Programa curso: Introducción al Cálculo

Programa curso: Introducción al Cálculo
Duración: 15 semanas.
Cátedras semanales expositivas: 2 clases de 1.5 hrs.
Clase de trabajo dirigido: 1 clase de 2 hrs.
Contenidos curso: Números reales, geometrı́a analı́tica, funciones de una variable, trigonometrı́a,
axioma del supremo, lı́mites de sucesiones, función exponencial y logaritmo, lı́mites de funciones, derivadas.
Contenidos por semana
Semanas 1 y 2: Números Reales
Propiedades de la igualdad de números reales.
Orden y valor absoluto.
Inecuaciones lineales. Inecuaciones de grado superior factorizadas. Factorización de expresiones
cuadráticas.
Semanas 3 y 4: Geometrı́a analı́tica
Plano, coordenadas, abscisas y ordenadas, y distancia. Circunferencias. Centro y radio. Ecuación de una circunferencia.
Rectas. Pendiente y corte con la ordenada. Recta entre dos puntos. Recta conocida su pendiente
y un punto de ella. Rectas paralelas y perpendiculares.
Parábolas. Eje de simetrı́a, foco y directriz. Ecuación normal.
Elipses. Ejes de simetrı́a, focos y directrices. Excentricidad y ecuación normal.
Hipérbolas. Ejes de simetrı́a, focos y directrices, ası́ntotas. Excentricidad y ecuación normal.
Semana 5: Funciones de una variable
Definición usual de funciones mediante su ley. Dominio, paridad, crecimiento, periodicidad,
ceros, signos.
Ejemplos de funciones elementales. Algebra de funciones. Acotamiento, convexidad.
Composición, inyectividad, epiyectividad, restricciones de dominios y recorridos. Ejemplos.
Semanas 6 y 7: Trigonometrı́a
Medida de ángulos en radianes. Circunferencia unitaria.
Funciones seno, coseno, tangente (ceros, signos, periodos,simetrı́as).
Identidades trigonométricas fundamentales. Identidades de suma y diferencia. Identidades del
ángulo doble y ángulo medio. Funciones trigonométricas inversas. Ecuaciones Trigonométricas.
Aplicaciones. Triángulos y Teoremas del seno y del coseno.
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Semana 8: Axioma del supremo
Cotas de conjuntos, Máximos, Mı́nimos, Supremos e infimos. Ejemplos.
√
Enunciado del axioma del supremo. Consecuencias: existencia de 2 en R. Propiedad Arquimediana. Caracterización ǫ del supremo.
Semana 9 y 10: Lı́mites de sucesiones
Definición de sucesión. Definición de lı́mite de una sucesión.
Ejemplos: 1/n, (−1)n . Manipulación de la definición. Unicidad del Lı́mite.
Teorema del Sandwich. Algebra de sucesiones nulas.
Algebra de sucesiones. Estudio especial del recı́proco de una sucesión convergente a ℓ 6= 0.
Lı́mites usuales.
Monotonı́a y acotamiento. Notación asintótica.
Semana 11: Función exponencial y función logaritmo
Estudio del lı́mite lı́m(1 + nx )n . Definición de la función exp(x). Desigualdad exp(x) ≥ 1 + x.
Propiedad exp(x + y) = exp(x) exp(y). Relación de la exponencial con las potencias. Estudio
del Logaritmo natural.
Semanas 12 y 13: Lı́mites de funciones
Ejemplos de lı́mites de sucesiones del tipo f (xn ) cuando (xn ) es una sucesión genérica que
exp(xn )−1
n)
converge a ℓ. Entre otros: sin(xn ), cos(xn ), sin(x
, etc.
xn ,
xn
Definición de punto adherente de un conjunto. Definición de lı́mite de una función en un punto
adherente de su dominio. Lı́mites de funciones usuales. Lı́mites laterales. Ası́ntotas verticales.
Definición de lı́mite de una función en infinito. Lı́mites de funciones usuales. Ası́ntotas no
verticales de funciones.
Álgebra de lı́mites y lı́mites notables.
Semanas 14 y 15: Derivadas
Definición de punto interior de un conjunto. Derivada de una función en un punto interior de
su domino.
Recta tangente y velocidad.
Aproximación de primer orden.
Reglas de derivación. Derivada de una suma, producto y cuociente.
Derivada de una composición: regla de la cadena. Derivada de la función inversa.
La función derivada y derivada de funciones usuales.
Regla de l’Hpital.
Derivadas de orden superior.
Desarrollos limitados.
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