, juntar.., hacer más o acrecentar.
La operación de dividir consiste, a su vez, en internalizar las acciones de
repartir en partes iguales, distribuir, hacer grupos iguales,..
En un proceso de abstracción creciente a las tareas manipulativas, a las tareas
concretas, seguirán representaciones de la realidad (dibujos, diagramas,
señales, marcas, rayas, etc.). Finalmente, durante los periodos lógicoconcretos y lógico-formal, se actuará sobre simbolismos matemáticos. A
este respecto habría que añadir que “para formar el concepto, el modelo
matemático, la base es la realidad, lo concreto. Ahora bien, lo concreto
no es algo absoluto, sino relativo al plano desde el cual se contempla una
situación. Para un niño, por ejemplo, el punto concreto de partida es la
realidad sensible. Para el matemático, su realidad en estudio, lo concreto
de su trabajo, puede ser (será normalmente) un concepto matemático
perfectamente determinado y conocido. En este pasaje de lo concreto a lo
abstracto “frecuentemente lo abstracto de una etapa pasa a ser lo concreto
de lo siguiente”.
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Podríamos decir que los símbolos acentuaron los aspectos cuantitativos de
los objetos, pero también retuvieron algunas características mínimas, ya que
representaban objetos específicos del mundo real. Esta esquematización
de objetos ayuda a producir un mundo en miniatura o microcosmos, que
crea su propio espacio de operación al permitir que se realicen acciones
directas sobre objetos simbólicos. El manipular los símbolos es más fácil
que manejar los objetos naturales, y su propósito principal es registrar en
el microcosmos (el mundo real).
Con esta nueva manera de representación se da un cambio en la cognición,
pues empiezan a operarse las cantidades en un nivel cada vez más simbólico.
Los niños en su desarrollo ontogenético también pasan por ciertos estadios
en el uso de medios de representación, desde las operaciones con objetos
concretos, pasando al uso de representaciones pictóricas, y adquiriendo cada
vez una mayor habilidad para representación simbólica. Estas transiciones
en el uso de medios de representación en los niños deberían graduarse
adecuadamente si queremos que se dé un verdadero aprendizaje.
Otro tipo de representaciones simbólicas más abstractas son las matrices de
doble entrada. Estas matrices proporcionan toda la información acerca de
los datos aritméticos básicos:
En estas tablas encontraremos los resultados de la suma y la multiplicación
en la intersección de cualquier par de números de la columna y la fila.
Además, en la fila o la columna encontraremos el resultado de la división
de cualquier número que se encuentre en la intersección de éstas. En el
caso de las restas se sigue el mismo procedimiento que en la división. Si los
niños llegan a manejar estas representaciones tendrían el conocimiento de
las operaciones básicas de la aritmética.
A este respecto, Leinhardt (1989) distingue cuatro niveles que los alumnos
suelen recorrer en la comprensión de muchos conceptos matemáticos y que
exigirían un respeto instruccional:
conocimiento intuitivo (el más precoz, contextualizado e idiosincrásico;
el más incierto e incluso podría llegar a se erróneo),
conocimiento concreto,
conocimiento computacional, y
conocimiento conceptual (implica una elevada comprensión de los
principios subyacentes a los contenidos aprendidos).
La manipulación de materiales concretos por el alumno, la representación
gráfica (figurativa y esquemática) sobre el papel, la verbalización de
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las acciones y un gradual incremento en el nivel de abstracción de las
actividades que realiza, le ofrece la posibilidad de aprender y comprender
el proceso y adquirir los conceptos matemáticos implicados. Debido a las
diferencias de madurez lógico-matemática que se dan en los alumnos, se
dará la circunstancia de que algunos no precisen seguir, por mucho tiempo,
el primer estadio del aprendizaje, es decir, el manipulativo; sin embargo,
también se dará el caso de algunos para quienes será difícil o casi imposible
moverse en los procesos abstractos, manteniéndose en las primeras etapas
del aprendizaje un mayor periodo de tiempo. El profesor tendrá, pues, la
misión de determinar el grado de madurez que posee el alumno en un
momento dado y proponerle actividades al nivel en que pueda propiciar su
continuo progreso.
En una investigación sobre la construcción del conocimiento matemático
(Gómez, 1992), dos niños pequeños utilizan el lenguaje como medio para
dirigir las transiciones entre los diferentes tipos de representación. Durante
el trabajo pudo observarse con frecuencia cómo inicialmente con el niño
pequeño (cuatro años) era indispensable la representación física de los
eventos, posteriormente se podía pasar a la representación pictórica o
simbólica, pero cuando se encontraban dificultades en la operación con
símbolos, era necesario regresar a la representación física, o cuando menos
a la elaboración de una representación pictórica que dotara de sentido a
los símbolos numéricos.
Algunos ejemplos del uso de la representación por parte de los niños son
los siguientes:
Representación enactiva
Un niño de cuatro años tiene fichas para realizar operaciones aritméticas, el
adulto le dice que suponga que tiene tres fichas y que le regalan dos más.
El niño hace dos conjuntos con dos y tres fichas respectivas (1). El adulto le
pregunta cuánto es y el niño une los conjuntos y los cuenta (2). (Figura 1).
Figura 1
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Aquí la representación es enactiva dado que el niño ejecuta las acciones
directamente sobre objetos físicos. Se realizó una operación física de suma.
Figura 2
Representación pictórica o icónica
El adulto al niño de seis anos presenta el siguiente problema: ¿Cuánto es
3 por 3? El niño dibuja tres bolsas transparentes y les dibuja tres manzanas
dentro a cada una. (Figura 2).
En el ejemplo anterior el niño no realiza la operación sobre los objetos físicos
sino que los dibuja, y a partir de esa representación plantea la operación
de multiplicación como reiteración de una cantidad, y cuenta el número de
objetos dibujados.
El adulto plantea al niño de seis años el siguiente problema: Un borrachito
tomó 18 cervezas y ahora desea saber cuantos six packs ha consumido. El niño
dibuja 18 cervezas y las agrupa en conjuntos de seis y cuenta los conjuntos.
Figura 3
En este ejemplo, como en el anterior, aunque el niño prescinde de los
objetos concretos, necesita una representación pictórica para tener una
idea clara de lo que debe hacer.
Agrupa los dibujos de las cervezas en conjuntos de seis y así obtiene el
resultado de la división. En este caso opera la división agrupando las
representaciones icónicas.
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Un adulto plantea a un niño de seis años el siguiente problema: En la
zapatería hay doce zapatos sin caja y la empleada desea saber cuantos
pares son.
El niño dibuja líneas verticales en lugar de los zapatos, une los pares con
una línea horizontal y los cuenta.
Figura 4
Este ejemplo sigue siendo pictórico, sin embargo, ya son sólo marcas las que
representan a los zapatos; podríamos decir que se va más a lo simbólico.
Representación simbólica
El adulto plantea a un niño de seis años el siguiente problema: Tenemos
cuatro bolsas y cada bolsa tiene cuatro panes ¿Cuántos son en total? El niño
los dibuja primero, luego escribe “4 x 4” y da el resultado.
Figura 5
Bruner, psicólogo cognitivista y divulgador de Vigotsky, confirma la que
venimos manteniendo al considerar que en el proceso de aprendizaje de
los conceptos matemáticos se atraviesan las tres etapas siguientes:
a) Etapa activa (representación enactiva): El alumno piensa en términos
de acción. Sus métodos para resolver problemas tienen todas las
limitaciones de la manipulación de lo concreto.
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b) Etapa representativa o figurativa (representación icónica): En esta
etapa la representación mental se realiza a través de las imágenes.
c)Etapa simbólica (representación simbólica): Aquí aparece el
pensamiento matemático, la representación mediante formas
simbólicas tales como el lenguaje matemático.
En consecuencia, las estructuras o núcleos básicos de la enseñanzaaprendizaje de las matemáticas, tienen que ser convertidas en los tres
modos fundamentales (enactivos, figurativos o simbólicos), según la etapa
en la que se encuentra el sujeto aprendiz. Para Bruner, pues, si se introduce
a los alumnos desde temprana edad en los conceptos y estrategias lógicomatemáticos, primero manipulativamente y luego intuitivamente, se les
facilita la posterior adquisición de los conceptos y problemas abstractos
propios de los niveles educativos superiores. Afirma este autor (Bruner,
1966) que “cualquier materia puede ser enseñada a cualquier edad de
modo eficaz”.
3) El aprendizaje matemático debe regirse por el principio de primero la
ejercitación práctica debe ser posterior a la comprensión del concepto o
del procedimiento en cuestión.
Esta aseveración viene avalada por una serie de razones:
Los procesos que han sido comprendidos requieren un mínimo de
práctica para ser consolidados.
La retención del proceso o mecanismo es más fácil cuando éste
(fórmula, algoritmo, etc.) ha sido suficientemente comprendido.
Las habilidades o destrezas se olvidan tanto más fácilmente cuanto
menor ha sido su comprensión.
El aprendizaje significativo motiva la práctica ya que el alumno
comprende mejor la necesidad de su dominio.
La rapidez y la seguridad en la utilización de los automatismos necesarios
para desenvolverse en la práctica habitual de las matemáticas es de todo
punto necesaria. Estos automatismos deben consolidarse mediante un
trabajo suplementario de ejercitación práctica que reúna las características
siguientes:
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Evitar la monotonía y su carácter tradicional de “castigo”.
Intencionalidad de adquirir cada vez mayor perfección.
Suficientemente comprendida.
Basada en principios y procedimientos generales más que en actividades
inconexas.
Suficientemente variada y debidamente funcionalizada.
Debidamente secuenciada y temporalizada.
No tiene sentido enseñar técnicas operatorias o algoritmos de manera
mecánica (restas llevándose, correr lugares a la izquierda en la multiplicación,
etc.), formulaciones o principios lógico-matemáticos, etc., sin una
previa comprensión y una posterior comprobación. Al alumno hay que
explicitarle comprensivamente los “pasos ocultos” de cualquier mecanismo,
procedimiento o técnica operatoria que precise aprender.
4) L as reglas, principios y/o generalizaciones lógico-matemáticos serán
construidas inductivamente y aplicadas deductivamente.
Este cuarto apartado explícita, en cierta manera, lo aconsejado
en el punto anterior. Cuando la generalización ha sido construida
se presentarán situaciones problemáticas para que los alumnos
encuentren la solución o respuesta. Así, pues, en la clase, los alumnos
a través del trabajo en grupo, la discusión, el autodescubrimiento, el
descubrimiento guiado, los procesos son explorados, los modelos son
identificados y los alumnos son guiados hacia la generalización de
reglas, ideas o conceptos lógico-matemáticos.
Una vez que los alumnos han extraído las características generales de
las semejanzas y/o diferencias entre sucesos y/o situaciones, una vez
que han descubierto, con la orientación precisa, los conceptos, estos se
aplicarán deductivamente en diferentes ejercicios y problemas, lo que
conducirá a una mayor profundización en el conocimiento adquirido
inductivamente.
La idea de utilizar, en una primera fase, el proceso inductivo en el
aprendizaje matemático es debido a que el niño posee pocas ideas
generales y le es difícil formar abstracciones. De ahí la conveniencia de
proceder gradualmente desde lo concreto y particular para conducirlo
progresivamente a lo abstracto y general. A medida que el alumno
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se vaya acercando al pensamiento lógico-formal, al pensamiento
hipotético-deductivo, será posible y deseable una mayor insistencia en
la utilización del procedimiento deductivo.
La enseñanza/aprendizaje de la matemática actual debe respetar y
valorar el cultivo de la deducción, no aisladamente, sino formando
parte de un proceso completo con el que Puig Adam distingue cuatro
periodos:
Periodo de observación: Análisis sencillo del entorno del niño.
En este periodo el niño desarrolla principalmente sus sentidos.
Corresponde normalmente a la Educación Infantil.
Periodo de experimentación: Se presenta especialmente en lo
que pudiera corresponder a los primeros ciclos de la Educación
Primaria. Aquí se provocan las situaciones a observar, fomentando
la presencia de factores con analogías patentes, para que el
alumno las analice y detecte las semejanzas. En este periodo se
pretende primordialmente el paso de lo particular a lo particular
análogo.
Periodo de intuición: Corresponde principalmente al tercer ciclo
de Educación Primaria. Los hechos espontáneos o provocados,
pero reales, pasan a ser sustituidos por hechos imaginados y la
realidad externa sensible por el mundo interno de la fantasía. El
niño reflexiona, no se limita a observar 10 que está ocurriendo,
sino que empieza intuir (del latín intueri, mirar hacia dentro) lo
que ocurrirá en tales o cuales circunstancias.
Periodo lógico: La evidencia sensible del segundo periodo o la
intuición del tercero, pasan a ser sustituidas por la evidencia
lógica. Los hechos imaginados son sustituidos por las premisas
abstractas y sus necesarias consecuencias. Además, se esquematiza
el razonamiento mediante el simbolismo abstracto. Es la etapa
en que domina la deducción lógica ejercida sobre los conceptos
elaborados.
Con el siguiente cuadro tratamos de ilustrar lo que se viene afirmando.
Los tres primeros pasos estarían dentro del proceso inductivo; los dos
últimos corresponderían al proceso deductivo:
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La enseñanza/aprendizaje de las competencias aritméticas
P r o c e s o 1º
inductivo
PERCEPCIÓN
Experiencias manipulativas con materiales
concretos (ambientales y estructuradas)
Experiencias perceptivo-visuales con
la representación de objetos (gráficos,
dibujos, esquemas,..)
2º
DIFERENCIACIÓN
Comparaciones (semejanzas y diferencias)
y relaciones derivadas de la PERCEPCIÓN
3º
ABSTRACCIÓN
Basada sobre la identificación de los
elementos, relaciones y estructuras
comunes
P r o c e s o 4º
deductivo
5º
INTEGRACIÓN
Elaboración de generalizaciones
DEDUCCIÓN
Las generalizaciones son establecidas y
consolidadas por medio de las aplicaciones
deductivas
5) L a organización/presentación de los contenidos matemáticos debe
venir presidida por una serie de principios.
Los criterios básicos a contemplar para secuenciar y organizar los contenidos
matemáticos en la etapa de Educación Primaria, en la línea de Del Carmen
(1991) deberían ser los siguientes:
1. Establecer una distancia óptima entre lo que los alumnos son
capaces de hacer y los nuevos contenidos que se pretenden enseñar.
Es preciso, pues, establecer una discrepancia adecuada entre lo que se
sabe y lo que hay que aprender. Consiste, pues, en situarse en la zona
de desarrollo próximo de aprendizaje.
2. Coherencia con la lógica interna de las matemáticas.
3. Conectar los nuevos contenidos con las ideas previas de los alumnos.
Partir de sus conocimientos previos, es decir, de lo que realmente
saben y de cómo lo saben.
4. Establecer contenidos organizadores y estructurar los distintos tipos
de contenidos en relación a ellos, como contenidos soportes.
5. Delimitar las ideas-eje para sintetizar los aspectos fundamentales
que tratan de enseñarse.
6. Posibilitar lo que Bruner denomina currículo en espiral o articulado. El
currículo no debe ser estrictamente lineal sino, siempre que sea posible,
recurrente, es decir, en espiral. Los mismos contenidos se retoman en
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diferentes versiones con diferentes niveles de complejidad. En el caso,
por ejemplo, de las operaciones aritméticas cuyo aprendizaje se debe
introducir desde la Educación Infantil.
7. Mantener el equilibrio e integrar los distintos contenidos
(conceptuales, procedimentales y actitudinales) ejercitados en el aula,
es decir, cubrir todos los aspectos planteados sin poner excesivo énfasis
en unos en detrimento de otros.
8. Relacionar los conocimientos para favorecer que los alumnos
comprendan su sentido y lograr que el aprendizaje sea significativo.
Asimismo, a la hora de secuenciar los aprendizajes matemáticos hay
que contemplar la llamada “jerarquía del aprendizaje” de Gagné. Esta
idea evidencia que el conocimiento de un contenido o concepto forma
una jerarquía y que la adquisición de conocimientos o conceptos de un
cierto nivel de complejidad o dificultad depende de la adquisición previa
de conocimientos subordinados que son dependientes, a su vez, de la
adquisición de conocimientos todavía más lejanos en la jerarquía, por
ejemplo, un conocimiento de la operación aritmética de dividir depende
del conocimiento de la multiplicación, la multiplicación del conocimiento
de la suma, la suma del conocimiento d la numeración y del concepto de
número, etc.
Según Llinares (1994) habría que matizar que no está claro que todo el
aprendizaje matemático pueda subdividirse jerárquicamente, como
tampoco se entiende como la adquisición de habilidades de habilidades
más simples permitan alcanzar destrezas más complejas, como es el caso de
la resolución de problemas.
Este carácter jerarquizado de los contenidos matemáticos indica que la
posibilidad de pasar de un tema a otro depende con frecuencia de una
buena comprensión de las cuestiones anteriores.
6) Se deberán propiciar situaciones de aprendizaje que estimulen el
conocimiento divergente.
Siempre que sea posible hay que presentar el edificio lógico-matemático no
como algo acabado, como algo hecho, sino como algo en construcción. Es
preciso evitar una enseñanza-aprendizaje de las matemáticas reducidas a
la simple transmisión de capítulos considerados importantes y que cultivan
exclusivamente el pensamiento convergente. Siempre será más eficaz, por
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La enseñanza/aprendizaje de las competencias aritméticas
ejemplo, hacer aprender “cuántos grupos distintos se pueden hacer con
ocho bolas, que cuántas bolas suman un grupo de tres y otro de cinco”. Es
obvio que el primer aprendizaje permite distintas situaciones, mientras que
el segundo solo posibilita una única respuesta que, po42r otra parte, es
esencialmente memorística y condicionada.
El profesor procurará respetar y estimular, no coartar, las distintas estrategias
en la resolución de los problemas (el alumno tendrá posibilidad de resolver
problemas y cuestiones valiéndose de distintos procedimientos, siempre
que los restantes compañeros y el profesor los puedan comprender). No es
aconsejable la imposición de una técnica, de un algoritmo o de una fórmula
única (la que dice el profesor o el libro de texto). La imposición de una técnica
o procedimiento por el hecho de que todo el mundo la utiliza y es la más
conocida o más rápida es causante de muchos bloqueos y fobias. Hay que
procurar que el alumno opere por los caminos más divergentes posibles. Es
conveniente la propuesta de actividades y ejercicios que permitan distintas
estrategias y posibiliten distintas soluciones. Es evidente que en la vida
ordinaria los problemas no vienen formulados en términos de preguntas
cerradas. Es el individuo el que se tiene que formular sus propias hipótesis
para encontrar las correspondientes respuestas y estas respuestas pueden
ser bastante variadas.
En síntesis, hay que conducir a los alumnos a la convicción de que el
edificio lógico-matemático ha sido y sigue siendo una creación humana,
estimulándoles a que se cree en ellos una disposición permanente para
descubrir e inventar técnicas y procedimientos frente a dificultades nuevas
e imprevistas. El aprendizaje de la matemática, en ningún caso debe
aparecer como una “creencia” sobreimpuesta, sino como algo susceptible
de invención y construcción propia.
7) A través de la interacción social se facilita el aprendizaje matemático.
Para el desarrollo del pensamiento matemático es muy conveniente el
contraste de los distintos puntos de vista, soluciones o estrategias que
puedan aportar los distintos miembros del grupo-clase.
Gómez Alfaro, Bernardo (1991) afirma que “ debe tenerse en cuenta el
importante papel que juega la interacción alumno-alumno en el desarrollo
de la inteligencia: la oportunidad para intercambiar, discutir y evaluar las
propias ideas con las ideas de otros produce en el niño una visión más
realista y crítica de si mismo y de los demás. Por otra parte, los profesores
sabemos que explicando algo a otra persona mejoramos nuestra propia
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José Luis Luceño Campos
comprensión del asunto, y esto vale también para los alumnos. Así, cuando
se preguntan y explican entre ellos, recapacitan, articulan y consolidan la
comprensión de los hechos.”
El profesor procurará diseñar situaciones de aprendizaje que eliciten
mecanismos de interacción social, de cooperación (cooperar: operar en
común) entre los alumnos, para el aprendizaje y resolución de cuestiones
lógico-matemáticas. Los intercambios que se generan contribuyen a una
mejor comprensión de las nociones o contenidos que se trabajan. Las
modalidades de enseñanza mutua y el trabajo en grupo son técnicas
organizativas de gran eficacia. Hay que tener en cuenta que, en la
actualidad y fuera de la escuela, la mayoría de las actividades matemáticas
son acometidas en grupo. Se debe, pues, estimular el intercambio de
ideas entre los alumnos. El desacuerdo con otros compañeros puede llevar
a reestructurar, a reconsiderar los propios planteamientos, las propias
soluciones. La confrontación facilita el desarrollo del pensar matemático.
El profesor tratará de crear un ambiente psicosocial y una disposición
material de la clase que, mediante diversos juegos y/o disposiciones grupales,
estimulen la creatividad y la autonomía de los alumnos. En los juegos y
actividades grupales los alumnos son más activos y críticos, aprenden a
depender de ellos mismos para saber si su razonamiento o solución es o
no correcta. Asimismo, se cultiva el espíritu de colaboración y solidaridad
científica que exige una sociedad altamente tecnificada y democrática, donde
la investigación y el trabajo en grupo son absolutamente imprescindibles.
Este planteamiento guarda coherencia con la concepción actual del
aprendizaje como el resultado de un proceso de construcción social (Gómez
Granell y Fraile, 1993). El aprendizaje matemático se adquiere y asienta
mejor en contextos y tareas que sean significativas para los alumnos y
que favorecen la interacción social, en general, y la resolución de tareas y
problemas en pequeños grupos, en particular.
8) L a motivación intrínseca se genera a través de situaciones
problemáticas reales y significativas de aprendizaje con textual.
En la didáctica tradicional se trabajaban una serie de “problemas y actividades
tipo” que servían, “a manera de archivo”, para la resolución de “situaciones
y cuestiones problemáticas tópicas”, las cuales guardaban escasa o nula
relación con situaciones reales y significativas y que, independientemente de
carecer de motivación intrínseca (la motivación que incita a desear aprender
la materia por sí misma), mantenían una separación tajante con el mundo
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La enseñanza/aprendizaje de las competencias aritméticas
extraescolar del alumno, no produciéndose, pues, una transferencia real al
mundo de éste. Consistía en un aprendizaje exclusivamente “escolar”, un
aprendizaje “para la escuela y por la escuela”.
Para que un aprendizaje sea duradero y sólido es preciso que sea
significativo y, para ello, es necesario que la nueva información se conecte
o relacione con algún aspecto ya existente en la estructura cognitiva del
que aprende, de forma que el nuevo conocimiento entre en conflicto con
el anterior y lo modifique o amplíe (proceso de adaptación). Cuando no
existen conocimientos previos relevantes (en terminología de Ausubel,
conceptos inclusores), se produce un aprendizaje memorístico que tiende
rápidamente al olvido.
Para que los aprendizajes matemáticos sean significativos y no repetitivos
hay que proceder:
partir de los conocimientos previos de los alumnos. En este sentido, no
basta con lo que el Maestro o Maestra piensan Qué deben saber, sino
que tienen que contrastar de alguna manera lo Que realmente saben
v cómo lo saben.
generar una actitud positiva del alumnado hacia el aprendizaje
matemático. Esta actitud se puede lograr proponiendo al alumnado
situaciones concretas contextualizadas en:
La propia historia de las matemáticas. La misma génesis del sistema de
numeración decimal es suficientemente motivadora.
Problemas de la realidad cotidiana, de las propias experiencias de los
alumnos y alumnas.
Problemas planteados en otras áreas (Conocimiento del medio, Geografía,.).
Utilizando materiales estructurados (regletas, bloques multibase, juegos de
simulación, calculadora, etc.)
La experiencia que el alumno trae a la escuela, sus conocimientos informales,
hay que aprovecharlos en la formulación y resolución de problemas, en el
planteamiento de actividades y ejercicios, en la enseñanza-aprendizaje de
nociones y conceptos. Esta experiencia debe constituir el punto de partida
del proceso psicodidáctico.
A este respecto, Carpenter y Moser (1984) afirman que “la mayoría de los
niños llegan a la escuela con las herramientas necesarias para el éxito:
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curiosidad, destrezas comunicativas y una diversidad de experiencias
de vida. En el momento de ingresar en la escuela, los niños pequeños
pueden resolver problemas que exigen aptitudes de cálculo que todavía
no han aprendido. Sin embargo, después de varios años de instrucción
matemática tradicional, pierden creatividad y dependen de procedimientos
memorizados. El resultado: sus aptitudes para la resolución de problemas y su
rendimiento realmente declinan. Los docentes deben brindar a los alumnos
oportunidades de compartir experiencias extraescolares y conectarlas con
las matemáticas que se están aprendiendo en la escuela.”
Las primeras situaciones problemáticas son aquellas con las que el alumno
reencuentra o puede encontrarse, en su familia, en la escuela, en relación con
sus compañeros, en sus juegos, en sus diversiones y costumbres.. Numerosas
posibilidades emergen frecuentemente de las situaciones cotidianas de la
clase y del estudio de otras materias escolares.
Actividades tales como “coste de un alumno un viaje o excursión”,
“reparto de material en clase”, “coste de entradas para visitar un museo”,
etc., ofrecen posibilidades para un trabajo matemático significativo y
funcional. Asimismo, no se puede olvidar que las matemáticas son un
instrumento muy útil en otras materias escolares como en naturales,
sociales, lenguaje, física, química, etc. La realización de taxonomías
(nociones lógicas de clasificación e inclusión), formulación e hipótesis,
elaboración e interpretación de cuadros estadísticos, elaboración e
interpretación de mapas y escalas, etc., son, entre otras cosas, situaciones
y aplicaciones prácticas y vivas que contribuyen a que los alumnos
comprendan la importancia y significación de esta materia.
En resumen, un aprendizaje conceptual en el área de las matemáticas implica
ofrecer a los alumnos tareas y problemas que corresponden a una serie de
situaciones en las que tendrán que utilizar más tarde sus conocimientos y
habilidades.
9) L as matemáticas se deben originar de manera natural a partir de la
resolución de problemas.
La resolución de problemas no es un tema diferenciado sino un proceso
que debe saturar toda la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas
proporcionando el contexto donde puedan aprenderse conceptos,
procedimientos y actitudes favorables.
La resolución de problemas debe generarse en un ambiente de clase
que sea comprensivo y rico y que estimule y apoye los esfuerzos por
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La enseñanza/aprendizaje de las competencias aritméticas
resolver problemas. Los alumnos deben aprender a valorar el proceso de
resolución de problemas en la misma medida en que valoran los resultados
proporcionándoles frecuentes experiencias en la creación de problemas a
partir de actividades de su mundo real, es decir, a partir de la escuela y
otras experiencias cotidianas. A medida que el alumno avance de nivel se
le deben proporcionar tipos más diversos y complejos de problemas que
surjan tanto del mundo real como de contextos matemáticos.
Cuando la resolución de problemas pasa a ser una parte integral de la
docencia/discencia en el aula y los alumnos van teniendo éxito en esta tarea,
van ganando confianza en el uso de las matemáticas y van desarrollando una
mente perseverante e inquisitiva. Aumenta igualmente su capacidad para
comunicarse matemáticamente y para utilizar procesos de pensamiento de
más alto nivel.
Un aula que se orienta hacia la resolución de problemas queda impregnada
de preguntas, especulaciones, investigaciones y exploraciones que estimulan
la reflexión; en un entorno así el principal objetivo del docente es el de
promover para el aprendizaje de todos los contenidos de las matemáticas
un enfoque basado en la resolución de problemas. Cuando la resolución
de problemas es parte integrante de un currículo, comenzando desde los
encuentros más tempranos del niño con las matemáticas, este desarrollará
la correcta visión de lo que realmente significa aprender matemáticas.
10) Se deben explotar psicopedagógicamente las ideas equivocadas del
alumnado.
En la enseñanza-aprendizaje de la matemática es muy interesante sacar
partido de las respuestas erróneas de los alumnos e investigar su origen a fin
de adaptar en cada momento el proceso instructivo. Ante la corrección de
un error cometido por un aluno hay que recordar que el error puede estar
en un bloqueo epistemológico como explica Brousseau: El error no sólo es
consecuencia de la ignorancia, de la incertidumbre, del azar, tal como se
creía en las teorías empiristas o conductistas del aprendizaje, sino el efecto
de un conocimiento anterior, que tenía su interés, sus éxitos, pero que,
ahora, se revela falso o, simplemente, inadaptado. Los errores de este tipo
que no son erráticos ni imprevisibles se constituyen en obstáculos. Tanto
en el papel del profesor como en el del alumno, el error forma parte del
sentido del conocimiento aprendido. Otros errores pueden tener su origen
en las generalizaciones falsas que hacen los alumnos y en la utilización
d e metáforas y analogías por parte del maestro para enseñar/transmitir
conceptos de los que el alumno no llega captar la esencia de la idea.
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La corrección-aprovechamiento del error debe enfocarse mediante la
presentación de contraejemplos que generen conflictos cognitivos y
soliciten al alumno otro u otros ejemplos o aplicaciones para que descubra
que su razonamiento o procedimiento no es siempre válido.. En ningún caso
es recomendable decir al alumno: “está mal”, El error debe ser asumido
como punto de partida para nuevos aprendizajes y nunca como sanción.
Según Brousseau, “el error y el fracaso no tienen el papel significado que a
menudo se les quiere hacer desempeñar”. La autoestima, siempre frágil en
las relaciones que el alumno o alumna mantiene con las matemáticas, sale
reforzada positivamente si el error se considera un elemento contemplado
constructivamente dentro del proceso de enseñanza-aprendizaje. Si
se admite el error como un elemento más del proceso instructivo, es la
interacción horizontal entre los alumnos y alumnas la que le advierte de su
error y le ayuda a corregirlo mediante la confrontación o conflicto cognitivo
con las concepciones y realizaciones de los compañeros. Asimismo, la
admisión de los errores propios y ajenos influirá en la creación de un clima
de tolerancia y comprensión.
1. Conclusiones
No podemos concluir estas reflexiones psicodidácticas sobre el aprendizaje
de las Matemáticas sin insertar una serie de conclusiones que sinteticen
las orientaciones que se han venido formulando hasta el momento. Estas
conclusiones o preceptos, cuyo respeto debería ser inexcusable, serían:
Los conceptos deben ser construidos por los propios alumnos en base
a sus experiencias y pensamientos. La tarea del profesor consistirá
primordialmente en facilitar experiencias de aprendizaje a cada aluno
en particular.
La madurez lógico-matemática se alcanza mediante un acercamiento
en espiral. Los conceptos, pues, deben ser adquiridos formando parte
de un proceso de crecimiento o desarrollo.
Los conceptos, para que sean funcionales y significativos, deben ser
relacionados con la estructura total de la que forman parte.
Los conceptos se desarrollan mejor mediante una serie de experiencias y
situaciones matemáticas variadas (principios de variabilidad perceptiva
y variabilidad dinámica de Dienes) que por presentaciones repetitivas.
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La enseñanza/aprendizaje de las competencias aritméticas
El nivel de dificultad y/o profundidad en que un concepto debe ser
presentado para su aprendizaje depende de los aprendizajes previos,
motivaciones, habilidades y/o destrezas y nivel psicoevolutivo del
sujeto aprendiz.
Los conceptos se adquieren y se desarrollan mejor cuando
el alumno opera activamente sobre su medio ambiente y
no cuando está sometido pasivamente a la información del
profesor.
La acción, la manipulación y las imágenes (figurativas y
esquemáticas), deben preceder a la verbalización, y la
verbalización debe ser previa a la simbolización escrita, en
coherencia con el principio filogenético de Haeckel.
En el aprendizaje de la Matemática se deben ofrecer
oportunidades de invención y creatividad.
El error hay que utilizarlo positivamente.
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Capítulo II
Psicopedagogía de las operaciones aritméticas
básicas
I) Introducción
Según Piaget, una operación es “una acción interiorizada”, una acción/
manipulación que se internaliza; es decir, un proceso mediante el cual se
realiza, mentalmente, una acción física o manipulación de una manera más
económica, más fácil de realizar que de manera real.
Las acciones sobre el mundo real generadoras de operaciones, la manipulación
activa, puede sustituirse, “económicamente”, por una expresión simbólica
construida con los correspondientes símbolos matemáticos/numéricos.
Las operaciones numéricas básicas: suma, resta, multiplicación y división,
constituyen expresiones simbólicas de acciones básicas que se pueden
realizar con objetos reales: agregar, separar, reiterar y repartir. Asimismo,
entre objetos se pueden establecer relaciones como clasificar, comparar,
igualar, determinar las veces que uno contiene a otro, etc. Se trata, pues,
de operaciones en el sentido físico del término, pero también en el sentido
psicológico en cuanto conjuntos de acciones coordinadas y reversibles.
Las operaciones aritméticas/numéricas convierten el concepto de número
en un concepto operatorio superador más amplio que el de simbolizador de
la cantidad, el orden y la medida. A este respecto, Vergnaud llega a afirmar
que sin las operaciones numéricas “el concepto de número podría incluso
no existir”. Las operaciones, mediante unos pocos principios, establecen
una red de conexiones entre los distintos números.
Comprender las operaciones fundamentales de suma, resta, multiplicación
y división es el punto central del conocimiento matemático. La adquisición
de un buen sentido operacional que implica la capacidad de aplicar las
operaciones correctamente y con flexibilidad, supone cuatro componentes
básicos:
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La enseñanza/aprendizaje de las competencias aritméticas
1. Reconocer en situaciones del mundo real las condiciones que indican
que en dichas situaciones sería útil una operación determinada.
2. Percatarse de los modelos y de las propiedades de las operaciones.
3. Ver las relaciones que existen entre las operaciones.
4. Hacerse una idea del efecto que una operación tiene sobre un par
de números.
El sentido operacional contribuye a que los alumnos sean capaces de tomar
decisiones sensatas sobre lo razonable de los resultados, así como a ofrecer
un marco para el desarrollo conceptual de procedimientos de cálculos
mentales y escritos.
1) Etapas en el aprendizaje de las operaciones
“El problema pedagógico —según G. Mialaret— consiste en llegar a una
conexión entre una actividad determinada —real, imaginada o simulada—
y su traducción a un cierto lenguaje, lenguaje que utiliza sus propios signos
( + , - , x , : ) y sus fórmulas propias (frases utilizadas por los alumnos en la
redacción de las soluciones)”.
El mismo Mialaret (1967) señala una serie de fases para el paso de la acción
a la expresión simbólica en el aprendizaje de las operaciones aritméticas
básicas:
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Una primera fase o etapa en el aprendizaje de las operaciones consiste
en acción sobre objetos reales. La acción debe preceder a la operación
aritmética, así como el lenguaje ordinario/común precede al lenguaje
específicamente matemático. Esta fase no cumpliría su función si se limitara
a una simple manipulación estandarizada de materiales o situaciones. Casi
simultáneamente con la etapa de la acción real aparece la de la acción
acompañada del lenguaje, en donde cada acción o conjunto de acciones
se asocian con sus términos o verbo de acción (unir, juntar, disminuir,
sacar, quitar, repetir tantas veces, añadir tantas veces, distribuir en grupos
iguales, repartir,..). Diversas acciones pueden describirse con una sola
palabra: “restar’. Pero también una sola acción puede nombrarse de formas
distintas: “retirar’, “separar’, “quitar’, “restar’, “disminuir’, etc.
Según C. Maza (1989) conviene que la relación acción-verbo sea profundizada
desde la misma aparición de la acción infantil, de manera que estas acciones
no aparezcan desconectadas entre sí, sino que se reúnan en una misma
expresión y simultáneamente, estas expresiones verbales se conecten con
la acción correspondiente y no alcancen un valor propio ajeno a esta acción.
Ello facilitaría la elección de la operación adecuada en un problema verbal
dado.
En la tercera etapa, la conducta del relato, el alumno describe las causas,
etapas y efectos de una acción ya realizada y sin necesidad de volver a
repetir la acción. Esta etapa propicia/prepara para la expresión formal de
las operaciones. Constituye un sustituto de la acción directa. El alumno
en esta fase debe ser requerido a relatar lo sucedido, las características
del problema realizado y su estrategia de resolución. Podría enriquecerse,
siempre que ello fuera posible, con la dramatización/simulación física del
relato.
La etapa de traducción gráfica podría consistir en representaciones gráficas
más o menos esquematizadas (dibujos o modelos gráficos existentes,
diagramas,..) para expresar una relación cuantitativa. Una etapa intermedia
entre las dos anteriores es la acción con los objetos simples y consistirá en
operar, en las tres primeras fases, con elementos de distintos grados de
abstracción (material figurativo y material no figurativo: cromos y fichas,
por ejemplo). Es un paso más avanzado que el empleo de material real. El
último paso/fase, la traducción simbólica, constituye la expresión abstracta/
simbólica de la acción/operación en cuestión (+, -, x, :, ..).
A partir de aquí vendrán las consideraciones sobre la aplicabilidad de las
distintas expresiones simbólicas a situaciones reales que puedan plantearse
y ante problemas nuevos. Se considera con Mialaret (1986) que “la evolución
del pensamiento matemático del alumno comienza por un estadio concreto
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La enseñanza/aprendizaje de las competencias aritméticas
que después atraviesa un estadio formal para llegar a la capacidad de
resolver nuevos problemas concretos más difíciles”.
El siguiente esquema, adaptación de L.J. Blanco Nieto y M.A. Calderón
Trujillo (1994), considera los distintos pasos que deben tenerse en cuenta
en el proceso de enseñanza-aprendizaje de las diferentes operaciones
aritméticas básicas:
Durante la enseñanza de las operaciones sería útil tomar en cuenta los
siguientes aspectos:
1. Al inicio de la enseñanza enfatizar el uso de objetos concretos sobre
los cuales el niño ejecute físicamente las operaciones y permitirle el
uso de los dedos para contar.
2. Cuando el niño domine la ejecución de operaciones físicas sobre
objetos concretos, se le pedirá de manera gradual que resuelva
los problemas aritméticos imaginando mentalmente los datos del
problema o dibujándolos en su cuaderno.
3. Cuando el niño logre lo anterior con cierta facilidad, se le puede
empezar a plantear problemas aritméticos en forma simbólica; es
decir, utilizando sólo números y otro tipo de signos.
4. Si el niño encuentra dificultades al realizar una operación sería
conveniente sugerirle regresar a otro de los tipos de representación
para que comprenda mejor la estructura de la operación que el
problema requiere.
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II. Principios psicopedagógicos básicos en la enseñanzaaprendizaje de las operaciones aritmeticas basicas.
A continuación vamos a exponer una serie de orientaciones, estrategias
o principios que nos iluminen en el tratamiento psicopedagógico de las
operaciones aritméticas básicas:
II.1. Afrontar, desde el comienzo del tratamiento de la numeración las
cuatro operaciones basicas:
Se asociará/simultaneará la suma/resta (estructura aditiva) y la multiplicación/
división (estructura multiplicativa) utilizando, sistemáticamente, las
siguientes actividades:
Composición/descomposición numérica.
Seriaciones crecientes y decrecientes, con distintos intervalos.
Centros de cálculo, entendiendo por ello todas las maneras posibles
de llegar a un número valiéndose de todas las operaciones y sus
combinaciones posibles. Ejemplo: para tener 8 bolas podemos operar
de las siguientes formas:
Unir un grupo de 5 bolas y otro de 3 bolas.
Separar de un conjunto de 10 bolas 2 bolas.
Repetir un conjunto de 4 bolas dos veces.
Repetir un conjunto de 2 bolas cuatro veces.
Repartir en dos grupos iguales un conjunto de 16 bolas. .
Juntar dos grupos de 3 bolas con otro de 2 bolas.
II.2. Aprovechar, partir del conocimiento informal que el alumno trae a
la escuela conexionándolo al conocimiento formal.
Para ello hay que tener en cuenta las afirmaciones siguientes:
En el ambiente natural y sin instrucción formal, los niños activamente
desarrollan nociones matemáticas.
Aun cuando imperfecta y diferente a la forma de pensar del adulto,
estas matemáticas informales son relativamente poderosas (Ginsburg,
1989; Baroody, 1987; Hughes 1986)
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La enseñanza/aprendizaje de las competencias aritméticas
Deben servir cómo la base o fundamento para el aprendizaje posterior
de las matemáticas escritas o formales que se aprenden en el colegio
La importancia de las matemáticas informales radica en el hecho
comprobado que en los casos en que éstas no se desarrollan de
manera sólida, se observan dificultades que impiden un aprendizaje
significativo de las matemáticas formales que se enseñan en los
colegios (Ginsburg, 1989)
No se trata, pues, más que de partir de lo que los alumnos y las alumnas
saben o utilizan y de sus experiencias, con el fin de asegurar la construcción
de aprendizajes significativos. Acerca de la importancia de este aspecto
en el proceso de aprendizaje destaca la rotundidad de la afirmación de
Ausubel: “el factor más importante que influye en el aprendizaje es lo que
el alumno ya sabe. Averígüese esto y enséñesele en consecuencia”. Hay
que evitar la esquizofrenia que produce en el niño, “que vive y hace unas
matemáticas fuera de la escuela” y otras diferentes dentro del aula.
A los alumnos hay que evidenciarles que el simbolismo formal no es más
que una expresión simbólica de su conocimiento informal. En nuestros
diseños curriculares, a veces, la secuenciación no respeta este principio.
Los criterios que utilizamos son, normalmente, la costumbre, la estructura
de la matemática formal o el análisis de tareas. Olvidamos, gran parte de
las veces, el conocimiento informal del alumnado. Un caso lo constituye el
aprendizaje/construcción de la tabla de multiplicar por el tamaño de los
factores.
Sin embargo, como los niños aprenden de dos en dos, de cinco en cinco y
de diez en diez, antes de aprender a contar de tres en tres, de cuatro en
cuatro, etc., no se debe retrasar el aprendizaje/construcción de las tablas
del cinco y del diez.
Antes de recibir instrucción formal, los niños ya suelen resolver múltiples
problemas de sumar, restar, e incluso de multiplicar o dividir, mediante conteo
y uso de objetos. Por eso, parece razonable utilizar estos procedimientos
informales y no los algoritmos clásicos al comienzo de su aprendizaje.
II.3. L as operaciones y algorítmos que las explicitan deben constituir los
instrumentos para resolver situaciones problemáticas concretas
En ningún caso se debe trabajar una operación/algoritmo (suma, resta,
multiplicación o división) o una combinación de operaciones desgajadas
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o aisladas del contexto problemático o “campo de experiencia” que ha de
resolver. El algoritmo escrito, la cuenta en su caso, es un procedimiento
de resolución de problemas, no un fin en si mismo. Constituye un recurso
entre otros (dedos, palillos, ábaco, recta numérica, la acción misma,..)
para solucionar problemas reales. Primero, pues, debe estar la situación
problemática, el problema, y, después, las estrategias de solución, entre
las que los algoritmos más o menos abreviados (“las cuentas”) pueden ser
los más económicos en esfuerzos y en tiempos (pero no los únicos). No
se entiende, bajo ningún análisis razonable, la conveniencia de realizar
“cuentas aisladas” (kilométricas, a veces) sino como un exponente de la
ignorancia o comodidad. Criticamos, por lo dispedagógico, la acción
didáctica —muy frecuente todavía en nuestras escuelas—, de enseñar las
cuentas y, una vez mecanizadas, resolver problemas con las mismas.
El énfasis que muestra la enseñanza tradicional en la práctica rutinaria y
mecánica de los algoritmos (las cuentas) como paso previo a la resolución
de problemas, no contempla el hecho de que el conocimiento surge,
a menudo, de los mismos problemas. Este énfasis implica creer que la
habilidad de los cálculos precede a los problemas orales. Sin embargo es la
experiencia directa con los problemas orales la que ayuda a la capacidad de
realizar cálculos. Es preciso, pues, modificar sustancialmente las estrategias
docentes actuales; el conocimiento de los algoritmos y su comprensión
conceptual debería surgir, con frecuencia, de la experiencia directa con los
problemas; el aprendizaje del significado de las operaciones y la aplicación/
construcción de los algoritmos debe venir guiado por la búsqueda de
respuestas a problemas.
El aprendizaje de las operaciones incluye tanto al dominio de las diversas
estrategias de cálculo (entre las cuales están los algoritmos, las cuentas)
como el reconocimiento del campo de problemas que se resuelven con las
operaciones.
La estrategia psicopedagógica a seguir debiera respetar las siguientes fases:
1) Partir de una situación real surgida en el aula o suscitada por el
profesor (el profesor debe ser un diseñador de situaciones de
aprendizaje).
2) La soluciones que se vayan proponiendo se discuten y se seleccionan
los mejores procedimientos para encontrar la o las soluciones correctas.
3) Finalmente, se procede a trabajar individualmente el procedimiento
y el algoritmo consensuado como el más apropiado.
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La enseñanza/aprendizaje de las competencias aritméticas
Habría, pues, que reorganizar el currículo no en torno a los algoritmos,
sino en torno a los problemas, que son situaciones matemáticas con un
gran valor significativo, que el niño se plantea frecuentemente en su vida
cotidiana extraescolar.
II.4. Que no se presente o imponga ninguna técnica operatoria
aritmética (algoritmo) de manera estandar y mecánica (dirección,
llevadas, correr lugares,..) Sino partir de los procedimientos propios de
los alumnos.
Es conveniente animar a los alumnos a que inventen y construyan,
progresiva y reflexivamente, los algoritmos convencionales, abreviados o
estandarizados.
Centrar el aprendizaje de las operaciones aritméticas en la adquisición
mecánica e incomprensible de los algoritmos conduce no solamente a
obstaculizar los esquemas conceptuales que los alumnos han construido,
sino también a desvirtuar el conocimiento matemático mismo.
Se ha constatado que muchos niños renuncian a sus posibilidades de pensar
sobre lo que están aprendiendo, que son muchos los que se han habituado
a poner en práctica algoritmos sin preguntarse sobre las razones que les
dan origen.
Es posible que la prioridad atribuida a la enseñanza de mecanismos, en
detrimento del planteamiento de situaciones problemáticas que permitan
la construcción de relaciones y operaciones, los hayan llevado a la conclusión
de que el conocimiento matemático consiste en un conjunto de reglas más o
menos arbitrarios e incomprensibles. No aprenderán, por ello, matemáticas,
porque no es posible hacerlo renunciando al pensamiento matemático.
Se debe partir, pues, de materiales manipulativos (monedas, regletas,
ábaco,..) y hacerles llegar al lenguaje escrito y formal mediante un
proceso de esquematización y simbolización progresiva (forma expandida
o relacional, forma extendida, forma abreviada y forma estándar o
convencional). Este planteamiento está apoyado por Leif y Delazaly
cuando afirma: “ El mecanismo operatorio, es decir, la disposición
material de la operación, así como el desarrollo lógico de los reflejos,
razonamientos y gestos, deben ser copia fiel de la operación ejecutada
en forma manual y comprobada, mediante el experimento. La operación
escrita y su desarrollo reproducen la operación concreta que es su prueba
y, en cierto modo, su demostración”.
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La experiencia enseña, a este respecto, que los niños a quienes la operación
escrita fue explicada por numerosas manipulaciones, comete menos errores
que aquellos a quienes fue inculcada por mera imitación.
Es el mecanismo, más íntimamente conocido, el que ha llegado a ser, en
cierto sentido, transparente para la inteligencia familiar, de tal manera que,
si se produce cualquier “accidente”, el niño es capaz de buscar las causas y
hacer la corrección por sus propios medios.
A este respecto, posee mayor relevancia el cálculo por tanteo anticipado,
la previa aproximación al resultado, que la realización de cuentas largas,
artificiosas y aburridas.
El aprendizaje de las técnicas operatorias que se fundamentan en trucos
nemotécnicos, como es tradicional, bloquea el aprendizaje significativo y
funcional e impide el progreso matemático. La adquisición de los mecanismos
calculatorios no puede tener un fin en si mismo, sino que se deben plantear
estrategias que promuevan el desarrollo de la creatividad, de la divergencia
y originalidad, de la capacidad de crear y construir sistemas propios,..
Se trata, por ello, de ser coherente con el principio de primero comprensión,
después mecanización, entendiendo esto último como la rapidez en la
utilización de los automatismos precisos para la práctica habitual de las
matemáticas en las distintas situaciones de la vida sociolaboral y económica.
En todo caso, la palabra mecanización se debiera denominar fluidez por
la circunstancia de que el término mecanización guarda relación con lo
rutinario y automático.
La idea de un algoritmo fluido o mecanizado es positiva al facilitar la
comprensión de conceptos más complejos. Si se entiende el algoritmo como
un simple instrumento, valdría más soslayar su complicado aprendizaje
y dedicarse a enseñar al alumno el manejo de la calculadora. Es obvio
que comprender un algoritmo no es necesario para su utilización en la
resolución de problemas, pero si es imprescindible para su reconstrucción.
El algoritmo debe ser el producto final de un proceso de construcción lógico
que no impide su automatización, sino, más bien, todo lo contrario. Se
puede y debe aprender un algoritmo reconstruyéndolo, comprendiéndolo
y, posteriormente, automatizando su utilización.
Hay que optar por la comprensión y reconstrucción de los algoritmos por
las siguientes razones:
1. Potencia la capacidad básica de construir técnicas en una sociedad
donde las fórmulas rígidas, debido al rápido cambio tecnológico,
quedan rápidamente obsoletas.
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2. Los algoritmos, comprensivamente aprendidos, se recuerdan mejor
al permitir un almacenamiento más eficaz en la memoria a largo plazo.
Su recuperación es también más fiable al poder utilizar diversas rutas
de reconstrucción.
3. El conocimiento conceptual permite, asimismo, una mayor
transferencia en la utilización del algoritmo (aprendizaje de las
fracciones, números complejos, sistema métrico decimal, operaciones
algebraicas,..).
II.5. Contemplar las distintas situaciones matemáticas de todas y cada
una de las operaciones.
En coherencia con los cuatro puntos anteriores y considerando que
cualquier operación aritmética resuelve problemas de diferente estructura
semántica, es preciso abordar un trabajo sistemático sobre los distintos
tipos de problemas que, a través y con todas y cada una de las operaciones
se pueden resolver, y que se han intentado recopilar en una serie de verbos
de acción, validables en términos de conductas manipulativas.
Con estos verbos intentamos traducir las distintas situaciones matemáticas
con que los alumnos se van a encontrar en la manipulación y expresión
cuantitativa de su realidad circundante. Se pretende superar el
condicionamiento que supone el ejercitarles únicamente con términos
mentalistas de escasa o nula carga significativa o semántica y no traducibles,
claramente, en acciones, manipulaciones que, previa y necesariamente,
son precisas para una interiorización y conceptualización adecuada de las
operaciones.
Para la elaboración del inventario de verbos de acción aplicables al
tratamiento didáctico de las operaciones aritméticas básicas, se ha
partido de una concepción operativa de éstas, huyendo, en principio, del
condicionamiento y ausencia de significación real y concreta que supone la
utilización de la terminología y simbología, estrictamente matemática, de
los signos: más (+), menos (-), por (x),..
Los mismos verbos de sumar, restar, multiplicar o dividir, expresan una
acción abstracta y simbólica escasamente utilizada en el lenguaje común,
para expresar las acciones realmente ejecutadas o representadas. Hay
que pensar que la elaboración de los signos y de las normas que los
rigen, debe ser un proceso de construcción colectiva, una reinvención
o creación del grupo de alumnos del aula, que ponga de manifiesto la
convencionalidad del lenguaje.
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Muchas de las dificultades que tienen los alumnos al resolver los
distintos tipos de problemas se deben a su escaso o nulo trabajo en
la resolución de estos. A menudo, no saben cuando utilizar una de
estas operaciones por desconocimiento referente a los distintos tipos
de problemas que se pueden resolver con cada una de las operaciones,
atendiendo a la estructura semántica de los mismos y a los tipos de
ellos que comprenden (estructuras aditivas y multiplicativas).
Los problemas de estructura aditiva son todos aquellos para cuya
resolución intervienen sumas y restas y no pueden estudiarse en forma
separada, pues pertenecen a una misma familia, a un mismo campo
conceptual. Lo mismo habría que indicar sobre los problemas de
estructura multiplicativa, que son los que en su resolución intervienen
multiplicaciones y divisiones.
II.6. L a enseñanza-aprendizaje de los algoritmos debe contemplarse con
el tratamiento ponderado y relacionado -integrado del cálculo mental,
de la máquina de calcular y del cálculo estimado.
En un currículo de matemáticas auténticamente funcional y significativo
se deben trabajar, debidamente relacionadas e integradas, las tres formas
de cálculo (algorítmica, mental y con calculadora) conjugadas con el cálculo
estimado al que no hay que confundir con el cálculo mental. La estimación
puede y debe ser utilizada junto con los procedimientos con los que se
produce la respuesta, a modo de anticipar, controlar y juzgar la fiabilidad
y razonabilidad de los resultados. El esquema siguiente reproduce lo que
venimos diciendo:
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El uso frecuente de calculadoras, del cálculo mental o pensado y de
estimaciones, ayuda a que el alumno desarrolle un punto de vista más
realista sobre las operaciones y hace que puedan ser más flexibles en la
selección de métodos de cálculo. No es conveniente la práctica habitual
de aislar procedimientos de lápiz y papel centrándose en ellos durante
un periodo dilatado de tiempo, antes de presentar los otros métodos de
cálculo (mental, estimativo y con calculadora) ya que hace pensar al alumno
que calcular quiere decir, exclusivamente, utilizar métodos de papel y lápiz.
Entendemos por cálculo mental el conjunto de procedimientos que,
analizando los datos por tratar, se articulan sin recurrir a un algoritmo
preestablecido, para obtener resultados exactos o aproximados. Sus
procedimientos se basan en las propiedades del sistema de numeración
decimal y en las propiedades de las operaciones, y ponen en juego diferentes
tipos de escritura de los números, así como diversas relaciones entre los
mismos. En este sentido, no se opone al cálculo escrito sino que soporta
y se soporta en un aprendizaje pensado y reflexionado de los algoritmos.
El cálculo mental constituye una vía de acceso para la construcción
comprensiva y reflexiva de los algoritmos, así como una herramienta de
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control de los mismos. El profesor de matemáticas debe, puyes, acostumbrar
a sus alumnos a que frente a cualquier cálculo, tanto si lo ejecutan con
lápiz y papel, como con calculadora, hagan siempre un ensayo de cálculo
mental que les permita, posteriormente, evaluar el resultado. El alumno
debe habituarse a expresar, verbal y numéricamente, los pasos que ha
seguido y las estrategias que ha aplicado para resolver mentalmente el
cálculo efectuado, lo que contribuirá, necesariamente, a generar un cálculo
pensado y reflexionado, facilitador de la construcción de los distintos
algoritmos de lápiz y papel, ya que todo algoritmo escrito necesita, si es
aprendido significativamente, de cálculos mentales.
En cuanto al aprendizaje y uso de la calculadora, es preciso recordar que no
debe realizarse como un aprendizaje aislado dentro del currículo matemático
y que su uso no debe implicar la desaparición del aprendizaje del algoritmo
tradicional. Las calculadoras no sustituyen la necesidad de aprender hechos
básicos, de realizar cálculos mentales o efectuar cálculos razonados con
papel y lápiz. Parece oportuno el criterio restrictivo que muchos profesores
utilizan para descartar su uso durante la fase de comprensión-construcción
de los algoritmos o, por lo menos, evitar el uso abusivo de este instrumento.
La calculadora tiene un papel básico en las siguientes situaciones:
Cuando se realizan operaciones con grandes números o con un número
muy crecido de ellos.
En la misma fase de construcción inicial del algoritmo como elemento
motivador, así como en la realización de algunas actividades
exploratorias y de investigación.
Cuando se trate de comprobar cálculos estimados o exactos realizados
con lápiz y papel o mentalmente.
Cuando lo esencial sea que el alumno se centre en el proceso de
resolución de problemas y no en su aritmética o cálculos complejos
que se necesiten.
En cuanto al cálculo estimado hay que acostumbrar a los alumnos a evaluar
el grado de exactitud que se requiere en cada caso. No se trata de resolver
una operación sino de adelantar un valor para su solución, tan cercano al
real como el que calcula quiera admitir.
El cálculo estimad implica, pues, una inexactitud controlada. Tiene una
utilidad social y cognitiva importantísima. El uso y aprendizaje del cálculo
estimativo tiene sentido en las siguientes situaciones:
Para anticipar el resultado de una operación a fin de evitar la aplicación
irreflexiva y mecánica de algoritmos y de la calculadora, controlando
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la razonabilidad y coherencia de los resultados. Estos usos de la
estimación reducen drásticamente la incidencia de los errores en el uso
de las calculadoras y contribuyen al desarrollo del sentido numérico y
operativo de los niños.
En situaciones problemáticas que no requieran exactitud, pero si
buenas estimaciones.
Cuando el problema no pueda referirse con datos exactos.
No podemos olvidar que los niños ya están acostumbrados a efectuar
estimaciones al llegar por primera vez a la escuela. Este conocimiento
experimental proporciona la base para seguir desarrollando la capacidad
de estimar y aprender las técnicas más apropiadas.
Por otra parte, los niños observan con frecuencia que las destrezas de
estimación resultan útiles en la vida cotidiana, enjuician correctamente y
razonan de forma lógica cuando tienen que tomar decisiones cuantitativas
en la vida diaria.
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Capítulo III
Números y sistemas de numeración. Aproximación
histórica.
I) El origen del número y la numeración decimal.
Cuando nos enfrentamos a situaciones en las que deseamos saber cuántos,
nuestra primera actitud o conducta es la de contar. Pero los hombres que
vivieron hace millares de años no conocían los números ni sabían contar.
¿Cómo surgió, pues la noción de número? El contestar a esta pregunta y
obtener la respuesta puede alumbrar mucho el proceso de enseñanzaaprendizaje de esta noción.
Para contestar a esta pregunta se precisa tener una idea de cómo aquellos
hombres vivían y cuáles eran sus necesidades. En aquellos tiempos, el
hombre, para alimentarse, cazaba, pescaba y recogía los frutos que la
Naturaleza, gratuitamente, le dispensaba: para vivir utilizaba cuevas o
cavernas; para defenderse utilizaba palos y piedras.
No obstante, esta manera de vivir fue cambiando poco a poco. Por
ejemplo, encontrar alimento suficiente para todos los miembros de un
grupo se fue haciendo cada vez más difícil a medida que la población
aumentaba y la caza se iba haciendo cada vez más escasa. El hombre
comenzó a buscar formas más seguras y más eficientes de atender sus
necesidades.
Fue entonces cuando comenzó a cultivar plantas y a criar animales, surgiendo
la agricultura y el pastoreo. Hace, aproximadamente, 10.000 años, el hombre
se transformó en agricultor y en ganadero. Estamos hablando del periodo
Neolítico.
Los pastores tenían necesidad de controlar los rebaños. Necesitaban saber
si faltaban o no ovejas, .. ¿Cómo podían saber los pastores si alguna oveja se
les había perdido o si se les habían agregado ovejas de algún otro rebaño?
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Algunos vestigios señalan que los pastores realizaban el control de
su rebaño usando conjuntos de piedras . Al salir las ovejas, el pastor,
separaba una piedra por cada animal que salía y guardaba el montoncito
de piedras así formado. Cuando los animales volvían, el pastor retiraba
del montoncito una piedra por cada animal que volvía. Es obvio que
si sobraban piedrecitas sabía que faltaban ovejas. Si por el contrario,
le faltaban piedrecitas, era señal de que el rebaño había aumentado.
De esta manera rudimentaria mantenía todo bajo control. Una
relación del tipo: para cada oveja, una piedra, se llama en matemáticas
correspondencia uno a uno. Este medio poco elaborado consiste en
construir una colección o conjunto equivalente a la colección inicial,
a la colección que hay que representar. El conjunto de las piedrecitas
sustituye al conjunto de las ovejas.
Realizar la correspondencia uno a uno es asociar a cada objeto de una
colección un objeto de otra colección. Como se ha podido observar, el hombre
resolvió sus primeros problemas de cálculo utilizando la correspondencia
uno a uno. Esto constituye uno de los pasos decisivos para la construcción
de la noción de número.
Al final, alguna cosa común existía entre el montón de piedras y el grupo de
ovejas: si la cantidad de piedras correspondía exactamente con la cantidad
de ovejas, estos dos conjuntos tenían una propiedad común: el número de
ovejas y el número de piedras.
Pero, probablemente, el hombre no solo utilizó piedras para realizar
correspondencias uno a uno. Es muy probable que utilizara cualquier cosa
que tuviese muy a mano y nada tenía más a mano que sus propios dedos.
Ciertamente, el hombre primitivo utilizaría también sus dedos para realizar
conteos, levantando un dedo o varios por cada objeto o conjunto de objetos.
Entretanto le surgió un problema nuevo: levantar los dedos le permitía
saber, de momento, la cantidad de objetos, pero no le permitía conservar
esa información. Era fácil que se olvidara de cuántos dedos había levantado.
Amontonar piedras le permitía guardar o conservar la información por más
tiempo, pero este procedimiento no era muy seguro. Surgió, por tanto, el
problema de registrar las cantidades.
1) Los primeros registros de los números
En los museos de todo el mundo se conservan innumerables objetos con
marcas o señales, pertenecientes a épocas antiguas. Son trozos de palos con
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tallas, pedazos de barro con marcas y cuerdas con nudos. Existen cuevas en
cuyas paredes podemos observar marcas talladas o pintadas.
Todo esto parece señalar que el hombre sintió la necesidad de registrar el
total de objetos que contaba. ¿Y cómo hacía eso? Para registrar el total de
objetos utilizaría también la correspondencia uno a uno: una marca para
cada objeto.
Cuando el hombre precisaba contar una gran cantidad de objetos tuvo que
separar los objetos en montones o grupos para facilitar el conteo. Esto es lo
que hoy hacemos, por ejemplo, cuando contamos por docenas. Contar por
docenas es una manera de agrupar: agrupar de 12 en 12.
En muchas situaciones los agrupamientos son precisos y facilitan el trabajo
del conteo. Muchas de las cosas que compramos se embalan o empaquetan
en un determinado número de unidades.
Pero, ¿en qué etapa de la historia el hombre se percató que agrupar le
ayudaría a contar? Obviamente, no sería de un día para otro. Se supone que
las primeras formas de agrupar se relacionarían con las manos y también
con los pies. El hombre debió comenzar agrupando de cinco en cinco, de
diez en diez, de veinte en veinte, haciendo la correspondencia con los dedos
de las manos y de los pies.
Después de que al hombre se le ocurriera la idea de realizar agrupamientos
para facilitar el conteo de los objetos, le surgió el problema de registrar los
agrupamientos utilizando algún tipo de señal o marca. Veamos como esto
era preciso: si se imagina que un pastor emplease trazos o palotes para
representar cada oveja, en el caso de tener:
I I I I I I I I I I I I I ovejas,
esta representación no sería práctica. Tal vez la solución sería separar
grupos de señales o marcas: el pastor tendría
I I I I I I I I I I I I I ovejas
en este caso, las señales o marcas se han agrupado de diez en diez.
Todavía, en la actualidad, es muy corriente, en los juegos, contar los puntos
conseguidos registrándolos de cinco en cinco. Por ejemplo:
Ramón ha hecho:
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En esta etapa, el conjunto auxiliar (o las piedrecitas de la etapa anterior) se
sustituyó por un conjunto representado, siempre equipotente al conjunto
inicial, permitiendo una evocación inmediata del conjunto inicial en lo que
respeta a la cantidad.
Los agrupamientos vinieron exigidos cuando los números de trazos salían
de la zona del subitizing (percepción visual de una cantidad de objetos de
forma inmediata). Se pueden distinguir bien conjuntos tales como
IIIyIIII
Pero no ocurre lo mismo con:
IIIIIIIIIyIIIIIIII
Los egipcios basaron la organización de los agrupamientos en la duplicación:
Los babilonios se basaron en el principio de agrupamiento de tres en tres:
2) Un gran avance en las representaciones de los números: los
sistemas de numeración egipcio y romano
Se trata, ante la dificultad que plantea la representación a través de la
correspondencia término a término, crear y memorizar tantas señales
cuantas sean las cantidades contadas.
Los egipcios crearon un sistema muy interesante para escribir números
basados en agrupamientos:
El uno era representado por una marca que parecía un bastón;
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El dos por dos marcas
cambiado por otra señal
y, así, sucesivamente hasta el 10, que era
y que hoy conocemos como decena.
De esta manera continuaban hasta el 19:
11……………….
13……………….
19……………….
El 20 era representado por
, 30 se representaba por
, y así sucesivamente hasta llegar a 100, que se representaba por
De esta manera, intercambiando cada diez señales iguales por una nueva, los
egipcios antiguos escribían todos los números que necesitaban. Sin embargo,
utilizando el sistema egipcio, era muy difícil registrar ciertas cantidades y
realizar las operaciones aritméticas básicas. Se puede experimentar esta
dificultad si intentamos escribir 999 en el sistema egipcio comparado con
nuestra manera de escribirlo en el sistema decimal.
Distintas culturas antiguas, además de la egipcia, desarrollaron sus
propios sistemas de numeración. Algunas de ellas dejaron huellas y así,
por ejemplo, en el conteo del tiempo, agrupamos de 60 en 60: sesenta
segundos componen un minuto, 60 minutos componen una hora. Esto es
consecuencia del sistema de numeración desarrollado en Mesopotamia
hace más de 40.000 años. Allí se utilizaba la base sesenta.
Otra huella o restos de una numeración antigua puede ser observada en los
relojes para señalar las horas en la indicación de las fechas y de los capítulos
de los libros: son los símbolos de la numeración romana.
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Los símbolos utilizados en el sistema de numeración romana son los
siguientes:
I= 1; V=5; X=10; L=50; C=100; D=500; M=1000
En este sistema, para no repetir 4 veces un mismo símbolo, utilizaban la
sustracción. Por ejemplo:
4=IV5-1
40=XL50-10
44=XLIV (50-10)+(5-1)
Como ocurría en el sistema egipcio, la escritura de ciertos números y la
realización de operaciones se tornaban en algo muy difícil. Por ejemplo,
escribir 3888 pone de manifiesto esta grave dificultad:
MMMDCCCLXXXVIII
1. El sistema de numeración decimal: solución simple y, a la vez,
económica
Tanto la numeración egipcia como la romana eran poco prácticas en
comparación con nuestro sistema de numeración, ya que para representar
ciertos números esos sistemas precisaban emplear y ordenar una gran
cantidad de símbolos.
Con nuestro sistema de numeración, utilizando únicamente diez símbolos
diferentes, podemos escribir cualquier número, mientras que en las
numeraciones egipcias y romanas, para escribir números muy grandes era
preciso crear nuevos símbolos, uno para el millón, otro para diez millones,
otro para cien millones,..
Al propio tiempo, esos sistemas presentaban, además, otra dificultad: era
muy difícil y laborioso realizar cálculos utilizando sus signos y reglas.
Estas dificultades fueron superadas por los hindúes, que fueron los
inventores de nuestro sistema de numeración. Ellos supieron reunir tres
características que ya aparecieron en otros sistemas de numeración de la
antigüedad:
El sistema de numeración hindú es decimal (el egipcio, el romano y el
chino también lo eran)
El sistema de numeración hindú es posicional (el babilónico también
lo era)
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El sistema de numeración hindú tiene el cero, es decir, un símbolo para
la nada, para la ausencia de cantidad.
Estas tres características, reunidas, convirtieron al sistema de numeración
hindú en el más práctico y económico de todos. No por causalidad es por
lo que, en la actualidad, se utiliza en casi todo el mundo. Analizaremos,
a continuación, las características de nuestro sistema de numeración para
comprender sus reglas de funcionamiento. Sin una comprensión clara
del sistema de numeración decimal es imposible entender las técnicas
operatorias, los números decimales y el sistema métrico decimal.
Anteriormente observamos que para contar cantidades grandes de objetos,
se acostumbra a agrupar los objetos: así, para contar las bolitas de este
dibujo:
Podemos agruparlas, por ejemplo, de 3 en 3, de 5 en 5,.. Sin embargo,
nuestra costumbre es agruparlas de 10 en 10:
pueden registrar los resultados de este conteo de estas maneras:
S e
Hay que borrar dos bolas del grupo de diez y poner en 6 las bolas sueltas
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Vamos a aumentar el número de bolas y agruparlas así:
Se pueden reagrupar, es decir, agrupar los grupos
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Agrupar y reagrupar de 10 en 10 es una de las características de
nuestro sistema de numeración que, por eso, se le denomina sistema
de numeración decimal. También se dice que nuestro sistema de
numeración es de base 10.
Los agrupamientos de grupos de diez son denominados centenas; los
grupos de diez, decenas, y los objetos sueltos, unidades.
El hábito de agrupar de 10 en 10 se presenta, como hemos dicho, en
otros sistemas de numeración, como el romano y el chino, por ejemplo.
Sin duda se relaciona con la utilización de los dedos en la realización
de los conteos. Entendemos que fue con la utilización de los dedos de
las manos como el hombre aprendió a contar. Hasta hoy continuamos
haciendo esto y, como veremos, es un excelente recurso didáctico para
que los niños aprendan el manejo de nuestro sistema.
No obstante, el hombre no se conformó solo con utilizar sus manos.
Inventó algunos instrumentos para ayudarse en sus cálculos. Dentro de
esos instrumentos destaca el ábaco por su eficiencia y simplicidad. Se
continúa utilizando todavía tanto para el control de ciertos juegos (el
billar, por ejemplo) como para el aprendizaje del sistema posicional de
numeración.
Existen diversos tipos de ábacos, pero todos obedecen básicamente a
los mismos principios. Vamos a describir el más simple: en un marco de
madera se fijan algunos alambres; en cada hilo de alambre se insertan
diez bolitas que se pueden desplazar de un lado a otro. Las del primer
alambre representan a las unidades; las del segundo alambre, a las
decenas; las del tercer alambre, a las centenas; y así sucesivamente,..
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¿Cómo utilizamos el ábaco? Vamos a imaginar que queremos contar a
los alumnos que entran en el Colegio, pasando uno a uno por la puerta.
Inicialmente, en el ábaco, todas las bolitas deben estar en el lado izquierdo,
tal como aparece en la figura 1.
1.Por cada alumno que entra en el colegio trasladamos una
bolita del primer alambre hacia la derecha. Así hasta 10:
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2. Cuando las diez bolitas del primer alambre está a la derecha,
trasladamos una bolita del segundo alambre a la derecha y trasladamos
las diez bolitas del primer alambre hacia la izquierda:
3.Así, continuamos el conteo: cuando las diez bolitas del segundo alambre
estén a la derecha, trasladaremos una bolita del tercer alambre hacia la
derecha y las bolitas del segundo alambre volverán hacia la izquierda:
Supongamos que, al terminar el conteo, ésta sea la disposición de las bolitas
en el ábaco:
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Podemos registrarla de esta manera:
Centenas
decenas
unidades
365
El número total de alumnos es:
o sea:
3x100+6x10+5x1=365
300+60+5=365
Se observa, pues, que aunque en el ábaco todas las bolitas son iguales,
su valor depende del hilo de alambre en que está situada. Ciertamente,
fue esta característica del ábaco la que hizo surgir la idea de dar valores
diferentes a una misma cifra o guarismo, dependiendo del lugar en que
estaba escrito.
Antes de aparecer el sistema de numeración desarrollado por los hindúes
el principio posicional ya aparecía en otros sistemas de numeración como
el de los babilonios. Sin embargo, fue en la numeración hindú donde este
principio se desarrolló con mayor fuerza. Pero esto sucedió gracias a la
invención-creación de un símbolo para la nada, es decir, el símbolo del cero.
Estamos tan habituados al sistema de numeración decimal que nos
parece increíblemente simple. Pero, desde las épocas en las que los
hombres realizaron sus primeros conteos hasta la aparición del sistema de
numeración hindú transcurrieron millares de años. Es sorprendente que
diversas civilizaciones, de la antigüedad, como la de los egipcios, la de los
babilonios o la de los griegos, capaces de realizaciones maravillosas, no
hubieran conseguido un sistema de numeración tan funcional como el de
los hindúes.
¿A qué puede deberse tanta dificultad? Una posible respuesta a esta
pregunta nos lleva al cero, es decir, a un símbolo para la nada. Es fácil
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comprender el porqué de esa tardanza: los números fueron creados por
los hombres como un recurso para ayudarles en los diversos conteos que
necesitaban realizar en el día adía. Los números surgieron de la necesidad
de determinar cantidades. Ahora bien, quien no tiene ninguna cosa, ¿qué
necesidad puede tener de contar lo que no tiene?
El cero surgió cuando se procuró representar, fielmente, con símbolos en el
papel, lo que ocurría en el ábaco. Si se observan las cantidades indicadas en
cada uno de los ábacos siguientes
Podemos registrarlas en nuestro sistema de numeración decimal con 34 y
304. Cuando escribimos 304, el símbolo 0 indica que en la segunda fila del
ábaco no hay bolitas en el lado derecho. Además en sustitución del símbolo
0 se podría utilizar cualquier otro recurso o indicador como, por ejemplo, un
espacio en blanco: 3 4. Se estaría, del mismo modo, usando un símbolo para
la nada. Sin embargo, esta manera de representar la ausencia de cualquier
orden de unidades (las decenas en este caso) traería o acarrearía problemas
por prestarse a la confusión: no se percibe igual un espacio vacío que un
símbolo como el 0. Por ejemplo la distinción 34 ( treinta y cuatro),
3 4 (trescientos cuatro) y 3 4 (tres mil cuatro).
Después de haber sido inventado el cero para resolver un problema del
sistema posicional de numeración, sucedió un hecho interesante: el cero
pasó a ser tratado como cualquier otro de los nueve símbolos. El cero pasó
a ser tan número como los otros. La nada se volvió también número, siendo
introducido en la secuencia: 0,1,2,3, etc.
Para finalizar esta exposición y propiciar la comprensión de nuestro sistema de
numeración se va a comparar y a confrontar con los sistemas de numeración
egipcio y romano. Señaliza esta comparación señalando las características
básicas de estos sistemas:
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A) Base
Como se vio la base de un sistema es la cantidad elegida en el procedimiento
de agrupar y reagrupar:
En nuestro sistema la base es diez
En el egipcio la base es diez
En el romano la base es diez
Se observó que en el sistema romano los símbolos son siempre reagrupados
de diez en diez: diez I forman una X, diez X forman una C, diez C forman
una M. En este caso puede surgir la duda ya que cinco I son sustituidas
por una V. Sin embargo, no existen reagrupamientos de cinco. Cinco V no
pueden ser cambiadas por un símbolo nuevo. Los símbolos V, L y D que
indican, 5, 50 y 500 son utilizados solamente para simplificar la escritura.
B) Valor posicional
Nuestro sistema es posicional: 51 es diferente de 15.
El egipcio no es posicional: es indiferente 12 de cualquiera de estas dos
maneras:
El romano es posicional, pero en el mismo sentido que nuestro sistema.
Es distinto escribir VI (seis) que IV (cuatro.
C) Cero
nuestro sistema tiene un símbolo para la nada
el egipcio no tiene cero
el romano no tiene cero
D) Principio multiplicativo
El sistema posicional, como en el nuestro, se basa en el principio multiplicativo:
cada cifra o guarismo representa el producto del mismo por el valor de su
posición o lugar que ocupa. Por ejemplo, en nuestro sistema, al escribir el
número 245,
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5 significa 5x1
4significa 4x10
2 significa 2x100
En el sistema egipcio y en el sistema romano no tiene validez el principio
multiplicativo.
E) Principio aditivo
El número representado es la suma de los valores que cada uno de
los símbolos representa. El principio aparece en los tres sistemas que
venimos considerando:
en el sistema egipcio,
=100+100+10+1+1+1
En el sistema romano, CXXVII= 100+10+10+5+1+1
Sin embargo, en el sistema romano el principio aditivo precisa ser aplicado
con cuidado ya que en él existe también el principio sustractivo. Por ejemplo:
La lectura correcta de CXLIX es 100+(50-10)+(10-1)=149, una lectura
equivocada sería, CXLIX= 100+10+50+1+10=171
F) Cantidades de símbolos diferentes.
¿Cuántos símbolos distintos se necesitan para escribir cualquier número?
En nuestro sistema con solo diez símbolos diferentes; 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0,
se escribe cualquier número
En los sistemas egipcios y romano, por muchos símbolos que se
creasen, siempre sería posible y necesario pensar un número que para
ser escrito o representado precisaría de un nuevo símbolo. Serían,
pues, necesarios infinitos símbolos.
2) L a historia del sistema de numeración decimal.
Se han visto las características de los sistemas de numeración egipcio y
romano. Otras civilizaciones de la antigüedad como la de los babilonios,
griegos, chinos, e hindúes, crearon sus propios sistemas de numeración.
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Los mayas, que vivieron en la América Central, en épocas más recientes,
también desarrollaron una manera interesante de registrar los números.
Es interesante percatarse que estas civilizaciones no vinieron unas a
continuación de otras. Por el contrario, muchas coexistieron durante
siglos y, aún localizadas en regiones distintas, mantuvieron contactos
unas con otras. Con la excepción de los mayas, que habitaban en América,
las civilizaciones de Europa, Oriente y Oriente Medio, intercambiaban
mercancías y conocimientos.
El intercambio cultural implicó también los conocimientos matemáticos de
aquellos pueblos y se reflejó en sus formas de contar y escribir los números.
La historia de los sistemas de numeración desarrollados por nuestros
antepasados se confunde muchas veces con la propia historia de sus
creadores. Las condiciones en que las civilizaciones del pasado surgieron
y evolucionaron llevaron al desarrollo del conocimiento práctico que
constituirían el embrión de nuestros amplios y diversificados conocimientos
actuales en todas las áreas. De esta manera la matemática se desarrolló,
inicialmente, a partir del modo de vida y de las necesidades cotidianas de
aquellos pueblos.
Las grandes civilizaciones del pasado se desarrollaron en las márgenes
de los grandes ríos y dependían básicamente de la agricultura. Para la
organización de las tareas agrícolas era necesario, antes de nada, repartir las
tierras y calcular la extensión que correspondería a cada agricultor. A partir
de estos problemas se desarrollaron las prime ras nociones geométricas y
de medidas.
Por otro lado, calcular o medir la cantidad producida de cereales, distribuirlos
entre la población, comercializar los productos agrícolas, constituían
actividades que exigían un sistema de numeración y técnicas de cálculo.
También era de especial interés prever las épocas de lluvia y de sequía, de
frío y de calor, o sea, las estaciones del año que determinaban las épocas
de siembra y cosecha. La previsión de las estaciones solo fue posible en
función de la observación cuidadosa de los movimientos de los astros y
de la posición del Sol, de la Luna y de las estrellas en las diferentes épocas
del año. Los pueblos de la antigüedad, así como los pueblos americanos
que más se desarrollaron (los mayas, los aztecas y los incas), inventaron
sus calendarios, que exigían conocimientos astronómicos y habilidades de
cálculo.
Sin embargo, nuestros antepasados no se limitaron a conocimientos de
carácter práctico. Fueron más lejos por el placer del conocimiento por sí
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mismo. En esto destacaron mucho los griegos. En el campo de las Matemáticas
la ciencia de los griegos alcanzó un gran desarrollo en el siglo IV a. de C.
con Euclides, cuya obra sobre Geometría influye sobre la enseñanza de esta
parte de las Matemáticas, hasta hoy, en muchas de nuestras escuelas. Los
griegos crearon su propio sistema de numeración de base 10, utilizando
letras para representar los números, lo que no facilitaba los cálculos.
Los romanos, que ampliaron sus dominios a partir del siglo V a.C., asimilaron
una parte de la Ciencia griega, interesándose sobre todo por sus prácticas
tanto en la ingeniería (construcciones de calzadas y acueductos) como en
la medicina. En el campo de la Matemática no contribuyeron de manera
especial.
Las invasiones bárbaras, en los siglos V y VI d.C., acabaron por destruir al
Imperio Romano y sumergieron al mundo occidental en un mundo poco
favorable al desarrollo de la Ciencia.
Sin embargo, en tanto el Imperio Romano declinaba, una gran civilización
florecía en el Oriente, en el valle del río Indo, entre las regiones que
actualmente constituyen Paquistán y la India.
En ese valle, hace más de 4.000 años, se construyeron varias ciudades,
con calles, calzadas, sistemas de abastecimiento de agua y canalizaciones.
Sus habitantes practicaban un comercio bastante intenso intercambiando
mercancías con otros pueblos.
Como no podía dejar de ser, en una sociedad con este nivel de organización,
los habitantes de la región poseían un lenguaje escrito y un sistema
numérico. Sin embargo, éste no era todavía el sistema de numeración que
utilizamos hoy. Pasaron algunos siglos hasta que los hindúes desarrollaron
el sistema de numeración decimal. No existen muchos documentos sobre la
matemática conocida por los hindúes de la antigüedad. Por ello es imposible
saber, con exactitud, cuando y cómo los hindúes llegaron al sistema de
numeración decimal posicional. Lo que se tiene claro es que, alrededor del
siglo V, ya lo utilizaban.
Sin embargo, una cosa es cierta: los hindúes tuvieron contactos con muchas
otras civilizaciones, las influenciaron y fueron influenciados por ellas. El
principio posicional, presente en la numeración hindú, también aparece en
el sistema numérico babilónico, y se sabe que hubo contactos entre estos dos
pueblos. La base diez, que es una característica del sistema hindú, también
era empleado por los egipcios y los chinos. Esto se puede explicar por el
hecho de que todos tuviesen diez dedos en las manos, tal vez, también sea
debido al intercambio que hubo entre ellos.
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La enseñanza/aprendizaje de las competencias aritméticas
El cero, que es otra característica importante de la numeración hindú, tal
vez no sea una creación de ellos. Hay indicios de que, en la fase final de la
civilización babilónica, ya se utilizaba un símbolo para la nada.
No obstante, un gran mérito debe atribuirse a los hindúes: la de reunir
estas diferentes características en un mismo sistema numérico.
El intercambio cultural entre los pueblos de la antigüedad también se revela
en el uso del ábaco, cuyo origen no es conocido, pero que sabemos que era
utilizado por los chinos, hindúes y romanos. Es cierto que el ábaco tuvo gran
importancia en la creación/invención de nuestro sistema de numeración.
En el extremo oriental de la gran extensión que constituyó el imperio árabe,
entraron en contacto con la cultura hindú y se interesaron, especialmente,
por la astronomía, la aritmética y el álgebra, bastante desarrollados en la
civilización hindú. Estudiaron, básicamente, el sistema numérico hindú,
reconociendo su simplicidad y practicidad.
Los árabes, que habían penetrado en Europa y dominaban la península
Ibérica, fueron los introductores de las obras de los hindúes, las cuales
tradujeron y difundieron.
A los diez símbolos de nuestro sistema de numeración se les llama dígitos
o guarismos. Por ejemplo, se dice del número 306 que tiene tres dígitos o
tres guarismos. La palabra dígito viene de la palabra latina “digitus”, que
significa dedo. Está clarísimo que esta denominación está relacionada con
el uso de los dedos en el conteo.
Es curioso el origen de la palabra guarismo. En el siglo IX vivió un matemático
y astrónomo árabe que se hizo famoso y que se llamaba Moaahammed
ibm-Musa al-Khowarizmi. Escribió un libro titulado “Sobre el arte hindú de
calcular”, donde explicó minuciosamente el sistema de numeración hindú.
A pesar de que al-Khowarizmi explicó bien claro que el origen de aquellas
ideas que él explicaba en su libro eran hindúes, la nueva numeración se
empezó a conocer como la de al-Khowarizmi. Con el tiempo, el nombre del
matemático árabe fue modificado acabando, en la lengua española, por
llamarse guarismo.
El sistema de numeración decimal llegó a Europa, traído por los árabes,
alrededor del siglo VIII, cuando los europeos estaban acostumbrados a
utilizar la numeración romana. No fue hasta el siglo XVI cuando las nuevas
ideas del sistema de numeración decimal triunfaron definitivamente, tras la
oposición e, incluso, persecución oficial de que fueron objeto.
La escritura de los guarismos, debido a que los libros eran copiados
manualmente, fueron objeto de muchos cambios. Cada copista tenía su
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caligrafía y le imprimía, consecuentemente, sus peculiaridades. No fue hasta
el siglo XVI cuando las cifras escritas adquirieron las formas y características
actuales.
L a denominación oral de los números: sus especificidades.
Se han examinado algunos sistemas de numeración interesándonos
por su forma numeral escrita. Pero para las situaciones cotidianas, para
las necesidades de intercambio comercial, para comunicar oralmente
cantidades,.., tenemos necesidad de poder decirlas, esto es, encontrar un
medio de nombrarlas u oralizarlas.
Contrariamente a los sistemas de representación escrita, sabemos muy poco
de los sistemas de denominación oral de los números.
Para los sistemas de numeración que disponen de un símbolo distinto para
cada nivel de agrupamiento no es difícil pensar en palabras diferentes
asociadas a cada uno de estos símbolos. Por ejemplo, en el sistema egipcio
los agrupamientos de 1.000 se representaban por un “Lotus”: con toda
seguridad, una palabra derivada de “Lotus” serviría para designar un
“millar”.
Pero, ¿cómo denominar o decir el número de repeticiones de cada nivel de
agrupamiento? ¿Cómo decir, por ejemplo, “tres mil”? .Probablemente, pero
es sólo una hipótesis, se optaría por “nombrar” el número de repeticiones
utilizando palabras convencionales, arbitrarias como las que en la actualidad
se utilizan para leer los guarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8,9. A fin de cuentas,
como se lee actualmente el número 3.204 tres x mil + doscientos + cuatro,
los egipcios deberían decir algo así como “tres” lotus, “dos” espirales y
“cuatro” bastones.
Para los sistemas de posición la situación es, de alguna manera, inversa.
Se dispone de signos arbitrarios para indicar el número de agrupamientos
a los que se puede asociar de manera también arbitraria palabras. La
idea base es la siguiente: ya que sería imposible inventariar y memorizar
un infinito número de símbolos, ciñámonos a un número finito y a las
reglas de construcción a aplicar a estos de forma que se obtengan nuevas
denominaciones “compuestas” a partir de unos cuantos signos o símbolos
de base. Estas reglas o algoritmos de construcción van a funcionar como una
“sintaxis” rigiendo un “alfabeto”. Alfabeto y sintaxis definen en común un
sistema numérico. La practicidad/funcionalidad de una numeración vendrá
dada por la mejor adecuación posible entre el tamaño del alfabeto (cuanto
más amplio será más difícil de manejar) y la facilidad de utilización de la
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La enseñanza/aprendizaje de las competencias aritméticas
sintaxis que lo rige (siendo la recursividad la que posibilita la máxima
facilidad, es decir, la utilización de una regla única que actúe sobre sí
misma).
Si la numeración oral fuera exactamente calcada de la numeración
escrita, para decir el número 3.256, se diría “tres-dos-cinco-seis”,
exactamente como se escribe. Pero sería necesario esperar al final de
la numeración para conocer el orden del tamaño del número (unidades
de millar en este caso) y resultaría muy complicada su decodificación
al receptor.
Sin embargo, la solución que se ha alcanzado, a pesar de sus numerosas
irregularidades, facilita mucho las cosas. Nuestro sistema de numeración
oral ha generado palabras suplementarias para denominar potencias
de su base: diez, cien, mil, millón, billón,..
Hay que matizar que no todas las potencias de 10 son denominadas
por una única palabra. Para leer “100.000” combinamos las
palabras disponibles y decimos “cien mil”. Estas palabras simplifican
considerablemente la denominación oral de los grandes números y
facilitan su memorización: desde el comienzo de la denominación oral
el interlocutor puede percatarse del orden del tamaño del número de
que se habla. La ausencia de un agrupamiento u orden de unidades
se detecta por la ausencia de la palabra asociada en “mil cuarenta
y cinco”, por ejemplo, no se ha mencionado el agrupamiento de las
centenas.
No obstante, en nuestra lengua las palabras-número utilizadas no
siguen totalmente la lógica presente en la escritura de las cifras. Por
ejemplo, los números 11, 12, 13, 14 y 15, podrían leerse “diez y uno”,
“diez y dos”,.. como los números 16,17,18 y 19.
Las palabras-número “once”, “doce”, “trece”, “catorce” y “quince”,
obedecen a otra lógica ligada a la evolución fonética inaccesible a los
niños. Estas palabras específicas son fuente de dificultad al nivel de su
memorización y manejo. Son palabras que, en una didáctica acertada,
habría que suprimir en una primera fase de aprendizaje.
De la misma manera, el nombre de las decenas también produce algunas
dificultades. Mientras que 20, 30,40,.., podrían leerse perfectamente
“dos diez”, “tres diez”, “cuatro diez”,.. como los números “dos cientos”,
“tres cientos”, “cuatrocientos”, utilizamos las palabras “veinte”,
“treinta”, “cuarenta”,.. En el proceso de enseñanza -aprendizaje se
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intentará, en un primer momento, obviar esta dificultad añadida al
aprendizaje de la numeración.
Finalmente, existe otra irregularidad al utilizar “cien”, “mil” y no “un
cien”, “un mil”. Los ingleses dicen, en estos casos, “one hundred”, “one
thousand”,..
Estas irregularidades son, probablemente, consecuencia de una numeración
primero hablada pero ligada a usos prácticos más que a una construcción
tan lógica como la que presenta nuestro sistema de numeración escrito.
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Capítulo IV
L a enseñanza aprendizaje del número y de la numeración
Los puntos de vista relativamente pesimistas de Piaget sobre las habilidades
y capacidades de los niños pequeños tuvieron el efecto de limitar las
expectativas sobre los que podían aprender y lo que se les podía enseñar .
Por ejemplo, él creía que los niños de educación infantil estaban en la etapa
preoperatoria y que eran incapaces de pensar lógica y sistemáticamente o
de construir conceptos abstractos( por ejemplo, el verdadero concepto de
número o la comprensión de la aritmética).
Las visiones pesimistas de los teóricos sociales reforzó el enfoque minimalista
de la enseñanza de las matemáticas en la infancia temprana.
Algunos autores infantiles impedidos por esta corriente afirmaron :”Los
niños pequeños no debería hacer matemáticas… no es apropiado”
Hasta hace poco tiempo , estas respuestas reflejaban la actitud más común
en nuestra cultura sobre la enseñanza de las matemáticas a los niños de
educación infantil.
Las críticas, no obstante al modelo piagetiano, han sido variadas y aunque
algunas de ellas no son fundadas , otros trabajos experimentales llegan
a poner en duda el modelo operatorio del número defendido por Piaget
considerando que el modelo proporciona una información incompleta de
las competencias numéricas en el niño.
En los últimos años del S. XX, los psicólogos adoptaron un punto de vista
extremadamente optimista y se centraron en lo que los niños pueden hacer
(Gelman, 1979). Este autor llegó a afirmar que los niños están dotados de
forma innata de los principios del conteo- principios que le permiten contar
de forma no verbal(utilizando etiquetas o representaciones no verbales) y
que los niños pequeños pueden aprender rápidamente los nombres de los
números y como usarlos en actividades de conteo.
Este enfoque alternativo mantiene que no es clara la relación entre el desarrollo
del número y las operaciones lógicas .Al contrario, defiende que la comprensión
del número se desarrolla gradualmente a través de la experiencia de conteo del
niño(Gelman y Gallistei, l978). Según este marco teórico, al que nosotros nos
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vamos adscribir, el conteo es visto como una noción más compleja —y no sólo
como un recitado memorístico de la cadena numérica oral— que va desde niveles
concretos a niveles más abstractos. La iniciación del niño en el mundo del número
se da en contextos de crianza , de manera que las interacciones que se producen
en el seno familiar tienen relación con producciones numéricas: canciones con
números, rimas, juegos, cumpleaños, etc. En el desarrollo temprano se enfrentan
, pues, a los números de formas muy variadas.
Este enfoque ha permitido conocer e identificar con precisión la progresión y
desarrollo del cocimiento matemático entre los dos y los siete años de edad . Las
conclusiones de estos diversos estudios asumen que además de las operaciones
lógicas piagetianas , varias destrezas de conteo son también importantes para el
desarrollo del número y así, el sistema de numeración convencional empezaría
en la infancia temprana con la adquisición de la secuencia verbal de la cadena
numérica :
Algunos estudios como el de Clements(1984) han mostrado que el entrenamiento
a un grupo de niños de cuatro años en destrezas de conteo producía una
mejora no sólo en el conteo sino también en las tareas piagetianas de seriación
y clasificación.
I) L as concepciones actuales sobre la enseñanza aprendizaje del
número.
En la actualidad se plantea la problemática de la enseñanza -aprendizaje de
los números y de la numeración de una manera distinta.. No se trata de un
cambio radical como ocurrió con la reforma de la Ley General de Educación
llamada de las “Matemáticas Modernas”, sino de una síntesis y profundización
de diferentes planteamientos y/o enfoques. Actualmente, parece posible
extraer algunas orientaciones de la experiencia de estas últimas décadas a la
luz de los avances que nos aporta la psicología cognitiva y el propio desarrollo
de la didáctica de la matemática. Estas aportaciones han conducido a revisar
las condiciones de la construcción/aprendizaje de los números por los alumnos.
Se van a analizar, en primer lugar, los aspectos relativos a los contenidos
a enseñar: ¿Qué aspectos de los números, qué prácticas numéricas
conviene desarrollar con los alumnos de educación infantil y primaria
para que estos atribuyan y confieran sentido y significado a los números
y sus denominaciones? , ¿Cómo contemplar los procedimientos iniciales de
los alumnos y, particularmente, cómo guiarlos a utilizar y enriquecer sus
prácticas de enumeración o conteo?
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La enseñanza/aprendizaje de las competencias aritméticas
El análisis y las propuestas que se desarrollan se organizarán, básicamente,
alrededor de dos ejes básicos:
1. Los conocimientos numéricos adquieren significado y sentido,
fundamentalmente, por los problemas que permiten resolver
eficazmente.
Para plantear el aprendizaje de los números mediante la solución de
problemas, en principio hay que identificar los diversos usos de los
números:
- Medir una colección: asignar un número natural a una colección
- Producir una colección: operación inversa a la anterior
- Ordenar una colección: asignar una determinada posición a los
elementos de una colección.
2. Lo “nuevo” se construye a partir de lo “antiguo”, perfeccionándolo
o rechazándolo (como insuficiente o inapropiado) y, por tanto,
conviene en cualquier proceso de enseñanza -aprendizaje, contemplar
los conocimientos previos: unas veces como punto de apoyo o de
partida, otras veces como motivos de posibles dificultades a las que el
alumno deberá enfrentarse para construir nuevos conocimientos. Se
trata de contemplar estos conocimientos previos o iniciales, por muy
incompletos e imperfectos que sean, para llenar de sentido a los que
se intentan desarrollar o incluso para evitar que esos conocimientos
iniciales no se transformen en obstáculos cuando sean erróneos.
II)Aspectos que definen la actual concepción de la enseñanza/
aprendizaje del número.
a) Tener en cuenta las competencias numéricas de los alumnos:
Esta posición, claramente cognitivista, se asienta en las concepciones de
diversos autores (Ausubel, Gelman, Vigotsky,..). En el anexo I se ofrece un
cuadro para obtener el diagnóstico en educación infantil y primer curso
de E. Primaria de los conocimientos iniciales de los alumnos en el campo
numérico.
Si observamos a los alumnos al inicio de la educación primaria cuando
cuentan, enumeran, construyen una colección o conjunto de un número
dado de elementos, así como cuando observamos sus procedimientos
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para resolver “sencillos” problemas aritméticos, detectaremos una gran
heterogeneidad así como una gran inestabilidad en sus saberes y/o
competencias.
En lo que respecta al conocimiento y memoria de la secuencia numérica
las observaciones muestran que muchas veces se recita comenzando por
una secuencia correcta (estable y convencional) más o menos extensa. La
mitad de los alumnos recitan más allá del diez (y en bastantes ocasiones,
por encima del veinte), aproximadamente un diez por ciento recitan por
encima del cuarenta; sólo un escaso número de niños de estas edades ( seis
años aproximadamente) no rebasan en su recitado el cuatro o el cinco. Para
tres alumnos de cada cuatro el conocimiento de la secuencia numérica le
permite enumerar/contar correctamente colecciones de objetos (teniendo
en cuenta, como es obvio, que la cantidad de objetos a contar pertenezca
al campo o domino propio del niño). Los errores en la enumeración al
comienzo de la educación primaria son los mismos que en la educación
infantil. Barody y Ginsburg {1982) señalan los siguientes:
=> Errores de secuencia: Se producen por el hecho de decir de forma
incorrecta, ya sea por doble recuento u omisión.
=> Errores de partición: No se establece un orden que permita llevar
un control entre los objetos contados y no contados, por lo que
quizás cuenten un objeto más de una vez. Es importante aclarar que
cuando los objetos están ordenados en hilera se reducen los errores
de partición; pero los niños y niñas no utilizan espontáneamente este
procedimiento.
=> Errores de coordinación: En esta situación no se coordina el recitado
de la serie y la acción de establecer la correspondencia biunívoca con
los objetos a contar. A veces, los niños señalan con el dedo más rápido
que lo que les lleva recitar la serie, dado el esfuerzo para recitarla.
Otras veces recitan la serie demasiado rápido por querer demostrarle
a los adultos que le rodean lo bien que lo saben y otras muy lento,
debido al esfuerzo que tienen que realizar para recordar la serie.
b) Los números sirven para construir significados:
Todos los docentes tienen muy claro que uno de los retos decisivos de la
enseñanza de las matemáticas, y esto desde el periodo de los primeros
aprendizajes, es que el alumno atribuya un sentido/significado a los
conceptos a aprender. Pero ¿cómo definir el significado de un concepto?
Parece ser que el significado de un concepto se construye por dos vías o
caminos:
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La enseñanza/aprendizaje de las competencias aritméticas
1. En el poder que el concepto otorga al alumno de dominar, resolver
problemas para lo que el número, en este caso, constituye un instrumento
pertinente.
2. En el poder que el alumno tiene sobre el concepto, en el poder de captar sus
propiedades, de hacerlas funcionar, de utilizar un lenguaje {especialmente
simbólico) que permita explicitarlo, de establecer conexiones y relaciones
con otros conceptos.
Las observaciones y estudios realizados han mostrado que los niños elaboran
sus primeras competencias numéricas muy temprano. Sus actividades y
experiencias diarias aumentan el deseo de saber más, de avanzar, el placer
“lúdico” de memorizar la serie numérica, las posibilidades que tienen de
prever con el uso del calendario la fecha del día siguiente. De esta manera
los números constituyen para los niños, en cierta forma, “instrumentos”
para dominar/controlar ciertos aspectos de lo real..pero también objetos
que desean conocer más y mejor.
Es ilusorio, desde esta perspectiva, buscar la construcción del concepto de
número antes de utilizar los números. Es, a través del uso que el niño haga
del número como elaborará sus propias concepciones del mismo, nunca
definitivas, siempre en evolución o desarrollo, completadas o cuestionadas
cuando se amplíe la extensión del campo o dominio numérico que conoce,
con el descubrimiento de nuevas posibilidades de uso, dando existencia a
otros tipos de números con las capacidades calculatorias,..
Se opta, pues, no por enseñar los números, sino por mucho más, por permitir
primero utilizarlos, hacer con ellos cualquier cosa.. con la finalidad de que las
palabras y los símbolos que los designen se impregnen de significado. Estos
números que los niños han comenzado de esta manera a utilizar, pueden,
más tarde, ser mejor “dominados” cuando se comprendan sus cifras escritas,
sus denominaciones orales, ciertas relaciones que mantienen entre sí, etc.
c) La construcción de significados se produce por el reconocimiento y
utilización de las funciones del número:
Para el trabajo del número, en el primer ciclo de la educación primaria, se
deberían destacar las dos funciones siguientes del número:
el número como “memoria”: “memoria de cantidad” que permite
evocar una cantidad sin que ésta esté presente ( y que corresponde al
aspecto cardinal del número) y “memoria de posición u orden” que
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permite evocar el lugar en una tira numérica (y que corresponde al
aspecto ordinal).
el número como posibilidad de “anticipar” resultados: el número
es también la posibilidad de “anticipar” resultados para situaciones
no presentes o todavía no realizadas (o sea, simplemente evocadas),
pero acerca de las cuales se dispone de ciertas informaciones: los
procedimientos a aplicar por los alumnos van a pertenecer al ámbito
del “conteo” o del “cálculo”.
Durante los primeros cursos de la educación primaria (primer ciclo y parte
del segundo) se pueden plantear a los alumnos algunos grandes conjuntostipos de problemas que darán significado a los procesos numéricos y a las
denominaciones orales o escritas de los números realizados:
PROBLEMAS QUE RELACIONAN DOS CONJUNTOS:
Se trata en estos casos de:
“comparar dos conjuntos Ay B” (desde el punto de vista de la
cantidad de objetos que contienen
“construir un conjunto B que debe tener tantos elementos
como el conjunto A. “construir un conjunto B para que tenga
tantos elementos como un conjunto A dado”.
“construir un conjunto B que tenga el doble, el triple,.., del
conjunto A”
PROBLEMAS ORDINALES
Los números pueden ser utilizados eficazmente “para situarse”, desplazarse en una tira o secuencia numérica, en una serie
de casillas. Por ejemplo, cuando se juega a la oca o al parchís.
PROBLEMAS DE ANTICIPACIÓN DE RESULTADO:
Se trata de problemas que serán estudiados más tarde recurriendo a las
_operaciones aritméticas básicas, particularmente:
*Problemas ligados a “desplazamientos en una pista graduada” (¿dónde
se llegará si se avanza o retrocede un lugar o casilla? ¿Cuántas casillas
y en qué sentido es necesario desplazarse para alcanzar un determinado lugar?
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La enseñanza/aprendizaje de las competencias aritméticas
*Problemas en que se plantea la “reunión de varios conjuntos”, particularmente cuando se trata de “anticipar” el número de objetos a “añadir” a un conjunto conocido para obtener una cantidad propuesta.
*Problemas en que un conjunto conocido se encuentra “separado en dos
subconjuntos” y donde se trata de hallar el número de elementos de
uno de los subconjuntos conociendo el número de elementos del otro.
*Problemas de “división” de un conjunto en conjuntos equipotentes o
no, conociendo el número de partes a realizar (caso de una distribución) o el valor de una parte (hacer grupos).
*Problemas en los que se realizan intercambios de objetos de valor diferente (por ejemplo, para obtener tres cartas rojas es preciso entregar
una carta azul), particularmente cuando se trata de anticipar o controlar el resultado del intercambio (Conviene matizar que esas situaciones son delicadas para muchos alumnos que tienen dificultades para
admitir que “uno no siempre vale uno” y que, por ejemplo, es posible
tener menos monedas y, a pesar de ello, tener más dinero).
Estos diferentes problemas se pueden apoyar en situaciones en las que
estén en juego conjuntos de objetos, pero también situaciones que son del
ámbito de la medición: puntos ganados en un juego, dinero, distancias, etc.
Como se puede constatar por los tipos de problemas descritos se trata,
ciertamente, de proponer a los alumnos situaciones problemáticas antes de
emprender cualquier estudio de las operaciones aritméticas.
Los alumnos pueden resolver los tipos de problemas descritos según el
contexto, según la pregunta formulada (petición, por ejemplo, explícita
o no de contar), según la naturaleza de la tarea (tarea de constatación,
tarea de anticipación, tarea que implique o no una acción, ..), según el
domino numérico (magnitud o extensión de las cantidades en juego) y,
obviamente, conforme a la naturaleza del problema, mediante el empleo
de procedimientos diversificados: utilizando o evitando el recurso a los
números, restringiéndose al conteo o movilizando el cálculo.
En los PROBLEMAS QUE UTILIZAN DOS CONJUNTOS (de “comparación de
conjuntos” o de “construcción de un conjunto equipotente a un conjunto
dado”), el alumno puede, por ejemplo, utilizar:
Procedimientos que eviten utilizar el recurso numérico:
a) La correspondencia término a término: permite a los niños construir
una colección equipotente a una colección dada (en presencia de la
colección)., comparar dos colecciones presentes, efectuar distribuciones
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o repartos. Pueden utilizar procedimiento de la correspondencia
término a término en situaciones de comunicación, dibujando la
colección, haciendo palotes, señales, evocando la cantidad sobre los
dedos, etc.
b) La correspondencia” grupo a grupo”: se emplea en las mismas tareas
anteriores, particularmente cuando la dimensión de las colecciones
aumenta (en vez de establecer correspondencias uno a uno, toma
varios elementos de la colección a la vez).
c) Estimación puramente visual: se emplea en el caso de una
configuración particular de objetos que se basa, bien en un conjunto
presente o evocado mentalmente, bien en una descomposición de
cantidades más pequeñas. Este procedimiento suele ser muy poco
fiable en relación con los anteriores.
Procedimientos que utilicen, más o menos explícitamente, el recurso a los
números:
1) “El subitizing” o capacidad de enunciar de un vistazo
el número de elementos u objetos de un conjunto
o
colección
pequeña,
por
simple
percepción
global.
El conjunto que se subitiza no tiene más de 5 ó 6 objetos. La
subitización tiene primacía evolutiva sobre el conteo, ya que antes
de contar los niños la utilizan para cuantificar conjuntos pequeños, y
más tarde, cuando ya son capaces de utilizar la subitización y conteo,
prefieren utilizar la subitización para determinar los objetos que haya
en conjuntos o colecciones pequeñas.
2) Contar los elementos de una colección
Para la adquisición del conteo hay que tener en cuenta los siguientes
cinco principios o componentes propuestos por Gelman y Gallistei
(1978) que servirían de base para el desarrollo del número en
interacción con la imitación, práctica y refuerzo al que el medio
somete al niño. Estos principios son los siguientes:
- 1.Principio de correspondencia uno a uno. Este principio marca
una estricta correspondencia entre los elementos de la colección
y los nombres de los números (elementos de la secuencia
numérica).
O O O O O
1
2 3 4 5
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La enseñanza/aprendizaje de las competencias aritméticas
El primer requisito que el niño necesita para contar correctamente consiste en tener la competencia para construir correspondencias uno a uno. La
correspondencia entre objetos es más sencilla y precoz en el niño que la correspondencia establecida entre objetos y numerales. La práctica demuestra
que el inicio del conteo se favorece realizando previamente correspondencia entre objetos (taza-platos, sombreros-hombres, huevos-hueveras,..)
- 2.Principio del orden estable, según el cual, la serie del nombre
de los números corresponde a una secuencia fija. La construcción
gradual de esta comprensión supone tres pasos.
a) descubrir que la lista está constituida solo por numerales
b) que esta lista tiene un orden determinado
c) y finalmente, que cada numeral es único y no se repite
en la lista .
En la fase de elaboración y consolidación de la secuencia se distinguen cinco
niveles evolutivos en función de la comprensión y el uso que los niños son
capaces de hacer de los numerales (Fuson, 1988)
Primero: El niño solo es capaz de emitir la secuencia de los numerales
comenzando necesariamente por el 1, no diferencia entre los distintos
elementos de la secuencia (nivel hilera o cuerda).
Segundo: La secuencia aparece como una cadena irrompible, pero ahora
sus elementos numerales los concibe el niño como diferenciados unos de
otros (nivel de cadena irrompible).
Tercero: nivel de cadena rompible, ya que los niños pueden emitir fragmentos
de la secuencia de los numerales, sin comenzar necesariamente por el 1.
La competencia numérica del niño le hace capaz continuar la secuencia
convencional aprendida a partir de cualquier numeral, como, por ejemplo,
3-4-5..
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Cuarto: El grado de elaboración y abstracción es mayor, de modo que los
niños pueden incluso entender los numerales como elementos contables.
Por ejemplo, contar de ocho a doce.
Quinto: Finalmente, el niño puede emitir de manera fluida y con entera
flexibilidad la secuencia de los numerales tanto hacia delante (creciente)
como hacia atrás (decreciente) a partir de un numeral dado.
- 3-Principio
de
cardinalidad
o
cardinal
numérico.
En virtud de este principio, tras la ejecución del algoritmo del
conteo, el último término de la secuencia numérica enunciado
(1,2,3,4,5,..n) corresponde al cardinal de la colección o conjunto
evaluado. En otras palabras indica el número de objetos que hay
en un conjunto dado. El siguiente gráfico tomado de Bermejo
(2004) representa este principio.
El principio de cardinalidad es comprender que al contar no se asigna un
numeral a cada objeto sino a un conjunto, que cuando se señala un objeto,
lo que se hace es incluirlo en la clase de los contados. Así cuando se cuenta
un conjunto, no se asigna uno al primer objeto, dos al segundo que se
señala, etc., sino que cuando se dice uno se debe entender” tengo uno”,
dos como “tengo dos”, etc., dándose así una serie de inclusiones jerárquicas.
- 4-Principio de abstracción. La heterogeneidad (o en su caso la
homogeneidad) de los objetos de una colección no tiene ninguna
incidencia en la determinación de su cardinal. Este principio se
establece, ya, que todos los objetos de un conjunto o colección,
sean homogéneos o heterogéneos, constituyen elementos
contables o cosas que pueden contarse.
- 5-Principio de irrelevancia del orden. Este principio señala que
si la cardinación de una colección ha llevado a un determinado
número n, si se vuelve a contar los elementos de esta colección,
comenzando por cualquier otro elemento y siguiendo cualquier
orden en el conteo, conducirá al mismo número o cardinal n. El
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La enseñanza/aprendizaje de las competencias aritméticas
orden (por la izquierda, la derecha o el centro) en que se asignen
los numerales (o etiquetas) a los objetos resulta irrelevante
siempre y cuando se etiquete una sola vez cada uno de los objetos
o elementos del conjunto a contar.
3.Recontar y descontar. Cuando se une o adjunta o reúne una
colección a otra, los niños pueden proceder para la determinación del
cardinal de la colección final, contando todos los elementos de las dos
colecciones, es decir, volviendo al principio (por ejemplo: tres y seis:
uno, dos, tres, cuatro, cinco, seis, sete, ocho y nueve). Esta acción es de
recuento. La de descuento es inversa a la de recontar: el niño cuenta
hacia atrás a partir de un número dado el número a descontar(por
ejemplo: seis menos tres: cinco ,cuatro, tres.)
4.”El sobreconteo” (su dominio comprende varios niveles):
=> el conocimiento del siguiente a un número dado y la posibilidad
de deducir el valor de una cantidad a la que se le añade un elemento
=> la posibilidad de sobrecontar, es decir, enunciar la secuencia de los
números a partir de un número cualquiera, contando la cantidad de
números enunciada (apoyándose eventualmente en una ayuda como
los dedos). Uno de los errores más frecuentes es el que el niño no parte
del número correcto {ejemplo: nueve más tres: “nueve, diez, once”)
=> el sobreconteo realizado al elegir el mayor de los dos números y
añadir el más pequeño. Es el procedimiento más económico.
5.Procedimientos
mixtos.
El niño establece correspondencias por paquetes o bloques de
elementos, constitución de dichos paquetes y utilización de expresiones,
bien orales, o escritas de tipo aditivo (por ejemplo, dado un conjunto
de 18 caramelos, los niños podrían decir que hay 6 y 3 y 4 y 5 y 1)
Para los problemas de ANTICIPACION el alumno puede utilizar:
Procedimientos propios del ámbito del “conteo”:
Procedimientos que pertenecen al ámbito del cálculo.
Los procedimientos del ámbito del “conteo” se basan en una “representación
real”, más o menos próxima a la situación real {manipulación de objetos,
dibujos de objetos, utilización de la recta numérica o de los dedos,
señalización de objetos ficticios, ..) o por una representación mental de
la situación {el alumno visualiza, por así decirlo, “de cabeza” la situación,
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particularmente en el caso de cantidades muy pequeñas). Por ejemplo, si en
una caja opaca se colocan 4 cubos rojos y 3 cubos azules y se le pregunta al
alumno cuántos cubos hay en la caja, éste puede volver a contar (“recontar”
o volver a contar de nuevo todos los objetos, uno a uno, mentalmente o
señalando objetos ficticios) o recurrir al “sobreconteo” (toma nota de los
4 cubos rojos y avanza 3 a partir del 4, señalando, eventualmente, 3 cubos
azules ficticios al mismo tiempo que enuncia “cinco, seis y siete”). En otras
situaciones recurrirá al “desconteo” (conteo retrocediendo a partir de un
número dado n veces).
Es evidente que los niños y niñas pueden conceptualizar de modo diferente
los números que representan distintos conjuntos de objetos, es decir,
pueden alcanzar una estructura determinada para resolver cuestiones
relacionadas con un número y, paralelamente, otra para los números. Por
ejemplo, identificar hasta el 7 de acuerdo a la hipótesis de la cuenta cardinal
y, a partir del 8, recurrir a la de valor cardinal.
Así mismo, la representación oral va por delante de la escrita alcanzando,
en algunos casos, mejores estructuras ante la misma cantidad.
Entre los procedimientos del ámbito del cálculo, el alumno reconoce que
puede recurrir a saberes numéricos antiguos y utiliza, pues, la memorización
de hechos numéricos básicos o conocimientos que posee sobre los
números así como las transformaciones a las que es posible someterlos
(descomposiciones, técnicas de cálculo,..).
Por ejemplo: 5+7=(5+5)+2=10+2=12;
13+9=13+(10-1)=(13+10)-1=23-1=22
8+6=8+(2+4)=(8+2)+4=10+4=14;
Es necesario decir que en una misma clase van a surgir procedimientos muy
variados para un mismo problema. A la dificultad para gestionar la diversidad
se une la riqueza pedagógica: posibilidad de que, simultáneamente, cada
alumno progrese a partir de sus propias competencias y, así, provocar
cambios en los procedimientos utilizados. Este tránsito de un procedimiento
a otro se efectúa casi naturalmente. Por ejemplo, el niño que sabe
sobrecontar mejorará su procedimiento al unir el número más pequeño
al mayor, reduciendo así la duración de la tarea. En otros casos, el alumno
renuncia a un procedimiento en provecho de otro: abandona, por ejemplo,
la utilización de la correspondencia término a término por la enumeración.
En todo caso, las situaciones problemáticas que se propongan en el aula
deben suponer un desafío suficiente para incentivar a los alumnos a emplear
nuevos procedimientos más económicos cada vez. ,
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La enseñanza/aprendizaje de las competencias aritméticas
2) Los diferentes dominios numéricos y su dimensión relativa
La apropiación de los números por los niños, los procedimientos de resolución
que aplique a la resolución de problemas serán diferentes conforme al
contexto, pero también según el dominio numérico que se utilice y la
extensión relativa de los números presentes (un número “pequeño” y un
número “grande”, por ejemplo).
Para los alumnos, al comienzo de la educación primaria, se pueden distinguir
estos dominios numéricos:
El dominio de los números visualizables: números hasta el 4 ó 5. Son los
números para los que un reconocimiento rápido y/o global es posible
sin el recurso al conteo o con un conteo muy rápido (el niño reconoce
sin dificultad que un conjunto contiene 3 objetos). En este dominio al
alumno le es posible enumerar mentalmente cada uno de los objetos
que constituyen el conjunto. Se trata, pues, de un dominio privilegiado
para los procedimientos del “conteo mental” y más tarde para los
procedimientos que recurren a resultados memorizados. Es aquí
donde los niños podrán tomar conciencia de poder de anticipación, de
previsión que los números confieren y pasar más fácilmente del conteo
al cálculo. Constituyen los llamados números perceptivo visuales de
Piaget.
El dominio de los números familiares: hasta e1 12, 16 ó 19 o aún más,
según los niños. En este dominio, recitar de memoria los nombres de
los números se puede asimilar muy rápidamente y la enumeración por
conteo “uno a uno” es posible y eficaz. El uso social de estos números
es relativamente frecuente. Desde la educación infantil se puede, en
muchas ocasiones, llevar al alumno a reconocer globalmente las cifras
escritas (es decir, sin realizar un análisis en decenas y en unidades).
Es, asimismo, en este dominio donde el alumno utilizando ciertos
resultados memorizados u ordenados por escrito (tablas de sumar y
restar) y sus primeros conocimientos sobre los números, podrá, desde
muy pronto, emplear procedimientos de cálculo.
El dominio de los números frecuentados: Son los números que van
hasta el 30, 40 o más adelante (pueden llegar hasta el 100). Es el
campo o dominio en que se sitúan los números del calendario o el
número de alumnos de la clase. Corresponden a números que el
niño está menos habituado a manipular. El aprendizaje de la serie
puede trabajarse fácilmente. Los procedimientos que utilizan una
representación concreta son todavía posibles pero más difíciles de
gestionar o manipular. Es en este dominio donde los alumnos van a
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tener la posibilidad de hacer sus primeras constataciones sobre las
“regularidades” de la secuencia oral (veintiuno, veintidós,..treinta
y uno, treinta y dos, ..cuarenta y uno, cuarenta y dos,..) pero, sobre
todo, de la secuencia escrita de los números.
III) Actividades y situaciones de aprendizaje para el dominio del
número.
Para el aprendizaje del número habría que utilizar cuatro grandes momentos
organizativos donde contar con sentido sería una actividad habitual:
a) En la vida cotidiana del aula:
¿Cuántos somos en la clase?
¿Cuántos niños y niñas han venido hoy a clase?
¿Cuántos niños y niñas han faltado?
¿Cuántas frutas tenemos que traer a clase para dar una cada uno?
¿Cuántas/os han votado si? ¿y no?
b) Al realizar juegos:
Si somos 25 ¿qué podemos hacer para tener dos equipos con la misma
cantidad de niños y niñas?
Contar para jugar al escondite (desarrolla la secuencia numérica).
Repartir cartas: los niños lo pueden hacer a bulto (haciendo montones
aproximadamente iguales), dando sucesivamente una o dos a cada niño,
contando..
Reparto de objetos de juego
Llevar la cuenta de los puntos conseguidos en el juego
Juegos que conduzcan a la comparación de conjuntos (cartas, loterías,..)
c)Al desarrollar proyectos de trabajo:
¿Cuantos..necesitamos para.. .?
¿ Cuántos equipos de trabajo hemos formado?
¿ Cuántos murales hemos hecho?
¿ Cuántos equipos de seis alumnos hemos formado?
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La enseñanza/aprendizaje de las competencias aritméticas
d) Al desarrollar actividades lúdicas semiestructuradas (con carácter
lúdico, pero que no son juegos):
Ponemos tantos lápices como chicos y chicas estamos en cada grupo.
Agregamos o sacamos dos lápices del lapicero ¿cuántos tenemos
ahora?
Ponemos el doble de lápices de los que hay en la mesa. Ahora ponemos
la mitad.
La construcción del concepto número/cantidad que representa el logro o
dominio del principio cardinal debiera pasar por las fases siguientes:
1: Actividades manipulativas en las que se asocien conjuntos con elementos
idénticos y en la misma cantidad: Ejemplo: se le indica al alumno que
extraiga de un recipiente la misma cantidad de bolas que hay encima de la
mesa. (Correspondencia uno a uno)
2: Actividades manipulativas en las que asocien un conjunto de
elementos distintos pero con la misma cantidad: Ejemplo: se le indica al
alumno que extraiga de un recipiente la misma cantidad de bolas que de
muñecos hay encima de la mesa. (Correspondencia uno a uno).
3: Actividades en las que se asocien cantidades (estáticas) cuando los
elementos presentan la misma configuración: Un ejemplo de esta actividad
es el juego del dominó en el que los elementos de la cantidad aparecen
siempre en la misma disposición, así, con el cuatro hay que poner otro
cuatro.
Otro ejemplo de actividad de este tipo es el de “tacha todas las tarjetas que
tengan el mismo número de puntos que esta que te doy o tacha todas las
tarjetas que tengan tres puntos como ésta”. (Principio de correspondencia).
4: Actividades de reproducción de cantidades: Una actividad muy
interesante es el “Juego de las tiendas”, en el que se trata de comprar
con monedas realizadas con cartulinas. Con cada cartulina se pueden
comprar tantos objetos como figuren en ella.
5: Identificar cantidades: La identificación se puede realizar mediante signos
motores (mostrar el número de dedos correspondientes a una cantidad
dada). Actividades como la de mostrarles objetos o dibujos indicándoles que
nos enseñen o extiendan el mismo número de dedos, diciendo, al mismo
tiempo, la palabra -número correspondiente: “un perro”, “dos perros”, ..
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En esta fase se potenciará el que los niños representen conjuntos o colecciones
de objetos mediante símbolos espontáneos, cada vez más arbitrarios, hasta
llegar a los guarismos o cifras estandarizados o habituales.
Hughes (1986) señala que en la aparición de lo simbólico se observan cinco
etapas o fases:
1. Fase de respuestas idiosincráticas: Lo simbolizado no presenta ninguna
relación con el referente para personas ajenas al niño. Sin embargo, esto
no quiere decir que carezca de relación para el niño que la realiza.
2. Fase de respuestas pictográficas: El niño representa algo parecido a lo
que tiene delante, dejando constancia de la cantidad existente de objetos.
Aunque no lo logre plenamente hay una clara intención de correspondencia
entre lo real y lo que el niño intenta representar. El niño se centra más
en la fidelidad al modelo que en la intención comunicativa. Si el niño,
por ejemplo, ha de transmitir por escrito la existencia de cuatro balones,
intentará más dibujar estos cuatro balones que a transmitir el número
correcto de los mismos.
3. Fase icónica: En esta fase se establece una correspondencia plena
entre lo que representa y la realidad, mostrando unos símbolos que van
directamente a la intención de la comunicación y no a reproducir fielmente
el modelo. El niño entiende lo que tiene que hacer y lo representa de
manera económica y personal.
4. Fase simbólica: Utiliza el nombre de los números (los numerales) o bien
las cifras, como forma más rápida y económica y efectiva, tanto para él
como para el receptor de la información.
Los pasos para trabajar la cifra escrita debieran ser los siguientes:
PRIMERO: Invención, simbolización propia o idiosincrásita. Cada alumno
representa la cantidad con un signo que se inventa.
SEGUNDO: Elección de símbolos comunes a nivel de la clase. Se ponen
de acuerdo en adoptar una simbología común a toda la clase. Se trata
de iniciarlos en la arbitrariedad y convencionalidad del signo numérico o
numeral.
TERCERO: Simbología convencional. La que utilizan sus padres, sus amigos,
en los anuncios,..
CUARTA: Discriminación perceptivo visual. Ejemplo: Rodea los números
que sean iguales al de arriba:
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La enseñanza/aprendizaje de las competencias aritméticas
Cuantas más sean las características compartidas entre las cifras más fácil
será que las confundan. Las cifras fáciles de confundir deben enseñarse
juntas (6 y 9, 2 y 5, 7 y 1, ..) a fin de destacar explícitamente sus diferencias.
QUINTO: realización de movimientos grafomotrices de base adecuados:
Estas fases (4 y 5) además de las dos siguientes (6 y 7) de reconocimiento y
escritura del número debieran realizarse después del dominio del principio
de cardinalidad, ya que en el caso de una precipitación innecesaria no se
encontrarían con un significante (la grafía numérica) carente de significado.
Por otra parte, al tratarse de un acto grafomotor, requiere, pues, el
desarrollo de una motricidad digital fina y, más en concreto, la coordinación
óculomanual adecuada. Las grafías numéricas deberán introducirse a
través de canciones y adivinanzas que describan su forma, orientación,
composición,.. del tipo: “el uno es un paraguas que quita el chaparrón,
el dos es el patito..”; o adivinanzas como “tiene forma de patito pero sin
patas, alas ni pico, ¿qué número digo?” (para el número 2), “ ¿qué número
tiene forma de pera con rabito?” (para el 6), Otras actividades de motricidad
digital fina podrían ser:
Imitar el movimiento y el ritmo de cada grafía que el maestro/a traza
en el aire.
Ejercicios de percepción y reconocimiento táctil en números recortados
en papel de lija. En un primer momento conviene que la tarea se
realice individualmente y en presencia del maestro. Para ello, éste
debe presentar al niño una cifra recortada en papel de lija y pegada
en una cartulina o plancha de madera y mostrarle como recorrerla
con el dedo. A continuación, el niño debe hacer la cifra varias veces,
siguiendo el recorrido indicado por el maestro. De esta manera, y
dado que el papel de lija raspa y obliga a los niños a ser conscientes
del trozo que realizan, se van asumiendo los trazados de los distintas
cifras. Posteriormente, se puede pedir al niño que dibuje la cifra por sí
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mismo con el dedo sobre arena o con pintura de dedos sobre el papel.
Más adelante, se le puede decir que trace la cifra con lápiz y papel.
Colorear o pegar sobre las grafías numéricas bolitas de algodón u
otros materiales.
Borrar la grafía dibujando en la pizarra con el dedo siguiendo el
movimiento grafomotriz de base y el ritmo de ejecución.
Modelar con plastilina u otro material las distintas grafías.
6: Ordenación de cantidades: Se trabajará la comparación numérica de
conjuntos o colecciones. El objetivo formal de esta fase es que el niño
compare numéricamente dos cantidades utilizando los cardinales de dos
conjuntos para finalizar ordenando/seriando de mayor a menor o de
menor a mayor una serie de objetos o de números desordenados.
7: Lectura y copia: La copia se debe comenzar con ejercicios de
desvanecimiento.
8: Dictado numérico y visual: Se le presentan grupos de objetos o tarjetas
con dibujos y el alumno escribe el numeral correspondiente.
9: Dictado numérico auditivo y/o rítmico: El maestro o maestra da un número
de palmadas o golpes y el alumno escribe el numeral correspondiente.
10: Dictados de numerales propiamente dichos. El maestro dicta “uno”,
“ocho”, “siete”,.. y los alumnos los escriben.
Una actividad muy interesante para trabajar con las cifras escritas es la
utilización de la tira o recta numérica. La introducción de la tira numérica
en educación infantil y primaria persigue las finalidades siguientes:
Disponer de un instrumento que permita leer y escribir números que
aún no se conoce de memoria su escritura en cifras.
Comenzar a imaginar que la sucesión de los números se puede
prolongar tanto como se quiera y que no termina con el último número
que se conoce o se trabaja.
Construir una buena imagen mental de esta secuencia, de su
organización y de sus regularidades.
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La enseñanza/aprendizaje de las competencias aritméticas
Cada niño debe disponer de su tira o recta numérica y el maestro o la clase,
debe poseer una de mayor tamaño colocada a la vista de todos. La tira
numérica aparte de constituirse como diccionario es un buen instrumento
de evaluación.
Se puede realizar actividades del tipo siguiente:
Colocar una recta numérica de referencia en la pared:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
a) Encontrar la cifra escrita de una palabra-número:
El maestro pronuncia “seis” y el alumno contando casilla a casilla oralmente
llega a la cifra “6”. La puede copiar, puede mostrar un cartón con esa cifra,
jugar al bingo,..
b) Encontrar la forma leída de una cifra escrita:
El maestro les pide a los alumnos mediante una cifra escrita (“8”, por ejemplo)
una cantidad de objetos. El niño localiza la casilla donde figura el dibujo
“8” y cuenta desde la primera casilla hasta llegar a la del “8” emitiendo la
palabra -número “ocho”. Aunque es incapaz de leer directamente la cifra
“8” ha encontrado su forma leída al leer todas las cifras que le preceden
gracias a la recta numérica. Desde ese momento conoce la cantidad por su
denominación oral (palabra -número) y es capaz de formar la colección/
grupo que se le solicita.
c) Dados dos números,lo identifican en la tira numérica y estudian las
relaciones que existen entre ellos (antes-después; mayor-menor qué
;números van entre el 6 y el 9)
b) Se identifica un número en la tira y se buscan otras que mantengan una
determinada relación (anterior-posterior al____; mayor-menor al____; el
cuarto a partir del 5;..)
d) Ejercicios de conteo continuo y discontinuo. Ejemplos: Empezando en el
9 contamos hacia atrás cuatro lugares, empezando en el 6 contamos hacia
delante o hacia atrás de 2 en 2…
e) Recitar los distintos números de la tira utilizando expresiones numérica
ordinales (primero, segundo, tercero, ..), con el fin de destacar sus posiciones relativas.
f) Señalar en la tira el orden que ocupa en la serie.
g) Señalar los números que hay entre el número quinto y el noveno
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h) Situaciones funcionales: escritura de la fecha, registro de alumnos presentes y ausentes, puntuaciones en juegos.
11. Comparar cantidades. La comparación de los cuantificadores (más,
menos, igual, tanto como, mayor que, menor que, el más pequeño,
el más grande, el primero, el último, ..) para utilizar, a continuación la
comparación explícita con los cardinales de los conjuntos. Las actividades
pasarán por las etapas manipulativas, representativas o figurativas y
simbólicas gradualmente.
Tres son los criterios que deben guiar la elección de actividades de
comparación desde un punto de vista jerárquico:
PRIMERO: La comparación se iniciará por conjuntos de cantidades muy
dispares que son más fáciles de identificar que entre conjuntos de cantidades
más próximas (es más fácil comparar un conjunto de tres elementos con
otro de ocho que la de un conjunto de siete elementos con otro de ocho
elementos).
SEGUNDO: Es más fácil, dentro del criterio anterior, comparar conjuntos
de elementos que se puedan físicamente manipular, agrupar, emparejar,..
que las representaciones más o menos figurativas de los elementos en
cuestión (puntos, cruces, estrellas,..).
TERCERO: Los dos criterios anteriores habría que conjugarlos con el criterio
de que los conjuntos viniesen dados o tuvieran que ser construidos por los
propios niños, aunque esto último sería de mayor dificultad.
De la conjunción de estos tres criterios se podrían proponer las actividades
siguientes:
a) Con cantidades muy diferenciadas:
La graduación podría ser la siguiente:
1 .Conjuntos dados con objetos manipulables:
comparar dos grupos de alumnos.
comparar dos conjuntos de lápices.
situaciones problemáticas como las de formar un gran grupo de
alumnos y colocar en un plato un conjunto de galletas o caramelos y
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La enseñanza/aprendizaje de las competencias aritméticas
luego preguntar: ¿hay galletas o caramelos para todos? , ¿sobrarán? ,
¿faltarán? .
2. Conjuntos a construir por los alumnos con objetos manipulables:
dado un conjunto de lápices, que los alumnos construyan un conjunto
mayor, menor o igual.
3. Comparar dos conjuntos o colecciones con objetos representados
(láminas):
ante una lámina con gallinas y los respectivos huevos que han puesto,
preguntarles: ¿qué gallina ha puesto más huevos? ,¿qué gallina ha
puesto menos huevos?
ante una lámina con manzanos, preguntar: ¿qué árbol tiene más
manzanas? , ¿qué árbol tiene menos manzanas?
ante el dibujo de un chaleco que tiene más botones que ojales,
preguntar:¿ se podrá abrochar bien? , ¿por qué? , ¿qué hay más, ojales
o botones?
ante un gráfico, preguntar: ¿dónde hay los mismos círculos que arriba?
, ¿dónde hay más que arriba? , ¿dónde hay menos que arriba?
4-Construir/representar una cantidad mayor, menor o igual a la
representada en una lámina:
Dibujar tantos balones como futbolistas hay en la lámina.
Dibujar en el árbol de la derecha más manzanas que en el de la
izquierda.
5. Comparar numéricamente dos cantidades a través del recuento
separado y la comparación de cardinales:
Se pide aun alumno que traiga lápices (uno para cada compañero)
para los miembros de su equipo de trabajo. Esta actividad se puede
complicar en el sentido de indicarle que traiga más lápices que
compañeros, por ejemplo, trae un lápiz más ya que a Enrique hay que
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darle dos. Es obvio que obliga al alumno a contar, primero, el número
de alumnos del equipo y, después, al retirar los lápices del recipiente,
contar el mismo o más, número de lápices.
6. Adivinar el número más alto entre dos números dados:
¿Qué número es mayor, cuatro o siete?
¿Qué número está antes del nueve?
¿ y después del seis?
La recta numérica puede servir a estos efectos así como las actividades
de medida. Una vez conseguida esta habilidad de comparación de dos
conjuntos se debería pasar a las actividades de ordenación y seriación. Las
actividades a proponer podrían ser del tipo siguiente:
Dibujar ocho gallinas y sus hueveras y unas cantidades distintas de huevos
puestos por cada gallina (siete huevos, seis huevos, cinco huevos, ) y se les
propone a los alumnos:
Colorea de verde la gallina que ha puesto más huevos y colorea de
amarillo la gallina que ha puesto menos.
Recorta las hueveras y pégalas ordenadas desde la que tiene más
huevos hasta la que tienen menos huevos.
Colorea los elementos y escribe los números que faltan:
Ordena los números siguientes de mayor a menor:
1, 3,
4,
5
Escribe el número que va en medio de cada serie:
84
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Escribe los números vecinos de cada uno de los siguientes:
12. Composición y descomposición numérica:
Los procesos de razonamiento numérico que implican el establecimiento/
descubrimiento de relaciones numéricas están implicados en las actividades
de composición -descomposición numérica.
La composición de dos números implica comprender que, al añadir o
juntar uno a otro, se obtiene un número mayor que cualquiera de los dos
que se juntan. Por el contrario, descomponer un número representa el
percatarse de que cualquiera de ellos es menor que el que los origina y que
su composición conduce al número que se descompuso, dividió o partió. La
acción, pues, de componer o descomponer un número, implica la relación
entre el todo y sus partes. Las actividades adecuadas para trabajar esta
faceta numérica podrían ser:
Con estas seis bolas haz dos grupos iguales, haz dos grupo en los que
uno es mayor que el otro, haz tres grupos iguales,..
El siete es igual que el 4 y el 3 juntos, el siete es igual que el 9 menos 2,
si con 9 hago dos grupos iguales me sobra 1.
Dado un conjunto de objetos y un cardinal, dibujar los objetos que
faltan hasta que coincidan con el cardinal.
Dado un conjunto de objetos mayor que el cardinal, tachar los objetos
hasta que coincidan con el cardinal.
Cuando se trabaja con los números hasta el nueve las
descomposiciones básicas de un número deben ser (Dolores Carrillo y
otras, 1989)
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Como suma de unidades: 5=1+1+1+1+1
Como el anterior más uno: 5=4+1
Finalmente, se proponen una serie de situaciones de aprendizaje que
sustentan las consideraciones didácticas expuestas y que, sin duda,
facilitaran el aprendizaje del empleo de los números a través de
situaciones problemáticas. Tiene como objetivos básicos los siguientes:
Utilizar el número para medir y producir una cantidad
Utilizar los números como instrumentos para memorizar una cantidad
Construir diferentes procedimientos de cardinación de colecciones.
Construir la actividad de contar como el procedimiento más eficaz y
económico para la cardinación de colecciones.
Construir mensajes para designar los números en una actividad
comunicativa
IV) Propuestas de actividades para la enseñanza-aprendizaje del
número.
Finalmente, se proponen una serie de situaciones de aprendizaje que
se sustenta en las consideraciones didácticas, expuestas y que facilitan
el aprendizaje del empleo de los números mediante la construcción de
conjuntos equipolentes.
Primera actividad: “El castillo”
“El Castillo” es una situación didáctica en que los alumnos ante una tarea
compleja y que permite al maestro evaluar, en cada alumno, el recurso
espontáneo a la enumeración y las dificultades asociadas a su empleo.
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Constituye una situación relativamente nueva para muchos alumnos al
comienzo de la educación primaria: los recursos que los alumnos emplean
habitualmente para construir un conjunto equipotente (correspondencia
término a término, por ejemplo) serán cuestionados y superados.
Se diseña un castillo sobre un soporte (folio o cartón) cuadriculado. Todas
las partes del castillo están claramente diferenciadas (puertas, almenas,
torres,..). Cada parte del castillo está formada por un número diferente
de cuadrículas. Todos los cuadrados son cubiertos con papel coloreado
diferente para cada parte del castillo.
Se les propone a los alumnos la realización de copias del castillo que se
les presentan a partir de otros dibujos del castillo en los que sólo ciertos
cuadrados están cubiertos, lo que permitirá jugar con el número de
cuadrados que cada niño deberá buscar.
Para completar la parte no cubierta con cartones adhesivos (colocados en
un sitio alejado de la clase para impedir el empleo de la correspondencia
visual término a término), el alumno deberá ir a buscar estos cuadraditos
adhesivos en uno o varios viajes.
Los objetivos que se persiguen con la actividad de castillo son los siguientes:
Para el alumno:
La confrontación, desde el comienzo del curso, con un primer problema.
En esta ocasión, el compromiso relativo a la resolución de problemas
será explicitado para que el alumno se percate de que a él es a quien
compete buscar, encontrar una solución, ajustar sus resultados.
Aplicar procedimientos de enumeración y mejorarlos. Los intercambios
en los grupos y la síntesis tienen como finalidad esta toma de conciencia.
Para el maestro:
Observar los procedimientos espontáneos utilizados por los alumnos
para construir un conjunto equipotente a uno dado en ausencia de
éste. Para solucionar este problema es preciso realizar varias tareas
sucesivas (enumerar el primer conjunto, memorizar el cardinal de este
primer conjunto, construir un nuevo conjunto).
Evaluar las dificultades ligadas a la enumeración que le lleven a
propuestas de actividades específicas que mejoren este procedimiento
Esta actividad se programará en DOS FASES:
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PRIMERA FASE: construcción de la equipotencia:
Objetivos:
Para el alumno: tomar conciencia
Para el maestro: observar el recurso espontáneo a la enumeración.
Variables:
El número de cuadrados (cartones adhesivos) es seleccionado en
función de las supuestas (evaluadas) competencias numéricas de los
alumnos y de sus conocimientos de la serie numérica
En esta primera fase no se limita el número de viajes a realizar por los
alumnos.
Material:
Un castillo modelo.
Un dibujo de castillo incompleto para cada grupo de alumnos
Cajas conteniendo cartones o cuadraditos adhesivos en distintos
colores
Desarrollo de la actividad.
Se le muestra a los alumnos el castillo completo dos o tres días antes de la
sesión de trabajo propiamente dicha como si hubiera sido realizado por
otra clase o grupo de alumnos, haciéndoles ver/observar a los alumnos las
diferentes partes del castillo que corresponden a los diferentes colores. El
maestro les dirá:” El otro día os mostré un castillo realizado en otra clase. Ya
lo he devuelto, pero antes de devolverlo copié su modelo. Recordaréis que
ellos habían colocado un cuadradito de color en cada casilla. Empecé a hacer
como ellos pero vosotros lo vais a terminar. Los cuadraditos (o cartoncitos)
están en las cajas (una caja para cada color). Vosotros debéis pegar los que
sean precisos para completar cada parte del castillo. ¡Cuidado! Es preciso
que coloquéis los necesarios, ni más ni menos. Atiendan. A continuación
cada grupo va a recoger de las cajas los cuadraditos (cartones) de color que
se precisen”.
La actividad se organiza con grupos de cuatro alumnos para permitir
observaciones más precisas y un trabajo más adaptado con los grupos de
alumnos que planteen más dificultades. En cada grupo, el maestro señalará
a cada uno la parte del castillo que deberá completar o rellenar. Esta primera
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recogida de información permitirá al maestro adaptar las actividades a las
capacidades de enumeración de cada alumno.
Comportamientos numéricos observados:
Utilización de la enumeración y realización de la tarea en un solo
desplazamiento o viaje
Realización de dos o tres desplazamientos o viajes, mediante
añadidos/ajustes sucesivos; bien porque los niños se equivocaron en
la enumeración , bien porque se olvidaron del número de casillas que
habían enumerado y se percatan de ello cuando quiere colocar los
cuadraditos adhesivos
Realización de la equipotencia en tantos viajes como cuadraditos a
colocar (o también trayendo varios cada vez).
Algunos niños van a buscar los cuadraditos sin haber contado
previamente las casillas y en esta situación, ante la caja de los
cuadraditos, toman conciencia de la necesidad de contar las casillas de
la parte del castillo a completar.
Los procedimientos de enumeración pueden ser muy variados: de un
vistazo, señalando, barrido sistemático,..
Finalmente, se propiciará un discusión/debate entre los alumnos sobre
los procedimientos, los resultados, las previsiones hechas. Esta situación
permite observar una variedad de procedimientos que contribuirán a la
evolución de los procedimientos de los alumnos con habilidades menos
sofisticadas.
SEGUNDA FASE: Con limitación del número de viajes o desplazamientos
Objetivos.
Superar el procedimiento de la correspondencia uno a uno
Utilizar de forma más sistemática la enumeración, particularmente
para ajustar al final del primer desplazamiento (y poder, así, realizar
la tarea en dos veces):
El número de cuadrículas de cada parte se les propone a los alumnos
en función de sus competencias numéricas observadas a lo largo de
la primera fase y de su conocimiento de la secuencia numérica.
Se les obliga a realizar dos viajes como máximo para realizar la
tarea.
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Instrucciones:
“Hoy vamos rellenar un nuevo castillo. Cada uno va a tener que completar
una parte del mismo colocando cuadraditos (o cartones) de color. ¡Cuidado!
Esta vez sólo podéis realizar uno o dos viajes, pero no más. Es preciso que
traigáis los cartones que se precisen, ni uno más ni uno menos.”
Desarrollo de la actividad.
Se les proporciona un castillo a cada grupo (se les puede facilitar un castillo
semejante al primero, con, eventualmente, otras casillas a completar). Se les hace
una advertencia al término del primer viaje “¿Cómo haréis para no olvidaros
de las casillas a completar y no tener que volver a contarlas de nuevo?” Se trata
aquí de que marquen o señalen las casillas (por ejemplo, con un lápiz)
Ante la comprobación, el maestro preguntará a los niños: “¿Cómo podéis
estar seguros de tener los cuadraditos o cartones que son precisos?” “Conté
siete casillas, cogí 7 cartones, sé lo que eso da.” Esto permite a los niños
acordarse del conjunto de la tarea, reformularla o, eventualmente, poder
percatarse de que se olvidaron de una parte de las instrucciones.
Segunda actividad: El mosaico
En esta actividad los alumnos deben completar un mosaico o friso
compuesto de partes independientes o un motivo decorativo compuesto
por elementos diferentes a partir del modelo que se les presente.
Estos mosaicos o frisos están constituidos por un soporte sobre el que se
diseñan distintos tipos de figuras geométricas con diferentes números y
elementos que serán necesario ir a buscar a cajas situadas en otro lugar
del aula. El niño debe construir su conjunto de mosaicos (para el sector del
dibujo que se le encomiende) en un único viaje o encargo.
Objetivos de esta actividad:
Tomar conciencia de que los números son instrumentos eficaces para
memorizar cantidades.
Utilizar el número para construir conjuntos equipotentes
Utilizar la enumeración como procedimientos conscientes
Comprender la expresión “tanto como” (diferenciándola de “más que
y de menos que”)
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La enseñanza/aprendizaje de las competencias aritméticas
Tomar conciencia de que el grupo es responsable de que es necesario,
para tener éxito, comprobar lo que cada miembro del equipo hace
 El número de elementos a enumerar estará en función de las
capacidades numéricas diagnosticadas por el maestro.
Instrucciones:
“Vais a realizar una copia exacta de este mosaico. Cada uno tiene su
parte. Prestad atención, después vais a ir a visitar a los comerciantes para
pedirles lo que os haga falta. ¡Cuidado!, solo podéis ir una vez a pedir lo
que os haga falta”.
Desarrollo:
La clase se divide en grupos: grupos de compradores y grupos de
comerciantes (un grupo de comerciantes por cada), siendo estos últimos
menos numerosos ya que tiene que realizar menos tareas (facilitan a
los compradores el número de mosaicos que les piden y comprueban
la claridad del mensaje). Cada grupo de compradores (cuatro alumnos)
tiene que realizar una copia del mosaico que se le ha asignado.
Cada alumno tiene la responsabilidad de una parte de este mosaico.
El maestro distribuye los papeles en función de las competencias
numéricas de cada alumno: los niños que tienen menos competencias
son principalmente compradores.
Cuando cada alumno vuelve con los elementos correspondientes
a su encargo y antes que los coloque en el soporte, se organiza en
el grupo un debate o discusión con la finalidad de saber como estar
seguro de que se va a poder reproducir exactamente el dibujo, siendo
cada alumno del grupo responsable del trabajo de otro para poder
completar el mosaico.
Puede haber interacción entre los comerciantes y los compradores:
son los comerciantes quienes, a veces, piden a los compradores que
cuenten lo que se les entrega o si no ellos no le entregarán nada.
Una puesta en común debe permitir explicitar los errores: ¿Qué
hacer para que no haya errores? (Comprobar lo que se le ha
dado, memorizar el número, escribirlo, repetirlo,.. )
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Otras actividades de desarrollo:
Siguiendo la misma metodología que en las dos actividades anteriores
las actividades que a continuación se describen completan el objetivo de
utilizar los números para construir conjuntos equipotentes:
Los gnomos
En el momento en que los gnomos se preparan para regresar al bosque
proponen a los niños que los acompañen para visitarlo. Pero la carroza es
pequeña y no caben todos los niños de la clase: cada gnomo podrá llevar
consigo sólo 2 niños.
La situación se propone a grupos de niños; una caja materializa la carroza y
algunos cubos (entre 5 y 10) representan a los gnomos. Cada alumno debe
escribir un mensaje señalando cuántos niños podrán viajar con los gnomos
para visitar el bosque.
También se pueden proponer problemas el tipo uno por cada dos. Por
ejemplo. ¿Cuántas avionetas de dos pasajeros se necesitan para que los
alumnos de la clase puedan ir a volar? ¿Con los guantes que hay aquí
dibujados (o reales) para cuántos niños tenemos bastante? Etc.
Los jugadores de tenis
Se les da la instrucción siguiente: Dibuja o escribe las camisetas, las
zapatillas, las pelotas y las raquetas necesarias para que jueguen en pareja
estos jugadores (se les señala o indica un conjunto de jugadores).
En una segunda hoja se les facilitan dibujos de pelotas, camisetas, raquetas
y zapatillas en número suficiente para recortar lo que sea preciso para que
un número par de jugadores puedan jugar.
Otras actividades didácticas que se pueden utilizar para desarrollar el
recurso al número como medio eficaz para comparar conjuntos son las
siguientes:
L as cajas amontonadas
Cinco cajas abiertas conteniendo cada una de 1 a 5 objetos (material
manipulable: cubos, fichas..) son apiladas una sobre otras en un orden
arbitrario: Solo una caja, la de arriba, puede ser cogida o retirada.
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La enseñanza/aprendizaje de las competencias aritméticas
Cada niño lanza un dado cuando le toca. Puede coger todos los objetos de
una caja si el valor del dado en puntos o con el número escrito (depende
las competencias numéricas de los alumnos) sea mayor que el número de
objetos que las cajas contengan. Una vez vaciadas todas las cajas el alumno
o alumna que consiga más objetos es el que gana.
Esta situación problemática comprende dos niveles de comparación:
En el transcurso de la partida, para elegir o no los objetos de una caja en
función del valor del dado y de los objetos que contenga la caja en cuestión.
Al final de la partida, para saber quién ha ganado comparando, en este caso,
cantidades más grandes. Esta comparación se realizará mediante diferentes
procedimientos. A veces para calcular las diferencias no se necesita contar;
una estimación visual es suficiente.
Las instrucciones se formularán así:
“Podéis retirar los objetos de la caja siempre que saquéis un dado con más
puntos que objetos hubiera en ella”.
Son posibles otras formulaciones, si el número del dado fuese mayor que el número de objetos, si hubiera menos objetos en la caja que puntos en el dado, si el
número de objetos en la caja fuera menor que el número del dado. Las formulaciones que utilizan menos son peor comprendidas que las que utilizan más. Muchas veces es necesario recurrir a varias formulaciones diferentes.
Los mismos alumnos pueden colocar los objetos en las cajas, pudiendo el maestro
indicar la cantidad a colocar en cada caja o dejar a la iniciativa de los niños.
L as cajas alineadas
En esta actividad los alumnos tendrán que elegir entre varias cajas. La
instrucción es la misma que en la actividad anterior, pero, para ganar,
interesa elegir cual es la caja que contiene el mayor número de objetos
entre las que tienen menos objetos que la puntuación sacada en el dado.
Se alinean 6 ó 7 cajas abiertas: El alineamiento es importante para favorecer
la memorización de las cantidades, pero las cajas no están ordenadas por el
número de objetos que contienen. En cada una de las cajas se coloca una
colección de objetos (de 1 a 6 objetos). El jugador o equipo de jugadores
lanza el dado. Puede entonces elegir entre las cajas alineadas una de las que
contengan un número de objetos inferior al número de puntos de la cara
del dado que ha caído en suerte. El objetivo del juego es obtener el mayor
número de objetos posibles. La partida finaliza cuando se hayan retirado
todas las cajas. Se puede jugar en equipos (equipo contra equipo) y en pareja.
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Los conejos hambrientos
El juego consiste en alimentar conejos . dándole una zanahoria a cada uno.
Hay 3 niveles de dificultad en los que se consideran dos variables:
La cantidad de conejos. En el nivel aparecen aleatoriamente de 3 a 6
conejos; en el nivel intermedio de 7 a 12 conejos y en el nivel difícil de 10 a
20 conejos.
La manera de alimentar los conejos. En el nivel fácil, las zanahorias se
pueden arrastrar, una a una, hacia los conejos. En este caso se trata de
favorecer la relación término a término entre los elementos.
En el nivel intermedio se hacen desaparecer todas las zanahorias que se
requieren para los conejos que aparecen. En este caso se propone favorecer
el conteo de todos los conejos para calcular la cantidad de zanahorias. Sin
embargo, los niños pueden verificar las veces que consideren necesarias la
cantidad de conejos.
En el nivel difícil primero aparecen solo los conejos y cuando se terminan de
contar, se hacen desaparecer y aparecen sólo las zanahorias, En este caso
se propicia que el niño cuente los conejos y que cuando esté seguro de la
cantidad, cuente la cantidad de zanahorias. Hasta el momento de verificar
el resultado se pueden ver los conejos y las zanahorias juntos y se puede
saber si el conteo fue correcto.
Durante la actividad se pueden observar diversos procedimientos de
resolución de los niños. Veámoslos:
a) Sin conteo. Un procedimiento posible observado consistió en sacar todas
las zanahorias sin contar los conejos para asegurarse de que todos los
conejos tuvieran una.
b) Conteo asistemático. Los niños recurren al conteo. Pero, dado que los
conejos aparecen desordenados, fallan a la hora de contar porque repiten
algún elemento o no cuentan otro.
c) Conteo sistemático. Una vez que los niños recurren al conteo y lo hacen
sin repetir un elemento y sin saltarse conejos, pueden presentar otro tipo
de dificultades . Por ejemplo, cuando la cantidad es mayor que 10 requieren
verificar más de una vez el total de conejos contados. Esto lo lleva a contar
los conejos para saber cuántas zanahorias necesitan y volver a contarlos
cada vez que necesitan controlar la cantidad de zanahorias que han sacado.
Con cantidades grandes (más de 15 conejos) el control del conteo es un poco
más difícil. La mayor parte de los niños no retiene el número de conejos
contado y presenta dificultades para resolver el nivel difícil del juego.
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La enseñanza/aprendizaje de las competencias aritméticas
Anexo I. Diagnóstico de los conocimientos iniciales numéricos
de los alumnos de educación infantil primer curso de E.
Primaria
1. Cocimiento del recitado de los números:
- ¿Hasta que número sabes contar? El maestro le ayuda a continuar
cada vez que sea necesario hasta que
- no quiera seguir más
- o diga una sucesión no convencional
- o vuelva retomar números ya dichos (ejemplo: 11, 12, … 19, 11, 12
…)
2. Conteo
Verificación del principio de correspondencia uno a uno y del principio de
cardinalidad(es decir, atribuir un número a cada objeto si repeticiones y sin
omisiones, y asignar la colección el último número pronunciado).
El maestro prepara una colección de objetos idénticos y desplazables(con
una cantidad menor del máximo número que sabe contar): “¿Me puedes
decir cuántos objetos hay?” En el caso de que el niño no haga nada se le
puede decir. “si quieres puedes moverlos o cogerlos”.
Si el niño no concluye o termina con un número se le puede preguntar:
“Entonces, ¿Cuántos hay?”
3.Utilización del recitado para crear una colección:
El maestro prepara una colección aproximadamente de 10 objetos más de
los números que sabía contar , así como una caja vacía. “Pon en esta caja
“tantos objetos”(mencionar un número inferior a 10 en educación infantil o
inferior a 20 en el primer curso de primaria)Si el niño sobrepasa el número
pedido el maestro lo interrumpe cuando se pase en 2 por lo menos del
número pedido. “¿Te acuerdas de lo que te pedí? Tienes que poner en esta
caja sólo---- objetos
4. El sucesor:
El maestro muestra la caja: “¿Te acuerdas que aquí había…. cubos? Ahora
pongo uno más .¿Cuántos cubos hay?”
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Tomar nota si el niño retoma el recitado desde 1 o si dice el siguiente
inmediatamente.
5. Lectura y escritura de números:
Preparar un juego de cartones con un número del 0 al 10 escrito en cada uno
( en primer curso hasta 30 . Presentar a los niños las tarjetas en desorden y
preguntar:”¿Conoces algo de lo que está escrito en los cartones?”.
Anotar los cartones en el orden en que los dice el niño y lo que dice(por
ejemplo si para 12 dice 21). Si los lee en orden , desde 0 hasta 10 darle algunos
cartones separados para asegurarse si puede leerlos. Pedirle que escriba
algunos números .Si los escribe en orden dejarlo que siga y anotar hasta
que número llega .Luego pedirle que escriba algunos números aislados.
6.Contar a partir de.
Proponerle entre 10 y 15 objetos para contar, luego agregarle 3 y preguntarle
el número total de objetos. Si no saben contar hasta esos números
proponerles 5 objetos y agregarle 3 más. Anotar si es capaz de contar a
partir del primer número, sin necesidad de empezar por 1 nuevamente.
7. Conteo espontáneo
Esta prueba debe ser propuesta varios días después de la otra parte del
protocolo. Se le presentan al niños dibujos( el número x elegirlo en función
del número hasta el que saben sumar)
“Aquí hay un cartón con dibujos y allí hay cubos. Tienes que poner un cubo
sobre cada dibujo y será necesario que cada dibujo tenga un solo cubo.
Ahora vas a ir buscar justamente o exactamente lo que sea necesario.
Cuidado: es necesario que sea justo, ni más ni menos. Tienes que hacer un
solo viaje”
Realizar un ensayo y, si fracasa , anotar el fracaso y volver a hacer un
segundo ensayo. Anotar el método de conteo del niño delante del cartón
y luego lo que hace delante de la caja de los cubos y ,finalmente, como
realiza la correspondencia.
8. Uso social del número
Preguntar. “¿para qué sirven los números?¿Dónde utilizas los números?” Si
dice” en la escuela”, preguntar si los usa también fuera de la escuela.
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Capítulo V
Psicopedagogía de la decena, la centena y el millar. El
principio del valor relativo
I) los principios de la numeración decimal
El paso de la noción de unidades (números dígitos) a decenas y agrupaciones
superiores conlleva el aprendizaje del principio del valor relativo así como
el de algunas reglas y excepciones. Por ejemplo, en el número 746 la
posición de la cifra 7 en la tercera columna desde la derecha informa de
que el 7 representa centenas o grupos de cien y no 7 unidades (7 grupos de
uno) o 7 millares (7 grupos de mil). Este tipo de sistema, llamado posicional,
se funda en el principio de la agrupación sucesiva (las unidades, cada diez,
se agrupan en decenas, cada colección de diez decenas se agrupan en
una centena, éstas, las centenas, lo son en millares y, así, sucesivamente).
Presupone un claro dominio de la inclusión de clases, de las clasificaciones
y de unas estructuras espacio temporales consolidadas (antes-después,
izquierda-derecha, etc.)
Los números de varias cifras (decenas, centenas,..) forman una expresión
numérica, es decir, la codificación de las relaciones entre cifras aisladas para
expresar un número que debe leerse como un todo. Las relaciones entre
las cifras se codifican mediante su posición (orden y lugar). Por ejemplo, el
orden de las cifras en 73 especifica un significado cuantitativo diferente que
el orden en 37. Además, el lugar del 3 en 37 y en 375 expresa significados
distintos (treinta y trescientos, respectivamente)
Para leer pues un número se debe codificar la información especificada por
la posición (el orden y el lugar). Esta codificación se realiza y, por supuesto,
el alumno tiene que aprender los pasos siguientes:
1) Observar el número de cifras que tiene. El número 37, por ejemplo,
tiene dos cifras
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2) Especificar las relaciones entre las cifras. En el número 37 quiere
indicar que la primera cifra (por la izquierda, el 3 ocupa el grupo de
los dieces, (la serie de las decenas) y el 7 (el segundo lugar, el de la
derecha) ocupa el grupo de los unos (la serie numérica del uno al
nueve, de las unidades).
3) Llevar cada lugar con el nombre específico y adecuado para cada
número intercalando en medio la comparación y en el caso del número
37, el lugar de las decenas se rellena con la palabra treinta de la serie
de las decenas, y el lugar de las unidades se rellena con la palabra siete
de las serie numérica del uno al nueve.
Treinta
y siete
Dieces
unos
(Decena)
(unidades)
El procedimiento con las fases descritas se aplica a la lectura de todos los
números de dos cifras excepto los números 11, 12, 13, 14 y 15 y de las decenas
completas, 20, 30, 40,.. (números con 0 en el lugar de las unidades). Para
leer los números 11, 12, 13, 14 y 15 debe recordar los nombres especiales
aprendidos de memoria igual que los nombres de las decenas completas
(once, doce, trece, catorce, quince, veinte, treinta..)
Hacia finales del primer curso de la escolaridad obligatoria los niños
suelen leer los números de dos cifras. Las dificultades de aprendizaje que
suelen presentar los números del 11 al 15 se suelen obviar didácticamente
presentándolo como compuestos: diez y uno, diez y dos, diez y tres, ..
Para leer números de tres cifras, el procedimiento es más complejo. La
dificultad añadida es la regla de iniciar la lectura con el nombre del dígito
extraído de las unidades adjuntándole la palabra cientos. Ejemplo, para
leer 345, se evoca el nombre del número 3 (tres) y se le añade cientos y se
continúa leyendo como los de dos cifras cuarenta y cinco
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La enseñanza/aprendizaje de las competencias aritméticas
TRESCUARENTA
YCINCO
UNOS +(CIENTOS) DIECES
UNIDADES( de Cientos) DECENAS
UNOS
UNIDADES
Cuando el cero ocupa el lugar de los DICECES (decenas) debe aplicarse la
regla de los ceros intermedios, es decir, los ceros intermedios no se nombran
sino que se debe saltar el lugar que ocupa (las decenas). Es el caso del
número 305: Tres+cientos+cinco
TRES+(cientos)NO SE PRONUNCIA
Y
CINCO
UNOSDIECESUNOS
UNIDADESDECENASUNIDADES
Para aprender a leer números de cuatro cifras, por ejemplo 4.684, su lectura
implica aprender el nombre del lugar de las unidades de millar (mil). Los
pasos se pueden resumir en los siguientes:
CUATRO
+
mil
SEIS+cientos
OCHENTA yCUATRO
UNOS
+
mil UNOS+cien DIECES UNOS
unidades de cien decenas
unidades
Unidades de mil
Las únicas excepciones para la lectura de las centenas son las del número
500 (quinientos) y 700 (setecientos )
En el caso de números de 5 ó 6 cifras hay que anteponer a la palabra
mil el número de la decena o centena correspondiente: 12.584 (doce mil
quinientos ochenta y cuatro) y 415.632 (cuatrocientos quince mil seiscientos
treinta y dos).
Los números de tres cifras suelen leerse a finales del 2º curso de la Educación
Obligatoria y los de cuatro cifras no se suelen aprender hasta el tercer curso.
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Las reglas aprendidas para leer números hasta seis cifras se aplican para
números, añadiendo millones, billones,..
En el caso de la escritura, proceso inverso al de la lectura, consiste en
codificar un número verbal en los símbolos escritos apropiados.
La escritura de decenas implica pues dos cifras, la de centenas implica tres
cifras y sólo tres,.. El número trescientos dos, implica tres cifras(302) y no
dos (32) ni cuatro cifras (3.002), errores, por otra parte, frecuentes en un
aprendizaje mecánico del sistema de numeración decimal.
El conocimiento profundo de nuestro sistema de numeración de base diez
implica comprender:
a) La equivalencia de los órdenes en base diez: 10 unidades equivalen
a 1 decena ó 10 decenas a 1 centena, etc.
b) La existencia de una pauta repetitiva con puntos de transición
previsibles. Nuestro sistema se basa en un total de diez símbolos para
las cifras(0, 1 2, 3, 4, 5, 6 , 7, 8, 9) que se combinan para formar todos
los números que se necesiten escribir
Las reglas a las que se somete este sistema posicional son de orden (35
se formula treinta y cinco y no cinco y treinta, es preciso comenzar la
lectura/escritura por las unidades de orden mayor), es decir 30+5, expresión
mediante un producto (3.000 se expresa por tres mil, es decir, 3x1000) o
como suma y producto (1.384, mil trescientos ochenta y cuatro, es decir,
1000+3x100+80+4).
Asimismo, para un exitoso comienzo en el trabajo con las decenas (la noción
de diez en sentido cardinal y ordinal) Convenimos con Ronshausen (1978)
en que el alumno debería estar en posesión de las siguientes habilidades
numéricas:
Conocer la cardinalidad de los números dígitos (0 al 9). Pruebas para
comprobar este requisito podrían ser:
- a) Coge 5 bolas de esa caja
- b) ¿Cuantas monedas hay en la mesa?
- c) Dibuja 8 globos
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La enseñanza/aprendizaje de las competencias aritméticas
Saber contar de uno a diez tanto mecánica como” racionalmente”.
Saber leer los símbolos del 0 al 9. Por ejemplo, se le muestra 8 y que
lea en voz alta “ocho”.
Saber asociar/aparear los símbolos numéricos con conjuntos dados.
Pruebas para comprobar esta habilidad podrían ser:
- a) Une las cifras con los conjuntos.
Saber escribir los símbolos numéricos de 0 a 9 cuando se les dictan o
etiquetando un conjunto. Ejemplo:
- a) Escribe en tu cuaderno con números ocho, siete, cero,..
- b) Escribe el número que corresponda.
A estos requisitos habría que añadir los siguientes:
Identificar y conocer el cero como ausencia de cantidad
Establecer relaciones entre los números dígitos de mayor que, menor
que e igual, es decir, que sean capaz de seriar de forma ascendente y
descendente.
Aplicar las leyes de composición y descomposición a los números
dígitos:
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6=4+24+2=6
6=3+2+13+2+1=6
6=3+33+3=6
Guisburg (1977) identifica tres fases en la comprensión del valor relativo en
lo que a la expresión escrita se refiere:
1) El niño escribe correctamente los números sin comprender sus reglas
de formación.
2) El niño comprende que otras formas de escribir un número
determinado son erróneas. Por ejemplo, que sería incorrecto escribir
31 para denotar trece.
3) El niño es capaz, de relacionar la notación escrita de los números
con el principio de valor relativo. Por ejemplo, cuando se le pregunta
por qué ha escrito 1 seguido por un 3 para denotar trece replica que el
1 representa diez y el 3 expresa tres, diez más tres son trece.
II. Actividades de enseñanza/aprendizaje para el trabajo con la
numeración decimal.
Para la enseñanza aprendizaje de las decenas convendría que previamente
el alumno se ejercitara en realizar agrupamientos con colecciones o
subconjuntos menores de diez (de dos en dos, de tres en tres, de cuatro en
cuatro,..hasta unidades de segundo orden), primero de forma manipulativa,
y después de forma gráfica. Hay que procurar que el alumno se percate de
la economía que supone el contar objetos agrupados frente a tener que
contar objeto por objeto.
Para un aprendizaje significativo de la noción de valor relativo convendría
ser respetuoso con la siguiente secuencia de aprendizaje que propone el
Centro de Matemáticas ILEA Abey Wood (175):
1) Formar haces de lápices o bolsas que encierren diez elementos,
agrupando los objetos en decenas y unidades. Procurar, en todo caso,
colocar los materiales de las unidades a la derecha de las decenas para
ir generando el hábito posicional.
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2) Unir objetos en decenas y unidades, en lugar de la mera agrupación;
por ejemplo, ensartando cuentas en un hilo o utilizando bloques de
construcción ensambladas en decenas.
3) Actividades con aparatos estructurales prefabricados como los
bloques Dienes Base 10, en los que los cubos o placas individuales
siguen siendo distinguibles pero son inseparables.
4) La siguiente etapa consiste en pasar a centenas, decenas y unidades,
donde la decena o centena no están señaladas y distinguibles las
unidades individuales, sino que es, por ejemplo, simplemente una tira
de cartulina (decena) o un cuadrado de cartulina (centena)
En todas estas fases conviene realizar actividades de desagrupar (o de
intercambio) para propiciar en el alumno el pensamiento reversible. Interesa
especialmente desagrupar las unidades de orden superior en unidades de
orden inmediatamente inferior.
5) Diferenciar/representa los dieces utilizando un objeto o representación que solamente son distinguibles de los unos por su diferente
color o posición (a la derecha a la izquierda). Por ejemplo,
Representar el conteo de 32 elementos mediante
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6) Utilización del ábaco o modelo similar.
Al avanzar por estas fases o etapas el alumno va captando la creciente
abstracción que supone el paso de la agrupación de objetos en decenas
y unidades a la representación de unas u otras mediante unas mismas
entidades (las fichas en el caso del ábaco) cuya posición (a la izquierda o a la
derecha) es el determinante fundamental para conocer si una ficha u otro
objeto representa una decena o una unidad. Sustituir el número de fichas
del ábaco por los dígitos 0 al 9 constituirá un paso sencillo de comprender
para el alumno y que le conducirá a captar significativamente el concepto
de valor relativo/posicional.
Estas fases, especialmente la 5 y la 6, son aplicables al trabajo con números
tridígitos (centenas) y polidígitos (millares). Las actividades del alumno
con materiales concretos para el aprendizaje de las decenas no le facilitan
suficiente preparación, en todos los casos, para abordar el aprendizaje de
las centenas y millares sino que es preciso abundar en el uso de materiales
concretos y representaciones intuitivas hasta muy avanzada la educación
primaria.
En el caso de la unidad de millar su aprendizaje no deberá iniciarse hasta
que se encuentre en un momento de evolución cognitiva que le permita
representarse esta cantidad de una manera abstracta. Es obvio que las
unidades de millar no son familiares para los alumnos de los primeros
cursos y, por ende, acceder a su representación intuitiva no es posible.
Su aprendizaje prematuro ( no debiera iniciarse su trabajo antes del 2º
ciclo de Educación Primaria) no sería respetuoso con una psicopedagogía
contextualizadora y significativa.
No debemos desechar para la enseñanza/aprendizaje de las decenas la
utilización de los dedos. Los dedos constituyen un recurso en el que el
agrupamiento de 10 (decena) se representa en estado natural. . Es mucho
más rápido formar 3 grupos de diez y 5 unidades, por ejemplo, con los
dedos de cuatro alumnos que con fichas extraídas de una caja. Esta facilidad
proporciona al maestro la posibilidad de trabajar sobre la composición/
descomposición en decenas y unidades de la serie de los números hasta
el 100. Con la utilización de los dedos se pueden realizar actividades tales
como:
Mostrar con los dedos la cantidad escrita en la pizarra.
Escribir la cantidad de dedos que se muestren.
Mostrar la cantidad de dedos que se indiquen verbalmente.
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La enseñanza/aprendizaje de las competencias aritméticas
No podemos olvidar que las manos constituyen” la máquina de calcular
que más a mano tienen nuestros alumnos.”
Para fortalecer y profundizar en el manejo de las distintas órdenes de
unidades se pueden realizar las actividades siguientes:
Representar las decenas completas en la recta numérica.
Seriar regresiva y progresivamente los números hasta 20, 30, 40,.. de
1 en 1, de 2 en 2, de 3 en 3,.. de 10 en 10.
Establecer una correspondencia entre unidades y decenas completas
de forma numérica y escrita. Por ejemplo:
3 tres 30 treinta
5 cinco 50 cincuenta
6 seis 60 sesenta
8 ocho 80 ochenta.
Representar en tablas (ábacos) unidades y decenas completas de
forma paralela.
Descomponer decenas en decenas completas, haciéndolo
corresponder con la descomposición de números que expresen
unidades.
8=6 y 2
80=60 y 20
Descomponer los números según sus ódenes de unidades y según el
valor posicional de sus cifras.
38=3 decenas y 8 unidades
38=30+8
Completar tablas similares a
Nº
12
38
Escritura
Valor Posicional Orden de unidades
1D y 2 U
Veintisiete 20+7
38D y 8 U
40+6
4D y 6 U
105
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Actividades de correspondencia entre dígitos y cardinales. Mostrar al
alumno una colección de 37 fichas (o cualquier otro material). Pedir
que cuente la cantidad de fichas y que escriba el número resultante.
Señalar el 7 en el 37 y preguntarle, ¿Qué quiere decir este 7 en relación
a la cantidad de piezas que hay?. Después señalarle el 3 y repetir la
pregunta.
Actividades de uso de la decena. Tomar 58 fichas y hacer que el niño
las cuente. A continuación mostrar al alumno 12 tarjetas con casilleros
decimales marcados . Preguntarle: si queremos poner estas fichas en
los espacios de estas tarjetas, ¿Cuántas tarjetas podemos rellenar?
Actividades de usar grupos de 10: preparar tarjetas con semillas u otras
piezas pegadas en las tarjetas dispuestas en hileras de 10. Proporcionar
al alumno al menos 10 tarjetas. Después de asegurarnos que el niño
sabe que hay 10 semillas en cada pieza, pedir que muestre 43 semillas.
Observar si cuenta las semillas individualmente (una a una), o usa
las tarjetas con decenas de semillas. Esta actividad se puede realizar
también con centenas.
Completar ejercicios del tipo:
DECENASUNIDADES
35
vale___ unidades
vale ______ unidades
Realizar descomposiciones que faciliten las restas con
desagrupamiento.
53=40+13
53=---- decenas y 13 unidades
Realizar ejercicios inversos al apartado anterior (agrupamientos) que
faciliten las sumas con arrastres
40 y 13 =40+10+3=53
4d y 13u=4d+1d+3u=5dy3u.
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La enseñanza/aprendizaje de las competencias aritméticas
Otras actividades más complejas son las siguientes:
Facilitar al alumno tres cartulinas con un dígito distinto en cada una y
que escriban con las tres cartulinas el número, menor o mayor posible,
que ordenen los de menor a mayor o viceversa los construidos con las
tres cartulinas,..
Reorganizar o descomponer un número dado de diversas maneras:
-523
es
52d y 3u5c y 23 u4c12d y 3u
igual
a:
¿Qué significa 25c y 4d?. Rodea: 25.040, 2.540, 2.504, ninguno de los
anteriores

¿Cuál de las siguientes expresiones significa 15.320? Rodea: 15.320
decenas; 15centenas y 320 decenas; 1532 decenas; 1532 decenas y 20
unidades.
¿Cuál de los números siguientes es igual a 2M 36C 18C y 6U? 3.486 ;
5.386; 5.686; ninguno de los anteriores.
Actividades sobre multiplicación y división polinómicas.
¿Cuántas veces mayor es el 6 rodeado por un cuadrado que el
subrayado? Rodea. 6 6
10, 1/100, 1/10, 100
En el número 420 ¿Cuántas veces es mayor el valor representado por
el 4 que por el 2? Rodea: 2 veces, 10 veces, 20 veces, 200 veces
¿Qué valor tiene los 2 del número 23.206? El 2 amarillo vale ___
unidades y el 2 azul vale ___ unidades.
En cuanto al aprendizaje del valor relativo del cero (0) es obvia su
dificultad. Su papel posicional en la representación simbólica de los
números no les resulta fácil a los niños. Les cuesta un gran esfuerzo
captar el papel del cero como ocupante de un lugar, es decir, como cifra
significativa. Los alumnos deben trascender la noción del cero como nada
(representante de un conjunto vacío) o como algo que carece de efecto
(5+0=0) y percatarse de que indica una columna vacía. Por ejemplo, en el
número 602 el cero representa ningún grupo de diez o ninguna decena.
En contraste con el significado inicial que el niño atribuye al cero, el papel
de éste como constituyente de un número de varias cifras es bastante
complejo. Es preciso conducir al niño a que llegue a la concepción del
valor posicional del cero como nada de algo, es decir, nada decenas, nada
107
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de centenas, La utilización del ábaco u otro material estructurado como
los bloques multibases, pueden utilizarse para favorecer una adecuada
comprensión del cero como ausencia de grupos de cien, ausencia de
grupos de mil,.. Actividades como representar o leer el número 403 en el
ábaco o con los bloques multibases pueden resultar interesante
Centenas 4
Decenas 0
Unidades 3
Asimismo, actividades como las siguientes pueden conducir a un aprendizaje
comprensivo del cero (lectura y escritura) en números de varias cifras:
Escribe un número que contenga 4 centenas y 6 unidades. Utiliza el
gráfico siguiente:
Centenas DecenasUnidades
4
0
6
Cuatrocientos seis
Descomponer los números siguientes según el modelo anterior:
5.043=500+40+6=5M4D
y
6U
6
.
3
0
9
=
5.004=
Escribe el número que contenga 6000 unidades y 30 unidades ¿Cuántos
millares, centenas, decenas y unidades contiene?
¿Qué valor en unidades tiene el 4 en los números siguientes 42, 402,
y 4002?
En el 42 el 4 vale-----unidades
En el 402 el 4 vale----unidades.
En el 4.002 el 4 vale--unidades.
Un aprendizaje comprensivo del cero evita errores en la lectura y escritura
de números de varias cifras como los siguientes:
Leer 402 como cuarenta y dos o 4.002 como cuatrocientos dos.
Escribir cuatrocientos dos como 4002 o ciento cuarenta como 10040
Leer 4002 como cuarenta y dos. La causa de este error es que los
alumnos han aprendido que el cero significa nada y no lo tienen en
cuenta 4002=42.
Finalmente, la consideración sobre la introducción/aprendizaje de otros
sistemas numéricos (binarios, ternarios, etc.) para que los niños desarrollen
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una mejor comprensión del sistema de base 10 o sistema de numeración
decimal no ha recibido una aceptación generalizada. Para algunos autores
esta introducción carece de eficacia ya que el niño pierde lo esencial de
sus referencias. Su conocimiento/manejo habitual/ informal de los números,
el que utiliza en su entorno extraescolar, entra en interferencia con otros
sistemas. Puede confundir el 10 que ve como precio de una golosina en
el mercado con el 10 en base cuatro, que además hay que leer” uno cero
en base cuatro”. En un estudio realizado por J. P. Perret en 1985 en Suiza
sobre un programa de enseñanza de la numeración en bases distintas
al sistema de numeración decimal concluyó que cabe pensar seriamente
que en un estudio más tardío de las actividades de agrupamiento y de
codificación numérica en base distinta de diez, en el tercer o cuarto curso,
cuando se crea que los alumno están preparados para reflexionar y trabajar
sobre el sistema de codificación como tal, permitiría obtener resultados
idénticos ahorrándose una larga fase de estudios de resultados inciertos.
Baroody (1988) afirma a este respecto que la introducción de otros sistemas
numéricos puede hacerse de una manera informal y significativa. Como los
niños se familiarizan con nuestro sistema cotidiano (de base diez) contando,
podría ser útil emplear el mismo procedimiento (contar) para introducir
otro sistema numérico.
III) Materiales para el estudio de la numeración.
Las actividades manipulativas con material concreto, como ya hemos
visto en algunas actividades de enseñanza-aprendizaje ya descritas, son
esenciales para la comprensión del valor de posición de las diversas cifras en
el sistema de numeración. Aquí describimos, más detalladamente, algunos
de los materiales más frecuentemente utilizados en la enseñanza de la
numeración.
El interés de usar distintos materiales es para que el niño no asocie el valor
posicional con un modelo particular.
Con el uso de materiales concretos diversos no se trata de que los alumnos
abstraigan algo que tuvieran en común dichos modelos, como si los conceptos
a construir tuvieran una naturaleza empírica. El fin esencial será lograr que
la comprensión de las reglas del sistema de numeración posicional decimal
sea independiente de los modelos físicos utilizables. Estos modelos pueden
ser proporcionales o no proporcionales:
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En los proporcionales de base 10, como los bloques multibase, haces
de palillos, etc., el material que expresa la decena es diez veces mayor
en tamaño que el que expresa la unidad; la representación de la
centena es diez veces mayor que la decena, etc. Los instrumentos de
medida también pueden usarse como modelos proporcionales de la
numeración: las bandas o cintas de metros, decímetros y centímetros
se pueden usar como modelos de cualquier número de tres cifras.
Los modelos no proporcionales, tales como el dinero, el ábaco, etc. no
mantienen ninguna relación de tamaño entre las distintas piezas que
representan los números. Por ejemplo, una moneda de 1 euro no es
cien veces mayor en tamaño que la que representa un céntimo.
Entre los materiales manipulativos más utilizados en el estudio de la
numeración y las operaciones aritméticas están los ábacos, los bloques
Multibase y los números en color.
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Ábacos.
Son juegos de varillas insertadas en un bastidor sobre las que se deslizan
bola o fichas como un collar. Reproducen físicamente las características
de los sistemas de numeración posicionales ordenados ya que las bolas
representan un valor numérico diferente según la posición de la varilla en
están colocadas.
En el ábaco decimal cada bola representa una unidad, pero bolas situadas
en varillas diferentes representan unidades de distintos órdenes; sobre cada
varilla se tiene una potencia de la base. En cada varilla habrá 9 bolas como
máximo ya que al añadir otra más se sustituyen por una bola colocada en
la varilla de la izquierda.
Ábacos no proporcionales. Antes de utilizar los ábacos no proporcionales
se recomienda usar variantes en los cuales no se usa el convenio del valor
de posición, de modo que, por ejemplo, el número 23 queda expresado con
dos hileras de 10 bolas y otra de tres.
Bloques multibase.
Los bloques multibase se presentan en cajas, una para cada base de
numeración. En cada caja existen piezas (generalmente de madera o
material plástico) de cuatro tipos: cubos, barras, placas y bloques. Los
cubos representan las unidades simples o de primer orden, las barras de las
unidades de segundo orden, las placas las de tercero y los bloques las de
cuarto orden.
Forman una sistema de numeración por agrupamiento múltiple. Cada pieza
corresponde a una potencia de la base. La representación de un número se
corresponde con el tamaño de la cantidad ya que van arrastrando todas las
unidades. Palillos, cordones, o cualquier otro material cotidiano, enlazados
o distribuidos en cajas, haciendo grupos de diez unidades, reproducen las
características de los bloques.
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Números en color
Los números en color, también llamados regletas de Cuisinaire, son una
colección de varillas coloreadas de longitudes que van desde 1 cm (unidades)
a 10 cm (decenas) que permiten reproducir las características de los sistemas
de numeración de agrupamiento simple. Las varillas tienen forma de prisma
cuadrangular de un centímetro cuadrado de sección y sus longitudes varían
de centímetro en centímetro desde uno hasta diez.
Las regletas que tienen el mismo color tienen también la misma longitud.
Los distintos tamaños permiten ordenar las regletas, formando escaleras;
uniéndolas por los extremos se pueden obtener distintas longitudes que
representarán números diferentes y las operaciones aritmética
El cartel de posición y utilización
Para trabajar de una forma práctica y funcional el sistema de numeración
decimal se podría utilizar el llamado cartel de posición. Su funcionamiento
básico se sustenta en que una unidad de cualquier orden equivale a 10
unidades de orden inmediatamente inferior, que se ubican a la derecha, o
lo que es lo mismo, con 10 unidades de cualquier orden se constituye una
unidad inmediatamente superior, que se sitúa a la izquierda.
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La enseñanza/aprendizaje de las competencias aritméticas
Interesa destacar a los alumnos que cada unidad de los diversos órdenes
tiene su nombre propio. Aparte del trato con números enteros positivos
las mismas reglas rigen para los números decimales de tanto uso en la
expresión de las monedas, las medidas en el sistema métrico decimal, las
temperaturas, etc.
¿Qué significa un decimal? Lo podemos entender justamente en términos
del sistema decimal de numeración ya , que como hemos indicado, en su
constitución rigen los mismos principios que para las unidades enteras. En
la tabla siguiente se puede observar su funcionamiento.
Como una nota adicional a las dos tablas anteriores podemos imaginarnos
el sistema de numeración decimal como una regla en la que cada 10
unidades constituyen una unidad superior, o como un sistema monetario
en el que a cada cantidad le corresponde una representación en forma de
moneda o billete.
La tabla o cartel de posición podría ser el siguiente:
Evidentemente , la tabla no tiene límites ni por la izquierda( sigue con
decena de millón, centena de millón, etc.) ni por la derecha(sigue con
diezmillonésima, cienmillonésima, etc.)Así se hacer percibir al alumno la
posibilidad de escribir cualquier cantidad por grande o pequeña que sea.
El cartel de posición puede servir para varios fines. En primer lugar, para
ubicar en él diversos números y “descomponerlos” en sus correspondientes
unidades de orden, como muestra el cuadro o cartel siguiente.
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También se puede utilizar el cartel de posición para la actividad opuesta, es
decir, escribir un número con sus cifras y proceder a leerlo correctamente.
Actividades que se pueden realizar serían:
Utiliza el cartel de posición para determinar qué cifra ocupa la posición
de las centenas , en el número cuatro mil cuarenta y seis ,las decena
de mil , en el número un millón treinta y siete mil doce, ….Dados los siguientes números indique en cada uno de ellos el valor
que le corresponde a la cifra 3: 3·.015, 1.031,93, …
El cartel de posición se convierte también en una herramienta auxiliar para
percibir las relaciones existentes entre las unidades de los diversos órdenes
. Así se puede observar en ejercicios como “completa la tabla”:
Lo importante es advertir que ésta no es una tabla para aprendérsela de
memoria sino para construirla.
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La enseñanza/aprendizaje de las competencias aritméticas
Finalmente, otra actividad interesante que permite el uso del cartel de
posición es la diversidad de lectura de cualquier número. Tomemos como
ejemplo el número 127.401,02 y veamos algunas maneras de leerlo:
1 centena de mil, 2 decenas de mil , 7 unidades de mil, 1 unidad, 2
centésimas.
127 unidades de mil, 40 decenas , 1 unidad , 2 centésimas.
1.274 centenas, 102 centésimas.
y bastantes más.
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Capítulo VI
Adición y sustracción (los problemas aditivos)
1) Concepto de suma y resta.
Hay dos concepciones básicas de las operaciones de sumar y restar: la
concepción unitaria y la concepción binaria.
La concepción unitaria es una situación dinámica, ya que hay una acción
que modifica un primer conjunto mediante un segundo conjunto. En el
caso de la adición, la situación sería como sigue:
“Luisa tiene 4 canicas y gana a su amiga 3 canicas. ¿Cuántas canicas tiene
ahora Luisa?
En la concepción binaria no existe acción en el planteamiento de ambos
conjuntos. Constituyen una acción estática. Desde esta concepción se
entiende fácilmente la propiedad conmutativa de la adición (a+b = b+a).
Un ejemplo de la concepción binaria sería el siguiente:
“Luisa tiene 4 canicas y su amiga Ana tiene 3 canicas ¿cuántas
canicas tienen entre las dos?
El resultado matemático es idéntico entre las dos situaciones. La concepción
binaria, no obstante, se ajusta mejor al esquema partes-todo, ya que
la combinación de las partes da lugar al todo, y, de otra parte, el todo
puede descomponer en partes: Desde la concepción binaria se parte de
la existencia de dos conjuntos disjuntos determinados que se unen para
obtener un tercer conjunta. En la unitaria se parte de un solo conjunto que
modifica añadiendo otro conjunto.
Las situaciones binarias se caracterizan básicamente por contar con dos
cantidades estáticas que forman parte de un todo que las incluye. Son
estáticas por cuanto no cambian en el transcurso del tiempo. Lo contrario
ocurre en las situaciones unitarias.
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Con respecto a la resta por su naturaleza su concepción más apropiada
sería como operación unitaria. En la resta, pues, no se daría la propiedad
conmutativa. Aquí se da una cantidad inicial y se quita después un mínimo
de elementos determinados, resultando un tercer conjunto (a-b-=c).
La adición y la sustracción tienen una gran importancia social y cultural. El
contexto más frecuente donde aparece es el de la compraventa. Los niños
no se encuentran ajenos a esta actividad. El aprendizaje informal de estas
operaciones lo adquieren a través de la compra de chucherías, juguetes,..
Cualquier niño, sin necesidad de manejar los algoritmos convencionales de
estas operaciones, son capaces de pedir la “vuelta” del dinero entregado.
En otras situaciones también estar presentes muy pronto, como es el caso
de la medida del tiempo. Asimismo, son numerosas las profesiones donde
se recurre frecuentemente a estas operaciones. Así, en el informe Cockroft
(1985) se expresa:
“La manera de saber realizar cálculos aritméticos de diferentes
clases aparece entre las exigencias matemáticas de casi todos los
tipos de empleo.. Estos cálculos se hacen a veces mentalmente, a
veces con lápiz y papel, y otras con una calculadora”
2) Clasificación de los problemas de sumar y restar.
Las situaciones problemáticas que tradicionalmente se han trabajado y
se trabajan en nuestras escuelas son las de “agregar” y “ quitar”. Estos
son problemas de sumar y restar, pero esto no significa que todos los
problemas aditivos (sumar y restar) se puedan reducir a estas dos acciones.
Se han propuesto a distintas clasificaciones para los problemas aditivos.
Todas las situaciones que puedan estar protagonizadas por una cantidad
que es susceptible de crecer o disminuir, que plantean como pregunta la
situación de la cantidad antes o después del crecimiento o disminución,
o que preguntan sobre la cantidad inicial, la final o la cantidad de
crecimiento o disminución, puedan dar lugar a distintos tipo de problemas
aditivos. Nosotros vamos a seguir, en principio, la clasificación de Vernaug
(1976-1981), por parecernos lo más didáctica, aunque expondremos
otras clasificaciones. La clasificación propuesta, por Vergnaud distingue
según estén involucrados en los problemas medidas, estados relativos
o transformaciones. Los tres siguientes situaciones nos presentan el
significado de estos conceptos:
117
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“Luisa tiene 5 canicas rojas y 3 canicas azules. En total tiene
8 canicas”.
“Luisa tiene 5 canicas y compra 3, ahora tiene 8 canicas”
“Luisa tiene 5 canicas y Ana tiene 3 más que ella. Ana tiene
8 canicas”
Aunque las tres situaciones se pueden representar mediante la operación 5+3
= 8, las relaciones entre esos números difieren en cada una de las situaciones.
En la primera, 5 y 3 son medidas de la colección de canicas, en tanto 8 es la
medida de la colección total. El 8 no representa ningún cambio en la cantidad
de canicas, sólo representa la unión o combinación de ambas colecciones.
En el segundo caso, el 5 es la medida de la colección de canicas, pero el 3
representa un cambio, una transformación. Luisa ha comprado 3 y su colección
ha aumentado. Un cambio o transformación positiva o de aumento se ha
operado sobre una medida. La transformación tuvo lugar en un tiempo, antes
tenía 5 y ahora tiene 8.En la tercera situación el 5 sigue siendo la medida de
una colección o conjunto, pero el 3 no representa una medida como en la
primera situación, ni una transformación como en la segunda. El 3, en la tercera
situación, representa una relación entre la cantidad de canicas de ambas niñas.
Estos tres problemas, son equivalentes desde el punto de vista matemático
(5+3=8), pero no lo son desde el punto de vista de los niños. Tienen,
obviamente, distinta dificultad. Es evidente que existen muchos problemas
aditivos para resolver con las mismas cuentas. La dificultad diferente que
plantean los problemas hace necesaria una graduación y distribución a través
del tiempo y tienen que pasar varios años para su reconocimiento y ejecución.
Sobre la base de la distinción entre medidas, estados relativos y
transformaciones, se pueden clasificar las relaciones numéricas aditivas en
seis categorías. A su vez, en el interior de cada una de ellas se encuentran
diferentes tipo de problemas. El siguiente cuadro explícita los diversos
tipos de problemas de estructura aditiva y que se pueden resolver con la
utilización de la suma y la resta:
Clasificación de los problemas aditivos (vergnaug, 1976,1981)
1) Composición de dos medidas.
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- 1.1.) Encontrar el total de las medidas. Ejemplo: Ana tiene 5
canicas, Luisa 3 canicas. ¿cuántas canicas tienen entre las dos?
- 1.2.)Encontrar algunas de las medidas .Ejemplo: Ana y Luisa tienen
juntas 8 canicas. Si Luisa tiene 3 canicas, ¿cuántas tiene Ana? Es la
adición con huecos: 3+ 5 = 8
2) Una transformación opera sobre una medida. Esquema: Estado
inicial (Ei – Transformación (T)- Estado final (Ef)
- 2.1) Transformación positiva y la incógnita en el estado final.
Ejemplo: Luisa tenía 5 canicas y ganó 3 ¿Cuántas tiene ahora?”.
-
- 2.2) Transformación positiva. Incógnita en el estado inicial.
Ejemplo: “Luisa ganó 3 canicas ahora tiene 8 ¿Cuántas tenía
antes de jugar?”
-
- 2.3) Transformación positiva. La pregunta o incógnita en la
transformación. Ejemplo: “Luisa tiene 5 cromos, después de jugar
tenía 8 cromos ¿Cuántos ganó?”
-
- 2.4) Transformación negativa y la incógnita en el estado final.
Ejemplo:” Luisa tenía 8 canicas. Perdió 3 ¿Cuántas tiene ahora?”
-
- 2.5) Transformación negativa e incógnita en el estado inicial.
Ejemplo:” Luisa perdió 3 cromos. Ahora tiene 5. ¿Cuántos tenía
antes de jugar?”
- 2.6)
Transformación
negativa
e
incógnita
en
la
transformación. Ejemplo:” Luisa tenía 8 cromos después
de jugar se quedó con 5 ¿Cuántos perdió en el juego?”
3) Una relación entre dos medidas también llamadas de tipo
(COMPARACIÓN D E MEDIDAS)
- 3.1) Incógnita de una de las medidas. Comparación positiva.
Ejemplo: “Luisa tiene 5 cromos Ana tiene 3 cromos más ¿Cuántos
cromos tiene Ana?”
-
119
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- 3.2) Incógnita de una de las medidas o comparación negativa.
Ejemplo:” Luisa tiene 8 cromos Ana tiene 3 cromos menos
¿Cuántos cromos tiene Ana?”
-
- 3.3) Incógnita en relación . Comparación positiva. Ejemplo.” Luisa
tiene 8 cromos y Ana tiene 5 cromos ¿Cuántos cromos tiene más
Luisa que Ana?”
-
- 3.4) Incógnita en la relación comparación. Negativa. Ejemplo:”
Luisa tiene 8 cromos, Ana tiene 5 cromos ¿Cuántos cromos tiene
menos Ana que Luisa?”
-
- 3.5) Incógnita en la otra medida. Comparación positiva. Ejemplo:
“Luisa tiene 3 cromos menos que Ana. Ana tiene 5 cromos
¿Cuántos cromos tiene Luisa?”
-
- 3.6) Incógnita en la otra medida. Comparación negativa. Ejemplo:
“Luisa tiene 3 cromos menos que Ana. Ana tiene 8 cromos
¿Cuántos cromos tiene Luisa”.
4) Dos transformaciones se componen para formar una tercera
(Problemas de composición de transformaciones)
- 4.1) Incógnita en la composición .Transformación negativa.
Ejemplo: “Luisa perdió primero 5 cromos, luego 3 cromos
¿Cuántos cromos perdió en total?”
- 4.2) Incógnita en una de las transformaciones. Negativa. Ejemplo:”
Luisa jugó dos veces a los cromos. La primera vez perdió 5 cromos
y entre la primera y la segunda vez que jugó perdió 8 cromos.
¿Cuántos cromos perdió en la segunda vez que jugó?”
- 4.3) Incógnita en la composición. Transformaciones positivas.
Ejemplo:” Luisa ganó en la primera jugada 5 cromos y en la
segunda ganó 3 cromos ¿Cuántos cromos ganó en total?”
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- 4.4) Incógnita en una de las transformaciones. Transformaciones
positivas. Ejemplo:” Luisa ganó en la primera jugada 5 cromos.
Entre la primera y la segunda jugada ganó 8 cromos ¿Qué ocurrió
en la segunda jugada?”
- 4.5) Incógnita en la composición. Una transformación positiva
y una negativa. Ejemplo: “Luisa perdió en la primera jugada 8
cromos y en la segunda jugada ganó 3 cromos ¿Qué ocurrió en
total?”
- 4.6) Incógnita en una de las transformaciones. Una transformación
positiva y otra negativa. Ejemplo. “Luisa perdió en la primera
jugada 8 cromos y entre las dos jugadas perdió 3 cromos ¿Qué
ocurrió en la segunda jugada?”
5) Una transformación opera sobre un estado relativo
Ejemplo:” Luisa debía 8 cromos a Ana. Le devuelve 5 cromos. ¿Cuántos le
debe ahora Luisa a Ana.”
Los diferentes problemas según si la transformación es positiva o negativa
y según se trate de conocer el estado relativo inicial, el estado relativo final
o la transformación son similares a los de una transformación opera sobre
una medida.
6)Dos estados relativos se componen para dar lugar a otro estado
relativo.
- 6.1) “Luisa debe 8 cromos a Ana, pero Ana le debe 3 cromos a
Luisa ¿Cuántas cromos le debe Luisa a Ana?”
- 6.2) “Luisa debe 3 cromos a Ana y 5 cromos a Isabel ¿Cuántos
cromos debe en total Luisa?”
Estas situaciones pueden variar si la incógnita está en uno de los estados
relativos o en la composición de ambos, y si los estados relativos se
complementa entre si o no.
El análisis de estos problemas hace evidente que, tras operaciones tan
elementales como la suma y la resta, se “esconden” de hecho una gran
cantidad de problemas posibles algunos de los cuales están al alcance de
alumnos del último tramo de educación infantil y otros encierran dificultades
“lógicas” importantes incluso para alumnos de segundo ciclo. En otras
palabras, los problemas aditivos y sustractivos no son exclusivos del ámbito
del primer ciclo, sino que su estudio debe ser enfocado a un plazo más
121
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largo, en función de las dificultades “lógicas” que cada problema encierra.
Una gran ventaja de esta tipología es ayudar a los maestros y maestras a
diversificar la naturaleza “matemática” de los problemas a proponer a los
alumnos.
En cuanto a la dificultad que pueden plantear los distintos tipos de
problemas habría que indicar lo siguiente:
Con respecto a los problemas de composición de medidas los problemas
1.1) no plantean ninguna dificultad, incluso al comienzo de la escolaridad
primaria. Los problemas del tipo 1.2) pueden ser abordados a fines del
primer año de primaria y especialmente, en segundo años, si se trata de
números grandes.
Con respecto a los problemas de una transformación opera sobre una
medida los problemas 2.1) son fácilmente reconocibles para los alumnos de
primer año de primaria. Los problemas 2.2) resultan más difíciles que los
anteriores al tener que aplicar la resta a un problema en el que “se ganó”
y porque el alumno precisará reconstruir la situación para comprenderla
e interpretarla que habría una colección desconocida inicial menor a la
colección final dada. En los problemas 2.3) los niños se encuentran frente
al desafío de reconocer que se está preguntando. Se trata de resolver un
problema con una resta, aunque se refiera a una transformación positiva.
El tipo de problemas 2.4) no presenta dificultades a los niños incluso al
comienzo del primer curso de primaria. Los problemas del tipo 2.5) vuelven
a aparecer dificultades pues se trata de utilizar la suma en un problema
de “perder”. Finalmente, los problemas del tipo 2.6) no son sencillos de
resolver en los primeros años de primaria.
Los problemas de una relación entre dos medidas, presentan en muchos
casos una exigencia de mayor elaboración conceptual para los niños que
algunos de las dos categorías analizadas.
En cuanto a la categoría de problemas de dos transformaciones se componen
para dar lugar a otra transformación los problemas el tipo 4.1) no plantean
dificultades aunque hay que tener cuidados con la idea que se instala en
los niños que todos los problemas de “perder” se resuelven con una resta.
En cuanto a los problemas del tipo 4.2) a los niños suelen resultarle más
complejos que los problemas del tipo 4.1).
122
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En los problemas del tipo 4.3), los alumnos no suelen tener dificultades. Los
problemas el tipo 4.4) son objeto de cierta perplejidad en los alumnos por
la aparente contradicción de que “un problema de ganar se puede resolver
restando”. En los problemas del tipo 4.5) no reconocen que puede haber
perdido más de lo que ha ganado, ya que existe un estado inicial de canicas
desconocido. A muchos alumnos del 2º ciclo les resultan estos problemas
bastante complejos. Por último, los del tipo 4.6) plantean dificultades hasta
a alumnos del segundo ciclo. Deben ser propuestos a finales del tercer nivel
de primaria. En estos problemas está involucrada una compensación entre
las ganancias y las pérdidas que dista de ser sencilla, el problema no es
simple.
Los problemas de la categoría, una transformación opera sobre un
estado relativo al ser similares a los de otras categorías, ya analizadas, sus
dificultades guardan también similaridad.
En última instancia, los problemas de la categoría dos estados relativos se
componen para dar lugar a otro estado relativo son bastante similares a los
de la categoría dos transformaciones se componen para dar lugar a otra
transformación.
3)Otra clasificación de los tipos de problemas aditivos.
Adaptando la clasificación que en su día realizó Nesher y con las modificaciones
introducidas por el autor de este texto, se propone la siguiente clasificación
de problemas aditivos simples(sumas y restas) atendiendo a la estructura
semántica de los mismos .Se consideran cuatro categorías:
a) Categoría de cambio: Se trata de problemas en los que se parte
de una cantidad, a la que se le añade o le quita otra de la misma
naturaleza.
En los problemas de Cambio se puede preguntar por la cantidad final, por
la cantidad resultante de la transformación y, por último, por la cantidad
inicial.
123
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Cada una de estas tres posibilidades se puede enfocar desde dos puntos de
vista: la cantidad aumenta o disminuye.
- 1) Se conoce la cantidad inicial, se le hace crecer. Se pregunta por
la cantidad final .Es un problema de sumar. Ejemplo: “Luis tiene 5
canicas y compra 4 más. ¿Cuántas canicas tiene ahora?” Este tipo
de problemas debe ser objetivo del primer curso de E. Primaria.
- 2) Se parte de una cantidad inicial a la que se le hace disminuir Se
pregunta por la cantidad final resultante de la misma naturaleza.
Es un problema de restar. Ejemplo: “Luis tiene 9 galletas y se
come 4 galletas. ¿Cuántas galletas le han quedado? Este tipo de
problema es propio del primer curso de E. Primaria.
- 3) Se parte de una cantidad inicial, y por una transformación
, se llega a una cantidad final conocida y mayor que la inicial.
Se pregunta por la transformación. Es un problema de restar.
Ejemplo: “Andrés tenía 14 cromos .Después de jugar ha reunido
18. ¿Cuántos ha ganado? “Este tipo de problema es adecuado
para trabajarlo en segundo y tercer curso de E. Primaria.
- 4) Se parte de una cantidad inicial y, por una transformación,
se llega a una cantidad final conocida y menor que la inicial.
Se pregunta por la transformación. Es un problema de restar.
Ejemplo:” Andrés tenia 14 cromos. Después de jugar le quedan 8
cromos. ¿Cuántos ha perdido?”
- Este tipo de problemas es propio del segundo curso de E. Primaria.
- 5) Se tiene que construir la cantidad inicial conociendo lo que
ésta ha crecido y la cantidad resultante. Es un problema de
restar. Ejemplo: “Jugando, Luis, ha ganado 7 canicas, y ahora
tiene 11 canicas. ¿Cuántas canicas tenía antes de empezar a jugar?
“Este tipo de problema es propio de segundo y tercer curso de E
Primaria.
- 6) Se tiene que construir la cantidad inicial conociendo lo que ésta
ha disminuido y la cantidad resultante. Es un problema de sumar.
Ejemplo: “Jugando he perdido 7 canicas, y ahora me quedan 4.
¿Cuántas canicas tenía antes de empezar a jugar?”. Este tipo de
problema es apropiado para trabajarlo en segundo y tercer curso
de E. Primaria.
b) Categoría de combinación: Se trata de problemas en los que se tiene
dos cantidades , las cuales se diferencian en alguna característica, y se
quiere saber la cantidad total que se obtiene cuando se reúnen las
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La enseñanza/aprendizaje de las competencias aritméticas
anteriores, o cuando conociendo el total y una de aquellas, se quiere
saber cuál es la otra. De aquí surgen dos tipos de problemas.
- 1) Se conocen las dos partes y se pregunta por el todo. Es un
problema de sumar. Ejemplo: “Ana tiene 3 globos amarillos y 5
rojos. ¿Cuántos globos en total tiene Ana?”. Este tipo de problema
es propio del primer curso de E. Primaria.
- 2) Es el problema inverso al anterior , puesto que conoce el todo
y una de las partes , y se pregunta por la otra . Es un problema
conmutativo y de restar. Ejemplo: “En clase hay 15 alumnos; 9
son niños y el resto niñas. Cuántas niñas hay?”. Este problema
es apropiado para trabajarlo en segundo y tercer curso de E.
Primaria.
C) Categoría de comparación: Esta categoría comprende aquellos
problemas en los se comparan dos cantidades. Los datos del problema
son precisamente esas cantidades y la diferencia que existen entre
ellas. De estas cantidades , una es la comparada y otra la que sirve de
referencia. La diferencia es la distancia que se establece entre ambas.
Los problemas de comparación pueden ser de seis tipos.
- 1) Conociendo las dos cantidades se pregunta por la diferencia
en más. Es un problema de restar. Ejemplo: “Luis tiene 8 euros y
Ana tiene 5 euros. ¿Cuántos euros tiene más Luis que Ana?”. Este
tipo de problemas es propio del segundo ciclo de E. Primaria. El
alumno puede asociar “más” a “añadir”.
- 2) Conociendo las dos cantidades se pregunta por la diferencia
en menos. Es un problema de restar. Ejemplo:”Luis tiene 8 euros
y Ana tiene 5 euros. ¿Cuántos euros tiene Ana menos que Luis?”.
Se trabaja fundamentalmente en tercer curso de E. Primaria.
-
3) Se conoce la cantidad del primero y la diferencia en más
del segundo. Se pregunta por la cantidad del segundo. Es un
problema de sumar. Ejemplo: “Luis tiene 8 euros. Ana tiene 5
euros más que Luis. ¿Cuántos euros tiene Ana?”. Es un problema
apropiado para segundo y tercer curso de E. Primaria.
- 4) Se conoce la cantidad del primero y la diferencia en menos
del segundo. Se pregunta por la cantidad del segundo. Ejemplo:
“Luis tiene 8 euros y Ana tiene 5 euros menos que él. ¿Cuántos
euros tiene Ana?” Es un problema apropiado para segundo curso
de E, Primaria.
125
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José Luis Luceño Campos
- 5) Se conoce la cantidad del primero y su diferencia en más con
la del segundo. Se pregunta por la cantidad del segundo. Es
un problema de restar. Ejemplo:”Luis tiene 15 euros , y tiene 5
euros más que Ana .¿Cuántos euros tiene Ana?. Es un problema
apropiado para el segundo y tercer ciclo de E. Primaria. Requiere
un gran entrenamiento.
- 6) Se conoce la cantidad del primero y su diferencia en menos
con la del segundo, Se pregunta por la cantidad del segundo.
Es un problema de sumar. Ejemplo: “Ana tiene 15 euros, y tiene
5 menos que Luis. ¿Cuántos euros tiene Luis?”. Es un problema
para el segundo y tercer ciclo de E. Primaria y requiere mucho
entrenamiento.
d) Categoría de igualación: Comprende los problemas que
contienen dos cantidades diferentes , sobre una de las cuales se
actúa aumentándola o disminuyéndola hasta hacerla igual a la
otra. De estas dos cantidades , una es la cantidad a igualar y la otra
la cantidad referente. La transformación que se produce en una de
dichas cantidades es la igualación. Algunos especialistas confunden
esta categoría con la de comparación. Nosotros entendemos que la
categoría de igualación es un término medio entre la de comparación
y la de cambio. En esta categoría se pueden encontrar seis tipos de
problemas.
- 1) Conocemos las cantidades de la primera y segunda colección.
Se pregunta por cuanto hay que aumentar la cantidad menor
para igualarla a la mayor. Es un problema de restar. Ejemplo:”Luis
tiene 8 euros y Ana tiene 5 euros. ¿Cuántos euros le tienen que
dar a Ana para que tenga los mismos euros Luis?”. Es un problema
propio de tercer y cuarto curso de E. Primaria. Es un problema
con cierta dificultad porque el alumno puede asociar “añadir a”
“sumar”.
-
2) Conocemos las cantidades del primero y del segundo. Se
pregunta por la disminución de la cantidad mayor para igualarla
a la menor. Es un problema de restar. Ejemplo:”Luis tiene 8 euros
y Ana tiene 5 euros. ¿Cuántos euros tiene que perder Luis para
tener los mismos euros que Ana?”. Es un problema adecuado
para trabajarlo en tercer y cuarto curso de E. Primaria.
- 3) Se conoce la cantidad del primero y lo que hay que añadir
a la segunda para igualarla con la primera. Se pregunta por la
cantidad de la segunda. Es un problema de restar muy difícil.
126
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La enseñanza/aprendizaje de las competencias aritméticas
Ejemplo:”Luis tiene 15 euros. Si Ana ganara 6 euros , tendría
la misma cantidad que Luis. ¿Cuántos euros tiene Ana?”. Es un
problema adecuado para el tercer y cuarto curso de primaria.
-
4) Conocemos las cantidades del primero y lo que hay que
quitar al segundo para igualarlo con el primero. Se pregunta
por la cantidad del segundo. Es un problema de sumar difícil.
Ejemplo:”Luis tiene 15 euros. Si Ana perdiera 6 euros, tendría
los mismos euros que Luis. ¿Cuántos euros tiene Ana?” Es un
problema apropiado para tercer y cuarto curso de primaria.
- 5) Se conoce la cantidad primera y lo que hay añadirle para igualarla
con la cantidad de la segunda. Se pregunta por la cantidad de la
segunda. Es un problema de sumar. Ejemplo:”Luis tiene 8 euros .Si
le dieran 5 euros más tendría los mismos que Ana. ¿Cuántos euros
tiene Ana?”. Es un problema propio del segundo ciclo de primaria
aunque algunos no lo dominan hasta el tercer ciclo.
- 6) Conocemos la cantidad del primero y lo que hay que quitarle
para igualarla con la del segundo. Se pregunta por la cantidad
del segundo. Ejemplo:”Luis tiene 8 euros. Si perdiera 5 euros
tendría los mismos que tiene Ana. ¿Cuántos euros tiene Ana?”.
Es un problema del primer ciclo de primaria , aunque algunos no
lo dominan hasta el segundo ciclo.
4) Variables que inciden en las dificultades de los problemas
Independientemente del análisis general que se ha mostrado más arriba
de las dificultades de las distintas categorías y tipologías de los problemas
propuestos, analizaremos otras variables que, bajo el punto de vista
didáctico, pueden acrecentar o aminorar la dificultad de los problemas a
proponer a los alumnos, ya que estas variables pueden ser manipuladas
por los maestros intencionalmente con el objetivo de adaptarlas al nivel de
competencia de los alumnos así como de provocar cambios en las estrategias
de resolución de los mismos. Entre estas variables podemos considerar:
a) Presentar inicialmente situaciones problemáticas con números
pequeños, con la finalidad de que los niños puedan implementar
diferentes estrategias de resolución primando las informales, controlar
las acciones que realizan, estimar el resultado, no tener que concentrarse
en técnicas de cálculo complejas y, así, poder centrarse en los problemas.
Partir de situaciones con números pequeños permite a los alumnos
127
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José Luis Luceño Campos
utilizar procedimientos “no expertos”. Los alumnos se enfrentan
a problemas y tienen que encontrar un camino original, personal y
tendente a solucionarlo, movilizando, entre los conocimientos de que
dispone, los que corresponden a la imagen mental que ellos tienen de
la situación. Utilizar números mayores permite al maestro provocar en
los alumnos la necesidad de reconocer y utilizar una técnica operatoria
convencional.
De la misma manera, la dificultad disminuye cuando el segundo sumando
es menor que el primario.
b) Otro aspecto o variable a tener en cuenta es el rango de los
números involucrados en la situación. La proximidad de los números
involucrados es otro aspecto que facilita o dificulta la resolución de un
problema. Por ejemplo, un problema fácil de resolver mediante una
estrategia no formal es el siguiente:
“Quiero comprar un juguete que vale 132 € y solo tengo 129
€. ¿Cuántos € me faltan? “. Este problema al mantener una corta
distancia puede resolverse por conteo.
También la utilización de decenas completas disminuye la dificultad de un
problema. Es más sencillo resolver el problema:
“Tengo que leer un libro que tiene 250 páginas y ya he
leído 100 ¿Cuántas páginas me quedan que leer?” que el mismo
problema con los números 75 y 18.
c) Los tipos de magnitudes.Los problemas que involucran figuritas,
cromos, letras, kilógramos, monedas, céntimos, juguetes, kilómetros
o años no plantean similares dificultades para los alumnos. Así
mismo, operar con magnitudes discretas contables (figuritas, cromos,
animales, ..) facilitan la resolución de problemas más que los que
involucran magnitudes continuas, no contables (peso, capacidad,
tiempo,..).
Dos problemas aparentemente iguales son, sin embargo, para los niños de
diferente dificultad.
Por ejemplo:
“Tengo 18 cromos y me regalan 7 cromos más. ¿Cuántos
tengo ahora?”
128
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La enseñanza/aprendizaje de las competencias aritméticas
“Un ciclista va del pueblo A al pueblo B. Ha recorrido 18
kilómetros y le quedan por recorrer 7 kilómetros más. ¿Cuántos
kilómetros hay entre los pueblos A y B?”
Obviamente, el primero plantea muchos menos dificultades.
d) El orden de presentar las informaciones.
Los problemas en que se presentan la información en forma ordenada según
el orden temporal son más fáciles de resolver en los primeros años que los
que presentan la información en orden inverso a los que se produjeron los
hechos.
Por ejemplo, en los siguientes problemas, es más fácil resolver el primero
que el segundo:
“Luisa tenía muchos cromos. Le regaló 8 a Ana. Le quedaron
10 cromos ¿Cuántos cromos tenía Luisa?”
“Calcula cuantos cromos tenía Luisa si le regaló 8 cromos a
Ana y le quedaron 10”
e) Las distintas maneras de presentar las informaciones.
Las situaciones pueden estar representadas en lenguaje natural, mediante
diagramas o esquemas, por medio de un dibujo o mediante una escritura
algebraica o mediante una representación real. Cada una de estas situaciones
presenta dificultades diferentes.
Comparemos estos dos problemas:
Una representación fotográfica de un equipo de fútbol donde hay 7
jugadores y se le formulaba la siguiente pregunta: ¿Cuántos jugadores
tienen que salir del vestuario para que el equipo esté completo?, es más
fácil que el mismo problema formulado por escrito: “En un partido de
fútbol han salido al campo 8 jugadores, ¿Cuántos jugadores faltan por salir
para que el equipo esté completo”.
Lo mismo podemos observar en este otro problema:
129
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Por ejemplo, si se presentan en un dibujo 9 hombres y 6 sombreros y se
pregunta: ¿Cuántos hombres hay más que sombreros?, los niños presentan
más dificultad ante esta pregunta que si se presenta el problema de la
manera siguiente: “Imagina que cada hombre se coloca un sombrero,
¿cuántos hombres se quedaron sin sombrero?
La investigación demuestra que la utilización en los problemas de objetos o
dibujos mejoran manifiestamente la resolución de problemas en los niños
más jóvenes.
f) El tipo de contexto a que se hace referencia.
Si el enunciado de un problema se refiere a un contexto desconocido, el
alumno no podrá interpretar siguiera cual es el problema matemático que
debe resolver. Las dificultades para resolver un problema se aminoran
cuando estos se refieren a la vida cotidiana o al entorno del niño. Son los
problemas llamados por algunos expertos, “concretos”, “problemas de la
realidad de los niños”, “temas de su interés”. De todas formas, considerar
como interés de los alumnos su vida cotidiana presenta algunos riesgos.
En principio, deja fuera de la actividad matemática escolar problemas
planteados en términos puramente matemáticos, es decir, los llamados
“problemas internos” que resultan muy interesantes por el desafío
intelectual que les provoca a los alumnos.
g) La cantidad de información no pertinente para responder a la
pregunta o preguntas del problema.
Un problema con los datos justos es más fácil de resolver que tener, que
seleccionar los necesarios según la pregunta planteada.
Podemos comparar estos dos problemas:
“Luisa tiene 28€ y quiere comprarse un juego que cuesta 23
€. ¿Cuántos euros le sobrarán?”
“Luisa recibió de su tía que ha venido a visitarla 28 € de regalo.
Su tía le dio 2 billetes de 10 €, un billete de 5 € y 3 monedas de 1
€. Ella quiere comprar un juego para jugar con sus 2 amigas que
vale 23 euros. ¿Cuánto le sobrará?”
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La enseñanza/aprendizaje de las competencias aritméticas
En el segundo problema la selección de los datos pertinentes obviando los
datos no necesario dificulta su resolución del problema.
Además de las variables analizadas se han puesto de manifiesto otras que
pueden, desde el punto de vista del niño, facilitar o dificultar su resolución.
Entre estos podemos mencionar: el vocabulario utilizado, el lugar de la
pregunta, la longitud del enunciado, el tiempo verbal utilizado,.. En cuanto a
la ubicación de la pregunta o incógnita, el éxito de los niños suele ser mayor
cuando la incógnita se ubica en el resultado. (Ejemplo algorítmico: a+b=?).
En cambio, la dificultad aumenta cuando la incógnita o pregunta se sitúa
en el segundo sumando o término de la operación (a+?=c); y sobre todo, la
dificultad es máxima cuando el término desconocido es el primero (¿+b=c).
4) Procedimientos o estrategias infantiles para la resolución de
los problemas aditivos
En la observación atenta de las estrategias que utilizan los niños para la
resolución de los problemas de sumar y restar, podemos encontrar una
gran variedad que muchas veces no han sido enseñadas por los adultos, son
procedimientos no algorítmicos para resolver problemas de sumar y restar.
Se ha comprobado que muchos niños han mostrado y muestran destrezas
para resolver algunos problemas aditivos complejos si el tamaño de los
números le permiten utilizar diferentes estrategias de resolución.
Los niños muestran capacidad para resolver gran variedad de problemas
aditivos sin conocer la “cuenta” o algoritmo convencional de sumar y/o
restar. A veces, aunque conozca las técnicas de cálculo formales, utilizan
otros procedimientos, porque no reconocen cual es la operación que
resuelve el problema, o porque le resulta más sencillo o fácil recurrir a otros
caminos o estrategias. Sin ánimo de ser exhaustivos los procedimientos para
las sumas utilizados por los niños son:
1) Modelado directo: Reunir físicamente las colecciones y
contar los elementos totales a partir de uno. También puede
ocurrir que representen las colecciones con ayuda de los dedos,
gráficamente o con símbolos (palitos, por ejemplo) y luego
contar el total. Hay una imitación o simulación de las situación
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real. Baroody y Giusburg (1985) se refieren a este procedimiento
como “contaje efectivo de la totalidad de los elementos”.
A veces se llega al resultado final sin contar, más bien
mediante la subitización, si las cantidades son pequeñas.
Diversos estudios, han encontrado que un alto porcentaje de
niños, entre 6 y 8 años, utilizan esta estrategia la mayor parte del
tiempo. Teóricamente, existen dos formas posibles para desarrollar
esta estrategia. Una vez que los conjuntos son construidos, el niño
físicamente puede juntar las dos conjuntos y cuando están unidos
comenzar a contar las unidades; o puede comenzar a contarlas sin
unir físicamente los conjuntos. Algunos niños utilizan diversas formas
de organización de los elementos, pero estos arreglos no reflejan
cambios en la estrategia.
2) Conteo: Tanto en la situación de reunir físicamente los objetos como
representar estos con la ayuda de los dedos, es posible contar a partir
del primer cardinal (en este caso se realiza un “sobreconteo”). Otras
estrategias de conteo más evolucionada, y por tanto más económicas
o eficientes es “contar a partir del sumando mayor”. En este caso, se
cuenta a partir del sumando mayor, sea este el primero o el segundo.
3) Hechos numéricos conocidos: Son aquellas estrategias basadas
en la memorización. Pueden utilizar la suma, es decir, realizar una
recuperación directa de los resultados ya conocidos (por ejemplo,
directamente que 5+5= 10 o que 5+3=8). La recuperación del resultado
suele ser más fácil y rápida en la suma de números iguales que en
números diferentes aunque similares (5+5 o 3+3 más fácil que 5+3).
Hechos de esta naturaleza son mostrados incluso antes de estudiar la
tabla de sumar.
4) Hechos numéricos derivados. Se apoyan en un resultado conocido
para averiguar uno desconocido (por ejemplo, para 6+5 pensar en
5+5=10 y 10+1=11). Esta estrategia suelen aparecer más tarde con
cantidades pequeñas también se utilizan por los niños “los dobles
más/menos dos”: 7+5=(5+5)+2=10+2=12, y “las compensaciones”:
9+7=(9-1)+(7+1)=8+8=16. O bien, 6+8=6+(6+2)=6+6+2=12+2=14.
Otra manera sería 6+6 es igual a doce, y que para llegar a
catorce le faltan dos, así, cuenta más uno= trece; más uno = 14.
Suples y Groen(1967) pr0pusieron cinco modelos sobre como los niños
suman dos conjuntos por conteo .La X en cada modelo representa la
variable repetida en el conteo.
132
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La enseñanza/aprendizaje de las competencias aritméticas
Modelo 1. X=M+N
Modelo 2. X=M
Modelo 3. X=N
Modelo 4. X= max
(M,N)
Modelo 5. X=min
(M,N)
Este modelo sugiere que se
cuenta tantas veces como la suma
de los números dados. Por ejemplo,
2+6=?, se podría decir;1,2; 1,2,3,4,5,6, es
1,2,3,4,5,6,7,8. La respuesta es 8
Este modelo sugiere que al sumar,
se cuenta el primer número partiendo del
segundo sumando. Por ejemplo, 2+6=?, se
podría decir: 6,7,8. La respuesta es 8.
Este modelo sugiere que se
cuenta solamente el segundo número
partiendo del primer sumando. Por
ejemplo, 2+6=?, se podría decir:3,4,5,6,7,8,
es decir, se empieza a contar desde 3. La
respuesta es 8.
Este modelo sugiere que al sumar,
se suma el número mayor partiendo del
menor.
Este modelo sugiere que se
cuenta el número menos partiendo del
mayor
Los procedimientos o estrategias informales utilizados para la resta son los
siguientes:
Modelado directo: Separar físicamente a partir del conjunto mayor contado
los elementos de la colección menor. Se pueden utilizar objetos o los mismos
dedos.
Conteo: Descontar de 1 en 1 a partir del número mayor y agregar desde
el número menor e ir contando de 1 en 1 hasta llegar al número mayor.
Este procedimientos implica contar simultáneamente a partir del número
menor y a la vez controlar cuantos se van agregando.
Sumar: Puede consistir en recuperar de la memoria una suma o bien
tantear con números e ir probando si al sumar se obtiene el mayor. Puede
ser una suma única (por ejemplo, para encontrar la diferencia entre 4 y 9
encontrar el 5 directamente) o bien ir haciendo sumar sucesivas y controlar
simultáneamente cuánto se va sumando y cuanto todavía falta (por ejemplo,
para encontrar la diferencia entre 15 y 27 pensar 25- agregar 10, me faltan
todavía 2, entonces 10 y 2 son 12).
Restar: Recuperación directa de la memoria de restar con resultados
conocidos (por ejemplo, recordar que 8-3 es 5), o bien apoyarse en una
133
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resta conocida para encontrar una desconocida (por ejemplo, para hacer
25-11 pensar en 25-10=15 y 15-1=14)
L as estrategias de sustracción propuestas Por Suples y Groen(1967) so
las siguientes:
TIPO
MODELAMIENTO
DIRECTO
Separar de
Separar a
Contar hacia
delante
Igualar
CONTEO
Contar hacia atrás
desde
Contar hacia
delante de un
número dado
DESCRIPCIÓN
Consiste en representar la cantidad mayor
usando objetos o dedos. A esta cantidad se le quita la
menor. La respuesta es el número de objetos que quedan.
Ejemplo: 7-4= ¿
Consiste en separar elementos de la cantidad
mayor hasta que queda el números indicado por la
cantidad menor. La respuesta se halla contando el número
de elementos separados. Ejemplo: 7-4= ¿
Consiste en representar con objetos la cantidad
mayor y luego la menor. A ésta se le añaden los objetos
necesarios para que sea equivalente a la cantidad mayor.
La respuesta se consigue contando el número de elementos
añadidos a la cantidad menor. Ejemplo: 7-4= ¿
Consiste en disponer de dos cantidades de
objetos en correspondencia uno a uno. La respuesta se
obtiene contando los elementos no emparejados. Ejemplo:
7-4= ¿
Consiste en contar hacia atrás sin ayuda
(objetos o dedos a partir del minuendo tantos pasos como
marca la cantidad menor. El último número en la secuencia
de conteo es la respuesta. Ejemplo: 7-4= ¿ ¿. Se verbaliza a
partir del minuendo(7), es decir: seis, cinco, cuatro, tres. La
respuesta es tres.
Consiste en contar a partir del número menor
hasta alcanzar el mayor .La respuesta se obtiene contando
los números contados para equiparar ambas cantidades.
Ejemplo: 7-4=? Se verbaliza: cinco, seis, siete. Los números
contados son tres, por lo tanto, la respuesta es tres.
134
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La enseñanza/aprendizaje de las competencias aritméticas
Las estrategias de adición y sustracción analizadas representan diversos
grados de abstracción. Por ejemplo, las estrategias de modelamiento
directo con objetos es un nivel de estrategias relativamente primitivo
y de naturaleza concreta que corresponde, según Piaget, a los primeros
estadios de desarrollo de la inteligencia. Sin embargo, las estrategias de
conteo requieren habilidades que implican la representación del mundo de
lo concreto y, por lo tanto, se trata de un nivel más sofisticado.
Esta diferencia entre los niveles y las estrategias propiamente dichas
determinará que los niños, dependiendo de su nivel de desarrollo intelectual,
maduración, edad, entre otros factores, utilicen una u otra para resolver
problemas aritméticos y algebraicos.
Los resultados de investigaciones realizadas señalan que los niños menores
tienden a utilizar estrategias de naturaleza concreta (moldeamiento directo
con objetos o dedos), ya que les permite seguir, con mayor confianza, la
secuencia de conteo y chequear el proceso varias veces. Los niños mayores
tienden a utilizar estrategias más eficientes en términos de tiempo.
Igualmente, los niños cambian las estrategias varias veces durante el proceso
de adquisición de una determinada habilidad aritmética o algebraica
(Goldman, 1989).
Como el que el niño selecciona el sumando mayor y le suma el menor.
En la descripción de los cambios ocurridos durante el desarrollo de los
niños, Siegles y Shrager (1983) sugieren una estrategia de selección la cual
depende de las características de los individuos. La propuesta supone que
los niños, en una primera instancia, tratan de resolver los problemas por
recuperación de hechos numéricos almacenados en su memoria. Si este
procedimiento no les resulta eficiente, vuelven a intentar resolverlo por el
mismo procedimiento de recuperación. Si en este segundo intento fracasan,
prueban una estrategia diferente como, por ejemplo, alguna estrategia de
conteo. De esta manera, los modelos de conteo se utilizan sólo cuando la
recuperación de los hechos almacenados en la memoria no ha sido eficiente
para resolver el problema.
En términos generales, los resultados de las investigaciones pueden
resumirse así:
1) los niños inicialmente ensayan estrategias del tipo “contar todos”,
que paulatinamente se van disipando para dar origen a otras más
eficientes como “contar hacia delante” y “recuperar hechos numéricos
conocidos”,
135
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2) a pesar de que existe una variabilidad considerable en el uso de
las estrategias dependiendo del tipo de problema, la estrategia de
“contar hacia delante” presenta una alto porcentaje de uso y perdura
a lo largo de varios niveles de desarrollo en los niños examinados.
6) la enseñanza aprendizaje de las operaciones aditivas a
través de problemas
Los problemas de sumar y restar no deben ser tratados aisladamente.
Estamos, según Vergnaud (1990), ante un mismo campo conceptual, porque
las situaciones que componen el concepto de suma y resta son las mismas.
Para conseguir que los alumnos aprendan las nociones de adición y
sustracción es preciso proponerles los diferentes problemas en los que la
operación (adición o sustracción) que nos ocupa sea la herramienta que lo
resuelve. Es conveniente que los niños experimenten y descubran estructuras
semánticas y contextos diferentes, de manera que su aprendizaje sea más
completo.
Para que el proceso de enseñanza-aprendizaje de la suma-resta sea
significativo hay que tener en cuenta una serie de consideraciones didácticas:
1) Los problemas han de ser formulados en un lenguaje claro y familiar
para los alumnos y en contextos de su vida cotidiana, en situaciones
funcionales de forma que resuelva un problema real que le pueda
interesar
2) Tener en cuenta los conocimientos previos de los alumnos. Para
ello, hay que sustentarse en las estrategias informales conducible a la
construcción de procedimientos cada vez más elaborados, económicos
y abstractos. Para conseguir este objetivo el maestro/a seguirá en su
diseño didáctico las siguientes fases:
- Primero: una fase de resolución individual o por parejas en la
que es esperable que aparezcan distintos procedimientos de
resolución y diferentes respuestas al problema.
- Segundo: Una fase e trabajo colectiva dirigida, en primer lugar,
a la comunicación de la diversidad de procedimientos utilizados
por los niños.
- Tercero: Comparación y análisis de los procedimientos o
estrategias que les permita a los niños utilizar estrategias más
económicas y sofisticadas y auto corregir sus errores.
136
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La enseñanza/aprendizaje de las competencias aritméticas
3) Relacionado con la consideración anterior, impulsar a que los
niños reflexionen sobre sus estrategias y soluciones, pidiéndole que
justifiquen las respuestas y los procedimientos: ¿por qué crees que
esta solución es la correcta?, ¿cómo lo has hecho para averiguar la
respuesta?..
4) Utilizar materiales concretos, tanto estructurado como no
estructurados, así como cualquier recurso que facilite su resolución;
canicas, garbanzos, cromos, botones, regletas, recta numérica,
calendario, juegos de la oca o del dominó, bloques de Dienes, material
Multibase, etc. En esta línea, el montaje de una tienda facilita el
planteo y resolución de problemas de compra venta.
De los resultados de numerosas investigaciones llevadas a efecto sobre las
dificultades de los distintos tipos de problemas podemos concluir:
1. En lo que afecta a los problemas el tipo CAMBIO, la transformación
negativa (disminución) no se manifiesta más difícil que la positiva
(aumento), contrariamente a lo que habría pensar una concepción
ingenua. Por ejemplo los dos problemas siguientes planean una
dificultad parecida.
Juan tiene 9 canicas y pierde 3 canicas. ¿Cuántas canicas le quedan?
(Transformación negativa)
Juan tiene 6 canicas y le regalan 3 canicas ¿cuántas canicas tiene ahora?
(transformación positiva)
Contrariamente la diferencia entre las transformaciones positivas (aumento)
y negativas (disminución) es muy elevada cuando se trata de encontrar el
elemento de transformación.
Juan tenía 9 canicas. Ahora tiene 3 canicas ¿Cuántas canicas ha perdido?
(menos difícil)
Juan tenía 6 canicas. Le han regalado canicas. Ahora tiene 9 canicas.
¿Cuántas canicas le han regalado? (más difícil)
La búsqueda del estado final no plantea problemas desde la propia escuela
infantil (problemas 1 y 2 del tipo CAMBIO). Sin Embargo encontrar el
estado inicial ( problemas 5 y 6 del tipo CAMBIO) constituye un obstáculo
insuperable, al menos para los más pequeños. Es preciso llegar al segundo
curso de Educación Primaria para encontrar una tasa de éxito relativamente
elevada.
137
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2. Un fenómeno similar a los problemas del tipo CAMBIO se manifiesta
con los problemas del tipo COMBINACIÓN. Las tasas de éxitos son
muy elevadas cuando se trata de encontrar el cardinal del conjunto
X+Y pero son mucho más bajas cuando se trata de hallar cualquiera
de los subconjuntos. Hay que indicar que los problemas del tipo
COMBINACIÓN y CAMBIO las tasas de éxito son muy idénticas. Es
decir que la oposición entre situaciones estáticas y dinámicas no se
corresponde con variaciones significativas en las ejecuciones.
3. Finalmente, los problemas del tipo COMPARACIÓN presentan un
nivel de dificultad muy superior a los dos categorías de problemas
anteriores.
De los diferentes estudios referentes a la dificultad relativa de los distintos
tipos de problemas, se deduce que no hay un avance homogéneo en un
mismo tipo de problema avanzando de un tipo a otro. Es decir, los niños no
aprenderán primero todos los problemas de cambio, luego lo de combinación,
más tarde los de comparación y, por último, los de igualación. Ocurre esto
porque intervienen decisivamente el tipo de sentencia (canónicas o no
canónicas), como muestra el cuadro siguiente donde se ha constatado que
las sentencias canónicas son más fáciles que las no canónicas, pudiéndose
ordenar los distintos tipos de problemas según el grado de dificultad (tablas,
figura y figura tomados/adaptados de Maza, 1989)
Tabla
Sentencias canónicas y no canónicas de los problemas de suma y resta.
SUMA
RESTA
I (Canónica)
a+b=?
a-b=?
II (no canónica)
a+?=c
a-¿=c
III (no canónica
¿+b=c
¿-b=c
Dificultad de los problemas de suma y resta desde el punto de vista del tipo
de sentencia y colocación de la incógnita.
138
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La enseñanza/aprendizaje de las competencias aritméticas
NIVELES de dificultad en los problemas de suma y resta teniendo en cuenta
el tipo de problemas y el tipo de sentencia canónica.
Según Kamii (1986) adoptando una visión de los problemas basados en el
tipo de acciones mentales que los sujetos deben realizar para su resolución,
acciones que adoptan una estructura lógico-matemática los tipos de
problemas los clasifica desde los más fáciles a más difíciles de la siguiente.
139
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Capítulo VII
La enseñanza aprendizaje de la multiplicación y la
división (los problemas multiplicativos).
1) Introducción.
La perspectiva que se asume, igual que para la enseñanza de la suma y la
resta, la enseñanza de los algoritmos convencionales no es un requisito
previo para la resolución de problemas que involucren las operaciones de
multiplicar o dividir.
La actividad de resolución de problemas es básica para la construcción del
significado de las operaciones y en donde la construcción y dominio de los
recursos de cálculo puede ser abordada a partir de los mismos.
La postura que vamos a adoptar es claramente opuesta a la que
tradicionalmente se ha presentado: Primero el manejo de los algoritmos
convencionales (“las cuentas”) y luego problemas similares de aplicación.
Desde dicha concepción, el objetivo era asegurarse de que los niños
resuelvan bien las situaciones al ser éstas todas iguales y ya conocido el
algoritmo, se suponía que los niños aprenderían a multiplicar y a dividir.
Son archisabidas las dificultades que esta posición plantea; no es suficiente
conocer el algoritmo para saber cuando utilizarlo. Reconocer el campo de
utilización de una operación ha sido un aprendizaje que se ha dejado a
cargo del alumno, no ha formado parte de aquello que se consideraba
“aprender a multiplicar y a dividir”
Desde la perspectiva que proponemos, por el contrario, el objetivo
es favorecer la construcción de los diferentes significados posibles de
la multiplicación y de la división. Para ello es necesario que los niños
resuelvan y conozcan los diferentes tipos de problemas que se pueden
resolver con la multiplicación y la división, ya que estas operaciones no
sirven exclusivamente para resolver los problemas de un solo tipo. Los
niños reconocen más fácilmente la multiplicación y la división en unos
que en otros problemas y será necesario, pues, abordar en la enseñanza
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aquellas situaciones donde experimenten más dificultades. Es preciso,
pues, obviar la dicotomía que oculta el complejo interjuego existente entre
los procedimientos y recursos de cálculo y la construcción y ampliación del
sentido de las operaciones de dividir y multiplicar. Efectivamente, utilizar
propiedades de estas operaciones, anticipar, estimar, controlar resultados,
son recursos que ponen en juego el sentido o significado de las operaciones,
a la vez que constituyen herramientas imprescindibles para abordar nuevos
problemas.
2)Clasificaciones de los problemas de carácter multiplicativo.
Dentro de lo que Vergnaud (1983) entiende por estructura multiplicativa
esta el conjunto de problemas que comportan operaciones aritméticas y
nociones de tipo miltiplicativo tales como multiplicación, división, fracción,
razón y semejanza.
Según Vergnaud los problemas “simples” que conllevan operaciones de
multiplicación y división se clasifican en dos grandes categorías:
a) Categoría de isomorfismo de medida: Se refiere a los problemas
en los que subyace una proporcionalidad simple directa entre las dos
magnitudes implicadas. Comprende los clásicos problemas referidos
a repartos iguales (personas y objetos), precios constantes (bienes
y costo), movimientos uniforme (espacio y velocidad), densidades
constantes a lo largo de una línea (árboles y distancias), en una
superficie o en un volumen. Son los problemas que Nesher (1988)
denomina “mapping rule”.
Dentro de esta amplia categoría se identifican cuatro subclases de
problemas.
1. Subclase de multiplicación. Un ejemplo de esta subclase es el
siguiente problema: “Luis compra 6 lápices a 25 ptas. Cada uno,
¿cuántas pesetas tiene que pagar? A esta subclase de problemas
se les denomina también problemas de razón multiplicativas. Estos
problemas de razón siempre presentan una cantidad de elementos
(6 lápices) y una razón entre dos cantidades dónde la segunda es la
unidad (25 pesetas cada lápiz). Esta subclase de problemas se puede
resolver inicialmente por una suma reiterada. Este tipo de problema
se introducirá en el primer ciclo de E. Primaria.
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2. Subclase de división. Un ejemplo de este subtipo de problemas
puede ser el siguiente: Luis tiene 12 lápices y los quiere repartir en
partes iguales entre Pedro y María, ¿Cuántos lápices les dará a cada
uno? A estos problemas se les llama también de partición-razón. Se
trata en ellos de repartir una cantidad en un número dado de partes
iguales, preguntándose por el tamaño de cada parte. Shwartz y
Nesher les llaman problemas partitivos. Se introducirán en el primer
ciclo de E. Primaria.
3. Subclase de división: segundo tipo. Ejemplo de este subtipo de
problemas puede ser el siguiente: Luis ha comprado cuadernos. Si cada
cuaderno le cuesta 30 ptas. y ha pagado 90 ptas en total, ¿Cuántos
cuadernos compró? Estos problemas son conocidos también como de
agrupamiento-razón o cuotitivos. Son resolubles de manera sencilla a
través de restas sucesivas. Se trata de calcular cuántas veces cabe una
cantidad en otra. El procedimiento por restas sucesivas sería:
Sin embargo, otros autores afirman que el procedimiento o estrategia
preferida por los niños es la denominada “conteo hacia delante”. El
problema anterior se resolvería, pues, de esta manera:
Este tipo de problemas(división cuotitiva) se introducirán en el segundo
ciclo de E. Primaria.
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4. Subclase de regla de tres: Caso general. En estos problemas
intervienen tres datos; no son problemas simples de estructura
multiplicativa. Vergnaud los utiliza para dejar constancia de que
los problemas de multiplicación y división son casos simples de los
problemas más generales de regla de tres, distinguiéndose de estos
en que uno de los cuatro términos implicados es igual a uno. Ejemplo
de esta subclase: Si 6 lápices cuestan 72 pesetas, ¿Cuántas pesetas
costarán 3 lápices? Este tipo de problemas se introducirá el segundo
ciclo de E. Primaria y se consolidará en el tercer ciclo.
b) Categoría de productos de medidas: Llamadas por Nesher de
multiplicación cartesiana son aquellos cuya estructura multiplicativa
engloba tres magnitudes M1, M2 y M3, de forma que una de ellas M3, es
el producto de las otras dos, M1x M2= M3.
Dentro de esta categoría se encuentran los problemas relativos a áreas,
volúmenes y productos cartesianos de conjuntos discretos. La forma más
propia de representar esta estructura multiplicativa es la representación
cartesiana. Dentro de esta categoría Vergnaud distingue dos subtipos de
problemas:
1. Multiplicación. Ejemplo de este subtipo de problemas es el siguiente:
¿Cuál es el área de una sala rectangular de 6 metros de larga y 5 metros
de ancha? Se trata de problemas de encontrar la medida producto
conocidas las medidas que lo componen. A estos problemas también
se les denomina como de mulltiplicación-combinación.
2. División. Ejemplo de este tipo de problemas es el siguiente: el área
de una sala rectangular es de 30 metros cuadrados. Si el largo de la
sala es de 6 metros, ¿Cuál es la medida del ancho de la sala? A estos
problemas se les denomina como división-combinación.
Con este tipo de problemas van parejos el cálculo de áreas y volúmenes. Se
introducirán, por tanto en el tercer ciclo de E. Primaria.
Vergnaud (1983) contempla una tercera estructura que denomina
proporción-múltiple y que se refiere a los problemas de proporcionalidad en
los que intervienen al menos tres magnitudes. Son problemas compuestos
en los que para su resolución hay que emplear más de una operación.
Una clasificación de gran claridad es la que ofrece Schmidt y Weiser (1995),
con cuatro grandes estructuras.
De acuerdo con Schmidt y Weiser (1995), hay cuatro grandes estructuras:
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Isomorfismo de medidas: Agrupa los problemas que se resuelven con una
multiplicación, en la que el resultado final es una cantidad del mismo tipo
que la del primer factor. Esta categoría se subdivide en otras cinco:
La estructura parte-todo, en la que el todo se forma articulando
partes iguales que se repiten un número determinado de veces:
“En una estantería hay 35 cajas de conserva y cada caja contiene 12 latas. ¿Cuántas latas de conserva hay en total?”
La estructura de iteración, caracterizada por la utilización de la
palabra “veces” y representa situaciones que contienen repetición de
los mismos componentes:
“Para vaciar la estantería de latas de conserva, puedo transportar 12 latas en un balde. ¿Cuántas latas habré transportado
después de haber realizado esta operación 53 veces?
Estructura de cambio multiplicativo, que hace referencia a
cambios determinados a la que sometemos una cantidad inicial:
“Invierto 15500 € en un negocio y después de dos años se
dobla el capital. ¿A cuánto ascenderá el capital después de este
periodo?”
Estructura de comparación comparativa, relacionada en cierta manera
con la estructura aditiva de tipo Comparación:
“Juan gana de sueldo 1.550 € mensuales y su primo Antonio
gana el triple que Juan. ¿Cuánto gana entonces Antonio?
Estructura de proporción simple, en el que se establece una proporción
entre los miembros del enunciado:
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“En una fuga de agua de la cañería de la calle se pierden 12
litros por minuto. ¿Cuántos litros se perderán en tres horas?”
Multiplicación combinatoria: Agrupa a los problemas de productos
cartesianos:
“Entre 4 niñas y 12 vestidos diferentes ¿cuántas combinaciones podemos realizar a la hora de vestirlas?”
Composición de operadores: Contempla los problemas multiplicativos
en los que un primer operador es transformado por otro:
“En un trabajo Juan acabó ganando después de un año el triple de lo que ganaba al principio, y para el cuarto año ya ganaba
el doble de lo que ganaba al final del primer año. ¿Cuántas veces
más gana ahora que cuando comenzó?”
Multiplicación por fórmula: Agrupa a todos los tipos de problemas
con fórmulas matemáticas o propias de las ciencias que establecen
relaciones fijas entre cantidades:
“Calcula el espacio recorrido por un coche que va a una velocidad constante de 120 km por hora circulando durante 4 horas.”
A las categorías de problemas ya analizados C. Maza (1991) añade dos
categorías de problemas:
1. Problemas de comparación que suponen un refinamiento de los
problemas de razón. Parece ser que este tipo de problemas no plantea
mayores dificultades que los de razón. En esta categoría de problemas
se pueden distinguir los subtipos siguientes:
Multiplicativos. Llamados “factor multiplicativo” por Brown (1981) o
cambio de tamaño con la misma unidad por Bell (1989). Un ejemplo de
este tipo de problema es el siguiente: Juan tiene 5 lápices. Luis tiene 3
veces más lápices que Juan, ¿Cuántos lápices tiene Luis?
Agrupamiento razón. Ejemplo de este tipo de problema, inverso al
anterior, es el siguiente: Juan tiene 5 lápices y Luis tiene 15 lápices,
¿Cuántas veces Luis tiene los lápices que Juan?
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Partición-razón. Constituye una ilustración de este tipo de problema
el siguiente: Luis tiene 15 lápices. Luis tiene 3 veces más lápices que
Juan, ¿Cuántos lápices tiene Juan?.
Los problemas de comparación presentan más dificultades para el alumnado
que los de razón y los productos de medida o multiplicación por fórmulas.
En primer lugar hay que tener un gran dominio de las situaciones de grupos
iguales para poder abordar las comparaciones. Además hay que dominar el
vocabulario implicado en estas situaciones(doble, mayor, menor, tercio,…)
De todas formas, no todas las situaciones expuestas en este tipo de
problemas implican el mismo grado de dificultad. Aquellas situaciones que
implican disminución plantean más dificultades que las de aumento, puesto
que el alumnado tiende a establecer comparaciones en forma de aumento
y no como disminución.
La introducción de estos problemas se hará al final del segundo ciclo y
comienzo del tercer ciclo de E. Primaria.
 1. Los problemas conversión, tal como los plantea C. Maza,
constituyen situaciones semánticas-mixtas de los problemas de
razón y comparación, y su enseñanza-aprendizaje no debe plantear
dificultades una vez dominados los problemas de comparación y de
razón.
Una clasificación de los tipos de problemas muy interesante desde el punto
de vista didáctico es la propuesta por Bell y otros (1989). Estos autores
contemplan dos tipos de producto:
a) El producto simétrico, en el que las dos cantidades elementales
juegan el mismo papel y pueden ser intercambiadas. Por ejemplo, en
los problemas de área las dos cantidades (el largo y el ancho) juegan
el mismo papel y pueden ser intercambiables. Son los problemas
pertenecientes al producto de medidas.
c) Los productos asimétricos, se caracterizan porque las dos cantidades
que aparecen como datos en los problemas representan papeles
distintos. Los problemas de velocidad y tiempo son ejemplos de este
tipo de problemas asimétricos.
Los autores antes mencionados (Bell y otros) clasifican en siete categorías
los problemas multiplicativos asimétricos dónde a cada problema de
multiplicación asocian dos tipos de problemas de división (división cómo
partición y división como cuotición ya analizados).
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Clasificación de los problemas multiplicativos asimétricos (Adaptación de
Bell y otros, 1989)
ESTRUCTURAS EJEMPLOS DE PROBLEMAS
Grupos múltiples
MULTIPLICATIVOS
PARTICIÓN
Hay 3 cajas de
lápices con 12
lápices en cada
caja ¿cuántos
lápices hay en
total?
Hay 36 lápices en
3 cajas, ¿cuántos
lápices hay en
cada caja?
CUOTICIÓN
Tengo 36
lápices
y deseo
guardarlos
en cajas de
12 lápices,
¿cuántas cajas
necesito?
Medida repetida Un jardinero
En 5 rollos de
Para enrollar
necesita 5 rollos
alambre hay 80
80 ms. de
de alambre de
ms. ¿Cuántos
alambre en
16 ms. cada rollo, ms. medirá cada rollos de 16
¿cuántos ms. de
rollo?
ms. ¿Cuántos
alambre precisa
rollos se
en total?
necesitarán?
Razón (Tasa)
Un autobús viaja
Un autobús ha
¿Cuántas
durante 5 horas a recorrido 600
horas
la velocidad de 120 kms en 5 horas
necesitará
km/h. ¿Cuántos
¿A qué velocidad un autobús
km recorrerá?
media ha
para recorrer
circulado?
600 km a 120
km/h?
Cambio de
Una fotografía
Una fotografía
Una
tamaño (la misma se amplia en
se amplia en 4
fotografía
unidad)
4 Si la altura
y su altura ya
de 5 cm.
originar era de 5
ampliada es de
De altura
cm, ¿cuántos cm
20 cm, ¿cuántos después de
Medirá la altura
cm. Media su
ampliada
de la fotografía
altura original?
mide 20 cm
ampliada?
de altura.
¿En cuánto se
amplió?
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Cambio de
La maqueta de
tamaño (unidades un barco ha sido
distintas)
realizada a escala
de 4 m. por cm si
la maqueta es de 5
cm. De larga, ¿cuál
es la longitud del
barco?
Mezcla (con la
Un color se
misma unidad)
obtiene utilizando
4 veces más rojo
que amarillo,
¿Cuánta pintura
roja se necesitará
para la mezcla con
3 litros de pintura
amarilla?
Mezcla (unidades Se mezclan 4
distintas)
gramos de azúcar
por litro de leche
¿Cuántos gramos
de azúcar se
necesitan para
mezclar con 5
litros de leche?
La longitud
de un barco es
de 20 m. ¿Cuál
será la longitud
de la maqueta
de dicho barco
realizada a escala
de 4 ms por cm?
Se tienen 15
litros de un color
mezcla de rojo
y amarillo ¿Qué
pintura de color
amarillo habrá
mezclado si la
pintura de color
rojo es 4 veces
más que la de
color amarillo?
La longitud
de un barco
es de 20 m y
su maqueta
mide 5 cm.
¿A qué escala
está realizada
la maqueta?
Para obtener
un color de
pintura se
mezclan 12
litros de color
rojo y 3 de
color amarillo
¿Cuántas
veces se ha
utilizado el
color rojo
más que el
amarillo?
A 5 litros de
Por cada litro
leche se le
de leche se
han mezclado
han mezclado
20 gramos de
4 gramos
azúcar, ¿Cuántos de azúcar.
gramos de azúcar Si hemos
contiene cada
mezclado
litro de leche?
20 gramos
de azúcar
en leche,
¿Cuántos
litros de
leche hemos
endulzado?
Finalmente, en Shwartz (1976), Nesher (1988) (citadas por Maza, 1991), hay
un relativo acuerdo en dividir los problemas de estructura multiplicativa en
los siguientes tipos:
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Problemas de razón.
Compra 4 cajas de colores y en cada paquete hay 10 colores.
¿Cuántos colores ha comprado en total?
Problemas de comparación.
Pesas 39 kg. Si tu padre pesa dos veces lo que tú pesas, ¿cuántos kg pesa tu padre?
Problemas de combinación (de producto cartesiano).
Para ir a la playa tienes 3 trajes de baño y 4 toallas. ¿De cuántas maneras distintas puedes combinar las dos cosas para ir a la
playa?
Los problemas de combinación (son más difíciles que los dos tipos restantes
(Hart 1982; Quintero, 1985, citados por Maza, 1991).
Para la división se dan dos casos en los dos primeros tipos y uno para el
tercer tipo de los anteriores vistos correspondientes a la multiplicación:
Problemas de razón:
Problemas de participación-razón.
Compra 4 cajas de iguales colores y hay en total 40 colores.
¿Cuántos hay en cada caja?
Problemas de agrupamiento-razón
Si compras 40 colores que vienen en paquetes de 10 colores
cada uno. ¿Cuántos paquetes de colores has comprado?
Problemas de comparación:
Problemas de participación-cuantificador.
Tu padre pesa 78 k, o sea, 2 veces lo que tú pesas. ¿Cuál es tu
peso?
Problemas de agrupamiento-razón.
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Si tú pesas 39 k y tu padre 78 k. ¿Cuántas veces pesa tu padre
más que tú?
Problemas de combinación:
Tienes 3 trajes de baño y varias toallas de playa. Si te pones
un traje de baño y te llevas una toalla cada vez que vas abañarte, puedes ir de 12 maneras distintas ¿Cuántas toallas de playa
tienes?
3) Dificultad relativa de los problemas asociados a la estructura
multiplicativa
Es, generalmenteaceptada la idea de que la comprensión del significado de
la multiplicación y división es particulamente más difícil que el de la suma
y la resta.
Para confirmar lo anterior se han utilizado distintos argumentos. Luria, por
ejemplo, ha investigado que en lesionados cerebrales que eran capaces
de resolver satisfactoriamente problemas de sumas y restas, mostraban,
sin embargo, incapacidad para la resolución de problemas que implicaran
miltiplicaciones o divisiones al ser los conceptos/habilidades más complejas
los primeros en deteriorarse. Es obvia la mayor dificultad /complejidad de
la miltiplicación/división. Dienes afirma que el niño frente a los dos bloques
siguientes se centrará en que el segundo bloque se contruirá añadiendo
“tres más” al primero pero no en que es “cuatro veces más” largo.
Hart (1981) encontró que más de 30% de los alumnos de secundaria optaron
por sumar en lugar de multiplicar al resolver problemas de razón.
Dikson y colaboradores (1991) señalan que en una experiencia llevada a
cabo por Brown (1981) donde se solicitó a niños de 11 años que preparasen
historias que justificaran diversas expresiones aritméticas obtuvieron las
respuestas/resultados siguientes:
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EXPRESIÓN
84 – 28
PORCENTAJES DE ÉXITOS
77%
9/3
60%
84/28
42%
9x3
45%
84 x 28
31%
A su vez, a un grupo de niños de 11 a 12 años les solicitaron que seleccionaran
las expresiones artiméticas que mejor se correspondieran con una historia
dada, obteniéndose los siguienrtes resultados:
OPERACIÓN
+
PORCENTAJES DE ÉXITOS
88%
-
67%
:
63%
X
53%
El orden de dificultad de las operaciones resultó el mismo en ambas
situaciones. Los resultados (porcentajes de éxito) de la suma y la resta fueron
superiores a los de la multplicación y división. Por otra parte, los porcentajes
de éxito en la división fueron superiores a los de la multiplicación.
Dickson y colaboradores (1991) señalan que Brown atribuye la mayor
dificultad de la multiplicación y la división a la estructura de cada operación.
Así, mientras que la suma y la resta están asociados/ligadas a situaciones
en las que se combinan o disocian conjuntos de objetos “similares”, en
la multiplicación y la división no solo acontece que los objetos de los
dos conjuntos son de tipo diferentes, sino que en cada caso es necesario
asociar cada uno de los elementos de uno de los conjuntos con un
subconjunto equivalente del otro. El mismo Brown señala que las palabras
más comúnmente utilizadas asociadas a los signos de las operaciones
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proporcionan vigorosos indicios del tipo de situación que les corresponde.
Así:
Significa: “sumar“, “añadir“ o “y“
Significa: “restar“ o “quitar“
Significa: “repartir“
Significa: “tantas veces“
Mientras que añadir, quitar o repartir se refieren a acciones concretas y
fáciles de visualizar,” tantas veces” no tiene una referencia activa tan clara.
Esta razón explicaría la mayor dificultad de la multiplicación como operación
lo que no significa, como veremos más adelante, que el algoritmo de la
miltiplicación sea más difícil que el de la división.
Así mismo, en un estudio dirigido por Hart (1981) se obtuvieron las
conclusiones siguientes:
La división resulta ser más fácil que la miltiplicación
Los problemas de multplicación de “razón” son más fáciles que los de
“producto cartesiano”, de “factor multiplicativo” y de “comparación”
En la división son más fáciles los problemas de “reparto” (o partición)
que los de “agrupar” (o cuotición.
Carlos Maza (1991) ordena, por orden de dificultad decreciente, los
problemas de multiplicación/división de la siguiente manera:
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Esta ordenación resulta adecuada a los efectos de poder establecer una
correcta secuencia de enseñanza-aprendizaje.
4) Estrategias infantiles de resolución de problemas de
multiplicación y división
Analizados los diferentes problemas de multiplicación y división se van a
estudiar las estrategias o procedimiento de resolución de los mismos
Partiendo de las aportaciones de Anghileri (1989) y Kouba (1989) citadas
y sintetizadas por C. Maza (1991) se pueden considerar cinco niveles en
el desarrollo progesivo de las estrategias informales de resolución de los
problemas de multiplicación .Estos niveles son los siguientes:
1) Recuento unitario: El niño necesita representar mediante materiales
concretos o dibujos figurativos las situaciones problemáticas planteadas
y luego contar uno a uno todos los objetos representados o colocados.
Ejemplo: Luis tiene 3 cajas de lápices. En cada caja tiene 4 lápices,
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¿Cuántos lápices tiene en total?
El niño dibujará/colocará primero las tres cajas y, a continuación, los cuatro
lápices en cada caja. Finalmente, contará uno a uno todos los lápices.
2) Doble recuento: Aunque el niño depende aún del recuento unitario
se observa una diferencia cualitativa con éste. El niño percibe ya la
regularidad de tales recuentos y la repetición de los grupos de palabras.
Baroody (1988) señala los cuatro procedimientos de esta estrategia.
- a) Generar números sucesivos a partir de la serie numérica:
1,2,3,4,- 5,6,7,8, - 9,10,11,12.
- b) Llevar la cuenta de cada cuarto número contado: 12341234 1234
- c) Llevar la cuenta del número de grupos de cuatro:123
- d) Detener la generación de la serie numérica después de
completar el tercer grupo de cuatro y dar el último número
contado como respuesta:12
En la multiplicación 4x3 el niño puede utilizar una parte digital para
representar el 4 y, a continuación, contar esta parte 3 veces. El empleo
de los dedos de una mano para contar los dedos de la otra para llevar la
cuenta del número de veces que se repite cada grupo de dedos extendidos
elimina la necesidad, en el problema citado (4x3), de llevar la cuenta de
cada cuarto número contado.
Más adelante el niño prescindirá de objetos visuales (dibujos) o de unidades
motoras (los dedos) y cuenta verbalmente con distintas pausas o énfasis en
la cuarta palabra de cada recuento:
1-2-3-4 (pausa) 5-6-7-8 (pausa)
1-2-3-4 (énfasis en el 4)
9-10-11-12 (pausa)
5-6-7-8 (énfasis en el 8)
9-10-11-12 (énfasis en el 12)
- 3) Recuento transaccional: constituye una estrategia similar
a la anterior, excepto que se utilizan unidades abstractas para
el recuento. El niño comienza subvocalizando o susurrando los
numerales para concluir suprimiendo su pronunciación contando
interiormente:
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1,2,3.(susurrados)
4-5,6,7 (susurrados)
Silencio 4 silencio 8-9,10,11 (susurrados) 12.
8
12
silencio Esta estrategia de contar a intervalos es según Baroody (1988) muy común
para calcular productos.
- 4. Estrategia aditiva: El niño al dominar el recuento de grupos
emplea distintos procedimientos aditivos para calcular la suma
resultante de distintos grupos. Por ejemplo, para calcular 4x3
procede así:
- 4, 4 y 4 son 8 , 8 y 4 son 12.
-
- 5. Recuperación de hechos numéricos: Las rutinas anteriores se
transforman finalmente en el almacenamiento y recuperación
de hechos multiplicativos básicos. El almacenamiento y la
recuperación se ciñe en esta fase a las multiplicaciones elementales
de los números inferiores a 10. Se apela, pues, a la multiplicación
directa, es decir, 4x3=12.
Las estrategias informales de los problemas división son las siguientes:
- 1. Resta reiterada: Aplicable a los problemas de agrupamientorazón. Ejemplo de esta estrategia: Luis tiene 15 lápices. Si quiere
regalarle 3 lápices a cada compañero, ¿cuántos compañeros
podrá regalarles lápices?
Luis tiene 15 lápices.
Regala 3 lápices al primer compañero (1) Le quedan 15-3=12 lápices.
Regala 3 lápices al segundo compañero (2)
Se quedan 12-3=9 lápices.
Regala 3 lápices al tercer compañero (3)
Le quedan 9-3= 6 lápices.
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Regala 3 lápices al cuarto compañero (4)
Le quedan 6-3= 3 lápices.
Regala 3 lápices al quinto compañero (5)
Le quedan 3-3=0 lápices.
Ha reglado lápices a 5 compañeros.
- 2. Reparto: Aplicable a los problemas de partición-razón. Ejemplo:
Luis quiere repartir 15 lápices entre 5 amigos, ¿Cuántos lápices
regalará a cada amigo?
Luis tiene 15 lápices
Da 1 lápiz a cada uno de los 5 amigos
Le quedan 15-5= 10 lápices
Da 1 lápiz (el segundo) a cada uno de los 5 amigos.
Le quedan 10-5= 5 lápices.
Da 1 lápiz (el tercero) a cada uno de los 5 amigos.
Le quedan 5-5= 0 lápices
Ha dado 3 lápices a cada uno de los 5 amigos.
- 3. Ensayo y error: consiste en formular conjeturas y comprobar
si son correctas. Esta estrategia se aplica a los problemas de
partición-razón. En el problema anterior el niño procede este
modo:
Luis tiene 15 lápices.
Regala 4 a cada uno de sus 5 amigos.
Ha regalado, pues, 4x5= 20 lápices. No tiene bastante
Regala 2 a cada uno de sus 5 amigos. Ha regalado, pues, 2x5= 15 lápices.
Le sobran lápices.
Regala 3 a cada uno de sus 5 amigos. Ha regalado 3x5= 15 lápices. Es
correcto.
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- 4. Aditiva. Aplicable a problemas de agrupamiento-razón. El
alumno procede así:
Luis tiene 15 lápices.
Quiere regalar 3 lápices a cada compañero.
Da 3 lápices al primer compañero.
Da otros 3 lápices al segundo compañero.
Ha dado 3+3= 6 lápices.
Da 3 lápices al tercer compañero
Ha dado 6+3= 9 lápices.
Da 3 lápices al cuarto compañero.
Ha dado 9+3= 12 lápices.
Da 3 lápices al quinto compañero.
Ha dado 12+3= 15 lápices.
Ha regalado pues lápices a 5 compañeros.
- 5. Aditiva con múltiplos: Constituye una estrategia más sofisticada
que la anterior aplicable al mismo tipo de problemas. El niño
procede así:
Luis tiene 15 lápices.
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- 6. Multiplicativa: constituye una simple evolución de las dos
estrategias anteriores. Utiliza las reglas multiplicativas básicas. En
un problema de agrupamiento-razón procede así:
Luis tiene 15 lápices.
Quiere dar 3 lápices a cada compañero
3 x 6 = 18. No tiene bastantes para 6 compañeros.
3 x 5= 15. Tiene para repartir a 5 compañeros.
A continuación se muestra (adaptado de C. Maza, 1991) una síntesis de la
relación de estrategias utilizadas en función de los tipos de problemas a los
que se aplican.
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PROBLEMAS
ESTRATEGIAS
RAZÓN
Recuento unitario
COMPARACIÓN
Doble recuento
MULTIPLICACIÓN
MULTIPLICACIÓN
Recuento transaccional
Estrategia aditiva
COMBINACIÓN
Recuperación hechos multiplicativos
DIVISIÓN
ESTRATEGIAS
AGRUPAMIENTO-RAZÓN
Estrategias aditivas
AGRUPAMIENTO- COMPARACIÓN
Estrategias aditivas con múltiplos
Restas reiteradas
PARTICIÓN-RAZÓN
Ensayo y error
PARTICIÓN-COMPARACIÓN
Reparto
Estrategia multiplicativa
COMBINACIÓN
Multiplicativa
AGRUPAMIENTO-RAZÓN
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5) Pautas psicopedagógicas para la enseñanza-aprendizaje de los
problemas de estructura multiplicativa
En la enseñanza aprendizaje de los problemas de estructura multiplicativa
conviene respetar las pautas siguientes:
Trabajar los distintos tipos de problemas agrupados por su significado,
es decir, por sus características semánticas, y no por una dicotomía
multplicación-división.
Ordenarlos/secuenciarlos según su dificultad (razón, comparación,
combinación). Se trata de que los problemas del mismo, grupo tengan
el mismo significado para los alumnos.
Plantear problemas sencillos del entorno inmediato escolar y familiar
del alumno, asociados a situaciones del mundo social y natural así
como generar “situaciones problemáticas” en el aula (juego de las
tiendas, ..)
Explicitar/centrarse en las cinco fases de resolución de un problema.
1. Análisis: Diferenciar claramente lo que se conoce de lo que se
necesita/desea conocer, lo que sabemos de lo que no sabemos, los
datos de la incógnita.
2. Representación: Analizados los elementos conocidos y desconocidos
se relacionan entre si y se expresan mediante alguna representación.
Las representaciones de los problemas de estructura multiplicativa
mas adecuadas son las siguientes.
Problemas multiplicativos de razón y comparación:
Modelos físicos: fichas, palitos, botones,.. o material similar.
Modelos cardinales: así 4x3 podría representarse así:
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Esquemas de puntos o diagramas matriciales:
Modelos con medidas: Regleta de Cuisinaire y bloques Multibases de
Dienes.
Modelos numéricos: se utilizan en contextos estrictamente simbólicos:
3x4= 3 veces 4 = 4+4+4. Estos modelos se aplican como fase final de los
modelos en que se emplea material o representaciones gráficas.
Problemas multiplicativos de partición y agrupamiento:
El reparto se puede representar mediante:
Modelos cardinales: Por ejemplo la división 12:3 se representa así:
En la diagramación matricial el total de elementos dados por el dividendo se
distribuyen rectangularmente en tantas filas iguales como señale el divisor
En el caso de los problemas de agrupamiento se utiliza la línea numérica
o recta numérica contando hacia atrás desde el dividendo, y, de tanto en
tanto, según indique el divisor. El número de pasos dados es el divisor. La
representación 10 : 2 es como sigue.
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0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
También se puede utilizar el modelo cardinal mediante el diagrama de
Venn. En la división 12:3 se representaría así.
Problemas multiplicativos de combinación.
Productos cartesianos: así el producto 2 x 3 se puede representar tomando
2 pantalones (corto y lago) y 3 camisas (blancas, negra y roja) e intentar
hallar las distintas formas de ir vestido.
C A M I S A C A M I S A CAMISA ROJA
BLANCA
NEGRA
PANTALON
CORTO
X
X
X
PANTALÓN
LARGO
X
X
X
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Diagrama de flechas
Diagrama de árbol: 2x3 se puede representar así:
1. PLANIFICACIÓN. Una vez representado se procede a la elección de
la estrategia más adecuada para llegar desde los datos a la solución
requerida. Se debe partir desde la estrategia informal que el alumno
este empleando.
2. EJECUCIÓN: Aplicar la estrategia seleccionada en la fase anterior
5) L a progresión en la enseñanza/aprendizaje de la
multiplicación y división.
A partir del primer curso de primaria, coincidiendo con el campo numérico
que se trabaje, se le deben proponer a los niños problemas de multiplicar
aunque no “sepan” multiplicar.
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Se trata, luego de la resolución individual, comparar los resultados y los
procedimientos
Vamos a proponer el siguiente problema: Calcular cuántos lápices hay en 6
paquetes de 4 lápices cada uno?
Al comienzo, en este tipo de problemas, se espera que los niños puedan
reconocer puntos de contacto con la suma y, al mismo tiempo, puedan
establecer diferencias. Le conduciremos a que puedan formular expresiones
como estas: “en estos problemas se suma muchas veces el mismo número”,
“no hay que sumar dos números diferentes como en los otros problemas”,
“el problema te dice 4 y 6, pero nosotros no sumamos 4 + 6, el 6 nos dice
cuántas veces sumar 4, ..”
En la fase colectiva se comparan las diferentes estrategias o procedimientos
que surgieron en el aula y por las cuales muchos alumnos llegaron al mismo
resultado. Se les pone de manifieste este mismo resultado y luego se
comparan los distintos procedimientos para que determinen cual o cuales
son los más económicos. Se espera que puedan expresar, por ejemplo, “no
hace falta dibujar todo”, “no hace falta hacer los palitos, se ponen los 4”,
o “no hay que sumar tantos 4, se pone uno y se cuenta muchas veces”, etc.
Las actividades de comparación de procedimientos y el análisis acerca de los
errores en la resolución de un problema les permitirán a los niños avanzar
en la comprensión de los enunciados y en las estrategias de resolución. Para
ciertos alumnos, después de algunas clases, ya no les será preciso dibujar y
contar cada uno de los elementos, otros podrán establecer un cálculo con
una sería sucesiva sumas. Algunos alumnos comenzarán a escribir en forma
más breve algunas expresiones como “6 veces 4”. El trabajo en clase con
esta metodología permitirá que los alumnos puedan hacer evolucionar sus
procedimientos informales hacia otros más sofisticados y económicos
Hay que resaltar la importancia de trabajar en el aula con la diversidad
de problemas que pertenecen al campo de problemas multiplicativos. La
profundidad en el tratamiento de los diversos problemas multiplicativos
debe acentuarse en el segundo ciclo de primaria, tratándose primero
con números pequeños, para pasar más tarde a las decenas completas
y terminando con el empleo de números más grandes para que vayan
obligando a los alumnos a cambiar de estrategias e ir, al mismo tiempo,
proponiendo desde el aula estrategias de cálculo más sofisticadas hasta
poder llegar a las convencionales.
Habitualmente, “los problemas de multiplicación” insisten en un mismo
tipo de problemas: los de isomorfismo de medidas. En general, en los
libros de texto, los problemas de multiplicación pertenecen a este tipo de
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problema. Conviene ir iniciando en el segundo ciclo a los niños, incluso
mediante el conteo, en problemas de “productos de medida”, del tipo de
organizaciones rectangulares a través de baldosas o cuadrados como el
siguiente:
¿Cuántas baldosa cuadradas de un 1 m de lado se necesitan para cubrir
todo el piso de un salón de 4 m de largo y 5 m de ancho?
¿Cuántos asientos hay en esta sala de cine? Se les da dibujada la sala de
cine.
Otro tipo de problemas que los niños pueden iniciar a final del primer ciclo
y comienzo del segundo ciclo son aquellos en lo que hay que combinar
elementos de diferentes colecciones. Por ejemplo: “Tengo 3 camisas
diferentes y 4 pantalones de distinto color (blanco, azul, rojo, amarillo) ¿De
cuántas maneras distintas puedo vestirme?¨”
Los niños podrán resolver problemas similares a este utilizando cada vez
mejores estrategias y modos de organizar la información que les permitan
aprender a “no olvidarse” de ninguna posibilidad.
Así como ha sido planteado que la multiplicación se inicie en el segundo
curso y no se agote en él, tampoco la división es un tema que haya que
comenzarlo en el primer año del segundo ciclo.
Desde finales del primer año del primer ciclo y durante el segundo año
de este ciclo los alumnos podrán resolver problemas de partición por
procedimientos de conteo, de reparto 1 a 1 y, a veces, por sumas sucesivas.
En primer curso del segundo ciclo, los alumnos al conocer el algoritmo de la
multiplicación, lo utilizarán como recurso para la resolución de este tipo de
problemas. Mediante la multiplicación resolverá los problemas de partición
(problemas de isomorfismo de medidas, subclase de división primer tipo).
Por ejemplo:
“Luisa quiere repartir 35 cromos entre sus 4 amigos de tal manera que
todos tengan la misma cantidad. ¿Cuánto es lo máximo que le pueda dar a
cada uno?”
Este problema puede ser resuelto a partir de la multiplicación. Los niños de
segundo curso del primer ciclo podrán realizar sumas sucesivas probando
con diferentes números hasta llegar a que el número más grande que se
puede sumar es 4 veces el 8 y se llega a 32. Por lo tanto, sobran 3 cromos.
Los niños del tercer curso (primero del segundo ciclo) – antes de conocer el
algoritmo de la división – podrán utilizar el conocimiento memorizado de
las tablas para encontrar el 8, a partir de 8 x 4 = 32.
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Es interesante enfrentar a los alumnos a problemas de “partición” a la
vez que resuelvan problemas de multiplicación”. Los niños se percatarán
de cómo la multiplicación es un conocimiento útil para la resolución de
problemas de división.
En un principio, a los alumnos de primero, segundo y tercer curso es
conveniente proponerle problemas en los que uno siempre sea preciso
repartir en partes iguales. El objetivo es analizar que las posibilidades
de distribución son diversas. Con toda seguridad, una gran parte de los
alumnos considera injusto que en un problema de repartir se les de a unos
más que a otros. A los niños habría que conducirlo a la elaboración de
problemas para evitar “la injusticia”. En el trabajo colectivo pueden surgir
frases como: “dándoles lo mismo a cada uno”, “repartir en partes iguales”,
“que todos tenga la misma cantidad”, “que nadie quepa a más”..
Simultáneamente, se deben proponer problemas de reparto en los que el
resto sea 0 (divisiones exactas) y problemas en los que las divisiones sean
enteras (el resto sea distinto de 0). A los niños se les podría proponer “que
se hace con aquello que sobra”. Puedan ofertar diversas soluciones a un
problema como el siguiente:
“Luisa tiene 18 chocolatinas y desea repartirlas entre sus 4 amigas en partes
iguales, ¿Cuánto les dará a cada una?”
a) Se repartirán 4 chocolatinas y me sobrarán 2
b) Les daré 5 a dos y 4 a otras dos
c) Les daré 6 a mi amiga Ana y 4 a las otras tres amigas.
También es importante plantearle problemas en los que lo que sobra se
pueda partir y otros en los que lo que sobra no se pueda repartir. Se trata de
iniciar a los alumnos, de forma intuitiva, en los aprendizajes de fracciones. En
el problema anterior los alumnos podrán expresar la solución de la manera
siguiente: “Les doy a cada una de mis amigas 4 chocolatinas y media”, que
no podría formular si se tratara de este otro problema: “Reparto en partes
iguales 18 juguetes ente mis 4 amigas, ¿Cuántos juguetes tocará a cada una?
A veces lo que sobra (divisiones con resto) cambia todo el problema. Esto
ocurre en el siguiente problema. “Quiero alquilar taxis para 14 personas. En
cada taxi solo pueden viajar 4 personas ¿Cuántos taxis tengo que alquilar?”.
Será preciso alquilar un taxi más para las dos personas que sobran. Este tipo
de problemas permite poner en juego el análisis del resto. No basta con
hacer la cuenta o cualquier otro procedimiento, ya que el cociente no es
suficiente para saber el resultado del problema. Es necesario, pues, analizar
el resto.
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En el tercer curso de primario (primer curso de segundo ciclo) es conveniente
plantear la resolución de problemas de isomorfismo de medida de la
subclase de división. Primer tipo y de subclase de división. Segundo tipo,
ya que no es lo mismo repartir que averiguar las partes. Los problemas de
averiguar las partes son más complejos que los de reparto.
Los siguientes problemas ilustran ambos tipos:
“Luisa tiene 25 cromos y quiere repartirlo entre sus 3 amigas en partes
iguales ¿Cuántos dará a cada una?” (Problemas de repartir en partes
iguales).
“Luisa tiene 25 cromos y darle 3 a cada una de sus amigas. ¿A cuántas
amigas puede darles 3 cromos?” (problemas de averiguar las partes)
En el primer problema se conoce la cantidad de parte y se solicita averiguar
el valor de cada parte. Los niños, en un principio, podrían utilizar los distintos
procedimientos de reparto uno a uno.
En el segundo, al contrario, se conoce el valor de cada parte y es necesario
averiguar, en cuantas partes se puede dividir la colección (en este caso los
25 cromos). Para este problema no es posible el reparto 1 en 1, porque no se
sabe “en cuantos repartir”. En este caso, será preciso utilizar la estrategia
de las restas sucesivas, restándole 3 a 25 tantas veces como sea posible: 253=22; 22-3=19,..4-3=1.También se puede utilizar la suma hasta acercarse a 25;
3+3+3+3+3+3+3+3=24 y sobra 1. Ya en el tercer curso los alumnos pueden
utilizar productos: 9.x3=27. “Me he pasado.” 8x3=24.” 8 amigos y me sobra
1 cromo”.
A los alumnos, a lo largo de su escolaridad, y fundamentalmente en el
segundo ciclo hay que proponer los distintos problemas que se resuelvan
mediante la división. No es suficiente con conocer el algoritmo para saber
cuando utilizarlo.
Reconocer el cambio de utilización de una operación ha sido un aprendizaje
que no se suele prever y no se ha considerado, habitualmente, que debe
formar parte de aquello que se consideraba aprender a dividir. Es necesario,
pues, favorecer la construcción de los diferentes significados posibles de
la división. Los alumnos reconocen más fácilmente la utilización de la
división en unos que en otros problemas y será preciso, pues, abordar en la
enseñanza aquellas situaciones donde experimenten más dificultad.
167
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Capítulo VIII: L a enseñanza de los algoritmos.
El cálculo pensado, el cálculo estimado y la
aproximación.
Introducción
La enseñanza/aprendizaje de los algoritmos debe suponer la culminación
de todo un proceso, después de que los alumnos construyan y hagan
evolucionar sus distintas estrategias informales. Se trata de que los aprendan
de manera significativa para evitar los errores típicos que aparecen con
frecuencia en los niños tales como los de la posición del número (situar
de forma incorrecta los números en las columnas, sumando, restando,
multiplicando o dividiendo cifras con valores distintos), errores en los pasos
del algoritmo cambiando u omitiendo algunos de los pasos (no realizar las
llevadas, restar siempre el número mayor del menor independientemente
que pertenezca al minuendo o sustrayendo) o errores de cálculo o fallos
numéricos al operar con cantidades.
Todavía, en la actualidad, podemos afirmar con Baroody (1988,53) lo siguiente:
“se exige que los niños memoricen datos, definiciones, procedimientos de
cálculo, técnicas de medición, etc. Cuando los recursos son limitados y las
clases grandes, la enseñanza y la práctica repetitiva de datos y técnicas son
más manejables que el fomento del conocimiento conceptual y la aptitud
para el razonamiento. Por ejemplo, enseñar paso a paso el algoritmo para
la sustracción de números de varias cifras con acarreo resulta más fácil que
construir las relaciones que constituyen el conocimiento de los órdenes
de unidades. Más aún, el conocimiento de datos y técnicas es más fácil
de observar y comprobar que el conocimiento conceptual o la capacidad
de razonamiento. Como el cultivo y la evaluación de la comprensión
matemática, el razonamiento y la resolución de problemas son difíciles,
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La enseñanza/aprendizaje de las competencias aritméticas
la educación masiva se centra en la enseñanza y la evaluación de datos y
técnicas de matemáticas”.
En la habitual enseñanza de los algoritmos tradicionales presentar el
algoritmo convencional y repetición por el alumno. Este se esfuerza
en recordar los pasos más que en comprender su ejecución. Al mismo
tiempo, al no contemplar sus estrategias o técnicas de cálculo informales,
el aprendizaje del algoritmo obliga a los alumnos a olvidar su propio
conocimiento numérico ya que el algoritmo convencional no refleja su
forma natural de operar.
De todas maneras el aprendizaje/utilización de algoritmos convencionales
costosos (con números excesivos: sumas largas, multiplicaciones y divisiones
con grandes números) no es aconsejable por las siguientes razones:
1) Porque esas operaciones con bolígrafo y papel no se realizan en
la vida diaria, y en el caso de tener que hacerlas, emplearíamos la
calculadora que tiene la ventaja de ser más rápida y equivocarse
menos.
2) No es habitual tener que hacer operaciones como 78.659:93 ó
45.465x389. A los lectores les costará recordar cuándo fue la última
vez que tuvieron que hacer un cálculo parecido en su vida ordinaria.
3) La práctica repetida de estos algoritmos no mejora ni aporta
conceptualmente nada a la capacidad aritmética de las alumnas y
alumnos.
4) Una gran cantidad de alumnas y alumnos cometen muchos fallos de
operaciones cuando se enfrentan a este tipo de algoritmos.
5) Al estudiante que no sabe hacer algoritmos largos con muchos
dígitos se le considera un fracasado en la escuela. Se le impide hacer
nuevos progresos en matemáticas y se le aleja de ellas para siempre, y
no porque el estudiante carezca de las capacidades necesarias para ser
un competente aprendiz y usuario de las matemáticas, sino porque así
es como está estructurado el programa de matemáticas en la escuela
(MAIER, E.; 1987).
6) Estos algoritmos son destrezas de supervivencia escolar. Las alumnas
y alumnos deben conocerlos para poder progresar en el sistema
educativo, no porque les sean útiles en su futura vida académica
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u ocupación laboral. Se trabajan estos algoritmos en los centros
educativos sólo porque vienen en los programas de matemáticas.
7) Estos algoritmos fuerzan a las niñas y niños a renunciar a sus propias
estrategias y pensamiento.
8) Estos algoritmos permiten a las niñas y niños producir respuestas
correctas, pero con el efecto secundario de erosionar la confianza que
tienen en sí mismo. Estos alumnos han aprendido a depender del lápiz
y papel y de la distribución espacial de las cifras y de otras personas.
9) En el pasado fue imprescindible sacrificar tiempo y energía en
impartir estas destrezas algorítmicas, pero en la actualidad no tienen
nada que ver con formación matemática el adiestrar seres humanos
en algo que las máquinas hacen mucho mejor. (GUZMÁN ROJAS, 1979)
10) En la mayoría de los niveles de enseñanza primaria y gran parte
de la secundaria un 80% del tiempo y del esfuerzo de aprendizaje se
dedica a ganar destrezas en los diversos algoritmos de las operaciones
aritméticas (GUZMÁN ROJAS, 1979). Teniendo esta actividad poca
repercusión en el desarrollo de capacidades en las alumnas y alumnos.
11) Un argumento que se oye con frecuencia a muchos docentes y
madres y padres que quieren seguir justificando lo injustificable, la
enseñanza de algoritmos tradicionales, es: “¿y si los alumnos cuando
van a hacer un cálculo no tienen calculadora, qué hacen? La respuesta
es obvia: ¿y si cuando van hacer un cálculo no tienen lápiz y papel,
qué hacen?” Hoy en día lo que debe primar es el CÁLCULO MENTAL,
y dentro del mismo, LA ESTIMACIÓN. El cálculo exacto lo dan las
calculadoras.
En definitiva, los algoritmos largos (“las cuentas largas”) deben desaparece
de la práctica escolar y de las actividades matemáticas en el sistema escolar.
Los profesores/as de matemáticas enseñarán otros algoritmos destinados a
desarrollar el cálculo mental y la estimación en nuestras alumnas y alumnos
así como el uso de la calculadora.
Pautas para la enseñanza de los algoritmos.
Teniendo en cuenta que los algoritmos, procedimientos económicos para
resolver las operaciones numéricas, son instrumentos rápidos, eficientes
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La enseñanza/aprendizaje de las competencias aritméticas
y económicos y que su enseñanza/aprendizaje corresponde a la escuela
primaria, hay que abordar su enseñanza/aprendizaje de la forma más
significativa posible. Para su enseñanza-aprendizaje sería preciso tener en
cuenta las pautas siguientes extraídas, entre otros, de Baroody (1988), Mesa
Gómez (1998) y otros y con los aportes de nuestra propia experiencia:
1) Previo a la enseñanza de los algoritmos escritos es indispensable
que los alumnos manejen la operación mentalmente y mediante
aproximación así como el sistema de numeración decimal.
2) Tener en cuenta el conocimiento informal y previo de los alumnos
de forma que constituya el punto de partida en la construcción de
nuevos conocimientos y en la adquisición de nuevos algoritmos. Hay
que procurar que los alumnos lo resuelvan, en primera instancia, con
sus propios procedimientos, posibilitando la reflexión colectiva sobre
cada una de las estrategias utilizadas , evaluando su utilidad, para
poco a poco ir introduciendo formas más convencionales de cálculo,
más abstractas, sistemáticas y económicas.
3) Estimular la comprobación de los cálculos escritos contrastando
los resultados obtenidos con ellos con los obtenidos mediante
procedimientos informales. Esto permite establecer puentes entre los
procesos algorítmicos y las técnicas artesanales, propias y significativas
(procedimientos informales)
4) Para la enseñanza/aprendizaje de los algoritmos de las operaciones
aritméticas básicas conviene seguir las tres etapas recomendadas por
Bruner.
5) Para afrontar significativamente la enseñanza/aprendizaje de
los algoritmos es necesario conocer la estructura del sistema de
numeración decimal, el conocimiento de los hechos básicos (las tablas) y
las propiedades de las operaciones de manera funcional (conmutativa,
asociativa, la propiedad distributiva del producto respecto de la
suma,..)
6) Para un aprendizaje constructivista de los algoritmos las clases sobre
las técnicas de cálculo debe pasar por diferentes momentos. Después
de una fase de resolución individual, el maestro propone a los alumnos
que cada uno explique el “método” que ha utilizado para resolver
un cálculo. Se realiza una puesta en común en la que se exponen
tanto los procedimientos correctos como los incorrectos. Luego, en
otro momento, se les propone a los alumnos comparar los diversos
procedimientos, observar en qué se parecen, analizar cuales fueron
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más largos y más cortos, .. A partir de la reflexión y sistematización
de lo realizado, los alumnos podrán avanzar hacia la utilización de
estrategias más económicas de cálculo. Se realizan acuerdos que
permiten ir aproximándose al algoritmo convencional.
Algoritmos de la suma y de la resta
De la suma.
Se partirá siempre de una situación problemática. Por ejemplo: Mi abuela
me regaló el otro día 45€ para que me comprara una camisa. Después mi tía
me regaló 32€ ¿Cuántos euros me regalaron entre las dos?
A) Los alumnos pueden utilizar diferentes procedimientos en una
suma sin llevadas.Se empieza con este tipo de sumas ya que no
exige, en sentido estricto, la comprensión y utilización del sistema de
numeración decimal ya que no plantea el principal problema que es el
de “reagrupamiento”.
0)45+32 = 47+30 = 77
1) 32+5 = 37 y 37+40 = 77
2)40+5+30+2 = 40+30+5+2 = 70+7 = 77 (Expandido horizontal)
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B) Sumas con llevadas: 36+48
1) 30+40+6+8 = 70+14 = 70+10+4 = 84 (Expandido horizontal)
Los algoritmos expandido vertical(2),extendido de derecha a
izquierda(3),extendido de izquierda a derecha (4), abreviado (5) y
convencional (6) se pueden analizar a continuación.
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Los métodos 1, 2, 3 y 4 evitan los procedimientos complejos de llevarse que,
frecuentemente, conducen, a errores de olvido de anotación. También
es indistinto comenzar por la izquierda o por la derecha ya que la forma
natural de operar de los niños es de izquierda a derecha.
C) Sumas con llevadas (Procedimiento de sumas parciales)
Por ejemplo:
Este método es muy apropiado porque:
1.Evita los procedimientos complejos de “llevarse”
2.Resalta el valor de posición del número ya que los alumnos no trabajan
con las distintas columnas como si fueran conjunto de unidades.
3.Permite comenzar tanto por la izquierda (el más natural para los
niños) como por la derecha.
D) Una vez dominado el procedimiento de sumas parciales se
puede introducir el algoritmo convencional, estándar , tradicional o
convencional.
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NOTA: Conviene que hasta muy avanzada la E. Primaria los algoritmos
convencionales se le propongan a los alumnos señalando las columnas con
los órdenes de unidades (U., D., C., U.M., ..)
De la resta
Se presentan siempre acompañándolos de situaciones problemáticas
a) Restas sin arrastre o sin llevada (Método de diferencias parciales)
Ejemplo: 478-243=
0.Método de diferencias parciales (Expandido)
1. Método de diferencias parciales (Extendido).De izquierda a derecha y de
derecha a izquierda.
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2. Método de diferencias parciales (Abreviado)
Desde este método al estándar o
a) Restas con llevadas (Método de pedir prestado)
Ejemplo: 753-627=
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Nota: se pide prestado a las decenas y se le suman las unidades de la decena
a las unidades.
b) Restas con llevadas (Método de diferencias parciales abreviado
y expandido). En este caso basta entender que colocar un menos
delante del número significa que se debe esa cantidad y que tienen
que sacarla de os demás números.
A los 30 le resta 4 y quedan 26
d) Método de las “vueltas”
Los niños desarrollan este método algunas veces y parece reflejar la forma
de calcular mentalmente. Las vueltas que debe dar el tendero cuando se
hace una compra.
Por ejemplo: 42-37=
y
136-68=
e) Método de “pedir o pagar” o de “suma de iguales”
Este es el método a trabajar en último lugar. Se basa en la propiedad
uniforme de la desigualdad que nos dice: “al sumar dos número iguales a
los dos miembros de una desigualdad la desigualdad continua”. También
requiere el dominio de la equivalencia flexible entre10 unidades y 1 decena,
10 decenas y una centena…
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Al no ser un modelo que los alumnos realizan mediante estrategias
informales hay que procurar acercarse gradualmente.
Se comienza pues con las restas de números dígito sumándole el mismo
número al minuendo y al sustraendo.
Los alumnos inducen que si al minuendo y al sustraendo se les suma un
mismo número la diferencia no varía.
Si restamos 7 5 3 – 6 2 7=
En este caso la expresión de 7 a 13, 6 y me llevo una expresada por el alumno
de forma mecánica, se traduce en comprensiva al sumar 10 unidades a las
unidades del minuendo y compensar con 1 decena sumada a las decenas
del sustraendo.
f) Completar ceros en el sustraendo
Este método propuesto por Solano (1987) se apoya también en las
propiedades del procedimiento anterior.
Si consideramos la resta siguiente:
Tanto el procedimiento e) como el f) exigen de una adecuada base
conceptual y una buena base procedimental respecto del algoritmo “pedir
prestado”.
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Algoritmos de la multiplicación y de la división
De la multiplicación
Los pasos, pues, a seguir serían los siguientes:
1) Aproximarse al resultado utilizando el cálculo mental/pensado
y/o la estimación. Se partirá de un problema multiplicativo a fin de
contextualizar el algoritmo.


2)La suma reiterada/repetida
3)Distribuyendo el multiplicando
4)Expresar el paso anterior en forma multiplicativa
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O bien otra manera manipulativa/intuitiva es valiéndose
del método rectangular. Por ejemplo, el producto de 24 x
3 es el número de cuadritos contenidos en el rectángulo
de lados 24 y 3.
Se descompone el rectángulo en otros dos aprovechando
la propiedad distributiva:
Estos cálculos se organizan de esta otra manera:
3 x (20 + 4) = 3 x 20 + 3 x 4 = 6 0 + 12 = 72
Para simplificar el procedimiento, se acostumbra a hacer la suma de 60 con
12 mentalmente. Se tiene, así, la forma habitual del algoritmo:
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24 x 3 = 72
3 x 4 = 12, me llevo 1 decena
3 x 2 = 6 decenas más 1 decena dan 7 decenas
5)Forma simplificada/estándar/habitual

En todas estas fases, en los comienzos y siempre que se crea necesario,
debiera conexionarse lo escrito con procedimientos concretos (Bloques
Multibases, abaco,... material figurativo). La utilización más o menos profusa
de la manipulación o la representación intuitiva dependerá de la capacidad
del alumno para utilizar estrategias mentales y aconsejables, en todo caso,
para alumnos con dificultades en el área de matemáticas.
Suydam y Dessart plantean el siguiente proceso para la multiplicación de
dos factores de más de una cifra:
52x 38=
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Con el modelo rectangular se puede plantear así. Por ejemplo, multiplicar
13x25. Se va a representar el producto 13x25 con el rectángulo siguiente:
Para encontrar el total de cuadraditos (o el área) del rectángulo, el camino
natural es encontrar el total de cada parte y, después, sumar estos resultados
parciales.
Así pues, se debe efectuar 3 x25 para la parte más pequeña y 10x25 para la
parte mayor, y sumar los resultados:
Otro ejemplo es el siguiente: 1 3 5 x 1 2 =
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A continuación se ofrece el modelo de disposición en tabla de doble entrada
utilizado por los griegos empleando la descomposición de números y la
propiedad distributiva: 135 x 12 = 1.620
tros métodos son:
I)Descomponiendo según el valor posicional del multiplicador
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II)Descomponiendo según el orden de unidades del multiplicando
El último proceso, el de nuestro país, es el de mentalización (arrastrando
la llevada en nuestra memoria)
De esta manera eliminar el 0 y en sustitución hacer recordar la regla
del desplazamiento (se corre un lugar hacia la derecha) implica un
aprendizaje comprensión y no arbitrario (el niño sabe por qué realiza
esa acción), es decir, “ correr un lugar hacia la derecha”.
La siguiente evolución, con la aparición de los números árabes y el SND,
es la de la codificación de los números actual sistema de multiplicación
de los italianos .Los italianos siguen sin codificar su actual forma de
multiplicar.
L a enseñanza/aprendizaje de la tabla de multiplicar.
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La enseñanza/aprendizaje de las competencias aritméticas
En la escuela tradicional saberse la tabla de memoria era motivo de
orgullo tanto para los alumnos como para el maestro. Pocos docentes
osaban poner en duda la necesidad de este aprendizaje mecánico.
En la década de los 60 se modificó la enseñanza de la matemática.
No se van a explicitar aquí las características de este movimiento
pero si destacar que dentro de sus aspectos positivos se destaca la
característica del aprendizaje comprensivo.
En el conjunto de críticas a la enseñanza tradicional una recayó sobre
la mecanización de la tabla. Diversos autores y corrientes abolieron
y prohibieron la memorización de la misma. El maestro o maestra
que obligase a sus alumnos a memorizar la tabla era, muchas veces,
considerado como “anticuado”, “retrógrado”.
El argumento de los renovadores, contrario a la memorización, era
básicamente éste: “no se debe obligar al alumno a memorizar la tabla:
se debe, pues, crear condiciones para que la comprenda”. Los adeptos
de las nuevas tendencias alegaban que, si el alumno comprendiese
la tabla, si entendiese el significado de códigos como 3x7, 8x6, 5x9,
etc., entonces, cuando la precisase, solo, pensando, descubriría los
resultados.
Algunos maestros rebatían esta afirmación sosteniendo que, sin saberse
la tabla de memoria, un alumno no podría realizar multiplicaciones
ni divisiones. A cada instante, en la realización de cálculos y en la
resolución de problemas se “encasquillaría” al no saber la tabla de
memoria. Todavía esta discusión se suele producir en cualquier
reunión de maestros donde se plantee la enseñanza/aprendizaje de
las matemáticas.
No obstante, y, salvo escasas excepciones, a pesar de las divergencias
hay una opinión unánime: se debe rechazar la mecanización pura y
simple de la tabla. Es absurdo exigir que los alumnos reciten: “dos por
uno, dos”. “dos por dos, cuatro”, etc., sin que entiendan el significado
de lo que están diciendo.
La multiplicación (igual que las restantes operaciones, la noción de
número y el sistema de numeración decimal) precisa ser construida y
comprendida. Esta construcción debe ser el resultado de un trabajo,
intelectual por parte del alumno.
El término tabla es bastante antiguo y señala un conjunto de hechos
numéricos como por ejemplo:
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José Luis Luceño Campos
3x1=3, 3x2=6, 3x3=9, etc.
Estos hechos son llamados por diversos autores, hechos fundamentales
de la multiplicación.
Trabajando con materiales variados (papel cuadriculado, granos,
palitos), explorando juegos y situaciones diversas, los alumnos
podrán, muy pronto, construir y registrar los hechos numéricos que
comprenden la tabla.
Entre las estrategias que permiten la adquisición relacionada/
significativa de los hechos multiplicativos básicos están las siguientes:

a)La suma reiterada
Constituye el fundamento más significativo de la multiplicación
porque garantiza la comprensión de la misma. Es presentar el producto
como una repetición de sumandos, la multiplicación como una suma
abreviada.
En su forma extensa aparece de esta manera:
1 vez 3=3
2 veces 3=3+3=6
3 veces 3=3+3+3=9
4 veces 3=3+3+3+3=12
La palabra “vez” se puede sustituir por x (por).
Una reducción de la forma extensa es la de aplicar la regla de no
repetir todos los sumandos sino añadirle al resultado anterior un solo
sumando.
1 x 3=3
2 x 3=3+3=6
3 x 3=6+3=9
4 x 3=9+3=12
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La enseñanza/aprendizaje de las competencias aritméticas
Esta estrategia se puede facilitar con la construcción de seriaciones
numéricas crecientes previas a la construcción de la tabla:
2-4-6-8-10-12- ...
Esta estrategia implica una concatenación de los hechos multiplicativos a
recordar y una tendencia, por tanto, a comenzar por uxi, para continuar
con los restantes hasta llegar al que interesa calcular nxm, es decir, que
para encontrar el 3x7 hay que retrotraerse al 3x1, 3x2,... 3x7.
b)Conmutar.
Consiste en reducir el cálculo de un hecho multiplicativo a otro variando el
orden de los factores. Si se conoce 4x8 se puede conocer 8x4. Esta estrategia
reduce a la mitad los hechos multiplicativos a recordar. Por otra parte, de
todos es conocido, incluso por propia experiencia, que aun conociendo
cuánto es 9x7, muchas personas prefieren conmutar 7x9 antes de responder,
como si se hubieran negado a memorizar la relación 9x7.
La aplicación de las dos estrategias, suma reiterada y conmutar, llevaría
al alumno a la construcción de la tabla siguiente:
2 veces 3= 3+3= 3 veces 2= 2+2+2=6
Como se puede observar facilitaría el recuerdo (son dos caminos para llegar
al resultado), simplificaría el aprendizaje de los hechos multiplicativos
básicos en un 50% (cuando se construya la tabla del 3 el producto 3x2 ya ha
sido trabajado) y prepararía para la división.
c)Cálculo del doble
Esta estrategia consiste en recurrir a la suma de dobles y a su resultado
la operación de doblar. La idea de que multiplicar por 2 es doblar se
entiende sin dificultad a multiplicar por 4 (doblar y doblar o doblar
dos veces o doblar el doble) o por 8 (doblar el doble del doble)
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Multiplicar por 3, es simplemente, añadir el doble del número multiplicado.
3 x 4=4+8(doble del 4) = 12
3 x 8=8+16(doble del 8)= 24
d)Multiplicación por 10 (añadir un cero)
La multiplicación por 10 es muy fácil de retener. Utilizando la propiedad
conmutativa hacer comprender que 10x2 es igual que 2x10,... De forma
inductiva se puede conseguir automatizar definitivamente la regla de
multiplicación de un número por la unidad seguida de cero.
También se puede multiplicar por cualquier número seguido de cero
2 x 80 = 2 x 8 x 10 =16 x 10 = 160
4 x 800 = 4 x 8 x 100 = 32 x 100 =3200
e) Cálculo de la mitad.
Para multiplicar por 5:
5 x 610 x 6 = 60 60:2 = 30
Para multiplicar por 5 se añade un cero al otro número y se divide por dos:
5 x 6 = 60:2 = 30
f)Descomposiciones (adición y sustracción del multiplicando)
188
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La estrategia de adición basada en la concepción de la multiplicación como
suma abreviada es particularmente frecuente y cómoda de aplicar en las
multiplicaciones por 3 y 6 apoyándose en las del 2 y del 5.
6 x 7 = 5 x 7+7 = 35 + 7 = 42
3 x 7 = 2 x 7 + 7 = 14 + 7 = 21
La estrategia de sustracción es simétrica de la anterior. Está prácticamente
reservada a la multiplicación por 9:
9 x 7 = 10 x 7-7 = 70 – 7 = 63
Con las dos estrategias es posible aplicar un procedimiento iterativo
(repetitivo)
7 x 6 = 5 x 6 + 6 + 6 = 30 + 6 + 36 + 6 = 42
8 x 4 = 10 x 4 – 4 – 4 = 40 – 4 – 4 = 36 – 4 = 32
g)Particiones
Realizar la partición de los factores constituye una forma de resolver una
multiplicación con factores más pequeños:
8 x 7= (4 +4) x (4 + 3)4 x 4 + 4 x 4 = 32
4 x 3 + 4 x 3 = 24
56
La actividad que se va a describir es bastante interesante: En ella, los
alumnos construyen la tabla partiendo de algunos hechos numéricos
simples ya trabajados con anterioridad, así como, de las estrategias referidas
anteriormente. Primeramente se organiza la tabla y se registra con los
alumnos los hechos numéricos.
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José Luis Luceño Campos
Podemos asomar a nuestros alumnos a la anterior tabla de doble entrada y
dedicarnos a un amplio proceso de observación proponiendo las siguientes
actividades:
1. Observar la tabla de multiplicar del 1.
2. Observar la tabla de multiplicar del 10.
3. Comparar la tabla de multiplicar del 2 con la del 1.
4. Comparar la tabla de multiplicar del 4 con el 2.
5. Comparar la tabla de multiplicar del 8 con el 4.
6. Comparar la tabla de multiplicar del 5 con el 10.
7. Comparar la tabla de multiplicar del 3 con la del 1 y la del 2.
8. Comparar la tabla de multiplicar del 9 con la del 10 y la del 1.
9. Comparar la tabla de multiplicar del 6 con la del 3.
Como resultado de este proceso de observación-comparación llegarán a las
siguientes conclusiones:
Multiplicar por 1 es no modificar el otro factor. Así, 1 x 54 = 54.
Multiplicar por 10 significa agregar un 0 al otro factor.
Los productos de la tabla del 2 son el doble de los correspondientes
de la tabal del 1. Por consiguiente, multiplicar por 2 significa obtener
el doble del otro factor.
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La enseñanza/aprendizaje de las competencias aritméticas
Los productos de la tabla del 4 son el doble de los correspondientes
de la tabla del 2. Por consiguiente, multiplicar por 4 significa obtener
dos ves consecutivas el doble a partir del otro factor.
Los productos de la tabla del 8 son el doble de los correspondientes
de la tabla del 4. Por consiguiente, multiplicar por 8 significa obtener
tres veces consecutivas el doble a partir del otro factor.
Los productos de la tabla del 5 son la mitad de los correspondientes de
la tabla del 10. Por consiguiente, multiplicar por 5 equivale a añadir
un 0 al otro factor y luego obtener la mitad de es último número.
Los productos de la tabla del 3 son la suma de los
correspondientes de l a tabla del 2 y del 1. Por consiguiente, multiplicar
por 3 significa obtener el doble del otro factor (multiplicarlo por 2) e ,
inmediatamente , sumarle el mismo factor(multiplicado por 1).
Los productos de la tabla del 9 son la diferencia de los correspondientes
de la tabla del 10 y del 1. Por consiguiente, multiplicar por 9 equivale a
añadir un 0 al otro factor y luego restarle el mismo factor.
Finalmente, los productos de la tabla del 6 son el doble de los
correspondientes de la tabla del 3. Pero también son la suma
de los correspondientes de la tabla del 4 y del 2. O la suma de los
correspondientes de la tabla del 5 y del 1.
Como puede observarse esta “lectura” de las tablas de multiplicar permite
manejarlas de una forma diferente: en lugar de aprender de memoria los
productos – cosa que también se hace- se analiza cada tabla desde una
perspectiva integral, es decir, desde el punto de vista de lo que hace con
cualquier factor.
Se observa también que todos los productos de todas las tablas se obtienen
mediante operaciones muy simples: agregar un 0, hallar el doble, sumar y
restar números. La tabla menos ”penetrable” es la del 7 – aunque puede
verse como la suma del 5 y del 2 , o la diferencia del 8 y del 1 – pero la
disponer de los productos de las demás tablas de una vez quedan incluidos
los productos de la tabla del 7 menos el producto de 7x7.
Estas actividades contribuyen a la memorización de la tabla. Está claro
que este esfuerzo de memorización no debe ser obsesivo. Si un alumno,
por ejemplo, no se acuerda de cuanto es 7x8, es importante que tenga
la habilidad de pensar y descubrirlo por sí mismo, utilizando distintas
estrategias:
191
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Conmutativa: Comprobar si se acuerda del 8x7
Reiterativa o suma reiterada: Si se acuerda del 6x8, obtendría
x 8 = 6 x 8 + 8 = 56
7
Descomposición: 7x8=3x8+4x8=56. Descomponiendo el 7 en 3+4.
Partición: (3+4)x(4+4)=3x4+3x4+4x4+4x4=56
Doble: 7x8=2(7x4)2x28=56.
Debemos, además, discutir con los alumnos la necesidad de esta
“memorización”. Deben saber que es necesaria para que puedan desarrollar
situaciones más complejas. La necesidad de memorizar está justificada. No
es un capricho que los hechos “fundamentales” se llamen así. La fijación/
memorización de los mismos es importante para que el alumno comprenda
y domine algunas técnicas de cálculo. En la exploración de nuevas
ideas (fracciones, múltiplos, divisores, el tratamiento aprendizaje de la
equivalencia de las proporciones, de las potencias, de la raíz cuadrada, etc.).
la multiplicación aparecerá con frecuencia. Si el niño no tiene memorizado
los hechos numéricos básicos estarán continuamente dependiendo de
la tabla, desviando su atención de las nuevas ideas/nociones que estén
trabajando.
Para concluir hay que afirmar que los alumnos no deben memorizar
mecánicamente la tabla pero que es preciso hacer un cierto esfuerzo para
automatizarla. Se insiste que la memorización debe ser precedida por la
comprensión. El énfasis debe ser colocado en la construcción de los hechos
numéricos fundamentales. La preocupación por la memorización no tiene
que ser obsesiva y exagerada.
Otros procedimientos para multiplicar
Nosotros, habitualmente, multiplicamos así:
192
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No siempre las multiplicaciones se hacían así, a lo largo del tiempo. Diferentes pueblos, en diferentes lugares, desarrollaron variadas técnicas para
multiplicar. Los egipcios, por ejemplo, crearon un interesante procedimiento utilizando duplicaciones sucesivas. Duplicar es doblar, es decir, multiplicar por dos. Para exponer el procedimiento se comenzará con algunos
ejemplos simples. En los ejemplos siguientes no se van a utilizar la escritura
de los números utilizadas por los egipcios sino en nuestra numeración. Se
trata de facilitar la comprensión.
Multiplicar un número por cuatro es doblar o sea hallar el doble ya
que 4=2x2. Por ejemplo, para obtener 4x17 se hace así:
Doble de 17=34
Doble de 34=68
De esta manera 4x17=68
Multiplicar un número por 8 es doblar el doble de su doble, ya que
8=2x2x2. Para obtener 8x21 se hace así:
Doble de 21=42
Doble de 42=84
Doble de 84=168
Por tanto, 8x21=168
Otro ejemplo 32x13
Doble de 13=2x13=26
Doble de 26=2x26=52
Doble de 52=2x52=104
Doble de 104=2x104=208
Doble de 208=2x208=416
Por tanto, 32x13=416
De esta manera mediante duplicaciones sucesivas es fácil multiplicar un
número por 4, 8, 16, 32, 64, etc, (éstos son los números que se obtienen
multiplicando el 2 por sí mismo sucesivamente). Pero, por ello, este
193
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procedimiento no permite obtener, por ejemplo, 14x23, ya que ninguno de
los dos factores es 4, 8, 16, 32, 64, etc.
Sin embargo, ¿Hay un modo de superar esta imposibilidad? Para
comprenderlo hay que percatarse antes de lo siguiente: los números que
no forman parte de la secuencia 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, etc., pueden
siempre se escritos como la suma de los números que forman parte de ella.
Por ejemplo, el 3, que no forma parte de la secuencia, es la suma de 1 y 2,
que si forman parte de la secuencia. Otros ejemplo:
11 = 8 + 2 + 1
36 = 32 + 4
88 = 64 + 16 + 8
Realicemos la multiplicación 14x23. Primero se escribe uno de los factores
(por ejemplo, el 14) como suma de la secuencia ya referida:
14 = 8 + 4 + 2
A continuación, se hacen las duplicaciones sucesivas del 23:
2 x 23 = 46
4 x 23 = 2 x 46 = 92
8 x 23 = 2 x 92 = 184
Como 14 x 23 = (8 + 4 + 2) x 23 = 8 x 23 + 4 x 23 + 2 x 23 =
resulta que 14 x 2 3 = 184 + 92 + 46 = 322
Otro ejemplo ya simplificado, es el siguiente:
37 x 45 = ?37 = 32 + 4 + 1
1 x 45 = 45
45
2 x 45 = 90 180
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4 x 45 = 1801440
8 x 45 = 3601665
16 x 45 = 720
32 x 45 = 1440
Luego 37 x 45 = 1665.
Una manera de disponer este modelo de multiplicación en tablas es el
siguiente:
En el sistema de numeración egipcio vale el principio aditivo. Este carácter
aditivo de la numeración usado por los egipcios refleja el procedimiento de
cálculo que ellos desarrollaron.
Esto se evidencia en el método analizado: para multiplicar, después de las
duplicaciones (sumas dobles) realizadas sucesivamente, se hace una adición.
El procedimiento egipcio tal vez explique el origen de la palabra multiplicar
ya que en la lengua latina “multi” quiere decir varios y “plicare” significa
doblar. Así, pues, multiplicar “es doblar varias veces”.
195
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Método para multiplicar utilizado por los árabes.
El algoritmo para multiplicar, que se presenta a continuación, era
utilizado por los árabes que, probablemente, lo aprendieran de los
hindúes. Se puede apreciar que es bastante parecido al que se utiliza
hoy.
¿Cómo multiplicar 482 x 36?
1.- Construimos la siguiente tabla, de 2 filas y tres columnas, en la parte
superior coloco el 482, cada número en una columna y en el lateral derecho
el 36, cada número en una fila.
2.- Cada casilla la relleno con el resultado de multiplicar el número situado
en esa fila por el número situado en esa columna, quedaría del modo: (
todos los números deben tener dos dígitos, en caso que sólo tuviese uno ,
6 , se coloca un 0 a su izquierda, 06 , como se ve en la tabla)
3.- Ahora trazo las diagonales de cada casilla del modo indicado en la siguiente
figura procurando que, en cada casilla, haya un dígito a cada lado de la diagonal.
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4.- Ahora sólo nos queda sumar las líneas diagonales y obtenemos el 17.352
que es el resultado de multiplicar 482 x 36 = 17.352
Conclusiones metodológicas
respecto a la multiplicación:
Las formas más primitivas de multiplicación, es decir, su evolución
histórica (egipcia, griega, árabe,…) favorece la comprensión y el
dominio del proceso por parte de los alumnos/as.
Hay que partir de los algoritmos informales que traen los alumnos.
Es interesante que los alumnos/as practiquen estas formas
de multiplicación, que tienen mucho que ver con sus algoritmos
personales o informales y la cultura numérica y matemática que
poseen en estas edades.
La forma de la multiplicación italiana representa un buen modelo
de comprensión, y puede/debe ser utilizada de manera regular por
los alumnos/as, como paso previo para comprender nuestro algoritmo
académico o convencional
Hay que evitar enseñar directamente nuestro algoritmo académico de
la multiplicación ya que plantea muchos problemas de comprensión
ya que son muchos los pasos ocultos implícitos en dicho mecanismo
Multiplicando con las manos.
El método de multiplicar con las manos era utilizado, hasta hace poco
tiempo, por los campesinos de una región francesa. Estos campesinos
se sabían de memoria la tabla hasta el 5 y, para multiplicar números
comprendidos entre 5 y 10, como por ejemplo 6x9 ó 7x8, utilizaban sus
dedos. Veamos como lo hacían para multiplicar 6x8.
197
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
En una de las manos, doblaban tantos dedos como unidades
el 6 pasa de 5, por tanto, se baja un dedo.
En la otra mano, se doblan tantos dedos como
unidades el 8 pasa de 5, por tanto, se bajan 3 dedos.
Se suman el número de dedos doblados y ellos expresan las
decenas.
En este caso 1+3=4 decenas, es decir, 40 unidades.
A continuación se multiplican los números de dedos levantados (no
doblados): 4x2= 8 unidades.

Para obtener el resultado final se suman los valores hallados: 40+8=48.
De hecho 6x8=48.
Se usaba para obtener 7x8, 6x7, 7x9 y 6x9. También vale para los factores 5
y 10, que son los extremos del intervalo en que el procedimiento puede ser
utilizado.
Hay además, una manera interesante para hallar la tabla del nueve utilizando
los dedos de las manos. Se colocan las manos abiertas sobre la mesa.
198
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Se observa que, a la izquierda del dedo doblado, quedarán 2 dedos y, a su
derecha, 7 dedos.
El resultado: 3x9=27
3.2.) DE LA DIVISIÓN: Prerrequisitos básicos
Los prerrequisitos básicos para abordar el aprendizaje del algoritmo escrito
de la división son los siguientes:
Una correcta orientación espacial por las distintas direcciones/
orientaciones a tener en cuenta en la técnica usual de la caja. Implica,
simultáneamente, el manejo de las nociones derecha, izquierda,
arriba, abajo, delante, detrás.
Las confusiones en la orientación espacial pueden acarrear al alumno
graves problemas para la adquisición fluida/automatizada del
algoritmo.
Automatización/fluidez en los hechos numéricos básicos
(tablas) de la suma, resta y multiplicación.
Descomposición del dividendo en sus distintos órdenes de
unidades y transformación de las unidades de un orden
superior en otras de orden inferior.
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564= 5C+6D+4U
5C6D=56D
6D4U=64U
Expresar las divisiones en forma de multiplicación:
18 : 36 x 3 = 18
Expresar las multiplicaciones en forma de división:
6 x 3 = 1818 : 3 = 618 : 6 = 3
Resolver divisiones exactas de hasta 2 cifras valiéndose de los hechos
multiplicativos básicos (tablas)
24 : 6 = 4 y 4 x 6 = 24 72 : 6 = 12 y 12 x 6 = 72
Resolver situaciones de dividir con las siguientes desigualdades
de manera fluida a través de ejercicios de aproximaciones sucesivas:
13=4 x----- +---4x2=8<13
4x3=12 es el número menos y más próximo a 13
4x5=20>13
Resolución de la división por sumas o restas reiteradas
18:3=
3+3+3+3+3+3=
200
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1
3
2
6
3
9
1 8 – 3 = 15
1
4
5
6
12 15 18
15-3=12
veces
resultado
12-3= 9
2
9- 3 = 6
3
4
6-3 = 3
5
3-3 = 0
6 veces
Proceso para la enseñanza/aprendizaje de los algoritmos de la
división.
La secuencialización a seguir en la enseñanza/aprendizaje del algoritmo
debiera ser la siguiente:
1)Una cifra en el dividendo
Ejemplo 9:3=
Contextualizar en distintas situaciones problemáticas (partición,
cuotición o agrupamiento, situación inversa a la multiplicación...):
Repartir en partes iguales: 9 entre 3
¿Cuántas bolsas de 3 caramelos pueden formar con 9 caramelos? ¿Cuántas
veces el 3 está contenido en 9?
Tres caramelos cuestan 9 pesetas ¿Cuántas pesetas vale cada caramelo?
¿Qué número multiplicado por 3 da 9?
Contextualizar manipulativa/gráficamente las situaciones
problemáticas anteriores:
a)Repartir, mediante partición.
201
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

b) Grupos iguales de 3 contenidos en 9. Se puede realizar, por
clasificación, en subgrupos de 3 o por restas sucesivas del sustraendo 3.
Un grupo- más un grupo- más un grupo = 3 grupos
9-3 =6( primer grupo)
6-3=3 (segundo grupo)
3-3=0 (tercer grupo)
c)Como factor desconocido. Operación inversa a la multiplicación.
---x 3 = 9
d)Como algoritmo abreviado.
202
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2)Dos o más cifras en el dividendo y una cifra en el divisor.
Nos podemos encontrar con las situaciones siguientes:
1.Cociente exacto y sin y con restos parciales.
2.Con cero en el cociente.
3.Con la primera cifra del dividendo igual o menor que la cifra del
divisor.
Descomposición por el valor posicional del dividendo
Una estrategia eficaz de repartos nos lleva a la idea de dividir descomponiendo
en unidades el dividendo, es decir, mediante la propiedad distributiva.
Esta estrategia también se nos complica a medida que los números se hacen
mayores y aparecen cada vez más reajuste de unidades (como en el caso de
342:3): 5000:12, 400:12, ...
Esta misma forma de dividir, pero cambiando la estructura de la
representación, sería:
203
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Vamos a tratar los siguientes casos partiendo de la disposición
convencional de la caja. Fases:
Previo al algoritmo de lápiz y papel y dependiendo de la madurez
del alumno se puede iniciar manipulativamente (con monedas,
fichas, haces de palillos, bloques multibases, etc.) o bien
utilizando el simbolismo gráfico.
Una evolución de las formas de descomposición nos lleva a poner
los números codificados pero seguir haciendo restas sucesivas:
204
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Si suprimimos los ceros de las unidades exactas, y vamos utilizando las cifras
de una en una para dividir (CODIFICACIÓN):
Si además dejamos de hacer las restas, mediante cálculo mental,
llegamos a nuestro algoritmo académico o convencional de la división.
Si nos enfrentamos con divisiones con restos parciales, por ejemplo, 873
dividido entre 4, haríamos:
205
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Divisiones con ceros en el cociente, ejemplo: 436 : 4
Vamos a dividir ahora un número donde la primera cifra del dividendo es
menor que la cifra del divisor. Por ejemplo: 3 6 9 : 5
Otro modelo de algoritmo es el propuesto por Brouseau (1987), que es un
procedimiento intermedio entre los procedimientos informales y el algoritmo
convencional. Se trata de un recurso/procedimiento “transparente”. Este
procedimiento posibilita a los alumnos controlar lo que hacen cada paso.
Favorece también la estimación y el control posterior.
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Veamos otro ejemplo
89 : 9
Otro ejemplo:
Los egipcios tenían una curiosa manera de dividir, basándose en la manera
en que multiplicaban. Así para hacer 125 : 5, y uniendo las cantidades que
daban 125, conseguían averiguar la solución: 25 veces.
207
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Siguiendo en esta línea de convertir la división en una multiplicación existe
una versión moderna: EL ALGORITMO HOLÁNDES de la división.
Apliquemos la técnica a partir de la división: 342 : 3
Aplicaremos el método a otra división 6384 : 8
Veremos dos procesos
distintos, uno aplicado por una persona poca experta en el método y otro
aplicado por otra persona con más experiencia en el mismo.
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La enseñanza/aprendizaje de las competencias aritméticas
Persona poco experta
Persona experta
Al principio, los niños utilizan varias multiplicaciones para la búsqueda
del cociente. Más tarde, se les propone buscar el mayor número posible,
tratando de acortar la cuenta.
1)Dos o más cifras en el divisor.
El desarrollo de este algoritmo de la división debe basarse en la técnica del
cálculo aproximado y en la propiedad fundamental de la división exacta.
Los pasos a seguir para fundamentar la propiedad fundamental de la
división exacta deben ser los siguientes:
Multiplicar y dividir los dos términos de la división por el mismo
número, para deducir tanto de forma experimental e intuitiva como
numérica la propiedad fundamental: Si multiplicamos el dividendo y
el divisor por el mismo número el cociente no varía.
209
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Aplicación de la propiedad fundamental exacta al cálculo de los
cocientes de divisiones en los que el dividendo y divisor representan
decenas o centenas completas.
Dividimos por 10 el dividendo y el divisor:
60 : 20 =36 0 : 1 0 = 6
y
20:10=2
por lo tanto 6: 2=3
Dividimos por 100 el dividendo y el divisor:
800 : 200 = 4
800 : 100 = 8
y 200 : 100 = 2 por lo tanto 8: 2=4
Hallan el cociente de divisiones exactas, cuyos divisores tengan dos
cifras y los cocientes una, aplicando la propiedad fundamental de la
división exacta.
Ejemplo:
630 : 70 = ?70 x ? = 630
630 : 70 =¿ ¿
Dividiendo dividendo y divisor por 10
63:7= 9
Calcular el cociente de divisiones exactas y cuyos divisores tengan dos
cifras y los cocientes una, aplicando la propiedad fundamental de la
división exacta y el cálculo aproximado.
210
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La enseñanza/aprendizaje de las competencias aritméticas
Ejemplo: Dividir 304 entre 76 (división exacta)
Aproximar dividendo y divisor a la decena más próxima.
304 : 76 = ?
310 : 80 =
Se divide por 10 el dividendo y el divisor (aplicando la propiedad
fundamental)
31 : 8 = ¿
Se calcula el cociente con la ayuda de la multiplicación.
31 : 8 = ? 8 x ? = 31
8 x 4 aproximadamente = 31
Se multiplica el divisor (76) por el cociente obtenido (4), producto que
en este caso, al ser división exacta, es igual al dividendo
76 x 4 = 304
Ejemplo para una división entera: División 552:63
Se aproximan dividendo y divisor a la decena más próxima.
552 : 63 = --550 : 60 = --Se divide por 10 dividendo y el divisor de la división de número
aproximados (propiedad fundamental)
550 : 60 = ¿
211
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:10 : :10=
55 :
6=¿
Se calcula el cociente expresando la división en forma de multiplicación
y hallando el factor desconocido con ayuda de la tabla de multiplicación,
si es necesario.
55 : 6 = ?
6 x ? = 55
6 x 9 aproximadamente = 55
Se multiplica el divisor (63) por el cociente obtenido (9) y el producto
se resta del dividendo (552)
63 x 9 = 567
Como el producto (567) del cociente por el divisor es mayor que el
dividendo se busca el número inmediatamente inferior (8) como
cociente.
63 x 8 = 504
552 – 504 = 48
Para la generalización del algoritmo para divisiones cuyos divisores tienen 2
ó más cifras sean exactas o enteras, se pueden utilizar dos procedimientos
básicos (el algoritmo usual o de caja y el método de restas con múltiplos
del divisor)
Realicemos la división siguiente 35.734: 43=
212
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a) a)Procedimiento usual:
1º) Se descompone el dividendo en sus órdenes de unidades:
2º) Al no poder dividir 35 millares entre 43 cortamos tres cifras, es decir, 357
centena se dividen por 43. Aproximamos el dividendo (357) y el divisor (43)
a la decena más próxima. Asimismo, a las dos cantidades aproximadas (360
aproximada a 357 y 40 aproximada a 43) se le aplica la propiedad fundamental que consiste en dividir por 10 con lo que resulta la división:
36 : 4 = 9
Se multiplica el divisor (43) por el cociente parcial obtenido (9).
43 x 9 = 387
Como el producto (divisor por cociente parcial es mayor que el dividendo
parcial (357) elegimos para el cociente número inmediatamente inferior o
sea el 8.
43 x 8 = 344
Se compara con el dividendo 357 y como es inferior, se le resta
213
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Se transforman las 13 centenas en decenas 13 c x 10 = 130 d.
Las 130 decenas obtenidas se suman con las 3 decenas que
se bajan:
130 d + 3d = 133d
Ahora se dividen 133 decenas entre 43 y aplicamos:
La aproximación a las decenas más próximas:
133
a 130
y
4 a 40
Se aplica la propiedad fundamental:
130 : 40 = ?
13 : 4 = ?
Cociente parcial: 13 : 4 = 3
Divisor por cociente: 43 x 3 = 129
Comparación con el dividendo. 129<133 es válido el cociente
parcial (3).
En el supuesto que el divisor tenga tres cifras o más las aproximaciones de
cada uno de los dividendos parciales y del divisor se harán las centenas o
unidades de millar más próximas.
Finalmente, vamos a presentar el procedimiento por el método de restas
con múltiplos del divisor.
3 5. 7 8 4
: 43
214
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La enseñanza/aprendizaje de las competencias aritméticas
Se puede observar en los dos procedimientos analizados que hay un
paralelismo donde se aprecia de una manera racional los mecanismos de la
división tradicional, donde, en realidad, lo que se trata de hallar son los
mayores múltiplos del divisor que se pueden restar del dividendo, de tal
manera que realicen el menor número de restas.
Conclusiones metodológicas
las formas más primitivas de división favorecen la comprensión y
el dominio del proceso por parte de los alumnos/as.
es interesante que los alumnos/as practiquen estas formas de división,
que tienen mucho que ver con sus algoritmos personales o informales
y la cultura numérica y matemática que poseen en estas edades.
la evolución hacia nuestro algoritmo académico debe ser gradual
y controlando ellos/as el proceso: formas personales, números
completos, dejando restar...
enseñar directamente nuestro algoritmo académico de la división
plantea muchos problemas de comprensión.

Cálculo mental. Cálculo ponderado o reflexionado.la
estimación en el cálculo
Se habla de cálculo ponderado cada vez que el alumno no dispone de un
método estándar, de un algoritmo memorizado para efectuar su cálculo.
215
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José Luis Luceño Campos
Es muchas veces, en los casos de cálculo mental, donde es preciso hallar un
método original, personal, para elaborar el resultado.
El cálculo ponderado o pensado es flexible, personal y el resultado no
tiene por qué ser exacto pero, además, esto hace que la aplicación de cierto
algoritmo sea distinto según el alumno que lo aplique y también de la
situación en que se encuentre. Por ejemplo, para obtener el resultado de
8+7 (antes de haberlo memorizado), un alumno va a utilizar por 7+7+1, otro
8+8-1, y, un tercero por 8+2+5,... (no se considera aquí como un cálculo el
sobreconteo a partir de 8, es decir, 8------9, 10, 11 , 12, 13, 14, 15
+ (1)+(2)+(3)+(4)+(5)+(6)+(7)
El cálculo ponderado o pensado constituye también el caso en el que el
alumno, antes de cualquier aprendizaje de una técnica de adición o de
sustracción, tiene que calcular 23+38 ó 132-65 y se sirve, para ello, de su hoja
de papel para producir cálculos como:
O como:
0 cómo
Incluso como:
216
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La enseñanza/aprendizaje de las competencias aritméticas
Es importantísimo desarrollar en los alumnos, cuanto antes, desde
el comienzo de la enseñanza primaria, esta aptitud para utilizar sus
conocimientos (incluso aunque limitados) para saber desenvolverse en el
cálculo. El cálculo ponderado es hoy, en la época de las calculadoras, mucho
más útil y más formador que el cálculo automático (para el que existen
justamente las máquinas). El cálculo ponderado permite una visión crítica
sobre el cálculo automático ejecutado con lápiz y papel o por la máquina.
El cálculo ponderado es el cálculo inteligente. Es un tipo de cálculo que va a
facilitar la comprensión de los algoritmos estandarizados o convencionales.
Hay que precisar que no siempre el cálculo escrito es automático, ni todo
el cálculo mental es reflexionado, ni inteligente o pensado. Sin embargo,
cuando hablemos de cálculo ponderado nos referimos al reflexionado,
pensado o inteligente y cada vez que nos referimos al cálculo escrito, hacemos
referencia al automático que nos ofrecen los algoritmos convencionales de
cálculo. Aún, con el peligro de simplificar, vamos a proponer esta tabla
de Belmonte Gómez, J.M. (2003), en las diferencias entre los dos tipos de
cálculo:
La importancia de la enseñanza/aprendizaje del cálculo mental en la escuela
primaria viene sustentada por las siguientes hipótesis didácticas:
217
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1. El cálculo mental acrecienta y explícita las propiedades de las operaciones.
Como ejemplo:
5+3+4+7+6=
5 + 10 + 10 = 25
125 + 95 =
4 x 19 x 25 =
19 x 100 =1900
9+7=10+6 =16
(125 – 5 + 95 + 5) =12 0 + 1 0 0 = 2 2 0
Las propiedades, tanto de la suma como de la multiplicación, permanecen
en principio implícitas, y más tardes serán reconocidas y formulados.
2.El cálculo mental constituye una vía de acceso privilegiada para la
comprensión y construcción de los algoritmos convencionales.
Un alumno de 2º curso de primaria, previo al aprendizaje del
algoritmo de la suma, puede resolver 27+24 de diferentes modos,
por ejemplo:
20 + 7 + 20 + 4 =
27 + 20 + 4 =
40 + 11 = 51
47 + 4 = 51
Estas maneras de resolución, donde la reflexión sobre el significado de los
cálculos intermediarios es potenciado, propician la asimilación posterior de
los algoritmos convencionales (suma de dígitos, suma de decenas). A este
respecto es importante recoger lo que afirma el informe COCKCROFF(1982,
PAG.92): “Creemos que la decadencia del trabajo oral y mental en las
clases de matemáticas es consecuencia de la falta de reconocimiento de
la importancia que el cálculo mental tiene a esta asignatura. Incluso los
métodos del cálculo sobre papel utilizados tradicionalmente se basan en la
realización mental de determinadas operaciones”.
1. El cálculo mental propicia una mejor relación del alumno con las
matemáticas al impedir que la matemática se reduzca a un conjunto de
técnicas complejas que permanecen arbitrarias en tanto que no han podido
comprender sus condiciones de producción y uso.
2. El cálculo mental supervisa la fiabilidad del cálculo escrito ya que propicia
las situaciones de aproximación y estimación. Muchas veces los errores en los
218
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La enseñanza/aprendizaje de las competencias aritméticas
algoritmos convencionales o la utilización de las operaciones no adecuadas
pueden llevar a resultados disparatados que podrían ser controlados por
una aproximación o estimación adecuadas.
Los algoritmos que se desarrollan en la aritmética del cálculo mental
diferenciados según las distintas operaciones que resuelven son:
a)De sumas.
1. Redistribución basada en el 10: se trata de descomponer el sumando
menor para hacer que el sumando mayor sea 10 y luego sumar el resto
a ese diez: 8+6=8+2+4=10+4=14. El caso más sencillo se da en las sumas
de 9: 9+7=9+1+7-1=10+6=16.
2. Analogías: 2+4=6, 20+40=60, 200+400=600.
3. Separando las distintas unidades en cada sumando. Se utiliza en
sumas de dos dígitos. 34+65= (30+60)+(4+5)= 90+9= 99.
4. Descomponiendo uno solo de los sumandos:
6.213+3.275=(6.000+3.257)+213=9.275+213=9.000+(200+200)+ (70+10)+(5+3)
=9000+400+80+8=9488.
5. Recolocación. Se trata de recolocar mentalmente los números
agrupándolos según las familias de sumandos de la unidad seguida
de ceros.
48+88+52+12=100+100=200
6.Redondeo. Se busca el redondeo a ceros, al menos en uno de ellos.
a)Compensación 56+34=(56+4)=60+(34-4)=30=60+30=90
b)Conservación (Redondeo por arriba
367-288=(367+2+10) - (288+2+10)=379 - 300=79
b)De Restas.
1) Del sustraendo al minuendo. 365-75, de 75 a 100 van 25, de 100 a 365 van
265; 265+25=290
219
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2) Del minuendo al sustraendo. 365-75, de 365 a 300 van 65, de 300 a 100
van 200, de 100 a 75 van 25 y, por tanto, 65+200+25=290.
3) Descomponiendo ambos términos (Diferencias parciales)
773-520=(700-500)+(73-20)=200+53=253
4) Descomponiendo uno de ellos
773-520=(773-500)-20=273-20=253
c)De Multiplicaciones
1.Producto que se obtienen como un doble y una suma ó una resta:
6x2 que se puede realizar como 5x2+2
15x3=15x2+15
14x3=15x3-14
2.Producto que den la unidad seguida de ceros:
16x35=(2x8)x(5x7)=10x56=560
3. Partición
Cuando uno de los factores es 5, se utiliza 10/2
5x64=10/2x64=640/2=320
4. Distribución auditiva
4x35=4x(30+5)=120+20=140
5. Distribución sustractiva.
4 x 35 = 4 x (40 - 5) = 160 – 20 = 140
220
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6. Factorización
25 x 48 = 5 x 5 x 48 = 5 x 5 x 6 x 8 = 30 x 40 = 1200
7. Factorización doble y mitad.
50 x 24 = 100 (50 x 2) x 12 (24 : 2) = 100 x 12 = 1200
8.Factorización: partes alícuotas buscando la unidad seguida de cero.
25 x 48 = 4 x 25 x 48 / 4 = 100 x 12 = 1200
d) De cocientes.
1.Descomposición aditiva del dividendo
96 : 4 = 80 : 4 + 16 : 4 = 24
2.Supresión de los mismos ceros en el dividendo y en el divisor.
42000 : 7000 = 42 : 7 = 6
3.Separando las distintas unidades del dividendo
1248 : 4 = 1200 : 4 + 40 : 4 + 8 : 4 – 300 + 10 + 2 = 312
En la enseñanza/aprendizaje del cálculo mental hay que vincularlo al cálculo
automático mediante dos tipos de actividades:
Un trabajo de memorización de repertorios o hechos numéricos
básicos (tablas de sumar y multiplicar) y reglas (propiedades de las
operaciones), a medida que se han ido construyendo, y
Un trabajo colectivo, lento y detallado, de aprendizaje del
cálculo mental, que debe apoyarse en la comparación de diversos
procedimientos utilizados por distintos alumnos para tratar el mismo
problema.
L a estimación en el cálculo aritmético.
La estimación presenta a los alumnos otra dimensión de las matemáticas;
algunos términos como aproximadamente, casi, más cerca de, entre, un
221
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poco menos que,… ilustran la idea de que las matemáticas implican algo
más que exactitud. La estimación actúa haciendo que los alumnos adquieran
flexibilidad a la hora de trabajar con los números y una cierta razonabilidad
de un resultado.
Las destrezas y estructuras conceptuales de la estimación potencia la
capacidad que los niños tienen para enfrentarse a situaciones cuantitativas
de la vida cotidiana.
Desde las primeras experiencias que el niño tiene en matemáticas, la
estimación debe ser un elemento continúo en el estudio que hagan de
números, cálculos y mediciones. Es importante que los alumnos aprendan
diversas estrategias de estimación así como que desarrollen destrezas de
razonamiento, de valoración, y de toma de decisiones a la hora de usar una
estimación.
Los alumnos deben captar lo que significa un valor estimado o aproximado,
cuando conviene hacer una estimación y que aproximación debe tener un
valor estimado en una situación dada. Si se anima a los niños a realizar
estimaciones, llegarán a aceptar este campo como una parte legítima de
las matemáticas.
Los niños cuando llegan a la escuela ya realizan estimaciones. Saben que
tienen casi seis años, que son un poquito más bajos que su hermano o su
hermana, que con una caja de leche se llenas mas de tres vasos, ... Este
conocimiento experimental proporciona la base para seguir desarrollando
la estimación de cantidad.
La estimación en cálculo se puede resumir en las siguientes características:
Valora una cantidad o el resultado de una operación.
Se realiza por lo general de forma mental. Se apoya, pues, en el cálculo
mental/pensado
Se hace con rapidez y utilizando números lo más sencillos posibles.
El valor
no tiene que ser exacto pero sí adecuado para tomar
decisiones.
El valor asignado admite distintas aproximaciones, dependiendo de
quién y para qué realiza la valoración.
La aproximación es parte de la estimación, es la búsqueda de un dato
numérico suficientemente preciso para un determinado propósito. La
aproximación es una parte importante de la estimación pero no la agota.
La estimación, sin embargo, supone una utilización conveniente de las
técnicas de aproximación.
222
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La enseñanza/aprendizaje de las competencias aritméticas
La enseñanza de la estimación es útil ya que las personas que han adquirido
la habilidad de estimar las emplean, en situaciones de la vida diaria con más
frecuencia que las técnicas exactas como los algoritmos convencionales con
lápiz y papel e incluso con la calculadora. En Inglaterra, el informe Cockcroft
destaca este valor de complemento de la estimación: Tener el sentido
numérico que permite hacer estimaciones y aproximaciones aceptables.
Por ejemplo, comprender que el coste de 3 artículos a 95 pesetas cada uno
sería un poco menos de 300 pesetas, y que permita llevar a cabo cálculos
mentales sencillos. Usiskin (1986) afirma, que la obsesión por las respuestas
exacta fuerza a menudo cálculos innecesarios e impide a los alumnos
adquirir experiencias y confianza en juicios de estimación.
La estimación del resultado de los cálculos aritméticos es de utilidad en los
siguientes casos:
Cuando no es posible o resulta difícil conocer las cantidades implicadas
en una operación de manera exacta. Por ejemplo, si queremos elaborar
un presupuesto para un viaje.
Cuando un cálculo es difícil y sólo nos interesa un resultado aproximado.
Cuando pretendemos comprobar si una operación realizada de forma
exacta, con las técnicas convencionales, no tiene un gran error. Por
ejemplo, al revisar la cuenta de una compra.
Cuando se necesita expresar una información numérica de manera
más clara; por ejemplo el piso vale 360.000 euros, en lugar de 358.575
euros.
1.Estrategias de estimación en cálculo.
Las estrategias de cálculo mental, ya vistas, constituye la base de las
estrategias de estimación en cálculo.
Los procesos de estimación en cálculo consisten en modificar los datos de
una operación para hacerla más sencilla.
Siguiendo a Reys y otros (1982) distinguimos tres tipos de procesos en las
estrategias de estimación en cálculo:
Reformulación;
Traslación
Compensación.
Estas estrategias, se completan con las estrategias de cálculo mental o
pensado:
223
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a)Reformulación: se realiza una modificación de los datos para
que la realización de los cálculos resulte más sencilla y económica.
Se varían los datos pero no las operaciones u operaciones. Hay
dos tipos de reformulación:
Primeros dígitos.
Sustitución.
En la reformulación de los primeros dígitos las dos técnicas más utilizadas
de aproximación son: redondeo y truncamiento.
En el redondeo se atraviesan las siguientes fases:
1.Elección del tipo de redondeo de los datos que se van a utilizar, que va
a depender de la precisión/exactitud que exija el resultado y de la mayor
o menor rapidez con que se quiera resolver el cálculo. A mayor precisión,
menos cifras significativas en el redondeo y, a mayor rapidez, mayor
número de cifras significativas.
2.Realiza el redondeo procediendo así:
Si la primera cifra que se desecha es 0,1, 2, 3, ó 4, entonces, la última
cifra (y todas las demás) se mantienen igual que el número que
redondeamos. Ejemplo, redondeando a las decenas 1983 se obtiene
1980. Es el redondeo por defecto.
Si la primera cifra que se desecha es 5, 6, 7, 8 ó 9, entonces, la última
cifra que se mantiene aumenta en una unidad respecto al número que
redondeamos. Ejemplo: Si redondeamos el numero 1988 a las decenas
nos resulta 1988 en 1990. Es el llamado redondeo por exceso. Una vez
redondeado los datos y para operar con ellos podemos desechar los
ceros del redondeo o tenerlos en cuenta. Por ejemplo, al redondear a
las centenas 36.493, podemos operar con 36.500 o bien con 365.
3.Realizar la operación con los datos redondeados. Se pueden utilizar
algoritmos tradicionales o estrategias de cálculo mental/pensado o la
calculadora.
4.Valoración del resultado. Si el resultado no satisface el criterio de precisión/
exactitud exigido se puede utiliza un orden de redondeo más bajo. Por
ejemplo, de centenas a decenas.
La técnica del redondeo se puede utilizar en las cuatro operaciones
aritméticas básicas. No obstante, en la estimación de un producto o una
224
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La enseñanza/aprendizaje de las competencias aritméticas
división un aspecto importante es la elección del factor que resulte más
apropiado para redondear. Por ejemplo, en 998x754 es obvia la elección del
primer factor 1.000x754.
En la técnica de truncamiento que consiste en tomar sólo los dígitos de la
izquierda más significativos según las situaciones y reemplazar por ceros las
cifras suprimidas cuando son valores enteros). Por ejemplo, 6.473, se puede
truncar por 6000 ó 6400 ó 6470. Esta técnica es más práctica y sencilla que
el redondeo aunque de resultados menos precisos/exactos.
Esta técnica, al igual que el redondeo, puede utilizarse en las cuatro
operaciones aritméticas básicas. Sin embargo, en los productos hay que
utilizarla con cierta prudencia para evitar un error excesivo. Observando el
siguiente ejemplo se puede apreciar la magnitud del error: 478x398=190.244
400x300=120.000
En la reformulación por sustitución se opera, como indica su nombre,
sustituyendo un dato con un excesivo número de cifras significativas o
un dato incómodo para trabajar una operación determinada por un dato
próximo. Por ejemplo, la división 652:8, se sustituye por 648:8=80. La
operación, de esta manera, resulta más sencilla.
b) En los procesos de traslación se efectúa un cambio sobre las operaciones
que implica una modificación en la estructura del problema. Ejemplos de
este proceso:
Efectuando un cambio en el orden de las operaciones:
(982x39):8, se resuelve así:
39:8=40:8=5, 982=100, 5x1.000=5.000
Efectuando un cambio de una operación por otra equivalente. La
suma siguiente por el valor medio aproximado.
8.654 + 7.548 + 8.432 + 6.534 + 7.800
= valor medio aproximado por
5=7000x5=35000
b) En los procesos de compensación se neutralizará un error excesivo, debido
a una reformulación o traslación, produciendo un error/desviación en
225
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sentido contrario que sirva de contrapeso o rectificación. La compensación
de los datos se realiza durante el proceso de estimación mientras que la
compensación en el resultado se efectúa al finalizar el cálculo. Ejemplos de
compensación:
98 x 26 = 100 x 25 = 2500
737 : 158 = 750 : 150 = 5
226
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Capítulo IX
Los problemas aritméticos.Estrategias para su
resolución
El concepto del problema
En la literatura existen diversas acepciones del concepto problema,
atendiendo cada una a diferentes puntos de vista. Tiene, pues, connotaciones
diferentes de un individuo a otro y, por ello, es preciso caracterizar el
sentido que le demos.
El diccionario de la Real Academia Española define con un sentido amplio
que problema es una “proposición dirigida a averiguar el modo de obtener
el resultado cuando ciertos datos son conocidos”.
Según Mocees y otros (1990, pág. 82), la existencia de un problema exige
tres componentes básicos:
a)Una información (datos) que nos pueda ser conocida y accesible
b)Una información que desconocemos y que queremos encontrar y
c)Algunos factores que nos delimitan el campo en el que nos queremos
desenvolver.
Para Mayer (1983) un problema contiene los elementos siguientes:
1) Los datos: constituidos por determinada información que están
presente en el problema. Nosotros añadimos que esta información
puede ser explícita o implícita.
2) Los objetivos: constituyen el estado final o deseado del problema.
El pensamiento se encargará de transformar el problema desde el
estado inicial al estado final.
227
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3)Los obstáculos: son las dificultades propias de las diferentes
operaciones que deben realizarse para llegar a la respuesta correcta
o solución.
El NCTM (1.981) indica una serie de requisitos que definirían si una situación
es o no un verdadero problema. En él se establece:
El individuo tiene un propósito deseado y claramente definido que
conoce conscientemente.
El camino para llegar a esa meta está bloqueado, y los patrones fijos de
conducta del individuo, sus respuestas habituales, no son suficientes
para romper ese bloque.
Tiene que haber deliberación. El individuo tiene que tomar consciencia
del problema. Lo define, mas o menos claramente, identifica una o
varias hipótesis (soluciones) posibles, y comprueba su factibilidad.
Frente a las definiciones anteriores, más o menos farragosas, nosotros
vamos a asimilar el concepto problema a TODA SITUACIÓN EN LA QUE
HA Y A UN PLANTEAMIENTO INICIAL Y UNA EXIGENCIA QUE OBLIGA A
TRANSFORMARLO.
La vía para pasar de la situación o planteamiento inicial a la nueva situación
exigida, tiene que ser desconocida; cuando es conocida deja de ser un
problema.
Este concepto coincide con la idea que Kantowski (1977) traduce en la
afirmación siguiente: “Un individuo está ante un problema, cuando se
enfrenta con una cuestión a la que no puede dar respuesta o con una
situación que no sabe resolver, utilizando los conocimientos inmediatamente
disponibles”. Diremos, además, que un problema debe despertar la
curiosidad del individuo, provocando una cierta tensión durante la búsqueda
del plan de resolución y, finalmente, hacerle sentir la alegría inherente al
descubrimiento/hallazgo de la respuesta o solución.
228
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La enseñanza/aprendizaje de las competencias aritméticas
Esta concepción de los problemas es muy importante para la psicopedagogía,
pues en la selección de los problemas a proponer a un grupo de los alumnos
hay que tener en cuenta no solo la naturaleza de la tarea, sino también
los conocimientos que se requieren para su solución. Lo anteriormente
planteado significa que lo que es un problema para una persona no lo es
necesariamente para otra. Es evidente que la misma situación problemática
presentada a alumnos con niveles de conocimientos diferentes puede ser
un problema para unos y no serio para otros. Estos últimos pueden ser
conocedores del algoritmo o algoritmos que le dan de inmediato la solución
o haber resuelto anteriormente el mismo problema u otro parecido. Es, por
tanto, necesario el conocimiento del sujeto a quien se destina la cuestión
para tener la seguridad de que se trata, o no de un problema. En esta
línea parece moverse la diferencia que Kantowski (1981) establece entre
“problema y ejercicio”: un problema es “una situación que difiere de un
ejercicio en que el resolutor de problemas no tiene un proceso algorítmico
que le conducirá con certeza a la solución”. En este sentido muchos de los
pretendidos problemas que se proponen en la escuela son meros ejercicios o
al menos los son cuando ya se conocen suficientemente las vías de solución,
dependiendo, claro está, de la habilidad en matemáticas y lo familiarizado
que el alumno esté con la situación problemática en cuestión. Así, pues, lo
que para unos es un problema para otros es un ejercicio. Habrá, pues, que
tener esta circunstancia presente en el momento de programar diferentes
objetivos didácticos (hacer pensar, practicar o afianzar algoritmos, ensayar
métodos de resolución, etc.)
Algunos autores, independientemente de distinguir ejercicios de problemas,
diferencian dos tipos de ejercicios (Puig, 1994):
a) Por un lado, estaría la repetición de una técnica previamente
expuesta por el profesor (cuadernos de cálculo, cálculo mental,
recitación de las tablas, resolución de ecuaciones,..)
b) Por otro lado, tendríamos la repetición de los problemas que el
niño ya domina y que tiene la misión de afianzarlos. En este sentido
se puede diferenciar entre ejercicios y problemas en virtud del grado
de novedad que la actividad tenga para el resolutor.
Otro aspecto importante a tener en cuenta es que la persona desee
realmente realizar las transformaciones que le permitan resolver el
problema, lo que significa que si no está motivada, la situación planteada
deja de ser un problema para ésta al no sentir el deseo de resolverlo. A este
respecto es preciso matizar que cuando se habla de resolver un problema,
229
LibrosEnRed
José Luis Luceño Campos
esto consiste en la actividad de llegar al resultado, es decir, es la búsqueda
de las vías para provocar la transformación deseada y no sólo la solución
del problema en sí misma. Esa actividad de búsqueda es la que realmente
provoca y estimula el desarrollo de los alumnos.
En síntesis, en la solución de problemas hay al menos dos condiciones que
son necesarias:
LA VÍA TIENE QUE SER DESCONOCIDA
EL INDIVIDUO DESEA HACER LA TRANSFORMACIÓN, ES DECIR, QUIERE
RESOLVER EL PROBLEMA.
Los objetivos que se pretenden conseguir con la resolución de problemas
son los siguientes::
Identificar los elementos esenciales que componen el problema y
separar los datos de la pregunta.
Representar gráficamente los cálculos que deben hacer para resolver
el problema: esquemas sagitales, rectángulos, diagramas de árbol…
Inventar dentro de un contexto familiar, problemas variados cuya
resolución requiera plantear una o más operaciones aritméticas.
Aplicar estrategias generales de resolución (heurísticos) que
contribuyan a resolver con éxito situaciones planteadas: lectura
analítica, reformulación, separación de datos e incógnitas, elaboración
de esquemas, subproblemas, tanteo inteligente…
Dado el texto de un problema y varias operaciones o esquemas, elegir
la operación o el esquema que resuelve el problema.
Descubrir la falta de datos, su exceso o la falta de coherencia entre los
datos del enunciado y la pregunta.
Aplicar los pasos de la estrategia general que se debe seguir al intentar
resolver un problema.
Resolver problemas de distintas tipologías fundamentales en la etapa
de primaria (aritméticos, razonamiento lógico, recuento sistemático…)
Aprender a trabajar por parejas.
Relacionados con la comprensión lectora:
230
LibrosEnRed
La enseñanza/aprendizaje de las competencias aritméticas
Realizar giros lingüísticos asociados a situaciones problemáticas
(aditivo-sustractivas, multiplicativas…).
Formular preguntas que se puedan contestar a partir de los datos
proporcionados en el enunciado.
Escribir datos necesarios para poder contestar a la pregunta formulada
en el texto del problema.
Reconocer la falta de algún dato complementario para poder contestar
a la pregunta.

Los rasgos que caracterizan a los buenos problemas(Grupo Cero, 1984) son
los siguientes:
No son cuestiones con trampas ni acertijos. Es importante hacer esta
distinción en la enseñanza porque los alumnos, cuando se les plantean
problemas, tienden a pensar que si no hay (o al menos ellos no lo recuerdan
directamente) un algoritmo para abordarlos ni se les ocurre ningún
procedimiento, seguro que lo que sucede es que tiene que haber algún
tipo de truco o de “magia”. La práctica sistemática resolviendo problemas
hace que esa percepción habitual vaya cambiando.
Pueden o no tener aplicaciones, pero el interés es por ellos mismos. Así
como hay otras cuestiones cuya importancia proviene de que tienen un
campo de aplicaciones (y sin descartar que los problemas las tengan), el
interés de los problemas es por el propio proceso. Pero a pesar de ello, los
buenos problemas suelen llevar a desarrollar procesos que, más tarde, se
pueden aplicar a muchos otros campos.
Una vez resueltos apetece proponerlos a otras personas para que a su vez
intenten resolverlos. Pasa como con los chistes que nos gustan, que los
contamos enseguida a otros, y así se van formando cadenas que explican su
rápida difusión. Lo mismo sucede con los buenos problemas.
Parecen a primera vista algo abordable, no dejan bloqueado, sin capacidad
de reacción. Y puede pasar que alguna solución parcial sea sencilla o incluso
inmediata. Desde un punto de vista psicológico, sólo nos planteamos
aquello que somos capaces (o al menos eso creemos) de resolver. Por eso, si
un problema sólo lo es para nosotros cuando lo aceptamos como tal, difícil
es que nos “embarquemos” en una aventura que nos parezca superior a
nuestras fuerzas.
Proporcionan al resolverlos un tipo de placer difícil de explicar pero agradable
de experimentar. La componente de placer es fundamental en todo desafío
231
LibrosEnRed
José Luis Luceño Campos
intelectual, si se quiere que sea asumido con gusto y de manera duradera.
Incluso, en la enseñanza, la incorporación de esos factores a la práctica
diaria puede prefigurar la inclinación de los estudios futuros. Y no hay que
olvidar que las matemáticas son de las materias que no dejan indiferente,
se las quiere o se las odia (como aparece en múltiples estudios). Por ello más
vale que introduzcamos refuerzos positivos para hacer que aumenten los
que las aprecian.
L a resolución de problemas
Analizando en el punto anterior el concepto de problema en general
conviene precisar qué entendemos por problema matemático y, más
específicamente aún, en qué consiste o por qué se caracteriza un problema
aritmético.
Un problema es aritmético cuando implica el conocimiento de conceptos,
técnicas y algoritmos matemáticos para su resolución. Las características
que vienen a definir un problema aritmético hacen referencia al enunciado
y a la resolución del problema:
Características Enunciado
Información de carácter cuantitativo
(los datos son cantidades)
Expresa
relaciones
cuantitativo.
Resolución
de
Las preguntas se refieren
determinación de una o
cantidades, o relaciones
cantidades
Realización de una o
operaciones aritméticas.
tipo
a la
varias
entre
varias
En cuanto a la repercusión que la resolución de problemas aritméticos puede
tener en la enseñanza/aprendizaje de la aritmética podemos encontrar tres
232
LibrosEnRed
La enseñanza/aprendizaje de las competencias aritméticas
enfoques diferentes sobre la resolución de problemas:
a) Como ejercicio y práctica o aplicación de conocimientos adquiridos
previamente: desde esta opción cobra pleno sentido la colocación de
los problemas al final de los capítulos o después de la introducción
de algún algoritmo aritmético. Es la enseñanza para la resolución de
problemas (Teaching for problem solving).
b) Como enseñanza/aprendizaje de estrategias para la resolución
de problemas. La atención, en este caso, se centra en el proceso
favoreciendo la reflexión y discusión sobre el mismo. Constituye la
enseñanza sobre la resolución de problemas (Teaching about problem
solving); y
c) Como recurso para la enseñanza/aprendizaje de un contenido
aritmético. En este caso, la resolución de problemas se constituye en
el lugar de la producción de conocimientos aritméticos. Se comienza,
pues, por la resolución de problemas profundizando en los conceptos
aritméticos implícitos en los mismos. Es la enseñanza vía resolución de
problemas (Teaching for problem solving).
El cuadro de la página siguiente (adaptación de Blanco Nieto, 1993)
sintetiza las distintas perspectivas de la resolución de problemas en la
enseñanza de la aritmética.
La primera perspectiva es, en general, la más utilizada. Supone partir
de un supuesto: resulta más difícil resolver problemas sin un desarrollo
conceptual previo. Sin embargo, los estudios sobre estrategias informales
utilizadas por los niños antes del período escolar o por adultos no
escolarizados descartan radicalmente este supuesto previo.
La enseñanza de la aritmética debiera vertebrarse a través de la resolución
“ de problemas desde enfoques diversos y con objetivos diferentes. No se
debe limitar sólo la resolución de problemas a trasladar los conocimientos
aritméticos a situaciones de la “vida real” o menos real, convirtiendo los
problemas en prácticas de algoritmos formales aprendidos previamente.
El aprendizaje de heurísticas especiales (estrategias y técnicas específicas)
y la resolución de problemas como recurso básico para la enseñanza/
aprendizaje de los conocimientos aritméticos debe ir ocupando un lugar
preponderante en la enseñanza/aprendizaje de la Aritmética”.
233
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José Luis Luceño Campos
ENSEÑANZA PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS.

El principal objetivo de la enseñanza de la aritmética es conocer
su utilidad. Los alumnos ejercitarán, practicarán y aplicarán sus
conocimientos aritméticos (numeración, conteo, operaciones,..)
en problemas tomados de la realidad o de las restantes áreas del
curriculum.
ENSEÑANZA VÍA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

La situación problemática (problema a resolver) está al principio,
incorporando aspectos/conceptos aritméticos claves provocando
el desarrollo/aprendizaje de los mismos:
a) Los conceptos y habilidades son aprendidos en un contexto
problemático
b) El desarrollo de procesos de pensamiento será promovido a
través de la resolución de problemas.
c) La enseñanza/aprendizaje de la aritmética se produce en un
clima de investigación y cooperación (operar juntos)
ENSEÑANZA SOBRE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Los alumnos adquirirán estrategias específicas para resolver
problemas, ciertas técnicas para ser buenos resolutores,
favoreciendo la reflexión y discusión sobre el propio proceso
fases de resolución del problema.
Concluimos este apartado haciendo referencia a la afirmación de Orton
(1988) bastante clarificadora a este respecto: “La resolución de problemas
se concibe ahora normalmente como generadora de un proceso a través del
cual quien aprende combina elementos del conocimiento, reglas, técnicas,
destrezas y conceptos previamente adquiridos para dar una solución a
una situación nueva. Se admite ahora, por lo general, que las matemáticas
son tanto un producto como un proceso; tanto un cuerpo organizado
de conocimientos como una actividad creativa en la que participa el que
aprende. En realidad, puede afirmarse que el prototipo auténtico del
234
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La enseñanza/aprendizaje de las competencias aritméticas
aprendizaje de reglas, técnicas y contenidos es generalmente permitir al
que aprende operar en matemáticas y, desde luego, resolver problemas.
Así, la solución de problemas puede considerarse como la verdadera esencia
de las matemáticas”.
Procesos generales para la resolución de problemas.
La preocupación de establecer ciertas técnicas y principios que posibilitan
la formación de buenos resolutores de problemas llevó a Polya (1949) a
establecer las cuatro etapas siguientes que han servido de referentes a
sucesivos planteamientos/ propuestas en este ámbito. Estas cuatro etapas o
fases son las siguientes:
1.Comprender el problema. Parece, a veces, innecesaria , sobre todo en
contextos escolares; pero es de una importancia capital, sobre todo cuando
los problemas a resolver no son de formulación estrictamente matemática.
Es la tarea más difícil.
-Se debe leer el enunciado despacio.
-¿Cuáles son los datos?.
-¿Cuál es la incógnita o incógnitas?(lo que buscamos).
-Hay que tratar de encontrar las relaciones entre los datos y las
incógnitas.
-Si se puede, se debe hacer un esquema o dibujo de la situación.
2. Trazar un plan para resolverlo. Hay que plantearla de una manera flexible
y recursiva, alejada del mecanicismo.
-¿Este problema es parecido a otros que ya hemos resuelto o
conocemos?.
-¿Se puede plantear el problema de otra forma?.
-Imaginémonos un problema parecido pero más sencillo.
-Supongamos que el problema está resuelto, ¿Cómo se relaciona la
situación de llegada con la de partida?. -¿Se utilizan todos los datos
cuando se hace el plan?¿Hacen falta más datos?¿Sobran datos?.
3. Poner en práctica el plan. También hay que plantearla de una manera
flexible y recursiva, alejada del mecanicismo. Y tener en cuenta que el
235
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pensamiento no es lineal, que hay saltos continuos entre el diseño del plan
y su puesta en práctica.
-Al ejecutar el plan , ¿se han comprobado cada uno de los pasos?.
-Se puede comprobar que cada paso es correcto.
-Antes de hacer algo se debe pensar. ¿Qué consigo con esto?
-Se debe acompañar cada operación aritmética de una explicación
contando lo que se hace y para qué se hace.
-Cuando se tropieza con alguna dificultad que nos deja bloqueados,
se debe volver al principio, reordenar las ideas y probar de nuevo.
4.Comprobar los resultados. Es la más importante en la vida diaria , porque
supone la confrontación contextual del resultado obtenido por el modelo
del problema que hemos realizado y su contrate con la realidad que
queríamos resolver. Las acciones a realizar serían:
-Leer de nuevo el enunciado y comprobar que lo que se pedía es lo
que se ha averiguado.
-Fijarse en la solución, ¿Parece lógicamente posible?.
-¿Se puede comprobar la solución?.
-¿Hay algún otro modo de resolver el problema?.
-¿Se puede hallar alguna otra solución?.
-¿Se puede acompañar la solución de una explicación que indique
claramente lo que se ha hallado?.
-¿Se debe utilizar el resultado obtenido y el proceso seguido para
formular y plantear nuevos problemas?.
El siguiente gráfico resume las fases de resolución de problemas según el
modelo descrito de Polya.
236
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La enseñanza/aprendizaje de las competencias aritméticas
Otros autores (Andre, 1986; Hayes, 1981) señalan que las etapas en la
resolución de problemas sirven para enfatizar el pensamiento consciente
y para aproximarse analíticamente a la solución, así como también para
ofrecer una descripción de las actividades mentales de la persona que
resuelve el problema. En tal sentido, Andre (1986) propone que las etapas
en la resolución de problemas son las especificadas en el cuadro siguiente:
Etapas en la resolución de problemas
1. Darse cuenta del problema, de que existe una discrepancia entre lo que
se desea y lo que se tiene.
2. Especificación del problema, se trabaja una descripción más precisa del
problema.
3. Análisis del problema, se analizan las partes del problema y se aísla la
información relevante.
4. Generación de la solución, se consideran varias alternativas posibles.
5. Revisión de la solución, se evalúan las posibles soluciones.
6. Selección de la solución, se escoge aquélla que tenga mayor probabilidad
de éxito.
237
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7. Instrumentación de la solución, se implementa la solución.
8. Nueva revisión de la solución, de ser necesario.
Otros autores (Andre, 1986; Hayes, 1981) señalan que las etapas en la
resolución de problemas sirven para enfatizar el pensamiento consciente
y para aproximarse analíticamente a la solución, así como también para
ofrecer una descripción de las actividades mentales de la persona que
resuelve el problema. En tal sentido, Andre (1986) propone que las etapas
en la resolución de problemas son las especificadas en el cuadro siguiente:
Etapas en la resolución de problemas
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La enseñanza/aprendizaje de las competencias aritméticas
Werner, Junck (1982), considera, así mismo, cuatro etapas:
Orientación hacia el problema.
Trabajo con el problema.
Solución del problema.
Consideraciones retrospectivas y perspectivas.
Para Mayer (1986a, 1986b, 1986c) los procesos a seguir en la resolución de
problemas son los siguientes:
Representación del problema: supone la conversión de un problema
verbal en una representación mental interna. Comprende estos dos
pasos:
1. Traducción: implica la capacidad de traducir cada proposición del problema
a una representación mental, expresada en una fórmula matemática.
2. Integración de los datos: supone un conocimiento específico de los
diversos tipos de problemas, a partir de un esquema adecuado a dicho
“ problema. Ej.: problemas aditivos de cambio (aumento o disminución):
“Luis tiene 5 lápices. María le da 3 más. ¿Cuántos lápices tiene Luis?”; de
combinación: “Luis tiene 5 lápices y María tiene 3 lápices. ¿Cuántos lápices
tienen entre los dos?”; de comparación: “Luis tiene 5 lápices y María tiene
3 lápices. ¿Cuántos lápices tiene Luis más que María?”; de igualación: “Luis
tiene 5 lápices y María tiene 3 lápices. ¿Cuántos lápices le faltan a María
para tener los mismos que Luis?”..
Solución del problema: se trata de diseñar un plan de solución. Implica
los dos pasos siguientes:
Planificación: búsqueda de estrategias para la resolución del problema.
Ejecución: supone realizar las operaciones/acciones diseñadas.
Se trata, de ordinario, de las operaciones de cálculo.
Labarrere Sarduy (1987), por su parte, siguiendo estrechamente las fases
establecidas en su momento por Polya añade en la última fase, no solo el
control del resultado, sino de todo el proceso de solución y lo esquematiza
como se muestra a continuación:
239
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José Luis Luceño Campos
Maza (1991) reformula el modelo de Polya, diferenciando dos procesos en
la fase de Comprensión (análisis y representación) y extendiendo el alcance
de la fase de Revisión/Comprobación (generalización):
1.Análisis del problema. Implica analizar/descomponer la información que
contiene el enunciado:
¿Cuáles son los datos?
¿Qué desea encontrar?
¿Qué condiciones cumplen los datos?
240
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La enseñanza/aprendizaje de las competencias aritméticas
2.Representación del problema. Supone relacionar los elementos del
problema, para lo cual podemos ayudamos de la manipulación de objetos
“ reales, dibujos, etc. que ilustren las acciones implicadas. Implica, pues,
preguntarse:
¿Qué relaciones existen entre los elementos del problema?
¿Cuál es la mejor representación del mismo?
¿Disponemos de suficientes datos?
3.Planificación. Implica elegir la estrategia más adecuada para llegar a la
solución, relacionar el problema con otros conocidos, identificar submetas,
etc.
4.Ejecución. Consiste en aplicar la estrategia planificada. Conviene incluir
una revisión constante de esta aplicación, detectar errores, valorar si cada
paso es correcto y permite aproximarse a la solución, etc.
5.Generalización. Además de revisar lo acertado de la solución y de las
estrategias empleadas, conviene generalizar el problema, conectándolo
con algún principio general que permita abordar problemas semejantes en
un futuro.
De este modo la cuestión se reduce a buscar estrategias didácticas para
que el alumno interiorice el procedimiento y no a dar simplemente
indicaciones/orientaciones al maestro de como dirigir la resolución de
problemas.
El procedimiento en cuestión comprende las fases siguientes que responden
a preguntas establecidas y sistematiza las técnicas, que más adelante se
desarrollarán, a emplear en cada caso:
241
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PROCEDIMIENTO GENERALIZADO PARA LA RESOLUCIÓN DE
PROBLEMAS
FASES
ACCIONES
TÉCNICAS
1º ¿Qué dice el problema?
¿Lo he comprendido?
¿Entiendo el significado de las
palabras de este problema?
¿Cuál es la pregunta?
2º ¿Puedo decirlo de otra forma?
Leo y releo
detenidamente
el enunciado del
problema
Reformulo
3º ¿Cómo lo puedo resolver?
Busco la vía de solución
¿Tengo todos los datos
(trazo un plan)
necesarios para resolver este
problema?
¿Qué información necesito?
¿Qué pasos/acciones debo
realizar?
¿Qué hago primero?
¿Cómo debo calcular la solución?
¿Con qué operación?
¿Con qué operaciones tengo
dificultades?
Resuelvo (Ejecuto el
plan)
4º ¿Es correcto lo que hice?
Hago consideraciones
¿Para qué otra cosa me sirve?
(Compruebo, analizo
¿Se puede resolver de otra
la solución y el
manera?
procedimiento)
¿Puedo comprobar si es correcto Repasa cada uno de
el resultado?
los pasos y comprobar
que no se ha fallado
en ninguna de las
operaciones
5º ¿Puedo explicar lo que he Explico con mis palabras
hecho, como y por qué?
lo que he hecho y anoto
otras formas o vías de
solución aportadas por
los demás
Lectura global
Lectura analítica
Modelación
(esquemas
gráficos)
Lectura analítica
y reformulación
(profunda o
superficial)
Lectura analítica y
reformulación
Modelación
Determinación
de problemas
auxiliares
(Subproblemas)
Tanteo inteligente
(ensayo y error)
Analogía con
problemas ya
resueltos
Empiezo desde
atrás
Resuelvo el
problema con
datos más sencillos
Estimación
DIFICULTADES
En la 1° y 2° fase. El enunciado es confuso. Falta de comprensión lectora en
general. Términos desconocidos en el enunciado. El contexto del problema
no es familiar. No detecta datos ofrecidos de forma indirecta, que se
deducen del enunciado. No distingue bien la pregunta o preguntas del
problema. No distingue los datos conocidos.
En la 3° fase. Carencia de estrategias heurísticas. Falta de conocimientos
matemáticos exigidos por el problema. Falta de interés. Carencia de dominio
en el cálculo. Falta de perseverancia.
En la 4° fase. Aplica irreflexivamente los algoritmos. No analiza el resultado.
Apatía frente al resultado obtenido. Carencia de espíritu crítico. No anticipa
de forma estimada los resultados.
En la 5° fase. Dificultades en la verbalización de los procesos seguidos.
Carencia de lenguaje matemático apropiado. No tiene interés por conocer
otras estrategias, resultados, .. Falta de orden y claridad en las anotacionesy cálculos realizados.
Este procedimiento está íntimamente relacionado con los tres momentos
fundamentales de la actividad que recogíamos anteriormente como se
ilustra a continuación:
José Luis Luceño Campos
Estrategias en la resolución de problemas.
Las estrategias son métodos generales de resolución de problemas (Luceño,
1999), constituyendo ayudas para la comprensión del problema y sugieren
vías para alcanzar la solución del mismo. Por tanto, permiten llegar a la
solución partiendo desde el enunciado.
La eficacia de las técnicas ha verificado que su uso está directamente
relacionado con el éxito en la resolución de problemas. Reys (1987) citado
por Luceño (1999) afirma que las estrategias pueden enseñarse, que éstas
son útiles y que enseñando estrategias se enseña a resolver problemas.
L a modelación: tipos
Modelar es reproducir las relaciones que se dan en el enunciado del
problema al eliminar los elementos innecesarios y no matemáticos (Luceño,
1999). Una de las formas habituales de modelación es la representación
gráfica, en la que mediante esquemas, el alumno es capaz de visualizar los
elementos del enunciado y sus relaciones, facilitando el descubrimiento de
la vía de solución.
Los tipos de modelación más utilizados son:
I.Los modelos lineales, utilizados habitualmente cuando en el enunciado
del problema aparece una sola magnitud o información que se haya de
manejar, especialmente en los problemas de relación parte-todo. Se utilizan
diferentes formas: pictográficas (representaciones más o menos figurativas
de los elementos intervinientes), de segmentos, de rectángulos, etc..
244
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La enseñanza/aprendizaje de las competencias aritméticas
II.Los modelos tabulares.- Utilizados cuando en el enunciado “ aparecen
varias magnitudes o informaciones. Normalmente se utiliza una tabla de
doble entrada en la que se coloca la información.
Si 5 albañiles construyen 35 metros de valla en una semana. ¿ Cuántos
albañiles se necesitan para vallar en el mismo tiempo un campo con un de
perímetro 63 metros?
III Los modelos ramificados. Utilizados en aquellos problemas de
combinaciones y en los multiplicativos donde se conoce la cantidad de
partes y el contenido por parte, para hallar el todo.
Juan tiene 3 jaulas y cada una de ellas hay 4 pájaros. ¿Cuántos
pájaros tiene en total?
3 veces 4=12
4x3=12 pájaros
IIV.Los modelos conjuntistas. Cuando la información que se proporciona
se refiere a características que cumplen los elementos de un conjunto,
generando la formación de nuevos conjuntos.
245
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José Luis Luceño Campos
En una clase de 30 alumnos, 24 utilizan bolígrafos de color azul y 18
alumnos utilizan bolígrafos de color negro. ¿Cuántos utilizan ambos tipos
de bolígrafos?
L as estrategias de la lectura analítica y la reformulación.
La lectura analítica consiste en una lectura del texto profunda de manera
que se diferencien sus partes y se distingan las relaciones en él, con la
misión de ayudar a comprender el problema. Tras la lectura analítica se
sucede un nuevo proceso de síntesis, o sea, de integración de las partes
que anteriormente hemos diferenciado, con el objetivo de que el nuevo
texto se transforme en un lenguaje más familiar al alumno, reformulando
el enunciado como una nueva situación aparente, pero que en el fondo
sólo ha cambiado de aspecto.
El análisis del texto tiene como finalidad básicamente que el alumno pueda
elaborar una representación de todo el sistema de relaciones específicas,
que se consigue a partir del proceso de reformulación, proceso durante el
cual los elementos adquieren nuevas significaciones.
L as estrategias de la determinación de problemas auxiliares.
Consiste en detectar subproblemas dentro del problema. En aquellos
problemas de más de una fase la respuesta pasa por encontrar problemas
auxiliares.
246
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La enseñanza/aprendizaje de las competencias aritméticas
En la práctica, la determinación de subproblemas se hace de forma
natural, ya que el alumno realiza una serie de inferencias en el proceso de
razonamiento.
L as estrategias del tanteo o ensayo y error.
Consiste en buscar las soluciones mediante pruebas sucesivas. Al ponerse
en funcionamiento, el alumno elige un posible proceso resolutorio,
aplicándolo. Si no correcto, se prueba con otro.
Para Luceño (1999) “esta técnica se utiliza generalmente en una situación
difícil de búsqueda de la solución y las condiciones del problema plantean
relaciones claras que faciliten la prueba sistemática y garantizan la posibilidad
de encontrar todas las soluciones”. Además en la prueba sistemática se
debe analizar cada vez la solución para compararla con las anteriores y ver
si existe algún tipo de regularidad que disminuya el número de cálculos
a realizar o que permita acabar concluyendo con la certeza de no haber
dejado soluciones sin considerar o sin comprobar.
Para acabar dominando esta técnica los alumnos pueden ejercitarse en
situaciones de estos tipos:
a) Ejercicios donde el alumno haya de buscar diferentes posibilidades
a la hora de resolver una situación (p.e. “indicar diferentes formas de
pagar con monedas algo que nos ha costado 8, 28 €).
b)Situaciones donde se hayan de calcular distintas combinaciones (p.e”
Escribe diez números de cuatro cifras con las cifras 3, 5, 7 y 9”)
c)Ejercicios en los que el alumno ha de buscar cantidades con ciertas
condiciones (p.e. “Busca los divisores de 128 mayores de 10 que no
acaben en 2”)
L a estrategia de la comprobación.
Esta técnica tiene la función de garantizar que el procedimiento que se ha
empleado y los cálculos que hemos realizado, así como los resultados que
hemos obtenido sean correctos, o al menos entren dentro de lo posible.
247
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José Luis Luceño Campos
La comprobación se puede utilizar abundantemente cuando se dan
relaciones parte-todo en un problema. Así, el todo ha de ser mayor que las
partes y si se ha de hablar de una parte, ésta ha de ser menor que el todo.
Según Luceño (1999), se pueden controlar hasta cuatro formas de hacer el
control:
a) Realizar una estimación previa y compararla con el resultado.
b) Utilizar como dato el resultado obtenido, conduciendo esto a un
nuevo problema cuya solución permite verificar si se obtienen algunas
condiciones dadas en origen en el problema.
c)Realizar la operación inversa a la realizada en el problema original y
ver si se obtiene el dato.
d)Realizar el problema por otra vía diferente y comparar los resultados.
Orientaciones didácticas para la enseñanza/aprendizaje de los
problemas aritméticos.
Los principios unánimemente aceptados para potenciar un aprendizaje
significativo de las matemáticas son los que siguen.
l.-Centrar el aprendizaje de las matemáticas en un eje globalizador y
estructurador: la resolución de problemas. Los problemas propiciarán,
crearán las situaciones idóneas para conexionar y fusionar lo que son los
procedimientos operatorios matemáticos en el desarrollo lógico-conceptual
del pensamiento aritmético; por tanto, los aprendizajes en operaciones
básicas, cálculo mental y numeración estarán dependientes del campo de
la resolución de problemas.
2.-Los problemas que sean objeto de estudio y que van a construir el centro
de interés de trabajo deben ser problemas significativos, funcionales y
contextualizados a la realidad de los alumnos.
No valen problemas artificiales que pueden ser de difícil resolución o
que indiquen “a priori” mecanismos de cognitivos de interés pero que no
reflejen la realidad en la que viven los alumnos.
3.-Los problemas propuestos aunque están referidos a una misma estructura
matemática o requieran para su resolución una determinada estrategia u
operación, deben tener una presentación diversa, amplia y variada. Hay
248
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La enseñanza/aprendizaje de las competencias aritméticas
que evitar por parte de los niños resoluciones mecánicas pues el redactado
de los problemas es siempre el mismo.
Ejemplo: para trabajar la estructura de la resta se pueden presentar diversos
problemas-tipos:
“Tengo 8 caramelos y me como 3. ¿Cuántos me quedan?.”
“Me faltan 3 caramelos para tener 8.¿Cuántos tengo?.”
“Jorge tiene 3 caramelos menos que yo. Yo tengo 8. ¿Cuántos caramelos
tiene Jorge?”.
4.,-Los problemas deben estar muy bien secuenciados , tanto en complejidad
creciente como en el tipo de redactado pues el tipo de estructura sintáctica
que se utilice puede por sí misma crear más dificultades que las inherentes
al propio problema. Asimismo, habrá que tener en cuenta la edad y el curso
para los que estén diseñados. En general, las variables a tener en cuenta a
la hora de confeccionar problemas pueden ser las siguientes:
Tipo de vocabulario básico a utilizar. Debe se usual y contextualizado.
Magnitud de los números y cifras a emplear.
Conceptos básicos a utilizar.
Tipos de frases y complejidad sintáctica del enunciado.
Experiencias socio-ambientales de los alumnos(Situaciones-tipos en
las que se suelen ver inmersos).
Los problemas aritméticos a que nos vamos a ceñir, son los que pueden
resolverse con las cuatro operaciones básicas y sus distintas combinaciones.
Su objetivo es resolver situaciones concretas por medio del razonamiento y
del cálculo.
Las orientaciones para la enseñanza-aprendizaje de la resolución de
problemas serían:
a) Partir de los intereses reales de los alumnos en la resolución de
problemas:
En la didáctica tradicional se cultivaban una serie problemas tipo que servían,
a «manera de archivo», para resolver «situaciones problemáticas tipo», que
casi nunca se acercaban a situaciones reales y significativas y que, a parte de
carecer de motivación intrínseca, mantenían una separación tajante con el
mundo extraescolar del niño, no produciéndose una auténtica transferencia
del aprendizaje al mundo espontáneo de éste.
249
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José Luis Luceño Campos
La experiencia que el alumno trae a la escuela hay que aprovecharla en la
formulación y resolución de problemas por los que pueda sentir interés. Debe
ser el punto de partida del proceso psicodidáctico. Los primeros problemas
serán aquellos con los que el alumno se encuentra, o pueda encontrarse,
en su familia, en la escuela, en relación con sus compañeros, en sus juegos,
en sus diversiones y costumbres, etc. Asimismo, y en razón al globalismo
que posee el muchacho en los primeros niveles, la psicodidáctica del cálculo
debe trabajarse en relación con las restantes materias del curriculum.
b) No realizar ninguna operación desgajada del problema que tiene que
resolver
Asimismo, existía una separación entre el estudio de las distintas
operaciones aritméticas, que se realizaban de manera mecánica y sin
conocer su significación real, y, más tarde, dominado su mecanismo, se
aplicaban a la resolución de problemas. La todavía frecuente pregunta del
alumno al profesor “X”, - cuenta tengo que poner en este problema?-, es
reveladora de este tipo de didáctica. Para los alumnos en los que la didáctica
de las operaciones ha estado separada de la resolución de situaciones
problemáticas, la resolución de problemas se transforman en «auténticos
jeroglíficos» donde, mediante la técnica de ensayo, se llega, casualmente,
a la resolución de los mismos. Las sesiones de matemáticas, más que
actividades para razonar, son actividades desagradables de «acertar o no
acertar».
En relación con lo anterior, nos dice MIALARET “que la resolución de un
problema no debe revestir un aspecto misterioso, mágico; debe inscribirse
en una toma de conciencia progresiva a las acciones ejecutadas y en un
esfuerzo continuo de expresiones que debe realizar el acuerdo entre el
pensamiento y la acción”.
c) Respetar las fases manipulativas, gráficas y simbólicas.
La resolución de un problema debe ajustarse a un procedimiento didáctico
claro, riguroso y adoptado al tipo de problema propuesto, a la edad de
los niños, al curso que están y a los conocimientos previos y capacidades
operatorias de la clase. En principio un esquema a seguir podría ser el
siguiente:
a.- Convertir los enunciados en acciones.
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Debe permitirse que los niños vivencien el problema,
simular un pequeño mercado donde se hagan las compras
y ventas, etc.
b.- Descripción verbal de las acciones.
A la vez que vivencian y representan el problema, en
forma de dibujos o esquemas gráficos o con los propios
objetos, conviene que vaya verbalizando y describiendo
cada una de las acciones.
c.-Descripción verbal del problema.
Los niños deben verbalizar en lenguaje y estilo propio el
problema, tanto los enunciados como la cuestión a resolver;
no se trata que memoricen y reciten el enunciado sino
que lo comprendan y lo expresen con su lenguaje propio.
Será una forma en que los niños interioricen el mensaje
del problema y de que vayan adquiriendo la habilidad de
releer con detenimiento lo que dice y pide el problema
, de que reflexionen sobre los enunciados. Un problema
generalizado es que los niños no están acostumbrados
a leer/reflexionar el problema, rápidamente pasan a
plantear las operaciones correspondientes haciéndolo
muchas veces por ensayo y error y esperando la pista que
aporte el maestro.
d.- Representación con elementos manipulativos.
En esta fase ya procede que mediante objetos
manipulativos los niños vayan representando el problema
(cogiendo tantas fichas como caramelos dice el problema,
apartar los que se comen y apartar y contar los que
quedan).
e.-Representación gráfica.
Se realizarán las mismas operaciones que en la fase
anterior pero en este caso dibujándolo en gráficos.
f.-Representación simbólica –numérica.
251
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Se utilizarán las estrategias informales y, más tarde,
los algoritmos convencionales.
En lo que a la etapa del problema escrito se refiere, hay que tener en cuenta
las siguientes observaciones:
Presentar cada dato numérico en un renglón. Ejemplo: Pedro tiene
46 cromos. Su hermano le regala 26 cromos. Si pierde 13 cromos. ¿
Cuántos cromos le quedan?
No abusar del excesivo verbalismo en la formulación de los problemas.
No tratar de que el alumno realice un comentario de texto o un
ejercicio de lectura comprensiva. Se debe utilizar un vocabulario de
uso habitual y significativo para el alumno. Es conveniente repetir los
sustantivos antes que la utilización de pronombres, así como utilizar
frases breves en el orden sintáctico convencional (sujeto, verbo, objeto
directo,..)En este sentido las ayudas textuales (reescritura) son muy
útiles. Varios ejemplo lo aclararán:
Problema sin reformular: Teresa tenía 6 caramelos y Pilar le
da 4 más ¿Cuántos tiene ahora Teresa?
Problema reformulado: Teresa tenía al principio 6 caramelos
y Pilar le da después 4 más ¿Cuántos caramelos tiene ahora
Teresa?
Problema sin reformular: Luis y Ana tienen 84 cromos entre
los dos. Si Luis tiene 28 cromos ¿Cuántos cromos son de Ana?
Problema sin reformular. Luis tiene 105 cromos, que son 24
más de los que tiene Ana ¿Cuántos cromos tiene Ana?
Problema reformulado: Luis tiene más cromos que Ana. Luis
tiene 105, que son 24 más de los que tiene Ana. ¿Cuántos cromos
tiene Ana
En cuanto a los aspectos lingüísticos a tener en cuenta estarían:
1. En un principio, presentar un solo problema por páginas o por
tarjetas.
2. Presentar cada nuevo dato numérico en otro renglón. Ejemplo: José
tiene 18 cromos. La mamá le regaló 25 cromos. José perdió 20 cromos.
¿Cuántos cromos le quedaron?
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3. Evitar el verbalismo en los enunciados de los problemas. Los modos
verbales a utilizar serían el indicativo y el infinitivo.
4. Presentar los datos en el orden en que se debe operar con ellos.
Más tarde, se podrán y deberán alterar los datos.
Como resumen, en lo que a la redacción del problema se refiere, ésta debe
ser:
Sencilla.
Clara.
Correcta.
Enunciar los hechos cronológicamente, como se suceden, para evitar
dificultades provenientes de su lectura.

Pasos a tener en cuenta en la resolucion de un problema escrito
Presentando un problema en forma escrita para su resolución hay que tener
en cuenta los pasos siguientes:
a) Lectura atenta del texto: ¿Qué dice? ¿Puedo decirlo de otro modo?
Consiste en prestar atención a los datos del problema y al texto, para inferir
si tiene o no solución. Se les induce a separar lo que es «dato» (lo conocido)
de lo que es «pregunta» (lo desconocido).
Se podría elaborar un protocolo verbal, gráfico o escrito para clarificar el
enunciado y comprenderlo inmediatamente. Hay que comprender que la
integración rápida de un texto les es muy difícil después de una simple
lectura. Las situaciones problemáticas se caracterizan por su condición de
«sincréticas» y se resuelven por procesos de «análisis- síntesis».
Cuando el alumno lee por primera vez el enunciado de un problema, éste se
le presenta como una cuestión global, como una totalidad donde las partes
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se diluyen en el todo. Hay que ejercitarlo para que analice el enunciado; es
decir, que lo divida en sus partes y pueda tomar, y resolver, cada una de ellas
en relación con las restantes partes y con el enunciado total del problema.
Este proceso, «analítico-sintético», deberá ejercitarse, explícitamente, hasta
que el alumno resuelva los problemas de un solo vistazo a gran velocidad.
b) Presentación de los ejercicios:
1.Descomposición del texto leído en sus elementos o partes.
Ejemplo: Compro 3 lápices a 5 pesetas cada uno. Entrego al tendero 25
pesetas.
¿Cuánto valen los lápices? ¿Cuánto me devolverá?
Primer dato:
¿Qué compro?: 3 lápices.
Segundo dato:
¿Cuánto vale un lápiz?: 5 pesetas.
Tercer dato:
¿Cuánto dinero entrego al tendero?: 25 pesetas.
Primera cuestión:
(Dato a descubrir.)
¿ Cuánto valen los 3 lápices?
Segunda cuestión:
¿Cuántas pesetas me devolverá?
Hay que cerciorarse de que los alumnos han memorizado todos los datos
del problema y recuerdan todas las preguntas que plantea el problema.
Que sea capaz de memorizar comprensivamente el problema es una forma
de comprobar que ha comprendido lo que se espera de él.
Conviene que, en una primera fase, hasta que los alumnos estén más
impuestos con lo escrito, traduzcan el problema a una realización concreta
del mismo, mediante la correspondiente dramatización o simulación.
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A continuación, los alumnos deben representar el problema de una manera
gráfica, respetando, a cada uno, su representación.
Es conveniente que el profesor utilice la esquematización y el diagrama,
tanto para una mejor comprensión intuitiva de los problemas (por parte de
los alumnos) como para que los propios alumnos acudan a este recurso, por
iniciativa propia, como facilitación en la resolución de los mismos.
Como ejemplos de esquematización y diagramación: :
1. Un niño compra 5 cuadernos a 92 céntimos cada uno cada uno y 2
bolígrafos a 34 céntimos cada uno.
¿Cuántos céntimos gastó?
2. Un terreno vale 248 euros.
¿Cuántas euros valdrá un terreno 3 veces mayor?
3. Un camino tiene 28 kilómetros.
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Un hombre lleva recorridos 14 kilómetros.
¿Cuántos kilómetros le quedan por recorrer?
c)Razonamiento:
Se trata de ver qué tipo de razonamiento lógico puede llevar a la resolución
del problema. Concebir un plan, imaginar una estrategia para alcanzar
la solución o soluciones. A veces se pueden valer de analogía con otros
problemas afines ya resueltos. En algunos casos, tras distintos ensayos,
surge el eureka de KÓHLER, la intuición, la «idea feliz».
En esta fase se debe aventurar una solución de problema por estimación
(cálculo mental) ¿Cómo lo puedo resolver?
d) Elección de las técnicas operatorias más adecuadas.
En la fase mecánica de la resolución del problema el alumno utiliza las
técnicas operatorias (suma, resta, multiplicación o división) de acuerdo con
las ideas elaboradas en la fase de razonamiento.
Una de las mayores dificultades con las que se encuentra el alumno que no
ha operativizado los significados de las distintas operaciones aritméticas
es la traducción simbólica, en términos numéricos, de las ideas lógicas ya
formuladas. Son alumnos capaces de resolver los problemas mentalmente,
«de cabeza», pero no con los algoritmos operatorios correspondientes.
Es conveniente, en estos casos, proceder a la reeducación de los distintos
significados de las operaciones aritméticas y al trabajo de los verbos de
acción que las traducen.
Dar las soluciones correspondientes y examinarlas (comprobación): ¿Es
correcto lo que hice? ¿Existe otra vía? ¿Para que otra cosa me sirve?
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Esta última fase es de sumo interés. La verificación de la solución, o soluciones,
genera en el alumno la conciencia de la importancia práctica del cálculo,
de la manipulación cuantitativa de la realidad que le rodea. Asimismo,
al tener que dar una explicación comprobatoria de la solución, hace más
comprensivo el proceso, que, en este caso, se convierte en reversible.
Los protocolos siguientes pueden ser excelentes guías para la resolución de
los problemas
MODELO 1.
LEER EL
ENUNCIADO-HISTORIA DEL PROBLEMA (Léelo con atención)
REPRESENTO EL PROBLEMA MEDIANTE UN DIBUJO, VIÑETA O GRÁFICO.
¿QUÉ DATOS ME DAN?
¿QUÉ ME PIDEN?
CÁLCULO LO QUE ME PIDEN SIN HACER OPERACIONES (MENTALMENTE O POR
ESTIMACIÓN)
RESULTADO:
OPERACIONES
RESULTADO:
¿SON IGUALES LOS RESULTADOS? ¿POR QUÉ?
ESCRIBO EL ENUNCIADO CON EL RESULTADO OBTENIDO Y LO JUSTIFICO.
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MODELO 2.
Tipologia de problemas
Nosotros vamos a proponer una tipología de problemas que, teniendo
en cuenta las diversas aportaciones formuladas anteriormente, integre la
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enorme diversidad de problemas que pueden proponerse en la escuela
básica y sirva de orientación al maestro de estos niveles. Esta tipología de
problemas intenta ser funcional/significativa y con capacidad de transferencia
e incluye una serie de problemas respetuosos con las características de los
llamados genuinos o reales. Estas características de los problemas reales o
genuinos según Baroody (1988) son las siguientes:
La incógnita puede no estar especificada con claridad y puede hacer
falta un análisis para captar con exactitud el objetivo del problema.
Suelen poseer mucha (o poca) información. Se pueden aplicar muchos
procedimientos para la solución, que puedan ser evidentes o no.
Pueden tener varias respuestas y hasta puede que no tengan.
Suelen resolverse lentamente.
Cada tipo de problemas lo acompañaremos de ejemplo o ejemplos que lo
ilustren debidamente.
Entre los tipos de problemas que se pueden distinguir estarían los siguientes:
2.1. Problemas que requieran un análisis de la incógnita
Frente a problemas que consistan en un cálculo directo/inmediato/mecánico
de la respuesta, se deben utilizar problemas que exijan razonar/calcular con
atención. Ejemplo: “Luis tiene 16 euros y María tiene 24 euros. ¿Cuántas
euros tienen en total?”. Se podría transformar en un problema no rutinario
cambiando la pregunta por: “¿Tienen dinero suficiente para comprar una
camisa que cuesta 50 euros ?”
2.2. Problemas que se puedan resolver de más de una forma
A los alumnos se les deberán proponer problemas que admitan más de un
método de solución. A este respecto se debe animar a los alumnos a que
intenten llegar a la solución de formas distintas.
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Ejemplo: Luis posee 2,68 euros. Quiere comprar un cuaderno que vale 1, 85
euros y un bolígrafo que cuesta0, 80 euros ¿Tendrá dinero para comprar las
dos cosas?”
Primer método: 1,85 + 0,80 = 2, 65 euros . El precio total es menor de lo que
posee (2, 68 euros). Puede, pues, comprar las dos cosas
Segundo método: 2,68 – 1,85 = 0,83, 0, 83 – 0,80 = 0,03 euros. Después de
restar el precio del cuaderno y el precio del bolígrafo, le quedan todavía0,03
euros. Puede, pues, comprar las dos cosas
2.3. Problemas con demasiados datos (con datos no necesarios), con datos
escasos (incompletos) o con datos incorrectos
Este tipo de problemas requiere un análisis detallado de los datos conocidos
y desconocidos (incógnitas).
Las situaciones problemáticas que nos plantea la vida ordinaria no vienen
acompañadas con todos y cada uno de los datos precisos para resolverlas.
Separar la información necesaria de la innecesaria es una actividad útil y
que refleja el problema siguiente:
Juan posee 30 gallinas y 8 ovejas. Luis tiene solamente 25
gallinas ¿Cuántas gallinas poseen entre los dos?”.
Ejemplos de problemas sin los datos necesarios son los siguientes:
En una comida se utilizaron 680 gramos de pescado para 4
personas. ¿Cuántas ptas. costó la comida?
“Se quiere construir un depósito de agua con una capacidad
de 6.000 litros ¿Qué dimensiones debe tener?”
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La solución de este problema depende de muchas condiciones que no están
dadas:
La forma del depósito, pues puede ser, por ejemplo ortoédrico,
cilíndrico o cónico. En cada forma las dimensiones están entre sí en
una relación diferente.
De que material se dispone, ya que se gasta más o menos en
dependencia de la forma y dimensiones escogidas.
Con datos incorrectos se pueden proponer problemas como el siguiente:
“Luis tiene que recorrer 125 km en bicicleta para ir de Sevilla a Cádiz. El
primer día recorre 30 km, el segundo día 80 km y el tercero 45 km. ¿Cuántos
km le quedan por recorrer?
2.4 Problemas con más de una solución posible.
Los alumnos deben acostumbrarse al hecho de que algunos problemas
pueden tener más de una respuesta. Son problemas que se acercan mucho
a lo que ocurre en la vida real. Son más creadores e imaginativos.
“Luis va a la confitería con O,30 euros. Los chupa-chups
cuestan 0.05 euros y las barras de chicles cuestan 0,03 euros.
¿Qué puede comprar Luis?”. Suele dar varias respuestas:
1) 6 chupa-chups.
2) 5 chicles y 3 chupa-chups.
3) 4 chupa-chups, 3 chicles y le sobra 0,01 euros.
2.5. Problemas que no tienen solución (contradictorios)
Cualquier solución que se encuentra contradice alguna de las condiciones
dadas en el enunciado.
Ejemplo: Compré 80 objetos entre gomas y lápices por 50 euros. 50 lápices
a 0,5 euros y las gomas a 0,10 euros. ¿Cuántas gomas compré?
Una vía de solución es calcular lo que cuestan los lápices (25 euros) y restarlo
de 50 euros. Entonces como se restó es lo que invierte en gomas y cada una
cuesta 0.10 euros. Se tiene que son 25 gomas. Al comprobar la solución se
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obtiene que 50+25=75 objetos que se compraron, pero eso contradice la
información de que son 80 objetos.
Comprobando de nuevo tenemos que es el coste de las gomas sería:
30x1 euros=30 euros
Pero como los lápices cuestan 25 euros, en total, se gastaría 55 euros y eso
contradice la información e lo que se gastó 50 euros.
2.6. Problemas cuya solución está en el propio texto
En este tipo de problemas lo que cabe es interpretarlos correctamente.
Ejemplo: ¿Cuántos juguetes habría que fabricar si se necesitan
hacer 9.184 y aún faltan 1.315?
Un modelo ayuda a comprender mejor la situación
En estos casos se dice que la situación planteada no es realmente un
problema, pues las exigencias (lo que se busca) están dadas.
2.7. Problemas que tengan el número cero como solución
Un ejemplo puede ser:
“En un supermercado habían 108 docenas de huevos, de ellos
se vendieron 1.296, ¿cuantos huevos quedan por vender?”
2.8. Problemas sin datos numéricos
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Este tipo de problemas sin datos es muy útil para, en los primeros niveles,
lograr la comprensión de lo que hay que hacer para resolverlos, pero lamentablemente son muy poco utilizados.
Ejemplo: “En una escuela se recibe una cierta cantidad de libros
de lectura y se distribuye una parte a las dos clases de 1º curso.
¿Cómo se puede saber qué cantidad de libros quedan por repartir?”.
Están a la misma distancia de Cádiz cuando se encuentran.
2.9.Problemas en los que el alumno tiene que formular la pregunta o
preguntas
Ejemplo: “Luis compró un cuaderno por 0,60 euros . Y un
lápiz por 0,25 euros. ¿Cuál podrá ser la pregunta? ¿Qué otras
preguntas podrías realizar?”
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2.10. Problemas en los que dada la incógnita, el alumno debe completar
los datos
Ejemplos: “¿Cuánto dinero le devuelven a Rosa?”
“¿Cuánto euros recibirá cada uno?”
2.11 Problema donde dada una situación, se pide el enunciado del
problema.
Ejemplo:Los refrescos costaron 2,60 euros.
El bocadillo 3 euros. Se comieron 3 bocadillos
El autobús costó 12 euros por cada uno de los 3 amigos.
A partir de las tres frases anteriores, referidas a la realización de una
excursión ¿puedes escribir tres problemas?
2.12 Problemas donde ante un conjunto de datos se solicita elegir los
datos que encajan con la preguntas del problema.
Ejemplos:Tenía 5 euros . Su hermano Juan gastó 1,45 euros.
Anduvo 5 km.
Compro un lápiz por 0,80 euros. Y un cuaderno por 0,20 euros.
Su tía le regaló 14, 5 euros.
¿Cuántos euros le sobraron?
2.13 Problemas donde ante un conjunto de datos y preguntas encajarlos
para formular uno o varios problemas.
Con las siguientes frases escribe 2 problemas:
Luis ha comprado 4 chicles de0, 30 euros cada uno.
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En un autobús van 80 pasajeros
Tenían 2,50 euros
Se bajan en una parada 25 pasajeros
¿Cuántos euros le sobraron?
¿Cuántos viajeros quedaron en el autobús?
2.14 Problemas con datos superfluos o absurdos
Ejemplos:
Luisa invitó a 6 amigas y a 3 amigos a su fiesta de cumpleaños
¿Cuántos años cumplía?.
Eloísa tenía 12 tarjetas. Regaló a su amiga Sara 5 lápices.
¿Cuántas tarjetas le quedaron?
Estos problemas pueden ser utilizados como medio de desarrollar el hábito
de leer un texto significativa y críticamente.
2.15 Problemas donde dada la operación y operaciones los alumnos
tienen que formularlos.
Ejemplo: Escribe problemas que se resuelvan con estas
operaciones.
6x12=7225+34+46=105
75x5=360105-28=77
2.16. Problemas que se resuelven con distintas operaciones aritméticas.
Escribe un problema que se resuelva con una multiplicación y una resta.
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2.17. Problemas que plantean relaciones falsas.
Ejemplo: Luis tarda en ir a la escuela 15 minutos. ¿Cuántos
minutos tardarán entre Luis, Juan y Pedro?
2.18 Problemas que exijan de los alumnos una explicación del
procedimiento operatorio para resolver situaciones problemáticas sin la
utilización completa de los números.
Por ejemplo:
a)Si supieras lo que vale un cuaderno, ¿cómo calcularías lo que valen
varios?
b)Si sabes los años que tiene Juan y los años que tiene Juan más Jorge,
¿cómo calcularías la edad de Jorge?
2.19. Problemas que exijan un esfuerzo prolongado.
Tienen la finalidad de que los alumnos capten la idea de que algunos
problemas requieren perseverancia. Se les deben plantear problemas que
no puedan resolverse de inmediato. Una manera de conseguir este objetivo
es proponerles problemas de interés personal y que la recogida de los datos
necesarios lleve un largo periodo de tiempo.
Un problema de este tipo podría ser:
¿Cuántas carreras ganará un niño durante todos los recreos de la semana
siguiente?
2.20 Proponer situaciones problemáticas de las que sean posibles
formular varias preguntas.
Ejemplo:
El equipo (x) ganó 12 partidos de 30 jugados.
El equipo (y) ganó solo 8 partidos.
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¿Cuántos partidos perdió el equipo (x)?
¿Cuántos partidos perdió el equipo (y)?
¿Cuántos partidos ganó más el equipo (x) que el (y)?
¿Cuántos partidos perdió más el equipo (y) que el (x)?
¿Cuántos partidos ganaron entre los dos?
¿Cuantos partidos perdieron entre los dos?
2.21. Problemas donde son aplicables operaciones aritméticas inversas
(suma, resta, multiplicación y división)
Plantear las siguientes operaciones aritméticas:
I Suma-Resta
I- Situación
II Situación
III. Situación
Juan tiene
7
¿
7
Pedro tiene
5
5
¿
Tienen juntos
¿
12
12
7 más 5=12
12 menos 5=7
12 menos 7=5
Asimismo, distintas situaciones problemáticas de combinación, comparación,
cambio e igualación.
Plantea las siguientes operaciones de Multiplicación-División:
2. Multiplicación y división
I Situación
II situación
Cantidad total a distribuir
Sujetos a quienes se le
distribuye
Cantidades que corresponden a
cada uno
7
5
¿
5
III
Situación
7
¿
¿
12
12
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40 Dividido entre 5 = .....
5 por ....=40
8 por 5 = ....
Asimismo, distintas situaciones problemáticas de agrupamiento, reparto,
suma repetida, ..
2.22. Problemas con esquemas incorporados que faciliten su comprensión
y resolución
Ejemplo: “María compró 2 camisas a 20 euros cada camisa y un retal de
tela que le costó 5 euros. Pagó con un billete de 50 euros ¿Cuántos euros le
devolvieron?”
a)¿VERDADERO O FALSO? Si una respuesta es falsa, tacho las palabras
incorrectas y las corrijo o añado las que falten
.. María compró 2 camisas
.. Las camisas costaron 20 euros las dos.
.. El retal costo 5 euros.
.. María pagó con un billete de 1 00 euros.
.. Compro dos retales de tela a 10 euros cada uno.
b)SUBRAYO la pregunta que me hace el problema. La escribo con mis
propias palabras.
c)MARCO con (V) la respuesta correcta:
Al resolver este problema me pide que halle..
¿Cuántos euros le devolverán a María?
El importe de las camisas y el retal de tela son.
d)NÚMERO en orden los pasos siguientes:
Escribir la solución
Restarlo a 5 0 euros
Hallar cuánto cuesta las 2 camisas.
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Hallar cuánto gastó María en total.
d)RESUELVO el problema siguiendo los pasos del apartado anterior.
2.23 Enumerar problemas que correspondan a representaciones.
Insertar gráficos
Con la finalidad de enriquecer/ampliar la propuesta didáctica de tipología
de problemas desarrollada vamos a recoger/adaptar la clasificación,
producto de una minuciosa investigación, elaborada por Mariana Tomás
Polch (Educar, 17, 1990, págs. 119-140) que posibilita que cualquier problema
de los que hemos descrito anteriormente pueda ser incluido en ella.
La clasificación/tipología de Mariana Tomás Polch se basa en la consideración
de las cuatro variables siguientes:
Que hacen referencia al enunciado (Forma del enunciado).
Que hacen referencia a la existencia o no y a la naturaleza del formato
de resolución (Formato de resolución).
Que hacen referencia a los mecanismos mentales para poder resolver
el problema (Aspectos mentales).
Que hacen referencia a las operaciones concretas (aritméticas) que
deben realizarse para resolver los problemas (Habilidades mecánicas).
Estas variables, de enunciado y de resolución, que, a su vez contienen otras
subvariables dan lugar a la siguiente clasificación/tipología de problemas:
TIPOS DE PROBLEMAS
l. FORMA DEL ENUNCIADO
1.1. Presentación y pregunta.
1.2. Pregunta y explicación juntas.
1.3. Pregunta indirecta.
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1.4. Explicación y varias preguntas.
1.5. Preguntas internas (no explícitas).
2.FORMATO DE RESOLUCIÓN
2.1. Inicio de resolución.
2.2. Formato general.
2.3. No formato general.
3. ASPECTOS MENTALES
Comprensión de conceptos.
Comprensión de transformaciones.
Leer e interpretar el enunciado.
Resolver problemas de rutina.
Realizar comparaciones.
Analizar datos.
Resolver problemas no rutinarios.
4. HABILIDADES MECÁNICAS
4.1. Suma y resta con números naturales.
4.2. Producto y división con números naturales.
4.3. Combinación de 2 o 3 operaciones anteriores.
4.4. Suma y resta con números fraccionarios y decimales.
4.5. Producto y división con números fraccionarios y decimales.
4.6. Combinación de las operaciones anteriores.
Vamos, a continuación, a describir y ejemplarizar cada uno de los tipos de
problemas anteriores.
1. Según la forma del enunciado. En el enunciado nos podríamos fijar en
el vocabulario utilizado (común, matemático o específico, con distinto
significado en matemática y en el lenguaje común, ..), en corno se presentan
270
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los datos (en números o en palabras, más destacados o menos destacados,..),
en los tipos de letras, .. Fijándonos exclusivamente en la estructura del
planteamiento y en la/las preguntas que se formulan se distinguen:
1.1. Presentación y pregunta. Cuando en el problema se coloca primero la
narración/descripción de la situación problemática y la pregunta se formula
al final.
Ejemplo de este tipo de problema:
“Luis tiene 16 euros y María tiene 24 euros. ¿Cuántas euros
tienen entre los dos?”
1.2. Pregunta y explicación ¡untas. Cuando el problema empieza por la
pregunta que engloba a la explicación de la situación problemática que se
plantea.
Por ejemplo:
“¿Cuántos juguetes habría que fabricar si se necesitan hacer
9.184 y aún faltan 1315?”
1.3. Pregunta indirecta. Cuando la pregunta no se formula de forma directa.
Ejemplo, de este tipo de problema:
“Luis tiene 16 euros y María 24 euros. Ellos quisieran saber si
tienen dinero para comprar un cuento que cuesta 50 euros.”
1.4. Explicación y varias preguntas. Cuando el problema narra una situación
y pide varias respuestas. Por ejemplo: Luis tiene 16 euros y María 24 euros.
¿Cuántos euros tiene María más que Luis? ¿Cuántos euros tienen entre los
dos?”
1.5. Preguntas internas no explícitas. Se trata de problemas donde, además
de las preguntas explícitas que se formulan, aparecen otras cuestiones que
no nos dicen directamente el enunciado. Implican que el resolutor posee
datos no explícitos en el enunciado del problema., ,
271
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2. Según la forma de resolución. Vamos a considerar tres tipos de problemas:
2.1. Inicio de resolución. Cuando se acompaña la narración de la situación
problemática de gráficos, operaciones iniciales, etc. que orientan el proceso
de resolución.
“Si un cuaderno vale 0,10 euros ¿Cómo calcularías lo que
valen 5 cuadernos?
1 cuaderno 0,10 euros.
2 cuadernos0,10+0,10=0, 20 euros.
3 cuadernos 0,10+0,10+0,10=..
2.2. Formato general. Cuando en el problema después del enunciado
general aparece distribuido el espacio de resolución o compartimentado y
con algunas sugerencias, cuestiones..
Un problema de este tipo es el que se ha desarrollado anteriormente con el
título “Problemas con esquemas incorporados”.
2.3. No formato general. Cuando el problema aparece simplemente con el
enunciado.
3. Según los aspectos mentales. Atendiendo a esta variable podemos
distinguir los tipos de problemas siguientes:
3.1. De comprensión de conceptos. Cuando hay que relacionar el recuerdo
de conceptos y generalizaciones. En este tipo de problemas se incide
particularmente en la comprensión de conceptos y sus relaciones.
Por ejemplo: . “Juan quiere tener el doble de juguetes que Alberto y
Alberto tiene 8. Si su madre le compra 6 juguetes, ¿cuántos le faltarán para
tener el doble que Alberto?”
En este problema el resolutor tendrá que recordar y demostrar que conoce
el significado de «doble».
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3.2 De comprensión de transformaciones. En estos problemas se enfatiza
en la capacidad para transformar los elementos de un problema de una
modalidad a otra.
Un ejemplo podría ser:
“En un almacén compramos 2 Hg. Y 8 Dg. de arroz cada
semana. ¿Cuántos gramos hemos comprado al cabo de 6
semanas?”
En este problema se debe realizar una transformación de Hg. y Dg. a gramos.
3.3. De leer e interpretar el enunciado. Este tipo de problema supone algo
más que la habilidad verbal normal y de lectura. Por ejemplo:
“Juan tiene 6 años menos que su hermana Luisa. Si Luisa tiene 9 años.
¿Cuántos años tiene Luis?”
3.4.De rutina. Son los problemas “tipo”. El alumno debe recordar el
conocimiento pertinente, seleccionar las operaciones adecuadas y realizar
el algoritmo.
Por ejemplo:
“Luis tiene 16 cuentos y los quiere repartir entre sus 4 amigos.
¿Cuántos cuentos dará a cada uno de ellos?”
En este problema “repartir” se asocia a la operación de dividir y al algo
ritmo (16 : 4) correspondiente. Coincide con los llamados ejercicios que se
han tratado en otro lugar de este libro.
3.5. De realizar comparaciones. En este tipo de problemas se espera que
el alumno recuerde la información pertinente, descubra una relación y
formule una decisión.
Ejemplo de este tipo de problemas:
Pepa tiene 342 euros y su hermana Rocío 210 euros. ¿Cuántos euros tiene
que darle Pepa a Rocío para que las dos tengan igual?
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3.6. De analizar datos. Implica la lectura e interpretación de información,
manipulación de esta información, tomar decisiones y obtener conclusiones
como un resultado.
Por ejemplo: ¿Cuál es la suma de 4 números si el primero es 427 y cada uno
de los siguientes es igual al anterior más 13?
3.7.No rutinarios. En este tipo de problemas el resolutor pone de manifiesto
la transferencia de un aprendizaje anterior a un contexto nuevo
Por ejemplo:
“Al repartir caramelos a un cierto número de niños
corresponden tres a cada uno y sobran 15. Se añaden 3 caramelos
para que les corresponda uno más. ¿Cuántos niños son? ¿Cuántos
caramelos había?”
4. Según las habilidades mecánicas.
4.1. De suma y resta con números naturales. Se secuencia la suma: primero
la suma “sin llevada” con un dígito, luego dos dígitos, etc. Con la resta se
hace lo mismo.
4.2. De combinación de suma y resta.
4.3. Producto y división de números naturales. Secuenciando de forma
parecida al de la suma y resta.
4.4. De combinación de las operaciones aritméticas anteriores (multiplicación
y división, suma y división, resta y multiplicación..).
4.5. Suma y resta con números faccionarios y decimales.
4.6. Producto y división con números fraccionarios y decimales.
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4.7. Combinación de las operaciones con números fraccionarios y decimales.
Las situaciones aritméticas del segundo nivel, también llamadas problemas
aritméticos combinados, se caracterizan por presentar en su texto más de
dos datos numéricos. Su resolución requiere realizar dos o tres operaciones
aritméticas simples, encadenadas en un cierto orden estratégico.
Por supuesto, para enfrentarse a estos problemas el resolutor debe
dominar previamente los problemas aritméticos simples del primer nivel
(aditivo-sustractivos-multiplicativos de un solo paso), ya que los problemas
combinados requieren justamente un razonamiento encadenado de dos o
tres problemas del primer nivel.
La resolución de los problemas combinados presenta por lo tanto:
Una mayor dificultad para comprender la situación, al tener que
abarcar y relacionar un mayor número de datos.
Un esfuerzo relacional lógico importante para concebir un plan de
solución, por pasos, que lleve a la solución (planificar la resolución
encadenada de dos o más problemas simples).
Una mayor exigencia en la redacción de la solución; es decir, el
resolutor debe explicitar con lógica (comunicar), cuáles han sido los
problemas intermedios de un solo paso que ha tenido que resolver
para, partiendo de los datos del problema, llegar a la solución.
Una mayor complejidad para validar la solución obtenida, ya que
en la situación final (una vez resuelto el problema e introducida la
solución como un dato más de la situación), aparecen muchos datos
interrelacionados.., pero, sin embargo, en estos problemas una solución
incorrecta es más fácilmente detectable, ya que la incongruencia entre
los diferentes datos es más llamativa.
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Clasificación
Los problemas combinados se prestan a una triple clasificación, según se
atienda a los diferentes tipos de dificultades con las que se puede encontrar
el resolutor:
Primera clasificación
A.- Problemas combinados “fraccionados”
Estos problemas se caracterizan por incluir al final de su texto dos o más
preguntas encadenadas. La respuesta a la primera pregunta sirve para
poder contestar a la segunda y así sucesivamente.
Por lo tanto, estos problemas “fraccionados” ofrecen explícitamente al
resolutor, a través de las preguntas encadenadas, el plan para llegar a
responder a la última pregunta que constituiría la finalidad del problema.
Se pueden considerar, por consiguiente, como pseudoproblemas
combinados, ya que en el fondo son una suma de problemas del primer
nivel (de un solo paso). EJEMPLO:
“Un corredor de maratón hizo el primer día un entrenamiento
de 12 km, el segundo día recorrió 28 km más que el día anterior,
el tercer día recorrió la mitad de kilómetros que el segundo día y
el cuarto día 8 km menos que entre los dos días anteriores juntos
¿Cuántos kilómetros recorrió el segundo día?
¿Cuántos kilómetros recorrió el tercer día?
¿Cuántos kilómetros hizo el cuarto día?
¿Cuántos kilómetros hizo en total entre los cuatro días?”.
B.- Problemas combinados “compactos”
Estos problemas tienen una redacción densa (tres o cuatro datos) y una sola
pregunta al final.
Resultan mucho más difíciles que los problemas “fraccionados”, ya que el
resolutor debe relacionar estratégicamente los datos y establecer los pasos
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intermedios a dar (concebir un plan) para poder responder a la pregunta
del problema: el resolutor debe explicitar qué operaciones realizar, entre
qué datos y en qué orden estratégico. EJEMPLO:
“Un cristalero dispone de una placa de cristal que tiene
4 metros cuadrados de superficie. De ella quiere obtener 12
cuadrados de 20 cm de lado. Con el resto de la placa quiere
hacer rectángulos de 20cm x 40cm. ¿Cuántos rectángulos podrá
obtener?”
Segunda clasificación
A.- Problemas combinados “puros”
Estos problemas se caracterizan porque los pasos intermedios del plan
de resolución son todos del mismo campo operativo-conceptual; es decir,
estos problemas sitúan al resolutor en un único campo conceptual, o bien
aditivo-sustractivo, o bien multiplicativo.
El plan de resolución no le obliga a combinar conceptualmente estructuras
operativas diferentes.
EJEMPLOS:
“Begoña tenía un montón de cromos. Ha jugado dos
partidas con sus amigas. En la primera partida ganó 27 cromos y
en la segunda perdió 13. Contó sus cromos al final de la segunda
partida y tenía 83.
¿Con cuántos cromos empezó Begoña a jugar?”
“La profesora ha traído a clase cuatro cajas de bombones
para repartir equitativamente entre sus alumnos. En cada caja
hay seis filas de bombones y en cada fila hay 9 bombones.
¿Cuántos bombones recibirá cada alumno si en clase son 24?”
B.- Problemas combinados “mixtos“
Por contra, en los problemas combinados mixtos el plan de resolución
obliga a relacionar-utilizar los datos del problema desde campos
conceptuales diferentes; es decir, el resolutor debe descubrir, entre los
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datos, relaciones aditivas y multiplicativas y en el plan de resolución debe
ordenar estratégicamente el salto de una estructura a la otra.
Estos problemas “mixtos” suelen resultar más difíciles que los “puros”,
sobre todo cuando algún paso (problema simple) del proceso de resolución
implica resolver un problema discriminativo dentro del propio campo
conceptual.
EJEMPLOS:
“Un comerciante vendió las 350 botellas de aceite que había
comprado a 1,10.euros cada una. En la venta ganó 120 euros.
¿A cómo vendió cada botella?”
“En una librería había 5 cajas grandes con pinturas. Dentro
de las cajas, las pinturas están distribuidas en estuches y en cada
estuche hay 20 pinturas. Esta mañana el dependiente de la
librería ha vendido 75 estuches y todavía quedan en la librería
3.000 pinturas.
¿Cuántos estuches hay en cada caja?”
Tercera clasificación
A.- Problemas “directos” o de “marcha hacia adelante”
Estos problemas se caracterizan por presentar situaciones en las que los
datos necesarios para llegar a la solución están dados en un orden lógico;
es decir, los datos aparecen en el texto del problema en el mismo orden
con el que hay que utilizarlos para llegar a la solución.
En estos problemas los datos pueden organizarse como una serie de acciones
encadenadas en el tiempo; cada paso (problema simple) del proceso de
resolución lo constituye una de esas acciones.
EJEMPLOS:
“En la hucha tenía 15 euros. Esta mañana he metido 5
monedas de 50 céntimos y por la tarde he sacado 3,20 euros.
¿Cuánto dinero me queda en la hucha?”
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“Me he acostado a las 10 de la noche. He dormido siete horas
y media. En desayunar, asearme y vestirme he tardado 40 minutos
y en llegar al colegio un cuarto de hora.
¿A qué hora he llegado al colegio?”
B.- Problemas “indirectos” o “marcha hacia atrás”
Estos problemas presentan los datos “desordenados”; es decir, el resolutor
tiene que ordenarlos, en función de la pregunta del problema, y combinarlos
en su mente para establecer los pasos intermedios del proceso de resolución.
En general, uno de los datos en estos problemas suele ser además la respuesta
a uno de los problemas simples intermedios que habría que resolver si fuera
una situación-problema de “marcha hacia adelante o directo”. EJEMPLOS:
“María se ha gastado en total 13 euros en comprar tres pares
de medias y un frasco de colonia de 6 euros.
¿Cuánto vale un par de medias, si ha dejado a deber 1,40
euros en la tienda?”
“Un tendero compra 27 docenas de huevos a 1,20 euros la
docena, y se le rompen tres docenas.
¿A cómo tiene que vender los que le quedan si quiere ganar
10 euros en total?”
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Sugerencias didácticas
Al abordar la resolución de todos los problemas combinados, y en particular cuando se trate de problemas “compactos”, el profesor debe insistir en
la conveniencia de recorrer los cuatro pasos de la estrategia general para
la resolución de cualquier problema.
1.- Comprensión de la situación
Practicar el subrayado de los datos (en azul) y de la pregunta (en rojo)
Contar(se) la situación, separando lo conocido (datos) de lo que hay
que hay que calcular (pregunta).
Escribir de forma concisa y ordenada los datos del problema en
recuadros, un recuadro para cada dato.
2.- Idear-concebir un plan de resolución
Recursos heurísticos
Preguntarse lo que se podría calcular con los datos disponibles del
problema. Tenerlo en cuenta.
¿Conducen los nuevos datos a la solución del problema?
¿Me permiten responder a la pregunta del problema?
Agregar nuevos recuadros con los datos calculables, a partir de los del
problema. Un recuadro para cada nuevo dato.
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.
Preguntarse sobre qué datos se necesitarían para poder contestar a
la pregunta del problema.
Tenerlo en cuenta.
¿Coinciden estos datos con los datos del problema?
¿Me falta alguno? ¿Lo podría calcular?
Cuando se cree tener un plan de resolución..
Visualizar-esquematizar dicho plan de resolución, uniendo con flechas
los recuadros anteriores (que contienen los datos del problema o los
datos calculables a partir de ellos).
3.- Ejecutar el plan
Separar, en la redacción de la solución, los pasos del plan.
Indicar (expresarlo con una breve frase) lo que se pretende hacer en cada
uno de ellos.
Debajo de cada frase explicativa, indicar la operación pertinente y el
resultado magnitudinal obtenido.
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Escribir, al final del último paso, la solución como una respuesta
completa a la pregunta del problema.
4.- Validar la solución
¡Ya no hay pregunta, el problema está resuelto!.
Introducir la respuesta del problema como un dato más de la situación.
Organizar mentalmente el problema como una historia y ordenarla
lógicamente.
Examinar si existe coherencia entre todos los datos de la historia en que se
ha convertido ahora el problema.
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Acerca del autor
José Luis Luceño Campos
E-mail: [email protected]
José Luis Luceño Campos, Maestro e Inspèctor de Educación, Licenciado en
Ciencias de la Educación y Ducror en Psicología, de una quincena de obras
de psicología y educación, articulista de educación.
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