Sesgo y Estimación de Varianza

Banco de México
Documentos de Investigación
Banco de México
Working Papers
N◦ 2012-18
El Efecto del Diseño: Sesgo y Estimación de Varianza
Alberto Padilla
Banco de México
Diciembre 2012
La serie de Documentos de Investigación del Banco de México divulga resultados preliminares de
trabajos de investigación económica realizados en el Banco de México con la finalidad de propiciar
el intercambio y debate de ideas. El contenido de los Documentos de Investigación, ası́ como las
conclusiones que de ellos se derivan, son responsabilidad exclusiva de los autores y no reflejan
necesariamente las del Banco de México.
The Working Papers series of Banco de México disseminates preliminary results of economic
research conducted at Banco de México in order to promote the exchange and debate of ideas. The
views and conclusions presented in the Working Papers are exclusively of the authors and do not
necessarily reflect those of Banco de México.
Documento de Investigación
2012-18
Working Paper
2012-18
El Efecto del Diseño: Sesgo y Estimación de Varianza*
Alberto Padilla†
Banco de México
Resumen: El cálculo del tamaño de muestra es una parte fundamental en el proceso de
planeación de una encuesta y puede hacerse de diferentes maneras, algunas de ellas requieren información que en ocasiones no se tiene o es costoso obtener. Una forma de realizar
dicho cálculo hace uso del denominado estimador del efecto del diseño propuesto por Kish.
Este estimador sirve también como una medida de eficiencia de un esquema de muestreo
probabilı́stico, ası́ como para la construcción de intervalos de confianza. A pesar del uso
extendido del estimador del efecto del diseño en la práctica, se conocen poco sus propiedades
estadı́sticas y no se cuenta con estimadores de varianza. En este trabajo se muestra que dicho
estimador es sesgado, se construye una cota superior para la relación sesgo a error estándar
y se propone un método para estimar la varianza. Con estos elementos es posible mejorar la
precisión de los estimadores durante el proceso de planeación de una encuesta, ası́ como en
la etapa de estimación. Esto se traduce en una mejor asignación de recursos en la etapa de
planeación de una encuesta.
Palabras Clave: Estimador de razón; Efecto del diseño; Varianza de varianzas; Tamaño de
muestra; Coeficiente de variación; Método de remuestreo; Intervalo de confianza.
Abstract: The estimation of the sample size is a crucial part of the planning process
of a survey and it can be accomplished in different ways, some of them require information
not available or that may be obtained with a substantial cost. The estimation of the sample
size can be done by using the design effect estimator proposed by Kish. This estimator is
also used as an efficiency measure for a probability sampling plan and to build confidence
intervals. Even though the design effect estimator is widely used in practice, little is known
about its statistical properties and there are no variance estimators available. In this paper
we show that the design effect estimator is biased, we give an expression for an upper bound
to the ratio of the bias to the standard error and a method to estimate the variance. With
these elements it is possible to improve the precision of the estimators during the planning
and estimation stage of a survey. This also results in a better resource allocation during the
planning stage of a survey.
Keywords: Ratio estimator; Design effect; Variance of variances; Sample size; Coefficient
of variation; Resampling method; Confidence interval.
JEL Classification: C80, C83.
*
El autor agradece a los participantes del seminario del Banco de México, a José Antonio Murillo, ası́ como
a dos revisores del Banco de México por sus comentarios y sugerencias.
†
Dirección General de Investigación Económica. Email: [email protected].
1. Introducción
En el muestreo probabilístico, el problema básico consiste en estimar una
variable de interés de una población finita, como podría ser estimar el gasto
medio en alimentos por hogar en una ciudad. Si se tuviesen recursos
suficientes para levantar un censo de todos los hogares de la ciudad en
cuestión, se podría calcular dicho gasto y no habría necesidad de recurrir al
muestreo. En este ejemplo, el gasto es lo que se conoce como una cantidad
poblacional. En muchas situaciones no es factible levantar un censo,
entonces se recurre a la extracción de una muestra para estimar la cantidad
poblacional. La forma de seleccionar la muestra se conoce como diseño
muestral y entre los principales diseños se encuentran los siguientes: el
muestreo aleatorio simple, el muestreo aleatorio estratificado, el muestreo
por conglomerados, el muestreo sistemático, el muestreo con probabilidades
proporcionales a alguna medida de tamaño, entre otros. Para más detalle de
estos y otros diseños muestrales usados en la práctica, véase Särndal et al.
(1992). Por otra parte, para cada diseño muestral se tiene una expresión
matemática particular del estimador de la cantidad poblacional de interés,
por ejemplo, en el caso del muestreo aleatorio simple se emplea el promedio
aritmético muestral como un estimador del correspondiente promedio
poblacional y, como se está empleando un estimador, se construye una
1
fórmula para la varianza de dicho estimador. La varianza de un estimador es
una cantidad poblacional, es decir, depende de cantidades que pueden
calcularse al medir todos los elementos de la población de interés. Por este
motivo, al trabajar con datos provenientes de una muestra, para cada diseño
muestral se construye un estimador de la varianza y es el que se emplea para
evaluar la precisión del estimador.
En el muestreo probabilístico, el efecto del diseño propuesto por Kish (1965)
se define como el cociente de la varianza de un estimador, bajo un diseño
muestral diferente del muestreo aleatorio simple, y la varianza de dicho
estimador bajo muestreo aleatorio simple. El cálculo de efecto del diseño
requiere del conocimiento de dos varianzas, es decir, de dos cantidades
poblacionales. Esta cantidad poblacional se emplea con frecuencia, por parte
de institutos de estadística y agencias gubernamentales que levantan
encuestas, para el cálculo del tamaño de muestra, siempre que se tenga una
estimación anticipada del efecto del diseño en cuestión, al obtener el tamaño
de muestra del parámetro de interés bajo muestreo aleatorio simple y,
posteriormente, multiplicando dicho tamaño por el efecto del diseño. Por
otra parte, el efecto del diseño sirve como referencia para evaluar la pérdida
o ganancia en eficiencia del estimador del diseño muestral diferente del
muestreo aleatorio simple comparado con el muestreo aleatorio simple. Otro
uso del efecto del diseño se tiene en la construcción de intervalos de
2
confianza en encuestas con diseños muestrales diferentes del muestreo
aleatorio simple: la desviación estándar de algún estimador se obtiene al
multiplicar la desviación estándar bajo muestreo aleatorio simple por la raíz
cuadrada del efecto del diseño, véase Kish (1965).
Cabe mencionar que las comparaciones en el muestreo probabilístico se
efectúan con el muestreo aleatorio simple, porque es el diseño más sencillo
de analizar y, si el tamaño de muestra en relación con el tamaño de
población, llamada fracción de muestreo, es despreciable, la varianza del
estimador del promedio bajo muestreo aleatorio simple sería casi igual a la
varianza de un estimador del promedio con base en una muestra aleatoria, es
decir, variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, y
suponiendo que el segundo momento sea finito, véase Mood et al. (1985).
Es importante mencionar que en el cálculo del estimador del efecto del
diseño, la varianza bajo muestreo aleatorio simple se calcula con los datos
muestrales obtenidos por el diseño muestral diferente del muestreo
aleatorio simple, haciendo caso omiso de las características del diseño como:
estratificación, conglomeración, probabilidades desiguales de selección de
elementos en muestra, etc. Esta forma de cálculo no garantiza una
estimación insesgada de la varianza poblacional bajo muestreo aleatorio
simple, véase Cochran (1977), y por este motivo en la literatura se han
3
propuesto formas de resolver este problema con Rao (1962), quien consideró
estimadores insesgados bajo tres diseños muestrales, Cochran (1977),
ejemplifica el método de Rao para estratificación y más recientemente
Gambino (2009), construyó un estimador insesgado en términos del
estimador Horvitz-Thompson (1952) del parámetro de interés de la población
finita.
El estimador del efecto del diseño es una cantidad acerca de la cual se
conocen poco sus propiedades y se emplea en la práctica sin que se
cuestione su forma de cálculo o falta de estimadores de varianza. Con el fin
de estudiar las propiedades del estimador del efecto del diseño, éste puede
representarse como un estimador de razón. Un estimador de razón es un
cociente de estimadores y se sabe que este tipo de estimadores son
sesgados, véase Cochran (1977) o Mood et al. (1985). Esto se debe a que la
esperanza de un cociente de variables aleatorias no es necesariamente igual
al cociente de las esperanzas de variables aleatorias, suponiendo que las
esperanzas existan y sean finitas. Una forma de verificar que el sesgo de un
estimador de razón es despreciable, consiste en calcular el coeficiente de
variación de la variable del denominador y si dicha cantidad es pequeña, el
sesgo puede considerarse despreciable. Este resultado para estimadores de
razón de un promedio o un total bajo muestreo aleatorio simple se debe a
Hartley y Ross (1954), véase Cochran (1977), y es el límite superior de la
4
relación sesgo a error estándar del estimador de razón. En el presente
artículo se construye dicho límite para el estimador del efecto del diseño, el
cual a la fecha no ha sido publicado, con base en la literatura revisada.
Por otra parte, y con base en la revisión realizada a la fecha, no se ha
encontrado una expresión matemática para la varianza del estimador del
efecto del diseño, ni para el estimador de dicha varianza. Por esto se propone
un método de remuestreo para la estimación de la varianza del estimador del
efecto del diseño, el cual es una versión del bootstrap para diseños
muestrales diferentes del muestreo aleatorio simple, véase Sitter (1992). Los
resultados de la simulación sugieren que es una vía para estimar la varianza
del estimador del efecto del diseño propuesto por Gambino (2009).
El artículo se encuentra organizado de la siguiente manera. En la sección 2 se
proporcionan las definiciones, notación y las expresiones de varianzas para
los diseños que se usarán en el presente artículo. El cálculo del efecto del
diseño, estimación y sesgo, se encuentran en la sección 3, un límite superior
de la relación sesgo a error estándar del estimador del efecto del diseño,
cota, se muestra en la sección 4 y un par de ejemplos de cálculo de la cota se
ilustra en la sección 5. En la sección 6 se trata el tema de la estimación de
varianza del estimador del efecto del diseño, así como un ejemplo con un
diseño aleatorio estratificado.
5
2. Definiciones y notación
Muestreo de poblaciones finitas. Algunos autores denominan a las encuestas
de dos maneras: descriptivas y analíticas. La primera se refiere a la
estimación de cantidades como: totales, medias, proporciones y razones, en
tanto que la segunda se refiere al uso de modelos con base en los datos de
una encuesta. En Chambers & Skinner (2003) se explica con mayor detalle los
alcances de estos dos tipos de enfoque. Las fórmulas desarrolladas en este
artículo son para estimaciones en encuestas descriptivas. Hay diversos
enfoques para tratar el problema de estimación de medias o totales en el
muestreo de poblaciones finitas, uno de los más usados en la práctica es la
inferencia basada en el muestreo probabilístico o diseño, este último término
proviene del término en inglés design-based sampling. Otro esquema que
puede emplearse para la estimación es la inferencia basada en modelos,
véase Valliant et al. (2000) y el término proviene del inglés model-based. En
el presente artículo, todo se desarrolla con base en el muestreo probabilístico
o basado en el diseño y debido a que no se trata de un artículo de divulgación
del muestreo probabilístico, no se hace una explicación de esta teoría. El
lector interesado en los supuestos y particularidades de este enfoque puede
consultar el libro de Särndal et al. (1992).
6
Notación: sea U una población finita de N elementos etiquetados como
k=1,…,N, 1<N. Es usual representar a la población finita por sus etiquetas k
como U={1,2,…,k,…,N}. Como se tratarán los diseños estratificados y
conglomerados en dos etapas, a continuación se presenta la notación para
estos diseños.
Muestreo aleatorio estratificado, mae: la variable bajo estudio se
representará con yhi , en donde i se refiere al i-ésimo elemento de la
población en el h-ésimo estrato, con i {1,2,, Nh } . N h y nh denotarán el
total de elementos, así como el tamaño de muestra en el h-ésimo estrato,
N  h1 N h y n  h 1 nh , donde H es el total de estratos en la población. El
H
H
promedio poblacional se denotará como yst  h 1Wh yh , donde Wh  N h N
H
y y h  i h1 y hi N h . El estimador insesgado del promedio poblacional se
N
calculará como yˆ st  h1Wh yˆ h , en el que yˆ h  i h1 y hi nh . La varianza
H
n
2
poblacional entre elementos dentro de estratos se escribirá como shU
, la
estimación muestral como sˆh2 y la varianza del estimador del promedio,
usando muestreo aleatorio simple, mas, dentro de estratos, se denotará
2
como vmae  h 1Wh2 (1  nh N h ) shU
nh . La estimación muestral se
H
2
escribirá como v̂mae con sˆh2 en lugar de shU
en la fórmula para vmae .
7
Muestreo por conglomerados en dos etapas: los conglomerados se
denotarán como UPM, unidades primarias de muestreo y a los elementos
dentro de conglomerados como USM, unidades secundarias de muestreo. A
y B representarán al número de UPM en la población y al número de USM
dentro de cada UPM respectivamente; en tanto que a y b representarán las
respectivas cantidades muestrales. Se supondrá que A, B, a y b son mayores
que uno y a<A y b<B. El total de elementos en población y muestra se
denotarán como N=AB y n=ab, respectivamente. La variable bajo estudio se
representará con y ij , en donde i se refiere a la UPM y j a la USM. El promedio
de y ij en la i-ésima UPM es yi   j 1 yij B y el promedio poblacional
B
yU  i 1 yi A .
A
La
varianza
entre
UPM
se
identificará
con
s12   j 1( yi  yU )2 ( A  1) y dentro de la i-ésima UPM se denotará como
A
si2   j 1( yij  yi )2 ( B  1) . La varianza poblacional del muestreo por
B
conglomerados
en
dos
etapas
(mas,mas), vmc2e está
dada
por:
vmc2e ( yˆ )  (1  a A) s12 a  (1  b B) s22 (ab) , donde s22   j 1 si2 A . Esta
A
expresión se encuentra en diversos textos de muestreo, por ejemplo, en la
página 277 de Cochran (1977).
8
Observación 1: la notación (mas,mas) indica que tanto las UPM, como las
USM en muestra, fueron seleccionadas por muestreo aleatorio simple.
Los ejemplos con los que se ilustrarán aspectos de los resultados en este
artículo, se harán con los diseños arriba mencionados, estratificación y
conglomeración. Los cálculos del límite superior para la relación sesgo a error
estándar solo requieren que el diseño empleado use estimadores insesgados
para la característica de interés. Así, el resultado no se refiere solo a diseños
estratificados o conglomerados como los descritos. Estos diseños, que son
bastante usados en la práctica, solo se emplean para ilustrar los resultados.
3. Ejemplo de usos del efecto del diseño, estimación y
sesgo
Como se mencionó en la introducción, el efecto del diseño, efdK, Kish (1965),
se define como el cociente de la varianza de un estimador, ˆalt , bajo un
diseño específico, valt ˆalt  , y la varianza de dicho estimador bajo muestreo
aleatorio simple, mas, vmas ˆmas  . De esta manera, el efecto del diseño
poblacional se calcula como efd K ˆ  valt ˆalt  vmas ˆmas  , con vmas ˆmas   0 .
Uno de los principales usos del efecto del diseño en la práctica se tiene en el
cálculo del tamaño de muestra, la cual se realiza en la etapa del diseño de
9
una encuesta o plan de muestreo. En esta sección se mostrará con un
ejemplo la forma de cálculo del tamaño de muestra empleando el efecto del
diseño, también se mencionarán diversas encuestas o estudios en los que se
emplea dicha cantidad y, por último, se desarrollará un ejemplo en el que se
aprecia la manera en la que se estima el efecto del diseño en la práctica, el
sesgo, así como las fuentes que contribuyen al sesgo y la forma de eliminar
una de las fuentes o contribuciones al sesgo del estimador del efecto del
diseño.
Antes de ejemplificar el uso del efecto del diseño para el cálculo del tamaño
de muestra, en la siguiente observación se describe someramente la
estrategia del cálculo del tamaño de muestra en el muestreo probabilístico.
Observación 2: en el muestreo probabilístico, el tamaño de muestra se
calcula en general encontrando una ecuación que relacione el tamaño de
muestra con el error de estimación esperado, absoluto o relativo. Esto se
hace al suponer que el estimador del promedio o total de interés de la
población finita, se distribuye como una normal con media igual al total o
promedio de la población finita, y varianza igual a la del estimador del total o
promedio bajo el esquema muestral considerado; es decir, muestreo
aleatorio
simple,
muestreo
aleatorio
estratificado,
muestreo
por
conglomerados, etc. Así, se resuelve la siguiente ecuación para el tamaño de
10
muestra,
ea  z v( yˆ ) . En esta ecuación, ea se refiere al error de
estimación absoluto que se desea, en tanto que zα se refiere al valor
asentado en las tablas estadísticas de la distribución normal estándar para
una confianza prefijada
En la ecuación, ea  z v( yˆ ) , la varianza puede tener una expresión sencilla,
en términos de solución para el tamaño de muestra, como en el caso del mas
o más compleja como la expresión para el diseño (mas,mas) o mae. Una
manera de encontrar el tamaño de muestra, n, para un diseño distinto del
mas consiste en encontrar primero el valor de n bajo mas y después
multiplicarlo por el efdK, siempre que se tenga este valor. Si se desea conocer
más acerca del cálculo del tamaño de muestra en el muestreo probabilístico,
véase Särndal et al. (1992) ó Cochran (1977).
3.1 Ejemplo de uso del efecto del diseño en la práctica
Ejemplo 1: uso del efecto del diseño para el cálculo del tamaño de muestra. El
INEGI hace uso del efd para el cálculo del tamaño de muestra de diferentes
encuestas, como es el caso para la Encuesta Nacional de Ingreso Gasto de los
Hogares 2008.
11
El INEGI empleó como variable de referencia el promedio del ingreso
corriente total por hogar y la expresión utilizada fue:
n
z2 s 2 DEFF
r 2 X 2 (1  tnr)PHV
(1)
En la ecuación anterior:
• n = tamaño de la muestra.
• zα = valor asentado en las tablas estadísticas de la distribución normal
estándar para una confianza prefijada.
• s2 = estimación de la varianza poblacional de la variable de interés.
• X = estimación del promedio de la variable de interés.
• DEFF = siglas en inglés del efecto de diseño, definido como el cociente de
la varianza en la estimación del diseño utilizado, entre la varianza obtenida
considerando un muestreo aleatorio simple para un mismo tamaño de
muestra.
• r = error relativo máximo aceptable.
• tnr = tasa de no respuesta máxima esperada.
• PHV = promedio de hogares por vivienda.
12
• Fijando un nivel de confianza de 90%, un efecto de diseño de 3.3, una
varianza poblacional de 1’767,586,177.77 un error relativo máximo
aceptable de 4%, un promedio de ingreso corriente total por hogar de
34,127, una tasa de no respuesta máxima esperada de 15% y un promedio
de hogares por vivienda de 1.02, se determinó una muestra a nivel
nacional de 9,711 viviendas, la cual se ajustó a 10,000. Los valores del
efecto del diseño, varianza poblacional e ingreso corriente total por hogar
fueron obtenidos de la ENIGH-2006. Con el objeto de satisfacer los
requerimientos adicionales de las instituciones externas que aportaron
recursos para el levantamiento, la muestra final de la ENIGH-2008 fue de
35,146 viviendas.
La fórmula para el cálculo del tamaño de muestra que presenta el INEGI en la
metodología de esta encuesta puede escribirse como:
n
z2 s 2 DEFF
z2 s 2
1
1

DEFF
 nmas DEFF
2
2
2
2
(1  tnr)PHV
(1  tnr)PHV
r X (1  tnr)PHV r X
(2)
En este caso, nmas se refiere al tamaño de muestra obtenido por muestreo
aleatorio simple, el cual es fácil de calcular, véase Cochran (1977). Nótese
como el efecto del diseño aumenta, disminuye o no modifica el tamaño de
muestra dependiendo del valor de la varianza del diseño distinto del mas con
el cual se extraerá la muestra.
13
3.2 Ejemplo de estimación y cálculo del efecto del diseño en la
práctica
Ejemplo 2: estimación sesgada de vmas ˆ  , cálculo del efdK y sesgo. En la
introducción se mencionó que en el estimador del efdK, la varianza bajo mas
se calcula con los datos muestrales obtenidos por el diseño específico y que
esta forma de cálculo no garantizaba una estimación insesgada de la varianza
poblacional bajo mas. Un ejemplo con una población pequeña ilustrará este
aspecto.
Considérese una población con H  2 estratos y 8 elementos. Supóngase
que de cada estrato se extrae una mas de 2 elementos y la característica de
interés por estimar es el promedio poblacional.
Tabla 1
Ejemplo 2, valores poblacionales relevantes
Estrato
Valores yhi
yh
2
shU
1
{2,3,4.5,2.5,3.4}
3.08
0.91
2
{11,14,18}
Población
14.33 12.33
7.30
14
37.96
Estimación sesgada de vmas yˆ  . Bajo mae, el total de muestras aleatorias
estratificadas es de 30, en tanto que el total de mas es 70. Al generar todas
las posibles mae y calcular para cada una de ellas la varianza del mas,
vˆsesg, mas  yˆ i   (1  4 / 8)  j 1 ( y hj  yˆ i ) 2 (4  1) , con
4
i  1,,30 , se tiene que:

30
v
i 1 sesg , mas
yˆ i 

4
j 1
y hj 4 e
( yˆ i ) 30  5.93 . Para este caso, la
varianza poblacional bajo mas vmas yˆ   4.75 , por lo que la estimación de la
varianza del mas con este método tiene un sesgo de 5.93 - 4.75 = 1.18. El
subíndice del estimador de varianza “sesg, mas”, se refiere a la estimación
sesgada de la varianza del mas.
Cálculo
del
efdK.
En
este
ejemplo
vmae yˆ st   0.395
y
efd K  yˆ   vmae  yˆ st  vmas  yˆ   0.083 . Nótese que esta es una cantidad
poblacional y la varianza bajo mas se calculó usando la fórmula
vmas  (1  n N ) sU2 n , con sU2  i 1 ( yi  yU )2 ( N  1) y yU  i 1 yi N .
N
N
Estimación del efdK. Usando la definición de Kish (1965) y como se mencionó
en la introducción, la estimación del efdK para el ejemplo se efectúa con la
siguiente fórmula: efdˆ K  yˆ i   vmae  yˆ st ,i  vˆsesg, mas  yˆ i  , donde i  1,,30 ; es
decir, una de las posibles mae. Al generar las 30 posibles mae y calcular para
15
cada

30
i 1
una
de
ellas
el
estimador
efdˆ K ( yˆ i ) ,
se
tiene
que
efdˆ K ( yˆ i ) 30  0.067  efd K ( yˆ )  0.083 .
Observación 3: la diferencia entre los promedios de las estimaciones del
estimador efdK y el efdK poblacional era de esperarse, debido a que el
estimador del efdK poblacional es un estimador de razón y es sesgado. Sin
embargo, los estimadores de la varianza bajo mas, vsesg, mas, empleados en el
estimador del efdK son sesgados, como se ha visto en el presente ejemplo,
por lo cual contribuyen con un efecto más al sesgo. Por este motivo, es
necesario corregir el estimador del denominador con la fórmula propuesta
por Gambino (2009) y que se muestra a continuación:
vˆins, mas( yˆ )  (1 
yˆ 2  vˆalt ( yˆ )
n
1
)
( yˆ cua 
)
N n ( N  1)
N
(3)
2
En esta fórmula, yˆ cua, yˆ y vˆalt ( yˆ ) son estimadores de las siguientes cantidades
poblacionales: suma de cuadrados, total al cuadrado y varianza del total bajo
el diseño diferente del mas. Con la fórmula (3), se tiene un estimador
insesgado de la varianza poblacional bajo mas. Este estimador ya pertenece
al tipo de los estimadores de razón descritos en el capítulo 6 de Cochran
(1977). Un aspecto importante de estos estimadores, es que se tienen
estimadores insesgados y positivos tanto del numerador, como del
16
denominador y la importancia del sesgo se encuentra relacionada con el
coeficiente de variación de los estimadores del denominador.
Estimación del efdK con estimación insesgada del denominador. Usando la
fórmula 3 de Gambino (2009) para la varianza del promedio bajo mas, se
calcularon

30
i 1
las
estimaciones
de
vmas yˆ  y
efdˆG ( yˆ i ) 30  0.084  efd ( yˆ )  0.083, donde
efdK,
efdˆG se
obteniéndose:
refiere
al
estimador del efecto del diseño usando la corrección de la varianza del
denominador.
Observación 4: el estimador del efecto del diseño continúa siendo sesgado,
pero el sesgo solo se debe a que se está usando un estimador de razón.
4. Cotas para la relación sesgo a error estándar del efdK
A continuación se enuncia uno de los resultados principales del presente
artículo. Primero, se encuentra la expresión general para el sesgo del
estimador del efd y después se muestra tanto el sesgo del estimador efdG
como un límite superior de la relación sesgo a error estándar para el efdG.
Sean ŷalt un estimador insesgado del promedio poblacional, con
valt ( yˆ alt )  0 y ecmˆ un estimador de varianza tal que E(ecm
ˆ )  v  sesgo si el
17
estimador es sesgado y E (ecm
ˆ )  v si el estimador es insesgado. Aquí v se
refiere a la varianza del estimador.
Teorema: para un diseño muestral, alt, distinto del mas, y estimadores de los
ˆ alt y ecm
ˆ mas con ecm
ˆ mas  0 tenemos:
errores cuadráticos medios, ecm
 ecmˆ alt  valt  sesgoalt
cov(ecmˆ mas , efdˆ K )
 
E (efdˆ K )  E 

vmas  sesgomas
 ecmˆ mas  vmas  sesgomas
(4)
Corolario 1: para un diseño muestral alt, distinto del mas, con estimador ŷalt
del promedio de la población, estimador insesgado de varianza para el diseño
alt y estimación insesgada de la varianza poblacional bajo mas, el sesgo del
efdˆG se encuentra dado por:  cov(efdˆG , vˆins, mas ) vmas .
Observación 5: en el corolario 1, v̂mas corresponde a la fórmula de Gambino
(2009) para la estimación insesgada de la varianza poblacional bajo mas y el
efdˆ K se reduce al efdˆG .
Corolario 2: bajo las condiciones del teorema y corolario 1, un límite superior
de la relación sesgo a error estándar del efdˆG , se encuentra dada por
cv (vˆins, mas ) , es decir, el coeficiente de variación de las estimaciones
insesgadas de la varianza poblacional bajo mas.
18
Corolario 3: bajo las condiciones del teorema, con sesgoalt=0, el estimador
propuesto por Gambino, efdˆG , tiene un sesgo relativo más pequeño que el
estimador propuesto por Kish, efdˆ K , siempre que:
1

sesgo(efdˆG )  sesgo(efdˆ K )  
1
 1 


efd
efd

 1  sesgomas vmas 
(5)
Las demostraciones del teorema y los corolarios se encuentran en el
apéndice.
Observación 6: nótese que en los corolarios se está trabajando con la
expresión para el efdˆG , la cual es diferente a efdˆ K que es la expresión
empleada en la práctica y en libros de texto. El estimador del efdK usado en la
práctica no corrige el sesgo del estimador de la varianza poblacional bajo
mas.
Es necesario mencionar que, salvo el caso del mas, véase Thompson (1997),
no hay expresiones cerradas para la varianza de varianzas estimadas para
diferentes diseños muestrales en poblaciones finitas. Por lo anterior, se
trabajará con simulaciones de los dos diseños mencionados en la sección 2.
19
Como se comentó en la introducción, la magnitud del sesgo en el contexto de
los estimadores de razón puede ser evaluada por medio del coeficiente de
variación del estimador que se encuentra en el denominador del estimador
de razón, si se tiene un estimador insesgado en el numerador. El sesgo será
despreciable si el coeficiente de variación es pequeño, es decir, los valores
del estimador que se encuentran en el denominador casi no cambian de
muestra a muestra. En el estimador del efecto del diseño propuesto por
Gambino, el sesgo será despreciable si el coeficiente de variación de los
estimadores insesgados de la varianza bajo mas es pequeño, como es el caso
del ejemplo del muestreo aleatorio en la siguiente sección. También puede
tenerse un sesgo considerable del estimador del efecto del diseño, efdG, si el
coeficiente de variación de los estimadores insesgados de varianza no es
pequeño, como se verá en la siguiente sección para algún casos del muestreo
por conglomerados en dos etapas.
Por otra parte, todavía no se cuenta con un refinamiento del límite superior
de la relación sesgo a error estándar para el efdG y es un tema que se seguirá
investigando. Los refinamientos de cotas o desigualdades requieren, en
ocasiones, de supuestos o conocimiento adicional de la variable bajo estudio.
Por ejemplo, en relación con desigualdades, la desigualdad de Chebyshev,
véase Mood et al. (1985), requiere de pocos supuestos; sin embargo, resulta
conservadora para su uso en la práctica, no así en su empleo en
20
demostraciones de algunos resultados en probabilidad y estadística. Si se
imponen condiciones adicionales a la desigualdad de Chebyshev, como
unimodalidad de la
distribución de probabilidades, se refina dicha
desigualdad obteniéndose lo que se conoce como desigualdad de
Vysochanskii-Petunin, véase Hernández (2003).
5. Ejemplos de cálculo del efd y cota para la relación
sesgo a error estándar
De acuerdo con lo mencionado en el último párrafo de la sección anterior, no
se cuenta, en general, con una expresión cerrada para la varianza de
varianzas estimadas, por lo cual no es posible tener una expresión exacta
para la relación sesgo a error estándar. Por este motivo, es necesario simular
extracciones de muestras con algún diseño, distinto del muestreo aleatorio
simple, para calcular la cota para la relación sesgo a error estándar del efecto
del diseño. Esto se ilustra a continuación con un par de ejemplos: en uno de
ellos se simula la extracción de muestras de un diseño aleatorio estratificado,
que típicamente tiene una varianza menor que la del muestreo aleatorio
simple, véase el capítulo 5 de Cochran (1977), en tanto que en el otro
21
ejemplo se simula la extracción de muestras de un muestreo por
conglomerados en dos etapas con tamaños iguales, que típicamente tiene
una varianza mayor que la muestreo aleatorio simple, véase el capítulo 10 de
Cochran (1977).
Ejemplo 3: población estratificada. Se simuló una población pequeña con
H  3 estratos y 57 elementos, tomando como base el ejemplo de la página
137 de Cochran (1977). Para cada estrato se simularon variables aleatorias
uniformes con medias {2.20, 1.64, 5.00} y varianzas entre elementos
{1.82, 0.07, 1.00} para los estratos 1, 2 y 3, respectivamente. En la tabla 2 se
muestran los datos relativos a la población estratificada.
Tabla 2
Ejemplo 3, valores poblacionales relevantes
Estrato
Nh
nh
Wh
yh
2
shU
1
13
9
0.22
2.33
1.62
2
18
7
0.32
1.61
0.08
3
26
6
0.46
5.04
1.18
Población
57
22
3.44
Las varianzas poblacionales bajo mas, y mae, así como el efecto del diseño
poblacional, efdK, tienen los valores mostrados a continuación:
22
Tabla 3
Varianzas bajo mas, mae y efecto del diseño
Cantidad
poblacional
Valor
vmas
0.096
vmae
0.035
efd K
0.364
Se simuló la extracción de 5,000 muestras de tamaño 22 con el diseño de la
tabla 2, cada muestra se extrajo por mas, y para cada muestra se calcularon
los siguientes estimadores:
 varianza del mae, v̂mae ,
 estimador sesgado de la varianza del mas, usando la definición de Kish,
vˆsesg,mas ,
 estimador insesgado de la varianza del mas, usando la corrección de
Gambino, vˆins,mas ,
 estimador del efecto del diseño usando la fórmula de Kish, efˆd K ,
 estimador del efecto del diseño usando la corrección de Gambino, efˆdG .
Los resultados del promedio de las 5,000 extracciones para cada uno de los
estimadores, se encuentran en la siguiente tabla.
23
Tabla 4
Resultado de las simulaciones
Estimador
Promedio de
estimadores
(A)
Valor
poblacional
(B)
Diferencia (%)
= (A-B)/B
vˆins, mas
0.0964
0.096
---
vˆsesg,mas
0.0832
0.096
-13.4%
v̂mae
0.0352
0.035
---
efdˆK
0.4318
0.364
18.7%
efdˆG
0.3724
0.364
2.4%
Aplicando el corolario 3 del teorema de la sección 4 a los datos de la tabla 4,
se desprende que no es conveniente emplear el estimador efdK por el
tamaño del sesgo, casi 19%, en tanto que el efdˆG presenta un sesgo
pequeño. La cota para el sesgo relativo, cv (vˆmas) , del corolario 2 de la
sección 4, calculada con las vˆins, mas de la simulación, tuvo un valor de 18.4%
lo cual sugiere que no hay un problema de inestabilidad en la estimación de
la varianza del mas.
La cota para el sesgo relativo, cv (vˆmas) , calculada con las vˆsesg,mas de la
simulación tuvo un valor de 17.1%; empero, el sesgo de la estimación de la
varianza poblacional del mas fue de -13.4%. Lo anterior se aprecia en el
siguiente diagrama de caja y brazos.
24
Gráfica 1
Estimadores insesgados y sesgados de la varianza bajo mas
En esta gráfica, la línea roja representa el valor de vmas ˆ  y la azul el
promedio de las 5,000 simulaciones usando el estimador sesgado de la
varianza poblacional bajo mas.
Ejemplo 4: población conglomerada con selección por mas en dos etapas. Se
tiene una población con A=8 UPM y cada uno de los conglomerados tiene
B=8 USM o elementos. El tamaño de muestra es de a=3 UPM y b=4 USM, con
lo que se tiene un tamaño de muestra total, n=ab=12 elementos. Los valores
dentro de cada conglomerado se simularon con variables aleatorias
uniformes, usando los mínimos, mín, y máximos, máx, de la cuarta columna
de la siguiente tabla.
25
Tabla 5
Valores poblacionales relevante
UPM
yi
si2
mín y máx
1
0.332
0.0058
0.2 y 0.5
2
0.444
0.0009
0.4 y 0.5
3
1.237
0.0094
1.1 y 1.4
4
0.919
0.0037
0.8 y 1.0
5
0.223
0.0064
0.1 y 0.35
6
0.610
0.0030
0.5 y 0.7
7
0.970
0.0044
0.9 y 1.1
8
0.461
0.0077
0.3 y 0.6
Población
0.650
0.1166
La correlación intraclase para esta población es de 0.96 y se calculó usando el
resultado de la página 291 de Cochran (1977).
Usando una notación similar a la del ejemplo 3 y con los datos de la tabla 5,
las varianzas poblacionales bajo mas y mc2e, así como el efecto del diseño
poblacional, efdK, tienen los valores mostrados a continuación:
Tabla 6
Varianzas bajo mas, mc2e y efecto del diseño
Cantidad poblacional
Valor
vmas
0.0079
vmc2e
0.0265
efd K
3.3528
26
Se simuló la extracción de 3,500 muestras de tamaño 12 con el diseño (mas,
mas) de la población generada con los datos de la tabla 5. Para cada muestra
se calcularon los siguientes estimadores:
 varianza del mc2e, vˆmc2e ,
 estimador sesgado de la varianza del mas, usando la definición de Kish,
vˆsesg,mas ,
 estimador insesgado de la varianza del mas, usando la corrección de
Gambino, vˆins,mas ,
 estimador del efecto del diseño usando la fórmula de Kish, efˆd K ,
 estimador del efecto del diseño usando la corrección de Gambino, efˆdG .
La extracción de muestras por conglomerados en dos etapas usando mas se
programó en R y el cálculo de los estimadores del promedio y la varianza bajo
mae se efectuó con la librería survey de R. Los resultados del promedio de las
3,500 extracciones para cada uno de los estimadores, se encuentran en la
siguiente tabla.
27
Tabla 7
Resultado de las simulaciones
Estimador
Promedio de
estimadores
(A)
Valor
poblacional
(B)
Diferencia
(%)
= (A-B)/B
vˆins, mas
0.0080
0.0079
---
vˆsesg,mas
0.0066
0.0079
-16.13%
vˆmc2e
0.0268
0.0265
---
efdˆK
3.912
3.3528
16.70%
efdˆG
3.253
3.3528
-3.00%
Aplicando el corolario 3 del teorema de la sección 4 a los datos de la tabla 7,
se desprende que no es conveniente emplear el estimador del efecto del
diseño propuesto por Kish. La cota para el sesgo relativo, cv (vˆmas) , del
corolario 2 de la sección 4 calculada con las vˆins, mas de la simulación, tuvo un
valor de 63.50%, lo cual sugiere que hay inestabilidad en la estimación de la
varianza del mas.
28
Gráfica 2
Estimadores insesgados y sesgados de la varianza bajo mas
En esta gráfica, la línea roja representa el valor de vmas ˆ  y la azul el
promedio de las 3,500 simulaciones usando el estimador sesgado de la
varianza poblacional bajo mas.
Extensión del ejemplo 4: con el fin de analizar el comportamiento del límite
superior de la relación sesgo del efecto del diseño a error estándar, se
generaron configuraciones que tienen, tanto el mismo promedio como la
misma varianza poblacional entre elementos. Dichas configuraciones fueron
generadas por medio de permutaciones de las USM entre UPM de la
población de este ejemplo. Así, la varianza bajo mas no se altera al efectuar
29
estas permutaciones de las USM; sin embargo, el coeficiente de correlación
intraclase y la varianza bajo (mas, mas) sí cambian y, por lo tanto, el valor del
efecto del diseño. Para cada permutación de USM entre UPM se calculó el
valor del coeficiente de correlación intraclase, la varianza bajo (mas,mas), el
efecto del diseño poblacional, así como el límite superior de la relación sesgo
a error estándar. Para calcular este último valor, se extrajeron 3,500
muestras como en el ejemplo 3 para cada permutación, obteniéndose los
resultados siguientes:
Tabla 8
Límite superior de la relación sesgo del efecto del diseño a error estándar
según el valor de la correlación intraclase roh
rho
efdK
Límite superior sesgo a
error estándar
efd≈[1+rho(b-1)]
-0.14
0.70
0.25
0.58
-0.05
0.92
0.34
0.85
0.01
1.07
0.34
1.03
0.14
1.38
0.36
1.42
0.26
1.66
0.37
1.78
0.38
1.97
0.43
2.15
0.50
2.25
0.45
2.50
0.63
2.56
0.54
2.88
0.76
2.87
0.61
3.27
0.86
3.12
0.62
3.57
0.96
3.35
0.64
3.87
30
La fórmula mostrada en la cuarta columna de la tabla 8, es una aproximación
que se usa en la práctica, al emplear un diseño (mas,mas). [1+rho(b-1)] es una
buena aproximación al efdK (valor poblacional) siempre que los valores (A-1)/A y
(N-1)/N sean casi uno, véase Kish (1965), capítulo 5, lo cual no sucede en el
presente ejemplo por tratarse de una población pequeña. En cuanto al límite
superior de la relación sesgo del efecto del diseño a error estándar, se
aprecia en la tabla 8, el cual crece al hacerlo rho. Esto significa que conforme
haya más homogeneidad en la población, valores de rho>0, el sesgo del
estimador del efecto del diseño es grande comparado con el error estándar
del efecto del diseño. Debido a que el efecto del diseño es mayor que cero,
[1+rho(b-1)]>0, por lo que rho>-1/(b-1). De la tabla se observa que en el caso
de que se tenga heterogeneidad para la variable de interés en la población,
rho<0, el efdK es menor que uno, con lo que el muestreo por conglomerados
en dos etapas es mejor que el mas. Para valores de rho alrededor del cero, el
efdK con lo que en términos de varianza el muestreo por conglomerados que
nos ocupa es equivalente al mas. Por último, cuando se presenta
homogeneidad en la población conglomerada, rho>0, el muestreo por
conglomerados presenta una varianza que puede exceder por mucho a la del
mas, como el cado de rho=0.86 con un efdK =3.12.
31
6. Estimación de la varianza del efecto del diseño
Como se mencionó en la introducción, no se encontraron referencias de
cálculo de la varianza del efdK. La manera en que se procede en el muestreo
probabilístico para construir un estimador de varianza es la siguiente.
Primero se encuentra una expresión para la varianza del estimador del efdK y
posteriormente, se construye un estimador de dicha varianza. No se cuenta
con dichas expresiones, pero es posible estimar la varianza usando un
método de remuestreo. En este caso, se hicieron pruebas con un tipo de
bootstrap desarrollado para muestras provenientes de diseños complejos. En
Chaudhuri & Stenger (2005) se encuentran ocho tipos de bootstrap para
muestras de poblaciones finitas, entre ellos, algunos métodos propuestos por
Sitter (1992), así como el empleado en el presente artículo.
Sitter (1992) propuso estimadores bootstrap para los siguientes diseños
muestrales.
a) Muestreo aleatorio estratificado usando muestreo aleatorio simple en
cada estrato.
b) Muestreo por conglomerados en dos etapas con tamaños iguales o
desiguales.
32
c) Método de Rao-Hartley-Cochran, véase Rao et al. (1962), para el muestreo
con probabilidad proporcional al tamaño.
En dicho artículo, Sitter propone tres métodos para la construcción de
intervalos de confianza. Uno de estos métodos es el de percentiles, utilizado
en el presente trabajo por su sencillez. Otro de los métodos, el cual es
intensivo en términos de cálculos, se aplica un doble bootstrap a cada
muestra. El tercero de los métodos, usado por el autor en su artículo, se trata
de un estimador jackknife de la varianza aplicado a la muestra y la muestra
replicada. Es importante mencionar que estos dos últimos métodos merecen
un estudio aparte, en el que se comparen con el método de percentiles y se
exploren experimentalmente algunas cuestiones como el número de réplicas
necesarias para acercarse a la cobertura nominal de las estimaciones del
efecto del diseño. Por otra parte, está documentado que el jackknife
presenta complicaciones al aplicarse a poblaciones estratificadas, véase
Särndal et al. (1992).
En este artículo se usó el bootstrap extendido de Sitter (1992), véase
Chaudhuri & Stenger (2005), para muestras aleatorias estratificadas, el cual
se describe a continuación.
33
Ignorando la parte entera de
nh '  nh  (1  f h ) y kh 
Nh
1 fh
(1 
) , con
nh
nh
f h  nh N h , los siguientes son los pasos del método:
a) Replicar ( yh1 ,, yhnh ) kh veces de manera separada e independiente,
h=1,…,H, para crear H seudo-estratos diferentes.
b) Extráigase una mas de tamaño nh’ del h-ésimo seudo-estrato y repita
esto de manera independiente para cada h=1,…,H, generando así las
*
*
observaciones bootstrap muestrales, s*  {( yh1 ,, yhnh ' ), h  1,, H }y
sea ˆ *  ˆ( s * ).
c) Repita el paso (b) un gran número de veces, digamos B, y calcule para
cada b-ésima muestra bootstrap ˆb* , b  1,, B . Una vez que se
tienen las B estimadores ˆb* , se calculan las siguientes cantidades:
1 B ˆ*
 b y
B b 1
1
B

(ˆb*  ˆB* ) 2

b 1
B 1
ˆB* 
v̂ BWO
(5)
Con esto se tienen los estimadores del promedio o total de cada muestra y
de la varianza. El estimador de varianza BWO también puede emplearse
34
como estimador de varianza para el estimador de la muestra original. Las
siglas BWO se refieren al bootstrap para el muestreo sin reemplazo.
En este artículo, ˆb* puede ser un estimador del promedio estratificado, de
razón, como el estimador del efecto del diseño, o de varianza, como la
varianza bajo mae o mas.
Se usó el bootstrap extendido de Sitter, ya que es sencillo de implementar,
comparado con los otros métodos mencionados por Chaudhuri & Stenger
(2005). Sin embargo, no puede concluirse que se tengan mejores resultados
que con cualesquiera de los otros bootstrap para la estimación de la varianza
del efecto del diseño. De hecho, es un tema que será estudiado en el futuro.
Debido a que no se cuenta con una expresión para el estimador de la
varianza del efdG, se ilustrará a continuación la mecánica de cálculo del
estimador bootstrap de la varianza con un diseño estratificado en una
población pequeña.
Ejemplo 5: población estratificada de elementos con selección por mas. Se
extendió la población del ejemplo 2 a cinco estratos, con un total de 120
elementos y un tamaño de muestra total de 40. La información de la
población se encuentra resumida en la tabla que se muestra a continuación.
35
Tabla 9
Valores poblacionales relevantes
Estrato
yh
Wh
2
shU
Nh
nh
1
13
9
0.11
2.33
1.62
2
18
7
0.15
1.61
0.08
3
26
6
0.22
5.04
1.18
4
26
10
0.22
7.01
3.06
5
37
8
0.31
9.86
0.31
Población
120
3.44
En la siguiente tabla se encuentran los valores poblacionales para el cálculo
del efecto del diseño.
Tabla 10
Varianzas bajo mas, mae y efecto del diseño
Cantidad poblacional
Valor
vmas
vmae
0.1762
efd K
0.1114
0.0196
36
Los pasos que se siguieron en la simulación del bootstrap de Sitter, arriba
mencionado son:
a) De la población estratificada, se simuló la extracción de 5,000 muestras de
tamaño 40 con mae.
b) Para cada muestra, mae, se simularon B=2,000 muestras bootstrap con el
método de Sitter ya mencionado. Se usó este valor con base en la
recomendación de Stuart et al. (1999) para estimación de varianzas en el
caso de variables independientes.
c) El estimador del efdK se calculó tanto con el estimador efdG usado en el
ejemplo 2, como con el bootstrap. La varianza del estimador efdG, para
cada mae, se obtiene de v̂BWO , véase Chaudhuri & Stenger (2005) o Sitter
(1992).
Se hizo un programa en R, veáse R Development Core Team (2010), y la
extracción de las muestras mae se efectuó con el paquete pps de R, véase
Gambino (2005). El método de Sitter se programó en R y los intervalos para la
cobertura del efecto del diseño poblacional al 95%, se obtuvieron con el
histograma bootstrap de los efd estimados. Con este método, se encuentran
los percentiles correspondientes al 2.5% y al 97.5% de cada histograma y se
determina si el efecto del diseño poblacional se encuentra entre el percentil
2.5% y el 97.5%; se cuenta el número de veces que esto ocurre y se divide
37
entre el total de réplicas, B réplicas, obteniéndose así la cobertura del
estimador efdG. Los resultados se muestran a continuación.
Tabla 11
Resultados de la simulación para la estimación de la varianza del efdK
Estimador
Promedio de
estimadores
(A)
Valor
poblacional
(B)
Diferencia (%)
= (A-B)/B
promedio mae BWO
6.144
6.143
0.02
Vmae BWO
0.018
0.020
-7.60
Vmas BWO
0.176
0.176
-0.10
efd BWO
0.103
0.111
-7.80
efdG mae
0.112
0.111
0.30
desv efd BWO
0.021
desv efd G mae
0.018
Cobertura efdG mae=
89.5%
En la tabla 11, los estimadores que terminan con las siglas BWO fueron
obtenidos con base en las simulaciones del bootstrap. Obsérvese que los
estimadores bootstrap del promedio poblacional, promedio mae BWO, y la
varianza bajo mas, Vmas BWO, tuvieron una diferencia menor al 1%
comparado con el valor poblacional. Por otra parte, les estimadores
bootstrap de la varianza bajo mae, Vmae BWO, y del efdK, efd BWO,
subestimaron el correspondiente valor poblacional casi en un 8%. A
38
continuación se muestra un histograma con el resultado de las 5,000
muestras mae para el estimador efdG. El estimador efdG tuvo un sesgo muy
pequeño ya que la diferencia con respecto al efdK fue de 0.3%.
Por lo que concierne al estimador bootstrap de la varianza del efdK, la raíz
cuadrada del promedio de las 5,000 estimaciones de varianza BWO fue de
0.021. Es importante recordar que cada estimador de varianza BWO se
obtiene con B=2,000 réplicas de una mae. Por otra parte y con base en las
5,000 muestras mae, se construyó también una estimación de la varianza del
efdK, empleando el estimador efdG. La raíz cuadrada de la varianza entre los
5,000 estimadores efdG fue de 0.018. Al comparar estas dos estimaciones, la
estimación bootstrap fue un 17% más alta que la obtenida con los 5,000
estimadores efdG. Obsérvese que la cobertura que se encuentra al final de la
tabla 11 fue aproximadamente del 90%, lo cual está 5% debajo de la
cobertura nominal del 95%.
Según Sitter (1992), la cobertura puede mejorarse con un método diferente
al de los percentiles; sin embargo, se encontró durante las simulaciones que
el incremento del número de réplicas mejoraba sustancialmente la
cobertura. En un principio se usaron valores de B similares a los empleados
por Sitter (1992), pero al consultar este tema en Stuart et al. (1999), se
encontró que estos autores recomendaban al menos 2,000 réplicas para
39
estimaciones de varianza en el caso del bootstrap para muestras aleatorias.
Debido a que no se tienen resultados de este tipo para el caso del muestreo
probabilístico, se empleó dicho valor para el número de réplicas lo cual se
tradujo en una mejora en la cobertura, comparado con los valores usados por
Sitter (1992).
Gráfica 3
La gráfica 3 muestra el histograma de las 5,000 estimaciones efdG, la línea
roja corresponde al valor poblacional del efecto del diseño que es 0.1114. En
40
este ejemplo, la ligera asimetría del histograma podría obedecer a un tamaño
de muestra pequeño, ya que según Cochran (1977), la distribución normal se
aplica a los estimadores de razón, efdG en este caso, cuando el tamaño de
muestra excede de 30 unidades, el coeficiente de variación de las
estimaciones insesgadas de la varianza no supera el 10% y la medida de
asimetría de Fisher es cercana a cero, para este último punto véase Sugden et
al. (2000).
En la práctica se tendría una sola muestra mae y las B muestras replicadas a
partir de ella. Con la muestra mae se calcularía el estimador efdG y con las
muestras bootstrap se generaría un histograma del cual se obtendrían los
límites inferior y superior de un intervalo calculado por el método de los
percentiles. A continuación, gráfica 4, se muestra un histograma de los
estimadores efd construido con B=2,000 réplicas usando el bootstrap
empleado en este trabajo, obtenido a partir de una de la última muestra mae
de tamaño 40 usada en la simulación. Esta muestra no se eligió por algún
motivo en particular, simplemente se escogió la última para mostrar un
histograma.
41
Gráfica 4
La línea azul corresponde al valor poblacional del efecto del diseño. En este
caso se obtuvo una varianza estimada de 0.000361 o una desviación estándar
con un valor de 0.019. Es importante mencionar que no se ha estudiado el
motivo por el cual en la gráfica 4 se aprecia una asimetría a la izquierda. No
se puede afirmar que sea algo que suceda en todas las iteraciones del
bootstrap y es un tema de estudio futuro.
Del histograma de la gráfica 4 se obtiene la información necesaria para
construir un intervalo, con un porcentaje deseado, del estimador del efecto
del diseño. Con los límites inferior y superior del intervalo se puede evaluar la
42
precisión del tamaño de muestra calculado con el estimador del efecto del
diseño. Usando la última expresión del lado derecho de la ecuación 2,
haciendo caso omiso de los valores tnr y PHV y con la notación del presente
ejemplo, n=nmasefdG, se tendrían los límites inferior y superior para el tamaño
de
muestra.
Es
decir,
se
calcularían
como
ninf=nmasinf_efdG
y
nsup=nmassup_efdG, donde inf_efdG y sup_efdG son los límites inferior y
superior del intervalo construido con base en el histograma bootstrap de los
estimadores del efecto del diseño.
7. Conclusiones y recomendaciones
Se construyó una expresión exacta para el sesgo del estimador del efecto del
diseño, así como un límite superior de la relación sesgo a error estándar para
dicho estimador, al usar un estimador insesgado de la varianza bajo muestreo
aleatorio simple. La cota para la relación sesgo a error estándar está dada por
el coeficiente de variación de los estimadores insesgados de la varianza bajo
muestreo aleatorio simple. Con base en los resultados de las simulaciones y
el uso generalizado del efecto del diseño en la práctica, es recomendable
analizar la estabilidad del estimador de la varianza bajo muestreo aleatorio
simple, siempre que sea posible. A la luz de los resultados, es recomendable
43
emplear un estimador insesgado de la varianza bajo muestreo aleatorio
simple.
Con el fin de estimar la varianza del estimador del efecto del diseño, se
propuso la aplicación del bootstrap para diseños muestrales diferentes del
muestreo aleatorio simple, empleando uno de los métodos de Sitter (1992).
Esto se ejemplificó con una población pequeña y con un diseño aleatorio
estratificado. Los resultados sugieren que es factible estimar la varianza con
este esquema. La cobertura para el estimador del efecto del diseño requiere
mejorar, lo cual podría hacerse con las recomendaciones de Sitter (1992) al
emplear otra variante del bootstrap mencionadas en esta presentación.
Como se vio en el ejemplo de la sección 6, al calcular el tamaño de muestra
con el estimador del efecto del diseño, es factible obtener límites inferior y
superior para dicho tamaño de muestra. Esto permitirá una mejor asignación
de recursos en la etapa de planeación de una encuesta.
44
Bibliografía
Chambers, R.L. & Skinner, C.J. (eds.) (2003) Analysis of Survey Data, Wiley
Series in Survey Methodology.
Chaudhuri, A. & Stenger, H. (2005) Survey Sampling: theory and methods, 2nd
edn., Chapman & Hall/CRC.
Cochran, W.G. (1977) Sampling Techniques, 3rd edn. New York: Wiley.
Gambino, J.G. (2009) Design effects caveat, The American Statistician, pp.
141-145.
Gambino, J.G. (2005) pps: Functions for PPS sampling. R package version
0.94.
Hernández, F.M. (2003) Cálculo de Probabilidades. Aportaciones
matemáticas. Serie Textos Nivel Elemental No. 25. Sociedad Matemática
Mexicana.
Horvitz, D.G. & Thompson, D. J. (1952) A generalization of sampling without
replacement from a finite universe, Journal of the American Statistical
Association 47, pp. 663-685.
INEGI, Encuesta Nacional de Ingresos y Gastos de los Hogares 2008. Diseño
Muestral.
Kish, L. (1965) Survey Sampling, New York: Wiley & Sons.
Lumley, T. (2010) survey: analysis of complex survey samples. R package
version 3.23-3.
Mood, A. M., Graybill, F. A. & Boes, D. C. (1985) Introduction to the Theory of
Statistics, McGraw Hill.
45
Padilla, A.M., Una cota para el sesgo relativo del efecto del diseño, Memorias
electrónicas en extenso de la 4ª Semana Internacional de la Estadística y la
Probabilidad. Julio 2011, CD ISBN: 978-607-487-324-5.
Padilla, A.M., A bound for the relative bias of the design effect. ICES IV, Fourth
International Conference on Establishment Surveys, June 11-14, 2012,
Montréal, Québec, Canada.
R Development Core Team (2010). R: A Language and Environment for
Statistical Computing. R Foundation for Statistical Computing, Vienna,
Austria. ISBN 3-900051-07-0, URL http://www.R-project.org.
Rao, J.N.K. (1962) On the estimation of the relative efficiency of sampling
procedures, Annals of the Institute of Statistical Mathematics, pp. 143-150.
Rao, J.N.K., Hartley, H.O. & Cochran, W.G. (1962) On a simple procedure of
unequal probability sampling without replacement, Journal of the Royal
Statistical Society B 24, pp. 482-491.
Särndal, C.E., Swensson, B. & Wretman, J.H. (1992) Model Assisted Survey
Sampling, Springer-Verlag, New York, 1992.
Sitter, R.R., (1992) A resampling procedure for complex survey data, Journal
of the American Statistical Association, Vol. 87, pp. 755-765.
Stuart, A., Ord, K. & Arnold (1999) S. Kendall’s Advanced Theory of Statistics
(sixth edn). Volume 2ª, Classical Inference and the Linear Model. Edward
Arnold, London.
Sugden, R.A., Smith, T.M.F. & Jones, R.P. (2000). Cochran´s rule for simple
random sampling. Journal of the Royal Statistical Society, Series B (Statistical
Methodology), Vol. 62, No.4, pp. 787-793.
Thompson, M.E. (1997). Theory of Sample Surveys. Chapman & Hall, London.
46
Valliant, R., Dorfman, A. and Royall, R.(2000) Finite Population Sampling and
Inference: a prediction approach, John Wiley and Sons, New York.
47
Apéndice
Prueba del teorema, sección 4:
Sean E (ecm
ˆ alt )  valt  sesgoalt y E(ecm
ˆ mas )  vmas  sesgomas y
efdˆ K 
ecmˆ alt
, entonces evaluemos la siguiente expresión:
ecmˆ mas
cov(ecm
ˆ mas , efdˆ K )  E (ecm
ˆ mas efdˆ K )  E (ecm
ˆ mas ) E (efdˆ K )
Despejamos E (efdˆ K ) y como ecm
ˆ mas efdˆ K  ecm
ˆ alt , se tiene que
E (ecmˆ alt ) cov(ecmˆ mas , efdˆ K )
E (efdˆ K ) 

y usando las expresiones
E (ecmˆ mas )
E (ecmˆ mas )
E (ecm
ˆ alt )  valt  sesgoalt y E(ecm
ˆ mas )  vmas  sesgomas se tiene el
resultado del teorema.
Prueba del corolario 1, sección 4:
Como los estimadores del numerador y denominador son insesgados,
entonces efdˆ K  efdˆG , E (ecm
ˆ alt )  valt y E (ecm
ˆ mas )  vmas y se tiene el
resultado del corolario 1.
48
Prueba del corolario 2, sección 4:
Como sesgo(efdˆG ) 
cov(vˆinsesg,mas , efdˆG )
vmas
y por la definición de correlación
cov(vˆinsesg,mas , efdˆG )   (vˆinsesg,mas ) v(vˆinsesg,mas ) v(efdˆG ) , se tiene que:
sesgo(efdˆG )
v(efdˆG )

 (vˆinsesg,mas , efdˆG ) v(vˆinsesg,mas )
vmas
En particular , ρ≤1, por lo que
sesgo(efdˆG )
v(efdˆG )

.
v(vˆinsesg,mas )
vmas
 cv (vˆinsesg,mas ) ,
con lo cual queda demostrado el resultado.
Prueba del corolario 3, sección 4:
Al aplicar la ecuación (4) del teorema 4, con sesgoalt=0, para efdˆ K se tiene
que: E (efdˆ K ) 
vmas
valt
cov(ecmˆ mas , efdˆ K )

 sesgomas
vmas  sesgomas
sesgomas 1
)
Y E (efdˆ K )  (efd  sesgomas )(1 
vmas
49
Al hacer lo mismo para el efdˆG se tiene que: E (efdˆG )  efd  sesgomas
Con esto ya se pueden comparar los sesgos relativos para los dos
estimadores del efecto del diseño, efdˆ K y efdˆG . El estimador de Gambino
tendrá un sesgo relativo más pequeño sí:
1
sesgo(efdˆG )
sesgomas 1
sesgo(efdˆ K )
 (1 
)(1 
)
efd
efd
vmas
.
50