2006/07 - MasMates

Derivadas
Selectividad CCNN 2007
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Colecciones de ejercicios
1. [ANDA] [SEP-A] Sea f:(0,+) la función definida por f(x) =
3x+1
.
x
a) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que
se alcanzan).
b) Calcula el punto de inflexión de la gráfica de f.
2. [ANDA] [JUN-A] Determina dos números reales positivos sabiendo que su suma es 10 y que el producto de sus cuadrados es
máximo.
3. [ANDA] [JUN-B] Sea f: la función definida por f(x) = 2x3+12x2+ax+b. Determina a y b sabiendo que la recta tangente a la
gráfica de f en su punto de inflexión es la recta y = 2x+3.
4. [ARAG] [SEP-B] Obtener las dimensiones de tres campos cuadrados de modo que:
i) El perímetro del primero de ellos es el triple del perímetro del tercero.
ii) Se necesitan exactamente 1664 metros de valla para vallar los tres campos.
iii) La suma de las áreas de los tres campos sea la mínima posible.
5. [ARAG] [SEP-B] Calcular lim
x0
sen(4x)sen(5x)
x-x2
2
.
6. [ARAG] [JUN-B] Sea la función f: definida por f(x) =
(x+2)2
.
x+1
a) Calcular su dominio.
b) Estudiar sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.
c) Analizar sus asíntotas verticales, horizontales y oblicuas y determinar las que existan.
7. [ASTU] [SEP] Dada la función f(x) = ax3+bx2+cx+d determina las constantes a, b, c, d de manera que simultáneamente:
 Su gráfica pase por el origen de coordenadas y por el punto (2,2).
 La función posea un punto de inflexión en x = 0.
 La función posea un mínimo en x = 1.
8. [ASTU] [SEP] Dada la función y = x4e-x,
a) Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
b) Halla, si existen, los máximos, mínimos y puntos de inflexión.
c) Dibuja aproximadamente su gráfica.
1 2
x con x [-3,3]. En el punto A 4,0 hay un pueblo.
4
a) Expresa la función distancia entre un punto cualquiera del río y el pueblo en función de la abscisa x.
b) ¿Cuáles son los puntos de este tramo del río que están más alejados y más cercanos al pueblo?
(Sugerencia: Estudia los máximos y mínimos del cuadrado de la función hallada en el apartado anterior).
c) ¿Hay algún punto del río que esté a una distancia menor que 2 del pueblo?
9. [ASTU] [JUN] Un río describe la curva y =
2
10. [C-LE] [SEP-A] Sea f la función dada por f(x) = e2x-x .
a) Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos y las asíntotas de f.
b) Determinar el número de soluciones de la ecuación f(x) = 2 en el intervalo 0,1 .
11. [C-LE] [SEP-A] Determinar en qué puntos de la gráfica de la función y = x3-3x2+x+1, la recta tangente a la misma es paralela a la
recta y = x+7.
12. [C-LE] [SEP-B] Calcular, si existe, el valor de lim
x0
13. [C-LE] [JUN-A] Calcular lim
x0
ex-e-x
2
x2
1
1
.
ln(1+x) x
14. [C-LE] [JUN-B] Sea la función f(x) = x+e-x.
a) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos, los intervalos de concavidad y convexidad y las
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asíntotas. Esbozar su gráfica.
b) Demostrar que existe algún número real c tal que c+e-c = 4.
15. [C-MA] [SEP] En agosto de 1584 el matemático Ludovico Ferrari le propuso a su colega Niccolo Fontana, apodado Tartaglia, el
siguiente problema: "Halla dos números reales no negativos cuya suma sea 8, de manera que su producto multiplicado por su
diferencia sea máximo". Obtén las soluciones de este problema con dos decimales de aproximación.
16. [C-MA] [JUN] Dada la función f(x) = 9x+6x2-x4, se pide:
a) Halla los puntos en los que la recta tangente a la gráfica de f(x) tiene pendiente 1.
b) Calcula los puntos de inflexión de f(x).
17. [CANA] [SEP-A] Dada la función f(x) =
2x2-3x
ex
a) Estudia el crecimiento y decrecimiento de la función f.
b) Calcula los máximos y mínimos de f.
18. [CANA] [JUN-A] Hallar una función polinómica de tercer grado tal que tenga un extremo relativo en 1,1 y un punto de inflexión
en 0,3 . ¿Es 1,1 el único extremo de la función? Determinar los máximos y mínimos relativos de f.
19. [CANA] [JUN-B] Determinar el dominio, recorrido, puntos de corte con
los ejes coordenados, asíntotas, máximos y mínimos relativos, puntos de
inflexión e intervalos de crecimiento, concavidad y convexidad
(concavidad hacia arriba y hacia abajo) de la función de la derecha.
20. [CATA] [JUN] Un almacén tiene forma de prisma recto de base cuadrada y un volumen de 768 m3. Se sabe que la pérdida decalor
a través de las paredes laterales vale 100 unidades por m2, mientras que a través del techo es de 300 unidades por m2. Lapérdida
por el suelo es muy pequeña y se puede considerar nula. Calcule las dimensiones del almacén para que la pérdida de calortotal sea
mínima.
21. [CATA] [JUN] La función derivada f'(x) de cierta función f: es una función a trozos
formada por las semirrectas del dibujo.
a) Diga si f(x) es derivable en todos los puntos de  y por qué.
b) Estudie el crecimiento y el decrecimiento de f.
c) Encuentre si f(x) tiene algún extremos relativo y, si es así, para qué valor de x y de qué
tipo.
d) Sabiendo que f(0) = 1, calcule el valor de f(1).
22. [CATA] [JUN] Calcule los valores del parámetro a, a0, que hacen que las tangentes a la curva de ecuación y = ax4+2ax3-ax+1512
en los puntos de inflexión sean perpendiculares.
23. [EXTR] [SEP-A] a) Enuncia el teorema de Rolle.
b) Prueba que la función f(x) = x3+x2-x-1 satisface sus hipótesis en el intervalo -1,1 y calcula un punto del intervalo abierto
-1,1 cuya existencia asegura el teorema de Rolle.
24. [EXTR] [SEP-B] Para la función f(x) = x2e-x:
a) Comprueba que la recta y = 0 es asíntota horizontal en +.
b) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
c) Con los datos anteriores, haz una representación aproximada de la gráfica de la función.
25. [EXTR] [JUN-A] a) Enuncia la regla de la cadena para derivar funciones compuestas.
b) Dada la función h(x) = esen
f(x)
, calcula el valor de su derivada en x = 0, sabiendo que f(0) = 0 y f'(0) = 1.
26. [EXTR] [JUN-B] Determina los puntos de la parábola y = x2 que están a mínima distancia del punto P= 0,1 .
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27. [MADR] [JUN-A] Se considera la función f(x) = x2+m, donde m>0 es una constante.
a) Para cada valor de m hallar el valor de a>0 tal que la recta tangente a la gráfica de f en el punto a,f(a) pase por el origen de
coordenadas.
b) Hallar el valor de m para que la recta y = x sea tangente ala gráfica de f(x).
28. [MADR] [JUN-B] Dibujar la gráfica de la función f(x) =
|x|
indicando su dominio, intervalos de crecimiento y decrecimiento y
2-x
asíntotas.
29. [MURC] [SEP] Dada la función f(x) =
x3
1-x2
, se pide:
i) Dominio y corte con el eje X.
ii) Puntos de discontinuidad, tipos de discontinuidad y asíntotas verticales (calculando los límites laterales).
iii) Asíntotas horizontales y oblicuas.
iv) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Extremos.
v) Representación gráfica aproximada, teniendo en cuenta los resultados de los apartados anteriores.
30. [MURC] [SEP] Una cartulina tiene forma rectangular con 30 cm de base y 20 cm de altura. Se quiere construir un cajón (sin
tapadera) con la forma resultante tras cortar cuatro cuadrados de lado x en cada esquina de la cartulina. Calcule x para que el
volumen del cajón resultante sea máximo. Calcule dicho volumen.
31. [MURC] [JUN] Dada la función f(x) =
x2(1-x)
x2-1
, se pide:
i) Dominio y corte con el eje X.
ii) Puntos de discontinuidad, tipos de discontinuidad y asíntotas verticales (calculando los límites laterales).
iii) Asíntotas horizontales y oblicuas.
iv) Intervalor de crecimiento y de decrecimiento. Extremos.
v) Representación gráfica aproximada, teniendo en cuenta los resultados de los apartados anteriores.
32. [MURC] [JUN] De todos los cilindros de volumen 1/3 calcular las dimensiones del que tiene menor superficie. (Indicación: La
superficie está formada por dos círculos de radio r y un rectángulo de altura h y el volumen del cilindro es V=r2h).
33. [RIOJ] [SEP] Calcula lim
x0
x - senx
.
tagx - senx
34. [RIOJ] [JUN] Determina a y b para que la función f(x) = ax3+bx2-x+2 tenga un mínimo en x = 2 y un punto de inflexión en x =
1
.
3
35. [RIOJ] [JUN] Sea la función f(x) = x2ex. Calcula sus asíntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos, mínimos y
puntos de inflexión.Represéntala gráficamente.
36. [VALE] [SEP] Se considera la función real f(x) = x3+ax2+bx+c, donde a, b y c son parámetros reales.
a) Averiguar los valores de a y b para los que las rectas tangentes a la gráfica de f(x) en los puntos de abscisas x = 2 y x = 4 son
paralelas al eje OX.
b) Con los valores de a y b hallados anteriormente, obtener el valor de c para el que se cumple que el punto de inflexión de la
gráfica de f(x) está en el eje OX.
4
.
x
a) Calcular la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de f(x) en el punto de abscisa x = 2.
b) Determinar los puntos M y N de la gráfica de f(x) para los que las rectas tangentes a la gráfica en M y N se cortan en el punto
4,-8 .
37. [VALE] [SEP] Sea la función con dominio los números reales no nulos f(x) =
38. [VALE] [SEP] Se tienen dos programas informáticos A y B. Para procesar n datos, el programa A realiza un número deoperaciones
4
elementales no superior a 12+n n3 , mientras que el programa B ejecuta n2-2n+10 operaciones elementales.Comprobar que cuando
el número n de datos es grande, el programa A procesa los n datos con menos operaciones elementales queel programa B.
39. [VALE] [SEP] El borde de un estanque está formado por el arco de curva y = 4-x2 de extremos -2,0 y 2,0 y el segmento
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rectilíneo que une estos dos puntos. Un surtidor está situado en el punto de coordenadas 0,2 . Se pide:
a) Determinar, razonadamente, el punto del segmento rectilíneo del borde del estanque que está más próximo del surtidor.
b) Determinar, razonadamente, los puntos del arco de curva del borde del estanque que están más próximos del surtidor.
c) ¿Cuáles son los puntos del borde del estanque más próximos al surtidor?
40-5x
toneladas de acero de altacalidad,
10-x
siendo 8 toneladas la producción máxima de acero de baja calidad. Si el precio de una tonelada de acero de baja calidades 100
euros y el precio de una tonelada de acero de alta calidad es 250 euros, demostrar que se deben producir 5 toneladas pordía de
acero de baja calidad para que el valor de venta de la producción diaria sea máxima.
40. [VALE] [JUN] Unos altos hornos producen al día x toneladas de acero de baja calidad y
41. [VALE] [JUN] Hallar las dimensiones del cartel de área máxima con forma de rectángulo que tiene dos vértices sujetos a una
estructura rígida parabólica de ecuación y = 12-x2, y los otros vértices están situados sobre el eje OX.
Soluciones
1. a) Creciente:
1
1
,+ . Decreciente: 0, . Mínimo:
3
3
1
,2 3
3
b) 1,4
2. 5 y 5 3. a=26, b=19 4. 64, 192, 232 5. 20 6. a) -{1} b) Creciente en -,-2  0,+
c) Vertical: x=1 ; oblicua: y=x+3 7. f(x) = x3-3x 8. a) Creciente en 0,4
b) Más alejado: 0,0 . Más cercanos: -2 2,2 , 2 2,2
b) Máximo: 4, mínimo: 0, inflexión: 2, 6 c)
x4-16x2+256
4
9. a) D(x) =
c) no 10. a) Creciente: -,1 . Máximo: 1. Asíntotas: y = 0 b) Existe una solución 11.
0,1 y 2,-1
12. 4
Y
3
1
13.
2
14. Creciente: 0,+ . Convexa: . Asíntotas: y = x. Gráfica:
15. 6,31 y 1,69
2
1
18. f(x) = x3-3x+3. Mínimo: -1. Máximo: 1
Conv. -4,3
h'(0)=1
20. 8x8x12
27. a)
m b)
1
4
- 3, 3 . Máximo:
b) Máximo: 3,
1 2
28.
c) máximo en x=2 d) f(1) = 2 22. 1
5 Y
3
1
X
23. b)
1
3
24. b) Creciente en 0,2
c)
25.
29. Dominio: -{-1,1}. Cortes: 0,0 . Discontinuida infinita en {-1,1}. Asíntotas: x = -1,
-5 -3 -1 1 3 5 7
-3
3
x = 1, y = -x. Creciente:
1
,3
2
19. D: -{3}; R: ; Cortes: -3,0 , 0,0 ; Asíntotas: x = 3, y = -2; Max. -2,3 ; Min. 0,0 ; Crec. -4,-2  0,+ ;
21. a) -{1} b) creciente en -,2
2 1
2 1
, , ,
2 2
2 2
26.
17. a) Creciente:
X
-2 -1
1
mínimo:
2
16. a) -1, 2 b) 1
Y
1
3. Mínimo: - 3. Gráfica:
-3 -1
X
1
30. 3,92 cm; 1056,3 cm3
31. Dominio: -{-1,1}. Cortes:
0,0 ,
1,0 .
3
-3
Y
Discontinuida: Infinita en x = -1, evitable en x = 1. Asíntotas: x = -1, y = -x+1. Creciente: -2,0 . Máximos: 0,0 . Mínimos: -2,4 . Gráfica:
5
3
1
X
32. r: 0,376;
-3 -1 1 3 5
-3
h: 0,75
33.
1
3
34.
1 -1
,
8 8
35. Asíntotas: y = 0. Creciente: -,-2  0,+ . P. inlexión: -2+ 2, -2- 2. Gráfica:
y = -x+4; y = x b) M 1,4 , N -2,2
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39. a) O 0,0
b)=c)
3 5
, , 2 2
3 5
,
2 2
36. a = -9; b = 24; c = -18
37. a)
41. 4x8
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