Gravitational collapse and entropy of Black Holes with magnetic

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arXiv:1103.1828v1 [hep-th] 9 Mar 2011
Gravitational collapse and entropy of Black Holes with
magnetic sources.
A. Ulacia Rey♦,♠
♦
Departamento de Fı́sica Teórica.
Instituto de Cibernética, Matemática y Fı́sica, ICIMAF.
Calle E No-309 Vedado, cp-10400. La Habana, Cuba.
[email protected]
♠
Departamento de Gravitación y Teorı́as de Campo.
Instituto de Ciencias Nucleares, ICN,
Universidad Autónoma de México UNAM, Mexico,DF. 04510.
[email protected]
Abstract: This thesis is divided in two parts, each one addressing problems that can be
relevant in the study of compact objects. The first part deals with the study of a magnetized
and self-gravitating gas of degenerated fermions (electrons and neutrons) as sources of a
Bianchi-I space-time. We solve numerically the Einstein-Maxwell field equations for a large
set of initial conditions of the dynamical variables. The collapsing singularity is isotropic
for the neutron gas and can be anisotropic for the electron gas. This result is consistent
with the fact thatelectrons exhibit a stronger coupling with the magnetic field, which is
the source of anisotropy in the dynamical variables. In the second part we calculate the
entropy of extremal black holes in 4 and 5 dimensions, using the entropy function formalism
of Sen and taking into account higher order derivative terms that come from the complete
set of Riemann invariants. The resulting entropies show the deviations from the well know
Bekenstein-Hawking area law.
Keywords: Self-gravitating systems, singularities, magnetic field, degenerate Fermi
gases, black holes.
ı́ndice
I
GASES AUTO-GRAVITANTES MAGNETIZADOS
11
1. RELATIVIDAD GENERAL
1.1 Fuentes de campo en Relatividad Especial
1.2 Sistemas de referencia no-inerciales
1.3 Teorı́a de la Relatividad General
1.4 Solución de Schwarzschild
1.5 Solución de FLRW
1.5.1 Fuentes de materia–energı́a
1.5.2 Singularidades de curvatura
1.6 Forma covariante de la dinámica de fluidos y colapso gravitacional
12
12
13
16
17
20
21
22
22
2. ESTUDIO DE UN GAS MAGNETIZADO Y AUTO-GRAVITANTE
DE ELECTRONES
2.1 Introducción
2.2 Ecuaciones de Estado de un gas magnetizado de electrones
2.3 Ecuaciones de Einstein–Maxwell
2.4 Dinámica de cantidades covariantes
2.5 Discusión y resultados
2.5.1 Singularidades
2.5.2 Espacio de fase y subespacios crı́ticos
2.6 Conclusiones del capı́tulo
25
25
27
29
31
33
33
36
37
3. ESTUDIO DE UN GAS MAGNETIZADO Y AUTO-GRAVITANTE
DE NEUTRONES
3.1 Introducción
3.2 Ecuación de Estado de un gas magnetizado de neutrones
3.3 Ecuaciones de Einstein–Maxwell
3.4 Lı́mite de campo magnético débil
3.5 Dinámica de cantidades covariantes
3.5.1 Ecuaciones dinámicas
3.6 Soluciones numéricas y discusión fı́sica
3.6.1 Espacio de fase
3.7 Conclusiones del capı́tulo
39
39
39
42
43
45
46
47
48
49
4. CONDICIONES PARA FRENAR EL COLAPSO
4.1 Espacio-tiempo Bianchi-I perturbado
4.2 Cálculo de cantidades dinámicas y ecuación de Raychaudhuri
4.3 Conclusiones del capı́tulo
52
52
53
56
–1–
II
PEQUEÑOS AGUJEROS NEGROS
57
5. ENTROPÍA DE AGUJEROS NEGROS
5.1 Entropı́a de agujeros negros: pelos clásicos
5.2 Mecanismo de Sen
5.3 Definición de AN extremal
5.4 Método de Sen
59
59
60
63
65
6. ENTROPÍA DE AGUJEROS NEGROS EXTREMOS
6.1 Nuevos resultados en la aplicación del formalismo de Sen
6.2 Generalización de la Teorı́a de Einstein usando los invariantes de Riemann
6.2.1 Soluciones analı́ticas para invariantes de 2do orden en d = 4
6.2.2 Soluciones aproximadas para el conjunto completo en d = 4
6.2.3 Soluciones analı́ticas para invariantes de 2do orden en d = 5
6.2.4 Soluciones aproximadas para el conjunto completo en d = 5
6.2.5 Invariantes de Riemann y gravedad genérica de Gauss-Bonnet
6.3 Conclusiones y perspectivas del capı́tulo
68
68
70
71
72
74
75
76
78
7. CONCLUSIONES Y PERSPECTIVAS
79
ANEXOS
A. Convenios y Notaciones
81
B. Diagramas del Agujero Negro de Schwarzschild
83
C. Fuentes de Materia
C.1 Fluido Termodinámico
C.2 Gas ideal relativista no-degenerado.
C.3 Polvo
C.4 Radiación
85
85
85
86
87
D. Ecuación de Raychaudhuri
88
E. Significado del tiempo adimensional (τ )
91
F. Espacios de fase
92
G. Invariantes de Riemann para AdS2 × S d−2
94
–2–
A la memoria de mis abuelos
–3–
Agradecimientos
A mis tutores, Roberto A. Sussman y A. Pérez Martı́nez por ayudarme a crecer.
A mi familia por todo el amor y comprensión infinita.
A mi esposa por su inagotable paciencia, su apoyo incondicional y sobre todo por su sincero
amor.
A todos los que me han brindado su experiencia y con los que he tenido fructı́feras discusiones técnicas, en espacial a José F. Morales.
Al grupo de Fı́sica Teórica por brindarme la posibilidad de compartir con excelentes profesionales y magnı́ficas personas, de los cuales estaré agradecido toda una vida.
Este trabajo ha sido posible gracias al apoyo del ICIMAF, de la UNAM, de la beca CLAF–
ICTP y del INFN.
–4–
Introducción
Los objetos compactos: Enanas Blancas (EBs), Estrellas Neutrónicas (ENs) y Agujeros
Negros (ANs) son objetos muy densos que invaden el Universo y son el último estadı́o por
el que transita una estrella antes de apagarse. Que una estrella se convierta en uno u otro
tipo de objeto compacto depende decisivamente de su masa. Por ejemplo para estrellas
con una masa entre 9 ∼ 10M⊙ , que han agotado su combustible nuclear evolucionan hacia
una EB. Sin embargo, estrellas con masa mayor que 10M⊙ forman ANs.
En particular las EBs y ENs son laboratorios astrofı́sicos naturales en los cuales se
puede probar la veracidad de las teorı́as fı́sicas más actuales ya que en ellas viven fenómenos
en los que están presentes partı́culas fuertemente interactuando, en presencia de grandes
campos gravitacionales y electromagnéticos.
El modelo más aceptado para la descripción de partı́culas en el micro mundo es el Modelo Estándar (ME). Por otra parte, la Teorı́a General de la Relatividad (TGR) describe
fielmente los fenómenos que ocurren a una mayor escala. Por tanto, un modelo fı́sico que
pretenda describir estrellas de este tipo, debe incluir la gravedad y las interacciones entre
partı́culas para que sea válido estrictamente hablando. Sin embargo en nuestro cuadro fı́sico
del Universo, todavı́a no tenemos una teorı́a unificada y experimentalmente demostrada
que pueda juntar las cuatro fuerzas fundamentales de la naturaleza (fuerte, débil, electromagnética y gravitatoria) de modo que se puedan realizar predicciones teóricas medibles
experimentalmente. De las fuerzas mencionadas, la única que se niega a ser unificada
es la gravitatoria, aunque en estos últimos tiempos se viene trabajando fuertemente en
teorı́as prometedoras (como las “teorı́as de cuerdas”) [1]. Las Teorı́as de Cuerdas no tienen
por ahora muchas esperanzas de ser probadas experimentalmente debido a que se requiere
para verificarlas, de experimentos que produzcan energı́as superiores a las que se espera,
se generen en el LHC1 . El LHC fue diseñado y puesto en marcha para encontrar el bosón
de Higgs que es un pilar fundamental del ME [2]. Sin embargo, existen casos dentro de la
misma teorı́a de cuerdas en que el espacio de configuración es tan grande que las cantidades
de energı́a para su detección no es tan alta, si este fuera el caso real, entonces con el LHC
se podrı́an ver indicios de estos objetos.
Por otro lado, desde hace varias décadas se le da gran importancia al estudio de
campos magnéticos intensos en el universo y en particular en objetos compactos. En los
últimos tiempos, con la aparición de nuevas y más precisas observaciones, se avanza en las
mediciones astrofı́sicas y se introducen nuevas cotas para estos campos magnéticos. Ası́ en
los años 80 campos magnéticos de 109 T esla (T ) 2 eran considerados máximos. Hoy en dı́a,
según observaciones más refinadas se estiman que existen campos 1000 veces mayores que
el conocido campo lı́mite de Schwinger 4, 4 × 109 T [3].
Las EBs son estrellas con una masa de 1, 2M⊙ , (o sea < 1, 44M⊙ ), densidades entre
9
10 − 1010 kg/m3 , radios de 106 m y campos magnéticos del orden de 104 T .
Sin embargo, una Estrella Neutrónica tiene una masa M entre 1.5 y 2 masas solares
M⊙ , radios entre 10 − 12 km y una densidad central de 1017 kg/m3 . Es por tanto una
1
2
LHC significa “Large Hadron Collider” o sea el Gran Colisionador de Hadrones.
1 T esla = 104 Gauss conversión para la inducción del campo magnético.
–5–
de las formas más densas de materia encontradas en el Universo observable. Aunque los
neutrones dominan la componente bariónica de la Estrella de Neutrones, existen también
algunos protones (y suficientes electrones y muones) que garantizan la neutralidad de carga
en la estrella. Además, engendran un súper campo magnético de unos 1010 T [4].
La primera EB encontrada, fue la compañera de la brillante estrella Sirio. Sirio y su
compañera están en una órbita mutua, una alrededor de la otra, y esto permitió que se
determinaran las masas de cada una. A partir del brillo y temperatura de la compañera,
podemos determinar su tamaño, que es de unos 107 m de diámetro, menos que el de la
Tierra [5].
Las EBs son intrı́nsecamente muy poco brillantes, y son por tanto difı́ciles de detectar.
Aún ası́, ellas son el estado final de todas las estrellas de masa mediana, y por ello podrı́amos
esperar hallar muchas EBs en el Universo.
Los astrónomos han logrado encontrar muchas, usando técnicas que dependen ya sea
de que son compañeras de otras estrellas, o de que son estrellas calientes con grandes
movimientos relativos respecto a otras estrellas (indicando que ellas están mucho más
cercanas que otras estrellas de la Secuencias Principal con la misma temperatura), y a
partir de su emisión de radiación de alta energı́a, tal como luz ultravioleta. La presencia
de EBs en sistemas binarios ha sido muy importante para entender violentos estallidos en
sistemas estelares. Supernovas del Tipo I, Novas, y estrellas variables cataclı́smicas, son
todos casos en los que la compañera de una EB ha alcanzado un punto en su evolución en
el que está aumentando en diámetro y perdiendo masa hacia la EB.
La deposición de material en un disco de acreción alrededor de la EB, o en la superficie
de la EB, determinará la naturaleza de cualquier estallido. La estrella aparentemente más
brillante en el cielo, Sirio, fue observada por Bessel en 1844 mostrando un bamboleo en su
movimiento a través del cielo. Bessel atribuyó esto a la presencia de una compañera, pero
no se observó alguna hasta que Alvan Clark, mientras probaba un nuevo telescopio, vio la
tenue estrella compañera. En 1925, el espectro de la estrella compañera confirmó que era
una estrella con aproximadamente la misma temperatura que Sirio A.
Ella tiene un perı́odo de 50 años, con una máxima separación en el cielo de 7,6 arcosegundos. La diferencia de luminosidad entre Sirio A y B llega a un factor de más de 8 000.
La solución de su movimiento orbital arrojó para A y B, masas de 2,3 y 1 veces la masa
del Sol. Sirio A tiene un radio de cerca de 109 m, mientras que Sirio B tiene un radio de
solo 107 m.
En 1926 R. H. Fowler junto con Paul Dirac trabajaron en aplicar la mecánica estadı́stica
para explicar la estabilidad de una estrella EB y en 1930 Chandrasekhar descubre la masa
máxima de 1.44 M⊙ para estas estrellas [6, 7].
Para las estrellas neutrónicas los resultados teóricos antecedieron a los observacionales.
En 1932 Landau habló por primera vez de la EN. En el año 1934 se predijo por primera
vez, basándose en cálculos teóricos, la existencia de una ENs y a partir de esa fecha se
estudiaron muchos modelos para describirlas, pero no es hasta el año 1967 en que se verifica
observacionalmente por azar, la existencia de un objeto con las caracterı́sticas de una EN
[8].
–6–
Las ENs no se habı́an observado antes debido a que no emiten en el visible, por lo cual
fue necesario que pasaran más de 30 años y que la tecnologı́a permitiera la construcción
de radiotelescopios capaces de detectar las primeras ENs. El descubrimiento de la primera
EN provocó un aumento en el número de trabajos teóricos encaminados a describir los
procesos fı́sicos que ocurren en el interior de estos objetos [9, 10, 11, 12, 13].
Desde hace veinte años los estudios de las Estrellas de Neutrones se nutren de cuantiosas
observaciones que se obtienen gracias a observatorios que detectan emisiones de rayos X
y radiación gamma colocados en satélites. Entre los observatorios más conocidos están
el Telescopio Espacial Hubble, el Observatorio de Rayos X Chandra y el Observatorio de
Rayos Gama Compton.
Actualmente también se habla de la posible existencia de Estrellas de Quark, o Estrellas Extrañas. Estas deben aparecer para súper altas densidades, donde la materia
presenta caracterı́sticas todavı́a más exóticas, tales como bariones con extrañeza, mesones
condensados (piones, kaones), o quarks no confinados [14, 15, 16].
Estos fermiones en forma de hadrones o quark no confinados se espera que también
exhiban propiedades de superfluidez o superconductividad.
Una EN normal, tiene materia hadrónica en su exterior y tanto la presión como la
densidad de materia bariónica se anula en la frontera exterior (en el interior puede contener cualquier combinación de partı́culas exóticas permitidas por la fı́sica de interacciones
fuertes). Sin embargo, una Estrella de quarks, puede tener también una superficie de quark
desnuda cuya presión se desvanece en la frontera y una súper alta densidad de materia, o
una fina capa de materia normal soportada por las fuerzas Coulombianas sobre la superficie
de materia de quark. Tales objetos están constituidos por la materia en el último estado
fundamental cuya energı́a es menor que la del núcleo de Hierro. Esta materia comprimida
a una densidad suficientemente alta prodrı́a espontáneamente convertirse en materia de
quark desconfinada.
Hasta el presente ningún experimento ha encontrado quark no confinados, aunque se
supone que en las Estrellas Extrañas los quarks están libres. A diferencia de una estrella
normal, la estrella de materia extraña, si tiene éste estado auto-ligado de energı́a, no
requerirı́a de gravedad para unirse.
Los ANs son los remanentes estelares más controversiales que habitan el Universo,
ellos aparecen tras la explosión de una Supernova cuya estrella progenitora es muy masiva
(M > 10 M⊙ ) o como resultado de la coalescencia de un sistema binario de dos ENs. El
colapso gravitacional no puede ser evitado por la presión del gas degenerado de partı́culas
que constituye la estrella y por ello colapsa apareciendo una singularidad en el espaciotiempo.
Se presupone que existan en el Universo infinidad de ellos pero observacionalmente no
han sido detectados hasta hoy. Sin embargo la existencia de ellos ayudarı́a a comprender
observaciones astronómicas, emisión de rayos X por estrellas binaria y galaxias activas.
Actualmente, muy pocos astrónomos ponen en duda la existencia de los ANs, aunque
la evidencia de su existencia es indirecta, a partir del comportamiento de otros objetos
cercanos a los ANs, tales como estrellas brillantes.
–7–
En 1963, Roy Kerr [17] demostró que en un espacio-tiempo de cuatro dimensiones todos
los ANs, debı́an tener una geometrı́a cuasi-esféricas determinada por tres parámetros: su
masa M , su carga eléctrica Q y su momento angular J.
Con posterioridad, la teorı́a de los ANs se nutrió de los trabajos de Hawking, Ellis y
Penrose de los años 70 que demostraron varios teoremas importantes sobre la ocurrencia y
geometrı́a de los ANs [18].
Como la presencia de campos magnéticos intensos es relevante en los objetos compactos, su inclusión en las Ecuaciones de Estado (EE) se convierte en un importante tema
a tener en cuenta para explicar las observaciones, además de considerar que tenemos un
sistema en presencia de gravedad.
El gas magnetizado de electrones, neutrones y quarks ha sido estudiado previamente
en las Ref. [19, 20, 21].
Entre muchos resultados, el más importante es que se descubre una anisotropı́a entre las
presiones paralela y perpendicular al campo magnético, siendo la presión paralela (pk > p⊥ )
mayor. En el caso extremo de campos magnéticos muy intensos (B = 1010 T ) la presión
pk puede hacerse cero y entonces el sistema tiende a colapsar anisotrópicamente. Esto
trae como consecuencia una lógica conclusión cualitativa sobre la forma que va a tener
dicho sistema: él deberá tomar la forma de un objeto alargado en la dirección del campo
magnético y a medida que este campo sea más intenso pues más alargado se hará el objeto.
Es importante señalar que los estudios citados anteriormente se realizaron sin incluir
el efecto de la gravedad. Ahora, si queremos describir sistemas con alta densidad de
materia, los cuales puedan producir su propia gravedad (sistemas auto-gravitantes) en una
proporción tan elevada, que no podamos ignorar su efecto, entonces podrı́amos referirnos
a la posibilidad de que este sistema pueda describir un objeto estelar. Debido a que los
sistemas con este tipo de anisotropı́a, en general no son estables en el universo, entonces
un objeto de este tipo debe colapsar [22] o realizar una transición a un estado estable [23].
Incluir la presencia de gravedad, ahora nos permite obtener información sobre el papel
que ella juega cuando aparecen estos tipos de anisotropı́as en las presiones, esta es unas
de las principales motivaciones de este trabajo y nos orienta a responder las siguientes
preguntas:
• ¿Aparecerá o no el colapso cuando la gravedad esta presente en un sistema magnetizado de Fermi?
• En caso que colapsaran, ¿Como serı́a el tipo de singularidad que aparecerı́a en estos
sistemas?
• ¿Cómo es en general la dinámica de un gas magnetizado de Fermi autogravitante?
Con el propósito de responder estas interrogantes, el primer objetivo de esta tesis está
dirigido a estudiar una fuente de materia densa y magnetizada de fermiones (electrones y
neutrones), y con el uso de una métrica no estacionaria obtener la evolución en el tiempo
del sistema.
Escogeremos un espacio-tiempo Bianchi I que ha sido utilizado con éxito para la descripción de modelos cosmológicos [24]. Esta vez sin embargo estudiaremos un escenario
–8–
astrofı́sico, consideraremos un gas degenerado de fermiones, es decir, la temperatura se
toma igual a cero. La utilidad de estos espacio-tiempos se debe a que nos permiten tomar
en cuenta las anisotropı́as debidas al campo magnético. Una extensión de este formalismo
que tome en cuenta la temperatura podrı́a describir una situación cosmológica [25].
Por supuesto la formulación de un modelo para una estrella EB o una ENs magnetizada
requiere del uso de una métrica más complicada, que se traduce en un problema numérico
más engorroso. Nuestro modelo aunque no muy realista puede dar información cualitativa
muy interesante sobre los procesos dinámicos que ocurren en el núcleo de tales objetos
astrofı́sicos, en particular para una EB o una ENs. Tal estudio cualitativo podrı́a dar luz
para entender estos sistemas tan complejos.
Por otro lado a pesar de la descripción clásica de los ANs y sus “pelos” o caracterı́sticas
principales derivadas de la descripción de su M, Q, J (Masa, Carga y Momento Angular
de Rotación) [26, 27], descripciones de estos entes a partir de modernas teorı́as de cuerdas,
le atribuyen situaciones intermedias, donde otras magnitudes pueden ser consideradas,
como por ejemplo campos escalares, o cargas magnéticas. Por otra parte, el estudio de
la entropı́a y la perdida de información de los ANs es un tema abierto. Ha sido probado
teóricamente que la entropı́a de un AN es proporcional al área de la garganta del AN,
lo cual ha mantenido a los Cosmólogos y Fı́sicos Teóricos a la expectativa y en busca de
nuevas interpretaciones.
A pesar de que los objetos astrofı́sicos deben de ser neutros eléctricamente existen
soluciones matemáticas que caracterizan a los ANs como objetos cargados eléctricamente.
Son soluciones conocidas por el nombre de Reissner-Nordstrom (RN) y tiene el lı́mite
extremal cuando la masa se iguala a la carga elétrica. La conjetura de Penrose objeta a
todo AN con carga eléctrica mayor que la masa, ya que significarı́a una densidad de energı́a
negativa y por lo que conocemos, la densidad de energı́a de todo sistema fı́sico conocido
siempre es positiva.
La teorı́a de cuerdas surgida con la pretensión de unificar las interacciones fundamentales de la naturaleza, ha contribuido a que se desarrollen numerosas técnicas que con éxito
logran ser aplicadas a otras áreas de la Fı́sica. Uno de los éxitos mayores lo ha logrado con
la gravitación. En particular el método de Sen o formalismo entrópico, fue diseñado originalmente como mecanismo entrópico en teorı́as de Supergravedad [28, 29] y extendido con
éxito al estudio de la entropı́a de ANs con diferentes topologı́as. Este formalismo simplifica
los procedimientos de cálculo de entropı́a conocidos.
Por tanto el segundo objetivo de esta tesis será entonces utilizar este mecanismo de
Sen para estudiar ANs con constante cosmológica y campo electromagnético en cuatro y
cinco dimensiones teniendo en cuenta los invariantes de Riemann como conjunto completo
introducido por Carminati-McLenagha [30, 31].
Esta tesis consta de dos partes que se asocian con los dos objetivos que nos hemos
propuesto con este trabajo. La primera parte aborda el estudio de las fuentes magnetizadas
autogravitantes de electrones y neutrones. En la segunda parte nos centramos en el cálculo
de la entropı́a de ANs estudiada a partir del método de Sen.
Aquı́ se estudian ANs en cuatro y cinco dimensiones que tienen campo electromagnético
y constante cosmológica. Este tipo de objeto tiene un interés fundamental en la Fı́sica de
–9–
Partı́culas donde algunas teorı́as de campo predicen la aparición de soluciones de este tipo
debido a que la curvatura se modifica por la energı́a y no por la masa del objeto. De igual
manera conocer estas soluciones, podrı́a ser interesante para la Cosmologı́a y la Astrofı́sica.
La primera parte de las tesis consta de 4 capı́tulos. El primero es introductorio y los
capı́tulos 2,3,4, contienen la contribución original del autor a esta temática.
En el capı́tulo introductorio describimos las ecuaciones de la TGR, dos de sus soluciones
exactas, se explica que son las singularidades y la dinámica de un fluido covariante.
El segundo capı́tulo se dedica a estudiar el gas de electrones magnetizado y degenerado
autogravitante, se escriben las ecuaciones de estado, se estudia la dinámica y se discuten
los resultados numéricos obtenidos.
El tercer capı́tulo se dedica a estudiar el gas de neutrones magnetizado y degenerado
autogravitante, se escriben las ecuaciones de estado, se estudia la dinámica y se discuten
los resultados numéricos obtenidos.
El cuarto capı́tulo se dedica a estudiar cualitativamente las condiciones que frenarı́an
el colapso. Esto se hace perturbando el espacio-tiempo Bianchi I y analizando la ecuación
de Raychaudhuri [27].
La segunda parte de la tesis se divide en dos capı́tulos. El primero es introductorio
y en él se exponen los resultados de la entropı́a de ANs a partir de la TGR y se explica
el mecanismo de Sen. El segundo capı́tulo contiene el aporte original del autor a esta
temática. O sea, la aplicación del mecanismo de Sen al estudio de la entropı́a de ANs,
obteniendo soluciones en 4 y 5 dimensiones teniendo en cuenta el conjunto de invariantes
de Riemann. Se discuten además los resultados obtenidos.
Finalmente nos dedicamos a enumerar las conclusiones de la tesis y las perspectivas
del trabajo futuro.
– 10 –
Part I
GASES AUTO-GRAVITANTES
MAGNETIZADOS
– 11 –
1. RELATIVIDAD GENERAL
1.1 Fuentes de campo en Relatividad Especial
En esta sección obtenemos en forma heurı́stica las ecuaciones de Einstein, las cuales son
las ecuaciones de campo de la TGR. Como punto de partida consideramos la Teorı́a de
Relatividad Especial (TRE), la cual se basa en suponer un espacio-tiempo seudo-euclideano
de 4-dimensiones de Minkowski, cuya métrica en coordenadas cartesianas xa = (x, y, z, t)
es,
ds2 = ηab dxa dxb = −dt2 + dx2 + dy 2 + dz 2 ,
(1.1)
donde ηab = diag[−1, 1, 1, 1]. Las transformaciones de Lorentz, representadas por las matrices de Lorentz Λab , describen las transformaciones de coordenadas entre sistemas de
referencia inerciales xa y x̃b arbitrarios en el espacio de Minkowski. La forma explı́cita de
dichas transformaciones es,
xa = Λab x̃b ,
x̃a = Λ̃ab xb ,
(1.2)
donde las matrices satisfacen Λab Λ̃bc = δac . Las transformaciones de Lorentz describen
rotaciones arbitrarias (ver forma explı́cita en pág 67 de [26]). Toda teorı́a fı́sica debe
ser invariante bajo transformaciones de Lorentz al menos en una región local del espaciotiempo. Esta invariancia asegura el cumplimiento de las leyes de conservación locales
(de la energı́a, momento, etc) que debe cumplir toda teorı́a fı́sica en sistemas de referencia
inerciales arbitrarios. Las transformaciones de Lorentz entre dos sistemas de referencia para
la 4-velocidad ua , el 4-momento pa y el tensor de Maxwell F ab se expresan en términos de
estas matrices de la forma,
ua = Λab ũb ,
pa = Λab p̃b ,
F ab = Λac Λb d F̃ cd .
(1.3)
El tensor de energı́a-momento T ab , es un mapeo bilineal simétrico que se transforma
como un tensor de segundo orden,
T ab = Λac Λb d T̃ cd .
(1.4)
Este tensor cuantifica el flujo local de 4-momento pa de una fuente dada sobre superficies xb = constante, y por lo tanto proporciona toda la información dinámica sobre
las fuentes, las cuales pueden ser partı́culas masivas, neutrinos, fotones, de ondas electromagnéticas, etc. Dada una clase arbitraria de observadores caracterizados por un campo
vectorial de 4-velocidad ua , la forma matemática más general de T ab es (ver pág 7, [32]),
Tab = ρ ua ub + p hab + 2 q(a ub) + πab ,
(1.5)
donde hab = gab + ua ub es el tensor de proyección ortogonal a la hipersuperficie ortogonal
a ua .
Como toda fuente de campo puede ser matemáticamente reducida a la forma (1.5), se
utiliza el concepto formal de “fluido” para describir genéricamente a las fuentes. Las componentes de T ab en el marco de referencia dado por ua proporcionan las cantidades dinámicas
del fluido (para cualquier fuente) que los observadores asociados a esta 4-velocidad detectan,
– 12 –
• ρ = Tab ua ub , es la densidad de energı́a del sistema.
• p = Tab hab /3 es, la presión isótropica del sistema.
• qa = −hab Tbc uc es el flujo de energı́a en la dirección xa . Este tensor es ortogonal a
la 4-velocidad: qa ua = 0.
• πab = hhac hbid Tcd 3 describe la presión anisótropica y es también ortogonal a la 4velocidad: πab ua = 0.
Un caso caso particular importante es el llamado “fluido perfecto”, el cual se obtiene
de (1.5) cuando qa y πab se anulan. Dada una fuente cualquiera caracterizada por un tensor
de energı́a-momento T ab , las ecuaciones de conservación,
T ab,b = 0 ,
(1.6)
contienen información dinámica importante. Por ejemplo, proyectando (1.6) en dirección
paralela y ortogonal a ua obtenemos,
Ecuación de Euler:
ua T ab ,b = 0,
(1.7)
Ecuaciones de Navier-Stokes:
hab T bc ,c = 0.
(1.8)
Para el caso del campo electromagnético el tensor energı́a-momento tiene la forma (ver
pág 89, [26]),
1
1
T ab =
(F ac Fc b − η ab Fik F ik ),
(1.9)
4π
4
y es también reducible a la forma (1.5). Las ecuaciones de Maxwell se obtienen aplicando
la ley de conservación (1.6) a (1.9),
J a = F ab ,b ,
(1.10)
Fab,c + Fbc,a + Fca,b = 0,
(1.11)
donde el sı́mbolo ,a indica derivación parcial con respecto a xa . La conservación de la
carga viene dada por la proyección (1.7) que conduce a (1.9), a la forma de la ecuación
de continuidad J a ,a = 0, donde J a = (ρ, J~) es el 4-vector de la corriente electromagnética
(con ρ = ua J a la densidad de carga y J~ la corriente de carga).
1.2 Sistemas de referencia no-inerciales
Los sistemas de referencia no-inerciales corresponden a clases de observadores acelerados
(por ejemplo, sujetos a rotación). Las lı́neas de universo de dichos observadores (desde
un marco inercial) son curvilı́neas, por lo que pueden ser utilizadas para definir un sistema de coordenadas curvilı́neas relacionado con las coordenadas cartesianas mediante la
transformación general de coordenadas,
′
′
y a = y a (xb ),
3
(1.12)
Los sı́mbolos de corchetes angulares h i indican simetrización, traza nula y proyección ortogonal mediante
hab para el par de ı́ndices correspondiente. Además los paréntesis en (1.5) indican simetrı́a.
– 13 –
de modo que un campo vectorial V a se transforma como,
′
V a = J a b′ V b ,
(1.13)
donde,
∂xa
(1.14)
′,
∂y b
es la matriz jacobiana de la transformación de coordenadas. Es importante notar que
J a b′ generaliza las matrices de Lorentz Λa b a coordenadas generales, de modo que la
transformación (1.13) se reduce a las formas (1.3) cuando involucra a dos sistemas de
′
referencia inerciales. La métrica del espacio-tiempo de Minkowski en las coordenadas y a
se obtiene, a partir de la forma estándar (1.1), mediante la transformación de un tensor de
segundo orden,
(1.15)
ga′ b′ = Ja′ c Jb′ d ηcd ,
J a b′ ≡
′
donde Ja′ c es la matriz inversa de Jc a . Nótese que las componentes de la métrica ga′ b′ son,
′
en general, funciones de las coordenadas curvilı́neas y c . Es importante que las leyes de la
fı́sica puedan ser expresadas también en forma covariante entre observadores no-inerciales,
de modo que un 4-vector en un sistema de referencia sea también 4-vector en cualquier
otro (y por ende, para tensores arbitrarios y escalares que surgen de sus contracciones).
Consideremos una partı́cula libre en el espacio de Minkowski con 4-velocidad ua =
dxa /dτ , donde donde τ es el tiempo propio. El 4-momento asociado a dicha partı́cula es,
pa = m γ ua = m γ (1, v µ ),
(1.16)
p
donde µ = 1, 2, 3, γ = 1/ 1 − (v/c)2 , m es la masa en reposo y v 2 = δµν v µ v ν con δµν =
diag[1, 1, 1]. Es fácil mostrar que la 4-velocidad y el 4-momento de la partı́cula libre, desde
sistemas de referencia no-inerciales, se transforman de acuerdo a la ley (1.13),
′
ua =
dxa
dy b
′
= J a b′
= J a b′ ub .
dτ
dτ
(1.17)
Al tratarse de una partı́cula libre, su 4-aceleración debe ser nula, lo cual es evidente si
consideramos el 4-momento (1.16) desde un sistema de referencia inercial en los que v µ es
un 3-vector constante,
dpa
ṗa =
= m γ u̇a = 0.
(1.18)
dτ
Es evidente que u̇a en (1.18) se transforma como 4-vector bajo transformaciones de
Lorentz entre sistemas inerciales arbitrarios (al igual que ua y pa ), de modo que si u̇a se
anula en un sistema de referencia inercial, se deberá anular en todos. Sin embargo, la
4-aceleración no se transforma como un 4-vector entre sistemas de referencia no-inerciales,
lo cual es evidente al derivar (1.17) con respecto a τ y comparar con (1.13),
′
′
′
dy b dy c
dub
dua
′
′
′
= ua ,b ub = J a b′ ,c′
+ J a b′
= J a b′ ,c′ ub uc + J a b′ u̇b .
u̇ =
dτ
dτ dτ
dτ
a
(1.19)
Este hecho es sumamente importante, ya que se espera que una partı́cula libre carezca
de aceleración (ya que no está sujeta a interacción alguna). Por lo tanto, para poder
– 14 –
generalizar la invariancia de Lorentz en forma adecuada a sistemas de referencia arbitrarios
(por ejemplo, no-inerciales), debemos introducir un operador diferencial que generalice a la
derivada parcial ordinaria, de modo que obtengamos una definición alterna de aceleración
que se transforme como (1.13). Dicho operador es la llamada “derivada covariante”, la
cual denotamos con el sı́mbolo ; (punto y coma). La derivada covariante de un 4-vector V a
toma la forma,
V a ;b = V a ,b + Γa b c V c ,
(1.20)
donde Γabc son los sı́mbolos de Christoffel,
1
Γa bc = gad (gbd,c + gcd,b − gbc,d ) ,
2
(1.21)
′
y gab es la métrica (1.15) asociada a las coordenadas curvilı́neas y a . Los sı́mbolos de
Christoffel no se transforman como tensores. Nótese que la derivada covariante se reduce
a la derivada ordinaria cuando consideramos sistemas inerciales, ya que que estos sistemas
están asociados a la métrica estándar de Minkowski (1.1) en la que las derivadas de los
componentes son cero y por tanto Γa bc = 0.
Tomando en cuenta (1.20), es natural generalizar la 4-aceleración dada en (1.19) por,
u̇a = ua ;b ub = (ua ,b + Γa b c uc )ub ,
(1.22)
la cual podemos demostrar fácilmente (aunque es algebraicamente engorroso) que se transforma como (1.13).
Por lo tanto, con la nueva definición (1.22) podemos categorizar a una partı́cula libre
por u̇a = 0 en sistemas de referencia arbitrarios. Como consecuencia de este hecho, la
derivada covariante V a ;b se transforma como un tensor de segundo orden,
′
V a ;b = J a c′ J d b V c
′
;d′ ,
(1.23)
lo cual es sumamente relevante, ya que las leyes de la fı́sica se expresan mediante tensores
y derivadas de estos.
Esto generaliza la invariancia de Lorentz a sistemas de referencia no-inerciales, simplemente sustituyendo en las ecuaciones tensoriales la derivada parcial ordinaria por la
derivada covariante: coma pasa a ser punto y coma. Es importante enfatizar que hemos
introducido el uso de coordenadas curvilı́neas (1.12) para describir observadores acelerados
(no-inerciales) en el espacio-tiempo seudo-euclideano de Minkowski. Es necesario recalcar
que las coordenadas curvilı́neas no implican que el espacio-tiempo es curvo, ya que siempre
es posible encontrar una transformación de coordenadas que reduzca la métrica (1.15) a la
forma estandar de Minkowski (1.1).
Una vez asumida la validez de la invariancia de Lorentz, contenida en la TRE, se
pensaba hacia principios del siglo XX que el espacio de Minkowski era el escenario natural
para formular las ecuaciones de campo de toda teorı́a fı́sica (ya sea en sistemas de referencia
inerciales o no-inerciales). Como ejemplo importante, se consideró dentro de este esquema
a la Teorı́a Electromagnética, cuyas ecuaciones de campo (Maxwell) toman la siguiente
forma en un sistema de referencia arbitrario,
J a = F ab;b ,
Fab;c + Fbc;a + Fca;b = 0.
– 15 –
(1.24)
El siguiente paso serı́a elaborar una teorı́a de gravitación en el espacio-tiempo de
Minkowski, que generalizara la teorı́a newtoniana y que cumpliera con la invariancia de
Lorentz. Sin embargo, los esfuerzos de Einstein por elaborar dicha teorı́a fracasaron (ver
capı́tulo 7, [26]).
1.3 Teorı́a de la Relatividad General
Es evidente que un campo gravitacional local puede ser emulado o “cancelado” mediante
observadores no-inerciales (como, por ejemplo, un ascensor en caida libre). Sin embargo,
existen serias dificultades para la descripción no-local de campos gravitacionales mediante
los sistemas de coordenadas curvilı́neas asociados a observadores no-inerciales. A modo
de ejemplo, podemos citar el caso de movimientos acelerados en trayectorias hiperbólicas
(ver pág 166, [26]), donde se puede demostrar que en general existe una ruptura de la
comunicación entre los observadores fundamentales para distancias mayores que el inverso
de la aceleración (ver pág 170, [26]).
Dadas las inconsistencias en el intento de incorporar la gravedad en el marco teórico
de la TRE (espacio-tiempo seudo-euclideano de Minkowski), Einstein planteó lo que será
considerado como una de las propuestas teóricas más innovadoras y revolucionarias en la
historia de la ciencia: La gravitación es la manifestación dinámica de la curvatura del
espacio-tiempo. Esta sugerencia no invalida a la TRE, ya que todo espacio curvo es localmente plano, por lo que el espacio-tiempo curvo en el cual se manifiesta la gravedad se
reduce localmente al espacio seudo-euclideano (sin gravedad) de la TRE. Esta propiedad
es consistente con el poder “anular” localmente a todo campo gravitacional mediante observadores no inerciales. De hecho, Einstein llamó a esta propiedad el “Principio de Equivalencia”, según el cual, la dinámica de todo sistema, a escala local, puede ser descrita en
ausencia de gravedad por interacciones que suceden en el espacio-tiempo de Minkowski y
entre observadores inerciales.
Bajo este esquema, la gravedad a nivel local se manifiesta (y es equivalente) a aceleraciones detectadas por observadores no-inerciales. Sin embargo, en escalas más extensas
es imposible ignorar la gravedad (curvatura del espacio-tiempo), la cual necesariamente
influye en las ecuaciones de campo de toda teorı́a al sustituir derivadas ordinarias por
covariantes. Este hecho es muy relevante, ya que diversos campos que aparentemente
no “producen” gravedad (como el campo electromagnético) son efectivamente fuentes de
curvatura del espacio-tiempo, y por lo tanto, fuentes de gravitación.
La nueva teorı́a de la gravitación basada en asumirla como una manifestación de la curvatura del espacio-tiempo es conocida como la “Teorı́a General de la Relatividad” (TGR).
Existen muchas evidencias experimentales que han validado a la TGR: las trayectorias
curvas de los rayos de luz, el corrimiento hacia el rojo de un fotón bajo la influencia del
campo gravitatorio, la precesión en la órbita de Mercurio, etc [26]. Todos estos efectos son
predicciones de la TGR, y son imposibles de predecir o justificar a partir de la TRE.
En base a los razonamientos anteriores, y tomando en cuenta que todo flujo de materiaenergı́a es una fuente de curvatura del espacio-tiempo, las ecuaciones de campo de la TGR
deben tener como fuente al tensor de energı́a-momento T ab , el cual es un tensor de segundo
orden. Por lo tanto, la curvatura del espacio-tiempo que será asociada a estos flujos de
– 16 –
materia-energı́a debe ser expresada por un tensor de curvatura que sea del mismo orden.
Si llamamos Gab a este tensor, podemos proponer las siguientes ecuaciones de campo,
Gab = κT ab ,
(1.25)
donde κ es una constante de acoplamiento que será derivada más adelante. El tensor Gab
debe cumplir con las siguientes propiedades:
• Debe estar relacionado mediante contracciones con el tensor de Riemanian, Ra bcd , el
cual es el tensor fundamental de curvatura.
• Debe ser una combinación lineal del tensor de Ricci (que resulta de contraer el tensor
de Riemann) y de la métrica gab .
• Debe satisfacer la condición de conservación Gab ;b = 0, ya que esta condición es
satisfecha por T ab .
Es fácil demostrar que el tensor Gab que cumple con estas propiedades es llamado
tensor de Einstein, el cual tiene la forma,
1
Gab = Rab − gab R + Λgab ,
2
(1.26)
donde Λ es la constante cosmológica y la constante de acoplamiento toma la forma κ =
8πG/c4 , la cual se obtiene recurriendo al lı́mite clásico newtoniano al asumir que las velocidades asociadas a los flujos de materia-energı́a son mucho menores que la de la luz. Las
ecuaciones de campo (1.25) con Gab dado por el tensor de Einstein (1.26) son conocidas
como “Ecuaciones de Einstein”, y son las ecuaciones de campo de la TGR.
Los tensores que aparecen en las ecuaciones de Einstein son simétricos, de modo que
en 4 dimensiones tienen 10 componentes independientes. Dada la libertad de elección de
las cuatro coordenadas del espacio-tiempo, las ecuaciones independientes se reducen a 6.
Las ecuaciones de Einstein son un sistema de ecuaciones diferenciales parciales no-lineales
de alta complejidad, por lo que es difı́cil encontrar soluciones exactas de ellas.
SOLUCIONES EXACTAS
En la siguientes secciones presentamos dos clases de soluciones exactas de las ecuaciones de
Einstein. Asimismo, se discute el concepto de singularidad de curvatura, y se derivan los
parámetros cinemáticos que describen localmente la evolución de elementos de un fluido
arbitrario.
1.4 Solución de Schwarzschild
La solución de Schwarzschild fue la primera solución exacta de las ecuaciones de Einstein
(1.25). Esta es una solución de vacı́o (T ab = 0) que asume simetrı́a esférica, por lo que es
adecuada para describir el exterior de un objeto esférico. Es posible demostrar que dicha
solución es además estatica (existen coordenadas en que la métrica no depende del tiempo)
– 17 –
y única (Teorema de Birkhoff). La solución de Schwarzschild en su máxima extensión
analı́tica permite describir un AN esférico (por lo tanto, sin momento angular) y sin carga
eléctrica.
Suponiendo coordenadas esféricas xa = (t, r, θ, φ), la métrica de Schwarzschild tiene la
forma,
µ,τ =
1
− 2ΓU,β )β − 3H(ΓP + ΓU ) ,
(2H − S3 )(ΓM
ΓU,µ
S3,τ = 2βΓM − 3S3 H,
3
H, τ = βΓM + (ΓU − ΓP ) − 3H2 ,
2
β,τ = 2β(S3 − 2H),
2M
dr 2
+ r 2 (dθ 2 + sin2 θ dφ2 ),
ds2 = − 1 −
dt2 +
r
(1 − 2M/r)
(1.27)
(1.28)
(1.29)
(1.30)
(1.31)
donde M es la masa del objeto esférico en unidades de longitud (ya que suponemos G/c2 =
1). Nótese que a distancias lejanas de la fuente (r ≫ M ) la métrica (1.31) tiende al espacio
plano de Minkowski (métrica (1.1)).
Es evidente que la métrica de Schwarzschild (1.31) se torna problemática cuando r →
2M , ya que gtt → 0 y grr → ∞. Como M es una longitud, se le llama el “radio de
Schwarszschild”. 4 Sin embargo, es fácil mostrar que el comportamiento problemático
de (1.31) no corresponde a condiciones fı́sicas singulares, ya que todos los escalares de
curvatura son finitos en r = 2M , como por ejemplo,
I = Rabcd Rabcd =
48 M 2
.
r6
(1.32)
Además, toda clase de observadores en caida libre alcanzan el valor r = 2M , y llegan a
r = 0 en un tiempo propio finito. El problema con r = 2M se debe a que las coordenadas
(t, r) no son adecuadas para la descripción de regiones del espacio-tiempo cercanas a este
radio. Debido a que la métrica (1.31) no es válida para r ≤ 2M , esta no da una descripción
completa del espacio-tiempo. Podrı́amos omitir por el momento el valor problemático
r = 2M y extender estas coordenadas al rango 0 < r < 2M , de modo que la métrica
completa es (1.31) para r > 2M y para 0 < r < 2M tomar la forma,
2M
dr 2
2
+
− 1 dt2 + r 2 (dθ 2 + sin2 θ dφ2 ),
0 < r < 2M, (1.33)
ds = −
(2M/r − 1)
r
con lo que el carácter causal de (t, r) se invierte: para r > 2M , la coordenada t es de
tipo tiempo y r de tipo espacio, con lo cual todo observador puede seguir una lı́nea de
universo dada por r = constante, t = arbitrario (observador estático). Sin embargo, para
0 < r < 2M , r pasa a ser una coordenada tipo tiempo, por lo que ningún observador puede
seguir la lı́nea de universo r = constante (la cual queda fuera del cono de luz). En otras
4
El radio de Schwarzschild corresponde al radio que deberı́a tener un objeto esférico para que la velocidad
de escape (newtoniana) fuera igual a la de la luz.
– 18 –
palabras, para un observador en esta región r debe disminuir hasta r = 0. Evidentemente,
el radio de Schwarzschild marca este cambio en la causalidad de r y t.
Debido a que la extensión de las coordenadas discutida en el párrafo anterior es singular (matemáticamente hablando) en r = 2M , se utilizan otras coordenadas para entender el
comportamiento del espacio-tiempo alrededor de este valor. Por ejemplo, Kruskal y Szekeres propusieron el sistema de coordenadas dado por las relaciones (t, r, θ, φ) → (T, R, θ, φ)
dadas por,
r r
= R2 − T 2 ,
(1.34)
− 1 exp
2M
2M
ct
T +R
= ln
= 2 tanh−1 (T /R),
(1.35)
2M
R−T
las cuales transforman la métrica (1.31) a la conocida forma de Kruskal-Szekeres,
ds2 =
r 4 (2M )3
(−dT 2 + dR2 ) + r 2 (dθ 2 + sin2 θ dφ2 ),
exp
r
2M
(1.36)
donde ahora r = r(T, R) se debe obtener de la solución del sistema de ecuaciones (1.34) y
(1.35).
En esta forma de la métrica, las coordenadas (T, R) están bien definidas para todo
valor real. Las geodésicas nulas son lı́neas rectas a ± 45 grados de inclinación, por lo que
podemos examinar la estructura causal de este espacio-tiempo. Inmediatamente podemos
identificar cuatro regiones de interés,
• Región I o región exterior de la solución de Schwarzschild, caracterizada por R > |T |;
que corresponde a la métrica original (1.31), y que describe al campo gravitatorio
externo (vacı́o) de un objeto esférico. Véase en el diagrama del Apéndice B, Figura
6.
√
• Región II o región de AN de la solución de Schwarzschild, caracterizada por 1 + R2 >
T > |R|. La dirección de las curvas r = constante son ahora tipo tiempo, por lo que
todo observador dentro del cono de luz debe evolucionar hacia r = 0. A esta región se
le denomina “Agujero Negro” (AN), ya que los observadores dentro de ella no pueden
transmitir causalmente información alguna a observadores en la región I (sus señales
luminosas no llegan a r > 2M ).
• Región III o región de Agujero Blanco de la solución de Schwarzschild, caracterizada
√
por − 1 + R2 < T < −|R|. Es análoga a la región II, excepto que la dirección
causal es hacia r creciente (desde r = 0 hasta r = 2M ). Observadores en esta región
no pueden ser influenciados por los de las demás regiones, pero ellos pueden afectar
causalmente a estas.
• Región IV o región exterior paralela, caracterizada por R < −|T |. Esta región es
idéntica a la región I, pero está desconectada causalmente.
El valor r = 2M corresponde a una 2-esfera generada por segmentos de geodésicas
nulas (véase diagramas del Apéndice B), y se le denomina “horizonte de Schwarzschild”,
– 19 –
ya que encierra a la región I (el AN). Como ya se comentó, el espacio-tiempo es regular
en r = 2M , sin embargo, los escalares de curvatura, como por ejemplo (1.32), divergen
en el lı́mite r → 0, lo cual se puede asociar a fuerzas de marea colosales que destrozarı́an
a todo objeto fı́sico. 5 Como los escalares de curvatura divergen, no es posible extender
el espacio-tiempo a r = 0, por lo que toda curva causal (geodésica temporal o nula) debe
terminar en r = 0.
El valor r = 0 corresponde entonces a una singularidad de curvatura, la cual puede
ser definida como un conjunto de valores de las coordenadas xa = C a , tales que todos los
escalares del tipo (1.32) divergen conforme xa → C a a lo largo de las geodésicas causales
en valores finitos del parámetro afı́n de dichas curvas. Bajo este criterio, la solución de
Schwarzschild en su máxima extensión analı́tica tiene una singularidad de curvatura en
r = 0.
1.5 Solución de FLRW
Al asumir la validez del Principio Cosmológico 6 , la geometı́a del espacio-tiempo viene a
ser descrita por la métrica de Robertson-Walker (RW),
R2 (t) dr 2 + r 2 dθ 2 + sin2 θdϕ2
2
2
ds = −dt +
,
(1.37)
2
1 + k4 r 2
donde k = 0, ±1 representa la 3-curvatura (cero, positiva o negativa) de las secciones
espaciales t = constante.
Los espacio-tiempos asociados a esta métrica, para diferentes fuentes del campo, son
los llamados modelos Friedman-Lemaı̂tre-Robertson-Walker (FLRW), los cuales son ampliamente utilizados en la Cosmologı́a contemporánea 7 .
El tensor de energı́a-momento compatibe con la métrica (1.37) en una representación
comóvil 8 es necesariamente de la forma del fluido perfecto,
T a b = ρ ua ub + p ha b = diag[−ρ(t), p(t), p(t), p(t)],
5
(1.38)
Las fuerzas de marea se denominan en inglés “tidal forces”.
El Principio Cosmológico es la hipótesis principal de la Cosmologı́a moderna, la cual lleva a una interpretación teoricamente consistente a un número creciente de evidencias observacionales. El principio implica
que el universo a escalas lo suficientemente grandes (del orden de cientos de megapársecs) es isotrópico y
homogeneo. La isotropı́a exige que las cantidades observables sean independientes de la dirección de observación. El Principio Cosmológico sugiere que esta propiedad sea válida (a grandes escalas) para todo
observador cósmico, lo cual implica a su vez la “homogeneidad”, o sea, que las variables fı́sicas y geométricas
sean independientes de la posición de los observadores, dependiendo solo del tiempo cósmico (el cual es el
tiempo propio de estos). Estas propiedades solo son satisfechas por la métrica Robertson-Walker.
7
Las iniciales FLRW corresponden a Friedman, Lemaı̂tre, Robertson y Walker, que son los fı́sicos y
matemáticos involucrados en el estudio de estos modelos. El fı́sico ruso Alexander Friedman obtuvo entre
1922-1924 la primera solución de las ecuaciones de campo (para polvo) con la métrica RW. Esta solucion fue generalizada extensamente en 1927, para diversas fuentes de campo y valores de la constante
cosmológica, por el jesuita belga Georges Lemaı̂tre. Entre 1935 y 1936, los matemáticos inglés y norteamericano, Robertson y Walker, estudiaron las propiedades formales de la métrica RW, probando rigurosamente
que esta representa a la única geometrı́a del espacio-tiempo seudo-riemanniano que satisface al Principio
Cosmológico.
8
En una representación comóvil, la 4-velocidad asociada a la métrica RW es ua = δ a 0 .
6
– 20 –
donde ρ = ua ub T ab y p = (1/3)hab T ab pueden ser identificados con la densidad de masaenergı́a total y la presión medidas por un observador comóvil (la métrica RW en esta
representación no admite presiones anisotrópicas ni flujos de energı́a). Las ecuaciones de
Einstein son, 9
3(Ṙ2 + k)
= −Gt t ,
R2
Ṙ2 + k 2R̈
8πp = −
−
= Gr r = Gθ θ = Gϕ ϕ .
R2
R
8πρ =
(1.39)
(1.40)
Las ecuaciones (1.39)–(1.40) pueden ser complementadas con la ley de conservación ua ∇b T ab =
0,
ρ̇ + 3(ρ + p)
Ṙ
= 0,
R
(1.41)
la cual provee una condición de integrabilidad. Por tanto, tenemos dos ecuaciones efectivas
(cualesquiera dos de las tres ecuaciones (1.39)–(1.41)) para tres incógnitas (ρ, p, R), por
lo que hace falta especificar un vı́nculo extra, o “ecuación de estado”, para obtener un
sistema de ecuaciones determinado. La ecuación de estado no puede ser proporcionada por
la TGR, sino que debe ser sugerida por consideraciones fı́sicas concernientes a la fuente de
materia. Es útil reescribir las ecuaciones (1.41) y (1.39) como,
d
d
ρR3 + p
R3 = 0,
dt
dt
8π
2
Ṙ =
ρ(R) R2 − k.
3
(1.42)
(1.43)
Dada una relación entre p y ρ, podemos resolver (1.42) y obtener una relación funcional
del tipo ρ = ρ(R), con la cual la ecuación (1.43) se convierte en una ecuación de evolución
efectiva, conocida como “ecuación de Friedmann” cuya integración será de la forma R =
R(t).
1.5.1 Fuentes de materia–energı́a
Una ecuación de estado de uso sumamente común es la ecuación barotrópica p = p(ρ), y
en particular la conocida “ley gamma” dada por p = (γ − 1)ρ, donde γ es una constante.
Ciertos valores especı́ficos de γ se pueden asociar a situaciones fı́sicas, por ejemplo (γ = 4/3)
modela radiación incoherente, (γ = 1) modela polvo (gas de presión nula). El caso γ = 0
modela la energı́a del vacı́o (constante cosmológica) y lleva a los modelos de de Sitter. Otros
tipos de fuentes de materia, tales como campos escalares o cuerdas cósmicas, pueden ser
acomodados en el tensor de energı́a-momento (1.38), aunque en estos casos la 4-velocidad
solo tiene sentido formal. Diversas fuentes de materia son tratadas en el Apéndice C.
9
Consideramos Λ, la constante cosmológica, como una forma adicional en la densidad de energı́a
cumpliendo con el vı́nculo pΛ + ρΛ = 0, lo que se conoce como “energı́a del vacı́o” o “vacı́o cuántico”
y puede ser incorporado en las cantidades totales ρ y p reemplazando ρ + Λ y p − Λ.
– 21 –
1.5.2 Singularidades de curvatura
De todas las relaciones tipo ρ = ρ(R) obtenidas en los ejemplos del Apéndice C, es evidente
que ρ diverge para cuando R → 0 10 . Esto indica que los modelos FLRW, con las ecuaciones
de estado consideradas, inician su evolución en una singularidad de curvatura escalar,
marcada por R = 0, y caracterizada por la divergencia de todos los escalares construidos a
partir del tensor de Riemann y de Ricci. Los modelos FLRW comienzan por este estado de
singularidad y se caracterizan por estados de evolución primordiales a muy altas densidades
y temperaturas (en los casos en que la temperatura pueda ser definida). Esta situación
es conocida con el término inglés de “Hot Big Bang scenario” y la singularidad inicial es
llamada singularidad de “Big Bang”. El factor de escala es una medida de las distancias
locales relativas entre observadores fundamentales, de modo que si R → 0 estas distancias
empiezan a disminuir y terminan por anularse en el lı́mite. Las lı́neas de universo de
observadores fundamentales convergen y ası́ se caracteriza el Big Bang como un punto
cáustico.
1.6 Forma covariante de la dinámica de fluidos y colapso gravitacional
Podemos definir, para toda congruencia de observadores cósmicos asociados a un campo de
4-velocidades ua (xb ), parámetros covariantes que determinan el comportamiento cinemático
de elementos de volumen de un fluido dados por las mismas lı́neas de universo de los
observadores en las hipersuperficies 3–dimensionales espaciales y ortogonales a ua . Dichos
parámetros surgen de la descomposición irreducible y covariante de la derivada covariante,
θ
ua;b = hab + σab + ωab − u̇a ub ,
3
(1.44)
donde,
• θ = ua ;a es el escalar de expansión, el cual describe el cambio isotrópico del volumen
de los elementos de fluido.
• u̇a = ua;c uc es la 4–aceleración, la cual determina que tan diferente es la evolución de
las lı́neas de universo de los observadores en caida libre, ya que en ésta última dichas
lı́neas de universo serı́an geodésicas (u̇a = 0).
• σab = hc a hd b u(c;d) − (θ/3)hab + u̇a ub es el tensor de deformaciones o cizalladura, el
cual determina la deformación en las direcciones dadas por sus autovalores (sin cambio
de volumen) de los elementos del fluido. La notación (a;b) indica simetrización sobre
los ı́ndices a, b.
• ωab = hc a hd b u[c;d] es el tensor de vorticidad, el cual determina la rotación de elementos del fluido (a volumen constante) en un eje definido por sus autovalores. La
notación [a;b] indica anti–simetrización sobre los ı́ndices a, b.
10
El único caso de fuente que logra escapar a este análisis, es el caso de energı́a del vacı́o, en donde la
densidad de energı́a es igual a la constante ρ(vacio) = Λ/8π.
– 22 –
Supondremos que la dinámica de los observadores cósmicos viene dada por las ecuaciones de Einstein Gab + Λ gab = 8πT ab , 11 donde Λ es la constante cosmológica y el tensor
de energı́a–momento toma su forma más general posible dada por (1.5). Es posible demostrar que el tensor de Ricci Rab asociado al espacio–tiempo de los observadores satisface
la siguiente ecuación,
Θ̇ +
Θ2
= −Rab ua ub + hb a u̇a ;b + 2(ω 2 − σ 2 ) + u̇a u̇a ,
3
(1.45)
donde ω 2 ≡ (1/2)ωab ω ab y σ 2 ≡ (1/2)σab σ ab . Si consideramos el tensor de energı́a–
momento (1.5), y las ecuaciones de Einstein que implican la relación,
Rab ua ub +
1 a
R a = 8π Tab ua ub = 8π ρ − Λ.
2
(1.46)
Dado que −Ra a = −T a a = ρ + 3p, podemos transformar (1.45) en su forma conocida
como “ecuación de Raychaudhuri”12 ,
L̈
= −4π(ρ + 3p) + Λ + 2(ω 2 − σ 2 ) + hb a u̇a ;b + u̇a u̇a ,
L
(1.47)
donde hemos definido al factor de escala L como el escalar que satisface,
θ
L̇
= .
L
3
(1.48)
La ecuación de Raychaudhuri (1.47) ofrece una simple validación general de nuestras
expectativas intuitivas de como el efecto dinámico de la gravitación como curvatura del
espacio-tiempo (dado por Rab ua ub ) se traduce también en el efecto de una “fuerza atractiva”
que se manifiesta por la aceleración L̈/L de las distancias caracterı́sticas (L) entre dos
elementos de fluido definidos por ua .
• Los términos en (1.47) que favorecen el colapso para τ > τ0 son ρ + 3p > 0 y la
deformación σ 2 . Vale la pena remarcar que a la condición ρ + 3p > 0 se le denomina
“condición de energı́a fuerte”, y es satisfecha por la mayorı́a de las fuentes de masa–
energı́a conocidas.
• Los términos que en (1.47) que no favorecen (se oponen) al colapso para τ > τ0 son
ρ + 3p < 0 (violación de la condición de energı́a fuerte), vorticidad no nula ω 2 , 4–
aceleración (lı́neas de universo que no son geodésicas) y una constante cosmológica
Λ no nula y positiva.
El simple análisis cualitativo de la ecuación de Raychaudhuri que hemos hecho es la
base de los llamados “teoremas de singularidad” (ver capı́tulo 9, [27]). En la práctica,
los elementos de fluido, cuyos términos en (1.47) favorecen el colapso, necesariamente
evolucionan en un tiempo propio, τ , finito hacia un estado singular caracterizado por
11
Aquı́ hemos tomado κ = 8π G/c4 , con G/c4 = 1.
Dicha ecuación fue descubierta independientemente por Amal Kumar Raychaudhuri y por Lev D Landau. Para ver demostración a partir de las geodésicas cercana revisar Apéndice D.
12
– 23 –
θ → −∞ y volumen espacial nulo (colapso gravitacional). Debido a (1.45), los escalares
de curvatura (asi como la densidad y presión) tenderán a infinito para ese tiempo propio
finito, lo cual define a una singularidad de curvatura.
En la TGR, existen muchas versiones de los teoremas de singularidad de PenroseHawking. Muchas versiones establecen que si existen superficies nulas atrapadas y la
densidad de energı́a es no negativa, entonces allı́ existen geodésicas de longitud finita las
cuales no pueden ser extendidas. Estos teoremas, estrictamente hablando, prueban que al
menos una geodésica temporaloidea o nula puede ser finitamente extensible, solamente
hacia el pasado, pero existen casos en los cuales las condiciones de estos teoremas se
obtienen de tal forma que todos los caminos en el espacio-tiempos hacia el pasado terminan
en una singularidad. Por otro lado la conjetura de Penrose asegura como única singularidad
desnuda, la singularidad inicial de Big Bang al principio del origen de nuestro Universo,
en otro caso se vioları́an las condiciones de energı́a para ciertos sistemas fı́sicos. Si nos
guiamos por esta conjetura, que no ha sido demostrada, entonces sólo nos queda pensar
en singularidades de colapso donde la singularidad esta escondida dentro del horizonte de
eventos del sistema.
– 24 –
2. ESTUDIO DE UN GAS MAGNETIZADO Y AUTO-GRAVITANTE
DE ELECTRONES
2.1 Introducción
Indiscutiblemente, los objetos compactos como lo son las EBs pueden ser interpretados
como laboratorios astrofı́sicos donde la existencia de altas densidades y campos magnéticos
fuertes plantean un reto para su estudio. En principio suponer que una sección de volumen
de un objeto compacto se encuentre inmerso en un campo magnético fuerte no implica
estar muy lejos de la realidad. Además, cuando decimos campos magnéticos fuertes nos
referimos a campos muy superiores a los obtenidos en laboratorios terrestres. Es muy
interesante estudiar dicho sistema, las lı́neas del campo magnético y su relación con la
presencia de gravedad. El posible vı́nculo con las condiciones de colapso del sistema en
general aumentarı́a la importancia de dicho estudio.
Por otra parte, gran cantidad de modelos ya sean teóricos, fenomenológicos y númericos
han sido propuestos para la descripción de estrellas EBs magnetizadas. Entre los modelos
más simples (no magnetizados), está el modelo de Landau (ver [4, 33, 34]) que fija la
masa en un lı́mite finito para estos objetos. Generalmente un modelo consistente para
aplicarlo sobre una estrella EB magnetizada debe requerir considerar códigos numéricos
hidrodinámicos modelando las ecuaciones de Einstein–Maxwell con, al menos, condiciones
de simétricas y de frontera.
Es conocido que la teorı́a de Einstein no produce ecuaciones de estado, por tanto dichas
ecuaciones se deben importar desde otra teorı́a, por ejemplo, la estadı́stica, la teorı́a de
campo, o también pueden tener origen fenomenológico. En el caso especial de las EBs el
caso más simple de ecuación de estado serı́a suponer un gas ideal de fermiones magnetizado
y a temperatura cero, pues estas estrellas en su etapa final se enfrı́an. Por tanto, considerar
un gas degenerado no resulta ser una mala aproximación.
Sin embargo, se puede obtener información importante sobre la dinámica local de un
gas de Fermi magnetizado y auto-gravitante a partir de la evolución de esta fuente en un
contexto mucho más simple de la geometrı́a espacio-tiempo. Lidiar con espacios-tiempo más
realistas nos harı́an desembocar en sistemas de ecuaciones de compleja solución numérica.
Por tanto, en este capı́tulo nos proponemos estudiar la dinámica de un gas magnetizado y
auto-gravitante de electrones a temperatura cero. El presente capı́tulo generaliza el trabajo
previo hecho en [22].
La ecuación de estado que consideramos para describir un volumen local de una estrella
EB magnetizada es la obtenida en [35, 36, 37] y posteriormente es desarrollada para fuentes
más diversas en [19, 20, 21, 38, 39]. En estos trabajos se discuten ecuaciones de estado para
gases fuertemente magnetizados que contienen presiones anisótropas. En estos casos las
presiones, pk paralela y p⊥ perpendicular al campo son diferentes. La presencia del campo
magnético provoca estas anisotropı́as y la posibilidad de “colapso” se sugiere en la dirección
perpendicular al campo. Estos resultados nos llevan a pensar en extender tales estudios
al marco de la TGR para configuraciones magnetizadas, preguntándonos si se mantendrá
dicho “colapso”, y si este podrı́a dar paso a una singularidad tipo anisótropa a lo largo
de la dirección del campo magnético. A este tipo de singularidades se les define como
– 25 –
singularidades tipo “lı́nea” o “cigarro”, en contraste con las singularidades tipo “punto”
de sistemas isótropos y altamente simétricos13 .
En aras de investigar la dinámica local y el colapso de un gas magnetizado en el
contexto de la TGR, nosotros consideramos una de las configuraciones compatibles con
presiones anisótropas. O sea el espacio tiempo Bianchi-I el cual es descrito en términos de
una métrica de Kasner.
El argumento más claro para usar la geometrı́a Bianchi es que esta puede proveer una
descripción simplificada de la dinámica local de un elemento de fluido de un gas magnetizado en una configuración realista, ası́ este volumen desde el punto de vista termodinámico,
intercambia partı́culas y energı́a con el resto del sistema. Entonces, podemos considerar a
este volumen como parte de una distribución gran canónica asociada a todo el gas. Además,
supondremos que el elemento se encuentra lejos de la frontera del sistema donde los efectos
de frontera no influyan en la dinámica de dicho volumen. O sea, en el caso que sea un
objeto compacto, dicho volumen se encontrarı́a en el centro del sistema, o muy cerca del
centro donde el campo magnético se puede suponer que se encuentra apuntando en una
dirección preferencial. Evidentemente, un tratamiento como este es aproximado y no se
puede asociar a la descripción del objeto compacto real donde el campo magnético varı́a
con el radio y la aproximada geometrı́a esférica del objeto también serı́a importante. No
obstante este estudio tiene el valor de acercarnos al estudio dinámico de un volumen central
elemental de dichos sistemas.
Una vez que tomamos el espacio-tiempo Bianchi-I con métrica Kasner como la métrica
del campo asociado a un gas magnetizado, el sistema de ecuaciones de Einstein–Maxwell se
reduce a un sistema autónomo de cuatro ecuaciones diferenciales. Este sistema representa
un espacio de fase de cuatro dimensiones que puede ser estudiado tanto numéricamente
como cualitativamente, usando las técnicas ya estandarizadas para sistemas dinámicos.
Veremos que las magnitudes fı́sicas que caracterizan el espacio de fase serán convenientemente adimensionalizadas. Ellas serán la componente independiente del tensor de deformaciones Sµν , el escalar de expansión H, el campo magnético β y el potencial quı́mico
µ normalizados respectivamente. Todas las otras cantidades pueden ser expresadas en
términos de estas cuatro cantidades básicas. El examen numérico del sistema aclara el tipo
de singularidad de colapso que puede tener el volumen en dependencia de las condiciones
iniciales.
Las ecuaciones de estado que usaremos aquı́ son estrictamente válidas para densidades
del orden de (al menos) 1010 kg m−3 y 1018 kg m−3 esperadas para objetos compactos como
las EBs y ENs. Un gas fuertemente magnetizado y altamente degenerado en una EN está
en un estado muy cercano a la superfluidez con conductividad infinita (ver pág 291, [40]).
En estas condiciones el papel de la viscosidad es menor, aunque uno podrı́a considerar la
posibilidad de disipación o fenómenos de transporte, tales como disipación de la energı́a
rotacional en ondas electromagnéticas o gravitacionales (ver, [40, 41, 42]). Sin embargo,
incluso si la viscosidad no es significativa (al menos para ENs), la razón más importante
del por qué la despreciaremos (ası́ como otros efectos disipativos) en nuestros estudios, es
13
Ver definiciones de tipos de singularidad en [24].
– 26 –
por mantener la simplicidad del modelo. O sea, queremos mantener el problema tratable
matemáticamente. Nosotros pensamos que el caso de equilibrio térmico es suficiente como
primera aproximación para este modelo y dejamos el caso de fenómenos de transporte
disipativo para trabajos futuros.
2.2 Ecuaciones de Estado de un gas magnetizado de electrones
Como ya hemos visto en la introducción, una de las más importantes propiedades de un
sistema formado por un gas magnetizado de fermiones, es que exhibe una anisotropı́a en
las presiones. Esta anisotropı́a puede ser directamente asociada con la cuantización de los
niveles de energı́a por la presencia del campo. Clásicamente, el electrón orbita en el plano
perpendicular al campo magnético formando cı́rculos, con velocidad angular constante.
Su movimiento pueden ser descompuesto en el movimiento de dos osciladores armónicos
simples. Cuando este oscilador armónico simple es cuantizado, sus niveles de energı́a vienen
dados por la expresión,
E(pz , n, r) = ±mc2 [1 + (
p3 2
) + 2β(n + r − 1)]1/2 .
mc
(2.1)
Este espectro de energı́a para los electrones se obtiene resolviendo la ecuación de Dirac
en presencia de campo magnético constante en la dirección z. En (2.1) p3 , es el momentum lineal en la dirección z, β = B/Bc el cociente entre el campo magnético y el campo
magnético crı́tico Bc = m2 c3 /e~ = 4.414 × 109 T . Los signos + y - se refieren a electrones
y a positrones respectivamente, r = 1, 2 y n = 0, 1, 2..., son los números cuánticos de spin
y número cuántico principal de la órbita del electrón.
En el lı́mite de n muy grande, el último sumando en la expresión de la energı́a corresponde con la suma de los cuadrados de los momentum lineales en las direcciones x y y, es
decir,
px 2
py 2
B
) +(
) ,
(2.2)
2 (n + r − 1) −→ (
Bc
mc
mc
el gas se transforma en un gas de Fermi ordinario. O sea, se puede definir el parámetro
adimensional,
< p23 >
δ=
.
(2.3)
2β(mc)2
Ası́ las propiedades magnéticas del gas son clásicas si δ >> 1 o cuánticas si δ << 1.
Los campos magnéticos de interés para el gas de electrones describiendo una EB, están
en el rango de 104 T y pueden estar presentes durante procesos de colapso gravitatorio de
objetos estelares.
Los gases magnetizados de Fermi no relativistas han sido estudiados extensivamente
en el marco de la fı́sica estadı́stica y sus propiedades más importantes están asociadas con
el diamagnetismo de Landau y el paramagnetismo de Pauli.
En adición a esto veremos la forma que toman las ecuaciones de estado para el caso
relativista. El Gran Potencial Termodinámico Ω que se halla con la ecuación,
Ω = kT ln Z,
– 27 –
(2.4)
donde k es la constante de Boltzman, T la temperatura, Z = T r(ρ̂) es la función Gran
Potencial Termodinámico, ρ = e−(Ĥ−µN̂ )/kT , Ĥ es el Hamiltoniano, µ es el potencial
quı́mico y N̂ es el operador del número de partı́culas.
El tensor de energı́a-momentum total, donde en la diagonal principal están las presiones
y la densidad de energı́a, lo obtendremos haciendo la promediación macroscópica, Tµν =<
(micro)
(micro)
Tˆµν
> donde Tˆµν
= (∂ L̂/∂Aaµ,ν ) Âaµ,ν + (∂ L̂/∂Ψaµ,ν ) Ψ̂aµ,ν − δµν L̂, entonces para la
Rβ
R
3
función de partición Ω = −(kT )−1 ln< e 0 dx4 d xL(x4 ,~x) >. 14 El gas electrón–positrón es
relevante en el contexto astrofı́sico, y el Gran Potencial Termodinámico Ω para el sector
electrón–positrón tiene dos términos de la forma,
Ω = Ωse + ΩV e ,
(2.5)
donde el primer término en el lado derecho, es la contribución estadı́stica y el segundo la
contribución del vacı́o [20]. Explı́citamente, tenemos que en la aproximación de un lazo,
Z ∞
∞
eB X
Ωse = − 2
αn
dp3 ln[f + (µe , ξ)f − (µe , ξ)],
(2.6)
4π ξ η=0
−∞
donde ξ = 1/kB T , αn = 2−δ0n y f ± (µe , ξ) = (1+e−(Ee ∓µe )ξ ) representan respectivamente,
las contribuciones para partı́culas y antipartı́culas. El término de vacı́o es dado por la
expresión,
∞ Z
1 X ∞
ΩV e = 2
p⊥ dp⊥ dp3 Ee ,
(2.7)
4π ξ η=0 0
el cual es divergente, pero puede ser renormalizado, y para campos de intensidad B < 109 T,
su contribución es irrelevante [20] para campos de interés en los objetos astrofı́sicos actuales,
por tanto nosotros no tomaremos en cuenta este término. Tampoco incluiremos en Ωse , la
contribución clásica (o de árbol) asociada al campo magnético, pues seguimos la corriente
de publicaciones en donde este término se omite (ver [21]) 15 , aunque posteriormente en
el capı́tulo 4, si lo tendremos en cuenta.
La ecuación (2.6) puede ser integrada fácilmente para el caso degenerado (T = 0). En
ese caso la función de distribución de los electrones se convierte en la función paso unitario
y la de los positrones es cero. El tensor energı́a–momentum asociado a un gas de Fermi en
presencia de un campo magnético externo y constante en el tiempo, toma la forma [21],
∂Ω
∂Ω a 4
∂Ω X
+
µn
)δ 4 δ b + 4F ac Fcb
− Ω δa b ,
(2.8)
T a b = (T
∂T
∂µn
∂F 2
ası́ que en el lı́mite de campo magnético nulo obtenemos el tensor del fluido perfecto,
T a b = pδa b − (p + U )δa 4 δ4 b . Las componentes del tensor (2.8) son,
T 33 = pk = −Ω = p,
T 11 = T 22 = p⊥ = −Ω − BM = p − BM,
14
T
4
4
= −U = −T S − µe N − Ω,
(2.9)
(2.10)
(2.11)
Aquı́, los corchetes angulados < > significan la integral continual de Feynman en la teorı́a de Matsubara.
Otros autores si incluyen este término clásico, que finalmente introduce cambios en las direcciones de
colapso a nivel newtoniano (ver, [43]).
15
– 28 –
donde pk = p, p⊥ son las presiones, paralela y perpendicular al campo magnético, U
la densidad de energı́a, S la densidad de entropı́a, N la densidad de partı́culas y M la
magnetización. Para un objeto compacto, en especial para una estrella EB la temperatura
T << TF 16 . Es por ello que una descripción de estas estrellas pueden hacerse suponiendo
un gas degenerado de partı́culas.
Todas las variables termodinámicas del sistema pueden ser obtenidas a partir del Gran
Potencial Termodinámico Ω, y las ecuaciones de estado para el lı́mite de campo no nulo y
degenerado (T = 0), tendrán las forma explı́cita,
p⊥ = p − BM,
p = λ β Γp (µe , β),
U = λ β ΓU (µe , β),
(2.12)
MB = λ β ΓM (µe , β),
(2.13)
λ = mc2 /(4π 2 λ3c ) y las funciones Γk , serán, (ver [19]),
a
Γp = 0
3
ΓM =
s
X
n=0
ΓU = a0
µ2e
5
−
2
1
+ arcsinh
2
a0
µe
+β
s
X
n=0
αn (an − bn − cn ),
αn (an − bn − 2cn ),
µ2e
1
−
2
1
− arcsinh
2
(2.14)
(2.15)
a0
µe
s
X
αn (an + bn + cn ),
(2.16)
αn = 2 − δ0n , n = 0, 1, ...
p
(µe + an /µe )
2
, cn = 2nβbn ,
an = µe µe − 1 − 2nβ, bn = ln √
1 + 2nβ
2
µ −1
s=I e
,
2β
(2.17)
donde,
+β
n=0
(2.18)
(2.19)
y I[X] denota la parte entera de este argumento X.
2.3 Ecuaciones de Einstein–Maxwell
La métrica de Kasner es una de las métricas más simples que permiten anisotropı́as
en las presiones independientemente del origen de las mismas. En el caso de presiones
anisotrópicas asociadas a una fuente magnética, ella puede ser utilizada. Esta métrica
viene dada por,
ds2 = −c2 dt2 + A2 (t) dx2 + B 2 (t) dy 2 + C 2 (t) dz 2 .
(2.20)
Ella está asociada con un espacio-tiempo Bianchi-I “no–inclinado”17 [24]. Para una
4-velocidad comóvil ua = δta , donde ua ua = −1, la 4–aceleración se anula y el escalar de
16
TF temperatura de Fermi y T /TF ≃ 10−4 para una ENs. Por lo tanto, el desorden térmico no es
responsable de la presión, ni de la densidad de energı́a, ni de la magnetizacion del objeto compacto.
17
Los espacios-tiempo Bianchi inclinados tienen la 4-velocidad “inclinada”, o sea no son sistemas comóviles
con la velocidad en la dirección temporal.
– 29 –
expansión Θ y el tensor de deformaciones σba toma la forma,
σba = diag[σxx , σyy , σzz , 0],
Θ=
(2.21)
Ȧ Ḃ Ċ
+ + ,
A B C
(2.22)
donde,
Ḃ
Ċ
Ȧ
Ċ
2Ȧ
2Ḃ
−
−
, σy y =
−
−
,
3A 3B 3C
3B 3A 3C
2Ċ
Ȧ
Ḃ
=
−
−
,
(σaa = 0).
3C
3A 3B
σx x =
(2.23)
σz z
(2.24)
Ası́, consideramos como fuente de materia para esta métrica el siguiente tensor de
energı́a-momentum,
T a b = (U + P )ua ub + P δa b + Πa b , P = p −
2BM
,
3
(2.25)
aquı́ Πa b es el tensor de presiones anisotrópicas, U la densidad de energı́a, P es el valor
medio de las tres presiones diagonales, B el campo magnético y M la magnetización, a
todos ellos los suponemos funciones del tiempo. Note que la anisotropı́a es producida por
el campo magnético B. Si este campo se anula, o sea: B = 0, entonces el tensor de energı́amomentum se reduce al tensor del fluido perfecto con presión isótropa P = p. En el caso
general B 6= 0 el tensor Πa b tiene la forma,
Πa b = diag[Π, Π, −2Π, 0],
Π=−
BM
,
3
Πa a = 0.
(2.26)
Las ecuaciones de campo de Einstein (ECE) asociada con la métrica de Kasner y con
el tensor de energı́a-momentum quedan como,
Ḃ Ċ
BC
ȦĊ
−Gyy =
AC
ȦḂ
−Gzz =
AB
ȦḂ
−Gtt =
AB
−Gxx =
B̈ C̈
+ = −κ(p − BM),
B C
Ä C̈
+ +
= −κ(p − BM),
A C
Ä B̈
+ +
= −κp,
A B
ȦĊ
Ḃ Ċ
+
+
= κU,
AC
BC
+
(2.27)
(2.28)
(2.29)
(2.30)
donde el punto denota la derivación respecto al tiempo propio de observadores fundamentales y κ = 8πG/c4 . A partir de la ecuación de balance T ab;b = 0 y de las ecuaciones de
Maxwell F ab
;b = 0 y F[ab;c] = 0, tenemos que,
U̇ + (p + U )Θ − BM(
Ȧ
Ḃ 1 Ḃ
+
+
= 0.
A
B 2B
– 30 –
Ȧ Ḃ
+ ) = 0,
A B
(2.31)
(2.32)
Nosotros necesitamos construir un sistema auto-consistente de ecuaciones diferenciales
de primer orden que puedan ser resueltas numéricamente, ası́ que serı́a muy conveniente
eliminar primeras y segundas derivadas de las funciones métricas en las ecuaciones de
Einstein–Maxwell y escribirlas en términos del escalar de expansión y de las componentes
del tensor de deformaciones. Siendo consecuentes con esta idea, combinamos las ecuaciones
(2.21)-(2.22),(2.23)-(2.24), (2.27)-(2.30) y (2.31)-(2.32), eliminamos las funciones A, B, C
junto con sus derivadas Ȧ, Ä, Ḃ, B̈, Ċ, C̈. Después de algunas manipulaciones algebraicas
arribamos al siguiente vı́nculo,
−(Σy )2 − (Σz )2 − Σy Σz +
Θ2
= κU,
3
(2.33)
y a las siguientes ecuaciones diferenciales,
2
U̇ + (U + p)Θ − BM( Θ − Σz ) = 0,
3
κ
y
Σ˙y = − BM − Σ Θ,
3
2κ
BM − Σz Θ,
Σ˙z =
3
3
Θ2 3
Θ̇ = κ(BM − p) −
− ((Σy + Σz )2 − Σy Σz ),
2
2
2
2
z
β̇ = β(3Σ − 2Θ), con β ≡ B/Bc ,
3
(2.34)
(2.35)
(2.36)
(2.37)
(2.38)
donde Σz = σzz que la tomamos como la componente independiente del tensor de deformaciones18 .
Aunque el tensor de deformaciones se puede determinar por esta única componente,
para nosotros será muy conveniente, desde el punto de vista de los cálculos numéricos,
utilizar dos componentes de dicho tensor.
Las funciones U, p y M ahora vendrán dadas por las ecuaciones de estado del gas19 ,
p = λ Γp (β, µ),
BM = λ βΓM (β, µ),
U = λ ΓU (β, µ).
(2.39)
2.4 Dinámica de cantidades covariantes
Consideremos ahora las siguientes variables,
H=
Θ
,
3
d
1 d
=
,
dτ
H0 c dt
(2.40)
y las funciones adimensionales,
Sy =
H
Σy
Σz
κλβ
, H=
, Sz =
, Ω=
,
2
H0
H0
H0
3H0
(2.41)
donde S y y S z están relacionados con las componentes yy y zz del tensor de deformaciones,
mientras que Ω está relacionado con el campo magnético. El nuevo tiempo τ es un tiempo
18
Las componentes Σx y Σy se definen similarmente.
Aquı́ se sobrentiende que µ = µe potencial quı́mico de los electrones, para el caso de los neutrones
µ = µn .
19
– 31 –
adimensional (o tiempo “logarı́tmico”). La cantidad H(t) (debido a (2.21)-(2.22)) cambia
las dimensiones de cm−1 y el signo de τ se determina por el signo de H(t) (ver Apéndice
E). Sin embargo, nosotros hemos elegido Ω = β por tanto κλ = 3H02 , para eliminar la
presencia de constantes adicionales en el sistema de ecuaciones. Insertando la ecuación de
estado (2.39) y las nuevas definiciones (2.40), (2.41) en (2.33) y (2.34)-(2.38), obtenemos
el vı́nculo,
−(S y )2 − (S z )2 − S y S z + 3H2 = 3ΓU ,
(2.42)
más el sistema,
y
S,τ
= −βΓM − 3S y H,
z
S,τ
(2.43)
z
= 2βΓM − 3S H,
(2.44)
(S y
S z )2
Sy Sz
3
+
H,τ = βΓM − (Γp + H2 +
−
),
2
3
3
β,τ = 2β(S z − 2H),
1
[(2H − S z )(ΓM + 2ΓU,β )β − 3H(Γp + ΓU )] .
µ,τ =
ΓU,µ
(2.45)
(2.46)
(2.47)
Note que, contrario a los modelos cosmológicos discutidos en la referencia [26] donde
H0 = 0.59 × 10−26 m−1 podrı́a jugar el rol de la constante de Hubble, en nuestro gas
magnetizado de Fermi tenemos que H0 = 0.86 × 10−10 m−1 , el cual es mucho más pequeño.
Esto es lógico y consistente porque indica que nuestro modelo simplificado es examinado
sobre escalas locales mucho menores que las escalas cósmicas. La escala 1/H0 ≃ 1.15 ×
1010 m es del orden de la distancia de una unidad astronómica.
Los resultados mencionados en las referencias [19, 20, 21] para el gas de electrones
muestran que para un campo magnético intenso, del orden del campo crı́tico Bc , todos
los electrones están en el nivel básico de Landau n = 0, y consecuentemente se tiene que
p⊥ = 0. Consideramos el estudio de como evoluciona un gas en estos casos, en el cual las
funciones Γ(β, µ) se simplifican considerablemente, tomando la siguiente forma,
1
a
a0 2 5
(µ − ) + arcsinh( 0 ) + β(a0 − b0 ),
3
2
2
µ
ΓM = (a0 − b0 ),
1
1
a
ΓU = a0 (µ2 − ) − arcsinh( 0 ) + β(a0 + b0 ), donde
2
2
µ
p
a0 = µ µ2 − 1, b0 = ln(µ + a0 /µ), c0 = 0, α0 = 1.
Γp =
(2.48)
(2.49)
(2.50)
Ası́ sustituyendo (2.48)-(2.50) en (2.43)-(2.47) mantenemos el sistema auto–consistente
de cinco ecuaciones diferenciales ordinarias (2.43)-(2.47), con las funciones incógnitas β, H, S y , S z
y µ, y el vı́nculo (2.42), el cual solo admite una solución numérica.
De las ecuaciones de estado (2.39) se deduce que el potencial quı́mico debe satisfacer
µ ≥ 1, lo que es correcto para sistemas con densidades del orden de ∼ 107 gm/cm3 o
√
mayores. Para EBs o ENs, el potencial quı́mico toma valores alrededor de 3 ≃ 1.732.
También U > 0, entonces el potencial quı́mico µ ≥ 1 y de (2.42) obtenemos el vı́nculo,
−(S y )2 − (S z )2 − S y S z + 3H2 = 3ΓU ≥ 0,
– 32 –
(2.51)
ası́ nuestro espacio de fase fı́sico de 5-dimensiones, estará restringido por las relaciones,
3H2 ≥ (S y )2 + (S z )2 + S y S z ,
2
µ ≥ 1 + 2β,
3Γp − ΓU
β ≥
.
2ΓM
(2.52)
(2.53)
(2.54)
Para modelos Bianchi-I no-inclinados solo existe una componente independiente del
tensor de deformación, la cual tomamos por S z , sin embargo será conveniente usar también
la componente S y para nuestros cálculos numéricos. Además, la forma de las componentes
del tensor de deformaciones determina la forma de los coeficientes métricos. De (2.21)(2.22) y (2.23)-(2.24), tenemos que,
A,τ
B,τ
C,τ
= (S x + H),
= (S y + H),
= (S z + H),
A
B
C
(2.55)
donde S x = −S y − S z .
2.5 Discusión y resultados
Usando (2.21)-(2.22) y (2.40) podemos expresar el volumen local como V ≡ ABC en
términos de H y el tiempo adimensional τ como
Z τ
V(τ ) = V(0) exp 3
Hdτ .
(2.56)
τ0
Claramente se puede notar el por qué al tiempo τ se le llama tiempo “logarı́tmico”.
Note que el signo de H(τ ) implica expansión del volumen local, si (H(τ ) > 0) y colapso si
(H(τ ) < 0).
2.5.1 Singularidades
Las ecuaciones de estado que estamos considerando están asociadas con objetos compactos
a muy alta densidad (al menos ∼ 1010 kg m−3 ), el rango de evolución del modelo para bajas
densidades o caso diluido, no es fı́sicamente interesante para nosotros y no será tratado.
Esto significa que solo consideraremos las fases de colapso del modelo. Ası́ solo necesitamos
examinar las condiciones iniciales en las cuales la expansión inicial H0 es negativa. Nosotros
probamos numéricamente el modelo usando una gran cantidad de condiciones iniciales
diferentes, cubriendo todo el rango de valores de interés fı́sico para los objetos compactos,
desde EBs hasta ENs. Por ejemplo: µ0 = 2 corresponde con densidades de ∼ 1010 kg m−3 ,
mientras que β0 = 10−5 representa campos magnéticos del unos 104 T . Junto con H0 < 0,
consideramos en particular: S0y = 0, ±1 y S0z = 0, ±1, que corresponden con casos de
deformación inicial nula, y deformaciones iniciales positivas y negativas en las direcciones
y o z.
Ası́ cuando H0 < 0 el modelo exhibe un comportamiento en general de colapso H →
−∞, independientemente de los valores iniciales de las otras funciones (ver ejemplos en
la Figura 1). En todas las configuraciones de colapso la intensidad del campo magnético
diverge a infinito independientemente de las condiciones iniciales. En la Figura 1 mostramos
– 33 –
varias soluciones numéricas para diferentes valores del campo magnético inicial. Se puede
ver como al aumentar la intensidad del campo (etiquetada por β1 < β2 < β3 en la
figura), la expansión muestra un rápido decaimiento a −∞. Consecuentemente, siempre
que aumentemos el campo magnético inicial, el tiempo de colapso decrece.
Usamos
Magnetic Field and Expansion Scalar
100
β3
β1
β2
0
H2
1-line
2-diamond
3-cross
H1
–100
H3
0.1
0.102
0.104
0.106
τ
Figura 1: Soluciones numéricas para el campo magnético adimensional β(τ ) y para el escalar
de expansión H(τ ). Aquı́ disponemos de tres condiciones iniciales diferentes, S x (0) = 0, S y (0) =
−1, S z (0) = 1, µ(0) = 2, y β1 (0) = 10−5 , β2 (0) = 5 × 10−5 , β3 (0) = 10−4 respectivamente, para
el campo magnético inicial. Entonces debido a (2.51), la expansión inicial debe tomar los valores
H1 (0) = H2 (0) = H3 (0) = −4.82. Los resultados numéricos para los tiempos de colapso son
τ1 = 0.1059, τ2 = 0.1058, y τ3 = 0.1057 respectivamente.
condiciones iniciales con deformación inicial no necesariamente en la dirección del campo
magnético, ası́ que las singularidades anisótropas del tipo “cigarro” emergen a lo largo
de cualquiera de estas direcciones, o sea, el colapso puede ser paralelo o perpendicular al
campo magnético.
Un análisis de todos estos casos revela que los estados de colapso dependen fuertemente
– 34 –
Shear Components + Expansion Scalar
Sx+H
100
0
Sz+H
–100
Sy+H
(line)
0.05
0.1
0.15
τ
Figura 2: Trayectorias de las funciones S i + H para i = x, y, z. Nosotros tomamos las siguientes
condiciones iniciales: S x (0) = 1, S y (0) = 0, S z (0) = −1, µ(0) = 2, β(0) = 0, y H(0) = −3.43.
Este sistema muestra la deformación inicial en la dirección x con el campo magnético apuntando
en la dirección z. El colapso forma una singularidad tipo “cigarro” o “lı́nea” en la dirección x.
de los valores iniciales de la deformación. Por ejemplo, si tenemos una deformación inicial a
lo largo de la dirección x, se dice que : S0x ≫ S0y , S0z , β0 , µ0 , entonces una singularidad tipo
“cigarro” emerge a lo largo de la dirección x. Esto se muestra en la Figura 2, ilustrando
(por medio del conjunto de ecuaciones (2.55)) que la función métrica A tiende a infinito,
mientras que las otras funciones métricas B y C rápidamente decaen a cero. En general, la configuración inicial del sistema y los valores iniciales del tensor de deformaciones
determinan la dirección (privilegiada) del colapso anisótropo.
Las pruebas numéricas también muestran que existe un valor umbral para el campo
magnético inicial y dependiendo de su intensidad, este también puede influir en la dirección
que tome la singularidad tipo “cigarro”. Esto se puede ilustrar apoyándonos en la propia
Figura 2: Si aquı́ aumentamos el campo magnético a β0 = 1 entonces obtendremos una
– 35 –
singularidad tipo “cigarro” pero en la dirección z para cualquier valor de la deformación
Si (0) = 0, ±1 (donde i = 1, 2, 3 direcciones espaciales). Sin embargo, β0 = 1 ∼ 109 T es
una valor fı́sicamente irreal para estrellas EBs magnetizadas, pero puede ser razonable en
modelos de universos primordiales magnetizados.
Una anisotropı́a tipo “punto” siempre puede emerger de configuraciones con deformación inicial nula, o sea con S0x = S0y = S0z = 0 y β0 = 0. Sin embargo, incluso
con deformación inicial nula existen siempre valores umbrales del campo magnético para
los cuales las singularidades tipo “punto”, (naturales de configuraciones sin deformación),
pasan a ser singularidades tipo “cigarro” extendidas en la dirección del campo magnético.
2.5.2 Espacio de fase y subespacios crı́ticos
Como hemos mencionado previamente, el sistema de ecuaciones de Einstein–Maxwell puede
ser escrito como un sistema autónomo asociado a un espacio de fase de 4-dimensiones, con
las variables (S z , β, µ, H). Note que Σy siempre puede ser encontrada si determinamos Σz =
Σ, la cual hemos supuesto como la componente independiente del tensor de deformaciones.
Considerando las 4-funciones mencionadas, tendremos el siguiente sistema de ecuaciones,
2
U̇ = −(U + p − BM)Θ − BMΣ,
3
2
Σ̇ = κBM − ΘΣ,
3
3
Θ̇ = κ(BM + (U − p)) − Θ2 ,
2
2
β̇ = β(3Σ − 2Θ),
3
(2.57)
(2.58)
(2.59)
(2.60)
donde Σ = σ z . Si pasamos a trabajar con las funciones adimensionales, definidas en (2.41)
este sistema se convierte en,
z
S,τ
= 2βΓM − 3HS z ,
3
H,τ = βΓM + (ΓU − Γp ) − 3H2 ,
2
β,τ = 2β(S z − 2H),
1
[(2H − S z )(ΓM + 2ΓU,β )β − 3H(Γp + ΓU )].
µ,τ =
ΓU,µ
(2.61)
(2.62)
(2.63)
(2.64)
Note que solo se modifica la ecuación para H(τ ), ya que podemos llegar a la ecuación
(2.62) usando (2.45) y el vı́nculo (2.42), por consiguiente ambos sistemas son equivalentes.
Entonces, la ecuación (2.43) es necesaria solamente para calcular los coeficientes métricos
restantes.
En la Figura 8 del Apéndices F, representamos una sección 3-dimensional del espacio de
fase (S z , β, µ) con diferentes curvas para distintas condiciones iniciales. Como se muestra en
la figura, el valor inicial de la expansión H0 determina la evolución global de las soluciones
p
numéricas. Todas las curvas que inician en τ = 0 con expansión H0 = κλ/3, convergen al
p
atractor estable “a”. Pero en el caso que tomemos H0 = − κλ/3 y empezando en τ = 0,
entonces las curvas evolucionarán tendiendo a la singularidad anisotrópica. Tomando el
– 36 –
lado izquierdo del sistema de ecuaciones en (2.61)-(2.64), igualándolo a cero y resolviéndolo
de forma algebraica, encontramos el conjunto de puntos crı́ticos. Dentro de este conjunto
de puntos crı́ticos se encuentra el atractor estable “a”,
a = {S z = 0, β = 0, µ = 1, H = 0}.
(2.65)
Para el espacio de 4-dimensiones (S z , β, µ, H) existen cuatro posibles secciones 3-dimensionales.
En estas secciones hemos calculado también las soluciones numéricas y los resultados son
similares.
2.6 Conclusiones del capı́tulo
Hemos presentado un modelo basado en la descripción dinámica de un volumen local de
un gas magnetizado y auto-gravitante de electrones en el nivel básico de Landau n = 0.
Consideramos las ecuaciones de estado de este sistema. También, hemos trabajado con
formas simplificadas de las ecuaciones de Einstein-Maxwell que fueron escritas asumiendo
un espacio-tiempo Bianchi-I con métrica de Kasner. La fuente de anisotropı́a es el propio
campo magnético. Este espacio-tiempo simplificado provee un conveniente modelo juguete
para entender el comportamiento local de colapso del sistema que cualitativamente imita
las fuentes de materia dentro de un objeto compacto.
La relevancia de este capı́tulo emerge de nuestros estudios sobre clasificación de singularidades, las cuales pueden ser de tipo “punto” o de tipo “cigarro”. Las singularidades
tipo “punto” aparecen bajo condiciones especiales del campo magnético nulo, deformación
nula o ambas. Singularidades tipo “cigarro” pueden ser obtenidas en todas las direcciones,
dependiendo de los valores iniciales del tensor de deformaciones. Sin embargo, para intensidades suficientemente grandes del campo magnético inicial siempre se esperará una
singularidad tipo “cigarro” en la dirección del campo magnético.
Este resultado es importante porque el valor del campo magnético determina el tipo
de colapso y esto está de acuerdo con la idea previa no-relativista en la cual se analiza el
colapso de estos gases magnetizados dentro de un cuadro Newtoniano[19],[20], [21].
Por otro lado, ası́ como es discutido en [44] por Collins & Ellis, los modelos Bianchi
como el de tipo-I que estamos considerando, son globalmente hiperbólicos y solo presentan
una singularidad, ası́ que las hipersuperficies de tiempo constante (ortogonales a la 4velocidad) son hipersuperficies globales de Cauchy20 y cada punto en el espacio-tiempo
puede ser causalmente conectado con el último. La 4-velocidad es una geodésica del campo
y la singularidad es determinada por un valor especı́fico de tiempo constante, ası́ que
esta singularidad no es de tipo temporaloidea21 y cada evento en el espacio puede ser
20
Una superficie de Cauchy es una variedad 3-dimensional espacialoidea, cuyo futuro y pasado de dependencia describen toda la variedad espacio-tiempo.
21
Según su carácter las singularidades fı́sicas pueden ser: 1) Singularidades temporaloideas, como la
que se encuentra en un agujero de Schwarzschild en la que una partı́cula deja de existir por cierto instante
de tiempo; dependiendo de su velocidad, las partı́culas rápidas tardan más en alcanzar la singularidad
mientras que las más lentas desaparecen antes. Este tipo de singularidades son inevitables, ya que tarde
o temprano todas las partı́culas deben atravesar la hipersuperficie temporal singular. 2) Singularidades
espacialoideas, como la que se encuentra en agujeros de Reissner-Nordstrom, Kerr y Kerr-Newman. Al
– 37 –
causalmente conectado con esta singularidad (en particular por geodésicas que son curvas
integrales del campo de la 4-velocidad).
Nosotros solo hemos considerado regı́menes de colapso a partir de una hipersuperficie inicial de tiempo constante. Ası́, cada curva temporaloidea futura (geodésica o no)
comienza en una hipersuperficie de Cauchy de tiempo constante y termina en la singularidad de colapso. Bajo estas condiciones, la singularidad es obviamente censurada.
ser hipersuperficies espaciales una partı́cula puede escapar de ellas y por tanto se trata de singularidades
evitables.
– 38 –
3. ESTUDIO DE UN GAS MAGNETIZADO Y AUTO-GRAVITANTE
DE NEUTRONES
3.1 Introducción
En este capı́tulo extendemos el trabajo previo hecho para un gas de electrones, al caso de
neutrones. Seguimos una similar metodologı́a basada en la reescritura de las ecuaciones
de campo y de las ecuaciones de conservación, para el gas de neutrones en una geometrı́a
Bianchi-I. Como sistema dinámico, estudiamos su evolución en un espacio de fase de 4–
dimensiones. Este sistema es analizado cualitativamente y numéricamente.
Vale la pena resaltar las diferencias básicas entre el gas magnetizado de electrones
examinado en [40, 22, 52] (ver capı́tulo anterior) y el gas de neutrones que nosotros consideraremos en este capı́tulo. Los electrones interactúan con el campo magnético a través de
su carga eléctrica, contribuyendo al llamado diamagnetismo de Landau caracterizado por
un efecto de cuantización asociado con los niveles de Landau. Sin embargo, los neutrones
interactúan con el campo magnético mediante el Momento Magnético Anómalo (MMA),
en el contexto del paramagnetismo de Pauli y de las ecuaciones de Pauli–Dirac. Consecuentemente uno espera que la interacción magnética del neutrón sea débil, aunque un
gas de neutrones degenerado en condiciones de objeto compacto se espera que sea más
crı́tico (debido a las altas densidades) que las de un gas degenerado en condiciones de baja
densidad. Por tanto, los efectos relativistas de la gravedad tendrán que tomarse en cuenta
y podrı́an dominar desde el punto de vista dinámico en el gas de neutrones. También es
importante mencionar que un gas de neutrones auto–gravitante es un modelo simplificado
de una fuente para un objeto compacto, donde los protones y el potencial quı́mico de equilibrio deben ser incluidos, para evaluar los efectos locales [40, 50, 51]. Sin embargo, el gas
de neutrones magnetizado [45] ya exhibe importantes diferencias, tanto cualitativas como
cuantitativas, en comparación con el gas de electrones previamente analizado.
3.2 Ecuación de Estado de un gas magnetizado de neutrones
Propiedades importantes del gas de neutrones magnetizado y degenerado son reportadas
en (ver [40, 20, 53]). Considerando el ensemble gran canónico, un subsistema puede ser
pensado como un volumen local de un gas de neutrones bajo la influencia de un campo
~ asociado al resto del sistema (en un contexto astrofı́sico esta puede ser una
magnético H
buena aproximación a un volumen local dentro de un objeto compacto). Debido a este
campo los subsistemas se pueden polarizar, permitiendo que surja una magnetización que
~ = B
~ − 4π M.
~ El campo H
~ puede ser pensado como un campo
satisface la relación: H
~ serı́a el “interno” de cualquier partı́cula dentro
“externo” al subsistema, mientras que B
~ la contribución 4π M
~ de partı́culas del
del subsistema, el cual incluye (en adición a H)
resto del subsistema.
La ecuación de estado para el gas de neutrones se obtiene de calcular el espectro de
energı́a de las partı́culas que forman el sistema. Nosotros podemos obtener este espectro de
energı́a a partir de las ecuaciones de Dirac para partı́culas neutras con momento magnético
anómalo,
(γ µ ∂µ + m + iqσµν F µν )Ψ = 0,
(3.1)
– 39 –
donde σµλ = 12 (γµ γλ − γλ γµ ) es el tensor de espı́n, F µν es el tensor del campo electromagnético (nosotros hemos tomado ~ = c = 1) y Ψ es el campo de Dirac. Resolviendo la
ecuación (3.1) se obtiene el siguiente espectro de energı́a [53],[54],[55],
r
q
En (p, B, η) =
p2k + ( p2⊥ + m2n + ηqB)2 ,
(3.2)
donde pk , p⊥ son respectivamente, las componentes del momentum en la dirección paralela
y perpendicular al campo magnético B, mn es la masa del neutrón, q = −1.91µN es el
momento magnético del neutrón (µN = e/2mp es el magnetón nuclear), η = ±1 son los
autovalores correspondientes a las dos orientaciones posibles (paralela y antiparalela) del
Momento Magnético Anómalo (MMA) del neutrón respecto al campo magnético.
Sustituyendo (3.2) en la expresión (2.6) obtenida en el capı́tulo anterior podemos calcular todas las cantidades termodinámicas del sistema al igual que hicimos en ese mismo
capı́tulo para el gas de electrones magnetizado.
Tal como explicamos en dicho capı́tulo el término de vacı́o es divergente, y puede
igualmente ser renormalizado, y para el gas de neutrones su contribución es relevante sólo
para campos de intensidad B > 1014 T [20], por tanto nosotros no tomaremos en cuenta
este término22 .
La ecuación (2.6) puede ser integrada fácilmente23 para el caso degenerado (T = 0), y
su forma explı́cita es entonces,
X µfη3 (1 + ηβ)(5ηβ − 3)µfη
(1 + ηβ)3 (3 − ηβ)
ηβµ3
+
+
Lη −
sη , (3.3)
Ωsn = −λ
12
24
24
6
η=1,−1
donde hemos introducido las siguientes expresiones,
π
1 + ηβ
sη = − arcsin
,
2
µ
µ + fη
B
Lη = ln
,
, β=
1 + ηβ
Bc
p
fη = µ2 − (1 + ηβ)2 ,
µ=
µn
,
mn
(3.4)
(3.5)
con Bc = mn /q ≃ 1.56 × 1016 T el campo crı́tico para neutrones y λ = m4n /4π 2 ~3 c3 =
4.11 × 1035 J m−3 .
Calculando la densidad de neutrones y la magnetización obtenemos que: N = N0 ΓN ,
M = M0 ΓM , donde N0 = λ/mn , M0 = N0 q, y los coeficientes ΓN , ΓM toman la forma,
X fη3 ηβ(1 + ηβ)fη
ηβµ2
ΓN =
+
−
sη ,
3
2
2
η=1,−1
X (1 − 2ηβ)µfη
(1 + ηβ)2 (1 − ηβ/2)
µ3
−
Lη + s η .
ΓM = −
η
6
3
6
η=1,−1
22
Realmente el término de vacı́o pudiera ser relevante para cuando el sistema evoluciona hacia la singularidad y el campo magnético crece a infinito pero, por simplicidad no lo tendremos en cuenta en este
trabajo y suponemos que no influye de manera determinante.
23
Recordar que en este caso de neutrones en (2.6) no se suma por los niveles de Landau sino por −1, +1,
los dos estados posibles del MMA.
– 40 –
Por consiguiente, dados (2.9)-(2.11) y (3.3), nosotros podemos escribir la ecuación de estado para un gas de neutrones relativista y degenerado en presencia de un campo magnético
como,
U = µn N + Ω = λΓU (β, µ),
(3.6)
p = −Ω = λΓP (β, µ),
(3.7)
M = BM = λβΓM (β, µ),
(3.8)
donde,
ΓP =
X µfη3 (1 + ηβ)(5ηβ − 3)µfη
+
+
12
24
η=1,−1
+
ΓU = µΓN − ΓP .
(1 + ηβ)3 (3 − ηβ)
ηβµ3
Lη −
sη ,
24
6
Note que estas ecuaciones de estado difieren de las obtenidas para el gas de electrones
(2.12)-(2.13) y obviamente los resultados dinámicos estarán marcados por estas diferencias.
Las ecuaciones (2.12)-(2.13) dependen de los niveles de Landau por estar cuantificado el
espectro. Las ecuaciones (3.6)-(3.8) muestran su acoplamiento con el campo a través de la
presencia del MMA de los neutrones.
Puntualicemos que en (3.3)-(3.8) nosotros estamos sumando sobre el momento magnético
paralelo (η = −1) o perpendicular (η = 1) al campo magnético (o sea estamos considerando
el conocido Paramagnetismo de Pauli). La elección de η = ±1, [20] es equivalente a considerar diferentes fases del sistema. La aparición de valores umbrales para el campo magnético
en cada caso pueden verse si analizamos las expresiones de las funciones fη y sη en (3.4).
Si tomamos a β ≥ 0, empezando con fη ,
µ2 ≥ (1 + η β)2 = 1 + 2ηβ + η 2 β 2 .
(3.9)
Sin embargo, como η = −1, 1 entonces siempre η 2 = 1 y nosotros podemos reescribir,
µ2 ≥ (η + β)2 ,
(3.10)
(β + η − µ)(β + η + µ) ≤ 0.
(3.11)
de donde,
Ahora tenemos dos posibilidades. Pero, es simple darse cuenta que la única aceptable es;
−µ − η ≤ β ≤ µ − η.
(3.12)
Esta es exactamente la restricción que viene de la función, sη ,
|
1 + ηβ
|≤ 1.
µ
– 41 –
(3.13)
Por tanto, ya sea de (3.12) o de (3.13) los siguientes vı́nculos son obtenidos para el campo
magnético,
Si η = 1 ⇒
−1 − µ ≤ β ≤ µ − 1,
Si η = −1 ⇒
1 − µ ≤ β ≤ 1 + µ.
(3.14)
(3.15)
Estas últimas desigualdades restringen los valores del campo magnético. Ası́, sistemas
de neutrones con MMA alineado en la dirección del campo magnético solo tienen como
valores permitidos del campo magnético el rango de 1 − µ ≤ β ≤ 1 + µ. Similarmente, para
sistemas de neutrones con MMA orientado antiparalelamente respecto al campo magnético,
solo pueden tomar valores de campo en el intervalo −1 − µ ≤ β ≤ µ − 1. En particular
para el caso de µ = 1 tenemos que,
Si η = −1,
Si η = 1,
0 ≤ β ≤ 2,
−2 ≤ β ≤ 0.
(3.16)
(3.17)
Esto significa que para campos menores (o iguales) que dos veces el campo magnético
crı́tico, los neutrones estarán alineados todos con η = −1 (el MMA es paralelo al campo
magnético). O sea neutrones con η = 1 serán forzados a invertir su sentido.
3.3 Ecuaciones de Einstein–Maxwell
Si deseamos estudiar la evolución dinámica de un volumen local magnetizado y auto–
gravitante de neutrones bajo las condiciones fı́sicas impuestas en el interior de un objeto
compacto, entonces tenemos que contar con los efectos relativistas. Y esto implica que la
dinámica local debe ser estudiada bajo el marco de la TGR, por medio de las ecuaciones
de campo de Einstein,
1
(3.18)
Gab = Rab − R gab = κ Tab ,
2
junto con la ecuación de conservación del tensor energı́a–momentum y de las ecuaciones de
Maxwell,
F
ab
;b
= 0,
T ab ; b = 0,
F[ ab ; c ] = 0,
(3.19)
(3.20)
donde κ = 8πGN , con GN constante de gravitación de Newton, el corchete cuadrado denota
anti–simetrización en ab; c. El tensor energı́a–momentum T a b asociado al gas magnetizado de neutrones viene dado por (2.9)-(2.11), conectado al gran potencial termodinámico
obtenido mediante la mecánica estadı́stica, y acoplado apropiadamente a la ecuación de
estado. Este tensor también puede ser escrito en términos de la 4-velocidad del campo ua
como 24 ,
2BM
T a b = (U + Pe)ua ub + Pe δa b + Πa b ,
Pe = p −
.
(3.21)
3
24
Notar que el tensor (3.21), no contiene, ni el término de vacı́o B 2 log(B/Bc ), ni se adiciona el campo
clásico B 2 (de árbol). Ya que suponemos que la contribución del vacı́o es pequeña y similarmente a como
hicimos en el capı́tulo 2 hemos seguido trabajos en donde este término clásico no se toma en cuenta. Aunque
debido a su importancia factible en la evolución cercana al colapso, sı́ los asumiremos en el capı́tulo 4.
– 42 –
Nosotros consideramos las ecuaciones de campo (3.18)–(3.20) con (3.21) como la fuente
de materia para un modelo Bianchi-I descrito en la representación de la métrica de Kasner,
ds2 = Q1 (t)2 dx2 + Q2 (t)2 dy 2 + Q3 (t)2 dz 2 − dt2 ,
(3.22)
lo cual sugiere escoger la 4–velocidad en una representación comóvil ua = δa t , ası́ el tensor
de presiones anisótropas en (3.21) y en las coordenadas [x, y, z, t] toma la forma,
Πa b = diag [Π, Π, −2Π, 0],
Π=−
BM
,
3
Πa a = 0.
(3.23)
Las ecuaciones de campo (3.18) para (3.21),(3.22) y (3.23) toman la forma,
Q̇2 Q̇3
Q2 Q3
Q̇1 Q̇3
=
Q1 Q3
Q̇1 Q̇2
=
Q1 Q2
Q̇1 Q̇2
=
Q1 Q2
−Gx x =
−Gy y
−Gz z
−Gt t
Q̈2 Q̈3
+
= −κ(p − BM),
Q2 Q3
Q̈1 Q̈3
+
+
= −κ(p − BM),
Q1 Q3
Q̈1 Q̈2
+
+
= −κp,
Q1 Q2
Q̇1 Q̇3 Q̇2 Q̇3
+
+
= κU,
Q1 Q3 Q2 Q3
+
(3.24)
(3.25)
(3.26)
(3.27)
donde Ȧ = A;α uα = A,t . De la ecuación de conservación del tensor energı́a–momentum
(3.19) tenemos que,
U̇ =
Q̇3
Q̇1 Q̇2
(p + U ) − (
+
)(−BM + p + U ),
Q3
Q1 Q2
(3.28)
mientras que de las ecuaciones de Maxwell (3.20) obtenemos que,
Q̇1 Q̇2 1 Ḃ
= 0.
+
+
Q1 Q2 2 B
(3.29)
Las ecuaciones de Einstein-Maxwell (3.24)–(3.27),(3.28) y (3.29) son ecuaciones diferenciales ordinarias no–lineales y de segundo orden para las funciones métrica Q1 , Q2 , Q3 y
U . Para tratar este sistema numéricamente, es necesario introducir nuevas variables que
transformarán el sistema, en un sistema de ecuaciones de primer orden. Sin embargo, antes
de tomar este camino, veremos que ocurre cuando el campo magnético es débil.
3.4 Lı́mite de campo magnético débil
Esta breve discusión para el campo magnético débil es importante pues ilustra la conexión
entre nuestro campo magnético de origen cuántico y el campo magnético Maxweliano en
el contexto de un tratamiento magnetohidrodinámico. En la sección 3.2 nosotros hemos
mostrado ecuaciones fuertemente conectadas con un campo magnético cuántico.
Es importante enfatizar que el término “campo magnético cuántico” contiene la interacción semi–clásica entre el campo magnético y el momento magnético anómalo. Esta
aproximación implica una conexión teórica entre la ecuación de estado introducida en la
– 43 –
sección anterior y el cuadro de trabajo en EDC25 . Como una condición de consistencia,
este marco de trabajo debe permitir en el caso lı́mite de una expansión en series alrededor de β = 0, llegar al lı́mite clásico Maxweliano. Los términos lı́deres en esta expansión
deben coincidir con los términos del tensor de energı́a-momentum para el campo magnético
Maxwelliano [26]. En general, este tipo de expansión en series puede efectuarse de la forma,
p⊥
∞
X
∂ n p⊥
βn
(
=
≃ p1 − a1 β 2 + O(β 4 ),
)
|
β=0
n
∂β
n!
n=0
∞
X
∂ n pk
βn
( n ) |β=0
pk =
≃ p1 + a3 β 2 + O(β 4 ),
∂β
n!
U =
n=0
∞
X
(
n=0
∂nU
βn
≃ U0 + ao β 2 + O(β 4 ),
)
|
∂β n β=0 n!
(3.30)
(3.31)
(3.32)
donde es fácil ver que: p1 = pk (β = 0) ≡ p⊥ (β = 0), a0 = (∂ 2 U /∂β 2 ) |β=0 /2, a1 =
(∂ 2 p⊥ /∂β 2 ) |β=0 /2, a3 = (∂ 2 pk /∂β 2 ) |β=0 /2, U0 = U (β = 0), y todas estas funciones
dependen solamente del potencial quı́mico adimensional µ.
Como se muestra en los ejemplos encontrados en la literatura, los campos magnéticos
clásicos sobre un fondo geométrico tipo Bianchi-I [57, 32], los términos lı́deres son términos
cuadráticos. Esto sugiere que las series en (3.30)-(3.32) deben ser truncadas a nivel
cuadrático, los términos de mayor orden como β 4 , β 6 , ..., son en general contribuciones
multipolares muy pequeñas. Si asumimos que las fluctuaciones de las velocidades del
plasma tienden a cero como promedio macroscópico, y que el medio no sufre de movimientos de volumen internos, entonces estas contribuciones pueden ser despreciadas (aunque
tı́picamente, velocidades altas podrı́an surgir a partir de fluctuaciones térmicas o desordenes cuánticos). Bajo estas suposiciones, el tensor de energı́a-momentum de un gas de
neutrones mı́nimamente acoplado al campo magnético, puede siempre ser escrito en la
forma [57],
Tab = (U0 + Umag )ua ub + (p0 + pmag )hab + Πmag
(3.33)
ab ,
donde pmag y Umag son, respectivamente, la presión magnética y la densidad de energı́a del
campo magnético.
Es importante tener en cuenta que p0 en (3.33) es la contribución isotrópica a la
presión del sistema, la cual (en general) puede depender del potencial quı́mico y del campo
magnético. Por otro lado, p1 es la presión para el caso de campo magnético nulo β = 0.
En nuestro caso el tensor de materia tiene la forma,
T a b = diag[p1 − a1 β 2 , p1 − a1 β 2 , p1 + a3 β 2 , −U0 − a0 β 2 ],
(3.34)
y comparando (3.34)-(3.33) tenemos que,
25
H2
= a0 β 2 /3,
6
H2
= a0 β 2 ,
=
2
pmag =
(3.35)
Umag
(3.36)
Electrodinámica Cuántica
– 44 –
donde H 2 = H i Hi = 2a0 β 2 y Hi son las componentes del campo magnético, la cuales hemos
asumido que apuntan en la dirección z. Esta suposición es consistente con el hecho de que
un pequeño volumen en el centro de un objeto compacto es aproximadamente homogéneo,
y la rotación puede efectuarse en una dirección privilegiada, que nosotros tomamos como
la dirección del eje z,
H i = (0, 0,
√
2a0
β
, 0),
Q3
Hi = (0, 0,
√
2a0 βQ3 , 0).
(3.37)
El tensor Πmag
es entonces el tensor simétrico de traza nula, proyectado con hab , y
ab
representa las presiones anisótropas debidas al campo magnético. Este tensor puede ser
escrito como,
1
1
2
(Πmag )a b = diag[− (a1 + a3 )β 2 , − (a1 + a3 )β 2 , (a1 + a3 )β 2 , 0].
3
3
3
(3.38)
Es importante puntualizar que p1 en (3.34) es en general, diferente de p0 . Ası́,
p0 = p1 − (a0 + 2a1 − a3 )
β2
,
3
(3.39)
donde p1 = p(β=0) = Pe(β=0) en (3.7) y (3.21) es la presión sin campo magnético. Solo
cuando el campo magnético se anula β = 0, las presiones coinciden: p0 = p1 y el tensor de
energı́a–momentum toma la forma del tensor del fluido perfecto con presión isotrópica. En
este caso p0 y U0 corresponden a la presión y la densidad de energı́a de un gas clásico de
neutrones.
3.5 Dinámica de cantidades covariantes
Como estamos interesados en la evolución de un elemento de volumen para el gas de
neutrones asociado con la fuente (3.21), similarmente a como se hizo para el caso de electrones debemos reescribir las ecuaciones dinámicas de Einstein-Maxwell en términos de
parámetros covariantes asociados con la cinemática local de un elemento de volumen como
es descrito por un observador con 4–velocidad ua . Para la métrica de Kasner en una
representación comóvil de geodésicas, los parámetros locales cinemáticos no nulos son la
expansión Θ, y la deformación σ ab , dada por,
Θ = ua ;a ,
σab
Θ
= u(a;b) − hab ,
3
(3.40)
(3.41)
donde hab = ua ub + gab es el tensor de proyección y los paréntesis denotan simetrización
respecto a los ı́ndices a, b. El escalar de expansión y las componentes del tensor de deformación para la métrica de Kasner tiene la forma,
Q̇1 Q̇2 Q̇3
+
+
,
Q1 Q2 Q3
= diag [σ x x , σ y y , σ z z , 0] = diag [Σ1 , Σ2 , Σ3 , 0],
Θ=
σa b
– 45 –
(3.42)
(3.43)
donde,
26
Σα =
Q˙β
Q˙γ
2Q˙α
−
−
,
3Qα 3Qβ
3Qγ
α 6= β 6= γ, (α, β, γ = 1, 2, 3).
(3.44)
El tensor de deformación σ a b es de traza nula: σ a a = 0, entonces podemos eliminar
una de las cantidades (Σ1 , Σ2 , Σ3 ) y escribirlas en términos de las otras dos. En efecto,
para el Bianchi-I con métrica Kasner, una de estas cantidades es suficiente para representar
a σ a a , aunque para nosotros es conveniente mantener dos de estas variables, eliminar Σ1
y escribirla en términos de (Σ2 , Σ3 ). Por medio de (3.42) y (3.44), todas las derivadas
de segundo orden de las funciones métricas en (3.24)-(3.27), (3.28) y (3.29) pueden ser
reescritas como derivadas de primer orden de Θ, Σ2 y Σ3 . Después de varias manipulaciones
podemos reescribir (3.24)-(3.27), (3.28) y (3.29) como un sistema de ecuaciones de evolución
de primer orden, de la siguiente forma,
2
U̇ = −(U + p − BM)Θ − BMΣ3 ,
3
κBM
Σ̇2 = −
− ΘΣ2 ,
3
2
Σ̇3 = κBM − ΘΣ3 ,
3
3
Θ̇ = κ(BM + (U − p)) − Θ2 ,
2
2
β̇ = β(3Σ3 − 2Θ),
3
(3.45)
(3.46)
(3.47)
(3.48)
(3.49)
junto con estas ecuaciones, tenemos el siguiente vı́nculo,
− Σ22 − Σ2 Σ3 +
Θ2
− Σ23 = κU,
3
(3.50)
que proviene de (3.27). Este sistema de ecuaciones de primer orden de las variables
U, β, Θ, Σ2 , Σ3 y el vı́nculo (3.50) están completamente determinados27 . La solución de
este sistema describe la evolución dinámica de un volumen local en un gas de neutrones
magnetizado y representa un modelo aproximado a un subsistema gran canónico para esta
fuente en el centro de un objeto compacto.
3.5.1 Ecuaciones dinámicas
El sistema de ecuaciones de evolución (3.45)–(3.49) y (3.50) puede ser transformado en un
sistema dinámico, de la misma forma a como se hizo en el capı́tulo anterior (ver sección
2.4), introduciendo las siguientes variables adimensionales,
H=
Θ
,
3
d
1 d
=
,
dτ
H0 dt
26
(3.51)
Notar que a diferencia del capı́tulo anterior aquı́, escribimos los resultados de una forma genérica, o sea
A, B, C ahora son Q1 , Q2 , Q3 esto nos resultará muy conveniente.
27
Note que el sistema (3.45)–(3.49), junto con el vı́nculo (3.50) es idéntico al sistema (2.34)–(2.38),
cambiando Σy , Σz por Σ2 , Σ3 .
– 46 –
junto con las funciones adimensionales,
H=
H
Σ2
Σ3
B
, S2 =
, S3 =
, β=
,
H0
H0
H0
Bc
(3.52)
donde H0 es una constante inversa a la longitud de escala, la cual hemos elegido por
conveniencia como 3H02 = κλ ⇒ |H0 | = 1.66 × 10−2 m−1 28 . La constante H0 , provee una
longitud de escala de 1/H0 ∼ 6 × 103 m que es adecuada con la longitud caracterı́stica del
sistema que estamos considerando. Las funciones S2 y S3 son las componentes del tensor
de deformaciones normalizadas a esta escala, el tiempo adimensional τ puede ser negativo
p
o positivo, dependiendo del signo de H0 = ± κλ/3.
Sustituyendo las variables (3.52) en el sistema (3.45)–(3.49) y en el vı́nculo (3.50)
obtenemos un sistema idéntico al sistema (2.42) y (2.43)-(2.47)29 , por lo que no vemos
necesidad de reescribirlo.
3.6 Soluciones numéricas y discusión fı́sica
Estamos interesados en estudiar el colapso de una configuración de un gas de neutrones
magnetizados. Necesitamos considerar un elemento de volumen local y resolver el vı́nculo
(2.42). De las dos soluciones que aporta la ecuación cuadrática del vı́nculo para H, la
raı́z negativa es la que esta relacionada con soluciones de colapso. De modo que para
asegurarnos del colapso local debemos imponer en las soluciones del sistema (2.43)-(2.47),
que la expansión inicial Θ, sea negativa lo cual implica que en la hipersuperficie de tiempo
inicial τ = 0 que H(0) < 0. Por tanto, a partir de (3.42) y (3.52) expresadas en términos
p
del volumen local V = det gαβ = Q1 Q2 Q3 como,
Z τ
Hdτ .
(3.53)
V = V (0) exp 3
τ =0
Para investigar el colapso en dependencia de las direcciones en que se puede manifestar,
podemos relacionar por medio de (3.42), (3.44), (3.51) y (3.52) a las componentes espaciales
de la métrica y a la combinación H + Sβ , ya que,
Z
Qβ (τ ) = Qβ (0) exp[ (H + Sβ )dτ ],
β = 1, 2, 3,
(3.54)
donde Qβ (0), son constantes que pueden ser identificadas con los valores iniciales de Qβ (τ ).
Para resolver el sistema (2.43)-(2.47) usamos una gran cantidad de condiciones iniciales
asociadas a las condiciones tı́picas que existen en ENs [40, 46, 47, 48, 49, 4, 50, 51]. Por
ejemplo: µ = 2 ⇒ ρ ∼ 1018 kg/m3 , β0 = 10−2 − 10−5 , para campos magnéticos entre
1014 T y 1011 T . Además, debemos imponer en todas las pruebas numéricas la condición
de colapso para el volumen: H(0) < 0, junto con: S2 (0) = 0, ±1, S3 (0) = 0, ±1, la cual
corresponde con casos de deformación inicial nula y deformación inicial no nula en las
direcciones y o z.
28
Note que H0 , no es la constante de Hubble, dada por H0cosm = 0.59 × 10−26 m−1 .
Claramente debemos cambiar en (2.42) y (2.43)-(2.47), S y , S z por S2 , S3 respectivamente. Además,
de recordar que U̇ se reemplazo por µ̇ debido a que de (3.45) tenemos que: U = U (β, µ) ⇒ U,τ =
λ(ΓU,µ µ,τ + ΓU,β β,τ ), lo cual nos permite obtener µ,τ a partir de U,τ .
29
– 47 –
La solución numérica para la función H, es ploteada en la Figura 3, para diferentes
condiciones iniciales, muestra que H → −∞, independientemente de las condiciones iniciales. El campo magnético tiende ha aumentar, pero siempre se mantiene por debajo del
campo crı́tico B = Bc . Este comportamiento es mostrado en la Figura 3, para todo un
rango de condiciones iniciales.
0,20
0
a= (
s
a= (
s
-50
2
2
(0)=
-1,
s
(0)=
-1,
s
3
3
(0)
=1 ,
(0)
=-1,
(0)
=2,
(0)
(0)
=2,
=0,01,
(0)
H
=0,001,
(0)
H
=-2,46
(0)
=-2,59
0,15
a= (
-100
H
a= (
s
a= (
s
-250
a= (
2
2
(0)=
-1,
s (0) =1,
(0)=
-1,
s (0) =-1,
3
=2,
(0)
3
s (0)= 0, s (0) =0,
2
(0)
3
(0)
(0)
=2,
=2,
=0,01,
(0)
(0)
H
=0,001,
=0,0001,
(0)
(0)=
0,
s
3
(0)
=0 ,
(0)
=2,
(0)
=0,0001,
H
(0)
=-2,39
H
H
=-2,46
0,05
(0)
(0)
=-2,59
=-2,39
-300
0,00
2
0,10
-150
-200
s
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,10
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
Figura 3: En el gráfico de la izquierda se muestra el comportamiento de H vs τ para diferentes condiciones
iniciales. En el gráfico de la derecha se muestra la intensidad del campo magnético adimensional (β = B/Bc ),
este tiene una tendencia a crecer, pero siempre se mantiene por debajo del campo crı́tico.
Es evidente concluir de estas gráficas que las cantidades Si + H → −∞, ası́ como que
los coeficientes métricos tiende a cero (Q1 , Q2 , Q3 → 0), lo cual muestra claramente que el
elemento de volumen colapsa a una singularidad isotrópica tipo “punto”.
3.6.1 Espacio de fase
Del mismo modo a como se hizo en el capı́tulo 2, podemos usar el vı́nculo (2.42) para
transformar el sistema (2.43)-(2.47) a un sistema de ecuaciones en función de las variables
(S3 , β, µ, H). Si hacemos esto llegaremos al sistema (2.61)-(2.64) de la sección 2.5.2, donde
solo tenemos que intercambiar S z por S3 .
Las trayectorias en la subsección 3–dimensional del espacio de fase, parametrizada
por (S3 , β, µ), son mostradas en la Figura 9, del Apéndice F. La evolución del sistema
p
es determinada por el signo de H0 . Para τ < 0 ⇒ H0 = − κλ/3, y H > 0 el sistema
p
evoluciona tendiendo al atractor estable “a”, mientras que si τ > 0 ⇒ H0 = κλ/3, y
H < 0 las trayectorias evolucionan hacia una singularidad “puntual”. Un estudio similar
fue hecho en las restantes subsecciones 3–dimensionales del espacio de fase, obteniendo
resultados similares.
– 48 –
0,10
-50
-50
-100
-100
H
0
-150
-150
-200
a= (
s (0)= -1, s (0) =1,
a= (
s (0)= -1, s (0) =-1,
2
(0)
3
2
=2,
(0)
3
(0)
=2,
=0,01,
(0)
H
=0,001,
S2+
S1+
H
0
(0)
H
=-2,46
(0)
-200
-250
-250
a= (
s (0)= 0, s (0) =0,
2
3
(0)
=2,
(0)
=0,0001,
H
(0)
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
a= (
s (0)= -1, s (0) =-1,
a= (
-300
0,01
s (0)= -1, s (0) =1,
2
(0)
3
=2,
(0)
=0,01,
H
2
3
(0)
=2,
(0)
=0,001,
=-2,39
-300
0,00
a= (
=-2,59
0,08
0,09
0,10
0,00
s (0)= 0, s (0) =0,
2
0,01
(0)
3
0,02
0,03
0,04
=2,
(0)
0,05
=0,0001,
0,06
(0)
H
H
0,07
=-2,46
(0)
(0)
=-2,59
=-2,39
0,08
0,09
Figura 4: Es ploteado el comportamiento de (S1 + H) y (S2 + H) versus τ . En estos gráficos se puede
apreciar como estas cantidades tienden a −∞, además de tener diferentes tiempos de colapso para diferentes
condiciones iniciales.
3.7 Conclusiones del capı́tulo
0
Hemos usado en el modelo Bianchi-I para
estudiar la evolución de un elemento de volumen de un gas magnetizado de neutrones,
caracterizado fı́sicamente por una ecuación
de estado completamente relativista. Por
otro lado, en nuestros estudios teóricos argumentamos la simplicidad de la geometrı́a
s
s
H
Bianchi como una aproximación a un subsiss
s
H
tema gran canónico formado por una fuente
s
s
H
magnetizada de neutrones y sometida a las
condiciones existentes en el centro de un objeto compacto. Por este motivo, nuestro
tratamiento debe ser concebido como una
primera aproximación al problema, ya que Figura 5: El gráfico muestra el comportamiento
cerca del centro del objeto compacto se es- de (S3 + H) versus τ . Este comportamiento es similar a las trayectorias en la Fig 4, por consiguiente la
pera que las métricas tengan un compor- cantidad (S + H) → −∞.
3
tamiento aproximado, y esta descripción serı́a
útil para entender la evolución local de elementos de volumen bajo estas condiciones.
Sin embargo, un apropiado examen sobre las limitaciones especı́ficas de la dinámica
de este modelo de juguete y su conexión concreta con los estudios astrofı́sicos actuales de
los objetos compactos van más allá del alcance de este capı́tulo. En un futuro cercano, se
-50
-150
S3+
H
-100
-200
a= (
-250
a= (
a= (
-300
0,00
– 49 –
0,01
2
2
2
(0)= -1,
3
(0)= -1,
(0)= 0,
0,02
3
3
(0) =1,
(0) =2,
(0) =-1,
(0) =0,
0,03
(0) =0,01,
(0) =2,
(0) =2,
0,04
0,05
(0) =0,001,
(0) =0,0001,
0,06
0,07
(0) =-2,46
(0) =-2,59
(0) =-2,39
0,08
0,09
0,10
0,10
trabajará con métodos perturbativos, métodos numéricos más elaborados y fuentes menos
idealizadas.
Las ecuaciones de campo de Einstein-Maxwell para un gas magnetizado de neutrones
en una geometrı́a Bianchi-I fueron transformadas en un sistema de ecuaciones no–lineales
de evolución, las cuales fueron resueltas numéricamente para una variedad de condiciones
iniciales de colapso. Estas soluciones fueron analizadas cualitativamente como un sistema
dinámico propio. Ası́ los resultados que encontramos fueron:
• El estado final en la evolución de colapso de un elemento de volumen del sistema
es una singularidad tipo “punto”. Este estado final ocurre para un ancho rango
de condiciones iniciales asociadas con valores que tı́picamente existen en los objetos
compactos.
• El campo magnético aumenta rápidamente a medida que el sistema evoluciona hacia la singularidad. Aunque su intensidad siempre se mantiene por debajo del campo
magnético crı́tico. Este resultado es consistente con los valores obtenidos numéricamente
para el campo magnético máximo en modelos con configuraciones magnetizadas y en
rotación estable (ver [46]).
• El estudio del espacio de fase asociado con las ecuaciones dinámicas muestran que el
sistema evoluciona, para H > 0, a un punto de equilibrio, (o sea, a una configuración
estable). Es posible introducir una dependencia con la temperatura en la ecuación
de estado. Al introducir la temperatura, la evolución del gas de neutrones podrı́a
asociarse con fuentes de neutrones a altas temperaturas en el contexto de universos
magnetizados primordiales en modelos cosmológicos [58].
Es importante tener en cuenta que, al contrario del estudio dinámico para un gas de
electrones en el capı́tulo anterior (ver también [52]), las singularidades anisótropas tipo
“cigarro” no ocurren para todas las condiciones iniciales impuestas. Sin embargo, el efecto
dinámico del campo magnético bajo condiciones crı́ticas es un estado final de singularidad
anisótropa alineada en la dirección del campo magnético. La exclusiva aparición de singularidades tipo “punto” para el gas de neutrones magnetizado sugiere que el estado final
de evolución de este gas es dominado más intensamente por la fuerte gravedad en comparación con el gas de electrones. Esto es consistente con el hecho que los electrones están
fuertemente acoplados al campo magnético mediante su carga eléctrica, sin embargo los
neutrones tiene un acoplamiento más débil asociado con su momento magnético anómalo.
Los modelos con geometrı́a Bianchi I en una representación comóvil tiene una severa
limitación relacionada con los efectos dinámicos asociados con el campo magnético. Esto
es importante cuando se consideran a los neutrones como fuente para los cuales la carga
eléctrica es cero, no ası́ su momento magnético anómalo.
Siendo estos espacio-tiempos espacialmente homogéneos con 4–velocidad ortonormal a
las hipersuperficies de simetrı́a maximal, la fuerza de Lorentz es cero: f b = qua F ab = 0.
También, en efecto los modelos Bianchi-I son espacialmente planos y esto hace al modelo
inadecuado para estudiar (incluso como modelo juguete) el colapso local de dicho volumen
elemental magnetizado dentro de objetos localizados. O sea en tales objetos compactos la
– 50 –
curvatura espacial es fuertemente positiva y no plana. Sin embargo, en nuestro caso tales
inconsistencias pueden ser sanadas (al menos parcialmente) si consideramos perturbaciones
generales al modelo Bianchi-I, en los cuales la curvatura escalar y la 4–aceleración no son
nulas a orden perturbativo. En estos casos es posible examinar los efectos de acoplamiento
tipo magneto–curvatura asociados con fuerza de Lorentz y parámetro de desaceleración
no nulos en la ecuación de Raychaudhuri (ver [56]). El uso de tales modelos Bianchi-I
perturbados para la descripción de un gas con fuente de materia en general será presentado
en el próximo capı́tulo.
A la par de introducir posibles perturbaciones al modelo Bianchi-I, otra posibilidad
que mejorarı́a el modelo está sobre la idea de una mejor descripción dinámica de la fuente.
Nuevas consideraciones para mejorar esto, podrı́a ser suponer modelos Bianchi I, V, VII
ó IX con 4–velocidad inclinada, la cual introduce más grados de libertad dinámicos, incluyendo hasta la posibilidad de rotación (ver [25] y referencias incluidas). Estos modelos
podrı́an permitirnos un mejor estudio(menos restrictivo) de los efectos dinámicos. Estos
efectos son reportados en [56], en cuyo trabajo se muestra que la tensión magnética y
el colapso gravitatorio pueden presentar un acoplamiento no nulo con la 4–aceleración y
vorticidad distinta de cero (incluso no perturbativa) en presencia de campo magnético.
Finalmente, un gas magnetizado conteniendo solamente neutrones puede ser teóricamente
interesante, pero es muy idealizado como fuente para un objeto compacto. Ası́, se puede
considerar como una extensión a este trabajo, adicionar además de los grados de libertad
dinámicos (mencionados arriba), mezclas de neutrones, electrones y protones, acompañados
con sus respectivas ecuaciones de balance y potenciales quı́micos adecuados, en comparación
con otras ecuaciones de estado [46, 50, 51]. Todas estas extensiones están bajo consideración
para trabajos futuros.
– 51 –
4. CONDICIONES PARA FRENAR EL COLAPSO
Es posible mostrar, a partir de la ecuación de Raychaudhuri (ecuación (1.47) del Capı́tulo
1), como el acoplamiento relativista entre magnetismo y geometrı́a genera una tensión
magnética que puede “enrollar” las lı́neas de fuerza del campo magnético. Este efecto
también se identifica con una “elasticidad” de estas lı́neas de fuerza del campo, las cuales
tienden a mantenerse rectas. Concretamente, esta tensión magnética genera fuerzas de
magneto-curvatura cuya manifestación cinemática es la posibilidad de prevenir la convergencia de lı́neas de universo (no necesariamente geodésicas) que inicialmente convergen.
Evidentemente, la consecuencia principal de este efecto es la posibilidad de frenar el colapso gravitacional de las fuentes asociadas a estas lı́neas de universo, lo cual (en caso de
suceder) ocurrirı́a sin violar las condiciones de energı́a estándares.30
Un resultado interesante que trata sobre el colapso gravitacional de un fluido magnetizado sin simetrı́a esférica fue obtenido por K. Thorne en el llamado “Universo magnetizado
de Melvin” [59, 60, 61, 62, 23]. En dicho modelo el colapso del sistema se frena antes de
alcanzar la singularidad, lo cual sucede debido al cambio de la densidad de energı́a de
la materia magnética. Mas recientemente, C.G. Tsagas ha encontrado [56] que existe un
acoplamiento intrı́nseco entre el magnetismo y la geometrı́a que surge de las propiedades
de la tensión de las lı́neas de fuerza magnéticas (la “elasticidad”), y cuya consecuencia es
el incremento a la resistencia al colapso. Esta tensión magneto-geométrica es la generalización relativista del mismo efecto en la fı́sica newtoniana, apareciendo algunas veces en
la literatura como “frenado magnético”.
En el presente capı́tulo examinamos, haciendo uso de la ecuación de Raychaudhuri, el
efecto del campo magnético sobre el colapso gravitatorio. Para llevar a cabo este objetivo
tomamos en cuenta el trabajo de Tsagas en [56] y extendemos, al contexto astrofı́sico, el
formalismo desarrollado por C.G.Tsagas y R.Martens [56, 57, 62, 63, 64]. Retomando las
limitaciones planteadas en los dos capı́tulos anteriores, pasaremos a calcular las cantidades
dinámicas covariantes que aparecen en la ecuación de Raychaudhuri (ver Capı́tulo 1) para
un modelo Bianchi-I perturbado. Trataremos la cuestión del colapso de la fuente magnetizada en forma cualitativa, sin resolver las ecuaciones de Einstein-Maxwell. El objetivo de
dicho estudio cualitativo es obtener información sobre el rol de las tensiones magnéticas y
entender las implicaciones potenciales de estas en modelar la evolución de fuentes magnetizadas en situaciones menos idealizadas.
4.1 Espacio-tiempo Bianchi-I perturbado
Usando 1-formas diferenciales31 , el elemento de lı́nea de un espacio-tiempo Bianchi I perturbado puede ser escrito como,
1
2
3
ds2 = −(w0 )2 + (wx )2 + (wx )2 + (wx )2 ,
30
(4.1)
Además de la tensión magnética, el tensor de deformación distorsiona la distribución de campos gradientes y, por lo tanto, también podrı́a contribuir a resistir o favorecer al colapso.
31
Las 1-formas diferenciales constituyen la base de cualquier tensor n-veces covariante o sea T =
Ta1 a2 ...an wa1 wa2 ...wan , para mayor información ver [26]
– 52 –
donde,
w0 =
x1
w
x2
w
w
x3
p
p
1 + q0 dx0 ,
(4.2)
1
1 + q1 dx ,
(4.3)
1 + q2 dx2 ,
p
= Q3 1 + q3 dx3 ,
(4.4)
= Q1
= Q2
p
(4.5)
y las qµ = qµ (t, ~x), µ = 0, 1, 2, 3 son las funciones que representan las perturbaciones a la
métrica de Kasner, por lo que satisfacen |qµ | ≪ 1, mientras que las Qj = Qj (t), j = 1, 2, 3.32
son las funciones no perturbadas, de modo que recuperamos la métrica de Kasner si qµ = 0.
Elegimos la 4–velocidad uα ortogonal a las hipersuperficies espaciales, entonces,
uα = (1 + q0 )−1/2 δ0α ,
uα uα = −1,
(4.6)
por lo que la 4-aceleración u̇α = uβ uα;β toma la forma,
u̇α =
1
0, ∂x1 q0 , ∂x2 q0 , ∂x3 q0 .
2(1 + q0 )
(4.7)
4.2 Cálculo de cantidades dinámicas y ecuación de Raychaudhuri
Tomando en cuenta la métrica del modelo Bianchi I perturbado, las variables dinámicas
asociadas a la ecuación de Raychaudhuri (ver capı́tulo 1) pueden ser directamente calculadas. El escalar de expansión y el tensor de deformaciones serán,
!
3
X
1
q˙i
Q̇i
Θ= √
,
+
Qi 2(1 + qi )
1 + q0
= √
1
1 + q0
i=1
3
X
i=1
i
∂ h p
ln Qi 1 + qi ,
∂t
(4.8)
σ µν = diag[ Σ1 , Σ2 , Σ3 , 0],
(4.9)
!
˙ i Q̇j
q˙j
Q̇k
q˙i
q˙k
2Q
1
,
+
−
−
−
−
Σi = √
Qj
Qk 1 + qi 2(1 + qj ) 2(1 + qk )
3 1 + q 0 Qi
i 6= j 6= k (i, j, k = 1, 2, 3).
El parámetro de deceleración A ≡ ui ;i y el escalar de deformación σ 2 toman la forma,
"
3
X
1
∂k q0
1
∂k q02
2
A=
+
∂
q
−
0
k
2
2(1 + q0 )
2(1 + q0 )
2
Qk (1 + qk )
k=1
32
(l6=k)
X ∂k ql
∂k qk
−
+
1 + qk
1 + ql
l=1
!#
,
(4.10)
En este capı́tulo, a diferencia de los otros capı́tulos, usamos ı́ndices griegos para el espacio–tiempo e
ı́ndices latinos para la parte espacial. Además, usaremos indistintamente para la derivada covariante el
punto y coma “;” o el sı́mbolo “∇”.
– 53 –
!2
(
3
2
X
λ
1
Q̇
q̇
1
k
k
−
=
+
σ 2 = σ µν σµν =
2
3
3(1 + q0 )
Qk 2(1 + qk )
k=1
!
!)
(l6=k)
Q̇l
q̇k
q̇l
1 X Q˙k
.
+
+
−
2
Qk
2(1 + qk )
Ql 2(1 + ql )
(4.11)
l=1
Por otra parte, nos será útil definir el siguiente parámetro adimensional de impacto de la
deformación,
!2
( 3 (
X
λ
q̇k
Q̇k
ζ =
−
=
+
Θ
Qk 2(1 + qk )
k=1
!
!)) 1
(l6=k)
2
1 X Q˙k
Q̇l
1
q̇k
q̇l
.
−
+
+
P
Q̇i
3
2
Qk
2(1 + qk )
Ql 2(1 + ql )
+ q˙i
l=1
i=1
Qi
2(1+qi )
Dada la existencia de una fuente magnetizada (con campo eléctrico nulo), el tensor de
energı́a-momento viene dado por,33
Tµν = (e0 +
B2
B2
)uµ uν + (p0 +
)hµν + Πµν ,
2
6
(4.12)
el cual corresponde al tipo de fuentes conocido como el fluido ideal “conductor perfecto”
o de “conductividad infinita”[65]. Como p0 y µ son las presiones y la densidad de energı́a
del gas isótropo, y H 2 la densidad de energı́a del campo magnético [J m−3 ], entonces los
factores que miden las anisotropı́as son,
w=
p0
≡ p0 (t, ~x)/e0 ,
µ
h=
H2
≡ B 2 (t, ~x)/e0 .
µ
(4.13)
Sin embargo, la existencia de las perturbaciones qk implica un entorno anisótropico e
inhomogéneo que generaliza la anisotropı́a del modelo Bianchi I. Por lo tanto, la ecuación
de conservación asociada al tensor energı́a-momento que hemos definido en (4.12) viene a
ser (ver [63]),
1
(e0 + p0 + B 2 )u̇µ + hµν (p0 + B 2 );ν − hµ ν B ν ;γ B γ − B µ B ν ;ν = 0,
2
(4.14)
la cual también se puede escribir como,
2
(e0 + p0 + B 2 )u̇µ = −Dµ p0 − aµ − Πµν u̇ν ,
3
(4.15)
donde Dµ p0 = hνµ ∇ν p0 denota el gradiente de presión medido por observadores en reposo
comóviles con el fluido. Es importante enfatizar que todos los términos en (4.15) se deben
exclusivamente a la inhomogeneidad introducida por las perturbaciones.
En el modelo Bianchi I “puro” sin perturbaciones, al ser homogéneo y al no haber
flujos térmicos disipativos o efectos de rotación que puedan generar perturbaciones fuera
33
Note que aquı́, a diferencia de los tratamientos anteriores, sı́ hemos incluido la aproximación de árbol,
o sea la contribución clásica del campo magnético B 2 .
– 54 –
de las condiciones de equilibrio, es evidente que la anisotropı́a de un fluido ideal debe ser
causada solo por el campo magnético. Sin embargo, la existencia de las perturbaciones
implica que las desviaciones de la homogeneidad y la isotropı́a no solo se deben al campo
magnético, por lo que podemos estudiar el acoplamiento de la geometrı́a con el campo
magnético en un contexto mucho más general que incorpora también a la inhomogeneidad
(además de la anisotropı́a).
Si llevamos a cabo un análisis gravito-magnético, vemos que aµ es el vector que determina la aceleración asociada a la fuerza de Lorentz, la cual siempre es normal a la dirección
de las lı́neas del campo aµ B µ = 0 (además se cumple aµ ua = 0), y surge cuando el modelo
magnético distorsiona las condiciones de equilibrio local. Este vector aceleración tiene la
forma,
1
aµ = − Dµ B 2 + B ν Dν Bµ .
(4.16)
2
El primer término del lado derecho de (4.16) viene dado por la “presión magnética” y el
segundo viene de la “tensión del campo”. Si este último no es balanceado aparecerá una
fuerza neta sobre las partı́culas del fluido. Para el tensor energı́a-momento (4.12), el cual
es anisótropico y corresponde a un fluido conductor infinito, todos los términos en (4.15)
son no nulos. La ecuación cinemática de propagación, es la ecuación de Raychaudhuri vista
en el capı́tulo 1 con Λ = 0, la cual reescribimos como,
Θ̇ +
µ
Θ2
+ 2σ 2 + (1 + 3w + h) − A = 0,
3
2
"
3
X
Q̇2
q̇k2
Q¨k
q̇0
1
q¨k
1
+
− k2 −
−
Θ̇ = √
2
2(1 + qk ) Qk
2(1 + q0 )
1 + q0
Qk 2 (1 + qk )
k=1

j6=k
3
X
X
Q˙2
q̇k2
Θ2
1
 k+
=
+
3
3(1 + q0 )
4(1 + qk )2
Q2k
k=1
j=1
(4.17)
!#
q̇k
Q̇k
,
+
2(1 + qk ) Qk
(4.18)
!
Q̇k Q̇j
q̇k q̇j
,
+
Qk Qj
4(1 + qk )(1 + qj )
(4.19)
(
3
X
Q̇2k
q̇k2
Q̇k q̇k
2
−
+
2σ 2 =
+
2
2
3(1 + q0 )
Qk (1 + qk )
Qk 4(1 + qk )
k=1
!)
l6=k
q̇k q̇l
q̇k Q̇l
1 X Q˙k Q̇l
,
+
+
−
2
Qk Ql 4(1 + qk )(1 + ql ) (1 + qk )Ql
l=1
µ
1
+ (1 + 3w + h) = (e0 + 3p0 + B 2 ) =
2
( 2
3
X
q̇k2
q̇k
2Q̈k
1
1 q̇0
q̈k
1
−
+
+
−
≡
2(1 + q0 )
(1 + qk )
Qk
2 (1 + qk )2 2 (1 + q0 ) (1 + qk )
k=1
)
Q̇k
2q̇k
q̇0
+
−
+ A.
Qk (1 + q0 ) (1 + qk )
Note que tanto el escalar de expansión como el tensor de deformaciones son cantidades
positivas, y si se cumple la condición de energı́a fuerte, entonces el escalar de Raychaudhuri
– 55 –
(Rab ua ub ) debe ser mayor que cero, o sea, se cumple que µ (1 + 3w + h) > 0. Entonces, el
único término que se opone al colapso gravito–magnético es el coeficiente de deceleración
A (si es que resulta ser positivo).
De las ecuaciones de Einstein obtenemos para este caso, que las componentes T11 =
T22 = T33 toman la forma,
3
X
k,j=0
∂x q0
2
4Qk (1 + q0 )
(
∂k qj
∂k qk
−
(1 + qk ) (1 + qk )2
)
= κ (p0 +
B2
).
6
(4.20)
El término T44 de la ecuación de Einstein será,
(
k6=l
X
∂k2 ql
κ
q̇k q̇l
1
1
−
(2e0 + B 2 ) =
+
2
2
2 (1 + qk )(1 + ql )Qk
8(1 + q0 ) (1 + qk )(1 + ql )
k,l=1
+
∂k ql2
1
q̇l
1
Q̇k
+
+
(1 + q0 ) 2Qk (1 + ql ) 8 (1 + qk )(1 + ql )2 Q2k
(4.21)
1
∂k qk ∂k ql
Q̇k Q̇l
1
+
+
2
2
4 (1 + qk ) (1 + ql )Qk
2(1 + q0 ) Qk Ql
)
l6=k6=m
X
∂k qm
∂k qk
∂k qm
∂k ql
+
+
+
,
−
(1 + ql ) (1 + qk ) (1 + qm )
4Q2k (1 + qk )(1 + qm )
m=1
+
y la curvatura escalar 3-dimensional toma la forma no nula,

3

X
∂j qk2
1
∂j qk ∂j qj
2
(3) R =
−∂
q
+
+
−
k
j
2(1 + qk ) 2(1 + qj )
(1 + qk )(1 + qj )Q2j 
k6=j=1
3
X
m6=j6=k=1

∂j qk ∂j qm 
.
2(1 + qm ) 
(4.22)
Note que la curvatura 3–dimensional (al igual que A) solo depende de las perturbaciones,
y sus derivadas espaciales. Si pasamos a calcular el escalar de Ricci 4–dimensional, obtendremos expresiones similares, pero también dependerán de las funciones Qk y de sus
derivadas, tanto espaciales como temporales. Para el caso no perturbado, se obtiene la
simple expresión,
3
3
X
X
Q̇k Q̇j
Q̈k
+
.
(4.23)
R= 2
Qk
Qk Qj
k=1
m6=j6=k=1
4.3 Conclusiones del capı́tulo
Considerando perturbaciones a la métrica de Kasner (modelo Bianchi I), hemos calculado la
serie completa de parámetros cinemáticos que contiene la ecuación de Raychaudhuri, para
una 4–velocidad comóvil. Este resultado es importante desde el punto de vista teórico,
pues nos permite examinar las condiciones de colapso para fuentes magnetizadas en el
contexto de un espacio-tiempo inhomogéneo (aunque la inhomogeneidad es perturbativa).
Como se puede apreciar, al introducir las perturbaciones se complica en gran medida la
forma explı́cita de los resultados analı́ticos, pero estos nos aportan información cualitativa
importante.
– 56 –
Se puede notar inmediatamente que las perturbaciones aparecen en todas las expresiones, pero una dependencia directa de las perturbaciones solo se manifiesta en el
parámetro de deceleración A y en la curvatura 3-dimensional (3) R. O sea, estas son las
variables que nos traen información de los efectos perturbadores del campo magnético sobre
las fuentes de materia-energı́a del sistema.
El solo hecho de tener una curvatura 3-dimensional no nula (aunque sea perturbativa)
ya nos dice que este modelo perturbado (como suponı́amos desde las conclusiones del
capı́tulo anterior) es más realista que un Bianchi-I puro, el cual como ya sabemos es plano
en sus hipersuperficies tridimensionales. Si exigimos que la cantidad (4.22) sea positiva
entonces logramos una mejor aproximación a una descripción “realista” de un volumen
elemental dentro de un objeto compacto. Por otra parte, si la cantidad (4.10) resulta ser
positiva, entonces los efectos de las perturbaciones tienden a frenar el colapso, y en caso
contrario a ayudar a colapsar al sistema.
Si proponemos formas analı́ticas explı́citas de las perturbaciones qk , podrı́amos usar
las formas generales de las soluciones analı́ticas que hemos dado para explorar los efectos
cinemáticos y dinámicos mencionados. Esto constituye un tema interesante a tomar en
cuenta para investigaciones futuras, pero antes debemos encontrar (o al menos suponer)
cual es la forma explı́cita de las perturbaciones que mejor corresponda a una condición
fı́sica menos idealizada del colapso gravitacional de un sistema magnetizado.
Un punto en el cual no podemos ofrecer predicción alguna es en el tipo de singularidad
que pudiera resultar del colapso gravitacional: singularidades tipo “cigarro” o “punto”.
El escalar de Ricci 4-dimensional también depende de las perturbaciones, de sus primeras
derivadas espaciales, y de sus primeras y segundas derivadas temporales, y también depende
de derivadas primeras y segundas temporales de los coeficientes métricos. Por tanto, para
analizar su comportamiento en condiciones singulares (cuando este y los demás escalares
de curvatura divergen) tendrı́amos que conocer la forma explı́cita de las perturbaciones
(o al menos proponer formas especı́ficas). El análisis que hemos realizado cumple con el
objetivo de este capı́tulo: encontrar resultados analı́ticos y cualitativos, lo más generales
posibles, que contribuyan al entendimiento de la interacción entre la geometrı́a y el campo
magnético, asi como faciliten la elaboración de estudios numéricos para casos particulares
que podrı́an ser llevados a cabo en el futuro.
La limitación principal del modelo Bianchi I perturbado es que las funciones qk deben
ser mucho menores que la unidad, de modo que desde el inicio ya estamos imponiendo
una fuerte limitación a la geometrı́a y a la dinámica de las fuentes (como sucede en todo
tipo de análisis perturbativo). Si las perturbaciones influyen sobre la intensidad del campo
magnético, entonces dicho campo nunca llegarı́a a vencer a la intensidad del campo gravitatorio. Por esta razón, para lograr una mejor descripción y entendimiento de la dinámica del
colapso gravito-magnético nos vemos en la necesidad de considerar para trabajos futuros,
modelos Bianchi con más grados de libertad que el modelo I.
– 57 –
Part II
PEQUEÑOS AGUJEROS NEGROS
– 58 –
5. ENTROPÍA DE AGUJEROS NEGROS
5.1 Entropı́a de agujeros negros: pelos clásicos
Existe una simpática expresión sobre los ANs, que solı́a repetir John Wheeler, “los ANs
no tienen pelos”. Con esto querı́a decir que, excepto por unas pocas caracterı́sticas que los
distinguen, todos los ANs resultan parecidos no exhiben ningún “peinado” personal, algo
caracterı́stico que nos permita diferenciar un AN de otro. Lo único que los caracteriza son
su masa, su carga eléctrica, y su momento angular. Nadie podrı́a distinguir dos ANs con
estos mismos valores caracterı́sticos, y, precisamente, esta similitud de los rasgos definitorios
ha hecho creer, a lo largo de los años, la “extraña suposición” de que los ANs podrı́an ser
gigantescas partı́culas elementales.
La Teorı́a de Cuerdas nos ha permitido avanzar en esta dirección pues variedades
como la de Calabi-Yau34 presentan interacciones internas entre sus subvariedades, que
apantalladas por Branas35 envolventes, permiten obtener soluciones de AN sin masa, esto
es lo más similar a un fotón o sea pura radiación electromagnética en nuestro mundo.
Por otro lado y menos especulativo, los ANs deberı́an estar rodeados por un anillo
de luz que revela sus propiedades fundamentales. Muy pocos astrónomos ponen en duda
la existencia de los ANs, aunque la evidencia de su existencia es indirecta, a partir del
comportamiento de otros objetos cercanos a los ANs, tales como estrellas brillantes.
Estos objetos literalmente podrı́an ser engullidos por el AN y en caso de dar señales medibles de tal comportamiento, entonces esto constituirı́a una prueba de su existencia. Obviamente, para la comunidad de Astrónomos y para los Fı́sicos, la detección directa continúa
siendo un desafı́o.
Por ejemplo, en los dos últimos años, se ha utilizado la interferometrı́a para crear
imágenes del AN central de nuestra galaxia. Estas imágenes junto con las que se esperan
obtener en los próximos años deberı́an ser capaces de resolver detalles sobre la escala del
horizonte de sucesos del AN.
Retornemos entonces al conocido “teorema del no pelo” que naturalmente impone unos
lı́mites estrictos a la influencia que el AN pueda ejercer en su entorno. Imágenes de un AN
o más bien de la materia que lo circunda, podrı́an refutar el teorema, si se prueba que dicha
materia se distorsiona de alguna manera. Tim Johannsen y Psaltis Dimitrios [66], de la
Universidad de Arizona, en Tucson, dicen que hay una manera fácil de probar el teorema.
En la actualidad, calculan que los ANs deben estar rodeados por un anillo de luz.
Esta luz proviene de los fotones que han quedado atrapados en una órbita circular
alrededor del AN, en las afueras del horizonte de sucesos, que luego se dispersa por el gas y
el polvo que cae en el AN. Este anillo debe ser mucho más brillante que el gas y el polvo que
lo rodea, debe tener un diámetro que es unas diez veces el tamaño del AN, lo que significa
que deberı́a ser visible en las imágenes que pronto estarán disponibles y que proporcionarán
una medida directa de la masa del AN. La forma de este anillo, depende de las propiedades
del AN, y no de la estructura de la materia que cae en el AN. Eso significa que la forma del
34
Es una variedad con 6-dimensiones enrolladas (compactificadas), y presenta dos esferas empotradas una
de 2-dimensiones y otra de 3-dimensiones que dinámicamente pueden interactuar.
35
Es un objeto extendido, sobre el cual viven las cuerdas.
– 59 –
anillo es la medida de las propiedades del AN y cualquier asimetrı́a en el anillo será una
violación directa del teorema del no pelo. Los astrónomos no tienen que mirar muy lejos
para encontrar tal anillo. “El AN del centro de la Vı́a Láctea”, es el candidato ideal para
probar el teorema del no pelo debido a su brillo, a su gran tamaño, momento angular, y
relativa cercanı́a.
La solución estacionaria de Schwarzschild (1916) la discutimos en el capı́tulo 1 y
la ecuación (1.4), muestra el estado final que debe tener todo colapso gravitacional con
simetrı́a central. Históricamente, después surgieron otras dos familias de soluciones, la
solución con carga eléctrica “e” de Reissner (1916)–Nordstrom (1918) y posteriormente,
la solución de Kerr (1963) con momento angular “J = a M ”. Una generalización de la
familia de Kerr, cargada fue obtenida por Newman en 1965. Esta última solución de Kerr
cargada está formada por tres–parámetros, y la métrica del espacio-tiempo junto con el
vector potencial electromagnético son dados matemáticamente por la ecuación siguiente,
△ − a2 sin2 θ 2a sin2 θ(r 2 + a2 − △)
dt2 −
dtdφ +
d2 s = −
Σ
Σ
h (r 2 + a2 )2 − △a2 sin2 θ i
Σ
+
sin2 θ dφ2 + dr 2 + Σ dθ 2 ,
(5.1)
Σ
△
er
(5.2)
Aa = − [(dt)a − a sin2 θ(dφ)a ],
Σ
donde,
Σ = r 2 + a2 cos2 θ ,
2
2
2
△ = r + a + e − 2M r,
(5.3)
(5.4)
y e, a, y M son los tres parámetros de la familia. Cuando e = 0, tenemos a Aa = 0, la
métrica del espacio-tiempo se reduce a la familia de soluciones de Kerr. Cuando a = 0 se
recupera la solución de Reissner-Nordstrom y cuando e = a = 0, la ecuación (5.1) se reduce
a la solución de Schwarzschild. Ası́, todas las soluciones de ANs, estacionarias conocidas
están contenidas dentro de la familia 3-paramétrica, según la TGR.
En todas las soluciones que tienen una interpretación fı́sica directa, aparecen los 3parámetros e, a y M . Para cualquier 2-esfera, S, en la región asintótica, tenemos que,
Z
1
ǫabcd F cd dxa ∧ dxb = 4π e,
(5.5)
2 S
Z
1
ǫabcd ∇c ξ d dxa ∧ dxb = M,
(5.6)
−
8π S
Z
1
ǫabcd ∇c ψ d dxa ∧ dxb = M a,
(5.7)
16π S
donde, ξ a = (∂/∂t)a , y ψ a = (∂/∂φ)a son los vectores de Killing (ver [27])36 .
5.2 Mecanismo de Sen
Es conocido que la Teorı́a de Cuerdas en el lı́mite de bajas energı́as surgen acoplamientos
entre la gravedad y otros campos. Estas teorı́as también contienen soluciones tipo AN. Ası́
36
Para más información sobre la notación usada en (5.5)–(5.7), ver pág 151, [26] o Apéndice B de [27].
– 60 –
la teorı́a de cuerdas brinda un cuadro de trabajo para estudiar las propiedades de los ANs,
sean clásicos o cuánticos [67].
Clásicamente los ANs son soluciones de las ecuaciones de Einstein con propiedades
especiales. Todos los ANs tienen una superficie hipotética que los rodea, llamada horizonte de eventos de donde ningún objeto puede escapar después de atravesar su frontera.
En la teorı́a cuántica los ANs se comportan como cuerpos negros con temperatura finita
conocida como “temperatura de Hawking”. Ası́ mismo emiten radiación Hawking en correspondencia con las leyes de radiación del cuerpo negro, e interactúan con la materia
como un sistema termodinámico. Si nos basamos en leyes aproximadas donde se ignoran
términos de derivación superior a segundo orden, la entropı́a de los ANs vendrá dada por
la expresión de Bekenstein–Hawking,
SBH = A/(4GN ),
(5.8)
donde A es el área del horizonte de eventos y GN es la constante de Newton. Una importante pregunta es si: “¿Podremos entender esta entropı́a desde el punto de vista estadı́stico,
o sea como el logaritmo del número de microestados cuánticos asociados al AN ?”.
Aunque no se tiene una respuesta definitiva a esta pregunta, para una clase especial de
AN en teorı́a de cuerdas conocido como “AN extremal”, esta pregunta ha sido contestada
y en forma afirmativa. Estos ANs tienen temperatura cero por lo que no emiten radiación
Hawking y son usualmente estables. Algunas veces (no siempre) ellos son invariantes ante
cierto número de transformaciones de supersimetrı́a y en ese caso se llaman “ANs BPS”.
Debido a la estabilidad y a las propiedades supersimétricas, se tiene cierto control sobre
la dinámica de la configuración microscópica (esencialmente envuelven D-branas, cuerdas
fundamentales y otros objetos solitónicos) de estos ANs. Esto permite calcular la degeneración de tales estados con un acoplamiento débil donde los efectos de “backreaction”37
del sistema pueden ser ignorados. La supersimetrı́a nos permite extender el resultado al
caso de acoplamiento fuerte donde el “backreaction” gravitacional pasa a ser importante y
el sistema puede ser descrito como un AN. En teorı́a de cuerdas nos encontramos con una
gran variedad de ANs extremos tipo BPS, que en el lı́mite de AN grande [68], la entropı́a
toma la forma,
SBH (Q) = Sest (Q),
(5.9)
donde SBH (Q) es la entropı́a de Bekenstein-Hawking de un AN extremal debido a las
cargas “Q”, y Sest(Q) es definida como,
Sest (Q) = ln d(Q),
(5.10)
donde d(Q) es la degeneración de los estados BPS en la teorı́a debido al conjunto de cargas
“Q”. Esto nos brinda un buen entendimiento de la entropı́a de Bekenstein-Hawking desde
el punto de vista microcópico.
37
En fı́sica teórica la “backreaction” es frecuentemente utilizada para calcular el comportamiento de una
partı́cula de prueba u objeto, en un campo externo. Por ejemplo, si la partı́cula de prueba tiene masa o
carga infinitesimal entonces se ignora la “backreaction”, sin embargo dicha partı́cula posee carga y masa no
nula lo que altera a su vez el asumir campo externo fijo. Por esto, en ciertos casos se debe tomar en cuenta
su efecto, entonces los efectos de “backreaction” no se podrán despreciar.
– 61 –
Las comparaciones entre SBH y Sest fueron hechas primeramente en el lı́mite de cargas
grandes. En este lı́mite el horizonte es grande de modo que la curvatura y otros campos de
fuerza en él son pequeños y podemos calcular la entropı́a usando (5.9) sin preocuparnos por
correcciones con términos de orden superior de derivación38 a la acción efectiva de cuerdas.
Además el cálculo de Sest (Q) se simplifica porque la dinámica del sistema microscópico es
frecuentemente descrita por una Teorı́a de Campo Conforme(TCC), 1 + 1 dimensional con
coordenada espacial compactificada en un cı́rculo. Un AN extremo fuertemente cargado,
se corresponde con estados en esta TCC con los autovalores L0 (o L̄0 ) y cero L̄0 (o L0 ). La
degeneración de tales estados puede ser calculada usando la fórmula de Cardy en términos
de la carga central izquierda y derecha (cL , cR ), sin conocer los detalles de la teorı́a TCC,
o sea,
r
cL L0
Sest(Q) ≃ 2π
para
L̄0 = 0,
(5.11)
6
r
cR L̄0
≃ 2π
para
L0 = 0.
(5.12)
6
Entonces constituye una sorpresa que dos cálculos completamente diferentes (uno para
SBH (Q) y otro para Sest (Q)), den resultados iguales. De este modo cuando nos movamos lejos del lı́mite de cargas grandes, la curvatura y los restantes campos de fuerza en
el horizonte no serán despreciables. Ası́ tendremos que tomar en cuenta el efecto de los
términos de derivación superior en la acción efectiva de la teorı́a. Términos de derivación
superior son por ejemplo potencias cuadráticas y de mayor orden del tensor de Riemann.
Nosotros esperamos que para los ANs grandes (no infinitos) los efectos de estos términos
de derivación superior sobre el horizonte sean pequeños pero no nulos, estos efectos introducirán pequeñas modificaciones a la geometrı́a del horizonte y a la entropı́a de los ANs.
Por otro lado, la fórmula de Cardy para la entropı́a estadı́stica, si se calcula fuera del lı́mite
de AN grande, también recibirá modificaciones inversas a potencias de la carga del AN,
acentuándose sorpresivamente cada vez más la similitud entre SBH y Sest , incluso para
cuando tenemos en cuenta términos de derivación superior.
La entropı́a SBH de Bekenstein-Hawking fue calculada originalmente en TGR. Sin embargo, pretendemos aquı́ incorporarle al resultado términos de derivación superior. Varias
dualidades39 en teorı́as de cuerdas pueden mapear contribuciones clásicas a la teorı́a efectiva cuántica, por tanto, no tiene sentido restringir nuestro análisis a la teorı́a clásica. Una
elección es elegir la acción efectiva que genera los diagramas irreducibles de una partı́cula
(1PI), esta respeta todas las simetrı́as de dualidad. Sin embargo, la teorı́a de cuerdas tiene
partı́culas no masivas, y si vamos a órdenes mayores en términos de derivación superior,
la acción 1PI contendrá contribuciones no–locales. Como hemos visto aquı́, para cualquier
teorı́a de gravedad con términos de derivación superior y con una densidad Lagrangiana
local existe un buen algoritmo para calcular la entropı́a de ANs, hasta el presente no existen técnicas para tratar con teorı́as con acción no-local. Esto causa un potencial problema
38
Se les conoce por “términos de orden superior de derivación”, porque introducen derivadas de la métrica
superiores al segundo orden, en las ecuaciones de campo.
39
Las dualidades son transformaciones matemáticas que relacionan las 5–teorı́as de cuerdas existentes.
– 62 –
para definir entropı́a de un AN en teorı́as de cuerdas, más allá de los primeros órdenes.
Se podrı́a esquivar este problema usando una acción efectiva local de Wilson, pero esta no
respecta todas las simetrı́as de dualidad de la teorı́a.
También se presentan ambiguedades en el lado estadı́stico, donde las correcciones a la
entropı́a dependen del inverso de la carga del AN, y se sabe que tales correcciones dependen del ensemble que elegimos para definir entropı́a. Por ejemplo podemos usar ensembles
micro-canónicos o gran-canónicos invariantes de dualidad, o podemos usar ensembles mixtos no invariantes de dualidad [69].
Esperamos que los ejemplos explı́citos para el cálculo de las correcciones a la entropı́a
de ANs, puedan resolver las ambiguedades anteriores y hacer una formulación más precisa sobre la relación entre las dos entropı́as. Nosotros nos dedicaremos al cálculo de la
entropı́a SBH de ANs teniendo en cuenta términos de derivación superior, basándonos en
el formalismo entrópico [70] que es una adaptación de un formalismo más general [71] al
caso especial de ANs extremales. La segunda lı́nea de trabajo o sea calcular la entropı́a
estadı́stica se puede encontrar en [72, 73, 74], y [67] donde incluso se comparan las dos vı́as
para el caso de un AN en una teorı́a de cuerda supersimétrica en 4-dimensiones.
5.3 Definición de AN extremal
Analizemos un AN de Reissner-Nordstrom (RN), que describe un AN esféricamente simétrico
con carga eléctrica en la teorı́a usual de Einstein-Maxwell,
S=
Z
d4 x
p
−det g L,
L=
1
1
R − Fab F ab .
16πGN
4
(5.13)
La solución de RN en esta teorı́a viene dada por,
ds2 = −(1 − a/ρ)(1 − b/ρ)dτ 2 +
Fρτ =
q
,
4πρ2
Fθρ =
p
sinθ,
4π
dρ2
+ ρ2 (dθ 2 + sin2 θdφ2 ), (5.14)
(1 − a/ρ)(1 − b/ρ)
(5.15)
donde ρ, θ, φ y τ son las coordenadas del espacio-tiempo, a y b dos constantes dadas por,
a + b = 2 GN M,
ab =
GN 2
(q + p2 ),
4π
(5.16)
donde q, p y M que denotan la carga eléctrica, magnética y la masa del AN. Cuando a > b
entonces el horizonte interno estarı́a en r = b y el externo en r = a. El lı́mite extremo será
cuando r = a = b, entonces,
1
(q 2 + p2 ),
M =
4πGN
2
a=b=
r
GN 2
(q + p2 ).
4π
(5.17)
Ahora si definimos,
t = λτ /a2 ,
r = λ−1 (ρ − a),
– 63 –
(5.18)
donde λ es una constante arbitraria, y reescribimos la solución extrema en estas nuevas
coordenadas, obtenemos que,
r 2 a4
(a + λ r)2 2
2
dt
+
dr + (a + λ r)2 (dθ 2 + sin2 θ dφ2 ),
(a + λ r)2
r2
p
q a2
,
Fθφ =
sinθ,
=
2
4π(a + λr)
4π
ds2 = −
(5.19)
Frt
(5.20)
y en el lı́mite muy “cercano al horizonte” λ → 0, la solución tomará la forma,
dr 2 ds2 = a2 −r 2 dt2 + 2 + a2 (dθ 2 + sin2 θ dφ2 ),
r
q
p
Frt =
,
Fθφ =
sinθ.
4π
4π
(5.21)
(5.22)
La entropı́a que se obtiene dividiendo el área del horizonte por 4GN es,
SBH =
1 2
(q + p2 ),
4
(5.23)
y tiene las propiedades siguientes:
• En el lı́mite λ → 0 manteniendo a r fija, la coordenada original ρ se aproxima a a.
Ası́ (5.21) describe el campo de configuración de un AN cercano al horizonte.
• El espacio de (5.21) se desdobla en dos espacios. Uno etiquetado por (θ, φ) descrito
por una esfera S 2 de 2-dimensiones, y otro etiquetado por (r, t) descrito por un
espacio-tiempo Anti de Sitter (AdS) de 2-dimensiones. Este último resulta de la
solución de las ecuaciones de Einstein en 2-dimensiones con constante cosmológica
negativa.
• El reflejo de la simetrı́a esférica del AN original hace que en (5.21) se presente una
isometrı́a SO(3) que actúa sobre la esfera S 2 . En (5.21) también se presenta una
isometrı́a SO(2, 1) actuando sobre el espacio AdS2 , esta es generada por,
L1 = ∂t , L0 = t∂t − r∂r , L−1 =
1 1
( + t2 )∂t − tr∂r.
2 r2
(5.24)
Ası́, tanto la métrica como los campos de calibración son invariantes bajo una transformación del tipo SO(2, 1) × SO(3).
Entonces si postulamos que la geometrı́a del AN no cambiará si añadimos términos
de derivación de orden superior, y en el caso de D-dimensiones se puede generalizar a que
los ANs tengan isometrı́as del tipo SO(2, 1) × SO(D − 1), entonces todo esto constituye
nuestra definición de “AN extremo”40 .
40
Para 4 y 5-dimensiones, estos postulados han sido probados [77].
– 64 –
5.4 Método de Sen
(i)
Siguiendo [75, 76, 70], supongamos una teorı́a acoplada a campos de calibración Aµ y a
campos escalares φs . La densidad Lagrangiana será expresada en función de la métrica, de
estos campos, y de las derivadas covariantes de estos campos. Además, suponiendo ANs
extremos, esféricamente simétricos con invariancia tipo SO(2, 1) × SO(D − 1) cerca del
horizonte, la configuración de campos más general y consistente con esta isometrı́a es,
dr 2 ds2 = gab dxa dxb = v1 −r 2 dt2 + 2 + v2 (dθ 2 + sin2 θ dφ2 ),
(5.25)
r
pi
(i)
(i)
φs = us , Frt = ei , Fθφ =
sinθ,
(5.26)
4π
donde v1 , v2 , us , ei y pi son constantes. Para esta métrica las componentes del tensor de
Riemann son,
Rabcd = −v1−1 (gac gbd − gad gbc ),
Rmnpq =
v2−1 (gmp gnq
− gmq gnp ),
a, b, c, d = r, t,
(5.27)
m, n, p, q = θ, φ.
(5.28)
(i)
Las derivadas covariantes de los campos escalares φs , los campos de calibración Fab
y del tensor de Riemann Rabcd se anulan cerca del horizonte de geometrı́a. Debido a consideraciones generales de simetrı́a, todas las contribuciones a las ecuaciones de movimiento
de cualquier término en L que contenga derivadas covariantes de los campos en general
se anulan para esta métrica, entonces podemos concentrarnos en aquellos términos que no
contengan derivadas covariantes de los campos.
Definamos la densidad de lagrange f (~u, ~v , ~e, p~) evaluada cerca de la geometrı́a del
horizonte (5.25) e integrada por las variables angulares,
Z
p
(5.29)
f (~u, ~v , ~e, p~) = dθdφ −det g L.
Las ecuaciones de campo cerca del horizonte corresponden a extremar f respecto a las
variables ~u y ~v ,
∂f
∂f
= 0,
= 0.
(5.30)
∂us
∂vi
Las componentes no triviales de las ecuaciones del campo de calibración y de las
identidades de Bianchi para la solución completa del AN toman la forma,
δS (i)
= 0,
∂r Fθφ = 0,
(5.31)
∂r
(i)
δFrt
R
√
donde S = d4 x −det g L es la accción. Estas ecuaciones son satisfechas cerca del horizonte de (5.25) y podemos extraer más información de ellas, pues evaluando estas integrales,
Z
Z
δS
(i)
dθdφ (i) = ai ,
(5.32)
dθdφFθφ = bi ,
δFrt
cerca del horizonte (5.25), nos da que,
ai =
∂f
,
∂ei
– 65 –
bi = pi .
(5.33)
Ellas son justamente la carga eléctrica ai , y la carga magnética bi . Denotemos por,
qi =
∂f
,
∂ei
(5.34)
como la carga eléctrica del AN. Ahora el conjunto (5.30) y (5.34), forma un sistema de
ecuaciones con igual número de incógnitas ~u, ~v y ~e. En la mayorı́a de los casos este sistema
se puede resolver y quedar determinado en función de ~q y p~. Esto es consistente con el
mecanismo atractor en supersimetrı́a el cual enuncia que cerca de la configuración de un
AN, las magnitudes dependen solamente de la carga eléctrica y magnética del AN y no del
valor de sus campos escalares.
Definamos ahora,
E(~u, ~v , ~e, ~
q , p~) = 2 π(ei qi − f (~u, ~v , ~e, p~)).
(5.35)
Las ecuaciones (5.30) y (5.34), determinando ~u, ~v y ~e pueden ser escritas como,
∂E
∂E
∂E
∂E
= 0,
= 0,
= 0,
= 0.
∂us
∂v1
∂v2
∂ei
(5.36)
O sea, todos los parámetros cerca del horizonte pueden ser calculados extremando
la función E. Por otro lado, la fórmula general planteada en [71] y escrita para ANs
esféricamente simétricos, tiene la forma,
Z
δS √
−grr gtt ,
(5.37)
dθdφ
SBH = −8π
δRrtrt
H
donde H denota el horizonte del AN. Después de una serie de pasos a partir de (5.37) se
llega a que (ver [67], pág 14),
∂f
−f .
(5.38)
SBH = 2π ei
∂ei
Comparando (5.38) con (5.35) se obtiene que,
SBH = E(~u, ~v , ~e, ~q, p~).
(5.39)
O sea SBH (~
q , p~)/2π puede ser interpretado como la transformación de Legendre de la
función f (~u, ~v , ~e, p~) con respecto a la variable ei , después de eliminar ~u y ~v mediante el
sistema (5.30).
Ası́ el formalismo de la función entrópica, reduce el problema del cálculo de la entropı́a
de un AN extremal a un problema de solucionar un sistema de ecuaciones. Veamos un caso
muy simple, el AN de RN,
dr 2 ds2 = v1 −r 2 dt2 + 2 + v2 (dθ 2 + sin2 θ dφ2 ),
(5.40)
r
Frt = e,
Fθφ = p sinθ/4π.
(5.41)
Usando (5.13), (5.29) tenemos que,
h 1 2
2 1 −2 2 1 −2 p 2 i
− +
+ v1 e − v2 ( ) ,
f (v1 , v2 , e, p) = 4πv1 v2
16πGN
v1 v2
2
2
2π
– 66 –
(5.42)
y que,
h
E(v1 , v2 , e, q, p) = 2π(q e − f ) = 2 π q e −
1
p i
(2v1 − 2v2 ) − 2π v2 v1−1 e2 + 2πv1 v2−1 ( )2 .
4GN
4π
(5.43)
Aquı́ E es extrema si,
q 2 + p2
,
4π
Sustituyendo en la expresión para E, tenemos que,
v1 = v2 = GN
e=
q
.
4π
1
SBH = E = (q 2 + p2 ),
4
que coincide con al entropı́a clásica de Bekenstein-Hawking para un AN de RN.
– 67 –
(5.44)
(5.45)
6. ENTROPÍA DE AGUJEROS NEGROS EXTREMOS
6.1 Nuevos resultados en la aplicación del formalismo de Sen
Motivados ya sea por lograr la total unificación de las fuerzas fundamentales de la Naturaleza o por tratar de explicar fenómenos que hoy en dı́a permanecen sin resolver en la
fı́sica teórica, la TGR ya ha sido generalizada de muchas formas. Unas de estas vı́as es
apoyarse en el contenido geométrico que posee toda teorı́a relativista y de esta forma lograr
dicha generalización. Esto es especı́ficamente lo que hacemos en este capı́tulo aplicado al
caso particular de ANs extremos.
En la fı́sica es muy importante conocer los invariantes que posee la teorı́a si se piensa
proponerla como una teorı́a nueva, ası́ se hace por ejemplo en electrodinámica, EDC o
CDC41 donde el invariante fundamental es,
1 ab
F Fab ,
α
(6.1)
donde α es la masa del gap.42 Si sobre ellos aplicamos el método extremal se obtienen las
ecuaciones de campo de la teorı́a. Ya sea las ecuaciones de Maxwell para la EDC o las de
Yang Mills en CDC. Similarmente en la TGR el invariante principal es el escalar de Ricci
R y las ecuaciones de Einstein se obtienen extremando su acción. Aunque este invariante
es indispensable para la formulación de toda la teorı́a de la TGR, no constituye el único
invariante posible, existen muchos más que se pueden construir. Por ejemplo, usando el
tensor de Ricci Rab , y el tensor de Riemann Rabcd , se obtienen los invariantes,
R2 ,
Rab Rab ,
Rabcd Rabcd .
(6.2)
Al incorporarlos a ellos se define el sector geométrico (o gravitatorio) de la teorı́a.
Claramente esto mismo se puede hacer con la acción de la EDC y en el marco de las teorı́as
de campo se define como trabajar en el sector de calibración. Además cuando decimos
que trabajamos con invariantes de orden superior (o de orden superior de derivación) en el
sector geométrico, significa que dicho invariante es de mayor orden que R, la interpretación
es similar en el sector de calibrado para invariantes de órdenes mayores43 que F 2 . Hoy en
dı́a la incorporación de invariantes de orden superior es un tema abierto.
En este capı́tulo calculamos la entropı́a de ANs extremos y estacionarios teniendo en
cuenta términos de derivación superior. La inclusión de estos términos en la teorı́a de alta
gravedad puede hacerse usando por ejemplo los términos de Gauss-Bonnet(GB) [88, 89, 90].
Estos términos pueden aparecer en varios escenarios teóricos como; Teorı́as de Cuerdas,
Teorı́as de Branas [91, 92, 93] y Gravedad Cuántica Semiclásica. En particular, términos
de derivación superior aparecen en la teorı́a de cuerdas cuando se evalúa el lı́mite efectivo
de baja energı́a.
41
EDC (Electrodinámica Cuántica) y CDC (Cromodinámica Cuántica).
Determinar la masa del gap es un problema abierto, y está dentro de los 23 problemas de Hilbert
(Axiomatizar toda la fı́sica), también se encuentra entre los problemas del milenio. Esta masa se corresponde
con la primera excitación o estado básico fundamental con respecto al vacı́o.
43
Ası́ mismo como R2 = Rab Rab , el término F 2 = Fab F ab , se define similarmente.
42
– 68 –
Por otro lado, se conoce el problema de no-renormalización que sufren las teorı́as de
gravedad. En especial la teorı́a de GB sı́ puede ser renormalizada pero a su vez aparecen
otros problemas de igual importancia, emergen fantasmas (partı́culas de spin = 2 masivas)
o gravitones masivos [86, 87].
En este capı́tulo presentaremos una serie de soluciones aproximadas para la entropı́a
de ANs extremales cerca del horizonte de geometrı́a para cuatro y cinco dimensiones. Ası́
para alcanzar esta meta, usaremos el formalismo de Sen. La teorı́a de partida será detallada
en el epı́grafe 6.2, pero en efecto ella está compuesta por una teorı́a de Einstein-Maxwell
con constante cosmológica, además del conjunto completo de los invariantes de Riemann.
Es importante señalar que en aquellos casos en que las ecuaciones de movimiento (en
la cercanı́a del horizonte), no se puedan resolver analı́ticamente, entonces efectuaremos
una aproximación por series de potencias basándonos en un parámetro inverso a la carga
eléctrica del AN.
Por otro lado, si queremos incluir el conjunto completo de los invariantes de Riemann
como términos de derivación superior de la teorı́a, debemos considerar la versión más actual
de este conjunto. O sea, el conjunto definido por Carminati y McLenagham (CM) [30],
más el invariante m6 introducido por Zakhary y McIntosh [31].
Los invariantes CM son escalares construidos a partir del tensor de Riemann, Rabcd , el
tensor de Weyl Cabcd (y su dual) y el tensor de Ricci de traza nula, definido como Sab =
Rab −(1/d)R gab (en d-dimensiones). Comenzando por seis escalares reales R, r1 , r2 , r3 , m3 , m4
y cinco escalares complejos w1 , w2 , m1 , m2 , m5 , ellos hacen un total de dieciséis invariantes
escalares (Note que los sı́mbolos r, w y m se asocian respectivamente a invariantes de Riemann, Weyl y su mezcla). El conjunto de invariantes de CM contiene el número requerido
de invariantes para los casos de Einstein-Maxwell y el fluido perfecto. Además, con la inclusión del invariante m6 , se ha probado que el conjunto de CM se convierte en un conjunto
completo. De esta forma este conjunto cubre los 90 casos posibles (6 tipo Petrov × 15 tipo
Segre, ver [31]). En otras palabras, un conjunto completo de invariantes debe contener (al
menos para el espacio-tiempo d = 4) los bien conocidos invariantes fı́sicos, ası́ como los
invariantes geométricos.
En el Cuadro 2, (ver Apéndice G) mostramos las definiciones y resultados obtenidos
para el conjunto de invariantes no nulos de Riemann sobre una geometrı́a AdS2 × S d−2
para d = 4 y d = 5. Es importante señalar que para el caso de d = 5 no es posible calcular
los invariantes complejos de Riemann, ellos son desconocidos. Para esta dimensión podrı́a
requerirse de más invariantes y la pregunta serı́a, cuantos invariantes se necesitan para que
estos conjuntos con d > 4 sean completos. Este todavı́a es un problema abierto.
Igualmente en el Cuadro 3, (ver Apéndice G), se muestran los invariantes organizados
por su grado. Siguiendo las definiciones dadas en [31], de un conjunto dado de invariantes,
el j−ésimo invariante escrito de la forma Ijp , es llamado invariante de orden p. Si existe
otro invariante tal que pueda ser escrito de la forma Ijp Ikq Ilr , entonces se dice que este es un
invariante de orden p−q−r y el resultado de la suma p+q+r será su grado. Por ejemplo, en
el Cuadro 2, el invariante Re(m1 ), denota la parte real del invariante m1 , tiene orden 1 − 2
y es de 1 + 2 = 3, tercer-grado. Además, el invariante Ijp será independiente si él no puede
ser escrito en términos de otro invariante, ya sea de igual o menor grado. También, dos
– 69 –
invariantes se dice que son equivalentes si ellos pueden ser escritos en términos de otros,
o como el producto de otros de menor grado. Las relaciones de equivalencias o (syzygies)
son dadas en el Cuadro 3. Es fácil de ver que en 4 y 5 dimensiones todos los invariantes
pueden ser escritos en términos de los invariantes independientes R, r1 y r2 . Es importante
señalar que todos los invariantes no nulos fueron tomados en cuenta en nuestros cálculos,
los restantes nulos no son incluidos en los Cuadros 2-3.
Naturalmente, una pregunta sale a flote, y es: ¿por qué no están presentes los invariantes de orden superior de la teorı́a de calibración?, dado que en efecto pensamos incluir la
teorı́a de Einstein-Maxwell donde los campos de calibración están presentes. La respuesta
es, que lo hacemos por simplicidad, o sea solo trabajaremos en el sector de gravedad pura,
para los términos de orden superior de la teorı́a, quedando fuera invariantes de orden
superior como: (Fab F ab )2 , F a b F b c F c d F d a , R F 2 ,..., los covariantes Fab F ab ,..., y los invariantes de forma. Es decir solamente el sector gravitacional será tratado para el conjunto
de CM.
Todos los cálculos fueron hechos con el paquete para tensores GRT ensor sobre el
programa de cómputo algebraico Maple.
6.2 Generalización de la Teorı́a de Einstein usando los invariantes de Riemann
Consideraremos una teorı́a de gravedad de orden superior en el sector geométrico, introduciendo el conjunto completo de los invariantes de Riemann como términos de derivación
superior en la acción. Además incluimos constante cosmológica, y campos electromagnéticos.
Ası́ nuestra acción toma la forma,
Z
F2
1
d
d√
+ Linv ,
dx −g R + Λ −
(6.3)
S=
16πGd
4
donde,
2
3
4
2
2
5
3
Ld=4
inv = a2 R + b2 R2 + a3 R + b3 R R2 + a4 R + b4 R2 + c4 R R2 + a5 R + b5 R R2 ,
2
3
4
2
2
Ld=5
inv = a2 R + b2 R2 + a3 R + b3 R R2 + c3 R3 + a4 R + b4 R2 + c4 R R2 + e4 R R3 ,
siendo Gd la constante de Newton d-dimensional, R el escalar de Ricci, Λ la constante cosmológica, Fab el tensor electromagnético, y F 2 = Fab F ab . R2 y R3 son los dos primeros invariantes de Riemann reales definidos en el Cuadro 2, para la métrica (6.4). Los parámetros
ai , bi , ci , ei ... son las constantes de acoplamiento para cada término de derivación superior
de i-ésimo grado. Ldinv denota los términos de derivación superior que se tendrán en cuenta.
En ambos casos, en cuatro y cinco dimensiones, los invariantes forman un conjunto completo, y se tiene en cuenta todos los invariantes de alto orden dentro del conjunto de
invariantes de Carminati-McLenagham.
El espacio tiempo más general [67] que se puede escribir para una configuración de AN
estático y extremal con topologı́a AdS2 × S d−2 cerca del horizonte de geometrı́a es,
dr 2
) + v2 dΩd−2 ,
r2
d=5
d=4
= 0,
= p sin θ, Fθφ
= e, Fθφ
ds2 = v1 (−r 2 dt2 +
d
eaI ΨI |H = uI , F0r
– 70 –
(6.4)
(6.5)
dΩ2d−2
=
dθ12
+
i−1
d−2 Y
X
i=2 j=1
sin2 θj dθi2 , 0 ≤ θi ≤ π, 0 ≤ θd−2 ≤ 2π, (1 ≤ i ≤ d − 3),
donde e y p son funciones relacionadas con la carga eléctrica y magnética, mientras que
v1 y v2 son funciones conectadas con la garganta del AN. En general las constantes ui se
relacionan con los valores de los campos escalares Ψi sobre el horizonte, pero en nuestro
caso ellos no están presentes por tanto ui = 0. En los epı́grafes siguientes usaremos el
formalismo de Sen [67], en el cual la función entrópica es definida como,
E(~u, ~v , ~e, ~
q , p~) = 2π(ei qi − f (~u, ~v , ~e, p~)),
(6.6)
√
y f (~u, ~v , ~e, p~) es la densidad Lagrangiana −det gL, evaluada cerca del horizonte de geometrı́a. Todos estos parámetros pueden ser determinados extremando la función entrópica.
∂E
∂E
∂E
=
=
= 0,
∂ui
∂vj
∂e
i = 1, ..; N , j = 1, .., 2.
(6.7)
Las ecuaciones (6.7) representan el conjunto de ecuaciones de movimiento del sistema
escritas cerca del horizonte de geometrı́a del fondo extremal (6.4). Ası́, la entropı́a del AN en
el lı́mite extremal se obtiene resolviendo el sistema de ecuaciones (6.7) y sustituyendo estos
parámetros en la función entrópica. Esto demuestra que SBH /2π puede ser considerada
→
→
→
→
como la transformada de Legendre de la función f (−
u ,−
v ,−
e ,−
p ), con respecto a las variables
ei .
6.2.1 Soluciones analı́ticas para invariantes de 2do orden en d = 4
Los cálculos para contribuciones de segundo orden a la entropı́a de ANs extremales corresponden a considerar solamente los invariantes de segundo orden. Sobre la base del
principio de correspondencia, la solución de Gauss-Bonnet(GB) debe estar contenida en
estos resultados [88], ası́ como la solución de Reissner-Nordstrom (RN). Por tanto, en este
caso tomamos ai = bi = ci = 0 para i ≥ 3 en (6.3), entonces la función f (~v , ~e, p~) será,
Z
√
F2
2
(6.8)
+ a2 R + b2 R2 dθdφ,
−g R + Λ −
f (v1 , v2 , e, p) =
4
S2
mientras la función entrópica tomará la forma,
(
v1
v2
v2
1
v1
E(v1 , v2 , e, q, p) = 2 qeG4 + 2 2 −
−
−
−
a2 + −
b2 +
v2
v1
8v2 8v1 4
)
2
p
v1 v2 e2
π
+
− 2 − v2 Λ
−
+ v2
,
(6.9)
2v2
2
4v1
G4
y el sistema de ecuaciones de movimiento basándonos en (6.7) serı́a,
v2 e
2q −
= 0,
2v1 G4
a2
v1 a2
b2
v1 b2
e2
v1 p 2
v1 Λ
−1+2
−2
+
−
+
+
= 0,
2
v1
v2 2
8v1
8v2 2
4v1
4v2 2
Λ
v2 a2
a 2 v2 b2
v2 e2
b2
p2
−v2 − 1 + 2
−2
+
+
= 0.
−
+
2
2
2
2
v1
v2
8v2
4v2
8v1
4v1
– 71 –
(6.10)
(6.11)
(6.12)
Note que cuando resolvemos este sistema de ecuaciones, todas estas soluciones pueden ser
escritas en términos de la función v2 como sigue,
f
f
v2
,
q=
,
,
e=
v2 Λ + 1
8G4
2(v2 Λ + 1)
p
f = 8 (Λv2 + 2)v2 − 2(16 a2 + b2 ) (v2 Λ + 2)v2 Λ − 4 p2 ,
v1 =
(6.13)
y la entropı́a para un AN extremal y estático (teniendo en cuenta invariantes de segundo
orden) será,
π b2
(16 a2 + b2 ) Λ πv2
−
.
(6.14)
SBH = 1 −
4
G4
2G4
La solución de GB que fue encontrada por Morales y Samtleben en [88] puede ser
obtenida sustituyendo b2 = −8α, y a2 = α/2 en (6.14), ası́,
SGB = (v2 + 4α)
π
,
G4
(6.15)
donde el parámetro α es la constante de acoplamiento de GB. De igual manera, si tomamos
a2 = b2 = 0 en (6.14), entonces la entropı́a se convierte en la conocida entropı́a del AN de
RN en el lı́mite extremal y con carga magnética p,
SBH |a2 =b2 =0 =
πv2
d=4
≡ SRN
.
G4
Las variables v1 , e y q serán entonces,
p
2 (Λv2 + 2)v2 − p2
v2
v1 =
,
q=
,
v2 Λ + 1
4G4
e=
p
(6.16)
2 (Λv2 + 2)v2 − p2
,
v2 Λ + 1
(6.17)
donde directamente de (6.14) se puede ver que la constante cosmológica por sı́ misma no
modifica la ley del área de Bekestein-Hawking. Por tanto ella necesita estar acompañada
de términos de derivación superior, de al menos segundo orden, para poder modificarla y
obtener un resultado nuevo. O sea la constante cosmológica Λ solo cambia la geometrı́a
de la garganta como se ve en (6.13) y (6.17). Sin embargo, las constantes a2 y b2 en
(6.14) representan las desviaciones de dicha ley. En la siguiente sección se obtendrán soluciones aproximadas para gravedad de orden superior, teniendo en cuenta las contribuciones
restantes R3 , R4 y R5 .
6.2.2 Soluciones aproximadas para el conjunto completo en d = 4
Debido a la no linealidad de las ecuaciones de Einstein-Maxwell es muy difı́cil encontrar
soluciones exactas, más aún si incluimos términos de alta derivación. En muchos casos
se emplean métodos aproximados o soluciones numéricas. Por tanto, si consideramos el
conjunto completo de invariantes de Riemann entonces no podremos encontrar soluciones
explı́citas del sistema de ecuaciones de movimiento (6.7). Nosotros resolveremos este problema introduciendo un parámetro w para hacer una expansión alrededor de él. En efecto
en (6.3), w puede siempre ser extraı́do de las constantes de acoplamiento ai , bi , ci , ei por
re-escalamiento, teniendo en cuenta que debe ser extraı́do con el orden apropiado. La
– 72 –
solución de RN (caso Linv = 0) es bien conocida analı́ticamente, y las primeras constantes
de acoplamiento para invariantes de orden superior son a2 y b2 . Consecuentemente para
este caso: a2 , b2 ⇒ w a2 , w b2 , ... y en general, tendremos que,
al , bm , cn , ep =⇒ wl−1 al , wm−1 bm , wn−1 cn , wp−1 ep ,
l, m, n, p = 2, 3, 4, 5, ...
(6.18)
El parámetro de expansión w puede ser considerado proporcional al inverso de la carga
del AN, la cual es cero a primer orden. Esta es la forma en que w debe aparecer en
la función entrópica E. Además, como estamos interesados en soluciones aproximadas,
entonces debemos construir series de expansión de las funciones e, q y v1 . En general,
cualquiera de estas funciones puede ser expandida alrededor de w,
∞
X
wk ∂ k h
h(w) =
.
k! ∂wk w=0
(6.19)
k=0
Esta expansión nos permite escribir,
e ≃ e0 + w∆e1 + w2 ∆e2 + w3 ∆e3 + ...,
q ≃ q0 + w∆q1 + w2 ∆q2 + w3 ∆q3 + ...,
v1 ≃ v1 0 + w∆v1 1 + w2 ∆v1 2 + w3 ∆v1 3 + ...,
(6.20)
E ≃ E0 + w∆E1 + w2 ∆E2 + w3 ∆E3 + ...,
donde en (6.20) hemos tomado ∆hk = (1/k!)(∂ k h/∂wk )w=0 . Ası́, w fija el nivel de aproximación, en el caso que w = 0 tenemos soluciones de orden cero que serán de tipo RN
(6.16)-(6.17). Finalmente incluyendo el conjunto completo de invariantes (o sea en (6.3)
tomando todos los términos), o contribuciones de quinto orden para la entropı́a de un AN
extremo, y después de resolver el conjunto de ecuaciones iteradas que aparecen al extremar
la función entrópica, en este trabajo se obtienen la siguientes expresiones aproximadas para
la entropı́a SBH ,
(5)
(4)
(3)
(2)
d=4
(6.21)
SBH = SRN
+ SBH + SBH w + SBH w2 + SBH w3 w + O (w 5 ),
donde,
(3)
SBH
(4)
SBH
π
,
G4
3
π
1
2
2
= 12Λ v2 a3 + ( v2 Λ + 2Λ + )b3
,
4
v2
G4
(2)
SBH
b2
Λ
= − (16 a2 + b2 ) v2 +
4
2
(
(6.22)
(6.23)
(v2 Λ + 2)3 b4 2Λ (v2 Λ + 2) (v2 Λ + 1) c4
+
+ (16a2 + b2 ) ×
8v2 2
v2
)
Λ (v2 Λ + 2)2 b3
π
3
+ v2 a3 Λ
,
(6.24)
×
16v2
G4
= − 32 v2 Λ3 a4 +
– 73 –
(5)
SBH
(
6
12
)b5 + 96v2 Λ2 a23 + 4( + 3v2 Λ2 + 8Λ)a3 b3 +
(6.25)
v2
v2
)
(3v2 Λ + 4)(v2 Λ + 2)2 2
(v2 Λ + 2)2 c4 (v2 Λ + 2)4 b4
π Λ2
2
+
+
.
b3 + (16a2 + b2 ) 4Λ a4 v2 +
2
3
4v2
G4
8Λv2
64Λ2 v2
=
80v2 Λ2 a5 + (5v2 Λ2 + 16Λ +
En caso que estudiemos una teorı́a efectiva donde solo invariantes de tercer orden son
necesarios, entonces debemos tomar en (6.3), (6.35) las constantes de acoplamiento con los
valores aj = bj = cj = ej = 0 para j ≥ 4, y la solución para la entropı́a del AN extremo,
(3)
(2)
será simplemente: SBH = SRN + (SBH + SBH w)w + O (w 3 ). Esto mismo se puede hacer
para cuarto orden. Esta aproximación es más que suficiente, pues se puede ver fácilmente
que la solución analı́tica de segundo orden (6.14) es exactamente reproducida en (6.22).
Note que cada contribución entrópica de invariantes de i−ésimo grado es etiquetada como
S (i) , entonces el súper-ı́ndice (i) solamente indica el grado del invariante que produce esto
y no el orden de aproximación.
En el conjunto de soluciones aproximadas los términos no lineales con respecto a la con(5)
(4)
stante de acoplamiento aparecen en SBH y SBH con contribuciones como a2 a3 , a2 b3 , b2 a3 , b2 b3
y a23 , a3 b3 , b23 , a2 a4 , a2 c4 , a2 b4 , b2 a4 , b2 c4 , b2 b4 respectivamente.
6.2.3 Soluciones analı́ticas para invariantes de 2do orden en d = 5
En este caso, la función f (~v , ~e, p~) toma la misma forma que (6.8), pero la integración esta
vez se realiza sobre S 3 , entonces la función entrópica es dada por,
3 π 2 (2 v1 + v2 )2 b2
π 2 (3 v1 − v2 )2 a2
−
−,
√
√
G5 v1 v2
40
G5 v1 v2
√
v2 2v1 v2 (Λv1 − 2) + e2 v2 + 12 v1 2 π 2
,
−
8G5 v1
y el sistema de ecuaciones de movimiento (6.7) cerca del horizonte serán,
E(v1 , v2 , e, q, p) = 2 π qe −
π (3v1 + v2 ) (3v1 − v2 ) a2 3π (2 v1 − v2 ) (2 v1 + v2 ) b2
+
−
√
√
v2 v1 2
40 v2 v1 2
√
π v2 −12 v1 2 − 2 Λ v1 2 v2 + e2 v2
,
−
8v1 2
3π (v1 + v2 ) (3v1 − v2 ) a2 3π (2 v1 + v2 ) (2 v1 − 3 v2 ) b2
+
−
0=
√
√
v2 v1 2
40 v2 v1 2
√
3π v2 2v12 (2 + Λv2 ) + v2 (e2 − 4v1 )
−
,
8v1 2
0=
3
(6.26)
(6.27)
(6.28)
π v2 2 e
0 = q−
.
(6.29)
v1 8G5
El sistema puede ser resuelto explı́citamente, y entonces las funciones e, v1 y q pueden ser
escritas en términos de v2 como,
v2 (5 v2 + 20a2 − b2 )
v1 =
,
(6.30)
60a2 + 2 b2 + 5v2 (4 + v2 Λ)
√
π v2 fe
fe
,
(6.31)
, e =
q =
8 (5v2 + 20a2 − b2 ) G5
20v2 + 60a2 + 2b2 + 5v22 Λ
– 74 –
donde,
fe =
√
5 v2 2 Λ + 20a2 + 6v2
21
10v22 − 60a2 b2 − 40a2 v22 Λ − 2b22 − 3b2 v22 Λ − 10b2 v2
21
.
Por consiguiente, la entropı́a de un AN estático y extremo en d = 5, teniendo en cuenta
términos de derivación superior de segundo grado, tiene la forma,
SBH
1
5
5π 2 v22 −v2 2 + 10a2 b2 + 2b2 v2
π 2 v2 2 (40a2 + 3b2 ) Λ
+
.
=
4 (−5v2 − 20 a2 + b2 ) G5
2 (−5v2 − 20a2 + b2 ) G5
(6.32)
De forma análoga, la solución extremal de Gauss-Bonnet mostrada en [88] puede ser
obtenida con las sustituciones, b2 = −8 α, y a2 = 35 α, en la solución principal (6.32),
ası́,
1
SGB = (v2 + 12α)
π 2 v2 2
.
2G5
(6.33)
Esto no pasa para una contribución genérica tipo GB. En general, el establecimiento de
una relación entre las soluciones de GB y las soluciones de segundo grado requieren de un
vı́nculo (ver sección 6.2.5). Por otro lado, si a2 = b2 = 0 en (6.32), la conocida solución de
RN extremal también es obtenida,
3
SBH |a2 =b2 =0
π 2 v22
d=5
≡ SRN
.
=
2G5
(6.34)
Ası́ como acurrió en (6.14), la constante cosmológica no cambia la entropı́a del AN por
si misma: Ella podrı́a necesitar de mayores términos de derivación superior. Una prueba
de esto sigue de tomar Λ = 0 en (6.32), donde se ve claramente que las contribuciones de
a2 y b2 no desaparecen. Estas contribuciones también producen una marcada desviación
de la ley del área. Note que, contrariamente al caso de d = 4, no solo la constante cosmológica modifica la geometrı́a de la garganta del AN (ver (6.30)), sino que las constantes
de acoplamiento asociadas a los invariantes de segundo orden, también tienen su efecto
sobre la topologı́a de la garganta.
6.2.4 Soluciones aproximadas para el conjunto completo en d = 5
Como hicimos en la sección 6.2.2, podemos construir aproximadamente soluciones para
cinco dimensiones. Ası́, considerando un AN extremo en el cual el conjunto completo de
invariantes de Riemann (o sea en (6.3) se deben tomar las constantes de acoplamiento
aj , bj , cj , ej 6= 0) a diferentes niveles de aproximación tiene la siguiente forma,
(2)
(3)
(4)
d=5
SBH = SRN
+ (SBH + SBH w + SBH w2 )w + O (w 4 ),
(6.35)
2 12
π v2
3
(6 + Λ v2 ) b2
,
= − 2 (1 + Λ v2 ) a2 +
20
G5
(6.36)
donde,
(2)
SBH
– 75 –
(3)
SBH
(
9
3
(6 + Λ v2 ) (3 Λ v2 + 8) b3 −
(6 + Λ v2 )2 c3 + (6.37)
20
400
)
a2 b2
π2
3
2
2
+ 8(1 + Λv2 )a2 + (−9 + v2 Λ)
−
(v2 Λ + 6)b2
,
1
5
100
v2G
=
6 (1 + Λ v2 )2 a3 +
2
(4)
SBH
(
= − 16 (1 + Λ v2 )3 a4 +
5
3
9
(6 + Λ v2 )3 b4 + (6 + Λ v2 ) (2 Λ v2 + 7) (1 + Λ v2 ) c4 −
100
5
3
4
(4 Λ v2 + 9) (6 + Λv2 )2 e4 − 32(1 + v2 Λ)a32 + (11 + v2 Λ)b2 a22 +
(6.38)
200
5
a2 b3
a2 b22
− 8(10 + v2 Λ)(1 + v2 Λ)2 a2 a3 − (270 + 248v2 Λ + 3v23 Λ3 + 56v22 Λ2 )
+
+ (9 + 4v2 Λ)
25
5
3
3
3
+
(v2 Λ + 6)(v22 Λ2 + 16v2 Λ + 30)a2 c3 −
(v2 Λ + 6)b32 − (1 + v2 Λ)(v2 Λ + 5) ×
100
500
5
)
9Λv2
π2
3
2 2
2
(v2 Λ + 6)(3v2 Λ + 8v2 Λ − 20)b2 b3 +
(v2 Λ + 6) b2 c3
× (v2 Λ − 4)a3 b2 −
3 .
200
4000
G5 v2 2
−
Es correcto decir que si la ecuación (6.32) se expande en series de segundo orden de
entonces logramos reproducir la ecuación (6.36). Si nosotros tomamos a2 = 35 α y
b2 = −8α en (6.36) se obtiene la solución de GB (6.33). En este caso, las contribuciones
(4)
(3)
no-lineales de las constantes de acoplamiento aparecen en SBH y SBH como combinaciones
de las constantes de acoplamiento de pequeño orden como a22 , a2 b2 , b22 , y a32 ,...etc. Note que
la ausencia de términos a22 , a2 b2 y b22 en (6.23) en contraste con (6.37) es simplemente un
resultado del cálculo. Lo mismo pasa en (6.24) y (6.38) con los términos a32 , b2 a22 , a2 b22 , b32 .
v2−1 ,
6.2.5 Invariantes de Riemann y gravedad genérica de Gauss-Bonnet
En esta sección examinaremos la teorı́a de Einstein-Maxwell con una modificación a la cual
llamaremos Gauss Bonnet genérica (o sea con tres constantes de acoplamiento diferentes).
Esto es algo que debe hacerse con cuidado pues se sabe que en general una teorı́a ası́ no
es renormalizable, pero en nuestro caso solo lo hacemos a modo de generalizar nuestro
resultado. Además de todas formas se sabe que las teorı́as de Gauss-Bonnet, aunque
superan el problema de la renormalización, tienen problemas con la existencias de partı́culas
fantasmas. Ası́ la acción para una teorı́a de GB genérica en d-dimensiones puede ser escrita
como,
Z
F2
1
αβγδ
µν
2
d√
S=
+ χ1 Rαβγδ R
− 4 χ2 Rµν R + χ3 R , (6.39)
dx −g R + Λ −
16πGd
4
de este modo, cuando se aplica el mecanismo de la función entrópica, la entropı́a de un AN
extremo para d = 4 toma la forma,
(d=4)
SGB
2π v2 2 Λ2 + 2 v2 Λ + 2 χ1 4π 2 + v2 2 Λ2 + 2 v2 Λ χ2
+
,
=−
G4 (v2 Λ + 1)
G4 (v2 Λ + 1)
2π v2 2 Λ2 χ3
π v2
−
+
.
G4 (v2 Λ + 1)
G4
– 76 –
(6.40)
Las soluciones para las funciones v1 , e, y q son,
v1 =
f0 =
v2
,
v2 Λ + 1
(
e=
f0
,
v2 Λ + 1
q=−
f0
,
4G4
(6.41)
−8χ1 v22 Λ2 − 16χ1 v2 Λ + 16 χ2 v22 Λ2 + 32χ2 v2 Λ − 8χ3 v22 Λ2
2
− 16 χ3 v2 Λ + 2v2 Λ + 4v2 − p
2
)1/2
,
entonces si χ1 = χ2 = χ3 = χ, en (6.40), se obtienen las soluciones (6.15) con (χ = α).
Sin embargo, si queremos encontrar un resultado general para GB (6.40) a partir de las
soluciones analı́ticas (6.14), (o viceversa) entonces los siguientes vı́nculos deben exigirse
sobre ambos resultados,
χ1 − 2χ2 + χ3 = 0,
χ1 = 2χ2 +
3b2
+ a2 ,
16
χ3 = a2 −
b2
.
16
(6.42)
Igualmente para d = 5 la entropı́a resultante viene dada por,
(d=5)
SGB
=
√
√
√
π2
(−8 v2 χ21 + χ1 ( 48χ2 v2 − 2 v2 (4v2 + 16χ3 + Λ v22 )) −
(v2 + 4χ3 )G5
5
√
√
v2
,
−64 v2 χ22 + 4 v2 ( 20χ3 + Λv22 + 4v2 )χ2 − 2 (4χ3 Λ − 1))(6.43)
2
para las funciones v1 , e y q, dadas por,
v2 (v2 + 4χ3 )
,
4v2 +
− 16χ2 + 12χ3 + 4χ1
q = q(v2 , Λ, χ1 , χ2 , χ3 ),
e = e(v2 , Λ, χ1 , χ2 , χ3 ) .
v1 =
Λv22
(6.44)
(6.45)
También, la relación entre las entropı́as (6.43) y (6.32) vienen dadas para cuando se cumplan
los siguientes vı́nculos,
χ1 − 2χ2 + χ3 = 0,
3
a2 = (2χ2 − χ1 ),
5
b2 = 8(χ1 − 2χ2 ) .
(6.46)
Si entonces tomamos χ1 = χ2 = χ3 ≡ χ, en (6.43), se obtiene la ecuación (6.33).
Estos resultados son interesantes porque ellos se corresponden con casos donde los
invariantes de Riemann no pueden reproducir los resultados de la teorı́a genérica de GB.
Esto nos sugiere que a nuestra teorı́a siempre le faltarán invariantes por adicionar. Aunque,
esta situación es irrelevante si se tiene en cuenta que es bien conocido que la teorı́a de GB
sobre una gravedad AdS es en general inconsistente debido al principio variacional [98] y
al problema de la regularización que presentan. Una discusión extensiva de este problema
puede verse en [99],[100],[101].
– 77 –
6.3 Conclusiones y perspectivas del capı́tulo
Nosotros hemos calculado la entropı́a de ANs extremos en el caso de d = 4 y d = 5
dimensiones, teniendo en cuenta términos de derivación superior construidos a partir del
conjunto completo de invariantes de Riemann, en una forma, que hasta donde sabemos, no
se ha realizado con anterioridad.
Aunque el caso de GB fue estudiado con anterioridad en [88], en nuestro trabajo,
hemos encontrado invariantes de segundo orden que han generalizado los resultados del
caso GB encontrando como caso particular el caso de RN. También se han obtenido los
términos principales para las aproximaciones en el caso de términos de derivación superior.
Por consiguiente, el conjunto de soluciones obtenido muestra un ejemplo concreto de que
el formalismo de Sen funciona correctamente y es un proceso menos complicado que el uso
de la fórmula de Wald [94]-[97]. Para poder aplicar la fórmula de Wald se debe conocer
la solución exacta de las ecuaciones de campo del problema y esto solo se tiene para un
número muy reducido de casos.
– 78 –
7. CONCLUSIONES Y PERSPECTIVAS
Conclusiones
En esta tesis nos planteamos dos objetivos inspirados en el estudio de la Fı́sica de Objetos
Compactos en presencia de campos magnéticos intensos. El primer objetivo, el estudio del
colapso de un gas denso autogravitante de materia fermiónica: electrones y neutrones sobre
la base de un modelo construido para describir, al menos cualitativamente, el interior de
una EB o una EN. Bajo las condiciones asumidas en el modelo, arribamos a las siguientes
conclusiones:
1. El gas de electrones magnetizado dependiendo de las condiciones iniciales del problema colapsa a una singularidad tipo “punto” o “cigarro”.
2. Para el gas de electrones magnetizado siempre existe un valor de campo magnético
para el cual el colapso tipo “cigarro” se extiende en la dirección del campo magnético.
3. Un gas de neutrones siempre colapsa a una singularidad tipo “punto”.
4. El que el gas de electrones pueda tener una singularidad tipo “cigarro”, y no ası́ para
el gas de neutrones, se debe a que el campo magnético se acopla de manera más
fuerte (mediante su carga eléctrica) con los electrones, a diferencia de los neutrones,
ya que ellos no poseen carga eléctrica y se acoplan al campo magnético mediante su
MMA.
5. Hemos introducido perturbaciones enriqueciendo la dinámica del espacio-tiempo Bianchi
demostrando que este espacio-tiempo puede aproximarse más a situaciones reales.
Del segundo objetivo podemos destacar a manera de conclusiones lo siguiente:
1. El método de Sen nos permitió encontrar nuevos resultados para la entropı́a de ANs
extremos en 4 y 5–dimensiones con topologı́a AdS y teniendo en cuenta términos
de derivación superior. Se mostró ası́ que estos resultados generalizan la fórmula de
Área encontrada por Bekenstein-Hawking (S = A/4G) para la TGR.
2. El método de Sen nos demostró que es una herramienta realmente potente y funciona
bien para teorı́as con términos de derivación superior. Cálculos que anteriormente
eran imposibles de efectuar, ahora son posibles de realizarlos.
– 79 –
Perspectivas
Como perspectivas podemos destacar varias relacionadas con los dos objetivos.
1. El tema de estudiar la evolución dinámica de un gas degenerado y magnetizado
autogravitante de fermiones, podrı́a estudiarse en condiciones más realistas. Se podrı́a
enriquecer la dinámica del espacio-tiempo, ya sea introduciendo perturbaciones como
se intenta hacer en el capı́tulo 4 o cambiando a otros Bianchis de ordenes superiores
en donde se presentan condiciones de 4–velocidad inclinada con vorticidad no nula,
ası́ como curvatura positiva que es la que naturalmente posee un objeto compacto.
El hecho de incorporar fuentes de materia de distinto tipo, o sea materia mezclada,
electrones, protones, neutrones, también incrementarı́a la validez del modelo. Incorporando las condiciones de neutralidad de carga y equilibrio beta que están presentes
en el interior de una EB y de una EN, además entender si en esas condiciones prevalecen la singularidad de tipo punto o si las de tipo cigarro aparecen.
Examinar la posibilidad de incorporar la aproximación de árbol en el potencial termodinámico y las de un lazo para las ecuaciones de Maxwell.
También podrı́a generalizarse este estudio al contexto cosmológico añadiendo los efectos de la temperatura. Ello podrı́a describir la dinámica de la nucleosı́ntesis en presencia de campos magnéticos.
2. Para el segundo tema, se podrı́a incorporar hasta orden cinco los invariantes relacionados con la teorı́a de calibración o sea el mismo orden máximo que poseen los
invariantes de Riemann y encontrar allı́ invariantes independientes, después con ellos calcular la entropı́a de ANs extremos con topologı́a AdS de forma aproximada.
También, se podrı́an generalizar estos resultados a 6,7,8,...n-dimensiones.
– 80 –
Anexo A
Convenios y Notaciones
Constantes fı́sicas más usadas,
Velocidad de la luz c = 2.998 × 108 m s−1 ,
Carga eléctrica del electrón e = 1.60 × 10−19 C,
Constante de Dirac ~ = 1.054 × 10−34 J s,
Masa en reposo del electrón me = 9.109 × 10−31 kg,
Constante de gravitación G = 6.6742 × 10−11 N m2 kg−2 ,
8πG
Acoplamiento gravitatorio κ = 4 = 2.075 × 10−43 m J −1 ,
c
Masa del Sol M⊙ = 1.99 × 1030 kg,
Radio del Sol R⊙ = 6.96 × 105 km,
Temperatura del Sol T⊙ = 15 × 106 K,
Campo Magnético B⊙ = 1 G,
Densidad del Sol ρ⊙ = 1410 kg m−3 .
Matrices de Pauli,



σ1 =  0 1  ,
1 0
σ2 =  0 − i  ,
Matrices gamma de Dirac,



γ0 =  1
0

i
0 ,
−1
0
σ3 =  1

γj =  0
Si se usa el convenio ~ = c = 1, en este sistema,
σ
j
0

0 .
−1

σj  .
0
[longitud] = [tiempo] = [masa]−1 = [energı́a]−1 ,
(A.1)
(A.2)
(A.3)
se deduce que si se escribe una m sola, entonces se entenderá como energı́a en reposo mc2 ,
ası́ como su inverso se entenderá, como la longitud de onda Compton (~/mc),
me = 9.109 × 10−31 kg ≡ 0.511 M eV ≡ (3.862 × 10−11 cm)−1 .
(A.4)
En el contexto de la teorı́a cuántica de campos, se introduce una derivada covariante de la
forma,
Dµ = ∂µ + ieAµ ,
(A.5)
donde Aµ es el 4-vector potencial del campo electromagnético y se toma el convenio para
la métrica del modo [+ − −−]. Ası́, xµ = (x0 , x), y xµ = gµν xν las que para el caso de
una métrica plana de Lorentz, toman la forma xµ = (x0 , −x). Ası́ mismo, para el operador
derivada se define como es usual,
– 81 –
∂
= (∂0 , ∇).
(A.6)
∂xµ
Sin embargo, si estamos en la TGR, generalmente tomamos el convenio [- + + +] y
la relación entre las constantes G/c = 1. Usamos ı́ndices latinos para el espacio-tiempo
(a, b, c, d, ...i, j, k, ... = 1, 2, 3, 4) e ı́ndices griegos para el espacio 3-dimensional (α, β, γ, ... =
1, 2, 3), con la excepción del Capı́tulo-4 donde invertimos esta selección.
También, empleamos la notación de coma “,” para la derivada normal,
∂µ =
T ab ,µ =
∂T ab
∂xµ
(A.7)
y punto y coma (; ) o ∇(antes del ente que se desea derivar) para la derivada covariante.
Ejemplo para un tensor T ab dos veces contravariante,
T ik ;j =
∂T ik
+ Γijn T nk + Γkjm T im ≡ ∇j T ik ,
∂xj
(A.8)
donde Γikj son los ı́ndices de Christoffel.
Además se recuerda el conjunto de definiciones:
• T a1 a2 ,...,ap b1 ,b2 ,..bq
covariante.
• ua
• ~u
Componentes de un tensor “p” veces contravariante y “q” veces
Componentes de un vector contravariante en el espacio-tiempo.
Componente de un vector del espacio 3-dimensional.
• wi
1-forma diferencial.
• ej
base covariante.
En general un tensor cualquiera se puede escribir rigurosamente de la forma:
T = T a1 a2 ,...,ap b1 ,b2 ,..bq wb1 ⊗ wb2 ⊗ ...wbq ⊗ ea1 ⊗ ea2 ... ⊗ eap ,
(A.9)
donde las bases deben cumplir con las siguientes relaciones:
< ei , ej > = gij ,
i
j
(A.11)
j
(A.12)
< w ,w > = g ,
j
< w , ei > = δ i ,
donde <, > denota el producto escalar.
– 82 –
(A.10)
ij
Anexo B
Diagramas del Agujero Negro de Schwarzschild
[h]
Figura 6: Se muestra el diagrama del AN de Schwarzschild en las coordenadas de Kruskal-Szekeres.
– 83 –
Figura 7: Se muestra el diagrama del AN de Schwarzschild en las coordenadas de Kruskal-Szekeres.
– 84 –
Anexo C
C.1
Fuentes de Materia
Fluido Termodinámico
La ecuación de estado más general para un fluido termodinámico mono–componente puede
ser escrita como,
ρ = ρ(n, T ),
p = p(n, T ),
(C.1)
donde n y T son la densidad del número de partı́culas y la temperatura. En la geometrı́a
RW este fluido cumple con la ecuación de conservación,
∇a (nua ) = 0,
⇒
y la ecuación de equilibrio de Gibbs,
ρ
1
T dS = d
+ pd
n
n
ṅ 3Ṙ
+
= 0,
n
R
⇒
⇒
n ∝ R−3 ,
d
d ρ
+p
T Ṡ =
dt n
dt
1
,
n
(C.2)
(C.3)
donde S es la entropı́a por partı́cula. Comparando (C.2) y (C.3), con (1.42) obtenemos
Ṡ = 0, de modo que el fluido es isoentrópico (la entropı́a S se conserva a lo largo de ua ), lo
cual es de esperar para un fluido en equilibrio térmico (bajo un proceso reversible y cuasi–
estático). Usando (1.42) y (C.2), la condición de integrabilidad (C.3) permite obtener la
ley de evolución,
∂p/∂T
Ṙ
Ṫ
+3
= 0,
(C.4)
T
∂ρ/∂T n R
donde el ı́ndice n indica evaluación a n constante. La integración de (C.4) para cualquier
ecuación de estado como (C.1) permite una relación del tipo T = T (R, n), pero n ∝ R−3 ,
la relación T = T (R, n) transforma a (C.1) en ρ = ρ(R), permitiendo la integración de la
ecuación de Friedmann (1.43).
C.2
Gas ideal relativista no-degenerado.
Un importante ejemplo de un sistema termodinámico es el gas ideal relativista de una
componente, asociado con la distribución de Juttner, la cual es la generalización relativista
de la distribución de Maxwell-Boltzmann en la Teorı́a Cinética Relativista. Una descripción
hidrodinámica para este tipo de gas viene dada por la ecuación de estado,
ρ = mc2 nΓ(β) − nkB T,
p = nkB T,
donde,
Γ(β) ≡
K3 (β)
,
K2 (β)
β≡
(C.5)
mc2
,
kT
aquı́ m es la masa de la partı́cula, kB es la constante de Boltzmann y K2 , K3 son funciones de
Bessel modificadas de segundo tipo, de segundo y tercer orden. La ecuación de estado (C.5)
es un poco complicada, aunque se simplifica para dos situaciones extremas de temperatura
y energı́a: el régimen ultra-relativista (UR) y el no-relativista (NR), caracterizados por
β ≪ 1 y β ≫ 1 respectivamente. Es útil apreciar estos rangos de temperaturas para estos
– 85 –
casos lı́mites. Considerando masas de orden nuclear (≈ 10−27 kg), con kB ≈ 10−23 J/K,
nosotros tenemos que β ≈ 1 para T ≈ 1012 K. De modo que podemos modelar materia
cósmica basándonos en un gas ideal no relativista. El caso ultra-relativista podrı́a ser
válido para eras cósmicas muy calientes. Considerando el comportamiento de Γ(β) para
estos casos lı́mites, nosotros tenemos,
β ≪ 1,
β ≫ 1,
Γ≈
Γ≈1+
β
4
+ + O(β 3 ),
β
2
5
+ O(β −2 ),
2β
ρ ≈ 3nkB T
UR,
(C.6)
3
ρ ≈ mc2 n + nkB T
2
NR.
(C.7)
Identificando la ecuación de estado para el caso del gas ideal ultra-relativista (UR),
1
p = nkB T = ρ,
3
ρ = 3nkB T,
(C.8)
y para el gas clásico no-relativista (NR),
3
ρ = mc2 n + nkB T,
2
p = nkB T,
(C.9)
de las ecuaciones de conservación (C.2), y (C.3) se obtiene inmediatamente para el gas NR,
n = n0
R0
R
3
,
T = T0
R0
R
R0 5
p(R) = n0 kB T0
,
R
3 3 kB T
R0
2
,
1+
ρ(R) = mc n0
R
2 mc2
2
,
(C.10)
(C.11)
(C.12)
donde R0 , n0 , T0 son R, n, T evaluados en el valor fijo t = t0 . La ecuación (C.12) es la
relación necesaria ρ = ρ(R) que transforma a (1.43) en una cuadratura integrable.
La ecuación de estado del gas ideal relativista (C.5) es aplicable a gases diluidos en los
que las distancias medias entre las partı́culas (entre colisiones) son mucho mayores que
la longitud de onda térmica. Por lo tanto, los efectos cuánticos del tipo de estadı́stica,
pueden ser despreciados (gases no–degenerados). En los capı́tulos 2 y 3 se tratará el caso
de gases de fermiones, en los cuales estas suposiciones no son válidas. Aunque las ecuaciones de estado resultantes serán mucho más generales, el tratamiento dinámico através
de las ecuaciones de Einstein para estos gases sigue la misma metodologı́a que la descrita
anteriormente. Sin embargo, la inclusión de un campo magnético introduce la existencia
de una dirección privilegiada, y es por lo tanto incompatible con la métrica FLRW. Para
este caso se utilizarán modelos Bianchi I, que son homogéneos, pero anisotrópicos.
C.3
Polvo
Es evidente a partir del sistema de ecuaciones (C.2), que expandiendo al lı́mite R ≫ R0 , la
presión y la energı́a decaen rápidamente como O(R−5 ), y el resto de la masa energı́a como
O(R−3 ). Por otro lado el rango kB T /mc2 = 1/β es despreciable (≪ 10−3 ) para masas de
– 86 –
nucleones o electrones y para un ancho rango de temperaturas asociadas con condiciones
clásicas (T < 108 K), entonces es evidente a partir de (C.12) que prácticamente para
toda su evolución, el gas ideal puede ser razonablemente aproximado suponiendo p ≈ 0 y
ρ ≈ mc2 n. Fuentes de materia que satisfacen la ecuación de estado,
ρ(R) ∝ R−3 ,
p = 0,
(C.13)
son llamadas “polvo”, y reducen a (1.38) a la forma Tab = ρ ua ub . Aunque (C.13) puede ser
justificado como lı́mite de temperatura cero de un gas ideal NR, dejando a ρ = mc2 n (o sea
toda la densidad de materia-energı́a serı́a igual a la energı́a en reposo). Esta ecuación posee
una conveniente descripción aproximada de ciertos tipos de materia cósmica no-relativista.
Por ejemplo, materia frı́a no colisionada, o materia oscura frı́a no-bariónica (aunque esta
última relación no es del todo segura para materia oscura).
C.4
Radiación
Para el gas ideal UR, de las ecuaciones de conservación (C.2), y (C.3) se obtiene que,
n = n0
R0
R
3
,
ası́ que,
ρ(R) = 3n0 kB T0
T = T0
R0
R
4
R0
R
= 3p(R),
,
(C.14)
(C.15)
permiten la integración de (1.42) y (1.43). La ecuación (C.8) puede describir aproximadamente un gas de partı́culas masivas (m > 0) a muy alta temperatura, pero esta es
exactamente la ecuación de estado para un gas de partı́culas no masivas, tales como fotones
o neutrinos. Una relación equivalente a (C.15) para fotones es la ley de Steffan-Boltzmann,
4
ργ = aγ T =
aγ T04
R0
R
4
,
(C.16)
donde aγ es la constante de Steffan-Boltzmann, asi que la conservación de la densidad
del número de fotones es n0 = aγ T03 /3kB . El término radiación es aplicado a un gas de
fotones caracterizado por el espectro de energı́a de un cuerpo negro. La Radiación Cósmica
de Fondo o CMB 44 es la reliquia de eras primordiales en el Universo donde dominaba la
radiación, es la más importante manifestación de este tipo de gas en el contexto cosmológico.
44
CMB viene del inglés Cosmic Microwave Background
– 87 –
Anexo D
Ecuación de Raychaudhuri
Antes de deducir la ecuación de Raychaudhuri definamos primero la congruencia de geodésicas:
• Sea M una variedad y sea O ⊂ M un abierto. Una congruencia en O es una familia
de curvas tales que a través de cada p ∈ O pasa precisamente una curva de esta
familia.
• Una congruencia se dice que es suave si el correspondiente vector del campo de los
vectores tangentes es suave.
Consideremos una suave congruencia de geodésicas temporaloideas . Suponemos que las
geodésica son parametrizables por el tiempo propio τ , asi que el vector del campo ua ,
tangente a las lı́neas de materia, es normalizado a la unidad de la forma ua ua = −1.
Entonces se puede definir cierto tensor del campo Bab ,
Bab = ∇b ua ,
(D.1)
Bab ua = Bab ub = 0 .
(D.2)
que será puramente espacial, o sea,
Consideremos una suave subfamilia γs (τ ) uni-paramétrica de geodésicas en la congruencia.
Sea η a el vector de desviación ortogonal de γ0 para esta subvariedad. Entonces η representa
el desplazamiento infinitesimal espacial desde γ0 hasta una geodésica cercana,
Lu η a = 0,
(D.3)
donde, la anterior derivada de Lie quiere decir que,
ub ∇b η a = η b ∇b ua ≡ B ab η b .
(D.4)
Entonces B puede ser interpretado fı́sicamente como quien mide la desviación de η a al ser
transportado paralelamente. Un observador sobre las geodésicas de la familia γ0 podrá
encontrar geodésicas cercanas a él rodeándolas estiradas o rotadas por el mapa lineal B ab .
Continuemos ahora con el siguiente conjunto de definiciones necesarias:
La métrica espacial puede ser definida como:
hab = gab + ua ub ,
(D.5)
donde el tensor de proyección ortogonal sobre la hiper-superficie ortogonal a ua es dado
por,
(D.6)
hab = g ac hcb .
La expansión, se define como:
θ = B ab hab .
(D.7)
El tensor de deformaciones (o cizallamiento) se define según:
θ
σ = B(ab) − hab ,
3
– 88 –
(D.8)
y el tensor de vorticidad como:
ωab = B[ab] .
(D.9)
De esta forma Bab puede ser descompuesto como:
θ
hab + σab + ωab .
3
Bab =
(D.10)
Todos ellos son púramente espaciales ya que, σab ub = ωab ub ≡ 0. Ahora los respectivos
significados fı́sicos de estas magnitudes son:
• θ: Mide el promedio de expansión de geodésicas circundantes e infinitésimamente
cercanas.
• ωab : Mide la rotación de una geodésica circundante e infinitésimamente cercana respecto a la otra.
• σab : Mide la deformación. O sea, sea una esfera inicial en el espacio tangente la cual
es transportada según Lie (transporte paralelo) a lo largo de ua y se distorsiona en
un elipsoide con los ejes principales en la dirección de los eigenvectores de σ a b .
De la ecuación de la desviación de la geodésica es fácil derivar lo siguiente:
uc ∇c Bab = uc ∇c ∇b ua = uc (∇b ∇c ua + Rcbad ud )
(D.11)
d c
u ud .
Rcba
(D.12)
θ2
dθ
= − − σab σ ab + ωab ω ab − Rcd uc ud .
dτ
3
(D.13)
=
−B cb Bac
+
Tomando la traza, obtenemos,
uc ∇ c θ =
La ecuación (D.13) es la conocida ecuación de Raychaudhuri y es la piedra angular para
demostrar los teoremas de singularidad. Usando las ecuaciones de Einstein’s y la normalización de ub en el último término de la ecuación de Raychaudhuri (D.13) tenemos:
Rab ua ub = 8π[Tab −
T
T
gab ]ua ub = 8π[Tab ua ub + ] ,
2
2
(D.14)
donde Tab ua ub representa la densidad de energı́a de la materia medida por un observador
cuya 4-velocidad es ua (temporaloidea). De la expresión (D.14) se pueden definir las
siguientes desigualdades que constituyen las condiciones de energı́a para la materia:
Tab ua ub ≥ 0, (D.15)
T
(Condición de energı́a fuerte) Tab ua ub + ≥ 0, (D.16)
2
a b
(Condición de energı́a dominante) − Tb u = vector temporaloideo o nulo. (D.17)
(Condición de energı́a débil)
• Esta última condición (D.17) debe ser un vector temporaloideo o nulo, él representa
la densidad de 4-corriente del tensor energı́a-momentum de la materia. Medida por
un observador con 4-velocidad ua . Puede ser interpretado como la velocidad del flujo
de energı́a de la materia con velocidad menor que c.
– 89 –
• Si ∇a Tab = 0 entonces la condición de energı́a dominate se satisface. Es decir, se
desvanece sobre un conjunto cerrado acronal S, entonces también se desvanece en
D(S).45
Note que la condición de energı́a dominante implica la condición de energı́a débil, pero en
otro caso todas estas condiciones serán matemáticamente independientes.
45
Esto constituye un lema, o sea el Lema 4.3.1, enunciado por Hawking–Ellis en 1973.
– 90 –
Anexo E
Significado del tiempo adimensional (τ )
El tiempo adimensional (τ ) se define a partir de la ecuación (3.51):
d
1 d
=
dτ
H0 dt
⇒ τ = H0 t,
(E.1)
en la cual podemos notar que el signo de τ depende del signo de t y del signo de H0 . Para
comprender el sentido fı́sico del tiempo adimensional τ observemos que de (3.42), (3.51) y
(3.52) obtenemos:
1d
1 Q̇1 Q̇2 Q̇3
(
+
+
)=
ln(V ),
3 Q1 Q2 Q3
3 dt
Rt
V
V = ABC ⇒
= e3 0 Hdt ,
V0
HH0 = H =
y despejando H de (2.42) tenemos:
q
1
3ΓU + S22 + S32 + S2 S3 .
H=±
3
(E.2)
(E.3)
(E.4)
Si fijamos t > 0, en (E.3) tenemos la siguiente interpretación fı́sica:
I =3
Zt
0
Hdt ⇒ = Si I > 0 ⇒ V > V0 (expansión),
= Si I < 0 ⇒ V < V0 (colapso).
(E.5)
(E.6)
Las posibles combinaciones de signo se dan en el cuadro (1), en el cual aparecen
resaltados los convenios que hemos escogido en esta tesis.
Casos
Expansión
H>0
H>0
H<0
H<0
H>0
H=0
H<0
H=0
y
y
y
y
H0
H0
H0
H0
>0
<0
>0
<0
Volumen elemental
τ
Expansión
V > V0
Colapso
V < V0
V = V0
τ
τ
τ
τ
>0
<0
>0
<0
Tabla 1: Posibles combinaciones de signos entre H, H0 y τ para t > 0.
Notemos que el sistema comienza a evolucionar a partir de t = τ = 0, para τ > 0 el
sistema colapsa y para τ < 0 el sistema tiende hacia un estado diluido como se puede ver
en la Figura 5.
– 91 –
Anexo F
Espacios de fase
3
Phase Space Section
µ
d
e
2
c
a
1
0
b
0.1
β
Sz
–4
–2
0
2
4
Figura 8: Trayectorias en la sección del espacio de fase (S z , β, µ) para cuatro condiciones iniciales
diferentes de un gas magnetizado y auto-gravitante de electrones degenerados. El plano sombreado
µ = 1, está acotado por −4 < S z < 4 y 0 < β < 0.2. El atractor “estable” es el punto marcado
por a, y las curvas b, c, d y e son soluciones numéricas sobre la sección 3-dimensional del espacio de
fase. Todas las trayectorias caen desde τ = 0 tendiendo al atractor estable a. Similarmente, desde
τ = 0 (esfera vacı́a) todas escapan tendiendo a la singularidad.
– 92 –
Figura 9: El gráfico muestra varios caminos en una subsección 3-dimensional (S3 , β, µ) del espacio de fase para un gas magnetizado y auto-gravitante de neutrones degenerados. Los puntos
oscuros representan las condiciones iniciales a “τ = 0”. El punto “a” representa un “atractor” con
coordenadas (S3 = 0, β = 0, µ = 1, H = 0).
– 93 –
Anexo G
Invariantes de Riemann para AdS2 × S d−2
Invariantes
Def iniciones
R
r1 = R2
r2 = R3
r3 = R4
Re(w1 ) = Re(W2 )
Re(w2 ) = Re(W3 )
Re(m1 ) = Re(M3 )
Re(m2 ) = Re(M4 )
m3 = M4+
Re(m5 ) = Re(M5 )
donde :
gad gbc Rabcd
1
b
a
4 Sa Sb
− 18 Sab Sbc Sca
1
b c d a
16 Sa Sb Sc Sd
1
abcd
8 Cabcd C
1
− 16
Cabcd Ccdef Cefab
1 ab cd
8 S S Cacdb
1 cd
aef b − C ∗ C ∗aef b )
acdb
16 S Sef (Cacdb C
1 cd
aef b + C ∗ C ∗aef b )
S
S
(C
C
ef
acdb
acdb
16
1 cd ef aghb
∗
∗
S
S
C
(C
C
acdb gef h + Cacdb Cgef h )
32
γ1 = (v1 − v2 )/v1 v2 , γ2 = (v1 + v2 )/v1 v2 ,
γ3 = (3v1 − v2 )/v1 v2 , γ4 = (2v1 + v2 )/v1 v2
Soluciones
d=4
2 γ1
1 2
4 γ2
0
1 4
64 γ2
1 2
6 γ1
−1 3
36 γ1
−1
2
12 γ1 γ2
1 2 2
36 γ1 γ2
1 2 2
36 γ1 γ2
−1 3 2
108 γ1 γ2
Soluciones
d=5
2γ3
3 2
10 γ4
3 3
γ
102 4
21 4
γ
103 4
−
−
−
−
−
−
Tabla 2: Cuadro de definiciones del conjunto completo de invariantes de Riemann y sus resultados
para la geometrı́a tipo AdS2 × S d−2 cerca del horizonte de un AN en d = 4 y d = 5 dimensiones
(el resto de los invariantes son nulos). Todas las definiciones son basadas sobre el tensor de Ricci
de traza nula Sa b , el tensor de Weyl Cabcd y el tensor de Riemann Rabcd . Aunque, estos tensores
también pueden ser definidos sobre una base espinorial [30]. Aquı́, “-” significa que no existe
una definición para los invariantes complejos, para el caso de cinco dimensiones. Nosotros usamos
aquı́ letras minúsculas para los invariantes de Carminati, pero en el Lagrangeano usamos letras
mayúsculas. El sı́mbolo Re significa la parte real del invariante complejo, y para re–marcar el
grado del tensor (en lugar de los subı́ndices de Carminati) hemos escrito el grado del tensor como
un subı́ndice (ej. Re(W2 ) significa la parte real del invariante complejo de Weyl de segundo orden
w1 ).
– 94 –
d
d=4
Grado
1st
2nd
3rd
Invariantes
R = 2γ1
R2 = 41 γ22 ,
R2 = 4γ12 ,
Re(W2 ) = 61 γ12 ,
1
R × R2 = 2 γ1 γ22 ,
R3 = 8γ13 ,
R × Re(W2 ) = 13 γ13 ,
3
2
Re(M3 ) = −1
Re(W3 ) = −1
36 γ1 ,
12 γ1 γ2
4th
Re2 (W2 ) = 361 ,
R4 = 16γ14 ,
R2 × R2 = γ12 γ22 ,
1 4
2
2
R2 = 16 γ2 ,
R × Re(W2 ) = 32 γ14 ,
1 2 2
1 2 2
Re(M4 ) = M4+ = 36
γ1 γ2 ,
γ1 γ2 ,
R2 × Re(W2 ) = 24
γ4
−γ14
5th
R2 × Re(M3 ) = −
γ15
9 ,
γ13 γ22
3 ,
R × R2 × Re(W2 ) =
1st
2nd
3rd
4th
−γ12 γ22
γ14 , γ24 , γ12 γ22
R × Re(W3 ) = 18 ,
R × Re(M3 ) = 6 ,
1 4
R4 = 64 γ2 ,
R3 × Re(W2 ) = 43 γ15 ,
R3 × R2 = 2γ13 γ22 ,
R5 = 32γ15 ,
R2 × Re(W3 ) = −
d=5
Equivalencias
γ1
γ12 , γ22
γ13 , γ1 γ22
γ1 γ24
8 ,
γ5
2
Re (W2 ) = 181 ,
R22 × R =
R×
γ13 γ22
12 ,
−γ γ 4
−γ13 γ22
R2 × Re(M3 ) = 481 2 ,
R2 × Re(W3 ) = 144 ,
−γ13 γ22
Re(W2 ) × Re(M3 ) = 72
,
Re(W2 ) × Re(W3 )
γ1 γ24
γ3γ2
R × R4 = 32 ,
R × Re(M4 ) = R × M4+ ≡ 1182
R = 2γ3
3 2
γ4
R2 = 4γ32 ,
R2 = 10
3 3
3
3
R × R2 = 35 γ3 γ42 ,
R = 8γ3 ,
R3 = 100
γ4
6 2 2
9 4
2
2
4
4
R × R2 = 5 γ3 γ4 ,
R2 = 100 γ4 ,
R = 16γ3 ,
3
21 4
3
R × R3 = 50 γ3 γ4 ,
R4 = 10
3 γ4
donde : γ1 = (v1 − v2 )/v1 v2 , γ2 = (v1 + v2 )/v1 v2 ,
γ3 = (3v1 − v2 )/v1 v2 , γ4 = (2v1 + v2 )/v1 v2
γ15 , γ1 γ24 , γ13 γ22
=
−γ15
216 ,
γ3
γ32 , γ42
γ33 , γ3 γ42 , γ43
γ34 , γ44 , γ32 γ42 ,
γ3 γ43
Tabla 3: Conjunto completo de invariantes no nulos, ellos han sido organizados por grados para
d = 4 y d = 5, basándonos en la geometrı́a AdS2 × S d−2 .
– 95 –
Acknowledgements
This work has been supported by Ministerio de Ciencia, Tecnologı́a y Medio Ambiente
under the grant CB0407 and the ICTP Office of External Activities through NET-35.
A.U.R also acknowledges the Program of ICTP-CLAF fellowship as well as the
hospitality of ICN, UNAM and the support from the research grant DGAPA–UNAM
PAPIIT–IN119309.
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