Dinámica del Método de Newton

Dinámica del Método de Newton
Sergio Plaza1
Octubre de 2010
Emalca, Quito, Ecuador
1
Depto. de Matemáticas, Facultad de Ciencias, Universidad de Santiago de
Chile.
Casilla 307, Correo 2. Santiago, Chile. Part of this work was supported
Fondecyt Grant 1095025. e–mail: [email protected].
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Método de Newton
Estudiaremos el método de Newton para encontrar aproximaciones
de soluciones de ecuaciones no lineales en R, en otras palabras,
consideramos una función f : R −→ R, y queremos encontrar los
valores de x ∈ R, tales que
f (x) = 0
(1)
una solución ζ de la ecuación (1) es llamada un cero o r aı́z de f .
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Este es uno de los problemas más antiguos, y quizás, uno de los
más estudiados. Por ejemplo, los antiguos babilonios utilizaban la
sucesión de aproximaciones, que en notación actual, es dada por
α
1
xn +
(2)
xn+1 =
2
xn
para aproximar a la raı́z de la ecuación x2 − α = 0, donde siempre
se consideraba α > 0 y se procuraba aproximar la “raı́z positiva de
α”.
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Un poco de historia
¿Cómo Newton resolvı́a ecuaciones? Consideremos
x3 − 2x − 5 = 0
Newton argumentaba de la siguiente manera:
Por tanteo, se ve por simple impección que la solución
está cerca de 2.
Haciendo x = 2 + ε y sustituyendo en la ecuación (3) se
obtiene
ε3 + 6ε2 + 10ε − 1 = 0.
(4)
Ignorando los términos ε3 + 6ε2 bajo el pretexto de que ε
es pequeño, se llega a que 10ε − 1 ' 0 ó ε = 0.1. En
consecuencia, x = 2.1 es una mejor aproximación de la
solución que la inicial.
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(3)
Haciendo ahora ε = 0.1 + ν y sustituyendo en (3) se
sigue que
ν 3 + 6.3ν 2 + 11.23ν + 0.061 = 0.
Ignorando de nuevo los términos en ν de grado mayor o
igual que dos, se llega a que ν ' −0.054 y, por tanto,
x = 2.046 es una aproximación que mejora las anteriores.
Newton indicaba que el proceso se puede repetir las veces
que sean necesarias.
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La idea de Newton consiste en añadir un término corrector a una
aproximación inicial dada. Para obtener el término corrector, lo
que hace es truncar el binomio de Newton en el segundo término,
y obtiene expresiones del tipo
(a + ε)n ' an + nan−1 ε.
De esta manera, para obtener el valor aproximado de ε,
simplemente hay que resolver una ecuación lineal.
Con la notación actual y llamando p(x) = x3 − 2x − 5, tenemos
que la nueva aproximación es
2−
1
p(2)
=2+
= 2.1,
0
p (2)
10
que se corresponde con la conocida formulación del método de
Newton (6) cuando f (x) es el polinomio p(x) anterior.
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No se tiene constancia de que Newton usara el cálculo diferencial
ni de que expresara el proceso como un método iterativo en el
sentido de que una aproximación pueda ser considerada como
punto de partida de la siguiente. Además, Newton usaba “su
método” sólo para resolver ecuaciones polinómicas. Por lo tanto,
la idea que Newton tenı́a de su método dista bastante de la que
tenemos hoy en dı́a.
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La idea de iteración se atribuye (véanse, por ejemplo, [10] y [53]) a
Joseph Raphson (1648–1715), quien además simplifica el aspecto
operacional de la técnica de Newton. En 1690 publica un tratado,
Analysis Aequationum Universalis, en el que se dan fórmulas
explı́citas para el término corrector para algunos casos particulares
de ecuaciones. En concreto, calcula los términos correctores para
las ecuaciones x3 − r = 0 y x3 − px − q = 0 que son,
respectivamente,
r − x30
3x20
y
q + px0 − x30
,
3x20 − p
siendo x0 la aproximación inicial.
Raphson publicó su obra 46 años antes que el “Método de las
fluxiones” de Newton. La contribución de Raphson ha sido tenida
en cuenta históricamente, no en vano muchos autores denominan
el proceso como método de Newton-Raphson.
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La primera vez que aparece la discusión de la convergencia del
método de Newton es en 1768, en el Traité de la résolution des
équations en general de Jean Raymond Mourraille (1720–1808). A
pesar de contener ideas novedosas, la mayor parte del trabajo de
Mourraille pasó inadvertido. Joseph-Louis Lagrange(1736–1813) ,
en su Traité de la résolution des équations numériques de tous les
degrés publicado en 1808 [18], afirma que el método atribuido a
Newton es el que se emplea habitualmente para resolver ecuaciones
numéricas. Ahora bien, advierte que este método sólo se puede
usar para ecuaciones que están ya “casi resueltas” en el sentido de
que para aplicarlo se necesita una buena aproximación de la
solución. Además, plantea dudas sobre la exactitud de cada nueva
iteración y observa que el método puede tener problemas para el
caso de raı́ces múltiples o muy próximas entre sı́.
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Jean Baptiste Joseph Fourier (1768–1830) fue el primero en
analizar la velocidad de convergencia del método de Newton en
una nota titulada Question d’analyse algébraique (1818) [18]. En
este trabajo, Fourier expresa el método con la notación actual (6)
y lo bautiza como la méthode newtonienne, haciendo referencia
explı́cita a las obras de Newton, Raphson y Lagrange. Quizás,
Fourier es el “causante” de la falta de reconocimiento para el
trabajo de Simpson.
El siguiente matemático importante en estudiar el método de
Newton fue Augustin Louis Cauchy (1789–1857, quien estudió este
tema desde 1821, pero no dió una formulación satisfactoria hasta
la publicación de las Leçons sur le Calcul différentiel en 1829 [18].
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Cauchy da condiciones, en términos de las derivadas f 0 y f 00 , para
asegurar que el método de Newton es convergente a una solución
α de la ecuación (1) para todo punto de partida x0 perteneciente a
un intervalo determinado. Lo que Cauchy estaba buscando son,
por tanto, resultados de convergencia global para el método de
Newton; es decir, caracterizar los conjuntos B(α) ⊆ R para los que
lim xn = α, con x0 ∈ B(α),
n→∞
el conjunto B(α) es llamado cuenca de atracción o región de
convergencia de la raı́z α.
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Aunque la mayorı́a del trabajo de Cauchy se centra en el campo
real, al final del mismo dedica un apartado al estudio de raı́ces
complejas. Pero el estudio del método de Newton para aproximar
las soluciones complejas de una ecuación encerraba ciertas
sorpresas.
Arthur Cayley, quien en 1879 planteó el problema de caracterizar
las regiones B(α) del plano complejo para las cuales el método de
Newton converge a la raı́z α si x0 ∈ B(α). En concreto, Cayley
comenzó estudiando el problema de caracterizar las cuencas de
atracción para el caso de un polinomio de segundo grado con dos
raı́ces distintas:
p(z) = (z − α)(z − β),
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α 6= β, α, β ∈ C.
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Comprobó que las cuencas de atracción de las dos raı́ces estaban
formadas por los semiplanos en los que queda dividido el plano
complejo por la recta equidistante de las dos raı́ces (la mediatriz
del segmento de extremos α y β). Si tomamos un punto de partida
en la mediatriz, el método de Newton proporciona una sucesión de
puntos en la propia mediatriz sin ningún orden aparente,
apareciendo ası́ un comportamiento caótico.
Pero el problema se complica sobremanera cuando se pasa de un
polinomio de segundo grado a uno de tercer grado. En palabras del
propio Cayley: “el caso de las ecuaciones cúbicas parece que
presenta considerables dificultades”. Parece ser que Cayley
continuó trabajando, sin éxito, en este problema. Once años
después, en 1890, vuelve a escribir: “Espero poder aplicar esta
teorı́a al caso de una ecuación cúbica, pero los cálculos son mucho
más difı́ciles”.
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Aunque, casi en todas la citaciones del problema anterior, aparece
el nombre de Cayley, antes que él, E. Schröder (1870) estudió el
problema de la convergencia para el método de Newton aplicado al
polinomio cuadrático. De hecho la solución de Schröder es mucho
más interesante que la de Cayley, pues utiliza el concepto de
conjugación entre funciones. Además, propone una cantidad
inifnita de algoritmos iterativos para aproximar raı́ces, siendo la
siguiente familia la más conocida,
Sm,p (z) = z +
m−1
X
k=1
(−1)k hp,k (z)
(p(z))k ,
k! (p0 (z))2k−1
(5)
donde h1 (z) = 1 y hk+1 (z) = h0k (z)p0 (z) − (2k − 1)hk (z)p00 (z) ,
para k = 1, 2, . . . .
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Por ejemplo, para p = 3 y p = 4, tenemos
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Por ejemplo, para p = 3 y p = 4, tenemos
S3,p (z) = z −
p(z)
p00 (z) (p(z))2
−
p0 (z)
2 (p0 (z))3
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Por ejemplo, para p = 3 y p = 4, tenemos
S3,p (z) = z −
p(z)
p00 (z) (p(z))2
−
p0 (z)
2 (p0 (z))3
p(z)
p00 (z) (g(z))2
S4,p (z) = z − 0
−
p (z)
2 (p0 (z))3
1 00 2 1 0
000
p (z) − p (z)p (z) (p(z))3
2
6
.
−
(p0 (z))5
Note que S2,p = Np .
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El método de Newton en R
Geométricamente, la fórmula de iteración de Newton es obtenida
como sigue: Sea x0 ∈ R . Substituimos f por su aproximación
lineal, Lx0 (f )(x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) , y buscamos la
solución de la ecuación Lx0 (f )(x) = 0 . Si f 0 (x0 ) 6= 0 , obtenemos
el punto
f (x0 )
,
x1 = x0 − 0
f (x0 )
esto es, dada una condición inicial, x0 , dibujamos la recta
tangente al gráfico de f en el punto (x0 , f (x0 )) y buscamos la
intersección de esta recta con el eje x. Obtenemos ası́ el punto
x1 = Nf (x0 ). Enseguida si f 0 (x1 ) 6= 0 , repetimos el proceso
anterior a partir de la condición inicial x1 , y ası́ sucesivamente.
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De este modo obtenemos una sucesión de iterados (xn )n∈N , donde
f (xn )
,
f 0 (xn )
xn+1 = xn −
si f 0 (xn ) 6= 0 . Si la condición inicial x0 es elegida en forma
“conveniente”, la sucesión (xn )n∈N converge rápidamente a una
raı́z de la ecuación f (x) = 0 .
Resumiendo, el método de Newton consiste en iterar la función
Nf (x) = x −
f (x)
,
f 0 (x)
(6)
llamada función de iteración de Newton. Dado x0 iterar una
función consiste en determinar la sucesión de iterados, (xn )n∈N , la
cual es es definida por
xn = Nf◦n (x0 ) = (Nf ◦ · · · ◦ Nf )(x0 ) .
|
{z
}
n veces
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Dado x0 , se define su órbita por la función de iteración de Newton
como el conjunto
orb(x0 ) = {x0 , x1 , . . . , xk , . . .}
(7)
donde xj = Nf◦j (x0 ) y N ◦0 es la función identidad.
Una pregunta que surge de inmediato es: dado x0 , ¿qué podemos
decir sobre orb(x0 )?, por ejemplo, para ser más especifı́cos nos
podemos preguntar ¿cuáles son sus puntos de acumulación? (si es
que tiene algunos), ¿Cómo se distribuye este conjunto en la recta?,
si la sucesión de iterados xn+1 = Nf (xn ) converge ¿qué podemos
decir de lim xn ?, ¿qué podemos decir de la cuenca de atracción
n→∞
de una raı́z de la ecuación f (x) = 0?
Decimos que α ∈ R es una raı́z simple o cero simple de la ecuación
f (x) = 0 si satisface f (α) = 0 y f 0 (α) 6= 0 . En otro caso, decimos
que α es una raı́z o cero múltiple de f .
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Si en una vecindad de un cero múltiple α de f podemos escribir
f (x) = (x − α)m g(x), donde g(α) 6= 0 y m > 2 es un entero,
decimos que α es un cero de multiplicidad m de f . Se puede
probar que el entero m no depende de la vecindad escogida de α, y
está unicamente determinado por α.
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Puntos fijos y preriódicos
Un punto fijo de una función F es un punto p tal que F (p) = p.
Decimos que el punto fijo p es atractor, repulsor o indiferente si
|F 0 (p)| es, respectivamente, menor que, mayor que o igual a 1. Un
caso especial de punto fijo atractor es cuando F 0 (p) = 0, el cual
llamamos superatractor.
Volviendo al método de Newton, tenemos lo siguiente:
Sea α un cero de f , entonces α es un punto fijo de Nf y
reciprocamente. Esto se ve de inmediato desde la definción de la
función de iteración de Newton.
Ahora, si α es un cero simple de f , entonces Nf0 (α) = 0 , pues
Nf0 (x) =
f (x)f 00 (x)
,
(f 0 (x))2
en conclusión, los ceros simples de f son puntos fijos
superatractores de Nf .
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Por lo tanto si la condición inicial x0 es elegida suficientemente
próxima a α , la sucesión (xn )n∈N , donde xn = Nfn (x0 ) converge
rápidamente a α, ya que el desarrollo de Taylor de Nf alrededor de
α viene dado por
1
Nf (x) = x + Nf00 (α)(x − α)2 + · · ·
2
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Iteraciones con el método de Newton
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Conducta local del método de Newton
El siguiente teorema sobre la conducta local del método de
Newton muestra que ella es muy buena, pero como veremos
despues, desde el punto de vista global no lo es tanto.
Teorema
Sea f : R −→ R derivable. Si f 0 (x0 ) 6= 0 , definimos
0)
h0 = − ff0(x
(x0 ) , x1 = x0 + h0 , J0 = [x1 − |h0 |, x1 + |h0 |] y
0 )M M = supx∈J0 |f 00 (x)|. Si 2 (ff (x
0 (x ))2 < 1 , entonces la ecuación
0
f (x) = 0 tiene una única solución en J0 y el método de Newton
con condición inicial x0 converge a dicha solución.
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Ejemplo
Sea f (x) = x3 − 2x − 5 . Tomando x0 = 2 , tenemos f (x0 ) = −1 ,
f 0 (x0 ) = 10 , h0 = 0.1 y J0 = [2 , 2.2] , puesto que f 00 (x) = 6x
sobre
J0 el supremo M es 13.2. Como
M f (x0 ) (f 0 (x0 ))2 = 0.132 < 0.5 < 1 , el teorema garantiza que existe
una raı́z de la ecuación f (x) = 0 en el intervalo [2 , 2.2], y en
consecuencia el método de Newton con condición inicial x0 = 2
converge a dicha raı́z.
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Algunos ejemplos clásicos
Ejemplo
Raı́ces cuadradas Consideremos el problema de resolver la
ecuación f (x) = x2 − a = 0, con a > 0.
Es claro que conocemos las soluciones de este problema. Usando la
fórmula del método de Newton, obtenemos
x2 − a
1
a
xn+1 = Nf (xn ) = xn − n
=
xn +
.
2xn
2
xn
Los babilonios tuvieron esta misma idea, claro está, sin trabajar
con derivada.
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1
a
Notemos que Nf0 (x) =
1 − 2 , luego Nf0 (x) = 0 para
2
x
√
x = a, es decir, la solución del problema. Como vimos, la
√
propiedad Nf0 ( a) = 0 hace que el método de Newton converja
rápidamente a la solución cuando elegimos la condición inicial x0
en forma conveniente.
En general, tenemos
√
√
1
a
xn +
− a
xn+1 − a =
2
xn
√
1
(xn − a )2
2xn
√
y llamado a la diferencia xj − a el j–ésimo error en la
aproximación, el cual denotamos por ej , lo que tenemos entonces
es
1 2
en+1 =
e .
2xn n
=
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Si xn ≈
√
a, nos queda
1
en+1 ≈ √ e2n .
2 a
Esto significa numericamente, que en cada iteración la cantidad de
dı́gitos significativos se duplica.
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1
a
Ahora, gráficamente, Nf (x) =
x+
se ve como en la figura
2
x
abajo
En este ejemplo, es claro que considerando x0 > 0, las iteraciones
√
xn+1 = Nf (xn ) → a cuando n → ∞, y por otra parte, si
√
x0 < 0, las iteraciones xn+1 = Nf (xn ) → − a cuando n → ∞, y
que para x0 = 0, estas no están definidas.
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Resolviendo con el método de Newton una ecuación que
no tiene raı́ces reales
Consideremos el problema de resolver f (x) = 0, para
f (x) = x2 + 1, usando el método de Newton, en otras palabras
pidamósle al método de Newton lo imposible. Sabemos que esa
ecuación no tiene raı́ces reales, pero de todas formas veamos que
ocurre con las iteraciones dadas por el método de Newton en este
caso. Las iteraciones vienen dadas por la recurrencia
1
1
xn+1 = Nf (xn ) =
xn −
.
2
xn
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1
1
x−
y las iteraciones de un punto
El gráfico de Nf (x) =
2
x
x0 6= 0, se muestran en las figuras siguientes.
Como se aprecia en la segunda figura, las iteraciones se comportan
“aparentemente” sin ningún padrón determinado y tienen al
parecer un comportamiento caótico (concepto que no definimos
aún, pero intuitivamente ası́ nos parece).
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Usando un poco de trigonometrı́a básica busquemos una fórmula
más amigable para las iteraciones. Llamemos a
cos(θ)
x = cotan (θ) =
, entonces
sen (θ)
1
1
1 cos(θ)
sen (θ)
x−
=
−
2
x
2 sen (θ)
cos(θ)
=
cos(2θ)
sen (2θ)
= cotan (2θ) ,
en otras palabras
1
1
cotan(θ) −
= cotan(2θ) .
2
cotan(θ)
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Luego, si x0 = cotan(θ), x1 = cotan(2θ),
x2 = cotan(22 θ), . . . , xn = cotan(2n θ), como puede verse
fácilmente por inducción. En otras palabras en cada iteración
π
duplicamos el ángulo. Por ejemplo, para x0 = 1, se tiene θ = ,
4
π
π
luego 2θ = y x1 = 0 y 2 = π, ası́ x2 no está definido. Para
2
2
1
π
θ
x0 = √ , se tiene θ = , luego para x1 , θ = 2 y
3
3 3 −1
π
π
4π
1
2π
= √ , y 2 · 2 = 4 , luego cotan
=√ ,y
cotan
3
3
3
3
3
3
el ciclo x0 → x1 → x2 se repite indefinidamente. De este pequeño
análisis vemos que en este caso, aparecen muchos puntos donde las
iteraciones están definidas una cierta cantidad de veces, órbitas
que son ciclos, que llamaremos órbitas preiódicas o ciclos, e
iteraciones que estan siempre definidas, pero que aparentemente
no se acumulan en ningún punto o un conjunto finito de puntos,
incluso se ven densas en el gráfico.
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Ahora, si θ1 = θ0 + ε1 , donde ε es un error pequeño, entonces
2n θ1 = 2n θ0 + 2n ε, ası́ cuando n es suficientemente grande 2n ε es
grande y por lo tanto las iteraciones
xn+1 = cotan(2n θ0 ) e
yn+1 = cotan(2n θ1 )
pueden comenzar muy próximas pero finalmente terminan
separándose,
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Ahora, si θ1 = θ0 + ε1 , donde ε es un error pequeño, entonces
2n θ1 = 2n θ0 + 2n ε, ası́ cuando n es suficientemente grande 2n ε es
grande y por lo tanto las iteraciones
xn+1 = cotan(2n θ0 ) e
yn+1 = cotan(2n θ1 )
pueden comenzar muy próximas pero finalmente terminan
separándose, esto significa que estamos en presencia del fenómeno
de “dependencia sensitiva respecto de las condiciones iniciales”.
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Dinámica y Método de Newton
Conjugación Topológica
Uno de los conceptos básicos en el estudio de la dinámica de una
función es el de conjugación topológica. En lı́neas generales, una
conjugación topológica permite reducir el estudio dinámico de
algunas familias de funciones a algunas situaciones concretas.
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Dinámica y Método de Newton
Conjugación Topológica
Uno de los conceptos básicos en el estudio de la dinámica de una
función es el de conjugación topológica. En lı́neas generales, una
conjugación topológica permite reducir el estudio dinámico de
algunas familias de funciones a algunas situaciones concretas.
Definición
Sean f : D → D y g : E → E dos funciones. Decimos que ellas
son topológicamente conjugadas si existe un homeomorfismoa
ϕ : D → E tal que ϕ ◦ f = g ◦ ϕ. En este caso, ϕ se llama
conjugación topológica entre f y g.
a
Aplicación continua con inversa continua
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Teorema
Sean f : D → D y g : E → E dos funciones, y sea ϕ : D → E una
conjugación topológica entre f y g. Entonces
(a) ϕ−1 : E → D es una conjugación topológica entre g y f .
(b) ϕ ◦ f n = g n ◦ ϕ para todo n ∈ N.
(c) p es un punto periódico de f si y sólo si ϕ(p) es un punto
periódico de g. Además, p y ϕ(p) tienen perı́odos iguales. Por
otra parte, si p es un punto periódico de f y ϕ0 no se anula en
la órbita de p, entonces p y ϕ(p) tienen el mismo carácter
(atractor, repulsor, indiferente).
(d) Si p es un punto periódico de f con cuenca de atracción B(p),
entonces la cuenca de atracción de ϕ(p) es ϕ(B(p)).
(e) Los puntos periódicos de f son densos en D si y sólo si los
puntos periódicos de g son densos en E;
(f) f es caótica sobre D si y sólo si g es caótica sobre E.
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Ecuaciones cuadráticas: revisitadas
Supongamos que queremos resolver la ecuación cuadrática
f (x) = (x − a)(x − b) = 0, por el método de Newton. En este
caso, claramente conocemos las raı́ces de esta ecuación, pero lo
analizaremos para ilustrar como funciona globalmente el método
de Newton.
En este caso la función de iteración de Newton asociada a f está
2
x2 −ab
= 2x−(a+b)
. Para analizar
dada por Nf (x) = x − x −(a+b)x−ab
2x−(a+b)
globalmente los iterados de esta función, hacemos el siguiente
cambio de variables

by−a
 x = ϕ(y) = y−1 , si y 6= 1

y = ϕ−1 (x) =
x−a
x−b ,
si x 6= b .
Observemos que ϕ aplica y = 0 e y = +∞ en x = a y x = b ,
respectivamente. Tenemos y 2 = g(y) = ϕ−1 ◦ Nf ◦ ϕ(y).
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En efecto,

by−a
y−1
2
− ab



ϕ−1 ◦ Nf ◦ ϕ(y) = ϕ−1  
2 by−a
−
(a
+
b)
y−1
−1
= ϕ
=
by 2 −a
y 2 −1
by 2 −a
y 2 −1
by 2 − a
y2 − 1
−a
−b
= y 2 = g(y) .
Luego Nf es conjugada a la aplicación g(y) = y 2 .
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De esto tenemos:
i) si elegimos una condición inicial x0 a la derecha de a+b
2 , el
método de Newton converge a la raı́z mayor, digamos b ;
ii) si elegimos una condición inicial x0 a la izquierda de
método de Newton converge a la raı́z menor, a ;
a+b
2
iii) finalmente si elegimos la condición inicial x0 = a+b
2 , el
método de Newton no está definido en este punto.
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, el
Conducta global del método de Newton
Al aplicar el método de Newton, pueden surgir algunas
dificultades, por ejemplo:
(a) El método de Newton no está definido en los puntos para los
cuales la tangente a la gráfica de f es horizontal, es decir, en
los puntos donde la derivada se anula.
(b) El método de Newton puede converger, pero lo hace a una
raı́z distinta a la esperada. Puede ocurrir que tomando una
condición inicial, se esperarı́a convergencia del método de
Newton a la raı́z más próxima, pero de hecho puede hacerlo
hacia una raı́z más lejana.
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(c) El método de Newton no converge si la condición inicial
elegida está sobre una órbita periódica, por razones obvias,
una órbita periódica
{z , Nf (z) , · · · , Nfn−1 (z)}
sólo será considerada como tal cuando su perı́odo es mayor o
igual que 2.
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Ejemplo de Smale.
Sea f (x) = x3 − x +
√
2x3 −
√
2
2
. En este caso
2
2
q
Nf (x) = 3x2 −1 . Tenemos que f 0 (x) = 0 si y sólo si x = ± 13 .
En estos puntos la recta tangente al gráfico de f es horizontal, por
lo tanto, Nf tiene una ası́ntota vertival en esosnpuntos.oPor otra
√
√
parte, Nf (0) = 22 , y Nf ( 22 ) = 0 , es decir, 0 ,
órbita periódica de perı́odo 2 para Nf , y como
√
2
2
es una
0
Nf2 (x) = Nf0 (Nf (x)) · Nf0 (x)
f (Nf (x)) f 00 (Nf (x)) f (x)f 00 (x)
,
(f 0 (Nf (x)))2
(f 0 (x))2
=
se tiene
(Nf2 )0 (0)
=
√
√
2
) f 00 ( 22 )
2 √
(f 0 ( 22 ))2
f(
tiene que (Nf2 )0 (0) = 0 , luego
superatractora de Nf ,
Sergio Plaza
f (0) f 00 (0)
(f 0 (0))2
n
√ o
0 , 22
, y siendo f 00 (0) = 0 , se
es una órbita periódica
Dinámica del Método de Newton
lo que implica que existe un itervalo abierto I, con 0 ∈ I, de modo
que si elegimos condiones iniciales
en I, sus órbitas se mueven
√
ciclicamente cerca de 0 y de 2/2, y de hecho convergen a esa
órbita periódica, es decir, lim Nf2n (x0 ) = 0 y
n→∞
√
lim Nf2n+1 (x0 ) = 2/2 para todo x0 ∈ I.
n→∞
Gráfico de iteraciones de Nf , para f (x) = x3 − x +
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√
2/2
Dinámica del Método de Newton
Ejemplo. Sea f (x) = x3 − x . Las raı́ces de la ecuación f (x) = 0 ,
son, 0, 1 y −1 . La función de iteración de Newton para f es
3
Nf (x) = 3x2x2 −1 . Tenemos:
√
a) f 0 (x) = 0 si y sólo si x = ± 33 . Para estos valores de x el
método de Newton no está definido (no son los únicos valores
para los cuales el método de Newton de f no está definido,
existen muchos otros donde ocurre lo mismo, como veremos
más adelante);
b) para x0 = −0.515 , el método de Newton no converge a la
raı́z más próxima, x1 = −1 , si no que lo hace a la raı́z x2 = 1;
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Dinámica del Método de Newton
c) Para ver si Nf tiene órbitas periódicas, por simetrı́a,
busquemos un punto x tal que Nf (x) = −x , es decir,
2x3
= −x ; de aquı́ obtenemos x = 0 o x = ± √15 . El
3x2 −1
punto x0 = 0 es un punto fijo (superatractor) de Nf , y los
puntos x1 = √15 y x2 = − √15 forman una órbita periódica de
perı́odo 2, la cual es repulsora, pues (Nf2 )0 √15 = 36.
√
Gráfico de iteraciones de Nf , con x0 = 1/ 5
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Dinámica del Método de Newton
Propiedades básicas de la función de iteración de Newton
En lo que sigue, asumiremos que f : R −→ R es de clase C r ,
r > 2.
Supongamos que f satisface la condición siguiente:
C.1. Si f 0 (x) = 0 entonces f 00 (x) 6= 0 ,
es decir, los puntos crı́ticos (máximos o mı́nimos) de f son no
degenerados.
Si f es de clase C n+1 y f (x0 ) = f 0 (x0 ) = · · · = f (n−1) (x0 ) = 0 ,
pero f (n) (x0 ) 6= 0 , redefinimos Nf en x0 como Nf (x0 ) = x0 , y
tenemos que Nf es de clase C 1 en una vecindad de x0 y
Nf0 (x0 ) = n−1
n .
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
En efecto, de la hipótesis vemos que f (x) = (x − x0 )n g(x) , con
g(x0 ) 6= 0 . Luego f 0 (x) = n(x − x0 )n−1 g(x) + (x − x0 )n g 0 (x) =
(x − x0 )n−1 (ng(x) + (x − x0 )g 0 (x)) y
f 00 (x) = (n − 1)(x − x0 )n−2 (ng(x) + (x − x0 )g 0 (x)) + (x −
x0 )n−1 (ng 0 (x) + g 0 (x) + (x − x0 )g 00 (x)) =
(n − 1)(x − x0 )n−2 (ng(x) + (n + 2)(x − x0 )g 0 (x) + (x − x0 )2 g 00 (x)) .
Ahora como,
Nf0 (x0 ) =
=
=
=
lim Nf0 (x)
x→x0
lim
f (x)f 00 (x)
(f 0 (x))2
lim
n(n − 1)(g(x))2
n2 (g(x))2
x→x0
x→x0
n−1
.
n
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Dinámica del Método de Newton
Ahora para simplificar nuestro estudio, en lo que sigue suponemos
que f satisface la condición C.1. y la siguiente condición.
C.2. Si f (x) = 0 , entonces f 0 (x) 6= 0 ,
esto es, si f (x0 ) = 0 entonces f es transversal al eje x en x0 ,
equivalentemente, f sólo tiene raı́ces simples.
La propiedad fundamental de la función de iteración de Newton,
Nf , de f es transformar el problema de encontrar raı́ces de la
ecuación f (x) = 0 en el problema de encontrar puntos fijos de
Nf . Las siguientes propiedades son básicas para el estudio de las
iteraciones de Nf .
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
(1) f (α) = 0 si y sólo si Nf (α) = α . Además, si f (α) = 0
entonces Nf0 (α) = 0 , luego lim Nfk (x) = α para todo x
k→∞
suficientemente próximo a α .
(2) Nf tiene una ası́ntota vértical en cada solución real x = c de
f 0 (x) = 0 .
Si c1 < c2 son raı́ces consecutivas de f 0 (x) = 0 , el intervalo
] c1 , c2 [ es llamado una banda (acotada) para Nf . Si
f 0 (x) = 0 tiene una mayor (resp. menor) raı́z c (resp. b), el
intervalo ] c , +∞ [ (resp. ] − ∞ , b[ ) es llamado una banda
extrema para Nf .
(3) Si ] c1 , c2 [ es una banda para Nf que contiene una raı́z de
f (x) = 0 , entonces lim Nf (x) = +∞ y
x→c+
1
lim Nf (x) = −∞ . En efecto, tenemos dos posibilidades
x→c−
2
para el gráfico local de f en el intervalo ] c1 , c2 [ como
muestran las figuras abajo.
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Dinámica del Método de Newton
En el primer caso, para x ∈ ] c1 , x0 [ , f (x) > 0 y f 0 (x) < 0 .
+
Luego Nf (x) = x − ff0(x)
(x) −→ +∞ cuando x −→ c1 . En el
intervalo ] x0 , c2 [ , f (x) < 0 y f 0 (x) < 0 . Luego
−
Nf (x) = x − ff0(x)
(x) −→ −∞ cuando x −→ c2 . El segundo caso es
completamente análogo.
(4) Si ] c1 , c2 [ es una banda para Nf , la cual no contiene raı́ces
de f (x) = 0 , entonces lim Nf (x) = lim Nf (x) = ±∞ .
x→c+
1
x→c−
2
En efecto, basta observar las gráficas de f (figuras abajo) en
este caso para deducir a partir de esto el resultado.
(5) Los puntos extremos locales de Nf , si f 0 (x) 6= 0, son los
puntos para los cuales f (x) = 0 o f 00 (x) = 0, esto es, los
ceros y los puntos de inflexión de f . En efecto, tenemos que
f 00 (x)
Nf0 (x) = f (x)
= 0 si, sólo si, f (x) = 0 o f 00 (x) = 0.
(f 0 (x))2
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Dinámica del Método de Newton
(6) Si una banda para Nf no contiene una raı́z de f (x) = 0
entonces una de las bandas adyacentes o una banda extrema
no contiene raı́ces de f (x) = 0 . Esta propiedad
frecuentemente vale también para bandas extremas. Una
condición suficiente para que esta propiedad sea verdadera
para bandas extremas es que f 00 (x) sea siempre acotada
desde 0 cuando |x| −→ +∞ . Por ejemplo los polinomios
tienen esta propiedad, sin embargo esta falla para
f (x) = xe−x . En este caso tenemos que f (x) = 0 si, y sólo
si x = 0 . Además, f 0 (x) = e−x (1 − x) . Luego las ası́ntotas
de Nf , que son las soluciones de f 0 (x) = 0 , se reducen a
−x
x2
x2
= x−1
.
solamente x = 1 , y Nf (x) = x − e−xxe(1−x) = − 1−x
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Dinámica del Método de Newton
Note que si x > 1, entonces lim Nfn (x) = +∞ y si x < 1
n→∞
entonces lim Nf (x) = 0, esto es, la cuenca de atracción de la raı́z
n→∞
α = 0 es el intervalo ] − ∞, 1[ . En este ejemplo ocurre un
fenómeno curioso, si elegimos la condición inicial x0 tal que
Nf (x0 ) sea negativo y grande en valor absoluto, la convergencia de
las iteraciones es casi lineal cuando estamos lejos de 0.
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Dinámica del Método de Newton
Evidentemente cerca de cero la convergencia es rápida, como
vimos se satisface en+1 = Ke2n , donde en es el error en el paso n,
esto es tiene convergencia cuadrática por lo menos. Esto
comprueba que la convergencia cuadática del método de Newton
es una propiedad local y no global.
Finalmente de las propiedades (1)–(6) el gráfico tı́pico de Nf , con
f que satisface C.1 y C.2 es como en la figura siguiente.
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Dinámica del Método de Newton
No convergencia de Nf : indefinición de las iteraciones
Ahora estudiaremos en más detalles la no convergencia de la
sucesión (Nfn (x))n∈N .
La manera más simple en que la sucesión Nfn (x0 )
deja de
n∈N
converger a una raı́z de f (x) = 0 es cuando ésta se vuelve
indefinida para algún n0 ∈ N , esto es, cuando existe n0 ∈ N , el
primero, tal que f 0 (xn0 ) = 0 . Esto significa que Nfn0 (x0 )
pertenece a una ası́ntota de Nf . El conjunto de tales puntos es
A(f ) = { x ∈ R : existe m = m(x) ∈ N tal que Nfm (x) ∈ Z(f 0 ) }
[
=
(Nf )−m (Z(f 0 )) ,
m∈N
donde Z(g) = { x ∈ R : g(x) = 0 } es el conjunto de los ceros
de la función g . Es claro que A(f ) es numerable y no denso.
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Dinámica del Método de Newton
Ahora, sea
B(f ) = { x ∈ R : lim Nfn (x) ∈ Z(f ) } .
n→∞
Desde el punto de vista computacional este es el conjunto que
más interesa. Estos dos conjuntos, A(f ) y B(f ) contienen
información que concierne a la parte más simple de la dinámica de
Nf . Por otro lado, C(f ) = R − (A(f ) ∪ B(f )) es el conjunto que
contiene la parte complicada de la dinámica de Nf .
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Decimos que un conjunto A es invariante por una función f si
f (A) = A.
Proposición
Los conjuntos B(f ) , A(f ) y C(f ) son Nf –invariantes.
Demostración.
1) B(f ) es invariante. Dado x ∈ B(f ) sea y = Nf (x) , entonces
lim Nfn (y) = lim Nfn+1 (x) ∈ Z(f ) , luego Nf (x) ∈ B(f ) , esto
n→∞
n→∞
es, B(f ) ⊆ Nf (B(f )) .
Recı́procamente, si y ∈ Nf (B(f )) existe x ∈ B(f ) tal que
y = Nf (x) y como lim Nfn (x) ∈ Z(f ) , viene que
n→∞
lim Nfn−1 (y) = lim Nfn (x) ∈ Z(f ) , luego Nf (B(f )) ⊂ B(f ) .
n→∞
n→∞
Claramente, B(f ) es abierto.
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Dinámica del Método de Newton
2) A(f ) es invariante. Dado x ∈ A(f ) existe m = m(x) ∈ N tal
que Nfm (x) ∈ Z(f 0 ) , es decir, Nfm−1 (Nf (x)) ∈ Z(f 0 ) , de donde
Nf (x) ∈ A(f ) luego A(f ) ⊂ Nf (A(f )) .
Recı́procamente, dado y ∈ Nf (A(f )) existe x ∈ A(f ) tal que
y = Nf (x) . Como x ∈ A(f ) existe m ∈ N tal que
Nfm (x) ∈ Z(f 0 ) , esto es,
Nfm−1 (y) = Nfm−1 (Nf (x)) = Nfm (x) ∈ Z(f 0 ) luego
Nf (A(f )) ⊂ A(f ).
Finalmente, como B(f ) y A(f ) son invariantes, el complemento
de su unión, que es C(f ) también lo es.
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Problema: Determinar la estructura topológica de C(f ) y
caracterizar la dinámica de Nf |C(f ) .
Mostraremos a continuación que bajo ciertas condiciones
adicionales, C(f ) , es no numerable y contiene infinitas órbitas
periódicas de Nf .
Lema
Toda banda ] c1 , c2 [ que contiene una raı́z p de f (x) = 0
contiene una órbita periódica de perı́odo 2 de Nf .
Demostración. Tomemos un intervalo I como muestra la figura
abajo. Se tiene que Nf (I) = [p , c2 [ y Nf2 (I) =] − ∞ , p] .
Luego, existe un intervalo cerrado K ⊂ I , tal que K ⊆ Nf2 (K) , y
de esto sigue el resultado en este caso. Para el caso restante el
razonamiento es análogo.
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Observación. Sea J = [a, p] , a = extremo derecho de I.
Entonces para cada n ∈ N , Nfn (J) ⊂ J y para cada x ∈ J ,
lim Nfn (x) = p .
n→∞
Lema
Sea g : D ⊂ R −→ R . Supongamos que I1 , . . . , Ik , k > 2 son
intervalos compactos disjuntos dos a dos, y que para cada
j = 1, 2, . . . , k , g|Ij es continua. Si para cada m ,
∪kj=1 Ij ⊂ g(Im ) , entonces g tiene puntos periódicos de todos los
perı́odos. De hecho para cada n ∈ N existen k n puntos que
satisfacen la ecuación g n (x) = x , y la clausura del conjunto de los
puntos periódicos es no numerable e invariante.
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Demostración. De la hipótesis, para cada j ∈ {1, . . . , k} y
n ∈ N , existe un intervalo compacto Kn,j en Ij tal que
Kn,j ⊂ g n (Kn,j ) . Luego existe x ∈ Kn,j tal que g n (x) = x . De
hecho tenemos más puntos. Sea
Σ(n; k) = { (xi )ni=0 : xi ∈ {1, . . . , k} } . Dada una sucesión
(xi )ni=0 ∈ Σ(n; k) , existe un intervalo J ⊂ ∪kj=1 Ij tal que
(i) g i |J es continua, 0 6 i 6 n , y
(ii) g i (J) ⊂ Ixi , 0 6 i 6 n . De hecho g n (J) = Ixn .
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Dinámica del Método de Newton
De (i) y (ii), si x0 = xn , g n aplica J sobre si mismo, luego g n
tiene un punto fijo p((xi )) ∈ J . Además, si (yi )ni=0 es otra
sucesión en Σ(n; k) tal que y0 = yn pero yj 6= xj para algún
j ∈ {1, · · · , k} , entonces como los intervalos Ii son disjuntos dos
a dos, de la propiedad (ii) sigue que p((xi )) 6= p((yi )) . Luego el
número de puntos fijos de g n es al menos tan grande como el
número de sucesiones (xi )ni=0 ∈ Σ(n; k) , con x0 = xn , y este
último número es precisamente k n .
Para demostrar la última parte del lema, observe que el conjunto
Σ(∞, k) = { (xi )∞
i=0 : xi ∈ {1, . . . , k}} es no numerable. Ahora
la propiedad de la intersección finita para conjuntos compactos
garantiza que dada una sucesión (xi )∞
i=0 ∈ Σ(∞, k) existe al
Sk
∞
menos un punto q((xi )i=0 ) ∈ j=1 Ij , con g i (q((xi )∞
i=0 )) ∈ Ixi ,
i = 0, 1, . . .. Además, se tiene que el conjunto de sucesiones
periódicas en Σ(∞, k) es denso.
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Dinámica del Método de Newton
La siguiente proposición, es una generalización de un resultado
probado por Barna en 1956 para polinomios de grado n > 4 , con
coeficientes reales y con n raı́ces reales distintas.
Proposición
Supongamos que f satisface las condiciones C.1 y C.2 , y tiene
al menos 4 raı́ces reales distintas. Entonces Nf tiene puntos
periódicos de todos los perı́odos. Además, A(f ) ∪ C(f ) (esto es,
el conjunto de puntos que no convergen a una raı́z de f ,
equivalentemente el conjunto de puntos que no convergen a un
punto fijo de Nf ) es no numerable.
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Dinámica del Método de Newton
Demostración. Si una banda B contiene un punto fijo de Nf
entonces Nf (B) = R. Como f tiene al menos 4 raı́ces existen al
menos dos de esas bandas; las otras dos pueden ser bandas
extremas. Luego podemos elegir subintervalos compactos I1 e I2
de esas bandas, los cuales satisfacen las hipótesis del lema anterior,
por lo tanto existen puntos periódicos de todos los perı́odos.
Para mostrar que existe una cantidad no numerable de puntos que
no convergen a puntos fijos de Nf note que
∞
S = { (xi )∞
i=0 ∈ Σ(∞; 2) : (xi )i=0 no es eventualmente constante}
es no numerable; ((xi )∞
i=0 ∈ Σ(∞; 2) es eventualmente constante
si existe m ∈ N tal que xm = xm+1 = · · · ). Tenemos entonces
que S es no numerable, pues para cada m ∈ N , el conjunto
Em = { (xi )∞
i=0
S∞∈ Σ(∞; 2) : xm = xm+1 = · · · } es numerable,
por lo tanto m=0
S Em también lo es, y ∞
S = Σ(∞; 2) − ∞
m=0 Em . Ahora, si (xi )i=0 ∈ S , para el punto
q((xi )∞
)
dado
por
el lema anterior, (Nfn (q((xi )∞
i=0
i=0 )) no
converge a ningún punto fijo de Nf .
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Dinámica del Método de Newton
Para el caso de polinomios de grado mayor o igual que 4 con
coeficientes reales y n raı́ces reales distintas, se tiene un poco más.
Teorema
(Barna (1956)- M. Cosnard & M. Masse (1983)) Sea f un
polinomio de grado n con coeficientes reales. Suponga que
n > 4 , y que f tiene n raı́ces reales distintas. Entonces
(i) C(f ) es un conjunto de Cantor con medida de Lebesgue
cero, y
(ii) C(f ) contiene órbitas periódicas de todos los perı́odos de
Nf . Además, para cada x ∈ C(f ) , Nf0 (x) < −1 .
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
El teorema anterior garantiza, bajo sus hipótesis, que para casi
todo x ∈ R los iterados Nfn (x) convergen para alguna raı́z de f ,
pues C(f ) ∪ A(f ) tiene medida de Lebesgue cero (A(f ) es
numerable). Más aún, el conjunto C(f ) es repulsor, luego
inaccesible computacionalmente, pues desde el punto de vista
numérico sólo es posible, aunque muy poco probable, acceder a
trayectorias muy largas.
Definamos ahora números α y β como sigue:
(1) α es el número de bandas extremas de Nf que:
(i) no contienen puntos fijos de Nf , y que
(ii) son aplicadas en R por Nf .
Es claro que α = 0, 1 o 2.
(2) β es el número de bandas de Nf que contienen puntos fijos
de Nf .
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Teorema
Sea f como antes. Si α + β > 2 , existe un conjunto no
numerable de puntos x tales que Nfn (x) no converge a ningún
punto fijo de Nf . Además, si β > 1 entonces Nf tiene puntos
periódicos de todos los perı́odos.
Demostración. Si β = 0 entonces α = 2 (ver figura abajo) luego
Nf no tiene puntos fijos, y lo afirmado es trivial.
Si β > 2 el resultado sigue de la proposición 8.
Los casos restantes son α = 1 ó 2 y β > 1 . En estos casos existe
al menos una banda extrema B con Nf (B) = R (ver figura
abajo), y podemos elegir intervalos I1 ⊂ B e I2 contenido en una
banda que contiene un punto fijo de Nf , tales que
I1 ∪ I2 ⊂ Nf (I2 ) y I1 ∪ I2 ⊂ Nf (I1 ). La prueba ahora sigue como
en el lema 6.
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Observaciones.
1) En el caso α = 2 y β = 0 en el Teorema, Nf tiene puntos
periódicos de todos los perı́odos. Para probar esto es
necesario usar otras técnicas. Por ejemplo en la figura anterior
, Nf3 (I1 ) ⊃ I1 , luego existe un punto periódico de perı́odo 3 y
por el Teorema de Li y Yorke, ver [27], existen puntos
periódicos de todos los perı́odos.
2) Es posible que Nf tenga puntos periódicos de todos los
perı́odos, aún cuando α + β = 0.
(i) B2 ⊂ Nf (B1 ) y B4 ⊂ Nf (B1 ); ( Nf (J) = B2 y
Nf (I) = B4 ).
(ii) B1 ⊂ Nf (B2 ); ( Nf (K) = B1 ).
(iii) B1 ⊂ Nf (B4 ) , B2 ⊂ Nf (B4 ). (Nf (L) = B1 ,
Nf (M ) = B2 ).
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
3) Si f 00 (x) es siempre acotada desde 0 cuando |x| es grande y
x pertenece a una banda extrema, entonces la condición 1 (i)
anterior implica la condición 1 (ii). En particular, cuando f
es un polinomio de grado > 2 , la condición anterior es válida.
En efecto, si B = ]c , ∞[ (el otro caso es similar) la hipótesis
sobre f 00 implica que ambas f y f 0 tienden a ∞ o ambas
tienden a −∞ cuando x −→ ∞ , luego para x grande ff0(x)
(x)
es positivo, y por lo tanto Nf (x) < x para todo x > c .
Tenemos que lim Nf (x) = −∞ . Por otra parte, como
x→c+
lim f 0 (x) = ±∞ , la regla de L’Hopital muestra que
x→∞
lim Nf (x) = +∞ .
x→∞
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
No convergencia de Nfk : existencia de órbitas periódicas
atractoras
Desde el punto de vista de la dinámica, los resultados anteriores
son satisfactorios, pues ellos indican que para muchas funciones f ,
la función de iteración de Newton Nf tiene dinámica complicada,
incluyendo una cantidad no numerable de puntos x para los cuales
Nfk (x) no converge a una raı́z de la ecuación f (x) = 0, y por otra
parte este conjunto puede ser pequeño en el sentido de la medida
de Lebesgue, más aún puede tener medida cero. En tal caso no
debemos esperar (en sentido probabilı́stico) encontrar en la
práctica tales puntos de no convergencia.
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Ahora centraremos la atención en la existencia de órbitas
periódicas atractoras (recuerde que no estamos considerando como
órbitas periódicas a los puntos fijos). Si Nf tiene órbitas
periódicas atractoras, entonces existe un intervalo abierto I tal
que, si x ∈ I , se tiene que Nfk (x) no converge a una raı́z de f .
Luego los puntos de I son bien comportados desde el punto de
vista de la dinámica, pero mal comportados desde el punto de vista
de las iteraciones del método de Newton.
Probablemente, el resultado más antiguo en esta área es el de
Barna, el cual nos dice que si f es un polinomio con coeficientes
reales de grado mayor o igual que cuatro, con todas sus raı́ces
reales y distintas, entonces Nf no tiene órbitas periódicas
atractoras. Para otro tipo de funciones, de hecho pueden existir
órbitas periódicas atractoras.
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
En algunos de los ejemplos anteriores sólo mostramos los gráficos,
y nos podemos plantear la siguiente pregunta. Este tipo de gráfico
¿corresponde al gráfico de Nf para alguna f ?
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
La respuesta es dada por el siguiente
Teorema
Sea g : R −→ R que satisface
1) g es de clase C 2 , excepto en un número finito de puntos
{ ci }ki=1 , en los cuales g no está definida, y
lim |g(x)| = +∞ ,
x→ci
2)
lim g(x) = − lim g(x) ,
x→c+
i
x→c−
i
3) g tiene un número finito de puntos fijos, cada uno de los
cuales es un punto crı́tico de g, y cualquier par de esos puntos
es separado por un elemento de { ci }ki=1 , y
4) g sólo tiene un número finito de puntos crı́ticos.
Entonces existe una función de clase C 1 , f : R −→ R tal que
g = Nf .
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Como consecuencia del teorema anterior tenemos la siguiente
Proposición
Dado k > 1 , existen polinomios cuyas función de iteración de
Newton tienen órbitas periódicas atractoras de perı́odo k .
Demostración. Del teorema anterior, del teorema aproximación
de funciones diferenciable por polinomios (Stone–Weierstrass), y
de la estabilidad de las órbitas periódicas atractoras por
perturbaciones C 1 el resultado sigue.
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Dinámica de la aplicación de Newton para polinomios
cuadráticos y cúbicos
Estudiaremos la dinámica de la función de iteración de Newton
para polinomios de grado 2 y 3. Usaremos fundamentalmente la
conjugación de funciones de modo a reducir al máximo las
aplicaciones a estudiar, y que representen la dinámica de una gran
variedad de funciones.
Proposición
Sea p(x) = ax2 + bx + c un polinomio cuadrático. Entonces
2 +A
ax2 −c
Np (x) = 2ax+b
es conjugado a Nq (x) = x 2x
donde
q(x) = x2 − A y A = b2 − 4ac .
Demostración. Consideremos la aplicación τ (x) = 2ax + b .
Desarrollando τ ◦ Np ◦ τ −1 (x) se obtiene lo pedido.
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Como consecuencia inmediata vemos que para conocer la dinámica
de la función de iteración de Newton de polinomios cuadráticos,
tenemos que conocer la dinámica de la familia a 1–parámetro
pλ (x) = x2 − λ , y para ésta tenemos
Proposición
Si q(x) = x2 − c2 , con c > 0 , entonces Nq tiene puntos fijos en
±c , ambos superatractores. Además, Bc = ] 0, ∞ [ y
B−c = ] − ∞, c [ .
Demostración. Inmediata a partir del análisis gráfico de la
función de iteración de Newton para q .
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Proposición
Si q(x) = x2 + c2 , con c 6= 0 , entonces Nq es caótica sobre
] − ∞, 0 [ ∪ ] 0, ∞ [ .
Para el caso q(x) = x2 , se tiene Nq (x) = x2 y la convergencia a la
raı́z 0 de q(x) = 0 es lineal.
Para polinomios cúbicos, la dinámica de la función de iteración de
Newton es más interesante. Veamos el siguiente
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Ejemplo
3
−1
Sea p(x) = x3 − 1.265x + 1 . Tenemos Np (x) = 3x2x
2 −1.265 .
Cuando comenzamos las iteraciones con x0 = 0 obtenemos
x0 = 0 , x1 = 0.79051 , x2 = −0.019675 , x3 = 0.79125 ,
x4 = −0.015043 , x5 = 0.79094 , x6 = −0.016973 ,
x7 = 0.79106 , x8 = −0.016232 , x9 = 0.79101 ,
x10 = −0.016527 , y vemos que la órbita de 0 por Np converge a
una órbita periódica atractora de perı́odo 2.
Para probar que existe una órbita periódica atractora para
3 −1
Np (x) = 3x2x
2 −1.265 , considere el intervalo I = [ −0.03 , 0.03 ] y
basta probar que
(a) Np (I) ∩ I = ∅ ,
(b) Np2 : I −→ I , y
(c) |(Np2 )0 (x)| < 1 para todo x ∈ I .
Lo que no es dı́ficil de hacer.
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Ahora consideremos los polinomios cúbicos,
p(x) = ax3 + bx2 + cx + d y q(x) = x3 + Bx + C . Tenemos,
2ax3 + bx2 − d
2x3 − C
y
N
(x)
=
.
q
3ax2 + 2bx + c
3x2 + B
Sea, τ (x) = 3ax + b . Queremos encontrar los coeficientes B y
C de q tales τ ◦ Np = Nq ◦ τ . Tenemos que
Np (x) =
τ ◦ Np (x) =
6a2 x3 + 6abx2 + 2b2 x + bc − 3ad
3ax2 + 2bx + c
y
54a3 x3 + 54a2 bx2 + 18ab2 x + 2b3 − C
.
27a2 x2 + 18abx + 3b2 + B
De ahı́, si elegimos 2b3 − C = 9a(bc − 3ad) , es decir,
C = 2b3 − 9a(bc − 3ad) , y 3b2 + B = 9ac , tenemos entonces
Nq ◦ τ (x) =
54a3 x3 + 54a2 bx2 + 18ab2 x + 9a(bc − 3ad)
27a2 x2 + 18abx + 9ac
= τ ◦ Np (x) .
Nq ◦ τ (x) =
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Por lo tanto, hemos probado el siguiente
Teorema
Sean p(x) = ax3 + bx2 + cx + d , a 6= 0 , y q(x) = x3 + Bx + C ,
donde B = 9ac − 3b2 y
C = 2b3 − 9a(bc − 3ad) = 27a2 d + 2b3 − 9abc . Entonces
τ (x) = 3ax + b es una conjugación global entre Np y Nq .
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Ahora, tenemos la siguiente
Proposición
Sean f (x) = x3 + ax + b3 , b 6= 0 y g(x) = x3 + cx + 1 , donde
c = ba2 . Entonces τ (x) = xb es una conjugación global entre Nf y
Ng .
Demostración. Basta desarrollar la ecuación de conjugación
τ ◦ Nf = Ng ◦ τ , lo cual es dejado como ejercicio al lector.
Caso B 6= 0 , C 6= 0 arriba, haciendo
C
2b3 − 9a(bc − 3ad)
√
µ= √
=
,
( 3 9ac − 3b2 )2
( 3 B )2
se tiene que Np es globalmente conjugada a la función de
iteración de Newton, Nµ , del polinomio hµ (x) = x3 + µx + 1 .
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Si C = 0 y B 6= 0 , considerando la familia a 1–parámetro de
polinomios cúbicos kγ (x) = x3 + γx , vemos que la dinámica de la
función de iteración de Newton Nγ de kγ , es globalmente
conjugada a la dinámica de la función de iteración de Newton de
uno de los siguiente polinomios:
(1) p+ (x) = x3 + x , caso γ > 0 ,
(2) p− (x) = x3 − x , caso γ < 0 , y
(3) p0 (x) = x3 , caso γ = 0 .
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Descripción de cuencas de atracción en el método de
Newton
Estudiaremos cómo se relacionan las diferentes cuenca de atracción
de los ceros de una función f . En general, ellas se entremezclan,
dando lugar a una estructura muy complicada en la recta.
Recordemos que un cero x∗ de f tiene multiplicidad m > 1 si
f (x) = (x − x∗ )m f (x)
donde g(x∗ ) 6= 0. Un cero de multiplicidad 1 es llamado un cero
simple de f . Si x∗ es un cero de multiplicidad m > 2, se tiene que
Nf no está definida en x∗ , pues en este caso f 0 (x∗ ) = 0, sin
embargo ya vimos que la definición de Nf puede ser extendida de
modo a incluir tales ceros. Los ceros de multiplicidad finita de f
son precisamente los puntos fijos de Nf .
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Todos esos puntos fijos son atractores, pues
Nf0 (x) =
f (x)f 00 (x)
.
f 0 (x)2
Por lo tanto, si m = 1, entonces Nf0 (x∗ ) = 0, en otras palabras los
ceros simples de f son puntos fijos superatractores de Nf , y si
m > 2, entonces
m−1
Nf (x∗ ) =
< 1,
m
esto es los ceros multiples son puntos fijos atractores, pero no
superatractores, para Nf .
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Cuencas de atracción
Recordemos que la cuenca de atracción de un cero α de f es el
conjunto
B(α) = {x0 ∈ R : Nfn (x0 ) → α ,
cuando n → ∞} .
La cuenca de atracción inmediata de α el mayor intervalo abierto
B0 (α) ⊆ B(α) que contiene a α. La cuenca de atracción de α es
la unión de todas las preimágenes de la cuenca inmediata, es decir,
[
B(α) =
Nf−n (B0 (α)) .
n>1
Por ejemplo, para f (x) = x2 − 1, se tiene
B(1) = {x ∈ R : x > 0}, B(−1) = {x ∈ R : x < 0}, y para
x = 0, Nf no está definida.
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Las cuencas de atracción pueden exhibir una estructura geométrica
muy complicada.
Veamos un ejemplo especı́fico. Consideremos la función
f (x) = (x − 2)(x − 1)x(x + 1)(x + 2) = x5 − 5x3 + 4x, cuyos
ceros son α1 = −2, α2 = −1, α3 = 0, α4 = 1 y α5 = 2. Notemos
que f tiene una ası́ntota vertical en cada cero de f 0 que son
a1 ' −1.644432868, a2 ' −0.5439122559, a3 ' 0.5439122559 y
a4 ' 1.644432868.
Tomemos x0 = 0.65, en este caso la sucesión de iterados
xn+1 = Nfn (x0 ) → α3 = 0, y para x0 = 0.66, la sucesión de
iterados xn+1 = Nf (x0 ) → α4 = 1, mientras que para un punto
intermedio, digamos x0 = 0.653, la sucesión de iterados converge a
α5 = 2.
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Iteraciones de Nf , con x0 = 0.65
Iteraciones de Nf , con x0 = 0.66
Iteraciones de Nf , con x0 = 0.653
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Como puede verse, graficamente la situación es más bien
complicada y es difı́cil de decidir hacia que cero de f , la sucesión
de iterados xn+1 = Nfn (x0 ) converge.
De hecho, Barna probó que si f es un polinomio de grado al menos
4 y que tiene todos sus ceros reales y simple, el conjunto de
condiciones iniciales que no convergen a un cero de f es un
conjunto de Cantor.
Sobre este conjunto, la dinámica del método de Newton es caótica
(ver [43]). Por otra parte Wong ([52]) extendió el teorema de
Barna de modo a incluir ceros múltiples. El caso es peor, como
mostraron Curry, Garnett y Sullivan ([12]), cuando ceros complejos
son permitidos, en esta situación el método de Newton puede fallar
a converger para intervalos abiertos de condiciones iniciales.
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Por ejemplo, consideramos el polinomio f (x) = x3 − 2x + 2,
debido a Smale, para el cual x0 = 0 y x1 = 1 forman una órbita
periódica superatractora, por lo tanto, existe un intervalo abierto
I0 conteniendo a x0 y al menos al intervalo ] − 0.1, 0.1 [ , de modo
que cada x0 ∈ I0 , los iterados xn+1 = Nfn (x0 ) se mueven
cı́clicamente siguiendo las iteraciones
x0 → x1 → x0 → x1 → · · ·
y aproximándose a ella.
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Para describir la geometrı́a de las cuencas de atracción, vamos a
necesitar del siguiente resultado.
Lema
Sea f un polinomio de grado d. Supongamos que f sólo tiene
ceros reales (repetidos o no) z1 < z2 < · · · < zk y sean
c1 < c2 < · · · < ck−1 los puntos crı́ticos de f , que no son ceros de
f . Entonces las cuencas de atracción inmediata de los ceros tienen
las siguientes formas
(i) Las cuencas de atracción inmediata de z1 y de zk son
B0 (z1 ) = ] − ∞, c1 [ y B0 (zk ) = ]ck−1 , +∞[ .
(ii) Para 2 6 i 6 k − 1, la cuenca de atracción inmediata de zi es
el intervalo B0 (zi ) = ]li , ri [ , donde {li , ri } es el 2–ciclo de Nf
tal que li < zi < ri .
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Demostración. Tenemos que cada cero zi de multiplicidad mi
contribuye con un factor (x − zi )mi −1 para Nf , y tal cero no
contribuye con una ası́ntota vertical para Nf . Como f 0 tiene grado
d − 1, vemos que f 0 tiene k − 1 ceros que no son ceros de f , esos
son los puntos crı́ticos c1 , c2 , . . . , ck−1 , en los cuales Nf tiene una
ası́ntota vertical. Escribamos f en la forma
f (x) = a0 + a1 x + · · · + ad xd , y vemos que f tiene la ası́ntota
oblı́cua
d − 2 ad−1
d−1
x+
·
.
y=
d
d
ad
Para cada punto crı́tico c2 , c3 , . . . , ck−1 , las lı́neas tangentes al
gráfico de f cerca de ci muestran que lim Nf (x) = +∞ y
x→c+
i
lim Nf (x) = −∞.
x→c−
i
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
De modo análogo se ve que lim Nf (x) = −∞ y
x→c−
1
lim Nf (x) = +∞. Entre dos ası́ntotas verticales digamos ci y
x→c+
k−1
ci+1 , Nf tiene un mı́nimo local mi y un máximo local Mi y un
cero zi+1 de f , es decir, un punto fijo de Nf .
Si zi+1 es un cero simple, entonces zi+1 es un mı́nimo o un
máximo local. Si zi+1 es un cero múltiple, entonces es una punto
de inflexión entre mi y Mi .
Esto establece la forma básica del gráfico de Nf .
Para zi y zk+1 , ceros simples o múltiples de f , se tiene que, Nf es
concava en ] − ∞, c1 [ y convexa en ]ck+1 , +∞[ . Los ceros
simples son los extremos locales de Nf en esos intervalos.
Ahora mostraremos que cada intervalo ]ci , ci+1 [ contiene un
2–ciclo cuyos puntos extremos forman un intervalo que contiene a
zi+1 y los interados por Nf de los puntos interiores de ese intervalo
convergen a zi+1 .
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Finalmente, veremos que algunos puntos fuera del intervalo
determinado por el 2–ciclo al iterarlos convergen a otro lugar.
Para puntos x1 suficientemente próximo a zi+1 , se tiene que
|Nf2 (x1 ) − zi+1 | < |x1 − zi+1 |. Por otra parte, para x2 ligeramente
menor que el punto Nf−1 (ci+1 ) y que está en el intervalo ]ci , ci+1 [ ,
se ve que |Nf2 (x2 ) − zi+1 | > |x2 − zi+1 |.
Por continuidad de Nf en ]ci , ci+1 [ , existe un punto x3 entre x1 y
x2 tal que |Nf2 (x3 ) − zi+1 | = |x3 − zi+1 |. Desde la forma del
gráfico de Nf se ve que Nf2 (x3 ) = x3 . Por su construcción,
x3 = zi+1 . Luego {x3 , Nf (x3 )} = {li , ri } forma un 2–ciclo para
Nf en el intervalo ]ci , ci+1 [ . También, por construcción del
2–ciclo, puntos en ]li , ri [ al iterarlos por Nf permanecen dentro de
ese intervalo. Sin embargo, esos iterados podrı́an converger a otro
2–ciclo dentro de ]ci , ci+1 [ . Vamos a probar que ]ci , ci+1 [
contiene un único 2–ciclo para Nf .
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Supongamos que {li0 , ri0 } es otro 2–ciclo en ]ci , ci+1 [ , y que li0 < li .
Necesariamente, li0 < li < mi y Mi < Nf (li ) = ri < ri0 . Luego, por
el Teorema del Valor Medio.
li0 − li = Nf2 (li0 ) − Nf2 (li ) = (Nf2 )0 (ξ)(li0 − li )
para algún ξ entre li0 y li . Notemos que esto nos da (Nf2 )(ξ) = 1.
Recordando que Nf0 es creciente en ]ci , mi [ y decreciente en
]Mi , ci+1 [ , y negativa en ambos, y que li0 < ξ < li y
ri < Nf (ξ) < ri0 , vemos que Nf0 (ξ) < Nf0 (li ) y
Nf0 (ri ) > Nf0 (Nf (ξ)). De la Regla de la Cadena, tenemos
1 = (Nf2 )0 (ξ) = Nf0 (Nf (ξ))Nf0 (ξ) > Nf0 (Nf (ξ))Nf0 (li )
> Nf0 (Nf (li ))Nf0 (li ) = (Nf2 )0 (li ) .
m−1
, se tiene
m
2
0
0
0
entonces que (Nf ) (zi+1 ) = Nf (Nf (zi+1 ))Nf (zi+1 ) =
m−1 2
0
2
(Nf (zi+1 )) =
< 1.
m
Si zi+1 es un cero de multiplicidad m, Nf0 (zi+1 ) =
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Considerando que (Nf2 )0 (li ) < 1 y (Nf2 )0 (zi+1 ) < 1 tiene
implicancias sobre el gráfico de Nf2 entre li y zi+1 , y vemos que
existe algún punto η entre li y zi+1 , para el cual Nf2 (η) = η y
(Nf2 )0 (η) > 1. Como zi+1 es el único punto fijo de Nf en
]ci , ci+1 [ , η debe pertenecer a un 2–ciclo y luego ci < η < mi . De
li < η, y usando la Regla de la Cadena, vemos que
(Nf2 )0 (li ) > (Nf2 )0 (η). Como (Nf2 )0 (li ) < 1 y (Nf2 )0 (η) > 1,
obtenemos una contradicción. Luego, ]ci , ci+1 [ contiene un único
2–ciclo.
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Lema
Las cuencas de atracción de ceros distintos son disjuntas.
Demostración. Sean ]ai , bi [ y ]aj , bj [ intervalos en las cuencas
de atracción de dos ceros zi y zj , con bi 6 aj . Tenemos que
]ai , bi [ es una componente de Nf−m (B0 (zi )) y ]aj , bj [ es una
componente de Nf−n (B0 (zj )), para algunos m y n. Supongamos
que B0 (zi ) = ]li , ri [ y B0 (zj ) = ]lj , rj [ (el caso de cuencas
inmediatas semi–infinitas es tratado de modo análogo). Como el
gráfico de Nf es decreciente entre dos puntos crı́ticos consecutivos
de f y fuera de B0 (zk ), vemos que Nfm (ai ) y Nfm (bi ) es igual a li
o ri , de acuerdo a si m es par o impar, y Nfn (aj ) y Nfn (bj ) es
igual a lj o rj de acuerdo a si n es par o impar.
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Supongamos que bi = aj y n = m + k. Entonces Nfn (aj ) = lj o
rj y Nfn (bi ) = Nfm+k (bi ) = Nfk (de li o ri ) = li o ri , donde la
última igualdad se sigue pues {li , ri } es un 2–ciclo para Nf .
Consecuentemente, el supuesto bi = aj implica que uno de los lj y
rj es igual a uno de los li y ri . Esto es una contradicción pues
B0 (zi ) y B0 (zj ) son disjuntos.
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Ahora, mostraremos que la geometrı́a de las cuencas de atracción
puede ser muy intrincada.
Teorema
Sea f un polinomio con todos sus ceros reales y con al menos
cuatro ceros distintos, entonces las cuencas de atracción de los
ceros de f se entremezclan entre si.
Demostración. Sea ]ai , bi [ una componente de Nf−m (B0 (zi )) y
que ]aj , bj [ es una componente de Nf−n (B0 (zj )). Supongamos que
n > m y escribamos n = m + k. Por simplicidad, asumiremos que
ambas B0 (zi ) y B0 (zj ) son acotadas. Como las cuencas de la
atracción inmediata son acotadas por 2–ciclos, tenemos que
Nf (B0 (zi )) = B0 (zi ). Consecuentemente
Nfn ( ]ai , bi [ ) = Nfm+k ( ]ai , bi [ ) = Nfk (B0 (zi )) = B0 (zi ), y
analogamente, Nfn ( ]aj , bj [ ) = B0 (zj ).
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Para un intervalo dado ]c, b[ que no incluye una ası́ntota vertical
de Nf , tenemos que Nf−1 ( ]c, d[ ) es una unión de intervalos. El
intervalo ]aj , bj [ es obtenido desde B0 (zj ) seleccionando una
componente ]p, q[ de Nf−1 (B0 (zj )), entonces una componente de
Nf−1 ( ]p, q[ ), y ası́ sucesivamente. Podemos esperar a tener que
hacer un seguimiento de qué componente se producen en cada
nivel. (De hecho, esta es la aproximación por dinámica simbólica
usada por Wong). Sin embargo, aquı́ la situación es más simple, y
depende de dos observaciones.
Primero, supongamos que ]r, s[ , ]t, u[ y ] v, w [ son intervalos que
no contienen ası́ntotas verticales de Nf , y que ]t, u[ está entre
]r, s[ y ]v, w[ . Entonces una componente de Nf−1 ( ]t, u[ ) está
entre las componentes de Nf−1 ( ]r, s[ ) y Nf−1 ( ]v, w[ ) que están en
la misma componente (rama) del gráfico de Nf−1 . Esto se sigue de
la monotonocidad de cada rama de Nf fuera del intervalo
determinado por el 2–ciclo.
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Segundo, suponiendo que i 6= j entre B0 (zi ) y B0 (zj ) encontramos
una componente ]t, u[ de Nf−1 (B0 (zk )) para k 6= i, j sin tener en
cuenta cual componente de Nf−1 (B0 (zi )) y Nf−1 (B0 (zj )) estamos
usando para construir ]ai , bi [ y ]aj , bj [ , una componente de Nf−1 ,
está entre ellas. Continuamos aplicando Nf−1 , en cada etapa
encontramos una componente de Nf−q ( ]t, u[ ) entre las
componentes seleccionadas de Nf−q (B0 (zi )) y Nf−q (B0 (zj )).
El caso i = j en la segunda parte de la prueba y el caso de una o
ambas componentes de B0 (zi ) y B0 (zj ) no acotadas, se trata en
forma análoga.
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Caos en el método de Newton
Método de Newton y aplicación logı́stica
Comencemos por intentar calcular los ceros de la función
fµ (x) =
µx − µ + 1
µx
1
µ−1
,
con 0 6 x 6 1 y 1 < µ 6 4 .
Realizando los cálculos y con un poco de manipulación algebraica,
obtenemos que
Nfµ (x) = µx(1 − x) ,
(8)
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Denotemos Nfµ por `µ . Pasamos a anlizar un poco de lo que
ocurre con las iteraciones de puntos en en intervalo bajo Nfµ
Podemos asumir que 0 < µ 6 4, aunque para la función orignal
parametros en el rango 0 6 µ 6 1 no tienen sentido. Note que si
0 6 µ 6 4 , para puntos fuera del intervalo I = [0, 1] sus
iteraciones por `µ convergen a −∞ . Por lo tanto, sólo nos
interesarán los puntos de I . El máximo de la parábola ocurre para
x = 12 , y `µ ( 12 ) = µ4 . Luego `µ (I) = [0, µ4 ] y como µ 6 4 se
tiene que `µ (I) ⊆ I , es decir, `µ |I es una aplicación de I en si
mismo, y para simplificar la notación la continuamos llamando `µ .
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Note también que para cada µ se tiene que `µ (0) = 0 , `µ (1) = 0
y `0µ (0) = µ . Por lo tanto, si µ < 1 se sigue que `µ sólo tiene a 0
como punto fijo, el cual es atractor; además la órbita de cualquier
punto x0 ∈ ] 0, 1 [ tiende a x = 0 cuando n −→ ∞ . Para µ = 1 ,
el punto fijo x = 0 continúa siendo el único punto fijo, pero ahora
es atractor débil, es decir, `01 (0) = 1 , y atrae todas las órbitas de
] 0, 1 [ . Para µ > 1 , se tiene que x = 0 es punto fijo repulsor y
aparece
otro punto fijo xµ = (µ − 1)/µ . Ahora,
`0µ
µ−1
µ
= 2 − µ , luego 0 6 `0µ (xµ ) < 1 para 1 < µ 6 2 ,
mientras que −1 < `0µ (xµ ) < 0 para 2 < µ 6 3 , luego xµ es un
punto fijo atractor para 1 < µ < 3 . Por otra parte, para
2 < µ < 3 , las órbitas se aproximan por ambos lados a xµ
(aparece una “espiral” en el seguimiento de la órbita).
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Para µ > 3 , ambos puntos fijos 0 y xµ = (µ − 1)/µ son
repulsores. ¿Qué ocurre con las órbitas de los puntos de I ,
distintos de 0 y xµ ?
Considerando la aplicación `◦2
µ , vemos que su gráfico intersecta la
diagonal en otros dos puntos aparte de los puntos fijos de `µ .
Esto significa que existen puntos x1 , x2 tales que `µ (x1 ) = x2 y
`µ (x2 ) = x1 , esto es, aparece una órbita periódica de perı́odo 2 .
También nos referiremos a las órbita periódica de perı́odo k como
un k–ciclo, esta terminologı́a es bastante común en textos de
sistemas dinámicos, sobre todo en aquellos escritos por fı́sicos o
matemáticos aplicados.
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Para µ = 3 , el punto fijo xµ de `µ se descompone en el ciclo
atractor {x1 , x2 } . Para verlo, busquemos el valor para lo cual esto
ocurre
x = `µ (`µ (x)) = µ (µx(1 − x)) (1 − µx(1 − x)) .
Esta es una ecuación de cuarto grado cuyas raı́ces son los puntos
fijos y los puntos sobre la órbita periódica, los puntos fijos son
x = 0 y xµ = µ−1
µ . Para encontrar x1 , x2 , dividimos el polinomio
µ−1
por x x − µ , después de un poco de manipulaciones
algebraicas tenemos que
`µ (`µ (x)) − x
= −µ(µ2 x2 − µ2 x − µx + µ + 1)
µ−1
x x−
µ
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
y buscando las soluciones de esta ecuación cuadrática obtenemos
s
1
1
1
3
1
x1 , x2 = +
±
1−
.
1+
2 2µ 2
µ
µ
La estabilidad del ciclo depende del valor de (`2µ )0 (xj ) , j = 1, 2,
el cual
0 es el mismo para x1 y x2 . Ahora,
`2µ (xj ) = `0µ (`µ (xj )) · `0µ (xj ) = `0µ (x1 ) · `0µ (x2 ) . Resolviendo, la
desigualdad, √
|4 + 2µ − µ2 | < 1 para 0 6 µ 6 4 , encontramos que
3 < µ 6 1 + 6 ≈ 3.449489743. Para µ en este intervalo, la
órbita de cualquier punto del intervalo, excepto los puntos√fijos,
tiende al 2–ciclo atractor {x1 , x2 }. Ahora, para µ > 1 + 6 la
órbita periódica {x1 , x2 } es repulsora.
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
√
Para µ > 1 + 6 ≈ 3.4494... una órbita periódica atractora de
perı́odo 4 aparece.
Esta puede encontrarse numéricamente resolviendo `4µ (x) = x y
`2µ (x) 6= x . Se puede mostrar que esa órbita periódica de perı́odo
4 es atractora para 3.4495... < µ < 3.5441... y repulsora para
µ > 3.5441... . Para µ > 3.5441... una órbita periódica atractora
de perı́odo 8 emerge. Numéricamente esta se obtiene resolviendo
`8µ (x) = x y `4µ (x) 6= x . Esta órbita de perı́odo 8 es atractora
para 3.5441... < µ < 3.54644... y repulsora para µ < 3.54644... .
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Observemos ahora los valores para los cuales apareció una nueva
órbita periódica, de perı́odo el doble√de la que habı́a aparecido
antes: µ0 = 1 , µ1 = 3 , µ2 = 1 + 6 ≈ 3.4495... ,
µ3 ≈ 3.5441... , µ4 ≈ 3.5644.... Llamamos a este fenómeno
bifurcación de duplicación de perı́odo . El diagrama de bifurcación
para la aplicación logı́stica es mostrado en la figura siguiente
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Puede probarse que
µ∞ = lim µn = 3.5699... .
n→∞
Este punto marca la separación entre el regı́men de perı́odo y el
regimen caótico para esta familia cuadrática. Ahora focalizamos
nuestra atención en una pequeña parte de la teorı́a: una constante
universal asociada con la acumulación exponencial descrita arriba
aparecen. Esta es llamada constante de Feigenbaum y es dada por
δ = lim
n→∞
µn − µn−1
= 4.6692016091... .
µn+1 − µn
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Método de Newton y aplicación duplicación de ángulo
Consideremos la ecuación x2 + 1 = 0 e intentemos resolverla
utlizando el método de Newton, de antemano sabemos que no
tendremos éxito, pues no posee raı́ces reales. Pero veamos lo que
sucede en este caso.
Al aplicar el método de Newton a f (x) = x2 + 1, obtenemos
1
1
x−
(9)
Nf (x) =
2
x
Para ver mejor cuya gráfica se muestra a seguir
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Para visualizar mejor las iteraciones del método de Newton en este
caso, consideremos la aplicación G : R −→ ]0, 1[ definida por
1 1
G(x) = + arctan(x), cuya inversa es
2 π
π
G−1 (x) = tan (2x − 1) . Definamos la aplicación
2
N If = G ◦ Nf ◦ G−1 : ]0, 1[ −→ ]0, 1[ , la cual no está definida en
x = 0, x = 1/2 ni en x = 1, es fácil ver que se puede extender a
x = 0 y a x = 1, para x = 1/2, tenemos redefinir la función, por
ejemplo como N If (1/2) = 0.
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
En la figura abajo se aprecian las dos situaciones.
Aplicación de Newton en R
Aplicación de Newton en I = [0, 1]
La aplicación N If es entonces, módulo un cambio de coordenadas
la aplicación D : [0, 1] −→ [0, 1] dada por D(x) = 2x mod 1.
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Definición
Robinson) Una función es caótica un conjunto si
1
f es transitiva sobre tal conjunto
2
f tiene dependencia sensitiva respecto de las condiciones
iniciales.
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Ejemplo
La aplicación D(x) = 2x mod 1 es caótica sobre [0, 1]. Por lo
tanto, Nf es caótica.
En efecto,
Mostraremos primero que D es transitiva. Esto es equivalente a
probar que dados dos conjuntos abiertos U y V en [0, 1], existe un
entero positivo n, tal que Dn (U ) ∩ V 6= ∅. Esto se sigue del hecho
que D es expansiva, es decir, |D0 (x)| > λ > 1 para todo
x ∈ [0, 1]. Pues en este caso, cualesquier conjunto abierto es
alargadado en su longitud por 2 a cada iteración por D, por lo
tanto, los iterados de este eventualmente cubrirán todo el intervalo
[0, 1], y por lo tanto uno de sus iterados intersectará a V .
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Para mostrar que tiene dependencia sensitiva respecto de las
condiciones iniciales, basta ver que el exponente de Lyapunov, que
mide la razón exponencial a la cual órbitas vecinas se apartan, es
positivo. Este es determinado por la media del logaritmo natural
de la derivada a lo largo de una órbita, en otras palabras, para casi
todo x1 ∈ [0, 1],
λ =
lim
n→∞
Z
=
1
1 n
Σ
ln(|D0 (xj )|)
n j=1
ln(|D0 (x)|)dx
0
= ln(2)
la segunda expresión sigue del hecho que la medida de Lebesgue,
L , es una medida invariante y ergódica para D, y por lo tanto
podemos aplicar el Teorema Ergódico de Birkhoff.
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Polinomios cúbicos
Ya vimos que el estudio de las iteraciones de Nf para un polinomio
cúbico se reduce a las iteraciones de Nf para f• (x) = x3 ,
f( x) = x3 − x, f+ (x) = x3 + x o es un miembro de la familia
fr (x) = x3 + rx + 1. Para los primeros la dinámica ya fue descrita.
Para la familia de poliomios cúbicos fr , a seguir se muestra el
diagrama de bifrucación, análogo al de la aplicación cuadrática
anterior.
Diagrama de bifurcación
del método
de Newton
aplicado
a fr
Sergio Plaza
Dinámica
del Método
de Newton
Ciclos en el método de Newton
Mostraremos una técnica que nos permite construir ciclo para
algunos métodos iterativos, nos centraremos en el método de
Newton. De hecho nuestra técnica permite construir ciclos
superatractores para el método de Newton y otros.
Recordemos que un n–ciclo o ciclo de longitud n para una
aplicación F : R −→ R, es un conjunto finito de n puntos
distintos, O = {x1 , x2 , . . . , xn }, que satisface F (xi ) = xi+1 , para
i = 1, . . . , n − 1 y F (xn ) = x1 .
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Consideremos una función f : R −→ R, derivable. Al aplicar el
método de Newton, obtenemos una aplicación
Nf : Dom(Nf ) −→ R, definida por Nf (x) = x − f (x)/f 0 (x). Sin
perdida de generalidad vamos a suponer que Nf (xi ) = xi+1 para
i = 1, . . . , n − 1 y Nf (xn ) = x1 . Si esto ocurre, claramente O es
un n–ciclo para Nf . Ahora desde las igualdades
xi+1 = Nf (xi ) = xi − f (xi )/f 0 (xi ), para i = 1 . . . , n − 1 y
Nf (xn ) = x1 , despejando nos queda
f 0 (xi ) =
f (xn )
f (xi )
, i = 1, . . . , n−1 , y f 0 (xn ) =
(10)
xi − xi+1
xn − x1
resumiendo esto, hemos probado la sioguiente proposición
Proposición
Sea f : R −→ R derivable y sea O = {x1 , . . . , xn } ⊂ Dom(Nf ),
con xi 6= xj para todo i, j ∈ {1, . . . , n}. Entonces O es un n–ciclo
de Nf si y sólo si f satisface las ecuaciones (10)
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Usando técnicas de interpolación de funciones vamos a construir
polinomios con la propiedad deseada. Tenemos ası́, el siguiente
resultado.
Proposición
Para cada n > 2 existe un polinomio p de grado menor o igual que
2n − 1, tal que Np tiene un n–ciclo.
Demostración. Consideremos n puntos x1 , x2 , . . . , xn con la
propiedad que xi 6= xj si i 6= j para todo i, j ∈ {1, 2, . . . , n} y sean
y1 , y2 , . . . , yn otro n puntos. Por la Proposición (8) , si
f : R −→ R satisface f (xi ) = yi para i = 1, . . . , n y las
condiciones (10), entonces el conjunto O = {x1 , x2 , . . . , xn } es un
n–ciclo para Nf .
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Para construir el polinomio p usaremos interpolación de Hermite,
la cual nos permite construir p de grado a lo más 2n − 1 y que
satisface las condiciones


f (xi ) = yi , i = 1, . . . , n,






yi
 0
f (xi ) =
, i = 1, . . . , n − 1, y
(11)
xi − xi+1





yn


 f 0 (xn ) =
xn − x1
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Escribimos p como
p(x) = a1 p1 (x) + a2 p2 (x) + · · · + a2n p2n (x)
(12)
donde cada pi es un polinomio de grado i − 1, para i = 1, . . . , 2n,
y son definidos por
p1 (x)
p2 (x)
p3 (x)
p4 (x)
p5 (x)
=
=
=
=
=
..
.
1
p1 (x)(x − x1 ) = (x − x1 )
p2 (x)(x − x1 ) = (x − x1 )2
p3 (x)(x − x2 ) = (x − x1 )2 (x − x2 )
p4 (x)(x − x2 ) = (x − x1 )2 (x − x2 )2
(13)
p2i−1 (x) = p2i−2 (x − xi−1 )
p2i (x) = p2i−1 (x)(x − xi )
..
.
p2n−1 (x) = p2n−2 (x)(x − xn−1 )
p2n (x) = p2n−1 (x)(x − xn )
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Notemos que p2i−1 (xi ) = p2i−2 (xi )(xi − xi−1 ) 6= 0 y que
p2i (xi ) = p2i−1 (xi )(xi − xi ) = 0, esto nos dice que pj (xi ) 6= 0
para j 6 2i − 1 y que pj (x) = 0 para j > 2i.
Por otra parte, tenemos que p02i (x) = p02i−1 (x)(x − xi ) + p2i−1 (x),
de donde p02i (xi ) = p2i−1 (xi ) 6= 0 y
p02i+1 (x) = p02i (x)(x − xi ) + p2i (x), asi p02i+1 (xi ) = p2i (xi ) = 0 .
Luego, p0j (xi ) 6= 0 para j 6 2i y p0j (xi ) = 0 para j > 2i + 1. En
orden a determinar el polinomio p(x) debemos ser capaces de
calcular los coeficientes ai , para i = 1, . . . , 2n. Para ello, debemos
resolver un sistema de 2n ecuaciones con 2n incognitas, si es
posible hacerlo.
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
El sistema de ecuaciones asociado a nuestro problema es un
sistema triangular inferior, cuyas filas, para i = 1, . . . , n son como
sigue
A2i−1
A2i
=
=
p1 (xi ) p2 (xi ) p3 (xi ) · · ·
p01 (xi ) p02 (xi ) p03 (xi ) · · ·
Sergio Plaza
p2i−1 (xi )
0
p02i−1 (xi ) p02i (xi )
Dinámica del Método de Newton
0 0 ···
0 0 ···
0
0
Ası́ el sistema de ecuaciones lineales a resolver es dado por
AX = b, donde


y
1




 y1 
A1
a1
 x1 −x2 






..
A =  ...  , X =  ...  , y b = 

.



A2n
a2n
yn 
(14)
yn
xn −x1
este sistema tiene solución, pues el determinante de la matriz A es
no cero, para ello basta notar que la matriz A es triangular inferior
y que las componente de su diagonal son los elementos de la forma
p2i−1 (xi ) y p02i (xi ), los cuales son no nulos para i = 1, . . . , n. Esto
completa la prueba de la proposición.
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Ejemplo
Para ejemplificar lo anterior, construyamos un polinomio cuyo
método de Newton asociado tenga una órbita periódica de
perı́odo 3.
Para ello consideremos los datos

 x1 = 0, y1 = 1
x2 = 1, y2 = −1

x3 = 2, y3 = 1 .
es decir, estamos imponiendo al polinomio p(x) que p(0) = 1,
p(1) = −1 y p(2) = 1 y que sus derivadas en esos puntos
1
−1
1
satisfagan p0 (0) = 0−1
= −1, p0 (1) = 1−2
= 1, y p0 (3) = 2−0
= 12 .
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Ahora debemos construir los polinomios pi (x), i = 1, . . . , 6, los
cuales son dados como sigue:
p1 (x)
p2 (x)
p3 (x)
p4 (x)
p5 (x)
p6 (x)
=
=
=
=
=
=
1
p1 (x)(x − x1 ) = x
p2 (x)(x − x1 ) = x2
p3 (x)(x − x2 ) = x2 (x − 1)
p4 (x)(x − x2 ) = x2 (x − 1)2
p5 (x)(x − x3 ) = x2 (x − 1)2 (x − 2)
el polinomio buscado tiene la forma p(x) =
a1 + a2 x + a3 x2 + a4 x2 (x − 1) + a5 x2 (x − 1)2 + a6 x2 (x − 1)2 (x − 2)
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
y las filas de la matriz A del sistema de ecuaciones lineales
AX = b es
A1
A2
A3
A4
A5
A6
= p1 (x1 )
0
= p01 (x1 ) p02 (x1 )
= p1 (x2 ) p2 (x2 )
= p01 (x2 ) P20 (x2 )
= p1 (x3 ) p2 (x3 )
= p1 (x3 )0 p02 (x3 )
Sergio Plaza
0
0
0
0
0
0
0
0
p3 (x2 )
0
0
0
p03 (x2 ) p04 (x2 )
0
0
p3 (x3 ) p4 (x3 ) p5 (x3 )
0
p03 (x3 ) p04 (x3 ) p05 (x3 ) p06 (x3 )
Dinámica del Método de Newton
calculando las derivadas de los polinomios pi (x), i = 1, . . . , 6 y
evaluando pi (x)y p0i (x), obtenemos el sistema de ecuaciones
lineales
 



1
a1
1 0 0 0 0 0
 0 1 0 0 0 0   a2   −1 
 



 1 1 1 0 0 0   a3   −1 
=



 0 1 2 1 0 0   a4   1 
 



 1 2 4 4 4 0   a5   1 
0 1 4 8 12 4
a6
1
2
cuya solución es a1 = 1, a2 = −1, a3 = −1, a4 = 4, a5 = −5/2, y
a6 = 7/8. Por lo tanto, el polinomio buscado es
p(x) = 1 − x − x2 + 4x2 (x − 1) − 52 x2 (x − 1)2 + 78 x2 (x − 1)2 (x − 2).
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
La figura a continuacion muestra el gráfico de p y del método de
Newton asociado, Np , con el 3–ciclo (repulsor) O = {0, 1, 2}.
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Ahora veremos como obtener a partir del polinomio p(x) que fue
construido en la Proposición 9 otro polinomio tal que el n–ciclo
dado por la proposición sea superatractor. Pero antes de eso
veamos como caracterizamos el hecho que un n–ciclo sea
superatractor para el método de Newton.
Proposición
Sea p(x) un polinomio cuyo método de Newton tiene un n–ciclo,
O = {x1 , x2 , . . . , xn }. Si p00 (xi ) = 0 para algún i ∈ {1, 2, . . . , n},
entonces O es superatractor.
Demostración. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que
p00 (x1 ) = 0. Ahora, por la regla de la cadena
(Npk )0 (x) = Np0 (Npk−1 (x))Np0 (Npk−2 (x)) · · · Np0 (Np (x))Np0 (x) ,
y podemos suponer también que Np (xi ) = xi+1 para
i = 1, . . . , n − 1 y Np (xn ) = x1 .
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Aplicando lo anterior, tenemos
(Npn )0 (x1 ) = Np0 (xn )Np0 (xn−1 ) · · · Np0 (x2 )Np0 (x1 )
00
(x)
y como Np (x) = p(x)p
y estamos suponiendo que p00 (x1 ) = 0,
p0 (x)2
en la expresión para (Npn )0 (x1 ) el factor Np0 (x1 ) se anula, por lo
tanto (Npn )0 (x1 ) = 0, y el resultado está probado.
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Ahora tenemos el siguiente resultado que nos permite construir
ciclos atractores para el método de Newton.
Teorema
Para cada n > 2 existe un polinomio p(x) de grado menor o igual
a 2n de modo que Np (x) tiene un n–ciclo superatractor.
Demostración. Dado un conjunto O = {x1 , . . . , xn } de n puntos
distintos entre si, y dado otro conjunto de n puntos {y1 , . . . , yn },
usando la Proposición 9 cosntruimos un polinomio p(x) tal que O
es un n–ciclo para Np (x), el polinomio p(x) tiene la forma
p(x) = a1 p1 (x) + · · · + a2n p2n (x), definimos un nuevo polinomio
p̃(x) = p(x) + a2n+1 p2n+1 (x) ,
donde a2n+1 es un paramétro a determinar. Para la determinación
de a2n+1 imponemos la condición de que el n–ciclo O sea
superatractor para Np̃ (x).
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Notemos primero que la nueva condición no altera O, ya que
tenemos p2n+1 (xi ) = 0 para i = 1, . . . , n. Como queremos que O
sea superatractora para Np̃ (x), por la Proposición 10, nos basta
encontrar a2n+1 de modo que p00 (x1 ) = 0, imponiendo esta
condición y resolviendo para a2n+1 se tiene lo pedido.
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Continuación del ejemplo 5. Tenemos que
p(x) = 1 − x − x2 + 4x2 (x − 1) − 52 x2 (x − 1)2 + 78 x2 (x − 1)2 (x − 2),
luego
p̃(x) = 1 − x − x2 + 4x2 (x − 1) −
5 2
x (x − 1)2 +
2
7 2
x (x − 1)2 (x − 2) + a7 x2 (x − 1)2 (x − 2)2 .
8
Haciendo p̃ 00 (0) = 0, obtenemos a7 = 37/16. Luego el polinomio
p̃(x) = 1 − x −
115 3 385 4
37
x +
x − 13x5 + x6
8
16
16
es tal que Np̃ = 1/2(−460x3 + 1155x4 − 832x5 + 185x6 −
16)/(−8 − 345x2 + 770x3 − 520x4 + 111x5 ) tiene a O = {0, 1, 2}
como un 3–ciclo superatractor.
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Bifurcaciones en el método de Newton
En lo que sigue estudiaremos los cambios en la dinámica de la
aplicación de Newton, llamadas bifurcaciones, cuando la aplicación
f pierde una raı́z pasando a través de una tangencia cuadrática
con el eje x.
Sea g : R −→ R una aplicación de clase C r , r > 3 que satisface
las condiciones
C.1. Si f 0 (x) = 0 entonces f 00 (x) 6= 0
es decir, los puntos crı́ticos (máximos o mı́nimos) de f son no
degenerados.
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Por conveniencia, asumiremos que
g(0) = 0,
g 0 (0) = 0,
g 00 (0) > 0 .
Localmente, en una vecindad de 0, g tiene el gráfico como se ve
como una parábola cuadrática
Sea fµ (x) = g(x) + µ , las figuras para fµ se ven simplemente
como las traslaciones de una parábola cuadrática.
Denotemos Nfµ simplemente por Nµ .
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Localmente Nµ se ve como en la figura siguiente
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Ahora, como fµ (x) = g(x) + µ se tiene que fµ0 (x) = g 0 (x) .
g(x) + µ
µ
Luego Nµ (x) = x −
= Ng (x) − 0
y
g 0 (x)
g (x)
µg 00 (x)
(g(x) + µ)g 00 (x)
Nµ0 (x) = Ng0 (x) + 0
=
. Si g 0 (x) 6= 0
(g (x))2
(g 0 (x))2
1
∂
Nµ (x) = − 0
. Note que esta derivada no
entonces
∂µ
g (x)
depende del parámetro µ , y está bien definida cuando g 0 (x) 6= 0 .
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Por otra parte, existen puntos excepcionales (x0 , µ0 ) donde
∂
Nµ (x) no existe, por ejemplo, en (x0 , µ0 ) = (0, 0) . Esos
∂µ
puntos corresponden a puntos donde g 0 (x0 ) = 0 y µ0 = −g(x0 )
pues en ese caso, para µ = µ0 ambas fµ y fµ0 son ceros en
x = 0 . Note que las bandas de Nµ son, esencialmente,
independiente de µ y son las mismas que para Ng ; las únicas
excepciones ocurren en los valores del parámetro µ en los cuales
fµ tiene una raı́z que es también un punto crı́tico, es decir, para
(x0 , µ0 ) tales que fµ0 (x0 ) = 0 y fµ0 0 (x0 ) = 0 , es decir,
0 = fµ0 (x0 ) = g(x0 ) + µ0 y fµ0 0 (x0 ) = g 0 (x0 ) = 0 , o más
especı́ficamente
0
g (x0 ) = 0
µ0 = −g(x0 ) .
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Tenemos el siguiente lema
Lema
Sea I un intervalo compacto sobre el cual g 0 no se anula,
entonces cuando µ −→ 0 se tiene que Nµ converge a Ng y Nµ0
converge a Ng0 , siendo la convergencia en ambos casos uniforme.
Demostración. Tenemos que
Nµ (x) = Ng (x) −
Nµ0 (x) = Ng0 (x) +
µ
g 0 (x)
µg 00 (x)
(g 0 (x))2
y la prueba se sigue trivialmente.
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Para encontrar puntos periódicos atractores de una aplicación
1–dimensional (real o compleja) es conveniente seguir la órbitas de
los puntos crı́ticos de la aplicación. Para nuestro caso, existen al
menos dos razones para esto: primero si un punto crı́tico de Nµ es
periódico de perı́odo k entonces su órbita es superatractora;
segundo si Nµ es una función racional (cuociente de dos
polinomios sin factores comunes), cosa que ocurre por ejemplo
cuando g es un polinomio, entonces existe una fuerte conexión
entre las órbitas periódicas atractoras y los puntos crı́ticos de Nµ
dada por el siguiente teorema.
Teorema
(Julia) Si h es una función meromorfa definida sobre el plano
complejo, entonces cada órbita periódica atractora de h contiene
un punto crı́tico en su cuenca de atracción.
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
En lo que sigue estudiaremos las órbitas de los puntos crı́ticos de
Nµ cuando el gráfico de fµ pasa a través de una tangencia
cuadrática con el eje x en el punto (x, µ) = (0, 0) . Asumiremos
fµ (x)fµ00 (x)
que tal punto crı́tico existe. Tenemos que Nµ0 (x) =
,
(fµ0 (x))2
luego los puntos crı́ticos de Nµ , caso fµ0 (x) 6= 0 , son los puntos
donde fµ (x) = 0 (raı́ces de fµ ) o fµ00 (x) = 0 (puntos de
inflexión). Cuando un punto crı́tico de Nµ no es una raı́z de
fµ (x) = 0 diremos que es punto crı́tico libre. Como fµ00 = g 00 se
tiene que los puntos crı́ticos de Nµ son aquellos donde g 00 se
anula, es decir, genericamente, un punto de inflexión de g .
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Como g 00 (x) > 0 en una vecindad de x = 0 , la condición de
existencia de un punto crı́tico libre se puede formular de la
siguiente forma: existen puntos p < 0 < q tales que g 00 (p) = 0 y
g 00 (x) > 0 sobre ]p, q[ . Esto junto con la condición que impusimos
a g , es decir, g(0) = 0 , g 0 (0) = 0 , g 00 (0) > 0 , y el teorema del
valor medio implican que el único punto sobre ]p, q[ donde o bien
g o g 0 se anulan es x = 0 , g(x) > 0 sobre ]p, q[ , g 0 (x) < 0
sobre ]p, 0[ y g 0 (x) > 0 sobre ]0, q[ . Además, Nµ (0) = 1/2 ,
luego Nµ0 (x) > 0 sobre ]p, q[ . Ahora, como
µg 00 (x)
se tiene que Nµ0 (x) > Ng0 (x) > 0
Nµ0 (x) = Ng0 (x) + 0
(g (x))2
sobre ]p, q[−{0} y µ > 0 . Por otra parte, dado que
∂
1
∂
Nµ (x) = − 0
se sigue que
Nµ (x) > 0 sobre ]p, 0[ y
∂µ
g (x)
∂µ
∂
Nµ (x) < 0 sobre ]0, q[ . Tenemos el siguiente lema.
∂µ
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Lema
Supongamos que µ > 0 . Si Nµi (p) < 0 para 0 6 i 6 k entonces
∂ k
N (p) > 0 .
∂µ µ
Demostración. Por la regla de la cadena, tenemos que
∂ j
∂
Nµ (x) = Πj−1
Nµ (Nµ` (x)) . Ahora como Nµi (p) < 0 para
`=0
∂µ
∂µ
∂
0 6 i 6 k se tiene que
Nµ (Nµ (p)) > 0 . Por lo tanto,
∂µ
∂ k
∂
Nµ (p) = Πk−1
Nµ (Nµ` (p)) > 0 , como deseabamos probar.
`=0
∂µ
∂µ
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Las hipótesis del lema anterior se satisfacen para valores pequeños
de µ
Lema
Dado k > 0 existe µ0 > 0 tal que si |µ| > µ0 entonces
p < Nµ (p) < Nµ2 (p) < · · · < Nµk (p) < 0 .
Demostración. Como Ng0 (x) > 0 sobre ]p, q[ ( Ng0 (0) = 1/2 ) se
sigue que Ng es monótona creciente sobre [p, q] , y para cualquier
x ∈ [p, q] , Ng (x) está entre x y 0
luego, para cualquier x ∈ [p, q] la sucesión Ngn (x) converge
monotonamente a 0. Además, para cualquier constante positiva
β , se tiene que Nµ converge C 1 uniformemente a Ng sobre
[p, −β] ∪ [β, q] cuando µ −→ 0 , ası́ si elegimos
β < min{Ngk (q), |Ngk (p)|} encontramos µ0 como asegura el lema.
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Lema
Dado k > 0 existe µ1 > 0 tal que si 0 < µ < µ1 entonces
(1) p < Nµ (p) < · · · < Nµk−1 (p) < 0 ;
(2) Nµk (p) > Nµk−1 (p) ;
(3) Nµk−1 (p) −→ 0 cuando µ % µ1 , luego, Nµk (p) −→ ∞
cuando µ % µ1 .
Demostración. Es una consecuencia inmediata de las condiciones
y de los lemas anteriores. La idea es que si la condición (1) vale, el
conjunto {Nµi (p)} es monótono en i para 0 6 i 6 k y en µ para
µ > 0.
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Por los dos últimos lemas, para cada k > 1 existe un µ–intervalo
[ak , bk ] tal que si µ ∈ [ak , bk ] entonces
 i
Nµ (p) ∈ ]p, 0[ , 1 6 i 6 k,


 N k (p) ∈ [0, q] ,
µ
 Nakk (p) = 0 ,

 k
Nbk (p) = q .
Además, para cada k se tiene que ak > bk+1 < 0 y lim ak = 0 .
k→∞
Definamos la aplicación jk : [ak , bk ] −→ [0, q] por
jk (µ) = Nµk (p) . Por el lema 4 cada aplicación jk es monótona
creciente y aplica [ak , bk ] sobre [0, q] .
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Para valores pequeños y positivos de µ , se tiene que Nµ aplica el
intervalo [0, q] sobre el intervalo [p, 0] ; luego el conjunto
Nµ−1 (p)∩ ]0, q[ es no vacı́o. Por el teorema de la función implı́cita
se tiene que el conjunto Nµ−1 (p)∩ ]0, q[ es el gráfico de una
función creciente x = Z(µ) . Las curvas Z y jk son mostradas en
la figura siguiente.
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Para todo k grande existe un punto (µk , xk ) satisfaciendo
xk = Z(µk )
xk = jk (µk ) .
Consecuentemente, para µ = µk el punto crı́tico p de Nµ está
sobre una órbita periódica superatractora de perı́odo k + 1 para
Nµ . Tenemos xk = Z(µk ) = Nµ−1
(p)∩ ]0, q[ , de donde
k
Nµk (xk ) = {p} ∩ Nµk ( ]0, q[ ) y xk = jk (µk ) . Luego,
p = Nµk (xk ) = Nµk+1
(p) , y como g 00 (p) = 0 se tiene que
k
(Nµk+1
)0 (p) = 0 .
k
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Tenemos el siguiente teorema
Teorema
Supongamos que g es de clase al menos C 3 y satisface la
siguiente condición g 0 (x) = 0 implica g 00 (x) 6= 0 y que
g(0) = 0 , g 0 (0) = 0 , g 00 (0) 6= 0 . Sea fµ (x) = g(x) + µ . Si
existe un punto p con g 00 (p) = 0 entonces para todo k
suficientemente grande, existe un intervalo abierto Ik sobre el
µ–eje tal que
(1) Para cada µ ∈ Ik , la aplicación de Newton Nµ tiene una
órbita periódica atractora de perı́odo k ;
(2) cada intervalo Ik contiene al menos un punto µk tal que p
es un punto periódico superatractor de Nµ para µ = µk ;
(3) si Ik = ]Lk , Rk [ entonces Lk y Rk tienden a 0 cuando
k → ∞.
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Demostración. En lo anterior hemos tratado el caso p < 0 y
g 00 (p) > 0 . En esa condiciones hemos demostrado la existencia de
una órbita periódica superatractora para µ = µk . El teorema de la
función implı́cita muestra que esa órbita continua existiendo para
todos los valores de µ suficientemente cercanos a µk . Sea Ik un
intervalo que contiene a µk y tal que para cada µ ∈ Ik , Nµ tiene
una órbita periódica atractora de perı́odo k que contiene a p en
su cuenca de atracción. Si p > 0 el argumento es esencialmente el
mismo. Para el caso g 00 (0) < 0 , notemos que la aplicación de
Newton Nµ de g + µ es exactamente la misma que para −g − µ
la cual le podemos aplicar el argumento anterior. Esto completa la
prueba del teorema.
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Para ilustrar lo discutido anteriormente el lector puede considerar
el ejemplo siguiente. Sea f (x) = x3 − 3x + µ . Esta familia de
aplicaciones tiene una tangencia cuadrática con el eje x en x = 1
cuando µ = 2 . Tenemos fµ0 (x) = 3x2 − 3 , fµ00 (x) = 6x . Luego el
único cero de fµ00 es x = 0 . Por lo tanto, del teorema de Julia
Nµ si tiene una órbita periódica de perı́odo mayor que 1, entonces
los iterados de 0 deben tender a esa órbita. Un pequeño
experimento, nos muestra que
Perı́odo k
2
3
4
5
..
.
Valor del parámetro µk
3.674234614
7.751340820
15.556213393
30.155532349
..
.
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Dinámica del Método de Newton
2-ciclo
3-ciclo
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Dinámica del Método de Newton
4-ciclo
5-ciclo
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Dinámica del Método de Newton
Método de Newton en el plano complejo
Aplicaremos la dinámica de funciones racionales en el plano
complejo extendido y a métodos numéricos para aproximar raı́ces
de ecuaciones polinomiales, en especial nos centraremos en el
método de Newton
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Una de las principales motivación para iniciar el estudio de
iteraciones de funciones racionales en el plano complejo fue
motivado por el estudio del método de Newton, en especial cabe
resaltar los trabajos de A. Cayley (1879) y de E. Schröder (1870).
Cayley en su intento por resolver el problema de las regiones de
convergencia para el método de Newton aplicado al polinomio
cúbico
p(z) = z 3 − 1
y plantea que el problema es considerablemente más dı́ficil que el
caso cuadrático, para el cual dió una descripción completa de las
regiones de convergencia de las raı́ces.
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Dinámica del Método de Newton
Método de Newton para p(z) = z 2 − 1
Sergio Plaza
Método de Newton para p(z) = z 3 − 1
Dinámica del Método de Newton
Posteriormente, G. Julia y P. Fatou consideran funciones racionales
en una forma más general, obteniendo resultados significativos y
sientan el estudio de iteraciones de funciones racionales en el plano
complejo extendido, en otras palabras, con sus trabajos comienza
en forma sistemática el estudio de los sistemas dinámicos
complejos. La base de sus trabajos fué el estudio realizado por
Montel sobre familias normales.
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Una función racional R : C −→ C es una función de la forma
R(z) =
P (z)
,
Q(z)
(15)
donde P y Q son polinomios coprimos (sin factores comunes).
Las funciones racionales son las funcione analı́tica de C en si
misma.
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Una función racional R : C −→ C es una función de la forma
R(z) =
P (z)
,
Q(z)
(15)
donde P y Q son polinomios coprimos (sin factores comunes).
Las funciones racionales son las funcione analı́tica de C en si
misma. Por ejemplo, si aplicamos el método de Newton para el
cálculo aproximado de raı́ces de un polinomio complejo, p(z),
obtenemos la función racional
Np (z) = z −
p(z)
zp0 (z) − p(z)
=
p0 (z)
p0 (z)
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
(16)
El grado de una aplicación racional R(z) = P (z)/Q(z) es definido
como
grado(R) = max{ grado(P ) , grado(Q) } ,
(17)
este es igual al número (contado con multiplicidades) de
preimágenes de un punto arbitrario.
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Sea R : C −→ C una función racional.
Definición
Dado un punto z0 ∈ C, la órbita positiva o conjunto de iterados
positivos (y en contexto de métodos numéricos, simplemente
iterados) de z0 por R es el conjunto
◦2
orb+
R (z0 ) = {z0 , z1 = R(z0 ), z2 = R(z1 ) = R (z0 ), . . . ,
zn = R◦n (z0 ), . . .},
donde la notación R◦n significa R
◦ · · · ◦ R}.
| ◦ R {z
n-veces
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Una manera elemental de distinguir órbitas, es contar el número de
puntos en ellas.
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Una manera elemental de distinguir órbitas, es contar el número de
puntos en ellas.
Definición
Sea z0 ∈ C y orb+
R (z0 ) su conjunto de iterados por R. Decimos
+
que orb (z0 ) es un n–ciclo u órbita periódica de perı́odo n si,
z0 = R◦n (z0 ) y Rj (z0 ) 6= z0 para 1 6 j 6 n − 1. Un 1–ciclo, es
decir, R(z0 ) = z0 , es llamado un punto fijo de R. En otras
palabras, un n–ciclo consiste de los n punto
{z0 , R(z0 ), . . . , R◦(n−1) (z0 )}.
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Definición
Sea r ∈ C un punto fijo de una función racional R. Decimos que r
tiene multiplicidad m > 1 si, r es una raı́z de multiplicidad m de la
ecuación F (z) = R(z) − z = 0, esto es, F (j) (r) = 0 para
j = 0, . . . , m − 1 y F (m) (r) 6= 0. Caso m = 1 decimos que r es un
cero simple de R, es decir, F (r) = 0 y F 0 (r) 6= 0.
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Definición
Sea r ∈ C un punto fijo de una función racional R. Decimos que r
tiene multiplicidad m > 1 si, r es una raı́z de multiplicidad m de la
ecuación F (z) = R(z) − z = 0, esto es, F (j) (r) = 0 para
j = 0, . . . , m − 1 y F (m) (r) 6= 0. Caso m = 1 decimos que r es un
cero simple de R, es decir, F (r) = 0 y F 0 (r) 6= 0.
Respecto a la cantidad de puntos fijos que puede poseer una
función racional, tenemos el siguiente resultado.
Teorema
Una función racional de grado d > 1 tiene precisamente d + 1
puntos fijos contados con multiplicidad.
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Consideremos una ecuación no lineal f (z) = 0, se tiene que los
ceros de f son puntos fijos de Nf y recı́procamente.
Sea p(z) un polinomio,
grado(p(z)) 6 d =⇒ grado(Np (z)) 6 d
es menor que d caso p(z) tiene raı́ces múltiple, y este es
exactamente d cuando si p(z) tiene raı́ces simple.
Como las raı́ces de p(z) son punto fijos de Np , si este tiene d raı́ces
(contadas con multiplicidad) y z = ∞ es siempre un punto fijo para
Np , luego Np se tiene la cantidad máxima de d + 1 puntos fijos.
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Lo anterior no siempre ocurre, por ejemplo, la función de iteración
siguiente, conocida como método del punto medio (ver [50])
Mf (z) = z −
f (z)
f0 z −
f (z)
2f 0 (z)
(18)
cuando es aplicado al polinomio p(z) = z 3 − 1, obtenemos
Mp (z) =
z(13z 6 + 22z 3 + 1)
(5z 3 + 1)2
que tiene a z = 0 como punto fijo no correspondiente a una raı́z de
p(z).
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Una propiedad básica que deben cumplir los métodos iterativos
usados para encontrar aproximaciones a los cero de una función, es
que estos ceros sean puntos fijos de los métodos utilizados. Un
problema serio es que al aplicar algún método iterativo, digamos
M , a f , la función de iteración obtenida, Mf , puede tener puntos
fijos distintos de los cero de f , a estos puntos fijos los llamaremos
puntos fijos extraños, por ejemplo, como vimos el método de punto
medio aplicado a p(z) = z 3 − 1 tiene a z = 0 como un punto fijo
extraño. Tambien puede ocurrir que algunas funciones de
iteración, aparte de tener puntos fijos extraños, pueden tener ciclos
de largo mayor que 1. Es obvio que una condición inicial sobre un
ciclo no convergerá a un cero de la función.
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Suponiendo que para las funciones de iteración para aproximar las
raı́ces, digamos M , de una ecuación no lineal satisfagan la
propiedad que raı́ces de la ecuación f (z) = 0 son puntos fijos de
Mf . En el caso de un polinomio p(z) de grado d > 2, suponiendo
que Mf tiene grado k(d), entonces en el peor de los caso,
podemos tener k(d) − d puntos fijos extraños. En general, los
puntos fijos de una función de iteración para aproximar raı́ces
tienen multiplicidad mayor que 1.
Por ejemplo, para el polinomio p(z) = z 3 − 2z + 2, se tiene
Np ((z) = 2(z 3 − 1)/(3z 2 − 2) y para la condición inicial z0 = 0,
sus iterados son z0 = 0 → 1 → 0, es decir, orb+ (0) = {0, 1}.
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Definición
Sea α = {z0 , R(z0 ), . . . , R◦(n−1) (z0 )} un n–ciclo de R. Su
multiplicador λ = λ(α) se define como λ(α) = (R◦n )0 (z0 ).
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Definición
Decimos que un n–ciclo
α = {z0 , R(z0 ), . . . , Rn−1 (z0 )}
es,
superatractor
atractor
repulsor
indif erente







si




λ=0
0 < |λ| < 1
|λ| > 1



|λ| = 1
Los ciclos indiferentes se clasifican en dos tipos: racionalmente
indiferente o parabólico si λ es una raı́z de la unidad, esto significa,
que existe un número natural m, tal que λm = 1; en otro caso se
denominan irracionalmente indiferentes.
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Para r > 0, denotamos por Dr el disco abierto de centro en el
origen y radio r, es decir, Dr = {z ∈ C : |z| < r }.
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Para r > 0, denotamos por Dr el disco abierto de centro en el
origen y radio r, es decir, Dr = {z ∈ C : |z| < r }.
Teorema
(G. König), 1884 Si z0 pertenece a un n–ciclo atractor, con
multiplicador λ = (R◦n )0 (z0 ), que satisface 0 < |λ| < 1, entonces
existe una vecindad U de z0 y un homeomorfismo analı́tico
ϕ : U → Dr (para algún r > 0), único, tal que ϕ(z0 ) = 0,
ϕ0 (z0 ) = 1 y ϕ(R◦n (z)) = λϕ(z), para todo z ∈ U .
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Para r > 0, denotamos por Dr el disco abierto de centro en el
origen y radio r, es decir, Dr = {z ∈ C : |z| < r }.
Teorema
(G. König), 1884 Si z0 pertenece a un n–ciclo atractor, con
multiplicador λ = (R◦n )0 (z0 ), que satisface 0 < |λ| < 1, entonces
existe una vecindad U de z0 y un homeomorfismo analı́tico
ϕ : U → Dr (para algún r > 0), único, tal que ϕ(z0 ) = 0,
ϕ0 (z0 ) = 1 y ϕ(R◦n (z)) = λϕ(z), para todo z ∈ U .
Teorema
(L. Böttcher, 1904) Sea orb+ (z0 ) un n–ciclo superatractor.
Supongamos que el multiplicador λ = (R◦n )(k) (z0 ) 6= 0, y que
(R◦n )0 (z0 ) = (R◦n )00 (z0 ) = · · · = (R◦n )(k−1) (z0 ) = 0 .
Entonces existe una vecindad U de z0 y un homeomorfismo
analı́tico ϕ : U → Dr (para algún r > 0) tal que ϕ(z0 ) = 0,
ϕ0 (z0 ) = 1, y ϕ(R◦n (z))Sergio
= Plaza
(ϕ(z))k ,Dinámica
para del
todo
z de∈Newton
U.
Método
Usando esos dos resultados, podemos definir la cuenca de
atracción de un punto fijo (super)atractor como sigue. Sea ξ un
punto fijo (super)atractor de una función racional R, entonces
existe un disco abierto Dr (ξ) de radio r > 0 y centro en ξ, tal que
para cada z0 ∈ Dr (ξ), los iterados R◦n (z0 ) estan definido para
todo n ∈ N, estan contenidos en Dr (ξ), y convergen a ξ cuando
n → ∞. El conjunto
[
B(ξ) =
R◦(−n) (Dr (ξ))
(19)
n>0
consiste de todos los puntos en el plano complejo extendido que
por iteraciones por R convergen a ξ. En otras palabras,
B(ξ) = {z ∈ C : R◦n (z) → ξ, cuando n → ∞ }. La cuenca de
atracción inmediata, B ∗ (ξ), es la componente conexa de B(ξ) que
contiene a ξ.
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
un punto z0 ∈ C es un punto crı́tico de R si R0 (z0 ) = 0 y su
imagen w0 = R(z0 ) es llamado un valor crı́tico.
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
un punto z0 ∈ C es un punto crı́tico de R si R0 (z0 ) = 0 y su
imagen w0 = R(z0 ) es llamado un valor crı́tico.
Teorema
Sea C = C(R) el conjunto de puntos crı́ticos de una función
racional R. Entonces
(a) El conjunto de puntos crı́ticos de R◦n es
C(R◦n ) = C ∪ R−1 (C) ∪ · · · ∪ R−n (C) .
(b) El conjunto de valores crı́ticos de R◦n es
R(C) ∪ R◦2 (C) ∪ · · · ∪ R◦n (C)
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Sea ξ un punto fijo indiferente de una función racional R de grado
d > 2, localmente podemos suponer que
R(z) = z − z m+1 + O(z m+ ) ,
a 6= 0 y
m > 1,
(20)
El siguiente resultado describe las cuencas de atracción en este
caso. Ver por ejemplo [2] o [32]
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Teorema
(de los pétalos) Sea R una función racional que tiene en ξ = 0 un
punto fijo racionalmente indiferente como en (20). Sean
ω1 , . . . , ωm las m–ésimas raı́ces de la unidad y sean η1 , . . . , ηm las
m–ésimas raı́cesde −1. Entonces existe un radio r0 y un ángulo θ0 ,
tal que para j = 1, . . . , m, los sectores Sj y Σj , definidos por
z z
< θ0
Sj = z : 0 < < r0 , arg
ωj
ωj y
Σj =
z
z : 0 < < r0 ,
ηj
arg z < θ0
ηj satisfacen
|R(z)| < |z| , para todo z ∈ Sj ,
y
|R(z)| > |z| , para todo z ∈ Σj .
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
El siguiente teorema relaciona las cuencas de atracción y los
n–ciclos atractores.
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
El siguiente teorema relaciona las cuencas de atracción y los
n–ciclos atractores.
Teorema
(Fatou, Julia) La cuenca de atracción inmediata de un ciclo
(super)atractor, contiene al menos un punto crı́tico.
Este resultado en fundamental, pues nos dice que para determinar
los ciclos (super)atractores, debemos estudiar las iteraciones de los
puntos crı́ticos de la función de iteración es cuestión.
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
El siguiente teorema relaciona las cuencas de atracción y los
n–ciclos atractores.
Teorema
(Fatou, Julia) La cuenca de atracción inmediata de un ciclo
(super)atractor, contiene al menos un punto crı́tico.
Este resultado en fundamental, pues nos dice que para determinar
los ciclos (super)atractores, debemos estudiar las iteraciones de los
puntos crı́ticos de la función de iteración es cuestión.
Teorema
Una función rational de grado d > 2 tiene 2d − 2 puntos crı́ticos
contados con multiplicidad.
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Tenemos ası́ el siguiente resultado sobre la cantidad máxima de
ciclos (super)atractores o indiferentes que puede tener una función
racional.
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Tenemos ası́ el siguiente resultado sobre la cantidad máxima de
ciclos (super)atractores o indiferentes que puede tener una función
racional.
Teorema
(Cotas sobre el número de ciclos, Shishikura, 1987)
Una función racional R : C → C de grado d tiene a los más 2d − 2
ciclos, los cuales pueden ser (super)atractores o indiferentes.
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
El siguiente resultado muestra que la cota anterior puede ser
alcanzada para el método de Newton.
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
El siguiente resultado muestra que la cota anterior puede ser
alcanzada para el método de Newton.
Teorema
(Hurley, 1986 [21]) Para cada d > 2 existe un polinomio p(z) de
grado d, con coeficientes reales, tal que el método de Newton Np
tiene 2d − 2 ciclos atractores en el plano complejo, es decir, posee
el número maximal de ciclos atractores que una función racional de
grado d puede tener.
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Existen varias formas de comenzar las exposiciones de la teorı́a de
P. Fatou y G. Julia (1919 y 1918). Adoptamos aquı́ la de Fatou
[16]. Este se basa en el concepto de familia normal débido a
Montel (ver [1]).
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Existen varias formas de comenzar las exposiciones de la teorı́a de
P. Fatou y G. Julia (1919 y 1918). Adoptamos aquı́ la de Fatou
[16]. Este se basa en el concepto de familia normal débido a
Montel (ver [1]).
Definición
Una familia Γ de funciones meromorfas definidas en un dominio
U ⊂C
Γ = { fi : U → C ; fi meromorfa }
es normal si cada sucesión (fn )n∈N de elementos de Γ posee una
subsucesión (fnk )k∈N que converge uniformemente sobre cada
subconjunto compacto de U .
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Ahora nos centraremos en la familia de iterados
{ R◦n : n = 0, 1, 2, 3, . . .} de una función racional R : C −→ C.
En este caso, equicontinuidad significa que iteraciones de puntos
próximos no divergen.
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Ahora nos centraremos en la familia de iterados
{ R◦n : n = 0, 1, 2, 3, . . .} de una función racional R : C −→ C.
En este caso, equicontinuidad significa que iteraciones de puntos
próximos no divergen.
Definición
Un punto z ∈ C pertenece al conjunto de Fatou F(R) (también
llamado dominio de normalidad o de estabilidad) si existe una
vecindad U de z tal que la familia de iterados
Γ = {R◦n : U → C ; n = 0, 1, 2, 3, . . . }
es normal en U .
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Ahora nos centraremos en la familia de iterados
{ R◦n : n = 0, 1, 2, 3, . . .} de una función racional R : C −→ C.
En este caso, equicontinuidad significa que iteraciones de puntos
próximos no divergen.
Definición
Un punto z ∈ C pertenece al conjunto de Fatou F(R) (también
llamado dominio de normalidad o de estabilidad) si existe una
vecindad U de z tal que la familia de iterados
Γ = {R◦n : U → C ; n = 0, 1, 2, 3, . . . }
es normal en U .
El conjunto de Julia de R , denotado por J (R) o simplemente por
J , cuando no exista peligro de confusión, es el complemento del
conjunto de Fatou, esto es, J (R) = C − F(R).
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Teorema
Supongamos z0 ∈ C está sobre un ciclo. Si este ciclo es
(super)atractor, entonces está contenido en el conjunto de Fatou,
y si es repulsor está contenido en el conjunto de Julia de R.
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Sea M un método iterativo para aproximar aproximar soluciones de
una ecuación f (z) = 0. Una propiedad fundamental que debe
tener M es que los cero de f (z) son punto fijos (super)atractores
de Mf , función de iteración obtenida al aplicar M a f . Tenemos
ası́ el siguiente resultado.
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Sea M un método iterativo para aproximar aproximar soluciones de
una ecuación f (z) = 0. Una propiedad fundamental que debe
tener M es que los cero de f (z) son punto fijos (super)atractores
de Mf , función de iteración obtenida al aplicar M a f . Tenemos
ası́ el siguiente resultado.
Teorema
Sea M un método iterativo para aproximar ceros de una función
f (z). Denotemos por Mf la función de iteración obtenida al
aplicar M a f . Entonces los cero de f estan contenidos en el
conjunto de Fatou F(Mf ) de Mf .
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Teorema
(Fundamental (Fatou, Julia)) El conjunto de Julia, J (R), es no
vacı́o. Además, Los ciclos repulsores son densos en J (R), es decir,
J (R) = clausura{z ∈ C : z sobre un ciclo repulsor de R} .
En particular, existe una cantidad infinita de ciclos repulsores y
cada z ∈ J (R) es obtenido como lı́mite de puntos en ciclos
repulsores.
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Teorema
(Fundamental (Fatou, Julia)) El conjunto de Julia, J (R), es no
vacı́o. Además, Los ciclos repulsores son densos en J (R), es decir,
J (R) = clausura{z ∈ C : z sobre un ciclo repulsor de R} .
En particular, existe una cantidad infinita de ciclos repulsores y
cada z ∈ J (R) es obtenido como lı́mite de puntos en ciclos
repulsores.
Esta propiedad es particularmente interesante, pues nos dice que si
elegimos una condición inicial sobre el conjunto de Julia de R para
nuestras iteraciones, entonces los errores computacionales, por
pequeños que sean, nos tenderá a “alejar” del conjunto de Julia,
en particular, si este tiene medida de Lebesgue cero, entonces, lo
más probable es que despues de un número pequeño de iterados,
las siguientes iteraciones esten en el conjunto de Fatou, donde
tenemos esperanza de convergencia.
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Definición
Sean R1 y R2 dos funciones racionales. Decimos que ellas son
conjugadas si existe una transformación de Möbius M : C −→ C
tal que
R2 = M ◦ R1 ◦ M −1 .
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Definición
Sean R1 y R2 dos funciones racionales. Decimos que ellas son
conjugadas si existe una transformación de Möbius M : C −→ C
tal que
R2 = M ◦ R1 ◦ M −1 .
Observación. Si R1 y R2 son conjugadas por M , entonces
M (J (R1 )) = J (R2 ) y M (F(R1 )) = F(R2 ).
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Teorema
(Cayley (1879), Schröder (1870). Sea p(z) un polinomio
cuadrático con sus dos raı́ces distintas, entonces el método de
Newton Np (z) aplicado a p es conjugado a la función g(z) = z 2 .
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Teorema
(Reescalamiento) Sea T (z) = αz + β, α 6= 0, y sea
q(z) = p(T (z)) = p ◦ T (z). Entonces
T ◦ Nq ◦ T −1 = Np ,
esto es, T es una conjugación entre Np y Nq .
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Teorema
(Reescalamiento) Sea T (z) = αz + β, α 6= 0, y sea
q(z) = p(T (z)) = p ◦ T (z). Entonces
T ◦ Nq ◦ T −1 = Np ,
esto es, T es una conjugación entre Np y Nq .
Este teorema nos dice que mediante una transformación afı́n
podemos transformar las raı́ces de p sin modificar cualitativamente
la dinámica de la método de Newton.
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Teorema
Sea za es un punto periódico atractor para una función racional R,
entonces J (R) = ∂ B(za ) (∂ A denota la frontera del conjunto A).
Corolario
Si F(R) es no vacı́o, entonces el conjunto de Julia de R, J (R), no
tiene puntos interiores.
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Teorema
Sea za es un punto periódico atractor para una función racional R,
entonces J (R) = ∂ B(za ) (∂ A denota la frontera del conjunto A).
Corolario
Si F(R) es no vacı́o, entonces el conjunto de Julia de R, J (R), no
tiene puntos interiores.
El resultado anterior junto con el teorema que le precede tienen
aplicaciones directa en el caso de métodos iterativos para aproximar
ceros de una función f (z), pues como estamos asumiendo que las
raı́ces correspondan a puntos fijos (super)atractores, estos
pertenecen al conjunto de Fatou de la correspondiente función
racional Mf , por lo tanto se tiene que el conjunto de Fatou,
F(Mf ), es no vacı́o y J (Mf ) = ∂B(α), donde α es un cero de f .
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Definición
Sea D una componente del conjunto de Fatou. Decimos que D es
periódica si existe n > 1 tal que R◦n (D) = D, y decimos que D es
preperiódica si existe k > 1 tal que Rk (D) es periódico.
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Teorema
((de los dominios no errantes)(Sullivan [49]))
Sea R una función racional. Entonces todas las componentes del
conjunto de Fatou son preperiódicas. Además, sólo existe una cantidad
finita de componentes periódicas. Sea U una componente periódica del
conjunto de Fatou de R, la cual podemos suponer que es fija, entonces U
es uno de los siguientes cinco tipos:
(i) superatractoras: contiene un punto fijo superatractor
(ii) atractoras: contiene un punto fijo atractor
(iii) parabólicas (o dominio de Leau): existe un punto fijo parabólico en
su frontera
(iv) disco de Siegel: contiene un punto fijo irracionalmente indiferente
que es un punto de Siegel, en este caso U es analiticamente
equivalente a un disco y R restricta a U es analiticamente
conjugada a una rotación de ángulo irracional.
(v) anillo de Herman : contiene un fijo irracionalmente indiferente que
es un punto de Cremer, en este caso U es analiticamente
Sergio
Dinámica
de Newton
equivalente a un anillo
y Plaza
R restricta
a UdelesMétodo
analiticamente
Teorema
Sea U una componente del conjunto de Fatou de una función
racional R de grado d > 2, la cual podemos suponer fija. Sea
C = C(R) su conjunto de puntos crı́ticos, y
◦n
C + (R) = ∪∞
n=1 R (C) .
el conjunto postcrı́tico de R.
(a) Si U es una componente (super)atractora o parabólica,
entonces debe contener al menos un punto crı́tico.
(b) Si U es un disco de Siegel o un anillo de Herman, entonces la
frontera de U está contenida en la clausura de C + (R).
En particular, si R tiene un anillo de Herman, entonces J (R) no
es conexo.
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
El teorema anterior toma en cuenta todos los puntos sobre ciclos,
exceptos aquellos sobre ciclos irracionalmente indiferentes que
pertenecen al conjunto de Julia J (R), esto es, los puntos de
Cremer.
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
El teorema anterior toma en cuenta todos los puntos sobre ciclos,
exceptos aquellos sobre ciclos irracionalmente indiferentes que
pertenecen al conjunto de Julia J (R), esto es, los puntos de
Cremer.
El siguiente resultado muestra la conección entre los puntos de
Cremer y los iterados de puntos crı́ticos.
Teorema
Todo punto de un ciclo irracionalmente indiferente que está
contenido en el conjunto de Julia J (R) de una función racional R
es un punto lı́mite del conjunto C + (R).
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Sobre el número de componentes de Fatou, se tiene el siguiente
resultado
Teorema
El conjunto de Fatou de una función racional R tiene 0, 1, 2 o una
cantidad infinita de componentes.
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Sobre el número de componentes de Fatou, se tiene el siguiente
resultado
Teorema
El conjunto de Fatou de una función racional R tiene 0, 1, 2 o una
cantidad infinita de componentes.
Corolario
Sea M un método iterativo para aproximar raı́ces de un polinomio
p(z). Supongamos que las raı́ces de p(z) son puntos fijos
atractores o superatractores de M y que p(z) tiene al menos 3
raı́ces distintas. Entonces F(M ) tiene una cantidad infinita de
componentes.
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
La reciproca del corolario anterior no es verdadera, por ejemplo, si
consideramos el método de Chebyshev
1
Chebyf (z) = z − uf (z) 1 + Lf (z) .
(21)
2
aplicado al polinomio cuadrático p(z) = z 2 − 1, el conjunto de
Fatou tiene infinitas componentes
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Algoritmos generalmente convergentes: limitación
algoritmica de iteraciones
Veremos algunas limitaciones que tienen los algoritmos iterativos
para aproximar raı́ces de polinomios en el plano complejo, en
particular no referimos al importante resultado de C. McMullen,
1985, ([30]), en esta parte de la teorı́a.
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Algoritmos generalmente convergentes: limitación
algoritmica de iteraciones
Veremos algunas limitaciones que tienen los algoritmos iterativos
para aproximar raı́ces de polinomios en el plano complejo, en
particular no referimos al importante resultado de C. McMullen,
1985, ([30]), en esta parte de la teorı́a.
Comenzamos con la siguiente definición.
Definición
Dado un polinomio p(z) de grado d > 2. Una función racional
Tp (z), de grado k(d), definida en términos de z, p(z) y sus
derivadas es llamada una función de iteración para tal polinomo si,
cada raı́z de p(z) es un punto fijo (super)atractor de Tp (z). Si esta
propiedad vale para todo polinomio p(z) de grado d, decimos que
la función racional T definida por T (p(z)) = Tp (z) es un algoritmo
puramente iterativo .
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Por ejemplo, el método de Newton
N : p(z) → Np (z) = z −
p(z)
p0 (z)
es un algoritmo puramente iterativo.
Una pregunta inmediata es ¿Cuán bueno es un método iterativo
para aproximar las raı́ces de un polinomio?, o más especificamente
¿El método iterativo en cuestión converge para casi toda condición
inicial? Esto nos lleva a la siguiente definición.
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Por ejemplo, el método de Newton
N : p(z) → Np (z) = z −
p(z)
p0 (z)
es un algoritmo puramente iterativo.
Una pregunta inmediata es ¿Cuán bueno es un método iterativo
para aproximar las raı́ces de un polinomio?, o más especificamente
¿El método iterativo en cuestión converge para casi toda condición
inicial? Esto nos lleva a la siguiente definición.
Definición
Dado un polinimio p(z). Decimos que una función de iteración
Tp (z) es generalmente convergente si, para casi todo z ∈ C sus
iteraciones por Tp convergen a una raı́z de p(z).
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Por ejemplo, el método de Newton no es generalmente
convergente. Por ejemplo, el método de Newton aplicado al
polinomio (Smale [48]) p(z) = z 3 − 2z + 2 tiene un 2–ciclo
superatractor α = {0, 1}. Por continuidad, si q(z) es un polinomio
próximo a p(z), entonces Nq tiene un 2–ciclo atractor próximo al
2–ciclo α = {0, 1}. Ejemplo de Barna (1956),
p(z) = 3z 5 − 10z 3 + 23z para el cual el método de Newton tiene el
ciclo superatractor α = {−1, 1}.
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
El siguiente teorema fué probado por Barna para el caso especial
de polinomios con todas sus raı́ces reales.
Teorema
(Barna, 1956) Sea p(z) un polinomio de grado mayor o igual que
4, con todos sus raı́ces reales y sus puntos de inflexión contenidos
en las cuencas de atracción inmediatas de las raı́ces ξ1 , . . . , ξd de
p(z). Entonces, excepto por un conjunto de Cantor C de números
reales, cada número real converge por iteraciones por Np a una
raı́z de p(z).
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Para el método de Newton aplicado a un polinomio cúbico, este
puede fallar débido a la existencia de un ciclo atractor. Como ya
indicamos el método de Newton aplicado a polinomios no puede
tener anillos de Herman, pues su conjunto de Julia es conexo, y
consecuentemente toda componente de Fatou es simplemente
conexa. La aparición de discos de Siegel para métodos iterativos,
en especial para el método de Newton, es consecuencia de un
resultado de McMullen (1897) y (1988).
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Para el método de Newton aplicado a un polinomio cúbico, este
puede fallar débido a la existencia de un ciclo atractor. Como ya
indicamos el método de Newton aplicado a polinomios no puede
tener anillos de Herman, pues su conjunto de Julia es conexo, y
consecuentemente toda componente de Fatou es simplemente
conexa. La aparición de discos de Siegel para métodos iterativos,
en especial para el método de Newton, es consecuencia de un
resultado de McMullen (1897) y (1988).
Teorema
(Limitaciones algoritmicas, McMullen (1987)[30])No existen
algoritmos puramente iterativos generalmente convergentes para
resolver polinomios de grado mayor o igual que cuatro.
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Una pregunta que surge de inmediato es ¿Cómo puede fallar una
función de iteración para aproximar raı́ces para dejar de ser
generalmente convergente? Sabemos que la existencia de ciclos
atractores nos lleva a una explicación de la pregunta anterior,
notemos que la existencia de un ciclo atractor para un elemento
p ∈ P olyd , conjunto de polinomios de grado d, implica la
existencia de una vecindad abierta Np de p en P olyd , de modo que
cada q ∈ Np falla a converger por la existencia de un ciclo atractor
del mismo largo que el de p, pero ¿Es esta la única forma de que
una función de iteración deje de ser generalmente convergente?,
imaginemos que para una función de iteración cuando es aplicado
a un polinomio, el conjunto de Julia obtenido tiene medida positiva
(ya sabemos que no puede tener puntos interiores), entonces tal
función de iteración falları́a a converger sobre un conjunto de
medida positiva.
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Lo anterior no implica que lo mismo ocurra para polinomios
próximos. Para ver la existencia de discos de Siegel, argumentamos
como sigue. Si {Tλ }λ es una familia de funciones racionales con
un ciclo que cambia de repulsor a atractor cuando λ varia,
entonces este ciclo debe contener el centro de Siegel para algún
valor del parámetro λ.
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Teorema
El método de Newton no es generalmente convergente.
De hecho, tenemos el siguiente resultado
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Teorema
El método de Newton no es generalmente convergente.
De hecho, tenemos el siguiente resultado
Teorema
Para cada d > 3, el método de Newton no es generalmente
convergente para el polinomio
p(z) = z d − (d − 1)z + d − 1.
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
(22)
Método de Newton para p(z) = z 4 − 3z + 3
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
El teorema anterior nos permite construir polinomios p(z), de
modo que el método de Newton asociado Np (z) tiene a α = {0, 1}
como un 2–ciclo superatractor, pero la pregunta natural es si
podemos construir polinomios para los cuales el método de
Newton asociado tenga un ciclo atractor, indiferente parabólico, un
disco de Siegel o un punto de Cremer.
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Consideremos un polinomio p(z) = z 3 + a2 z 2 + a1 z + a0 de grado
3, e impongamos las condiciones
(1) Np (0) = 1
(2) Np (1) = 0
(3) Np0 (0)Np0 (1) = λ, con λ ∈ C.
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Consideremos un polinomio p(z) = z 3 + a2 z 2 + a1 z + a0 de grado
3, e impongamos las condiciones
(1) Np (0) = 1
(2) Np (1) = 0
(3) Np0 (0)Np0 (1) = λ, con λ ∈ C.
Teorema
Sea λ ∈ C − {4}. Entonces el polinomio
p(z) = z 3 + (α − 2)z 2 − αz + α
q
1
32
con α = α = 2 1 ± 1 + 4−λ , satisface que {0, 1} es un
2–ciclo para Np (z), con multplicador (Np◦2 )0 (0) = λ.
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Teorema
Una función de iteración Tp (z) asociada a un polinomio p(z) es
generalmente convergente si y sólo si el conjunto de Julia J (Tp )
tiene medida de Lebesgue cero y para todo z ∈ F(Tp ) se tiene que
orb+ (z) converge a una raı́z de p(z).
En particular, esto significa que no existen ciclos de componentes
de Fatou de largo mayor o igual que dos, ya sean (super)atractores,
parabólicos, discos de Siegel o anillos de Herman.
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Definición
Decimos que un punto crı́tico c de una función racional R es
preperiódico si existe un menor entero positivo algún n > 1, tal
que R◦n (c) está sobre un p–ciclo. Cuando p = 1, decimos que c es
prefijo.
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Definición
Decimos que un punto crı́tico c de una función racional R es
preperiódico si existe un menor entero positivo algún n > 1, tal
que R◦n (c) está sobre un p–ciclo. Cuando p = 1, decimos que c es
prefijo.
Lo anterior significa que n es el primer entero positivo, tal que
c ∈ R◦−n (z0 ), donde z0 es un punto sobre un p–ciclo.
Teorema
(McMullen, 2004) Sea R una función racional. Supongamos que
R tiene al menos un ciclo atractor. Si todos los puntos crı́ticos de
R están en cuencas de atracción de atractores o son preperiódicos,
entonces J (R) tiene medida del Lebesgue cero. Además, para
todo z ∈
/ J (R) se tiene que sus iterados por R convergen a un
ciclo atractor.
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
De esto deducimos el siguiente resultado
Teorema
Una función de iteración Tp (z) asociada a un polinomiop p(z) es
generalmente convergente si sus puntos crı́ticos son preperiódicos o
convergen a una raı́z de p(z).
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
De esto deducimos el siguiente resultado
Teorema
Una función de iteración Tp (z) asociada a un polinomiop p(z) es
generalmente convergente si sus puntos crı́ticos son preperiódicos o
convergen a una raı́z de p(z).
Corolario
Sea Np (z) el método de Newton asociado a un polinomio p(z). Si
las raı́ces de p00 (z) son preperiódicos o convergen a una raı́z de
p(z), entonces Np es generalmente convergente.
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Del teorema 31 y dado que sabemos que el método de Newton no
es generalmente convergente para polinomios de grado 3, nos
podemos preguntar si existe algún algoritmo generalmente
convergente para polinomios de grado 3. El propio McMullen
propone un tal algoritmos, el cual es dado como sigue. Sea p(z) un
polinomio cúbico, módulo un cambio de coordenada podemos
suponer que tiene la forma p(z) = z 3 + az + b, entonces el
siguiente algoritmo es generalmente convergente
Mp (z) = z −
p(z)(3az 2 + 9bz − a2 )
3az 4 + 18bz 3 − 6a2 z 2 − 6abz − 9b2 − a3
(23)
que resulta de aplicar el método de Newton a la función racional
p(z)
q(z) = 3az 2 +9bz−a
2 , es generalmente convergente, de hecho es
superconvergente, esto significa que los puntos crı́ticos de la
función de iteración coinciden con las raı́ces del polinomio.
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
El siguiente resultado nos muestra que aún cuando el método de
Newton no es generalmente convergente, podemos controlar los
puntos iniciales de modo a que siempre tengamos convergencia a
una raı́z. Comenzamos introduciendo la siguiente notación. Sea Pd
el espacio de polinomios de grado d, normalizados de modo que
todas sus raı́ces esten en el disco abierto unitario D en el plano
complejo.
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
El siguiente resultado nos muestra que aún cuando el método de
Newton no es generalmente convergente, podemos controlar los
puntos iniciales de modo a que siempre tengamos convergencia a
una raı́z. Comenzamos introduciendo la siguiente notación. Sea Pd
el espacio de polinomios de grado d, normalizados de modo que
todas sus raı́ces esten en el disco abierto unitario D en el plano
complejo.
Teorema
(Hubbard, Schleicher, Sutherland, 2001) Para cada d > 2, existe
un conjunto Sd consistiendo de a lo más 1.11 d log(d)2 puntos en
C, con la propiedad que para cada polinomio p ∈ Pd y cada una de
sus raı́ces, existe un punto s ∈ Sd en la cuenca de atracción de la
raı́z elegida. Para polinomios cuyas raı́ces son todas reales, existe
un conjunto análogo S con a lo más 1.3 d puntos.
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Método de Newton aplicado a p(z) = z 3 − 1
Conjunto Sd
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Note que el teorema anterior no hace que el método de Newton
sea de hecho un algoritmo, pues fijada una raı́z ξ de un polinomio
p ∈ Pd y un error (tolerancia) ε > 0, no se tiene cotas sobre el
número de iterados que debemos calcular para obtener
|ξ − zn | < ε, donde z0 ∈ Sd lo escogemos en la cuenca de
atracción de ξ. Este problema fue resuelto por Schleicher en [46].
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Sergio Plaza
Dinámica del Método de Newton
Teorema
(Schleicher, 2008, [46], Conjunto de condiciones iniciales
eficientes) Dado ε > 0. Para cada grado d, existe un conjunto
finito de condiciones iniciales Sd ⊂ C conteniendo cd(log(d))2
puntos con la siguiente propiedad: suponga que p ∈ Pd . Entonces
para cada raı́z ξ de p(z), para al menos un punto z ∈ Sd las
iteraciones Np◦n (z) convergen a ξ, y el número de iteraciones
requerido, Mε de modo que
|Np◦Mε (z) − ξ| < ε
depende polinomialmente de d con exponente bajo. El conjunto Sd
puede ser especı́ficado explicitamente.
Sergio Plaza
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