Relación 5.

Relación 5.
Modelos continuos de distribuciones.
1.– Sobre la recta real se seleccionan dos puntos a y b tales que -2≤b≤0, 0≤a≤3. Halle la
probabilidad de que la distancia entre ambos sea mayor que tres.
2.– Dos personas acuerdan encontrarse entre las 2 p.m. y las 3 p.m., con el pacto de no
esperarse más de 15 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentren?
3.– Un individuo desea invertir 5 millones de pesetas en dos negocios que dan intereses i1 e
i2, respectivamente. Suponiendo que i1 e i2 son variables aleatorias independientes, con
distribución i 1= U(0.045, 0.065) e i 2= U(0.035, 0.075):
a) Verifique que para cualquier política de inversión se obtiene la misma ganancia
esperada.
b) Obtenga la política que minimiza el riesgo de obtener ganancias pequeñas (tome como
función de riesgo la varianza).
4.– Una máquina se regula para cortar piezas de longitud L. La longitud real resulta ser L+X
donde X es una v.a. uniforme distribuida entre -5 y 5 cm. La longitud deseada es de 1 m. Las
piezas que resulten más largas pueden utilizarse previa eliminación (y consiguiente pérdida)
del exceso. Las que resulten cortas se pierden por completo.
a) ¿Cuál es la longitud mínima a la que hay que regular la máquina, para que la
probabilidad de que una pieza se pierda por completo sea inferior al 10%?
b) Supuesto un coste proporcional a la longitud, ¿qué debe valer L para que el valor medio
de las pérdidas sea mínimo?
5.– a) Sean X e Y, dos variables aleatorias independientes. Determine la función de
distribución de las variables W= max(X,Y) y U= min(X,Y).
b) Suponga, además, que X e Y son uniformes en (0,a). Determine la función de densidad
de W.
c) En las condiciones de (b), se define la variable Z, distribuida uniformemente en el intervalo
(0,W). Halle E(Z).
6.– Sea X una variable aleatoria que sigue una distribución normal con media 3 y desviación
típica 1.5. Calcule:
a) P(|X-3|≥2).
b) P(5.1≤X≤6.9).
c) P(X≥2).
d) Determine c para que P(X ≥c)≥0,985.
7.– Un camisero observa que el perímetro del cuello de sus clientes tiene una distribución
normal con media 36 y desviación típica 1.5 cm. Para planear su producción anual, se
pregunta: de 5.000 camisas que va a fabricar, ¿cuantas deben tener un cuello comprendido
entre las siguientes medidas: 32–34, 34–35, 35–37, 37–39, 39–41 cm.?
8.– Un tubo electrónico tiene una distribución de vida (en horas) normal con parámetros
(280,σ). ¿Cuál debe ser el máximo que debe alcanzar σ si queremos que el tubo tenga una
probabilidad de 0,80 de durar entre 240 y 320 horas?
Estadística aplicada a la empresa I.
1
9.– La media de una v.a. normal es 5 veces la desviación típica, además P(X<6) = 0,8413.
Halle:
a) µ y σ.
b) E(Y) y σ2(Y), donde Y= 3-X.
10.– En un banco se estudian los balances de cierta categoría de clientes, obteniéndose que
siguen una distribución de probabilidad con media 190.000 ptas. y desviación típica 56.000
ptas.
a) Obtenga una cota para la proporción de balances que se encuentran entre 50.000 y
330.000 ptas.
b) Suponiendo una distribución normal de los balances, resuelva a).
11– Sabiendo que la demanda de gasolina durante un cierto periodo de tiempo se comporta
como una normal con media 150.000 litros y desviación típica 10.000, determine la cantidad
que hay que tener dispuesta a la venta para satisfacer la demanda con probabilidad 0,95.
12.– Se debe elegir entre dos lugares A y B con el fin de construir una estación de
bomberos. Un análisis de la situación puso de manifiesto un tiempo medio de respuesta de
10,8 y 12 minutos para A y B, respectivamente, con desviaciones típicas de 3,1 y 2 minutos.
Se considera importante que los tiempos de respuesta sean menores de 15 minutos.
Suponiendo una distribución normal de tales tiempos, y teniendo en cuenta el criterio
anterior, ¿por cuál emplazamiento se decidiría?
13.– Un fabricante vende un artículo a un precio fijo de 100 ptas. Si el peso X del artículo es
inferior a 8 grs. no lo puede vender y representa una pérdida total. La distribución de los
pesos es característica del sistema de producción y es N(µ,1) donde la media puede ser
ajustada a voluntad. El coste de producción por artículo es de 5µ+30. Determine el nivel µ
que debe introducirse en la máquina para maximizar el beneficio esperado.
14.– Una fábrica produce paquetes de azúcar de 1 Kg. Debido a las fluctuaciones aleatorias
en el proceso de producción, el peso real de los paquetes, X, es una variable aleatoria con
distribución normal. Se observa que el 15 por 100 de los paquetes pesa menos de 1 Kg. y el
20 por 100 pesa más de 1,1 Kg.
a) Calcule la media y la desviación típica de X.
b) Supongamos que el coste de fabricación es proporcional al peso del paquete, y que el
precio de venta del paquete es p. Si el peso del paquete es inferior a 1 Kg. se debe de
retornar el importe íntegro del mismo, quedando el paquete en posesión del comprador.
Calcule el beneficio esperado por la venta de un paquete de azúcar.
15.– Una compañía conservera de tomates usa una máquina para llenar latas cuyo peso
neto establecido en la etiqueta es de 250 grs. Los pesos netos de las latas siguen una
distribución normal con media µ y desviación típica σ. El peso medio introducido en la lata
puede controlarse ajustando los controles de la máquina. La desviación típica no puede ser
alterada pues es una característica intrínseca de la máquina. Por los datos del fabricante se
sabe que σ=0,5. Supongamos que se desea que no más del 0,5% de las latas contengan un
peso mayor del especificado en la etiqueta. ¿En que nivel debe fijarse el llenado medio para
cumplir con este requisito?
Estadística aplicada a la empresa I.
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16.– Se consideran n variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas según
una N(µ,2). Determine el valor de n para que la media aritmética de esas variables no difiera
del valor de µ en más de 2 unidades con una probabilidad de al menos 0,95.
17.– Una empresa comercializa azúcar en terrones. El producto se vende en cajas de 100
unidades. El peso de cada terrón se distribuye como una normal de media µ y desviación
típica 1. El valor de la media puede controlarse, y en la actualidad es de 10 grs. (Se supone
que los pesos de cada terrón son independientes).
a) ¿Qué peso debe poner en la etiqueta de las cajas para asegurarse de que al menos el
99% tienen ese peso o uno mayor?
b) Si el peso de cada caja debe ser de 1.000 grs., ¿a qué nivel debe colocarse la media µ
para seguir cumpliendo el requisito anterior?
18.– Un fabricante vende una pieza de cierta aleación que debe tener un grado máximo de
impurezas. Si estas superan el 10%, la pieza es rechazada y representa la pérdida total del
coste de producción. La distribución del tanto por uno de impurezas es propio del sistema y
sigue una distribución N(µ,1), donde µ puede ser controlada ajustando el proceso de
producción (0<µ<1). El coste por artículo es de 1.100-1.000µ y el precio de venta es 2.510
ptas. Determine µ para maximizar el beneficio esperado.
19.– Un almacén tiene a la venta dos tipos de aparatos eléctricos.
a) Supongamos que la duración en miles de horas de cada aparato, sigue una distribución
exponencial de media 2 para los de tipo I y 5 para los del tipo II. Si la probabilidad de que
un determinado cliente compre un artículo de tipo II es doble que la probabilidad de que
compre uno de tipo I, ¿cuál es la probabilidad de que un aparato comprado sea de tipo II
sabiendo que la duración del mismo ha sido inferior a 6.000 horas?
b) Supongamos que el número de aparatos demandados de tipo I y de tipo II sigue una
distribución de Poisson de parámetros 4 y 8 respectivamente, y que la demanda de
aparatos de un tipo es independiente de la del otro.
b1) Si la demanda de al menos un tipo de artículos no puede ser satisfecha se incurre en
un coste C. Calcule el coste esperado si el almacén dispone de 8 artículos de tipo I y de
15 de tipo II.
b2) Si los artículos fueran sustitutivos, ¿cuantos artículos debería tener el almacén para
poder satisfacer la demanda en al menos el 95% de los casos?
20.– Cuando un avión llega a un aeropuerto, debe permanecer un cierto tiempo
sobrevolando en espera de poder aterrizar. Supongamos que el tiempo en minutos que
debe esperar sigue una distribución exponencial de media 1/(λn), siendo λ el coeficiente de
eficiencia y n el número de pistas abiertas.
a) Si λ=0,075, calcule el número de pistas necesarias para que al menos el 95% de los
aviones no tenga que esperar más de 20 minutos.
b) Supongamos que el aeropuerto puede controlar λ y que el coste por día de mantener λ
en un cierto valor es de 10.000λn u.m. Supongamos también que el coste por mantener
un avión sobrevolando el aeropuerto es de 10.000 u.m. por minuto. Si un día se esperan
10 aviones determine el λ óptimo que ha de mantenerse en función de n para minimizar
los costes esperados.
21.– En una industria se dispone de una máquina que empaqueta un producto en dosis de
peso X, donde X está distribuido normalmente con media 25 gr. y desviación típica 0,8 gr. El
Estadística aplicada a la empresa I.
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peso del paquete vacío tiene también una distribución normal con media 5 gr. y desviación
típica 0.2 gr.
a) Periódicamente la empresa es inspeccionada mediante el cálculo del peso medio de 100
paquetes. Es multada si el resultado es inferior a 29 gr. ¿Cuál es la probabilidad de no
pasar la inspección?
b) Si el inspector quiere tener una certeza del 99% de que se pase la inspección mientras
las medias valgan lo indicado, ¿cuántos paquetes le bastaría incluir al hallar la media?
22.– Una compañía de autobuses debe cubrir un trayecto en un tiempo establecido de seis
horas. Se ha comprobado que el tiempo real de duración del trayecto sigue una distribución
N(6,σ/n), donde n es el número de conductores (1 ó 2) y σ es un parámetro que depende de
varios factores (temporada, número de viajeros, etc.).
a) Determine los valores de σ para los que, si conducen el vehículo dos personas, la
desviación con respecto al horario previsto sea a lo sumo de un cuarto de hora en al
menos un 95% de los casos.
b) Supongamos que en una cierta temporada se ha estimado que σ=0,49. Si un retraso
superior a media hora le causa a la empresa una pérdida de k u.m., calcule los valores
de k para los que es preferible poner dos conductores si a un solo conductor la empresa
le paga 20.000 u.m. por viaje, mientras que si son dos conductores ha de pagarles
15.000 a cada uno.
c) Supongamos de nuevo que σ=0,49 y que es igualmente probable que un viaje lo realicen
uno o dos conductores. Si comprobamos que un viaje ha sufrido un retraso superior a
media hora, ¿qué es más probable, que lo haya realizado un conductor o dos?
23.– Una compañía conservera dispone de dos procesos distintos para envasar sus
productos. El 80% de la producción es envasada mediante el primer proceso y el resto
mediante el segundo. Un producto envasado, durante su almacenamiento, pierde un tanto
por ciento de su peso. El porcentaje de peso perdido por un producto sometido al primer
proceso es una v.a. que sigue una distribución N(µ=3,4, σ=0,5) y el de los sometidos al
segundo N(µ=a, σ=0,5).
a) Si a=4,1 y un inspector examina un producto para comprobar que éste no ha perdido
más del 4%, determine la probabilidad de que pase el examen.
b) Si a=4,1 y el producto pasa el examen, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido
envasado mediante el primer proceso? ¿Y si no lo pasa?
c) Si la empresa puede regular a, calcule a qué valores ha de colocarlo para que al menos
el 90% de la producción pase la prueba.
24.– Consideremos tres instrumentos independientes, dispuestos en paralelo. Supongamos
que sus tiempos de fallo respectivos siguen distribuciones exponenciales de parámetros b1,
b2 y b3.
a) Calcule la probabilidad de que la duración total del sistema sea superior a t.
b) Calcule la función de densidad de dicha duración.
c) Si b 1=b2=b3 , calcule la duración media.
25.– Una linterna es alimentada por cinco pilas, que funcionan de forma independiente, y
cuyo tiempo de vida es para cada pila una v.a. exponencial con λ=0,001 (el tiempo se mide
en horas). La linterna deja de ser útil cuando dejan de funcionar tres o más pilas. Calcule la
probabilidad de que la linterna se pueda utilizar durante más de 1.000 horas.
Estadística aplicada a la empresa I.
4
26.– Un sistema eléctrico dispone en su interior de 3 válvulas dispuestas de manera que la
segunda empieza a funcionar al fallar la primera, y la tercera, al fallar la segunda. El sistema
falla al romperse la última.
a) ¿Cuál es la distribución del tiempo de fallo del sistema, si el de cada válvula sigue una
exponencial de media 5 años, independientemente entre si?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que funcione más de 30 años, si se sabe que ya ha
funcionado más de 15?
27.– Dada la v.a. X con distribución β(α,2), encuentre la función de densidad de Y=–lnX.
28.– Se desea estudiar la proporción de personas a favor de una determinada opción
política. Para ello se considera que tal proporción es una v.a. que, expresada en tanto por
uno, toma valores entre 0 y 1. Se piensa que esta proporción se puede modelizar mediante
una distribución beta de parámetros adecuados. Si se estima que la media es 0,6 y la
desviación típica es 0,2, calcule su distribución. ¿Con qué confianza podrá esperar dicha
opción política que, en las próximas elecciones, su resultado difiera de un 70% de votantes
en, a lo sumo, un 10%?
29.– Sean X, Y, Z vv.aa. independientes con distribuciones respectivas exp(1/2), Γ(1/2,1/2) y
N(0,1). ¿Cómo se distribuye la v.a. X+Y+Z2?
30.– Sean X,Y vv.aa. con función de densidad conjunta f(x,y)=xe–(x+y ) si x≥0,y≥0 (0 en el
resto). Sean X 1,X2 dos vv.aa. independientes y con la misma distribución que X, e Y1,Y2 dos
vv.aa. independientes entre si e independientes de las Xi anteriores, con la misma
distribución que Y. Calcule la probabilidad de que U=(X 1+X 2)/2 no supere a V=(Y1+Y2)/2.
31.– Sea X una v.a. exponencial. Dados x>0 y t>0 demuestre que P(X>t+x/X>t)=P(X>x).
32.– Sean X, Y vv.aa. independientes que siguen distribuciones χ2 con 3 y 5 grados de
libertad respectivamente. Calcule:
a) P(X>0,352)
b) P(Y<15,01)
c) c tal que P(X+Y>c)≥0,75
d) c para que P(X+Y<c) ≥ 0,95
33.– Sean X, Y vv.aa. independientes que siguen distribuciones χ2 con n y m grados de
libertad respectivamente. Calcule m y n sabiendo que P(X<2,204)=0,10 y que
P(X+Y<10,22)=0,75
34.– Sea X una v.a. que sigue una t15. Calcule:
a) P(X≥2,602)
b) P(X≥–1,753)
c) c tal que P(X≥c)≥0,025
d) c tal que P(X≤c)≥0,99
35.– Sea X una v.a. que sigue una distribución F 15,9. Obtenga:
a) c tal que P(X≥c)=0,05
b) c tal que P(X≤c)≥0,99
c) c tal que P (X ≤ c) ≤ 0.01
Estadística aplicada a la empresa I.
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36.– a) Sean X1, X2,...Xn, v.a. independientes N(0,σ). Determine cómo se distribuye la v.a.
Z=X12+...+X n2.
b) Sean Y1, Y2,...Yn , vv.aa. independientes N(0,σ). Determine cómo se distribuye la v.a.
V = ( Y12 + ... + Yn2 ) n
c) Calcule la función de densidad de la v.a. Z/V (suponga los Xi e Yi independientes
entre sí).
37.– a) Sean X e Y vv.aa. independientes N(0,1). Demuestre que Z=(X+Y) y T=(X-Y) son
también independientes.
b) Encuentre la distribución, la media y la varianza de Z2/T2.
38.– Sean X 1, X2,...Xn, vv.aa. independientes e idénticamente distribuidas según una N(0,σ).
Determine la función de densidad de la v.a. Y = ( X21 + ... + X 2n )1/ n . ¿Cómo se distribuye la v.a.
Z=X2/Yn, siendo X una cualquiera de las X i anteriores?
39.– a) Encuentre una relación entre los percentiles de órdenes β y 1-β de una variable F de
Snedecor y su inversa.
2
+ 2 + ... + Xm2
b) Sea V = 2 X12 X2
donde X1,X2,...,Xm,...,Xn, son todas vv.aa.
X1 + X2 + ... + X2m + ... + X2n
independientes N(0,1).
b1) Encuentre la distribución de V.
b2) De una expresión para E(1/V).
40.– Sean X, Y, Z, T, cuatro vv.aa. independientes e idénticamente distribuidas N(0,1). Se
definen las vv.aa. U=(X 2+Y2+Z2)/T2 y V=T2. Obtenga la función de densidad de U
condicionada a V y de V condicionada a U, indicando qué tipo de distribución sigue cada una
de ellas.
41.– El número de vehículos que llega a un punto de peaje de una autopista durante un
intervalo de tiempo de t unidades, se distribuye según una variable aleatoria de Poisson de
parámetro λt.
a) Determine la distribución que sigue la variable aleatoria T definida como el tiempo que
transcurre desde que llega un vehículo hasta que lo hace el siguiente.
b) Suponiendo que el tiempo transcurrido es ya superior a r unidades, ¿qué probabilidad se
tiene de que sea superior a r+s?
42.– El número de individuos que llega a una cola en un intervalo de tiempo [0,t] sigue la
distribución Pt(X=k)=(λt)ke–λt/k! si k=0,1,2,.... Determine la distribución del tiempo que pasa
hasta que llegan r individuos, explicitando la función de densidad correspondiente. Indique
además cuál sería la media y la varianza de esa variable.
SOLUCIONES:
1.– 1/3
2.– 7/16
3.– a) 275.000 ptas. b) 1.000.000 pata i 2, 4.000.000 para i1
4.– a) L>104 cm. b) L=105,6
Estadística aplicada a la empresa I.
6
5.– a) F W(w)=F X(w)F Y (w), F U(u)=1–(1–FX(u))(1–FY (u))
b) fW(w)=2w/a 2 si 0<w<a (0 en el resto) c) a/3
6.– a) 0,18352 b) 0,0761 c) 0,7486 d) c≤–0,255
8.– 31,25
9.– a) ì=5, σ=1 b) –2, 1
10.– a) 0,84 b) 0.9876
11.– 166.500
12.– El B.
13.– µ=10,038
14.– a) µ=1.055, σ=0,053 b) 0,85p–1,055k
15.– µ≤248,71
16.– n≥4
17– a) a≤976,7 b) µ≥10,233
18.– µ=0,04784
19.– a) 2(1–e–6/5)/(3–2e–6/5–e–3) b1) 0,0294 b 2) q≥18
20– a) n≥2 b) λ=(10)1/2/n
21.– a) 0 b) n≥4
22.– a) σ≤0,255 b) Si k>75.063,8 son preferibles dos conductores c) Un solo conductor
23.– a) 0,79206 b) 0,89377 0.44282 c) a≤3,12
24.– a) 1–(1–e –b1t)(1–e–b2t) (1–e –b3t) si t>0 (1 en el resto)
b) fY (t) es la derivada respecto de t de uno menos la expresión anterior. c) 11/(6b)
25.– 0,2636
26.– a) Γ(3,1/5) b) 0,146
27.– (α+1)αe–yα(1–e–y ) si y >0 (0 en el resto)
28.– β(3,2), 0344
29.– Γ(1/2,2)
32– a) 0,95 b) 0,99 c) c≤5,07 d) c≥15,5
33.– n=6, m=2
34.– a) 0,01 b) 0,95 c) c≤2,131 d) c≥2,602
35.– a) 3,01 b) c≥4,96 c) c≤0,2571
36.– a) fZ(z)=fχ2n(z/σ2)/σ2 b) fV (v)=nfχ2n(nv/σ2)/σ2 c) fW(w)=f Fn,n(w/n)/ n
37.– b) Una F 1,1
1
 1/z- 1
38.– a) fY (y)=nyn–1fχ2n(yn/σ2)/σ2 b) f Z (z) = f F n-1,1 
si z > 0
 2
 n- 1  z (n- 1)
39.– a) Son inversos entre sí
m
 m ( 1/v - 1 ) 
b1) f V (v) = f F n-m,m 
si v > 0 b2) 1+(n–m)/(m–2)
 2
 n-m
 v (n- m)
40.– fU(u)=2(u) 1/2/(π(1+u)2) si u>0 (0 en el resto)
fV (v)=e–-v/2/(Γ(1/2)(2v) 1/2) si u>0 (0 en el resto)
Si v>0, U condicionada a V=v sigue una Γ(v/2,3/2).
Si u>0, V condicionada a U=u sigue una Γ((u+1)/2,2).
41.– a) Exponencial de parámetro λ.
b) e -λs
42.– Γ(λ,r) E(Y)=r/λ var(Y)=r/λ2
Estadística aplicada a la empresa I.
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