Laboratorio de Vibraciones Mecánicas Practica 4a Nombre:_____________________________________ Matricula:_______________ Grupo de Lab.:_______________ PRÁCTICA 4a VIBRACIÓN FORZADA SIN AMORTIGUAMIENTO DE SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD Cálculos y dibujos 15 Resultados 20 Conclusiones 30 Investigaciones 25 Comentarios y 10 Observaciones CALIFICACIÓN 100 TOTAL OBJETIVO El alumno comprenderá el comportamiento de un sistema vibratorio debido a una fuerza externa excitadora. El alumno comprenderá el fenómeno de transmisibilidad en sistemas de un grado de libertad no amortiguado. FUNDAMENTOS MOVIMIENTO VIBRATORIO FORZADO Las vibraciones se denominan libres cuando las mantienen fuerzas elásticas y en algunos casos la fuerza gravitacional; un movimiento vibratorio libre (vibración natural) oscila con su frecuencia natural. Una fuerza externa periódica de excitación que actúa sobre un sistema produce y mantiene en éste una vibración forzada cuya frecuencia es igual a la frecuencia de la fuerza. Por otra parte, el movimiento de una partícula o cuerpo posee un grado de libertad, cuando este movimiento está restringido en tal forma que la posición se define completamente al especificar una coordenada. Las oscilaciones al comienzo del movimiento de un cuerpo sometido a la acción de una fuerza periódica y a condiciones iniciales arbitrarias son una combinación de vibración libre y forzada. Sin embargo, en las situaciones reales las fuerzas de amortiguación eliminan las vibraciones libres y el movimiento que permanece se denomina vibración estable. El periodo y la frecuencia de las vibraciones libres dependen de la masa del cuerpo, de la rigidez del apoyo elástico y del coeficiente de amortiguamiento. La amplitud de las vibraciones libres depende de las condiciones iniciales de movimiento y de la frecuencia. Por otra parte, la frecuencia de las vibraciones forzadas estables dependen de la frecuencia de la carga aplicada y es independiente de las características del cuerpo que oscila. 1 Laboratorio de Vibraciones Mecánicas Practica 4a La amplitud de las vibraciones forzadas estables depende de la magnitud y frecuencia de la carga aplicada y de la frecuencia de las vibraciones libres, pero es independiente de las condiciones iniciales del movimiento. Cualquier fuerza que varía periódicamente produce vibraciones forzadas; una fuerza variable de tipo común se expresa como una función senoidal o cosenoidal. ECUACIÓN DE MOVIMIENTO Si una fuerza F(t) se aplica a un sistema masa-resorte amortiguado como el que se muestra en la Fig. 1, la ecuación de movimiento obtenida a partir de la 2a Ley de Newton es: mx&& + cx& + kx = F ( t ) (1) Figura 1 Debido a que es una ecuación no homogénea, su solución general x(t) está dada por la suma de la solución homogénea, xh (t), y la solución particular, xp (t). La solución homogénea, que es la solución de la ecuación homogénea: m&x& + cx& + kx = 0 (2) Representa la vibración libre del sistema, estudiada en la práctica anterior. La vibración libre termina con el tiempo mediante cualquier condición de amortiguamiento. Queda entonces el movimiento de estado estable, que estará presente siempre y cuando exista una fuerza externa presente. Las variaciones de las soluciones homogénea, particular y general con respecto al tiempo para un caso típico se muestran en la Fig. 2a y 2b. Figura 2a La razón a la cual el movimiento transitorio decae depende de los valores de los parámetros del sistema k, c y m. 2 Laboratorio de Vibraciones Mecánicas Practica 4a Xp(t), F(t) F(t) F(t)= Fuerza excitadora φ=ángulo de fase. Xp(t)=Solución particular Xp(t) 0 ωt 2π φ 2π Figura 2b Una fuente común de vibración la representan las máquinas con desbalance. Consideremos un sistema masa-resorte con movimiento vertical exclusivamente, y excitado por una máquina rotatoria en desbalance como se muestra en la Fig. 3. El desbalance está representado por una masa m con una excentricidad e, que gira a una velocidad angular ω. Si x es el desplazamiento de la masa que no está en rotación (Mm) a partir de la posición de equilibrio, entonces el desplazamiento de la masa m esta dado por: x + e sen ωt (3) Figura 3 La ecuación de movimiento es: Simplificando tenemos d2 ( M − m)&& x + m 2 ( x + esenωt ) = − kx − cx& dt (4) Mx&& + cx& + kx = ( meω 2 ) senωt (5) Es claro entonces que esta ecuación es idéntica a la ecuación (1), donde F(t) es reemplazada por (meω2)senωt, y entonces la solución de estado estable está dada por: 3 Laboratorio de Vibraciones Mecánicas Practica 4a X = meω 2 2 2 ( k − Mω ) tan φ = y + ( cω (6) )2 cω (7) k − Mω 2 Reduciendo a una forma no dimensional tenemos: M X m e = ω ωn (8) 2 2 2 ω ω 1 − + 2 ζ ω n ω n tanφ = y 2 ω ωn 2ζ ω ωn 1 − (9) 2 Figura 4 SOLUCION PARTICULAR POR MEDIO DE FASORES Tenemos La ecuación: F (t ) m Para la solución de esta ecuación se propone, para movimientos senoidales: x = X cos(W f t − ϕ ) mx&& + cx& + kx = F ( t ) x& = W f X cos(W f t − ϕ + &x& + 2ζWn x& + Wn 2 x = π ) 2 &x& = W f 2 X cos(W f t − ϕ + π ) 4 Laboratorio de Vibraciones Mecánicas Practica 4a Haciendo suma de magnitudes vectores partiendo de la ecuación inicial y la propuesta tenemos el siguiente resultado: 2 Wn X F (t ) X m ϕ W f X 2ζWn 2 Wf X Con la ayuda del teorema de pitagoras tenemos las siguientes relaciones F (t ) Xm W f 2ζWn 2 Wn − W f 2 2 F (t ) 2 2 2 2 = (2ζWnW f ) + (Wn − W f ) Xm 4 Dividimos todo entre Wn y hacemos r = Wf Wn sustituyendo tenemos lo siguiente: 2 F (t ) 2 2 2 W 2 Xm = (2ζr ) + (1 − r ) n Donde F(t) en este caso es una fuerza centrifuga dada por la siguiente ecuacion: 2 F = (md eW f ) * 4 sustituyendo en la ecuación anterior: 2 md eW f 2 = (2ζr ) 2 + (1 − r 2 ) 2 W 2 Xm n Hacemos : md eW f 2 Por lo tanto tenemos A= W 2m n 2 A 2 2 2 = (2ζr ) + (1 − r ) X A 2 = 1− r X MATERIAL Y EQUIPO Vibración Forzada - Sistema masa-resorte - Fuente de poder variable. - Analizador de vibraciones. 5 Laboratorio de Vibraciones Mecánicas Practica 4a SE PIDE 1. Obtener la frecuencia natural del sistema en forma teórica y utilizando el analizador de vibraciones. 2. Calcular el porcentaje de error de las frecuencias naturales. 3. Realizar una tabla teórica en un rango de frecuencia de 500 hasta 2000 rpm del motor con la siguiente información: Frecuencias de trabajo y amplitud de vibración. 4. Realizar un barrido de velocidad de rotación al sistema, empezando de 500 hasta 2000 rpm empleando el analizador de vibraciones y tomar datos de las frecuencias a la que se trabajó con su respectiva amplitud. 5. Realizar una gráfica de amplitud de vibración contra ω/ωn . de los datos obtenidos en forma teórica y en la experimental. INVESTIGACION I.Problema de diseño Amortiguadores en automóviles Introducción Un automóvil de diseño convencional sustentado por sus resortes y llantas es un sistema vibratorio sumamente complicado. En él se encuentran tres "masas" diferentes: la carrocería, los ejes delanteros y traseros ; y ocho diferentes resortes: los cuatro resortes, propiamente dichos y las cuatro llantas. Cuerpo Ejes Llantas Figura 3. Problema 1. ¿Qué sucede si los resortes del auto son muy rígidos (k grande) ? 2. ¿Qué sucede si los resortes son muy blandos? 3. ¿Por qué resulta indispensable el uso de una llanta de hule, y no de acero? 4. ¿Para qué sirven los resortes del carro, si ya contamos con una llanta ? 5. ¿Cuántos Grados de libertad tiene un automóvil convencional? Acompaña tus justificaciones con gráficas. Explica bien todo. 6 Laboratorio de Vibraciones Mecánicas Practica 4a BIBLIOGRAFÍA Mechanical Vibrations, Singiresu S. Rao Addison-Wesley, Segunda Edición, 1990 Capítulos 1, 2 Theory of Vibration with applications, William T. Thomson Prentice Hall, 1972 Capítulos 2, 3 Fundamentals of Mechanical Vibrations, S. Graham Kelly, Mc Graw Hill, Singapore, 1992 Capítulos 3, 4 An Introduction to Mechanical Vibrations, Robert F. Steidel John Wiley, Tercera edición, 1989 Capítulo 2 Mecánica de las Vibraciones, J.P. Den Hartog C.E.C.S.A., Cuarta Edición, 1982 Capítulo 2 7