2011/12 - MasMates

Álgebra lineal
Selectividad CCNN 2012
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0 0 1
1. [ANDA] [JUN-A] Sea la matriz A = 2 1 2 .
1 k 1
a) ¿Para qué valores del parámetro k no existe la matriz inversa de la matriz A? Justifica la respuesta.
b) Para k = 0, resuelve la ecuación matricial (X+I)·A = At, donde I denota la matriz identidad y At la matriz traspuesta de A.
2. [ANDA] [JUN-B] Considera el sistema de ecuaciones
x+
y + z = +1
3y + 2z = 2+3
3x + (-1)y + z =

a) Resuelve el sistema para  = 1.
b) Halla los valores de  para los que el sistema tiene una única solución.
1 1
c) ¿Existe algún valor de  para el que el sistema admita la solución - ,0, ?
2 2
3. [ANDA] [SEP-A] Considera el siguiente sistema de ecuaciones con dos incógnitas:
kx+2y = 2
2x+ky = k
x-y = -1
a) Prueba que el sistema es compatible para cualquieer valor del parámetro k.
b) Especifica para qué valores del parámetro k es determinado y para cuáles indeterminado.
c) Halla las soluciones en cada caso.
4. [ANDA] [SEP-B] Considera el siguiente sistema de ecuaciones con tres incógnitas:
x-
y
=
2y + z = 
-x - y + z = 0
a) Clasifícalo según los distintos valores del parámetro .
b) Resuélvelo para  = 0 y  = 1.
5. [ARAG] [JUN-A] Sean a un número real y el sistema lineal
ax + y + z = 1
x + ay + z = a
x + y + z = a2
a) Calcule el determinante de la matriz de los coeficientes y determine para qué valores de a el sistema anterior es incompatible,
compatible determinado y compatible indeterminado.
b) Resuelva el sistema anterior en el caso a = 0.
6. [ARAG] [JUN-B] a) Compruebe que la matriz M es inversible y calcule su inversa, donde M =
1 0 1
2 1 1 .
-1 2 2
b) Encuentre las matrices A y B que cumplen las siguientes ecuaciones:
3 2 0
1 -4 0
8A-5B = -2 1 3 , 2A-B = 2 -1 3 .
0 3 -3
0 1 -1
1 0 1
1 2 1 .
0 -1 1
Sin utilizar la regla de Sarrus, determine cuánto vale el determinante de la matriz B siguiente (enuncie las propiedades que
1 0 2
utilice): B = 1 2 4 .
0 -1 1
sen(x) -cos(x) 0
b) Sea C la siguiente matriz: C = cos(x) sen(x) 0 .
1
sen(x) x
Determie los valores de x para lo que la matriz C tiene inversa y calcúlela cuando sea posible.
7. [ARAG] [SEP-A] a) El determinante de la matriz A que aparece a continuación es 2: A =
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8. [ARAG] [SEP-B] a) Determine para qué valores de m el siguiente sistema de ecuaciones:
mx+2y+6z = 0
es compatible
2x+my+4z = 2
2x+my+6z = m-1
determinado, compatible indeterminado o incompatible.
b) Se sabe que una matriz simétrica B de dimensión 3x3 tiene como determinante -3. Determine el determinante de la matriz
B+Bt, donde Bt denota la traspuesta de B.
1 0 0
3 -1 0
9. [ASTU] [JUN-A] Se consideran las matrices A = -1 3 0 e I3 = 0 1 0 .
0 0 1
0 0 2
a) Resuelva la ecuación det A-x·I3 = O.
b) Discuta el sistema homogéneo de matriz A-x·I3 según los valores del número real x.
c) Resuélvalo en aquellos casos en que el sistema sea compatible determinado.
x+y = 1
ay+z = 0
z+(1+a)y+az = a+1
a) Estudie su compatibilidad según los distintos valores de a.
b) Resuélvalo en el caso en que sea compatible indeterminado.
10. [ASTU] [JUN-B] Dado el sistema
x+y+z = 2
ax+y = 1
x+y+2z = 3
a) Estudie su compatibilidad según los distintos valores de a.
b) Resuélvalo cuando sea compatible indeterminado.
11. [ASTU] [SEP-A] Dado el sistema
x b c-4
12. [ASTU] [SEP-B] Dados los números reales a, b, c, x, consideremos la matriz A = a x 3 .
b c x
a) Halle los valores de a, b, c, x, para los cuales A es antisimétrica. (Recuerde que la matriz A es antisimétrica si At = -A).
b) Si a = b = c = 1, halle el rango de A según los valores de x.
c) Si a = b = c = 0, resuelva la ecuación |A+At| = 0.
Nota: At denota la matriz traspuesta de A.
ax+y+z = (a-1)(a+2)
13. [C-LE] [JUN-A] Se considera el sistema de ecuaciones
x+ay+z = (a-1)2(a+2)
x+y+az = (a-1)3(a+2)
a) Discutir el sistema según los valores del parámetro a.
b) Resolver el sistema para a = 1.
c) Resolver el sistema para a = -2.
14. [C-LE] [JUN-B] Sea M una matriz cuadrada que cumple la ecuación M2 - 2M = 3I, donde I denota la matriz identidad.
a) Estudiar si existe la matriz inversa de M. En caso afirmativo expresar M-1 en términos de M e I.
a b
b) Hallar todas las matrices M de la forma
que cumplen la ecuación M2 - 2M = 3I.
b a
x+ay-z = 2
2x+y+az = 0 , donde a es un parámetro real. Se pide:
x+y-z = a+1
a) Discutir el sistema en función del valor de a.
b) Hallar la solución del sistema para a = 1, si procede.
15. [C-LE] [SEP-A] Se considera el sistema
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1 a -1
1 0 -1 .
3 a a
b) Sea C una matriz 2x2 de columnas C1 y C2 y de determinante 5, y sea B una matriz 2x2 de determinante 2. Si D es la matriz de
16. [C-LE] [SEP-B] a) Determinar, en función del valor del parámetro real a, el rango de la matriz A =
columnas 4C2 y C1-C2, calcular el determinante de la matriz BD-1.
x+y+z = 0
x+2y+3z = 0
en función del parámetro m.
17. [C-MA] [JUN-A] a) Discute el sistema de ecuaciones lineales:
mx+(m+1)y+(m-1)z = m-2
3x+(m+3)y+4z = m-2
b) Calcula la solución cuando el sistema sea compatible determinado.
18. [C-MA] [JUN-B] a) Sean A y B matrices cuadradas de orden nN, n  2, tales que B es la inversa de A.
1) Si |A| = 3, razona cuando vale |B|.
2) ¿Cuál es el rango de B?
1 -2 3
1 0 0
b) Siendo 0 10 -3 ·X = 0 3 0 , calcula el determinante de la matriz cuadrada X de orden 3.
0 7 0
0 0 7
b b+a 2c
a+d+g b+e+h c+f+i
a b c
19. [C-MA] [SEP-A] Sabiendo que d e f = 5, calcula el valor de los determinantes: e e+d 2f ; d+g
e+h
f+i , indicando las
h h+g 2i
g
h
i
g h i
propiedades que usas en cada caso para justificar tu respuesta.
20. [C-MA] [SEP-B] a) Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro a  :
x + y + 2z = 0
ax
- 3z = a .
2x + ay - z = a
b) Resuélvelo para el valor a = 1.
21. [CANA] [JUN-A] Calcular la matriz X tal que X·A + 3B = 2C, siendo A =
-1 -3
2 3
-1 4
,B=
,C=
.
2 4
4 -1
3 -2
(detallar todos los cálculos realizados).
22. [CANA] [JUN-B] Discutir la compatibilidad del siguiente sistema según los distintos valores del parámetro m:
23. [CANA] [SEP-A] Resolver la ecuación matricial A·X + 2C = 3B, siendo A =
3x+mz = 1
-x+my+2z = m .
2x+2z = 1
-3 1
1 4
3 1
,B=
,C=
.
2 -2
-3 3
-2 -4
(detallar todos los calculos realizados)
24. [CANA] [SEP-B] Discutir la compatibilidad del sistema siguiente en función de los distintos valores del parámetro m:
2x+y-z = -1
x-2y+2z = m .
3x-y+mz = 4
25. [CATA] [JUN] Dadas las matrices A =
1 -2
3 2
yB=
,
1 3
-1 1
a) Compruebe que se cumple la igualdad (A+B)(A–B) = A2 – B2.
b) ¿Es cierta esta igualdad para cualquier par de matrices cuadradas A y B del mismo orden? Responda razonadamente utilizando
las propiedades generales de las operaciones entre matrices, sin utilizar matrices A y B concretas.
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1 1 k
26. [CATA] [SEP] Determine el rango de la matriz A = 1 k 1 en función del parámetro k.
k 1 1
x+y-3z = 2
2x+ay-5z = 2a+3
2x-3y+(a-2)z = 9
a) Calcule el valor o los valores del parámetro a para el cual o para los cuales el sistema es compatible indeterminado.
b) ¿Cuántas soluciones tiene este sistema cuando a = -3?
27. [CATA] [SEP] Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
x - y+
2z = a
28. [EXTR] [JUN-A] Discuta, en función del parámetro a, el sistema de ecuaciones -x + y az = 1
x + ay + (1+a)z = -1
(no hay que resolverlo en ningún caso)
1 0 1
29. [EXTR] [JUN-B] Calcula la matriz inversa de la matriz A = B2-2c, siendo B = 0 -1 0
1 0 1
y C=
1 0 0
1 1 -1 .
0 -1 1
30. [EXTR] [SEP-A] Calcule los valores de a para los que el determinante de la matriz B es igual a 32, |B| = 32, siendo B = 2·A2 y
a 1 -a
A= 1 1 0 .
1 0 2
31. [EXTR] [SEP-B] ¿Existe alguna matriz X =
1 2
1 1
·X = X·
y sea NO nula? Razone la respuesta.
1 1
1 -1
x y
que cumpla
z x
12
4
x
k k k2
32. [MADR] [JUN-A] Dadas las matrices A = 1 -1 k , B = 6 , C = 3 , X = y , se pide:
8
3
z
2k -2 2
a) Hallar el rango de A en funcion de los valores de k.
b) Para k = 2, hallar, si existe, la solucion del sistema AX = B.
c) Para k = 1, hallar, si existe, la solucion del sistema AX = C.
0 1 2
4 -1 1 -2
33. [MADR] [JUN-B] Dadas las matrices A = -2 -1 0 , B = -2 -3 -7 -8 , se pide:
1 a 1
3 2-a 3+a 3
a) Estudiar el rango de la matriz B en función de a.
b) Para a = 0, calcular la matriz X que verifica AX = B.
x
1
34. [MADR] [JUN-B] Calcular el valor del determinante
1
1
1
y
1
1
35. [MADR] [SEP-A] Dado el sistema de ecuaciones lineales
1
1
z
1
1
1
.
1
1
3x +
ay + 4z = 6
x + (a+1)y + z = 3 , se pide:
(a-1)x ay - 3z = -3
a) Discutir el sistema segun los valores de a.
b) Resolverlo para a = -1.
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36. [MADR] [SEP-B] Dado el sistema de ecuaciones lineales
x
- 2z = 2
ax - y + z = -8 , se pide:
2z
+ az = 4
a) Discutir el sistema según los valores de a.
b) Resolverlo para a = -5.
x+y+z = 2
37. [MURC] [JUN-A] a) Discuta el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro a:
x+ay+a2z = -1 .
ax+a2y+a3z = 2
b) Resuelva el sistema cuando sea compatible.
38. [MURC] [JUN-B] Se dice que una matriz cuadrada A es ortogonal si cumple que At·A = I, donde
es la traspuesta de A.
a -a
Determine para qué valores de los parámetros a y b la siguiente matriz es ortogonal: A = a a
0 b
39. [MURC] [SEP-B] a) Dada la matriz A =
I denota la matriz identidad y At
b
0 .
-1
0 3 4
2
3
4
1 -4 -5 , calcule las potencias A , A y A .
-1 3 4
b) Calcule A2012.
40. [RIOJ] [JUN] Si A =
2 1
3 2
y B =
1 -1
, determina la matriz X despejándola previamente de la ecuación matricial:
0 2
2A - AX = BX.
(Observa las dimensiones que ha de tener la matriz X para que la ecuación matricial tenga sentido).
41. [RIOJ] [JUN] Discute el sistema dependiendo de los valores del parámetro a y resuelve completamente en los casos en que sea
x-2y+z = -2
posible:
-x+y+az = 1 .
2x+ay+4z = -2
42. [RIOJ] [SEP] Discute y resuleve, según los valores de a, el siguiente sistema de ecuaciones:
43. [VALE] [JUN-A] Se da el sistema de ecuaciones
S:
x+(1+a)y-az = 2a
x+2y-z = 2
x+ay+(1+a)z = 1
2x
+ 2z = 5
x + (1-)y + z = 1 , donde a es un parámetro real. Obtener
x+
2y + 2z = 1
razonadamente:
a) La solución del sistema S cuando  = 0.
b) Todas las soluciones del sistema S cuando  = -1.
c) El valor de  para el que el sistema S es incompatible.
44. [VALE] [JUN-B] Obtener razonadamente:
x
a) Todas las soluciones y de la ecuación
z
1 0 2
1 1 3
1 -1 1
x
1
y = 3 .
z
-1
b) El determinante de una matriz cuadrada B de dos filas, que tiene matriz inversa y que verifica la ecuación B2 = B.
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1
0
c) El determinante de una matriz cuadrada A que tiene cuatro filas y que verifica la ecuación: A -9
0
0
sabiendo además que el determinante de A es positivo.
2
45. [VALE] [SEP-A] Sea el sistema de ecuaciones S:
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
=
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
,
0
0
x - 2y - 3z = 0
3x + 10y - z = 0 , donde  es un parámetro real.
x + 14y + z = 0
Obtener razonadamente:
a) La solución del sistema S cuando a = 0.
b) El valor de a para el que el sistema S tiene infinitas soluciones.
c) Todas las soluciones del sistema S cuando se da a a el valor obtenido en el apartado b).
46. [VALE] [SEP-B] Se dan las matrices A =
1 -1
1 0
,U=
y B, donde B es una matriz de dos filas y dos columnas que no tiene
1 1
0 1
ningún elemento nulo y que verifica la relación B2 = -7B +U.
Obtener razonadamente:
a) Los números reales a y b tales que A2 = aA+bU.
b) Los números reales p y q tales que B-1 = pB+qU, justificando que la matriz B tiene inversa.
c) Obtener los valores x e y para los que se verifica que B3 = xB+yU.
Soluciones
1. a)
1
b)
2
(k-1,k,1-2k)
xsenx
-xcosx
0 2 -4
0 0 -2
0 2 -4
2. a)
1-k 5-2k
,
.k
3
3
b) 1 c) -1
5. a) a = -2: inc; a = 1: c.i.
xcosx
xsenx
0
0
3. b) k=-2: c.i.; k-2: c.d. c) k=-2: (k,k+1); k-2: (0,1)
a{-2,1}: c.d.
b)
-1 1 1
, ,
2 2 2
8. a) m{-2,2}: inc; m{-2,2}: c.d. b) -24.
6. a)
0 2 -1
1
-5 3 1
5
5 -2 1
4. a) {-1,0}: c.i; {-1,0}: c.d. b) =0: (0,0,k); =-1:
1 -11 0
1 -18 0
b) A= 6 -3 6 , B= 10 -5 9
0 1 -1
0 1 -1
9. a) 2, 4 b) x{2,4}: c.i.; x{2,4}: c.d. c) (0,0,0)
7. a) 4
b) x0;
10. a) a=1: inc; a=0: c.i; a{0,1}: c. d. b)
senx(cosx-1) -sen2x-cosx 1
-5 5
,
13. a) a{-2,1}: c.i; a{-2,1}: c.d. b) (k,m,-k-m) c) (k,k,k) 14.
2 2
-1
1
-1 0
3 0
1 2
1 -2
,
,
,
15. a) a=-2: inc; a = 1: c.i; a{-2,1}: c.d. b) (-2-2k,4+3k,k) 16. a) a{-3,0}: 2; a{-3,0}: 3 b)
17. a) m=2: c.d; m2:
a) (M-2I) b)
0 -1
0 3
2 1
-2 1
10
3
1 -30 -23
1
b) n c) 1 19. -10, 5 20. a) a = -3: inc; a = 1: c.i.; a{-3,1}: c.d. b) (1+3k,-1-5k,k) 21.
22. m = 3: inc; m = 0: c.i.; m{0,3}:c.d. 23.
inc. b) (0,0,0) 18. a)
2 -22 -17
3
2 -2 -1
1
4
1 -16 -16
24. m=1: inc; m1: c.d. 26. k=1: 1; k=-2: 2; k{-2,1}: 3 27. a) 1 b) inc. 28. a=2: inc; a=-1: c.i; a{-1,2}: c.d. 29.
30. 0,
31. no 32. a)
-2 2 2
2
3
5 -7 23
1 0 0
2
1 2 3 4
-5
-5
1
34. (x-1)(y-1)(z-1) 35. a) a=
: inc; a= -1: c.i; a
,-1 : c.d. b) (3-k,3+k,k) 36. a) a
k{-1,0,1}: 2; k{-1,0,}: 3 b)
0 c) no 33. a) a=1: 2; a1: 3 b) 0 -1 1 0
3
3
3
8
2 0 0 -1
-1 0 1
1 8 4
2
, 0 39. a) 1 4 4 ; -I; -A b) A2 40.
41. a=-3: inc; a=-2: c.i.
= -4: c.i; a  -4: c.d. b) (2,-2,0) 37. a) a-2: inc; a=-2: c.i. b) (1-2k,1+k,k) 38. 
2
6 3 3
-1 -3 -3
1-2k
-2a-3 2a+3 3-2a
5 -3 -3
-2a-1 2 -1
,
,
42. a=0: inc; a=1: c.i. (-5k,1+3k,k); a{0,1}: c.d.
,
,
43. a)
, ,
b) (4+2k,k-3-4k) c) 2 44. a) 2-k
(-3k,1-k,k); a{-3,-2}: c.d.
2a
2a
2a
2 4 4
a+3 a+3 a+3
k
b) 1 c) 81 45. a) (0,0,0) b) 5 c) (-4k,k,-2k) 46. a) 2, -2 b) 1, 7 c) 50, -7
(1-k,k,0) 11. a) a=1: c.i.; a1: c.d. b) (k,1-k,1) 12. a) -7, 7, -3, 0 b) x{-1,0,1}: 2; x{-1,0,1}: 3 c) 0,
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