Taller 11 - Cálculo Diferencial - Clases 25-27

Taller 11 - Cálculo Diferencial - Clases 25-27
INSTRUCCIONES: Antes de intentar resolver los ejercicios del
taller, repase un poco la teoría y ejemplos vistos en clase. Realice
este taller individualmente o en grupos. Si tiene alguna pregunta,
asista a las asesorías con monitores o profesores.
Clasificación de problemas: N básico, medio, F reto.
ñ) Una epidemia duró 200 días, y en ese intervalo murieron
un total de 1000 personas. Entonces hubo al menos un
día en el cual murieron aproximadamente 5 personas.
N 3. Sea f la función cuya gráfica se muestra a continuación:
Extremos relativos y absolutos.
N 1. Responda las siguientes preguntas:
a) ¿Qué son los extremos absolutos y relativos de una función?
b) ¿Qué dice el teorema del valor extremo?
c) ¿Qué dice el teorema de Fermat? ¿Cómo se usa?
d) ¿Qué dice el teorema del valor Medio?
e) ¿Qué dicen los criterios de la primera y segunda derivada?
N 2. Responda si el enunciado es verdadero o falso. Si es verdadero,
explique por qué, y si es falso escriba el enunciado correcto o
muestre un ejemplo donde el enunciado dado no se cumpla.
a) Si f no es continua en [a, b], entonces no tiene extremos
absolutos en ese intervalo.
b) Si f tiene un máximo relativo en x = a entonces f 0 (a) =
0.
c) Si f no tiene un máximo absoluto en [a, b], entonces debe
haber un x ∈ [a, b] donde f no es continua.
d) Si f es diferenciable en [a, b], entonces f 0 se hace cero en
todos los mínimos relativos de f .
e) Si f es diferenciable en [a, b], entonces f tiene un mínimo
absoluto en ese intervalo, además f 0 se hace cero en el
mínimo absoluto.
f) Si f (b) > f (a) y f es diferenciable en [a, b] entonces f
es creciente en algún x ∈ [a, b].
g) Todo extremo absoluto de una función es un extremo
relativo.
h) Si f 0 (x) > 0 para todo x > c, y f 0 (x) < 0 para todo
x < c, entonces f tiene un mínimo relativo en x = c.
i) Si f 00 (c) = 0, entonces la gráfica de f tiene un punto de
inflexión en x = c.
j) Si f es diferenciable en [a, b] y f (a) = f (b) entonces f
tiene al menos un número crítico.
k) Si f 00 (c) = 0, entonces f no puede tener un extremo
relativo en x = c.
l) La función constante no tiene extremos relativos.
m) Si f 0 (a) = 0, entonces f tiene un extremo relativo en
x = a.
n) Entre Medellín y Bógota hay 360 Km. Si un bus tarda 10
horas en realizar la ruta entre esas dos ciudades, entonces
en algún momento del viaje, el tacómetro de bus marcó
36Km/h.
Febrero, 2014. Escuela de Matemáticas, Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellín.
Responda si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos:
En x = −7, f tiene un mínimo local.
Todo x ∈ [4, 5) es un mínimo relativo de f .
Todo x ∈ (4, 5), es un máximo relativo de f .
f tiene un máximo local en x = −5.
f (3) es un máximo absoluto de f .
x = −5 es un máximo absoluto de f en (−6, 2)
El único mínimo absoluto de f es x = −1.
En x = −8, f tiene un máximo absoluto, pero no un
máximo relativo.
i) En x = 7, f tiene un máximo absoluto, pero no un máximo relativo.
j) En x = −7, f tiene un mínimo relativo, pero en el intervalo [−8, 1), x = −7 no es un mínimo absoluto de
f.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
N 4. Para cada una de las siguientes funciones halle los números
críticos, y extremos globales en el intervalo indicado.
a) f (x) = 2x3 − 3x2 − 12x + 1, [−2, 3],
p
b) f (t) = t 4 − t2 , [−1, 2],
x2 − 4
c) f (x) =
, (−∞, ∞)
x+4
d) g(r) = r − 2 tan−1 (r), (0, 4],
e) h(t) = 2 cos t + sen(2t), [π, +∞)
(
cos x, 0 6 x 6 π
f) f (x) =
, [0, 3π]
sin x, π < x 6 3π
Regla de L’Hospital.
b)
N 5. ¿Qué se puede decir sobre el signo y el tamaño de
lı́m f (x)/g(x) para cada una de las situaciones que se muesx→a
c)
tran a continuación? Suponga que todas la funciones so polinomios de grado 1, 2 ó 3.
d)
f(x)
f(x)
e)
x
a
sea continua pero no derivable en x = 2.
Una función en [−1, 2] que tenga más de un mínimo absoluto, pero que no tenga máximo absoluto.
Una función sobre el intervalo [−1, 2] que tenga un máximo local pero que no tenga un máximo absoluto.
Una función que tenga dos máximos locales, un mínimo
local y que no tenga mínimo absoluto.
Una función que tenga tres mínimos locales, dos máximos
locales y siete números críticos.
x
a
g(x)
8. Para las siguientes funciones halle: dominio y rango, paridad, asíntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento,
extremos locales, intervalos de concavidad y puntos de inflexión. Use esta información para graficar la función.
g(x)
f(x)
a.
f (x) = x4 − 6x2
b.
g(x) = e−1/(x+1)
c.
h(θ) = 2 cos θ + cos2 θ
d.
r(t) = ln(1 − ln(t))
g(x)
x
a
a
f(x)
g(x)
9. Para las siguientes familias de funciones determine los máximos y mínimos en términos del parámetro c.
a) f (x) = ln(x2 + c),
g(x)
g(x)
a
x
f(x)
x
a
x
f(x)
c.
e.
g.
i.
k.
ex
x→∞ x5
tan 3x
lı́m
+ tan 5x
x→ π
2
lı́m
ln(sen 4x)
ln(sin x)
1
1
√ −
√
lı́m
x→1 (1 −
x) (1 − 3 x)
lı́m
x→0
1
1
− 2
x→0 sen2 (x)
x
lı́m
3
lı́m x 4+ln x
x→0
b.
d.
f.
h.
j.
l.
5t − 3t
t→0
t
1−x
lı́m
x→1 1 − sen πx
2
lı́m
cx
1 + c2 x 2
10. El número de células de levadura en un cultivo de laboratorio
está dado por
P (t) =
6. Calcule los siguientes límites. Use la regla de L’Hospital
cuando sea apropiado. Si la regla de L’Hospital no aplica,
explique por qué?
a.
b) g(x) =
a
,
1 + be−rt
t>0
dónde a, b, r son constantes positivas y t es el tiempo en
minutos.
a) ¿Cómo es la gráfica de P (t)? Use la primera y segunda
derivada, y evalué los límites cuando t tiende a ±∞.
b) Se sabe que el máximo número de individuos que el cultivo puede tener es de 2000. Además, a los 10 minutos
se observó la tasa máxima de crecimiento de esta población, y fue de 350 nuevos individuos por minuto. Halle
los valores de a, b, r.
lı́m ln(x) ln(x − 1)
x→1+
lı́m x
11. ¿Para qué valores de los números a y b tiene la función
1/x
x→∞
x2 sen(1/x)
x→0
sen x
x − sen x
lı́m
x→∞ x + sen x
lı́m
Graficación
N 7. Para cada numeral, trace la gráfica de una función que satisfagan todas las condiciones.
a) Una función que tenga un máximo local en x = 2, y que
f (x) = axebx
el valor máximo de f (2) = 1.
2
F 12. La función de densidad de la distribución Gaussiana es
f (x) =
−(x−µ)2
1
√ e 2σ2
σ 2π
dónde µ es la media y σ es la desviación estándar. Analice los
puntos críticos y de inflexión de f . ¿Cómo se puede calcular
σ a partir de los puntos de inflexión de la curva?
13. Considere el polinomio p(x) = x4 + ax2 + b.
a) ¿Bajo cuáles condiciones sobre a y b tiene la función exactamente un punto crítico? ¿Es un máximo o un mínimo?.
b) ¿Bajo qué condiciones tiene la función exactamente tres
puntos críticos? ¿Cuáles son? ¿Clasifíquelos como máximos o mínimos?
c) ¿Es posible que esta función tenga exactamente dos puntos, críticos?
Respuestas al taller 10
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b) Colombia: 92600 Kton, Holanda: 142522, c) en el 2018.
a) 9.95, b) 2.36, c) 0.3141, d) 0.5813, e) 0.00099
7.85 m3 .
a) 15 % b) 11 % c) 21 %
Se disminuye en un 40 %
a) 2 %, b) el error relativo en la medida del diámetro debe ser
menor que 0,05 %
f aumenta en los casos a,b y c. Cambios relativos: a) 5 %, b)
20 %
El relativo con respecto a a es ∆H/H = 2∆a.
800π cm3 /s
Depende de la persona.
1.38 m/s.
0.0046 cm/s.
a) 0.13 m/s, b) 0.17 rad/s, c) 0.0044 metros del piso.
Para el niño: 0.023 s/mes.
a) 9.5 W/s, b) 94.5 W/s, c) 31.7 W/s.
-0.0279047 rad/s
-1 m/s
11π rad/seg
298.16 Km/h
27
√ cm/seg
4 5
16/5 ft/min
−8,9 × 1011 N/h
24
ft/seg
−√
5