parte 005 - A la Sala

XXII. TRIGONOMETRIA:
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO
En cualquier triángulo ABC rectángulo en C, tenemos
AB : hipotenusa
AC y BC catetos
α y β : ángulos agudos
Si prolongamos los lados
A B y A C,
y unimos algunos puntos de dichas
prolongaciones mediante segmentos paralelos a B C , obtenemos entonces otros
triángulos rectángulos semejantes al triángulo ABC
ABC  ADE  AFG  AHJ
Luego podemos afirmar que se cumplen las siguientes igualdades de razones:
 ABC
c atetoBC
hipotenus aA B
 ADE
DE

AD
 AFG
FG

AF
 AHJ
HJ

 K1
AH
c ateto A C
hipotenus aA B

AE
AD

AG
AF

AJ

AH
K2
c atetoBC
c atetoA C

DE
AE

FG
AG

HJ

AJ
K3
CONSTANTE
CONSTANTE
CONSTANTE
En triángulos rectángulos semejantes y respecto de un mismo ángulo agudo, la
razón entre un cateto y la hipotenusa o entre los dos catetos, es siempre un
valor constante
Respecto al ángulo agudo  de un triángulo ABC rectángulo en C se tiene
que:
(A) A la razón constante K1 entre dos lados de este triángulo, se le denomina
seno de , y se abrevia sen
(B) A la razón constante K2 se le denomina coseno de , y se le abrevia cos
(C) A la razón constante K3 se la denomina tangente de , y se la abrevia tg
Álvaro M. Sánchez Vásquez
Prof. Matemática y Física
1
Nota: El término tangente se abrevia como tg en castellano y tan en inglés.
Las calculadoras científicas usan esta última abreviatura
En general, dado un triángulo ABC, rectángulo en C, se tiene:
FUNCIÓN
DEFINICIÓN
RAZÓN ABREVIACIÓN
Seno
de α
c at. opues to
hipotenus a
a
c
sen α
Coseno
de α
c at. adyac ente
hipotenus a
b
c
cos α
Tangente
de α
c at. opues to
c at. adyac nte
a
b
tg α
Cotangente
de α
c at. adyac ente
c at. apues to
b
a
cotg α
Secante
de α
hipotenus a
c at. adyac ente
c
b
sec α
Cosecante
de α
hipotenus a
c at. opues to
c
a
cosec α
ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
senα  cos( 90º α )
cos ecα  sec( 90º α )
cos α  sen(90º α )
sec α  cos ec(90º α )
tgα  cot g(90º α )
cot gα  tg (90º α )
Ángulos de elevación y de Depresión. Son aquellos formados por la horizontal,
considerada a nivel del ojo del observador y la línea de mira, según que el objeto
observado esté por sobre o bajo esta última.
Con respecto a un observador, los ángulos de elevación y de depresión constituyen
ángulos alternos internos entre paralelas, por lo tanto, sus medidas son iguales.
Álvaro M. Sánchez Vásquez
Prof. Matemática y Física
2
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS PARA ÁNGULOS DE 30º, 45º y 60º
3
30º
1
2
45º
60º
2
2
cos α
3
2
2
2
3
2
1
2
tg α
3
3
senα
2
3
1
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES (α : 0º  α  90º )
1.
sen α  cos ec α  1
4.
2.
cos α  sec α  1
5.
3.
tgα  cot gα  1
6.
Álvaro M. Sánchez Vásquez
Prof. Matemática y Física
senα
cos α
cos α
cot gα 
senα
2
sen α  cos 2 α  1
tgα 
3
EJEMPLO PSU-1: En el triángulo rectángulo de la figura, tg es igual a:
1  p2
p
A)
p
B)
1  p2
1  p2
p
p
C)
D)
E)
1  p2
1
1  p2
EJEMPLO PSU-2: En una hoja cuadriculada como se muestra en la
figura, se ha dibujado un triángulo ABC donde cada cuadrado tiene lado
1, entonces sen=
3
A)
34
5
4
3
C)
4
B)
5
D)
E)
34
3
5
Álvaro M. Sánchez Vásquez
Prof. Matemática y Física
4
EJEMPLO PSU-3: Dada la siguiente figura: Es verdadero que:
5
I) sen 
29
2
II) cos 
29
5
III) tan 
2
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-4: Un ratón observa a un águila en la copa de un árbol
con un ángulo de elevación de 70°. Si la distancia del ratón al árbol es
12 m, determinar la distancia entre el águila y el ratón.
12
tan70º
12
B)
cos70º
12
C)
sen70º
cos70º
D)
12
sen70º
E)
12
A)
EJEMPLO PSU-5: La longitud de un cable que tiene sus extremos fijos
en un poste y en la tierra, es de 20 3 metros. El cable forma un ángulo
de 60° con la tierra. ¿A cuántos metros de la tierra está fijo el cable en
el poste?
A) A 10 3 metros
B) A 10 6 metros
C) A 30 metros
D) A 40 metros
E) A 60 metros
Álvaro M. Sánchez Vásquez
Prof. Matemática y Física
5
EJEMPLO PSU-6: Un avión despega del aeropuerto con un ángulo de
elevación de 30º como se muestra en la figura. ¿A qué distancia (d) se
encuentra el avión desde el punto de despegue hasta que alcanza una
altura de 1.500 metros?
A) 750 metros
B) 3.000 metros
C) 1.000 3 metros
D) 750 3 metros
E) 1.500 3 metros
EJEMPLO PSU-7: ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones representa(n)
el largo de la escalera de la figura?
1,2
I)
metros
sen20º
12
II)
metros
cos70º
III) 1,2  cos70º metros
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) Sólo I y III
EJEMPLO PSU-8: En la figura, ¿cuál(es) de las siguientes relaciones
es(son) verdadera(s) ?
I) tg  = 2
4 5
II) sen  + cos =
5
III) tg  + tg = 1
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo I y III
E) I, II y III
Álvaro M. Sánchez Vásquez
Prof. Matemática y Física
6
EJEMPLO PSU-9: En la figura, el triángulo MNP es rectángulo en P,
2
NP = 1 cm y su área es cm2, entonces tg=
3
A)
B)
C)
D)
E)
1
3
2
3
3
2
3
4
4
3
EJEMPLO PSU-10: Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 5
cm y 12 cm, entonces el coseno del ángulo menor es:
A)
B)
C)
D)
E)
5
13
12
13
5
12
12
5
13
12
Álvaro M. Sánchez Vásquez
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7
EJEMPLO PSU-11: Si  es un ángulo agudo de un triángulo rectángulo
3
y sen  , entonces tg  cos =
5
1
20
3
B)
20
1
C)
20
11
D)
15
8
E)
15
A) 
EJEMPLO PSU-12: Con los datos de la figura, la expresión sen  – cos
 es igual a:
ac
b
ca
B)
b
ab
C)
c
ba
D)
c
ac  ab
E)
bc
A)
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8
EJEMPLO PSU-13: En la figura, una persona ubicada en lo alto del
edificio P de 12 m de altura, observa a otra persona, de igual tamaño,
en lo alto del edificio Q de 18 m de altura con un ángulo de elevación de
40°. ¿Cuál es la distancia (d) entre los dos edificios?
A) 6  tg40º
6
tg40º
6
C)
sen40º
6
D)
cos 40º
E) 6  sen40º
B)
EJEMPLO PSU-14: En la figura, el triángulo ABC es rectángulo en A. Si
la hipotenusa es 1, ¿cuál(es) de las siguientes expresiones
representa(n) el perímetro del triángulo?
I) sen  + sen  + 1
II) cos  + cos  + 1
III) sen  + cos  + 1
A) Sólo I
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-15: Con respecto al triángulo rectángulo ABC de la
figura, ¿cuál de las siguientes opciones es verdadera?
b
c
c
cos  
a
a
cos  
c
b
sen 
c
a
tg 
b
A) sen 
B)
C)
D)
E)
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9
EJEMPLO PSU-16. ¿Cuál de las siguientes igualdades se cumple en el
triángulo de la figura?
A) sen 
b
a2  b 2
b
B) sen  2
a  b2
a
C) cos  2
a  b2
b
D) cos 
a2  b 2
b
E) cos  2
a  b2
EJEMPLO PSU-17. ¿A qué distancia de la torre de control aterrizará el
avión?
A) 2.000  tg15º
se n15º
B)
2.000
co s15º
C)
2.000
D) 2.000  se n15º
E) 2.000  co s15º
EJEMPLO PSU-18. El extremo superior de una escalera de 10 metros
de longitud coincide con el borde superior de un muro vertical, cuando
forma un ángulo de 60º con la horizontal. Si está escalera se apoyara en
el extremo superior de una ventana del mismo muro, formaría un
ángulo de 30º con la horizontal. ¿Cuál es la distancia entre el borde
superior del muro y la parte superior de la ventana?
A) 5( 3  1) metros
B) 5 metros
10 3
metros
3
D) 2 metros
C)
E) 5 3 metros
Álvaro M. Sánchez Vásquez
Prof. Matemática y Física
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EJEMPLO PSU-19. ¿Cuál(es) de las siguientes igualdades es (son)
verdadera(s)?
I) sen 45° = cos 45°
II) sen 30° = cos 60°
III) sen 45° = tg 45°
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
E) I, II y III
Álvaro M. Sánchez Vásquez
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