DIFICULTAD PARA EL APRENDIZAJE DE LA ARITMETICA

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DIFICULTADPARA EL APRENDIZAJEDE LA ARITMETICA
M¿ría A. Rebollo*
Las publicaciones sobre las dificultades en el aprendizajede la aritmética
son, contrariamente a lo que sucede
con las de la lecto-escritura, escasasy
,f:agmentarias. Esto puede deberse a
que:
1. En los primeros años del aprendizaje escolar se da más importancia al
aprendizaje de la lectura y la escritura que a la del cálculo;
2. En segundo término, a que la ensefianza tradicional de la aritmética
está.dirigida, por lo
_menosen su
comienzo, a asegurarla adquisición
de los mecanismos fundamentales
del cálculo sin el apoyo de una
comprensión y un conocimiento
preciso de las nociones fundamentales. De esta manera, las dificultades pueden permanecer latentes
hasta que el niño se enfrenta a
*Profesor de Neurología, Escuela
de Medicina,
Universidad de Montevideo, Uruguay.
problemas complejos que requieren
un razonamiento elaborado y preciso.
Antes de entrar en las dificultades
en el aprendizajede la aritmética nos
referiremos brevemente a qué es la
aritmética, cuáles son sus objetivos,
cuáles son los prerequisitos para r.,
aprendizaje.
1. La aritmérica.
A) Definición.
Las matemáticascondtituyen, antes
que nada, una actividad mental
conduce a la formación d.
abstractos, independientes "o.r".plll
del material empleado y la situación real de la
que surgieron, y permite'al individuo
razonar sobre formulaciones o proposiciones.
Sin embargo,éste debe ser el punto
de llegada de todo el aprendizaje
matemático y no el de partida como
se ha entendido en ciertos períodos.
Ma¡ía
A, Rcbollo
La enseñanzaactual de esta ciencra
está orientada sobre la concepción de
que la sistematizacióny las etapasde
formalización abstracta son el último
estadio del aprendizaje matemático.
B) Objeüvos de la enseñanza.
Pueden esquematizarseen: objetivos que se refieren al aspectoespecíficamente matemático; objetivos qu€ se
relacionan con el aspectosocial.
a) Objetivos que se refieren al aspecto
específicamentematemático.
Entre ellos tenemos:
1. Adquisición de conceptosrelativos al número, síntesis del sistema de clases Y relaciones Y
comprensión del sistema decimal.
2. ConocimientosY destrezaen las
op eraciones realizadas con
dichos números, susrelacionesY
propiedades, incluYendo las
fracóiones como extensiva del
sistemanumeral.
3. Comprensión Y uso del vocabu.
lario matemático en susasPectos
cuantitativos (mucho, cuanto,
etc.) y en lo referente a la
nomenclatura de los Procesos
particulares (adición, Producto,
suma,etc.).
4. Cultivo de la aPtitud Para la
resolución ile Problemas.
5. Aptitud para el uso de sistemas
de medidas.
6. Desarrollo del factor espacial.
máticos en el aspecto económico relacionado con el consumo y la producción.
c) Requisitos para la funcjón del
c¡ilculo y evolución de la noción de
número y de las operaciones del
cálcr¡lo.
En el aprendizaje del cálculo pueden describirse las etapasde: adquisición del número, de las operacionesy
resolución de las situaciones proble'
máticas.
d) Adquisición dela noción de número
El número es una abstracción que
se forma muy lentamente en el niño a
través de las experienciasde la vida.
Segun Piaget, el número es la síntesis operatoria de La seriación Y la
clasificación, pues es mediante ambas
que el niño puede llegar a la noción de
número. Puede decirse que es un
sistema de clasesdonde cada elemento
está en la clase formada por él Y su
sucesor.
EI número cardinal es la igualdad
de la cantidad en grupos de objetos
diferentes, independientemente de su
naturaleza. Se llega a él por corresPon'
dencia término a término o por numeración de los objetos. Está íntimamente unido a la noción de invariabilidad
de un grupo de unidades.
El número ordinal es la diferencia
de lugar en la serie. La ordenación de
los números es la manera como uno
los dispone uno después del otro,
b) Objetivos que se relacionan con el
dependiendo su valor de la posición
aspecto social.
relativa en la serie.
Se refieren al desarrollo de la conEn la ordenación se basa el contar.
ciencia de la necesidaddel uso de los
En esta acción huy una referencia
números en situaciones vitales, a la
interpretación de gráficas, esquemas' concreta a los dedos. Por esto muchos
autores consideran imPortante el
señales,mapas,etc.
conocimiento de la posición respectiva
a
Compreñde también la utilización
de los dedos.
nivel elemental de los conceptosmate188
q
I
DIFICULTAD PARA EL APRENDIZAJE DE LA ARITMETICA
r
Para llegar al número se considcran
fundamentales 3 condiciones psicológicas: la coilrenación del' todo, la
seriación de los elementos y su clasificación.
Hay consentación del todo cuando
el niño tiene la certeza de que el todo
es un conjunto de partes que se
pueden distribuir como uno quiera.La
relación de partes a todo es la relación
lógica constitutiva de esta conservación.
No hay conservación del conjunto
mientras el niño no pueda pensar
simultiíneamente en el todo y en la
parte, mientras no haya reversibiüdad
del pensamiento. Esto es lo mismo
que decir, hasta que el niño no llegue
al período de'las operacionesconcretas.
Es necesaríala serinción y la clasificación porque el niño debe ser capaz
de concebir los element'osde una serie
como a la' va equivalentes y no
equivalentes. Equivalentes en cuanto a
poder ser agrupados en la misma clase
caracterizada por el número cardinal,
y no equivalentes porque pudiendo ser
seriados porque sori semejantes son
diferentes por el lugar que ocupan en
la serie.
Cuando el niño es capazde compara¡ dos cantidades, cuando ha llegado
a las nociones de seriación, clasificación y conservación, puede abordar la
numeración.
Una vez adquirida esta noción debe
hace¡ la conespond,encia cantidadsímbolo y expresar a éste en fonna
gráfica.
La escritura de los números tiene
dificultades simila¡es a las de las letras
pues se trata de un simboüsmo en
segundo grado, por lo tanto necesita
una función simbólica suficientemente
desarrollada. Sin embargo es algo más
simple porque la canüdad de números
es mucho menor que la deletras,
Se debe produóir una unión reversible entre experiancia concreta, traducción verbal y r-epresentación gráfica.
Una nueva complicación surge
cuando comienza la numeración decintal, pues s€ agregan datos a¡bitra¡ios.
El niño sc encuentra ante una convención bastante sutil ya que el valor del
signo depende de su posición relativa:
las unidades están a la derecha y las
decenasa la izquierda.
La operación es para Piaget, la
acción interiorizada. Pa¡a el niño hay
una gran üferencia entre la acción
concreta y rica en acontecimientos
que se desarrolla en el tiempo y en el
espacio y su traducción simbólica por
medio de signos que no tienen ningun
valor afectivo.
El niño que toma bolitas, las da, las
repa¡te, vive una acción duradera que
debe traducir en una operación aritmética que es algo que no existe.
La operación escrita tiene los mismos tiempos que la acción ejecutada y
su resultado, pero el niño no ve las
etapas. Esta diferencia puede confundir al niño si no ha llegado a un cierto
grado de abstracción.
En la operación el niño tiene que
representar simbólicamente estados y
acciones que se suceden en el tiempo
y en el espacio para lo que tiene que
poseer la estructu¡a en 3 tiempos:
antes -lo que hace- después y sus
expresioneslingüísticas.
Las 4 operaciones aritméticas corresponden a acciones o situaciones
psicológicas, pero hay mrís situaciones
que oPeracrones.
La suma es una operación de reunión.
189
I[.rú] A" Rebollo
La resta es más compleja. Puede
servir para calcular lo que quedar ptta
hacer la comparación y püa calcular
la parte desconocida de una suma en
la que se conoce la otra parte.
La multiplicación es un caso particula¡ de la suma en la que todos los
sumandos son iguales. Es una suma
abreviada de números iguales.
La división a su vez corresponde a
dos acciones diferentes: partición y
distribución.
El niño que es capaz d,e operar
debe poder traducir una operación
concreta simple en términos aritméti=
cos y frente a una operación aritmética indicar la acción simple que corresponde a ella. Esto es cornprensión de
Ias operaciones.
Debe conocer también el mccanismo de las operaciones.para lo que es
irnportante el conocimiento del espacio y la orientación.
Esto porque el niño debe alinear las
cifras y colocarlas unas en relación a
otras. Esto es importante en la suma y
la reSta.
Debe escribir los números de izquierda a derecha.y resolverlas operaciones de derecha a izquierda; y en la
división tiene que ir del dividendo al
divisor o sea dq izquierda a derecha
para obtener el cociente y en un
segundo tiempo, de derecha a izquierda o sea del cociente-divisor al dividendo, para hallar lo que resta.
Esto sólo puede hacerlo el niño que
tiene la conmutatividad relacionada a
la reversibilidad y la noción de orden
relacionada con la estructuración espacial.
Otro aspecto importante es que el
niño debe retener lo que ha aprendido. Esto fundamentalmente en relaci6n a las tablas. Para ello es necesaria
190
la repetición sistemática y la reflexión
sobre la estructura del sistema decimal.
Es también de suma importancia él
aspecto de reversibilidad de las operaciones por lo que es conveniente
enseñarlas como inversas unas de
otras.
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e) L<is problemas.
Para resolver un problema es necesa¡io: comprender el enunciado; razonar sobre los datos.
Para comprender el enunciado es
necesario un nivel general de lenguaje
que permita comprender los diferentes
tipos de palabras o expresiones del
problema. Esto no significa solamente
conocer el lenguaje habitual sino las
palabras del lenguaje habitu¿l usadas
con un sentido particular y las palabras que pertenecen al lenguaje matemático. En el primer caso por ejemplo, repartir que en matemáticas se
usa como distribuir igualmente; y en
el otro palabra como sumando, dividendo, etc.
Comprendidas las palabras debe:
representarselas acciones; recorda¡ su
desa"rrollo;ponerlas en relación; unirlas lógicamente.
Esto es el razonamiento aritmétic o.
Para que el niño aprenda aritmética
debe entonces poseer las siguientes
condiciones: C.I. normal; estar motivado; tener un equilibrio emocional
aceptable; recibir una enseñanzaadecuada; haber alcanzado el niael de las
operaciones concretas; tener un buen
desanollo de la función simbólica;
tener una buena estructuración espacial y témporo-espacial.
2. Dificultad en el aprenüzaje de la
aritméüca.
-¡
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F
A) Defrnición.
La dificultad en el aprendizaje de la
aritmética se denominá habitualmente
discalculia.
El término discalculia surgió del de
acalculia usado por Hensen en lglg
pua denominar un trastorno del
cáIculo provocada por una lesión focal
del cerebro.
En 1924 Gerstmann llamó la atención sobre un síndrome que incluía
entre sus síntomas la acalculia pero
tenía además agnosia digital, indistinción derecha-izquierda, agrafia y
apraxia constructiva. Destacó la im:
portancia entre el conocimiento de los
d9_dqly las primeras adquisiciones del
cálculo.
B) Clasificación.
La acalculia del adulto ha sid,.
clasificada de diferentes maneras.
Hensen diferenció: acalculia en sentido amplio en Ia que hay trastornos
en la lectura y escritura de las cifras, y
acalculia en sentido estricto que corresponde a la dificultad en las operaciones del cálculo mental.
Kleist en Ig24 identificó entre los
'cálculo
trastornos del
varios tipos:
alexia de las cifras que se observa
dentro de un cuadro global de alexia.
Los enfermos pueden calcular mentalmente pero no pueden leer un número
de más de 2 6 3 cifras. Habitualmente
es el trastorno residual de una afasia,
agrafia de las cifras que se relaciona a
la apraxia y a la agrafia de las letras.
Se subdivide en 2 tipos: apraxica
mieloquinética en la que falla el movimiento para escribir la cifra; apractocorutractiaa, en la que Ia dificuttad
esfá en la orientación espacialiacalculia, que es la alteración del cálculo
mental sin alexia.
Hassert3-van Geerstruyden considera 2 formas: la dificíhad en el
conocitniento de ü posición de las
cifras en el número y- en las operaciones escritas en la que lo que está
perturbado es el plan para eféctuar el
cálculo ya que se cólocan mal las
cifras, pero el cálculo mental es norrnal; la dificultad en el sistemacuantit,rtiao y la funcíón representativa del
número, en la que hay dificultad en el
cáIculo mental ya que las funciones
mencionadasson su base.
Hécaen y Ajuriaguerra identifican 3
grupos desde el punto de vista semiológico: alexia de las cifras, anarritmia
o imposibilidad de realiza¡ las operaciones y discalculia de tipo espaci¿.De acuerdo a todo lo dichb y a lo
que hemos visto al estudiar niños con
estasdificultades existen en el niño los
grupos siguientes:
I) Dificultad inespecífica en el aoren¡
dizaje de la ariimética:
l) Por enseñanzainsuficiente;
2) Por C.I. bajo;
3) Por falta de motivación;
4) Por problemas afectivo_
emocioirales;
5) Por graves fallas instrumentales
motoras o sensoriales;
II) Dificultad específica en el aprendizajede la aritmética:
1) Por dificultad en el razonamiento lógico-matemático o d,íscalculia en el sentido estricto;
2) Por dificultades o alteraciones
en otras funciones psiconeurológicas o discalculia en el sentido
arnplío.
Ellas pueden ser causadaspor alteración en la función semiótical
a) dificultad en Ia lectura de cifras;
r91
It&¡ír A. Rcbollo
b) dificultad en la comprensión del
lenguaje. Este tipo está muy íntimamente relacionado con la discalculia en el sentido.estricto ya que
el nivel de pensamiento influye en
la comprensión, alteraciones espaciales y témporo-espaciales, alteraciones de la memoria.
Como es bien sabido es casi imposible separar las funciones psicológicas
unas de otras, pero esta separación se
hace teniendo en cuenta la alteración
más saliente.
Es frecuente que ambos tipos de
discalculia se observen juntas y que la
discalcuüa no se observe aislada sino
en una dificultad global del aprendizaje. Es importante sin embargo poner
en evidencia los factores que intervienen en la determinación de la alteración
para la reeducación.
C) Estuüo del niño con üficultad en
el aprendizaje de la aritméüca.
Es igual al de cualquier niño con
dificultad de aprendizaje.
Comprende:
a) Estuüo neurológico.
Historia clínica. Buscando con
todo detalle las características del
aprendizajey de la escolaridad:escuela
a la que concurre, cambio de escuela,
asiduidad del niño, cambio de maestras, adaptación at medio escolar,
motivación para el estudio y para la
aritmética, relación con el maestro y
los compañeros, actitud del niño, de
los padres y del maestro frente a la
dificultad, condiciones en que hace los
deberesy disposición para hacerlos.
Debe investigarse también todo
aquello que haga pensar o descarta¡:
retardo mental, problemas afectivoemocionales importantes, etc.
L92
En los antecedentesdel niño, factores etiológicos de daño neurológico,
síntomas de disfunciones cerebrales.
En los antecedentesfaniliares debe
insistírse en las dificultades del aprendizaje y en las características de disfunción.
Examen neurológico. Debe reaJizarse un buen examen neurológico. No
digo como otros un examen neurológico fino o buscando signos "blandos"
sino un buen exarnen neurológico que
en el niño debe ser siempre con fines
de establecer nivel evolutivo y teniendo en cuenta funciones psico-neurológicas (gnoso-praxia, percepción
visual, visuo-espacial, temporo-espacial, lateralidad, etc.).
Como esencial dentro del examen
neurológico debe hacerse un estudio
del lenguaje, clínico y por medio de
pruebas. En nuestro medio se usa la
batería de Benton adaptada al niño
por los Dres. Mendilaharsu y las,pruebas psicolingüísticasde Sinclair.
*
?
Exámenes complementarios. EEG
y otros cuando el caso lo requiera.
b) Estuüo pedagógieo.
Es en este casofundamental.
Comprende 3 etapas: üagnóstico
general; diagnóstico analítico; establecimiento de un perfil de rendimiento.
Primera etapa o üagnóstico general.
Se aplica una prueba que permite
determinar el nivel de re¡rdimiento del
niño. Ella comprende los aspectos
siguientes:
Sistema numeral. Comprende los
aspectos fundamentales del sistema
decimal de numeración, la composición asociativa y disociativa del número, el valor relativo o posicional de l¡as
-.:¡
DIFICULTAD PAFA EL APRENDIZAJE DE LA ARITMETICA
f
cifras, el ordenamiento y seriación de
cantidades numéricas.
También se realizan pmebas de
clasificación y seriación.
Cálculo. Se refiere a la comprensión del sentido de las operacionei, sus
propiedades, su aplicación y destreza
en técnicas.
&tructuración
espa"i"l y témporoespacial.
Bender, Piaget-Head, ritmo de M.
Stambak.
Fracciones. Es un aspecto de la
estructura numeral que exige un mayor dominio en la comprensión de las
relaciones. Comprende la representación, cálculo de la parte por el todo y
vice versa y operaciones con fracciones.
Gnosiar ügitales.
Este estudio neuro-psicopedagógico nos ha permitido identifica¡ los grupos que hemos mencionado.
Dentro de las dificultades específicasdestacamos:
Sistema de medidas. Se refiere al
uso de unidades arbitrarias de medida
hásta la utilización de las unidades
legalesde nuestro sistema.
I
Aplicación social" Comprende los
aspectos relacionados con la fase
social del estudio matemático ya mencionada.
La prueba está estructurada en 3
niveles por cada grado escolal, correspondiendo el ultimo de cada uno al
primero del siguiente.
La segunda etapa es el üagnoeüco
analíüco.
Permite determinar los elementos
que configuran la dificultad comprobada.
Tercera etapa..Consiste en el ar,o,lisis y evaluación de todas las pruebas
realizadas para establecer el perfil de
rendimiento que es útil para la reeducación.
c) Estudio psicológico.
Comprende:
Estudio del C.I.
Se realiza con el Wisc.
huebas de Piaget.
Para establecer el nivel de pensamiento lógico-matemático. Se emplean las pruebas de conservación de
la sustanciaya seaplaticina o líquidos.
EI primer grupo en el que hay
dificultades en la comprensión referida ya sea al sistema numeral, sus
relaciones y operaciones, ya a los
conceptos lógicos elementales,ya a la
resolución de problemas, o sea a lo
que corrientemente se entiende por
razonamiento aritmético.
El segundo grupo en el que las
dificultades relativas al cálculo se refieren ya a problemas de tipo espacial
(rotaciones, inversiones, incorrecta
colocación de las cifras, etc.) tal como
se observa en los disléxicos;ya seaa la
incapacidad para lograr fluidez en los
mecanismos del cálculo (dificultad en
memorizar las tablas, olvido de "lo
que se lleva", etc.)i ya sea dificultad
en la comprensión del lenguaje.
El primer grupo corresponde a la
acalculia en el sentido estricto de
Hensen, a la acalculia de Keist, a la
dificultad en el sistema cuantitativo v
la función representativa del túth.tá
de Hassaerts-van Geerstruyden.
El segundo grupo a su vez, cotresponde a la acalculia en sentido amplio
de Hensen, la alexia y agrafia de las
cifras de Kleist, la dificultad .en el
conocimiento de la posición de las
cifras en el número y las operaciones
de Hassaerts.
19.3
IhsA .¿LRcbollo
Creemos-que esto
-es ury Primgra
aproximación al problema de Ia difrcultad en el aprendizajede la a¡imética en la que falta mucho por saber.
RESUMEN
con dificultades para aprendera¡itmética.
.
SUMMARy
*.
The clinical, ethiologicaland mÍuu_
se revisan
rosaspectos
clínioos,.ffi's Hfft:ffj, ff;f#TtJI:
etiológicos y de manejo de los niños
reviewed.
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194