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IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 6, NO. 2, JUNE 2008
Reconfiguración de sistemas de distribución
utilizando el Método de Newton en
formulaciones cuadráticas
H. P. Schmidt, A.M.G.Cabezas, N. Kagan, Senior Member, IEEE, M.R. Gouvêa, y P. Agozzini
Resumen— El problema de reconfiguración de sistemas de
distribución consiste en obtener el estado de todas las llaves
existentes en un conjunto de alimentadores de distribución
primarios, de forma tal que se optimice una determinada función
objetivo, típicamente para minimizar la pérdida eléctrica total.
Se trata de un problema de optimización no lineal entero
mixto, en el cual las variables enteras representan el estado de las
llaves, y las variables continuas representan el flujo de corriente
en los tramos de la red. En este artículo se presentan nuevas
formulaciones cuadráticas para la parte continua del problema.
Se demuestra que todas las formulaciones conducen a problemas
convexos, lo que garantiza que exista una solución global única
(en este caso un mínimo) y permite utilizar el Método de Newton
de forma eficiente. Se presenta también una nueva variante de
busca entera basada en el Método Ramifica y Corta conocido en
la literatura como Branch and Bound. Las formulaciones
propuestas se aplicaron a tres sistemas de distribución distintos y
se muestran y analizan los resultados obtenidos.
Palabras clave— Distribución de energía (power distribution),
Minimización de pérdidas (loss minimization), Reconfiguración
de sistemas (system reconfiguration).
I. NOMENCLATURA
p
vp
Ip
cjk
rjk
xjk
Ijk
ijk
ΩB
ΩBp
~
i
~
v
índice de tensión de barra
tensión en la barra p (p.u.)
corriente inyectada en la barra de carga p (p.u.)
factor de capacidad del tramo jk (p.u.)
resistencia eléctrica del tramo jk (p.u.)
reactancia eléctrica del tramo jk (p.u.)
corriente eléctrica a través del tramo jk (A)
corriente eléctrica a través del tramo jk (p.u.)
conjunto de tramo en la red
conjunto de tramos conectados a la barra de carga p
vector de las corrientes en los trechos (p.u.)
vector de las tensiones en los nodos (p.u.)
H.P. Schmidt, N.Kagan y M.R.Gouvêa imparten docencia en la Escuela
Politécnica de la Universidad de São Paulo, CP 61548, 05424-970, São
Paulo, Brasil (correos e.: [email protected]; [email protected];
[email protected]).
A.M.G. Cabezas es candidata al título PhD en la Escuela Politécnica de la
Universidad de São Paulo, CP 61548, 05424-970, São Paulo, Brasil (correo
e.: [email protected]).
P.Agozzini imparte docencia en el Instituto de Matemáticas y Estadística
de la Universidad de São Paulo, 05508-090, São Paulo, Brasil (correo e.:
[email protected]).
E
II. INTRODUCCIÓN
L tema de reconfiguración de sistemas de distribución ha
sido estudiado en las últimas décadas a través de distintos
enfoques. En [2]-[6] los autores utilizan técnicas heurísticas,
en [7]-[9] se emplean algoritmos genéticos y lógica difusa, y
en [10] el problema de reconfiguración se aborda mediante la
técnica de recocido simulado. Con dicha finalidad también se
utilizaron las redes neuronales artificiales [11]. En el trabajo
que se presenta, la función objetivo a ser minimizada está
representada por la pérdida total del sistema. Ante el rápido
desarrollo de la automatización de los sistemas de
distribución, las pérdidas están desempeñando un papel
importante en la planificación operacional de estos sistemas.
En el caso de los sistemas de distribución en Brasil, las
pérdidas técnicas tienen un gran impacto sobre las tarifas de
distribución de electricidad.
En la formulación propuesta las variables independientes se
encuentran en las siguientes categorías: (a) binaria, destinadas
a representar el estado de las llaves (abierto o cerrado), y (b)
continuas, para representar el flujo de corriente eléctrica en los
tramos, así como la tensión en cada barra. Como la pérdida
total es una función cuadrática del flujo de corriente, este
problema se incluye en la categoría de Programación No
Lineal Entera Mixta. Además del aspecto no lineal, este tipo
de problema es difícil de resolver debido a que el número de
soluciones posibles crece exponencialmente con la cantidad de
llaves, lo que impide la aplicación de técnicas sencillas como
la busca exhaustiva. También hay que considerar la restricción
de radialidad, que exige soluciones sin mallas. No existe una
forma simple de incorporar la radialidad en la formulación del
problema de forma analítica, la mejor estrategia consiste en
hacer que la busca entera examine e identifique soluciones
radiales. En [1] se impuso esta restricción igualando el
número de tramos de conducción al número de nodos de
carga, lo cual representa una condición necesaria pero no
suficiente para garantizar la radialidad. En ese mismo trabajo
se desarrolló una formulación preliminar para el problema de
reconfiguración de sistemas de distribución, formulación que
fue probada con éxito en varios sistemas de distribución. La
parte continua del problema se resolvió mediante el Método
de Newton convencional. En todos los casos de estudio los
autovalores de la matriz Hessiana resultaron positivos, lo que
significa que los problemas eran convexos y de esta forma se
garantizó que cada solución encontrada por el Método de
Newton era única.
GARCÍA CABEZAS et al.: RECONFIGURATION OF DISTRIBUTION
163
En cuanto a la parte entera del problema, se utilizó una
eficiente técnica de busca en profundidad, la cual proporcionó
soluciones sub-óptimas de alta calidad pero no garantizó una
solución óptima particular.
En el presente artículo se demuestra que la formulación
original siempre conduce a problemas convexos. Además, la
nueva formulación cuadrática desarrollada en este trabajo
elimina las principales hipótesis asumidas en el trabajo
precedente para simplificar este problema, también permite el
cálculo de las tensiones de barras manteniendo tiempos de
procesamiento pequeños, inclusive para redes grandes. El
beneficio principal de la aplicación del Método de Newton
convencional a problemas cuadráticos consiste en la
convergencia en una única iteración, beneficio este que se
mantiene en la nuevas formulaciones. Además, la introducción
del Método Branch-and-Bound en la parte entera del
problema permite identificar soluciones óptimas, así como
otras soluciones mejores que las soluciones sub-óptimas
obtenidas a través de la busca en profundidad.
El artículo está organizado de la siguiente forma. En la
sección III se presentan los aspectos más importantes de la
metodología propuesta, incluyendo la característica convexa
de todas las formulaciones, las formulaciones en sí y la
aplicación del Método Branch-and-Bound. En la sección IV
se describe la aplicación de las formulaciones en tres casos,
que incluye un sistema de validación con 96 tramos y 28
llaves, y un sistema real con 1128 tramos y 129 llaves. Por
último, en la sección V se presentan las conclusiones del
artículo y se plantean algunas orientaciones para trabajos
posteriores.
III.
METODOLOGÍA
En este trabajo, se utiliza el Método de las Penalidades
Externas [11] para convertir un problema de optimización con
restricciones en un problema sin restricciones. La Ecuación
(1) muestra la función objetivo sin restricciones
correspondiente a la primera formulación (Formulación 1),
para un determinado perfil de llaves:
⎛
⎞
rjk ⋅ c ⋅ i + K ⋅ ∑ ⎜ ∑ c jk ⋅ i jk + I p ⎟
∑
⎜
⎟
jk ∈Ω B
p ⎝ jk ∈Ω Bp
⎠
2
jk
2
jk
I max trecho
c jk =
,
I base
(2)
Donde Imax trecho es la corriente máxima por el tramo jk (A)
y Ibase es la corriente de base (A) del sistema por unidad
adoptado. También, la corriente de tramo en p.u está definida
como la corriente de tramo real en amperes como una fracción
de su corriente máxima:
i jk =
I jk
I max trecho
.
(3)
De (2) y (3) se deriva que la corriente de tramo en p.u en el
sistema por-unidad es c jk ⋅ i jk . Estas definiciones permiten
que la restricción de capacidad para el tramo jk se exprese de
forma simple como:
(4)
i 2jk ≤ 1
La convexidad de la Formulación 1 será mostrada a través
de un simple sistema representado en la Fig. 1.
i12
1
2
G
I2
i13
i23
3
I3
Fig. 1. Sistema de 3 barras
En este caso, la función objetivo toma la forma:
A. Formulación 1 y problema de convexidad
~
min L( i ) =
El factor de capacidad cjk, que es constante para cada tramo,
se define como:
2
(1)
~
En esta ecuación, el símbolo i representa el vector de
todas las corrientes de tramos, cuyo valor tiene que ser
determinado. El símbolo L(i~) representa la función a
minimizar, la cual tiene en cuenta la pérdida total y los
términos de penalización. El parámetro K permite controlar el
peso relativo de los términos de penalización, y puede
determinarse por experimentación como se describe en la
Sección III. El término de penalización representa la
contribución de la componente de la Ley de Corrientes de
Kirchhoff (LCK) aplicada a todas las barras de carga p; está
elevado al cuadrado debido a que los desvíos de las corrientes
negativas e positivas tienen que ser igual a cero.
2 2
L (i12 , i13 , i 23 ) = r12 c122 i122 + r13 c132 i132 + r23 c 23
i 23
′ i 23 + I 2 )
+ K (c12 i12 + c 23
+ K (c13 i13 + c 23 i 23 + I 3 )
(5)
2
2
Nótese que el signo de los factores de capacidad en (5)
tiene que seleccionarse correctamente para la aplicación de la
′ = −c 23 .
LCK; por ejemplo, c 23
La Ecuación (5) puede reescribirse como:
( r c i + 0 ⋅ i + 0 ⋅ i − 0)
+ (0 ⋅ i + r c i + 0 ⋅ i − 0 )
+ (0 ⋅ i + 0 ⋅ i + r c i − 0 )
+ ( K c i + 0 ⋅ i + K c′ i − (−
+ (0 ⋅ i + K c i + K c i − (−
L (i12 , i13 , i23 ) =
2
12 12 12
13
23
2
12
13 13 13
23
2
12
13
12 12
12
o, usando notación matricial:
23 23 23
13
23 23
13 13
23 23
))
K I ))
K I2
2
2
3
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IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 6, NO. 2, JUNE 2008
2
0
⎡
⎤
⎢
⎥
0
⎡i12 ⎤ ⎢
⎥
⎥ = w−b
L(i12 , i13 , i23 ) = A ⋅ ⎢⎢i13 ⎥⎥ − ⎢
0
⎢
⎥
⎢⎣i23 ⎥⎦ ⎢− K ⋅ I 2 ⎥
⎢⎣ − K ⋅ I 3 ⎥⎦
2
(6)
donde la matriz A está dada por:
⎡ r12 c12
⎢
⎢ 0
A=⎢ 0
⎢
⎢ K c12
⎢ 0
⎣
0
r13 c13
0
0
K c13
⎤
⎥
0 ⎥ .
r23 c 23 ⎥
⎥
′ ⎥
K c 23
K c 23 ⎥⎦ 5 x 3
0
(7)
~ (1) ~ ( 0 )
~
−1
i = i − [H 1 ] ⋅ G ( i ( 0 ) ) ,
En (6), el vector w puede verse como una combinación
lineal de las columnas C1, C2 y C3 de la matriz A; por tanto, el
vector w yace en el espacio S generado por estas columnas,
como se representa en la Fig. 2.
b
w’-b
C3
C1
C2
w
w-b
válida también para cualquier red, debido a que los términos
de pérdidas solo contribuyen en los elementos de la diagonal,
como se puede apreciar en (5) y (7).
En lugar de resolver (8), en este trabajo las corrientes de los
trechos se calculan mediante la aplicación del Método de
Newton convencional directamente en (1). Esto permite
incorporar fácilmente otras restricciones, como la restricción
de capacidad del tramo. Al mismo tiempo, el costo
computacional no se incrementa porque el Método de Newton
converge en una única iteración cuando se aplica a
formulaciones cuadráticas, como la (1).
La aplicación del Método de Newton convencional a (1)
conduce a la siguiente regla de actualización [11]:
w’
(9)
donde los superíndices 0 y 1 indican el orden de la iteración
(la iteración 0 se refiere a la condición inicial), H1 es la matriz
Hessiana y G es el vector gradiente en la iteración 0. En
particular, la matriz Hessiana es constante ya que la función
objetivo es cuadrática. Debe notarse que la matriz Hessiana
refleja la topología de la red y de esta manera es una matriz
altamente dispersa.
La Formulación (1) puede modificarse para incorporar las
restricciones de capacidad de trecho. En este caso, para cada
trecho sobrecargado se añade un término de penalización a la
función objetivo (1):
S - espacio generado
por las columnas de A
C ⋅ f (i jk ) ,
(10)
Fig. 2. Representación gráfica de la ecuación (6)
En esta figura se representan dos combinaciones lineales
diferentes (w y w’). El vector independiente b en (6) está
representado también. En (6), la función objetivo L(.) se puede
ver como el cuadrado de la norma del vector (w-b).
Observando la Fig. 2 queda claro que la función objetivo
tendrá su valor mínimo cuando el vector (w-b) sea ortogonal a
S. La condición de ortogonalidad se fuerza haciendo el
producto escalar del vector (w-b) con cada una de las
columnas de la matriz A igual a cero, lo cual lleva a la
siguiente expresión:
⎡i12 ⎤
A ⋅ A ⋅ ⎢⎢i13 ⎥⎥ = At ⋅ b .
⎢⎣i23 ⎥⎦
(8)
t
~
La ecuación (8) permite calcular el vector i justamente por
la resolución de un conjunto de ecuaciones lineales. Además,
nótese que las tres primeras filas de la matriz A tienen
solamente elementos no-cero en la diagonal, y asumiendo que
todas las resistencias y factores de capacidad son estrictamente
positivos, se concluye que el rango de la matriz A es igual a 3,
o sea, el número de tramos en la red. Por esta razón, la matriz
(A t ⋅ A ) en (8) no es singular, lo cual prueba que la
formulación (1) es convexa. La propiedad de convexidad es
donde C es un parámetro que permite controlar el peso
relativo de la restricción de capacidad en la función objetivo
completa, y la función f(.) está dada por:
⎧ (i jk + 1)2
⎪
0
f (i jk ) = ⎨
⎪ (i − 1)2
⎩ jk
si i jk < − 1
.
si − 1 ≤ i jk ≤ + 1
si i jk > + 1
(11)
Al utilizar los términos de penalización adicionales dados
en (10) y (11), la formulación del problema mantiene su
naturaleza cuadrática.
Durante la solución de (9), se verifica en cada trecho la
existencia de sobrecarga según (4). Si se encuentra un tramo jk
sobrecargado, se añade en (1) el correspondiente término de
penalización para obtener así una solución sin sobrecarga en
los tramos.
B. Formulación 2
En este caso,
las corrientes de los tramos están
representadas por números complejos, como se muestra:
i jk = i jk , R + ji jk , I ,
(12)
y se asume que los ángulos de las tensiones de barra tienen
valor cero, igual que en el caso anterior.
GARCÍA CABEZAS et al.: RECONFIGURATION OF DISTRIBUTION
~ ~
min L ( iR , iI ) =
(
∑ r jk ⋅ c 2jk ⋅ i 2jk , R + i 2jk , I
)
jk ∈Ω B
2
⎛
⎞ .
+ K ⋅ ∑ ⎜ ∑ c jk ⋅ i jk , R + I p , R ⎟
⎜
⎟
p ⎝ jk ∈Ω Bp
⎠
⎛
+ K ⋅ ∑ ⎜ ∑ c jk ⋅ i jk , I + I p , I
⎜
p ⎝ jk ∈Ω Bp
⎞
⎟
⎟
⎠
(13)
−1
~
0 ⎤ ⎡G ( iR( 0 ) ) ⎤ ,
⋅
⎢
⎥
H 1 ⎥⎦ ⎣G (~
iI ( 0 ) ) ⎦
(14)
~
donde iR( 0) indica el vector columna que contiene la parte real
de todas las corrientes de tramo en la iteración 0, G(~
iR(0) ) es el
vector columna formado por las derivadas de la función
objetivo con respecto a la parte real de cada una de las
corrientes de trecho, y el subíndice “I” indica la entidad
correspondiente para la parte imaginaria.
Debe señalarse que la submatriz H1 en (14) es exactamente
igual a la que aparece en la Formulación 1. La ecuación (14)
también
representa
dos
sistemas
de
ecuaciones
independientes, lo cual permite ensamblar y factorizar la
matriz H1 una sola vez siempre que se resuelva (14). Esta
característica permite economizar esfuerzo computacional,
especialmente para redes grandes.
C. Formulación 3
Esta formulación incorpora el cálculo de las tensiones de
barra en el problema de optimización, lo que constituye un
aspecto importante dentro del contexto de calidad del servicio.
La Ecuación (15) representa la caída de tensión a través de un
tramo genérico jk:
v& j − v&k = c jk ⋅ (i jk , R + ji jk , I ) ⋅ (r jk + jx jk )
[
⋅ (r
]
= c jk ⋅ (r jk i jk , R − x jk i jk , I ) + j (r jk i jk , I + x jk i jk , R ) .
≅ c jk
i
jk jk , R
− x jk i jk , I )
tensión en el extremo receptor (barra k) tiene ángulo cero,
entonces la tensión en el extremo de envío tiene ángulo cero
también (y así para todas las barras de la red). Por tanto, la
caída de tensión en cualquier trecho se puede representar por
la siguiente expresión real:
v j − v k = c jk ⋅ (r jk i jk , R − x jk i jk , I )
2
En esta ecuación se consideran las partes real e imaginaria
de las corrientes de los tramos para el cálculo de la pérdida
total y la ejecución de la LCK. La aplicación del Método de
Newton convencional en (13) produce la siguiente regla de
actualización (nótese que existe una simetría de las partes real
e imaginaria de las corrientes de tramos con respecto a la
función objetivo):
~
~
⎡ iR(1) ⎤ ⎡ iR( 0 ) ⎤ ⎡ H 1
⎢~ (1) ⎥ = ⎢ ~ ( 0 ) ⎥ − ⎢
⎣ iI ⎦ ⎣ iI ⎦ ⎣ 0
165
(15)
El último paso en (15) es común en sistemas de
distribución. La componente imaginaria de la caída de voltaje
se puede despreciar en la mayoría de las situaciones sin
comprometer la precisión de los resultados. Esto se debe a la
separación de fase y los conductores típicos utilizados en
sistemas de distribución. Asumiendo que la caída de voltaje a
través de cualquier trecho puede representarse mediante un
número real puro (como se indica en (15)), y también que la
(16)
La incorporación de (16) en la función objetivo se logra a
través dos términos de penalización asociados, de la misma
forma que la LCK. La expresión (17) muestra la función
objetivo para la Formulación 3:
~ ~
min L( iR , iI , v~ ) =
∑r
jk ∈Ω B
jk
(
⋅ c 2jk ⋅ i 2jk , R + i 2jk , I
⎛
⎞
+ K ⋅ ∑ ⎜ ∑ c jk ⋅ i jk , R + I p , R ⎟
⎜
⎟
p ⎝ jk ∈Ω Bp
⎠
⎛
+ K ⋅ ∑ ⎜ ∑ c jk ⋅ i jk , I + I p , I
⎜
p ⎝ jk ∈Ω Bp
+ ΔV ⋅
∑ (v
jk ∈Ω B
⎞
⎟
⎟
⎠
)
2
,
(17)
2
− v k − c jk r jk i jk , R + c jk x jk i jk , I )
2
j
donde el parámetro ΔV permite controlar el peso relativo del
término de penalización para la caída de tensión.
Igual que en el caso precedente, la aplicación del Método
de Newton convencional en (17) produce la siguiente regla de
actualización:
~
~
⎡ iR(1) ⎤ ⎡ iR( 0) ⎤ ⎡ H 1
⎢~ (1) ⎥ ⎢~ ( 0) ⎥ ⎢
⎢ iI ⎥ = ⎢ iI ⎥ − ⎢ 0
⎢v~ (1) ⎥ ⎢v~ ( 0) ⎥ ⎣⎢ H VR
⎣ ⎦ ⎣
⎦
0
H1
H VI
H RV ⎤
H IV ⎥⎥
H VV ⎦⎥
−1
~
⎡G( iR( 0 ) )⎤
⎢ ~ ⎥.
⋅ ⎢G ( iI ( 0 ) )⎥
⎢G (v~ ( 0 ) )⎥
⎣
⎦
(18)
En (17) se puede agregar un término de penalización
adicional para considerar las necesidades de tensión mínima.
En este caso, para cada barra que presente un valor de tensión
menor que la tensión mínima Vmin especificada, se añade el
siguiente término de penalización a la función objetivo (17):
V M ⋅ g (v j ) ,
(19)
donde el parámetro VM permite controlar el peso relativo de la
restricción de tensión mínima, y la función g(.) está dada por:
⎧(v − V min )2
g (v j ) = ⎨ j
0
⎩
si v j < V min .
caso contrario
(20)
D. Conflicto entre restricciones
El Método de las Penalizaciones Externas facilita la resolución
del problema de optimización, pero tiene la desventaja de
permitir conflictos potenciales entre las restricciones. Esto
sucede, por ejemplo, entre las restricciones de tensión mínima y
la LCK. Cuando se detecta una tensión baja en un nodo
166
determinado, la restricción de tensión mínima aumenta la
tensión en ese nodo. Como consecuencia, deben modificarse las
corrientes de los tramos restringiendo la caída de tensión. Al
final, estas nuevas corrientes pueden no satisfacer la LCK. En
este trabajo la restricción de tensión mínima no se incorpora en
las iteraciones de Newton, evitando así este conflicto (significa
que los términos de penalización dados en (19) no tienen
contribución en la matriz Hessiana ni en el vector gradiente). No
obstante, los valores de penalización asociados a esta restricción
se consideran durante la búsqueda entera.
La última expresión en (17) representa los términos de
penalización asociados a la restricción de caída de tensión
(Ley de Ohm). Es importante observar que la restricción de
caída de tensión no provoca ningún conflicto con la LCK,
debido a que las tensiones de los nodos solo aparecen en la
restricción de caída de tensión.
E. Búsqueda Entera – Método Branch-and-Bound
El propósito de la búsqueda entera es determinar el estado
de todas las llaves (abierto o cerrado), considerando que la
solución final debe ser radial. Se utilizó una simple técnica de
búsqueda en profundidad, donde todas las llaves están
inicialmente cerradas y el algoritmo va abriendo una a una
hasta alcanzar el número necesario de llaves abiertas. La
decisión sobre la elección de apertura de una llave se basa en
el incremento de pérdida que podría originar la llave
candidata. Para estimar este incremento se utilizaron dos
métodos, denominados Método A y Método B [1].
El Método A, que es más rápido pero menos preciso, utiliza
una estimación aproximada del incremento de pérdida,
calculada a partir de los elementos de la diagonal de la matriz
Hessiana. El Método B considera una llave de cada vez; abre
temporalmente una llave candidata y ejecuta un flujo de
potencia completo mediante la resolución de (9), (14) o (18). Al
finalizar este proceso, la llave que produjo el menor incremento
de la función objetivo se abre de forma permanente.
A pesar que la técnica de búsqueda en profundidad produce
soluciones sub-óptimas de alta calidad, no garantiza que la
solución final sea la solución óptima deseada. Por esta razón,
se realizaron estudios adicionales para mejorar la búsqueda
entera. La nueva estrategia de busca se basa en el Método
Branch and Bound [12]. En este trabajo el Branch and Bound
se implementó como un algoritmo de búsqueda en
profundidad complementado con retroceso en el árbol de
búsqueda, como se representa en la Fig. 3.
Con respecto al diagrama de la Fig. 3, la solución inicial
corresponde a la red operando con todas las llaves cerradas.
Las condiciones para decidir ejecutar un retroceso son las
siguientes:
• Test T1 [12] descarta una solución no radial porque su
pérdida total es mayor que la pérdida total de la mejor
solución radial encontrada hasta ahora (todas las
soluciones radiales descendientes de una solución no
radial determinada tendrán un valor de pérdida total
mayor o igual que la pérdida total de la solución no
radial), o
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•
•
La solución ya es radial (no se pueden abrir más llaves
porque dejaría barras desconectadas), o
La solución no tiene llaves libres para abrir.
Generar solución inicial
(“solución”)
Mientras exista “solución”
Si
Realizar
retroceso ?
No
Generar solución hija
solución ← solución padre
solución ← solución hija
Aplicar Test T3 si
solución es radial
Fig. 3. Búsqueda entera con Branch and bound
Si la solución actual es radial, el algoritmo Test T3 [12] en
la Fig. 3 la compara con la mejor solución radial encontrada
hasta ahora, actualizando esta última si la pérdida total de la
solución actual es menor que el valor obtenido hasta ahora.
El concepto de “llave libre” es extremadamente importante
en esta implementación. El está asociado a las llaves que
permanecen cerradas en una determinada solución. En la
solución inicial todas las llaves están cerradas y el atributo
“libre”de cada una es puesto en on. Para generar soluciones
hijas de la solución actual, se selecciona la primera llave libre
en la lista ordenada de llaves candidatas (esta lista contiene
todas las llaves cerradas, en orden ascendiente según el
incremento de pérdida que su apertura causaría). Si existe una
llave libre, entonces se abre y se genera una solución hija.
Finalmente, debe puntualizarse que tanto el Método B
(búsqueda en profundidad) como el Método Branch and
Bound utilizan la función objetivo completa (dada por (1),
(13) o (17)), e incluyen términos de la restricción de tensión
mínima (si existe) para seleccionar la mejor opción de
apertura de llave durante la búsqueda entera.
IV.
RESULTADOS
La metodología descrita en la sección precedente fue
implementada como un programa computacional. El programa
permite combinar las dos estrategias de búsqueda (búsqueda
en profundidad y Branch and Bound) con las tres
formulaciones (F1, F2 y F3). En esta sección se presentan y
muestran los resultados de la aplicación de la metodología a
tres casos de estudio (Caso 1, 2 y 3). En todos los casos fue
utilizado un computador con procesador de 3 GHz.
A. Caso 1
La Fig. 4 muestra la red eléctrica para el Caso 1, la cual fue
propuesta por Baran y Wu [4] y se ha tornado un estándar de
comparación para algoritmos de reconfiguración. La red está
GARCÍA CABEZAS et al.: RECONFIGURATION OF DISTRIBUTION
constituida por 32 barras de carga, 1 barra de alimentación, 37
tramos con llave y 0 tramos sin llave. El número necesario de
llaves abiertas es 37-32 = 5. En este caso, los intereses
principales son la pérdida total y los niveles de tensión.
Fig. 4. Caso 1
En la Tabla 1 se muestran los resultados más relevantes
para la búsqueda en profundidad con el Método A (con el
Método B se obtuvieron resultados exactamente iguales en
este caso). La Tabla 2 muestra los resultados correspondientes
para el Branch and Bound.
TABLA 1. RESULTADOS PARA EL CASO 1 – BÚSQUEDA EN PROFUNDIDAD CON
MÉTODO A
Formulación →
F1
F2
F3
Parámetro ↓
Pérdida inicial (todas las llaves
124.5023
113.3862
cerradas) (kW)
6-7
6-7
8-9
8-9
13-14
13-14
Llaves abiertas
24-28
24-28
31-32
31-32
Pérdida final (kW)
139.6280
127.3557
Llaves incorrectamente
31-32
abiertas1.
Llaves incorrectamente
30-31
cerradas1.
0.5358 kW
Diferencia de Pérdidas1
0.39 %
Flujos de potencia calculados
6
Tiempo de procesamiento (s)
< 0.001
< 0.001
0.016
1
Con respecto a la solución optima determinada través del Branch and
Bound (Tabla 2)
TABLA 2. RESULTADOS PARA EL CASO 1 - BRANCH AND BOUND (SOLUCIÓN
ÓPTIMA)
Formulación →
F1
F2
F3
Parámetro ↓
6-7
6-7
8-9
8-9
Llaves abiertas
13-14
13-14
24-28
24-28
30-31
31-32
Pérdida final (kW)
139.0922
127.3557
Flujos de potencia calculados
13531
13531
13657
Tiempo de procesamiento (s)
3.468
4.703
9.816
En las Tablas 1 y 2 se puede observar que con la búsqueda
en profundidad se obtuvo la solución óptima con las
167
Formulaciones 2 y 3 (igual para ambas). En el caso de la
Formulación 1, se encontró una solución sub-óptima muy
próxima de la solución óptima (diferencia de 0.3558 kW).
También, el tiempo de procesamiento para la búsqueda en
profundidad fue insignificante.
La solución que se obtuvo a través de la Formulación 1 es
diferente de la solución óptima con las Formulaciones 2 y 3.
Esto se debe a que en la Formulación 1 se aplicó a todas las
cargas un factor de potencia de 0.85, mientras que en las
Formulaciones 2 y 3 se consideró el valor de factor de
potencia real de cada carga.
La Tabla 3 muestra una comparación entre la solución
óptima alcanzada a través de la Formulación 3 sin restricción
de tensión mínima, y la solución correspondiente al incluir
esta restricción.
TABLA 3. IMPACTO DE LA RESTRICCIÓN DE VOLTAJE MÍNIMO
Restricción de Voltaje Mínimo
No incluída
Incluída
Parámetro VM (19)
100
Parámetro Vmin (pu) (20)
0.98
6-7
7-20
8-9
8-9
Llaves abiertas
13-14
13-14
24-28
27-28
31-32
31-32
Pérdidas (kW)
127.3557
131.7623
Term. de penaliz. Voltaje
0
1,.046342
Mínimo (pu)
Función Objetivo (pu)
0.001273585
1.047659
Cuando el término de penalización de tensión mínima es
mayor que cero significa que esta restricción no se satisfizo
para todas las barras. Esta situación se origina por la carga del
sistema y los valores para tensión mínima relativamente altos
(0.98 p.u). También debe señalarse que la aplicación de esta
restricción produce una solución óptima diferente, en la cual
la pérdida total aumenta de 127.3557 kW a 131.7623 kW.
B. Precisión del modelo de flujo de potencia
En esta subsección se comparan los resultados del modelo
de flujo de potencia propuesto con los resultados del modelo
convencional de Newton-Raphson. La Tabla 4 muestra esta
comparación; sólo se incluyeron en la tabla los 5 valores con
mayor diferencia de tensión.
TABLA 4.
Barra
8
7
9
10
11
PRECISIÓN DEL MODELO DE FLUJO DE POTENCIA
Tensión NewtonTensión modelo
Diferencia (%)
Raphson (pu) (A)
propuesto (pu) (B)
[100*(B-A)/A]
0.9609
0.9610
0.01
0.9641
0.9642
0.01
0.9641
0.9642
0.01
0.9642
0.9643
0.01
0.9645
0.9646
0.01
El valor de pérdida calculado a través del modelo NewtonRaphson es 127.4820 kW, mientras que el modelo propuesto
obtuvo 127.3557 kW. Estas diferencias mínimas muestran una
excelente concordancia entre ambos modelos.
168
C. Caso 2
La red eléctrica mostrada en la Fig. 5 contiene 83 barras de
carga, 3 barras de alimentación, 68 tramos sin llaves y 28
tramos con llave. El número necesario de llaves cerradas es
83-68 = 15; por tanto, son necesarias 28-15 = 13 llaves
abiertas.
IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 6, NO. 2, JUNE 2008
El Método A de búsqueda en profundidad generó una
solución sub-óptima en la cual se abrieron dos llaves de forma
incorrecta, por tanto, otras dos llaves se cerraron
incorrectamente. La diferencia de pérdida total con relación a
la solución óptima fue del 5.48%. Por otra parte, el Método B
generó una solución sub-óptima muy próxima de la óptima:
sólo se abrió incorrectamente una llave. Con este método la
diferencia en término de pérdida total fue del 0.14%.
D. Caso 3
Este caso corresponde a un sistema de distribución real,
constituido por 5 alimentadores primarios con características
rurales y urbanas mezcladas, 1107 barras de carga, 999 tramos
sin llave y 129 tramos con llave. La solución radial para este
sistema debe tener 108 llaves cerradas (= 1107-999) y 21
llaves abiertas (= 129-108).
Fig. 5. Caso 2
En este caso la búsqueda en profundidad requirió 14 pasos,
1 para el cálculo de flujo de potencia inicial con todas las
llaves cerradas, y 13 para operaciones de apertura.
En la Tabla 5 se muestran los resultados obtenidos con los
Métodos A y B de búsqueda en profundidad, mientras que la
Tabla 6 muestra los resultados correspondientes para el
Branch and Bound.
TABLA 5. RESULTADOS PARA EL CASO 2 – BÚSQUEDA EN PROFUNDIDAD
Método A
Método B
Formulación
→
F1
F2
F3
F1
F2
F3
Parámetro ↓
Pérd. inicial (llaves
1065.360
1065.360
cerradas) (kW)
Pérdida final (kW)
132.070
1253.222
Llaves abiertas
23-26
38-64
23-26
incorrectamente1
Llaves cerradas
20-36
23-25
20-36
incorrectamente1
Diferencia de
68.54 kW
5.48%
1.692 kW
0.14%
pérdidas1
Tiempo de
0.015 0.016 0.078 0.047 0.062
0.265
procesamiento (s)
1
Con respecto a la solución óptima determinada a través del Branch and
Bound (Tabla 6)
TABLA 6. RESULTADOS PARA EL CASO 2 - BRANCH AND BOUND (SOLUCIÓN
ÓPTIMA)
Formulación
→
F1
F2
F3
Parámetro ↓
12 -61 13-76 14-17 15-19
Llaves abiertas
18-34 20-24 20-36 23-25
39-43 48-69 50-51 52-85
70-86
Pérdidas (kW)
1251.530
Tiempo de procesamiento (s)
496.719
891.954
1247.406
En este caso las tres formulaciones llegaron a la misma
solución. Esto se debe a que el factor de potencia para todas
las cargas es 1.0, significa que la red eléctrica es la misma en
las tres formulaciones.
La Tabla 7 muestra los valores de pérdida total y tiempo de
procesamiento para la búsqueda en profundidad utilizando los
Métodos A y B. En este sistema todas las cargas tienen factor
de potencia igual a 1.0, lo que ocasiona que las 3
formulaciones generen la misma solución con cada método.
TABLA 7. RESULTADOS PARA EL CASO 3 – BUSCA EN PROFUNDIDAD
Método A
Método B
Formulación
→
F1
F2
F3
F1
F2
F3
Parámetro ↓
Pérdida inicial (todas las
103.7189
llaves cerradas) (kW)
Pérdida final (kW)
144.9565
Flujos de potencia calc.
22
Tiempo de procesamiento
4.48 5.12 10.69
(s)
103.7189
129.7397
64
32.31
33.81
107.51
En la tabla anterior se puede observar que la solución que se
obtuvo con el Método B es mejor que la del Método A, a
expensas de un tiempo de procesamiento mayor. En esta red
grande se tornan evidentes las diferencias en término de tiempos
de procesamiento entre las 3 Formulaciones.
El Método Branch-and-Bound en la Formulación 1 obtuvo
204 soluciones en 8 segundos aproximadamente. De éstas, 9
soluciones fueron mejores que la mejor solución encontrada a
través de la búsqueda en profundidad con el Método A (Pérdida
total de 144.9565 kW, Tabla 7). La mejor solución identificada
por el Método Branch and Bound obtuvo un valor de pérdida
total de 126.1418 kW.
V. CONCLUSIÓN
El problema de reconfiguración de sistemas de distribución
manifiesta ciertas características que dificultan su resolución.
Entre ellas destacan: (a) la relación cuadrática entre las
corrientes en los tramos y las pérdidas eléctricas, (b) la
naturaleza combinatoria originada por las variables binarias que
representan las llaves, y (c) la restricción de radialidad, que no
permite la existencia de mallas en la solución optimizada.
Este trabajo presentó tres nuevas formulaciones para la parte
continua del problema de reconfiguración de sistemas de
distribución, particularmente para el cálculo de corrientes en los
GARCÍA CABEZAS et al.: RECONFIGURATION OF DISTRIBUTION
tramos y tensiones de barra. La Formulación 2 proporciona un
modelo de carga más detallado con relación a la Formulación 1,
además, dado que la matriz Hessiana se factoriza una sola vez
para resolver dos conjuntos independientes de ecuaciones
lineales, el costo computacional se mantiene en niveles
equivalentes. La Formulación 3 proporciona las tensiones de
barra resultantes en el sistema, pero la matriz Hessiana es
grande y no se puede subdividir como en la Formulación 2, lo
que eleva el costo computacional.
Se comprobó analíticamente la convexidad de todas las
formulaciones. Esta característica garantiza la existencia de un
mínimo global único y hace que Método de Newton sea el
candidato por excelencia, al converger en una sola iteración
cuando el problema es cuadrático, como es el caso aquí
presentado.
La Formulación 3 obtiene las corrientes en los tramos y las
tensiones de barras mediante una simplificación común en
sistemas de distribución, en los que el ángulo de desvío entre
nodos normalmente es muy pequeño. Los resultados de esta
formulación muestran una excelente concordancia con los
resultados del modelo completo de Newton-Raphson, el cual
valida el modelo de flujo de potencia propuesto.
En cuanto a la parte entera, se incorporó el Método Branch
and Bound con el objetivo de validar las soluciones
suministradas por la búsqueda en profundidad. Además,
permitió identificar rápidamente soluciones sub-óptimas de alta
calidad. Si el tiempo de procesamiento no es una preocupación,
el Branch and Bound se puede utilizar eficazmente para
identificar estas soluciones. La implementación del algoritmo
básico Branch and Bound utilizada en este trabajo está siendo
perfeccionada actualmente con el propósito de reducir su costo
computacional.
La búsqueda en profundidad también identifica soluciones
sub-óptimas de alta calidad, aunque no tantas como el Método
Branch and Bound. Con tiempos de procesamiento
extremadamente bajos, la búsqueda en profundidad es una
fuerte candidata para aplicaciones en tiempo real.
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tree configuration in an urban power distribution system,” in 5th Power
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signal processing, John Wiley and Sons, 1993.
[12] F. S. Hillier and G. J. Lieberman, Introduction to operations research,
New York: McGraw-Hill, 1997.
Hernán Prieto Schmidt nació en Montevideo, Uruguay, el 6 de marzo de
1960. Recibió los títulos de BSc y MSc en Ingeniería Eléctrica en la Escuela
Politécnica de la Universidad de São Paulo, Brasil, en 1982 y 1989,
respectivamente. En 1994 recibió el título de Ph.D. en Ingeniería Eléctrica en
la Universidad de Londres, GB. Desde 1985 es profesor de la Escuela
Politécnica de la Universidad de São Paulo, y desde 2005 es Profesor
Asociado. Durante 2002-2003 trabajó en un proyecto de pos-doctorado en el
área de optimización de sistemas, en la Universidad de Akron (Ohio, EE.
UU.). Su área de interés incluye la aplicación de técnicas de optimización y
redes neurales artificiales a problemas de planificación y operación en
sistemas de distribución, y el desarrollo de herramientas GIS para la operación
de sistemas eléctricos de potencia.
Ana María García Cabezas nació el La Habana, Cuba, el 5 de marzo de
1967. Recibió el título de Ingeniería en Control Automático en el Instituto
Superior Politécnico José Antonio Echeverría, La Habana, Cuba, en 1990. En
2002 recibió el título MSc em Ingeniería Eléctrica en la Escuela Politécnica de
la Universidad de São Paulo, Brasil. Actualmente está trabajando para obtener
el título Ph.D en la misma universidad en el área de optimización de sistemas
de distribución.
Nelson Kagan (M’88–SM’04) nació en São Paulo, Brasil, el 8 Octubre de
1960. Recibió los títulos BSc y MSc en Ingeniería Eléctrica en la Escuela
Politécnica de la Universidad de São Paulo, Brasil, en 1982 y 1988,
respectivamente. En 1993 recibió el título Ph.D. en Ingeniería Eléctrica en la
Universidad de Londres, GB. Desde 1983 es profesor del Departamento de
Ingeniería Eléctrica de la Universidad de São Paulo. En 1999 presentó su tesis
de posdoctorado y pasó a desempeñar funciones de Profesor Asociado. La
mayoría de sus trabajos de investigación se relaciona con la calidad de la
energía y la planificación de la distribución de energía eléctrica. Se interesa en
el área de aplicación de sistemas inteligentes y optimización con múltiples
objetivos.
Marcos Roberto Gouvêa recibió los títulos BSc, MSc y PhD en la Escuela
Politécnica de la Universidad de São Paulo, Brasil, en 1972, 1979 y 1994,
respectivamente. Trabajó desde 1972 hasta 1995 en la Themag Ingeniería, una
firma de consultoría líder en Brasil. Entre 1998 y 2000 trabajó en la comisión
de Servicios Públicos del Estado de São Paulo como jefe de Comisión. Es
profesor de la Escuela Politécnica de la Universidad de São Paulo desde 1989.
El Dr. Gouvêa es autor de más de 50 artículos técnicos, presentados en
congresos y publicados en revistas especializadas.
Paulo Agozzini Martin nació en São Paulo, Brasil, el 25 de enero de 1959.
Recibió el título BSc en Ingeniería Eléctrica en la Escuela Politécnica de la
Universidad de São Paulo, Brasil, en 1982 y el título MSc en Matemáticas en
el Instituto de Matemática y Estadística de la Universidad de São Paulo,
Brasil, en 1986. En 1991 recibió el título PhD en Matemáticas en el Instituto
de Matemática y Estadística de la Universidad de São Paulo.