Lógica matemática - Universidad Complutense de Madrid

Taller
Matemático
Lógica
Cristóbal Pareja Flores
antares.sip.ucm.es/cpareja
Facultad de Estadística
Universidad Complutense de Madrid
1. Lógica…
14 amigos aportan la misma
cantidad de dinero, sobre un fondo de
15 €, para comprar un balón de 71€.
Todos los hombres son mortales;
Sócrates es un hombre.
...
...
14 bolsitas de azúcar y cincuenta y
15 gramos pesan en total 71 gramos.
Todos los perros tienen pelo; Milú es
un perro.
14 x + 15 = 71
--------------------x = 4
p(x) → q(x)
p(x)
--------------------q(x)
x=4€
x = 4 gramos
Sócrates es mortal
Milú tiene pelo
Lógica: sistema formal que estudia la deducción válida, la validez de los
razonamientos, la inferencia; esto es, el proceso de obtener conclusiones a partir
de premisas.
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1. Lógica
Oraciones declarativas
Oraciones no declarativas
•
•
•
•
•
•
•
•
Feliz cumpleaños
Lázaro, levántate y anda
Dime la fecha en que naciste
¡Ay!
• Hoy llueve
• 15 es un número primo
• 2 no es un número par pero es primo
•
•
•
•
O es de día o de noche
De noche, no se ve el sol
Si se ve el sol, es de día
Si está nublado, no se ve el sol
Predicados
Representación abreviada
• Llueve(d)
• EsPar(n) y EsPrimo(n)
• No Llueve(d)
• 𝑃(𝑥)
• 𝑃(𝑥) ˄ 𝑄(𝑥)
• ˥ 𝑃(𝑑)
Todos los números impares son primos
Morir es dormir, y tal vez soñar
Todos los días de invierno llueve
2+2=5
Proposiciones o enunciados
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2. Lógica proposicional
Proposiciones o fórmulas proposicionales son fórmula basada en afirmaciones
atómicas, que pueden ser verdaderas o falsas.
• Átomos:
𝑃, 𝑄, 𝑅, …
Representan afirmaciones. Pueden ser verdaderas (𝑇) o falsas (𝐹):
𝑃 ≡ 𝐿𝑙𝑢𝑒𝑣𝑒
𝑄 ≡ 𝐸𝑙 𝑠𝑢𝑒𝑙𝑜 𝑠𝑒 𝑚𝑜𝑗𝑎
𝑅≡3>5
• Operaciones lógicas principales (conectores, conectivas):
• Conjunción lógica:
y and ˄ & &&
𝑃˄𝑄
Llueve y el suelo se moja
• Disyunción lógica:
o or
˅ |
||
𝑃˅𝑄
Llueve o el suelo se moja
• Negación lógica:
no
˥
!
˥𝑃
No llueve
Ejercicios
• Interpreta las siguientes proposiciones con el significado atribuido y calcúlalas
𝑃˄𝑄
𝑃˅𝑄
˥𝑃 ˅ 𝑄
˥𝑃 ˄ 𝑄
𝑃˄𝑅
𝑃˄𝑃
𝑃˅𝑃
𝑃 ˄ (𝑄 ˅ 𝑅)
• Inventa algunas fórmulas, y di cuáles de ellas son equivalentes a las anteriores.
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3. Operaciones lógicas básicas
• Negación lógica:
˥𝑃
˥
no
!
No llueve
˥ 𝑃 será verdadero cuando 𝑃 sea falso
˥ 𝑃 será falso cuando 𝑃 sea verdadero
• Conjunción lógica:
𝑃˄𝑄
y
and
˄
&
&&
Llueve y el suelo se moja
• Disyunción lógica:
o
or
˅
|
||
𝑃˅𝑄
Llueve o el suelo se moja
(Ojo: no excluyente)
𝑃
˥𝑃
T
F
F
T
𝑃
𝑄
𝑃˄𝑄 𝑃˅𝑄
T
T
T
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
F
F
F
Ejercicios
• Completa:
• 𝑃 ˄ 𝑄 será verdadero cuando…
• 𝑃 ˄ 𝑄 será falso cuando…
• Calcula:
𝑇 ˅ (𝐹 ˄ 𝑇)
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˥ 𝑇 ˅ ˥ (𝐹˄𝑇)
• 𝑃 ˅ 𝑄 será verdadero cuando…
• 𝑃 ˅ 𝑄 será falso cuando…
˥ ˥ (𝐹˄𝑇)
Lógica
(𝑃 ˄ ˥𝑃)
(𝑃 ˅ ˥𝑃)
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4. Combinación de operaciones lógicas
• Efecto de la negación sobre la conjunción:
(De Morgan 1)
˥ 𝑃˄𝑄 = ˥𝑃 ˅ ˥𝑄
˥ 𝑃˄𝑄 será verdadero cuando … y será falso cuando … (completa)
• Efecto de la negación sobre la disyunción:
(De Morgan 2)
˥ 𝑃˅𝑄 = ˥𝑃 ˄ ˥𝑄
˥ 𝑃˅𝑄 será verdadero cuando … y será falso cuando … (completa)
Ejercicios
• Forma la tabla de
verdad siguiente:
• Usa las tablas de
verdad para
simplificar:
𝑃
𝑄
𝑃˄𝑄
𝑃˅𝑄
T
T
T
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
F
F
F
˥ 𝑃˄𝑄
𝑃˄𝑃
𝑃˅𝑃
𝑃 ˄ ˥𝑃
𝑃 ˅ ˥𝑃
• Muestra que 𝑃 ˄ 𝑄 ˅ 𝑅 = (𝑃 ˄ 𝑄)˅(𝑃 ˄ 𝑅).
• Muestra que 𝑃 ˅ 𝑄 ˄ 𝑅 = (𝑃 ˅ 𝑄)˄(𝑃 ˅ 𝑅).
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˥𝑃 ˅ ˥𝑄 ˥ 𝑃˅𝑄
𝑃˄ 𝑃˅𝑄
˥𝑃 ˄ ˥𝑄
𝑃˅ 𝑃˄𝑄
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5. Otras operaciones lógicas
• O bien (o exclusivo):
𝑃⊕𝑄
𝑃⊕𝑄
𝑃→𝑄
⊕
Esta tarde iremos al cine
o bien al teatro (pero no a ambos).
es cierto justamente cuando
lo es 𝑃 o 𝑄, pero no ambos.
𝑃
𝑄
𝑃⊕𝑄
𝑃→𝑄
T
T
T
T
T
F
F
F
Si te portas bien,
F
T
(entonces) iremos hoy al teatro.
F
F
es cierto justamente cuando
lo es 𝑄, independientemente de 𝑃,
y también cuando ambos, 𝑃 o 𝑄, son falsos.
F
T
F
T
• Implicación:
𝑃→𝑄
xor
→
Ejercicios
• Forma tablas de verdad para las proposiciones siguientes:
𝑃⊕𝑃
𝑃 ⊕ ˥𝑃
˥𝑃˅𝑄
𝑃 → ˥𝑃
𝑃˅ 𝑃 ⊕ 𝑄
𝑃˅ 𝑃 → 𝑄
y simplifica lo que puedas.
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6. Algunas reglas de deducción (1/2)
• Modus ponens
p → q
p
-----------∴ q
Cuando llueve, soy feliz.
Llueve.
p : llueve
q : soy feliz
Soy feliz.
• Silogismo disyuntivo
p ˅ q
˥ p
-----------∴ q
Iremos al cine o al teatro.
No iremos al cine.
p : ...
q : ...
…
• Modus tollens
p → q
˥q
-----------∴ ˥ p
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Si tengo dinero, hago lo que quiero
No hago lo que quiero.
p : ...
q : ...
r : ...
…
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6. Algunas reglas de deducción (2/2)
• Definición del condicional
p → q
𝒅𝒆𝒇
˥ p ˅ q
• Ejercicio
Demuestra la equivalencia siguiente,
p → q
≡ ˥ q → ˥p
mediante aplicación de reglas conocidas y mediante tablas de verdad.
Transitividad del condicional
p → q
q → r
-----------∴ r
Si tengo dinero, hago lo que quiero
Si hago lo que quiero, soy feliz.
p : ...
q : ...
r : ...
…
• Ejercicio
Demuestra la transitividad del condicional mediante tablas de verdad.
• Ejercicio
Demuestra el modus tollens mediante tablas de verdad.
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7. Deducción
de
una
fórmula
lógica
𝑃
𝑄
𝑅
¿?
T
T
T
F
T
T
F
F
T
F
T
T
T
F
F
F
F
T
T
F
F
T
F
F
F
F
T
T
F
F
F
T
(p ˄ ˥ q ˄ r)
˅
(˥ p ˄ ˥ q ˄ r)
˅
(˥ p ˄ ˥ q ˄ ˥ r)
Simplificando:
(p ˄ ˥ q ˄ r) ˅ (˥ p ˄ ˥ q ˄ r) ˅ (˥ p ˄ ˥ q ˄ ˥ r)
≡
˥ q ˄ ( (p ˄ r) ˅ (˥ p ˄ r) ˅ (˥ p ˄ ˥ r) )
≡
˥ q ˄(
r
˅ (˥ p ˄ ˥ r) )
˥ q ˄(
r
˅ ˥ p)
≡
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