Resumen de Formulas Utiles del Metodo Alkire y Foster

Resumen de Formulas Utiles del
Metodo AF
Slides prepared by Maria Emma Santos
CONICET-UNS & OPHI
Matriz de Logros
Vector de umbrales de privacion y
vector de ponderaciones
Dimensions
• Donde xij es el logro del
x11 ... x1d  Ge

individuo i en el atributo o
x
n
...
x
dimension j .
2d  t
 21
e
• zj es el umbral de privacion X   ...



del atributo o dimension j.
... 

• wj es la ponderacion del
 x n1 ... x nd 
atributo o dimension j tal
que:
z  (z1 , z 2 ,......., z d )
w  ( w1, w2 ,......., wd )
w1+w2+...+wd=d
Matriz de Privaciones
Dimensiones
Donde
• gij0=1 si xij<zj (con privacion)
• gij0=0 si xij≥zj (sin privacion)
• O equivalentemente:
 z j  xij 
g 
 z j 


0
ij
0
g
... g 


... g 
g

g 0   ...


... 

0 
 g n01 ... g nd

0
11
0
21
0
1d
0
2d
z  (z1 , z 2 ,......., z d )
G
e
n
t
e
Tasas de Privacion Dimensionales
No-Censuradas
• Son las tasas de privacion por indicador, ie. la
proporcion de personas que estan privadas en esa
dimensions.
• Es simplemente la media de cada columna de la matriz
de privacion:
H j  ( g10j  g20 j  ...  gnj0 ) / n
Matriz de Privacion Ponderada
Notar que utilizamos la misma notacion que para la
matriz de privacion (sin ponderar) a proposito.
Donde
0
0


g
...
g
0
11
1
d
• gij =wj si xij<zj (privado)

0
0 
• gij0=0 si xij≥zj (no-privado)
 g 21 ... g 2 d 
• O equivalentemente:
 z j  xij 
g  wj 
 z j 


0
ij
0

g 0   ...


... 

0 
 g n01 ... g nd

z  (z1 , z 2 ,......., z d )
w  ( w1, w2 ,......., wd )
Vector de Conteo de Privaciones
Donde el ‘conteo de privacion’ or puntaje de
cada persona es la suma ponderada de sus
privaciones
 c1 
• ci=gi1+....+gid
c 
 2
c 
 
 
 cn 
Identificacion de los pobres
Dado un umbral de pobreza k (0<k<d),
comparamos el conteo de privaciones con el
umbral k y luego censuramos las privaciones
de aquellos que no fueron identificados como c1 
c 
pobres.
2

rk ( xi ; z ) = 1
if
ci ³ k
pobre c 
 
 
rk ( xi ; z ) = 0
if
ci < k
no - pobre  
 cn 
Matriz de Privacion Censurada y Vector
de Conteo de Privaciones
Esta es la matriz clave (y el vector) con los cuales
calculamos el conjunto de indicadores AF para M0
 g110 (k ) ... g10d (k ) 
 0

0
 g 21 (k ) ... g 2 d ( k ) 

g 0 ( k )   ...


... 

0
 g n01 (k ) ... g nd
( k ) 
Donde
•
•
•
•
 c1 ( k ) 
 c (k ) 
 2 
c(k )  





 cn ( k ) 
 c1 (k ) / d 
 c (k ) / d 
 2

c( k ) / d  





 cn (k ) / d 
gij0(k)=g0 (es decir =(wj)) si ci≥k (privado & pobre)
gij0(k)=0 si ci<k (privado o no, pero no-pobre)
Tambien: ci(k)=ci si ci≥k y ci(k)=0 si ci<k
Tambien es util expresar el conteo de privaciones como una
proporcion del total de dimensiones c(k)/d.
Primero nos centramos en la medida
M0 y todos sus indicadores
relacionados
Tasa de Recuento de la Pobreza
Multidimensional
Es la proporcion de personas que han sido identificadas
como pobres:

H
n
i 1
 k ( xi ; z )
n
q

n
Donde q es el numero de personas pobres
La tasa de recuento es llamada a veces la incidencia de
la pobreza, o tasa de pobreza
Intensidad (o amplitud) de la Pobreza
MD
• Es la proporcion promedio de privaciones en las cuales
los pobres estan privados.

A
n
c
(
k
)
i
i 1
dq
Notese que es simple de calcular:
1) Se calcula la proporcion del total de privaciones que
experimenta cada persona (ci(k)/d). Notar que debemos
utilizar el vector de conteo censurado, ie: ignoramos las
privaciones de los no-pobres.
2) Se toma el promedio de esas proporciones (por eso es
que se divide por q, el numero de personas pobres)
Pobreza Multidimensional: M0
(Tasa de Recuento Ajustada)
• Es el producto de la incidencia y la intensidad.
𝑀0 = 𝐻 × 𝐴
• O equivalentemente, es la media de la matriz
(ponderada) de privaciones censurada:
M 0  ( g 0


(k )) 
n
d
i 1
j 1
nd
0
ij
g (k )
Como interpretamos M0?
• M0 es la media de la matriz (ponderada) de
privaciones censuradas, es decir, es la suma de
todas las entradas no-nulas de la matriz cada una
de las cuales esta ponderada por su
correspondiente peso) dividido el total de
entradas de la matriz (personas x indicadores).
Como interpretamos M0?
• Matriz Censurada de Privaciones
Ponderada:
(1) El numero total de entradas constituye el
numero total de privaciones que la sociedad
puede experimentar (indicadores x personas).
(2) El numero total de entradas no-negativas de la
matriz es el numero total de privaciones
ponderadas que los pobres efectivamente
experimentan.
Como interpretamos M0?
• M0 Interpretacion
M0 es el ratio de (2)/(1), ie. La media de la
matriz censurada de privaciones ponderada.
Entonces, ofrece la proporcion de privaciones
ponderadas que los pobres exprimentan en esa
sociedad, del total de privaciones que podrian
experimentar.
Como descomponemos M0 por
indicadores y dimensiones?
Visualmente…
Peo
1
Ye.
Ed
Child
Attend
.
1.67 1.67
Nutr Mor Elec
Wat Sani Floor
Cook. Assets
Fuel
0
0
0
0.56
0
0.56
0
0
2
0
0
1.67
1.67
0
0
0
0
0
0
3
0
0
0
0
0.56
0.56
0.56
0.56
0.56
0.56
4
1.67
0
0
1.67
0.56
0.00
0.56
0
0.56
0
5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Cual es la contribucion de la nutricion en
particular?
Como descomponemos M0 por
indicadores y dimensiones?
Hay dos indicadores utiles pero diferentes:
1) Tasas de privacion censuradas
2) Contribuciones por indicador (y por dimension)
Tasas de Privacion Censuradas
• En que difieren de las tasas de privacion no-censuradas?
• Las tasas no censuradas son la proporcion de personas
que estan privadas en determinado indicador.
• Las tasas censuradas son el % de personas que son
pobres y estan privadas en determinado indicador.
• Cuidado! Las tasas censuradas no son el % de personas
pobres privadas en determinado indicador.
Tasas de Privacion Censuradas
• Son simplemente la media de cada columna de la
matriz censurada de privaciones ponderada dividido
por la ponderacion del indicador.
H
C
j


n
i 1
0
ij
g (k )
w jn
• Notar que M0 es la suma ponderada de las tasas de
privacion censuradas.
 wj  C
M 0   j 1  H j
 d 
d
Contribucion por Indicador
• Es la proporcion del total de la pobreza que
proviene de una privacion en particular.
• Recordemos de la lamina anterior:
 wj  C
M 0   j 1  H j
 d 
d
• Entonces, la contribucion del indicador j a la
pobreza total esta dada por:
Cj 
(w j / d )H
M0
C
j
Contribucion por Indicador y Dimension
• Notar: La suma de las contribuciones de todos los
indicadores debe dar 1 (o 100%).
• Cuando la contribucion a la pobreza de un indicador en
particular excede ampliamente su correspondiente
ponderacion, esto sugiere que hay una privacion relativa
alta en ese indicador. Los pobres estan privados en ese
indicador mas que en otros.
• Si hay mas de un indicador en una dimension, la
contribucion de la dimension es simplemente la suma de
las contribuciones de todos los indicadores de esa
dimension.
Como descomponemos M0 en
subgrupos de poblacion?
Visualmente...
Peo
1
Ye.
Ed
Child
Attend
.
1.67 1.67
GROUP A
Nutr Mor Elec
Wat Sani Floor
Cook. Assets
Fuel
0
0
0
0.56
0
0.56
0
0
Depr.
Count
4.44
2
0
0
1.67
1.67
0
0
0
0
0
0
3.33
3
0
0
0
0
0.56
0.56
0.56
0.56
0.56
0.56
3.33
4
1.67
0
0
1.67
0.56
0.00
0.56
0
0.56
0
5
5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
GROUP B
Decomposicion en subgrupos de
poblacion
Si toda la poblacion X (de tamaño n) es dividida en dos
subgrupos X1 (de tamaño n1) and X2 (de tamaño n2),
entonces M0 es la suma de M0 en cada subgrupo:
 n1 
 n2 
M 0 ( X ; z )    M 0 ( X 1; z )    M 0 ( X 2 ; z )
n
n
Entonces, la contribucion del subgrupo i a la pobreza
total es
ni / n  M 0 ( X i ; z )

CGi 
M 0 ( X ; z)
Descomposicion en Subgrupos de
Poblacion
• Notar que la suma de las contribuciones de todos
los grupos debe ser 1 (o 100%).
• Cuando la contribucion a la pobreza de una region
o algun otro grupo poblacional excede
ampliamente su contribucion poblacional, esto
sugiere que hay un importante desbalance en la
distribucion de la pobreza entre las personas, con
algunas regiones o grupos cargando con una
proporcion muy desigual.
Generalizando las formulas de manera
que tambien se apliquen a M1 y M2
gα Matrix

 g11
... g1d 
 
 
 g 21 ... g 2 d 

g    ...


... 

 
 g n1 ... g nd

Donde

 z j  xij 
gij  w j 
if
 z j 


gij  0 if
xij  z j

xij  z j
Matriz gα Censurada
(post-identificacion, se hace exactamente igual que con M0)


 g11
(k ) ... g1d (k ) 
 


 g 21 (k ) ... g 2 d (k ) 

g  ( k )   ...


... 


 g n1 (k ) ... g nd
(k ) 
Donde
gij ( k )  gij
gij ( k )  0
if
if
ci  k
ci  k
Pobreza Multidimensional en general
M1: Brecha de Pobreza Ajustada
M2: FGT Ajustado

g
i1  j1 ij (k )
n
M    ( g  (k )) 
d
nd
M1: Brecha de Pobreza Ajustada
M1  H * A * G
donde G es la brecha de pobreza promedio
considerando todas las instancias en las cuales
las personas pobres estan privadas


G
 
n
d
i 1
n
j 1
d
i 1
j 1
gij (k )
0
ij
g (k )
M2: FGT Ajustado
M2  H * A* S
Donde S es el promedio de la brecha de pobreza al
cuadrado (severidad promedio de la privaciones) en
todas las instancias en las cuales las personas pobres
estan privadas
n
d


S
 
i 1
n
j 1
d
i 1
j 1
2
ij
g (k )
0
ij
g (k )
Contribucion por Indicador
• Es la proporcion total de pobreza que proviene de
una privacion en particular.
• En general:
d
M    j 1  ( g*j (k )) / d
• Donde:
 ( g* j (k ))  i 1 gij (k ) / n

n

• Entonces, la contribucion del indicador j a la
pobreza total esta dado por: 
Cj 
 ( g* j (k ))
dM 
Contribucion por Subgrupos de Poblacion
• Es la proporcion de la pobreza total que proviene de un
grupo en particular
M   i 1  ( gi (k )) / n
n

• Si toda la poblacion X (de tamaño n) es dividida en dos
subgrupos X1 (de tamaño n1) y X2 (de tamaño n2), entonces
el M0 total es la suma ponderada del M0 en cada subgrupo
 n1 
 n2 
M  ( X ; z )    M  ( X 1; z )    M  ( X 2 ; z )
n
n
• Entonces, la contribucion del subgrupo i a la pobreza total
es
ni / n  M  ( X i ; z )

CGi 
M ( X ; z)