desarrollo de modelo de coordinación hidrotérmica en el corto plazo

UNIVERSIDAD CENTROAMERICANA
"JOSÉ SIMEÓN CAÑAS"
DESARROLLO DE MODELO DE COORDINACIÓN
HIDROTÉRMICA EN EL CORTO PLAZO UTILIZANDO
TÉCNICAS DE OPTIMIZACIÓN
TRABAJO DE GRADUACIÓN PREPARADO PARA LA
FACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA
PARA OPTAR AL GRADO DE
INGENIERO ELECTRICISTA
POR
HERBERTH ALFREDO IBARRA ALVARENGA
RENÉ HUMBERTO ALFARO CHINCHILLA
SEPTIEMBRE 2005
SAN SALVADOR, EL SALVADOR, C.A.
RECTOR
JOSÉ MARÍA TOJEIRA, S.J.
SECRETARIO GENERAL
RENÉ ALBERTO ZELAYA
DECANO DE LA FACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA
CELINA PÉREZ RIVERA
COORDINADOR DE LA CARRERA DE INGENIERIA ELECTRICA
OSCAR VALENCIA
DIRECTOR DEL TRABAJO
RIGOBERTO CONTRERAS
LECTOR
JUAN CARLOS MORALES ESCOBAR
DEDICATORIA
Al único que merece toda la gloria, la honra y la adoración, al Rey de reyes y Señor de señores. A
Jesús, quien me dio vida cuando estaba muerto, y quien es la principal razón de mi existencia.
A mis padres María Olga de Ibarra y Modesto Ibarra, por todo el apoyo que me han brindado
durante mi formación.
Herberth.
DEDICATORIA.
A Dios principalmente, por que todo conocimiento y sabiduría viene de él. A él sea toda la gloria.
A mi madre que con su esfuerzo y sacrificio me permitió alcanzar esta meta, esto es para vos
NANA.
A Adrianita por ser la inspiración de mi esfuerzo y por ser la felicidad en mi vida, te amo princesa!
a ti Lorena gracias por tu amor y apoyo en los momentos difíciles, te amo.
A toda mi familia por apoyarme y darme animo, Vicky, Moisés, Papi, Mami, Naranjos, gracias a
todos por aguantarme.
A las Familias Chavarria y Girón por su ayuda, confianza y cariño durante todo este tiempo.
A todos por ayudarme a alcanzar esta meta tan importante para mi y por sus oraciones en cada
momento.
René.
AGRADECIMIENTOS
Queremos agradecer a Dios, por darnos fuerzas y ayudarnos en toda nuestra formación.
Estamos muy agradecidos con nuestro director de tesis, el Ing. Rigoberto Contreras, por su ayuda
y por el interés que manifestaba en que nosotros aprendiéramos.
También queremos agradecer al Ing. Oscar Valencia y al Ing. Ismael Sánchez, por todo el apoyo
que nos han brindado.
Queremos expresar nuestro agradecimiento a cada una de las personas que de una u otra forma
han hecho posible la elaboración de esta tesis, desde los que oran, hasta los que han participado
en los detalles más pequeños; a todos ellos, muchas gracias y que Dios les bendiga.
ÍNDICE GENERAL
SIMBOLOGIA ............................................................................................................................ i
RESUMEN EJECUTIVO ..........................................................................................................vii
1.0 CONCEPTOS DE DESPACHO TERMICO, DUALIDAD Y COORDINACION HIDROTERMICA.
1.1 Introducción. ........................................................................................................................ 1
1.2 El concepto de Dualidad. .................................................................................................... 1
1.3 Método de Relajación de Lagrange para la asignación de unidades térmicas .................. 3
1.3.1 Planteamiento Matemático............................................................................................... 3
1.4 Coordinación Hidrotérmica.................................................................................................. 8
1.4.1 Formulación del problema mediante Relajación de Lagrange......................................... 8
1.4.2 Significado económico de los multiplicadores de Lagrange. ......................................... 14
1.5 Ilustración de la Dualidad: Mercados en base a costos o en base a precios. .................. 15
1.5.1 El esquema centralizado en base a costos o método primal......................................... 16
1.5.2 Mercado competitivo en base a precios o esquema dual.............................................. 16
2.0 “MODELO DE EXPLOTACION DE GENERACION Y TRANSMISION”.
2.1 Introducción ....................................................................................................................... 19
2.2 Formulación....................................................................................................................... 20
2.2.1 Limites de potencia ........................................................................................................ 21
2.2.2 Rampa de subida. .......................................................................................................... 21
2.2.3 Rampa de bajada. .......................................................................................................... 22
2.2.4 Rampa de Arranque. ...................................................................................................... 23
2.2.5 Rampa de Parada. ......................................................................................................... 24
2.2.6 Restricciones Lógicas. ................................................................................................... 24
2.2.7 Restricciones de Carga. ................................................................................................. 25
2.2.8 Restricciones de reserva de potencia ............................................................................ 29
2.2.9 Restricciones de limites de ángulos ............................................................................... 29
2.2.10 Restricción de balance hidráulico................................................................................. 29
2.3 Complejidad Matemática................................................................................................... 31
3.0 PROGRAMA DE COORDINACION HIDROTERMICA GENERACIÓN –TRANSMISION
3.1 Introducción ....................................................................................................................... 33
3.2 Algoritmo del programa de despacho hidrotérmico .......................................................... 34
3.2.1 Estructura del algoritmo ................................................................................................. 35
3.3 Problema de aplicación ..................................................................................................... 38
3.3.1 Resultados Caso I (sin congestión-3 períodos) ............................................................. 52
3.3.2 Resultados Caso II (congestión-3 períodos).................................................................. 60
3.3.3 Resultados Caso III (sin congestión-24 períodos) ......................................................... 68
3.3.4 Resultados Caso IV(congestión-24 períodos) ............................................................... 83
4.0 CARGO POR CAPACIDAD
4.1 Introducción ....................................................................................................................... 99
4.2 Marco conceptual del cargo por capacidad .................................................................... 100
4.3 Conceptos y definiciones ................................................................................................ 100
4.4. Asignación del cargo por capacidad a las unidades generadoras................................. 102
4.5 Justificación numérica del cargo por capacidad...... ..................................................... 105
4.5.1 Curva de duración de carga ......................................................................................... 105
4.5.2 Curvas de proyección................................................................................................... 106
4.6 Caso de Chile ..................................................................................................................112
4.6.1 Estudio de la reglamentación en Chile......................................................................... 113
4.6.2 Análisis de la propuesta del nuevo Reglamento. ......................................................... 117
5.0 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES.
5.1 Conclusiones ................................................................................................................. 121
5.2 Recomendaciones......................................................................................................... 122
Bibliografía........................................................................................................................... 125
ANEXO A Modelo de flujo de cargas DC
ANEXO B Código de programa de coordinación hidrotermica
ÍNDICE DE FIGURAS
CAPITULO 1
Figura 1.1 Gráficas de una función Primal y Dual .......................................................................... 3
CAPITULO 2
Figura 2.1 Modelo de las pérdidas en una línea ........................................................................... 26
Figura 2.2.Esquema de un embalse y su correspondiente central hidráulica............................... 30
CAPITULO 3
Figura 3.1 Esquema genérico del despacho hidrotérmico ............................................................ 34
Figura 3.2 Flujograma del despacho hidrotérmico ........................................................................ 37
Figura 3.3 Diagrama unifilar del sistema hidrotérmico .................................................................. 38
Figura 3.4 Centrales hidroeléctricas en cascada .......................................................................... 42
Figura 3.5 Representación matricial del balance de potencias..................................................... 45
Figura 3.6 Representación matricial del balance hidráulico.......................................................... 47
Figura 3.7 Caso I. Potencia inyectada por las centrales hidráulicas............................................. 52
Figura 3.8 Caso I. Volumen final de cada embalse....................................................................... 53
Figura 3.9 Caso I. Valor del agua.................................................................................................. 54
Figura 3.10 Caso I. Potencia inyectada por las centrales térmicas .............................................. 56
Figura 3.11 Caso I. Costos marginales nodales. .......................................................................... 58
Figura 3.12 Caso I. Diagrama unifilar con resultados a la hora de mayor demanda.................... 59
Figura 3.13 Caso II. Potencia inyectada por las centrales térmicas. ............................................ 63
Figura 3.14 Caso II. Diagrama unifilar con resultados a la hora de mayor demanda................... 66
Figura 3.15 Caso III-IV Demanda vrs. Horas ................................................................................ 68
Figura 3.16 Caso III. Potencia inyectada por las centrales hidráulicas......................................... 69
Figura 3.17 Caso III. Potencia Hidráulica Total............................................................................. 69
Figura 3.18 Caso III. Volumen final de cada embalse................................................................... 70
Figura 3.19 Caso III. Valor del agua.............................................................................................. 72
Figura 3.20 Caso III. Potencia inyectada por las centrales térmicas ............................................ 75
Figura 3.21 Caso III. Potencia térmica total .................................................................................. 76
Figura 3.22 Caso III. Costos marginales nodales ......................................................................... 79
Figura 3.23 Caso III. Diagrama unifilar con resultados a la hora de mayor demanda.................. 80
Figura 3.24 Caso III. Potencias finales despachadas ................................................................... 81
Figura 3.25 Caso III. Demandas y Potencias totales. ................................................................... 81
Figura 3.26 Caso III. Evolución del valor primal y dual ................................................................. 82
Figura 3.27 Caso III. Evolución del valor Duality Gap................................................................... 82
Figura 3.28 Caso IV. Potencia inyectada por las centrales hidráulicas ........................................ 83
Figura 3.29 Caso IV. Potencia Hidráulica Total ............................................................................ 84
Figura 3.30 Caso IV. Volumen final de cada embalse .................................................................. 85
Figura 3.31 Caso IV. Valor del agua ............................................................................................. 86
Figura 3.32 Caso IV. Potencia inyectada por las centrales térmicas............................................ 90
Figura 3.33 Caso IV. Potencia térmica total .................................................................................. 90
Figura 3.34 Caso IV. Costos marginales nodales ......................................................................... 93
Figura 3.35 Caso IV. Diagrama unifilar con resultados a la hora de mayor demanda ................. 94
Figura 3.36 Caso IV. Potencias finales despachadas................................................................... 95
Figura 3.37 Caso IV. Demandas y Potencias totales ................................................................... 96
Figura 3.38 Caso IV. Evolución del valor primal y dual................................................................. 97
Figura 3.39 Caso IV. Evolución del valor Duality Gap .................................................................. 97
CAPITULO 4
Figura 4.1. Asignación del precio de punta ................................................................................. 104
Figura 4.2. Curva de duración de carga ...................................................................................... 106
Figura 4.3 Curvas de proyección................................................................................................ 107
ÍNDICE DE FIGURAS
CAPITULO 1
Figura 1.1 Gráficas de una función Primal y Dual .......................................................................... 3
CAPITULO 2
Figura 2.1 Modelo de las pérdidas en una línea ........................................................................... 26
Figura 2.2.Esquema de un embalse y su correspondiente central hidráulica............................... 30
CAPITULO 3
Figura 3.1 Esquema genérico del despacho hidrotérmico ............................................................ 34
Figura 3.2 Flujograma del despacho hidrotérmico ........................................................................ 37
Figura 3.3 Diagrama unifilar del sistema hidrotérmico .................................................................. 38
Figura 3.4 Centrales hidroeléctricas en cascada .......................................................................... 42
Figura 3.5 Representación matricial del balance de potencias..................................................... 45
Figura 3.6 Representación matricial del balance hidráulico.......................................................... 47
Figura 3.7 Caso I. Potencia inyectada por las centrales hidráulicas............................................. 52
Figura 3.8 Caso I. Volumen final de cada embalse....................................................................... 53
Figura 3.9 Caso I. Valor del agua.................................................................................................. 54
Figura 3.10 Caso I. Potencia inyectada por las centrales térmicas .............................................. 56
Figura 3.11 Caso I. Costos marginales nodales. .......................................................................... 58
Figura 3.12 Caso I. Diagrama unifilar con resultados a la hora de mayor demanda.................... 59
Figura 3.13 Caso II. Potencia inyectada por las centrales térmicas. ............................................ 63
Figura 3.14 Caso II. Diagrama unifilar con resultados a la hora de mayor demanda................... 66
Figura 3.15 Caso III-IV Demanda vrs. Horas ................................................................................ 68
Figura 3.16 Caso III. Potencia inyectada por las centrales hidráulicas......................................... 69
Figura 3.17 Caso III. Potencia Hidráulica Total............................................................................. 69
Figura 3.18 Caso III. Volumen final de cada embalse................................................................... 70
Figura 3.19 Caso III. Valor del agua.............................................................................................. 72
Figura 3.20 Caso III. Potencia inyectada por las centrales térmicas ............................................ 75
Figura 3.21 Caso III. Potencia térmica total .................................................................................. 76
Figura 3.22 Caso III. Costos marginales nodales ......................................................................... 79
Figura 3.23 Caso III. Diagrama unifilar con resultados a la hora de mayor demanda.................. 80
Figura 3.24 Caso III. Potencias finales despachadas ................................................................... 81
Figura 3.25 Caso III. Demandas y Potencias totales. ................................................................... 81
Figura 3.26 Caso III. Evolución del valor primal y dual ................................................................. 82
Figura 3.27 Caso III. Evolución del valor Duality Gap................................................................... 82
Figura 3.28 Caso IV. Potencia inyectada por las centrales hidráulicas ........................................ 83
Figura 3.29 Caso IV. Potencia Hidráulica Total ............................................................................ 84
Figura 3.30 Caso IV. Volumen final de cada embalse .................................................................. 85
Figura 3.31 Caso IV. Valor del agua ............................................................................................. 86
Figura 3.32 Caso IV. Potencia inyectada por las centrales térmicas............................................ 90
Figura 3.33 Caso IV. Potencia térmica total .................................................................................. 90
Figura 3.34 Caso IV. Costos marginales nodales ......................................................................... 93
Figura 3.35 Caso IV. Diagrama unifilar con resultados a la hora de mayor demanda ................. 94
Figura 3.36 Caso IV. Potencias finales despachadas................................................................... 95
Figura 3.37 Caso IV. Demandas y Potencias totales ................................................................... 96
Figura 3.38 Caso IV. Evolución del valor primal y dual................................................................. 97
Figura 3.39 Caso IV. Evolución del valor Duality Gap .................................................................. 97
CAPITULO 4
Figura 4.1. Asignación del precio de punta ................................................................................. 104
Figura 4.2. Curva de duración de carga ...................................................................................... 106
Figura 4.3 Curvas de proyección................................................................................................ 107
ÍNDICE DE TABLAS.
CAPITULO 2
Tabla 2.1 Lógica de arranque y parada de las centrales térmicas................................................ 25
Tabla 2.2. Variables de Resolución ............................................................................................... 31
CAPITULO 3
Tabla 3.1. Características de las centrales térmicas ..................................................................... 39
Tabla 3.2. Coeficientes de las unidades térmicas ......................................................................... 39
Tabla 3.3. Datos de arranque y parada de las unidades térmicas ................................................ 39
Tabla 3.4. Datos de rampas de las unidades térmicas.................................................................. 39
Tabla 3.5. Características de las unidades hidráulicas ................................................................. 40
Tabla 3.6. Aportaciones de las unidades hidráulicas. (Hm3 ) ........................................................ 40
Tabla 3.7. Características de las líneas......................................................................................... 40
Tabla 3.8. Demanda y reserva rodante (MW) ............................................................................... 40
Tabla 3.9. Caso I. Potencia inyectada por las centrales hidráulicas ............................................. 52
Tabla 3.10. Caso I. Volumen final de cada embalse en hm3 ........................................................ 53
Tabla 3.11. Caso I. Valor del agua en ($/MWh) ............................................................................ 54
Tabla 3.12. Caso I. Unidades térmicas acopladas ........................................................................ 54
Tabla 3.13. Caso I. Asignación de costos de arranque centrales térmicas................................... 55
Tabla 3.14. Caso I. Asignación de costos de parada centrales térmicas...................................... 55
Tabla 3.15. Caso I. Potencia inyectada por las centrales térmicas............................................... 56
Tabla 3.16. Caso I. Ángulos en cada nodo.................................................................................... 57
Tabla 3.17. Caso I. Flujos en las líneas......................................................................................... 57
Tabla 3.18. Caso I. Pérdidas en las líneas .................................................................................... 57
Tabla 3.19. Caso I. Precios en cada nodo y periodo..................................................................... 58
Tabla 3.20. Caso II Potencia inyectada por las centrales hidráulicas ........................................... 60
Tabla 3.21. Caso II. Volumen final de cada embalse en hm3 ....................................................... 60
Tabla 3.22. Caso II. Valor del agua en ($/MWh) ........................................................................... 61
Tabla 3.23. Caso II. Unidades térmicas acopladas ....................................................................... 61
Tabla 3.24. Caso II. Asignación de costos de arranque centrales térmicas.................................. 62
Tabla 3.25. Caso II. Asignación de costos de parada centrales térmicas..................................... 62
Tabla 3.26. Caso II. Potencia inyectada por las centrales térmicas.............................................. 63
Tabla 3.27. Caso II. Ángulos en cada nodo................................................................................... 64
Tabla 3.28. Caso II. Flujos en las líneas........................................................................................ 64
Tabla 3.29. Caso II. Pérdidas en las líneas ................................................................................... 65
Tabla 3.30. Caso II. Precios en cada nodo y periodo.($/MWh) ..................................................... 65
Tabla 3.31. Caso III-IV Demanda y reserva rodante (pu.)............................................................. 67
Tabla 3.32. Caso III Potencia inyectada por las centrales hidráulicas .......................................... 68
Tabla 3.33. Caso III. Volumen final de cada embalse en hm3 ...................................................... 70
Tabla 3.34. Caso III. Valor del agua en ($/MWh) .......................................................................... 71
Tabla 3.35. Caso III. Unidades térmicas acopladas ...................................................................... 73
Tabla 3.36. Caso III. Asignación de costos de arranque centrales térmicas................................. 73
Tabla 3.37. Caso III. Asignación de costos de parada centrales térmicas.................................... 74
Tabla 3.38. Caso III. Potencia inyectada por las centrales térmicas............................................. 75
Tabla 3.39. Caso III. Ángulos en cada nodo.................................................................................. 76
Tabla 3.40. Caso III. Flujos en las líneas....................................................................................... 77
Tabla 3.41. Caso III. Pérdidas en las líneas .................................................................................. 78
Tabla 3.42. Caso III. Precios en cada nodo y periodo.($/MWh) .................................................... 79
Tabla 3.43. Caso III. Valores en cada iteración............................................................................. 82
Tabla 3.44. Caso IV. Potencia inyectada por las centrales hidráulicas......................................... 83
Tabla 3.45. Caso IV. Volumen final de cada embalse en hm3 ...................................................... 84
Tabla 3.46. Caso IV. Valor del agua en ($/MWh) .......................................................................... 86
Tabla 3.47. Caso IV. Unidades térmicas acopladas...................................................................... 87
Tabla 3.48. Caso IV. Asignación de costos de arranque de centrales térmicas ........................... 88
Tabla 3.49. Caso IV. Asignación de costos de parada centrales térmicas. .................................. 89
Tabla 3.50. Caso IV. Potencia inyectada por las centrales térmicas ............................................ 89
Tabla 3.51. Caso IV. Ángulos en cada nodo ................................................................................. 91
Tabla 3.52. Caso IV. Flujos en las líneas ...................................................................................... 91
Tabla 3.53. Caso IV. Pérdidas en las líneas.................................................................................. 92
Tabla 3.54. Caso IV. Precios en cada nodo y periodo.($/MWh) ................................................... 93
Tabla 3.55. Caso IV. Valores en cada iteración ............................................................................ 96
CAPITULO 4
Tabla 4.1 Costos de capital y operación...................................................................................... 108
Tabla 4.2 Ventajas y desventajas del cargo por capacidad ........................................................ 112
SIMBOLOGÍA.
Bi :
Costo fijo de la maquina i.
Bnm :
Susceptancia de la línea existente entre el nodo n y el nodo m.
C Ai :
Costo de arranque de la maquina i.
Dn (k ) :
Demanda de potencia activa en el nudo n en el período k.
f (x) :
Función que depende de la variable x.
F
Función de costos de las centrales térmicas.
:
Gens :
Conjunto total de generadores. Térmicos e Hidros.
g ( x) ≤ 0 :
Conjunto de restricciones de desigualdad de una función objetivo.
h( x ) = 0 :
Conjunto de restricciones de igualdad de una función objetivo.
i:
Índice de las centrales térmicas.
I mn ∗
:
Corriente conjugada a través de la línea entre los nodos m y n.
j:
Índice de las centrales hidroeléctricas.
J∗ :
Costos totales de generación con el despacho económico.
k −1 :
Índice del periodo anterior al periodo k.
K nm :
Conductancia de la línea existente entre el nodo n y el nodo m.
L:
Función Lagrangiana.
lineas :
Conjunto de las líneas de la red.
Ln :
Expresión general de las pérdidas asociadas al nodo n.
Lnm :
Expresión general de las perdidas asociadas a la línea n
m, n :
Índices de los nodos de la red.
i
m.
M:
Numero de centrales hidroeléctricas.
N:
Numero de centrales térmicas.
nodos :
Nodos de la red.
PDt :
Potencia térmica demandada en el periodo t .
Pimax :
Potencia máxima de la central i.
Pimin :
Potencia mínima de la central i.
P max lim :
Potencia máxima limite de una línea de transmisión.
opt
Pi
Potencia optima de la central i, en base al λ asumido inicialmente.
:
Pit :
Potencia de la central térmica
Pjmax :
Potencia máxima de la central j.
Pjmin :
Potencia mínima de la central j.
Pjt :
Potencia de la central hidro
q:
Función de minimización del problema primal.
q∗ :
Función de maximizar el problema dualizado (Costo total con el λ respectivo).
Qtj :
Caudal turbinado del generador j en el período
Q j max :
Caudal máximo turbinado por la central j .
Q j min :
Caudal mínimo turbinado por la central j .
Rb :
Valor de la Rampa de bajada (térmicas).
Rb f
:
i en el periodo
t.
j en el periodo t .
t.
Valor de la Rampa de Parada (térmicas).
j en el período t .
r tj :
Influjos naturales de agua en el embalse del generador
Rnm :
Resistencia de la línea existente entre el nodo n y el nodo m.
Rs :
Valor de la Rampa de subida (térmicas).
ii
Rs 0 :
Valor de la Rampa de Arranque (térmicas).
s tj :
Vertimiento de agua del generador j en el período
S mn :
Potencia compleja a través de la línea entre los nodos m y n.
t, k :
Índice de los periodos de tiempo.
T:
Conjunto de los periodos de tiempo.
tao :
Tiempo que tarda el flujo vertido por la central aguas arriba en estar disponible
U it :
Variable binaria que toma el valor de 1 cuando la central térmica i esta acoplada
t.
por el embalse de la central aguas abajo j.
V jt :
Volumen de agua en el embalse del generador j al final del período
Vm :
Voltaje en el nodo m.
V jt max :
Volumen máximo de agua en el embalse del generador
j en el período t .
V jt min :
Volumen mínimo de agua en el embalse del generador
j en el período t .
X nm :
Reactancia de la línea existente entre el nodo n y el nodo m.
Yit :
Variable binaria que toma el valor de 1 cuando la central térmica i es arrancada
al inicio del periodo
t
t.
y 0 cuando en otro caso.
Z nm :
Impedancia de la línea existente entre el nodo n y el nodo m.
α:
Constante de corrección para la actualización de
α
Multiplicador de Lagrange asociado a la potencia mínima (térmicas).
α
Multiplicador de Lagrange asociado a la potencia máxima (térmicas).
β:
Multiplicador de Lagrange asociado a la rampa de bajada (térmicas).
γ:
Multiplicador de Lagrange correspondiente a la restricción del balance hidráulico.
δ:
Angulo del voltaje en un nodo del sistema.
ε:
Tolerancia para el criterio de paro.
iii
λ.
λ:
µ:
Multiplicador de Lagrange correspondiente a
h( x) = 0 (balance de potencias)
Multiplicador de Lagrange correspondiente a g ( x) ≤ 0 .
µ:
σ
φ:
Multiplicador de Lagrange asociado a la rampa de subida (térmicas).
Λn :
Conjunto de las centrales térmicas asociadas al nodo n.
Γn :
Conjunto de las centrales hidráulicas asociadas al nodo n.
Ωn :
Conjunto de los nodos conectados al nodo n.
Multiplicador de Lagrange asociado al flujo en la línea.
Multiplicador de Lagrange asociado a la reserva de potencia.
SIMBOLOGIA PARA ENTRADAS DEL PROGRAMA:
FUNCIÓN Linprog.
Pg , j , t :
Potencia hidro generada para cada maquina en cada periodo.
Q j, t :
Caudal turbinado para cada maquina en cada periodo.
V j, t :
Volumen final para cada embalse en cada periodo.
PHi:
Potencias inyectadas por las centrales hidroeléctricas en cada periodo
Voli:
Volúmenes finales en los embalses en cada periodo.
Si:
Derrames en los embalses en cada periodo.
Potini:
Vector de (1x9), representa las potencias iniciales de los generadores.
Volini:
Vector de (1x9), representa los volúmenes iniciales de los embalses.
Sini:
Vector de (1x9), representa los derrames iniciales de los embalses.
λ:
Vzero:
Szero:
Vector de (1x3).
Es un vector de ceros de (1x9), representa al volumen.
Es un vector de ceros de (1x9), representa al derrame.
ef1:
Representa la eficiencia de la unidad uno.
ef2 :
Representa a eficiencia de la unidad dos.
ef3 :
Representa la eficiencia de la unidad tres.
iv
lb y ub :
Vectores de (27x1) representan los límites mínimos y máximos respectivamente
de potencia, volumen y derrame de las unidades.
FUNCIÓN fmincon.
Potini :
Vector de (3x1), representa las potencias iniciales de los generadores térmicos.
angini :
Vector de (3x1), representa los valores iniciales de los ángulos.
Plim :
Limite del flujo de potencia en la línea
B:
Susceptancia en la línea.
δ4 :
Angulo de referencia( = 0 )
Rs:
Rampa de Subida.
Rb:
Rampa de bajada.
Pt :
Potencia en el periodo t
Pt −1 :
Potencia en el periodo anterior a t
v
vi
RESUMEN EJECUTIVO.
Al inicio, la proximidad geográfica entre los centros de generación y consumo de energía eléctrica
permitía un acceso directo de la energía a los consumidores. Al transcurrir el tiempo la necesidad
energética crece, fomentándose de esta manera el crecimiento de la capacidad generadora de los
sistemas eléctricos de potencia, desarrollándose al mismo tiempo redes eléctricas de transporte
capaces de llevar energía más lejos y en mayor cantidad. Actualmente, la red de transporte de
energía eléctrica es el soporte físico que permite la conexión entre los centros de generación y
consumo alejados entre si.
Uno de los aspectos que resultan prioritarios en la operación de un sistema eléctrico de potencia es
el uso eficiente de los recursos energéticos, y para lograr una administración eficiente de estos
recursos, resulta fundamental la elaboración de programas de optimización con el objetivo de
minimizar los costos y asegurar la confiabilidad del suministro.
En este documento se plantea la operación y explotación del sistema de energía eléctrica y se
propone un modelo matemático que minimiza los costos de producción de energía.
Por otro lado, las restricciones de operación son variadas y dependen en gran medida de las
características propias de cada sistema. En general las restricciones de operación pueden
separarse en tres grupos: las que corresponden a las centrales hidráulicas, aquellas de las
centrales térmicas y las propias del sistema.
Entre las restricciones de las centrales hidráulicas deben considerarse aquellas relacionadas con la
dinámica propia de los embalses (caudales), así como también deben respetarse las cotas
mínimas y máximas del embalse. Deben también tomarse en cuenta las cotas del embalse al
principio y al final del periodo de análisis. Estas centrales hidráulicas tienen un costo de operación
muy pequeño frente a otros tipos de centrales. Desde un punto de vista técnico, estas centrales
pueden estar interconectadas formando una cuenca hidrográfica que las acopla espacial y
temporalmente. Por otro lado, son útiles para afrontar los imprevistos de demanda en el sistema
pues son capaces de variar rápidamente su producción de energía.
En el caso de las centrales térmicas, aparecen restricciones como los limites técnicos de
operación, rampas de toma de carga y contratos de compra de combustibles entre otras.
Económicamente las centrales térmicas se caracterizan por sus costos en el arranque y
técnicamente son centrales que pueden variar la energía que producen más lentamente que las
centrales hidráulicas.
vii
Además de representar las características de las centrales de generación, en el modelo se impone
el balance entre la generación y la demanda teniendo en cuenta las perdidas de energía en las
líneas de transporte. Se describe en detalle la red de transporte reflejando la capacidad limitada de
sus líneas y las pérdidas de energía en las mismas, incluyendo ambas como restricciones al
modelo. Por otro lado, se asegura la continuidad del suministro estableciendo un margen suficiente
entre la potencia disponible y la demanda.
En el presente trabajo se analizará el problema de la coordinación hidrotérrmica considerando un
horizonte temporal multiperiodo, para determinar el acoplamiento y desacoplamiento de los grupos
térmicos así como las producciones térmicas e hidráulicas que optimizan la función objetivo
elegida.
La red se representa mediante un modelo en DC y las pérdidas de transporte de energía se
modelan como potencia demandada ficticia en los distintos nodos y se utilizan funciones
sinusoidales para aproximarlas. La representación de la red permite conocer algunos parámetros
de mucho interés económico, como son los precios por nodo de la potencia activa.
Este modelo es un complejo problema de optimización combinatorio, no lineal, de grandes
dimensiones, con variables enteras y continuas. Para la solución de este problema se utiliza la
técnica de descomposición Lagrangiana y la técnica de descomposición anidada.
La estructura principal de esta tesis esta conformada por cuatro capítulos:
En el primer capítulo se describe el marco teórico y las características esenciales de un despacho
económico térmico y luego el hidrotérmico incluyendo la red de
transmisión. Se profundizan
conceptos utilizados en la técnica de Relajación de Lagrange como lo es el concepto de la
Dualidad y los costos asociados a cada multiplicador de la ecuación de Lagrange para comprender
el significado económico de dicha ecuación. Además se realiza una breve comparación entre los
tipos de mercados basados en costos y en precios.
En el segundo capítulo se desarrolla el modelaje de las restricciones a incluir en la simulación
durante el presente trabajo, mostrando y describiendo las ecuaciones a utilizar en el algoritmo de
solución para la programación.
En el tercer capítulo se detalla el algoritmo a utilizar para la programación y se describe paso a
paso el desarrollo y la construcción de las ecuaciones formadas para la solución y su programación
en MATLAB. Se describen las funciones de optimización utilizadas y se muestran la serie de
matrices que se forman con un sistema de ejemplo, utilizando un horizonte temporal de tres horas.
Luego se describe la forma de introducirlas al programa de simulación. Seguidamente se analizan
viii
los resultados obtenidos, para un caso donde no existe congestión (caso básico) y un caso donde
existe congestión en el sistema de transmisión. Finalmente se amplía el problema utilizando un
horizonte temporal de veinticuatro horas y se analizan los resultados para los dos casos antes
mencionados.
En el cuarto capítulo se desarrolla un análisis del tema “Pagos por capacidad de Generación”.
Se determina que, para completar el modelo de mercado basado en costos, es necesario introducir
un cargo adicional al costo marginal del sistema desarrollado en los capítulos anteriores.
Seguidamente se presenta un marco conceptual del cargo por capacidad y se determina cual es la
mejor manera de asignar el cargo por capacidad a los productores. Seguidamente se muestra la
justificación numérica del cargo por capacidad por medio de un ejemplo.
El capítulo finaliza realizando una revisión al caso Chileno.
ix
x
CAPÍTULO 1
CONCEPTOS DE DESPACHO TERMICO, DUALIDAD Y COORDINACION HIDROTERMICA.
1.1.
Introducción.
En este capítulo se describe el método de Relajación de Lagrange (RL) utilizado para la solución
del modelo a presentar. Se inicia con el planteamiento de la asignación de unidades térmicas con
la explicación de cada paso de la formulación matemática tomando como referencia el trabajo de
graduación “Análisis del despacho del sistema de generación de El Salvador”, profundizando más
en algunos puntos importantes del planteamiento como lo son los conceptos de la dualidad. Luego
de esto, se continúa con la formulación de la coordinación hidrotérmica, explicando la complicación
matemática extra que se desarrollará en el presente trabajo y presentando la ecuación de
Lagrange modificada para resolver la función objetivo. Este capítulo finaliza con un breve
significado económico de los multiplicadores de Lagrange en dicha ecuación y una comparación
teórica entre el tipo de mercado basado en costos y el tipo de mercado basado en precios.
1.2.
El Concepto de Dualidad.
Para comenzar el planteamiento, se presentará el concepto de la dualidad, teoría en la cual se
basa la resolución del problema a través de la RL, con este planteamiento se encuentra un
problema indirecto (dual) del original para llegar a la solución del problema original (primal). La RL
procede a resolver el problema dejando a un lado las restricciones, es decir, ignorando estas
condiciones. El método de la optimización dual, intenta maximizar el Lagrangeano con respecto a
los multiplicadores de Lagrange, mientras minimiza con respecto a otras variables en el problema,
es decir un problema de maximizar por un lado y minimizar por el otro. Debido a esto es
conveniente presentar algunos conceptos de la llamada “optimización dual” para comprender el
salto de una ecuación a otra dentro de la formulación de la RL.
Considerando el problema no lineal siguiente como problema objetivo o primal (P):
Z P = f (x)
Minimizar
(Ec. 1.1)
Que puede estar sujeto a restricciones de igualdad y desigualdad como las siguientes (en forma
general):
h( x) = 0
g ( x) ≤ 0
(Ec. 1.2)
Para encontrar el problema dual del primal considerado, se requiere la introducción de la llamada
función dual definida por:
1
{
}
θ (λ , µ ) = Minimo X f ( x) + λT h( x) + µ T g ( x)
Donde
λ
(Ec. 1.3)
y µ , son las variables duales. El problema dual (D) esta definido como sigue.
Z D = θ (λ , µ )
Maximizar
(Ec. 1.4)
Sujeto a
µ ≥0
(Ec. 1.5)
Empleando la función Lagrangiana
{
}
L( x, λ , µ ) = f ( x) + λT h( x) + µ T g ( x)
(Ec. 1.6)
max(λ , µ , µ ≥ 0) = Minimo X {L( x, λ , µ )}
(Ec. 1.7)
Se puede rescribir D como
Este problema se denomina problema dual máx–min.
Es de aclarar que cualquier solución del problema dual no es la solución óptima del primal, sino
una cota inferior, es decir que las soluciones del dual están limitando inferiormente a la solución del
primal buscado y su valor esta siempre abajo del valor primal, pero a través de las iteraciones estos
valores se van acercando, que tan pequeña sea esta diferencia será el criterio de paro de la
solución. A medida que aumenta el tamaño del problema, la holgura de dualidad unitaria se reduce,
de forma que la solución óptima del problema dual es muy próxima a la solución óptima del
problema primal. Por ello una vez que se ha obtenido la solución óptima del problema dual, se
emplean técnicas heurísticas para obtener una buena solución del problema primal.
Para explicar y aclarar el concepto, se explicará gráficamente la dualidad:
2
Objetivo
Funcion Primal
C
Solución Primal
Estimada
Solución Primal
Optima
D
Diferencia respecto
al optimo primal
d2
Solución Dual
Optima
Solución Dual
Estimada
d3
B
d1
Diferencia respecto
al optimo dual
A
Funcion Dual
Multiplicadores
Figura.1.1. Graficas de una función objetivo y dual.
La curva mostrada son las formas típicas de un problema primal y su dual. Como se puede
observar a medida se llega al máximo de la función dual nos acercamos al mínimo de la función
primal, en el gráfico se observa claramente el concepto de cota inferior que tiene el dual respecto
del problema primal. El punto A representa una primera solución (luego de algunas iteraciones) de
la función dual, el punto B es la solución óptima (máximo) de la función dual; el resultado del dual
se acerca cada vez más a este valor una vez se optimiza el problema. La misma deducción tienen
los puntos C y D, del problema primal. La diferencia que existe entre los puntos óptimos de ambos
problemas ( d2 ) es llamado Duality Gap, y como se mencionó anteriormente éste valor
comúnmente es quien nos indica que tan cerca nos encontramos de la solución y se utiliza como
criterio de paro para las iteraciones de los algoritmos de solución. Para grandes problemas el
Duality Gap es menor que el
0.5%. La teoría de la Dualidad afirma que para problemas no
convexos se utilizará el concepto del Duality Gap. El problema de la asignación de unidades es un
problema no convexo, debido a la utilización de las variables discretas
Ui
asociadas al estado de
los generadores. Estos conceptos descritos explican el salto que se dará en la siguiente sección
entre la ecuación 1.10 y 1.11, correspondientes a la maximización del problema dual para lograr la
solución de la minimización del problema primal en el despacho térmico.
1.3.
Método de Relajación de Lagrange para la asignación de unidades térmicas.
1.3.1.
Planteamiento Matemático.
3
El desarrollo del planteamiento matemático de la RL utilizado para la asignación de unidades
térmicas se presenta a continuación, esta formulación es conocida como solución dual y en ella los
multiplicadores de Lagrange son conocidos como las variables duales del problema primal.
A continuación se define la función objetivo considerando costos de arranque de las unidades:
T
N
t =1
i =1
∑∑
⎡⎣ Fi ( Pi t ) + costos de arranquei ,t ⎤⎦ U it = F ( Pi t ,U it )
(Ec. 1.8)
Donde la variable U it es una variable binaria que indica si la unidad esta acoplada (1) o
desacoplada (0).
Ahora la función de Lagrange para resolver la asignación de unidades es como sigue:
T
N
⎛
⎞
L( P, U , λ ) = F ( Pi t , U it ) + ∑ λ t ⎜ PDt − ∑ Pi tU it ⎟
t =1
i =1
⎝
⎠
(Ec. 1.9)
Se puede observar que solamente se han incluido restricciones de balance de potencias.
La RL procede a resolver el problema de la asignación de unidades ignorando temporalmente las
restricciones, es decir, como que si éstas no existieran. Esto se hace a través de la optimización
dual, el cual intenta maximizar el Lagrangeano con respecto a los multiplicadores de Lagrange,
mientras minimiza con respecto a otras variables en el problema, esto es:
q∗ ( λ ) = max
q (λ )
t
(Ec. 1.10)
q (λ ) = min
L ( P, U , λ )
t
t
(Ec. 1.11)
λ
Donde (por teoría de la dualidad):
Pi ,U i
La solución de (1.10) y (1.11), se lleva a cabo en dos pasos básicos:
1- Encontrar un valor de λ t el cual mueve q(λ ) hacia su valor óptimo (máximo).
2- Asumiendo que el λ t encontrado en el paso 1 es el óptimo, encontrar el mínimo de L
ajustando los valores de Pt y U t .
Se minimizará la función de Lagrange, pero antes se rescribe la Ec. 1.9 como:
4
T
L=∑
t =1
N
∑
i =1
T
N
⎛ t
⎞
⎡⎣ Fi ( Pi t ) + costos de arranquei ,t ⎦⎤ U it + ∑ λ t ⎜ Pload
− ∑ Pi tU it ⎟
t =1
i =1
⎝
⎠
(Ec. 1.12)
Esto se rescribe nuevamente así:
T
L=∑
t =1
El término
T
∑λ P
t =1
t
t
load
N
∑
i =1
T
T
t =1
t =1
t
⎡⎣ Fi ( Pi t ) + costos de arranquei ,t ⎤⎦ U it + ∑ λ t Pload
−∑
N
∑λ P U
t
i =1
t
i
es constante y puede ser omitido ya que se tomo un λ
t
t
i
(Ec. 1.13)
fijo, finalmente la
función de Lagrange es:
N
⎛ T
L = ∑ ⎜∑
i =1 ⎝ t =1
{⎡⎣ F ( P ) + costos de arranque
t
i
i
i ,t
}
⎤ U it − λ t Pi tU it ⎞⎟
⎦
⎠
(Ec. 1.14)
Como puede observarse el término entre paréntesis permite que se puedan tratar las unidades
individualmente, ya que la sumatoria de unidades térmicas esta afuera e indica que para una
unidad se analiza ella en todos los períodos y así sucesivamente las demás unidades, por lo tanto
para resolver el problema de la asignación de unidades se resuelve separadamente cada unidad
sin considerar qué le pasa a las demás unidades. El mínimo de la función de Lagrange se
encuentra resolviendo para el mínimo de cada unidad generadora en todo el período de tiempo,
entonces:
N
T
{
min q ( λ ) = ∑ min ∑ ⎡⎣ Fi ( Pi t ) + costos de arranquei ,t ⎤⎦ U it − λ t Pi tU it
i =1
t =1
}
(Ec. 1.15)
Sujeto a:
U it Pi min ≤ Pi t ≤ U it Pi max
Para t = 1......T
(Ec. 1.16)
Cuando U it =0, el valor mínimo de la función es trivial y es igual a cero, sin embargo cuando U it =1
la función a minimizar es:
min ⎡⎣ Fi ( Pi ) − λ t Pi t ⎤⎦
5
(Ec. 1.17)
Si se observa el término de los costos de arranque, estos desaparecen, ya que se está optimizando
t
respecto a Pi , entonces para encontrar el mínimo de la función se procede a encontrar su primera
derivada, por lo tanto:
d
d
⎡ F P − λ t Pi t ⎤ = t Fi ( Pi t ) − λ t = 0
t ⎣ i ( i )
⎦
dPi
dPi
(Ec. 1.18)
La solución a esta ecuación es:
d
Fi ( Pi opt ) = λ t
dPi t
(Ec. 1.19)
Hay tres casos que pueden darse dependiendo de la relación entre el Pi opt y los límites de potencia
de las unidades:
1- Si Pi opt ≤ Pi min , entonces:
min ⎡⎣ Fi ( Pi ) − λ t Pi t ⎤⎦ = Fi ( Pi min ) − λ t Pi min
(Ec. 1.20)
2- Si Pi min ≤ Pi opt ≤ Pi max , entonces:
min ⎡⎣ Fi ( Pi ) − λ t Pi t ⎤⎦ = Fi ( Pi opt ) − λ t Pi opt
(Ec. 1.21)
3- Si Pi opt ≥ Pi max , entonces:
min ⎡⎣ Fi ( Pi ) − λ t Pi t ⎤⎦ = Fi ( Pi max ) − λ t Pi max
(Ec. 1.22)
Con las potencias ya definidas se procede a encontrar la minimización de ⎡⎣ Fi ( Pi ) − λ t Pi t ⎤⎦ en cada
etapa y para cada generador, para lograr la optimización se debe cumplir:
⎡ Fi ( Pi ) − λ t Pi t ⎤ < 0
⎣
⎦
(Ec. 1.23)
La ecuación anterior indica básicamente si el generador entra o no al despacho de carga (U = 1 o
U = 0), dependiendo si cumple con esta ecuación. Esta ecuación muestra el resultado de COSTOS
– INGRESOS de un generador, este resultado si se observa se hace menor que cero sólo cuando
el λ t asignado en ese momento, minimiza la ecuación; si esto se observa desde el punto de vista
del que produce, se puede ver que si el λ t asignado no es el adecuado, la ecuación no es menor
6
que cero y esto significa que no se recuperan los costos de producir, si por el contrario se cumple
con esta ecuación significa que el productor está obteniendo una cierta ganancia y si por lo menos
ésta ecuación fuera igual a cero el productor recupera sólo sus costos de producción, a esto se
debe prácticamente que un generador entre al despacho cuando la ecuación es menor que cero ya
que un productor siempre busca obtener cierta utilidad por la potencia servida.
Para cada período de tiempo se va ajustando λ t de manera que se acerque al valor que optimice
q (λ ) para la solución del problema del despacho económico, entonces para inicializar su búsqueda
iniciamos siempre con un valor λ =0. Como el procedimiento de solución de la RL usa una
combinación del método del gradiente y métodos heurísticos para acercarse rápido a la solución, a
través de la practica se ha llegado a encontrar una formula que asegura que éste acercamiento al
λ deseado sea pequeño. Entonces para ajustar el nuevo λ t se utiliza la ecuación que se define a
continuación:
⎡ d
⎤
λ t = λ t + ⎢ q ( λ )⎥ α
⎣ dλ
⎦
(Ec 1.24)
Donde:
α = 0.01
Cuando
d
q (λ ) es positivo
dλ
α = 0.002
Cuando
d
q (λ ) es negativo
dλ
y
Estos valores de α son los que propone A.J. Wood [ 2000: p.156] para un buen acercamiento,
luego para saber que tan cerca se encuentra de la solución óptima se utiliza el ¨duality gap¨ el cual
va disminuyendo su magnitud a medida que la solución converge y es usado como criterio de paro
de las iteraciones. Este término viene definido como sigue:
( J ∗ − q∗ )
q∗
(Ec. 1.25)
Donde:
J ∗ : representa los costos totales de generación
en el período considerado en el despacho
económico, éste valor es asignado si el despacho no ha sido factible en dicha iteración, tal como
sucede en las primeras iteraciones, y se calcula con los valores de las potencias ya ajustadas.
7
t
q∗ : representa los costos totales de generación con las potencias asignadas con el λ del período
(ya sea este despacho factible o no) y es el máximo valor de
q (λ ) .
1.4.
Coordinación Hidrotérmica.
1.4.1
Formulación del problema mediante Relajación de Lagrange
La solución de la coordinación de un sistema hidroeléctrico es una tarea difícil ya que el problema
es no convexo debido a las variables integrales que dependen de los estados de encendido y
apagado de los generadores térmicos. Adicionalmente, este problema puede tener cientos de
variables dependiendo del tiempo de planeación. Finalmente se presenta la metodología de RL
para resolver el problema de coordinación hidrotérmico genérico, lo importante de este método es
la separación entre lo que es el despacho térmico del hidráulico aunque no deja de existir un nexo
que los relaciona (multiplicadores de Lagrange).
Este método está basado, como se ha dicho anteriormente, en la dualidad, un problema dual y un
problema primal. Lo más sobresaliente de la técnica de RL, es la forma de tratar el acople de las
restricciones, la demanda conecta a las plantas hidroeléctricas y térmicas para todos los
subperíodos del horizonte de planeación, además existen restricciones de volúmenes de las
hidroplantas las cuales se relacionan para cada subperíodo, ya que el volumen final de los
embalses en un subperíodo es igual al volumen inicial para el siguiente subperíodo debido a la
configuración en cascada de los embalses a modelar. Estas restricciones son añadidas a la función
objetivo por medio de multiplicadores de Lagrange (vectores duales) y el resultado de esta función
es conocida como el problema primal relajado.
El problema dual de la coordinación hidrotérmica es la minimización del problema primal relajado,
este problema dual contiene vectores de multiplicadores de Lagrange como variables. Para cada
maximización de la función dual, el vector dual actualizado y el problema primal relajado es
resuelto subsecuentemente. Esta secuencia es iterativa y repetitiva hasta que el “duality gap”
llegue a cierta tolerancia (criterio de paro).
Al utilizar las técnicas de RL para resolver el problema de la coordinación hidrotérmica, el problema
primal relajado que resulta, se puede descomponer de manera natural en un subproblema para
cada térmica y en un subproblema por cada cuenca hidráulica. Esta descomposición permite
modelar de manera precisa cada generador así como seleccionar la técnica de optimización más
adecuada a la estructura de cada subproblema. Además de todas estas ventajas, que se derivan
de la descomposición en subproblemas del problema primal relajado como se verá adelante, la
8
aplicación de las técnicas de RL para resolver el problema de la coordinación hidrotérmica conlleva
una ventaja adicional: las variables del problema dual (multiplicadores de Lagrange) tienen un
significado económico muy útil en el ámbito de los mercados competitivos de energía eléctrica
descentralizados, así como en sistemas centralizados.
El problema se puede formular como un problema de optimización en el que los costos de
operación se minimizan sujetos a que se cumplan las restricciones técnicas de las centrales
térmicas e hidráulicas.
Los principales elementos de este problema son:
1. Función a minimizar
T
N
T
N
FT ( Pi ) = ∑∑ ⎡⎣ Fi t ( Pi t ) + C Ai ,t ⎤⎦ uit = ∑∑ ⎡⎣ Fi ( Pi t , uit ) ⎤⎦
t =1 i =1
(Ec. 1.26)
t =1 i =1
El problema anterior es denominado problema primal.
2. Restricciones de igualdad
PDt = Pi t + Pjt
V jt = V jt −1 + (rjt − s tj − q tj )
(Ec. 1.27)
3. Restricciones de desigualdad
t
t
Pi ,min
≤ Pi t ≤ Pi ,max
V jt,min ≤ V jt ≤ V jt,max
t
j ,min
P
≤P ≤P
t
j
t
j ,max
Donde:
i : índice para plantas térmicas
j : índice para plantas hidroeléctricas
N : número de plantas térmicas
M : número de plantas hidroeléctricas
t : número de períodos
C Ai ,t : costo de arranque del generador i
Fi t ( Pi t ) : función de costo de generador i
Fi t ( Pi t , uit ) : función de costo total incluyendo costos de arranque del generador i
PDt : variación de demanda para cada período
9
(Ec. 1.28)
Pi t : contribución del generador i a satisfacer la demanda para cada período t
Pjt : contribución del generador j a satisfacer la demanda para cada período t
uit : variable binaria que toma el valor de 1 si el generador i esta funcionando en la hora t y 0 si no
lo está.
Pi ,max : potencia máxima de salida del generador i
Pi ,min : potencia mínima de salida del generador i
Pj ,max : potencia máxima de salida del generador j
Pj ,min : potencia mínima de salida del generador j
V jt : volumen de agua en el embalse del generador j al final del período t
V jt,min : volumen mínimo de agua en el embalse del generador j en período t
V jt,max : volumen máximo de agua en el embalse del generador j en período t
rjt : influjos naturales de agua en el embalse del generador j en período t
s tj : vertimiento de agua del generador j en el período t
Q tj : caudal turbinado del generador j en el período t
La ecuación de Lagrange se puede formular de la siguiente manera:
T
N
T
N
M
⎡
⎤ T ⎧M
⎫
L = ∑∑ ⎣⎡ Fi ( Pi t ) + C Ai ,t ⎦⎤ uit + ∑ λ t ⎢ PDt − ∑ Pi t uit − ∑ Pjt ⎥ + ∑ γ ⎨∑ ⎣⎡V jt − V jt −1 − rjt + s tj + q tj ⎦⎤ ⎬ (Ec.
t =1 i =1
t =1
i =1
j =1
⎣
⎦ t =1 ⎩ j =1
⎭
1.29)
Sujeto a las restricciones de desigualdad mencionadas en la ecuación 1.28 este problema es
denominado problema primal relajado donde el multiplicador λ se puede interpretar como el costo
asociado a los generadores térmicos y el multiplicador γ asigna un costo de oportunidad al agua.
La ecuación 1.29 se puede rescribir como:
T
N
Λ
Λ
Λ
Λ
⎡Λ N Λ M Λ⎤
⎡M ⎛Λ
⎞⎤
L = ∑∑ ⎡⎣ Fi ( Pi t , uit ) ⎤⎦ + λ T ⎢ PD − ∑ Pi − ∑ Pj ⎥ + γ T ⎢ ∑ ⎜ V j , final − V j ,inicial − r j + s j + q j ⎟⎥ (Ec. 1.30)
⎠⎦
t =1 i =1
i =1
j =1
⎣
⎦
⎣ j =1 ⎝
Donde el índice ( Λ ) denota vectores para cada planta térmica i y cada planta j , la correspondiente
función dual es:
q (λ , γ ) = min L
θ
10
(Ec. 1.31)
Donde θ es el conjunto de variables primales { Pi t , Pjt } que satisfacen las desigualdades. En esta
función dual, las variables minimizan la función de Lagrange L , sujeto a las restricciones de los
generadores térmicos e hidráulicas.
En orden de evaluar la función dual, el problema relajado conocido como problema primal relajado
puede ser resuelto por variables duales. Si se sustituye la ecuación 1.29 en 1.31 se obtiene:
N
T
⎧T
⎡T
⎤
q ( λ , γ ) = min ⎨∑ λ t PDt + ∑ ⎢ ∑ Fi ( Pi t , uit ) − ∑ λ t Pi ⎥ +
θ
=
1
=
1
=
1
=
1
t
i
t
t
⎣
⎦
⎩
M
T
T
⎫
⎡
t
t
t
t −1
t
t
t ⎤
∑
⎢ −∑ λ Pj + ∑ γ {V j − V j − rj + s j + q j }⎥ ⎬
j =1 ⎣ t =1
t =1
⎦⎭
(Ec. 1.32)
Se puede observar que la función dual q (λ , γ ) es un problema de optimización de las variables
primales para las variables duales (λ , γ ) . Más bien, el problema anterior tiene una estructura
separable, el resultado de descomponer el problema primal, consiste en un subproblema para cada
térmica e hidro, esto es:
El subproblema para cada central térmica i es:
T
⎧N ⎡T
⎤⎫
minimizar ⎨∑ ⎢ ∑ Fi ( Pi t , uit ) − ∑ λ t Pi ⎥ ⎬
Pi
t =1
⎦⎭
⎩ i =1 ⎣ t =1
(Ec. 1.33)
Sujeto a las restricciones que presenta cada generador térmico.
El subproblema para cada central hidráulica j es:
T
M
maximizar ∑∑ λ t Pj
Pi
(Ec. 1.34)
t =1 j =1
Como puede verse la ecuación anterior indica una maximización, esto se explica matemáticamente
por el signo que antecede a este termino en la ecuación 1.32, (max Z = - min Z) teóricamente esto
implica un máximo aprovechamiento del recurso hidráulico (el recurso mas económico) como parte
del objetivo de la minimización de costos totales; esta maximización desplaza lo mas posible a la
energía térmica logrando así reducir costos. En el programa de solución al problema se realiza esta
maximización en las horas de mayor demanda, colocando mayor recurso hidro en esas horas, es
en estos períodos con mayor demanda en que se alcanzan los precios más altos, de esta forma en
estos períodos se desplazan a las unidades térmicas más caras del sistema. Esta maximización del
recurso hidro esta sujeta a las restricciones que presenta cada generador hidráulico.
11
En este planteamiento, mostrado anteriormente no se incluyeron restricciones de transmisión ni
pérdidas en las líneas; y las restricciones de máximos y mínimos de los generadores solo fueron
mencionadas y no incluidas en la formulación de la ecuación de Lagrange.
En el nuevo planteamiento matemático que se desarrollará en los siguientes capítulos de este
trabajo, se incluirán nuevas restricciones al problema, ocasionando de esta manera una
complicación matemática agregada. Dichas restricciones serán:
o
Reserva rodante.
o
Restricciones de rampas (subida, bajada, arranque y parada).
o
Pérdidas ocasionadas en las líneas en un sistema real.
o
Limites de flujos de potencia.
Estas restricciones ocasionan la modificación a la ecuación de Lagrange presentada anteriormente
y por lo tanto un aumento de los multiplicadores de Lagrange. Este nuevo planteamiento resulta en
una nueva ecuación mostrada a continuación:
T N
[
]
L = ∑∑ Fi (Pi,k )Ui (k ) + BiUi (k ) + AiYi (k )
k i
⎡
⎤
T nodos
+ ∑ ∑ λn k ⎢Dn (k) − ∑ Pi (k) − ∑ H j (k ) − ∑ Bnm[δ m (k) − δ n (k)] + ∑ Knm[1 − cos{δ m (k) − δn(k )}]⎥
⎢⎣
⎥⎦
k =1 n
i∈Λn
j∈Γn
m∈Ωn
m∈Ωn
[
T M
]
T lineas
[
]
+ ∑ ∑ γ j k Vkj − Vkj−1 − (rkj − Skj − Qkj ) + ∑ ∑ µ k B * (δ n − δ m ) − Pmax lim
k =1 j =1
T N
k =1
T N
+ ∑ ∑ φi k [Pik − Pik −1 − Rsi ] + ∑ ∑ βi k [Rbi − Pik −1 + Pik ]
k =1i =1
T N
k =1i =1
T N
+ ∑ ∑ α i k Pminik − Pik + ∑ ∑ α i k Pik − Pmaxik
k =1i =1
k =1i =1
[
]
[
]
⎡
⎤
T
Gens
+ ∑σ k ⎢R(k) − ∑Ui Pi, j max + ∑ Pgeneradatotal⎥
k =1 ⎢⎣
hidro y term ⎥⎦
(Ec.1.35)
En la ecuación anterior no se muestran las restricciones de limites hidráulicos correspondientes a
cada embalse ( V t j , min volumen mínimo de agua en el embalse j en el período t
V t j , max volumen máximo de agua en el embalse del generador
j en el período t ) para simplificar
el ejemplo.
Para analizar la ecuación anterior y el efecto que ocasionan los multiplicadores de Lagrange al
costo asociado a cada tipo de energía y por consecuencia al costo total; se deducirá a continuación
el costo marginal de las centrales térmicas.
12
Partiendo de la ecuación (1.35) se deriva respecto a la potencia térmica (
∂L
=
∂ Pi
∂
):
T N
∑ ∑ [Fi ( Pi, k )U i (k ) + BiU i (k ) + AiYi (k )]
k i
∂ Pi
∂
⎡
T nodos
⎤
∑ ∑ λ n k ⎢ Dn (k ) − ∑ Pi (k ) − ∑ H j (k ) − ∑ Bnm [δ m (k ) − δ n (k )] + ∑ K nm [1 − cos{δ m (k ) − δn(k )}]⎥
k =1
+
⎢⎣
n
i∈Λn
j∈Γn
m∈Ωn
∑ ∑ γ j k [Vkj − Vkj −1 − (rkj − S kj − Qkj )]
T
M
k =1 j =1
+
∂
T
N
∑ ∑ φi k [Pik − Pik −1 − Rsi]
∂
T
N
k =1 i =1
+
[
∑ ∑ α i k P minik − Pik
∂ Pi
∂
]
∂
+
]
∂ Pi
N
k =1 i =1
+
∂ Pi
k =1
∑ ∑ β k [Rbi − Pik −1 + Pik ]
∂
k =1 i =1
+
T
[
T lineas
∑ ∑ µ k B * (δ n − δ m ) − P max lim
∂
+
∂ Pi
⎥⎦
m∈Ωn
∂ Pi
∂
+
Pi
T
N
[
∂ Pi
∑ ∑ α i k Pik − P maxik
k =1 i =1
]
∂ Pi
⎡
⎤
T
Gens
∑ σ k ⎢ R(k ) − ∑ U i Pi, j max + ∑ Pgenerada total ⎥
k =1 ⎢⎣
hidro y term ⎥⎦
∂ Pi
(Ec. 1.36)
Resolviendo se tiene:
∂L
= CMg i − λn k + φi k − β k − α i k + α i k + σ i k
∂ Pi
(Ec. 1.37)
Como se puede observar se eliminan los términos que no están asociados a la potencia térmica
(
Pi ), ya que es con respecto a ella que se efectúa la derivación. Igualando a cero y despejando el
costo marginal térmico
(CMgi ) se obtiene:
∂L
= CMg i − λn k + φi k − β k − α i k + α i k + σ i k = 0
∂ Pi
Costo m arg inal termicasi =
(Ec. 1.38)
CMg i = λn k − φi k + β k + α i k − α i k − σ i k
Es de aclarar que estos multiplicadores están presentes siempre y cuando se activen las
restricciones asociadas a cada uno de ellos, esto debido a las restricciones de Khun-Tucker. Por
ejemplo, si se alcanza la potencia térmica máxima en un generador
13
j
y en un período
k
(P
max
ik = Pik ), el multiplicador α
k
tiene un valor distinto de cero; de lo contrario este será
igual a cero.
Además los signos de cada multiplicador de Lagrange tienen gran importancia, ya que de este
signo depende si al activarse la restricción asociada a cada uno de ellos, el valor del multiplicador
suma o resta al resultado total del Costo Marginal.
De manera análoga como se formuló la ecuación 1.38, se puede deducir el costo marginal
asociado a las centrales hidro.
1.4.2
Significado económico de los multiplicadores de Lagrange.
Una de las ventajas de emplear las técnicas de Relajación Lagrangiana es que se dispone de
información económica útil que se corresponde con las variables del problema dual, “los
multiplicadores de Lagrange”.
El multiplicador λ para un período determinado, representa, desde la perspectiva del sistema, el
costo de producir una unidad adicional de energía eléctrica (MWh), es decir, es el costo marginal
de la energía eléctrica ya sea térmica o hidro. Análogamente, desde la perspectiva de una
compañía generadora, el multiplicador λ , para un período dado, indica el precio marginal que una
central debería recibir por cada MWh de energía. También indica el precio al que una compañía
generadora podría ofertar en un mercado competitivo. Este concepto es válido dependiendo de la
manipulación que se haga de la ecuación general, es decir respecto a que variable se derive el
Lagrangiano.
De igual manera, el multiplicador
γ
, que acompaña a las restricciones de balance de volúmenes
para un período dado, representa el costo de oportunidad del agua, indica el precio marginal que
debe recibir una compañía hidráulica por cada MW que inyecta al sistema. Este precio que
aparentemente debería de ser cero (¡el agua es gratis!) esta asociado al ahorro que ocasiona el
despachar las máquinas hidráulicas, respecto al despacho de una máquina térmica con costos
mucho más altos a los de una generadora hidráulica. Esto de manera similar a la acotación
especificada en el multiplicador anterior, respecto a la derivación.
El siguiente multiplicador µ , asociado a la restricción de flujo máximo o capacidad en las líneas de
transmisión, representa el incremento en el costo que ocurre luego de una congestión en una línea.
Este incremento se refleja en el nodo que esta acoplado a esa línea con congestión.
14
El multiplicador
φ
y
β
asociados a las restricciones de rampas de subida y de bajada es el
costo asociado al cambio hacia arriba o hacia debajo de la potencia generada por las térmicas
entre dos períodos consecutivos, estos multiplicadores se activan si el cambio alcanza su máximo
posible Rs o
Rb.
El multiplicador
α yα
están asociados a las potencias máximas y mínimas respectivamente de
las centrales térmicas, se activan una vez se alcanzan estos valores críticos de generación. El
multiplicador
α
de potencia mínima produce un aumento en el costo marginal, ya que significa una
potencia obligada en dicha central. Por el contrario El multiplicador
α
de potencia máxima produce
una disminución en el costo marginal, ya que si este generador es de los más baratos produce un
ahorro respecto a despachar otro más caro.
El multiplicador
σ
asociado a las restricciones de reserva de potencia, representa para un período
dado, el coste de disponibilidad para incrementar la potencia de una central o, en otras palabras,
indica el ingreso marginal que debe recibir una compañía por cada MW que tiene disponible en
reserva para despachar ante una determinada necesidad inmediata de la potencia demandada.
Este multiplicador produce un aumento en el costo marginal ya que se debe remunerar a los
productores por esta energía que deben mantener en reserva ante una eventualidad.
1.5 Ilustración de la Dualidad: Mercados en base a costos o en base a precios.
Para ilustrar la relación entre el problema primal y el dual, considérese que un producto es
demandado y consumido bajo las siguientes condiciones:
1. Diferentes productores compiten en un mercado.
2. La demanda en cada período en el que se ha dividido el horizonte temporal
de la planificación debe ser satisfecha.
3. No existe capacidad de almacenamiento del producto.
4. Los productores tienen diferentes costes y restricciones de producción.
Se consideraran dos enfoques diferentes del problema:
•
El esquema centralizado en base a costos o método primal.
•
El esquema de Mercado competitivo en base a precios o esquema dual.
15
1.5.1
El esquema centralizado en base a costos o método primal.
Un esquema centralizado (primal) para este problema es el siguiente. Existe un operador del
sistema que se encarga de satisfacer la demanda en cada período al mínimo costo posible.
Para este fin, el operador del sistema:
1. Sabe los costos de producción de cada uno de los productores y su capacidad de
producción.
2. Conoce la demanda del bien en cada período.
3. Tiene la capacidad de regular la producción de cada productor
Los principales elementos de este problema son datos como los siguientes: los costos de
producción del productor para cada período de planificación, la región factible de cada productor, la
demanda para cada período de estudio, el número de períodos de planificación y el número de
productores que entran el mercado. Las variables serían la cantidad de producción de cada
productor en cada período y las restricciones que fuerzan a que en cada período la demanda se
satisfaga totalmente, cumpliéndose las restricciones operacionales técnicas de cada productor. El
operador tiene el objetivo de minimizar los costes totales de producción, lo que conduce a
minimizar la función de los costes de producción de todos los productores en todos los períodos
considerados.
La solución de este problema proporciona los niveles óptimos de producción para cada productor.
Entonces, el operador del sistema es el encargado de comunicar a cada productor su producción
para cada período. Nótese que este esquema es centralizado debido a que el operador del sistema
tiene conocimiento de los costes de producción y la capacidad de producción de todos los
productores del sistema. Además, el operador del sistema tiene la capacidad de imponer la
producción (óptima) a los productores.
1.5.2
Mercado competitivo en base a precios o esquema dual.
En este esquema de mercado los pasos a seguir son:
1. El operador establece unos valores iniciales para los multiplicadores de Lagrange (precios
de venta del producto en cada período). El operador del mercado propone a los
productores el precio inicial (k = 1) de venta en cada período.
2. Empleando los multiplicadores anteriores, cada productor establece su propia producción,
de
modo que maximice su beneficio. Cada productor j busca su máximo beneficio
mediante la resolución del problema y envía al operador del mercado la producción óptima
en cada período.
16
3. El operador calcula el desajuste entre la demanda y la oferta del bien en cada período, lo
que
constituye
las
componentes
del
vector
gradiente
y
actualiza
los
precios
proporcionalmente a este desajuste.
4. Si los precios son casi iguales en dos iteraciones consecutivas, se para; la solución óptima
ha sido alcanzada (mercado en equilibrio). En caso contrario, se va al paso 2.
El esquema primal es centralizado, y el operador del sistema tiene completa información sobre los
costes de producción de cada uno de los productores. Además, tiene la autoridad de decidir la
producción de cada uno de ellos.
El esquema dual es descentralizado, cada productor mantiene la privacidad de sus costes de
producción y de sus restricciones. Además son los propios productores quienes deciden cuanto
producen para maximizar su propio beneficio.
La teoría de la dualidad garantiza que ambos modos de operar conducen a los mismos resultados
en el caso que todo funcione bien y no existan fallas de mercado que permitan el ejercicio de
prácticas anticompetitivas como: el abuso de poder de mercado, colusión o productores que
buscan ganancias más allá de cantidades normales.
Partiendo de estos modelos de despacho y de esta formulación conceptual, se desarrollará el
modelo ampliado de coordinación hidrotermica a resolver añadiendo otras restricciones que se
modelarán en el siguiente capítulo; reuniendo todos los conceptos en el algoritmo de solución al
problema.
17
18
CAPÍTULO 2
“MODELO DE EXPLOTACIÓN DE GENERACIÓN Y TRANSMISIÓN”
2.1
Introducción.
Este capítulo se dedica a la formulación del modelo de explotación de GENERACIÓNTRANSMISIÓN, que en general es el problema de la coordinación hidrotérmica incluyendo
restricciones de red de transmisión. Se detalla el problema de optimización genérico (entero no
lineal) se explica y modela cada restricción a añadir al problema. Además se detalla la complejidad
matemática generada para la resolución del problema indicando las variables asociadas al modelo.
Este problema de optimización se caracteriza por dos conjuntos de restricciones:
•
Las restricciones técnicas propias de cada central térmica e hidráulica.
•
Las restricciones de carga, que acoplan a las centrales en cada período del horizonte
temporal (Incluidas aquí las pérdidas de transmisión).
Este problema se puede formular como un problema de optimización no lineal combinatorio en el
que los costos de operación se minimizan sujetos a que se cumplan las restricciones técnicas de
las centrales térmicas e hidráulicas, y las restricciones de carga. Las restricciones de carga
engloban a las restricciones de demanda de energía eléctrica por parte de los clientes, las
restricciones de reserva que aseguran un nivel de seguridad adecuado y las pérdidas en las líneas.
Las restricciones técnicas inherentes a las centrales se dividen en 4 grandes grupos:
Las restricciones de límites de producción (potencia máxima nominal y mínimo
técnico).
Las restricciones de tiempos mínimos de funcionamiento y parada.
Las restricciones de rampas (subida, bajada, arranque y parada).
Las restricciones de volúmenes y caudales turbinados mínimos y máximos de los
embalses y generadores hidráulicos respectivamente.
Las restricciones de carga son dos:
•
La restricción de demanda, que impone que la producción de todas las centrales acopladas
debe ser igual a la demanda de potencia de los consumidores más las pérdidas ocasionadas
en las líneas en un sistema real.
•
La restricción de reserva rodante, que mantiene un nivel de seguridad en caso de que
exista una falla en el sistema eléctrico de potencia.
19
2.2
Formulación.
El objetivo de este planteamiento es el de minimizar los costos totales de generación térmica,
maximizando la producción de energía hidroeléctrica, esto en forma global, conlleva a la reducción
de los costos totales del despacho de energía eléctrica.
Este planteamiento se presenta en una función objetivo a minimizar que incluye varios tipos de
costos asociados a la producción de la energía térmica.
T N
Minimizar Z = ∑ ∑ [Fi ( Pik )U i (k ) + BiU i (k ) + AiYi (k )]
(Ec. 2.1)
k i
Donde:
Pik
: Potencia de salida generada por el generador i en el periodo k
Fi
: Función de costo del generador i.
Bi
: Costo fijo de la central térmica i
Ai
: Costo de arranque fijo de la central térmica i
U i (k )
: Es una variable binaria que toma el valor de 1 si el generador i esta funcionando en la
hora k, y 0 si no esta funcionando.
Yi (k )
: Es una variable binaria que toma el valor de 1 si el generador i arranca al inicio
del periodo k, y 0 si no arrancó o ya estaba arrancada.
Entre los costos de las centrales térmicas se distinguen los costes de arranque AiYi (k ) ; y los
costes de producción que, a su vez, incluyen costes fijos, BiU i ( k ) y costes variables dependientes
de la potencia producida, Fi ( Pik )U i (k ) .
Obsérvese que, las variables Yi (k ) y U i (k ) son variables binarias cuyo valor decide si los
correspondientes costos de las centrales térmicas se suman o no al costo total; por ejemplo, si el
valor de la variable U i (k ) es cero, entonces el coste total para la central i en el período k es cero.
Por el contrario los costos de producción se suman a la función objetivo si la central está
funcionando; U i (k ) es uno.
20
2.2.1
Límites de Potencia
Todas las centrales térmicas tienen una limitación máxima en la potencia que pueden producir,
llamada potencia máxima nominal. Esta limitación se debe a características de diseño de la central.
La potencia máxima nominal también puede variar debido a que en determinados períodos alguno
de sus grupos se encuentre en mantenimiento. Además de ésta, las centrales térmicas también
tienen una limitación mínima sobre su potencia de salida. Esta potencia mínima, llamada mínimo
técnico se debe a criterios de diseño de la caldera y del propio generador, y a aspectos de
estabilidad de la combustión.
Teniendo en cuenta que si la central está desacoplada su potencia de salida es 0 (inferior al
mínimo técnico). Matemáticamente, esta restricción se puede modelar de la siguiente forma:
Pmin iU i ( k ) ≤ P i (k ) ≤ Pmax iU i ( k )
(Ec. 2.2)
Donde:
P min i y P maxi Son respectivamente las producciones mínima y máxima de la central i.
El término de la izquierda de la restricción anterior establece que si la central
i está funcionando
durante el periodo k, U i (k ) =1, su producción ha de estar por encima de su producción mínima. De
forma análoga, el término de la derecha de esta restricción hace que si la central
i
esta
funcionando durante el periodo k, U i (k ) =1, su producción ha de estar por debajo de su producción
máxima. Si U i (k ) =0, la restricción anterior hace que P i ( k ) = 0 .
La producción de una central en una hora determinada viene dada por el estado de acoplamiento
de las horas anterior y posterior. Este límite se representa mediante cuatro tipos de rampas: rampa
de subida, rampa de bajada, rampa de arranque y rampa de parada. A continuación se describen
estos tipos de rampas:
2.2.2
Rampa de subida.
Una central no puede aumentar bruscamente su producción de una hora a la siguiente. La rampa
máxima de subida es la máxima potencia que una central puede aumentar su producción en dos
horas sucesivas.
Las restricciones de rampa (2.3) limitan la subida de potencia de las centrales térmicas entre dos
períodos de tiempo consecutivos. Estas restricciones afectan a todos los períodos excepto al
primero del horizonte temporal. Para limitar la subida de potencia en el primer período se tiene en
21
cuenta el estado inicial, P0i , de las centrales térmicas mediante las restricciones (2.4). Las
restricciones (2.3) y (2.4) son:
Pi ( k )[1 − Yi (k )] − Pi ( k − 1) ≤ Rsi
(Ec. 2.3)
Pi (1)[1 − Yi (1)] − P0i ≤ Rsi
(Ec. 2.4)
Estas restricciones modelan los siguientes casos:
•
Si la potencia de la central no se incrementa entre un período y el siguiente, y la central no
se arranca al comienzo del período
k,
Yi (k ) = 0 , se tiene que: Pi (k ) − Pi ( k − 1) ≤ 0 . En este
caso, las restricciones no están activas, puesto que el término de la izquierda de la
desigualdad es negativo o cero y el término de la derecha, Rsi es siempre positivo.
•
Si la potencia de la central se incrementa entre dos períodos consecutivos, existen dos
posibilidades:
a)
La central se arranca al comienzo del período
k,
Yi (k ) = 1 y lógicamente
Pi (k − 1) = 0 . Para este caso, la restricción de rampa de subida no está activa, pues
siempre se cumple que 0 < Rsi .
b)
La central no se arranca al comienzo del período
k,
Yi (k ) = 0 . Para este caso, la
restricción se convierte en Pi (k ) − Pi (k − 1) ≤ Rsi y solamente se activa si el incremento
de potencia es igual al valor de la rampa, Pi (k ) − Pi (k − 1) = Rsi
El modelado de la rampa de subida en el primer período (2.4) es análogo a lo expuesto
anteriormente.
Como resumen, la restricción de rampa de subida sólo se activa si hay un incremento de potencia
entre dos períodos consecutivos y este incremento no es debido a que la central se arranca en ese
intervalo. El valor de la rampa de subida, Rsi , debe ser menor que la potencia máxima de la central
térmica, Pimax , si no es así, la restricción de rampa de subida nunca se activa. Además, este valor
debe ser mayor que cero para permitir que las centrales puedan incrementar su potencia una vez
arrancadas.
2.2.3
Rampa de bajada.
Al igual que con la rampa de subida, una central no puede disminuir bruscamente la potencia
producida en el intervalo de una hora. La rampa de bajada es la máxima potencia que una central
puede disminuir su producción al pasar a la siguiente hora.
22
Para limitar la bajada de potencia en el primer período se tiene en cuenta el estado inicial de las
centrales térmicas mediante las restricciones (2.6). Las restricciones (2.5) y (2.6) se escriben a
continuación.
Pi (k − 1)U i (k ) − Pi (k ) ≤ Rbi
(Ec. 2.5)
P0iU i (1) − Pi (1) ≤ Rbi
(Ec. 2.6)
Las anteriores restricciones modelan los siguientes casos:
•
La central no está en funcionamiento en el período k, U i ( k ) = 0 y Pi ( k ) = 0 . En este caso, la
restricción de rampa de bajada no está activa, pues 0 < Rbi , independientemente de que la
central estuviera ya parada en el período ( k − 1) o no.
•
La central está en funcionamiento en el período
k,
U i (k ) = 1 . En este caso existen dos
posibilidades:
a) La central no estaba en funcionamiento en el período ( k − 1) . Entonces, se tiene que
Pi (k − 1) = 0 , por tanto, la restricción de rampa de bajada − Pi (k ) < Rbi no está activa en
este caso.
b) La central ya estaba en funcionamiento en el período ( k − 1) . Para este caso, la restricción se convierte en Pi (k − 1) − Pi (k ) ≤ Rbi , y solamente se activa si el decremento de
potencia es igual al valor de la rampa, Pi (k − 1) − Pi (k ) = Rbi .
El modelado de la rampa de bajada en el primer período (2.6) es análogo a lo expuesto
anteriormente.
Resumiendo, la restricción de rampa de bajada sólo afecta si hay un decremento de potencia entre
dos períodos consecutivos y este decremento no es debido a que la central se para en ese
intervalo. El valor de la rampa de bajada, Rbi , debe ser menor que la potencia máxima de la
central térmica, Pimax , si no es así, la restricción de rampa de bajada nunca se activa. Además,
este valor debe ser mayor que cero para permitir que las centrales puedan decrementar su
potencia una vez arrancadas.
2.2.4
Rampa de arranque.
Es la potencia máxima que puede generar una central cuando pasa de estar desacoplada a estar
acoplada. Las restricciones (2.7) establecen la rampa de arranque de las centrales térmicas.
Pi (k )Yi (k ) ≤ Rsi0
23
(Ec. 2.7)
Cuando la central j se arranca al comienzo del período k, Yi (k ) = 1 , se activan las restricciones de
rampa de arranque que limitan la potencia de salida de la central arrancada a estar por debajo de
la rampa de arranque, esto es: Pi (k ) ≤ Rsi0 . En cualquier otro caso, el término a la izquierda de la
desigualdad es cero, 0 ≤ Rsi0 , y estas restricciones no están activas.
2.2.5
Rampa de parada.
Es la máxima caída de potencia que puede generar una central para poder ser desacoplada en la
hora siguiente. Las restricciones (2.8) y (2.9) establecen la rampa de parada de las centrales
térmicas. Las restricciones (2.9) equivalen a las restricciones (2.8) para el primer período.
Pi (k − 1)[1 − U i (k )] ≤ Rbi f
(Ec. 2.8)
P0i [1 − U i (1)] ≤ Rbi f
(Ec. 2.9)
Las restricciones de rampa de parada sólo se activan si la central térmica para al comienzo del
período
k y la potencia en el período
( k − 1) es igual a la rampa de parada; esto es, U i ( k ) = 0 y
Pi (k − 1) = Rbi f
2.2.6
Restricciones lógicas.
Las siguientes restricciones (2.10) y (2.11) establecen la lógica de cambio de estado en cuanto al
funcionamiento, arranque y parada de las centrales térmicas:
Yi (k ) ≥ U i (k ) − U i (k − 1)
(Ec. 2.10)
Yi (1) ≥ U i (1) − U 0i
(Ec. 2.11)
La restricción (2.12) establece la naturaleza binaria de las variables Yi (k ) e Yi (k )
U i (k ) e Yi (k ) ∈ { 0,1
}
(Ec. 2.12)
La Tabla 2.1 ilustra el funcionamiento de estas restricciones. En esta tabla se muestran los cuatro
posibles estados de una central térmica, respecto a su estado en el período anterior, junto con los
valores correspondientes de las variables U i (k ) e Yi (k ) .
24
Tabla 2.1 Lógica de arranque y parada de las centrales térmicas.
Estado de la central j en la hora k
U i (k − 1) U i v(k ) Yi (k )
Arranque
0
1
1
Funcionamiento
1
1
0
Parada
1
0
0
No Funcionamiento
0
0
0
Estas restricciones evitan que una vez que la central térmica está funcionando pueda volver a ser
arrancada. De igual forma, evitan la parada de una central térmica que esté parada. Obsérvese,
además, que la desigualdad de estas restricciones es estricta para el estado de parada. En el resto
de casos, los dos términos de la restricción son iguales.
2.2.7
Restricciones de carga.
La siguiente restricción (2.13) modela el balance de potencias en cada nodo de la red de
transmisión.
∑
i∈Λn
Pi (k ) +
∑ H j (k) + ∑ Bnm[δm (k ) − δn (k)] − ∑ Knm[1 − cos{δm(k ) − δn(k )}] = Dn (k )
j∈Γn
m∈Ωn
(Ec. 2.13)
m∈Ωn
Para todos los n nodos del sistema y para todos los k periodos de tiempo.
A continuación se describe cada término de la ecuación:
a)
b)
∑ Pi (k )
, es el total de la potencia que inyectan al nodo n los grupos térmicos
i∈Λn
ubicados en dicho nodo durante el período k.
∑ H j (k)
j∈Γn
, es el total de la potencia que inyectan al nudo n las centrales
hidráulicas j ubicadas en el nudo n durante el período k. Este término modela la potencia
producida por la central hidráulica en función del volumen de agua turbinado por dicha central.
Es necesario puntualizar que la potencia producida por una central hidráulica también es
función de otros parámetros (altura del embalse, rendimiento del conjunto embalse-turbina,
etc.) por lo que este término es típicamente no lineal. La expresión planteada en las ecuaciones
es una simplificación de esta función no lineal, en la que se considera que la altura del embalse
no varía y las pérdidas hidráulicas son despreciables.
25
c)
∑ Bnm [δ m (k ) − δ n (k )]
, es el flujo neto de potencia en el período k que se
m∈Ωn
inyecta al nudo n desde la red a través de las líneas de conexión al nudo considerado.
Donde:
Bnm
Es la susceptancia de la línea existente entre el nodo n y el nodo m.
δi (k )
Es el ángulo del voltaje en el nodo i del sistema en el periodo k.
Además de este balance, el flujo también tiene asociada una restricción de flujo máximo que
puede conducir a través de la línea.
La expresión matemática del flujo de potencia activa que circula por las líneas proviene del
método DC; este método es explicado en el (anexo A).
d)
∑ K nm 1 − cos[δ m (k ) − δ n (k )]
, representa las pérdidas de potencia activa de las
m∈Ωn
líneas que están conectadas al nudo n. Esta expresión se obtiene como sigue. En primer lugar,
se obtiene la expresión de las pérdidas asociadas a una línea y a continuación se reparten
estas pérdidas al 50% entre los dos nudos extremos de la misma. Las pérdidas de una línea se
calculan como la diferencia entre la potencia inyectada en la línea y la potencia extraída de la
misma.
S mn se define así; considere el sistema siguiente:
La potencia compleja
Pmn
Pnm
Znm=Rnm+jXnm
m
n
Figura 2.1. Modelo de las pérdidas en una línea.
⎧⎪ V m
⎫
V
∗
[θ nm − δ m ) − n [θ nm − δ n )⎪⎬
S mn = V m I mn = V m [δ m )⎨
Z nm
⎪⎩ Z nm
⎪⎭
2
=
Vm
V V
[δ m + θ nm − δ m ) − m n [δ m + θ nm − δ n )
Z nm
Z nm
2
V
V V
= m [θ nm ) − m n [δ m + θ nm − δ n )
Z nm
Z nm
26
(Ec. 2.14)
Tomando solo la potencia real se obtiene:
2
Pmn
V
V V
= m cos(θ nm ) − m n cos(δ m − δ n + θ nm )
Z nm
Z nm
(Ec. 2.15)
De forma similar, se calcula la potencia activa que circula por la línea en sentido contrario
como:
2
Pnm =
Vn
V V
cos(θ nm ) − m n cos(δ n − δ m + θ nm )
Z nm
Z nm
(Ec. 2.16)
Si se considera en P.U. que Vn ≈ Vm ≈ 1, las potencias activas de la línea se expresan como:
Pmn =
1
1
cos(θ nm ) −
cos(δ m − δ n + θ nm )
Z nm
Z nm
(Ec. 2.17)
Pnm =
1
1
cos(θ nm ) −
cos(δ n − δ m + θ nm )
Z nm
Z nm
(Ec. 2.18)
Ahora definiendo las pérdidas de la línea n
m (Lnm)como la diferencia entre la potencia que
sale del nodo de envío (n) menos la potencia que entra al nodo de recibo (m), es decir, la
potencia que sale del nodo n
(Pnm)menos la potencia que entra al nodo m (− Pmn)
así:
Lnm = Pnm − (− Pmn ) = Pnm + Pmn
=
1
1
1
1
cos(θ nm ) −
cos(δ n − δ m + θ nm ) +
cos(θ nm ) −
cos(δ m − δ n + θ nm )
Z nm
Z nm
Z nm
Z nm
=
2
1
1
cos(θ nm ) −
cos(δ n − δ m + θ nm ) −
cos(δ m − δ n + θ nm )
Z nm
Z nm
Z nm
(Ec. 2.19)
Definiendo como A = θ nm y B =
(δ n − δ m ) , y utilizando las identidades trigonometricas:
cos( A + B ) = cos A cos B − senA senB
cos( A − B ) = cos A cos B + senA senB
Se obtiene:
27
(Ec. 2.20)
Lnm =
2
1
cos(θ nm ) −
[cos( A + B ) + cos( A − B )]
Z nm
Z nm
=
2
1
[cos A cos B − senAsenB + cos A cos B + senAsenB]
cos(θ nm ) −
Z nm
Z nm
=
2
1
[2 cos A cos B ] sustituyendo A y B
cos(θ nm ) −
Z nm
Z nm
=
2
2
cos(θ nm ) −
[cos θ nm cos(δ n − δ m )]
Z nm
Z nm
Lnm =
1
[2 cos(θ nm ) − 2 cosθ nm cos(δ n − δ m )]
Z nm
(Ec. 2.21)
Teniendo en cuenta que cos
θn m =
Rnm
Z nm
y
Z 2 nm = R 2 nm + X 2 nm ,se obtiene que
⎤
R
R
1 ⎡ Rnm
− 2 nm cos(δ n − δ m )⎥ = 2 2nm [1 − cos(δ n − δ m )]
⎢2
Z nm ⎣ Z nm
Z nm
Z nm
⎦
(Ec. 2.22)
Rnm
≈2 2
[1 − cos(δ n − δ m )]
R nm + X 2 nm
Lnm ≈
Lnm
Puesto que la conductancia de la línea se expresa como
K nm =
Rnm
Rnm 2 + X nm 2
, la
expresión final de las pérdidas de potencia activa asignadas al nodo n es:
Ln ≈
e)
Dn (k )
Lnm
≈ K nm [1 − cos(δ n − δ m )]
2
(Ec. 2.23)
, es la demanda de potencia activa en el nudo n en el período k. Esta demanda
se supone dato de entrada en el modelo propuesto.
28
2.2.8
Restricción de reserva de potencia.
La otra restricción de carga que acopla a todas las centrales térmicas en cada intervalo del período
de planificación es la restricción de reserva rodante. La reserva rodante es la potencia que el
sistema debe ser capaz de proporcionar de forma rápida en caso de fallo en alguna central. En
realidad, es un margen de seguridad sobre la potencia demandada para asegurar que siempre se
suministre la demanda, incluso en el peor de los casos. Esta restricción se plantea como un
margen que debe existir entre la potencia despachada real y el máximo de producción de cada
unidad, para aquellas unidades que estén en línea en cada periodo; así este tendrá un costo
asociado para esta restricción a la hora de los resultados de la optimización:
Gens
∑ U i Pi, j max − ∑ Pgenerada total ≤ R(k )
(Ec. 2.24)
hidro y term
2.2.9
Restricción de límites de los ángulos.
Las restricciones (2.25) y (2.26) limitan el valor que toman los ángulos de tensión en los nudos de
la red de transporte.
− π ≤ δ n (k ) ≤ π
(Ec. 2.25)
δnr (k ) = 0
(Ec. 2.26)
Obsérvese que a diferencia del resto de variables de optimización, los ángulos de la tensión no
están restringidos en signo. Por otro lado, se establece un nodo de referencia, nr, con un ángulo de
tensión de 0 radianes.
2.2.10
Restricción de balance hidráulico.
A continuación, se analizan las ecuaciones de continuidad hidráulica:
V j , k = V j , k −1 + r j , k − S j , k − Q j , k
V j , k = V j , k −1 + r j , k − S j , k − Q j , k +
(Ec. 2.27)
∑[ Qe, k − tao + S e, k − tao ]
(Ec. 2.28)
Cia
Estas ecuaciones modelan el balance de volumen agua de los embalses. Por tanto, el volumen
resultante al final del período k se calcula como la suma del volumen al final del período ( k − 1)
y el flujo neto de agua que entra al embalse durante el período
ecuación son los siguientes:
•
V j (k )
, es el volumen del embalse j al final del período k.
29
k.
Los términos de la
•
V j (k −1)
•
r j ,k
, es el volumen del embalse j al final del período k-1.
, representa las aportaciones externas al embalse en el periodo k, aportaciones
que se suponen conocidas.
•
S j ,k
, representa los flujos de agua que son vertidos por el embalse en el periodo k, es
un excedente que no es aprovechado para generación eléctrica.
•
Q j ,k
, representa el caudal que es utilizado por la central j en el periodo k.
Por otra parte, muchas veces es necesario modelar el acoplamiento existente entre embalses de
una misma cuenca, como se muestra en la figura 2.2. En este caso la ecuación que modela cada
embalse es la ecuación 2.28.
Donde:
∑ [ Qe,k −tao + S e,k −tao ] , representa el conjunto de embalses aguas arriba del embalse j y
Cia
, es
tao
el tiempo que tarda el flujo vertido por la central aguas arriba en estar disponible por el embalse de
la central aguas abajo j.
En la figura 2.2. se presentan los flujos de agua que entran y salen del embalse j. Asimismo, se
indica la correspondencia de las variables de las ecuaciones con cada flujo. Se observa en la figura
2.2. el acople espacial entre las distintas centrales; esto es, el flujo de agua saliente de cada
embalse puede ser flujo de entrada de uno o más embalses, así como el flujo de entrada de cada
embalse puede provenir del flujo de salida de uno o más embalses.
r1
Se1, k-tao
r2
Qe1,k-tao
S2
Q2
Figura 2.2. Esquema de un embalse y su correspondiente central hidráulica.
Los límites de las variables hidráulicas se establecen en las restricciones (2.29)-(2.31):
S j (k ) ≥ 0
(Ec. 2.29)
V j min ≤ V j ( k ) ≤ V j max
(Ec. 2.30)
30
Q j min ≤ Q j (k ) ≤ Q j max
(Ec. 2.31)
Obsérvese que el volumen de agua derramada, puede ser mayor que cero, aunque para un
aprovechamiento óptimo del agua estas variables serán normalmente cero.
El volumen final del embalse j debe estar dentro de unos limites mínimos y máximos
V j min y V j max en cada periodo k.
El caudal turbinado por la central
j debe estar dentro de unos limites mínimos y máximos
Q j min y Q j max en cada periodo k.
2.3
Complejidad matemática.
En este apartado se analiza en forma genérica la complejidad que puede llegar a tener el problema
de coordinación hidrotermica en cuanto a las variables que presenta.
Los parámetros del problema son:
M : Número de centrales Hidráulicas.
N : Número de centrales Térmicas.
T : Número de periodos.
nodos : Número de nudos de la red de transporte.
El número de variables a resolver en función de los parámetros anteriores se muestran en la tabla
2.2.
Tabla 2.2. “Variables de Resolución”.
Número de variables
T (2*N + 3 * M + NODOS - 1)
Donde:
Las variables a resolver son:
U i = N *T
Representa el número de variables binarias.
r j = M *T
Representa el número de variables correspondientes a las aportaciones externas.
S j = M *T
Representa el número de variables correspondientes a los derrames.
31
H j = M *T
Representa el número de variables correspondientes a las potencias inyectadas
por las centrales hidráulicas.
Pi = I * T
Representa el número de variables correspondientes a las potencias inyectadas
por las centrales térmicas.
δ = (nodos − 1) * T Representa el número de variables correspondientes a los ángulos de fase en los
nudos.
32
CAPÍTULO 3
PROGRAMA DE COORDINACIÓN HIDROTERMICA
GENERACIÓN –TRANSMISIÓN
3.1
Introducción.
En este capítulo se estudia inicialmente por medio de un ejemplo sencillo la solución del problema
de coordinación hidrotérmica con restricciones de red, planteado en el capítulo anterior.
Este problema considera un horizonte temporal multiperíodo y consiste en encontrar la operación
óptima de las unidades generadoras. Para alcanzar este objetivo, debe procurarse que el costo de
operación del sistema sea mínimo, satisfaciendo simultáneamente tanto las restricciones de cada
unidad generadora como las del sistema en su conjunto.
La red de transporte se representa mediante un modelo DC y las pérdidas de transporte de energía
se modelan como potencias demandadas ficticias en los distintos nudos utilizando funciones
sinusoidales para aproximarlas.
Matemáticamente es un problema de programación, no lineal y combinatorio que representa en
forma precisa las restricciones del grupo térmico, las centrales hidráulicas y de la red de transporte
del sistema eléctrico considerado.
Este problema es resuelto por el método de Relajación de Lagrange explicado en el capítulo uno,
además el lector puede auxiliarse con la tesis “Análisis del despacho del sistema de generación de
El Salvador”.
El programa se realizará en MATLAB y durante el desarrollo de la solución del ejemplo se explicará
que funciones utilizar y como representar las ecuaciónes matricialmente para ese entorno.
Además se presenta el algoritmo del método de Relajación de Lagrange para realizar el despacho
hidrotérmico y un esquema genérico para mayor compresión de este.
El capítulo finaliza ampliando el problema que inicialmente era de tres horas a veinticuatro horas,
presentando un análisis de los resultados obtenidos de la resolución del algoritmo del método de
Relajación de Lagrange.
33
3.2
Algoritmo del programa de Despacho Hidrotérmico
El presente apartado aborda paso a paso la construcción del algoritmo del método de Relajación
de Lagrange para implementarlo en el ejemplo de programación hidrotérmica de corto plazo
propuesto.
A continuación se muestra un esquema genérico que ayudará a comprender de una forma fácil la
descomposición del problema de coordinación hidrotérmica.
Coordinación Hidrotérmica
Maximizar Recurso
Hidráulico
Grupo Térmico
Seleccion de
unidades Térmicas
Minimizar Recurso
Térmico
Costo Maginal
Figura 3.1 Esquema genérico del despacho hidrotérmico
Como se puede observar para resolver el problema de coordinación hidrotérmica se utiliza una
descomposición anidada; es decir se resuelven dos problemas en forma separada. Esta
descomposición anidada consiste en plantear un problema principal llamado problema maestro y
un segundo problema llamado subproblema, en donde se establece un mecanismo de comparticion
de información entre ambos problemas que mejora iterativamente las decisiones tomadas.
Inicialmente se resuelve el problema maestro maximizando el recurso hidráulico y calculando la
demanda residual. Luego se procede a resolver el subproblema, determinando qué unidades
térmicas estarán en funcionamiento y realizando la optimización del recurso térmico tomando en
cuenta simultáneamente las restricciones de cada unidad generadora y las de la red.
34
Si no se cumple la condición de Duality Gap y la verificación del despacho térmico, entonces la
maximización del recurso hidráulico pasa a ser el subproblema recibiendo como datos los costos
marginales obtenidos del subproblema anterior que ahora es el nuevo problema maestro.
3.2.1
Estructura del Algoritmo
A continuación se menciona en forma general los pasos a realizar por el algoritmo, utilizado para la
solución del problema de coordinación hidrotérmica.
PASO 1:
Inicialización de datos y establecimiento de parámetros del sistema.
PASO 2:
Inicio de ciclo; se establece la condición del ciclo de trabajo.
PASO 3:
Se realiza la optimización del recurso hidroeléctrico, siendo este el problema maestro para
la asignación de unidades del equipo térmico.
PASO 4: Calculo
de demanda residual.
PASO 5: Acoplamiento
PASO 6:
de unidades térmicas.
Se realiza el despacho económico en cada hora, tomando en cuenta los costos de paro y
arranque.
PASO 7: Se
verifica la condición de paro del ciclo de trabajo. Si se cumple la condición de Duality
Gap o el número máximo de iteraciones, el programa finaliza, si no se cumple, el despacho
térmico pasa a ser el problema maestro de la optimización hidráulica (subproblema). Se
vuelve al paso 3.
PASO 8: Se
realiza la presentación de los resultados.
Teniendo claro en forma general los procedimientos a realizar por el algoritmo, se procede a
explicar en forma más específica la estructura de éste.
PASO 1:
Inicialización
En esta etapa se ordenan los parámetros del sistema y los datos de entrada.
Se establecen los valores iniciales del costo marginal(lambda), potencia en función de lambda,
variables binarias, potencias térmicas, potencias hidráulicas, volúmenes de los embalses, ángulos.
Se define la demanda por nodo/hora, parámetros de costos de las unidades térmicas, costos de
arranque, etc. Además se establecen los límites máximos y mínimos de las unidades térmicas,
rampas, límites máximos y mínimos de las unidades hidráulicas, volúmenes mínimos y máximos,
volúmenes iniciales en embalse, límites de flujo en las líneas de transmisión, límites mínimos y
máximos de los ángulos, etc.
PASO 2: Inicio
de Ciclo
Se realiza el ciclo de trabajo si la condición de inicio es verdadera, es decir: RunCiclo = 1
35
PASO 3:
Optimización del Recurso Hidroeléctrico
Del modelo planteado, la optimización del recurso hidráulico se realiza a partir de la siguiente
expresión:
T
max ∑
t =1
M
∑λ P
j =1
t
(Ec. 3.1)
j
Sujeta a las restricciones de potencia y volumen.
Se determinan las potencias de cada unidad, volúmenes finales y el costo de oportunidad del agua.
PASO 4: Demanda
Residual
Se realiza el cálculo de la demanda residual.
DemandaRe sidual =DemandaTotal + Perdidas − Potencia Hidraulicamaximizada
PASO 5: Acoplamiento
(Ec.3.2)
de Unidades Térmicas
(Se realiza un número definido de iteraciones)
Se calcula
P(λ ) de las unidades térmicas, y se verifica que este dentro de los límites técnicos de
ellas.
P(λ ) ≤ Pimin
⇒ Pimin
P(λ ) ≥ Pimax
⇒ Pimax
(Ec. 3.3)
Pimin < P(λ ) < Pimax ⇒ P(λ )
El criterio para determinar que unidades deben estar en línea es:
D = Costo− λ * P(λ)
si D < 0 ⇒ U = 1 si no U = 0
(Ec. 3.4)
Se forma la matriz de potencias de cada unidad:
Pi ,t = P (λ ) × U
Finalmente se realiza el cálculo del gradiente, la función dual y se actualiza
PASO 6:
(Ec. 3.5)
λ.
Resolver el Despacho Económico
Se realiza el despacho económico tomando en cuenta los costos de arranque, paro, las
restricciones (de la red, rampas y límites de potencias), se estiman las potencias de las unidades
térmicas y se calcula la función primal.
36
PASO 7:
Duality Gap
Se realiza el cálculo del Duality Gap a partir de la siguiente expresión:
⎛ J * −q * ⎞
⎟⎟ <= ε
Duality Gap = ⎜⎜
⎝ q* ⎠
(Ec. 3.6)
Si este es menor o igual que la tolerancia, verifica que el despacho sea factible; si es así termina el
ciclo, si no, se verifica el número máximo de iteraciones y si no se cumple se regresa al paso 3.
PASO 8:
Presentación de Resultados
Al finalizar se presentan los resultados: potencias hidráulicas optimizadas, volúmenes finales en
cada período, costo del agua turbinada, potencias térmicas optimizadas, el precio en cada nodo por
cada hora.
A continuación se presenta el flujograma de la coordinación hidrotérmica, para la realización de
este, se tomo como base el algoritmo presentado en Tesis “Análisis del despacho del sistema de
generación de El Salvador”.
IN IC IO
IN IC IA L IZ A C IÓ N
O P T IM IZ A C IÓ N D E L
RECURSO
H ID R O E L E C T R IC O
DEMANDA
R E S ID U A L
A C O P L A M IE N T O
D E U N ID A D E S
T É R M IC A S
R E S T R IC C IO N E S :
* RED
* RAMPAS
* L IM IT E S T É C N IC O S
DESPACHO
E C O N Ó M IC O
D U A L IT Y G A P
NO
SI
V E R IF IC A C IO N
DEL DESPACHO
NO
SI
F IN
Figura3.2 Flujograma del despacho hidrotérmico
37
3.3
Problema de Aplicación
El siguiente problema fue tomado de la tesis “Modelo multiperíodo de explotación generación-red
de un sistema hidrotérmico de producción de energía eléctrica mediante técnicas anidadas de
descomposición” , por Natalia Alguacil Conde, el cual se utilizará para presentar el programa de
coordinación hidrotérmica.
La red de transporte está compuesta por 4 nudos y 4 líneas, el sistema hidrotérmico se compone
de 3 centrales térmicas y 3 centrales hidráulicas ubicadas en los nudos 1, 2 y 3 respectivamente.
Las 3 centrales hidráulicas cada una asociada a un embalse, están en cascada. Los nudos 1 y 2
son nudos de generación. El nudo 3 es un nudo de carga con generación. El nudo 4 es un nudo de
carga. Se considera un horizonte temporal de tres horas, y una demanda eléctrica que varía hora a
hora. Además se supone que el estado inicial de las centrales térmicas es no acoplado y que el
nudo de referencia es el nudo 4.
Nodo1
Nodo2
Nodo3
Nodo4
Central Hidráulica
Central Térmica
Figura 3.3 Diagrama unifilar del sistema hidrotérmico
38
DATOS
Tabla 3.1. Características de las Centrales Térmicas
Central (i)
(MW)
1
2
3
Potencia máxima
130
250
190
Mínimo Técnico
13
25
19
Tabla 3.2. Coeficientes de las Unidades Térmicas
Coeficientes de las unidades térmicas
Central (i)
2
A($)
B($/MW)
C($/MW )
1
0.0
20.0
0.05
2
0.0
22.5
0.05
3
0.0
35.0
0.05
Donde la forma de la función de costos es: C ( P )
= A + B * P + C * P^2
Tabla 3.3. Datos de arranque y parada de las Unidades Térmicas
Central (i)
$
1
2
3
Costo de Arranque
100
60
80
Costo de Parada
10
5
5
Tabla 3.4. Datos de rampas de las Unidades Térmicas
Central (i)
p.u
1
2
3
Rampa de Subida
1.0
2.5
1.9
Rampa de Bajada
1.0
2.5
1.9
39
Tabla 3.5. Características de las Unidades Hidráulicas.
Central (j)
1
2
3
10.80
14.40
28.80
2.78
2.78
2.78
10.0
18.50
27.07
Volumen máx. del embalse (hm )
10.0
20.0
30.0
Volumen min. Del embalse (hm3 )
5.0
5.0
5.0
3
Caudal max. (hm )
3
Coeficiente Energético (MWh/hm )
3
Volumen inicial del embalse (hm )
3
Tabla 3.6. Aportaciones de las Unidades Hidráulicas (hm3 ).
Período
(k)
1
Embalse (j)
2
3
1
2.0
2.0
2.0
2
2.0
2.0
2.0
3
2.0
2.0
2.0
Tabla 3.7. Características de las Líneas.
Línea
Susceptancia (puΩ-1 )
Capacidad (MVA)
Resistencia (puΩ)
De n a m
10
550
0.027
Nota:
Se utiliza una base de 100MVA.
Tabla 3.8. Demanda y Reserva Rodante (MW).
Período (k)
1
2
3
Nudo 3
50
250
150
Nudo 4
100
250
120
Demanda Total
150
500
270
0.075
0.25
0.135
Reserva Rodante
40
Solución:
En el capítulo dos se determinó en forma genérica el número de variables a resolver para el
problema de coordinación hidrotérmica. La expresión genérica es:
Tabla 2.2. “Variables de Resolución”.
T (2*N + 3 * M + NODOS - 1)
Número de variables
donde:
M : Número de centrales Hidráulicas.
N : Número de centrales Térmicas.
T : Número de períodos.
nodos : Número de nudos de la red de transporte.
Si se incluyen solamente los costos de arranque se utiliza 3*N, y si se incluyen los costos de
arranque y paro se utiliza 4*N.
Entonces el número de variables a resolver es 72.
donde:
27 variables binarias corresponden al estado de acoplamiento de las unidades térmicas, y
a los costos de arranque y paro en los tres períodos.
9 variables corresponden a las potencias inyectadas por las unidades térmicas en los tres
períodos.
9 variables corresponden a las potencias inyectadas por las unidades hidráulicas en los
tres períodos.
9 variables corresponden a los volúmenes finales de los embalses, en los tres períodos.
9 variables corresponden a los derrames en los embalses, en los tres períodos.
9 variables corresponden a los ángulos de fase en los nudos, en los tres períodos.
Siguiendo los pasos del algoritmo planteado anteriormente, se resuelve el problema de la siguiente
forma:
PASO 1:
Optimización del Recurso Hidráulico
Cada una de las tres centrales hidroeléctricas tienen asociada un embalse y pertenecen a la misma
cuenca hidrográfica.
41
r1
S1
r2
Q1
S2
Q2
r3
S3
Q3
Figura 3.4 Centrales Hidroeléctricas en Cascada
Recordando que la función objetivo a maximizar es:
T
max ∑
t =1
M
∑λ P
t
j =1
(Ec. 3.1)
j
entonces:
− [ λ1( Pg11 + Pg 21 + Pg 31 ) + λ 2( Pg12 + Pg 22 + Pg 32 ) + λ 3( Pg13 + Pg 23 + Pg 33 ) ]
(Ec. 3.7)
Sujeto a las restricciones de balance hidráulico:
V1i − V1i −1 − (r1i − S1i − Q1i ) = 0
V2i − V2i −1 − (Q1i + S1i + r2i − S 2i − Q2i ) = 0
(Ec. 3.8)
El bloque de ecuaciónes 3.8 representa en forma genérica las restricciones de volumen de las
centrales, explicadas en el capítulo dos.
Obsérvese en el bloque de ecuaciónes 3.9 que la potencia se puede obtener en función del
coeficiente energético (MWh/hm3 ) y el caudal terminado (hm3).
Unidad 1 Pg 11 = 2.78Q11
Pg 12 = 2.78Q12
Pg 13 = 2.78Q13
Pg 21 = 2.78Q 21
Pg 22 = 2.78Q22
Pg 23 = 2.78Q 23
Unidad 3 Pg 31 = 2.78Q31
Pg 32 = 2.78Q32
Pg 33 = 2.78Q33
Unidad 2
42
(Ec. 3.9)
Unidad 1
V11 = V1 o + r11 − S 11 − Q11
V12 = V11 + r12 − S12 − Q12
V13 = V12 + r13 − S 13 − Q13
V 21
Unidad 2
= V 2 o + r21 − S 21 − Q 21 + Q11 + S 11
V 22 = V 21 + r22 − S 22 − Q 22 + Q12 + S 12
V 23 = V 22 + r23 − S 23 − Q 23 + Q13 + S 13
Unidad 3
V31 = V3 o + r31 − S 31 − Q31 + Q 21 + S 21
(Ec. 3.10)
V32 = V31 + r32 − S 32 − Q32 + Q 22 + S 22
V33 = V32 + r33 − S 33 − Q33 + Q 23 + S 23
Despejando Q del bloque de ecuaciónes 3.9, y sustituyendo en el bloque de ecuaciónes 3.10 se
obtiene:
Unidad 1
V11 + 0.3597 Pg 11 + S 11 = V1 o + r11
V12 − V11 + 0.3597 Pg 12 + S 12 = r12
V13 − V12 + 0.3597 Pg 13 + S 13 = r13
Unidad 2
V 21 + 0.3597 Pg 21 − 0.3597 Pg 11 + S 21 − S 11 = V 2 o + r21
V 22 − V 21 + 0.3597 Pg 22 − 0.3597 Pg 12 + S 22 − S 12 = r22
V 23 − V 22 + 0.3597 Pg 23 − 0.3597 Pg 13 + S 23 − S 13 = r23
Unidad 3
V31 + 0.3597 Pg 31 − 0.3597 Pg 21 + S 31 − S 21 = V3 o + r31
V32 − V31 + 0.3597 Pg 32 − 0.3597 Pg 22 + S 32 − S 22 = r32
V33 − V32 + 0.3597 Pg 33 − 0.3597 Pg 23 + S 33 − S 23 = r33
43
(Ec. 3.11)
5 ≤ V11 ≤ 10
5 ≤ V12 ≤ 10
5 ≤ V13 ≤ 10
5 ≤ V21 ≤ 20
5 ≤ V22 ≤ 20
5 ≤ V23 ≤ 20
5 ≤ V31 ≤ 30
5 ≤ V32 ≤ 30
5 ≤ V33 ≤ 30
(Ec. 3.12)
representa la producción del generador hidroeléctrico j a la hora t.
La variable
Pg , j , t
La variable
V j, t
representa el volumen final del embalse j a la hora t.
La variable
Q j, t
es el volumen turbinado por el generador j en la hora t.
El bloque de restricciones formado por las ecuaciónes 3.9 relaciona el agua turbinada y la potencia
producida para cada central en cada hora.
El bloque de restricciones formado por las ecuaciónes 3.11 establece el balance de agua en cada
período.
El bloque de restricciones formado por las ecuaciónes 3.12 establece los límites de los embalses.
Para resolver este problema se utilizara la función Linprog de MATLAB
min f T x
sujeta
A.x ≤ b
Aeq.x = beq
lb ≤ x ≤ ub
Sintaxis:
[x, fval, exitflag, output, lambda]=linprog(f, A, b, Aeq, beq, lb, ub, xo, options)
La variable x se puede expresarse de la siguiente forma:
donde:
PHi: Representa alas potencias inyectadas por las centrales hidroeléctricas en cada período
Voli: Representa a los volúmenes finales en los embalses en cada período.
Si:
Representa los derrames en los embalses en cada período.
44
•
Definiendo A.x ≤ b
Esta ecuación establece que la suma de potencias hidráulicas debe ser menor o igual a la potencia
demandada, en cada período. En la figura siguiente se expresa en forma matricial:
Figura 3.5. Representación matricial del balance de potencias
Debido a que lo que se desea es que la sumatoria de potencias inyectas por las centrales sea
menor o igual a la potencia demandada en cada período los valores de los coeficientes de la matriz
A para el Volumen y derrame toman el valor de cero.
•
Definiendo xo
Es un Vector de (27x1) que esta formado por los valores iniciales de las variables de Potencia,
volumen y derrame que se quieren determinar y se expresa de la siguiente forma:
xo = [ Potini Volini Sini ]
donde:
45
Potini Es un vector de (1x9), representa las potencias iniciales de los generadores.
Volini Es un vector de (1x9), representa los volúmenes iniciales de los embalses.
Sini
•
Es un vector de (1x9), representa los derrames iniciales de los embalses.
Definiendo f
Es la función de costos a minimizar y puede expresarse de la siguiente forma:
f = [−λ ; − λ ; − λ ; Vzero; Szero ]
donde:
λ
Es un vector de (1x3) , el signo (-) se utiliza porque se desea maximizar la función (f)
Vzero Es un vector de ceros de (1x9), representa al volumen
Szero Es un vector de ceros de (1x9), representa al volumen.
Los vectores Vzero y Szero tienen asignado el valor de cero en la función objetivo porque lo que se
desea es maximizar el recurso hidráulico, es decir maximizar la potencia inyectada por las
centrales hidráulicas en los nodos correspondientes.
•
Definiendo lb y ub.
Estos vectores de (27x1) representan los límites mínimos y máximos respectivamente de potencia,
volumen y derrame de las unidades.
•
Definiendo
Aeq.x = beq
Esta ecuación establece el balance hidráulico. Se forma expresando el bloque de ecuaciónes 3.11
en forma matricial.
46
Figura 3.6 Representación matricial del balance hidráulico
donde:
ef1:
Representa la eficiencia de la unidad uno.
ef2:
Representa a eficiencia de la unidad dos.
ef3:
Representa la eficiencia de la unidad tres.
Se puede observar la dependencia entre las centrales hidráulicas. Por ejemplo en la unidad dos, la
potencia inyectada por esta unidad depende además del volumen inicial de este embalse y las
aportaciones, del caudal turbinado por la unidad uno y del derrame que hay en el primer embalse.
Este efecto se debe a que las centrales se encuentran en cascada. El mismo efecto surge para las
otras centrales.
En nuestro caso las eficiencias de todas las central hidráulicas son iguales porque el coeficiente
energético (MWh/Hm3 ) de cada central es el mismo.
PASO2:
Optimización del Recurso Térmico
Después de maximizar el recurso hidráulico, se calcula la demanda residual con la ecuación 3.2
Demanda Re sidual =Demanda Total + Perdidas − Potencia Hidraulica max imizada
47
Teniendo la demanda residual se procede a determinar el acoplamiento de las unidades térmicas,
utilizando las ecuaciónes (3.3), (3.4) y (3.5).
Después de actualizar el costo marginal(λ) y determinar que unidades están en línea, se realiza
el despacho económico, tomando en cuenta todas las restricciones (red, rampas y límites técnicos
de las unidades térmicas).
Para resolver este problema se utilizará la función fmincon de MATLAB
min f ( x) sujeto a
c( x) ≤ 0
ceq( x) ≤ 0
A.x ≤ b
Aeq.x = beq
lb ≤ x ≤ ub
Sintaxis:
[x, fval, exitflag, output, lambda] = fmincon(fun, x0, A, b, Aeq, beq, lb, ub, ceq(x), options)
•
Definiendo fun
Es la función a minimizar, representa la suma de los costos de generación.
La función a minimizar es
f = ∑ Ci ( PGi )
donde:
f
Representa la suma de los costos de generación
Ci ( PGi )
Es la oferta que el generador i presenta al operador del sistema en $/MW.
Es decir:
f = a + b * P (λ ) + c * P (λ ) 2
•
Definiendo x0
Es un Vector de (6x1) que esta formado por los valores iniciales de Potencia y ángulos.
Puede expresarse de la siguiente forma:
xo = [ Potini angini ]
donde:
Potini
.Es un vector de (3x1), representa las potencias iniciales de los generadores.
angini
Es un vector de (3x1), representa los valores iniciales de los ángulos
48
•
Definiendo
A.x ≤ b
La matriz A y el vector b representan las restricciones de flujo en las líneas y las restricciones de
rampas de las unidades.
Restricciones de flujos en las líneas:
En el capítulo dos se determinó que el flujo de potencia en la rama que conecta los nudos n m es:
Pmn =
∑ Bnm [δ m (k ) − δ n (k )]
(Ec. 2.13)
m∈Ωn
donde:
Bnm
Es la parte imaginaria de la reactancia inductiva (en pu) de la línea que une los nudos n y m.
δ
Es el ángulo de fase del nodo.
El flujo se considera entrando al nodo n.
P21 = B * (δ 2 − δ1 ) ≤ P lim
P31 = B * (δ 3 − δ1 ) ≤ P lim
P12 = B * (δ1 − δ 2 ) ≤ P lim
Entonces:
(Ec. 3.14)
P42 = B * (δ 4 − δ 2 ) ≤ P lim
P13 = B * (δ1 − δ 3 ) ≤ P lim
P43 = B * (δ 4 − δ 3 ) ≤ P lim
P34 = B * (δ 3 − δ 4 ) ≤ P lim
P24 = B * (δ 2 − δ 4 ) ≤ P lim
El bloque de ecuaciónes (3.14) representa las restricciones de flujo en cada línea.
Plim Es el limite del flujo de potencia en la línea
B
Es la susceptancia en la línea.
δ4
Es el Angulo de referencia( = 0 )
Restricciones de rampas:
En el capítulo dos se determinó que:
Pt − Pt −1 = Rs
y
Pt −1 − Pt = Rb
donde:
Rs
Es la rampa de Subida
49
(Ec.3.15)
Rb
Es la rampa de bajada
Pt
Es la potencia en el período t
Pt −1
Es la potencia en el período anterior a t
En forma matricial el bloque de ecuaciónes 3.15 se expresan de la siguiente forma:
⎡ 1⎤
⎡1 0 0⎤ ⎢ Pt ⎥
⎢0 1 0 ⎥ ⎢ P 2 ⎥
⎢
⎥⎢ t ⎥
⎢⎣0 0 1⎥⎦ ⎢ P 3 ⎥
⎣ t ⎦
⎡ Rs + P1 ⎤
t −1 ⎥
⎢ 1
⎢
≤ Rs 2 + Pt2−1 ⎥
⎥
⎢
⎢ Rs + P 3 ⎥
t −1 ⎥⎦
⎢⎣ 3
1 ⎤
⎡ 1⎤ ⎡
⎡− 1 0 0⎤ ⎢ Pt ⎥ ⎢ Rb1 − Pt −1 ⎥
⎢0 − 1 0⎥ ⎢ P 2 ⎥ ≤ ⎢ Rb − P 2 ⎥
t −1
⎢
⎥⎢ t ⎥ ⎢ 2
⎥
3
⎣⎢0 0 − 1⎦⎥ ⎢ Pt ⎥ ⎢ Rb3 − P 3 ⎥
t −1 ⎦
⎣ ⎦ ⎣
(Ec.3.16)
Combinando los coeficientes de las ecuaciónes (3.14) y (3.16) se obtiene la matriz A(15*6).y el
vector b(15*1)
0 0 10 − 10 0 ⎤
⎡0
⎢ 0
0 0 10
0 − 10 ⎥⎥
⎢
⎢ 0
0 0 0
10 0 ⎥
⎥
⎢
0
0
0
0
0 10 ⎥
⎢
⎢ 0
0 0 − 10
10 0 ⎥
⎥
⎢
0
0
0
10
0 10 ⎥
−
⎢
⎢ 0
0 0 0 − 10 0 ⎥
⎥
⎢
A=⎢ 0
0 0 0
0 − 10 ⎥
⎢ 1
0 0 0
0 0⎥
⎥
⎢
⎢ 0
1 0 0
0 0⎥
⎥
⎢
0 1 0
0 0⎥
⎢ 0
⎢− 1
0 0 0
0 0⎥
⎥
⎢
0 0⎥
⎢ 0 −1 0 0
⎢ 0
0 −1 0
0 0⎥
⎥
⎢
0 0 ⎦⎥
⎣⎢ 1 1 1 0
•
⎡
⎤
⎢ P lim
⎥
⎢ P lim
⎥
⎢
⎥
⎢ P lim
⎥
⎢
⎥
P
lim
⎢
⎥
⎢ P lim
⎥
⎢
⎥
⎢ P lim
⎥
⎢ P lim
⎥
⎢
⎥
b = ⎢ P lim
⎥
⎢ Rs 1 + P 1
⎥
t −1
⎢ t
⎥
⎢ Rs t2 + Pt 2−1
⎥
⎢ 3
⎥
3
⎢ Rs t + Pt −1
⎥
⎢ 1
⎥
1
⎢ Rbt − Pt −1
⎥
⎢ Rb 2 − P 2
⎥
t
t −1
⎢
⎥
3
3
⎢ Rbt − Pt −1
⎥
⎢
⎥
⎣ SumP max* U (t ) − Re serva ⎦
Definiendo ceq(x)
Esta opción se utiliza debido a que las restricciones que presenta la red, no son lineales.
Para realizar el balance se utiliza la ecuación siguiente:
ceq(x) = 0.
Esta ecuación establece que la suma de potencias térmicas más los flujos en las líneas deben ser
igual a las pérdidas más la potencia demanda en cada nodo.
50
Del capítulo dos se tiene la ecuación genérica:
N
(Ec. 2.13)
∑ Pj (k ) + ∑ Bnm[δm(k ) − δn(k )] − ∑ Knm[1 − cos(δm(k ) − δn(k )] − Dn = 0
j =1
mn
mn
Entonces realizando el balance en cada nodo se tiene:
Nodo1
[
]
[
]
[
]
[
]
P1(k ) + Ph1(k ) + 10* δ2(k ) − δ1(k ) + 10* δ3(k ) − δ1(k ) − 1.5 * 1 − cos(δ2(k ) − δ1(k ) ) − 2.5 * 1 − cos(δ3( k ) − δ1(k ) ) = 0
Nodo2
[
]
[
]
[
]
[
]
P2 ( k ) + Ph2 ( k ) + 10 * δ1( k ) − δ 2( k ) + 10 * δ 4 ( k ) − δ 2 ( k ) − 1.5 * 1 − cos(δ1( k ) − δ 2 ( k ) ) − 2.5 * 1 − cos(δ 4 ( k ) − δ 2 ( k ) ) = 0
Nodo3
[
]
[
]
[
]
[
]
P3( k ) + Ph3( k ) + 10 * δ 1( k ) − δ 3( k ) + 10 * δ 4 ( k ) − δ 3( k ) − 1.5 * 1 − cos(δ1( k ) − δ 3( k ) ) − 2.5 * 1 − cos(δ 4 ( k ) − δ 3( k ) ) − Pdem3( k ) = 0
Nodo4
[
]
[
]
[
]
[
]
0.0 + 10 * δ 2 ( k ) − δ 4 ( k ) + 10 * δ 3( k ) − δ 4 ( k ) − 1.5 * 1 − cos(δ 2( k ) − δ 4 ( k ) ) − 2.5 * 1 − cos(δ 3( k ) − δ 4 ( k ) ) − Pdem4 ( k ) = 0
En esta opción debe introducirse una función.m (Red.m).
•
Definiendo lb y ub
Estos vectores lb(6x1) y ub(6x1) establecen los limites mínimos y máximos respectivamente, de
potencia y ángulos de fase.
En el capítulo dos se estableció que los límites de potencia en pu de las unidades térmicas vienen
dados por la ecuación:
P min ≤ Pi ≤ P max
Entonces :
0.13 ≤ P1 ≤ 1.3
0.25 ≤ P 2 ≤ 2.5
0.19 ≤ P3 ≤ 1.9
En el capítulo dos se estableció que los límites de los ángulos de fase vienen dados por la
ecuación genérica:
− π ≤ δ n(k ) ≤ π
entonces :
− π ≤ δ1( k ) ≤ π
− π ≤ δ 2( k ) ≤ π
− π ≤ δ 3( k ) ≤ π
δnr (k ) = 0 en nudo de referencia
51
A partir del problema planteado anteriormente se presentan cuatro casos,. En los caso I y III, el
flujo máximo que puede circular por la línea es de 5.5 p.u. (sin congestión). En el caso II y IV, el
flujo máximo que puede circular por la línea es de 2 p.u. (con congestión).
RESULTADOS.
3.3.1
CASO I (Sin Congestión)
En este caso la potencia máxima que puede circular por las líneas es de 5.5 (pu).
Resolviendo el problema se tiene que potencia inyectada por cada central hidráulica es:
Tabla 3.9. Caso I. Potencia inyectada por las Centrales Hidráulicas(MW)
Período
Central (j)
(T)
1
2
3
1
5.56
6.95
4.36
2
19.46
40.03
80.06
3
5.56
37.81
78.40
Potencia(MW)
Potencia De Cada Central Hidráulica
140.00
120.00
100.00
80.00
60.00
40.00
20.00
0.00
1
2
3
Periodo(h)
Ph-Unidad(1)
Ph-Unidad(2)
Ph-Unidad(3)
Figura 3.7 Caso I. Potencia inyectada por las Centrales Hidráulicas.
Obsérvese en la figura anterior que la producción hidráulica es mayor a la hora dos, ésto se debe a
que la hora dos es la de mayor demanda; obteniéndose de esta manera un costo menor debido a
que se requiere menos del recurso térmico.
52
3
El Volumen final de cada embalse en hm se muestra a continuación:
Tabla 3.10. Caso I. Volumen final de cada embalse en hm3.
Período
Embalse (j)
(T)
1
2
3
1
10.00
20.00
30.00
2
5.00
14.60
17.60
3
5.00
5.00
5.00
Volumen Final de cada Embalse
30.00
hm^3
25.00
20.00
15.00
10.00
5.00
0.00
1
2
3
Periodo(h)
VF-Unidad(1)
VF-Unidad(2)
VF-Unidad(3)
Figura 3.8Caso I. Volumen final de cada embalse.
Como se puede observar todos los embalses tienden a disminuir su volumen.
En el último período todos los embalses llegan a su volumen límite inferior. Esto se debe a la
escasa aportación hidráulica que reciben y porque en las tres horas que es el horizonte de tiempo,
se debe utilizar al máximo el agua.
En este caso el derrame calculado en cada central no es significativo.
El valor del agua en ($/MWh) se muestra a continuación:
53
Tabla 3.11. Caso I. Valor del agua en ($/MWh).
Período
Central (j)
(T)
1
2
3
1
60.15
40.10
20.05
2
80.24
45.22
22.61
3
67.84
45.22
22.61
Valor del Agua
$/MWh
100
80
60
40
20
0
1
2
3
Periodo(h)
Valo r del agua U1
Valo r del agua U2
Valo r del agua U3
Figura 3.9 Caso I. Valor del agua.
Como se puede observar el valor del agua se mantiene casi constante en cada período, esto es un
efecto deseable porque no se desea que existan grandes oscilaciones en los precios del sistema
analizado.
Teniendo maximizado el recurso hidráulico, se determina que unidades térmicas deben acoplarse,
utilizando la variable binaria “U”
Tabla 3.12. Caso I. Unidades Térmicas acopladas.
Período
Central (i)
(T)
1
2
3
1
1
1
0
2
1
1
1
3
1
1
0
Como se puede observar la unidad térmica tres solo se acopla en la hora de mayor demanda. Esto
se debe a que tiene los costos variables más altos. Además las centrales uno y dos no son
suficientes para suplir la demanda en ese período.
54
En la siguiente tabla se muestra que unidades y en que período se les asigna un costo de
arranque, utilizando la variable binaria “Y”
Tabla 3.13. Caso I. Asignación de Costos de Arranque a Centrales Térmicas($)
Período
Central (i)
(T)
1
2
3
1
1
1
0
2
0
0
1
3
0
0
0
Como se puede observar en el primer período se les asigna a las unidades uno y dos un costo de
arranque de $100 y $60 respectivamente. En el segundo período arranca la unidad tres con un
costo de $80. Nótese que en el segundo período las unidades uno y dos siguen trabajando y es por
eso que no se les asigna este costo adicional de arranque.
Obsérvese también que aunque la unidad uno presenta los costos de arranque más altos, es la que
permanece trabajando continuamente en los tres períodos. Esto se debe a que la unidad uno
presenta los costos variables más bajos en comparación a la unidad dos y tres.
En la siguiente tabla se muestra que unidades y en que período se les asigna un costo de parada,
utilizando la variable binaria “Z”
Tabla 3.14. Caso I. Asignación de Costos de Parada a Centrales Térmicas($)
Período
Central (i)
(T)
1
2
3
1
0
0
0
2
0
0
0
3
0
0
1
Obsérvese que solamente en el tercer período se le asigna un costo de parada de $5 a la unidad
tres. Las unidades uno y dos trabajan continuamente en los tres períodos.
La potencia inyectada por cada central térmica en (MW) se muestra a continuación:
55
Tabla 3.15. Caso I. Potencia inyectada por Centrales Térmicas.(MW)
Período
Central (i)
(T)
1
2
3
1
100
36.26
0.0
2
130
233.35
19
3
128.4
25
0.0
MW
Potencia Inyectada por las Unidades Térmicas
500
400
300
200
100
0
1
2
3
periodo(h)
Unidad(1)
Unidad(2)
Unidad(3)
Figura 3.10 Caso I. Potencia inyectada por las centrales térmicas.
Obsérvese que la central uno esta inyectando potencia casi a su máxima capacidad en los
períodos 2 y 3 , esto se debe porque los costos variables de esta central son los más bajos.
En el primer período la potencia de la unidad uno se ha restringido a 100MW, debido a la condición
de rampa de subida (limitada a 100MW). Como la central uno, no puede ella sola suplir la demanda
residual se acopla la central dos porque tiene los costos variables menores que la central tres.
Debido a que en el segundo período las dos centrales (1 y 2) no pueden suplir la demanda
residual, es necesario que se acople la central tres. La central tres esta trabajando al mínimo en el
período dos; lo que esta haciendo es inyectando la potencia faltante para suplir la demanda.
Los ángulos en cada nodo se muestran a continuación:
56
Tabla 3.16. Caso I. Ángulos en cada nodo.(rad)
Período
Central (i)
(T)
δ1
δ2
δ3
1
0.100
0.070
0.030
2
0.200
0.230
0.020
3
0.130
0.090
0.030
Los Flujos de potencia que circulan por las líneas se muestran a continuación:
Tabla 3.17. Caso I. Flujos en las líneas.
Flujos (MW)
Período (T)
1
2
3
F1-2
F1-3
F2-4
F3-4
30.16
74.59
72.60
28.16
-32.66
178.04
233.78
23.08
32.66
99.91
94.23
26.97
Obsérvese que el flujo que circula por las líneas es menor que 500MW. Por lo tanto no existe
congestión en las líneas. En el siguiente caso se explicará como afecta el multiplicador de
Lagrange asociado a la restricción de flujo máximo en las líneas al nodo que esta acoplado a la
línea que se encuentra con congestión.
Además obsérvese que en el segundo período, se hace necesario para suplir la demanda en el
nodo tres el aporte de las centrales ubicadas en el nodo dos. Esto se debe a que es la hora de
mayor demanda y las demás centrales no son suficientes para satisfacer la demanda en ese nodo.
Las pérdidas de energía en las líneas se muestran a continuación:
Tabla 3.18. Caso I. Pérdidas en las líneas.
Pérdidas (MW)
Período (T)
P1-2
P1-3
P2-4
P3-4
1
0.23
1.40
1.33
0.20
2
0.27
7.96
13.69
0.13
3
0.27
2.51
2.23
0.18
57
Obsérvese que las pérdidas crecen con la demanda. Además la línea que presenta más pérdidas
en al hora de mayor demanda es la línea entre el nodo dos y cuatro (P2-4), esto se debe al flujo
que se origina en el nodo dos para suplir la demanda en el nodo cuatro.
Las pérdidas totales suponen aproximadamente el 3.30% de la demanda total.
Los precios ($/MWh) en cada nodo y período se muestran a continuación:
Tabla 3.19. Caso I. Precios en cada nodo y período.
Nodo (n) ($/MWh)
Período (T)
1
2
3
1
2
3
4
22.20
22.54
23.04
23.37
23.10
22.73
25.24
25.53
20.13
20.46
21.16
21.45
Costos Marginales nodales
26.00
$/MWh
25.00
24.00
23.00
22.00
21.00
20.00
1
2
3
Periodos(h)
Nodo1
Nodo2
Nodo3
Nodo4
Figura 3.11 Caso I. Costos marginales nodales.
Obsérvese que debido a las pérdidas, los costos marginales nodales en cada período no son
iguales, sin embargo son próximos.
También obsérvese que la hora de mayor demanda tiene los precios de nodo más altos y también
sucede que el nodo con mayor demanda tiene los mayores precios.
El costo total de producción es de $ 14,757 y se activa la restricción de rampa de subida de la
unidad uno, cuyo costo asociado es de $ 2.10 /MWh. Observar en la Tabla 3.15 que la central uno
58
podría inyectar hasta 130MW en el primer período, sin embargo por la restricción de Rampa de
Subida solo aporta 100MW.
En la figura siguiente se pueden observar los resultados en el sistema de transmisión para el
segundo período que es la hora de mayor demanda.
233.35
130 19.46
+0.20
Nodo1
40.03
+0.23
32.66
Nodo2
80.24
45.22
0.27
7.96
178.04
Demanda
Flujos
13.69
233.78
Perdidas
Angulo
0.13
25.24
25.53
Nodo3
Cmg
Nodo4
23.08
+0.02
250
19
+0.0
250
80.06
Figura 3.12 Diagrama unifilar en el que se muestran los resultados en la hora de mayor
Demanda (Caso I)
Obsérvese que el grupo de unidades hidráulicas casi esta inyectando a su máxima capacidad, sin
embargo este aporte es poco en comparación al aporte del grupo de las unidades térmicas; debido
a ésto, el costo de oportunidad del agua es alto en comparación con los costos marginales nodales.
Por esta razón se observa que los precios nodales en los nodos 1 y 2 son mayores que en los
nodos 3 y 4.
Obsérvese también que las pérdidas se incrementan según el flujo que circula por las líneas. En
este caso las mayores pérdidas se presentan el la línea 2-4 ya que el flujo que circula por ella es
mayor que el que circula en las demás líneas.
Obsérvese también que la producción de energía de la unidad térmica ubicada en el nodo tres,
esta en su mínimo técnico que es 19 MW. Como esta unidad presenta los costos variables más
altos solo esta produciendo en esta hora que es la de mayor demanda.
59
3.3.2
CASO II ( Existe Congestión )
En este caso la potencia máxima que puede circular por las líneas es de 2.0 (pu).
Resolviendo el problema se tiene que la potencia inyectada por cada central hidráulica es:
Tabla 3.20. Caso II. Potencia inyectada por las Centrales Hidráulicas(MW)
Período
Central (j)
(T)
1
2
3
1
5.56
6.95
4.36
2
19.46
40.03
80.06
3
5.56
37.81
78.39
Obsérvese que la producción hidráulica no varía respecto al caso anterior.
La producción hidráulica es mayor a la hora dos, ésto se debe a que la hora dos es la de mayor
demanda; obteniéndose de esta manera un costo menor debido a que se requiere menos del
recurso térmico.
El Volumen final de cada embalse en hm3 se muestra a continuación:
3
Tabla 3.21. Caso I I. Volumen final de cada embalse en hm .
Período
Embalse (j)
(T)
1
2
3
1
10.0
20.0
30.0
2
5.0
14.60
17.60
3
5.0
5.0
5.0
Obsérvese que no existe variación respecto al caso anterior.
Como se puede observar todos los embalses tienden a disminuir su volumen. En el último período
todos los embalses llegan a su volumen límite inferior. Esto se debe a la escasa aportación
hidráulica que reciben y porque en las tres horas que es el horizonte de tiempo, se debe utilizar al
máximo el agua.
60
En este caso el derrame calculado en cada central no es significativo.
El valor del agua en ($/MWh) se muestra a continuación:
Tabla 3.22. Caso I I. Valor del Agua en ($/MWh).
Período
Central (j)
(T)
1
2
3
1
67.52
45.01
22.51
2
79.05
45.05
22.53
3
67.58
45.05
22.53
Como se puede observar el valor del agua al igual que en el caso anterior se mantiene casi
constante en cada período, esto es un efecto deseable porque no se desea que existan grandes
oscilaciones en los precios del sistema analizado.
Teniendo maximizado el recurso hidráulico, se determina que unidades térmicas deben acoplarse,
utilizando la variable binaria “U”
Tabla 3.23. Caso I I. Unidades Térmicas Acopladas.
Período
Central (i)
(T)
1
2
3
1
1
1
0
2
1
1
1
3
1
1
0
Como se puede observar al igual que en el caso anterior la unidad térmica tres solo se acopla en la
hora de mayor demanda. Esto se debe a que tiene los costos variables más altos. Además las
centrales uno y dos no son suficientes para suplir la demanda en ese período.
En la siguiente tabla se muestra que unidades y en que período se les asigna un costo de
arranque, utilizando la variable binaria “Y”
61
Tabla 3.24. Caso II. Asignación de Costos de Arranque a Centrales Térmicas($)
Período
Central (i)
(T)
1
2
3
1
1
1
0
2
0
0
1
3
0
0
0
Como se puede observar en el primer período se les asigna a las unidades uno y dos un costo de
arranque de $100 y $60 respectivamente. En el segundo período arranca la unidad tres con un
costo de $80. Nótese que en el segundo período las unidades uno y dos siguen trabajando y es por
eso que no se les asigna este costo adicional de arranque.
Obsérvese también que aunque la unidad uno presenta los costos de arranque más altos, es la que
permanece trabajando continuamente en los tres períodos. Esto se debe a que la unidad uno
presenta los costos variables más bajos en comparación a la unidad dos y tres.
En la siguiente tabla se muestra que unidades y en que período se les asigna un costo de parada,
utilizando la variable binaria “Z”
Tabla 3.25. Caso II. Asignación de Costos de Parada a Centrales Térmicas($)
Período
Central (i)
(T)
1
2
3
1
0
0
0
2
0
0
0
3
0
0
1
Obsérvese que solamente en el tercer período se le asigna un costo de parada de $5 a la unidad
tres. Las unidades uno y dos trabajan continuamente en los tres períodos.
La potencia inyectada por cada central térmica en (MW) se muestra a continuación:
62
Tabla 3.26. Caso I I. Potencia inyectada por Centrales Térmicas.(MW)
Período
(T)
Central (i)
1
2
3
1
100.00 36.26
2
130.00 163.86 82.61
3
128.40 25.00
0.00
0.00
Potencia Inyectada por las unidades Termicas
400.00
MW
300.00
200.00
100.00
0.00
1
2
3
periodo(h)
Unidad(1)
Unidad(2)
Unidad(3)
Figura 3.13 Caso II. Potencia inyectada por las centrales térmicas.
Obsérvese que la central uno esta inyectando potencia casi a su máxima capacidad en los
períodos 2 y 3 , esto se debe porque los costos variables de esta central son los mas bajos.
En el primer período la potencia de la unidad uno se ha restringido a 100MW,debido a la condición
de rampa de subida (limitada a 100MW). Como la central uno, no puede ella sola suplir la demanda
residual se acopla la central dos porque tiene los costos variables menores que la central tres.
Debido a que en el segundo período las dos centrales (1 y 2) no pueden suplir la demanda
residual, es necesario que se acople la central tres.
A diferencia del caso anterior la central dos ha disminuido su producción de energía debido a que
el flujo que circula por la línea 2-4 se encuentra en su máximo; es decir la línea se encuentra
saturada en 200MW. Debido a esto la central tres no esta trabajando al mínimo como en el caso
anterior , si no que se ve obligada a aumentar su producción para compensar la disminución de la
unidad dos.
63
Los ángulos en cada nodo se muestran a continuación:
Tabla 3.27. Caso II. Ángulos en cada nodo.(rad)
Período
(T)
1
2
3
Central (i)
δ1
δ2
δ3
0.10
0.07
0.03
0.20
0.20
0.06
0.13
0.09
0.03
Los Flujos de potencia que circulan por las líneas se muestran a continuación:
Tabla 3.28. Caso II. Flujos en las líneas.
Flujos (MW)
Período (T)
1
2
3
F1-2
F1-3
F2-4
F3-4
30.16
74.59
72.60
28.16
1.09
145.72
200.00
55.37
32.66
99.91
94.23
26.97
Recuérdese que el flujo que circula por las líneas esta limitado a 200MW. Por lo tanto en el
segundo período existe congestión en la línea 2-4. Además obsérvese que a diferencia del caso
anterior, en el segundo período, no es necesario para suplir la demanda en el nodo tres el aporte
de las centrales ubicadas en el nodo dos. Esto se debe a que en la hora de mayor demanda la
central tres a aumentado su producción de energía.
El multiplicador de Lagrange asociado a la restricción de flujo máximo en la línea2-4 es de
$20.45/MWh, y se ve reflejado en el nodo cuatro ya que esta acoplado a la línea que se encuentra
con congestión.
Obsérvese en las Tablas 3.19 y 3.30 que en el segundo período el precio en el nodo cuatro cambia
de $25.53/MWh a 41.21/MWh . Esto se debe a la congestión que existe en ese período.
Las pérdidas de energía en las líneas se muestran a continuación:
64
Tabla 3.29. Caso II. Pérdidas en las líneas.
Pérdidas(MW)
Período (T)
P1-2
P1-3
P2-4
P3-4
1
0.23
1.40
1.33
0.20
2
0.00
5.33
10.03
0.77
3
0.27
2.51
2.23
0.18
Obsérvese en la tabla anterior que las pérdidas crecen con la demanda. A diferencia del caso
anterior las pérdidas que presenta la línea 2-4 (línea saturada) en la hora de mayor demanda es
menor. Esto se debe a que el flujo que circula por la línea 2-4 ha disminuido a 200MW.
Obsérvese también que las pérdidas en la línea 3-4 se han incrementado como consecuencia del
aumento de producción de energía de la unidad térmica tres. Del mismo modo las pérdidas en la
línea 1-3 han decrecido debido a la disminución de flujo en la línea 1-3.
Las pérdidas totales en este caso han disminuido respecto al caso anterior.
Los precios ($/MWh) en cada nodo y período se muestran a continuación:
Tabla 3.30. Caso II. Precios en cada nodo y período.
Nodo (n) ($/MWh)
Período (T)
1
2
3
4
1
22.20
22.54
23.04
23.37
2
27.73
22.66
35.08
41.21
3
20.13
20.46
21.16
21.45
Obsérvese que como era de esperarse los precios en los nodos no cambian en el primer y tercer
período respecto al caso anterior, debido a que en esos períodos no existe congestión en las
líneas.
Lo contrario sucede en el segundo período, es decir los precios cambian respecto al caso anterior
porque existe congestión en la línea 2-4.
Obsérvese que el precio en el nodo 4 se ha incrementado respecto al caso anterior, porque parte
del flujo que llega a este nodo circula por la línea que se encuentra saturada.
65
El costo total de producción es de $ 15,409. Se activa la restricción de rampa de subida de la
unidad uno, cuyo costo asociado es de $2.10/MWh y la restricción de flujo, cuyo costo asociado
es de $ 20.45 /MWh.
Comparando con el caso anterior (sin Congestión) el costo total de producción ha aumentado en
$652. Ësto se debe a la aparición del multiplicador de Lagrange del flujo en la línea 2-4.
Obsérvese que el multiplicador de Lagrange cuyo costo asociado es de $20.45/MWh, representa el
incremento en el costo que ocurre debido a la congestión en la línea 2-4. Obsérvese en la tabla
3.30 que éste incremento se refleja en el nodo cuatro ya que esta acoplado a la línea
congestionada.
En la figura siguiente se pueden observar los resultados en el sistema de transmisión para el
segundo período que es la hora de mayor demanda.
130 19.46
+0.20
Nodo1
163.86 40.03
+0.20
1.09
Nodo2
79.05
45.05
0.0
145.72
5.33
Demanda
Flujos
10.03
200
Perdidas
Angulo
0.77
35.08
41.21
Nodo3
Cmg
Nodo4
+0.06
55.37
250
+0.0
250
82.61 80.06
Figura 3.14 Diagrama unifilar en el que se muestran los resultados en la hora de mayor
demanda(Caso II)
Obsérvese que el grupo de unidades hidráulicas casi esta inyectando a su máxima capacidad, sin
embargo este aporte es poco en comparación al aporte del grupo de las unidades térmicas; debido
a esto el costo de oportunidad del agua es alto en comparación con los costos marginales nodales.
Por esta razón se observa que los precios nodales en los nodos 1 y 2 son mayores que en los
nodos 3 y 4.
Obsérvese también que a diferencia del caso anterior las pérdidas totales han decrecido debido a
la limitación de flujo en las líneas.
66
En este caso las mayores pérdidas siguen presentándose en la línea 2-4 ya que el flujo que circula
por ella es mayor que el que circula en las demás líneas. Pero es menor en comparación al caso
anterior.
Obsérvese también que la producción de energía de la unidad térmica ubicada en el nodo tres, ya
no esta en su mínimo técnico como en el caso anterior. Ha incrementado su producción de energía
para suplir la demanda en el nodo 4; ya que el flujo en la línea 2-4 se encuentra saturada.
El problema anterior de tres períodos se realizó paso a paso, para ilustrar de una forma sencilla la
lógica de este. A continuación se presenta el problema utilizando un espacio temporal de 24 horas.
La información necesaria para desarrollar el problema es la siguiente:
Tabla 3.31. CASO III y IV. Demanda y Reserva rodante (pu.)
PERÍODO
NODO3
NODO4
RESERVA
PERÍODO
NODO3
NODO4
RESERVA
1
0.50
0.50
0.050
13
1.70
1.80
0.175
0.055
14
1.70
1.70
0.170
0.050
15
1.70
1.70
0.170
0.075
16
1.70
1.70
0.170
0.076
17
1.80
1.70
0.175
0.095
18
1.80
1.80
0.180
0.100
19
2.10
2.50
0.230
0.110
20
2.20
2.20
0.220
0.130
21
1.80
1.80
0.180
0.165
22
1.70
1.70
0.170
0.210
23
1.30
1.30
0.130
0.190
24
1.00
1.20
0.110
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
0.50
0.50
0.50
0.50
0.70
0.80
0.90
1.30
1.50
2.00
1.90
0.60
0.50
1.00
1.01
1.20
1.20
1.30
1.30
1.80
2.20
1.90
67
Potencia(MW)
Demanda
500
400
300
200
100
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
Periodo(h)
Figura 3.15 Caso III. Demanda vrs. Horas
3.3.3
CASO III (Sin Congestión)
En este caso la potencia máxima que puede circular por las líneas es de 5.5 (pu).
Resolviendo el problema se tiene que potencia inyectada por cada central hidráulica es:
Tabla 3.32. Caso III. Potencia inyectada por las Centrales Hidráulicas en MW.
PERÍODO
CENTRAL (J)
PERÍODO
CENTRAL (J)
(T)
1
2
3
(T)
1
2
3
1
5.56
6.95
4.36
13
5.56
0.00
0.00
2
11.12
22.24
33.36
14
2.78
0.00
0.00
3
0.00
0.00
0.00
15
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
4
5.56
11.12
16.68
16
5
5.56
11.12
16.68
17
5.56
0.00
0.00
6
5.56
11.12
16.68
18
5.56
11.12
0.00
19.46
40.03
80.06
7
5.56
11.12
16.68
19
8
5.56
11.12
16.68
20
5.56
37.81
78.40
9
5.56
11.12
16.68
21
5.56
11.12
16.68
10
5.56
11.12
16.68
22
5.56
11.12
16.68
11
19.46
40.03
80.06
23
5.56
11.12
16.68
53.38
24
5.56
11.12
16.68
12
5.56
37.81
68
Potencia(MW)
Potencia De Cada Central Hidráulica
140.00
120.00
100.00
80.00
60.00
40.00
20.00
0.00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
Periodo(h)
Ph-Unidad(1)
Ph-Unidad(2)
Ph-Unidad(3)
Figura 3.16 Caso III. Potencia inyectada por las centrales hidráulicas.
Potencia(MW)
Potencia Total Hidráulica
140.00
120.00
100.00
80.00
60.00
40.00
20.00
0.00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
Periodo(h)
Figura 3.17 Caso III. Potencia Hidráulica Total.
Obsérvese en la figura anterior que la producción hidráulica es mayor en los períodos 11,12,19,20;
ésto se debe a que los períodos mencionadas son los de mayor demanda; obteniéndose de esta
manera un costo global menor debido a que se requiere menos del recurso térmico.
El Volumen final de cada embalse en hm3 se muestra a continuación:
69
3
Tabla 3.33. Caso III. Volumen final de cada embalse en hm .
PERÍODO
(T)
EMBALSE(J)
1
1
2
10
2
8
3
10
4
10
5
10
6
10
7
10
8
10
9
10
10
10
11
5
12
5
PERÍODO
3
20
18
20
20
20
20
20
20
20
20
14.6
5
(T)
EMBALSE(J)
1
2
3
30
13
5
9
16
28
14
6
12
18
30
15
8
14
20
30
16
10
16
22
30
17
10
20
24
30
18
10
20
30
30
19
5
14.6
17.6
30
20
5
5
5
30
21
5
5
5
30
22
5
5
5
17.6
23
5
5
5
14
24
5
5
5
Volum en Final de cada Em balse
30
hm^3
25
20
15
10
5
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
Periodo(h)
VF-Unidad(1)
VF-Unidad(2)
VF-Unidad(3)
Figura 3.18 Caso III. Volumen final de cada embalse.
En la figura3.18 se pueden observar los períodos en los cuales algunos limites de los embalses son
alcanzados; además se observan claramente los períodos en los cuales los embalses se van
llenando y otros en los cuales los embalses se van vaciando.
Nótese que desde el período 3 hasta el período 10, se mantiene el nivel máximo de agua en los
embalses con el objetivo de utilizar este recurso en el primer pico de la demanda (períodos 11y12),
donde se requiere mayor producción de energía. Con esto se logra desplazar recurso térmico en el
primer pico de la demanda.
70
En los períodos posteriores los embalses se van llenando hasta llegar nuevamente a sus limites
máximos. Al llegar el segundo pico de la demanda (períodos 19,20), el nivel de los embalses
disminuye, debido a que son los períodos donde existe mayor producción de energía. Con ésto se
logra nuevamente desplazar recurso térmico.
En los últimos cuatro períodos, todos los embalses llegan a su volumen límite inferior. Esto se debe
a la escasa aportación hidráulica que reciben y porque en las veinticuatro horas que es el horizonte
de tiempo, se debe utilizar al máximo el agua.
En este caso nuevamente el derrame calculado en cada central no es significativo.
El valor del agua en $/MWh se muestra a continuación:
Tabla 3.34. Caso III. Valor del Agua en ($/MWh).
PERÍODO
CENTRAL(J)
PERÍODO
CENTRAL(J)
(T)
1
2
3
(T)
1
2
3
1
60.12
40.08
20.04
13
71.54
48.85
26.16
2
60.18
40.12
20.06
14
71.53
48.85
26.16
3
60.18
40.12
20.06
15
71.53
48.85
26.16
4
60.32
40.21
20.11
16
71.53
48.85
26.16
71.53
48.85
26.16
5
60.33
40.22
20.11
17
6
67.55
45.03
22.52
18
71.55
48.85
26.16
7
67.60
45.06
22.53
19
105.11
70.05
35.03
105.08
70.05
35.03
8
67.66
45.11
22.55
20
9
67.78
45.19
22.59
21
68.06
45.38
22.69
10
67.99
45.33
22.66
22
67.99
45.32
22.66
11
87.33
52.32
26.16
23
67.72
45.14
22.57
12
78.48
52.32
26.16
24
67.54
45.02
22.51
71
Valor del Agua
120.00
$/MWh
100.00
80.00
60.00
40.00
20.00
0.00
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12 13
14 15
16
17 18
19 20 21 22 23 24
Periodo(h)
Valor del agua U1
Valor del agua U2
Valor del agua U3
Figura 3.19 Caso III. Valor del agua.
Como se puede observar el valor del agua se mantiene casi constante en cada período, esto es un
efecto deseable porque no se desea que existan grandes oscilaciones en los precios del sistema
analizado.
Las variaciones más significativas en el costo de oportunidad del agua surgen el los períodos
11,12,19,20 ya que son los períodos de mayor demanda. Si la capacidad de los embalses fuera
mayor estas variaciones fueran menores.
Teniendo maximizado el recurso hidráulico, se determina que unidades térmicas deben acoplarse,
utilizando la variable binaria “U”
Como se puede observar en la Tabla 3.35, la unidad térmica uno esta acoplada en todos los
períodos, esto se debe a que la unidad uno presenta los costos variables menores de las unidades
térmicas, se puede decir que es una central base.
Del período 6 en adelante, la unidad térmica uno no es suficiente para suplir la demanda residual;
por esta razón se acopla la unidad térmica dos, ya que presenta los costos variables menores
respecto a la unidad térmica tres.
La unidad térmica tres no se acopla en ningún período.
Debido a que en las horas de mayor demanda existe mayor producción de energía hidráulica, las
unidades térmicas uno y dos son suficientes para suplir la demanda residual en esos períodos;
evitando de esta manera que la central con costos variables más altos se acople.
72
Tabla 3.35. Caso III. Unidades Térmicas Acopladas.
PERÍODO
CENTRAL(I)
PERÍODO
CENTRAL(I)
(T)
1
2
3
(T)
1
2
3
1
1
0
0
13
1
1
0
2
1
0
0
14
1
1
0
3
1
0
0
15
1
1
0
4
1
0
0
16
1
1
0
5
1
0
0
17
1
1
0
6
1
1
0
18
1
1
0
7
1
1
0
19
1
1
0
8
1
1
0
20
1
1
0
9
1
1
0
21
1
1
0
10
1
1
0
22
1
1
0
11
1
1
0
23
1
1
0
12
1
1
0
24
1
1
0
En la siguiente tabla se muestra que unidades y en que período se les asigna un costo de
arranque, utilizando la variable binaria “Y” .
Tabla 3.36. Caso III. Asignación de Costos de Arranque a Centrales Térmicas.
PERÍODO
CENTRAL(I)
PERÍODO
CENTRAL(I)
(T)
1
2
3
(T)
1
2
3
1
1
0
0
13
0
0
0
2
0
0
0
14
0
0
0
3
0
0
0
15
0
0
0
4
0
0
0
16
0
0
0
5
0
0
0
17
0
0
0
6
0
1
0
18
0
0
0
7
0
0
0
19
0
0
0
8
0
0
0
20
0
0
0
9
0
0
0
21
0
0
0
10
0
0
0
22
0
0
0
11
0
0
0
23
0
0
0
12
0
0
0
24
0
0
0
73
Como se puede observar en el primer período se le asigna a la unidad uno, un costo de arranque
de $100. En el sexto período arranca la unidad dos y se le asigna un con un costo arranque de
$60.
Obsérvese también que aunque la unidad uno presenta los costos de arranque más altos, es la que
permanece trabajando continuamente en todos los períodos. Esto se debe a que la unidad uno
presenta los costos variables más bajos en comparación a la unidad dos y tres.
A la unidad tres no se le asigna costo de arranque, porque no se acopla en ningún período.
En la siguiente tabla se muestra que unidades y en que período se les asigna un costo de parada,
utilizando la variable binaria “Z”
Obsérvese en ella que no se asigna ningún costo de parada a las unidades acopladas, ya que su
producción de energía no se interrumpe desde que arrancan.
Tabla 3.37. Caso I. Asignación de Costos de Parada a Centrales Térmicas.
PERÍODO
CENTRAL(I)
PERÍODO
CENTRAL(I)
(T)
1
2
3
(T)
1
2
3
1
0
0
0
13
0
0
0
2
0
0
0
14
0
0
0
3
0
0
0
15
0
0
0
4
0
0
0
16
0
0
0
5
0
0
0
17
0
0
0
6
0
0
0
18
0
0
0
7
0
0
0
19
0
0
0
8
0
0
0
20
0
0
0
9
0
0
0
21
0
0
0
10
0
0
0
22
0
0
0
11
0
0
0
23
0
0
0
12
0
0
0
24
0
0
0
La potencia inyectada por cada central térmica en (MW) se muestra a continuación:
74
Tabla 3.38. Caso III . Potencia inyectada por Centrales Térmicas.(MW)
PERÍODO
CENTRAL(I)
PERÍODO
CENTRAL(I)
(T)
1
2
3
(T)
1
2
3
1
84.62
0.00
0.00
13
130.00
230.81
0.00
0.00
14
130.00
222.65
0.00
0.00
15
130.00
225.48
0.00
0.00
16
130.00
225.48
0.00
0.00
17
130.00
230.87
0.00
0.00
18
130.00
230.76
0.00
0.00
19
130.00
210.16
0.00
0.00
20
130.00
205.89
0.00
0.00
21
130.00
212.32
0.00
0.00
22
130.00
190.41
0.00
0.00
23
130.00
104.31
0.00
0.00
24
130.00
62.26
0.00
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
44.21
0.00
101.75
0.00
119.97
0.00
121.03
0.00
130.00
31.30
130.00
41.57
130.00
130.00
130.00
130.00
130.00
62.39
104.31
179.56
165.98
167.38
Potencia Inyectada por las unidades termicas
Potencia (MW)
400.00
350.00
300.00
250.00
200.00
150.00
100.00
50.00
0.00
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
11 12 13 14
15 16
17 18 19 20 21 22 23 24
Periodos (h)
Unidad 1
Unidad 2
Unidad 3
Figura 3.20 Caso III. Potencia inyectada por las Centrales Térmicas.
Obsérvese en la Figura 3.20 que en los primeros cinco períodos solo la central uno esta inyectando
potencia. Esto se debe a que en esos períodos la demanda residual es pequeña, no siendo
necesario el acople de otra unidad con costos variables mas altos que la central uno.
Del sexto período en adelante, la central uno no es capaz de suplir la demanda residual. Por esta
razón se acopla la central dos porque tiene los costos variables menores que la central tres.
75
Obsérvese que la central uno está produciendo energía casi a su máxima capacidad en todos los
periodos de análisis, comportándose como una central de base.
La central tres no se acopla en ningún período. En la figura siguiente se muestra el aporte total de
las unidades térmicas.
Potencia Total Térmica Inyectada
Potencia (MW)
400
300
200
100
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
Periodos (h)
Figura 3.21 Caso III. Potencia Térmica Total.
Los ángulos en cada nodo se muestran a continuación:
Tabla 3.39. Caso III . Ángulos en cada nodo.(rad)
PERÍODO
ANGULOS
PERÍODO
ANGULOS
(T)
δ1
δ2
δ3
(T)
δ1
δ2
δ3
1
0.070
0.038
0.012
13
0.158
0.192
-0.008
0.152
0.185
-0.011
2
0.058
0.040
0.020
14
3
0.076
0.038
0.013
15
0.150
0.186
-0.011
0.150
0.186
-0.011
4
0.113
0.062
0.039
16
5
0.114
0.062
0.040
17
0.153
0.190
-0.015
6
0.128
0.085
0.037
18
0.158
0.198
-0.013
0.201
0.223
0.034
7
0.128
0.090
0.032
19
8
0.133
0.102
0.029
20
0.179
0.209
0.017
9
0.133
0.123
0.009
21
0.158
0.189
-0.004
0.153
0.175
-0.002
10
0.158
0.173
0.011
22
11
0.186
0.194
0.031
23
0.133
0.123
0.009
0.012
24
0.128
0.100
0.021
12
0.163
0.182
76
Los Flujos de potencia que circulan por las líneas se muestran a continuación:
Tabla 3.40. Caso III. Flujos en las líneas.(MW)
Flujos
Flujos
T
F1-2
F1-3
F2-4
F3-4
T
F1-2
F1-3
F2-4
F3-4
1
31.64
58.00
38.28
11.92
13
-33.88
165.87
192.18
-7.57
20.41
14
-33.22
162.56
185.03
-10.75
12.56
15
-35.29
161.87
185.74
-11.42
39.21
16
-35.29
161.87
185.74
-11.42
39.71
17
-36.52
168.38
189.70
-15.19
36.58
18
-39.26
170.98
197.56
-12.68
31.54
19
-21.43
167.34
222.54
33.77
28.99
20
-29.68
161.86
208.50
16.95
8.76
21
-30.30
162.45
188.59
-4.16
11.12
22
-22.23
154.74
175.40
-1.57
31.30
23
9.62
124.01
123.14
8.76
11.95
24
27.82
106.23
99.86
21.45
2
3
4
5
6
7
8
17.84
38.00
51.14
51.66
43.19
38.09
30.34
9
10
9.62
-14.33
11
12
-7.85
-18.80
37.27
63.08
73.39
73.91
91.10
96.14
103.76
124.01
147.16
154.33
151.45
39.84
37.64
61.46
61.97
84.48
89.59
102.42
123.14
172.61
193.49
182.21
Obsérvese en al tabla 3.40 que el flujo que circula por las líneas es menor que 500MW. Por lo tanto
no existe congestión en las líneas.
Obsérvese también por ejemplo que en el período 10, se hace necesario para suplir la demanda en
el nodo tres el aporte de las centrales ubicadas en el nodo dos. Esto se debe a que en ese período
las centrales ubicadas en los nodos uno y tres no son suficientes para satisfacer la demanda en
ese nodo.
Obsérvese también por ejemplo que en el período 18, se hace necesario para suplir la demanda en
el nodo tres, el aporte de las centrales ubicadas en el nodo dos y el flujo que circula por la línea del
nodo cuatro al nodo tres. Esto se debe a que en ese período las centrales ubicadas en los nodos
uno y tres no son suficientes para satisfacer la demanda en ese nodo.
En el siguiente caso se explicará como afecta el multiplicador de Lagrange, asociado a la
restricción de flujo máximo en las líneas al nodo que esta acoplado a la línea que se encuentra con
congestión.
77
Las pérdidas de energía en las líneas se muestran a continuación:
Tabla 3.41. Caso III. Pérdidas en las líneas.(MW)
Pérdidas en Líneas
T
P1-2
P1-3
P2-4
P3-4
T
P1-2
P1-3
P2-4
P3-4
1
0.25
0.85
0.37
0.04
13
0.29
6.91
9.27
0.01
0.28
6.64
8.59
0.03
2
0.08
0.35
0.40
0.10
14
3
0.36
1.00
0.36
0.04
15
0.31
6.58
8.66
0.03
0.31
6.58
8.66
0.03
4
0.66
1.35
0.95
0.39
16
5
0.67
1.37
0.97
0.40
17
0.34
7.12
9.03
0.06
6
0.47
2.09
1.80
0.34
18
0.39
7.34
9.79
0.04
0.12
7.03
12.41
0.29
7
0.37
2.32
2.02
0.25
19
8
0.23
2.71
2.64
0.21
20
0.22
6.58
10.90
0.07
9
0.02
3.87
3.81
0.02
21
0.23
6.63
8.92
0.00
0.12
6.01
7.72
0.00
10
0.05
5.44
7.48
0.03
22
11
0.02
5.98
9.39
0.25
23
0.02
3.87
3.81
0.02
0.04
24
0.19
2.84
2.51
0.12
12
0.09
5.76
8.33
Obsérvese que las pérdidas crecen con la demanda. Además la línea que presenta más pérdidas
en los períodos de mayor demanda (períodos 19,20) es la línea entre el nodo dos y cuatro (P2-4),
esto se debe al flujo que se origina en el nodo dos para suplir la demanda en el nodo cuatro.
Las pérdidas totales suponen aproximadamente el 3.76% de la demanda total.
Los precios ($/MWh) en cada nodo y período se muestran a continuación:
78
Tabla 3.42. Caso III. Precios en cada nodo y período.($/MWh)
Nodo(n)
Nodo (n)
T
1
2
3
4
T
1
2
3
4
1
20.08
20.40
20.68
20.80
13
23.12
22.73
25.11
25.01
20.63
14
23.10
22.72
25.05
24.91
20.88
15
23.13
22.73
25.07
24.93
21.28
16
23.13
22.73
25.07
24.93
21.30
17
23.15
22.73
25.17
24.98
23.50
18
23.18
22.73
25.24
25.08
23.57
19
22.95
22.71
24.94
25.37
23.75
20
23.04
22.71
24.98
25.19
24.04
21
23.06
22.71
25.00
24.95
24.72
22
22.94
22.69
24.78
24.76
24.96
23
22.50
22.60
23.93
24.04
24.82
24
22.25
22.56
23.46
23.72
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
20.04
20.10
20.12
20.12
22.05
22.12
22.22
22.50
22.84
22.75
22.88
20.22
20.42
20.49
20.75
20.64
20.87
20.65
20.88
22.53
23.08
22.54
23.20
22.56
23.40
22.60
23.93
22.68
24.58
22.67
24.57
22.67
24.67
Costos Marginales nodales
$/MWh
26.00
24.00
22.00
20.00
0
1 2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
Periodos(h)
Nodo1
Nodo2
Nodo3
Nodo4
Figura 3.22 Caso III. Costos marginales nodales.
Obsérvese que debido a las pérdidas, los costos marginales nodales en cada período no son
iguales.
También sucede que los nodos con mayor demanda tiene los mayores precios.
Nótese también en la Figura 3.22, que los costos marginales nodales vienen determinado por el
costo variable de la central térmica que esta al margen en cada período.
79
El costo total de producción es de $ 129,330
En la figura siguiente se pueden observar los resultados en el sistema de transmisión para el
período 19, que es la hora de mayor demanda.
210.16
130 19.46
+0.20
Nodo1
40.03
21.43
+0.22
Nodo2
105.11
70.05
0.12
167.34
Demanda
Flujos
12.41
7.03
222.54
Perdidas
Angulo
0.29
35.03
25.37
Nodo3
Cmg
Nodo4
33.77
+0.03
+0.0
210
250
0.00 80.06
Figura 3.23 Diagrama unifilar en el que se muestran los resultados en la hora de mayor
demanda(Caso III).
Obsérvese que el grupo de unidades hidráulicas casi esta inyectando a su máxima capacidad, sin
embargo este aporte (978.75MW) es poco en comparación al aporte del grupo de las unidades
térmicas (6,045.44MW); debido a ésto el costo de oportunidad del agua es alto en comparación con
los costos marginales nodales. Por esta razón se observa que los precios nodales en los nodos 1 y
2 son mayores que en los nodos 3 y 4.
Obsérvese también que las pérdidas se incrementan según el flujo que circula por las líneas. Es
este caso las mayores pérdidas se presentan el la línea 2-4 ya que el flujo que circula por ella es
mayor que el que circula en las demás líneas.
Obsérvese también que no existe producción de energía en la unidad térmica ubicada en el nodo
tres. Esto se debe a que en las horas de mayor demanda las centrales hidráulicas aportaron
energía casi al máximo; desplazando de esta manera la central térmica tres que tiene los costos
variables mas altos en comparación con las otras centrales térmicas.
80
En la siguiente gráfica se muestra la potencia inyectada por las unidades hidráulicas y las térmicas:
Potencias Finales Despachadas
500
Potencia(MW)
450
400
350
300
250
200
150
100
50
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21 22 23
24
Periodos(h)
Demanda
Unidades Termicas
Unidades Hidraulicas
Figura 3.24 Caso III. Potencias finales despachadas.
En la figura 3.24 se puede observar que el aporte hidráulico (978.75MW) es menor en comparación
al aporte de las centrales térmicas (6,045.44MW).
Obsérvese que el mayor aporte hidráulico se realiza en los períodos de mayor demanda; con esto
se logra desplazar recurso térmico, en esos períodos críticos. Las centrales hidráulicas se
comportan como centrales de punta.
En la siguiente gráfica se muestra la potencia total inyectada por las unidades hidráulicas y las
térmicas:
potencia(MW)
Demada Total/Potencia Total
500.00
400.00
300.00
200.00
100.00
0.00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
periodo(h)
Potencia Total
Demanda
Figura 3.25 Caso III. Demandas y Potencias totales.
81
En la Figura 3.25 se puede observar que la producción de energía total, sigue el patrón de la
demanda. La variación que se observa en la figura son las pérdidas.
A continuación se muestra la evolución de la función Primal y Dual
Tabla 3.43. Caso III. Valores en cada iteración.($)
Iter
1
2
F. Primal
F. Dual
131290
124670
129330
129000
Evolucion de la Función Prim al y Dual
132000
$
130000
128000
126000
124000
1
2
Iter
FPrimal
FDual
Figura 3.26 Caso III. Evolución del valor primal y dual.
En la Figura 3.26 se observa claramente el concepto planteado en el capítulo uno de esta tesis; es
decir la función Dual es una cota inferior de la función primal.
A continuación se muestra la evolución del Duality Gap.
DualityGap
Evolucion del DualityGap
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
1
1.5
2
Iter
Figura 3.27 Caso III. Evolución del valor Duality Gap.
82
2.5
En la figura 3.27 se observa claramente como la función primal y dual tienden a converger, debido
a que ya en la segunda iteración, se cumple la condición de paro. Es decir
3.3.4
Duality Gap ≤ 2.5%
CASO IV (Existe Congestión )
En este caso la potencia máxima que puede circular por las líneas es de 2.0 (pu).
Resolviendo el problema se tiene que potencia inyectada por cada central hidráulica es:
Tabla 3.44. Caso IV. Potencia inyectada por las Centrales Hidráulicas
PERÍODO
CENTRAL (J)
PERÍODO
CENTRAL (J)
(T)
1
2
3
(T)
1
2
3
1
11.12
18.07
21.04
13
19.46
40.03
80.06
2
0.00
0.00
0.00
14
0.00
0.00
0.00
3
5.56
11.12
16.68
15
2.78
4.43
0.00
0.00
0.02
0.00
4
5.56
11.12
16.68
16
5
5.56
11.12
16.68
17
19.46
40.03
80.06
6
5.56
11.12
16.68
18
5.56
37.81
65.05
7
5.56
11.12
16.68
19
0.00
0.00
0.00
8
5.56
11.12
16.68
20
0.00
0.00
0.00
16.68
33.36
50.04
9
5.56
11.12
16.68
21
10
16.68
33.36
50.04
22
5.56
11.12
16.68
11
0.00
0.00
0.00
23
5.56
11.12
16.68
0.00
24
5.56
11.12
16.68
0.00
0.00
Potencia De Cada Central Hidráulica
140.00
MW
12
90.00
40.00
-10.00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
Periodo(h)
Ph-Unidad(1)
Ph-Unidad(2)
Ph-Unidad(3)
Figura 3.28 Caso IV. Potencia inyectada por las Centrales Hidráulicas.
83
MW
Potencia Total Hidráulica
140.00
120.00
100.00
80.00
60.00
40.00
20.00
0.00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
Periodo(h)
Figura 3.29 Caso IV. Potencia Hidráulica Total.
Nótese que aunque la producción hidráulica total no varía respecto al caso anterior, si varía la
producción en los períodos donde se inyecta. Esto sucede porque el programa de coordinación
hidrotérmica a diferencia del caso anterior, reconoce que los costos marginales más altos no están
en los dos picos de demanda máxima, si no que están en los períodos 10,13,17,18,21. En otras
palabras el programa esta maximizando el recurso hidroeléctrico.
El volumen final en cada embalse se muestra a continuación:
Tabla 3.45. Caso IV. Volumen final de cada embalse en hm3.
PERÍODO
EMBALSE(J)
PERÍODO
EMBALSE(J)
(T)
1
2
3
(T)
1
2
3
1
8.00
18.00
28.00
13
5.00
14.60
17.60
30.00
14
7.00
16.60
19.60
30.00
15
8.00
18.01
23.19
30.00
16
10.00
20.00
25.20
30.00
17
5.00
14.60
12.80
30.00
18
5.00
5.00
5.00
30.00
19
7.00
7.00
7.00
30.00
20
9.00
9.00
9.00
30.00
21
5.00
5.00
5.00
26.00
22
5.00
5.00
5.00
28.00
23
5.00
5.00
5.00
30.00
24
5.00
5.00
5.00
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
10.00
10.00
10.00
10.00
10.00
10.00
10.00
10.00
6.00
8.00
10.00
20.00
20.00
20.00
20.00
20.00
20.00
20.00
20.00
16.00
18.00
20.00
84
Volum en Final de cada Em balse
30.00
hm^3
25.00
20.00
15.00
10.00
5.00
0.00
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
Periodo(h)
VF-Unidad(1)
VF-Unidad(2)
VF-Unidad(3)
Figura 3.30 Caso IV. Volumen final de cada embalse.
En la Figura 3.30 se pueden observar los períodos en los cuales algunos límites de los embalses
son alcanzados; además se observan claramente los períodos en los cuales los embalses se van
llenando y otros en los cuales los embalses se van vaciando.
Nótese que desde el período 2 hasta el período 9, se mantiene el nivel máximo de agua en los
embalses con el objetivo de utilizar este recurso en los períodos donde el costo marginal sea más
alto (período 10).
En los períodos 11,12 los embalses se van llenando hasta llegar nuevamente a sus límites
máximos (período 12). El programa reconoce que en el período 13 existe un costo marginal alto y
procede a aumentar su producción.
En los períodos 14,15,16 nuevamente los embalses se van llenando hasta llegar nuevamente a sus
límites máximos (período 16). El programa reconoce que en los períodos 17,18 existe un costo
marginal alto y procede nuevamente a aumentar su producción.
En los períodos 19,20 los embalses se llevan llenando nuevamente, pero en este caso no todos
llegan a sus límites máximos (período 20). El programa reconoce que en el período 21 existe un
costo marginal alto y procede a aumentar su producción.
En los últimos cuatro períodos, todos los embalses llegan a su volumen límite inferior. Esto se debe
a la escasa aportación hidráulica que reciben y porque en las veinticuatro horas que es el horizonte
de tiempo, se debe utilizar al máximo el agua.
En este caso nuevamente el derrame calculado en cada central no es significativo.
85
El valor del agua en $/MWh se muestra a continuación:
Tabla 3.46. Caso IV. Valor del agua en ($/MWh).
PERÍODO
CENTRAL(J)
PERÍODO
CENTRAL(J)
(T)
1
2
3
(T)
1
2
3
1
60.25
40.17
20.08
13
68.18
45.45
22.73
2
60.25
40.17
20.08
14
68.18
45.45
22.73
68.18
45.45
22.73
3
60.30
40.20
20.10
15
4
60.36
40.24
20.12
16
68.18
45.45
22.73
5
60.36
40.24
20.12
17
68.19
45.46
22.73
6
67.59
45.06
22.53
18
68.19
45.46
22.73
7
67.62
45.08
22.54
19
68.14
45.42
22.71
68.14
45.42
22.71
8
67.69
45.12
22.56
20
9
67.81
45.21
22.60
21
68.14
45.42
22.71
10
68.04
45.36
22.68
22
68.07
45.38
22.69
67.81
45.21
22.60
67.68
45.12
22.56
11
68.04
45.36
22.68
23
12
68.04
45.36
22.68
24
Valor del Agua
$/MWh
80.00
70.00
60.00
50.00
40.00
30.00
20.00
10.00
0.00
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11 12
13 14
15 16
17 18
19 20
21 22 23 24
Periodo(h)
Valor del agua U1
Valor del agua U2
Valor del agua U3
Figura 3.31Caso IV. Valor del agua.
Como se puede observar el valor del agua se mantiene casi constante en cada período, esto es un
efecto deseable porque no se desea que existan grandes oscilaciones en los precios del sistema
analizado.
En comparación con el caso anterior Figura 3.19, se observa que los costos de oportunidad
obtenidos en este caso presentan menos fluctuaciones en los períodos de máxima demanda.
86
Teniendo maximizado el recurso hidráulico, se determina que unidades térmicas deben acoplarse,
utilizando la variable binaria “U”
Tabla 3.47. Caso IV. Unidades Térmicas Acopladas.
PERÍODO
CENTRAL(I)
PERÍODO
CENTRAL(I)
(T)
1
2
3
(T)
1
2
3
1
1
0
0
13
1
1
0
2
1
0
0
14
1
1
0
3
1
0
0
15
1
1
0
4
1
0
0
16
1
1
0
5
1
0
0
17
1
1
0
6
1
1
0
18
1
1
0
7
1
1
0
19
1
1
1
8
1
1
0
20
1
1
1
9
1
1
0
21
1
1
0
10
1
1
0
22
1
1
0
11
1
1
1
23
1
1
0
12
1
1
1
24
1
1
0
Como se puede observar la unidad térmica uno esta acoplada en todos los períodos, esto se debe
a que la unidad uno presenta los costos variables menores de las unidades térmicas.
Del período 6 en adelante, la unidad térmica uno no es suficiente para suplir la demanda residual;
por esta razón se acopla la unidad térmica dos, ya que presenta los costos variables menores
respecto a la unidad térmica tres.
Debido a que en los períodos 11,12,19,20, las unidades uno y dos no son suficientes para
satisfacer la demanda residual se acopla la unidad térmica tres en esos períodos.
En la siguiente tabla se muestra que unidades y en que período se les asigna un costo de
arranque, utilizando la variable binaria “Y” .
87
Tabla 3.48. Caso IV. Asignación de costos de arranque a centrales térmicas.($)
PERÍODO
CENTRAL(I)
PERÍODO
CENTRAL(I)
(T)
1
2
3
(T)
1
2
3
1
1
0
0
13
0
0
0
2
0
0
0
14
0
0
0
3
0
0
0
15
0
0
0
4
0
0
0
16
0
0
0
5
0
0
0
17
0
0
0
6
0
1
0
18
0
0
0
7
0
0
0
19
0
0
1
8
0
0
0
20
0
0
0
9
0
0
0
21
0
0
0
10
0
0
0
22
0
0
0
11
0
0
1
23
0
0
0
12
0
0
0
24
0
0
0
Como se puede observar en el primer período se le asigna a la unidad uno, un costo de arranque
de $100 En el sexto período arranca la unidad dos y se le asigna un costo arranque de $60.
Obsérvese también que aunque la unidad uno presenta los costos de arranque más altos, es la que
permanece trabajando continuamente en todos los períodos. Esto se debe a que la unidad uno
presenta los costos variables más bajos en comparación a la unidad dos y tres.
La unidad dos es la que presenta los costos de arranque más bajos en comparación a la unidad
tres, debido a esto es que se acopla en el sexto período.
Obsérvese que la unidad dos una vez acoplada no se desacopla en ningún período.
A Diferencia del caso anterior la unidad tres se acopla en los períodos 11,19 y se le asigna un
costo de arranque de $80 en cada uno de estos períodos.
En la siguiente tabla se muestra que unidades y en que período se les asigna un costo de parada,
utilizando la variable binaria “Z”
Obsérvese en la tabla siguiente que en los períodos 13,21 la unidad térmica tres se desacopla;
asignándosele un costo de parada de $5 a dicha unidad en estos períodos.
88
Tabla 3.49. Caso IV. Asignación de Costos de Parada a Centrales Térmicas ($)
PERÍODO
CENTRAL(I)
PERÍODO
CENTRAL(I)
(T)
1
2
3
(T)
1
2
3
1
0
0
0
13
0
0
1
2
0
0
0
14
0
0
0
3
0
0
0
15
0
0
0
4
0
0
0
16
0
0
0
5
0
0
0
17
0
0
0
6
0
0
0
18
0
0
0
7
0
0
0
19
0
0
0
8
0
0
0
20
0
0
0
9
0
0
0
21
0
0
1
10
0
0
0
22
0
0
0
11
0
0
0
23
0
0
0
12
0
0
0
24
0
0
0
La potencia inyectada por cada central térmica en (MW) se muestra a continuación:
Tabla 3.50. Caso IV. Potencia inyectada por las centrales térmicas.
PERÍODO
CENTRAL(I)
PERÍODO
CENTRAL(I)
(T)
1
2
3
(T)
1
2
3
1
50.69
0.00
0.00
13
130.00
90.34
0.00
2
112.16
0.00
0.00
14
130.00
225.48
0.00
3
67.74
0.00
0.00
15
130.00
218.22
0.00
130.00
225.46
0.00
4
119.97
0.00
0.00
16
5
121.03
0.00
0.00
17
130.00
90.17
0.00
6
130.00
31.30
0.00
18
130.00
133.05
0.00
130.00
213.47
131.91
7
130.00
41.57
0.00
19
8
130.00
62.39
0.00
20
130.00
228.98
96.97
9
130.00
104.31
0.00
21
130.00
142.51
0.00
10
130.00
110.39
0.00
22
130.00
190.41
0.00
11
130.00
228.98
76.97
23
130.00
104.31
0.00
22.72
24
130.00
62.26
0.00
12
130.00
244.49
89
Potencia Inyectada por las Unidades Térmicas
Potencia (MW)
500.00
400.00
300.00
200.00
100.00
0.00
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
11 12 13 14
15 16
17 18 19 20 21 22 23 24
Periodos (h)
Unidad 1
Unidad 2
Unidad 3
Figura 3.32 Caso IV. Potencia inyectada por las centrales térmicas.
Potencia Total Térmica Inyectada
Potencia (MW)
500.00
400.00
300.00
200.00
100.00
0.00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
Periodos (h)
Figura 3.33 Caso IV. Potencia térmica total.
Obsérvese en la Figura 3.32 que en los primeros cinco períodos solo la central uno esta inyectando
potencia. Esto se debe a que en esos períodos la demanda residual es pequeña, no siendo
necesario el acople de otra unidad con costos variables mas altos que la central uno.
Del sexto período en adelante, la central uno no es capaz de suplir la demanda residual. Por esta
razón se acopla la central dos porque tiene los costos variables menores que la central tres.
Obsérvese que la central uno está produciendo energía a su máxima capacidad. (central de base).
A diferencia del caso anterior la central tres inyecta energía en los períodos de máxima
demanda.(11,12,19,20). Esto sucede porque la línea 2-4 se encuentra saturada en esos períodos.
Los ángulos en cada nodo se muestran a continuación:
90
Tabla 3.51. Caso IV. Ángulos en cada nodo (rad)
PERÍODO
ANGULOS
PERÍODO
ANGULOS
(T)
δ1
δ2
δ3
(T)
δ1
δ2
δ3
1
0.056
0.037
0.013
13
0.165
0.146
0.037
2
0.086
0.043
0.018
14
0.150
0.186
-0.011
0.152
0.185
-0.011
3
0.062
0.036
0.014
15
4
0.113
0.062
0.039
16
0.150
0.186
-0.011
5
0.114
0.062
0.040
17
0.160
0.144
0.029
0.158
0.163
0.021
6
0.128
0.085
0.037
18
7
0.128
0.090
0.032
19
0.192
0.200
0.055
8
0.133
0.102
0.029
20
0.176
0.200
0.025
9
0.133
0.123
0.009
21
0.164
0.168
0.016
10
0.164
0.152
0.031
22
0.153
0.175
-0.002
0.133
0.123
0.009
0.128
0.100
0.021
11
0.176
0.200
0.025
23
12
0.161
0.200
-0.005
24
Los Flujos de potencia que circulan por las líneas se muestran a continuación:
Tabla 3.52. Caso IV. Flujos en las líneas.(MW)
Flujos
Flujos
T
F1-2
F1-3
F2-4
F3-4
T
F1-2
F1-3
F2-4
F3-4
1
19.01
42.54
36.86
13.33
13
18.72
128.63
146.38
36.46
17.59
14
-35.29
161.87
185.74
-11.42
13.97
15
-33.22
162.56
185.03
-10.75
39.21
16
-35.29
161.87
185.73
-11.42
39.71
17
16.20
131.08
143.79
28.90
36.58
18
-4.64
137.82
162.91
20.45
31.54
19
-8.48
136.16
200.00
55.37
28.99
20
-23.93
151.01
200.00
25.06
8.76
21
-4.30
148.24
168.05
15.51
30.72
22
-22.23
154.74
175.40
-1.57
25.06
23
9.62
124.01
123.14
8.76
-5.01
24
27.82
106.23
99.86
21.45
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
43.13
25.34
51.14
51.66
43.19
38.09
30.34
9.62
11.45
-23.93
-39.32
68.21
47.60
73.39
73.91
91.10
96.14
103.76
124.01
133.01
151.01
165.70
42.67
36.22
61.46
61.97
84.48
89.59
102.42
123.14
152.29
200.00
200.00
91
Obsérvese en la Tabla 3.52 que existe congestión en la línea 2-4, en los períodos 11,12,19,20.
Esto se debe a que el flujo que puede circular por las líneas se ha restringido a 200MW:
Obsérvese también por ejemplo que en el período 19, se hace necesario para suplir la demanda en
el nodo tres el aporte de las centrales ubicadas en el nodo dos. Esto se debe a que en ese período
las centrales ubicadas en los nodos uno y tres no son suficientes para satisfacer la demanda en
ese nodo.
Obsérvese también por ejemplo que en el período 12, se hace necesario para suplir la demanda en
el nodo tres, el aporte de las centrales ubicadas en el nodo dos y el flujo que circula por la línea del
nodo cuatro al nodo tres. Esto se debe a que en ese período las centrales ubicadas en los nodos
uno y tres no son suficientes para satisfacer la demanda en ese nodo.
Las pérdidas de energía en las líneas se muestran a continuación:
Tabla 3.53. Caso IV. Pérdidas en las líneas.(MW)
Pérdidas en Líneas
T
P1-2
P1-3
P2-4
P3-4
T
P1-2
P1-3
P2-4
P3-4
1
0.09
0.46
0.34
0.04
13
0.09
4.16
5.38
0.33
0.08
14
0.31
6.58
8.66
0.03
0.05
15
0.28
6.64
8.59
0.03
0.39
16
0.31
6.58
8.66
0.03
0.40
17
0.07
4.32
5.19
0.21
0.34
18
0.01
4.77
6.66
0.11
0.25
19
0.02
4.66
10.03
0.77
0.21
20
0.14
5.73
10.03
0.16
0.02
21
0.00
5.52
7.09
0.06
0.24
22
0.12
6.01
7.72
0.00
0.16
23
0.02
3.87
3.81
0.02
0.01
24
0.19
2.84
2.51
0.12
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
0.47
0.16
0.66
0.67
0.47
0.37
0.23
0.02
0.03
0.14
0.39
1.17
0.57
1.35
1.37
2.09
2.32
2.71
3.87
4.45
5.73
6.89
0.46
0.33
0.95
0.97
1.80
2.02
2.64
3.81
5.83
10.03
10.03
Obsérvese que las pérdidas crecen con la demanda. Además la línea que presenta más pérdidas
en los períodos de mayor demanda (períodos 11,12,19,20) es la línea entre el nodo dos y cuatro
(P2-4), esto se debe al flujo que se origina en el nodo dos para suplir la demanda en el nodo
cuatro.
92
Obsérvese también que las pérdidas en la línea 3-4 se han incrementado como consecuencia del
aumento de producción de energía de la unidad térmica tres (períodos 19,20). Del mismo modo las
pérdidas en la línea 1-3 han decrecido debido a la disminución de flujo en la línea 1-3.
En este caso las pérdidas totales son menores que en el caso anterior.
Los precios ($/MWh) en cada nodo y período se muestran a continuación:
Tabla 3.54. Caso IV. Precios en cada nodo y período.($/MWh)
Nodo(n)
Nodo (n)
T
1
2
3
4
T
1
2
3
4
1
20.05
20.24
20.48
20.62
13
22.38
22.59
23.86
24.30
2
20.11
20.55
20.81
20.99
14
23.13
22.73
25.07
24.93
23.10
22.72
25.04
24.91
3
20.07
20.32
20.55
20.69
15
4
20.12
20.64
20.87
21.28
16
23.13
22.73
25.07
24.93
5
20.12
20.65
20.88
21.30
17
22.41
22.59
23.92
24.27
6
22.05
22.53
23.08
23.50
18
22.68
22.63
24.30
24.55
7
22.12
22.54
23.20
23.57
19
27.91
22.71
35.13
41.28
27.88
22.73
35.10
40.42
8
22.22
22.56
23.40
23.75
20
9
22.50
22.60
23.93
24.04
21
22.69
22.64
24.43
24.62
10
22.48
22.61
24.02
24.39
22
22.94
22.69
24.78
24.76
22.50
22.60
23.93
24.04
22.25
22.56
23.46
23.72
11
27.87
22.73
35.08
40.39
23
12
27.84
22.74
35.02
39.52
24
$/MWh
Costos Marginales nodales
45.00
40.00
35.00
30.00
25.00
20.00
15.00
10.00
5.00
0.00
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24
Periodos(h)
Nodo1
Nodo2
Nodo3
Nodo4
Figura 3.34 Caso IV. Costos marginales nodales.
93
Obsérvese que debido a las pérdidas, los costos marginales nodales en cada período no son
iguales. Además como era de esperarse los precios en los nodos casi no cambian en los períodos
donde no existe congestión. Lo contrario sucede en los períodos (11,12,19,20), es decir los precios
cambian respecto al caso anterior porque existe congestión en la línea 2-4.
Obsérvese que el precio en el nodo 4 se ha incrementado respecto al caso anterior. Si se observan
las tablas 3.42 y 3.54, en los períodos 11,12,19,20 los precios en el nodo cuatro cambian de
$24.96/MWh, $24.82/MWh, $25.37/MWh, $25.19/MWh a $40.39/MWh, $39.52/MWh, $41.28/MWh,
$40.42/MWh respectivamente. Esto se debe a la congestión que existe en la linea 2-4 en esos
períodos.
Nótese también en la Figura 3.34, que los costos marginales nodales vienen determinados por el
costo variable de la central térmica que esta al margen en cada período.
El costo total de producción es de $132,920 y los multiplicadores de Lagrange asociados a las
restricciones de flujo máximo en la línea 2-4 en los periodos 11,12,19,20 son respectivamente
$19.36/MWh, $18.28/MWh, $20.47/MWh, $19.40/MWh; éstos se ven reflejados en el nodo cuatro
ya que esta acoplado a la línea que se encuentra con congestión. Comparando con el caso anterior
(sin Congestión) el costo total de producción ha aumentado en $3,590
En la figura siguiente se pueden observar los resultados en el sistema de transmisión para el
período 19, que es la hora de mayor demanda.
130 0.00
213.47 0.00
+0.19
Nodo1
+0.20
8.48
Nodo2
68.14
45.42
0.02
Demanda
Flujos
136.16
4.66
10.03
200
Perdidas
Angulo
0.77
35.13
41.28
Nodo3
Cmg
Nodo4
+0.05
+0.0
55.37
210
250
131.91 0.00
Figura 3.35 Diagrama unifilar en el que se muestran los resultados en la hora de mayor
Demanda (Caso IV).
94
Obsérvese en al Figura 3.35 que el grupo de unidades hidráulicas no esta produciendo energía en
este período.
Obsérvese también que a diferencia del caso anterior las pérdidas totales han decrecido debido a
la limitación de flujo en las líneas.
Obsérvese también que las pérdidas se incrementan o se reducen según el flujo que circula por las
líneas. Es este caso las mayores pérdidas siguen presentándose en la línea 2-4 ya que el flujo que
circula por ella es mayor que el que circula en las demás líneas. Pero es menor en comparación al
caso anterior.
Obsérvese también que las pérdidas en la línea 2-3 (P2-3) se han incrementado, respecto al caso
anterior porque el flujo que circula por la línea 2-4 se encuentra restringido a 200MW; haciendo
necesario de esta manera que se incremente el flujo en la línea 3-4.
Lo contrario sucede en la línea 1-3 (P1-3), las pérdidas han decrecido respecto al caso anterior
porque el flujo que circula por la línea 1-3 ha disminuido respecto al caso anterior.
Obsérvese que el precio en el nodo 4 se ha incrementado respecto al caso anterior, porque parte
del flujo que llega a este nodo circula por la línea que se encuentra saturada.
Nótese también en la Figura 3.34, que los costos marginales nodales vienen determinados por el
costo variable de la central térmica que esta al margen en cada período.
En la siguiente gráfica se muestra la potencia inyectada por las unidades hidráulicas y las térmicas:
Potencias Finales Despachadas
Potencia(MW)
500
400
300
200
100
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21 22 23
Periodos(h)
Demanda
Unidades Termicas
Unidades Hidraulicas
Figura 3.36 Caso IV. Potencias finales despachadas.
95
24
En la figura 3.36 se puede observar que el aporte hidráulico (978.75MW) es menor en comparación
al aporte de las centrales térmicas (6,18.25MW).
Obsérvese que el aporte hidráulico total (978.75MW) no cambia respecto al caso anterior (sin
congestión), pero la asignación del recurso es diferente.
En la siguiente gráfica se muestra la potencia total inyectada por las unidades hidráulicas y las
térmicas:
potencia(MW)
Demada Total/Potencia Total
500.00
400.00
300.00
200.00
100.00
0.00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
periodo(h)
Potencia Total
Demanda
Figura 3.37 Caso IV. Demandas y Potencias totales
En la Figura 3.37 se puede observar que la producción de energía total, sigue el patrón de la
demanda. La variación que se observa en la figura son las pérdidas.
A continuación se muestra la evolución de la función Primal y Dual
Tabla 3.55. Caso IV. Valores en cada iteración.
Iter
F. Primal
F. Dual
1
132,340
124,670
2
128,800
128,790
3
132920
132,220
96
Evolucion de la Función Prim al y Dual
134000
132000
$
130000
128000
126000
124000
1
2
3
Iter
FPrimal
FDual
Figura 3.38 Caso IV. Evolución del valor primal y dual.
Como se puede observar en la gráfica anterior, la solución se encuentra en la tercera iteración.
Obsérvese que no se toma como solución la segunda iteración, pues no cumple con todas las
condiciones del criterio de paro.(No es factible)
En la Figura 3.36 se observa claramente el concepto planteado en el capítulo uno de esta tesis; es
decir la función Dual es una cota inferior de la función primal.
A continuación se muestra la evolución del DualityGap:
DualityGap
Evolucion del DualityGap
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
1
1.5
2
2.5
3
3.5
Iter
Figura 3.39 Caso IV. Evolución del valor Duality Gap.
En la figura 3.37 se observa claramente como la función primal y dual tienden a converger, debido
a que ya en la segunda iteración, se cumple una de las condiciones de paro. Es decir
Duality Gap ≤ 2.5% ; pero la solución no es factible en esa iteración, de modo que en la
siguiente iteración cumple la condición de Duality Gap y la condición de factibilidad.
97
3.3.5
Análisis de Resultados
a. Se observó en todos los casos que la producción de energía hidráulica es pequeña en
comparación a la producción de energía térmica. Esto se debe a las limitaciones de caudal
turbinado en base a la eficiencia y a los limites mínimos y máximos de los embalses de
cada central. Por lo tanto, si se mejora la eficiencia aumentaría la producción hidráulica.
b. El programa de coordinación hidrotérmica desarrollado, permite encontrar el costo de
oportunidad del agua de las centrales hidroeléctricas; esto es importante, porque se
demuestra que la utilización del recurso hidráulico tiene costo de oportunidad (no es gratis).
c.
Se observó que la mayoría de los costos de oportunidad de las centrales hidráulicas
calculados en los cuatro casos, presentaban un valor más alto, en comparación con los
precios nodales. Esto se debe a que el recurso hidráulico es más escaso que el recurso
térmico.
d. Se observó que los costos marginales obtenidos del programa de coordinación
hidrotérmica poseen un comportamiento estable. Esto incide para que el precio del sistema
no fluctúe demasiado.
e. Se observó en los casos estudiados que el costo total de producción de energía se
incrementa si existe congestión en alguna línea del sistema de transmisión.
f.
Con los resultados obtenidos en los casos de estudio se comprobó la teoría explicada en el
capítulo uno de esta tesis; donde se afirma que la función Dual es una cota inferior de la
función primal.
g. Se observó que los costos marginales nodales vienen determinado por el costo variable de
la central térmica que está al margen en cada período.
98
CAPÍTULO 4
CARGO POR CAPACIDAD
4.1
Introducción:
Para completar el modelo de mercado basado en costos es necesario introducir un cargo adicional
al costo marginal del sistema desarrollado en los capítulos anteriores; este cargo esta asociado a la
remuneración que deben recibir los productores para recuperar la inversión realizada por la
construcción de sus plantas o la ampliación de las mismas. Este cargo adicional recibe el nombre
de cargo por capacidad, y es el objeto de estudio de este capítulo.
El cargo por capacidad suaviza los ingresos de los generadores existentes y al mismo tiempo
disminuye la incertidumbre para la entrada de nuevos generadores ya que con este cargo ellos
recuperan los costos de inversión; generando de esta manera incentivos reales para la inversión en
el parque de generación.
El capítulo inicia presentando un marco conceptual del pago por capacidad. Además se consideran
una serie de conceptos asociados a este, con el fin de lograr mayor compresión y claridad,
respecto al tema en cuestión.
Seguidamente se mostrará por medio de un ejemplo que al considerar el cargo por capacidad en el
modelo basado en costos se recuperan los costos de inversión de las plantas generadoras, siendo
de esta manera viable desde el punto de vista económico. Para la realización de este ejemplo será
necesario introducir antes los conceptos de curvas de carga anual y curva de proyección; ya que
son relevantes para la comprensión del mismo.
Finalmente se realiza una revisión del caso Chileno, pues en este país se hace un pago explicito de
potencia, es decir se remunera en forma separada la energía y la potencia. Se realiza un análisis a
la normativa y de la propuesta del nuevo reglamento.
99
4.2
Marco conceptual del Cargo por Capacidad.
En nuestro país existe un modelo basado en ofertas de precios; es decir, no se remunera
explícitamente la potencia y tampoco se organizan mercados obligatorios de capacidad.
Este modelo presenta varias desventajas, entre las cuales se encuentra: la oscilación de los
precios y la falta de incentivos para la entrada de nuevos generadores en el sistema.
Debido a que no existe cargo explicito por capacidad en este modelo no se genera una motivación
real para la inversión de nuevas plantas, esto sucede porque un supuesto de este modelo es
asumir que los precios de la energía serán suficientemente altos para asegurar la recuperación de
los costos de inversión. Pero si los periodos en que estas unidades de punta producen energía no
son suficientes para rentabilizar la inversión, las inversiones no se llevarán a cabo.
Como solución a este problema se propone un modelo de mercado basado en costos donde se
remunera explícitamente un pago por capacidad.
El principal propósito del cargo por capacidad es el de asegurar el suministro de energía en el corto
y el largo plazo, es decir mejorar el aporte a la suficiencia del sistema (confiabilidad).
En forma general el cargo por capacidad es el costo para remunerar las plantas que le confieren
firmeza al sistema, de tal forma que se recupere la inversión en nuevas plantas eficientes que
aseguren la confiabilidad del sistema.
Este distribuye los ingresos anuales permitiendo estabilizar los montos de dinero que reciben las
unidades por concepto de energía. Los precios altos, que deberían ser cubiertos por los
consumidores en los períodos críticos, serían limitados por el ente regulador, a través de un precio
techo. Los ingresos que dejarían de percibir los generadores por esta situación, en general serían
considerados en el pago por capacidad de manera que ellos reciban el verdadero valor del
producto que están entregando.
A continuación se discuten algunos conceptos generales, relevantes en la concepción de un
sistema de pago por potencia.
4.3
Conceptos y definiciones.
El concepto de confiabilidad distingue dos atributos:
1. Seguridad de servicio.
2. Suficiencia o adecuación.
100
El concepto de Seguridad de servicio se refiere a la capacidad del sistema eléctrico de superar
perturbaciones de muy corto plazo, a las que está sujeto el sistema en forma permanente, y que
son causadas tanto por efectos externos (por ejemplo, descargas atmosféricas sobre los sistemas
de transmisión que producen cortocircuitos) como internos (por ejemplo cambios bruscos de carga
o fallas intempestivas de unidades generadoras). Estas perturbaciones afectan la estabilidad del
sistema y pueden dar lugar a fallas parciales o totales de suministro.
Esta seguridad es típicamente provista mediante sofisticados equipos de control y protección,
procedimientos de operación y despacho de unidades generadoras, así como servicios
complementarios (SSCC); por ejemplo para lograr regulación de voltaje, regulación de frecuencia,
y otros.
El concepto de Suficiencia o adecuación se refiere a la capacidad del sistema eléctrico de
abastecer la totalidad de la demanda en todo momento bajo condiciones esperadas.
La Suficiencia representa una característica de largo plazo, se pretende abastecer una demanda
creciente en el largo plazo, teniendo presente la variabilidad e incertidumbre de dicha demanda y
de la capacidad de generación y los tiempos involucrados en incrementar dicha capacidad.
Tradicionalmente, la suficiencia ha sido medida a través de las reservas existentes o planificadas
en el sistema eléctrico y del correspondiente índice de probabilidad de pérdida de carga, que sirve
de criterio para decisiones de planificación e inversión.
Obsérvese que la seguridad se mide en función de un conjunto de contingencias, frente a las
cuales se busca responder con acciones y SSCC.
Pero la suficiencia es una característica
asociada a condiciones esperadas en un contexto probabilístico, identifica la posibilidad de
entregar energía con una central hidroeléctrica en condiciones de sequía, la posibilidad de aportar
potencia con una central térmica ante indisponibilidad de combustible o falla de dicha central.
Aunque el concepto de seguridad representa condiciones de corto plazo y el de suficiencia de largo
plazo, ambos conceptos están relacionados y pueden apoyarse uno al otro.
En la siguiente sección se realiza un análisis de cual es la mejor manera de asignar el cargo por
capacidad a las unidades generadoras.
101
4.4
Asignación del cargo por capacidad a las unidades generadoras.
En esta sección se determinará cómo se asignará el costo de capacidad entre los distintos
productores de energía. El desarrollo se tomó de “Óptimal Policies for Natural Monopolies,
Handbook of Industrial Organization”, Vol. II, Chapter 23.
A este problema se le conoce en la literatura como Peak Load Pricing (precio punta de carga),
correspondiente a una aplicación de la teoría marginalista.
Este problema establece tres condiciones:
1. La firma debe proveer servicios sobre un número de períodos de tiempo, teniendo diferencias
en las curvas de demanda.
2. La firma debe elegir un tamaño de planta (capacidad) tal que esté disponible durante todos los
períodos de tiempo en que la producción toma lugar.
3. El producto no sea posible almacenarlo.
El precio de punta es una forma de discriminación del precio durante los periodos de tiempo. El
modelo económico clásico para el problema de la carga de punta es el de Steiner (1957). Un
principio ampliamente citado por este modelo es en el que los costos de la planta deben ser
cargados en el periodo de la carga de punta.
Para comparar unas cuantas formulaciones básicas acerca del precio de punta, se considera el
sistema siguiente. Asuma que el periodo de producción (un día por ejemplo) es dividido en T
partes iguales, t = 1,….., T. Además se dice que
xt unidades de la única variable de entrada son
usadas en el periodo t, y que k representa el monto del capital de entrada que es seleccionado
para todos los periodos, es decir el total para cada periodo. Ahora
y t = f (x t , k
)
es la función
de producción para el periodo t, relacionando la salida en ese periodo y t a las entradas.
Finalmente, tenemos que p t = p t ( y t ) representa la demanda programada para el periodo t. Esta
programación de la demanda es inclinada y hacía abajo, por lo tanto pt′ ( yt ) < 0 .
La función de producción tiene una estructura de Leontief, como sigue:
⎛x
⎞
y t = f (x t , k ) = min⎜⎜ t , k ⎟⎟
a
⎝
⎠
Con la constante
a > 0.
102
(Ec. 4.1)
~
Podemos representar esta estructura de producción en términos de una función de costo. Sea b el
costo de una unidad del factor variable, y se asume aquí que es el mismo para cada periodo.
Entonces el costo variable total para el periodo t será:
~
~
b xt = b a y t
(Ec. 4.2)
~
Para simplificar la notación sea b = b a , así que el costo variable para el periodo t es b y t , Sea
β el costo de una unidad del capital para todos lo periodos t + 1,……T. Asuma que la compañía
debe conocer toda la demanda, así el capital debe ser seleccionado de forma que
k = max t y t
.
Donde el costo total para la compañía será:
T
C = b ∑ y t + β max j y j
(Ec. 4.3)
t =1
Suponga que el beneficio económico bruto puede ser representado como: A( y1 + y 2 + K yT ) .
Entonces el beneficio económico neto, W, puede ser escrito así:
W = A( y1 + y 2 + K yT ) − C
(Ec. 4.4)
En periodos fuera del pico (en los cuales y t < max j y j) las condiciones de primer orden necesarias
para un óptimo interior de la ecuación 4.5.( donde y t >0) serán:
∂W
∂yt
= pt − b = 0 ,
para yt < max j y j ,
despejando: p t = b .
(Ec. 4.5)
En otras palabras, en los periodos fuera del pico, los usuarios pagarán solamente por los costos
variables de producción y con ningún ingreso para contribuir a los costos de capacidad de la
compañía. En los periodos pico (en los cuales yt = max j y j ) las condiciones de primer orden
necesarias para un optimo interior de la ecuación 4.4. serán:
∂W
∂y t
= pt − b − β = 0
para yt = max j y j ,
despejando: p t = b + β .
(Ec. 4.6)
En otras palabras, en los periodos pico, los usuarios pagaran por los costos variables de
producción y también por los costos de capacidad de la compañía.
103
Un ejemplo usando los principios de fijar el precio de punta con esta tecnología de Leontief es
descrito en la siguiente figura.
Precio p
D3
b+ß
D1
D2
b
y1
y2
y3
Salida y
Fig. 4.1 Asignación del precio de punta.
En la figura el día es dividido en tres periodos, mañana ( y3 ), tarde ( y 2 ) y noche ( y1 ). El periodo
de la mañana es el periodo pico, y los otros 2 periodos están fuera del pico. El modelo de Steiner
indica que los usuarios fuera del pico pagarán un precio igual a b, mientras que los usuarios de la
mañana pagarán b + β , donde los ingresos generados por el servicio del periodo de la mañana
deberán cubrir los costos variables y los costos fijos de las plantas.
Note que en este ejemplo todos los costos de la compañía son cubiertos por los ingresos
generados por las tres clases de usuarios. Los ingresos generados por los usuarios de la mañana
son y3 (b + β ) ; para los usuarios de la tarde y de la noche los ingresos generados son,
respectivamente, by 2 y by1 , por lo tanto todos los costos de la ecuación 4.3 son cubiertos.
Además, cada clase de usuarios están pagando un precio igual al costo marginal de producción,
donde:
∂C
∂y1
= b , ∂C
∂y 2
= b y ∂C
∂y 3
=b+β
(Ec. 4.7)
De esta manera el mejor y justo ingreso puede ser alcanzado simultáneamente con este esquema
de fijación del precio de punta.
Como se puede observar las unidades de punta captan los montos importantes por concepto de
potencia; lo cual es justo, ya que son estas unidades las que aportan a la suficiencia del sistema.
Por lo tanto; en sistema basado en costos de producción se hace necesario adicionar un pago de
capacidad de forma tal de remunerar apropiadamente a los productores.
104
4.5 Justificación Numérica del cargo por capacidad.
En esta sección se comprobará por medio de un ejemplo lo desarrollado en la sección anterior; que
si se vende la energía al costo marginal de corto plazo y la demanda máxima de potencia anual al
valor de la anualidad de costo de desarrollo de la unidad más económica para dar potencia de
punta, los ingresos percibidos por la venta de energía a costo marginal, más los ingresos por venta
de potencia a costo de desarrollo de la potencia de punta, cubren exactamente los costos de
capital más los costos de operación de los productores.
A continuación se presentan dos conceptos, relevantes para la comprensión del ejemplo; estos
conceptos son:
1. Curva de duración de carga.
2. Curvas de proyección.
4.5.1
Curva de duración de carga.
Normalmente la demanda de potencia puede ser descrita por una curva llamada Curva de Duración
de Carga, esta mide el número de horas por año que la carga total es mayor o igual que cualquier
nivel de demanda.
La demanda total (carga) es una demanda para un flujo de potencia y es expresada en MW.
Aunque esta curva describe completamente el tiempo total empleado para cada nivel de carga, la
curva no incluye información acerca de la secuencia de estos niveles.
Esta misma curva puede trazarse para distintos periodos de tiempo y así poder observar las
variaciones de demanda por ejemplo en un día o en una época de algún régimen pluvial específico
(invierno, verano).
La curva de duración de cargas puede ser construida para una región dada o para cualquier
conjunto de cargas, se mide la carga total en intervalos de una hora para cada una de las 8760
horas en un año (u otro periodo de tiempo), se ordenan estos resultados y se gráfican empezando
con la carga más alta.
El resultado es una curva que se inclina hacia abajo desde la carga máxima en la hora pico, hora 1,
hasta la carga mínima, llamada carga de base en las horas fuera de pico, hasta llegar a la hora
8760 (en este caso la duración es igual a un año).
105
MW
Pmax
Carga
Po
0.2
20%
0.5
50%
Duración
1.0
100%
8760
horas/año
Figura. 4.2. Curva de duración de carga.
La duración normalmente es medida en horas por año, pero ambas unidades tienen dimensiones
de tiempo, por lo tanto la duración es un termino adimensional, lo cual significa que este puede ser
expresado como un número puro, una relación o un porcentaje. Para convertir las unidades de
horas por año (h año ) a un número puro, simplemente se multiplica por 1 de la forma
.
⎛ 1 año
⎞
⎜
8760 horas ⎟⎠
⎝
La duración tiene una interpretación natural como la probabilidad que la carga sea igual o mayor
que cierto nivel. Para usar esta interpretación seleccionamos un nivel de carga, por ejemplo Po y
usando la curva de duración de carga, encontramos la correspondiente duración, 20% en este
caso. Esto indica que la carga es igual o mayor que Po en un 20% del tiempo. Visto de otra
manera, la probabilidad que la carga sea igual o mayor a Po en una hora seleccionada al azar es
del 20%.
P( Pot ≥ Po) = 0.2 . Esta interpretación es más conveniente para pensar en diferenciar la
demanda base ( 80% del tiempo en este caso) de la demanda pico (20%).
4.5.2
Curvas de Proyección.
Cuando la demanda es inelástica (es decir que no se ve afectada por el precio) o cuando enfrenta
un precio fijo, hacen que la curva de duración de carga sea fija, esta curva puede utilizarse para
encontrar la combinación óptima de tecnologías de generación. Esta técnica fue desarrollada para
un sistema de potencia regulado en el cual el precio y la curva son a menudo fijos, pero esto sigue
siendo valido para entender ciertos aspectos en mercados competitivos.
Se asume que los costos fijos y variables describen adecuadamente a los generadores. Esto se
usa para dibujar las curvas de proyección de cada tecnología en un solo gráfico, como se muestra
en la Fig. 4.3.
106
$/MWh
Turbina
Gas
Pendiente =
b1
Turbina
Carbón
a1
a2
Pendiente =
b2
Factor de
Capacidad
MW
C2
Turbina
Gas
Carga
C1
Turbina
Carbón
Duración 1.0
Figura. 4.3. Curvas de proyección.
Como se observa en la figura, las curvas arrancan de un valor distinto de cero, este valor es igual
al costo equivalente anualizado ai (en el periodo planteado de recuperación de capital) para
recuperar la inversión de la instalación de esa central; es un costo fijo. Además las pendientes de
las rectas bi son iguales al costo variable asociado al tiempo de utilización (producción) de las
centrales. Las intersecciones de las curvas determinan los factores de capacidad que separan las
regiones en donde las distintas tecnologías son óptimas. Estos factores de capacidad igualados a
las duraciones de carga, determinan los límites entre cargas que son servidas por una tecnología y
la siguiente.
De lo anterior se concluye, para el gráfico mostrado, que toda la carga con una duración mayor al
30% o aproximadamente 2600 horas, debe servirse por las plantas de carbón, mientras que una
carga de menor duración debe servirse por turbinas de gas. La flecha en la figura muestra como
puede leerse de la curva de duración de carga, la capacidad
carbón. La capacidad óptima de las turbinas a gas
c1 que se necesita de las plantas de
c2 se encuentra con la diferencia de la
capacidad de las plantas de carbón y el máximo de la carga que es la capacidad total necesaria.
107
La curva observada en un mercado incluye el efecto del precio en la demanda. Cuando es usada
junto con las curvas de proyección de las tecnologías disponibles, el método tradicional debería
predecir la combinación de tecnologías observadas en el mercado si el mercado tiene un equilibrio
de largo plazo.
Teniendo claro los conceptos de curva de carga anual y curvas de proyección se procede a
plantear y resolver el ejemplo de estudio.
EJEMPLO: Supóngase un Sistema eléctrico con una demanda de 1000 MW, y con la siguiente
curva de variación de carga:
P(MW)
1000
P=1000 - 0.0761t
333.3MW
8760
T horas
Supóngase que existen 3 tecnologías disponibles de generación: Centrales hidráulicas de pasada,
centrales a vapor-carbón y turbinas a gas operadas con petróleo Diesel, con los costos indicados
en la tabla siguiente:
Tabla 4.1 Costos de capital y operación
COSTO DE INVERSION
ANUALIDAD
COSTO DE OPERACION
CENTRAL
TIPO
($ kW )
C1
Hidro
800
80
19
C2
Carbón
600
60
26
C3
Turbina Gas
250
25
60
($ kW
año )
($ MWh)
Lo que necesitamos resolver es la capacidad óptima de cada tipo de tecnología para satisfacer la
curva de carga.
108
Costo $
Gas
Carbón
b3
b1
a1
Hidro
b2
a2
a3
Factor de Capacidad
MW
Turbina Gas
Dmax
Carga
P1
P2
Turbina Carbón
P3
T1
T2
8760h
La Ecuación para cada tipo de tecnología tiene la forma siguiente:
Anualidad + Costo de operacion × t
Igualando esta ecuación para los tipos a carbón e hidroeléctricas encontramos la frontera entre los
tipos de estos generadores.
80 + 0.019 t = 60 + 0.026 t
⇒
t = 2,857.14 horas
De la curva de carga para 2,857.14 horas, resulta la potencia Hidro óptima de 782.57 MW.
Resolviendo de la misma manera para las centrales a carbón y turbinas a gas, se obtiene:
60 + 0.026 t = 25 + 0.06t
⇒
t = 1,029.41 horas
De la curva de carga para 1,029.41 horas, resulta una potencia de 921.66 MW.
Por lo tanto; la potencia óptima para la central a carbón es:
921.66 MW − 782.57 MW HIDRO = 139.09MW
La diferencia, 78.33 MW son servidos con la central a gas.
Las energías generadas por los generadores son:
109
⎛ 1,029.41 ⎞
Gas : 78.33MW * ⎜
⎟ = 40.31GWh
2
⎝
⎠
⎛ 1,029.41 + 2,857.14 ⎞
Carbón : 139.09 MW * ⎜
⎟ = 270.29GWh
2
⎝
⎠
⎛ 2,857.14 + 8,760 ⎞
Hdro : (782.57 − 333.3) * ⎜
⎟ + (8,760 * 333.3) = 5,529.25GWh
2
⎝
⎠
Los costos de inversión anualizados(incluye los costos fijos) son:
⎛ 25 ⎞
Gas : 78.33MW * ⎜
⎟ = 1.958M $
⎝ 1000 ⎠
⎛ 60 ⎞
Carbón : 139.09MW * ⎜
⎟ = 8.345M $
⎝ 1000 ⎠
⎛ 80 ⎞
Hidro : 782.57 MW * ⎜
⎟ = 62.605M $
⎝ 1000 ⎠
El costo total de inversión es :
1.958 + 8.34 + 62.60 = 72.908M $
El costo anual de operación es:
⎛ 1000MWh ⎞
Gas : 40.31GWh * ⎜
⎟ * (60$ / MW ) = 2.418M $
⎝ 1GWh ⎠
⎛ 1000MWh ⎞
Carbón : 270.29GWh * ⎜
⎟ * (26$ / MW ) = 7.027 M $
⎝ 1GWh ⎠
⎛ 1000MWh ⎞
Hidro : 5529.25GWh * ⎜
⎟ * (19$ / MW ) = 105.055M $
⎝ 1GWh ⎠
El costo total de operación anual es:
2.418 + 7.027 + 105.055 = 114.5M $
Costo Total de operación e inversión anual es:
72.908M $ + 114.5M $ = 187.408M $
Determinando los ingresos por venta de energía y potencia:
110
P(MW)
1000
921.66MW
782.57MW
333.3MW
B1
1,029.41
B2
B3
8760
2,857.14
T horas
Ingresos de los generadores por energía:
⎛ 1000 + 921.66 ⎞
B1 : ⎜
⎟ * 1,029.41 = 989.08GWh
2
⎝
⎠
⎛ 921.66 + 782.57 ⎞
B2 : ⎜
⎟ * (2,857.14 − 1,029.41) = 1,557.43GWh
2
⎝
⎠
⎛ 782.57 + 333.3 ⎞
B3 : ⎜
⎟ * (8760 − 2,857.14 ) = 3,293.41GWh
2
⎝
⎠
Por lo tanto los ingresos por venta a costo marginal es:
VentaT = 989.08GWh *1000 * 60 + 1,557.43GWh *1000 * 26 + 3,293.41*1000 *19 = 162.41M $
Los ingresos por venta de potencia es:
VentaP = 1000MW *1000 * 25$ / KW / año = 25M $
Ingresos totales:
162.41M $ + 25M $ = 187.41M $
Por lo tanto se logra un equilibrio financiero, porque los ingresos totales percibidos (187.41M$) son
iguales a los costos de inversión y operación (187.408M$).
De esta manera se justifica el cargo por capacidad ya que se cubren los costos de inversión de las
unidades de punta. Esto elimina la incertidumbre para la inversión en la suficiencia del sistema ya
que los nuevos productores recuperarían los costos de inversión de sus plantas.
A continuación se presenta una breve comparación de las ventajas y desventajas del cargo por
capacidad:
111
Tabla 4.2 Ventajas y desventajas del cargo por capacidad
Ventaja
Desventaja
Sin cargo por capacidad no habría
estimulo a la inversión
El precio spot remunera perfectamente la
reserva cuando hay cortes de carga.
Suaviza los ingresos de los generadores
4.6
Distorsiona la señal del precio spot
Caso Chileno
En esta sección se presenta un caso de estudio en el cual se hace un pago explicito de potencia,
es decir se remunera en forma separada la energía y la potencia.
El mercado chileno fue el primero en ser reformado en 1982. Está estructurado en torno a un
operador del sistema (CDEC), el que controla el sistema de transmisión, determina el despacho en
forma centralizada en base a criterios de mínimo costo y de optimización del agua embalsada, y de
acuerdo a ello determina el precio de la energía spot para cada hora del día.
El mercado considera tres tipos de precios para la energía. Los grandes clientes contratan a precio
libre, establecido de común acuerdo entre consumidor y proveedor. Los consumidores
regulados, que reciben la energía de una empresa distribuidora, pagan un precio fijo por la energía,
llamado precio nudo, más un cargo por distribución. El precio nudo es fijado en abril y octubre de
cada año por las autoridades y tiene dos componentes, precio de la energía y precio de la
potencia de punta. El primero corresponde al promedio de los costos marginales esperados del
sistema en el horizonte de los próximos 4 años. El segundo corresponde al costo de capital de la
tecnología más eficiente para agregar potencia al sistema, que actualmente corresponde a una
turbina a gas.
La legislación chilena, considera un pago por potencia firme a los generadores que respaldan el
sistema, independiente de sí generan o no. Además, se promueve un nivel de sobre instalación del
sistema determinado por los reguladores mediante el llamado Margen de Reserva Teórico (MRT).
Inicialmente en Chile, la ley utilizaba los conceptos de suficiencia y seguridad para el cálculo del
pago por potencia firme a los generadores. Esta mezcla produjo una serie de desacuerdos entre
los participantes. El nuevo reglamento elimina el pago por seguridad de la potencia firme, y solo
incluye un pago por la suficiencia que cada generador aporta al sistema.
A continuación se presentan una serie de conceptos útiles para la comprensión de este caso de
estudio.
112
a. Pago por potencia firme:
En Chile, el cargo por capacidad se le llama "pago por potencia firme" (potencia firme es el
producto que se paga).
Según el articulo 259 del D.S. N°327 se define como
Potencia firme de un generador, la
potencia máxima que sería capaz de inyectar y transitar en los sistemas de transmisión en las
horas de punta del sistema, considerando su indisponibilidad probable. Aquella corresponderá a la
suma de las potencias firmes de sus propias unidades y de las contratadas con terceros que
operen en sincronismo con el sistema.
Horas de punta:
Por horas de punta se entenderán aquellas horas del año en las cuales existe una mayor
probabilidad de pérdida de carga del sistema, es decir, probabilidad de que la demanda del sistema
sea mayor o igual a la oferta de potencia de las unidades generadoras disponibles en dichas horas.
4.6.1
Estudio de la reglamentación en chile.
Para la realización de este estudio se tomo como base la Ley general de Servicios Eléctricos (DFL)
y el Reglamento de la Ley General de Servicios Eléctricos (DS).
a. Referencias de la Potencia Firme en el DFL N°1 de 1982
Artículo N°96
"En los sistemas eléctricos cuyo tamaño es superior a 1.500 kilowatts en capacidad instalada de
generación se distinguirán dos niveles de precios sujetos a fijación:
1. Precios a nivel de generación-transporte. Estos precios se denominarán "precios de nudo" y se
definirán para todas las subestaciones de generación-transporte desde las cuales se efectúe el
suministro. Los precios de nudo tendrán dos componentes: precio de la energía y precio de la
potencia de punta (...)"
Como se puede observar en el artículo 96, solo hace mención de la existencia de dos bienes
económicos distintos; la energía y la potencia.
b. El decreto supremo N°6 de 1985
En este decreto se estableció el concepto de potencia firme como el aporte de potencia que cada
unidad generadora efectúa a la potencia total, con una probabilidad dada en las horas en que se
produce la demanda máxima de potencia del sistema eléctrico. El nivel de confiabilidad exigido se
encuentra entre el 95% y el 98%.
113
Aquí se aborda el concepto de potencia firme como un aporte a la suficiencia del sistema, ya que
intenta crear un parque de generación capaz de abastecer la máxima demanda con cierta
probabilidad.
c. El decreto supremo N°327 de 1997
Este decreto cambia el significado de potencia firme establecido en el decreto concebido por los
autores de la norma reglamentaria que le precedió.
El artículo más relevante en lo que concierne a este análisis es el articulo 261. y establece que la
potencia firme se obtiene multiplicando la potencia firme preliminar, por la razón entre la demanda
máxima del sistema y la suma de las potencias firmes preliminares. La potencia firme preliminar
de una unidad generadora corresponde a la potencia esperada que la unidad es capaz de aportar
en el caso que el sistema esté operando bajo un nivel de seguridad igual a la probabilidad de
excedencia de la potencia firme. Luego la probabilidad de excedencia de la potencia firme se
calcula de la siguiente manera:
PEPP = 1 - LOLPhp
donde:
PEPP es la probabilidad de excedencia de la potencia firme.
LOLPhp es la probabilidad de pérdida de carga en horas de punta.
Nota:
La probabilidad de excedencia de la potencia firme es igual a la probabilidad que la demanda
máxima del sistema no supere a la oferta de potencia de las unidades generadoras disponibles en
éste período.
El párrafo anterior se puede expresar de la siguiente manera:
⎛ D max ⎞
⎟
PFi = PFPi ⎜
⎜ ∑ PFP ⎟
⎝
⎠
donde:
PFi:
Potencia firme que corresponde al generador i
PFPi:
Potencia firme preliminar que corresponde al generador i
Dmax:
Demanda máxima del sistema
En el cálculo de la potencia firme preliminar se deberá considerar la indisponibilidad mecánica, la
variabilidad hidrológica, el nivel de los embalses y los tiempos necesarios para la partida e
incrementos de carga de las unidades que permitan responder ante fallas de corta duración del
sistema. El reglamento interno de cada CDEC definirá los procedimientos para obtener los
114
parámetros que se utilizarán para representar la indisponibilidad, los cuales podrán basarse en
estadísticas nacionales e internacionales y en las características propias de cada unidad
generadora. El CDEC podrá verificar, en los términos establecidos en el reglamento interno, la
indisponibilidad efectiva de las unidades generadoras, efectuando pruebas de operación de dichas
unidades.
El reglamento interno deberá señalar, explícitamente, los procedimientos a utilizar para definir las
horas de punta del sistema, para calcular la probabilidad de pérdida de carga en horas de punta y
la potencia firme de cada una de las centrales generadoras. Asimismo, deberá señalar la
metodología para asignar a cada unidad la indisponibilidad mecánica, la variabilidad hidrológica, los
efectos del nivel de los embalses y los tiempos necesarios para la partida de unidades e
incrementos de carga. El reglamento interno deberá indicar las fuentes de información estadística
que se utilizarán en el caso de centrales existentes y nuevas."
Como se puede observar aquí se agregan conceptos que no tienen que ver con el aporte a la
suficiencia; estos son:
a. El tiempo de partida
b. Los incrementos de carga
Estos conceptos tienen relación con la seguridad del sistema.
De modo que el significado actual de lo que se entiende por potencia firme, engloba en un único
concepto reglamentario, dos conceptos técnicos distintos e independientes: potencia firme, como
reconocimiento de atributos que aportan a la suficiencia y potencia firme, como reconocimiento de
atributos que aportan a la seguridad del sistema eléctrico.
Otro aspecto importante a considerar es que Según el artículo 277 del DS N° 327, la Comisión
Nacional de Energía (CNE) calculará el precio básico de la potencia en una o más subestaciones.
Para este efecto, determinará el tipo de unidades generadoras más económicas para suministrar
potencia adicional durante las horas de demanda máxima anual del sistema eléctrico.
El precio básico de la potencia de punta será igual al costo marginal anual de incrementar la
capacidad instalada del sistema eléctrico con este tipo de unidades, incrementado en un porcentaje
igual al margen de reserva de potencia teórico del sistema eléctrico.
En sistemas eléctricos con capacidad instalada superior a 100.000 kilowatts, el margen de reserva
teórico se calculará a través de la siguiente expresión:
MRT =
100
− 100
DUPA
donde:
MRT:
Margen de Reserva Teórico
115
DUPA: Disponibilidad anual en porcentaje de las unidades más económicas para suministrar
potencia adicional durante las horas de demanda máxima anual del sistema eléctrico.
En sistemas eléctricos con capacidad instalada de generación inferior o igual a 100.000 kilowatts,
el margen de reserva teórico será calculado considerando además de la disponibilidad indicada, a
través del programa de obras óptimo señalado en el artículo 272 del DS N° 327, los eventuales
efectos de sobreinstalación asociados a Sistemas Medianos de generación.
El concepto de margen de reserva teórico, guarda relación con el concepto de suficiencia del
sistema. La idea es que anualmente se incremente la capacidad instalada en un margen igual al de
la reserva teórica, que es el que define la suficiencia del sistema.
Además la ley define en el articulo 278, 279,280 que para cada una de las subestaciones del
sistema eléctrico, la CNE calculará el precio de nudo de la potencia, aplicando un factor de
penalización al precio básico de la potencia. Para este efecto, la CNE clasificará las subestaciones
en principales y secundarias, según el grado de detalle que utilice para establecer dichos factores
de penalización. El cálculo de los factores de penalización se efectuará considerando las pérdidas
marginales de potencia de las líneas de transmisión operando con un nivel de carga tal, que dicho
sistema permita producir electricidad al menor costo.
El factor de penalización de la potencia de punta será unitario en aquellas subestaciones en que se
establece el precio de la potencia de punta.
Los artículos anteriores pueden expresarse de la siguiente manera:
PP = Pb * fp
donde:
PP:
Precio de potencia firme
Pb:
Precio básico
fp:
Factor de penalización
El precio básico de la potencia de punta es igual al costo marginal anual de incrementar la
capacidad de generación del sistema en el margen de reserva teórico, donde el margen de
reserva teórico corresponde a un sobreequipamiento del parque de generación, que debe existir
para que el sistema eléctrico pueda abastecer la demanda según los estándares de calidad y
seguridad establecidos, ante cualquier eventualidad que se presente.
116
Luego, el precio de potencia firme, corresponde al valor de la potencia que se remunera a las
generadoras según la potencia firme calculada a cada una de estas.
4.6.2
Análisis de la propuesta del nuevo Reglamento.
Debido al problemas que presentaba el cálculo de potencia firme establecido por el decreto
supremo 27, se ha realizado una nueva propuesta para el cálculo de potencia firme.
Se establece que la potencia firme solo incluye el pago por la suficiencia que cada generador
aporta al sistema; eliminando de esta manera el pago por la seguridad del sistema.
El análisis se basa en el estudio del “Proyecto de Reglamento para Transferencias de Potencia
entre Empresas Generadoras”. Una parte de su contenido se enfoca en el cálculo de la potencia
de suficiencia.
A continuación se mencionan algunos conceptos, relevantes para el análisis.
a. Energía de regulación:
Energía afluente de un año hidrológico más energía acumulada al inicio del año hidrológico en
centrales hidroeléctricas con capacidad de regulación.
b. LOLPdm:
Probabilidad de pérdida de carga en condición de demanda de punta del sistema o subsistema.
Este concepto es distinto del LOLPhp definido anteriormente, ya que depende de una demanda de
punta y no de un horario de punta. En otras palabras es la probabilidad de pérdida de carga del
sistema más alta en un período anual.
c. Potencia de Suficiencia:
Potencia asignada a un generador con la cual se determina la remuneración de potencia que
resulte de las transferencias de potencia.
d. Suficiencia de Potencia:
Capacidad de un sistema para abastecer la demanda de potencia en condición de demanda de
punta y corresponde a 1 − LOLPdm . Se debe destacar que este concepto incluye la incertidumbre
asociada a la falta de combustible primario de generación e indisponibilidad forzada.
e. Demanda de Punta:
Promedio del 0.6% de los mayores valores de la curva de carga horaria anual.
117
Obsérvese que el reglamento define de una nueva manera la demanda de punta del sistema. En
este caso, ya no se toma el valor más alto de la curva de carga anual, sino que un promedio del
0.6% de los mayores valores de la curva de carga horaria anual. Con esto se cambia el concepto
de horario de punta del sistema, por demanda de punta del sistema.
f.
Potencia Inicial:
Representa
la potencia que cada generador puede aportar al sistema, en función de la
incertidumbre de su insumo principal de generación.
g. Potencia Preliminar:
Se calcula a partir de un modelo probabilístico, el cual deberá considerar para cada unidad
generadora su potencia inicial, indisponibilidad, periodo de mantenimiento y consumos propios.
Cálculo de la potencia de suficiencia preliminar:
PP = PI .(1 − CP).(1 − IFOR)
donde:
CP:
Consumos propios de una unidad generadora que corresponden a la porción de su
potencia bruta utilizada para el abastecimiento exclusivo de sus servicios auxiliares
PP:
Potencia preliminar
PI:
Potencia inicial
IFOR: Indisponibilidad forzada
La ecuación anterior nos dice que la potencia de suficiencia preliminar será la potencia de
suficiencia inicial reducida en un factor proporcional a los consumos propios de cada unidad
generadora, luego el valor resultante será reducido en un factor proporcional al periodo de
mantenimiento mayor esperado o realizado.
La indisponibilidad forzada se calcula de la siguiente manera:
IFOR =
Toff
Toff + Ton
donde:
Toff : Tiempo medio acumulado en que la unidad se encontró indisponible ya sea por
desconexión forzada o programada. Este tiempo considera el tiempo acumulado en todos
los mantenimientos distintos a los definidos en el programa de mantenimiento mayor
vigente al comienzo de cada año calendario.
118
Tonf : Tiempo medio acumulado en que la unidad se encontró en operación, o disponible,
independiente del nivel de despacho.
La indisponibilidad forzada de una unidad generadora, incorporará todos aquellos eventos en que
la unidad no esté disponible debido a la indisponibilidad técnica de las instalaciones de transmisión
que interconectan la unidad al sistema.
Cálculo de la potencia de suficiencia definitiva:
Corresponde a la potencia de suficiencia preliminar multiplicada por un factor que hace que la
suma de las potencias de suficiencia definitivas sea igual a la demanda de punta del sistema. Es
decir, la potencia de suficiencia definitiva se puede expresar de la siguiente manera:
PDi = PPi .
DP
∑ PPi
donde:
PDi:
Potencia definitiva que corresponde al generador i
PPi:
Potencia preliminar que corresponde al generador i
DP:
Demanda de punta del sistema del sistema
También se modifica el Margen de Reserva Teórico, de ahora en adelante MRTT, que corresponde
al mínimo sobreequipamiento de capacidad de generación del sistema.
En caso que el margen porcentual de potencia sea mayor a 50%, el MRTT será igual a 5%.
En caso que el margen porcentual de potencia sea menor o igual a 50%, el MRTT será
determinado de la siguiente forma:
MRTT = 15% −
M arg en Porcentual de Potencia %
10
donde:
MRTT:
Margen de reserva teórico de potencia.
Margen porcentual de potencia: Cociente entre la suma de las potencias iniciales de las unidades
generadoras y la demanda de punta de cada sistema o subsistema.
Nota:
La mayor parte de este capítulo esta basado en la memoria de Moyano Pérez, Francisco Javier, “Pago por Capacidad
considerando disponibilidad de centrales Eléctricas” y del informe de Morh R, Ricardo “Pago por Capacidad a Generación
con Energías Renovables”.
119
Conclusiones
a. El modelo de mercado basado en costos queda completamente determinado si se vende la
energía a costo marginal y la potencia de punta al costo de la anualidad de la unidad de punta.
b. El cargo por capacidad es en efecto un incentivo real para el ingreso de nuevas centrales al
sistema, porque permite reducir el riesgo de no recuperar los costos de inversión de dichas
centrales. Estos costos de inversión serían considerados en el cargo por capacidad y el monto
total estaría determinado por el importe requerido de la tecnología marginal.
c.
El cargo por capacidad reduce la volatilidad de los precios, porque los precios altos que
deberían ser cobrados a los consumidores en los períodos críticos, se limitarían por el ente
regulador por medio de un precio techo. Los ingresos que dejarían de percibir los generadores
en esta situación se considerarían en el cargo por capacidad, recibiendo de esta manera el
verdadero valor del producto que están entregando.
d. Para que un sistema eléctrico pueda proveer energía en forma confiable son necesarios tres
elementos: Suficiencia, una estabilidad regulatoria razonable y una combinación adecuada de
tecnologías en generación.
e. El cargo por capacidad es un concepto de retribución regulada que remunera la aportación de
potencia firme en el sistema, basándose en los costos fijos de la unidad marginal del sistema.
f.
El cargo por capacidad puede considerarse como un pago por un servicio prestado; es decir un
pago por aportar a la confiabilidad del sistema.
g. Una manera justa de repartir entre las diferentes tecnologías los ingresos recibidos por el cago
por capacidad consiste en realizar el reparto en función de la energía aportada en punta por
cada tecnología.
h. El cargo por capacidad debe considerar dos componentes; una a largo plazo para garantizar el
margen de reserva y la otra a corto plazo para retribuir a las centrales con niveles de
disponibilidad elevados, que garanticen la potencia real de punta.
120
CAPÍTULO 5
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES.
5.1.
Conclusiones.
a. Basado en la teoría de la dualidad, el método de relajación Lagrangiana busca los valores de
los multiplicadores de Lagrange que maximizan la función objetivo del problema dual. Sin
embargo, debido a la no convexidad del problema de la programación horaria, la solución
óptima del problema dual no coincide exactamente con la solución óptima del problema primal.
b. Mediante la técnica de la relajación Lagrangiana se obtienen una cota superior y una cota
inferior del óptimo del problema primal. La cota superior se obtiene de la mejor solución factible
encontrada para el problema primal, y la cota inferior se obtiene de la solución del problema
dual.
c.
La teoría de la Dualidad garantiza que un esquema primal centralizado (donde el operador del
sistema tiene completa información de los costos de producción de cada uno de los
productores y con capacidad de decidir la producción de cada uno de ellos) y un esquema dual
descentralizado (donde cada productor decide cuanto producir, manteniendo en privacidad sus
costos de producción) conducirían a los mismos resultados si no existieran fallas de mercado
que permitan el ejercicio de prácticas anticompetitivas como lo es el poder del mercado,
colusión, etc.
d. Mediante el programa de coordinación hidrotérmica desarrollado se demuestra que la
utilización del recurso hidráulico no es gratis, ya que las centrales hidroeléctricas tienen un
costo denominado costo de oportunidad del agua.
e. En los casos estudiados se determinó que el costo total de producción de energía se
incrementa si existe congestión en alguna línea del sistema de transmisión.
f.
Para que un sistema eléctrico pueda proveer energía en forma confiable son necesarios tres
elementos: Suficiencia, una estabilidad regulatoria razonable y una combinación adecuada de
tecnologías en generación.
g. El cargo por capacidad es un incentivo real para el ingreso de nuevas centrales al sistema,
porque permite recuperar los costos de inversión de dichas centrales.
121
h. El cargo por capacidad es un concepto de retribución regulada que remunera la aportación de
potencia firme en el sistema, basándose en los costos fijos de la unidad marginal del sistema.
i.
Una manera justa de repartir entre las diferentes tecnologías los ingresos recibidos por el cago
por capacidad consiste en realizar el reparto en función de la energía aportada en punta por
cada tecnología.
5.2.
Recomendaciones.
a. Debido a los problemas de convergencia que presentan las funciones fmincom y limprog de
MATLAB, se recomienda la continuidad de este trabajo de graduación con el uso de
herramientas informáticas de optimización más potentes.
b. Como herramienta de optimización se recomienda GAMS (General Algebraic Modeling
System). Es un entorno para definir, analizar y resolver problemas de optimización. Los
elementos mas importantes de GAMS son:
•
Su capacidad para resolver problemas pequeños (docenas de variables y restricciones) y
grandes problemas (miles de variables y restricciones) escribiendo básicamente el mismo
programa. Dispone de una forma compacta y eficiente para escribir bloques de ecuaciones
similares sin mas que escribir "una de ellas".
•
Se separa la definición del modelo de la técnica de resolución. El usuario de GAMS formula
el modelo consistentemente, y una vez expresado en notación GAMS, uno de los programas
disponibles se encarga de generar la solución. Como resultado, el usuario se centra en el
modelado, sin ser perturbado por los problemas técnicos de los algoritmos de resolución.
Esto hace posible un proceso de modelado muy sencillo y agradable.
•
GAMS prácticamente reproduce la descripción del problema de programación matemática.
Como resultado, el código GAMS es casi auto-explicativo para los lectores que tengan una
mínima formación en optimización.
•
GAMS suministra también mecanismos que permiten resolver colecciones de problemas de
optimización estructurados, tales como los de técnicas de descomposición.
c.
Se recomienda abordar el modelaje del sistema de transmisión de El Salvador, para poder
analizar las soluciones que nos proporciona el modelo de coordinación hidrotérrmica planteado
122
en esta tesis (esquema centralizado basado en costos) con el esquema dual basado en
precios. Recuérdese que para poder realizar comparaciones entre ambos esquemas es
necesario que se incorpore un cargo adicional al costo marginal del sistema desarrollado en los
capítulos anteriores.
d. En el análisis desarrollado en esta tesis se ha utilizado un modelo en DC para encontrar los
flujos y simular las pérdidas, se recomienda realizar el análisis y modelaje con un esquema de
reparto de cargas optimo en AC, donde se incluyen de forma implícita las pérdidas de las
líneas.
123
124
Bibliografía
1.
Arroyo S., J. Septiembre 2000. “Modelos y Algoritmos para la explotación optima de la
generación en sistemas eléctricos centralizados y competitivos mediante algoritmos genéticos
y programación lineal entera mixta”. Tesis Doctoral. Departamento de ingeniería eléctrica,
electrónica y automática. Escuela técnica superior de ingenieros industriales. Universidad de
Castilla-La mancha. España.
2.
Alguacil, N., “Modelo multiperiodo de explotación Generación – Red de un sistema
hidrotérmico
de
producción
de
energía
eléctrica
mediante
técnicas
anidadas
de
descomposición”. Enero 2001. Tesis Doctoral. Departamento de ingeniería eléctrica,
electrónica y automática. Escuela técnica superior de ingenieros industriales. Universidad de
Castilla-La mancha. España.
3.
J. Wood and B. F. Wollenberg. 1996. “Power Generation Operation and Control”. Secondedition, John Wiley & Sons, Inc., New York. USA.
4.
Braeutigam, R.R. 1989. “Optimal Policies for Natural Monopolies, Handbook of Industrial
Organization”, Vol. II, Chapter 23, Amsterdam and New York: Elsevier Science Publishers.
5.
Castillo, E., Conejo, A., Pedregal, P., García R. y Alguacil, N., Febrero 2002. “Formulación y
Resolución de Modelos de programación Matemática en Ingeniería y Ciencia.” Departamento
de ingeniería eléctrica, electrónica y automática. Escuela técnica superior de ingenieros
industriales. Universidad de Castilla-La mancha. España.
6.
Conejo, A., Fernández J., “Modelado de un Generador”. Presentaciones para clases.
Departamento de ingeniería eléctrica, electrónica y automática. Escuela técnica superior de
ingenieros industriales. Universidad de Castilla-La mancha. España.
7.
Granada G., Martinez, M., Zaldivar, M., Octubre 2004. “Análisis del despacho del sistema de
generación de El Salvador”. Tesis para optar al grado de Ingeniero Electricista. Facultad de
ingeniería y arquitectura. UCA. El Salvador.
8.
H. Saadat. 1999. “Power System Analysis”. McGraw-Hill. New York. USA.
125
9.
Madrigal, M. M., 2003. “Curso de especialización de diseño de mercados eléctricos.
Investigación de operaciones.” Consejo de Electrificación de América Central (CEAC), Instituto
tecnológico de Morelia. México.
10. Momoh, J. A., 2001. “Electric Power System applications of optimization”. Marcel Dekker.
Basilea.
11. Mohr R. 2005. Informe, “Pago por capacidad a Generación con Energías Renovables“
12. Moyano, F. J 2002 Memoria, “Pago por capacidad considerando disponibilidad de centrales
eléctricas”.
13. Stoft, Steven. 2002. “Power System Economics: Designing Markets For Electricity”. John Wiley
& Sons, Inc., New York. USA.
126
ANEXO A
MODELO DE FLUJO DE CARGAS DC.
El problema general es el de encontrar la relación que existe entre el voltaje y la potencia compleja
asociados a cada nodo de un sistema de potencia, es decir:
Relación entre
V =V e jδ
S = P + jQ
y
para cada nodo del sistema.
Utilizando un modelo de dos nodos como el siguiente:
_
YS
_
I1
_
V1
_
YG
_
I2
_
V2
_
YG
Figura A.1. Modelo π de una línea con dos nodos.
Aplicando la ley de corrientes de Kirchkoff se obtiene:
I 1 = V 1Y G + (V 1 − V 2 )Y S
(Ec. A.1.)
I 2 = V 2 Y G + (V 2 − V 1 )Y S
Además las potencias complejas que se inyectan a cada nodo son:
S 1 = P1 + j Q 1 = V 1 × I 1∗
S 2 = P2 + j Q 2 = V 2 × I 2
(Ec. A.2.)
∗
Sustituyendo y utilizando las admitancias propias y mutuas se obtiene:
(
S 1 = V 1 × I 1∗ = V 1 Y 11∗V 1∗ + Y 12∗V 2∗
∗
(
)
S 2 = V 2 × I 2 = V 2 Y 21∗V 1∗ + Y 22∗V 2∗
)
(Ec. A.3.)
Ahora sustituyendo las admitancias y los voltajes con la siguiente notación:
Y m n = Ym n e
V m = Vm e
j θ mn
(Ec. A.4.)
jδm
Se obtiene:
A- 1
S 1 = P1 + j Q 1 =
2
∑V1 Y1 m Vm e
m =1
2
S 2 = P2 + j Q 2 =
(
j δ 1 −δ m −θ1 m
∑V2 Y2 m Vm e
)
(
j δ 2 −δ m −θ 2 m
)
(Ec. A.5.)
m =1
Separando la parte real e imaginaria de ambas expresiones, para este caso de dos nodos,
finalmente se obtienen las ecuaciones (no lineales) del flujo de cargas:
P n = Vn ×
∑ Yn m Vm cos (δ n − δ m − θ n m )
2
m =1
2
Q n = Vn ×
Donde:
∑ Yn m Vm sen (δ n − δ m − θ n m )
(Ec. A.6.)
m =1
m = 1,2. Para el caso de dos nodos mostrado.
Sustituyendo ahora en forma rectangular el valor de las admitancias y sustituyendo la diferencia de
los ángulos por:
Y n m = G n m + j Bn m
(Ec. A.7.)
δn − δ m = δ n m
Se obtiene:
P n = Vn ×
∑ Vm (Gn m cos δ n m + Bn m sen δ n m )
2
m =1
2
Q n = Vn ×
∑ Vm (Gn m sen δ n m − Bn m cos δ n m )
(Ec. A.8.)
m =1
En general es un problema de 4 × n variables
Vi , Pi , Q i , δ i
para todos los nodos del
sistema, pero dependiendo del tipo de nodo se pueden llegar a conocer 2 × n variables y por lo
tanto las restantes variables desconocidas se encuentran a través de las ecuaciones A.8.
Las variables conocidas en cada tipo de nodo son:
A- 2
Tipo de Nodo.
Variables Conocidas
Nodo P Q
Pi , Q i
Vi , δ i
Pi , Vi
Q i , δi
(o de carga)
Nodo P V
(o de generación)
Nodo slack u
Variables Desconocidas
Vi , δ i
oscilante
Pi , Q i
Tabla. A.1. Tipos de nodos y sus incógnitas.
Realizar un análisis de flujos de cargas con métodos tradicionales exige tiempos de cálculo
elevados para redes grandes que pueden llegar a ser inaceptables para aplicaciones donde haya
que resolver múltiples casos.
En este tipo de aplicaciones la rapidez es muchas veces más importante que la precisión.
Aunque P y Q son funciones no lineales de
aproximada entre
P yδ
V y δ , puede obtenerse una relación lineal
llamada flujos de cargas en DC.
Los supuestos del modelo DC son:
1. Las magnitudes de los voltajes de barra son iguales a 1 p.u.
Vi = 1
2. Se asume que la resistencia serie es mucho menor que la reactancia serie en las líneas de
transmisión r n m <<< x n m (es habitual que r
n m <
xnm
en las redes de transporte).
3
Esto implica que:
Gnm =
rnm
→0
r n m2 + x n m2
Bnm =−
(Ec. A.9.)
xnm
2
rnm + x nm
2
→−
1
xnm
3. Si la diferencia entre ángulos es pequeña se tiene lo siguiente:
(
)
cos δ n − δ m → 1 ,
(
)
sen δ n − δ m → δ n − δ m
(Ec. A.10.)
Por lo tanto sustituyendo estos supuestos en las ecuaciones Ec. A.8. y considerando únicamente el
flujo real se obtiene:
A- 3
∑ Vm (Gn m cos δ n m + Bn m sen δ n m )
2
P n = Vm ×
= 1×
=
m =1
⎛
1
δn − δm
1⎜ 0 cos δ n m +
⎜
xn m
m =1 ⎝
(
2
∑
2 ⎛
⎜
⎜
m =1 ⎝
∑
(δ n
)
⎞
)⎟⎟
(Ec. A.11.)
⎠
− δm ⎞
⎟
⎟
xn m
⎠
En forma general se tiene:
Pn =
∑ B n m [δ n − δ m ]
nodos
(Ec. A.12.)
m
A- 4
ANEXO B
CÓDIGO DE PROGRAMA DE COORDINACION HIDROTERMICA
En este anexo se muestra el código del programa de coordinación hidrotérrmica implementado en
MATLAB.
En la siguiente figura se muestra un esquema de la estructura del programa de coordinación
hidrotérrmica:
hidrotermico
Variables
hidro
Unitcommitment
Lagrange
FLineas
Red
CostoT
LogicaAP
Figura B.1Esquema estructural del programa de coordinación hidrotérmica
Obsérvese en la Figura B.1 que el programa está estructurado en un código principal llamado
hidrotérmico; este llama a las subrutinas que se detallarán a continuación:
a. Variables:
En esta subrutina se establecen las variables necesarias para el funcionamiento del programa tales
como: Demanda, número de periodos, parámetros de las unidades térmicas, etc.
b. hidro:
En esta subrutina se realiza la optimización del recurso hidroeléctrico. Los resultados son: Potencia
hidráulica, Valor del agua y Volumen final, para cada central y para cada periodo.
c. Lagrange:
En esta subrutina se determinan los valores de la matriz binaria de acoplamiento, Lambda y función
Dual.
B- 1
d. LogicaAP:
En esta subrutina se establecen se determinan a que unidades y en que período se les asignará el
costo de arranque y paro.
e. UnitCommitment
En esta subrutina se desarrolla el despacho económico de las unidades térmicas, tomando en
cuenta todas las restricciones. Se determinan los valores de potencia de las unidades térmicas,
costos marginales nodales, etc. Esta subrutina llama a FLineas, Red y costo T.
f.
FLineas:
En esta subrutina se determinan los flujos y las pérdidas en las líneas para cada periodo. Flineas
es llamada por UnitCommitment
g. Red:
En esta subrutina se modela el sistema de transmisión, mediante un modelo DC. Red es llamada
por UnitCommitment
h. CostoT
En esta subrutina en donde se encuentra el despacho económico para cada hora. CostoT es
llamada por UnitCommitment.m.
A continuación se muestra el código del programa:
hidrotermico
%Programa de Coordinación Hidrotérrmica
%
Se utiliza el Método de Relajación Lagrangiana que permite separar el despacho térmico del hidráulico. En general, el
algoritmo es el siguiente:
%
Paso 1: Se optimiza el recurso hidráulico en el periodo de análisis. Siendo este el Problema Maestro para el unit
commitment térmico. Se determina la demanda residual que debe cubrirse con el recurso térmico.
% Paso 2: Se resuelve el subproblema térmico. Para ello, se determina que unidades térmicas deben estar acopladas y se
resuelve el problema primal y dual. Se tiene un despacho económico para cada hora incluyendo restricciones de min y máx.
de potencia, rampas de subida y bajada, reserva rodante y sistema de transmisión utilizando el método DC.
% Paso 3: Se estable la condición de Duality Gap
* Si se cumple la condición, el programa finaliza
* Si no se cumple la condición, el despacho térmico se convierte en el
Problema Maestro de la optimización hidráulica (subproblema). Se vuelve al Paso 1.
B- 2
Se debe observar que un algoritmo de descomposición anidada, donde el Problema Maestro se convierte en Subproblema y
viceversa.
clc;
clear all;
%Inicialización de variables
Variables;
%Valor de inicio
%cmg = [23.5 25.3 23.60] ' ;
%Para 3 periodos
cmg=ones(24,1).*40;
%para 24 periodos
RunCiclo=1;
maxiter =5;
it=0;
JPrimaliter = [ ];
FCDualIterT=[ ];
DualityIter=[ ];
while RunCiclo
%Despacho hidráulico
[Ph, XVol, XVAgua] = hidro(cmg);
for t = 1:T
SumPh(t,:) = sum(Ph(t,:))/100;
end
% Demanda que requiere aportación térmica
DResidual = Demanda*1 - SumPh + PerdidasT;
[U, Lambda, FCDual, PDual] = Lagrange(U, DResidual,cmg);
[yarranque,z,C_ARRANQUE,CCParo]=LogicaAP(U);
%Programación horaria incluyendo limites de potencia min y máx. de unidades, rampas de subida y bajada, reserva
rodante, sistema de transmisión modelación DC, restricciones en flujos de las líneas.
[Xopt, CmgNodo, Rflujo, JPrimal, JPrimalv,PerdidasT] = UnitCommitment(PDual, U);
%Verificación de despacho factible
EsFactible = all((CmgNodo(:,1:T)/100) > 15);
Factible = all(EsFactible ==1); %entrega 1 si es factible
cmg = Lambda/100;
B- 3
it=it+1
Duality=(JPrimal/sum(FCDual))-1
DualityIter=[DualityIter Duality];
JPrimaliter = [JPrimaliter JPrimal];
FCDualIterT=[FCDualIterT sum(FCDual)];
%Criterio de paro
if Duality <=0.025 & Factible==1 & Duality >=0.00
RunCiclo=0;
Else
if it>=maxiter & Duality >=0.00
RunCiclo=0;
else
RunCiclo=1;
end
end
end
disp('El programa ha terminado')
ver = input('Desea ver el reporte? Si(1) No(0)');
if ver==4;
open('reporte.txt') % si se desea ver el reporte al terminar
end
Variables
%Inicialización de Variables
%Definición de Variables Globales
global T
%Periodo de análisis
global Hora
%Hora de análisis
global Pdem
%Demanda Nodal para el periodo T
global Demanda
%Demanda del Sistema para el periodo T
global K
%Número de unidades térmicas
global Kh
%Número de unidades hidráulicas
global Reserva
%Reserva Rodante para el periodo de análisis
global CT
%Función de costo total de unidades térmicas
global Plim
%Matriz de potencias mín. y máx. de unidades térmicas
global A1 B1 C1
%Coeficientes de la función de costo total CT = A + B*Potencia +
global U
%Matriz binaria de Acoplamiento de unidades térmicas en el
global Ph
%Vector de Potencias hidráulicas
global Lambda
%Costo optimo del sistema térmico
global C_ARRANQUE;
%costo de arranque de unidades térmicas
B- 4
C*(Potencia)^2
periodo de análisis
global CCParo;
%costo de paro de unidades térmicas
global tiempo
% vector para referencia para mostrar resultados.
global nL
% Número de líneas
global FLinea2
% Flujos en líneas
global PLinea
% Pérdidas en líneas
%Periodo de análisis
%T=3;
T=24;
%Número de unidades
K = 3;
Kh = 3;
%Número de líneas
nL=4;
%Información de demanda
%Pdem = [0.5 1;2.5 2.5;1.5 1.2]; Demanda Nodal para tres periodos
Pdem=[0.5 0.5; 0.5 0.6; 0.5 0.5; 0.5 1.0; 0.5 1.01; 0.7 1.2; 0.8 1.2; 0.9 1.3 ; 1.3 1.3 ; 1.5 1.8 ; 2.0 2.2 ; 1.9 1.9 ; 1.7 1.8 ; 1.7
1.7; 1.7 1.7; 1.7 1.7; 1.8 1.7; 1.8 1.8; 2.1 2.5 ; 2.2 2.2 ; 1.8 1.8 ; 1.7 1.7 ; 1.3 1.3 ; 1.0 1.2];
Demanda = Pdem(:,1)+Pdem(:,2);
Reserva = .05 * Demanda;
%Datos de Unidades térmicas
%Información de Costos de térmicas
CT = [ 0 2000 5 ; 0 2250 5 ; 0 3500 5];
%Coeficientes de costos de unidades térmicas en función de potencia
% A: Constante, B: Lineal, C: Cuadrático
A1=CT(:,1);
B1=CT(:,2);
C1=CT(:,3);
%Costos de arranque y paro
Carranque=[ 100 60 80 ];
%costo de arranque
Cparo =[ 10 5 5 ];
%costo de parada
%Potencias mínimas y máximas de unidades térmicas
Plim = [ 0.13 1.3 ; 0.25 2.5 ; 0.19 1.9 ];
%Matriz binaria de Acoplamiento de unidades térmicas
U = zeros(T,K);
%vector inicial de pérdidas
B- 5
PerdidasT=zeros(T,1);
%vector para referencia de tabla
tiempo=1:T;
hidro
function [ Ph , XVol , XVAgua ] = hidro (cmg)
%función que realiza la optimización del recurso hidro.
%Definición de Variables Globales
global T
%Periodo de análisis
global Hora
%Hora de análisis
global Pdem
%Demanda Nodal para el periodo T
global Demanda
%Demanda del Sistema para el periodo T
global K
%Numero de unidades térmicas
global Kh
%Numero de unidades hidráulicas
global Reserva
%Reserva Rodante para el periodo de análisis
global CV
%Costo Variable de unidades térmicas
global Plim
%Matriz de potencias min. y máx. de unidades térmicas
global A1 B1 C1
%Coeficientes de la función de costo total CT = A + B*Potencia +
global tiempo
% vector de referencia para mostrar resultados
%Demanda por nodo y periodo
Demandahidro = ( Pdem (: , 1) + Pdem ( : , 2 ) ) *100;
%Vector de restricción de suma de potencia hidráulicas
Apot = [eye(T) eye(T) eye(T) zeros(T) zeros(T) zeros(T) zeros(T) zeros(T) zeros(T)];
%Inicialización de variables de potencia, volumen y derrame
Phini=(ones (T*Kh,1) *1) ' ;
VoliniH1 = ( ones (T,1)*10 ) ' ;
VoliniH2 = ( ones (T,1) *18.50 ) ' ;
VoliniH3 = (ones (T,1) * 27.07 ) ' ;
SHini = ( ones (T * Kh , 1 ) *0 ) ' ;
xo=[ Phini VoliniH1 VoliniH2 VoliniH3 SHini ] ' ;
%Limites min y máx. de potencia y volumen
%Vectores de potencia
Phxmin = ( ones ( T , 1 ) * 0 ) ' ;
Phmin = [ Phxmin Phxmin Phxmin ] ;
Ph1max = ( ones ( T , 1 ) * 30.024 ) ' ;
Ph2max = ( ones (T , 1 ) * 40.032 ) ' ;
Ph3max = (ones(T,1)*80.064)';
Phmax = [Ph1max Ph2max Ph3max];
%Vectores de volumen
Volxmin = 5;
B- 6
C*(Potencia)^2
Volmin = (ones(T,1)*Volxmin)';
Vmin = [Volmin Volmin Volmin];
Vol1max = (ones(T,1)*10)';
Vol2max = (ones(T,1)*20)';
Vol3max = (ones(T,1)*30)';
Vmax = [Vol1max Vol2max Vol3max];
%Vectores de derrame
Smin = (ones(Kh*T,1)*0)';
Smax = (ones(Kh*T,1)*28.8)';
%Vector de límites mínimos y máximos
lb=[Phmin Vmin Smin]';
ub=[Phmax Vmax Smax]';
%Matriz que refleja las restricciones de volumen y potencia durante el periodo de análisis
%Matrices auxiliares
aux = diag(ones(T,1))-diag(ones(T-1,1)*1,-1);
idenT = eye(T);
zerosT = zeros(T);
%Matrices eficiencia de unidades
Eficiencia = 1/2.78;
Efh=diag(ones(T,1)*Eficiencia);
%Matriz de coeficientes de balance hidráulico
AH1 = [Ef. zerosT aux zerosT idenT zerosT];
AH2 = [-Ef. Ef. zerosT aux zerosT -idenT idenT zerosT];
AH3 = [zerosT -Efh Efh zerosT zerosT aux zerosT -idenT idenT];
AH = [AH1; AH2; AH3];
% Matriz sparse de coeficientes
A=sparse(AH);
%Influjo para todos los embalses y para todas las horas.
influjo =2;
volh1ini = 10;
volh2ini = 18.50;
volh3ini = 27.07;
%Matriz de constantes de restricciones de balance hidráulico
influjoT=ones(1,T-1).*influjo;
b1=[influjo+volh1ini influjoT];
b2=[influjo+volh2ini influjoT];
b3=[influjo+volh3ini influjoT];
B- 7
b=[b1 b2 b3]';
f=[-cmg; -cmg; -cmg; zeros(T*Kh,1); zeros(T*Kh,1)];
options=optimset('LargeScale','on','MaxIter',[30]);
[x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog(f,Apot,Demandahidro,A,b,lb,ub,xo,options);
Ph = reshape(x(1:T*Kh,1),T,Kh);
Ph1=[tiempo;Ph'];
diary 'reporte.txt'
fid=fopen('reporte.txt','w'); %para actualizar resultados
fprintf('\n Tabla I. Potencia Hidráulica de cada maquina.')
fprintf('\n\n Hora
fprintf('\n
T
Unidad(i) MW\n')
1
2
3\n')
fprintf('____________________________________________\n\n')
fprintf(' %4.0f
%6.2f
%6.2f
%6.2f\n',Ph1)
XVol = reshape(x(T*Kh+1:(Kh-1)*T*Kh,1),T,Kh);
XVol1=[tiempo;XVol'];
fprintf('\n Tabla II. Volumen Final de cada periodo para cada maquina.')
fprintf('\n\n Hora
fprintf('\n
T
Volumen(i) m^3\n')
1
2
3\n')
fprintf('_______________________________________________________________\n\n')
fprintf(' %4.0f
%6.2f
%6.2f
%6.2f\n',XVol1)
Derrame = reshape(x((Kh-1)*T*Kh+1:Kh*T*Kh,1),T,Kh);
Derrame1=[tiempo;Derrame'];
fprintf('\n
Tabla III. Valor del derrame.')
fprintf('\n\n Hora
fprintf('\n
T
Derrame(i) Mm^3\n')
1
2
3\n')
fprintf('____________________________________________\n\n')
fprintf(' %4.0f
%6.2f
%6.2f
%6.2f\n',Derrame1)
VAgua = reshape(lambda.eqlin,T,Kh);
VAgua1=[tiempo;VAgua'];
fprintf('\n
Tabla IV. Valor del Agua.')
fprintf('\n\n Hora
fprintf('\n
T
Valor del Agua(i) en $/Hm^3\n')
1
2
3\n')
fprintf('_________________________________________________\n\n')
fprintf(' %4.0f
%6.2f
%6.2f
%6.2f\n',VAgua1)
XVAgua = VAgua*Eficiencia;
XVAgua1=[tiempo;XVAgua'];
fprintf('\n
Tabla V. Valor del Agua .')
fprintf('\n\n Hora
fprintf('\n
T
Valor del Agua(i) en $/MWh \n')
1
2
3\n')
B- 8
fprintf('_________________________________________________\n\n')
fprintf(' %4.0f
%6.2f
%6.2f
%6.2f\n',XVAgua1)
diary off
Lagrange
%Definición de Variables Globales
global T
%Periodo de análisis
global Hora
%Hora de análisis
global Pdem
%Demanda Nodal para el periodo T
global Demanda
%Demanda del Sistema para el periodo T
global K
%Numero de unidades térmicas
global Kh
%Numero de unidades hidráulicas
global Reserva
%Reserva Rodante para el periodo de análisis
global Plim
%Matriz de potencias min y max de unidades térmicas
global A1 B1 C1
%Coeficientes de la función de costo total CT = A + B*Potencia +
global tiempo
%vector de referencia para mostrar resultados
C*(Potencia)^2
%Variables de Control
%Multiplicadores de Lagrange y paso de iteración: alfa
Lambda = cmg*100;
alfa = zeros(T,1);
alfapos = 0.01*1000;
alfaneg = 0.002*1000;
%Potencias iniciales de unidades térmicas
PT = zeros(T,K);
Plambda = zeros(T,K);
%Primera actualización de Lambda
Gradini=DResidual;
% DEFINICION DEL GRADIENTE.
if Gradini>0
alfa = alfapos;
else
alfa = alfaneg;
end
Lambda = Lambda + Gradini*alfa;
for contador =1:1500
%Cálculo de la potencia para cada periodo y unidad térmica en función del Lambda calculado { P(Lambda) }
for k = 1:K
B- 9
for t = 1:T
Plambda(t,k)=(Lambda(t,1)-B1(k,1))/(2*C1(k,1));
end
end
% Comparación P(Lambda) con los limites max y min de cada unidad
for k = 1:K
for t = 1:T
if Plambda(t,k) <= Plim(k,1)
Plambda(t,k) = Plim(k,1);
elseif Plambda(t,k) >= Plim(k,2)
Plambda(t,k) = Plim(k,2);
end
end
end
%Decisión si unidad térmica debe estar encendida o apagada
Calculo D = Costo - Lambda * P(Lambda)
for k = 1:K
D(:,k) = A1(k,1) + B1(k,1)*Plambda(:,k) + C1(k,1)*Plambda(:,k).*Plambda(:,k)- Lambda.*Plambda(:,k);
end
% Formación de la Matriz de Binaria en línea o fuera de línea
for k = 1:K
for t = 1:T
if D(t,k) < 0
U(t,k) = 1;
else
U(t,k) = 0;
end
end
end
% Formación de la Matriz de Potencia de cada unidad de acuerdo a si esta en línea o no
PT = Plambda.*U;
PDual =PT;
for t = 1:T
SumPT(t,:) = sum(PT(t,:));
end
%Calculo del Gradiente dq/dL
Grad = DResidual - SumPT;
%Cálculo de valor de función dual
% Se calcula el costo de cada unidad para cada periodo
B- 10
for t = 1:T
for k = 1:K
if PT(t,k)== 0
FCosto(t,k) = 0;
else
FCosto(t,k) = A1(k,1) + B1(k,1)*PT(t,k) + C1(k,1)*PT(t,k).*PT(t,k);
end
end
end
FCostoH = zeros(T,1);
for t = 1:T
for k = 1:K
FCostoH(t,1) = FCostoH(t,1) + FCosto(t,k);
end
end
FCDual = FCostoH + Lambda.*Grad;
%Actualización del paso de iteración
for t = 1:T
if Grad(t,1) >= 0
alfa(t,1) = alfapos;
else
alfa(t,1) = alfaneg;
end
end
%Actualización de Lambda
alfa;
Lambda = Lambda + Grad.*alfa;
end
Lambda = Lambda + Grad.*alfa;
U;
U1=[tiempo;U'];
diary 'reporte.txt'
fprintf('\n Tabla VI. Variable de Binaria de Acoplamiento.')
fprintf('\n\n Hora
fprintf('\n
T
U(j) \n')
1
2
3\n')
fprintf('_________________________________________________\n\n')
fprintf(' %4.0f
%6.0f
%6.0f
%6.0f\n',U1)
diary off
B- 11
LogicaAP
function [yarranque,z,C_ARRANQUE,CCParo]=LogicaAP(U)
%Función que asigna el costo de arranque y paro a las unidades térmicas.
%Definición de Variables Globales
global T
%numero de periodos
global K
%numero de unidades térmicas
global C_ARRANQUE;
%costos de arranque de unidades térmicas
global CCParo;
%costos de paro de unidades térmicas
global tiempo;
%vector de referencia para mostrar resultados
%Matriz de costo de arranque
a1=ones(T,1)*100;
a2=ones(T,1)*80;
a3=ones(T,1)*60;
aranq=[a1 a2 a3];
%Matriz de costo de arranque
c1=ones(T,1)*10;
c2=ones(T,1)*5;
c3=ones(T,1)*5;
paro=[c1 c2 c3];
%Determinación de matriz binara de arranque (yarranque)
for t=1:T
for k=1:K
if t==1
Y(t,k)=U(t,k);
else
Y1(t,k)=U(t,k)-U(t-1,k);
end
end
end
yaux=[Y;zeros(T-1,K)];
yarranque=Y1+yaux;
yarranqueAux=yarranque;
for t=1:T
for k=1:K
if yarranque(t,k)<=0;
yarranque(t,k)=0;
else
yarranque(t,k)=1;
B- 12
end
end
end
%Determinación de matriz binara de paro (z)
yAuxparo=yarranque;
z=yAuxparo-yarranqueAux;
cArranqueAux=yarranque.*aranq;
CArranq =cArranqueAux;
CparoAux=z.*paro;
Cparoaux=CparoAux;
% Asignación de costo de arranque
for n=1:T
ff(n,1)=sum(CArranq(n,:));
end
C_ARRANQUE=ff;
% Asignación de costo de paro
for m=1:T
Cparo(m,1)=sum(Cparoaux(m,:));
end
CCParo=Cparo;
%Resultados
yfinal=[tiempo;yarranque'];
diary 'reporte.txt'
fprintf('\n
Tabla VII. Variable Binaria de Arranque.')
fprintf('\n\n Hora
fprintf('\n
T
Y(j) \n')
1
2
3\n')
fprintf('_________________________________________________\n\n')
fprintf(' %4.0f
%6.0f
%6.0f
%6.0f\n',yfinal)
zfinal=[tiempo;z'];
fprintf('\n
Tabla VIII. Variable Binaria de Paro.')
fprintf('\n\n Hora
fprintf('\n
T
Z(j) \n')
1
2
3\n')
fprintf('_________________________________________________\n\n')
fprintf(' %4.0f
%6.0f
%6.0f
%6.0f\n',zfinal)
B- 13
diary off
UnitCommitment
function [Xopt, CmgNodo, Rflujo, JPrimal, JPrimalv,PerdidasT] = UnitCommitment(PT, U)
% Unit Commitment Térmico
%Definición de Variables Globales
global T
%Periodo de análisis
global Hora
%Hora de análisis
global Pdem
%Demanda Nodal para el periodo T
global Demanda
%Demanda del Sistema para el periodo T
global K
%Numero de unidades térmicas
global Kh
%Numero de unidades hidráulicas
global Reserva
%Reserva Rodante para el periodo de análisis
global Plim
%Matriz de potencias min y max de unidades térmicas
global A1 B1 C1
%Coeficientes de la función de costo total CT = A + B*Potencia +
global Lambda
%Costo optimo del sistema térmico
global tiempo
%referencia para tabla
global nL
%número de líneas
global FLinea2
%flujos en líneas
global PLinea
%pérdidas en líneas
%Consideraciones de sistema de transmisión
%Restricciones de flujo máximo en las líneas de transmisión
%Variables angulares
angulos = 0.1*[ 1 1 1]';
Afmin = 10*[1 -1 0;1 0 -1;0 1 0;0 0 1];
Afmax = -Afmin;
Adelta = [Afmin;Afmax];
%Caso Base
Flmin = 5.5;
%Caso con congestión
%Flmin = 2.0;
Fmin = Flmin*[1 1 1 1]';
Fmax = Fmin;
bf = [Fmin;Fmax];
%Despacho Económico de unidades térmicas
B- 14
C*(Potencia)^2
options = optimset('LargeScale','off');
CmgNodo = [ ];
JPrimal = 0;
Xopt = zeros(6,1);
Rflujo =[ ];
FLinea1=[ ];
PLinea=[ ];
for t=1:T % Numero de periodos
Hora = t;
Potini = (PT(t,:).*U(t,:))';
xo = [Potini; angulos];
lbpot = Plim(:,1).*U(t,:)';
lbang =-pi*[1 1 1]';
lb = [lbpot; lbang];
ubpot = Plim(:,2).*U(t,:)';
ubang =-lbang;
ub = [ubpot; ubang];
%Consideraciones de Rampa
if t==1
Po = zeros(K,1);
else
Po = Xopt(1:K,t);
end
AS=eye(K);
AB=-eye(K);
ASB=[AS;AB];
RS=[1 2.5 1.9]';
RB=[1.0 2.5 1.9]';
bs=RS+Po;
bb=RB-Po;
bsb=[bs;bb];
%Restricciones de desigualdad: Flujos líneas y rampas de subida y bajada, reserva
Amw = [zeros(8,K);ASB;ones(1,K)];
Aflujos = [Adelta; zeros(2*K,3);zeros(1,3)];
A = [Amw Aflujos];
b1 = [bf; bsb];
B- 15
bpot= sum(Plim(:,2).*U(t,:)')- Reserva(t);
b = [b1;bpot];
[X,J,exitflag,Output,Lagrange] = fmincon(@CostoT,xo,A,b,[],[],lb,ub,@Red,options)
X;
CmgNodo = [CmgNodo Lagrange.eqnonlin];
Rflujo = [Rflujo Lagrange.ineqlin];
[FLinea,PerdidasLinea] = FLineas(X);
FLinea1=[FLinea1 FLinea];
PLinea=[PLinea PerdidasLinea];
SumPerdidas(:,t)=sum(PLinea(:,t)./100);
JPrimal = JPrimal + J;
JPrimalv(t) = J;
Xopt = [Xopt X];
end
%Resultados
format short;
PerdidasT=SumPerdidas';
CmgNodo;
CmgNodal=CmgNodo(:,1:T);
diary 'reporte.txt'
Xopt;
PTer =Xopt(1:3,2:T+1)*100;
PTer1=[tiempo;PTer];
fprintf('\nTabla IX. Potencia Térmica para cada periodo .')
fprintf('\n\n Hora
fprintf('\n
T
Unidad(j) en MW \n')
1
2
3\n')
fprintf('_________________________________________________\n\n')
fprintf(' %4.0f
%6.2f
%6.2f
%6.2f\n',PTer1)
Angulos=Xopt(K+1:K+3,2:T+1);
Angulos1=[tiempo;Angulos];
fprintf('\nTabla X. Agulos en cada periodo .')
fprintf('\n\n Hora
fprintf('\n
T
Angulo(Nodo) en rad \n')
1
2
3\n')
fprintf('_________________________________________________\n\n')
fprintf(' %4.0f
%6.2f
%6.2f %6.2f\n',Angulos1)
B- 16
FLinea2=FLinea1.*-1;
FLinea3=[tiempo;FLinea2];
fprintf('\nTabla XI.
Flujos de Potencia en las líneas.')
fprintf('\n\n Hora
fprintf('\n
Flujo(MW) \n')
T
F1-2
F1-3
F2-4
F3-4\n')
fprintf('_________________________________________________\n\n')
fprintf(' %4.0f
%7.2f %7.2f %7.2f %7.2f\n',FLinea3)
FLinea1;
PLinea2=[tiempo;PLinea];
fprintf('\nTabla XII.
Pérdidas en las líneas.')
fprintf('\n\n Hora
fprintf('\n
(MW) \n')
T
P1-2
P1-3
P2-4
P3-4\n')
fprintf('_________________________________________________\n\n')
fprintf(' %4.0f
%7.2f %7.2f %7.2f %7.2f\n',PLinea2)
PLinea;
CmgNodal2=[tiempo;CmgNodal./100];
fprintf('\nTabla XIII.
fprintf('\n\n Hora
fprintf('\n
T
Costo Marginal Nodal.')
($/MWh) \n')
Nodo1 Nodo2
Nodo3 Nodo4\n')
fprintf('_________________________________________________\n\n')
fprintf(' %4.0f
%6.2f %6.2f %6.2f %6.2f\n',CmgNodal2)
Rflujo;
Rflujo1=Rflujo(1:2*nL,:);
Rflujo2=[tiempo;Rflujo1./100];
fprintf('\nTabla XIV.
fprintf('
Multiplicador de Lagrange\n')
Correspondiente a restricción de Flujos.')
fprintf('\n\n Hora
fprintf('\n
T
($/MWh) \n')
F1-2
F1-3
F2-4 F3-4 F2-1
F3-1
F4-2 F4-3\n')
fprintf('____________________________________________________________________________\n\n')
fprintf(' %4.0f
%6.2f %6.2f %6.2f %6.2f %6.2f %6.2f %6.2f %6.2f\n',Rflujo2)
RflujoR=Rflujo(2*nL+1:2*nL+2*K+1,:);
RflujoR1=[tiempo;RflujoR./100];
fprintf('\nTabla XV.
fprintf('
Multiplicador de Lagrange\n')
Correspondiente a restricción de Rampa y Reserva.')
fprintf('\n\n Hora
fprintf('\n
T
($/MWh) \n')
RS1
RS2
RS3
RB1
RB2
RB3
Reserva\n')
fprintf('____________________________________________________________________________\n\n')
fprintf(' %4.0f
%6.2f %6.2f %6.2f %6.2f %6.2f %6.2f %6.2f\n',RflujoR1)
diary off
Jprimal
B- 17
FLineas
function [FLinea,PerdidasLinea] = red(X)
% función que encuentra los flujos y pérdidas en líneas
%Definición de Variables Globales
global K
%número de unidades termicas
global Hora
%hora de análisis
global T
%número de periodos
global nL
%número de líneas
x=X(K+1:K+3);
R=0.027;
Rpu=R*ones(nL,1);
S=10;
knm=R/(R^2+(inv(S))^2);
%constante de perdidas
ang = x;
Suspu=S*ones(nL,1);
Msus=diag(Suspu);
MIncidencia=[1 1 0 0;-1 0 1 0;0 -1 0 1];
MIncidenciaT=MIncidencia';
M=Msus*MIncidenciaT;
FlujoLineas=-M*ang*100;
FLinea=FlujoLineas;
PerdidasLinea=2*(knm*(ones(nL,1)-cos(MIncidenciaT*ang))*100);
Red
function [c, ceq] = Red(Var)
%Función que simula el sistema de transmisión para cada hora
%Definición de Variables Globales
global T
%Periodo de análisis
global Hora
%Hora de análisis
global Pdem
%Demanda Nodal para el periodo T
global Ph
%Vector de potencias hidráulicas
global U
%Matriz binaria de Acoplamiento de unidades termicas en el periodo de análisis
global K
%numero de unidades termicas
t = Hora;
%Diferenciación de variables
Potaux = Var(1:K,1);
Pot = Potaux.*U(t,:)';
Phpu = Ph/100;
B- 18
Ang = Var(K+1:K+3,1);
DNodal = [zeros(2,1);Pdem(t,:)'];
c = [ ];
ceq = [Pot(1,1) + Phpu(t,1) + 10*(Ang(2)-Ang(1)) + 10*(Ang(3)-Ang(1)) - 2.5*(1-cos(Ang(2)-Ang(1))) - 2.5*(1-cos(Ang(3)Ang(1)));
Pot(2,1) + Phpu(t,2) + 10*(Ang(1)-Ang(2)) + 10*(-Ang(2)) - 2.5*(1-cos(Ang(1)-Ang(2))) - 2.5*(1-cos(-Ang(2)));
Pot(3,1) + Phpu(t,3) + 10*(Ang(1)-Ang(3)) + 10*(-Ang(3)) - 2.5*(1-cos(Ang(1)-Ang(3))) - 2.5*(1-cos(-Ang(3)))Pdem(t,1);
+ 10*Ang(2) + 10*Ang(3) - 2.5*(1-cos(Ang(2))) - 2.5*(1-cos(Ang(3)))-Pdem(t,2)];
CostoT
function CPrimal = Costo(Pot)
%Función que encuentra el despacho económico para cada hora
%Variable global
global Hora;
%hora de análisis
global C_ARRANQUE;
%costo de arranque de unidades térmicas
global CCParo;
%costo de paro de unidades termicas
global K;
%numero de unidades termicas
global A1 B1 C1;
%Coeficientes de la función de costo total CT = A + B*Potencia +
global CT;
%Función de costo total de unidades termicas
for k = 1:K
if Pot(k,1)== 0
FCosto1(k,1) = 0;
else
FCosto1(k,1) = A1(k,1)+B1(k,1)*Pot(k,1)+C1(k,1)*Pot(k,1).*Pot(k,1);
end
end
FCostoH = 0;
for k = 1:K
FCostoH = FCostoH + FCosto1(k,1);
end
CPrimal=FCostoH+C_ARRANQUE(Hora)+CCParo(Hora);
B- 19
* (Potencia)^2