Capítulo 3 - Servidor web opsu

CAPÍTULO III
ÁNGULOS
30
ÁNGULO
Símbolo: <
ESTRATEGIAS METODOLÓGICAS
Poner en juego el arte de enseñar con todo el cerebro.
Definición:
Es la porción del plano limitado por dos semi-rectas que tienen un origen
común.
A
Elementos:
OA, OB = lados.
O = Vértice.
o
Notación:
<AOB = Ángulo AOB
< a = Ángulo alfa.
B
SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES
¿Qué es medir un ángulo?
Medir un ángulo es compararlo con otro que se toma como unidad.
SISTEMA SEXAGESIMAL
Una de las unidades comúnmente usadas es el grado sexagesimal que se obtiene así:
Se considera la circunferencia dividida en 360 partes iguales llamadas grados. Un ángulo de
un grado es 1/360 partes de la circunferencia. Cada grado se considera dividido en 60
partes iguales llamadas minutos y cada minuto en 60 partes iguales llamadas segundos.
Notación:
Grado:
º
Minuto: '
Segundo: ?
Ejemplo
Si un ángulo a mide 90 grados 14 minutos 58 segundos se escribe: 90º 14' 58?.
31
Nota: Una circunferencia es el conjunto de puntos del plano que están a una
distancia, r, del centro O.
SISTEMA CIRCULAR
La unidad de medida es el radián. Un radián es el ángulo central (ángulo con vértice
en el centro de la circunferencia y sus lados son dos radios) cuyos lados comprenden un
arco de longitud igual al radio de la circunferencia.
A
r
r
Longitud del arco AB = r
<BAOB = 1 radián.
O
RELACIÓN ENTRE GRADO SEXAGESIMAL Y RADIÁN
Simbología
N 0 = Número de grados sexagesimales
N r = Número de radianes
Dado que la circunferencia en el sistema sexagesimal es igual a 360 0 y en el sistema
circular es de 2Πradianes, se puede establecer la siguiente proporción:
N0
360 0
=
NR
2Π r
Simplificando la igualdad anterior y aplicando la propiedad fundamental de toda
proporción geométrica, tenemos que:
Nº ?r =180º Nr
De donde:
(1)
N0 =
180 0 N r
Πr
? = 3,14 (aproximadamente)
(2 )
Nr
N 0 Πr
=
180 0
32
Ejemplo 1:
Expresar en radianes un ángulo de 840º.
Aplicamos la igualdad (2) Nr =
8400.3,14radianes
Nr = 14,6 radianes
1800
Ejemplo 2:
Expresar en grados sexagesimales un ángulo de 50.6radianes.
Utilizamos la igualdad (1) Nº=
1800.50,6radianes
Nº = 2900,6 0
3,14radianes
Observación:
Por la relación entre grados sexagesimales y radianes en la circunferencia, se puede
expresar ? radianes en grados sexagesimales
1. 2? radianes = 360 0
2. ? radianes = 1800 Dividir los dos miembros de la igualdad (a ) por 2
πradianes
= 90 0 Dividir la igualdad (b ) por 2
2
πradianes
= 45 0 ¿Qué operación hay que realizar?
4
PROBLEMAS
1. Convertir en radianes. 830º; 590º ; 345 ,68º; 5/9 de 435º ; 1º; 1'; 1? ; 569º 8' 49?
2. Expresar en grados sexagesimales. 1 radián; 6,28 radianes; 2340 radianes; 1/8 de radián.
3. Transformar en grados sexagesimales.
πradianes πrradianes πradianes
;
;
5
12
6
33
CÓMO MEDIR ÁNGULOS
Para medir un ángulo se coloca el centro del transportador en el vértice del ángulo
(punto G), el cero del transportador debe coincidir con el lado GU, se observa el valor
numérico de la división del transportador que coincide con el extremo del otro lado del
ángulo ( GF ); dicho valor es la medida en grados sexagesimales del ángulo FGU, en este
caso es de 60º.
F(60)
60°
G
U
Postulado de la adición de ángulos
Si B, es un punto interior del < LCM, entonces < LCM= <LCB + <BCM.
L
B
C
M
BISECTRIZ
Definición.
Es la semi-recta que divide el ángulo en dos partes iguales. TM es bisectriz
del ángulo CTR.
M
C
T
R
34
Procedimiento para la construcción de la bisectriz.
Utilizando:
1. El compás
A
H
K
E
B
Haciendo centro en E (vértice del ángulo) y con abertura cualquiera se cortan los
lados del ángulo, por ejemplo en los puntos A y B; haciendo centro en estos puntos y con
la misma abertura se describen arcos que se cortan en el punto H. Se une este punto con el
vértice y la semi-recta obtenida EK es la bisectriz.
2. Con el transportador
Es útil cuando la medida del ángulo corresponde a un número par, por ejemplo un
ángulo de 60º, 78º, etc.
CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS
ESTRATEGIAS METODOLÓGICAS
Construir con pabilos algunos tipos de ángulos y medirlos
S
C
M
P
A
K
B
O
Q
R
L
N
35
Clasificación según su magnitud
aa.. Ángulo agudo
M
A
P
Definición: Es el ángulo cuya medida es menor de 90º.
bb.. Ángulo recto
T
P
K
Definición: Es el ángulo cuya medida es igual a 90º.
Ángulos complementarios
G
φ+<γ =90º
D
L
Definición.
Dos o más ángulos son complementarios si la suma de las medidas es igual a 90º.
Observación:
El ángulo ? es el complemento del ángulo ? y viceversa.
<? = 90º - ? , y <? = 90º - ? .
36
J
R
H
D
a
c
b
K
S
T
L
E
<a + <b + <c = 90º. Diremos que los ángulos a, b y c son complementarios.
<a = 90º - (<b + <c ).
Ángulo obtuso
R
900 < λ < 1800
G
U
Definición
Es el ángulo cuya medida es mayor de 90º y menor de 180 0
d. Ángulo llano
< ε = 1800
V
R
E
Definición
Es el ángulo cuya medida es igual a 180º.
Ángulos suplementarios
<α + <β =180º
Q
R
T
37
Definición.
Dos o más ángulos son suplementarios si la suma de las medidas es igual a
180º.
CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS SEGÚN SU POSICIÓN
a.- Ángulos opuestos por el vértice.
B
A
H
E
C
Definición.
Dos ángulos son opuestos por el vértice si los lados del uno son las prolongaciones
del otro. <? opuesto por el vértice con el <?.
b. Ángulos adyacentes.
B
A
C
1 2
< 1 y <
adyacentes
2
son
D
Definición.
Dos ángulos son adyacentes si tienen el mismo vértice y un lado común.
38
c. Ángulos colaterales.
O
E
< H y < E son colaterales
H
P
Definición.
Dos ángulos son colaterales si tienen un lado común, y no son adyacentes.
Teorema
Si dos ángulos son adyacentes suplementarios entonces sus bisectrices forman un
ángulo recto.
Se deja como ejercicio a objeto de aplicar el proceso de demostración
directa.
d. Ángulos iguales
Definición.
Dos ángulos con la misma medida, se llaman iguales. <A = <C.
E
A
F
B
C
D
.
PERPENDICULARIDAD Y PARALELISMO
39
Rectas perpendiculares.
Símbolo: ? Perpendicular.
ESTRATEGIA METODOLÓGICA
Utilizar un juego.
L
1
L
2
Definición.
Dos rectas, L 1 y L 2, son perpendiculares si al cortarse forman cuatro ángulos rectos.
MEDIATRÍZ DE UN SEGMENTO
A
K
H
B
L
Procedimiento.
Haciendo centro en H y en K, extremos del segmento HK, con una abertura de
compás mayor que la mitad de HK, se describen arcos que se cortan en los puntos A y B.
Se unen estos puntos, la recta, L, es la mediatriz del segmento HK.
40
Definición.
Mediatriz de un segmento es la recta perpendicular construida en el punto medio
de dicho segmento.
RECTAS PARALELAS
Símbolo: ?
ALGUNAS ESTRATEGIAS METODOLÓGICAS.
Aplicar la teoría del arte de enseñar con todo el cerebro.
Definición.
Dos rectas L1 y L2 son paralelas, cuando estando en un mismo plano no se cortan
por mas que se prolonguen.
Postulado.
Los segmentos de paralelas comprendidos entre paralelas son iguales.
L
3
B
A
L1
L2
L4
C
D
L
1
? L2
L3 ? | L 4
AC= DB
AB= CD
ÁNGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS
CORTADAS POR UNA TRANSVERSAL O SECANTE
ALGUNAS ESTRATEGIAS METODOLÓGICAS
Construir con pabilos éstos tipos de ángulos. Aplicar una actividad lúdica.
Construir una sopa de letras.
41
L1
2
1
3
4
5
6
7
L2
8
L3
Dos rectas L1 y L2 cortadas por una transversal L3, forman ocho ángulos que
considerados de dos en dos, reciben los siguientes nombres:
a) Ángulos alternos internos: Son dos ángulos internos a uno y otro lado de la secante,
b)
c)
d)
no adyacentes. <3 y <6
; <4 y <5, son alternos internos.
Ángulos alternos externos: Son dos ángulos externos, no adyacentes, situados a uno y
otro lado de la secante. <1 y <8; <2 y <7 son alternos externos.
Ángulos correspondientes: Son dos ángulos situados a un mismo lado de la secante, no
adyacentes, el uno interno y el otro externo. <2 y <6; <4 y <8; <1 <5; <3 y <7,
son correspondientes.
Ángulos colaterales internos: Son dos ángulos internos, no adyacentes y a un mismo
lado de la secante. <4 y <6; <3 y <5, son colaterales.
Postulado
Dos paralelas cortadas por una secante forman ángulos correspondientes iguales.
L1 ? L2, L 3 Secante.
L3
5 2
3 1
<2 = <7; <5 = <8; <1 = <6; <4 = <3.
8 7
4 6
L
1
L2
42
PROBLEMAS
1. Demuestre que los ángulos correspondientes son iguales.
2. La suma de dos ángulos es de 1350º y su relación es 3 a 5. Hallar el valor de los ángulos.
3. Demuestre que los suplementos de ángulos iguales son iguales
4. Demuestre que los ángulos alternos internos son iguales
5. Demuestre que los ángulos alternos externos son iguales.
6. Dada la siguiente figura, en la cual la recta L es ? al segmento BF. Demostrar que
? x + ? n + ? y= 180º. Justificando cada paso.
E
L
1 y 2
B
n
x
F
tx
7. L1 ? L2 L3 Secante. Si < 3 = 4 x < 5 = 5x. Calcular el valor de los ángulos
restantes. Justifique su respuesta. R/ 43= 80º 45= 100º
L3
4
7
10
5
8
8. La suma de dos ángulos es 84º y su relación
R/ x = 36º
y = 48º
1
6
3
L1
L2
3
Hallar el valor de cada ángulo.
4
43
9. < ABN = 90º < HOS = 90º. Sí < x = < 2. Demostrar que < t = < 5
A
H
S
x
B
V
5
t
O
N
2
S
10. Sí < 3 = 3x <5 = 9x. Calcular el valor de los ángulos restantes. Explique por qué.
L1 ? L 2 L3 Secante R/ ? 3 = 45º ? 5 = 135º
L
3
1
6 8
4
L
9 2
5
11. La suma de dos ángulos es 76º y su relación
R/ x = 32,57º y = 43,43º
12. Probar que:
Si ? 6 = ? 5 ?
3
1
L
2
3
Hallar el valor de cada ángulo.
4
C
? 3=? 4
3 5
6 4
D
B
A
E
13. Demostrar que:
Si ? 1= ? 2 y ? 3 = ? 4 ? ? 5 = ? 6 . ? 1= ? SOM
? 4 = RSN
R
M
N
3
O
5
1
? 2 = ? SOR
A
2
4
6
S
? 3= ? MOA
44
14. Demostrar que si: ? E = ? H; ? x = ? y; ? n = ? a; entonces ? y = ? n
F
a
n
x
y
E
1 5.
H
FB ? HD Demostrar que si:
? 1 = ? 2
?
? 3 = ? 4
D
E
C
2
3
4
F
1
B
A
H
1 6.
L1 ? L2, L 4 Secante. Calcular el valor de los ángulos restantes.
L1
y
30º
L
n
m
x
3
L
2
g
a
70º
L4
17. Dos ángulos miden 70º el primero y el segundo mide 2 radianes. ¿Cuál es mayor,
dibujarlo y trazarle la bisectriz?
18. Sí el ? d se define como: 90º ? d ? 180º ¿Qué nombre recibe el ? d?
19. Tres ángulos son suplementarios. El primero es la cuarta parte del segundo y el tercero
el doble del segundo. ¿Cuánto mide cada ángulo? R/ 55,38º; 3,8º; 110,73º.
45
20. Tres ángulos son complementarios. El primero es la cuarta parte del segundo. El
tercero es el doble del segundo. ¿Cuánto mide cada ángulo?
21. En el siguiente gráfico si el ? 3 = ? 6. ? 1 = ? 8. Demuestre que ? 2 = ? 5
1 3
2
8
4 6
5
24.- Tres ángulos son complementarios. El primero es la cuarta parte del segundo y
éste la mitad del tercero. Calcular el valor de cada ángul
o.
25.M
S
H
f
y
x
Las semi – rectas SH, y, AM,
son bisectrices de los ángulos
A y B.
e
A
26. -
Si < S = < A . Demostrar
que
<e = < y
L1
2
5
3 1
4
L2
L1 es perpendicular a
L2.
Si < 3 =
< 5
Demostrar que
<2=<1