03 Guía de Ejercicios de Planteo de Problemas Ecuaciones de

LICEO TECNOLÒGICO ENRIQUE KIRBERG
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
SEPTIMO BÁSICOS
APUNTE ECUACIONES DE PRIMER GRADO
Resolución de problemas mediante ecuaciones de primer grado con una incógnita
Todo problema implica una relación entre elementos que en él intervienen, de los cuales a
lo menos uno es desconocido. Esta relación se puede expresar en lenguaje algebraico,
dando origen generalmente a una ecuación.
Traduciremos al lenguaje algebraico algunas expresiones de nuestro leguaje habitual:
Lenguaje Común
Lenguaje Algebraico
x
2x
𝑥
2
3x + 2
El número buscado
El doble de un número
La mitad de un número
El triple de un número, aumentado en 2
3
x
Las tres cuartas partes de un número
4
12 – x
x – 18
2(x + 4)
El exceso de un número sobre 12
El exceso de un número sobre 18
El doble de un número aumentado en 4
3
Un número disminuido en sus partes
4
Dos números enteros consecutivos
3
x - 4𝑥
x; x + 1
Para resolver un problema, es preciso leer y comprender el enunciado, lo que facilitará
identificar la relación indicada y plantear la ecuación correspondiente.
Ejemplos:
1) Un número y su quinta parte suman 18. ¿cuál es el número?
Solución:
x es el número buscado (Definición de la incógnita)
𝑥
Su quinta parte es transformación al lenguaje algebraico
5
𝑥
El planteo de la ecuación sería de la siguiente forma: 𝑥 + = 18
5
Finalmente resolvamos la ecuación:
𝑥
𝑥 + = 18 / Multiplicamos por 5 los tres términos para simplificar la fracción
5
𝑥
5(𝑥) + 5( ) = 5(18)
5
5x + x = 90 /Sumamos los términos semejantes
6x = 90 /El 6 como está multiplicando pasa dividiendo al 90
90
𝑥=
6
x = 15
Si reemplazamos y queremos comprobar nuestro resultado es correcto, podemos observar que
15 +
15
5
= 18
15 + 3 = 18
18 = 18
Profesor Raúl Valdés Villaseca
Depto. Matemática
2) Problema de Fracciones
a) Perdí un tercio de las ovejas y llegué con 24. ¿Cuántas ovejas tenía?
Solución:
x = Número de ovejas que tenía
un tercio de las que tenía
𝑥
3
El planteamiento de la ecuación quedaría de la siguiente forma:
𝑥
𝑥 − = 24
3
Al resolver la ecuación para determinar el valor de x sería:
𝑥
𝑥 − 3 = 24
/3
3x – x = 72
2x = 72
72
𝑥=
2
X = 36 Comprueba si el resultado concuerda con la ecuación planteada.
b) El numerador de una fracción excede al denominador en 2. Si el denominador se aumenta en 7, el
1
valor de la fracción es . ¿Cuál es la fracción?
2
Solución
Numerador de la fracción = x
Denominador de la fracción = x – 2
La fracción es
𝑥
𝑥−2
Si el denominador de esta fracción se aumenta en 7, la fracción equivale a
1
2
La ecuación quedará:
𝑥
1
=
𝑥−2+7 2
Resolvamos la ecuación
𝑥
1
=
𝑥−2+7 2
𝑥
1
=
𝑥+5 2
2(x) = 1(x + 5)
2x = x + 5
2x – x = 5
x = 5, por lo tanto el numerador es 5 y el denominador será 3 se obtiene del resultado 5 – 2, finalmente la
5
fracción será
3
Profesor Raúl Valdés Villaseca
Depto. Matemática
3) Si regale 8 bolitas y me quedo con la mitad. ¿Cuántas bolitas tenia?
Solución
x es el número de bolitas que tenía
Si regalé 8 tendría x – 8, a su vez se dice que la cantidad coincide con la mitad de los que tenía, es decir
El planteo de la ecuación quedaría de la siguiente forma: 𝑥
−8=
𝑥
𝑥
2
2
Al resolver la ecuación:
𝑥−8=
𝑥
2
/2
2x – 16 = x
2x – x = 16
X = 16 Comprueba si el resultado concuerda con la ecuación planteada.
4) Problemas de Edades
a) Hace 15 años la edad de Luis era
2
5
de la edad que tendrá dentro de 15 años. ¿Qué edad tiene
ahora?
Solución:
x = edad actual de Luis
hace 15 años tenía x – 15 años, y dice que en 15 años tendrá x + 15
El planteamiento de la ecuación sería:
2
𝑥 − 15 = 5 (𝑥 + 15)
Al resolver la ecuación sería:
2
𝑥 − 15 = (𝑥 + 15)
5
(𝑥 − 15)5 = 2(𝑥 + 15)
5x – 75 = 2x + 30
5x – 2x = 30 +75
3x = 105
105
𝑥=
3
x = 35 El resultado es coherente con el enunciado. Si ahora Luis tiene 35 años, dentro de 15 años Luis
tendrá 50 años, hace 15 años tenía 20 años que son dos quintas partes de 50.
b) La suma de las edades actuales de Ana y María es 65 años, y dentro de 10 años, la edad de María
será los
5
12
de Ana. ¿Cuál es la edad de cada persona?.
Solución:
Edad actual de Ana = x
Edad actual de María = 65 – x
Edad de Ana en 10 años más: 65 – x + 10
La ecuación quedará planteada de la siguiente forma:
5
(𝑥 + 10)
65 − 𝑥 + 10 =
12
Resolvamos la ecuación:
5
(𝑥 + 10)
65 − 𝑥 + 10 =
12
5
(𝑥 + 10)
75 − 𝑥 =
12
12(75 – x) = 5(x + 10)
900 – 12x = 5x + 50
-12x – 5x = 50 – 900
- 17x = - 850 /-1
Profesor Raúl Valdés Villaseca
Depto. Matemática
17x = 850
850
𝑥=
17
x = 50 , la edad actual de Ana es 50 años y la edad actual de María es 15 años.
c) Pedro, que actualmente tiene 42 años, tiene 8 años más que el doble de la edad de Antonio.
¿Qué edad tiene Antonio?
Solución:
A la edad de Antonio la llamamos: x
Podemos plantear la siguiente ecuación: 2x + 8 = 42
Resolvamos la ecuación 2x + 8 = 42
2x = 42 – 8
2x = 34
34
𝑥=
2
x = 17, la edad de Antonio es 17 años
5) Problemas de números consecutivos
a) Tres números enteros consecutivos suman 186. ¿Cuáles son los números?
Solución:
Si el primer número lo designamos por x, su sucesor es (x + 1) y el sucesor de (x + 1) es (x + 2). De acuerdo
con el enunciado, se escribe:
𝑥 + (𝑥 + 1) + (𝑥 + 2) = 186
𝑥 + 𝑥 + 1 + 𝑥 + 2 = 186
3x + 3 = 186
3x = 186 - 3
3x = 183
183
𝑥=
3
x = 61 Al verificar, tenemos que 61 + (61+1)+(61+2)=186 , es correcto.
b) La suma de tres números naturales consecutivos es igual al menor más 19. ¿Cuáles son
estos tres números?
Solución:
Los números que buscamos los llamamos: x, x+1, x+2
Podemos plantear la siguiente ecuación: (x) + (x+1)+ (x+2) = x + 19
Al obtener la ecuación: (x) + (x+1)+ (x+2) = x + 19
Resolvamos la ecuación: (x) + (x+1)+ (x+2) = x + 19
x + x + 1 + x + 2 = x + 19
3x + 3 = x + 19
3x – x = 19 – 3
2x = 16
𝑥=
16
2
x = 8 por lo tanto los números son 8, 9 y 10
Profesor Raúl Valdés Villaseca
Depto. Matemática
6) Problema de Cuocientes y restos
La suma de dos números es 436. Si el mayor de divide por el menor, el cuociente es 2 y el resto 73.
¿Cuáles son los números?
Solución
Sea x el número mayor
La suma debe ser 436; por lo tanto, el número menor es (436 – x)
Al dividir el número mayor x, por el menor (436 – x), el cuociente debe ser 2 y el resto 723.
Entonces, si al mayor se le resta 73, el cuociente es exacto.
De lo anterior podemos determinar que la ecuación quede expresada de la siguiente forma:
𝑥 − 73
=2
436 − 𝑥
Al resolver la ecuación:
𝑥 − 73
=2
436 − 𝑥
x – 73 = 2(436 – x)
x – 73 = 872 – 2x
x + 2x = 872 + 73
3x = 945
945
𝑥=
3
x = 315 /Comprueba el resultado.
7) Problema de trabajo y tiempo empleado
Juan puede hacer una obra en 4 días y Eduardo en 6. ¿En cuánto tiempo pueden hacer la obra los dos
trabajando juntos?
Solución:
Número de días en hacer la obra trabajando juntos: x
En un día harán:
1
𝑥
1
Juan, en un día hace de la obra
4
Eduardo, en un día hace
1
de la obra
1
1
Los dos juntos harán en un día: +
4
6
Se obtiene la ecuación:
1
𝑥
Resolvamos la ecuación:
1
1
1
: = +
/ MCM 12
𝑥
6
4
12∗1
𝑥
12
𝑥
12
𝑥
=
=
12∗1
12
6
6
+
+
12∗1
12
4
=2+3
12
=5
𝑥
12 = x(5)
12 = 5x
Profesor Raúl Valdés Villaseca
Depto. Matemática
4
6
1
1
6
4
= +
𝑥=
12
5
x = 2,4 juntos realizan la obra en 2,4 días.
8) Entre dos vasos A y B de igual capacidad, se distribuyen en partes desiguales 10 litros de agua. El vaso
2
A se llenaría si se vertiesen los
del agua contenida en B, y éste se llenaría si se le agregara la mitad
3
del agua contenida en A. ¿Cuánta agua contiene cada vaso y cuál es su capacidad?
Solución
x = cantidad de agua del vaso A
10 – x = cantidad de agua del vaso B
𝑥+
Se tiene:
𝑥+
2
3
2
3
(10 − 𝑥) = 10 − 𝑥 +
𝑥
(10 − 𝑥) = 10 − 𝑥 +
𝑥
2
(10 − 𝑥) A lleno
10 − 𝑥 +
𝑥
2
B lleno
Al resolver la ecuación: 𝑥 +
𝑥+
6(𝑥) +
2
3
2
3
(10 − 𝑥) = 10 − 𝑥 +
𝑥
2
2
/ MCM 6
6 23 (10 − 𝑥) = 6(10 − 𝑥 + 𝑥2)
6x + 4(10 – x) = 60 – 6x + 3x
6x + 40 – 4x = 60 – 6x + 3x
6x + 6x – 4x – 3x = 60 – 40
5x = 20
20
𝑥=
→ x = 4, Por lo tanto en el vaso A hay 4 litros y en el B hay 6 litros. Según el
5
enunciado, el vaso B se llenaría si se le agregara la mitad de agua contenida en A.
Entonces la capacidad de B es:
𝑥
10 − 𝑥 + 2→ 10 − 4 +
Por lo tanto, ambos vasos tiene una capacidad de 8 litros.
Profesor Raúl Valdés Villaseca
Depto. Matemática
4
2
→10 – 4 + 2 → 8 litros.
9) Problema de móviles
A las 9 AM sale un auto del punto A, con una velocidad de 80 km/h. Dos horas más tarde sale otro auto
del punto A, en persecución del primer auto con una velocidad de 120 km/h. ¿A qué distancia dell punto
A lo alcanza?
Solución:
A
B
C
Cuanto el segundo auto sale a las 11 AM del punto A, el segundo auto se encuentra en un punto B
situado a 2 horas por 80 Km/h es igual a 160 km de A.
Supongamos que el segundo auto y el primer auto salen a las 11 AM; uno desde A y otro de B y que el
punto C es punto de encuentro.
Sea t, el tiempo, en horas, que tarda en alcanzar el segundo auto al primer auto.
Ventaja que lleva el primer auto es AB = 160 Km.
Espacio recorrido por el primer auto desde las 11 horas BC = 80 t Km.
Espacio recorrido por el segundo auto desde las 11 horas AC = 120 t Km.
Pero:
AC = AB + BC
120 t = 160 + 80t
Al resolver esta ecuación obtenemos que
120t = 160 + 80t
120t – 80t = 160
40t = 160
𝑡=
160
40
t = 4 horas, Entonces AC = 4 por 120 es igual a 480 Km
10) Si al triple de un número le restamos 16 se obtiene 20. ¿Cuál es el número?
Solución:
Al número que buscamos lo llamamos: x
Podemos plantear la siguiente ecuación 3x – 16 = 20
Resolvamos la ecuación: 3x – 16 = 20
3x = 20 + 16
3x = 36
36
𝑥=
3
X = 12, el número buscado es 12.
11) Al sumarle a un número 34 unidades se obtiene el mismo resultado que al multiplicarlo por
3. ¿Cuál es ese número?
Solución:
Al número que buscamos lo llamamos: x
Podemos plantear la siguiente ecuación: x + 34 = 3x
Al resolver la ecuación: x + 34 = 3x → 3x – x = 34 → 2x = 34 → x = 34/2 → x = 17
Profesor Raúl Valdés Villaseca
Depto. Matemática