Volumen.

FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y
NATURALES
SEMILLERO DE MATEMÁTICAS
Grado 11
Taller # 5
Nivel I
TALLER # 5. VOLUMEN
M . C . ESCHER
Una de las obras más conocidas del artista gráfico holandés M. C. Escher es
la litografía Manos que dibujan (1948). Representan un par de manos, cada
una de las cuales dibuja a la otra sobre una misma hoja de papel que a su vez
está sujeta con tachuelas al tablero de dibujo. La litografía contiene varios
elementos paradójicos: el primero que salta a la vista es el círculo vicioso
autorreferente de la mano que dibuja a al otra y a la vez es dibujada por ésta.
Pero también representa una antigua contradicción artística, cual es el
conflicto entre la bidimensionalidad del dibujo figurativo y la tridimensionalidad
del mundo representado. En este sentido, se puede interpretar a Manos que dibujan como un
metadibujo que reformula dicho conflicto y a la vez al antiguo aforismo de que “el artista se
retrata a si mismo” .
En manos que dibujan y otras obras. Escher dice claramente que el dibujo es una forma de
ilusión. Sin embargo. Escher ejecuta la impostura con una lógica visual tal, que quien la
contempla es incapaz de sustraerse a sus efectos contradictorios muchos grabados de
Escher parecen paradojas lógicas de construcción formal. Aparentan estar cimentadas en
premisas (imágenes) verdaderas basadas en un razonamiento (composición) correcto, pero
conducen a conclusiones contradictorias ( mundos imposibles). Escher desarrolló su interés por
las paradojas en muchas direcciones una de las más importantes se basa en el ejemplo de
dibujos periódicos llamados “taraceas”
La taraceas plana consiste en la división de una superficie bidimensional mediante un motivo
periódico en forma de escaque o mosaico.
Escher intentó un dibujo basado en la división espacial periódica del plano en 1926. tras una
breve visita a la Alambra. La ciudadela morisca de Granada. En España . Pero fue sólo en
1936, tras un prolongado viaje a Granada, que se abocó a asimilar las leyes y técnicas del
taraceado . Durante ese viaje, con ayuda de su esposa, realizó varias copias de los taraceados
morisco que cubrían los muros de la Alambra. Pero estos dibujos eran abstractos, porque el
Islam prohíbe el arte figurativo en los edificios públicos y religiosos: con todo. Escher quedó
fascinado por esos diseños y por la posibilidad de realizar taraceados figurativos, algo que
ningún artista. Fuese moro o de otra cultura, había intentado anteriormente .
Escher que no había estudiado matemática, procedió a “inventar” las normas básicas del
taraceado de una superficie plana y que incluían, según resultó . Los principios generales de la
cristalografía, disciplina que estudia la estructura y formación de cristales.
EL PROBLEMA DE LA MOSCA Y LA ARAÑA
La mayor parte de nosotros hemos aprendido que la recta es la distancia más corta entre dos
puntos. Aplicada a la tierra en que vivimos, esta afirmación es a la vez inútil y falsa. Los
matemáticos del siglo XIX Riemann y Lobatchevsky, sabían que, en caso de ser cierta, esa
afirmación podía , a lo sumo, aplicarse únicamente a superficies especiales. No puede
utilizarse en una superficie esférica, en la cual la distancia más corta entre dos puntos es un
arco de círculo máximo. Dado que la forma de la tierra es, aproximadamente la de una esfera,
la distancia más corta entre dos puntos cualesquiera de la superficie terrestre nunca es una
línea recta, sino la porción de arco de círculo máximo.
Sin embargo, para fines prácticos, incluso en la superficie de la tierra, la distancia más corta
entre dos puntos se representa por una línea recta. Quiero decir que, para medir distancias
1
ordinarias con cintas métricas, metálicas o de madera, el principio es sustancialmente correcto.
Pero en cuanto las distancias excedan a uno centenares de metros, no puede uno permitirse el
lujo de menospreciar la curvatura de la tierra la determinación de una geodésica es muy difícil
en superficies complejas. Pero podemos proponer un acertijo en vista a demostrar hasta qué
punto este problema puede ser engañoso, incluso en el caso más sencillo, el de la superficie
plana.
En una habitación de 15 m de largo por 6 de ancho de alto, hay una araña posada en el centro
de una de las paredes más pequeñas, a medio metro del techo; y en medio de la pared
opuesta hay, una mosca. La araña tiene sus propias intenciones sobre la mosca. Pero, ¿cuál
es el camino más corto para que la araña alcance a su presa? Si se arrastra a lo largo del
suelo y, por fin hacia arriba por la pared en que está la mosca, o bien sigue un camino similar
por el techo, la distancia es de 21 m. Parece imposible imaginar un camino más corto. Sin
embargo, si cortamos una hoja de papel con las medidas exactas para que, doblando
adecuadamente, tome la misma forma que la habitación, y unimos con una recta los puntos
que representan a la araña y a la mosca, obtenemos una geodésica. La longitud de esta
geodésica es solo 20 m, es decir, 1 m más corta que el camino “obvio”, conseguido
anteriormente por medio de las líneas rectas.
Este problema revela, gráficamente, el punto que habíamos destacado anteriormente: nuestras
nociones intuitivas del espacio nos engañan casi siempre.
OBJETIVO: Identificar y Aplicar el concepto de volumen para la solución de problemas de la
cotidianidad
TEORIA VOLUMEN: Extensión del espacio ocupado por un sólido o limitado por una superficie
cerrada.
2
3
GLOSARIO: Volumen, Arista, Cara, Vértice, Angulo Diedro, Ortoedro, Paralelepípedo, Cubo,
Pirámide, Prisma , Esfera, Cilindro, Cono.
BIBLIOGRAFÍA
Nicholas Falleta , Paradojas y Juegos, Editorial Gedisa Barcelona 1998
M.C. Estampas y Dibujos, Editorial Taschen, Koln, 1959
Diccionario de Matemáticas, Editorial Norma, Bogotá, 1982
A Baldor, Geometría y Trigonometría, Editorial Cultural Colombiana, Bogotá,1967
James R. Newman, El mundo de las Matemáticas .sigma, ED. Grijalbo Barcelona 1983.
VOLÚMENES
1. Si la arista del cubo mayor es 6 y la del
menor es 2, el cubo menor está contenido
en el mayor.
4. Las esquinas sombreadas de la figura se
cortan y los lados se doblan para formar
una sola. Hallar el volumen de la caja:
A.
B.
C.
D.
A.
96 cm3
B.
32 cm3
6 veces
9 veces
12 veces
27 veces
C. 28 cm 3
D. 66 cm 3
2. Cuántos cubitos pequeños de arista 2
cm caben en la caja grande
5. La figura muestra un cilindro circunscrito
a una esfera si el radio de la esfera es R ,
entonces el volumen del cilindro es:
A.
B.
C.
D.
A. πR
24
12
6
32
3
B. 3 πR
3
C. 2πR 2
D. 4πR 3
6. La construcción maciza está formada por
bloques de 30 cm3 cada uno. ¿Cuál es el
volumen de dicha construcción?.
3. Hallar el volumen de la figura
A.
B.
C.
D.
45
36
28
35
A.
320 cm3
B.
480 cm3
C. 680 cm 3
D. 760 cm3
4
7. La figura muestra 2 cilindros de 3 cm de
altura; el radio de la base del cilindro A es
2 del radio de la base del cilindro B . Si
3
el cilindro A tiene un volumen de 24 cm 3 ,
el volumen del cilindro B es:
A.
B.
96 cm3
9
54 cm 3
12. El área lateral de un cilindro de altura 4
metros y radio de la base 2 metros es:
C. 16 cm 3
D. 64 cm 3
9
A. 18π m 2
B. 8π m 2
8. Un cubo A tiene 4 m de lado; el cubo B
tiene de lado 2 m . ¿qué proporción guarda
su volumen con el cubo A ?.
A.
1
B.
1
C. 64 π m 2
D. 16π m 2
13. Un balón se infla hasta tener un radio
de 15 cm. Si se infla un poco más el radio
aumenta 3 cm. ¿Cuál es el incremento de
volumen?
4
8
C. 1
D. 1
2
A.
3.376π cm3
B.
2.542π cm 3
9. ¿Cuál es la longitud máxima que puede
tener una barra de acero contenida en una
caja cúbica de 12 cm de arista?.
C. 3.240π cm3
A. 12 3 cm
14. En la figura se tiene un cubo de arista
a y C es el centro de la región
cuadrangular de la cara superior. Al extraer
la pirámide de vértice C y base PQRS , el
volumen que queda está dado por:
D. 3.276π cm3
B. 10 3 cm
C. 8 3 cm
D. 5 3 cm
10. Si la medida de la arista de un cubo se
incrementa en un 50%, entonces el área
del cubo se aumenta en:
A.
B.
C.
D.
50%
125%
150 %
300%
11. Se vende café en dos tipos de
recipientes cilíndricos; el más alto tiene el
doble de altura que el otro, pero su
diámetro es la mitad de diámetro del más
bajo. El mas alto cuesta 580 y el más bajo
$120. ¿Cuál es más económico?.
A.
B.
C.
D.
A.
a3
B.
a3
3
C. 2
3
3
D. a
6
a3
15. Un cilindro y un cono tienen igual base
e igual altura, entonces del volumen del
cono puede decirse que:
A. Es la mitad del volumen del cilindro.
B. Es igual al volumen del cilindro
C. Es la tercera parte del volumen del
cilindro.
D. Es el doble del volumen del cilindro.
El más bajo
El más alto
Igual
Faltan datos
5
EJERCICIOS PROPUESTOS
10. ¿Cuál es el volumen de una pirámide
cuya base tiene un área de 42
1. Hallar el área lateral de un prisma recto
que tiene una altura de 18 centímetros
y un perímetro de 30 centímetros.
centímetros cuadrados y su altura es de 15
centímetros?
2. Hallar el volumen de un cubo con cada
arista de 20 centímetros
11. Hallar el área lateral de una pirámide
cuya base tiene un perímetro de 36
centímetros y su apotema es igual a 23
centímetros?
3. Un salón de clases tiene 14 metros de
largo, 10 metros de ancho y 4 metros
de altura. ¿Cuál es el volumen del
cuarto? ¿Cuál es el área lateral?
12. ¿Cuál es el volumen de una pirámide
que tiene una base cuadrada de 10
centímetros por lado y una altura de 12
centímetros?
4. Hallar el volumen de un prisma recto
que tiene como base un triángulo
rectángulo cuyos catetos tienen 15
centímetros
y
20
centímetros,
respectivamente; y su altura es de 50
centímetros.
13. Hallar el área lateral de la pirámide que
tiene
una base cuadrada de 10
centímetros por lado y una altura de
12 centímetros.
5. Hallar el volumen de un prisma recto
cuya base es un rombo que tiene
diagonales de 45 centímetros y 60
centímetros; y su altura es de 150
centímetros.
14. Hallar el volumen de una pirámide que
tiene como base un ∆ rectángulo con
la hipotenusa RT = 6 metros, el cateto
RS = 5 metros y la altura PO = 8 metros.
6. ¿Cuántos paquetes de 12.5 x 20 x 30
centímetros pueden colocarse en una
caja que tiene las dimensiones de 60 x
75 x 150 centímetros?
15. Hallar el volumen de una pirámide
regular que tiene como base un
hexágono regular con 6 centímetros por
lado y una altura de 10 centímetros.
7. ¿Cuántos litros de agua se requerirán
para llenar una alberca de 15 metros de
largo, 10 metros de ancho y 2 metros
de profundidad?
16. Hallar el área lateral de una pirámide
regular que tiene como base un
octágono regular (8 lados) con 12
centímetros por lado y una arista lateral
igual a 25 centímetros.
8. ¿Cuántos
litros
de pintura se
necesitarán para pintar las paredes
exteriores de un edificio de 10 metros
de largo, 10 metros de ancho y 5
metros de altura, si un litro de pintura
cubrirá 5 metros cuadrados?
17. ¿Cuál es el volumen de un cono
circular que tiene una altura de 18
centímetros y un radio de 5
centímetros?
18. Hallar el área lateral de un cono
circular recto que tiene un apotema de
24 centímetros y un radio de 8
centímetros.
9. Hallar el peso de una placa de acero
de 4 metros de largo, 2 metros de
ancho y 1 centímetro de espesor si el
acero pesa 7,9 gramos por centímetro
cúbico.
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19. Hallar el área superficial total de u cono
circular recto que tiene un apotema de
40 metros y un radio de 10 metros.
20. ¿Cuántos litros de gasolina contendrá
un tanque cilíndrico que tiene dos
metros de diámetro y 8 metros de
largo?
21. ¿Cuál es la altura de un tanque
cilíndrico recto cuya capacidad es de
400 litros si su diámetro es de 75
centímetros?
22. Un rodillo de acero tiene 1.5 metros de
largo y 75 centímetros de diámetro.
¿Qué área cubrirá al rodar dando 250
revoluciones?
23. En un torno se hace una barra circular
recta a partir de una barra sólida de
acero de 10 por 10 por 150
centímetros. ¿Cuál será el desperdicio
si se hace la barra cilíndrica más
grande a
partir de la
barra
rectangular?
24. Hallar la cantidad de acero en un tubo
de 144 metros que tiene un diámetro
interior de 2.5 centímetros y un
diámetro exterior de 3 centímetros.
25. Hallar el volumen de una esfera que
tenga un diámetro de 66 centímetros.
26. Hallar el área superficial de una esfera
cuyo radio sea de 8 centímetros.
27. El área de un círculo máximo de una
esfera es de 231
centímetros
cuadrados. Hallar el área de la esfera.
28. ¿Cuál es el peso de una bola de hierro
que tiene un diámetro de 75
centímetros si 1 centímetro cúbico de
hierro pesa 7,9 gramos?
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