CAPITULO 1 ANALISIS ESTRUCTURAL _____________________________________________________________________________________________ Capítulo 1 Introducción al análisis de estructuras de barras 1.1- Conceptos generales El análisis estructural consiste en la determinación y estudio de tensiones, deformaciones y reacciones, que ocurren en una estructura al ser sometida a acciones exteriores tales como: cargas (gravitatorias, viento, etc.), efectos térmicos, movimiento de apoyos, deformaciones impuestas, etc. El análisis estructural proporciona los fundamentos para producir diseños estructurales adecuados, al ocuparse de establecer la relación entre causas y efectos. El desarrollo del proyecto de una estructura, proceso conocido como “diseño estructural”, se apoya en normas y preceptos que surgen del análisis estructural, así como también en reglas prácticas y empíricas que dependen fuertemente de la modalidad o carácter del proyectista. El análisis estructural proporciona soluciones únicas y precisas, mientras que el diseño estructural está influenciado por aspectos prácticos y subjetivos que hacen que dos diseños igualmente correctos o válidos puedan ser muy distintos entre sí. En este curso se estudia la formulación y resolución de problemas estáticos y dinámicos para estructuras de barras, en general, en régimen elástico. Se presentan los métodos generales para abordar cualquier tipo de estructura, indicándose modalidades corrientes de estos métodos para la resolución de tipos particulares de configuraciones estructurales. _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -1- CAPITULO 1 ANALISIS ESTRUCTURAL _____________________________________________________________________________________________ 1.2- Tipos de estructuras de barras y modelos de análisis Los dos tipos básicos de estructuras que se estudian en este curso son “reticulados” y estructuras de “alma llena”. Las estructuras de tipo “reticulado” consisten en barras prismáticas conectadas en nudos a los que convergen los ejes baricéntricos de las piezas concurrentes. Las cargas exteriores se suponen aplicadas en los nudos que se asume que no tienen capacidad de transmitir momentos flectores de una barra a otra adyacente (Figura 1.1). Suponiendo que el sistema descripto sea “inicialmente estable”, es decir, que sea por lo menos isostático (o hiperestático), las cargas se equilibran exclusivamente mediante esfuerzos axiales en las barras. Figura 1.1 Las estructuras de “alma llena” poseen nudos rígidos capaces de transmitir momentos flectores entre las barras (Figura 1.2). Este tipo de estructuras presenta una gran cantidad de variantes; la Figura 1.2.a muestra una viga tipo “Vierendell” en la que las cargas se equilibran fundamentalmente a través de esfuerzos cortantes y flectores en las barras, aunque también con alguna participación de las fuerzas axiales. b) a) Nd c) Ad Figura 1.2 _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -2- CAPITULO 1 ANALISIS ESTRUCTURAL _____________________________________________________________________________________________ Si a esta estructura se le colocan tensores según las diagonales y se supone que estos tensores no tienen capacidad alguna de transmitir flexión, el sistema continúa siendo de tipo nudos rígidos, pero los esfuerzos flexionales se reducen apreciablemente y las cargas aplicadas en los nudos se resisten en una mayor proporción por fuerzas axiales respecto a la Figura 1.2.a. La representación gráfica de la relación entre la fuerza en una diagonal Nd y el área Ad de la sección de las diagonales, para un determinado estado de cargas exteriores, presenta la forma indicada en la Figura 1.2.c. La contribución del tensor resulta nula para valores de Ad próximos a cero, por lo que la deformación del bastidor, y por lo tanto el alargamiento del tensor l , es independiente de Ad . El esfuerzo crece proporcionalmente con el área: Nd Ad . E.l l Dicha curva tiene una asíntota que corresponde al valor límite de carga axial que puede tomar la diagonal. Ello se debe a que, si bien a mayor Ad corresponde mayor Nd , para grandes secciones Ad comparables con las áreas de las restantes barras, el sistema comienza a comportarse casi como un reticulado y el valor de carga axial tiende al que se obtiene por medio de dicho modelo de cálculo, valor que naturalmente es acotado. Este ejemplo pone de manifiesto que una estructura de nudos rígidos podría analizarse, bajo ciertas condiciones de proporción entre sus miembros, como si fuese un reticulado. En tal caso, los esfuerzos de flexión que seguramente aparecen, son de menor importancia y se los considera “secundarios”. En realidad, las estructuras cuya configuración permite calificarlas como reticulados ideales (también denominadas “celosías” o “cerchas”) en la mayoría de los casos se construyen con nudos que no son articulaciones perfectas, sino que presentan una cierta rigidez que depende del sistema de unión entre las barras. Cuando se usan remaches o bulones es necesario introducir chapas de nudo que permiten la transferencia de esfuerzos entre las distintas barras que convergen al nudo, y la disposición de esos remaches o bulones producen cierto grado de rigidez a los giros relativos entre las barras. Si se trata de uniones mediante cordones de soldadura, la rigidez al giro relativo resulta aún más notable. Sin embargo, como se menciona más arriba, si la configuración (geometría del conjunto más las propiedades mecánicas de las barras) es de tipo reticulado, la rigidez al giro relativo de los nudos introduce ciertos esfuerzos de flexión y corte en las barras; estas solicitaciones se consideran “secundarias” ya que no son indispensables para equilibrar las cargas exteriores, y merecen un tratamiento especial en el proceso de diseño. _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -3- CAPITULO 1 ANALISIS ESTRUCTURAL _____________________________________________________________________________________________ Elección del modelo adecuado La definición de un modelo de cálculo que refleje la realidad física requiere el desarrollo de cierto juicio basado en resultados de análisis detallados de casos similares. La sensibilidad a la elección del modelo adecuado se va adquiriendo con la experiencia. Un camino aconsejable para desarrollar esa experiencia consiste en analizar una misma estructura con modelos diferentes variando parámetros tales como la rigidez relativa para determinar cuál es el esquema principal o primario de transmisión de las cargas. De lo contrario, un analista puede trabajar continuamente con un único esquema basado simplemente en el hecho que “no se cae” sin advertir que está dimensionando las componentes en forma ineficaz. Hay que establecer el esquema primario o fundamental de: Fuerzas axiales o bien Flexión-Corte-Normal para la transmisión de las cargas a tierra. Como esto no siempre es obvio se debe adquirir sensibilidad experimentando distintos modelos para una misma estructura y comparando los resultados. El caso de la Figura 1.2.b, aún para pequeña rigidez relativa de las barras de los tensores, presenta un esquema primario de reticulado por ser “más fácil” (en realidad es más “rígido” y por lo tanto requiere menos deformaciones) transmitir cargas por efecto axial. Este hecho fortuito permite analizar como reticulado ideal a muchas estructuras cuyos nudos resultan relativamente rígidos como consecuencia de las uniones soldadas o remachadas. Por otro lado, no a todo lo que se asemeja a un reticulado conviene siempre analizarlo como tal. Cuando se debe analizar una torre para antena como la indicada en la Figura 1.3 puede resultar más conveniente adoptar un modelo de viga continua con propiedades equivalentes de corte y flexión, propiedades que deberán calcularse previamente de acuerdo con criterios que se describen más adelante. Las riendas o cables de la estructura funcionan como apoyos elásticos. _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -4- CAPITULO 1 ANALISIS ESTRUCTURAL _____________________________________________________________________________________________ K equivalente ( E.I ) equivalente ( Ac .G ) equivalente Realidad Fisica (Reticulado) Modelo Estructural (Alma llena) Figura 1.3 1.3- Ecuaciones para el análisis de sólidos deformables En la Figura 1.2.b, se define como esquema “primario” o “fundamental” el constituido por el reticulado de igual forma con los nudos articulados. Esa estructura es estáticamente determinada o isostática, y los esfuerzos axiales en la barras pueden ser obtenidas por consideraciones estáticas únicamente (equilibrio). Como ya se indicó, la verdadera estructura de la Figura 1.2.b equilibra parte de las cargas con esfuerzos de flexión en sus barras en una proporción que depende de la rigidez relativa de sus miembros; por lo tanto, salvo para valores muy extremos de Ad , la repartición de cargas no puede calcularse con consideraciones estáticas únicamente. El concepto de “rigidez”, como relación entre esfuerzos y deformaciones de una pieza, se torna crucial. En este ejemplo, la elongación de las diagonales causada por las fuerzas axiales Nd deberá ser compatible con los desplazamientos de los nudos extremos, valores que a su vez dependen de las fuerzas en las barras de la viga. Estas condiciones adicionales a las de equilibrio se denominan ecuaciones de compatibilidad, y resultan necesarias para definir unívocamente los esfuerzos y las deformaciones del sistema hiperestático. Resumiendo, se puede concluir que para realizar el análisis estructural es necesario, en general, definir y resolver simultáneamente los siguientes tipos de ecuaciones: a) Equilibrio b) Compatibilidad c) Constitutivas Los grandes métodos generales de análisis estructural corresponden a diferentes modalidades de eliminación de incógnitas en las ecuaciones a), b) y c), cuyos significados son: _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -5- CAPITULO 1 ANALISIS ESTRUCTURAL _____________________________________________________________________________________________ a) Se refiere a la suma de fuerzas y la suma de momentos iguales a cero. b) Establecen condiciones de congruencia geométrica y se las conoce también como relaciones cinemáticas. c) Están vinculadas a relaciones de rigidez, y dependen de las propiedades constitutivas del material que relacionan los esfuerzos (normal, flector, corte o torsión) con las respectivas deformaciones específicas (axial, curvatura flexional, distorsión al corte, y ángulo unitario de torsión). Nótese que las condiciones de compatibilidad son independientes tanto del tipo de material como de las secciones de las barras (ambas determinan la rigidez). Por ejemplo, en el caso de la Figura 1.2.b establecen que los extremos de los tensores permanecen unidos a los nudos de la columna en que se insertan. 1.4- Grado de hiperestaticidad El concepto de hiperestaticidad es el aspecto central para la formulación del Método de las Fuerzas que se desarrolla en el primer tercio del curso; posteriormente se estudia el método de los desplazamientos, donde el concepto de hiperestaticidad se torna irrelevante desde el punto de vista del análisis estructural. De todos modos, más allá de la importancia conceptual de la hiperestaticidad, o “redundancia estructural” para el desarrollo del método de análisis estructural, debe destacarse que esta redundancia estructural es de fundamental importancia para el diseño de las estructuras, que deriva de la existencia de “caminos alternativos” para equilibrar las cargas aplicadas en el caso de falla o deterioro en algunas de sus componentes. En este tipo de fallas se enmarcan la formación de rótulas plásticas, asentamiento de las fundaciones, u otros defectos o situaciones imprevistas en el comportamiento de una estructura. De no existir redundancia, la estabilidad del conjunto depende del funcionamiento correcto de todas las componentes y no hay margen para fallas locales. Por lo tanto, se debe tener presente que la redundancia estructural es reconocida como uno de los aspectos más significativos al momento de diseñar una estructura y establecer los márgenes de seguridad frente a los distintos tipos de solicitaciones. En el Método de las Fuerzas, la dimensión del sistema de ecuaciones que se plantea y resuelve para hallar la distribución de esfuerzos resulta igual al grado de hiperestaticidad. Por lo tanto, el grado de hiperestaticidad determina el volumen del esfuerzo de cálculo necesario para hallar la solución, de allí su importancia operativa en el análisis estructural. Al margen de estas cuestiones computacionales, resulta importante remarcar que las estructuras isostáticas tienen un único mecanismo o esquema para equilibrar las cargas, mientras _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -6- CAPITULO 1 ANALISIS ESTRUCTURAL _____________________________________________________________________________________________ que en las hiperestáticas, si falla un mecanismo, pueden en ciertas condiciones comenzar a trabajar de una manera distinta y aún equilibrar las cargas a través de un mecanismo alternativo. Por ejemplo, si la viga continua de dos tramos de la Figura 1.4 llega a fluencia por el momento flector sobre el apoyo central, puede desarrollar una rótula plástica y trabajar como dos vigas simplemente apoyadas hasta que comiencen a ocurrir plastificaciones en el interior de los tramos. Para que sea posible esta distribución de esfuerzos es indispensable que la viga presente capacidad de deformación plástica sin que pierda su capacidad portante. Esto no ocurre para una viga de material frágil, ya que en ese caso al llegar al máximo momento se produciría una falla frágil, y el mecanismo de redistribución de esfuerzos no alcanzaría a desarrollarse. (Figura 1.5) l Figura 1.4 a) b) M M Mr Mp Ley momento - curvatura para un material elasto-plástico ideal Ley momento-curvatura para un material frágil linealmente elástico Figura 1.5 1.5- Vigas prismáticas de eje recto (ecuación de la elástica) Las barras prismáticas son aquellas que tienen una sección transversal constante a lo largo de su desarrollo y su eje longitudinal es recto. Considérese que el caso de una viga de sección continuamente variable puede ser aproximado por tramos rectos de sección constante. _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -7- CAPITULO 1 ANALISIS ESTRUCTURAL _____________________________________________________________________________________________ Sea una pieza prismática sometida a acciones de corte, flexión, axial y torsional descripta a través de las variables Q ( x ) , M ( x) , N ( x) y M t ( x ) donde x es la variable independiente sobre el eje de la pieza. En la Figura 1.6 se indican los esfuerzos asumiendo que no hay carga axial ni momento torsor distribuido en el tramo dx , es decir, sólo hay flexión y corte. M dM N N M Mt Q Q dQ dx Mt Convención de signos de la elastica y q ( ) Q ( ) M ( ) ( ) ( ) M ( ) y () Figura 1.6 Como ya se ha visto en el curso de Resistencia de Materiales, para el cálculo de la elástica o deformación de la viga en flexión son necesarios los tres tipos básicos de ecuaciones antes mencionados. a) Equilibrio Equilibrio de fuerzas: Q q.dx (Q dQ ) 0 q dQ dx (Ec. 1.1) Equilibrio de momentos: dx M Q.dx (q.dx). ( M dM ) 0 2 Inf . orden superior Q dM dx (Ec. 1.2) b) Ley de Hooke De la misma manera que se asocia la deformación específica al esfuerzo normal, se asocia la curvatura al momento flector a través de las relaciones: _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -8- CAPITULO 1 ANALISIS ESTRUCTURAL _____________________________________________________________________________________________ N A.E ; M E.I . M E.I ; Siendo d dx 1 d r dx (Ec. 1.3) A éstas se puede agregar la relación entre el corte y su distorsión asociada : Q Ac.G En el presente análisis no se tiene en cuenta la contribución del corte a la elástica. c) Compatibilidad Asumiendo válida la teoría de Euler-Bernoulli, las secciones planas y perpendiculares al eje baricéntrico permanecen planas y perpendiculares a la línea baricéntrica (elástica) después de la deformación. De esta forma: y dy dx x dy dx (Ec. 1.4) Una vez planteados los tres tipos básicos de ecuaciones, se pueden hacer las siguientes sustituciones. Derivando (Ec. 1.4) y sustituyendo en (Ec. 1.3) queda: M E.I . d2y dx 2 (Ec. 1.5) Derivando (Ec. 1.5) y sustituyendo en (Ec. 1.2) se tiene: Q E.I . d3 y dx3 (Ec. 1.6) Derivando (Ec. 1.6) y sustituyendo en (Ec. 1.1) se tiene: d4y q E.I . 4 dx (Ec. 1.7) La (Ec. 1.7) se designa habitualmente “ecuación diferencial de la elástica”. Resulta conveniente destacar que la ecuación de la elástica es una ecuación de equilibrio donde la incógnita que es el desplazamiento “y” se expresa como función de la carga “ q ”. _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -9- CAPITULO 1 ANALISIS ESTRUCTURAL _____________________________________________________________________________________________ Asimismo, se debe notar que no es lo mismo resolver (Ec. 1.7) que (Ec. 1.1). La ecuación (Ec. 1.7) no puede resolver el equilibrio sin considerar la deformación mientras que (Ec. 1.1) es sólo una de las ecuaciones diferenciales de la viga. Debe tenerse presente que al utilizar (Ec. 1.7) da lo mismo que la viga sea isostática o hiperestática porque este planteo es equivalente a estar resolviendo el problema por el Método de Rigidez (este método, también llamado Método de los Desplazamientos se estudia en detalle más adelante) Ejemplo: q cte A B x l Figura 1.7 Solución Homogénea: Y0 C0 C1 .x C2 .x 2 C3 .x 3 Solución Particular: Se propone una solución tal que derivando cuatro veces dé una constante. Yp C p .x 4 Resulta fácil obtener de la ecuación (Ec. 1.7) la relación entre C p y q : Cp q 24.E.I Y Y0 Yp C0 C1 .x C2 .x 2 C3 .x3 q .x 4 24.E.I Para calcular las cuatro constantes es necesario aplicar las cuatro condiciones de borde: En A: En B: Y (0) 0 Y (l ) 0 dY (0) (0) 0 dx d 2Y M (l ) (l ) 0 2 dx E.I Obsérvese que el concepto de hiperestaticidad no aparece explícitamente en este análisis. Si se consideran otras condiciones de apoyo sólo es necesario cambiar las condiciones de borde. _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -10- CAPITULO 1 ANALISIS ESTRUCTURAL _____________________________________________________________________________________________ q cte A B x l Figura 1.8 En A: En B: Y (0) 0 Y (l ) 0 d 2Y (0) 0 dx 2 d 2Y (l ) 0 dx 2 Derivamos (Ec. 1.2) y reemplazando en (Ec. 1.1): d 2M q dx 2 (Ec. 1.8) Que aparenta ser un camino más sencillo porque permite encontrar la distribución del momento flector integrando dos veces la carga dato “q”. Sin embargo, la (Ec. 1.8) no podrá resolverse a menos que el sistema sea isostático. Si, por ejemplo, a la viga de la figura se le agrega la condición de que los extremos no giren, se torna indispensable considerar los desplazamientos para obtener la solución del problema. 1.6- Conceptos generales de la estática de sistemas deformables La estática es la parte de la mecánica que estudia el planteo y resolución de las condiciones o ecuaciones de equilibrio. “Equilibrio estático” es la condición que se da cuando no se producen aceleraciones en las componentes o en el conjunto del sistema. Considérese en primer lugar configuraciones estructurales que en sus condiciones de servicio sufren “deformaciones pequeñas”. El concepto de “pequeñez” de las deformaciones será tratado cuantitativamente más adelante; por el momento será suficiente con aclarar que la forma de la estructura en su conjunto o algunas de sus componentes no cambia apreciablemente de forma al actuar las cargas exteriores. Sea el reticulado “ideal” (con articulaciones perfectas en la intersección de los ejes baricéntricos de las barras) de la Figura 1.9.a, que se puede apreciar es isostático. _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -11- CAPITULO 1 ANALISIS ESTRUCTURAL _____________________________________________________________________________________________ a) b) P Configuración Original Configuración Deformada Figura 1.9 En la Figura 1.9.b se esquematiza en escala distorsionada la configuración deformada correspondiente a una carga P en el extremo del voladizo. Dado que se estima que las deformaciones son pequeñas, es posible plantear las ecuaciones de equilibrio como si las fuerzas en las barras actuaran en la dirección original. Esto resulta sólo una primera aproximación, pero de esta manera se simplifica el cálculo ya que se reduce al caso de un sistema rígido estudiado en el curso anterior de “estática”. O sea que los esfuerzos en la barras se pueden calcular por los procedimientos de la estática sin tener en cuenta la deformabilidad de las barras. C B Figura 1.10 Supóngase ahora que se agrega una barra que vincule los puntos B y C (Figura 1.10). Esta estructura no es más isostática y no es posible por consideraciones estáticas exclusivamente determinar los esfuerzos de todas las barras. Se designa con T al esfuerzo de la barra CB y se analiza cómo varía T en función del área A de la sección transversal de la barra CB _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -12- CAPITULO 1 ANALISIS ESTRUCTURAL _____________________________________________________________________________________________ manteniendo constante las restantes barras. Al tender A a cero, la barra se hace infinitamente flexible, por lo que la fuerza T tiende a cero. Naturalmente T 0 cuando A 0 . Al aumentar A, la fuerza T aumenta ya que la barra se hace relativamente más rígida frente a la estructura original. Si A , T tiende a un límite finito (dicho valor corresponde a la reacción de apoyo móvil perpendicular a BC actuando en C ). En forma cualitativa, se espera una ley de variación de T en función de A tal como se indica en la Figura 1.11. T Límite A Figura 1.11 Un caso conceptualmente similar consiste en una torre de alma llena arriostrada con un tensor según se indica en la Figura 1.12. P Figura 1.12 Para poder calcular la fuerza T será necesario determinar la “deformabilidad” de la torre sin el tensor, ya sea ésta de reticulado o de alma llena. La determinación de la “deformabilidad” requiere el cálculo de la elástica que describe la posición en el espacio de la estructura deformada. La modalidad operativa del cálculo de estas deformaciones es distinta según sea un reticulado o un elemento de alma llena, lo que será estudiado en detalle en las secciones que siguen. Desde el punto de vista global, sin embargo, en el Método de las Fuerzas se procede de la siguiente manera: 1) Determinación de la elástica de la torre sola bajo la acción de las cargas exteriores P . _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -13- CAPITULO 1 ANALISIS ESTRUCTURAL _____________________________________________________________________________________________ 2) Imposición de las condiciones de compatibilidad de deformaciones entre la torre y el tensor. Estas condiciones llevan a la determinación del esfuerzo en el tensor 3) Cálculo de los esfuerzos y deformaciones de la torre bajo la acción de las cargas exteriores P y del esfuerzo en el tensor T , considerado también como una fuerza exterior. Ejemplo: Sea ahora el ejemplo de la viga con un apoyo elástico central según la Figura 1.13. q Sección A h l/2 l/2 Figura 1.13 Interesa conocer el diagrama de momentos flectores de la viga y el esfuerzo axial en la barra de apoyo. Se supone que el módulo elástico de la viga y de la columna es E en ambas componentes. De acuerdo a lo antes indicado, la determinación de la fuerza de reacción R que se genera en la barra central requiere los siguientes pasos: 1) Determinar la elástica de la viga sola, o sea, simplemente apoyada en los extremos. Por integración de la ecuación de la elástica se sabe que la flecha al centro 0 es: 5 q.l 4 0 384 E.I 2) Para establecer la condición de compatibilidad entre la viga y la barra debe reconocerse que esta última genera una fuerza concentrada R . Para ello se calcula el efecto que R tiene sobre la barra y el que R tiene sobre la viga. La viga bajo la acción de R , se deforma con una flecha central 1 , según la ecuación de la elástica dada por: 1 R.l 3 1 (hacia arriba) 48 E.I La barra bajo R se deforma: 2 R.h A.E _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -14- CAPITULO 1 ANALISIS ESTRUCTURAL _____________________________________________________________________________________________ La condición de compatibilidad establece que debe existir continuidad de desplazamiento vertical en la unión de la viga y de la barra. Por eso: 0 1 2 5 q.l 4 1 R.l 3 R.h 384 E.I 48 E.I A.E 5 q.l 4 I R 384 l3 h 48.I A (Ec. 1.9) Nótese que R es independiente de E , cuando este parámetro es uniforme en toda la estructura. Si se mantiene I constante, la ley de variación de R que es función de A está dada por la (Ec. 1.9), y tiene el aspecto indicado en la Figura 1.14. R Rmax A Figura 1.14 La asíntota horizontal corresponde al valor máximo de la reacción central que ocurre cuando A o sea que se tiene un apoyo rígido al centro. Según (Ec. 1.9) se obtiene: 5 Rmax .q.l 8 3) El diagrama final de momentos flectores se obtiene por superposición de la parábola debido a P y del triángulo debido a R (Figura 1.15) B A Figura 1.15 El vértice A del triángulo puede resultar por debajo del vértice de la parábola B (según Figura 1.15) o por encima del mismo, según el valor de R , que a su vez depende de la rigidez de la barra. En todo el desarrollo de este ejemplo se han empleado dos hipótesis de linealidad que son independientes entre sí. Por un lado, el material de la barra y de la viga cumple con la ley de _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -15- CAPITULO 1 ANALISIS ESTRUCTURAL _____________________________________________________________________________________________ Hooke. Por otro lado, al sufrir pequeñas deformaciones, la ecuación de la elástica es lineal, o sea que a doble carga corresponde el doble de deformación. La primera hipótesis se refiere al material de la estructura y la segunda al comportamiento cinemático de la misma. Estas hipótesis son aceptables en muchas situaciones prácticas, aunque deben reconocerse los tipos de casos donde estas simplificaciones no son apropiadas. Como ejemplo ilustrativo de estructuras con comportamiento no lineal, se puede mencionar al cable tendido de la Figura 1.16.a. a) A B l b) P A B Figura 1.16 Su forma corresponde a la curva funicular del peso propio del cable y que pasa por puntos de apoyo. Al aplicar una carga concentrada P el cable cambia apreciablemente de forma (Figura 1.16.b) y aún cuando sea de material linealmente elástico, el comportamiento de la estructura será no lineal, es decir que la relación entre la flecha y la magnitud de la carga no es lineal debido a efectos cinemáticos. Se dice que la estructura posee no-linealidad de tipo “geométrica”. Otro ejemplo de este tipo es la viga cargada axial y transversalmente al mismo tiempo (Figura 1.17). V P P l Figura 1.17 _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -16- CAPITULO 1 ANALISIS ESTRUCTURAL _____________________________________________________________________________________________ El diagrama de momentos flectores tiene dos componentes. Una debido a V de variación lineal en función de x, y tiene la forma de un triángulo. Otra debido a P , tiene una forma suave, sin quiebres y se debe a la excentricidad de P con motivo de la deformación provocada por V . Naturalmente esta última componente no aparecerá si se planteara la ecuación diferencial de la elástica suponiendo el eje longitudinal recto. Esta parte del diagrama es función no lineal de P , o sea que, a doble P no corresponde doble momento adicional. En este caso, dependiendo del valor de P a considerar, puede ocurrir el fenómeno de inestabilidad de forma o pandeo en el cual los momentos flectores provocados por P no pueden ser equilibrados sino con grandes deformaciones transversales de la viga. _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -17-