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Postítulo “Enseñanza de la Matemática
para el nivel primario (EGB1 y EGB2)”
Módulo Aritmética: primera parte
Cohorte 2005 - 2007
Seminario de Aritmética
Problema 1
En una tabla de 6 columnas e “infinitas” filas, se van ubicando consecutivamente el cero y
“todos” los números naturales:
fila
fila
fila
fila
fila
fila
fila
0
1
2
3
4
5
6
columna
del 0
0
6
12
18
24
30
36
columna
del 1
1
7
13
19
25
31
37
columna
del 2
2
8
14
20
26
32
38
columna
del 3
3
9
15
21
27
33
39
columna
del 4
4
10
16
22
28
34
40
columna
del 5
5
11
17
23
29
35
41
a)
b)
c)
d)
e)
f)
¿En qué fila y en qué columna se encuentra el 126?
Buscar un número mayor que 1000 que esté en la misma columna del 130
¿Qué número se encuentra en la fila 9, columna del 2?
¿Qué número se encuentra en la fila 37, columna del
3?
¿Dónde se encuentra el 27643?
Redactar un procedimiento que usaste para ubicar el 27 643 y que sirva para ubicar
cualquier otro número en la tabla. Explicar por qué el procedimiento propuesto es
correcto.
g) Se va a hacer otra tabla con un criterio similar pero con 7 columnas. ¿En qué fila y
columna estará el 126? Para esta segunda tabla, qué número se ubica en la fila 8,
columna del 4?
h) Ahora se tiene otra tabla, de la cual se conoce una columna:
7
19
31
43
.
.
¿Se puede saber de cuántas columnas es la tabla?
¿Cómo se podría decidir si el 1147 está en esa misma columna?
i) ¿Por qué en una tabla de 10 columnas, en cada columna todos los números terminan con
la misma cifra?
1
j) Plantear por grupos diferentes problemas "de tablas".
Problema 2
a) Se sabe que al dividir un número por 7, se obtiene resto 3. ¿Es posible saber el resto de
dividir por 7 al doble del número?
Vamos a analizar ahora el mismo problema para los otros restos: Si al dividir un número
por 7, se obtiene resto 0, ¿cuál será el resto de dividir 7 el doble de ese número?
Idem con resto 1, 2, 4, 5 y 6.
b) Habrán visto que a veces el resto del doble de un número coincide con el doble del resto
del número dado y a veces no. Analicen por qué sucede esto y propongan una afirmación
que sintetice el análisis realizado.
c) Si en lugar de dividir por 7, hubieras dividido por otro número, ¿seguiría siendo válida tu
afirmación? ¿Cómo la modificarías?
Problema 2´
a) Analizar si la siguiente afirmación es cierta, y dar una explicación que justifique la repuesta que dan:
“ Si un número tiene resto 5 al dividirlo por 11, el triple de este número tendrá resto 4.
b) ¿ hay números que no son divisibles por 6, pero que al duplicarlos si resultan divisibles
por 6? ¿Cuáles son todos esos números?
Problema 3
a) El resto de dividir un número a por 152, es 10 y el de dividir otro número b por 152,
es 141. ¿Es posible saber el resto de dividir por 152 la suma a + b?
b) El resto de dividir un número a por 152, es 10 y el de dividir otro número b por 152,
es 151. ¿Es posible saber el resto de dividir por 152 la suma a + b?
El resto de dividir un número a por 152, es 11 y el de dividir otro número b por 152, es
141. ¿Es posible saber el resto de dividir por 152 la suma a + b?
c) El resto de dividir un número a por 152 es 25. Si a a se le suma un número b que es
múltiplo de 152, ¿es posible saber el resto de dividir por 152 la suma a + b?
d) Proponer conjeturas basadas en las relaciones producidas a partir de la resolución
de todos los ítems anteriores y validarlas.
Problema 4
Al dividir un número por 128 se obtiene resto 74. Se sumó una cierta cantidad a dicho
número, de modo que el resto de dividir esa suma por 128 ahora es 32. ¿Qué número se
habrá agregado? Discutir la cantidad de soluciones.
Problema 5
a) ¿Es posible saber, sin hacer la cuenta, si los resultados de cada uno de los siguientes
cálculos son múltiplo de 5?. Dar razones que fundamenten la decisión anterior.
2
5
5
5
5
x
x
x
x
1748317
1748318
1748319
1748320
+
+
+
+
2
30
32
132
b) ¿Cuál es el resto de dividir cada uno de los números anteriores por 10? (Obviamente, sin hacer el cálculo)
c) ¿Es verdad que si se divide por 10 un múltiplo de 5, se obtiene siempre como resto 0
ó 5?
Problema 6
a) ¿Es cierto que el producto de cinco números consecutivos cualesquiera termina en 0?
Redactar una explicación que fundamente la respuesta.
b) ¿Es cierto que el producto de tres números consecutivos cualesquiera es múltiplo de
6? Redactar una explicación que fundamente la respuesta.
c) ¿ Es cierto que el producto de cuatro números consecutivos cualesquiera es múltiplo
de 16? Redactar una explicación que fundamente la respuesta.
Problema 7
a) Enunciar el criterio de divisibilidad por 4 y explicar por qué funciona.
b) Enunciar el criterio de divisibilidad por 3. Para números de 3 cifras dar una explicación de por qué funciona.
c) Enunciar el criterio de divisibilidad por 8 y explicar por qué funciona.
d) Enunciar el criterio de divisibilidad por 5 y explicar por qué funciona.
e) Inventar un criterio de divisibilidad por 16 y explicar por qué funciona.
Problema 8
A continuación presentamos cuatro criterios de divisibilidad no tradicionales. Estudiar su
validez.
a) Un número de tres cifras es divisible por 6 si es divisible por 6 el número que resulta
de: sumar las cifras de las centenas y de las decenas, multiplicar ese resultado por 4
y sumar a ese producto la cifra de las unidades
b) Un número de tres cifras es divisible por 7 si el doble de la cifra de las centenas, más el triple de la cifra de las decenas, más la cifra de las unidades,
es múltiplo de 7.
c) Un número es divisible por 4 si la suma de sus cifras es divisible por 4.
d) Un número de tres cifras es divisible por 8 si la suma del cuádruplo de la cifra de las centenas, más el doble de la cifra de las decenas, más la cifra de
las unidades, es múltiplo de 8. (Para entregar)
Problemas de aritmética, pensando en la escuela primaria
3
Problemas que ponen en juego la noción de múltiplos comunes
1. Se quieren armar cajas con cierta cantidad de alfajores. Si se ponen 6 alfajores en cada
caja no sobra ninguno. Si se ponen 8 en cada caja tampoco sobra ninguno y si se ponen
9 alfajores en cada caja, no sobra ninguno. ¿Cuántos alfajores hay si se sabe que hay
entre 1600 y 1680?
2. Tengo una cantidad de ganchitos que si los agrupo de a 3, de a 4 o de a 5 siempre me
sobra 1. ¿qué cantidad de ganchitos puedo tener (sabiendo que son menos que 300)?
3. Tengo una cantidad de caramelos. Si los agrupo de a pares, me sobra 1; si los agrupo
de a 3, me sobran 2, si los agrupo de a 4, me sobran 3 y si los agrupo de a 5, no me
sobra ninguno. ¿Cuántos caramelos puede ser que tenga?
4. Al agrupar una cierta cantidad de elementos de a 7 siempre sobra 1, si se los agrupa
de a 4 obran 2 y si se lo hace de a 3 , sobra 1. ¿Cuál es la cantidad de elementos que
se posee si se sabe que son menos de 500?
5. Estamos buscando todos los números naturales mayores que 1500 y menores que
2000, que al dividirlos por 3 y por 5 tengan resto 1 y al dividirlos por 7 tengan resto 3.
6. Tengo una cierta cantidad de bolitas. Cuando las agrupo de a 4, no me sobra nada y
cuando las agrupo de a 2, me sobra 1. ¿Cuántas bolitas puede ser que tenga?
Problema 9
Un número excede en 35 a un múltiplo de 24. ¿Cuál es el resto de dividirlo por 8?
Un número excede en 27 a un múltiplo de 12. ¿Cuál es el resto de dividirlo por 8?
Problema 10
a) Dar si es posible los valores de b para los cuales el número que resulte al hacer 6 b + 6
sea múltiplo de 2, de 3, de 4 y de 6.
b) Ídem para que al hacer 16 b + 8 se obtenga un múltiplo de 16.
c) Ídem para que al hacer 4 b + 4 se obtenga un múltiplo de 3.
d) Ídem para que al hacer 6 b + 6 se obtenga un múltiplo de 5.
Problema 11
En una clase de primer año de escuela secundaria, se trabajaba con un problema similar a
los anteriores. Daremos a continuación el enunciado del problema y la respuesta de una
alumna y las interacciones en la clase a raíz de dicha respuesta. Analicen todo el episodio
El docente propone el siguiente problema entre una serie de problemas similares que se
vienen trabajando.
¿Cuál debe ser el valor de b, para que 5 (b + 2) + 3, sea múltiplo de 5?
Una alumna anota en su carpeta
4
5 (b+2) + 3 = 5 b + 10 + 3 = 5 b + 13
5 b + 13 = 20
5 b = 20 – 13
b = 7: 5
b= 1,4
5
5
5
5
5
5
x
x
x
x
x
x
1,4
2,4
3,4
4,4
5,4
6,4
+
+
+
+
+
+
13
13
13
13
13
13
=
=
=
=
=
=
20
25
30
35
40
45
b debe ser un número con coma 4.
Algunos alumnos protestan diciendo que b debe ser entero. El profesor pregunta:
¿Por qué b debe ser entero?
Algunos estudiantes contestan: usted lo dijo
Profesor: Efectivamente, la relación de divisibilidad la hemos definido entre números enteros. Mi pregunta es ahora ¿por qué nos hemos restringido a los números enteros? ¿No podríamos haber definido la relación de divisibilidad entre números racionales?
5