TEMAS SELECTOS II ECONOMÍA FINANCIERA NOTA 8 Las

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TEMAS SELECTOS II
ECONOMÍA FINANCIERA
NOTA 8
JUEGOS CON RIESGO
EL CONCEPTO DE VALOR EQUIVALENTE A CERTEZA Y COSTO DE RIESGO
Las personas en las sociedades actuales están expuestas a riesgos económicos de diversa
naturaleza. Todas estas situaciones son tratadas por la economía financiera como
“juegos” o como “loterías.”. Existe una actividad económica crecientemente importante
que es la de los seguros, que a cambio de un premio, precio o prima, se compromete a
restituir al asegurado el valor acordado en la póliza respectiva en caso de que produzca
el siniestro.
Puesto que en muchos casos el valor esperado o esperanza matemática del “juego” no
produce resultados satisfactorios (ver la “paradoja de San Petersburgo”), se considera
que la persona o institución expuesta a un riesgo económico tiene una función de
utilidad del dinero. Consideramos dos funciones de utilidad que producen resultados
adecuados para fines de exploración del problema. Estas funciones de utilidad son:
1. U (W )  Ln(W ),
2.
o
U (W )  Log (W )
U (W )  W
Donde W es una suma de dinero o riqueza.
Ahora, en una situación de riesgo, donde el juego puede producir el resultado W1 con
una probabilidad p o bien W2 con una probabilidad (1 – p), se calcula la utilidad
esperada del juego (o valor esperado de la utilidad). Tenemos entonces que la utilidad
esperada del juego, si consideramos la función de utilidad logarítmica es:
E[U (W )]  p Ln (W1 )  (1  p) Ln (W2 )
O bien, con la función U (W )  W
E[U (W )]  p W1  (1  p) W2
Ambas funciones producen resultados en “útiles”, de manera que si queremos obtener
resultados en dinero, debemos hacer la transformación opuesta:
Si Ln (W1 )  x
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Entonces, medida en dinero, tenemos que el valor de x útiles es:
$ ex
O bien,
si
W x
Medido en términos de dinero, tenemos que el valor de x útiles es:
$x 2
Un concepto muy importante en esta discusión es el de “Valor equivalente a certeza”.
El valor equivalente a certeza es una suma de dinero cierta (con probabilidad igual a la
unidad) que tiene el mismo valor de utilidad que el juego con riesgo. Le llamamos
Wce a esta suma de dinero cierta, sin riesgo. De tal manera que si un juego con riesgo y
donde la función de utilidad es U (W )  Ln (W )
Y el resultado del juego en útiles es:
E[U (W )]  z
Tendremos que, medido en dinero:
Wce  e z
Porque Ln (Wce )  Ln (e z )  z
Si la función de utilidad es U (W )  W
Y el resultado del juego en útiles es:
E[U (W )]  y
Tendremos que, medido en dinero:
Wce  y2
Porque Wce 
y2  y
El otro concepto importante en este análisis es el llamado “costo del riesgo”, que es la
suma máxima que el individuo o institución expuesto al juego con riesgo está dispuesto
a pagar por evitarlo. Sería como la suma que la persona o institución está dispuesta a
pagar por un seguro que le restituya el valor de la pérdida en el juego. Esta cantidad se
calcula como la riqueza que tiene el individuo o institución antes de exponerse al juego
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y el valor equivalente a certeza. Si la riqueza inicial es Wi , entonces el costo del riesgo
es:
Cr  Wi  Wce
Ejemplo:
Supongamos que una persona hace una inversión de $ 100,000 y existe una
probabilidad de 0.5 de que el resultado final sea $ 150,000 y la misma probabilidad de
que termine en $ 50,000. La aversión al riesgo de esta persona puede representarse por
una función logarítmica.
Calcula:
a. Valor esperado del juego.
E (W )  0.5 (150, 000)  0.5(50, 000)  100, 000
b. Utilidad esperada del juego:
E[U (W )]  Ln (150, 000)(0.5)  Ln (50, 000) (0.5)  5.9592  5.4099  11.3691
c. Valor equivalente a certeza.
Wce  e11.3691  86, 602.54
d. Costo del riesgo (cantidad máxima que se estaría dispuesto a pagar para evitar el
riesgo)
Cr  Wi  Wce  100, 000  86602.54  13, 397.46
A cargo del estudiante. Repetir el ejercicio, pero suponiendo que la función de utilidad
es U (W )  W
e. Valor esperado del juego. 100,000
f. Utilidad esperada del juego. 305.4526
g. Valor equivalente a certeza. 93,301.27
h. Costo del riesgo (cantidad máxima que se estaría dispuesto a pagar para evitar el
riesgo). 6,698.73