Documento 731361

COLEGIO SANTA CRUZ
CLAUDIA BARRIENTOS - RICARDO CARRILLO
MATEMATICA
PRIMERO MEDIO
UNIDAD I, 2011
GUIA N° 1
GUIA N°1: “Números racionales”
Los números racionales han surgido a lo largo de la historia por la necesidad que ha tenido el
hombre de contar, de medir y de repartir, entre otras. Luego de la aparición de estos números, los
matemáticos los sistematizaron y formalizaron como sistemas numéricos, los cuales a su vez sirven de
base para desarrollar otras teorías matemáticas, de gran utilidad para el desarrollo de la humanidad.
Los primeros números que se utilizaron fueron los naturales, sin embargo, estos números no
fueron suficientes para representar todas las situaciones cotidianas. Por ello, se dio el surgimiento de
otros números como los racionales. La necesidad de utilizar fracciones se observa por ejemplo al querer
representar que la cantidad de granos de una producción lleno la mitad del granero; es muy difícil
expresarlo si sólo se pueden utilizar números naturales, lo mejor es expresarlo como ½.
Es curioso notar que la aparición de las fracciones se dio antes de que se utilizaran los números
negativos; así se marca el hecho que a los números racionales se les encontró una aplicación práctica
mucho antes que a los números negativos.
En la historia, el primer documento del que se tiene referencia sobre los números racionales es
en un “papiro” egipcio que data de 1900 a. C. (¡hace casi 400 años!) escrito por el sacerdote Ahmes. En
este papiro se nota las serias dificultades que tuvieron para darle significado a las fracciones con
numerador distinto de 1.
Los griegos también tuvieron dificultad, ya que lograron encontrarle significado a las fracciones
1 1 1
5 3 6
3
2
ó
. Dada esta limitación, ellos
5
3
4
4 1 1
 
representaban una fracción como
en forma de suma de dos fracciones simples
lo que
15
15 5 15
con numerador 1  , ,  , pero no así a fracciones como
hace que cualquier operación sencilla se vuelva más complicada.
Por otra parte los Babilonios, y los romanos también trabajaron con fracciones, ellos no se
dieron ninguna limitación para el numerador, sin embargo, en sus instrumentos de medición se utilizó la
base 60, lo que los llevó a utilizar fracciones con un denominador fijo 60.
Así por ejemplo, la fracción
3
36
, la representaban como
, lo cual también complicaba los cálculos.
5
60
Esta numeración en base 60 tuvo influencia aún en nuestros días, un ejemplo claro es en la
medición del tiempo; una hora tiene 60 minutos y cada minuto tiene 60 segundos.
Después de algún tiempo se logró darle significado a los números racionales y en la actualidad los
matemáticos han logrado formalizar la teoría del conjunto de los números racionales y encontrar
algunas características sobre él.

Busco el significado o sinónimo de las palabras subrayadas y luego creo una oración con cada
una de ellas.
Definición del conjunto de los NUMEROS RACIONALES ( Q ) :
Un número es racional si y sólo si puede
a
expresarse como división de dos números enteros,
, con a y b números enteros, cuyo divisor, b , es distinto
b
de cero. Esta división se representa como fracción, donde el dividendo recibe el nombre de numerador y el
divisor de denominador. Simbólicamente diríamos:
Q =
 a

: aZ  bZ  b  0  .

 b

1. Ejemplos de números Racionales:
3 1 5 8 4 0 2 1 5 0 9 11
, , , , , , , ,
, ,
5 2 2 1 2 3 3 5 4 7 3 1
¿éstos números cumplen la definición?. Justifico
2. Ejemplos de expresiones que no representan números Racionales:
¿qué parte de la definición no cumplen?
3 0 5
, ,
0 0 0
1. Resuelvo las siguientes ecuaciones para el conjunto de números enteros, ¿qué ocurre con la solución de estas
ecuaciones?
a) 2x – 1 = 6
b) 5(4x + 1) = 2(6x + 3)
2. En las ecuaciones del tipo ax + b = c, donde la incógnita es x, determino valores para a, b y c de manera que:
a) La ecuación admita una solución entera
b) La ecuación admita una solución racional no entera.
3. Identifico cual de los siguientes problemas admiten solución entera y cual, solución racional no entera.
a) Si al triple de las bolitas que tiene una persona le agrega una bolita, entonces tiene 21 bolitas
b) Una persona abona $10.000 de una deuda y el resto lo divide en tres partes iguales de $6.000. ¿Cuál es la
deuda?
4. Invento un problema que:
a) Admite solución en los números enteros.
b) Admite solución en los números racionales no enteros.
5. De acuerdo a lo aprendido y en conjuntos con mi profesor, caracterizo el conjunto de los números racionales.
3
6. Encuentro diferentes formas de escribir el número racional 5.
2
5
7. Amplifico las fracciones 3 y 8 de modo de obtener dos fracciones que tengan igual denominador.
¿Qué relación hay entre las dos fracciones que acabas de escribir y fracciones anteriores?
𝑎
𝑐
8. Amplifico las fracciones 𝑏 y 𝑑 de modo de obtener dos fracciones que tengan igual denominador. ¿Qué
relación hay entre las dos fracciones que acabas de escribir y las fracciones iniciales?
9. Demuestro que los siguientes números se pueden escribir como una fracción:
̅̅̅; 0, 134
̅̅̅̅̅; 0, 𝑎𝑏𝑐
̅̅̅̅̅;
̅̅̅̅; 0, 36
̅̅̅̅; 0, 𝑎𝑏
̅̅̅̅̅; 0, 654
a) Números de la forma 0, 6̅; 0, 4̅; 0, 𝑎̅; 0, 24
̅̅̅̅̅
̅̅̅
̅̅̅̅̅
̅
̅
̅
̅
̅
b) Números de la forma 0,07; 0,032; 0,0567; 0,0𝑎̅; 0,0𝑏𝑐; 0,0𝑎𝑏𝑐;
̅̅̅̅̅̅̅; 0,00𝑎̅; 0,00𝑎𝑏
̅̅̅; 0,00𝑎𝑏𝑐
̅̅̅̅̅;
̅̅̅̅; 0,003457
c) Números de la forma 0,007̅; 0,0037
̅
̅̅̅
̅
̅
̅̅̅̅
d) Números de la forma 0,37; 0,567; 0,0174; 0, 𝑎𝑏; 0,0𝑎𝑏𝑐
̅ 3,345;
̅̅̅̅ 𝑎, 0𝑏;
̅ 𝑎, 00𝑎𝑏𝑐;
̅̅̅̅
̅ 12,35;
e) Números de la forma 1,37;
10. Represento en la recta numérica los siguientes elementos de Q:
a) 1;
1 2 3
; ; ;2
2 3 4
7 −3
b) 2,5; -2,5; ;
2
4
;
−4
3
11. ¿Cuál de los siguientes números racionales queda más a la derecha en la recta numérica y cuáles de ellas más a
la izquierda? -3,2,
−3
2
3,2 -3,2 0
12. Ordena de menor a mayor los tríos de números racionales.
a) 5,61; 5,62;
5, 6
c) 2, 3 ;
2,03
e) -0,86;
2,3;
0,86;
1
; 0,3; 0,33
3
3
4
76
d) ;
;
4
5
100
1
f) ; 0, 3 ; 0,33
3
b)
-0,9
13. Determino 10 números racionales mayores que 0,11 y menores que 0,12
1
1
14. Determino 10 números racionales x, tales que 7 < 𝑥 < 6
2
5
15. Determino números racionales cuya distancia a 3 es mayor que 3 y que sean menores que
15
5
16. Elijo dos números racionales positivos al azar. Ubico en la recta numérica, calculo el promedio de ambos
números y los ubico en la recta numérica, ¿cómo es la distancia con el primer número y su promedio y la
distancia con el segundo número y su promedio? . Realizo el proceso anterior con números racionales no
enteros luego generalizo el proceso seguido, es decir, concluyo la propiedad: “Entre dos números racionales
siempre hay un número racional”
16. Si a =
1
1
ab
y b = , calculo el valor de la expresión
2
3
a b
17. Calculo el valor de las siguientes expresiones en Q:
a)
0,6  2,5  4,8 : 1,2
7,8 : 0,2
d) -4,2 · 3 – 1,8 : 0,06
b) 0,5  0,02 
1
2
5
9
c)
1
3
e) 3  1,03  (1  0, 6)
 2,8  3,6  5,004  4,5
10,7144
f) 0,18  1
19
:2
36
3
g) 1, 32 : 1,32
1
2
i) 2 
h) (2,3  7, 2)  1,34
2
5
j)
2
2
1
2
4
1
3
6
2
1
2
18. Demuestro que la suma de dos racionales es siempre racional. ¿Sucede lo mismo con la multiplicación?
19. Demuestro que operaciones combinadas con números racionales siempre dan un número racional.
20. Si “a” es un número entero impar positivo, ¿qué expresión es siempre un número irracional?
a) 11·a
b) a 11
c) 11 a
21. De las siguientes expresiones decimales, indico las que corresponden a números racionales y las que
corresponden a números irracionales.
a) 0,243434343…
d) 0,01010101….
b) 0,252252225….
e) 3,25000000….
c) 1,47474747…
F) 5,67566756…
22. ¿Cuánto mide la diagonal de un cuadrado cuyo lado mide 6 cm? Escribo el resultado con una aproximación a
la segunda cifra decimal del valor encontrado.
23. La diagonal de un cubo de arista a, mide a 3 . Calcula y expresa en forma decimal la longitud de la diagonal
de los cubos cuyas aristas miden: (Considera
a) 4 m.
3  1,73 )
b) 12,6 cm.
c) 3,425 cm
24. Aproximo por redondeo a la cifra de la centésima, los siguientes decimales:
a) 1,2564
c) 0,055
f) 75,234
b) 5, 6
d) 0, 72
g) 1,354
25. Aproximo por truncamiento a la décima, los siguientes números:
a) 1,2564
c) 0,055
b) 5, 6
d) 0,72
f) 75,234
g) 1,354